Formulario Geometria e Algebra
March 24, 2017 | Author: Giulio Palamà | Category: N/A
Short Description
Formulario di Geometria Analitica e Algebra lineare. Questo documento è solo una bozza, qualora ci fossero errori...
Description
Formulario geometria e algebra Geometria analitica Vettori Coseni direttori: avendo un vettore 𝑣 = (𝑣! , 𝑣! , 𝑣! ) in una base ℬ(𝚤, 𝚥, 𝑘) i suoi coseni direttori sono dati da: 𝑐𝑜𝑠𝑣𝚤 =
!! !
, 𝑐𝑜𝑠𝑣𝚥 =
!! !
, 𝑐𝑜𝑠𝑣𝑘 =
!! !
.
Vettori linearmene indipendenti: avendo n vettori essi si dicono linearmente indipendenti se costruita la matrice delle loro coordinate il determinante risulta diverso da 0. Inoltre se sono linearmente indipendenti il rango risulterà uguale al numero dei vettori. Vettori linearmene dipendenti: avendo n vettori essi si dicono linearmente dipendenti se uno di essi si può esprimere come somma degli altri moltiplicati per un opportuno scalare. Contrariamente a prima costruita la matrice delle loro coordinare il determinante deve essere uguale a zero, e il rango minore del numero di vettori. Prodotto scalare: avendo due vettori 𝑣 = (𝑣! , 𝑣! , 𝑣! ) e 𝑢 = (𝑢! , 𝑢! , 𝑢! ) il prodotto scalare 𝑣 ∙ 𝑢 = 𝑢! 𝑣! + 𝑢! 𝑣! + 𝑢! 𝑣! Norma di un vettore: avendo un vettore 𝑢 = (𝑢! , 𝑢! , 𝑢! ) la norma di 𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑢= 𝑢! ! + 𝑢! ! + 𝑢! ! Coseni direttori: avendo due vettori 𝑣 e 𝑢, per individuare l’angolo in funzione del coseno si 𝑣∙𝑢
avrà che: cos 𝑣𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑣 Prodotto vettoriale: avendo due vettori 𝑣 = (𝑣! , 𝑣! , 𝑣! ) e 𝑢 = (𝑢! , 𝑢! , 𝑢! ), il prodotto 𝚤 𝚥 𝑘 vettoriale sarà uguale a: 𝑣 ∧ 𝑢 = 𝑣! 𝑣! 𝑣! 𝑢! 𝑢! 𝑢! Determinare un vettore 𝒙 perpendicolare a 𝒗 𝐞 𝒖 e di norma n: per determinare un vettore ci occorrono tre equazioni, in questo caso il vettore generico 𝑥 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) dovrà avere 𝑥 ∙ 𝑢 = 0, 𝑣 ∙ 𝑥 = 0, e 𝑥 = 𝑛. Messe a sistema queste equazioni si avrà il vettore o i vettori desiderati. Oltre alla norma un’altra equazione può essere data dalla complanarità: avendo 𝑥 , 𝑣 e 𝑢 complanari, essi sono dipendenti, quindi 𝑥 = 𝑎𝑣 + 𝑏𝑢 quindi le incognite sono solo due, ossia i parametri a e b. Area del triangolo formato da due vettori 𝒗 𝐞 𝒖: la norma del prodotto vettoriale 𝑣 ∧ 𝑢 equivale all’area del parallelogramma formato dai vettori 𝑣 e 𝑢. Per avere l’area del triangolo bisogna moltiplicare l’area del parallelogramma per ½: 𝚤 𝚥 𝑘 1 𝒜= 𝑣 ∧ 𝑢 = 𝑣! 𝑣! 𝑣! 2 𝑢! 𝑢! 𝑢! Area del tetraedro formato da tre vettori 𝒗, 𝒖 𝐞 𝝎: il prodotto misto tra i vettori in valore assoluto ci da l’area del parallelepipedo. Per ottenere l’area del tetraedro bisogna moltiplicare il tutto per 1/6:
1
𝜔! 𝜔! 𝜔! 𝒱 = ! 𝑣 ∧ 𝑢 ∙ 𝜔 = ! 𝑣! 𝑣! 𝑣! . Notiamo che in questo caso l’ordine con cui si 𝑢! 𝑢! 𝑢! dispongono i vettori non conta poiché il determinante è in valore assoluto, quindi scambiando due linee parallele il segno del determinante non cambia. Rette, piani, parallelismo Distanza tra due punti: avendo due punti 𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! , 𝑃! (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) 𝑑 𝑃! 𝑃! = (𝑥! − 𝑥! )! + (𝑦! − 𝑦! )! + (𝑧! − 𝑧! )! 𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧 − 𝑧! Equazione cartesiana del piano: 𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧 − 𝑧! = 0 da cui si ha 𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧−𝑧! 𝛼: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 con (a,b,c) parametri di giacitura 𝑥 = 𝑥! + 𝑢 𝑥! − 𝑥! + 𝑣(𝑥! − 𝑥! ) 𝑦 Equazione parametrica del piano: = 𝑦! + 𝑢 𝑦! − 𝑦! + 𝑣(𝑦! − 𝑦! ) 𝑧 = 𝑧! + 𝑢 𝑧! − 𝑧! + 𝑣(𝑧! − 𝑧! ) Dove u e v sono due parametri reali. Per trovare l’equazione cartesiana basta ricavare u e v dal sistema. Equazione piano per un punto: 𝑎 𝑥 − 𝑥! + 𝑏 𝑦 − 𝑦! + 𝑐 𝑧 − 𝑧! = 0 con (a,b,c) parametri di giacitura Piano per un punto A e parallelo ad 𝐮 e 𝐯: avendo un punto 𝐴 = 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! e due vettori 𝐮 = 𝑢! , 𝑢! , 𝑢! e 𝐯 = 𝑣! , 𝑣! , 𝑣! , si considera il generico punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) e si impone che i vettori 𝐴𝑃 = (𝑥 − 𝑥! , 𝑦 − 𝑦! , 𝑧 − 𝑧! ), u e v siano complanari, quindi linearmente dipendenti ossia: 𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧 − 𝑧! 𝑢! 𝑢! 𝑢! = 0 𝑣! 𝑣! 𝑣! analogamente si procede avendo due punti A e B appartenenti al piano e un vettore ad esso parallelo u, ossia si ricava il secondo vettore noto dal vettore che congiunge i due punti A e B, e il terzo vettore prendendo un punto P generico del piano e costruendo il vettore P-‐A oppure P-‐B. Avendo un piano passante per tre punti A, B e C si costruiscono due vettori tra questi punti, ed un terzo vettore da un punto generico P e uno dei tre punti dati. |!! !!! !!! !!| Distanza punto piano: ! 𝟐 ! ! !! !
!
! !! !!
Con (a,b,c) parametri di giacitura, 𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! . Distanza punto retta: per determinare la distanza di 𝑃! da r consideriamo 𝑃! un punto della retta r e u un vettore ad essa parallelo. La distanza sarà data dalla relazione: (𝑃! − 𝑃! ) ∧ 𝑢 𝑑(𝑃! , 𝑟) = 𝑢
2
Equazione del piano passante per 𝑷 e parallelo a 𝒖 e 𝒗 : 𝑥 − 𝑥! 𝑦 − 𝑦! 𝑧 − 𝑧! 𝑙 𝑚 𝑛 = 0 𝑙′ 𝑚′ 𝑛′ usata anche per scrivere il piano formato da tre punti 𝑃! , 𝑃! , 𝑃! non allineati, considerando 𝑢 = 𝑃! −𝑃! e 𝑣 = 𝑃! −𝑃! . Due piani 𝜶 e 𝜶′ sono paralleli se:
!
!!
=
!
!!
!
= !!
con (𝑎, 𝑏, 𝑐) e (𝑎′, 𝑏′, 𝑐′) parametri di giacitura dei rispettivi piani. Equazione del piano assiale rispetta ad A e B: siano 𝐴 = 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! e B= 𝑥′! , 𝑦′! , 𝑧′! il piano assiale è il luogo dei punti equidistanti da A e da B e ha equazione pari a: (𝑥 − 𝑥! )! + (𝑦 − 𝑦! )! + (𝑧 − 𝑧! )! = (𝑥 − 𝑥′! )! + (𝑦 − 𝑦′! )! + (𝑧 − 𝑧′! )! Piano passante per un punto e contenente una retta: si considera il fascio proprio che ha per asse la retta r. E si impone l’appartenenza del punto in questione. Retta r passante per un punto P, complanare a s e parallela al piano 𝜶: la retta r si può ottenere come intersezione di due piani 𝜋 e 𝛾. Con 𝜋 piano passante per il P e contenente s, e 𝛾 piano passante per P e parallelo ad 𝛼. Se 𝜶 e 𝜶′ sono non paralleli essi individuano una retta che può essere espressa come 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 𝑟: ! 𝑎 𝑥 + 𝑏 ! 𝑦 + 𝑐 ! 𝑧 + 𝑑′ = 0 Esprimendo x, y o z sotto forma di un parametro reale si giunge alle equazioni parmetriche della retta. 𝑥 = 𝑥! + 𝑡 𝑥! − 𝑥! = 𝑥! + 𝑙𝑡 Equazioni parametriche della retta: 𝑦 = 𝑦! + 𝑡 𝑦! − 𝑦! = 𝑦! + 𝑚𝑡 𝑧 = 𝑧! + 𝑡 𝑧! + 𝑧! = 𝑧! + 𝑛𝑡 Che rappresenta la retta passante per i punti 𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! e 𝑃! (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ), oppure la retta passante per 𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! e parallela al vettore 𝑣 = (𝑙, 𝑚, 𝑛) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 Parametri direttori di una retta: avendo 𝑟: ! i suoi parametri 𝑎 𝑥 + 𝑏 ! 𝑦 + 𝑐 ! 𝑧 + 𝑑′ = 0 direttori saranno dati dal prodotto vettoriale (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∧ (𝑎! , 𝑏 ! , 𝑐 ! ).
3
Rette sghembe: due rette sono sghembe se non sono parallele e non si incontrano mai, analogamente non sono parallele e non sono complanari. Avendo due rette per verificare che sono sghembe calcoliamo l’eventuale intersezione, il sistema non dovrà avere soluzioni. Inoltre le rette non devono essere parallele, quindi i parametri direttori non devono essere proporzionali. Fascio proprio di piani di asse 𝒓: 𝜆 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 + 𝜇 𝑎! 𝑥 + 𝑏 ! 𝑦 + 𝑐 ! 𝑧 + 𝑑 ! = 0 Fascio improprio di piani: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑘 = 0 Fascio proprio di rette del piano 𝜶 passanti per A: si considera la retta generica r passante per A e incidente con il piano 𝛼 in un qualsiasi punto, anche perpendicolarmente ad 𝛼. Si genera l’equazione del fascio proprio di piani che ha per asse la retta r. L’intersezione tra il fascio di pani e il piano 𝛼 genera il fascio di rette appartenenti ad 𝛼. Fascio improprio di rette del piano 𝜶 e parallele al piano 𝜷: si considera il fascio improprio di piani paralleli a 𝛽 . L’intersezione del fascio con il piano 𝛼 genera il fascio improprio di rette parallele a 𝛽 . Rappresentazione retta passante per 𝑷 e parallelo a 𝒖 = (𝒍, 𝒎, 𝒏): -‐ sotto forma di rapporti uguali : -‐
!!!! !
=
!!!! !
=
!!!! !
in forma equivalente mediante le equazioni parametriche: 𝑥 = 𝑥! + 𝑙𝑡, 𝑦 = 𝑦! + 𝑚𝑡, 𝑧 = 𝑧! + 𝑛𝑡
anche la retta individuata da due punti può essere espressa con la formula precedente considerando come vettore direzionale 𝑢 = 𝑃! −𝑃! Un piano 𝜶 è parallelo ad 𝒓 se : 𝑎𝑙 + 𝑏𝑚 + 𝑐𝑛 = 0 Due rette sono parallele se: !
!
!
!! = !! = !! Due rette r ed s sono complanari se : 𝑥′! − 𝑥! 𝑙 𝑙′ altrimenti sono sgembe.
𝑦′! − 𝑦! 𝑚 𝑚′
𝑧′! − 𝑧! = 0 𝑛 𝑛′ 4
Distanza tra due retta: avendo due rette r e s con parametri direttori rispettivamente 𝑟 e 𝑠, se si vuole calcolare la distanza tra le due rette si considera il segmento perpendicolare ad entrambe. Quindi troviamo il vettore perpendicolare a 𝑟 e 𝑠 tramite il prodotto vettoriale, sia 𝑟 ∧ 𝑠 = 𝑛 . Consideriamo il piano 𝛽 parallelo ad 𝑛 e passante per r e il piano 𝛽′ parallelo ad 𝑛 e passante per s. L’intersezione tra questi due piani genererà t retta perpendicolare sia a r che a s. L’intersezione tra le tre rette genererà P e P’ punti di r e s per chi t è perpendicolare ad entrambe. La distanza tra le due rette equivale alla distanza tra i due punti. Sfere e circonferenze Equazione canonica della sfera: (𝑥 − 𝛼)! + 𝑦 − 𝛽 ! + (𝑧 − 𝛾)! = 𝑅! Da cui si ha che: 𝑥 ! + 𝑦 ! + 𝑧 ! − 2𝛼𝑥 − 2𝛽𝑦 − 2𝛾𝑧 + 𝛿 = 0 Centro e raggio della sfera: Dalle equazioni scritte in precedenza si ha che: ! ! ! 𝐶 = (− ! , − ! , − !) e 𝑅 𝛼 ! + 𝛽 ! + 𝛾 ! − 𝛿 Per conoscere la sfera o la circonferenza basta conoscere il suo centro e il suo raggio. Sfera tangente alla retta r e di centro dato C: si considera il piano 𝛼 passante per C e perpendicolare alla retta r. L’intersezione tra la retta e il piano genererà un punto P, la distanza tra P e C darà il raggio R. Sfera di centro C tagliata da un piano 𝜶 che genera una circonferenza di raggio R’ noto: conoscendo il piano e il centro della sfera possiamo calcolare la distanza centro piano. Avendo la distanza centro piano e il raggio della circonferenza applicando Pitagora possiamo calcolare R. Sfera di raggio minimo tangente a due rette sghembe r e s: si trova la retta di minima distanza tra r e s, denominata t. L’intersezione tra t e le due rette genererà due punti A e B. La distanza tra A e B sarà il diametro, e il punto medio il centro C. Sfera passante per due punti A e B e avente il centro su una retta r: avendo l’equazione di r si prenda un generico punto C di della retta. Tale punto sarà individuato rispetto a due parametri, per determinare questi parametri si imponga che la distanzta d(C,A)=d(C,B). Sfera passante per tre punti: per individuare la sfera passante per tre punti non allineati 𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! , 𝑃! (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) e 𝑃! (𝑥! , 𝑦! , 𝑧! ) consideriamo il piano assiale di 𝑃! e 𝑃! e il piano assiale di 𝑃! e 𝑃! , l’intersezione di questi due piani ci darà il centro C della sfera. Il raggio sarà dato dalla relazione 𝑑 𝑃! , 𝐶 = 𝑅 Piano tangente ad una sfera nel punto A: avendo l’equazione di una sfera e un punto A appartenente alla sfera possiamo trovare il piano tangente nel punto A effettuando la derivata parziale dell’equazione della sfera. Sostituendo i valori del Superfici e Curve Chiamiamo superficie il luogo dei punti che rispettano una determinata equazione 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . Equazioni Parametriche Superficie: dipendono da due parametri e sono del tipo: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 𝑧 = 𝑧 𝑢, 𝑣 Volendo trovare l’equazione della linea coordinata basta imporre a uno dei due parametri un valore, spesso dato
5
Equazioni Parametriche Curve: dipendono da un solo parametro e sono del tipo: 𝑥 = 𝑥 𝑢 𝑦 = 𝑦 𝑢 𝑧 = 𝑧 𝑢 per trovare le equazioni cartesiane basta eliminare il parametro. Vettore tangente ad una curva dato il punto di tangenza: sia 𝑃! 𝑥! , 𝑦! , 𝑧! il punto di tangenza sostituiamo alle equazioni parametriche tali valori e vediamo che valore dovrà avere il parametro della curva. Successivamente deriviamo le equazioni parametriche e calcoliamo la derivata nel valore del parametro trovato in precedenza. Si avranno così le coordinate del vettore tangente. Vettore tangente ad una curva dato il valore del parametro: calcoliamo la derivata delle equazione parametriche. Calcoliamo la derivata secondo il valore del parametro dato e avremmo le coordinate del vettore. Provare che una curva è contenuta in una superficie : mettendo a sistema curva e superficie si deve verificare un’identità. Vettori normali ad un superficie in 𝑷𝟏 𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 : avendo le equazioni parametriche della superficie calcoliamo il valore dei parametri in 𝑃! . Deriviamo parzialmente rispetto i parametri, e otteniamo due curve appartenenti alla superficie, sostituendo i valori dei parametri trovati otteniamo due vettori tangenti alle rispettive curve, tramite il prodotto vettoriale si ottiene il vettore normale alla superficie nel punto 𝑃! . s Avendo una curva piana trovare un piano che la contiene: si considera il generico piano 𝛽: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 e si impone che, avendo equazione parametrica della superficie 𝑥 = 𝑥 𝑢 𝑦 = 𝑦 𝑢 𝑧 = 𝑧 𝑢 , 𝑎𝑥 𝑢 + 𝑏𝑦 𝑢 + 𝑐𝑧 𝑢 + 𝑑 = 0 da qui si ricavano i parametri 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Scrivere equazioni del cilindro avente direzione 𝝎 e passante per una curva: avendo la curva 𝑥 = 𝑥 𝑢 𝑦 = 𝑦 𝑢 𝑧 = 𝑧 𝑢 e 𝜔 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑥 − 𝑥(𝑢) 𝑦 − 𝑦(𝑢) 𝑧 − 𝑧(𝑢) = = = ℎ 𝑎 𝑏 𝑐 Scrivere equazione del cono di vertice V le cui generatrici formano un angolo 𝜶 con un vettore 𝝎: consideriamo un generico punto P appartenente al cono, dalla relazione cos(𝑃𝑉𝑢) = cos 𝛼 si ha l’equazione del cono. Determinare il cilindro aventi generatrici parallele a 𝝎 e circoscritto alla sfera S: considerando un generico punto 𝑃(𝛼, 𝛽, 𝛾) del cilindro troviamo la retta r tangente alla sfera in P e con direzione 𝜔 = (𝑙, 𝑚, 𝑛): 𝑥 = 𝛼 + 𝑙𝑡 𝑦 r: = 𝛽 + 𝑚𝑡 𝑧 = 𝛾 + 𝑛𝑡 tale retta intersecata con l’equazione della sfera dovrà avere un’unica soluzione, quindi sostituiamo e imponiamo il discriminante uguale a 0. Fatto ciò sostituiamo (𝛼, 𝛽, 𝛾) con (𝑥, 𝑦, 𝑧). Trovare cono di vertice V e circoscritto alla sfera data: Avendo V(1,-‐1,1) consideriamo la !!! =𝑙 ! 𝑥 = 1 + 𝑙𝑡 !!! generica retta per V di equazione: r: 𝑦 = −1 + 𝑚𝑡 ⇒ r: ! = 𝑚 𝑧 = 1 + 𝑛𝑡 !!! =𝑛 !
6
nel nostro caso. Avendo l’equazione della sfera sostituiamo x,y,z e raccogliamo rispetto a t. Siccome la retta deve essere tangente imponiamo il discriminante nullo. Fatto ciò sostituiamo a l,m,n il valore ricavato in precedenza. Coniche Classificazione Data la conica in coordinate omogenee: 𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! = 0 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" si scriva la matrice della conica: 𝐴 = 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" . 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! Si ha che, se • 𝑟𝑔 𝐴 = 3 la conica è generale • 𝑟𝑔 𝐴 = 2 la conica è semplicemente degenere e si spezza in due rette distinte • 𝑟𝑔 𝐴 = 1 la conica è doppiamente degenere e si spezza in due rette coincidenti successivamente si vede l’ordine di una conica, ossia le intersezioni con la retta 𝑖! , quindi si analizza il complemento algebrico 𝐴!! : • 𝐴!! > 0 ⟺ 𝑖! ∩ 𝐶 = 𝑑𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠𝑠𝑖 𝑐𝑜𝑛𝑖𝑢𝑔𝑎𝑡𝑖 ⇒ 𝒆𝒍𝒍𝒊𝒔𝒔𝒆 • 𝐴!! < 0 ⟺ 𝑖! ∩ 𝐶 = 𝑑𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖 𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑖 ⇒ 𝒊𝒑𝒆𝒓𝒃𝒐𝒍𝒆 • 𝐴!! = 0 ⟺ 𝑖! ∩ 𝐶 = 𝑑𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖 ⇒ 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂 ! ! Equazione della polare: se 𝑃(𝑥! , 𝑥! , 𝑥! ) è un punto proprio, posto 𝑥! = !! e 𝑦! = !! la polare !
!
di P in coordinate omogenee è 𝑝! : 𝑎!! 𝑥! + 𝑎!" 𝑦! + 𝑎!" 𝑥 + 𝑎!" 𝑥! + 𝑎!! 𝑦! + 𝑎!" 𝑦 + 𝑎!" 𝑥! + 𝑎!" 𝑦! + 𝑎!! = 0 Centro Conica: 𝑎!! 𝑥 + 𝑎!" 𝑦 + 𝑎!" = 0 𝑎!" 𝑥 + 𝑎!! 𝑦 + 𝑎!" = 0 Asintoti: avendo l’iperbole 𝐶 : 𝑎!" 𝑥! 𝑥! = 0 si determina le intersezioni con la retta all’infinito, e si otterrà un’equazione omogenea del tipo: 𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! = 0 scrivendola in tale modo 𝑎!! 𝑙 ! + 𝑎!" 𝑙𝑚 + 𝑎!! 𝑚! = 0 si risolva tale equazione e si otterranno i parametri direttori degli asintoti, le cui equazioni verranno ricavate come rette per il centro. Assi: Fuochi:
7
Quadriche Classificazione Data l’equazione della quadrica in coordinate omogenee:
𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 𝑎!! 𝑥!! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 2𝑎!" 𝑥! 𝑥! + 𝑎!! 𝑥!! = 0
𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 si scriva la matrice della quadrica: 𝐴 = 𝑎!" 𝑎!! 𝑎!" 𝑎!" !" !" !! !" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!" 𝑎!! si ha che, se: • 𝑟𝑔 𝐴 = 1 la quadrica è doppiamente degenere • 𝑟𝑔 𝐴 = 2 la quadrica è semplicemente degenere • 𝑟𝑔 𝐴 = 3 la quadrica è speciale • 𝑟𝑔 𝐴 = 4 la quadrica è generale Per classificare la quadrica si analizza prima il complemento algebrico 𝐴!! , dopodiché si analizzano le intersezioni della quadrica con il piano all’infinito e si cerca di capire la natura dei punti:
I punti sono detti: Iperbolici: se il piano tangente in P interseca la quadrica in due rette reali e distinte. Ellittico: se il piano tangente in P interseca la quadrica in due rette complesse coniugate Paraboloico: se il piano tangente in P interseca la quadrica in due rette coincidenti Algebra Lineare Spazi Vettoriali
8
Uno spazio vettoriale V su un campo K è un insieme dove sono definite due operazioni di somma e prodotto per gli elementi di K. Un sottoinsieme di V denominato S si dice sottospazio vettoriale se ha una struttura di spazio vettoriale per le operazioni definite in V. Avendo S sottoinsieme dello spazio vettoriale V esso sarà sottospazio vettoriale se e solo se: 1. ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑆 2. ∀ 𝑥 ∈ 𝑆, 𝜆 ∈ 𝐾 ⇒ 𝜆𝑥 ∈ 𝑆 inoltre ogni sottospazio vettoriale dovrà contenere il vettore nullo. Somma diretta tra due insieme S e T: Avendo un sottoinsieme di V denotato con W, e due altri sottoinsiemi di V siano S e T, W è detto somma diretta di S e T e indicato 𝑊 = 𝑆⨁𝑇 se ∀ 𝑤 ∈ 𝑊 risulta 𝑤 = 𝑠 + 𝑡 determinato univocamente. Se 𝑉 = 𝑊 = 𝑆⨁𝑇 i due sottospazi si dicono supplementari. Base: una base è un insieme di vettori linearmente indipendenti e generatori di uno spazio vettoriale. Teorema di Grassmann: dim 𝑆 ∩ 𝑇 + dim 𝑆 + 𝑇 = dim 𝑆 + dim 𝑇 Se S e T sono somma diretta si ha che 𝑆 ∩ 𝑇=0 e quindi dim 𝑆 ∩ 𝑇=0, la relazione perciò si trasforma dim 𝑆⨁𝑇 = dim 𝑆 + dim 𝑇. Intersezioni tra due sottospazi vettoriali (𝑺 ∩ 𝑻): per definire l’insieme intersezione tra S e T bisogna trovare un vettore che soddisfi le condizioni di appartenenza ad S e a T. Calcolare somma tra spazi vettoriali (S+T) avendo (𝑺 ∩ 𝑻): facilmente applicando la relazione di Grassman possiamo ricavare la dimensione di (S+T). Trovare spazio supplementare di V avendo S: avendo V uno spazio vettoriale ed S un sottospazio di V, volendo trovare T tale che 𝑉 = 𝑆⨁𝑇 si ha che dim S + dim T= dim V. Quindi avendo una base di S completiamo la base con un vettore di V, tale che la base di S completata con la base di T dia una base di V. Determinare se 𝒙 è combinazione lineare di n vettori: avendo il vettore 𝑥 se è combinazione di 𝑥! … 𝑥! si avrà che: 𝑥 = 𝜆! 𝑥! + ⋯ + 𝜆! 𝑥! se tale condizione è verificata 𝑥 è combinazione lineare. Altro modo per verificare ciò è costruire la matrice con tutti i vettori in questione se il rango risulta essere minore del numero di vettori essi sono linearmente indipendenti. Verificare che U e V siano somma diretta: per verificare che U e V, due sottospazi vettoriali, siano somma diretta bisogna considerare un vettore di U e imporre la condizione di appartenenza a V. Se il vettore che fa parte dell’intersezione è il vettore nullo i due sottospazi sono somma diretta. Verificare che 𝒙 appartiene a 𝑬 = 𝑺⨁𝑻: avendo una base di S e una base di T si avrà che dim S + dim T= dim E quindi se 𝑥 è combinazione lineare della base di E allora appartiene ad E. Avendo ℝ𝟐 𝒙 , insieme dei polinomi di grado inferiore al secondo, sia U e V un sottospazio trovare una base di U e V: supponiamo per esempio che U= 𝑝 𝜖 ℝ! 𝑥 | 𝑝 1 = 𝑝 4 = 0 ossia l’insieme dei polinomi di grado inferiore o uguale a 2 tale che il polinomio
9
calcolato in 4 e in 1 sia uguale a 0. Esiste un 𝑎 𝜖 ℝ per cui 𝑝 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 4). U ha dimensione 1. Supponiamo che 𝑉 = 𝐿(𝑝! , 𝑝! , 𝑝! ) con 𝑝! (𝑥) = 𝑥 ! , 𝑝! 𝑥 = 𝑥 + 1 e 𝑝! 𝑥 = 2𝑥 ! − 3𝑥 − 3. Per trovare una base di V dobbiamo verificare che 𝑎𝑝! + 𝑏𝑝! + 𝑐𝑝! = 𝑜. Avendo ℝ𝟐 𝒙 con S e T rispettivi sottospazi trovare (𝑺 ∩ 𝑻) e (S+T): avendo una base di S ad esempio {𝑝! , 𝑝! }, e una base di T {𝑞! , 𝑞! } consideriamo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝜖 ℝ il polinomio generico appartenente all’intersezione 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑝! + 𝑏𝑝! = 𝑐𝑞! + 𝑑𝑞! da tale uguaglianza si deducono i coefficienti che andremo a sostituire nella stessa relazione. Applicando il teorema di Grassman troveremo la dimensione di S+T. Applicazioni Lineari Nucleo: avendo una funzione lineare 𝑓: 𝑉 → 𝑊 si dice nucleo l’insieme 𝑘𝑒𝑟𝑓 = 𝑥 𝜖 𝑉 𝑓 𝑥 = 0}. Immagini: avendo una funzione lineare 𝑓: 𝑉 → 𝑊 si dice immagine di f l’insieme 𝐼𝑚𝑓 = {𝑓 𝑥 |𝑥 𝜖𝑉}. Se dim Imf è finita tale numero si dice rango di f. Teorema del Rango: dim(𝑘𝑒𝑟𝑓) + dim(𝐼𝑚𝑓) = dim 𝑉 Iniettività: avendo una funzione lineare 𝑓: 𝑉 → 𝑊 si dice iniettiva se 𝑘𝑒𝑟𝑓 = 𝑥 𝜖 𝑉 𝑓 𝑥 = 0} = {0}. Suriettiva: avendo una funzione lineare 𝑓: 𝑉 → 𝑊 si dice suriettiva se 𝐼𝑚𝑓 = 𝑓 𝑥 𝑥 𝜖𝑉 = 𝑊. ! ! Dalla funzione alla matrice associata 𝓜𝑩 𝑩! : ad esempio avendo l’applicazione 𝑓 : ℝ → ℝ , ! 𝑥, 𝑦 ↦ (2𝑥, −2𝑦, 𝑥 + 𝑦), sia B una base di ℝ : 𝑓 1,0 = 2,0,1 𝑓 0,1 = 0, −2,1 2 0 ! ℳ!! = 0 −2 1 1 in tal caso volendo trovare il nucleo basta imporre 2𝑥, −2𝑦, 𝑥 + 𝑦 = (0,0,0). Dalla matrice associata alla funzione: ad esempio avendo l’applicazione lineare 𝑓: ℝ! → ℝ! 1 0 2 ! e la matrice ℳ!! = , dove B è una base di ℝ! e B’ è una base di ℝ! . Per ricavare −1 1 1 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥, 𝑦) si procede: 𝑓 1,0,0 = 1, −1 𝑓 0,1,0 = 0,1 𝑓 0,0,1 = (2,1) dove {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} è una base di ℝ! . Da ciò implica che 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 2𝑧, −𝑥 + 𝑦 + 𝑧). Oppure: 𝑥 𝑥 + 2𝑧 1 0 2 𝑦 = −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 −1 1 1 𝑧 Trovare 𝒇 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎 avendo 𝓜𝑩 𝑩! : prendendo l’esempio precedente si ha che
10
𝑓 𝑥! , 𝑦! , 𝑧!
𝑥! 1 0 2 𝑦 = ! . −1 1 1 𝑧 !
Trovare il nucleo di 𝒇 avendo 𝓜𝑩 𝑩! : prendendo l’esempio precedente si ha che 𝑥 1 0 2 𝑦 0 = −1 1 1 𝑧 0 Trovare 𝒇!𝟏 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 , : prendendo l’esempio precedente si ha che 𝑥 𝑥! 1 0 2 𝑦 = 𝑦 −1 1 1 𝑧 ! Autovalori e Autovettori Sia f un endomorfismo dello spazio vettoriale V definito sul campo K. Un vettore 𝑥 ≠ 0 si dice autovettore di f relativo all’autovalore 𝜆 ∈ 𝐾 se si ha : 𝑓 𝑥 = 𝜆𝑥 Autospazio relativo a 𝝀 V(𝝀): è l’insieme degli autovettori aventi 𝜆 come autovalore. V(𝜆) = ker (𝑓 − 𝜆𝐼𝑑). Tale insieme oltre agli autovettori di 𝜆 contiene anche il vettore nullo. Autovalori: per trovare gli autovalori bisogna risolvere l’equazione caratteristica ossia det( 𝐴 − 𝜆𝐼) = 0. Molteplicità geometrica e algebrica: detta con 𝑚! la molteplicità algebrica della soluzione 𝜆! , e con dim 𝑉 (𝜆! ) la molteplicità geometrica si ha che: 1 ≤ dim 𝑉 (𝜆! ) ≤𝑚! . Se la molteplicità algebrica è uguale alla molteplicità geometrica f è semplice ed A, matrice associata, è diagonalizzabile. Strutture Metriche Uno spazio euclideo V è uno spazio vettoriale reale su cui è definita un’operazione di prodotto scalare, che associa ad ogni coppia di elementi 𝑢 e 𝑣 appartenenti a V un numero reale. Due vettori 𝑢 e 𝑣 sono ortogonali se il loro prodotto scalare genera il vettore nullo. Il vettore nullo è l’unico vettore perpendicolare a tutti i vettori. Se V è uno spazio vettoriale e U è un suo sottospazio, il suo ortogonale 𝑈 ! è il sottospazio costituito da tutti i vettori 𝑣 appartenenti a V ortogonali a tutti gli elementi di U. Se V ha dimensione finita risulta che 𝑉 = 𝑈 ⊕ 𝑈 ! . Definizione di prodotto scalare: avendo una forma bilineare per verificare se essa è un prodotto scalare, verificare che essa sia sempre positiva, e che è nulla se 𝑔 𝑣, 0 = 0. Trovare sottospazio ortonormale ad U: avendo 𝑉 ⊃ 𝑈 = {𝑢! }!!!!! per trovare 𝑈 ! prendiamo il generico vettore 𝑣𝜖𝑉, esso appartiene a 𝑈 ! se e solo se 𝑣 ⋅ 𝑢! = 0 ∀𝑖. Quindi data questa condizione mettiamo a sistema tutte le equazioni di prodotto scalare, che danno le condizioni di appartenenza a 𝑈 ! . Ortonormalizzazione Gramm Schmidt: avendo una base ad esempio 𝑣! , 𝑣! , 𝑣! per verificare che non è una base ortonormale basta verificare che la norma dei vettori non è unitaria. Fatto ciò la base si può ortonormalizzare, ossia genereare tre nuovi vettori ortonormali, siano 𝑢! , 𝑢! , 𝑢! .
11
𝑢! = 𝑢! = 𝑢! =
𝑢! 𝑢! 𝑢! 𝑢! 𝑢! 𝑢!
𝑢! = 𝑣! − 𝑔 𝑣! , 𝑢! 𝑢! 𝑢! = 𝑣! − 𝑔 𝑣! , 𝑢! 𝑢! − 𝑔(𝑣! , 𝑢! )𝑢! .
12
View more...
Comments