Formulario de Geometría

 

GEOMETRÍA

SEGMENTOS Medida de un segmento compuesto AC = a+b

I

A

Representación de un punto medio.

III

AB= a  b

A

C a

Medida de un segmento simple

II

B

AO=OB=a

A

C

b

O

B

a

b

a

a ÁNGULOS - T TEOREMAS EOREMAS SOBRE ÁNGULOS II

I

!os "ngulos opuestos por el $%rtice son congruentes tienen la misma medida,

!a suma suma de la lass me medi dida dass de los los "ngulos #ue tienen su $%rtice en un punto de una recta & est"n en un mismo semiplano es '()*.   + β   + θ  = 180º

c

m ∠ a m ∠ c

b

a d

IV /o /oss "ngu "ngullos ad&a ad&ace cent ntes es suplementarios.

son

III

!a suma de las medidas de los "ngulos #ue tienen su $%rtice en un punto del plano es -)*.

  360º

m ∠ b   b  m ∠ d

a + b + c+ d = b

a

d

c

V

VI

!a !ass bise bisect ctri rices ces de dos dos "ngu "ngulo loss consecuti$os consec uti$os & compl complementar ementarios ios 0orman un "ngulo de 1 12*. 2*.

!a !ass bi bise sect ctri rice cess de dos dos "ngu "ngulo loss ad&acentes 0orman un "ngulo de 3)*.

+ β  = 180º

 

 

x

"0º

  a a

b

TRIÁNGULOS# TEOREMAS $UN%AMENT $UN%AMENTALES ALES II III

I 4n todo tri"ngulo un lado es menor #ue la suma de lo loss otr otros dos dos la lad dos & ma&or #ue su di0erencia. b&c'a'b+c

b

= a

a

b I

II

I

a

a

= II

β

IV

/os tri"ng ngul ulo os ser"n iguales igual es si tienen tres pares de lados iguales !.!.!.,

/os tri"ngulos son iguales si tienen 5 pares de "ngulos iguales & los lados co comp mpre rend ndid idos os tamb tambi% i%n n iguales A.!.A.,

/os tri"ngulos son iguales si tienen 5 pares de lado ladoss igua iguale less & los los "ngu "ngulo loss co comp mpre rend ndid idos os tambi%n iguales !.A.!., a

b

a

b

a a

x

b = !º b

x=

x

= a

b

β

c

b

I

II

c

c

V

VI

VII

VIII

/os tri"ngulos rect"ngulos ser"n iguales si tienen sus dos pares de catetos iguales.

/os tri"ngulos rect"ngulos ser"n iguales si tienen la 6ipotenusa & un par de "ngulos agudos iguales.

/os tri"ngulos rect"ngulos se ser" r"n n igua iguale less si ti tien enen en igual 6ipotenusa & un par de catetos iguales.

/os tri"ngulos rect"ngulos ser"n iguales si tienen un par de catetos & un par de "ngulos agudos iguales.

= b

b I

a = I

II

a

a II

α

a

b α

= b

I

a II

a

= a I

α

II

a

I(

( '

(I

7ro0. 8t"nler Irigo9n :"s#ue;  Cel< 3)22)) >ele0< 22-51

(II

α

 

!os "ngu "ngulo loss alt alterno ernoss intern internos os entre entre parale paralelas las son iguales. ∠a = ∠b

!os "ngulo "nguloss conug conugados ados int intern ernos os ent entre re par parale alelas las son suplementarios. ∠ a + ∠ b = 180º

!os "ngulos co corrre resp spon ondi dien ente tess so son n iguales si se 6allan entre paralelas. ∠a = ∠ b  

4n todo tri"ngulo rectil9neo la suma de sus tres "ngulos interiores es '()*. >eorema de t6ales, ∠ a + ∠ b + ∠ c = 180º a bb

ab

(III 4n todo rect"ngulo

tri"ngulo los dos

" ng ngu ulos agud udo os complementarios. ∠ a + ∠ b = "0º

son

A

(IV

(V

(VI

4n toro tri"ngulo el "ngulo esterior esterior es igual a

4n todo tri"ngulo el "ngu "ngulo lo 0o 0orm rmad ado o por la

4n todo tri"ngulo isósceles a los lados igua ualles se

l"n a gulo slos um erior loes s dno os "ngu s a inte indteri ores ad&acentes. ∠a = ∠b + ∠c

alt al tura uran del & mismo bise sect ctri ri;;$%rtice #ue parten parte es igual a la semidi0erencia de los otros dos "ngulos. A

oponen "ngulos iguales.

c

B

C

a

b

B

(VII

(VIII

4n todo tri"ngulo isósceles la altura relati$a a la base es mediana de dic6a base & bisectri; del "ngulo opuesto a la base.

4n todo tri"ngulo rect"ngulo de -)* & )* el cat cateto eto opues opuesto to a -)* es la mitad de la 6ipotensa.

@

/

(I(

((

4n todo tri"ngulo el "ng "ngulo ulo 0o 0orrma mado do en el ince incent ntrro es ig igua uall a 3)* 3)* m"ss la mi m" mita tass del del "ng "ngul ulo o B opuesto.

 

-)* a

 

((III !a med median iana a rel relati ati$a $a a la 6ipote 6ipotenus nusa a es igual igual a la mitad de esta.

 MN =

B  AC 

m=

2

a 2

m

  ^

2

M

4 A C

4

((IV En todo triángulo rectángulo de 15º y 75º, la altura relativa a la hipotenusa es la cuarta  parte de esta. esta.

h=

a

6 4 '2*

 C

a

I

*UA%RILÁTEROS# TEOREMAS $UN%AMENTALES IV II III

I

5

2

C

a

^

α α

B

  ^

^

√ 3

((II

 E=

 E= 90 º −

C

4l segmento #ue une los punt puntos os me medi dios os de dos dos lado ladoss es para parale lelo lo a la base e igual a su mitad.   MN )) A*

  A

2

A

((I

B B

 

A

4n todo tri"ngul ngulo o el "ngulo "ng ulo 0or 0ormad mado o por dos bise bisect ctri rice ces s in inte teri rior or & exte exteri rior or #ue #ue part parten en de distinto $ertice es igual a la mitad del tercer "ngulo.

 

4n todo tri"ngulo tri"ngulo el "ngulo 0ormado en el excentro es igual a 3)* menos la mitas del "ngulo opuesto.

2

m

m

^= +  I  90 º  2

 

a

a

α

C

B

)*

α

^

^

a αα a

a

B −C   x = x 2   ^

3)* ?

a

7ro0. 8t"nler Irigo9n :"s#ue;  Cel< 3)22)) >ele0< 22-51

s s a s a b !' !'

c !5 !5

 

/el "ng "ngulo ulo 0ormad 0ormado o por las bisectrices de 5 "ngulos consecuti$os.

/e la suma de los "ngulos interiores.   B

B C

A

 x =

 x =

C + D ^

^

C

x 2

B2

 x =

^

^

2

x

/

O /

A

/

A

 A + B + C + D = 360 º  ^

 

C

^

x A

^

 A + B ^

B

/

^

/el menor "ngulo 0ormado por por la lass bi bise sect ctri rice cess de 5 "ngulos opuestos. C  A −C 

/el /el "n "ngu gulo lo 0or 0orma mado do por por las bisectrice bisectricess exteriore exterioress de 5 "ngulos consecuti$os.

^

V

VI

VII

VIII

/e la me med diana de un b trapecio.

/el /el segm segment ento o #ue une los puntos medios de las diagonales de un trapecio. b

!o !oss lado ladoss opue opuest stos os de todo tod o par parale alelog logram ramo o son iguales.

!os "ng "ngulo uloss opu opuest estos os de to todo do pare parele leog ogra ramo mo so son n iguales.

M

´ =  MN 

B +b 2



´ =  EF 

b

B− b 2

D

4

B

α

a

a

'()* ? α

b

B

I(

a

a

!as diagonales del rombo & el cuadrado son perpendiculares entre si. a a a a

a 12* 12*

a

a

a

OL,GONOS# TEOREMAS $UN%AMENT $UN%AMENTALES ALES II III

4n un pol9gono se cumple #ue su nEmero de lados nE nEm mer ero o de $%rtices nEmero de "ngulos in inte teri rior ores es nEme nEmero ro de "ngulos exteriores ' por $%rtice,F son iguales.    = NºV = Nº./  = Nº./ 

Emero Emer o de diag diagona onale less desde un $%rtice. Emero de tri"ngulos. C B A

V

8u 8uma ma de lo loss "ngul ngulos os exteriores.   ∑. = 360º

ee1

VI

i

e2

i

I(

( −2 )

180 º  n

i

2

( k 

VII

Angulo exteri Angulo exterior or & central central de un pol9gono regular. ∡c

c

n

=∡ee =

360 º 

n

i2 i1

VItIoItal

Emero diagonales.  ND =

i

(

-

1

Cual#uier pol9gono cónca$o ó con$exo

Jn Jngu gulo lo inte interi rior or de un pol9gono regular regular.. m ∡i i =

e'

IV

4l nEm nEmero ero de dia diagon gonale aless 8uma de los "ngulos #ue se tra;an de GH interiores. $%rtic $%r tices es consec consecuti uti$os $os en   ∑. =180º4 & 5 un pol9go pol9gono no de Gn Gn lad lados os i es< i' i5 i ND PARCIALES= nk −

  Nº%V =  & 3 Nº2/ =  &    

e5

a

a

a

I

α

(

!as !as dia iago gona nale less del del rombo ombo & el cuad cuadra rad do son son bisectrices interiores. a a a

α α

'()* ? α

7ro0. 8t"nler Irigo9n :"s#ue;  Cel< 3)22)) >ele0< 22-51

(II

n ( n −3 ) 2

de

 

8u 8uma ma de lo loss "ngul ngulos os interiores de un pol9gono estrellado. ∡i

=180 º ( n −4 ) in

Al unir los $%rtices de un pol9gono con$exo co con n un punt punto o #ue #ue se encu encuen entr tra a en su interior el pol9gono #ueda descompuesto en tantos tri"ngulos como lados tenga.   Nº 2/ = 

Al uni unirr los los $% $%rt rtic ices es de un pol9 pol9go gono no con$exo con un punto #ue se encuentra sobre uno de sus lados el pol9 pol9go gono no #ued #ueda a desc descom ompu pues esto to en tanto tantoss tr tri" i"ng ngul ulos os com como o lado ladoss teng tenga a menos uno.   Nº 2/ =  & 1

i' i5

i-

  < * de $%rtices de la estrella

l 

*IR*UN$EREN*IA  *,R*ULO# * ,R*ULO# TEOREMAS $UN%AMENT $UN%AMENTALES ALES IV I II III

Ar O

4l radio es perpendicular a la tangente.

Arco coss comp comprrend endidos idos entre ent re cuer cuerdas das parale paralelas las son congruentes.

OA ⊥ l 

C

A arcos co corrresponde iguales. B

 >odo odo radio perpendicular a iguales le  > una cu cuer erda da la di di$i $ide de en cue uerrdas una partes iguales a ella & al C C arco subtendido.

/ A

O

A

B

A

   si : CD //  AB  ⇒  AC  ≅  BD

O M

/

/

  ⇒  AB = CD  si :  AB ≅ CD

Si : OA ⊥ CD   ⇒ CM  =  MD

^ ^

 AC = AD  AC   AD

V

VI

 >angentes 7or el punt punto o exte exteri rior or a  >angentes una circun0erencia sólo se exteriores< puede tra;ar 5 tangentes las cuales son A congruentes.

 

OA  = A OB

VII comunes  >angentes  >angentes interiores.

VIII

comunes

C

R B



B

7

/

M

I( % 7c9:;

  b + <

 AB = CD

 

((

  b + db

b a

A

r

(III

 PQ =  MN 

(I

m∠C  = 90º

 

(II

Jngulo central

a+c= B A

  AB & *% = A% & B*

(IV

 x

^

= AB  AB

CC

/ d

c

BO

K

% /:<

c

a

1

 

% ::;

a+c=

en

C

R O

Jngul ulo o inscr criito semic9rculo.

(V

7ro0. 8t"nler Irigo9n :"s#ue;  Cel< 3)22)) >ele0< 22-51

A r o x r

B

(VI

un

 

Jngulo inscrito  x

^ =  AB  AB

A

Jngulo 4x?inscrito.

A  x =

2

x

7

Jngulo semiscrito.

^^^

 APC  C  APC 

 x =

^

 AB  AB

x

tg

B

C

Jngulo exterior. A  x =

C  AB −CB

^ ^ 2

/

B

^ ^

 AB − CD  AB CD 2

A

C

x

4l #ue se 0orma al unir los pun puntos tos de tangenc tangencia ia es recto.

C

B

(VIII

(I( /el "ng ngul ulo o int nte erior & opue opuest sto o exte exteri rior or de un cuadril"tero inscrito.

180º

 

=θ

α

((II   + θ  = 180º B

C

((III /e nagel.

  =θ

B r

α A A

2

2

x

/e los "ngulos "ngulos opu opuest estos os del cuadril"tero inscrito.   + θ  =

 >  >angente angente comEn exterior B

/e los "ngulos 0ormados por las diagonales con los la lado doss opue opuest stos os de un cuadril"tero inscrito.

=θ

2

α

((I

α

^^

A   AB /+ CD AB CD

 x =

x

((

 

 AP+ PC   AP  PC 

x 7

A

(VII  x =

2

=

2

B

 

Jngulo interior.

7ro0. 8t"nler Irigo9n :"s#ue;  Cel< 3)22)) >ele0< 22-51



C