Formulario Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

 

Formulario Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ecuación diferencial exacta  N  ( ( x  x , y ) dx + M   (( x , y ) dy =0, si

 d  d   N ( x , y )=   M ( x , y ) dy dx

∫

so soluc lucio ion n dela fo forma rma f   (( x , y )=C , do dond ndee   1 ¿ f   (( x , y )=  Ndx = g (  xx , y )+ h ( y ) ,ademas d dg '   f   (( x , y ) = + h ( y )= M   (( x , y ) encuentroh ( y )  y reemp eemplazoen lazoen 1 dy dy

Ecuación diferencial no exacta factor integrante  N   ((  xx , y ) dx + M   (( x , y ) dy = 0  Al multiplicar la ecuacion por el factor integrante μ obtenemos una edo exacta

dond dondee μ : δN  δM   − δy δx si   =f  ( ( x ) ; μ ( x )=e∫ f  ( ( x ) dx  M  δM  δN   − δx δy   =f  ( (  y ) ; μ ( y ) =e∫ f  ( (  y ) dy  N  δM 

 −

δN 

δy  =f  ( ( x )+ g ( y ) ; μ ( x , y )= e∫ f  ( x ) dx +∫ g ( y ) dy δx  N − M 

Ecuación Lineal de primer orden dy  p ( x ) dx   d ,  [ μ y ] = μf  ( ( x ) ; d [ μ y ] =  μf ( x ) dx   + p ( x ) y = f   (( x ) , do dond ndee μ ( x )=e∫ dx dx

∫

Ecuación Diferencial homogénea f  ( ( tx,ty ) =t  f   (( x , y ) hom homogen ogenea ea de grado grado alfa α 

 N   ((  xx , y ) dx + M   (( x , y ) dy = 0, entonc entonces es si N y M son son homogeneas homogeneasdelmismo delmismo grado

 

la sustit sustituc ucion ion x =uy y =!y me garan garantiz tiza a un una a edo edo sepa separab rable le

Ecuación de Bernoulli  y + p ( x )  y =f  ( ( x )  y tomam tomamos os el cambi cambio o de "ariab "ariableu leu = y ' 

n

1−n

 y obtenemos obtenemos una edo lineal de primer orden orden

Ecuación de Ricatti dy + p ( x ) y + # ( y )  y 2= f   (( x  x ) ; si conoce conocemos mosuna unasol solucio ucion n particular particular y 1 entonces dx hacemos hac emosel el cambio cambio de "ariable "ariable y =u + y 1 y obtenemo obtenemoss unaecu una ecuaci acin n de $ernoull $ernoullii

Edo lineal orden superior an ( x ) y + a n−1 ( x ) y n

n−1

% % % .. + a1 ( x ) y + a0 ( x ) y =g ( x ) 1

Podemos garantizar la unicidad de la solución en un problema de valor inicial si a&  ( x  x ) sea sean n contin continuas uasen en elint el inter"a er"alo lo de las condic condicione ioness iniciale inicialess   an ( x ) ' 0   pa para racu cual al#ui #uier er x enel inter" inter"alo alo#u #uee anali analice cemos mos g ( x  x ) sea continu continua a en elinter"alo elinter"alo   La solución de una Edo de este tipo viene dada por  y = y h + y p la solucionhomoge solucionhomogeneamas neamas la parti particula cularr el numero numero de solucio soluciones nes homoge hom ogenea neass es esigu igual al al grado gradode de la ecuacio ecuacion n

Método Reducción de Orden } +p(x) {y} ^ {'} +q(x)y=0 si tengo una solucion {y} rsu {1} a esta e!o pue!o "allar otra con ¿  y

 y 2= y 1

∫

−  p (  xx ) dx e ∫    y 21

 

Ecuaciones Lineales con coecientes constantes n

an  y + an −1  y

n− 1

1

% % % .. + a1 y + a0  y = g ( x )

Lineales homogéneas } + {a} rsu {1} {y} ^ {'} + {a} rsu {0} y=0 y=0 ,

m 1 x

m 1  m 2  y h=c 1 e

m 1 =m 2  y h=c 1 e

otene#os las raices #1 y #2 y las soluciones $ienen !a!as ¿ a2  y

+ c 2 e m 2 x

m 1 x

+ c 2 x em 1 x

c 1 cos ( bx )+ c 2 sen ( bx ) ax

m 1 =a + bi;m 2= a− bi y h= e ¿

Coecientes ndeterminados !método superposición"

Método del anulador

 

#ariación #ar iación de par$metros

%eries de potencias &untos singulares  y +p(x)y'+q(x)y=0 2 ( x −a )  p ( x ) =g ( x  x ) ( x −a ) # ( x )=h ( x ) ,s i g ( x )  y h ( x ) son son cont continu inuas as en a

para puntos ordinarios podemos hallar una función de la forma (

( x − a ) C  ∑ = n

n

n 0

Para puntos singulares regulares (

( x − a ) + C  ∑ = n r

n

n 0

si r 1−r 2  0 r 1− r 2 ∈ ) (

 y 1=

( x − a ) ∑ =

n+ r 1

(

C n ; y 2=

n 0

∑= ( x x −a ) +

n r2

$n

n 0

+¿

¿

si r 1−r 2  0 r 1− r 2 ∈ *  (

 y 1=

( x − a ) ∑ = n 0

n+ r 1

(

C n ; y 2= c y 1 ln ( x −a )

+ ( x −a ) ∑ =

n r2

n 0

$n

 

si r 1=r 2 (

 y 1=

( x − a ) ∑ = n 0

n+ r 1

(

C n ; y 2= c y 1 ln ( x −a )

( x −a ) + ∑ =

n r2

n 0

$n