Formulario de Cálculo Vectorial

1 FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL. VECTORES: Norma de un vector:

u 

u u 2

2

1

2

Vector unitario:

Producto punto o producto escalar:

u u

u  v   ui  vi  u1v1  u 2 v2    u n vn

   un 2

n

i 1

Cosenos directores:

cos( ) 

u u1 u , cos( )  2 , cos( )  3 ; u u u

cos2 ( )  cos2 (  )  cos2 ( )  1 Producto cruz o producto vectorial:

u  v  u v sen( )

u  v  u v  (u  v) 2

2

2

2

Área del paralelogramo generado por u y v:

Angulo entre dos vectores:

uv cos( )  uv

Área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo generado por u y v

A  uv

Triple producto escalar:

Componente de v a lo largo de u:

uv uv cos( )   v cos( ) u u

compu v 

Producto cruz o producto vectorial:

i j u  v  u1 u 2 v1 v 2

k u3  v3

 i(u 2 v3  v 2 u 3 )  j (u1 v3  v1u 3 )  k (u1 v 2  v1u 2 )

u1 u  (v  w)  v1 w1

u2 v2 w2

Volumen del paralelepípedo generado por

u3 v3 w3

u, v, w:

V  u  (v  w) Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen del paralelepípedo generado por u, v y w.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. Ecuación vectorial de la recta:

r  r0  tv

: donde v es el

vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.

Ecuaciones paramétricas de la recta:

Ecuaciones simétricas de la recta:

x  x0 y  y0 z  z0   ; con v1 v2 v3

Ecuación vectorial del plano:

x  x0  tv1 y  y 0  tv 2 z  z 0  tv3

v1v2v3  0

n  (r  r0 )  0

donde n es el

vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).

Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0) y tiene como vector normal a n =(a,b,c):

a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0 . x  x0  tv1  su1 Ecuaciones paramétricas del plano: y  y  tv  su 0 2 2 z  z 0  tv3  su 3

Distancia de un punto Q a un plano:  

D  comp n ( PQ) 

PQ n n



ax0  by0  cz 0  d a2  b2  c2



Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por: D  SUPERFICIES. Una superficie de revolución tiene la ecuación: x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y

DERIVADAS PARCIALES

PQ u

, donde P es un punto cualquiera de la recta.

u

Superficies cuadráticas: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0 Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico.

2 Derivadas parciales de orden superior: 2   f   2   f   f ( x, y)     f x  f xx ; f ( x, y)     f y  f yy 2 x x  x  x y 2 y  y  y    f      f   f ( x, y)     f y  f yx ; f ( x, y)     f x  f xy xy x  y  x yx y  x  y 2

2

Gradiente de z=f(x,y)

f ( x, y)  ( f x , f y ) .

Gradiente de w=f(x,y,z)

f ( x, y, z )  ( f x , f y , f z )

Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector normal a la superficie z está dado por:

F ( x, y, z )  ( Fx , Fy , Fz )

La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por:

Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto (x0,y0) entonces:

La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:

La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por: x  x0  Fx ( x 0 , y0 , z0 ) t; y  y0  Fy ( x 0 , y0 , z0 ) t; z  z0  Fz ( x 0 , y0 , z0 ) t

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:

Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:

REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:

Du f ( x 0 , y 0 )  u  f ( x 0 , y 0 )   (u1 , u 2 )  ( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ))

F ( x0 , y0 , z0 )  x  x0 , y  y0 , z  z0   0

z z dz  dx  dy x y

REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:

z z x z y   s x s y s

z z x z y   t x t y t

;

z  dz  f x ( x 0 , y 0 )dx  f y ( x 0 , y 0 )dy

( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1)  x  x0 , y  y0 , z  z0   0

x  x0  f x ( x 0 , y0 ) t;

y  y 0  f y ( x 0 , y0 ) t ;

z  z0  t

dz z dx z dy   dt x dt y dt

DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en donde z=f(x,y), entonces:

F Fx z    x F x Fz z

;

F Fy z y    F y Fz z

CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y). Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces: 1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)0 y fxx(x0,y0)>0 3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D