Formulario de Matemáticas completo..

May 12, 2018 | Author: Mario Alberto Santoyo García | Category: Derivative, Special Functions, Equations, Mathematical Objects, Mathematical Analysis
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Formulario de Prec´ alculo. 1.

5. Leyes de los logaritmos. a) loga (P Q) = loga (P ) + loga (Q)   P b) loga = loga (P ) − loga (Q) Q

Los N´ umeros.

1. Leyes de los exponentes y radicales. m n

a) a a = a d)

 a n b

g) a1/n j)

m+n

m n

b) (a ) = a

n

mn

c) loga (Qn ) = n loga (Q)

n

c) (ab) = a b

m

a bn √ = na

a = am−n an √ h) am/n = n am r √ n a a k) n = √ n b b

=

e)

√ √ √ n n ab = n a b

n n

d ) aloga (x) = x

1 an √ m = ( n a)

f ) a−n =

e) loga (ax ) = x

i) am/n

f ) loga (1) = 0

l)

p√

m

n

a=

g) aloga (a) = 1

√ a

mn

h) log(x) = log10 (x)

2. Productos Notables.

i) ln(x) = loge (x) 2

a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x − y 2

2

2

b) Binomio al Cuadrado: (x ± y) = x ± 2xy + y

j ) Cambio de base:

2

c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2 y + 3xy 2 ± y 3

loga (Q) =

logb (Q) logb (a)

2. Soluciones Exactas de ecuaciones Algebraicas

2

d ) (x + y) = x2 + 2 xy + y 2 2

e) (x − y) = x2 − 2 xy + y 2 3

f ) (x + y) = x3 + 3 x2 y + 3 xy 2 + y 3

6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas.

3

g) (x − y) = x3 − 3 x2 y + 3 xy 2 − y 3

a) La Ecuaci´ on Cuadr´ atica: ax2 + bx + c = 0 tiene soluciones: √ −b ± b2 − 4ac x= 2a 2 El n´ umero b −4ac se llama discriminante de la ecuaci´on. i) Si b2 − 4ac > 0 las ra´ıces son reales y diferentes. ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ıces son reales e iguales. iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ıces son complejas conjugadas.

4

h) (x + y) = x4 + 4 x3 y + 6 x2 y 2 + 4 xy 3 + y 4 i) (x − y)4 = x4 − 4 x3 y + 6 x2 y 2 − 4 xy 3 + y 4 5

j ) (x + y) = x5 + 5 x4 y + 10 x3y 2 + 10 x2y 3 + 5 xy 4 + y 5 k ) (x − y)5 = x5 − 5 x4 y + 10 x3y 2 − 10 x2y 3 + 5 xy 4 − y 5 3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces: (x + y)n =

n   X n n−r r x y r r=0

b) Para la Ecuaci´ on C´ ubica: x3 + ax2 + bx + c = 0 sean:

  n n! Nota: = n Cr = r!(n − r)! r

3b − a2 9ab − 27c − 2a3 , R= 9 54 q q p p 3 3 S = R + Q3 + R 2 , T = R − Q3 + R 2 Q=

4. Factores Notables. a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y 2 = (x + y)(x − y) b) Suma de Cubos: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) 3

3

2

Entonces las soluciones son: a x1 =S + T − 3   S+T a x2 = − + + 2 3   S+T a x3 = − + − 2 3

2

c) Diferencia de Cubos: x − y = (x − y)(x + xy + y )

d ) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 ±2xy+y 2 = (x±y)2 e) x2 − y 2 = (x − y) (x + y)

f ) x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2

g) x3 + y 3 = (x + y) x2 − xy + y 2

 

h) x4 − y 4 = (x − y) (x + y) x2 + y 2



i) x5 − y 5 = (x − y) x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4



 j ) x5 + y 5 = (x + y) x4 − x3 y + x2 y 2 − xy 3 + y 4   k ) x6 −y 6 = (x − y) (x + y) x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2   l ) x4 + x2 y 2 + y 4 = x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2   m) x4 + 4 y 4 = x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2 1

√ ! (S − T ) 3 i 2 √ ! (S − T ) 3 i 2

El n´ umero Q3 +R2 se llama discriminante de la ecuaci´on. i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra´ız real y dos son complejas conjugadas. ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ıces son reales y por lo menos dos son iguales. iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ıces son reales y diferentes.

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected]

3.

Funciones Trigonom´ etricas.

3.1.

Relaciones nom´ etricas. csc(A) =

entre

1 sen(A)

Funciones

cos3 (A) =

1 sec(A) = cos(A)

sec (A) − tan (A) = 1

sen(A) cos(A)

csc2 (A) − cot2 (A) = 1

tan(A) =

1 2

cos2 (A) =

1 2

3

sen (A) =

4.

3 4



1 2

+

1 2

sen5 (A) =

5 8

sen(A) −

5 16

sen(3A) +

1 16

sen(5A)

cos5 (A) =

5 8

cos(A) +

5 16

cos(3A) +

1 16

cos(5A)

cos(2A) +

sen(A) −

cos(4A)

2

3.3.

Suma, Diferencia y Producto las Funciones Trigonom´ etricas.

sen(A) + sen(B) = 2 sen

A+B 2

sen(A) − sen(B) = 2 sen

A−B 2

cos(A) + cos(B) = 2 cos

A+B 2

cos(A) − cos(B) = 2 sen

A+B 2

sen(A) sen(B) =

1 2

cos(A) cos(B) =

1 2

sen(A) cos(B) =

1 2

cos(2A) 1 4

1 8

+

cos(2A)

sen(3A)



cos

A−B 2

cos

A+B 2



cos

A−B 2

sen

B−A 2





 







 cos(A − B) − cos(A + B)



 sen(A − B) + sen(A + B)



 cos(A − B) + cos(A + B)

Funciones Hiperb´ olicas.

Seno hiperb´olico de x = senh(x) =

ex − e−x 2

Coseno hiperb´olico de x = cosh(x) =

Cosecante hiperb´olica de x = csch(x) =

ex + e−x 2

Tangente hiperb´olica de x = tanh(x) =

4.1.

1 2

3 8

Potencias de Funciones Trigonom´ etricas.

sen2 (A) =

cos(3A)

cos4 (A) =

cos(A) 1 = cot(A) = sen(A) tan(A)

3.2.

1 4

cos(A) +

3 1 1 4 Trigo- sen (A) = 8 − 2 cos(2A) + 8 cos(4A)

sen2 (A) + cos2 (A) = 1

2

3 4

Secante hiperb´olica de x = sech(x) =

ex − e−x ex + e−x

2 ex − e−x

2 ex + e−x

Cotangente hiperb´olica de x = coth(x) =

ex + e−x ex − e−x

Relaci´ on entre las Funciones Hiperb´ olicas.

tanh(x) =

coth(x) =

senh(x) cosh(x) 1 cosh(x) = tanh(x) senh(x)

sech(x) =

1 cosh(x)

cosh2 (x) − senh2 (x) = 1 sech2 (x) + tanh2 (x) = 1

1 csch(x) = senh(x)

coth2 (x) − csch2 (x) = 1

2

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Formulario de C´ alculo.

Funciones Trigonom´ etricas:

Derivadas. En este formulario: k, c ∈ R son constantes reales, f = f (x), u = u(x) y v = v(x) son funciones que dependen de x. F´ ormulas B´ asicas: Funci´ on:

Su Derivada:

f =k

f′ = 0

Funci´on:

Su Derivada:

f = sen(u)

f ′ = cos(u) · u′

f = cos(u)

f ′ = − sen(u) · u′

f = tan(u)

f ′ = sec2 (u) · u′

f = csc(u)

f ′ = − csc(u) cot(u) · u′

f = sec(u)

f ′ = sec(u) tan(u) · u′

f = cot(u)

f ′ = − csc2 (u) · u′

Linealidad de la derivada: f =k·u

f ′ = k · u′

f =u±v

f ′ = u′ ± v ′

f =k·u±c·v





f =k·u ±c·v

Funciones Trigonom´ etricas Inversas: Funci´on:

f = arc cos(u)

u′ ; f′ = −√ 1 − u2

f = arctan(u)

f′ =

f = arccsc(u)

u′ f′ = − √ u u2 − 1

f = arcsec(u)

u′ ; f′ = √ u u2 − 1

f = arccot(u)

f′ = −



Regla del Producto: f =u·v

f = arc sen(u)

Su Derivada: u′ f′ = √ ; |u| < 1 1 − u2

f ′ = u · v ′ + v · u′

Regla del Cociente: u f= v

v · u′ − u · v ′ f′ = v2

Regla de la Cadena (Composici´ on de funciones) f = u(x) ◦ v(x)

f ′ = [u(v(x))]′ · v ′ (x)

Regla de la Potencia: f = vn

f ′ = n · v n−1 · v ′

f = k · vn

f ′ = k · n · v n−1 · v ′

f ′ = eu · u ′

f = au

f ′ = au · ln(a) · u′

Funciones Logar´ıtmicas: f = ln(u) f = loga (u)

u′ f = u ′

f′ =

u′ 1 + u2

u′ ; 1 + u2

|u| > 1 |u| > 1

Funciones Hiperb´ olicas:

Funciones Exponenciales: f = eu

|u| < 1

u′ u · ln(a)

Una Funci´ on elevada a otra Funci´ on:   v · u′ v ′ v ′ f =u f = u v · ln(u) + u 3

Funci´on:

Su Derivada:

f = senh(u)

f ′ = cosh(u) · u′

f = cosh(u)

f ′ = senh(u) · u′

f = tanh(u)

f ′ = sech2 (u) · u′

f = csch(u)

f ′ = −csch(u) coth(u) · u′

f = sech(u)

f ′ = −sech(u) tanh(u) · u′

f = coth(u)

f ′ = −csch2 (u) · u′

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] Funciones Hiperb´ olicas Inversas:

17)

Funci´ on:

Su Derivada:

18)

f = arcsenh(u)

u′ f = √ 1 + u2

19)

f = arccosh(u)

f = arctanh(u) f = arccsch(u)

f = arcsech(u)

f = arccoth(u)



u′ f′ = √ ; u2 − 1 f′ =



u ; 1 − u2

f′ = −

20)



u √ ; |u| 1 + u2

u′ f = ; 1 − u2

22)

|u| < 1

u′ f′ = − √ ; u 1 − u2 ′

21)

|u| > 1

23)

u 6= 0

24) 25)

0 0

s−b (s − b)2 − a2

ebt cosh(at)

1 (s − a)(s − b)

ebt − eat b−a

1 + a2

+



R

+

R

coshn−2 (au)du

senh(au) un−1 du n−2 n−1

R

du coshn−2 (au)

Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f (s)

s2

cosh(au) a2



con k = constante

con n = 0, 1, 2, . . .

con n > 0

sen(at) a

12

con a 6= b

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f (s)

F (t)

f (s) s5 + a2 )3

F (t) (8 − a2 t2 ) cos(at) − 7at sen(at) 8

s (s − a)(s − b)

bebt − aeat b−a

1 (s2 + a2 )2

sen(at) − at cos(at) 2a3

3s2 − a2 (s2 + a2 )3

t2 sen(at) 2a

s (s2 + a2 )2

t sen(at) 2a

s3 − 3a2 s (s2 + a2 )3

1 2 t 2

cos(at)

s2 (s2 + a2 )2

sen(at) + at cos(at) 2a

s4 − 6a2 s + a4 (s2 + a2 )4

1 3 t 6

cos(at)

s3 (s2 + a2 )2

cos(at) − 21 at sen(at)

s3 − a2 s (s2 + a2 )4

t3 sen(at) 24a

s2 − a2 (s2 + a2 )2

t cos(at)

1 (s2 − a2 )2 s (s2 − a2 )2

con a 6= b

(s2

1 − a2 )3

(3 + a2 t2 ) senh(at) − 3at cosh(at) 8a5

at cosh(at) − sinh(at) 2a3

(s2

s − a2 )3

at2 cosh(at) − t senh(at) 8a3

t senh(at) 2a

(s2

s2 − a2 )3

at cosh(at) + (a2 t2 − 1) senh(at) 8a3

(s2

s3 − a2 )3

3t senh(at) + at2 cosh(at) 8a

(s2

s4 − a2 )3

(3 + a2 t2 ) senh(at) + 5at cosh(at) 8a

(s2

s5 − a2 )3

(8 + a2 t2 ) cosh(at) + 7at senh(at) 8

(s2

s2 − a2 )2

senh(at) + at cosh(at) 2a

(s2

s3 − a2 )2

cosh(at) + 12 at senh(at)

s2 + a2 (s2 − a2 )2

(s2

t cosh(at)

(s2

1 + a2 )3

(3 − a2 t2 ) sen(at) − 3at cos(at) 8a5

3s2 + a2 (s2 − a2 )3

t2 senh(at) 2a

(s2

s + a2 )3

t sen(at) − at2 cos(at) 8a3

s3 + 3a2 s (s2 − a2 )3

1 2 t 2

cosh(at)

(s2

s2 + a2 )3

(1 + a2 t2 ) sen(at) − at cos(at) 8a3

s4 + 6a2 s + a4 (s2 − a2 )4

1 3 t 6

cosh(at)

(s2

s3 + a2 )3

3t sen(at) + at2 cos(at) 8a

s3 + a2 s (s2 − a2 )4

t3 senh(at) 24a

(s2

s4 + a2 )a3

(3 − a2 t2 ) sen(at) + 5at cos(at) 8a

1 s3 + a3

eat/2 3a2

13



3 sen



3at − cos 2



3at + e−3at/2 2

!

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] f (s)

F (t)

s s3 + a3

eat/2 3a

s2 s3 + a3

1 3

1 s3 − a3 s s3 − a3 s2 3 s − a3 1 s4 + 4a4 s s4 + 4a4 s2 s4 + 4a4

cos

3at √ + 3 sen 2



3at − e−3at/2 2

!

! √ 3at −at at/2 e + 2e cos 2

e−at/2 3a2

e3at/2 − cos



e−at/2 3a

1 3



eat

+

3 sen





2e−at/2 cos

3at 2

!

3at + e3at/2 2

!

3at √ − 3 sen 2

3at − cos 2





s2 s4 − a4

 1  senh(at) + sen(at) 2a

s3 − a4

1 √ s+a+ s+b

1 s s+a

 1  sen(at) cosh(at) + cos(at) senh(at) 2a

 1  senh(at) − sen(at) 2a3

 1  cosh(at) − cos(at) 2a2



sen(at) senh(at) 2a2

1 s4 − a4

s s4 − a4



 1  sen(at) cosh(at) − cos(at) senh(at) 4a3

cos(at) cosh(at)

F (t)

s4

! √ 3at 2

s3 s4 + 4a4

f (s)



1 s(s − a)



1 s−a+b



s2 + a2



14

1

1 s2 − a2

 1 cosh(at) + cos(at) 2 e−bt − e−at √ 2(b − a) πt3 √ fer at √ a √ eat fer at √ a

eat



√ 1 2 √ − beb t fcer b t πt

J0 (at)

I0 (at)



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A en grados

A en radianes

sen A

cos A

tan A

cot A

sec A

csc A

0◦

0

0

1

0



1



15o

π/12

30o

√  1 √ 6− 2 4

π/6

1 2

√  1 √ 6+ 2 4

45o

π/4

60o

π/3

75o

5π/12

90o

π/2

105o

7π/12

120o

2π/3

1√ 3 2

135o

3π/4

1√ 2 2

150o

5π/6

1 2

165o

11π/12

180o

π

195o

13π/12

210o

7π/6

225o

5π/4



1√ 2 2

240o

4π/3



1√ 3 2

255o

17π/12

270o

3π/2

285o

19π/12

300o

5π/3



1√ 3 2

315o

7π/4



330o

11π/6

345o

23π/12

360o



2−



3

2+





3

6−

1√ 3 2

1√ 3 3



1√ 2 2

1√ 2 2

1

1



1√ 3 2

1 2



1√ 3 3

2

√  1 √ 6+ 2 4

√  1 √ 6− 2 4

1

0

√  1 √ 6+ 2 4

√  1 √ 6− 2 4



√  1 √ 6− 2 4 −



1 2

√  1 √ 6+ 2 4 −1



√  1 √ 6+ 2 4

√  3

√ − 3



1√ 2 2

−1



1√ 3 2



√  1 √ 6+ 2 4

− 2−

1√ 3 3

2−

√  3



3

− 2− −



3

√  3







6+

√  3







6−





6−

1√ 3 2

1√ 3 3





1√ 2 2

1

1

√ − 2

1 2



1√ 3 3

−2

√  1 √ 6− 2 4 0

2+



3

2−

− 2+

√  3

1√ 2 2

1√ 2 2

−1

1 2

1√ 3 2



√  1 √ 6− 2 4

√  1 √ 6+ 2 4

− 2−

1

15

3





− 2− −

√  3

√  3



1√ 3 3



6−



6+



√  3

√  2



∓∞

1



2

±∞ √  2





6+

√  2

−2 √ − 2 −

√  2







2



√ −



2√ 3 3 6−

√  2

−1 6−

√  2

2√ 3 3

√ − 2

2

6−

2

2

6+

2√ 3 3 √



2

2√ 3 3

6+

2

2√ 3 3

2

√ − 3 − 2+

√  2

∓∞

−1

1√ 3 3

0





0

±∞

√  1 √ 6− 2 4

3



1

−1 3

2

2

6−

2√ 3 3



3



2

√ − 2 −



2√ 3 3

−2

√ − 3

2+



±∞

1√ 3 3

− 2+

6+ 2

2

6+

±∞

√ − 3

0



−1

0

√  1 √ 6+ 2 4

− −

2−



2

2√ 3 3

3

0

1 2

− −

− 2+

−1 −

3

1 2

0 −



±∞

√  1 √ 6− 2 4 −



2+

3



−2 2





6+

∓∞

√  2

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] Definici´ on 1. Ecuaci´ on en Variables Separadas. Consideremos la ecuaci´on con forma est´andar: M (x)dx + N (y)dy = 0

(1)

La soluci´on se obtiene integrando directamente: Z

Z

M (x)dx +

N (y)dy = C

Definici´ on 2. Ecuaci´ on en Variables Separables. Las siguientes dos ecuaciones, son ecuaciones en variables separables.

M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0

dy = f (x)g(y) dx

(2)

(3)

Para determinar la soluci´on de la Ec.(2), se divide la ecuaci´on entre: M2 (x)N1 (y), para reducirla a la ecuaci´on en variables separadas:

La soluci´on de la Ec.(3), se obtiene al dividir entre g(y) y multiplicar por dx, para reducirla a la ecuaci´on en variables separadas:

M1 (x) N2 (y) dx + dy = 0 M2 (x) N1 (y)

1 dy = f (x)dx g(y) ahora s´olo se integra directamente: Z Z 1 dy = f (x)dx + C g(y)

ahora s´olo se integra directamente: Z Z N2 (y) M1 (x) dx + dy = C M2 (x) N1 (y) Definici´ on 3. Ecuaci´ on Lineal. La ecuaci´on lineal tiene la forma general:

a(x)y ′ + b(x)y = g(x)

(4)

a(x), se llama coeficiente principal. La Ec.(4) se tiene que dividir entre a(x) para obtener la forma est´ andar: y ′ + P (x)y = Q(x)

(5)

´ n es: La Ec.(5) tiene a 1 como coeficiente principal y a partir de aqu´ı se obtiene la soluci´on de la Ec.(4), La solucio Z R  R − P (x)dx P (x)dx y(x) = e e Q(x)dx + C Si Q(x) = 0, la soluci´on es: y(x) = Ce R

El termino e

P (x)dx



R

P (x)dx

se llama Factor Integrante de la ecuaci´on.

Definici´ on 4. Ecuaci´ on de Bernoulli. Tiene la forma: y ′ + P (x)y = Q(x)y n

(6)

con n 6= 0 y n 6= 1, n puede ser positivo o negativo. Con el cambio de variable z = y −n+1 , la ecuaci´on de Bernoulli se reduce a la ecuaci´on lineal: z ′ + (−n + 1)P (x)z = (−n + 1)Q(x) ´ n de la Ec.(6) de Bernoulli es: al resolver la Ec.(7), se obtiene que la solucio   Z R R − (−n+1)P (x)dx (−n+1)P (x)dx −n+1 y =e (−n + 1) e Q(x)dx + C 16

(7)

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] Definici´ on 5. Ecuaciones Exactas o en Diferenciales Totales. Consideramos la ecuaci´on: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(8)

donde se cumple: My = Nx . La soluci´on se obtiene de calcular: R R i) u = M (x, y)dx, iii) v = [N (x, y) − uy ]dy ii)

calculamos: uy

iv)

La soluci´ on general impl´ıcita es: u + v = C

Definici´ on 6. Factor Integrante. Consideremos la ecuaci´on: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(9)

donde My 6= Nx . Para determinar la soluci´on de esta ecuaci´on, se tiene que reducir a una ecuaci´on exacta; as´ı que debe calcular uno de los dos posibles factores integrantes: R My −Nx R Nx −My dx dy N M

1) µ(x) = e

primero se

2) µ(y) = e

segundo se multiplica la Ec.(9) por el factor integrante que exista y se obtiene la ecuaci´on exacta: µM (x, y)dx + µN (x, y)dy = 0

(10)

la soluci´ on de la Ec.(10), que ya se sabe resolver, es la soluci´on de la Ec.(9). Definici´ on 7. Funci´ on Homog´ enea. Se dice que una funci´ on f (x, y) es una “funci´ on homog´enea de grado n” respecto a las variables x e y, si para cualquier valor real λ se cumple la propiedad: f (xλ, yλ) = λn f (x, y) donde n ∈ R. En particular, cuando n = 0 se tiene una funci´ on homog´enea de grado cero, se cumple que: f (xλ, yλ) = f (x, y) Definici´ on 8. Ecuaciones Homog´ eneas de Grado Cero. Consideremos las ecuaciones: M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 dy = f (x, y) dx

(11) (12)

Se dice que la Ec.(11) es homog´enea de grado cero, si tanto M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´eneas del mismo grado. La Ec.(12) ser´a homog´enea si f (x, y) es una funci´on homog´enea de grado cero. Las Ecs.(11) y (12) se transforman en ecuaciones en variables separadas al utilizar los cambios de variables: u = xy y v = xy . Si N es algebraicamente m´ as sencilla que M , se elige u = xy . Si M es algebraicamente m´ as sencilla que N , se elige v = xy . A) Con el cambio de variable u = yx .

 La Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: dx N (1, u) + du = 0 x M (1, u) + uN (1, u)

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente u por

 La Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: du dx = f (1, u) − u x

y x

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente u por

17

y x

R dx R N (1, u) + du = C x M (1, u) + uN (1, u)

en el resultado de la integral.

R

R dx du = +C f (1, u) − u x

en el resultado de la integral.

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] B) Con el cambio de variable v = xy .

 La Ec.(11) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: dy M (v, 1) + dv = 0 y N (v, 1) + vM (v, 1)

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(11) se obtiene al sustituir nuevamente v por

 La Ec.(12) se reduce a la ecuaci´on en variables separadas: dv 1 f (v,1)

−v

=

dy y

x y

la cual se integra directamente

la soluci´on de la Ec.(12) se obtiene al sustituir nuevamente v por

x y

R dy R M (v, 1) + dv = C y N (v, 1) + vM (v, 1)

en el resultado de la integral.

R

dv 1 f (v,1)

−v

=

R dy +C y

en el resultado de la integral.

I. Wronskiano.

W [y1 , y2 , . . . , yn ] =

y1

y2



y1



y2

′′

′′

yn

···



yn

Primera derivada de las funciones.

′′

Segunda derivada de las funciones. .. .

y1

y2

···

yn

.. .

.. .

.. .

.. .

(n−1)

y1

(n−1)

y2

Rengl´ on de las funciones.

···

···

(n−1)

yn

Derivada de orden n − 1 de las funciones.

• Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente dependiente (LD). • Si el W [y1 , y2 , . . . , yn ] 6= 0, entonces, el conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } es linealmente independiente (LI). ´lculo de yh (x). Ecuaci´ (1) Ca on Auxiliar. Primero. Dada la ecuaci´on: an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = g(x)

(13)

establecer la ecuaci´on homog´enea asociada: an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = 0

(14)

Segundo. Establecer la ecuaci´on auxiliar : an mn + an−1 mn−1 + · · · + a2 m2 + a1 m + a0 = 0

(15)

la Ec.(15) es un polinomio de grado n, en la variable m. Al resolver este polinomio se pueden tener: ⋆ ra´ıces reales y diferentes ⋆ ra´ıces reales repetidas

⋆ ra´ıces conjugadas complejas, y ⋆ ra´ıces conjugadas complejas repetidas

Por esta raz´on yh (x) consta de cuatro partes: yh (x) = y1 (x) + y2 (x) + y3 (x) + y4 (x), ¡¡ no necesariamente existen los cuatro casos !! Caso i. Ra´ıces Reales y Diferentes, y1 (x). Sean m1 , m2 , m3 , . . . las ra´ıces reales y diferentes de (15), entonces, una parte de yh (x) se escribe como: y1 (x) = C1 em1 x + C2 em2 x + C3 em3 x + · · ·

(16)

Caso ii. Ra´ıces Reales Repetidas, y2 (x). Sean m = m1 = m2 = m3 = m4 · · · las ra´ıces reales repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como: y2 (x) = C1 emx + C2 xemx + C3 x2 emx + C4 x3 emx + · · ·

18

(17)

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] Caso iii. Ra´ıces Conjugadas Complejas, y3 (x). Sean m1 = α1 ± β1 i, m2 = α2 ± β2 i, m3 = α3 ± β3 i, . . . las ra´ıces complejas conjugadas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como:   y3 (x) = eα1 x C1 cos(β1 x) + C2 sen(β1 x) +

  eα2 x C3 cos(β2 x) + C4 sen(β2 x) +

Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.

  eα3 x C5 cos(β3 x) + C6 sen(β3 x) + · · · (18)

Caso iv. Ra´ıces Conjugadas Complejas Repetidas, y4 (x). Sean m1 = α ± βi = m2 = α ± βi = m3 = α ± βi = · · · las ra´ıces conjugadas complejas repetidas de (15), entonces, otra parte de yh (x) se escribe como:   y4 (x) = eαx C1 cos(βx) + C2 sen(βx) +

  xeαx C3 cos(βx) + C4 sen(βx) +

Nota: Obs´ervese que se toma el valor positivo de β en todos las casos.

  x2 eαx C5 cos(βx) + C6 sen(βx) + · · · (19)

• Conjunto Fundamental de Soluciones (CFS). Sean y1 , y2 , . . . , yn , n soluciones LI de la Ec.(14). Entonces el conjunto {y1 , y2 , . . . , yn } se llama Conjunto Fundamental de Soluciones para la Ec.(14). ´lculo de soluciones particulares yp (x) para la Ec.(13). (2) Ca

Primer M´ etodo:Coeficientes Indeterminados. La soluci´on yp (x) depende de la forma que tiene g(x). Por esta raz´on se utiliza la siguiente tabla: entonces yp (x) se propone como

si g(x) es k − cte an

xn

+ an−1

A xn−1

+ · · · + a2

x2

+ a1 x + a0

An xn + An−1 xn−1 + · · · + A2 x2 + A1 x + A0

cos(ax)

A cos(ax) + B sen(ax)

sen(ax)

A cos(ax) + B sen(ax)

eax

Aeax

Si g(x) es una multiplicaci´ on de las anteriores formas, yp (x) se propone como una multiplicaci´ on de las respectivas yp (x).

Una vez propuesta yp (x), se debe calcular la soluci´on general homog´enea yh (x) y verificar que los t´erminos de yp (x) no aparezcan en yh (x); pero si alg´ un t´ermino de yp (x) aparecen en yh (x), entonces, se deber´a multiplicar dicho t´ermino por x o x2 o x3 . . . o por alguna potencia xn , hasta que dicho t´ermino de la soluci´on particular yp (x) no aparezcan en la soluci´on yh (x). Despu´es yp (x) debe derivarse seg´ un las derivadas que aparecen en la Ec.(13); ya calculadas las derivadas, se sustituyen en la Ec.(13) para comparar coeficientes y determinar sus respectivos valores.

Segundo M´ etodo:Variaci´on de Par´ametros. Cuando el t´ermino independiente g(x) no tiene la forma de alguno de los de la tabla de coeficientes indeterminados, es cuando se utiliza variaci´ on de par´ ametros. Se debe determinar el conjunto fundamental de soluciones (CFS) de la ecuaci´on homog´enea asociada (14). En general, una manera de determinar un CFS para la Ec.(14), es a partir de la soluci´on general homog´enea yh (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + C3 y3 (x) + · · · + Ck yk (x), el CFS es: {y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . , yk (x)}

Primero.S´olo se trabajar´a con EDO-LOS de segundo y tercer orden. Entonces se deben determinar los conjuntos fundamentales de soluciones {y1 (x), y2 (x)} o { y1 (x), y2 (x), y3 (x) }, seg´ un se trate de una EDO de segundo o tercer orden respectivamente.

19

Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] Segundo. Caso i. Ecuaci´on de segundo orden. La soluci´on particular tiene la forma: yp (x) = u1 y1 + u2 y2 donde: u′1 =

−g(x)y2 , W [y1 , y2 ]

u1 =

Z

−g(x)y2 dx W [y1 , y2 ]

u′2 =

g(x)y1 , W [y1 , y2 ]

u2 =

Z

g(x)y1 dx W [y1 , y2 ]

Caso ii. Ecuaci´on de tercer orden. La soluci´on particular tiene la forma: yp (x) = u1 y1 + u2 y2 + u3 y3 donde: ′

u′1 =



g(x)[y2 y3 − y3 y2 ] , W [y1 , y2 , y3 ] ′

g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ] , W [y1 , y2 , y3 ]

u′3

g(x)[y1 y2 − y2 y1 ] = , W [y1 , y2 , y3 ]





Z

g(x)[y2 y3 − y3 y2 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]

u2 =

Z

g(x)[−y1 y3 + y3 y1 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]

u3 =

Z

g(x)[y1 y2 − y2 y1 ] dx W [y1 , y2 , y3 ]



u′2 =



u1 =











Finalmente la soluci´on general de la Ec.(13) se obtiene de sumar yh (x) y las yp (x) obtenidas por coeficientes indeterminados y/o por variaci´on de par´ametros. II. Transformada de Laplace L . La transformada de Laplace de una funci´on f (t) existe si f (t) es seccionalmente (por tramos) continua en [0, ∞) y es de orden exponencial. L {f (t)} =

Z



e−st f (t)dt

0

una vez calculada la integral, representamos por F (s) a L {f (t)}. Y en general: L {g(t)} = G(s), L {h(t)} = H(s), . . . Propiedades de la Transformada de Laplace. • La transformada de Laplace es lineal porque: L {kf (t)} = kL {f (t)}

L {k1 f (t) + k2 g(t)}

= k1 L {f (t)} + k2 L {g(t)}

donde: k, k1 y k2 son constantes. • Transformada de una Derivada. L {y} = ′

L {y } = L {y ′′ } =

L {y ′′′ } = .. . (n) L {y } =

Y (s) sY (s) − y(0) s2 Y (s) − sy(0) − y ′ (0)

s3 Y (s) − s2 y(0) − sy ′ (0) − y ′′ (0) sn Y (s) − sn−1 y(0) − sn−2 y ′ (0) − · · · − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0)

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Sugerencias, comentarios y/o aportaciones al correo: [email protected] • Primer Teorema de Traslaci´on o de Desplazamiento: L {eat f (t)} = F (s − a) Primero identificamos el valor de a y se calcula L {f (t)} = F (s). Segundo se calcula F (s) s=s−a , y as´ı se cumple que L {eat f (t)} = F (s − a). • Funci´on Escal´on Unitario de Heaviside, denotada como U (t − a) o H(t − a).  0, 0 ≤ t ≤ a; H(t − a) = U (t − a) = 1, t ≥ a.

• Funci´on por partes en t´erminos la funci´on escal´on unitario. Sea  f1 (t) 0 ≤ t ≤ a    f2 (t) a ≤ t < b f (t) = f3 (t) b ≤ t < c    f4 (t) t ≥ c entonces:

      f (t) = f1 (t)U (t) + f2 (t) − f1 (t) U (t − a) + f3 (t) − f2 (t) U (t − b) + f4 (t) − f3 (t) U (t − c)

• Segundo Teorema de Traslaci´on:

  L {f (t)U (t − a)} = e−as L f (t) t=t+a

  Primero se identifica el valor de a y f (t). Segundo, se calcula f (t) t=t+a . Tercero se calcula L f (t) t=t+a . Y as´ı se tiene   que L {f (t)U a} = e−as L f (t) t=t+a

III. Transformada Inversa de Laplace L −1 .

Sea F (s) la transformada de Laplace de alguna funci´on f (t). Entonces, se dice que f (t) es la transformada inversa de Laplace de F (s), y se denota con L −1 {F (s)} = f (t). • La Transformada Inversa de Laplace es Lineal porque:

L −1 {kF (s)} = L −1 {k1 F (s) + k2 G(s)} =

kL −1 {F (s)} k1 L −1 {F (s)} + k2 L −1 {G(s)}

donde: k, k1 y k2 son constantes. Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace. • Forma Inversa del Primer Teorema de Traslaci´on. L −1 {F (s − a)} = eat f (t) • Forma Inversa del Segundo Teorema de Traslaci´on. L −1 {e−as F (s)} = f (t) t=t−a U a

Primero identificar el valor de a y F (s). Segundo calcular L −1 {F (s)} = f (t). Tercero evaluar f (t) t=t−a y as´ı se tiene que L −1 {e−as F (s)} = f (t) t=t−a U a.

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