FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.

1

UNIVERSIDAD LA SALLE ESCUELA DE INGENIERÍA ÁREA DE MATEMÁTICAS FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL. VECTORES: Norma de un vector: 2

2

1

2

u +u

u =

Vector unitario:

Producto punto o producto escalar:

u u

2

+  + un

n

u ⋅ v = ∑ u i ⋅ vi = u1v1 + u 2 v 2 +  + u n v n i =1

Cosenos directores:

Angulo entre dos vectores:

Componente de v a lo largo de u: u v u ⋅v comp u v = cos( θ) = = v cos( θ) u u

Área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo generado por u y v

Producto cruz o producto vectorial:

u1 u u , cos( β) = 2 , cos( γ ) = 3 ; u u u cos( θ) = u ⋅ v u v cos 2 (α) + cos 2 ( β) + cos 2 (γ ) =1 cos( α) =

Producto cruz o producto vectorial: u ×v = u v sen (θ) u ×v

2

=u

2

v

2

−(u ⋅ v ) 2

Área del paralelogramo generado por u y v: A = u ×v

i

j

k

u × v = u1

u2

u3 =

v1

v2

v3

= i (u 2 v 3 − v 2 u 3 ) − j (u1 v 3 − v1 u 3 ) + k (u1 v 2 − v1 u 2 ) u1

u2

u3

Volumen del paralelepípedo generado por

Triple producto escalar: u ⋅ (v × w) = v1

v2 w2

v3 w3

Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen del paralelepípedo generado por u, v y w.

w1

u, v, w:

V = u ⋅(v ×w)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

x = x 0 + tv1

Ecuación vectorial de la recta: r = r0 + tv : donde v es el vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.

Ecuaciones paramétricas de la recta: y = y 0 + tv 2

z = z 0 + tv 3

Ecuaciones simétricas de la recta:

x − x0 y − y0 z − z0 = = ; con v1 v2 v3

v1v2v3 ≠ 0 Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0) y tiene como vector normal a n =(a,b,c):

Ecuación vectorial del plano: n ⋅ ( r − r0 ) = 0 donde n es el vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).

a ( x − x 0 ) + b( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0 .

x = x0 + tv1 + su 1

Distancia de un punto Q a un plano: →

Ecuaciones paramétricas del plano: y = y 0 + tv 2 + su 2

D = comp

z = z 0 + tv 3 + su 3

→

n

( PQ ) =

PQ n n

=

ax 0 + by 0 + cz 0 − d a 2 +b 2 +c 2

→

Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por: D = SUPERFICIES. Una superficie de revolución tiene x2 + y2 = [r(z)]2 girando en y2 + z2 = [r(x)]2 girando en x2 + z2 = [r(y)]2 girando en

la ecuación: torno al eje z torno al eje x torno al eje y

PQ ×u

, donde P es un punto cualquiera de la recta.

u

Superficies cuadráticas: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0 Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico.

2 DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales de orden superior:

∂2 ∂  ∂f  ∂ f ( x, y ) = f x = f xx ;  = 2 ∂x ∂x  ∂x  ∂x ∂2 ∂  ∂f  ∂   f ( x, y ) =  = ∂x f y = f yx ; ∂x∂y ∂x  ∂ y  

Gradiente de z=f(x,y) ∇f ( x, y ) =( f x , f y ) .  ∂f  de ∂ ∂2 ∂ w=f(x,y,z)   f ( x, y ) = Gradiente f y = f yy 2 y= ( x , , z ) ∂y ∂∇ y f ∂ y ∂ y=( f x , f y , f z )   Si F(x,y,z)= f(x,y)= 0, entonces un vector ∂2 ∂  ∂f  z – ∂ f ( x, y ) = = f x z=está f xy dado por: normala lasuperficie ∂y∂x ∂y  ∂x  ∂y ∇F ( x, y , z ) = ( Fx , Fy , Fz )

La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por:

Du f ( x 0 , y 0 ) = u • ∇f ( x 0 , y 0 ) =

Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto (x0,y0) entonces:

∆z ≅ dz = f x ( x 0 , y 0 ) dx + f y ( x 0 , y 0 ) dy

= (u1 , u 2 ) ⋅ ( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 )) La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:

La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:

Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:

REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:

∇F ( x0 , y0 , z 0 ) • ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0 x = x0 + Fx ( x 0 , y0 , z 0 ) t ;

y = y 0 + Fy ( x 0 , y 0 , z0 ) t ;

z = z 0x+ =Fxz0( − x 0 ,f xy(0x, 0z,0y)0t) t ;

∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t

;

y = y 0 − f y ( x 0 , y0 ) t ;

dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt

REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s

( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), −1) • ( x − x0 , y − y 0 , z − z0 ) = 0

DERIVACIÓN IMPLÍCITA. donde z=f(x,y), entonces:

∂F Fx ∂z =− = − ∂x ∂F ∂x Fz ∂z

;

Si

F(x,y,z)=

0,

en

∂F ∂z ∂y =− =− ∂ F ∂y Fz ∂z Fy

CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y). Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces:

1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)0 y fxx(x0,y0)>0 3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D 0, y ≥ 0 x = ρ s e (nφ ) c o θs () ; y = ρ s e (nφ )s e (nθ ) ; z = ρ c o sφ )( ; ρ   t a n− 1 ( y x) x = r c oθ )s ; (y = r s (eθ ) n; z = z; x 2 + y 2 = r 2 ; θ =  π + t a − 1n( y x) s i x < 0  2π + t a − 1n( y x) s i x > 0, y < 0 ρ = x 2 + y 2 + z 2 ; φ = c o −s1 ( z / ρ ) ; θ =  π + t a n− 1 ( y    2π + t a n− 1 ( y r ≥ 0; 0 ≤ θ ≤ 2π  CAMBIO DE VARIABLE

POLARES

∫∫f(x, R

CILINDRICA

y)dxdy = ∫∫f(rcos( θ ), rsen( θ )) r drd θ Q

∫∫∫f(x,

S:

y, z)dxdydz

R

ESFERICAS

:

∫∫∫f(x, S

y, z)dxdydz

= ∫∫∫f(rcos( θ ), rsen( θ ), z) r drd θ dz Q

=∫∫∫f(ρ sen( φ )cos( θ ), ρ sen( φ )sen( θ ), ρ cos( φ ))ρ 2 sen( φ )d ρ dφ dθ Q

SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:

4 r (t ) = x(t )iˆ + y (t ) ˆj

CURVA EN EL PLANO ˆ ˆ r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t ) kˆ CURVA EN EL ESPACIO , ENTONCES VECTOR

ds = r ' (t ) dt ACELERACIO N a (t ) = r ' ' (t ) = aT T (t ) + a N N (t ) v(t ) =

RAPIDEZ VECTOR

VECTOR TANGENTE VECTOR

NORMAL

VECTOR

BINORMAL

T (t ) =

UNITARIO PRINCIPAL

r ' (t ) r ' (t ) N (t ) =

UNITARIO

T ' (t ) T ' (t )

B (t ) = T (t ) × N (t ) v(t ) ⋅ a (t ) d 2 s = 2 v (t ) dt

COMPONENTE

S DE LA ACELERACIO

N

aT = a (t ) ⋅ T (t ) =

COMPONENTE

S DE LA ACELERACIO

N

a N = a (t ) ⋅ N (t ) =

FORMULAS K = K =

:

v(t ) = r ' (t )

VELOCIDAD

PARA LA CURVATURA

y' '

[1 + ( y') ] 2

3

C

DADA

a (t )

2

− aT2 =

v(t ) × a (t ) v(t )

2

 ds  = K   dt 

EN EL PLANO y = f ( x)

POR

2

x' y ' '−y ' x' '

C DADA POR x = x(t ), y = y (t ) 2 32 + ( y ') FORMULAS PARA LA CURVATURA EN EL PLANO O EN EL ESPACIO

[( x')

T ' (t )

K = K =

]

2

r ' (t )

=

r ' (t ) × r ' ' (t ) r ' (t )

3

a (t ) ⋅ N (t ) v(t )

RECUERDE

2

QUE LAS FORMULAS

CON PRODUCTOS

VECTORIALE

S SOLO SE APLICAN

A CURVAS

EN EL ESPACIO .

AREA DE LA SUPERFICIE

∫∫dS R

INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO REALIZADO)

[

]

b

= ∫∫ 1 +[ f x ( x, y )] + f y ( x, y ) dAF ⋅ dr = F ⋅ Tds = F ( x (t ), y (t ), z (t )) ⋅ r ' (t ) dt ∫ ∫ ∫ 2

2

R

C

LONGITUD DE ARCO b

b

a

a

s = ∫ r ' (t ) dt = ∫

[ x' (t )]

C

a

SI F ES UN CAMPO VECTORIAL

2

+ [ y ' (t ) ] + [ z ' (t )] dt 2

DE LA FORMA F ( x, y ) = Miˆ + N

2

r (t ) = x (t )iˆ + y (t ) ˆj

ENTONCES

∫ F ⋅ dr = ∫ Mdx

C

SI F ES UN CAMPO VECTORIAL r (t ) = x (t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t ) kˆ

DE LA FORMA F ( x, y , z ) = Miˆ +

ENTONCES

∫ F ⋅ dr = ∫ Mdx

C

INTEGRAL DE LÍNEA

+ Ndy

C

+ Ndy +

C

SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI

∂M ∂N = ∂y ∂x

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI

5 C ESTA DADA POR r (t ) = x (t )iˆ + y (t ) ˆj

SI

iˆ ∂ 2 2 (F ) = rot ∫C f ( x, y )ds = ∫a f ( x(t ), y (t )) [ x' (t )] +[ y ' (t )] dtj ∂x M SI C ESTA DADA POR r (t ) = x (t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t )kˆ

ˆj ∂ ∂y N

b

b

∫ f ( x, y, z )ds = ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t ))

C

kˆ  ∂P ∂N  ∂  ∂P ∂M  ˆ ∂N  = iˆ − − ˆj  −  + k    ∂x − ∂z ∂z  ∂z   ∂x  ∂y  P

[ x' (t )]2 +[ y ' (t )]2 +[ z ' (t )]2 dt

a

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES:

1. − F ES CONSERVATI

SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO, ENTONCES

ESTO ES F = ∇F ⋅ dr = ∫ALGUNA ∇f ⋅ dr =f f ( x (b), y (b)) − f ( x ( a ), y ( a )) ∫C f PARA C ES INDEPENDIE NTE DEL CAMINO

2. − ∫ F ⋅ dr

VO .

DONDE

C

3. − ∫ F ⋅ dr = 0

PARA TODA CURVA

C

f(x,y)

ES

UNA

F ( x, y ) =∇f ( x, y ) CERRADA

C

FUNCIÓN

POTENCIAL

DE

F,

ES

DECIR:

SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES

∂M ∂N divF ( x, y ) = + ∂ x ∂y = ∫ ∫dS = ∫ ∫ru × rv dA

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA.

AREA

DE

LA

SUPERFICE

S

DONDE : ru =

D

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F

∂x ∂y ∂z ˆ ∂x ∂y divF∂(zxˆ, y , z ) = ∂M + ∂N + ∂P ˆj + iˆ + k , rv = iˆ + ES ˆj + k ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v

TEOREMA DE GREEN

INTEGRALES DE SUPERFICIE

 ∂N ∂M   z = g ( x, y ) ∫C Mdx + Ndy = ∫∫  ∂x − ∂y  dA  R  2 2 ds = 1 + [ g x ( x, y )] + g y ( x, y ) dA  ∂N ∂M  ˆ  ∫ F ⋅ dr = ∫∫  ∂x − ∂y  dA = ∫∫rot ( F ) ⋅ k dA 2 2 f  C R  R ∫∫ ( x, y, z )dS = ∫∫f ( x, y, g ( x, y)) 1 + [ g x ( x, y )] + g y ( x, y) dA Forma

[

∫ F ⋅ N ds = ∫∫div ( F ) dA

C

R

S

∫∫F ⋅ N S

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS). Relaciona una integral triple sobre una región sólida Q, con una integral de superficie sobre la superficie de Q

∫∫F ⋅ N dS = ∫∫∫div ( F )dV S

R

]

[

[

]

dS = ∫∫F ⋅ − g x ( x, y ) iˆ − g y ( x, y ) ˆj + kˆ dA

]

Forma vectorial ( nor

R

Forma paramétric a

∫∫f ( x, y, z )dS S

∫∫F ⋅ N S

= ∫∫f ( x(u , v), y (u , v ), z (u , v)) dS

Forma escalar

D

dS = ∫∫F ⋅ [ ru × rv ]dA

Forma vectorial

R

Q

TEOREMA DE STOKES. Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada que constituye el borde de S.

∫ F ⋅ dr = ∫∫(rot ( F )) ⋅ N dS

C

S

e