FORMULARIO DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO

GEOMETRIA DEL ESPACIO PRISMA 1. Prisma recta: SL

=

2P

S T

= SL + 2B

B

h

B

III. PIRÁMIDE

h

V = B× h

1. Pirámide regular

B

SL = ( PB) sP S T = SL + B 1 V = Bxh I 3

Paralelepípedo recto (rectoedro) d2 =a2 +b2 +c2 S T

2(ab +ac +bc)

V =abc

=

Cubo (exaedro regular) S T

b b

a 3

=

V

=

V

=

2

6a 3

a

d

a

3

d

2. Pirámide Irregular

3

a

9

= S  L + 2 B V  = ( AS . R ) a V  =  Bxh

B

h

S T 

S . R

s e c →

∑

SL = ( áreadec adeca aras laterales) S T = SL + B 1 V = Bxh 3

a

2. Prisma Oblicuo: S  L = [ 2 p S . R ] a

SR

h

a

ción

recta

CILINDRO Cilindro circular recto (o de revolución) S  L

=2 π  

S T 

= 2π  

V 

ap

B

b

a

=

h

c

d

d

I

B SL = πRg S T = πR( g+ R) 1 V = πR2h 3 g

 Rg   Rg   R( g  + R )

α

 R 2 g 

SL

= π  

g

S.R. → sección recta R 1 V = πR2h 3

g

h

g h

α º= R

R

R

360ºR g

g2 = h2 + R2 2. Cilindro Oblicuo SL = [ 2pS.R ] g B S T = SL + 2B V = ( AS.R S.R ) g

2. Cono Oblicuo:

SR

S T = SL + B h

g

V = Bxh

B

1 V = Bxh 3

h

Si S.R. es círculo ( π R ), entonces B es el elipse B = π ab 2

a

b

B

2πR

 Troncos I. tronco de prisma 1. tronco de prisma triangular recto SL =

∑ área de caras laterales

V = ( πR2) xeje

 a+ b+ c   V = B1    3  

S T = S L + B1+ B2

gM + gm 2 SL = ( 2πR) xe xeje S T = S L + B1+ B2 00 1 2=

O2 gM

eje O1

B2 O2

gM

gm = 0

C

O1

a

2. Tronco de cilindro circular oblicuo Sección recta (S.R)

b

S.R → circuloπR2 B1yB2 → Elip lipses SL = ( 2πR) .e .eje S T =S L+B 1+ B2 V = [ AS.R ] .eje

B1

 a+ b+ 0     3  

Si:C = 0

gm

gM eje:00 1 2= 2

V = B1

B2

B2

S.R

a

gM

C= O

b

R

eje

gm

B1

Si:b= 0 ; c = 0 Pirámide  a+ 0+ 0  V = B1    3  

eje =

gM + gm 2

B2

a

gM

C= 0

2. Tronco de prisma triangular oblicuo

∑

SL = ( áreaca acaras laterales) S T = S L + B1+ B2

 a+ b+ c  V = b  h1 + h2 + h3  1   3  3   

V = A1

S T =S L+B 1+ B2 h V = ( B1 + B1B2 + B2 ) 3

B1

h at

B2

h1 S.R

h2 C

b

at

     

B2

a

g= 0 M

III. TRONCO DE PIRÁMIDE 1. Tronco de Pirâmide regular SL = ( PB1 + PB2 )

b= 0

B1

B1

h2

B1

2. Tronco de pirámide irregular

∑

SL = ( áreacarasla slaterales) S T =S L+B 1+ B2 h V = ( B1 + B1B2 + B2 ) 3

B1

h

II. TRONCO DE CILINDRO 1. Tronco de cilindro circular recto

B2

3. Tronco de pirámide de 2da especie B1  Enplanos  B2 Paralelos h V = B1 − B1B2 + B2 3 B1

ESFERA 1. Superficie esférica y Volumen SE = 4πR2

πd3 4 Ve = πR3 = 3 6 π = 3.1416

h

R d

0

B2

2. Huso esférico (superficie) y cuña esférica (volumen)

IV. TRONCO DE CONO 1. Tronco de como circular recto SL = π( R + r) g S T = SL + πR2 + πr2 πh V = R2 + Rr + r2  3

SH.E =

αºπR2

SC.E =

90º

α ºπR3 270º

r R

R g

0

0

h

α

αR

R

R

α º=

3. Sector esférico (volumen)

360º( R − r) g

h

0 R

g

α

Desarrollo de la superficie lateral del tronco 2πr 2. Tronco de cono oblicuo SL S T =S L +B 1+ B2 h V = B1 + B1B2 + B2 3

g

h

2 2 CS.E S.E = πR h 3 h

2πR

R

B2

0

h

4. Anillo esférico (volumen) 1 2 VA.E = π ( AB) h 6

B1

3. Tronco de cono de 2da especie B1  Enplanos  B2 Paralelos B2 h V = B1 − B1B2 + B2 3

A 0

h

B r2

h

5. Zona Zona esfér esféric ica a (sup (super erfic ficie) ie) y el segm segment ento o esférico (volumen) R 0

B1

r

h

SZ.E = 2πRh SS.E =

πh3 πr12h πr22h + + 6

2

2

POLIEDROS REGULARES 1. Tetraedro regular a 6 3 2 A= a 3

h=

V=

a3 12 12

h

a

6. Casquete esférico y segmento esférico de una base SZ.E = 2πRh SS.E =

πh3 πr2h + 6

VS.E =

2

πh2 3

( 3R − h)

2. Exaedro regular ver prismas 3. Octaedro regular d= a 2 A T = 2a2 3

0 R

V=

r

a

a3 2 3

b

h

TEOREMA DE APPUS GULDING 1. Superfice generada SG = 2πXL

4. Dodecaedro regular S T = 3a2 25+ 10 5

360º

L

V=

X

a2 ( 15− 7 5) 4

C.G

a

EJE

X: Distancia del centro de gravedad de la línea al eje L: Longitud de la línea cerrada o abierta

2. Volumen generado VG = 2πXA

5. Icosaedro regular S T = 5a2 3 V=

A

5a2 ( 3+ 5) 12

360º

a

X

C.G

EJE

RELACIÓN DE SÓLIDOS V1 = V2

V1 V

2 2. Teorema de Arquímedes

A: Área de la región plana Nota: El eje no debe cortar a la figura que gira ( línea o región)

Vcilin V V indro = esfera = cono 3 2 1

r: radio de la esfera inscrita h1; h2; h3; h4 → alturas

3. Tetraedros que tienen un ángulo triedro congruente  Tetraedros {SABC; SDEF

1 1 1 1 1 = + + + r h1 h2 h3 h4

Angulos tried triedros*S− ABC  Con Congruentes *S− DEF VSABC VSDEF

=

SA.SB.SC SD.SE.SF

r

S

3. Tetraedro con trirrectángulo

B C

A

un

ángulo

triedro

1 1 1 1 = + + h3 a2 b2 c2 2

D

( SAOB) = SABC × SAHB

F

2

( SBOC ) = SABC × SBHC 2

( SAOC ) = SABC × SAHC E 4. Sólidos semejantes

h1 B1

B2

2

2

h1 h2

b1

2

2

( SAOB) = ( SBOC) + ( SAOC) = ( SABC)

B1 O

c

B2

b2

a h b

Relación de volúmenes

A

V1 H13 b13 r13 = = = = ..... = k3 V2 H32 b32 r23

C

H B

Relación de superficie B1 SL1 ST1 h12 = = = = ...... = k2 B2 SL2 ST2 h22

OTRAS PROPIEDADES 1. Poli Polied edro ro circ circun unsc scri rito to a un una a esfe esfera ra o sólido con esfera Inscrita R: radio de la esfera inscrita

4. Área de la sección determinada por un pla plano equ equidis distant tante e de las las bas bases del del tronco de pirámide o cono 2

 B + B2   Bm =  1      2   

1 Vsólido = ST.R 3

B1 Bm

h 2

B2

h 2

Bm: Base media R

2

 B + B2   Bm =  1     2    = r1 + r2 rm

2. Tetraedros

r1

2

h 2

Bm

h 2 r2