Formulario de Ecuaciones Diferenciales AAR

Formulario de ecuaciones diferenciales

por Alfredo Alonso Rodríguez Ing. Civil

Formulario de solución de Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Por: Alfredo Alonso Rodríguez Ingeniería Civil

Método de exactas 𝑀(𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 Condición para ser una ecuación diferencial exacta:

Separables 𝑔(𝑥

= ℎ(𝑥

o bien

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝜕𝑓 𝜕𝑥

= ℎ(𝑥 𝑔(𝑥

𝑑𝑥 ℎ(𝑥

=

𝜕𝑁 𝜕𝑥

𝑑𝑦 𝑔(𝑦

o bien

=

=

𝑀

𝜕𝑓 𝜕𝑦

ó

=

𝑁

2. Derivar e igualar

Se dice que es de variables separables: 𝑑𝑦 𝑔(𝑦

=

1. Integrar para encontrar f(x,y)

Ecuación diferencial de la forma: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝜕𝑀 𝜕𝑦

ℎ(𝑥 𝑑𝑥

𝜕𝑓 𝜕𝑦

=𝑁

𝜕𝑓 𝜕𝑥

ó

=𝑀

Factores integrantes Método de lineales

𝑓(𝑥, 𝑦 𝑀(𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

Resolver una ecuación diferencial lineal 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Factor de integración 𝑓(𝑥, 𝑦 no es unico:

+ 𝑝(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥

1. Solo depende de x:

Encontrar el factor integrante 𝜇(𝑥 = 𝑒

𝑝(𝑥 𝑑𝑥

Multiplicar la ecuación diferencial por 𝜇(𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑒

𝑝(𝑥 𝑑𝑥

𝑝(𝑥 𝑑𝑥

𝑦=

𝑦=

𝑦 =

𝑓(𝑥 𝑒

𝑓(𝑥 𝑒

𝑓(𝑥 𝑒

𝑝(𝑥 𝑑𝑥

𝑒

𝑝(𝑥 𝑑𝑥

𝑝(𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥

2. Solo depende de y:

+ 𝑝(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝜇(𝑥 𝑑𝑥

𝑑(𝑒

𝐹(𝑥 = 𝑒

𝜕𝑀 𝜕𝑁 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑁

𝑝(𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥 + 𝑐

𝑑𝑥 + 𝑐

𝐹(𝑦 = 𝑒

𝜕𝑁 𝜕𝑀 − 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑀

𝑑𝑦

3. Ecuación diferencial de la forma: 𝑝𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑞𝑑𝑦 = 0 , 𝑝, 𝑞 𝜖 ℝ Entonces

𝑓(𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑝−1 𝑦 𝑞−1

 ∃ 𝑓(𝑥, 𝑦

∋

𝜕𝑓 𝜕𝑥

=𝑀,

Bernoulli

Homogéneas

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑀(𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

+ 𝑝(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑦 𝑛

Sustitución: 𝑤 = 𝑦1−𝑛 Transformar a una ecuación lineal 𝑑𝑤 𝑑𝑥

+ (1 − 𝑛 𝑝(𝑥 𝑤 = (1 − 𝑛 𝑓(𝑥

𝜕𝑓 𝜕𝑦

=𝑁

Si tiene la propiedad que 𝑀 𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 = 𝑡 𝑛 𝑀(𝑥, 𝑦 , 𝑁 𝑡𝑥 , 𝑡𝑦 = 𝑡 𝑛 𝑁(𝑥, 𝑦 es ecuación homogénea. Método de solución; usar una de las siguientes situaciones:

Resolver con el método de lineales

𝑦 = 𝑢𝑥, 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢

Sustituir w por su respectivo valor

𝑥 = 𝑣𝑦, 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣

Formulario de ecuaciones diferenciales

Formulario de solución de Ecuaciones Diferenciales de orden superior Por: Alfredo Alonso Rodríguez Ingeniería Civil

por Alfredo Alonso Rodríguez Ing. Civil

Método de variación de parámetros 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 Encontrar

𝑢1 y 𝑢2 tal que 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2

Sea una solución particular de la ecuación no homogénea:

Homogéneas

𝑦´´ + 𝑃(𝑥 𝑦´ + 𝑄(𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥

Raíces diferentes:

𝑦1 𝑦2 𝑊= 𝑦 ´ 𝑦 ´ 1 2

𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑚2 𝑥 Raíces iguales: 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 𝑚𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑚𝑥

𝑦2 𝑓(𝑥 𝑊

𝑢1 = −

𝑑𝑥

Raíces imaginarias: 𝑦𝑐 = 𝑒 ∝𝑥 (𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥

𝑢2 = dn y dxn

Reducción de orden Elaboración de una segunda solución a partir de una solución conocida.

𝑒 − 𝑝(𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (𝑦1 2

𝑦2 = 𝑦1

𝑦1 𝑓(𝑥 𝑊

+ Pn−1 (x

𝑢𝑛 =

dn−1 y dxn−1

𝑑𝑥 + Pn−2 (x

dn−2 y dxn−2

+ ⋯ + P1 (x

dy dx

+ P0(x y = f(x

𝑊𝑛 𝑑𝑥 𝑊

Transformada de Laplace Útil para resolver problemas de valor inicial lineales

Donde p(x) es el coeficiente que acompaña a la primera derivada.

Transformada Integral: 𝑏

𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡 𝑑𝑡 = ℒ 𝑓(𝑡

0

No Homogéneas 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑦 = solución general 𝑦𝑐 = solución de la homogénea 𝑦𝑝 = soluciónparticular

Operador anulador 𝐷 𝑛 → 1, 𝑥, 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛−1 → 𝑒 ∝𝑥 𝑥𝑒 ∝𝑥 , 𝑥 2 𝑒 ∝𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝑒 ∝𝑥

𝐷 2 − 2 ∝ 𝐷 + (∝2 + 𝛽 2 ∝𝑥

ℒ 𝑦´´(𝑡

= 𝑠 2 ʏ(𝑠 − 𝑠 𝑦(0 − 𝑦´(0

ℒ 𝑦´´´(𝑡

= 𝑠 3 ʏ(𝑠 − 𝑠 2 𝑦(0 − 𝑠 𝑦´(0 − 𝑦´´(0 = 𝒔𝒏 ʏ(𝒔 − 𝒔𝒏−𝟏 𝒚(𝟎 − 𝒔𝒏−𝟐 𝒚´(𝟎 −. . . 𝒚(𝒏−𝟏 (𝟎

𝓛−𝟏 ʏ(𝒔

D : operador diferencial lineal

𝑛

= 𝑠 ʏ(𝑠 − 𝑦(0

𝓛 𝒚𝒏 (𝒕

𝑑𝑛 𝑦 = 𝐷2 𝑦 𝑑𝑥 𝑛

(𝐷−∝

ℒ 𝑦´(𝑡

∝𝑥

2 ∝𝑥

𝑛

→

𝑒 cos 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒 cos 𝛽𝑥 , 𝑥 𝑒 cos 𝛽𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝑒 ∝𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 , 𝑥 2 𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥 , … , 𝑥 𝑛−1 𝑒 ∝𝑥 sin 𝛽𝑥

= 𝒚(𝒕