Formulario de Trigonometria 2015 - I

 

CICLO ADMISIÓN 2015  – I

FORMULARIO

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Definición: son igualdades en donde intervienen las razones trigonométricas, las cuales se verifican para todo valor admisible de la variable angular. Es decir las razones trigonométricas estén

definidas.

Si asen  x   b cos  x 

I.  Identidades fundamentales

  sen

I.1 Identidades reciprocas

 x  . csc  x   1 cos   x  . sec  x   1 tan   x  . cot  x   1

 sen



csc  x   1 / sen  x 



sec  x 



cot  x 





I.5

1 / cos  x   

 x 

 

 sen 

cos

 x  x

cos

 

 x 

sen

x 

  2

 

csc

2

 x 

sec

cot



2

2

 x 



1

 

 

4

6

 sen

8

 sen

6

2

2

 

I.6

 x   cos  x   1  3sen  x  . cos  x  

x

 2

1  4 sen

8

cos



x

x 

 2

 . cos

 

tan   x   cot  x  sec

2





2

4

2sen



x

 . cos

4

 



 x



2

2

     cot      tan   cos  x 







n



   x      n, m 



2 1   sen  x   1   cos  x    

1 cos  x  cos  x  1 sen  x   x    1  cos   x  1  sen  x  cos  x  sen  x   sen

Si sec  x   tan  x   p Si csc  x   cot  x   q

CEPRE-UNI

 

sec  x   tan  x  csc  x   cot  x 





p

q

1

   x, a, b  

 

1

 



x



 cot    cos  x 

2 

2 



4 

2

x 

 

2

a b

 x 



2

 

: 

 sen(x)  cos(x ) 

2 x

(x)  cos 2n(x )  1

2n

2

 

: 

2n

    sen

2n  1

 

x

sen

2

x

1

 x   csc  x   sec  x  csc  x 

1   sen  x   cos  x  

c

 Algunas desigualdades importantes

 

2

 



 1  2 sec

x



x

x 

sec  x  csc  x  2

 sen

   x 

 x

2

b

4  x

     tan  

 x   cos 4  x   1  2sen2  x  . cos 2  x 

c



( ) tan (x )     tan   6 6 2 2  sec  x   tan  x   1  3 sec (x) tan (x )   4 4 2 2  csc  x   cot  x   1  2 csc (x) cot ( x )   6 6 2 2  csc   x   cot  x   1  3 csc ( x) cot ( x )    

I.4 Identidades auxiliares  sen

2



4

 x   tan2  x   1

b

Identidades adicionales 

 sec

 

 x   cos 2  x   1



 x   cos2  x   1  se n2 (x) cos 2(x)   4 2 2 2  cos  x   sen  x   1  se n ( x) cos ( x )   2 2 sen  x  tan2 (x).sen2(x )    tan  x  2 2 2 2  cot   x   cos  x   cot ( x). cos ( x )  

I.3 Identidades Pitagóricas  sen

2

4

1 / tan  x 



cos  x 



c



  cot  x 



a

a



 se n

I.2 Identidades por cociente tan

 x 

c



2m

n



n

m

m

n m

 

 n  m

: 

2

asen(x)  b cos(x) 

 n  2  / 

n

  

a b



,

a tan(x)  b cot(x) 

a b

 

: 2 ab

TRIGONOMETRÍA

 

-1-

2

 

 

CICLO ADMISIÓN 2015  – I

FORMULARIO

II.  Identidades de los ángulos compuestos

 Algunas aplicaciones de esta esta identidad son:  

Si

II.1 Para la suma d de e dos ángulos



 sen x cos



y



  sen  x  cos  y   sen  y  cos  x 

 

Si

 x  y   cos  x  cos  y   sen x  sen y    tan  x



y

 x  y  45  

tan  x  tan  y       1  ta tan  x  tan  y 



(1  tan( x )) )) 1  tan(y)  2  

 x  y  30  

( 3  tan( x))



3  tan(y)



y

  sen x  cos  y   sen y  cos  x 

 

cos( x  y  z)





y



 

cos( cos( x)cos( )cos(y)cos( )cos(z)

 cos

  x

cos

  y



 

 

sen x sen y

 tan  x   tan  y  tan  x  y   1  ta tan  x  tan  y 

tan( x  y  z) 

 



 sen x

cos  x

 





y sen x





y cos x

 

y y

  sen2 x  sen2y

  cos

2

x



2

 Donde

tan() 

Con frecuencia identidades

2

a b

2

 

 

Si x  y  z

 



1  S2

….(*) 



 2n  1



2

;n   

tan  x  tan  y   tan  y  tan  z   tan  z  tan  x   1

.sen  x    

cot  x   cot  y   cot  z   cot  x  cot  y  cot  z 

 

b a

se

utiliza

las

siguientes

Si x  y  z  n ; n   Entonces

 

cot  x  cot  y   cot  y  cot  z   cot  z  cot  x   1 tan  x   tan  y   tan  z   tan  x  tan  y  tan  z 

Identidades adicionales

 

 



tan x ta t an y tta an x



y







tan x



y

 

2

Si x  y  z  sen

Si x  y   entonces

 cot()  tan( x)  cot()  tan(y)  c  sc 2()

cos

2

0 2

  2

 y   cos  z   2 cos  x  ccoos  y  cos  z   1

 

 / 2

2

  2

 x   sen  y   sen  z   2sen  x  sen  y  sen  z   1

Si x  y  z  



cos  x   cos 2

CEPRE-UNI

S1  S3

 

 Entonces

tan  x   tan  y   tan  x  tta an  y  ta tan  x  y   tan  x  y    tan y

1  S2

 A partir de la identidad identidad (*) se presentan estos casos particulares.

Si x  y  z





S2   :tan :tan(x)tan )tan(y)  ta tan n(y) ta tan n(z)  ta tan n(z)tan )tan(x)     S3   : ta tan( n(x)tan( )tan(y)tan( )tan(z)  

 sen  x   cos  x   2.sen  x   45    3. sen  x   cos  x   2.sen  x   30      sen  x   3. cos  x   2.sen  x   60 

 

 

sen y

  sen  x  y  tan  x   tan  y   cos  x  cos  y    sen  y  x  cot  x   cot  y    sen  x  sen  y  a.sen  x   b. cos  x  

S1  S3

Donde: S1 : tan( x)  tan(y)  tan(z)  

II.3 Identidades auxiliares

tan  x



cos( cos( x)cos( )cos(y)cos( )cos(z)



 x

 

II.4 Identidades para tres ángu ángulos los

II.2 Para la diferencia de dos ángulo ánguloss

cos

4



 

 sen(x  y  z)  sen x



 

2

  2

cos  z   1  x   cos  y   cos  z   2 cos  x  ccoos  y  co

TRIGONOMETRÍA

-2-

 

CICLO ADMISIÓN 2015  – I

FORMULARIO

III.  Identidades de los ángulos múltiples

III.1 Identidades del ángulo doble  sen

 sen

 2x 



 2x 



ta tan n  2 x 

2sen  x  cos  x   

2tan    x  1



tan

2





2



( 2)

 

1  cos x

1  cos x 

x

cos( 2 )

2

 x 



1  cos x 

 x



 

2  

1  cos  x 

Nota: El signo que se considerara, dependerá del cuadrante al cual pertenezca x/2 y de la razón trigonométrica.

 x   1  cos  2x   

También 1   tan

1 

8 co cos 4 ( x)  3  4 co cos(2 x)  cos(4 x )  

ta tan n( ) 2

2 cos



 

 x

Identidades para degradar

 x   1  cos  2x 

sec  2x 

8 sen4 (x)  3  4 co cos(2x)  cos(4 x )  

 sen

cos  2 x   1  2sen2  x     2 cos  2 x   2 cos  x   1

2



 

Otras formas del cos(2x)

2 sen

x

III.2 Identidades del ángulo ángulo mit mitad ad

2sen  x  cos  x   



  tan 2 x tan

2

También  x x  tan( )  csc  x   cot  x  cot( )  csc  x   cot  x    2 2

 x   sen  2x   1  tan2  x  c  os  2x   1  tan2  x    III.3 Identidades del ángulo ángulo trip triple le 3  sen  3 x  3sen x  4 sen  x    2   tan  x 



Una forma práctica de recordar estas dos identidades, es utilizando la siguiente figura

cos  3 x 



tan  3 x 



4 cos



3

 x

3  tan   x  1





3 cos  x    3

 x  2 3 tta an   x  

tan

 

Identidades para degradar 3

4 sen

3

4 cos

Identidades auxiliares  

 sen

cot  x 

 

 sen

 

 sen

 

4

6



tan  x 



 x

 



x

3 cos 





 

x 

cos  3



Identidades auxiliares

cot  x   tan  x   2 csc  2x   

 

 x   3sen x   sen 3x 

 

 

 x   cos6  x  

3 4

1 

5 8

4 3



8





tan  3 x   tan  x  (

2 c  os  2 x   1 ) 2 cos  2 x   1

cos  3 x 

2 cot  2x   

 x   cos4  x  

 3 x   sen  x   2 cos  2x   1

cos  4 x   



cos  x  2 cos  2 x   1

 

 

cos  4 x   

 3 x   4 sen  x  sen  60  x  sen  60  x  cos  3 x   4 co cos  x  cos  60  x  cos  60  x  tan  3 x   tan  x  tan  60  x  tan  60  x 

 sen

1   sen  2x   2

 

2

   cos  x   

sen x

2

sec  x   csc  x   4 csc  2 x      tan  2 x  cot  x   sec  2 x   1  

CEPRE-UNI

TRIGONOMETRÍA

-3-

 

 

CICLO ADMISIÓN 2015  – I

FORMULARIO

Identidades adicionales

Determinamos las identidades condicionales

 sen3 (x)  cos 3 (y) 3      Si x  y  30  4  sen(x)  cos(y)

Si A  B  C  180, entonces  

 

 A B C )cos( )cos )cos( )    sen  A   sen  B  sen  C    4 cos( )cos

   

tan( x )  tan(x  60)  tan(x  120)  3 tta an(3 x )

2

 

2

2

csc( x)  csc(x  120)  csc(x  240)  3cs 3csc(3 x )   cos  A   cos  B   cos  C   1  4 sen( A )sen( B )sen( C )   2

sec( x)  sec(x  120)  sec(x  240)  3 se sec(3 x )

  IV.  Transformaciones  Transformaciones trigonométricas

 sen  2 A   sen  2B   sen  2C 



cos  2 A   cos  2B   cos  2C   1 

4

2

2

4 sen( A)sen(B)sen(C)    

cos  A  cos  B  cos  C 

En general, para k      sen  2kA   sen  2kB   sen  2kC  

Caso 1 

 x

   sen  y   2sen(

 sen x

2 

 x

   sen  y   2sen(

 sen x

y

y

2

 x

cos  x   cos  y   2 cos(



y

2

cos  x   cos  y   2sen( x



2

) cos( ) cos(

) cos(



x

y

2 

x

y

2

x



y

2

y )sen( x

4

)

2

)

  sen  x  kr  

sen x

   sen  y   sen  z   sen  x  y  z  

2

y

)sen(

y



2

z

)sen(

z



2

k 1

 x  y

4 cos(

CEPRE-UNI

 

2

) cos(

yz

2

) cos(

z  x   

2

)

2

) cos(

 sen(

Otras series (n 

r 

2

P U  

2

)

 

)

) 

cos(

3 (2n  1) )  cos( )  ... cos( 2n  1 2n  1 2n  1

cos(

4 2n 1 )  cos( )  ... cos( ) 2n  1 2n  1 2n  1 2

 sen

)

nr

Donde consideramos que n: número de términos r: razón de la P.A. P: primer ángulo U: último ángulo

 

x 

 sen(

 cos  x  kr  



tan(



1 2

2

2 )sen( )  ... 2n  1 2n  1 

cos(

cos  x   cos  y   cos  z   cos  x  y  z  

)

 sen( 2)

n

(

 sen x

4 sen(

2

Serie de cosenos para ángulos en progresión aritmética

 A partir de las siguientes identidades

 x

2

P U  

)sen( r 

1

  y   sen  x  y  2 cos  x  cos  y   cos  x  y   cos  x  y    2 sen  x  sen  y   cos  x  y   cos  x  y  

nr

k 

y)

( )  sen(x   120)  0     cos( x  120)  cos(x)  cos( x   120)  0     3 2 2 2    sen ( x  120)  sen ( x)  sen ( x   120)    2   3 2 2 2   cos ( x  120)  cos ( x )  cos ( x   120)    2 Caso 2 



 sen(

n

sen x

2 sen  x  cos  y 

 sen  kA  sen  kB  sen  kC 

Serie de senos para ángulos en progresión aritmética

)

 Algunas aplicaciones    sen(x  120) 

 1

 

 

 



  k  1

(

sen

n

) 2n  1  

2n  1

   

 

n

2

n 2 1   ) cos( )  ... cos( ) 2n  1 2n  1 2n  1   2



n

 ) tan( 2 )  ... tan( n )  2n  1   2n  1 2n  1 2n  1

TRIGONOMETRÍA

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