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Formulario de Prec´ alculo. 1.
5. Leyes de los logaritmos. a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q) P b) loga = loga (P ) − loga (Q) Q
Los N´ umeros.
1. Leyes de los exponentes y radicales. m n
a) a a = a d)
a n b
g) a1/n j)
m+n
m n
b) (a ) = a
n
mn
c) loga (Qn ) = n loga (Q)
n
c) (ab) = a b
m
a bn √ = na
a = am−n an √ h) am/n = n am r √ n a a k) n = √ n b b
=
e)
√ √ √ n n ab = n a b
n n
d ) aloga (x) = x
1 an √ m = ( n a)
f ) a−n =
e) loga (ax ) = x
i) am/n
f ) loga (1) = 0
l)
p√
m
n
a=
g) aloga (a) = 1
√ a
mn
h) log(x) = log10 (x)
2. Productos Notables.
i) ln(x) = loge (x) 2
a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y 2
2
2
b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y
j ) Cambio de base:
2
c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3
loga (Q) =
logb (Q) logb (a)
2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas
2
d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2 2
e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2 3
f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3
6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.
3
g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3
a) La Ecuaci´ on Cuadr´ atica: ax2 + bx + c = 0 tiene soluciones: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a 2 El n´ umero b −4ac se llama discriminante de la ecuaci´on. i) Si b2 − 4ac > 0 las ra´ıces son reales y diferentes. ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ıces son reales e iguales. iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ıces son complejas conjugadas.
4
h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4 5
j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5 k ) (x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5 3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces: (x + y)n =
n X n n−r r x y r r=0
b) Para la Ecuaci´ on C´ ubica: x3 + ax2 + bx + c = 0 sean:
n n! Nota: = n Cr = r!(n − r)! r
3b − a2 9ab − 27c − 2a3 , R= 9 54 q q p p 3 3 S = R + Q3 + R 2 , T = R − Q3 + R 2 Q=
4. Factores Notables. a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y) b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) 3
3
2
Entonces las soluciones son: a x1 =S + T − 3 S+T a x2 = − + + 2 3 S+T a x3 = − + − 2 3
2
c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y )
d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2 e) x2 − y 2 = (x − y) (x + y)
f ) x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2
g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2
h) x4 − y 4 = (x − y) (x + y) x2 + y 2
i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4
j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4 k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2 l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2 m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2 1
√ ! (S − T ) 3 i 2 √ ! (S − T ) 3 i 2
El n´ umero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuaci´on. i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra´ız real y dos son complejas conjugadas. ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ıces son reales y por lo menos dos son iguales. iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ıces son reales y diferentes.
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3.
Funciones Trigonom´ etricas.
3.1.
Relaciones nom´ etricas. csc(A) =
entre
1 sen(A)
Funciones
cos3 (A) =
1 sec(A) = cos(A)
sec (A) − tan (A) = 1
sen(A) cos(A)
csc2 (A) − cot2 (A) = 1
tan(A) =
1 2
cos2 (A) =
1 2
3
sen (A) =
4.
3 4
−
1 2
+
1 2
sen5 (A) =
5 8
sen(A) −
5 16
sen(3A) +
1 16
sen(5A)
cos5 (A) =
5 8
cos(A) +
5 16
cos(3A) +
1 16
cos(5A)
cos(2A) +
sen(A) −
cos(4A)
2
3.3.
Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonom´ etricas.
sen(A) + sen(B) = 2 sen
A+B 2
sen(A) − sen(B) = 2 sen
A−B 2
cos(A) + cos(B) = 2 cos
A+B 2
cos(A) − cos(B) = 2 sen
A+B 2
sen(A) sen(B) =
1 2
cos(A) cos(B) =
1 2
sen(A) cos(B) =
1 2
cos(2A) 1 4
1 8
+
cos(2A)
sen(3A)
cos
A−B 2
cos
A+B 2
cos
A−B 2
sen
B−A 2
cos(A − B) − cos(A + B)
sen(A − B) + sen(A + B)
cos(A − B) + cos(A + B)
Funciones Hiperb´ olicas.
Seno hiperb´olico de x = senh(x) =
ex − e−x 2
Coseno hiperb´olico de x = cosh(x) =
Cosecante hiperb´olica de x = csch(x) =
ex + e−x 2
Tangente hiperb´olica de x = tanh(x) =
4.1.
1 2
3 8
Potencias de Funciones Trigonom´ etricas.
sen2 (A) =
cos(3A)
cos4 (A) =
cos(A) 1 = cot(A) = sen(A) tan(A)
3.2.
1 4
cos(A) +
3 1 1 4 Trigo- sen (A) = 8 − 2 cos(2A) + 8 cos(4A)
sen2 (A) + cos2 (A) = 1
2
3 4
Secante hiperb´olica de x = sech(x) =
ex − e−x ex + e−x
2 ex − e−x
2 ex + e−x
Cotangente hiperb´olica de x = coth(x) =
ex + e−x ex − e−x
Relaci´ on entre las Funciones Hiperb´ olicas.
tanh(x) =
coth(x) =
senh(x) cosh(x) 1 cosh(x) = tanh(x) senh(x)
sech(x) =
1 cosh(x)
cosh2 (x) − senh2 (x) = 1 sech2 (x) + tanh2 (x) = 1
1 csch(x) = senh(x)
coth2 (x) − csch2 (x) = 1
2
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Formulario de C´ alculo.
Funciones Trigonom´ etricas:
Derivadas. En este formulario: k, c ∈ R son constantes reales, f = f (x), u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x. F´ ormulas B´ asicas: Funci´ on:
Su Derivada:
f =k
f′ = 0
Funci´on:
Su Derivada:
f = sen(u)
f ′ = cos(u) · u′
f = cos(u)
f ′ = − sen(u) · u′
f = tan(u)
f ′ = sec2 (u) · u′
f = csc(u)
f ′ = − csc(u) cot(u) · u′
f = sec(u)
f ′ = sec(u) tan(u) · u′
f = cot(u)
f ′ = − csc2 (u) · u′
Linealidad de la derivada: f =k·u
f ′ = k · u′
f =u±v
f ′ = u′ ± v ′
f =k·u±c·v
′
′
f =k·u ±c·v
Funciones Trigonom´ etricas Inversas: Funci´on:
f = arc cos(u)
u′ ; f′ = −√ 1 − u2
f = arctan(u)
f′ =
f = arccsc(u)
u′ f′ = − √ u u2 − 1
f = arcsec(u)
u′ ; f′ = √ u u2 − 1
f = arccot(u)
f′ = −
′
Regla del Producto: f =u·v
f = arc sen(u)
Su Derivada: u′ f′ = √ ; |u| < 1 1 − u2
f ′ = u · v ′ + v · u′
Regla del Cociente: u f= v
v · u′ − u · v ′ f′ = v2
Regla de la Cadena (Composici´ on de funciones) f = u(x) ◦ v(x)
f ′ = [u(v(x))]′ · v ′ (x)
Regla de la Potencia: f = vn
f ′ = n · v n−1 · v ′
f = k · vn
f ′ = k · n · v n−1 · v ′
f ′ = eu · u ′
f = au
f ′ = au · ln(a) · u′
Funciones Logar´ıtmicas: f = ln(u) f = loga (u)
u′ f = u ′
f′ =
u′ 1 + u2
u′ ; 1 + u2
|u| > 1 |u| > 1
Funciones Hiperb´ olicas:
Funciones Exponenciales: f = eu
|u| < 1
u′ u · ln(a)
Una Funci´ on elevada a otra Funci´ on: v · u′ v ′ v ′ f =u f = u v · ln(u) + u 3
Funci´on:
Su Derivada:
f = senh(u)
f ′ = cosh(u) · u′
f = cosh(u)
f ′ = senh(u) · u′
f = tanh(u)
f ′ = sech2 (u) · u′
f = csch(u)
f ′ = −csch(u) coth(u) · u′
f = sech(u)
f ′ = −sech(u) tanh(u) · u′
f = coth(u)
f ′ = −csch2 (u) · u′
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[email protected] Funciones Hiperb´ olicas Inversas:
17)
Funci´ on:
Su Derivada:
18)
f = arcsenh(u)
u′ f = √ 1 + u2
19)
f = arccosh(u)
f = arctanh(u) f = arccsch(u)
f = arcsech(u)
f = arccoth(u)
′
u′ f′ = √ ; u2 − 1 f′ =
′
u ; 1 − u2
f′ = −
20)
′
u √ ; |u| 1 + u2
u′ f = ; 1 − u2
22)
|u| < 1
u′ f′ = − √ ; u 1 − u2 ′
21)
|u| > 1
23)
u 6= 0
24) 25)
0 0
s−b (s − b)2 − a2
ebt cosh(at)
1 (s − a)(s − b)
ebt − eat b−a
1 + a2
+
R
+
R
coshn−2 (au)du
senh(au) un−1 du n−2 n−1
R
du coshn−2 (au)
Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f (s)
s2
cosh(au) a2
−
con k = constante
con n = 0, 1, 2, . . .
con n > 0
sen(at) a
12
con a 6= b
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f (s)
F (t)
f (s) s5 + a2 )3
F (t) (8 − a2 t2 ) cos(at) − 7at sen(at) 8
s (s − a)(s − b)
bebt − aeat b−a
1 (s2 + a2 )2
sen(at) − at cos(at) 2a3
3s2 − a2 (s2 + a2 )3
t2 sen(at) 2a
s (s2 + a2 )2
t sen(at) 2a
s3 − 3a2 s (s2 + a2 )3
1 2 t 2
cos(at)
s2 (s2 + a2 )2
sen(at) + at cos(at) 2a
s4 − 6a2 s + a4 (s2 + a2 )4
1 3 t 6
cos(at)
s3 (s2 + a2 )2
cos(at) − 21 at sen(at)
s3 − a2 s (s2 + a2 )4
t3 sen(at) 24a
s2 − a2 (s2 + a2 )2
t cos(at)
1 (s2 − a2 )2 s (s2 − a2 )2
con a 6= b
(s2
1 − a2 )3
(3 + a2 t2 ) senh(at) − 3at cosh(at) 8a5
at cosh(at) − sinh(at) 2a3
(s2
s − a2 )3
at2 cosh(at) − t senh(at) 8a3
t senh(at) 2a
(s2
s2 − a2 )3
at cosh(at) + (a2 t2 − 1) senh(at) 8a3
(s2
s3 − a2 )3
3t senh(at) + at2 cosh(at) 8a
(s2
s4 − a2 )3
(3 + a2 t2 ) senh(at) + 5at cosh(at) 8a
(s2
s5 − a2 )3
(8 + a2 t2 ) cosh(at) + 7at senh(at) 8
(s2
s2 − a2 )2
senh(at) + at cosh(at) 2a
(s2
s3 − a2 )2
cosh(at) + 12 at senh(at)
s2 + a2 (s2 − a2 )2
(s2
t cosh(at)
(s2
1 + a2 )3
(3 − a2 t2 ) sen(at) − 3at cos(at) 8a5
3s2 + a2 (s2 − a2 )3
t2 senh(at) 2a
(s2
s + a2 )3
t sen(at) − at2 cos(at) 8a3
s3 + 3a2 s (s2 − a2 )3
1 2 t 2
cosh(at)
(s2
s2 + a2 )3
(1 + a2 t2 ) sen(at) − at cos(at) 8a3
s4 + 6a2 s + a4 (s2 − a2 )4
1 3 t 6
cosh(at)
(s2
s3 + a2 )3
3t sen(at) + at2 cos(at) 8a
s3 + a2 s (s2 − a2 )4
t3 senh(at) 24a
(s2
s4 + a2 )a3
(3 − a2 t2 ) sen(at) + 5at cos(at) 8a
1 s3 + a3
eat/2 3a2
13
√
3 sen
√
3at − cos 2
√
3at + e−3at/2 2
!
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[email protected] f (s)
F (t)
s s3 + a3
eat/2 3a
s2 s3 + a3
1 3
1 s3 − a3 s s3 − a3 s2 3 s − a3 1 s4 + 4a4 s s4 + 4a4 s2 s4 + 4a4
cos
3at √ + 3 sen 2
√
3at − e−3at/2 2
!
! √ 3at −at at/2 e + 2e cos 2
e−at/2 3a2
e3at/2 − cos
√
e−at/2 3a
1 3
√
eat
+
3 sen
√
√
2e−at/2 cos
3at 2
!
3at + e3at/2 2
!
3at √ − 3 sen 2
3at − cos 2
√
√
s2 s4 − a4
1 senh(at) + sen(at) 2a
s3 − a4
1 √ s+a+ s+b
1 s s+a
1 sen(at) cosh(at) + cos(at) senh(at) 2a
1 senh(at) − sen(at) 2a3
1 cosh(at) − cos(at) 2a2
√
sen(at) senh(at) 2a2
1 s4 − a4
s s4 − a4
√
1 sen(at) cosh(at) − cos(at) senh(at) 4a3
cos(at) cosh(at)
F (t)
s4
! √ 3at 2
s3 s4 + 4a4
f (s)
√
1 s(s − a)
√
1 s−a+b
√
s2 + a2
√
14
1
1 s2 − a2
1 cosh(at) + cos(at) 2 e−bt − e−at √ 2(b − a) πt3 √ fer at √ a √ eat fer at √ a
eat
√ 1 2 √ − beb t fcer b t πt
J0 (at)
I0 (at)
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A en grados
A en radianes
sen A
cos A
tan A
cot A
sec A
csc A
0◦
0
0
1
0
∞
1
∞
15o
π/12
30o
√ 1 √ 6− 2 4
π/6
1 2
√ 1 √ 6+ 2 4
45o
π/4
60o
π/3
75o
5π/12
90o
π/2
105o
7π/12
120o
2π/3
1√ 3 2
135o
3π/4
1√ 2 2
150o
5π/6
1 2
165o
11π/12
180o
π
195o
13π/12
210o
7π/6
225o
5π/4
−
1√ 2 2
240o
4π/3
−
1√ 3 2
255o
17π/12
270o
3π/2
285o
19π/12
300o
5π/3
−
1√ 3 2
315o
7π/4
−
330o
11π/6
345o
23π/12
360o
2π
2−
√
3
2+
√
√
3
6−
1√ 3 2
1√ 3 3
√
1√ 2 2
1√ 2 2
1
1
√
1√ 3 2
1 2
√
1√ 3 3
2
√ 1 √ 6+ 2 4
√ 1 √ 6− 2 4
1
0
√ 1 √ 6+ 2 4
√ 1 √ 6− 2 4
−
√ 1 √ 6− 2 4 −
−
1 2
√ 1 √ 6+ 2 4 −1
−
√ 1 √ 6+ 2 4
√ 3
√ − 3
−
1√ 2 2
−1
−
1√ 3 2
−
√ 1 √ 6+ 2 4
− 2−
1√ 3 3
2−
√ 3
√
3
− 2− −
√
3
√ 3
−
√
√
6+
√ 3
−
√
√
6−
−
√
6−
1√ 3 2
1√ 3 3
√
−
1√ 2 2
1
1
√ − 2
1 2
√
1√ 3 3
−2
√ 1 √ 6− 2 4 0
2+
√
3
2−
− 2+
√ 3
1√ 2 2
1√ 2 2
−1
1 2
1√ 3 2
−
√ 1 √ 6− 2 4
√ 1 √ 6+ 2 4
− 2−
1
15
3
−
√
− 2− −
√ 3
√ 3
√
1√ 3 3
√
6−
√
6+
√
√ 3
√ 2
√
∓∞
1
√
2
±∞ √ 2
−
√
6+
√ 2
−2 √ − 2 −
√ 2
−
√
√
2
−
√ −
√
2√ 3 3 6−
√ 2
−1 6−
√ 2
2√ 3 3
√ − 2
2
6−
2
2
6+
2√ 3 3 √
√
2
2√ 3 3
6+
2
2√ 3 3
2
√ − 3 − 2+
√ 2
∓∞
−1
1√ 3 3
0
√
−
0
±∞
√ 1 √ 6− 2 4
3
√
1
−1 3
2
2
6−
2√ 3 3
−
3
√
2
√ − 2 −
√
2√ 3 3
−2
√ − 3
2+
√
±∞
1√ 3 3
− 2+
6+ 2
2
6+
±∞
√ − 3
0
√
−1
0
√ 1 √ 6+ 2 4
− −
2−
√
2
2√ 3 3
3
0
1 2
− −
− 2+
−1 −
3
1 2
0 −
√
±∞
√ 1 √ 6− 2 4 −
−
2+
3
√
−2 2
−
√
6+
∓∞
√ 2
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[email protected] Definici´ on 1. Ecuaci´ on en Variables Separadas. Consideremos la ecuaci´on con forma est´andar: M (x)dx + N (y)dy = 0
(1)
La soluci´on se obtiene integrando directamente: Z
Z
M (x)dx +
N (y)dy = C
Definici´ on 2. Ecuaci´ on en Variables Separables. Las siguientes dos ecuaciones, son ecuaciones en variables separables.
M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0
dy = f (x)g(y) dx
(2)
(3)
Para determinar la soluci´on de la Ec.(2), se divide la ecuaci´on entre: M2 (x)N1 (y), para reducirla a la ecuaci´on en variables separadas:
La soluci´on de la Ec.(3), se obtiene al dividir entre g(y) y multiplicar por dx, para reducirla a la ecuaci´on en variables separadas:
M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0 M2 (x) N1 (y)
1 dy = f (x)dx g(y) ahora s´olo se integra directamente: Z Z 1 dy = f (x)dx + C g(y)
ahora s´olo se integra directamente: Z Z N2 (y) M1 (x) dx + dy = C M2 (x) N1 (y) Definici´ on 3. Ecuaci´ on Lineal. La ecuaci´on lineal tiene la forma general:
a(x)y ′ + b(x)y = g(x)
(4)
a(x), se llama coeficiente principal. La Ec.(4) se tiene que dividir entre a(x) para obtener la forma est´ andar: y ′ + P (x)y = Q(x)
(5)
´ n es: La Ec.(5) tiene a 1 como coeficiente principal y a partir de aqu´ı se obtiene la soluci´on de la Ec.(4), La solucio Z R R − P (x)dx P (x)dx y(x) = e e Q(x)dx + C Si Q(x) = 0, la soluci´on es: y(x) = Ce R
El termino e
P (x)dx
−
R
P (x)dx
se llama Factor Integrante de la ecuaci´on.
Definici´ on 4. Ecuaci´ on de Bernoulli. Tiene la forma: y ′ + P (x)y = Q(x)y n
(6)
con n 6= 0 y n 6= 1, n puede ser positivo o negativo. Con el cambio de variable z = y −n+1 , la ecuaci´on de Bernoulli se reduce a la ecuaci´on lineal: z ′ + (−n + 1)P (x)z = (−n + 1)Q(x) ´ n de la Ec.(6) de Bernoulli es: al resolver la Ec.(7), se obtiene que la solucio Z R R − (−n+1)P (x)dx (−n+1)P (x)dx −n+1 y =e (−n + 1) e Q(x)dx + C 16
(7)
Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo:
[email protected] Definici´ on 5. Ecuaciones Exactas o en Diferenciales Totales. Consideramos la ecuaci´on: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(8)
donde se cumple: My = Nx . La soluci´on se obtiene de calcular: R R i) u = M (x, y)dx, iii) v = [N (x, y) − uy ]dy ii)
calculamos: uy
iv)
La soluci´ on general impl´ıcita es: u + v = C
Definici´ on 6. Factor Integrante. Consideremos la ecuaci´on: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
(9)
donde My 6= Nx . Para determinar la soluci´on de esta ecuaci´on, se tiene que reducir a una ecuaci´on exacta; as´ı que debe calcular uno de los dos posibles factores integrantes: R My −Nx R Nx −My dx dy N M
1) µ(x) = e
primero se
2) µ(y) = e
segundo se multiplica la Ec.(9) por el factor integrante que exista y se obtiene la ecuaci´on exacta: µM (x, y)dx + µN (x, y)dy = 0
(10)
la soluci´ on de la Ec.(10), que ya se sabe resolver, es la soluci´on de la Ec.(9). Definici´ on 7. Funci´ on Homog´ enea. Se dice que una funci´ on f (x, y) es una “funci´ on homog´enea de grado n” respecto a las variables x e y, si para cualquier valor real λ se cumple la propiedad: f (xλ, yλ) = λn f (x, y) donde n ∈ R. En particular, cuando n = 0 se tiene una funci´ on homog´enea de grado cero, se cumple que: f (xλ, yλ) = f (x, y) Definici´ on 8. Ecuaciones Homog´ eneas de Grado Cero. Consideremos las ecuaciones: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 dy = f (x, y) dx
(11) (12)
Se dice que la Ec.(11) es homog´enea de grado cero, si tanto M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´eneas del mismo grado. La Ec.(12) ser´a homog´enea si f (x, y) es una funci´on homog´enea de grado cero. Las Ecs.(11) y (12) se transforman en ecuaciones en variables separadas al utilizar los cambios de variables: u = xy y v = xy . Si N es algebraicamente m´ as sencilla que M , se elige u = xy . Si M es algebraicamente m´ as sencilla que N , se elige v = xy . A) Con el cambio de variable u = yx .
La Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: dx N (1, u) + du = 0 x M (1, u) + uN (1, u)
la cual se integra directamente
la soluci´on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente u por
La Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: du dx = f (1, u) − u x
y x
la cual se integra directamente
la soluci´on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente u por
17
y x
R dx R N (1, u) + du = C x M (1, u) + uN (1, u)
en el resultado de la integral.
R
R dx du = +C f (1, u) − u x
en el resultado de la integral.
Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo:
[email protected] B) Con el cambio de variable v = xy .
La Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: dy M (v, 1) + dv = 0 y N (v, 1) + vM (v, 1)
la cual se integra directamente
la soluci´on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente v por
La Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: dv 1 f (v,1)
−v
=
dy y
x y
la cual se integra directamente
la soluci´on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente v por
x y
R dy R M (v, 1) + dv = C y N (v, 1) + vM (v, 1)
en el resultado de la integral.
R
dv 1 f (v,1)
−v
=
R dy +C y
en el resultado de la integral.
I. Wronskiano.
W [y1 , y2 , . . . , yn ] =
y1
y2
′
y1
′
y2
′′
′′
yn
···
′
yn
Primera derivada de las funciones.
′′
Segunda derivada de las funciones. .. .
y1
y2
···
yn
.. .
.. .
.. .
.. .
(n−1)
y1
(n−1)
y2
Rengl´ on de las funciones.
···
···
(n−1)
yn
Derivada de orden n − 1 de las funciones.
• Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente dependiente (LD). • Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] 6= 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente independiente (LI). ´lculo de yh (x). Ecuaci´ (1) Ca on Auxiliar. Primero. Dada la ecuaci´on: an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = g(x)
(13)
establecer la ecuaci´on homog´enea asociada: an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0
(14)
Segundo. Establecer la ecuaci´on auxiliar : an mn + an−1 mn−1 + · · · + a2 m2 + a1 m + a0 = 0
(15)
la Ec.(15) es un polinomio de grado n, en la variable m. Al resolver este polinomio se pueden tener: ⋆ ra´ıces reales y diferentes ⋆ ra´ıces reales repetidas
⋆ ra´ıces conjugadas complejas, y ⋆ ra´ıces conjugadas complejas repetidas
Por esta raz´on yh (x) consta de cuatro partes: yh (x) = y1 (x) + y2 (x) + y3 (x) + y4 (x), ¡¡ no necesariamente existen los cuatro casos !! Caso i. Ra´ıces Reales y Diferentes, y1 (x). Sean m1 , m2 , m3 , . . . las ra´ıces reales y diferentes de (15), entonces, una parte de yh (x) se escribe como: y1 (x) = C1 em1 x + C2 em2 x + C3 em3 x + · · ·
(16)
Caso ii. Ra´ıces Reales Repetidas, y2 (x). Sean m = m1 = m2 = m3 = m4 · · · las ra´ıces reales repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como: y2 (x) = C1 emx + C2 xemx + C3 x2 emx + C4 x3 emx + · · ·
18
(17)
Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo:
[email protected] Caso iii. Ra´ıces Conjugadas Complejas, y3 (x). Sean m1 = α1 ± β1 i, m2 = α2 ± β2 i, m3 = α3 ± β3 i, . . . las ra´ıces complejas conjugadas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como: y3 (x) = eα1 x C1 cos(β1 x) + C2 sen(β1 x) +
eα2 x C3 cos(β2 x) + C4 sen(β2 x) +
Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.
eα3 x C5 cos(β3 x) + C6 sen(β3 x) + · · · (18)
Caso iv. Ra´ıces Conjugadas Complejas Repetidas, y4 (x). Sean m1 = α ± βi = m2 = α ± βi = m3 = α ± βi = · · · las ra´ıces conjugadas complejas repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como: y4 (x) = eαx C1 cos(βx) + C2 sen(βx) +
xeαx C3 cos(βx) + C4 sen(βx) +
Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.
x2 eαx C5 cos(βx) + C6 sen(βx) + · · · (19)
• Conjunto Fundamental de Soluciones (CFS). Sean y1 , y2 , . . . , yn , n soluciones LI de la Ec.(14). Entonces el conjunto {y1 , y2 , . . . , yn } se llama Conjunto Fundamental de Soluciones para la Ec.(14). ´lculo de soluciones particulares yp (x) para la Ec.(13). (2) Ca
Primer M´ etodo:Coeficientes Indeterminados. La soluci´on yp (x) depende de la forma que tiene g(x). Por esta raz´on se utiliza la siguiente tabla: entonces yp (x) se propone como
si g(x) es k − cte an
xn
+ an−1
A xn−1
+ · · · + a2
x2
+ a1 x + a0
An xn + An−1 xn−1 + · · · + A2 x2 + A1 x + A0
cos(ax)
A cos(ax) + B sen(ax)
sen(ax)
A cos(ax) + B sen(ax)
eax
Aeax
Si g(x) es una multiplicaci´ on de las anteriores formas, yp (x) se propone como una multiplicaci´ on de las respectivas yp (x).
Una vez propuesta yp (x), se debe calcular la soluci´on general homog´enea yh (x) y verificar que los t´erminos de yp (x) no aparezcan en yh (x); pero si alg´ un t´ermino de yp (x) aparecen en yh (x), entonces, se deber´a multiplicar dicho t´ermino por x o x2 o x3 . . . o por alguna potencia xn , hasta que dicho t´ermino de la soluci´on particular yp (x) no aparezcan en la soluci´on yh (x). Despu´es yp (x) debe derivarse seg´ un las derivadas que aparecen en la Ec.(13); ya calculadas las derivadas, se sustituyen en la Ec.(13) para comparar coeficientes y determinar sus respectivos valores.
Segundo M´ etodo:Variaci´on de Par´ametros. Cuando el t´ermino independiente g(x) no tiene la forma de alguno de los de la tabla de coeficientes indeterminados, es cuando se utiliza variaci´ on de par´ ametros. Se debe determinar el conjunto fundamental de soluciones (CFS) de la ecuaci´on homog´enea asociada (14). En general, una manera de determinar un CFS para la Ec.(14), es a partir de la soluci´on general homog´enea yh (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + C3 y3 (x) + · · · + Ck yk (x), el CFS es: {y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . , yk (x)}
Primero.S´olo se trabajar´a con EDO-LOS de segundo y tercer orden. Entonces se deben determinar los conjuntos fundamentales de soluciones {y1 (x), y2 (x)} o { y1 (x), y2 (x), y3 (x) }, seg´ un se trate de una EDO de segundo o tercer orden respectivamente.
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Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo:
[email protected] Segundo. Caso i. Ecuaci´on de segundo orden. La soluci´on particular tiene la forma: yp (x) = u1 y1 + u2 y2 donde: u′1 =
−g(x)y2 , W [y1 , y2 ]
u1 =
Z
−g(x)y2 dx W [y1 , y2 ]
u′2 =
g(x)y1 , W [y1 , y2 ]
u2 =
Z
g(x)y1 dx W [y1 , y2 ]
Caso ii. Ecuaci´on de tercer orden. La soluci´on particular tiene la forma: yp (x) = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3 donde: ′
u′1 =
′
g(x)[y2 y3 − y3 y2 ] , W [y1 , y2 , y3 ] ′
g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ] , W [y1 , y2 , y3 ]
u′3
g(x)[y1 y2 − y2 y1 ] = , W [y1 , y2 , y3 ]
′
′
Z
g(x)[y2 y3 − y3 y2 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]
u2 =
Z
g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]
u3 =
Z
g(x)[y1 y2 − y2 y1 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]
′
u′2 =
′
u1 =
′
′
′
′
′
Finalmente la soluci´on general de la Ec.(13) se obtiene de sumar yh (x) y las yp (x) obtenidas por coeficientes indeterminados y/o por variaci´on de par´ametros. II. Transformada de Laplace L . La transformada de Laplace de una funci´on f (t) existe si f (t) es seccionalmente (por tramos) continua en [0, ∞) y es de orden exponencial. L {f (t)} =
Z
∞
e−st f (t)dt
0
una vez calculada la integral, representamos por F (s) a L {f (t)}. Y en general: L {g(t)} = G(s), L {h(t)} = H(s), . . . Propiedades de la Transformada de Laplace. • La transformada de Laplace es lineal porque: L {kf (t)} = kL {f (t)}
L {k1 f (t) + k2 g(t)}
= k1 L {f (t)} + k2 L {g(t)}
donde: k, k1 y k2 son constantes. • Transformada de una Derivada. L {y} = ′
L {y } = L {y ′′ } =
L {y ′′′ } = .. . (n) L {y } =
Y (s) sY (s) − y(0) s2 Y (s) − sy(0) − y ′ (0)
s3 Y (s) − s2 y(0) − sy ′ (0) − y ′′ (0) sn Y (s) − sn−1 y(0) − sn−2 y ′ (0) − · · · − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0)
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Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo:
[email protected] • Primer Teorema de Traslaci´on o de Desplazamiento: L {eat f (t)} = F (s − a) Primero identificamos el valor de a y se calcula L {f (t)} = F (s). Segundo se calcula F (s) s=s−a , y as´ı se cumple que L {eat f (t)} = F (s − a). • Funci´on Escal´on Unitario de Heaviside, denotada como U (t − a) o H(t − a). 0, 0 ≤ t ≤ a; H(t − a) = U (t − a) = 1, t ≥ a.
• Funci´on por partes en t´erminos la funci´on escal´on unitario. Sea f1 (t) 0 ≤ t ≤ a f2 (t) a ≤ t < b f (t) = f3 (t) b ≤ t < c f4 (t) t ≥ c entonces:
f (t) = f1 (t)U (t) + f2 (t) − f1 (t) U (t − a) + f3 (t) − f2 (t) U (t − b) + f4 (t) − f3 (t) U (t − c)
• Segundo Teorema de Traslaci´on:
L {f (t)U (t − a)} = e−as L f (t) t=t+a
Primero se identifica el valor de a y f (t). Segundo, se calcula f (t) t=t+a . Tercero se calcula L f (t) t=t+a . Y as´ı se tiene que L {f (t)U a} = e−as L f (t) t=t+a
III. Transformada Inversa de Laplace L −1 .
Sea F (s) la transformada de Laplace de alguna funci´on f (t). Entonces, se dice que f (t) es la transformada inversa de Laplace de F (s), y se denota con L −1 {F (s)} = f (t). • La Transformada Inversa de Laplace es Lineal porque:
L −1 {kF (s)} = L −1 {k1 F (s) + k2 G(s)} =
kL −1 {F (s)} k1 L −1 {F (s)} + k2 L −1 {G(s)}
donde: k, k1 y k2 son constantes. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace. • Forma Inversa del Primer Teorema de Traslaci´on. L −1 {F (s − a)} = eat f (t) • Forma Inversa del Segundo Teorema de Traslaci´on. L −1 {e−as F (s)} = f (t) t=t−a U a
Primero identificar el valor de a y F (s). Segundo calcular L −1 {F (s)} = f (t). Tercero evaluar f (t) t=t−a y as´ı se tiene que L −1 {e−as F (s)} = f (t) t=t−a U a.
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