Formulario de Vectores y Matrices (1)
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PRODUCTO ESCALAR u •v
= u1 ⋅ v1 + u 2 ⋅ v2 + u3 ⋅ v3
/
u • v = u ⋅ v ⋅ cos ϕ
PROYECCIÓN
proy v u =
u •v 2
/
⋅v
v
proy v u =
u •v v
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO/ESPACIO d ( p, q )
= ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO x + x 2 , y1 + y 2 , z 1 + z 2 M ( x m , y m ) = 1 2 2 2 PRODUCTO VECTORIAL u
×
v
u ×v
=
=
u
⋅
v
⋅ senϕ
i
j
k
u1
u2
u3
v1
v2
v3
= ( u 2 ⋅ v3 − u 3 ⋅ v 2 ) i − ( u1 ⋅ v3 − u 3 ⋅ v1 ) j + ( u1 ⋅ v 2 − u 2 ⋅ v1 ) k
PRODUCTO MIXTO
u • ( v × w)
=
u1
u2
u3
v1
v2
v3
w1
w2
w3
= u1 ⋅ ( v2 ⋅ w3 − v3 ⋅ w2 ) − u 2 ⋅ ( v1 ⋅ w3 − v3 ⋅ w1 ) + u3 ⋅ ( v1 ⋅ w2 − v2 ⋅ w1 )
ECUACIONES DE PLANOS Ecuación vectorial (vector normal): ( x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ) ⋅ ( n1 , n2 , n3 ) = 0 Ecuación vectorial (vectores paral.): ( x, y, z ) = ( x0 , y 0 , z 0 ) + λ 1 ⋅ ( u1 , u 2 , u 3 ) + λ 2 ⋅ ( v1 , v2 , v3 ) Ecuación general: Ax + By + Cz + D = 0
x = x0 + λ 1u1 + λ 2 v1 Ecuaciones paramétricas: y = y0 + λ 1u 2 + λ 2 v2 z = z 0 + λ 1u3 + λ 2 v3 x
Ecuación segmentaria:
+
y
+
z
− D A − D B − DC
=1
ÁNGULO ENTRE PLANOS A ⋅ A + B ⋅ B + C ⋅ C cosθ = A + B + C ⋅ A + B + C DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO A ⋅ x1 + B ⋅ y1 + C ⋅ z 1 + D d ( P 1 , π ) = A 2 + B 2 + C 2 1
2 1
2
2 1
1
2
2 1
1
2 2
2
2 2
2 2
HAZ DE PLANOS α ( A1 x + B1 y + C 1 z + D1 ) + β ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0
RECTAS EN EL ESPACIO Ecuación vectorial: ( x, y, z ) = ( x0 , y0 , z 0 ) + λ ( u1 , u 2 , u 3 )
Formulario de Vectores y Matrices Elaborado Elaborado por: Ing. Roberto Castellanos Contacto: www.robertocastellanos.como T.68.8!6."#"
1
x = x0 + λ ⋅ u1 Ecuaciones paramétricas: y = y0 + λ ⋅ u2 z = z + λ ⋅ u 0 3 x − x 0 y − y 0 z − z 0 = = Ecuaciones simétricas: u1
u2
u3
ÁNGULO ENTRE RECTAS u •v
cos θ =
u ⋅ v
ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO u ⋅ A + u ⋅ B + u ⋅ C senϕ = u + u + u ⋅ A + B + C DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 1
2 1
2
2 2
u
(
d P , R 1
)
3
2 3
2
2
2
P × P 0
1
=
u
DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS d ( R, S ) =
P 0 P 1 • ( u × v )
u ×v
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2
MATRICES – DETERMINANTES PROPIEDADES DE LA ADICIÓN: A, B ∈ ℜ m×n ⇒ A + B ∈ ℜ m×n • • • • •
( A + B ) + C = A + ( B + C ) A + N = N + A = A A + ( − A ) = ( − A ) + A = N
A + B = B + A
PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR •
α
∈ ℜ ∧ A ∈ ℜ m×n ⇒ α . A ∈ ℜ m×n
•
( α .β ) A = α ( β . A ) ( α + β ) A = α A + β A α ( A + B ) = α A + α B
•
1. A = A
• •
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES •
( A. B ) C = A( B.C ) A( B + C ) = A. B + A.C
•
A. B ≠ B. A
•
• •
A.B=A.C no se cumple que B=C A.B=N no necesariamente A=N v B=N
PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS • • •
( A + B ) t = A t + B t ( α . A ) t = α . A t ( A. B ) t = B t . A t
= ( A + A t )
t
•
A + A t
•
A. A t = ( A. A t )
•
A − A t = −( A − A t )
t t
PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERSIBLES Si una matri es inversi!le su inversa es "nica • −1
•
A, B ∈ ℜ n×n ⇒ ( A. B )
•
( A 1 )
•
( α . A) −1 = α 1 . A −1 ∧ α ≠ 0
•
( A )
−
−1
k −1
= B
−1
. A −1
= A
(
= A
−1
)
k
Una mat!" A #$ %t%&%na' ⇔ A. A t = A t . A = I TEOREMA DE CRAMER: si A es una matri inversi!le #e or#en n ⇒ ∀ B ∈ ℜ n×1 el sistema A. X = B tiene e$actamente una solución% que se o!tiene asignan#o a ca#a incognita el cociente #e #os #eterminantes. El #eterminante #el #enomina#or es el #e la matri #el sistema & el #el numera#or es el #e la matri que se o!tiene sustitu&en#o #el anterior la columna #e los coe'cientes #e la incógnita por la columna #e los términos in#epen#ientes. Formulario de Vectores y Matrices Elaborado por: Ing. Roberto Castellanos Contacto: www.robertocastellanos.como T.68.8!6."#"
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TEOREMA DE ROUCH()*ROBENIUS : un sistema #e m ecuaciones lineales con n incógnitas es compati!le si & sólo si el rango #e la matri #el sistema es igual al rango #e la matri amplia#a. Enuncia#o:
Cs
≠ ∅ ⇔ R( A) = R( A B )
ue#en ocurrir #os alternativas: R ( A) = R ( A B ) = n (n el numero #e incógnitas)% el sistema es E*E+,-NA. • R( A) = R( A B) < n % el sistema es -NE*E+,-NA. •
PROPIEDAD: A ∈ ℜ m×n ∧ X ∈ ℜ n×1 ⇒ S = { X / A. X = 0} es su!espacio #e
ℜ
n×1
(el conjunto solución de un
sistema homogéneo es un subespacio) Y su dimensión se define dim S = n − R ( A)
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!
ESPACIOS VECTORIALES n con0unto 1 es un espacio vectorial & se escri!e
(V + ℜ ⋅) , ,
,
si es un con0unto
no vac2o en el que se cumple que: e$iste el vector nulo% para ca#a vector e$iste un opuesto% se cumple una le& #e composición interna en la suma #e vectores & #e composición e$terne en el pro#ucto entre escalares reales & vectores.
SUBESPACIOS VECTORIALES n con0unto S no vac2o e inclu2#o en 1 sien#o
(V + ℜ ⋅) , ,
,
un espacio vectorial% S
es un su!espacio #e 1 si se cumplen las siguientes con#iciones: S ⊂ V
S ≠ ∅
x, y ∈ S ⇒ x + y ∈ S
α ∈ ℜ ∧ x ∈ S ⇒ α ⋅ x ∈ S
+n!,%$ $-.#$a,!%$ 0# +n!,%$ $-.#$a,!%$ 0# que pasen por el origen.
: { ( 0,0) } , ℜ 2 %rectas que pasen por el origen 3 3 ℜ : { ( 0,0,0 ) } , ℜ % rectas que pasen por el origen% planos ℜ
2
COMBINACIÓN LINEAL Sea
(V + ℜ ⋅) , ,
,
espacio vectorial & sean
v1 , v 2 ,..., v r ∈ V 3
4 es com!inación lineal
#e v , v ,..., vr si w = α 1v1 + α 2 v2 + + α r vr con α 1 , α 2 ,, α r ∈ ℜ . Si α 1 = α 2 = = α r = 0 la C.5. es la trivial & se o!tiene el vector nulo. 1
2
SISTEMAS DE GENERADORES Sea
(V + ℜ ⋅) , ,
,
e.v. & sean
v1 , v 2 ,..., v r ∈ V 3
los vectores
v1 , v 2 ,..., vr 6orman
un
sistema #e genera#ores #e 1 o generan a 1 si to#o vector #e 1 pue#e e$prearse como C.5. #e ellos. e'nición: ∀w ∈ V , ∃α 1 , α 2 ,, α r ∈ ℜ / w = α 1v1 + α 2 v2 + + α r v r ropie#a#: Si el sistema { v1 , v 2 ,, v r } inclui#o en 1 es genera#or #e 1 & uno #e los vectores que lo 6orman es C.5. #e los otros% entonces el su!sistema que resulta al suprimir ese vector tam!ién es genera#or #e 1.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 5a ecuación α 1v1 + α 2 v2 + + α r vr = 0 tiene siempre solución trivial Si la trivial es la "nica solución entonces los vectores son linealmente in#epen#ientes.
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"
Si a#em7s tiene otras soluciones% los vectores son linealmente #epen#ientes.
!servaciones & propie#a#es: *o#o sistema que contenga al vector nulo es 5.. *o#o sistema con un "nico vector no nulo es 5.-. El sistema { v1 , v 2 ,, v r } es 5.. si & solo si algunos #e los vectores #el sistema es C.5. #e los restantes. Si un sistema tiene #os vectores no nulos% si uno es m"ltiplo #el otro son 5..3 caso contrario son 5.-. En ℜ 2 & ℜ 3 #os vectores 5.. son paralelos.
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL B = { v1 , v 2 , , v n } es !ase #e 1 ⇔ B es S.8. #e 1 9 B es 5.-. Si se comprue!a cualquiera #e las #os con#iciones &a se pue#e #ecir que es !ase.
5lamamos !ases canónicas #e { (1,0) , ( 0,1) } en ℜ 2
ℜ
n
a por e0emplo:
{( 1,0,0 ) , ( 0,1,0) , ( 0,0,1)} en ℜ 3
DIMENSIÓN *o#o espacio vectorial #e #imensión 'nita que no se re#uca al vector nulo a#mite por lo menos una !ase. Si 1 es un e.v. #e #imensión 'nita% to#as sus !ases tienen el mismo n"mero n #e vectores que se llama #imensión #e 1 & se nota: dim V = n Se #e'ne dim{ 0} = 0 dim ℜ n = n dim ℜ m×n = m ⋅ n dim P n = n + 1
!servaciones: sea dim V = n *o#o sistema con m7s #e n vectores #e 1% son 5.. *o#o sistema con menos #e n vectores #e 1% no generan a 1. *o#o sistema #e n vectores 5.-.% 6orman una !ase #e 1. *o#o S.8. #e 1 con n vectores% 6orman una !ase #e 1
ropie#a#: Sea dim V = n & sea un con0unto #e r vectores (rn) 5.-.% el con0unto pue#e e$ten#erse a una !ase #e 1 agreg7n#ole (n;r) vectores% 6orman#o #e esta manera un con0unto 5.-. #e n vectores #e 1.
BASE DE UN SUBESPACIO B es !ase #e un su!espacio S si B es un con0unto 5.-. & 6orma un S.8. #e S. Si dim V = n & S su!espacio #e 1% entonces dim S ≤ n y si dim S = n ⇔ S = V COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE Formulario de Vectores y Matrices Elaborado por: Ing. Roberto Castellanos Contacto: www.robertocastellanos.como T.68.8!6."#"
#
si B = { u1 , u 2 , , u n } !se de V ∧ v ∈ V ⇒ ∃$α 1 , α 2 , , α n
∈ ℜ / v = α 1u1 + α 2 u 2 + + α n u n
α 1 α 2 Se nota: [ v ] B = α n OPERACIONES CON SUBESPACIOS -ntersección: Sean S?. Nu ( % ) = &er ( % ) = { x ∈ V / % ( x ) = 0$ } El n"cleo #e * es un su!espacio #e 1. IMAGEN DE UNA TRANS*ORMACIÓN LINEAL: sea % V → $ Se llama con0unto imagen #e * al con0unto #e vectores #e ? que son im7genes me#iante * #e al menos un vector #e 1. m( % ) = { y ∈ $ / ∃ x ∈ V ∧ % ( x) = y} 5a imagen #e * es un su!espacio #e ?. TEOREMA DE LAS DIMENSIONES Sea % V → $ trans6ormación lineal dim V = dim Nu ( % ) + dim m ( % ) n = nu(id!d ( % ) + r!n'o( % ) !ien #e otra manera:
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*
TRANS*ORMACIONES MATRICIALES: Sea A ∈ ℜ m×n 3 si se consi#eran los vectores #e ℜ m & los vectores #e ℜ n e$presa#os como matri columna% se pue#e #e'nir la trans6ormación lineal * #e m n ℜ en ℜ como: % ℜ n → ℜ m / % ( X ) = A. X on#e A se llama matri est7n#ar. CLASI*ICACIÓN DE LAS TRANS*ORMACIONES LINEALES Sea % V → $ trans6ormación lineal: * es MONOMOR*ISMO ⇔ * es INYECTIVA ⇔ Nu( % ) = { 0V } * es EPIMOR*ISMO ⇔ * es SOBREYECTIVA ⇔ m( % ) = $ * es ISOMOR*ISMO ⇔ * es BIYECTIVA ⇔ Nu ( % ) = { 0V } ∧ )m(% ) = $ * es ENDOMOR*ISMO ⇔ V = $
TEOREMA *UNDAMENTAL DE LAS TRANS*ORMACIONES LINEALES Sean 1 & ? espacios vectoriales so!re ℜ % & sea B = { v1 , v 2 , , v n } !ase #e 1 & t , t , , t vectores ar!itrarios #e ? ⇒ ∃$ t .( . % V → $ / % ( v1 ) = t i ∀i = 1, , n (Si tenemos una !ase #e 1 con los trans6orma#os #e ca#a uno #e sus vectores entonces po#emos 6ormar una "nica trans6ormación lineal con ellos) En los e0ercicios #epen#ien#o #e los #atos que nos #en se pue#en 6ormar o una "nica trans6ormación lineal% in'nitas o que no e$ista la misma (@a& que compro!ar si son 5.-. los vectores que nos #an o si nos 6altan vectores para armar una !ase) 1
2
n
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANS*ORMACIÓN LINEAL Sean % V → $ t .( . / dim V = n ∧ dim $ = m Sea B1 = { u1 , u 2 ,, u n } !ase #e 1 Sea B2 = { v1 , v2 ,, v m } !ase #e ? 5a trans6ormación lineal * que#a caracteria#a por una matri A ∈ ℜ m× n % sien#o su n"mero #e 'las igual a la #imensión #el co#ominio #e * & su n"mero #e columnas igual a la #imensión #el #ominio #e *. A la matri A se la llama mat!" a$%,!a0a a T #n 'a$ .a$#$ B 6 7 B8: !11 !12 !1n ! 21 ! 22 ! 2 n A = M ( % ) B B = ! ! ! mn m1 m 2 1
2
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10
! 11 ! 21 Sien#o el vector columna las coor#ena#as #e *(u6) en la !ase B8 % el ! m1
!12 ! 22 vector columna las coor#ena#as #e *(u8) en la !ase B8 & el vector ! m 2 !1n ! 2 n columna las coor#ena#as #e *(un) en la !ase B8 . ! mn +ES,-: M ( % ) B B = 1
2
[% ( u ) ] 1
B2
[% ( u ) ] 2
B2
BSE+1AC-N: Sea % V → $ t .( . / dim V = n & B2 = { v1 , v2 ,, v m } !ase #e ?3 entonces: M ( % ) B B
1 2
[% ( u ) ]
n
B2
∧ dim $ = m
% B1 = { u1 , u 2 ,, u n } !ase #e 1%
• [ x] B = [% ( x ) ] B 1
2
AC5A+AC-N: 5as !ases canónicas se suelen #enominar como E & E.
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MATRIZ ASOCIADA A LA TRANS*ORMACIÓN LINEAL INVERSA Sea % V → V *.5. BIYECTIVA (5os su!espacios 1 no tienen que ser necesariamente iguales% tienen que tener igual #imensión) Con dimV = n ⇒ ∃ % V → V *.5. Sea B6 !ase #e 1 & B8 !ase #e 1 & sea A = M ( % ) B B ∈ ℜ m×n ⇒ A −1 = M (% −1 B B −1
1 2
2 1
MATRIZ ASOCIADA A LA COMPUESTA DE TRANS*ORMACIONES LINEALES Sean % 1 V → $ ∧ % 2 ) → V ⇒ ∃% 1 % 2 ) → $ *.5. Con dim ) = n , dim V = p , dim $ = m Sean B6 !ase #e % B8 !ase #e 1 & B9 !ase #e ?3 & sean: m× p ∧ B = M ( % 2 ) B B ∈ ℜ p×n ⇒ M ( % 1 % 2 ) B B = A ⋅ B ∈ ℜ m×n A = M ( % 1 ) B B ∈ ℜ 2
3
1 2
1 3
5a composición se pue#e @acer tanto matricialmente como aplican#o % 1 [% 2 ( x ) ]
MATRIZ CAMBIO DE BASE O DE CAMBIO DE COORDENADAS Consi#eran#o la trans6ormación lineal i#enti#a# Id V → V / Id ( x ) = x Consi#eran#o B1 = {u1 , u 2 ,, u n } !ase #e 1% & B2 = { v1 , v 2 ,, vm } !ase #e ?3 entonces: M ( Id ) B B • [ x] B = [ Id ( x ) ] B = [ x] B 5a matri asocia#a a la i#enti#a# act"a como matri cam!io #e !ase o matri cam!io #e coor#ena#as #e la !ase B6 a la !ase B8. 1 2
1
2
2
NOTACIÓN: M ( Id ) B B = P B → B = P 1 2
*ÓRMULA:
P B → B 1
BSE+1AC-N:
2
1
2
• [ x ] B = [ x ] B 1
B1
( P ⋅ X = X ′)
2
= B2 ⇔ P B → B = I n 1
2
+-EA: 5a matri P B → B es regular & P −1 = ( P B → B 1
2
1
2
) − = P → 1
B2
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B1
12
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES Sea
% V → V en#omor'smo
DE*INICIÓN: El vector x ∈ V es un a-t%#,t% % #,t% %!% #e * ⇔ x ≠ 0 v ∧ ∃ λ ∈ ℜ / % ( x ) = λ ⋅ x . A se lo llama a-t%a'% % a'% %!% asocia#o a $. DE*INICIÓN DE *ORMA MATRICIAL : Sea A ∈ ℜ n×n El vector X ∈ ℜ n×1 es un autovector #e A ⇔ X ≠ 0 ℜ × ∧ ∃λ ∈ ℜ / A. X = λ . X A se lo lama autovalor asocia#o a D. n 1
λ .I A 0 +-EA: λ !utov!(or de A BSE+1AC-N: P ( λ ) = A − λ .I P%'!n%m!% ,aa,t#;$t!,% cu&as ra2ces van a ser los autovalores #e A A 0 E,-a,!3n ,aa,t#;$t!,a. λ .I ⇔
−
−
=
=
BSE+1AC-N: na ve @alla#os los autovalores al reemplaarlos en el sistema @omogéneo A. X = λ . X que es compati!le in#etermina#o que#a 6orma#o un su!espacio #e ℜ n 1 llama#o $-.#$a,!% %!% a$%,!a0% a (o autoespacio): S = { X ∈ ℜ n×1 / A. X = λ . X } MATRIZ SEME1ANTE: na matri B #e or#en n es $#m#
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