formulario Calculo 2 integrales

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M

O

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VOLUMEN 2 'i ¡ i i y

TERCERA EDICIÓN

TOPICOS DE CALCULO VOL. II

- INTEGRAL INDEFINIDA - INTEGRAL DEFINIDA •INTEGRALES IMPROPIAS - APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - COORDENADAS POLARES - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL - SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA

TOPICOS DE CALCULO VOL. II TERCERA EDICION MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA IMPRESO EN EL PERU

PRINTED IN PERU

Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios gráficos, sin permiso de los autores. Número de Inscripción en le Registro Nacional de Derechos de Autor N° 160 Impreso en los Talleres Gráficos de: Editorial THALES S.R.L.

TERCERA EDICION

Mayo del 2009

PRÓLOGO E n esta se g u n d a e d ició n de T ó p ic o s de C á lc u lo V o l. II, n o s h e m o s e sfo rza d o por presentar el cá lc u lo integral para fu ncio n e s reales de una va ria b le real y la geom etría an alítica en el espacio, en fo rm a tal que resulte de m á x im o p ro v e c h o a los

estudiantes

cuyo

ca m p o

de

e sp e cia liza ción

no

sea

estrictam ente

las

m atem áticas. L a orientación p rin cipal del libro es ha cia a p lic a c io n e s en d iv e rsa s áreas de la ciencia, lo cual a m p lía la utilidad del texto. A u n q u e en esta e d ició n la estructura b ásica general no se ha ca m bia do , se ha realizado una gran cantidad de revisiones. H e m o s reestructurado casi la totalidad del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho u na gran cantidad de m o d ific a c io n e s a lo

largo

de

todo

el

libro,

lo s

cuales

con siste n

en

ejem p los

a d icio n ale s

d e sa rrolla d os y re d acción de procedim ientos. E l conjunto de ejercicios prop u e stos se ha m od ifica d o , co n la a d ició n de n u e vo s ejercicios. E l L ib r o se d iv id e en siete capítulos. E n los p rim e ro s cuatro ca p ítulo s se hace una presentación de la integral indefinida, integral definida, integral im p ro pia, y sus a plicaciones.

Hem os

visto

por

co n ve n ie n c ia

desarrollar

p rim e ro

la

integral

inde finid a con la fin a lid ad de fa m iliarizar al estudiante con las técnicas y/o artificios de integración que luego se usan en los ca p ítu lo s siguientes. E l capítulo cin co trata sobre las co orde n a da s polares y su s a plicaciones. E n los cap ítulos sigu iente s (del sexto al séptim o), se inicia con una in trod u cción breve de vectores en el e spa cio trid im e n sio n a l y se continua con recta, plano, su p e rficie s y se co n clu y e con las co ord e n a d a s cilin d rica s y esféricas. N u e stro p ro p ó sito es que esta edició n no lenga errores, pero es casi un a x io m a que todo libro de M a te m á tica lo s presente; p or tal m o tiv o co n sid e ra m o s que este texto n o sea la excep ción, a pesar del esm ero y la d e d ica ción puesta para detectarlos y co rre girlo s antes de su im presión. E n tal sentido, los autores co m p a rtim o s la re sp o n sab ilid a d de lo s m ism o s, aclarando que d ic h o s errores han sid o co m e tid os solam ente p or un o de lo s autores. Q u e re m o s expresar nuestro agrad e cim ie n to a los p rofesores y a lu m n o s de todo el p aís p o r la a co gid a b rin d a d a a la edició n anterior y espe ram os que esta n u e va e d ició n tenga la m ism a preferencia.

L o s A u to re s

IN D IC E

C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A

1

A n tid e riv a d a e integración in d e fin id a .......................................... P rop ie da d es de la integral in d e fin id a .....................................

4

Integrales in m e d ia ta s...........................................................

5

M é t o d o s de in te grac ió n ........................................................

10

In te gració n p or su stitu ció n o ca m b io de va ria b le .............

11

In te gració n p or p a r t e s ....................................

20

T é c n ic a s de in te gra c ió n ........................................................

29

Integrales de a lgu n a s fu n c io n e s trigonom étricas e h ip e rb ó lic a s

32

in te gra le s de la fo rm a / sen™* c o s - x d x y

32

f s , n ^ x c o sk ’ x d x

Inte gració n p or su stitu ció n trig o n o m é t ric a ................................

45

M é to d o de integración p o r d e sc o m p o sic ió n en fra ccion e s p arciales

56

Inte gració n de a lgu n a s fu n c io n e s irra cio n ale s........... ..............

68

C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F I N I D A S u m a to ria s............................................................................

95

C á lc u lo del área de una re gió n plana por s u m a to ria s ..............

104

S u m a su p e rio r y su m a in f e r i o r ............................................

112

Integrales inferiores y s u p e r io r e s ..........................................

115

Integral de R ie m a n n ..............................................................

116

P rop ie dad es de la integral d e fin id a .......................................

120

T e o re m a s fundam entales del cá lc u lo in t e g r a l........................

121

C a m b ia de variab le en una integral d e f in id a ........................

130

In te gració n p or partes en una integral d e f in id a ......................

134

C á lc u lo a p ro x im ad o de las integrales d e fin id a s...................

144

C A P I T U L O 3: I N T E G R A L E S I M P R O P I A S Integrales im p ro p ia s co n lím ite s in fin ito s..............................

149

Integrales im p ro p ia s co n lím ite s f i n i t o s ...............................

152

Integrales im p ro p ia s co n integrando no n e g a tiv o ............. .

161

C A P I T U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A Á r e a de re gio n e s p l a n a s ....................... ....... ...........................

167

V o lu m e n de un só lid o en fu n ció n de las áreas de las secciones p la n a s ...... 181 V o lu m e n de un só lid o de re v o lu c ió n .....................................

185

M é to d o del d is c o circu la r y del a n illo circ u la r......................

185

M é to d o de la corteza c ilin d rica .............................. ...............

191

L o n g itu d de a r c o ..................................................................

201

Á re a de una supe rficie de r e v o lu c ió n ...................................

208

M o m e n t o s y centros de m asa (ó centros de g r a v e d a d ) ...........

214

A p lic a c io n e s de la integral en los n e g o c io s ............. ...............

229

C A P I T U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S Siste m a de co orde n a da s p o la r e s ..................................... ........

237

R e la ció n entre las co orde n a da s p olares y las re c ta n g u la re s.......

239

D ista n c ia entre d o s p u ntos en coordenadas p o la r e s ...................

240

E c u a c ió n p olar de una r e c t a .............................. .....................

241

E c u a c ió n polar de una c irc u n fe re n c ia .......................................

243

D isc u sió n y gráfica de una ecuación p o l a r ................................

244

Intersección de c u rv a s en coordenadas p o la r e s ...........................

248

D e riv a d a s y rectas tangentes en coorde nadas p o la r e s ..............

251

Á n g u lo entre d o s c u rva s en coorde n adas p o la r e s ......................

254

Á r e a de re gio n e s en co orde n a da s p o la r e s ........................ .......

262

L o n g itu d de arco en coorde n adas p o la r e s .................................

266

V o lu m e n de un só lid o de re v o lu c ió n en co orde n adas polares....

268

C A P IT U L O 6 : R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L V e cto re s en el e sp a cio t r id im e n s io n a l...................... .................

273

Re p re sen tación ge o m é trica de un vector en i 3 ....... ..................

274

V e cto re s paralelos en R 3 ..........................................................

276

M ó d u lo y longitud de un vector en K 3 ......................................

277

Á n g u lo entre d o s v e c t o r e s .........................................................

2 78

Ve ctore s orto go n ales o p erpe n d icu lare s.....................................

279 •

P roducto v e c t o r ia l............. .......................................................

283

A p lic a c io n e s del p rod ucto v e c t o r ia l............................................

285

A p lic a c ió n del triple prod ucto e s c a la r ........................................

287

Recta en el e s p a c io .............................. .....................................

295

R e la c ió n entre lo s c o se n o s directores de una recta.......................

296

E c u a c io n e s de un p la n o en el e s p a c io .........................................

306

Á n g u lo entre d o s p l a n o s .............................................................

319

P ro y e cc ió n ortogonal de una recta sobre un p l a n o ......................

320

C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S E s f e r a ....................................................................................

342

D is c u s ió n y gráfica de la ecuación de una s u p e r f ic ie .................

347

C i l i n d r o s .................................................................................

352

Su p e rficie de r e v o lu c ió n .........................................................

356

Su p e rficie s c u a d rá tic a s .............................................................

361

C o o rd e n a d a s cilin d rica s y coordenadas e s fé ric a s ........................

369

C o o rd e n a d a s e sfé ric a s...............................................................

371

A p li c a c i o n e s ..............................................................................

373

(r

'

........

.... 1............................

^

INTEGRAL INDEFINIDA ^

......

..... — ^

1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A E n el lib ro de T ó p ic o s de C á lc u lo V o lu m e n 1, se trató p rincipalm ente el p ro b le m a b ásico siguiente: “ D a d a u n a fu n c ió n encontrar su d e riv a d a ” . S in em b argo, existen m uc h a s a p lic a c io n e s del c á lc u lo que están re lacio n ad as con el p rob le m a inverso, el cual es: “ D a d a una fu n c ió n / , d efinid a en un intervalo /, encontrar una fu n c ió n

F cu y a d e riv a d a sea la fu n c ió n / , es decir, F '( x ) = / ( x ) , V x G /. D e f in ic ió n 1. Se a / un intervalo y / : / -> M una función. U n a fu n c ió n F: / —» M tal que F ' ( x ) = / ( x ) , V x G /, se d en o m ina p rim itiv a o antiderivada de / en / y se escribe F (x ) = Ant (/ (x )), V x G / E je m p lo 1.

Se a /(x) = 4 x 3 , x G R

y

g(x) = ex , x G B .

L a s fu n c io n e s F( x ) = x 4 y G ( x ) = e x, x G K , son respectivam ente a n tid erivadas de / y g en E , es decir,

F' (x ) = ( x 4) ' = 4 x 3 , V x E R G '( x ) =

( e xy = e * , V x G l

T a m b ié n son a ntid erivadas de / ( x ) = 4 x 3 las fu n cio ne s

F1(x ) = x 4 + 2, F2 {x) = x 4 + ln7i

1007T y

F 3( x ) = x 4 + -

pues su s d erivadas so n igu a le s a / ( x ) = 4 x 3 A n á lo ga m e n te , otras a ntid eriva d a s de g ( x ) = e x son, por ejem plo,

V3

G iC x ) = e x - 1, G2 ( x) = e x - e e, C 3 ( x ) = e x + — don d e k es cu alq u ier constante real.

y C 4(x ) = e x + k

T O I% ()S DE C Á L C U L O - VOLUMEN II

Observación i. Si F { x ) = A n t ( f ( x ) ) en I, entonces F ( x) + C, donde C es una constante real, es también antiderivada de f en l. lista p ropiedad es evidente, pues si F ( x ) = A n t ( J { x ) ) en I, entonces

F '(x)=f(x),

V xel

T a m b ié n ( F ( x ) + C ) ' = F' {x) = / ( * ) , V x 6 /. Enton ce s

F ( x ) + C = A n t ( f { x ) ) en / U n a pregunta natural es: “S i F (x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, ¿c u a lq u ie r otra antiderivada de / en I difiere de F a lo m ás en una co n sta n te ?” . D ic h o de otro m odo, si F ^ x ) = A n t ( f ( x ) ) en /, ¿necesariam ente Fr ( x) = F ( x ) + C, V x e l ? L a respuesta es afirm a tiva y se deduce de la siguiente prop osición. P r o p o s ic ió n 1.

Se a / : / -» E

una fu n ció n d efinid a en el intervalo abierto / y

F:I -» E

una antiderivada o p rim itiva de / . S i antiderivada de / , entonces

: / -> E

es tam bién una

F1 ( x ) = F ( x ) + C para a lgu n a constante C.

D em ostración D e fin im o s la fu n c ió n H p or H ( x ) = F ^ x ) - F ( x ) . E n to n ce s

H' ( x) = Fi ( x) - F' {x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l Lu e go , H' ( x) = 0 , V x e l . D e aquí se d educe que

H( x ) = C , V x e l , donde C es una

constante (ver

C o ro la rio 1 del T . V . M . T ó p ic o s de C á lc u lo V o l. 1). L u e go , se tiene

H ( x ) = F i C O - F{ x ) = C F ^ x ) = F ( x ) + C , V x e l Geom étricam ente, sig n ific a que si F ( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cu alq uier otra antiderivada de / en I es una cu rva paralela al gráfico de y = F ( x ) (F ig. 1.1).

2

INTEGRAL INDEFINIDA D e f in ic ió n 2.

S e a F ( x ) u na antiderivada de f { x ) d efin id a en el in te rvalo I. L a

in te g r a l in d e f in id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de tod as

las a n tid erivadas de f ( x )

d e fin id a s en d ic h o intervalo y se representa m ediante el sím b o lo

J f ( x ) d x = F(x ).+ C d ond e C es u na constante real que se d e n o m in a c o n sta n te de in te g r a c ió n . L a fu n c ió n / ( x ) se lla m a integrando, f { x ) d x es el elem ento de integración, x variab le de la integral- y el s ím b o lo j se d e n o m in a sím b o lo de la integral. L a e x p re sió n

/ / (x )d x

se lee “ integral de f ( x ) co n respecto a x ” o “ integral

in d e fin id a de / ( x ) diferencial x ” .

Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades: i)

^ ( J / ( x ) d x ) — (J / (x )d x )

= ( F ( x ) + c y = f ( x ) , es d e c i r :

“la derivada de la integral indefinida es igual al integrando " ti)

d

/ (x )d x j =

/ (x )d x j dx = f{x)dx

¡ii) Si f es una función derivable en I, entonces una primitiva de f es f . Luego,

J

f'{x)dx = f(x ) + C

iv) Como d { f { x ) ) = / ' ( x ) d x , de (iii) se deduce:

J De

d (/ (x )) = f(x ) + C

las p rop ie da de s ii) y

iv), se co n clu ye que la integral in d e fin id a puede

interpretarse c o m o u na o p e ra ció n in ve rsa de la d iferenciación, pues al a p licar la integral in d e fin id a a la diferencial de la fu n c ió n f { x ) , ésta reproduce la fu n c ió n / ( x ) m ás la constante de integración. E j e m p lo 2.

D e l ejem p lo 1 se deduce:

i)

J e xdx = e x + C

ii)

J

4 x 3d x = x 4 + C

E n la fig ura 1.2 se m uestra la grá fica de las antiderivadas de / ( x ) = e x , es decir, de F ( x ) = e * + C , d on d e C es un a constante real. S i C > 0, la grá fica de y = e x se d e sp la za paralelam ente C un idad es h acia arriba y si C < 0, se d esp laza paralelam ente C u n id a d e s h a cia abajo.

3

TÓPICO S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

Ejem plo 3.

Como d ( x ln x - x ) = ln x d x, por la obs. 2-iv , se deduce:

J d ( x l n x —x) = J \nx dx = x l n x - x + C

, ,

E jem p lo 4 .

í 1 x J - ^ —j = - a r c t a n - + C , pues

n

x

1

\'

1

1 __ 2__

( - a r c t a n - + C) = -

X^

4 + x2

1 +=r 4

1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A P r o p o s ic ió n 2. S i / y g so n fu n cio n e s que adm iten antiderivadas en el intervalo / y k es una constante cualquiera, entonces las fu n cio n e s / ± g y k f antiderivadas en / y se tiene: a)

[ íf(x) ± g ( x ) ] d x =

J

adm iten

f(x )d x ± J g(x)dx

b) I [kf(x)]dx = k j f ( x ) d x D e m o s t r a c ió n a) C om o | J [ / ( x ) ± 5 ( x ) ] d x j = / ( x ) ± ^ ( x ) = e n to nce s

J [f(x)

±g(x)]dx y

J

f(x)dx±

/ (x )d x j ±

J

J

g(x)dx ,

g ( x ) d x s o n las a n tid e riv a d a s

de / ( x ) ± g ( x ) . P o r tanto,

j [/ (*) ± 9 (x)]dx = J f ( x ) d x ± j g ( x )d x b ) L a d em ostra ción q ueda c o m o ejercicio para el lector. D e la parte (a) se deduce que la integral inde finid a de u n a su m a alge b ra ica de varias fu n c io n e s es igu a l a la su m a alge b raica de sus integrales.

E j e m p lo 5. Calcule j ( e x - 4 x 3 + ln x ) d x . S o lu c ió n . E n virtu d de la p ro p o sic ió n 2 y de los e jem plos 1, 2 y 3 se obtiene:

J (e x -

4 x 3 + ln x ) d x =

J

e xd x -

J

4 x 3d x +

J

ln x d x

= ( e x + Ct ) - ( x 4 + C 2) + ( x l n x - x + C3)

= e x - x 4 + x In x - x + C, d o n d e C = Cx + C2 + C3 E n lo que sig u e solam ente usare m o s u na constante ú n ic a de inte gració n para la su m a de 2 o m á s fu nciones.

4

INTEGRAL INDEFINIDA

1.3 I N T E G R A L E S I N M E D I A T A S S i c o n o c e m o s f ' ( x ) , p o r la o b se rva ció n 2 -iii se d educe que

j f'(x)dx = f(x) + C

ó

J d(f(x)) = f{x) + C

E sta integral se d e n o m in a integral inmediata. P o r ejem plo, un a integral inm ediata es / d x = x + C. E n se g u id a , presentarem os una tabla de integrales inm ediatas, que contiene, adem ás de las integrales de fu n c io n e s elem entales, otras que serán de m u c h a utilidad. P o r co m o did ad , en lugar de la variab le x u sa re m o s la letra u. M á s adelante, ve re m o s que u puede ser una fun ción , es decir, u = u ( % ) . F Ó R M U L A S E L E M E N T A L E S D E IN T E G R A C IÓ N

J

1.

3.

f

un+1

u nd u = ---------------- + C , n — 1 n +1

J f

5.

du = u + C

J

J

9.

J

f

e udu = e + C

J

6.

eos u d u = se n u + C

8 . tan u d u = ln [se c u| + C

c o t u d u = ¡njsen u¡ + C

” ■/ 13.

4.

— = ln|u| + C

ciu \ a udu = -------- b C ln a

7.

j

2.

J

f

| se n u du = - c o s u + C J

j

10.

J

secu

ese u du = ln | csci¿ — coti¿| + C

12.

J

csc2u du = —cot u + C

14.

J

du — ln | se c u + tan u| + C

s e c 2u du = tan u + C

s e c u tan u du = s e c u 4- C

15. J ese u cot u d u = — ese u + C

16. J se n h u du = co sh u + C

17. j c o sh u du = s e n h u + C

18. j ta n h u du = ln|cosh u| + C

19. J sech2u du = ta n h u + C

20.

21.

J sechu

22.

J

tp nh u d u = — s e c h u + C

c s c h u coth u d u = — c o s h u + C

5

J

c sc h Ju du = - c o t h u + C

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

■h

du

1

+ u-

a

U arctan —+ C , (a > 0)

1

u —a

2a

u + a

1

u + a

2a

u - a

= — ln

■ h

= — ln

f

26

27.

28.

29

31.

du =

+ C , (a > 0)

u

= a rc se n - + C , (a > 0 )

f du i ,----------- 1 I - p = = In u + V u 2 ± a 2 + C v u2 ± a2

r

1

du

— ;..= J uvu2 — a2

.J

30

—=

+ C , (a > 0)

- a r c s e c ------ 1- C , (a > 0 ) a a

yj a 2 — u 2du = —juVa 2 - u 2 + a a r c s e n - + C , (a > 0 ) aj

j yj'u2 + a 2du = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln ( u + J u 2 + a 2)j 4- C

J

yju 2 - a 2du = - [ u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2 j] + C

C a d a una de éstas fó rm u la s se pueden ve rifica r m ediante la d e riv a c ió n (respecto a la variable u). P o r ejem plo, en el ca so de la fó rm u la 2 4 se tiene:

d

/ 1

du \ 2 a n

iu — ai\ lu + aU

1 2 a¡L

d (ln | u - a \ - ln|u + a|)

UU

1

1

1

2a

u - a

u + a

1

1 iu - a i P o r ta n to ■ I —^------ j = t;— ln --------- + C J u'- — a 2 2a lu + a l

f

du

E n el caso de la fó rm u la 18, se tiene:

d

se n h u ( In c o s h u|) = — — — .?= t a n h u du co sh u

—

D e lo a n t e r io r s e d e d u c e q u e

J ta n h u d u = ln | c o sh u| + C.

6

INTEGRAL INDEFINIDA

E jem p lo 6 . C alcule J ( 6x 4 - x 2 + 3 )d u . Solución U s a n d o las fó rm u la s de integración, tenem os

J (6 x 4-

x 2 + 3)du

= J 6x 4d x = 6

J

-

J

x 2d x

+ J 3d x

x 4d x -

J

x zdx + 3

J

dx

6 x3 = - x 5 - — + 3x + C

E jem p lo 7. Calcule J (v 2 — \ [ x) 2dx. Solución C o m o ( V 2 — V * ) 2 = ( 2 — 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene

j (V 2 - yfx)2dx =2 J dx - 2 V 2

J x 1/2d x + J xd x

r 3/2

= 2„ _ 2V 2 _

y2

+ y

+ C

= 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C

E jem p lo 8. Halle

f 3 x 5 — 6 x 2 + yfx J

I ------------------- ---- dx.

x6

Solución D iv id ie n d o térm ino a té rm in o el integrando y a p lican d o las p rop ie d a d e s de la integral, se tiene

f 3xs - 6 x 2 +tJx f f dx f I ---------- -------------- d x = 3 I x d x - 6 I ------ ¡- x s/2d x 2 - x 3 - 6 \n\x\ ~ - x 3l2 + C E n los ejem p los anteriores, el m étodo para hallar las integrales co n sistió en tratar de d e sco m p o n e r el integrand o co m o la su m a algebraica de v a ria s fu n c io n e s y luego a plicar las p rop ie d a d e s e nunciadas en la p ro p o sic ió n 2. E ste m étod o es llam ado "m étodo de in tegración por descom posición” . E n ciertas funciones, d e sco m p o n e r la fu n c ió n en su m a s parciales n o es tarea fácil, pues depende de la experiencia, ha bilid ad y práctica del que calcula.

7

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

E jem p lo 9. Calcule

dx

,

J/ s e n h 2x c o sh -x

S o lu c ió n

1 c o s h 2x - s e n h 2x Como ----- —----—— = -----------—---------—— = csch^x - sech2x, entonces s e n r rx co sh -x

s e n h 2x co sh ^ x

/ s e n h 2x c o s h 2x = / CSCh2* d x ~ / Se ch 2 * d x = ~ COth X “ t a n h x + C

E jem p lo 1 0 . E n c u e n tre

r

■

x2 + 2

--------dx.

J x 2( x 2 + 4 )

S o lu c ió n E xp re sa n d o el n u m e rad or del d enom inador, resulta

integrando

en

térm inos

2

de

los

factores

del

1

+ 2 = x z + - ( x z + 4 - x 2) = - [ ( x 2 + 4 ) + x z ] A h o ra , e sc rib im o s la integral co m o la su m a de d o s integrales (h a cie n d o las sim p lific a c io n e s en cada integrando) y obtenem os

í

l f i ! + ( i 2 + 4)

*¿ +2

J x 2( x 2 + 4 )

X ~ 2j

x 2( x 2 + 4 )

1 i rl ri : a rc ta n 2 l2 í

~

1

2

J

X

1 + C

í

x 2 —5 — —— — dx J x 2( x 2 - 9 )

Solución P roce d ie n d o del m is m o m o d o que en el ejem plo anterior, resulta x 2 — 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9 ) i- -”X 2

9

_

9

f í * 2 + | ( * 2 - 9)

J

4

x 2( x z - 9 )

1

x + 3

4 r

9

dx

5 r dx

dx- 9 j x 2-9 + 9 j I 2

5

2

= 9 ' ¿ ln x — 3 ~ 9 x + ° ~ 2 7

8

ix + 3|

lnL —31

1 r dx

x 2"+ ~ 4 + 2

1 +2

x

-

-a rc ta n - - — 4 2 2x

E jem p lo 1 1 . H alle / =

dx

i r

5 ~9x + C

J

x 2^

INTEGRAL INDEFINIDA

3 dx

Ejem plo 12. Halle

J x 2( x 2 + 5 )

S o lu c ió n U sa n d o el m ism o p roced im ie n to de los ejem plos anteriores, se obtiene 3 3 3 3 = - ( x 2 + 5 — x 2) = — ( x 2 + 5 ) - - x 2 . Luego,

_

3 ,7 .,.,,

2 j

3

r ^ ( x 2 + S ) - ^ x 2 dx ^ 3 J

x 2( x 2 + 5 )

5

x2

5

J x2 +

5

a rc ta n — + C 5V5 V5

E jem plo 13. Se a /: R -> K

=2 y

m

J

3 r

x

3

5x

rdx

una fu n c ió n co n tinu a en E

=

tal que

* e x > 1

\ e x, De te rm in e f ( x ) .

Solución ( - 1 , oo < x < 0 / '( x ) =

|1. le *,

/ (O ) -

ii) / ( l ) =

l*m / ( x ) x-» 0_

= I x + C2 ,

x > l

D e la co ntin uidad de / en 0

f - x + Cu x < 0 =>f ( x )

0 < x < l

=

E, se tie n e

ü m / ( x ) 1 + C2 = e + C 3

lim _ / ( x ) =

0 < x < 1

l e * + C3 , x > l

( 2)

= 2, C 2 = 2 y C 3 = e - 3.

1

Una identidad útil en el proceso de integración es

1

2a a —u

a -r u

9

1

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

E jem p lo 1 4 . C alcule

f dx I ——

Solución U s a n d o la identidad de la o b se rva ció n 3, se tiene (■

dx

1 f r

_

1

1

J x 4 — 9 ~ ~ 6 J i x 2 + 3 + 3~—~}

111

- —

*

a rcta n —

6 LV3

E jem p lo 1 5 . E n c u e n tre

V3

dx

1

+ V3

+ C

+ — — ln

2V3

-V 3

f x 2 + 13 - -dx.

J V FT9

Solución T ra b a jan d o de m anera adecuada en el nu m e rad or del integrando, se obtiene

f x 2 + 13 , f (x 2 + 9) + 4 f r—-----f dx . dx = — — dx = \ yjx2 + 9 dx + 4 1 J Vx2+ 9 J Vx2+ 9 J J V* 2 + 9 = - j * V * 2 + 9 + 9 ln (x + yj x2 + 9 )] + 4 ln (x + j x

= 2 [ W * 2 + 9 + 1 7 ln ( x + J x

2 + 9) + C

2 + 9 )] + C

1.4 M É T O D O S D E IN T E G R A C IÓ N A n te s de presentar los m étodos de integración “p or su stitució n o c a m b io de va ria b le ” y “p or partes”, es necesario hacer notar una d iferencia esencial entre las op e racio ne s de d e riv a c ió n y de integración. D a d a una fu n c ió n elem ental (fu n c ió n que se obtiene m ediante un nú m e ro finito de op e racio ne s de sum a, resta, m ultip licación , d iv isió n y c o m p o sic ió n de fu n c io n e s de las fun cio n e s: constante, potencia

( y - x a ),

( y = a x),

exp one n cial

lo ga rítm ica

( y = lo g a x),

trigon o m é trica s y trigon o m é trica s inversas), su d erivada m antiene la m ism a estructura, es decir, tam bién se exp resa c o m o una fu n c ió n elem ental, m ientras que en la integral indefinida, esto solam ente sucede en c o n d ic io n e s m u y especiales. P o r ejem plo, las integrales sim p le s c o m o

l ^ i x .

fe*dx.

J V i + x 3 dx

, J ser¡(x2) d x , j c o s ( x 2) d x

no pueden ser e xp re sa d a s en té rm in os de “co m b in a c io n e s fin ita s” de fu n c io n e s elementales.

10

INTEGRAL INDEFINIDA D e l punto de vista práctico, la integración se presenta co m o una o p e ra ció n m ás co m p lica d a que la derivación , pues ésta tiene re glas generales de d eriva ción; m ientras que para la integración es p osib le hacer artificios que son v á lid o s para clases particulares de funciones. C a d a caso particular requiere un en sayo , una tentativa, por lo que se re co m ie n da práctica, m ás práctica y m ás práctica.

1.4.1 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T I T U C I Ó N O C A M B I O D E V A R I A B L E Para hallar la integral in de fin id a por este método, d iv id im o s nuestro a n á lisis en dos partes: re co n ocim iento del m od elo y ca m b io de variable. E n el re co n ocim ien to del m od e lo re alizam o s la su stitu ció n m entalm ente, m ientras que en ca m b io de variab le e sc rib im o s los p aso s de la sustitución. E l proced im ie n to de sustitució n en la integración es com p arable con la regla de la cadena en la d erivación. Re cu e rd e que para fu n c io n e s d eriva bles y = f { u )

y

u = g ( x ) , la regla de la cadena establece

d

S i h a ce m o s la sustitución u = g ( x ) , entonces a partir de la d e fin ic ió n de la integral d efinid a tenem os

J

f'{g(x))g'(x)dx = f{g(x)) + C = f ( u ) + C

A s í, h e m o s p rob ado la siguiente prop osición:

] P r o p o s ic ió n 3.

S i y = f ( u ) es una fu n ció n derivable de u, u = g ( x ) es una i

fu n c ió n d erivable de x y F es una antiderivada de / , entonces

J

f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C (R e c o n o c im ie n to del m o d e lo )

S i ha ce m o s el ca m b io de va ria b le u = g ( x ) , entonces d u = g ' ( x ) d x . L u e go ,

J

f(g(x))g'(x)dx =

J

f(u )d u = F (u ) + C

E jem p lo 16. Calcule J ( x 3 + l ) 4 3 x 2 dx. Solución Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 d x . Lu e go ,

II

|

TO PICO S DE C Á L C U LO - V OLU M EN II

X4

í

E jem p lo 1 7 . H alle la integral I

-d x .

J Vx5 + 1

Solución Si

= x 5 + 1 , se tiene d t = 5 x 4d x . En ton ce s

t f

x4 T 'f •-

V x5 + 1

J

, 1 f 5 x 4dx dx = r Tr ,

i r = c

,,, f“

V x5 + 1 5 J

5J

1

7 £í„

d t = - - - t 6/7 + C 5

6

= ¿ 7 ( * 5 + i)6 + c

r Sexdx

E jem p lo 1 8 . Calcule la inte gral J - ^ = = = = . Solución Si

u

= e x , se tiene d u = e * d x . Lu e go , se obtiene f

S e xd x ......

f = 5

J Vi - e 2*

---

du = 5

J V l^ ü 2

E jem p lo 1 9 . C alcule I =

arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C

f se nh xcosh x

— ----------— - — dx.

J (1 + s e n h 2x ) 5

Solución S i co n sid e ra m o s u = 1 + s e n h 2x , se tiene d u = 2 s e n h x c o s h x d x . Lu e go ,

f ? du

1

1

í

/ - J - ¡ ^ - 2j U

E jem p lo 2 0 . H alle

u“4

1

d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8( 1 + s e n V x y + C

f a rc s e n V x d x I — ■ = = — . ■/ Vx — X2

Solución

r-

. '

Si se hace u = a r c s e n V x , se tiene du =

1 dx dx ------- — = = — ■— ..... . P o r tanto, V T ^ x 2V x 2V x - x2

r arcsenVx dx f J — — = J 2 u d u = u + C = [arcsenVx] + C

2

= arcsen2Vx + C Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el integrando p a r a que el cambio de variable sea más f ác i l de realizar.

12

INTEGRAL INDEFINIDA

I

Ejemplo 21. Calcule I

2 + J2 + J 2 + 2 c o s (5 \/ x + 4 ) • x 1/ 2dx.

Solución E n el integrando, a p lic a m o s la identidad trigon o m é trica

Q

9 1 + eos 9 e o s — = ------ —

2

2

2+

1=

- í

-i.

!2 +

ó 1 + e os 0 = 2 e o s 2 —

2 +

12 +

|2 [ l + e o s (5V3c + 4 )] • x i / 2 d x

2 co s 5-^

+ 4 ■x~1/ 2dx =

J

2 + 2 eos

5Vx + 4 5 _ . 16 Si u = ----- — -, e n to n ce s du = —~ x ,¿dx — d u = x 8 16 5 32 f / = — I eos u du = —

E jem p lo 2 2 . H alle / =

J

5 V * 4- 4

1/2dx

' ‘ d x . Luego,

32 32 /5Vx + 4 \ se n u + C = — s e n I ----- g — |+ C

x dx e 3* ( l - x ) 4

Solución L u e g o de expresar el d e n o m in a d o r en una so la potencia, tenem os

f

xe x dx

C r

xe x dx

= J e 4x( l — x ) 4 = JJ ( e x -— x. e x) 4 L u ch o , hacem os u = e x — x e x . E n to n ce s du = —x e xd x ■*=> —du

l)c esiii manera, se obtiene:

/

f du _

J u4

1

3u 3

+ C =

3 e 3* ( l - x ) 3

13

+ C

= x e xdx

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

(x 2 - 1 ) dx

E je m p lo 23. Calcule / = J

(.x 2 + l ) V x 4 + 1

Solución D iv id ie n d o el nu m e rad or y el d en o m in a do r entre x 2 , se tiene

, =

f

Si u = x + - ,

x

t 1 ~ x 1) d x

f

e n to n ce s du = ( l -----t ) dx

\

V u2 = x 2 + — + 2 ^ x2

x 2)

u2 — 2 = x2 + —

. P o r tanto, se obtiene

x-

du 1 |u| 1 (x2+ 1 — ...... = — are see — + C = — are see ■ J xW u2 — 2 V 2 V2 V2 \ V 2 |x| r

I =

f x + 2 E jem p lo 2 4 . Calcule / = I -- ------ ^

( X — i-J

J

“.x.

Solución S i h acem os

u = x — 2 , se tiene d u = d x

. Lue go ,

/ = J (U +J )dU = | (u~3 + 4 u - 4)du u “2

4

,

= - — "3“

3x +

2

+C = - ^ 2 F +C

r

E jem p lo 2 5. C alcule / = |

f

x íix

= .

Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3 Solución L a integral puede e scrib irse co m o

/

x dx

f

1 + x z + V ( l + x 2) 3

x dx Vl + W

,--------Si c o n sid e ra m o s i¿ = 1 + V x 2 + 1< e nto n ce s d u =

/ = J — = J u í/2du =

2 Vü

l + V l + x2 x dx Vx2 + 1

+ C = 2J 1 + V 1 + 14

. Luego,

x2

+

C

INTEGRAL INDEFINIDA

E jem p lo 2 6 . Calcule I = J x V x + 4 dx. S o lu c ió n S i se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x

2 u d u . P o r consiguiente,

/ = [ ( u 2 - 4 )u. 2 u d u = j ( 2 u 4 - 8 u 2)d u ( x + 4 ) 3/2 (6x - 16) + C

15

E J E R C IC IO S /?. - x 3/2 + 3 x + C

J 4 x ( x + 1) d x

R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C

4 dx

Vó

/?. 4 arcse n — + C —

V6

x ^

dx

+ C

x (x 2 — 8)

* ~ 16 ln

7 x 2 + 16

3 x 4 /?. - a r c t a n ---------- 1- C 2 2 x

x4 + 4x2 18 d x

/?.

9xz - x4

2

1

x

3

3 dx

x2 - 8

in

x - 1 \\n

x 2 + 4x - 5

x + 5

4 dx

x + 3

+ C

+ C

2x + 5

R. 2 a r c s e n ------------ i- C V — 4 x 2 — 20x — 9 J V ~ 4 x 2 - 12x - 5 dx

R.

10.

I I.

1 ( 2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 a rc s e n

2 X3 X

2x + 3 + C

(D'ÍE^s)-

3 /6 ' *

-dx

25

scn h x d x

R. - ■

(1 + c o s h x ) 3

2(1 + c o s h x ) :

■+C

dx R. - - t a n ( l — 4 x ) + C

c o s 2( l - 4 x )

4

15

T O N IC O S D ii C Á L C U L O - V O L U M L N II

1

13. J c o s ( 7 x + 4 ) d x

14.

R. - s e n ( 7 x 4- 4 ) 4- C

J c l' 2x~r,) d x

(lnX+

15. J

R. - e i2x- ^ 4- C

l ) e xlnxdx

R. x x + C

dx

16.

R. — --------b C

x ln2x f

17.

In x

dx

---------

R. ln IIn x I 4- C

J x lnx 18.

J

4 xe x

R. ------ ~ + C 1 4- In 4

dx

19.

20

(4e)x

dx

3

R. - - ( c o t x - 1 ) 2/3 4- C

se n 2x V c o t x - 1

./

sen x e t a n 2x

R. - e ta,>2* 4- C

c o s Jx

ev*3e

2'. I

2 ( 3 eÆ )

R.

t ~InT3 ~ + c

dx

‘I

R- 2 J l n ( x 4- -J 1 4- x 2) 4- C (1 4- x 2) ln (x 4- V i + x 2) arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 1

23.

1 -f X 2

dx R■ e arctanx 4- — l n ( x 2 4- 1) 4- arcta n x 4- C 4

24,

25

26

Ji

se n x

I

dx

■dx

R. s e n x 4- ■

•*+■ C

R. — ta n 5 x 4- C

1 4- c o s l O x

dx

■/

V 2 x 4- 1 - yjx

R. 2 ( V 2 x 4- 1 4- V x ) — 2 [ a r c t a n V 2 x 4- 1 4- a r c t a n V x ] 4- C ^ 27.

( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j -------- ---------------- dx J 1- x

f

R. - - ( x - 1 ) 2/ 5 4- C

16

INTEGRAL INDEFINIDA

28.

29.

30.

31.

f

V4

-dx

35.

/?. - [ ( x + l ) 3/2 — ( x - l ) 3/2] + C

/V ^ T

h x

- a rc ta n

f l n ( l n x j) J

I

R. ta n x - s e c x + C

+ se n x

2x ■dx

1

1

/?. - l n ( l + 4 x 2) - - a r c t a n 2 ( 2 x ) + C

o

Z

1

dx

xlnx

R. - l n 2 ( l n x ) + C

R. -

2 X 4- 3

x - ^ K 2^ 3)

+ c

dx

/

R. 2 arctanVfc^ - 1 + C

Ve* - 1

f sen x xco sx

J V2 - s e n 4x

-.dx

R. - a r c s e n

2

dx

/

4 + 5 c o s 2x

A

1 R.

4 + 5 s e n 2x

dx e x + /

_

+ C

\ V2

1 (L ( 2 ta n x \ R. - a r c t a n ) — - — ) + C

dx

38.

39.

3

J

( 2 cot x a rc ta n ( — =— | + C V 3

)■

1 R. - - l n ( l + 4 e x) + C

4

In 3 x 40.

41.

+c

dx

36.

37.

+C

*• arcsenf t ) - senl’ " ' ©

— x4

+ 4x2

34.

R.—

' V2 + x 2 — V2 —x 2

32.

33.

x 2x

J x 2x( \ n x + 1 ) dx

i

x In 5 x

dx

R.

In — ln | ln 5 x | + l n x + C

ln ( x + V x 2 + 1)

1 + x2

/

42.

/v r+

43.

j V l + c o s x dx

«. J.

dx

R. - [ ln ( x + V x 2 + 1 )]

se n x d x

R. — 2 V l — s e n x + C R. 2 V l - c o s x + C

R. a r c t a n ( e * ) + C

e x + ex 17

+ C

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

f 45'

44

dx dx ~r= =

J vvx y f W -+

/?• ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1 ) 1/2 + C

1

á

arctanVx

f

• J v ï + æ + x * dx *n

í

'

R• tarctan^ r + C

(x-2)

,

_

fyfx2 - X + l \

_

*• 2 arcse" (----- Ï----- ) + c

j

s e n l 'fse n x ++x xros r InInr x)dx id r 3. Ij j;Z x2senx~i(senx cosx

48.

4 9 '■ .

í~

i----- -

e lr,(2x) 4 in x + V l n x + ...

ß, ì x

2

sen x + ^

R. J l n x + V l n x + ...

+ C

2'

—-----— x

+oo

f e os 6 x + 6 e o s 4 x + 15 e os 2 x + 10

J

eos

5x +

5 e os

3 x + 10 c o s x

R - 2 senx + C

dX

f se n 8 x d x

5L 52.

I

R' J^arctan (— 3— j + C

f c o s 2x ( t a n 2x + 1 )

—---------- ----------- —— d x J (s e n x + c o s x ) 2

f

b3‘

1/ 'se n 2 4x \

9 + senHx

R

I s e c x - ta n x

J J s e c x + t a n x d*

54. J c s c 3x d x

R' >n|secx + t a n x | - ln(secx) + C

- - [ e s c x c o t x 4- ln |csc x - c o tx| J + C

R.

55. J s e c 3x d x f

1

--------------------- 1- r 1 + ta n x

R. - [ ln l s e c x + ta n x| + s e c x ta n x ] + C

2

e 2x

56'

J 4 t + ~ é * dX

57.

I ----------------

rV ^ T

J

fi- - ( e í - l ) 3/2 - 2 ( e I + l ) 1',2 i - C

e arctan * + ln f ( l + x 2)'íx2eX- x2] + V é ^ = T

*-------------dx

\l 1 4- y ^-\!p x 4- y 2pX — v2 — 1

R. earctan* + ^ l n 2 ( l + x 2) + a rc ta n x + C 4 qs

f

xdx

J ( x - l ) 5e 4x

n

R■ ~

4

(x — l ) 4 e 4 Ar + C

18

1

INTEGRAL INDEFINIDA

2e x + e x 59- /1 3^ - ^ dx

fi. l n | V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C

In x dx

60

/

1 2 x 2( ln x - l ) 2

+C

4 dx

f ---------- =

61

R. -

x 3( ln x — l ) 3

J cos x v l - s e n 2 x + 2 c o s 2x

_____________________

R. 4 ln [ ( t a n x — 1 ) + V t a n 2x - 2 ta n x + 3 ] + C 62. J ( 4 — 3 l n x ) 4 d ( l n x )

/?. - —

(4 -3 1 n x )s + C

Ve* + 2

f e *V e * + 2

63

J

ex + 6

•dx

fi. 2 V e * + 2 - 4 a r c t a n ----- -------- h C

x3

x 5 dx

■/ 65.

■

fí. Y

x3- 8

. 1 + ta n x | -------- — dx J se n 2 x

8

+ -ln | x 3 - 8 |+ C

/?. - l n | c s c 2 x - co t 2x\ + ta n x + C

6 6 . U n a fu n c ió n /: R -

«o ) = - f y / ' W =

es continua en E y satisface: x + |1 - x| H a lle f ( x ) . l2 + 1 x < 1

R. / W = arctan* - 2 ' (. l n ( x 2 + 1 ) - a rc ta n x - In 2 , 67. H a lle la e c u a c ió n d e la c u r v a p a r a el cu a l y " =

x

x > 1

y q u e es ta n g e n te a la

2 R. y = —+ 1

re cta 2 x + y = 5 e n el p u n t o (1; 3 )

6 8 . H a lle la e cuación de la cu rva cu ya tangente en el punto (0; 2 ) es h o rizon tal y /

10 \

tie n e p u n t o d e in fle x ió n en ( — 1 ; "g - ) y

y " ; = 4.

2

v

R. y = - x 3 + 2 x 2 + 2 x2 + Vi + x 69. E n c u e n t r e la a n t id e r iv a d a d e / ( x ) = — j---— — , d e m o d o q u e d ic h a

VTTx

709\ a n t id e r iv a d a p a s e p o r P ^0;

280/ , „ r3 , 6 3 6 _______ R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x + 1 L8 5 L 1

19

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

1.4.2 M É T O D O DE I N T E G R A C I Ó N P O R P A R T E S Sean u y v d o s fu n cio ne s d efinid as y derivables en el intervalo /. P o r la re gla de la diferencial del producto, se tiene

d ( u v ) = u d v + vdu P o d e m o s re e scrib ir la e xp re sió n co m o

u dv = d ( u v ) - vdu Integrando a m b o s lados de la igualdad se obtiene la fó rm u la

J u d v = u v —j

vdu

Esta fó rm u la es c o n o c id a c o m o fórm ula de integración p o r p artes.

Observación 5. La idea básica de la integración po r partes consiste en calcular la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea más simple de resolver que la integral original dada. Para descomponer el elemento de integración en dos f actores u y dv, normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se simplifica con la derivación y d v será el f actor restante del elemento de integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habilidad y la experiencia del que calcula son las mejores herramientas. Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se considera v + C, C constante, entonces

j udv

= u ( v + C) -

j (v

+ C)du = uv -

J v du

Esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final. E je m p lo 2 7 .

C a lc u le

j ln x

dx.

Solución D e acuerdo con la su ge re n cia d ada en la o b se rva ció n .2, e le g im o s

1 u = ln x = > du = - dx x dv = dx = s v =

J dx = x

(n o se c o n sid e ra la co n sta n te de in te g ra c ió n )

P o r la fó rm u la de in te gración p o r partes, se obtiene

í , J ln x d x = x ln x -

20

f x dx I - x\nx - x + C

INTEGRAL INDEFINIDA

E jem p lo 2 8 . C alcule I =

J ( x 2 + 3x -

1 ) e Zxdx.

Solución Esco ge m o s u = x

2 + 3x — 1 = > du = (2 x + 3)d x

\ d v _ g 2x^x ^

v — J e 2xd x = — e 2x

L u e g o , ob tenem os

/ = - ( x 2 + 3 x - l ) e 2x -

J

(* + 2)

E n la ú ltim a integral (m ás sim p le que la o rig in a l) a p lic a m o s n u evam ente la integración p or partes con

( 3 ¡u = x + - = $ d u = d x d v = e 2xd x = * v = - e 2x 2 P o r lo tanto, / = - ( x 2 + 3 x - l ) e 2x 02x

= ( x 2 + 2 x - 2 ) — •+ C

E jem p lo 2 9 . Calcule / = J e ax c o s b x dx. Solución Escoge m os

d u = a e ax d x

1 d v = e o s bx d x = > v = 7- s e n 6 x b Entonces,

1 / = - e a* s e n 6 x

b

~ í ¡ e axsen b x d x

= - — s e n bx

b

¡í

e axsen b x d x

In te g ra n d o n u e va m e n te p o r p a rte s en | e ax se n bx d x , e sc o g e m o s

/'

C u = e ax = > d u = a e ax d x

|d y = s e n bx d x =* v = — —c o s b x

21

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

De esta manera, se obtiene

^ = ~b e

f c o s x + x se n x — — 1í E j e m p lo 332. 2 . C alcule / C = alcule J ----- / =^ jx — ^ 2— S o lu c ió n U tiliza n d o la identidad s e n 2* + c o s 2x = 1, e sc rib im o s la integral c o m o

f c o s x + x s e n x - s e n 2x - c o s 2x

Í=J

(se n x - x ) 2

f - c o s x ( c o s x - 1 ) - se n x ( s e n x - x )

1

(se n x - x I ---------------^ ^) 2

f - ■c o s x ( c o s x — - 1)

/

J

f

(sen x - x ) 2

sen x dx

J (sen x - x)

I P ara la integral J, a p lic a m o s la integración p or partes con

Í u

= —e o s x => du = s e n x (c o sx - 1

)dx ^

dV ~ ( s e n x - x ) 2 ^ L u e go ,

f c oxs x- x se n

--------- +

/ = P o r lo tanto,

cosx

dx

_

v ~ ( Sen x - x )

sen x d x

" f ( sseennxx d xx ) J sen -

/ = -------------- + C se n x - x

1

f Jf ( sseennxx -d xx )

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

E jem p lo 3 3 . Calcule / =

J

dx.

Solución Se p aran d o la integral en la su m a de d os integrales, se tiene

I =

J ~ d x + J e x \n x

dx

¡ Para la integral / , h acem os j u ~ ^ n x = > d u = — vdi? = e x d x =$ v — e x A s í,

1= j ~xdx +\eX]nx ~I ~^dx\= e * l n * +c r ^.garctan* E jem p lo 3 4 . Calcule / = í ----------------- dx.

J (1 + x 2)3/2 ux

Solución g a rc ta n x

Como la integral de — ^

2 es inm ediata, elegim os

g a rc ta n x

d v = - .. 2 d x 1 + x2 Lu e go , tenem os

x e ar<

1 ~ ’ ' n- ■ --V T +x2

~ jJ — ---~ d x ( 1 4 * 2 )3 7 2 J

E n la integral J co n sid e ra m o s

1

u = ■■■•.

V í T ?

, x dx = * du = - ( i + * 2) 3/2

g a r c ta n x

d v = — ------—d x => v = e arctanjc

1

+ x

2

Luego, se tiene i

=

~

V i + x2

”—^an x

v r + i^

r

j ( i + * 2) 3/2

-i « a rc ía n x ( v _ < \

Portante, l = i - -■_ ! ? 2

ii + c

Vi + x2 24

dx

INTEGRAL INDEFINIDA O tra fo rm a d e ca lc u la r la integral del ejem plo anterior es hacer el c a m b io de v a ria b le t = a rcta n x y la in te gral se tra n sfo rm a en J e csert t dt.

E j e m p lo 3 5. Calcule / =

[ ■

s e n h 2x dx

J ( x co sh x — s e n h x ) 2

S o lu c ió n

,

M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o entre x , se tiene

f senh x

/

J

x senh x dx (x co sh x - se nh x ) 2

x

A h o r a e sc o g e m o s se nh x x co sh x - s e n h x u = ---------- =¡> d u = ----------■— ---------------d x

x

xl

1

x se nh x d v = -------- -------------- -— — d x = > v (x co sh x - senh x ) 2

x co sh x - s e n h x

En ton ce s senh x

r dx

x (se n h x - x c o s h x )

J x2

1

se nh x

1 = — ----- :---------------- r - r - - - + C x(se n h x - x c o s h x )

E j e m p lo 3 6. Calcule / =

x

f e enx( x c o s Jx — se n x ) I ----------------- --------------- dx.

J

CQS¿X

S o lu c ió n T e n e m o s l = J x e sen x e o s x d x -

h n h a c ie n d o

J

sen x sen* ---------- d x C O S 2X

(u = x = > d u = dx < , ,en _ , td f = e eos x d x = > v = e

U = x e senx

_

... se obtiene

" J

('iu = e sen * = > d u = e sen * e o s x d x Kn /2, h a c ie n d o

,

sen * . 1 — a * = * v = ------co s^ x co sx

dv = —

l 2 = ----------- [ e senx d x = e senx se c x cosx J

25

re s u lta

[ e senx d x J

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

E JE R C IC IO S Calcule las siguientes integrales indefinidas.

v3 1. J x 2 ln x dx

R. — (3 l n x — 1 ) + C

2. J (7 + x — 3 x z ) e ~ x d x

ñ. ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) e _* + C

3.

J x

4.

J

_

s e c2x

dx

fí. a : t a n x + ln | e o sx | + C

V i - 4x2 /?. x a re se n 2 x h------------------ 1-

a rcse n (2 x)dx

f ln x

1 + 2 ln x

* J^

-— --------1- C 4x2

6 . J ln ( x + V i + x 2) d x

7.

j

R. x ln ( x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C X

e o s ( l n x ) dx

R. - [ s e n ( l n x ) + e o s ( l n x ) ] + i '

8 . J s e n ( ln x )d x

9.

J x

c

a r c t a n 2x

/?. - [ s e n ( l n x ) — e o s ( l n x ) ] + C

dx R- 2 [(*2 + l ) a r c t a n 2x - 2 x a rcta n x + l n ( x 2 + 1)] + C

10

/ a r c s e n 2x d x

R. x aresen2* + 2 V I - x 2 aresen x - 2 x + C

ii.

R. ln x |ln (ln x ) - 1| + C

fx,n(hr) Lí ,

R.

x2+

1

- ln

(X — 1 (— )

Vx + 1 /

x + C

x 2 dx

J

f

J

R.

n xv )V2 (i rx cr no cs xv -— sc eo n

(x 2 + l) e x

—

R.

(x + i y

26

se n x ( e o s x - s e n x )

2x e x

x + 1

ex + C

eot x + C

INTEGRAL INDEFINIDA

15.

x e* (1 + x ) 2

x e

dx

R. ---------- + e x + C

1+x

17.

x a rc t a n y j x 2 — l d x

(1 - x 2) 3/2

R. - x 2 a r c t a n V * 2 - 1

/?.

dx

a rc ta n * 18.

19.

20.

^

1

_ 16.

a rc s e n x

Vi - x2

- 1 + C

1

1 - x

2

1 + x

+ —ln

+ C

a rc ta n x

-dx

R.

es c 5x d x

R.

X

(X + 1 \

+ In|x| — l n i / l + x 2 + C

- c s c 3x c o t x - - ( e s e x c o t x + ln | c sc x + c o tx | )j + C

R.

Vi

- x 2 ln

V i — X2

21.

e 2* c o s ( e * ) d x

22.

e a* s e n ¿ x d x

23.

a rc ta n (V x + 1) d x

24.

ln ( V x + V i + x ) d x

25.

se n 2( In x ) dx

f------ +

Vx + 1 /

2 a rc se n x + C

/?. e*sen (e* ) + co s(e* ) + C

■[a se n b x — b c o s b x J + C

a2 + b2

R. ( x + 2 ) a r c t a n V x + 1 - V x + 1 + C

R. { x +

ln ( V x + V x + 1 ) — ~ V x 2 + x + C

R. x s e n 2 (ln x ) - - [x s e n ( 2 ln x ) - 2 x e o s (2 In x ) ] + C ^gSen x C 0 S 4 X _

^

dx COSJX

R. e sen x - - [see x ta n x + ln | s e c x + ta n x |] + C

27.

( x 2 - s e n 2x )

x - se n x e os x + x e o s x - se n x 2H.

(a rc c o s x - ln x ) d x

- dx

R. x ( c s c x - c o t x ) + C

R. x á rc e o s x - V 1 - x 2 — x ( I n x - 1 ) + C

27

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

S i / (x ) = la integral:

29.

—a / ( x ) y g " ( x )

=

b g(x),

j f M g " ( x ) dx

ay b

donde

a+ b

so n constantes, hallar

lf(x)g'(x) - f'(x)g(x)}

-y

I 4 x 3 a rc s e n —dx

30.

x2-

’• /

+C

1 +

c

x a rc ta n x

í -’P

31.

I ~~7Z-----T ^ r d x

32.

x 4 — x a rc ta n x | — — ------- — — d x

33.

(1 + x 2) 4

(1

+ x2)2

, a rcse n V x | ------ —— d x

I

34.

Vx ,1/x

35. I .. 37.

■dx

e os x

36.

J x ex i

38.

J

^ 2cai.2 ,

r x 2 s e c 2x I — ------------------- ^~z^dx J (ta n x - x se s e ic 2x ) 2 '

/

e x dx

:eos x d x

x a rc ta n V x 2 - 1 d x

1

a rc s e n 1 ---------- *

39

>/

41.

43.

45.

x3

j a rc ta n ^ j V x

/ senh" ‘J r

J

•/ -

1

dx

-d x

( e 2* - x 2) ( x - 1 ) ------- - d x

x 2e x

fx c o sx

J

c o s h 2x d x

dx

42.

I

48.

dx

(x se n x + e o s x ) ( x 2 - c o s 2x ) dx

í

I

*5

(x + a ) 2

f • J - = = [ l n ( l + X )* - ln (l - x )*] d x

28

/l+*\

: In ( -------- J d x

J VI - x 2

a ln (x + a + V x 2 + 2 a x )

■ /

Vx

46. J c o sh 3 x e o s 2 x d x

se n x + 1

(x - c o sx) 2 (x +

ln (2 + Vx ) |— ' ' '

’■ /

44.

(x se n h x - c o s h x ) 2

Vi - x /

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5 T É C N I C A S D E I N T E G R A C I Ó N 1.5.1

In tegrales de algunas funciones que contienen un trin om io cu a d ra d o de la fo rm a: /

I

I.

n]

í — 5—

dx

f

---------

II.

J p x 2 + qx + r

dx

í —

J j rp x 2 + q x + r

[ (ax + b)dx J p x 2 + qx + r

( ax 4- b)d x J px2 r

f

J

+ qx +

E n lo s c a so s (I) y (II), es suficiente com pletar cu a d ra do s en el trin o m io y aplicar las fó rm u la s que correspondan: (23), (24), (2 5 ) ó (26). E n los c a so s ( I I I ) y ( I V ) se u sa el siguiente artificio:

a aq a x + b = — (2 p x + q) — — + b 2p 2p L a e xp re sió n 2 p x + q es la d erivada del trin o m io cuadrado. E n to n ce s

r (ax ( a x +4- bb)d )dx

aa Cf (2p ( 2pxx +4-q)d q ) dxx 2p j p x 2 + qx + r

J p x 2 + qx + r

a qaq\ \ f

(/ V

2 p)

f

dx

) p; x 2 + q x + r

a / aq\ = —— l n [p x ¿ + q x + r| + I b - — 1A 2 p V 2 p) P or otro lado,

I'

((ax ax ++ b ) d x

__ a f

J yjpx2 + qx + r

( 2px 2p x + + q)dx

/ ^ ^

J J p x 2 + qx + r a

/—^---------

a q \^ f

dx

'2 p / J J p x 2 + q x + :

(

acl\

\

2p )

= - V p x 2 4- qx + r 4- \ b - — j B

p

I ,as integrales (¿4) y (B) son de los c a so s I y II, respectivam ente.

E je m p lo 37. C a lc u le las sigu iente s integrales:

f

J

f

3 dx

f

J x2

4 x z 4- 4 x - 3

2 dx

í

J \ l x 2 4- 6 x 4- 1 8 S o lu c ió n C o m p le ta n d o

el

cu a d ra d o

dx - 2x 4- 1 0 5 dx

^ i V — x 2 — 8 x — 12 en

cada

trinom io

m ig r a c ió n , tenem os

29

y

a p lican d o

las

fó rm u la s

de

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

dxx 3 d

f

J

3 rf

3

= ^ln

4 x 2 + 4 x - 3 ~ 2 J ( 2x + l ) 2 - 4

f dx ■ ) J x 2 - 2x + 10

( c)

2 dx

2 7

+ C

dx 1 (x-l\ ( x - l ) 2 + 9 “ 3 a rC ta n ( _ 3~ J + C

f

J

dx r dx , ,--------------------, f ■ ¿ . T i = 2 1 t =~ = 2 ln * + 3 + V x 2 + 6 x + 1 8 + C J J ( x + 3)2 + 9 L J

J V x 2 + 6 x + 18

„ f 5 dx d) I 7 ' 0 i V -x 2-

E je m p lo 38.

r ~ „„ = 8 x — 12 J

dx 5 — — ■

^ 4 - (x + 4 ) 2

r

x 2 + 6x + 18

í

=

/x + 4 \ = 5 a rc se n ( — - — ) + C v 2 )

C a lc u le las siguientes integrales:

f (3 x - 5 )d x

J c)

2x-l¡ 2x + 3

2 ~ ‘

(1 - 4 x ) d x

J V9x2 + 6 x ^ 1 ix

d)

J V x 2 + l O x + 21

( - ( iiiíW í J x ( x + 3)

S o lu c ió n C o m p le ta n d o cu ad rado en cada trin o m io y u san d o el artificio indicado, se tiene 3 3 a) 3 x — 5 = — ( 2 x + 6 ) — 9 — 5 = — (2 x + 6 ) — 14. E n to n c e s f

J

(3 x — 5 )dx

_

x 2 + 6 x + 18

(2 x + 6 )d x

3 r

f

2 J x 2 + 6 x + 18

dx

1 4 J ( x + 3)2 + 9

3, / , 14 /x + 3 \ = 2 (x + 6 x + 1 8 ) — — a rcta n — - — J + C 4 4 2 7 b ) 1 — 4 x = — — ( 1 8 x + 6 ) + l + — = — - ( 1 8 x + 6 ) + — . Luego,

f

J

4

(1 8 x + 6)d x

_ _ 2 [

Cl ~ 4 x )d x V 9 x 2 + 6x - 3

J

9 :

^ 7

1

V 9 x 2 + 6x - 3 + 3

3

7

3 dx y/ ( 3 x + l ) 2 - 4

----------------------------------------------------

= — - V 9 x 2 + 6x - 3 + - l n

y

f

J

3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 + C

y i

1

i

1

c) 2 — x = — — ( 2 x + 1 0 ) + 2 + 5 = — - ( 2 x + 1 0 ) + 7. E n to n ce s

f __ (2 ( 2 -— xx)) ddxx

_

J Vx2 + l O x + 21 ~

1i rf

((2x 2x ++ 110)dx 0)d x

2 j Vx2 Vx2 +

lO x + 21 21

f

+ 7 iJ 'V ( x

dx + 5 )2 - 4

= - V x 2 + 1 0 x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 1 0 x + 2 l| + C

30

INTEGRAL INDEFINIDA

d)

55 ff 2x 2 x 44- 33

f (4 4- 5 x )

77 ff

2 j x 2 + 3 x dX

J x (x + 3 ) dX

2

J

dx

3V

í

\ x + 2)

9

4

5 7 i x = - l n | x 2 + 3x\ — - l n 2 6 I * 4- 3 '

E je m p lo 39.

C a lc u le las siguientes integrales:

^ f ( 3 e 2x - 4 e x) ^

^

(senh x + 3 coshx)

^

^

J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5)

J V 4 e* — ex — 3 S o lu c ió n a)

I

( 3 e 2x - 4 e x)

f (3ex - 4 )e *d x

v '4 e * - e * - 3

J V 4 e * - e 2* - 3

S i se hace t = e x , entonces d t = e x d x . L u e g o ,

l =

jf

J

(3 1 - 4)d t V 4t - t 2 - 3

_

3 I" f (4 — - 2t)dt

+ ^ [f

2 j V 4t - t2 - 3

dt

J yjl - ( t - 2 ) 2

= - 3 V 4 í - t 2 — 3 + 2 a rc se n (t — 2) + C = —3y j 4e x — e 2* — 3 4- 2 a r c s e n (e * — 2) 4- C

r

^ ^

J

(se n h x + 3 co sh x ) d x c o s h x (6 s e n h 2x 4 - se n h 2 x 4 - 5) (s e n h x + 3 c o s h x ) d x

= /:co sh x (6 s e n h 2x 4- 2 se n h x co sh x 4- 5 ) D iv id ie n d o n u m e rad or y d e n o m in a d o r entre c o s h 3x , se tiene (ta n h x 4- 3 ) s e c h 2x dx

J =

J

6 t a n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 s e c h 2x (ta n h x 4- 3 ) s e c h 2x dx

J 6

ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 (1 — ta n h 2x )

A h o r a bien, si t = ta n h x , entonces d t = s e c h 2x dx. P o r consiguiente.

r (t 4- 3 ) d t

_ 1 f ( 2 t + 2) d t

n f

dt

1 ~ J t 2 + 2 t + 5 ~ 2 J t 2 + 2 t + 5 + 2 J (t 4- l ) 2 4- 4 1 , , /tanh x + 1 \ - ln | t a n h 2x 4- 2 t a n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C

31

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

! '5‘2

r H IP E R B Ó U C A ES A LG U N A S FU N C I° N ES T R IG O N O M É T R IC A S

R e co rd e m o s las sigu ien te s identidades:

1. sen 2u +

cos2u = 1

2.

se c 2u

3. c sc2u -

cot2u = 1

4

sen2u _ 1 ~ cos 2u

_ tan2u = 1 2

r , 1 + cos 2 u 5. c os2u = ----------- ---------

6

7. sech2u + tanh2u = 1

8. coth2u _ csch2u =

9. senh2u =

1 0 cosh2u = cosh 2 u + l

~ 1

cosh2u

_ senh2u = 1

¿

1

2

E stas identidades so n m u y im portantes en los artificios para re so lve r ciertos tip os de integrales de fu n cio ne s trigon om é tricas e hiperbólicas.

I.

IN T E G R A L E S D E L A F O R M A :

Se co nsid e ra n

2

J

s e nmx

cosnx dx y

j

s e n h mx e o s h n*

dx.

casos:

C A S O 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero im p ar positivo. 0

S i m es im p a r positivo, se factoriza se n x

dx (o

se n h *

dj) y

se e xp re sa los

se no s o se no s h ip e rb ó lic o s) restantes en fu n c ió n de co se n o s (o co se n o s h ip e rb ó lic o s) u san d o la identidad s e n 2* = 1 — e o s 2*

(ó

s e n h 2* = c o s h 2* - 1 )

ii) S. n es im p a r p o sitivo , se procede de m anera sim ilar, es decir, se factoriza e o s * d x (o c o s h x dx) y se expresa los co se n o s (ó co se n o s h ip e rb ó lic o s) restantes en fu nció n de se no s (o se no s h ip e rb ó lic o s) u san d o la identidad. e o s 2* = 1 - s e n 2*

Ejem plo 4 0 . a)

I

(o

c o s h 2* = 1 + s e n h 2* )

C a lc u le las integrales

s e n 3* e o s4*

dx

b) J s e n h 5* V ^ i h 7

dx

Solución

a) / =

J

s e n 3* e o s4*

dx = =

J

s e n 2* e o s4* (se n * dx)

- cos2* )cos4* (sen * dx)

INTEGRAL INDEFINIDA

d u = - s e n x d x . A s í, se tiene

E n la ú ltim a integral, h a ce m o s u = e o s x =* / = J (1 - i i 2) u 4 ( - d u ) = -

f

Cu 4 - u 6) d u = - y

c o s 5x

+ y

+ C

•(5 e o s2* - 7 ) + C

35

b) f s e n h 5x V ^ i h l d x = J (c o s h 2x - l ) 2(c o sh x ?

=

J

' 2 (se n h x dx)

(c o s h 9/2x - 2 c o s h 5/2x + c o s h 1/zx ) ( s e n h x

dx)

= J L c o s h 11/2x - ~ c o s h 7/2x + \ c o s h 3/2x + C 11

7

3

C A SO 2 : A m bos exponentes m y n son p ares y m ayores o iguales a cero . E n este caso, se u san las identidades:

1 - eos 2 x s e n 2x = ------- ^------s e n h 2x

= ------- 2-------

C°

e osh 2 x - 1

/

íó

1 + eos 2 x

, y

------- ------ y

co sh 2 x +

., co sh x

= ----- -

J

A l efectuar las operaciones, se obtienen té rm inos que contienen p oten cia s pares e im pares de e os 2 x (ó c o s h 2 x ) . L o s té rm in os que tienen las potencias im p ares se integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s té rm inos que tienen las p otencias pares se reducen de n u e vo u sa n d o sucesivam ente las identidades indicadas.

Ejem plo 41. C a lc u le las integrales: a)

J

se n h 43 x

dx

b)

f

s e n 2x c o s 4x d x

Solución

a,

f

se n h -3 , ¿ r = / ( E S Í J p i ) 2

dx =

i J ( c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1)

= 1 f ( £ £ í < y í l í l _ 2 c0 s h 6 , + l ) d ,

= ^ | (c o sh 1 2 x - 4 cosh 6 x 4- 3 )

= i f —

8 \12

dx

senh 1 2 x - ^ s e n h 6x + 3 x ) + C 3 >

33

dx

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

u

f

4

.2

,

f / I - c o s 2 x \ / I 4-cos2x\

b) J sen- x cos4x dx = J ( ------- ------- j ( -------------- J

dx

= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos 32 x) dx f /

1

14- cos4x\

1

[

- g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen 2 2 x)(cos 2 x dx)

(j + C0S2X~ \ C0S 4X) d X ~ l 6 j 1/x 1 ^ 1 \ 1/

A = 1/ 3. Ig u a la n d o coeficientes de x 2 en ( * ) , resulta: 0 = i 4 + í ? = > f i = — 1/3. Igu a la n d o coeficientes de x en ( * ) , obtenem os: O = - A + B + C =$ C = 2/3. E n esta integral, el p rob le m a m a y o r es la integración de la fracción sim p le /?. U n m étodo que facilita la integración de este tipo de fraccione s sim p le s (y que se usa cuando el d e n o m in a d o r presenta factores cuadráticos irreducibles) con siste en expresar el integrando co m o

donde

1

1

A

X3 + 1

(x + l ) ( x 2 — x + l )

x + 1

2x - 1

D(2x - 1 )

t

E

x2 — x + 1

es la d erivada del d e n o m in a d o r x 2 - x + 1. O b sé rv e se que para

integrar la se g u n d a fra cción es suficiente separar en d o s integrales tal c o m o verem os a continuación. E n la igu a ld ad anterior, m u ltip lica n d o por el d e n o m in a d o r se obtiene la n u e va ecuación p rincipal:

INTEGRAL IND EFIN ID A

1 = A (x2 - X + 1) + [D ( 2 X - 1 ) + E ](x + 1) Para x = - 1 en ( * * ) , se obtiene: 1 = 3A = > A = 1 /3 . Igu a la n d o coeficientes de x 2 en ( * * ) , resulta: Q = A + 2 D = $ D = — 1/6. Igu a la n d o coeficientes de x en ( * * ) , se tiene: 0 = —A + D + E = > E = 1/2. fu e g o ,

1

1

1

= -ln|x + 1 | - gln(x 2 - x + 1) + -^arctan

í 2 x ~~

+c

dx ■

lí j e in p lo 6 3 . C alcule J S o lu c ió n

C o m o x 3 - 1 = (x - l ) ( x 2 + * + 1 ), a p lic a m o s el m étodo del ejem plo anterior.

1)c este m od o, la d e sc o m p o sic ió n en fraccion e s sim p le s es 1

A

x3 - 1 ~ x - l +

B (2 x + 1 ) + ^ x2 + x + 1

E lim in a n d o d e n o m in a d o re s .s e obtiene A = 1/3, B = - 1 / 6 . C = - 1 / 2 . P o r tanto.

dx mp p lo lo 6 E je m 64 4 .. H H alle alle / / -— J e o s x d x = 2 u d u y d e sco m p o n ie n d o el resultado en fracciones sim ples, se tiene

22u u 22du du

r 2 u 2 du _ í

"

J

1 - u4 ~

J

r r i /2

1

(1 - U2)(l + u 2) ~ J l l - u + 1 + u " l T ^

1 , | u+l i

1

IVsenx + 1

2

2

V üñx- 1

~ ln ------ r - a rcta n u + C = - l n

lu-H

E j e m p lo 6 6 . Cacule

1/2

I= j

,

------

a rc ta n V se n x + C

dx x ( x 69 + l ) 3 '

S o lu c ió n Se tiene qu e / =

dx 1 f 6 9 x 68 d x I - —^7 --------- -- — ¡ -----------------J x ( x 69 + l ) 3 6 9 J x 69( x 69 + l ) 3

»S i en la ú ltim a integral se hace u = x 69 + 1 => d u = 6 9 x 68 d x , resulta

/- 1 69

f du Ju 3 (u - 1 )

1

f \A

B

c

D

6 9 J [u + u 2 + i í 3+ w - l j

62

du

1

INTEGRAL INDEFINIDA

D e term inand o las constantes A,

B,

C y D p o r el p roced im ie n to u sa d o en los

ejem plos anteriores, se obtiene

1 1 1 . Í L Í _ jL _ - L 1 d u = -ln | u | H------t - r - r + ln|u - 1| + C u 2u 2 i9 J i u u2 u 3 + u - 1 69 >.69

1

+ 1

6 9 r " k 69 + 1

K | e m p lo 6 7 . Calcule 1 =

J

2 ( x 69 + l ) 5

+ C

V t a n x dx.

.Solución

21 dt SI lineem os t 2 = t a n x =» x = a r c t a n t 2 y f 2t2 dt _

dx =

1+ t

e n to n ce s

2 tz dt

f

1 ~ J i + t4 “ J ( T + V 2 t + t z) ( l - V 2 t + t 2) I ,ii l'actorización de 1 + t 4 se realizó del siguiente modo: I f t 4 = ( t 2 + l ) 2 - 2 t 2 = ( t 2 + l ) 2 - ( V 2 t ) 2 = ( t 2 + 1 - V 2 t ) ( t 2 + 1 + V 2 t) I ,¡t d e sc o m p o sic ió n del integrando es A ( 2 t + V 2 ) + B t C( 2 t - s / 2 ) + D _ t2 + V 2t + l

t2 - V 2t + l

2 12

“ l + t4

E lim in a n d o den om in adore s, se tiene

212 = [¿ (2 t + V2) + B ][t2 - V2t + 1] + [C(2t - V2) + Z>][t2 + V2t + l] Igu a la n d o lo s coeficientes de las potencias de t en los d o s p o lin o m io s, se obtiene

2A + 2 C ^ = 0 ,

( B + D ) + V 2 ( C —A) = 2 ,

yj2(B - D) = 0 , V 2 G 4 - C ) + B + D = 0 K e so lv ie n d o las e cuaciones, resulta i4 = — V 2 / 4 , C = V 2 / 4 , B = — 1 /2 , D = 1 /2 I uego, V2 r ’4

2t + V 2

J t 2 + V 2t + 1 f

_ i r_

V2 f

dt

2 J t2 + V 2t + 1

2t - V 2

1 f

dt

4 J t 2 - V 2 t + 1 t + 2 j t2 - V 2 t + 1

h iiegra n d o y sim p lifica n d o , se obtiene

/^ ^2 V 2 , t2 - V 2 t + 1 — — a r c t a n (V 2 t + l ) + — a r c t a n (V 2 t — l ) + C / = T4 ln t 2 + V 2 t + 1 donde t = V ta n x.

63

r TOPICOS DE CÁLCULO - VOLU M EN II

sec2x dx Ejemplo 68. Calcule I = í ------— J 3 + 4 tan x + sec2x ' Solución E s c r ib im o s la integral c o m o

l = [ x sec2* dx - f _____ x s e ^ x dx _ f x sec2x dx J 3 + 4 tan x + sec2x J 3 + 4 tan x + ( 1 + ta n 2* ) ~ (ta n x + 2 ) 2

J

A p lic a n d o el m étodo de integración p o r partes, e le gim o s

(u = x

=> du = dx sec2x dx

\ d v = 71-------- V = - (tan x + 2 )2

tan x + 2

Lu e go ,

r

l =

H a c ie n d o t = ta n ,

dx

----------- _ + tan x + 2 J tan x J

=* d t = se c 2x d x

x

ddx xf

f

+2 en la integral ], se tiene

_ r sec2x _______dx se c2x dx _______

J tan x + 2

J (tan x + 2)(1 + tan2x)

rr

dt

J (' t + 2 ) ( 1 + t 2)

D e s c o m p o n ie n d o el integrand o en fra ccion e s sim ples, tenem os

1

_

( í + 2 ) ( l + t 2)

5

t + 2

. ~ l ñ ( 2 t) + 5 ■+ •

1 + t2

L u e go ,

l r

1

2 r

1 r 2t dt

dt

dt

1 0 J 1 + t2 + 5 J 1 + t2

5j t + 2 1

2

J = p ln | t + 2| — —— ln | l + t 2 1 + - a r c t a n t + C b

10

1

1

5

2

7 = g In|tan x + 2| - — ln | l + ta n 2x| + - a r c t a n ( t a n x) + C Finalm ente, ob tenem os * / — ------------- “

tan x + 2

1

(ta n x + 2 ) 3

10

sec2x

H----- ln

2 + - * + C

INTEGRAL INDEFINIDA

E J E R C IC IO S II,illc las s ig u ie n t e s in te g ra le s in d e fin id a s: 4x2 + 6

/ x 3 + 3x

í I

dx

R. l n [ x 2 ( x 2 + 3 )] 4- C

8

X‘

-dx

4 l n [ x 2 4- 4| +

( x 2 4- 4 ) 2

^ '2

x 4 - 4 x 2 - 14a: -dx x 2 —2x — 8

x2 + 4

C

x ■> 68 , , 14 , R. — 4 - x 4 - 8 x 4 - — ln [x — 4 | — — ln|jí + 2| + C

dx

/ ( x 2 + 2x +

5) 3

R. X 2 4- X -

/;

x 4- 1

+ x

r

dx

R. ------------— + - ln | x - 1 | - - l n | x 4 - l| 4- C 2 (x - 1)

ln|x|

2 x 2 4- 3x

- X 3 4- X 2

dx

R.

4

4

ln (x 2 - 2 x 4- 3) 2 •+ - arctan 3 d x = 6 t s dt. I liego,

f 6t5 dt

r

t3

r ,

i

J t 3 + t 2 ~ 6 ] T T i dt = 6 l ( t 2 ~ t + 1 - ^

.

) dt

= 2 t 3 - 3 t 2 + 6 t - 61n|t + 1| + C - 2\¡x - 1 - 3 V x - 1 + ó V x - 1 - 6 1 n | V x — 1 + l l + C

E je m p lo 7 1. Calcule / =

í J

í— —

y] 1

1 —

+ x2 x

S o lu c ió n Se escribe i

/=

í

J

~

r

I** ~ 1 ^ - 1f jl + x 2 x 2

J

;x2 “ 1

1 ■—

2 * dx

J i + x 2'~P~

I luciendo el cam bio de variable z = x 2, se obtiene

/ = - [ 2

J

,2 ~ 1 d z

1+ z z

I n ''s t a ú ltim a integral, el crite rio e stu d ia d o n o s s u g ie re re e m p la z a r —

= ^

I »nam os al lector se g u ir este cam ino. R e s o lv e m o s la integral u san d o el sigu iente

l = ± r _ j £ Z l ) d z _ _ l r (z-l)dz 2 J zv 1 + zVz — 1

ir

dz

2 j zVJ T T J 2 ) 4 ^ 1

1 , --------- , i - l n | z + V z 2 - 1¡ - ~ a r c s e c | z | + C

ir 2

J

dz ¡V P ^ T

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

E j e m p lo 7 2 . Calcule / =

J -Jtan2x

+ 2 dx.

S o lu c ió n E s c rib im o s la integral co m o

l

r ta n 2* ++ 2

se c 2x + 1 [r sec2x

J V t a n 2* + 2

J V t a n 2x + 2

_ f

ssec e c 2xx dx “x

+ [f

dx

J V t a n 2x + 2

iJ V t a n 2x + 2

'i

'2

A p lic a n d o las fó rm u la s de integración correspondiente a cada integral, te ne m os

+ C1

/* = ln jta n x +

[

/, =

eos x d x f e os x d x (senx\ , = ■— -- a r e s e n I — — + C2 J V s e n 2x + 2 e o s 2* J V 2 — s e n 2* ' v2 /

P o r consiguiente, i --------------- 1 I = ln |tan x + V t a n 2* + 2 1 + a re se n ^

/sen x \ j + C

dx 1 .6 .2 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A

, n e

(x - a ) n4 p x 2 + qx + r P ara ca lcu la r esta integral, se debe usar la siguiente s u s t it u c ió n r e c íp ro c a 1

x - a = j=>dx = -

dt jj

dx E j e m p lo 7 3 . C alcule / =

I —

J x 2y/ 4 x 2 + X + 4 S o lu c ió n 1 1 H a c ie n d o la s u s t it u c ió n x = - = > d x = — - r d t , t tz

s e o b tie n e

dt t2

t dt f — = U L = = - Í J 11 ¡ 4A , 1 , , J V 4 t2 + t + 4 + 7 + 4 t 2 \| t2

-~í 8J

(8 t + l) d t

dt

- s

dt

if

V 4 t 2 + 1 + 4 ' 8.1 8j

= - - V 4 í 2 + t + 4 + — í= ln | 2 t + 7 + V 4 t2 + t + 4 + C 4V 2V63 I 4_ '

1 V4 + 4 x 2 + x

1

8 + x

2V63

4x

----------------------- + — = = ln

4

x

70

V4x2 + x + 4 + -------------------- + C

INTEGRAL INDEFINIDA

dx

Ejemplo 74. Calcule / = [ _____ i J ((xx — )yfx + 3 x - 9 - 2 2)y/x2 S o lu c ió n 1 1 C o m o x — 2 = — => d x = —— dt , e n to n c e s

dt t2

dt

- / í| TJ (3i + 2^ + 3(l + 2 ) - 9 = = - ln t + - + V t 2 + 7 t + 1 + C 45 I 2

-ln

7 x - 12

V x2 + 3x - 9

2 (x - 2)

x - 2

.. + 3 )d x — J x 2yj 3x2 + 2x

E j e m p lo 7 5. Calcule J = f

+1

S o lu c ió n 1 1 Si se h a c e x = - = > d x = - ^ - d t . L u e go ,

dt

=_

f

J

( í +3) tf2

f

1 / 3 + 2+ 1- J

(1 + 3 t ) d t V t2 + 2 í + 3

t 2y J F + t + 1 3 f

2t + 2

2 J Vt2 + 2 t +

d t “h 2

3

dt

J/:V(t + l ) 2 + 2

= — 3-y/t2 + 2 t + 3 + 2 ln |t + 1 + V i 2 + 2 t + 3¡ + C

3V 3x2 + 2x + 1 + 2 In

x + 1 + V 3 x 2 + 2x + ll + C

1 'i a lg u n o s casos, la su stitu ció n recíproca puede facilitar integración, c o m o v e re m o s en lo s d o s ejem plos siguientes.

71

el

proceso

de

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

r -yx Vx —■ - ;X E j e m p lo 76. Calcule / = J — — — dx. S o lu c ió n 1 1 S i se h a c e x = - = > d x = — ^ d t . Lue go , t t2 * 11 _ J _

= - J

- - ^ = - J V t 2 - 1 t d t ,(u = t 2 - l , d u

E j e m p lo 7 7. Calcule / =

J ■

= 2t d t )

dx

(x + l ) 4 x 2 ‘

S o lu c ió n 1 1 Si se hace x + 1 = 7 = > d x = - - ^ d t . Luego, t * ~~ t

dt

t4 H = - f y + t 2 + 3 í + 4 l n ( l - 1) +

+ c

1 1 3 1 x 1 x + li „ -------- — H-------------- H-----------f- 4 ln -------r H--------- 1 + C .3(x + l ) 3 (x + 1 ) 2 x + l ljc + l l x i

1 .6 .3 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A

J R [ x - . J a x 2 + bx +

c) dx

E n este caso, R es u n a fu n c ió n ra cio n al en las va ria b le s x y V a x 2 + bx + c. U n a integral de esta fo rm a se ca lcu la u sa n d o las ‘‘s u st itu c io n e s de E u l e r ” . E sta s su stitu cio n es perm iten tran sform ar el integrando en una fu n c ió n ra cio n al de variable t. S e presentan 3 casos: C A S O I. S i c > 0 , el ca m b io de variab le es V a x 2 + b x + c = t x + Ve. E le v a n d o al cuadrado, resulta

a x 2 + b x + c = t 2x 2 + 2 V e t x + c ( a - t 2) x 2 + ( b — 2 V c t ) x = 0 «=* x [ ( a - t 2) x + ¿ - 2 V c t] = 0

72

INTEGRAL INDEFINIDA

E n esta ú ltim a ecuación, e lim in a n d o la so lu c ió n x = 0, se obtiene x = = 2 arCta" Z “ 2 ( T T P j + C ' P or lo tanto, 6 / = - z 5 - 4z 5

3z + 1 8 z - 2 1 a rc ta n z + -------- r + C 1 + z2

= % x s' b - 4 V x + 1 8 V x - 2 1 a rc ta n \ [ í + + C 5 1 + Vx

75

+ C,

’

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

E j e m p lo 8 2

J x1/3(2

C alcule } =

+ ^ 2/3) 1/4 dx.

S o lu c ió n 1 2 1 E n este caso, se tiene m = - , n = - , p = 3 3 4 A h o ra , la s

titución es

m + 1 ---------= 2 E 2 ( c a s o i I ) , n

y

'

2 + x 2/3 = z 4 , \¡ X~X,Z d x = 4 z 3d z

ó

d x = 6 x 1/3z 3d z

Lu e go , J

y

=

6

x 1/3( z 4 ) 1/,46 x 1/3z 3

( t

--

%

r

)

+

c

dz = 6

3 (V2

=

I

+

"

J x 2/3z 4 d z = 6 j ( z 4 '

2 / 3 ) 9/4

-

^

5(

2

+

"

2 ) z 4d z

2 / 3 ) s/4

+

c

dx

E j e m p lo 8 3. C alcule / = J ^

t 6( 6 5 - x 6y / 6 '

S o lu c ió n / = J x - 6 (6 5 — x 6) ~1/6 dx.

E s c r ib im o s la in te gral c o m o

1

P u esto q ue

m = —6, n = 6, p = - -

6

y

m + 1 ------ — + p = — 1 a TL (c a so III),■

n

h ace m os la su stitu ció n 6 5 - x 6 = z 6x 6

ó

z 6 = 6 5 x -6 - 1, d x = - — x 7z 5 d z 65

P o r tanto, tenem os

I = J x ~ 6 ( z 6x 6)~ 6

— x 7z 5 d z j = - —

J z 4 dz

1

=

_ ( 6 5 - x 6) 5/6 z5+ C = - - - — 7 — + C 325 325x5

E j e m p lo 8 4. C alcule 1 = J V x V * 3 + 1 d i ­ s o lu c ió n La integral tiene la fo rm a 1 = J x 1/2( l + x 3) 1/í2 d x . Luego, 1 m = -,

1 n = 3, p = —

y

A hora, hacem os 1 + x 3 = z 2x 3

m + 1 — --------------------1- p = 1 £

ó x ~ 3 + 1 = z z, d x = - 2 / 3 x 4z d z.

76

TL

INTEGRAL INDEFINIDA

En ton ce s

/ = J x 1/2( z 2x 3')1/ 2 ^ - - x 4z dz'j = - -

| x 6z 2 d z —

2 r _ 3

J (z2

1 - 1)2

z

Para ca lcu la r la últim a integral, usam os la sustitución z = s e c B. A s í, se tiene / = -

2 f se c 20 see 0 tan 0 dff ta n 40

I /

2 f se c 30

2 f

3

3

J

ta n 3fl

j

c s c 30 dd

1 4- c o t20 ( - c s c 20 ) d 0

= - [ c o t 0 c s c 0 4- ln | co te 4- cscfl|] 4- C 14- z •+ ln

+ c V P -

x V x 4 4 -x 1 i ,--------- ¡ ------------- + - ln x 3/2 + j l + x 3 4- C J 6 1 l

J

E j e m p lo 85. Calcule / =

V i + e 4x

-dx.

S o lu c ió n

dt

H a cie n d o t = e x, dx — —

t

resulta

r V T T e 4* r v i + tV4i + 14 r

' = J — ^

- d r= } - p

C om o m = — 2 , n = 4 , 1 + t4 = z 4t4 ó

- d“

l

r 2( l + 14) 1/4 dt

1 m 4 -1 p = — , ----------1- p = 0 E TL ento nce s

4

n

t ~ 4 4- 1 = z 4 y d t

- t 5z 3 d z

Lu e ao, se tiene

/= -

jt

2( z 4t 4) 1/4t bz 3 d z = -

- '- 1 /

z4 - 1 1 -z --ln

J t 4z 4 d z = - J 1

—- d z

z2 + 1

z — 1

z 4 -1

4- - a r c t a n z 4- C

Finalm ente, retornando a ia variab le inicial x, se tiene V i 4- e 4x 1 / = ------------------------ln e* 2

V i 4- e 4x - e >

V i 4- e 4x 4- e*

77

1 / V i 4- e 4ArN 4- - a rc ta n I ------ —----- | 4-

2 c¿z

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

E jem p lo 8 6 . Calcule J

,

6 dx

_______________ s e n x v e o s 3* + s e n 3x

Solución D iv id ie n d o n um e rad or y d e n o m in a d o r entre c o s 2x, se obtiene

¡_ f

J

6 dx

r

V co s^ F T se ñ ^ x

se n x

J

6 s e c 2x d x ta n x

Vi

4- ta n 3x

H a cie n d o t = ta n x, tenem os f / =

J

6 d ti - j = = = =

Vi

t

4- t 3

r ó r H i + t 3) ' ^ d t J 1

P u esto q u e m = - 1 ,

n = 3,

m + 1

P =Y — - — = 0 e Z , hacem os

+ t 3 = z 3, d t = t _2z 2 d z

1 Lu e go ,

J - f 6 t ~ 1( z 3) ~ 1/3t ~ 2z 2 d z = j 6 t ~ 3z d z = f 6 2 d Z Para calcular la últim a integral, fracciones sim p le s, esto es, i4

J

■/

z

u sam os

el

m étodo

de

d e sc o m p o sic ió n

en

B ( 2 z 4- 1) 4- C 1

z 2 4- z 4- 1

dz

M e d ian te operaciones, se obtiene que los va lore s de A, B y C son:

A = 2,

B = - 1 y C = 4. P o r lo tanto,

f

1

2 f 2 zz ++ l1 f dz ------ T d z ~ ~ 2~.----- — d z 4- 4 ---------J z - 1 J z2 z 4- 1 ) , i

(Z 4' Í ) + l = 2 ln|z — 1| — ln | z 2 4- z 4- 1| + V3

a rc ta n ( — —— ) + C V V3 >

= 2 ln | ( l 4 - 13) 1' 3 - l| - ln | ( l + 13) 2/3 4- (1 4 - 13) 1/3 + 1| 48 /2 V i 4- £3 4- 1 \ 4- —=. arctan I ---------- —-------- ) 4- C , d o n d e t = tan x V3 \ V3

78

INTEGRAL INDEFINIDA

E J E R C IC IO S C a lc u le las sig u iente s integrales:

f 1.

¿x

I — —

57=

R. 2 V x — 3 x 1/l3 + 6 x 1/6 — 6 l n l l + x 1/6 ! + C

Vx + Vx

J

1

r -J~x Hy

1

1n

2 ‘ J y + x 4/5

2x1/2 ~ Y x V 1 ° + 10x1/10 - 1 0 a rc ta n (x 1/10) + C

f 5 x 2 + 2 0x - 24 -------- ;-------- -----Vx + 5

3. J 4.

fl. 2 (x + 5 ) s/2 - 2 0 (x + S ) 3/2 + 2 (x + 5 ) v " + C

[ ............... ....... ... ................. J ( 2 x + 5 ) V 2 x - 3 + 8 x - 12

R. - a rc ta n ( 1 + - V 2 x — 3 ^ + C 2

V

2

/

5.

f 8x + 2 l V 2 x - 5 -----------; ....... dx J 4 + V2x - 5

6.

------ — 777— ;----------------------------------------------------------------------------------- t t f t t J ( x + I ) 3/4 - ( x + I ) 5/4 7 J

r

(2 — x — 5 ) ( 8 V 2 x — 5 + 1 5 ) R. ------------------------------------------ - + C 6

dx

I

f ( x — 2 ) 2/3 d x

_____

Z ] (X-2)V> + 3 f

x 1/7 + x 1/2 x 8/7 1S/14 d x

8.

/Vx - 2\

*.

+ C

/?. 7 X 1/7 - 1 4 X 1/14 + 2 8 In C x 1/14 + 1 ) + C

f Vx + i

9. I - = ---- ■dx 1 J V F + i 4 4 R. — x 5/4 — - x 3/4 + 2 x 1/2 + 4 x 1/4 - 2 l n ( l + V x } - 4 a rc t a n - + C

f 9 V T =rx —

,---------R. a r c s e n x + V 1 - x 2 + C

........d r

J VTTx

11

í-

x - 9

f

2

j

x + 9

dx

3 ¡2 - x

3/2 +

12 .

J

13.

j sjsen 2x + sen x d x

14.

J V c o s 2x + c o s x d x

(2 -x )2

, 4 /3x - 1 2\ - ln|x + 9| - ^ a r c t a n I - -------— ) + C 3 V2x + 18/

R. '

x \ z/3

^ 4 ( 2^ )

dX /?. - Vsen x -

sen2x - arcsenV l - sen x

+C +C

Ä. V c o s x - c o s 2x + a r c s e n V l -e o s x + C

79

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

dx

I (eos x - sen x)Vcos

R.

2x

1 - x dx

í

Vi - x 2

1 - V i - x2

R. - l n

1 + x x2

¡1 -i- ta n x -------------- + C J 1 - ta n x

■+C

f

17-

2 —s e n x --------------e o s x d x J J 3 4- s e n x -------------- ,------------¡3 4 - se n x R. V 3 4- se n x V 2 - se n x 4- 5 are se n --------------- y-C f

dx

18.

J x 2V x z — 2 x 4- 4 R.

.

Vx2 -

2x

+ 4 —2

3x

3 2(x

- 4 + 2 V z 2 —2 x + 4)

dx

2

19 / xVx2

f

20

+ ln

- 4 + 2Vx2 -

2x

+4

+ C

/ V x2 + 2x - 3 - x >

R. — arctan

4- 2 x - 3

x

--------------—-----------

V

V3

+ C

v3

¡x - 2

dx

R. 2. I -------- 4 - C ■vi x

J ( x - 1 ) V x 2 - 3 x 4- 2

1

f 4 2 - x y - x‘

21' J

■dx

—

4 2 —x —;.2 4 2 R . --------------------- 4- — ln x

dx

•/ 23.

•42- x - .

V2| /2x + 1\ — — are se n ( j 4 -C

4

1

i - v n 4" X X I -----— x V l -t- X 4- X ¿

/

V3

r ir

X 4- 2 -

(1 4-

x)Vl

,

x 4- x 2

2¡

2 V l 4- X -r X 2 ! Xa

X 44-

\x

R. ln

dx

24 /

/ V3

R . ---- —aresen ------- 1 4- C

(x - 2 ) 4 x 2 — 4 x + 1

R. ln

Vi

-| -t- c

4- X 4- X 2

x 4 *2 4 -V l4 *x 4 -x ¿

INTEGRAL INDEFINIDA

26.

(1 - V i + x + x 2) 2 dx

/

x 2V l + x + x 2 — 2 ( v x 2 4- x + 1 — 1 )

R- ---------------------------------f- In

' 4- V l 4- x + x 2 -

1

x —V l 4 - x + x 2 + 1 '

x

4- C

4- x 4- 1

27.

dx x V x 2 - x 4- 1

2x - 1 r - -----------19 I ,------------ — , R' — ^ ¡ ~ v * - x 4- 1 + — in | 2 x - 1 + 2 V x 2 - X ‘+ lj + C x + 2 28.

-.dx (x - l ) v x ‘ + 1

R. In (x + yj x2 + ir} -----— In v2

dx

29.

1

Vx2 + 1 ■+

X - 1

+ C s[2

tan x — v s e c 2x + tan x

R, In

+ c tan x + 2 + V s e c 2x + ta n x

dx

30.

1 /e* - 2\ ft. - a r c s e n ------ — +C 2 V e*V 2 /

V ? Zx + 4 e ;c — 4

dx

31.

(x

- l ) 3V 5 x 2 - 8 x + 4 V 5 x 2 — Sx + 4 ( 4 - 3 x )

R.

32.

f

2 (x -

l)2

-t- C

x - 1

dx

J ( x 2 - 1)VX2 D vx2 + X - 6 1

/ II - 3x\

R. - - a rc s e n — --------4

33.

V 5 x2 — 8x + 4 + . + In

f 3_VX

J

(Vx + l ) 2

dx

\ 4x - 4 /

i

¡ X -r 1'3\ a rc s e n ( --------- + C k' d x + b/ 2v6

3 ° R. - x 2/3 - 6 x :/3 + — ... . + 9

2

+1

+ if + C

f (V x + I f 2

34.

R. - ( x 1' 3 + I ) 5' 2 - 2 ( x 1/3 + I ) 3' 2 + C V x

J

35.

36.

r

J

dx (1 + x 2) 3/ 2

f

J

R.

4- C V X2 +

1

dx

Vx2(l

+ V x 2)

R. 3 a rc ta n x + C

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

38.

dx

/

X 2( l +

Vi + x 2 + C

X 2) 3/2

V i + x2

39.

J J ( 1 + V x ) 3 dx

An 40.

,V 2 - V í | ----- — ---- d x

41.

| x 5 V ( H - ; t 3) 2 d x

( 7 V x — 4 ) (1 + V x ) 7/4 + C

K. —

n 2 ( 4 + 3 V x ) ( 2 - V x ) 3/2 fí. ----------------- ------' — + c b 5x3 - 3 (1 + x 3) 5/3 + C

40 V i + X 1/3 -d x x 2 /3

42.

43.

/?. 2 ( 1 + V x ) 3/2 + C (2 + x 2/3) 5/4 - ( l 0 x 2/3 - 1 6 ) + C 15

J V x ( 2 + V x ^ ) 1/4 d x dx

4 4 ./ ;

45.

+ C

2x*

dx

V i + x4

i?, - l n

/ VTTx*

+ - arctan |

4

1 + x4 + C

V i + X4 + .

. x 3 + 2x2 46. I —------- — dx *■/ (1 + x 3) 3/2

R.

-V I +X 3 ----- — 3

3V1 + x 3

dx

47 j

(1 + x 3) 2/3

R.

x 3( l + X 3) 1/3

1

Z 2 5 - ■ x 3Xí 4/E

R . --------- --------------100 \ xa )

x 5( 2 5 — x 5) 1/5

- C

48. J e 7* ( l - e 3* ) 5/4 d x 4

R. - -

1 (1 — g 3 * )l/4 _ A . (1 -

e 3 * ) 1 3 / 4 + _ L ( i _ e 3 X y 7 /4

3

c o s x s e n 7x d x

49

' ■ / ( s e n 2x + c o s 2x + s e n 4x ) 3/2 «.

i f v 'l

se rrx V I -r s1 X ~ ^ 2 dx

9. 10. 11.

12.

J (1 f

f Va —x — ----- —dx J Va - v x

f

R.

ln js e n

x¡ ■+• C

1 • 4- — ln| 1 — x 4 ( 1 — x 4) 4

| 4- C

6 e 4*

J í T ^

/

r. e*

R.

R. a a r c s e n — a

sen x

4- s e n 2 x 4- . . . 4- s e n ( n x )

eos x

4- e o s 2 x 4 -... 4- e o s ( n x )

r

v 4 + ex dx

- 2 e 3x - ? e Zx - 6 e x - 6 \ n \ e x - 1| 4- C

dx

2V a v a - x -

fl. - ■

n 4-

ia -x v x -r C

-ln cos

R. 2 ^ 4 4- e 2* + 2 ln

88

\

-v/4 1- e x - 2¡

-I -1- C V 4 -i-e * 4-2Í

INTEGRAL INDEFINIDA

3 x ~ ■+■

dx

R. in

2 V x ( 4 — 3 x 2) V 3 x 2 4- x — 4 S u g e r e n c ia : h a c e r ta n 0 —

V 3 x 2 + x - 4 4- V x a/3 x

2- 4

'JX V3x2 - 4

x 2 dx 14.

J l 4 - X 3 4- 7 ( 1 + X 3)

!

|2 4- 3 x X -

3

11

dx

fí. V 3 x 2 — 7 x — 6 H------ — In

2 a/3

7 x ------ 1-

7 x 2 ---- x — 2

6

^3

4- C

( x 4- l ) d x

16. (2 x 4- x 2) a/2 x 4- x 2

\/2x 4- x 2

2*

17.

r 18.

1 4- 2 X

dx

1 — 4*

R - iIn 4r in

1

—

2*

x - Vx - 2 ------------

d r

J x2 ~ ^ ( x - i y

R. - l n | ^ x — 2 4 - 1| 4- — ln|(x - 2 ) 2/3 - (x - 2 ) 1/3 + £| 1 (2 W = 2 -l\ ------ ■= arctan --------- = ------- | 4- C 4V7 V V7

(4 4- x 2) 1/2 dx ( 4 + x 2) 1/2

I /?. x - 5 In

4- x

25 ----- = l n

1

20.

dx

j

f

I

J \Vx

a rc ta n

V21

R. e ^ ¡4x 3/4 - 1 2 x 1/2 4- 2 4 x 1/4j + C

r 1 1 21. —=• s e n - d x j xJ x 22.

/7 — V 3 ta n

-dx

- a

1 1 /?. - c o s —

x

x

1 s e n - 4- C

x

R. yj x ( x - a) ■+• a i n j v x 4- v * - a| -1- C

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

24.

I

xV l - x

dx

I — ■

4T=x fl. - V 4 x 2 - 1 2 x

+

7

8 - l(2x O

.

-

3 )V 4 x 2

-

12x + 8 -

_______________

- - l n 2x — 3 4- V 4 x 2 - 1 2 x + 8 + C O

I

I

dx /?. V 2 ln j s e c ^ + t a n ^ | + C

■ í V i + cosx a rc se n V 2 x 26.

|

rfr

R. V 2 x - ( a r c s e n V 2 x ) ( V l - 2 x ) + C

i': V 1 - 2 x 27.

,'4* + l

I

|—

n

d*

R . x - 2 ln | 2 * + l| + C

m + x --------- d x

/?. y j mx + x 2 + m l n ( V x + 4 m + x ) + C

-> 3 /2

V i — x2 29.

/

a rc se n x d x

x “1

'

s e n 2x d x

30.

31.

íi /

x

r

33‘ J

*

3x3

( a + b \ 1/2

6x2

la- x I-------- d x

f yf a t a n x \

r ~z -------- r

35.

u — x

— x dx

Vx + 1 - V x 2 + 1

2 ^ /?. - ( x + 1 ) 3/2 + - [ x V x 2 4- 1 + l n ( x + V x 2 + 1 )] + C

(x 2 - l)d x xV l + 3x2 + x4

1

(Su&

u = x + -) + ta n h -1

3 + V5 ^

^arcse c ( 2 x 2 + 3 ) \ “ 1

J

x

R. V a 2 - x 2 - 2 a I---------- 1- C ya + x

/?. i c o s h - ^ ^ i l ^

34.

3

+ b c o s 2x

, 2a + x 1 ----------

■/

(1 — x ) a rc se n x 1 ln x D _ _____ ____________________ , f*

V i Va3 — x3

)

+ C

2 /?. x a r c s e n ( |+ C 3 \ a 3/2

dx .

4 —x

/

2 + x

dx

i?. 3 arc co s ( ~ y —) + 3 V x 2 - 2 x + 8 4- C

90

INTEGRAL INDEFINIDA

36.

dx

/ ( * + l ) V T + 3l T l F R. fin

1, n

y

sen(¿j¡:) = se n x + s e n 2x + ... + se n nx

í= i

2.1.1 P R O P I E D A D E S D E L A S U M A T O R I A n 1. a) ^

k = (.n - m + 1)/í , /c es constante

¿=m n

b) ^

k = nk , k es co nsta nte

i= i n

2.

n

fc . / ( i ) =

fey

/ (/ ) , k es constante

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

3.

^

[/ ( i) ± g ( i )] = ^

¿~m

5 ( 1)

/ (i) ± ^

i=m

(P ro p ie d a d D istrib u tiv a )

i- m

n

4.

a) ^ [ / ( i ) - / ( ¿ - 1)] = f ( n ) - f ( m - 1)

(P ro p ie d a d T e le scóp ica )

:= m

n

b) 2 ][/(0 - /(£ - 1)] =

- /(O)

n 5-

a) ^

[/ (i + 1 ) - f ( i - 1)] = f ( n + 1) + / ( n ) - f ( m ) - f ( m - 1)

i~m

(P ro p ie d a d T e le scó p ica ) n

b) £ [ f ( i + 1) - / ( i - 1)] = f i n + 1) + / ( n ) - f { 1) - /(O )

400

E j e m p lo 1. C alcule el v a lo r de ^ ( V ¿ — V i — 1 + 4). ¡=5 S o lu c ió n P o r la prop ie dad 3, se tiene 400

400

^ ( V 7 - V i — 1 + 4) ;= £

400

= ^ ( v '7 - Vt ;= 5

l ) -r

y

4

i= S

E n la prim e ra sum atoria, a plican d o la propiedad 4 -a para

/ (i) = V i , m = 5 y

n = 4 0 0 , se obtiene 400

^ ( V 7 - V i - 1 ) = (V 4 Ó 0 - v 4 ) = 18 1= 5

En

la se g u n d a sum atoria, a p lican d o

la p ropiedad

1-a para k = 4, m = 5 y

n = 4 0 0 , se tiene ^ 4

= ( 4 0 0 — 5 + 1 )4 = 1 5 8 4

Por tanto, 400

]T (V 7 - Vi - 1 + 4) = ^ ( V i - Vi - l ) + ^

96

4 = 18 + 158 4 = 1602

INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 2. Calcule una fórm ula p ara ^ [ ( ¿ + l ) 2 - (i - l ) 2]. S o lu c ió n - i ;2 Si / ( i) = 2 , entonces / (/ + 1 ) = (t + l ) 2 y f ( i - l ) 2 = (¿ _ i ) 2 . p or tant0) por la p ropiedad telescópica 4-b, se tiene: n

^ [ ( ¿ + l ) 2 - (¿ - l ) 2] = (n + l ) 2 + n 2 - l 2 - O2 = 2 n 2 + 2n 1= 1

ó

n

^ [(¿ + l ) 2- ( i - l ) 2]) = 2n(n + l)

(a)

í —1 . C 'om o (¿ + l ) 2 - ( i - l ) 2 = 4¿, reem plazando esta igu ald ad en ( a ) se obtiene n

^

4i =

2n( n + 1)

1=1 D e esta parte se d educe una fó rm u la m u y conocida: V 1.

n ( n + 1)

L 1~

2

í= i

E je m p lo 3. U sa n d o las prop ie dade s de la sum atoria, dem uestre que:

, V-

n(n + l)

,v V ,

1=1 c) ^

n(n + l)(2n + 1)

1=1 ¿3 = n2(n + 1) 2

d) ^

,4 _ n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1) 30

1=1

i= i S o lu c ió n a) V e r ejem plo 2.

b) C o n sid e ra m o s / ( i ) = ¿ 3 . U sa n d o la propiedad 5-b, se tiene n ^ [ ( t + l ) 3 - (i - l ) 3] = ( n + l ) 3 + n 3 -

l 3 - O3

í=i

S im p lific a n d o en a m b o s lados y luego a plicand o las p ropiedades 3-b, 2 -b y 1-b de la sum atoria, obtenem os n

n

^ T ( 6 i 2 + 2 ) = 2 n 3 + 3 n 2 + 3 n Í=1

n

6 t2 + 1=1

n

6 ^

2 = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n 1=1

n

í 2 + 2 n = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n

i= i

i2 = 2n3 + 3 n 2 + n

6 ¿= i

97

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

Finalm ente, n ( n + 1 ) ( 2 n 4 -1 )

I

6

í=i

c) y d) Eje rcicios. Sug. para c): considere / ( i ) = ¿4 y use la prop. 4.

Z

a ( a n — 1) a 1 = -------------- .

£= 1

a — 1

S o lu c ió n A p lic a n d o la prop iedad 4 -b a / ( i ) = n

a'

y luego a plican d o la p rop ie dad 2, se tiene

n

^ ( a ‘ -

a '- 1 ) = a " -

■

n

1 ^ T ( a ' - — ) = a " - 1 ^ ( - -------- ) a‘ = 1=1

i= i

an -

1

i= i

Finalm ente, V

i _

Z

a

a ( an ~ 1 )

(a-1) n

E j e m p lo 5. D e te rm in e u n a fó rm u la p ara ^

se n

kx.

k=l

S o lu c ió n Para calcular la sum atoria de se no s o cosenos, se co n sid e ra co m o

/ (i)

la

c o fu n ció n de la fu n c ió n que aparece en la sum atoria y se a p lica la propiedad telescópica 5-b. E n este caso, n

f ( k ) = e os kx. A s í, se tiene

^ [ c o s ( k + 1) x —eos (k — 1) x] = cos(n + 1) x + eos nx — eos x — 1 k =i

U tiliza nd o las identidades trigon o m é tricas para c o s ( a ±

b)

y sim p lifica n d o , se

sigue n

^ ( - 2

se n x se n kx) = c o s ( n + l ) x + c o s n x — c o s x — 1

k =i

n - 2 se n

x^

se n

k x — e o s (n + 1 ) x + eos n x — eos x — 1

k= 1

Finalm ente,

z

c o s ( n + l ) x + c o s nx — e o s * — 1 se n kx = ---------------------- ----------------------------2 se n x

98

INTEGRAL DEFINIDA n

E jem p lo 6 . Halle una fórmula para ^

fc fe!

fc=i S o lu c ió n Si f ( k ) = ( k + 1)!, p o r la p ro p ie d a d 4 -a, se tiene n

^ [(fc+ l)!-/c!] = (n + 1)1-1 k= 1

n

J][fc!(fc + l)-fc!] =(n + l ) ! - l k=l Finalm ente,

^fcfcl = (n + l ) ! - l

, „ r, E j e m p lo 7. D e te rm in e u n a fo rm u la p ara

v -> t a n h l9 / c x > --------------- . Z_i sech 19 kx k= 1

S o lu c ió n

Z k= 1

ta n h 1 9 k x v~> — — = > s e n h 1 9 kx sech 19 kx

í-u

k=l

Se procede de m anera s im ila r a lo realizado en el ejem plo 5 para la fun ció n trigonom étrica. S i /(/c) = c o s h 1 9 k x , p or la p ropiedad 5-a, se tiene H ^

[c o sh 1 9 ( k + l ) x - c o s h 1 9 (fc - l ) x ] = c o s h 1 9 ( n + l ) x + c o s h 19 n x - c o s h 1 9 x -

1

k-1 n 2 s e n h 1 9 x ^ se n h 19

kx = co sh 1 9 ( n + l ) x 4- c o sh 1 9 nx — c o sh Í 9 x - 1

k=l

finalm ente, n

V 1 co sh 1 9 (n + í ) x + co sh 19 nx - co sh 19 x - 1 > s e n h 1 9 k x = -----------------------------------------------------------------------Z -j 2 se nh 19 x k =1

99

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II n

E j e m p lo 8. H a lle u n a fó rm u la p a ra /? = ^

b k s e n ( x + ky).

k= 1

Solución A p lic a n d o la p rop ie da d 4 -a a f ( k ) = bk s e n ( x + ky ) , se tiene n s e n ( x 4-

k y ) - ¿ k_1 s e n ( x + (k - l ) y ) ] = b n s e n ( x + n y ) - s e n *

k=l

a

n

^

n

b k se n(x + k y ) —

^

b k s e n ( x + k y —y ) = a

fc=l_______ __________ k = l

P 1 n

P —— ^¡T &fc[ s e n ( * + /cy) eos y — se n y eos (x + /cy)] = a fc=i n /c o s y \

s e n y v-»

-

( l - — J p -\—

-— ^

,

b k c o s ( x + ky) = a

(1 )

k = l ___________________ (

5

Para determinar (5 ), aplicam os el criterio inicial.

n c o s ( x + k y ) - ¿?/£_1cos (x + (k — 1 )y ) ] = b n c o s ( x + n y ) — e o s * k=l

^

n

S —— ^

¿ fc[c o s (x + k y ) eos y + s e n ( x + ky ) s e n y] = b n c o s ( x + n y ) - c o s x

k= 1

Luego, se n y b S = ------------ ( « ) + - ; ------------- [í>n eos ( x + n y ) — c o s x ] o-eosy

o-eosy

(2 )

Finalmente, reem plazando (2) en (1) y efectuando las operaciones correspondientes, obtenemos

b(b-cosy) b 2 — 2¿cosy + 1

sen y (b n cos(x + ny) - eos x) sen(x + ny) —sen x ---------b — eos y

100

INTEGRAL DEFINIDA

E j e m p lo 9. D e te rm in e u n a fó rm u la para

^

ln(fe + 1).

k=1 S o lu c ió n D e sa rro lla n d o la sum ato ria y a plican d o las p ropiedades del logaritm o, se obtiene n ^

ln(fc + 1) = ln 2 + ln 3 + ... + In n + ln (n + 1)

k =l = ln [2 .3 .....n. ( n + 1 )] = ln [ ( n + 1)!]

E J E R C IC IO S Determ ine una fó rm u la para cada una de las siguientes sum atorias. n

1. ^ ( V 2 i + 1 - -y/2i - 1)

R. y/2n + 1 - 1

= 1 Í: = 1

100

I

k= i

ln( ¡ d h )

n

R- - ' " ( 5151>

4

3- kI- 1 (4 fe -

4n R.

3)(4fe + 1)

' 4n + 1

Sugerencia: d e sc o m p o n e r en fracciones parciales a:

4

■I

k= l

Z /í = 1

2k + 3k

3

6k

1

'2

R. 1 '

e

e fc + 2 k~ 1

101

1

2 .3n

2 k + fe(fe + 1) 2 ^ " (fe2 + fe)

4 (4fc - 3)(4fe + 1)

2"

1

1

2n + 2

2 n_1

3 n - e'1

T O P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II

n 7.

Y

2 ?i + 1

fl. 3

—

?i(n 4- 1)

k= 2

8.

^

V/c + i - Vfc

v ’n r 1 -

V F T T

fc=i

1

y 'n + 1

il 9.

1

¡i =1

n 2 + 3n + 3

R.

(/c + l ) ( / c 2 + 5/c 4- 6 )

2 (n + 2 ) ( n + 3)

n

10

I

( k 4- x ) ( k + x + 1 ) ( k + x + 2 ) n ( 2 x + n + 3) fí.

2(n +

11

4- l ) ( n 4- x 4- 2 ) ( x 4- 2 ) ( x 4- 1 )

1 /?.

Z i ln k k [\n(k + l ) ^ 1]

2 ln 2

k=1

12

a:

( n 4- 1 ) l n ( n 4- 1 )

2k + 1

I

fe=i

n ( n + 2)

R. ------------ -

k 2(k + l ) 2

(n + l ) z

U 13

s e n 3 ( n + l ) x 4- s e n 3 n x — s e n 3 x ^

R.

co s(3 kx)

/¿=i

2 sen 3x

2 6 9 / 1 0 2n -

14.

A

15. fe = l

V I O ''

+ 6k

1

R.

1 00 '= /

999 V

R.

-f 4

1 0 2n

4 (n 4- 2)

100

16.

^

s e n 2/c( 2 x )

/?. t a n 2 ( 2 x ) (1 - s e n 2002 x )

k~l 100

17.

/?. fc=i 102

16

1

1

16(5")

5 98

IN T E G R A L D E F IN ID A

8ì.. ^>

k xx K~' k 1

n x n+1 - ( n + l ) x n + 1

fi.

ix

fc=l II

5 k s e n ( 5 k - x)

19. ^

k=l R. n

20

5[(5 —cos 5)(5n sen(5n —x) + sen x) + sen 5(5n cos(5n —x) —cosx] 4(13 —5 cos 5) r

16 csc kx ; c o"t 5/ex s e" e 9k x

I

k=1

4[sen(2n + l)x + sen(2ruc) —sen 2x] sen(2x) [sen 4(n + l)x + sen(4nx) —sen 4x] sen 4x

R. 6n + -------------------------— — ------------------------+

1e h - [3 s e n a c o s a ] k 21.

Z :

3k

k=l

e [(3)

sen 2 a [(s e n a co s a ) n - 1]

~ l]

e - 3

"

!- Z

k=l

1

se n (2 a ) - 2

0

1

2 4 + l Qk - 2 5 k 2

^

5 4

fi. ( n - l ) 2 n+1 + 2

k 2k

23. ^

1

5n + 4 + 5n - 1

k=i

\

n

24. ^

c o s 2k 3;c

fi. c o t 2 3 x [ l - c o s 2n ( 3 x ) ]

k=l

2 5 - Z l o g „ r 2 2k ) l o g „ r 2 2k+2ì k=l

26.

(lo g ^ v G

2( n + l ì )

V 3 + x [ ( 3 + x ) n/2 fi. 1 V3 + X - 1

V 1. - ,-------- nfc > [V à T x ] k=l

103

l] J

TOPICOS DE CALCULO - VO LU M EN II

2.2 C Á L C U L O D E L Á R E A D E UNA R E G IÓ N P L A N A P O R S U M A T O R IA S 2.2.1

PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO

Definición 1. Sea [a ;b ] un intervalo cerrado. Una partición del intervalo [a; b] es el conjunto P de puntos Xo,x1(x2, - . x n; con a = x 0 < x v < x 2 ... < x n = b. Se denota con P - {x0, x v x 2, ..., x„}. Observación 1 i)

Toda partición P de [a; b] divide en n subintervalos a l intervalo [a; b],

ii) La longitud de cada subintervalo con Atx = x, — . Se verifica

[x¡„1; x t\, p a r a i =

1,2, ...,n , se denota

n

y A¿x -

b - a

(.=1

iii) Se llama norma o diámetro de la partición P al número ||P|| = m áx{A iX /

i = 1,2, ...,n }

iv) Cuando el intervalo [a; b] se divide en n partes iguales, la longitud de cada subintervalo es Ax =

b —a

n En este caso, los extremos de cada subintervalo son x Q = a , x x - a + A x , x 2 = a + 2 A x ,..., x¡ = a + ¿ A x ,..., x n = b

2.2.2 A P R O X I M A C I Ó N

D E L Á R E A D E U N A R E G IÓ N P O R Á R E A S D E

RECTÁNG ULO S Se a / : [a; b] -> R n egativa región

una fu n c ió n contin ua y no

(/ (x ) > 0) plana

en

[a;b]. Se a R la

p or

las

lim itada

gráfica s

de

y = / ( * ) > las rectas x — a , x — b y el eje x

(llam a da re g ió n b a jo la g r á f ic a de / de a

h a sta b) (fig. 2 . 1). Se a P = { x 0 , x 1, x 2, ...,xn } una p artición [a; b]. P o r la co n tin u id a d de /

en [ a ;b ], p od em os

elegir un co njun to de puntos

u t , u 2, —, u n, de

tal m anera que / ( u ¿) sea el v a lo r m ín im o de / en [ x i - i j x j ,

F'9' 2-1

i = 1 , 2 ,..., n.

104

INTEGRAL DEFINIDA

A si, c o n stru im o s n re ctán gulos cu ya s bases son lo s su b in te rva lo s de P y cu ya s respectivas alturas so n / ( u 1) , / ( u 2), . . . , f ( u n). L a s áreas de estos re ctá n gu lo s son / ( i í J A j X , / ( u 2) A2x , . . . , f ( u n)A nx respectivam ente.

I.os n

re ctán gulos co n sid e ra d o s form an el llam ado

polígono rectangular inscrito

en R (fig. 2.2). E l área de este p o líg o n o lo denotam os con / ( P ) , es decir,

71 K p ) = ' Y J f ( M i) A ix ¡=i

D e m anera sim ilar, e le g im o s

v x, v 2, ..., vn en los n su b inte rva lo s de P, de m odo

que / '( v ¿) es el v a lo r m á x im o de f en [ x ^ ^ x i ] , i = 1 , 2 , ..., ?i, y c o n stru im o s los

n rectángulos cu ya s bases s o n los su bin te rvalo s de P y cu ya s alturas respectivas son f ( v 1) , f ( v 2) , . . . , f ( v n). Kl p o líg o n o rectangular fo rm a d o por estos n rectángulos está circu n scrito a la región R (fig. 2.3) y su área, denotada por C ( P ) , está dada porn

C(P ) = 2 J f ( v ¡)Aix ¡=i

D a d a s d o s p articiones

/\ y

P2. S i / ( P J es el área del p o líg o n o inscrito y C ( P 2)

es el área del p o líg o n o circunscrito, se verifica

l ( P \ ) < C ( P 2) para toda partición P1 y P 2 de [a; b]

(I)

Sea L el conjunto de todas !as áreas de los p o líg o n o s rectangulares in scritos en R, es decir,

i = { / ( P ) / P e s p a r t ic ió n de [a; b ]} y U el conjunto de todas la áreas de los p o líg o n o s rectangulares circ u n sc rito s a R, esto es,

U = ( C ( P ) / P e s p a r t ic ió n de [a; b ]}

105

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN U

C o m o cada nú m e ro del conjunto L es m enor o igual que cua lq u ier n ú m e ro del conjunto

U (p o r I), entonces L es acotado superiorm ente y U es acotado

inferiorm ente. P o r lo tanto, existen

= s u p ( L ) y As = in f (U) P o r d e fin ició n de ín fim o y de suprem o, se verifica / ( P ) < A¡ < As < C(P), d e d o n d e A¡ < As P or lo tanto, el á re a i4 de la re gió n R (fig. 2.1), si existe, debe estar entre A t y As , es decir, A ¿ < A < As Se dem uestra m ás adelante que A¡ = A¡. Lu e go , se puede d e fin ir el área A de la región R co m o

A — A¿ — As T a m b ié n

se dem uestra que si

t1( t2, —, t n

son

puntos e le g id o s en

los n

subintervalos, es decir, t¿ E [xi_ 1; x¡], i = 1 , ...,n; entonces

(10

Observación 2 i)

Considerando la parte (iv) de la observación 1, si cada t¿ es el extremo derecho de cada subintervalo (t¡ = a + ihx, i = 1 ,2 , . . . n ) y teniendo en cuenta que ||P|| -> 0 n -* oo, entonces (II) pu ede ser escrito como: ( III)

do n d e Ax =

b —a

, = a + ¡A x , i = 1, ...,n n (Esta fórm u la es un caso particular).

ii) Si cada t¿ es el extremo t ¿ = a + (i - l ) A x ,

izquierdo de cada i = 1,..., n

subintervalo.

entonces

E je m p lo 10. P o r rectángulos inscritos, calcule el área de la re gió n Rlim itada p or las gráfica s de y = x +

1 , * = 0 , x = 3 y el eje x.

S o lu c ió n

f ( x ) = x + 1, a = 0 y b = 3. C o m o / es creciente en [0; 3], / presenta m ín im o en el extrem o

L a grá fica de la re gió n se m uestra en la Fig. 2.4. E n este caso, izq uie rd o de cada subintervalo, es decir,

t¿

3 -0 3 = a + (t — l) A x , i = 1 .... n , d o n d e A x = ---------= —

n

106

n

INTEGRAL DEFINIDA

Kntonces

3

3

3

t¡ = 0 + (/ - 1 ) - = - i -----y n n n

3

3

n

n

f ( t i) = t i + l = - i + l -------- .

l’or tanto, utilizand o la fó rm u la dada en la o b se rv a c ió n 2 y la su m a to ria de i, leñem os

A = lim

n-»co

= lim *->oo /n

Fig. 2.5

E je m p lo 11. P o r re ctángu los circunscritos, calcule el área de la re gió n R lim itada por las gráfica s de y = x 2 , x = 3 y el eje x. S o lu c ió n l;.l g rá fico de la re gió n R se m uestra en la fig. 2.5. A partir del gráfico, se deduce que a = O , b = 3 y, p o r tanto, Ax = 3/n . C o m o / es creciente en [0; 3], / tiene v a lo r m á x im o en el extrem o derecho de cada intervalo. A s í,

t¡ = a + iAx ó ti = - i

y f(ti) = — i2

Lu e go ,

A =

limI-YV

n-*co \ n Z - i n ¿ i= i

27 n(n + l)(2n + l) n-*co \ u

J

n-*co \ j l '3

£

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN 11

E n los e jem plos que siguen, no se tendrá en cuenta los re ctá n gu lo s inscrito s ni los rectángulos circunscritos. L o s puntos derechos de lo s subintervalos.

Ejem plo 12.

serán co n sid e ra d o s c o m o lo s extre m os

C a lc u le el área de la región R lim itada p o r las gráfica s de

y = 3 + x + x 3 , x = — 1, x = 2 y el eje x. Solución a = — 1, b = 2 , f ( x ) = 3 + x + x 3

3 Ax = — ,

3

ti = —1 + — i

n

n

12

y

27 „

27

/(t,) = i + Ir¿ - - t í 2

Para calcular el área de la región (F ig. 2.6), se tendrá en cuenta la su m a to ria de i, de t 2 y de i 3.

A = lim

3 ^ / 12 27 27 \ - ) 1 + — i - — i2 + — i3

n-* oo n ¿ j

¡= i

[3 f

\

n

n2

12

n ( n + 1)

n

2

r?

27

)

n (n + l) (2 n + 1)

27

= lim

— n H --------------------------- -------------------------------1- —

= lim

3

n-*oo

n

b

n 2 (n + l ) 2

----------------4

5 7

1 + 6

Fig. 2.6

2

Fig. 2.7

Ejem plo 13. C a lc u le el área de la re gió n R lim itada por las gráfica s de y = e x.

x = O , x = 1 y el eje x. Solución La re gió n se m u e stra en la Fig. 2.7. La lo n g itu d de cada s u b in te rv a lo es A x = — ,

1

ti = ~ i Y f(t ¡) = en

71

h

108

IN T E G R A L D E F IN ID A

I n este caso, u sare m o s el resultado obtenido en el ejem plo 4 para a =

1 A = lim — / en n L- a

lim

n-»cn

e l/ n [ (g l/ n y l _ j y

= lim

,1¡n _ ]_

n— »co

1

e n (e — 1 )

n

e 1/11 — 1

A sí,

1 = (e - l ) l i m

,1/n

n

= (e - 1 ) u 2

- e l/n

(*)

x e

( * ) Se hace el ca m b io de va ria b le x = — => lim = lim — — - = 1. n n->oo e 1/n — 1 x->o e x — 1 ( A l aplicar la R e g la de L ’H ó p ita l al ú ltim o lím ite)

E je m p lo 14.

C a lc u le el área de la re gió n bajo la gráfica de

f{x) = se n *

10; 7T/2J. S o lu c ió n L a gráfica de la región se m uestra en la Fig. 2.8. A s í, tenem os

n = s e n ^ ¿.

lim

TT V “ *

—

n-*-»oo 2 n

= lim

n-*oo

= lim

> se n —

jLu í= i

TI

2n

i

71 i 1 + c o s £ ) - cos ( n S 2n

- cos (n +

i

(**)

2sen®

1 + cos (ín ) “ cos (§) ~ cos se n

[1 + 1 - 0 - 0 ] ■

(s )

(s ) ( * * ) Se u sa el resultado del ejem plo 5 para x = n ¡ 2 n .

109

W )

.

1u 2

en

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

E je m p lo 15. C a lc u le el área de la región bajo la cu rva y = s e n h x en [0 ; 1], S o lu c ió n L a región R se m uestra en la fig. 2.9.

/

Se tiene

1

1

Ax = - , t ¿ = - ¿ n n

A = lim

y

/ ( t í) = se n h

y - senhx

(\ \ -¿

\n J

7

í É senhG i)

n-> co

1= 1

Fig. 2.9

i lim

1

c o s h ( n + 1 ) — + c o s h ( n ■—^ — c o s h i v Jn \ nJ n

n->cc

2 Se „ h ( i )

c o sh ( l + i ) + co sh 1 — co sh ^ — 1

- lim

2 c o s h ( l) - 2

n-*co

E je m p lo 16.

(c o s h (l) - l ) u 2

C a lc u le el área de la región lim itada por las g rá fica s de y = 2\¡x ,

eje x, y x = 9. S o lu c ió n Para

evitar

la

su m ato ria

de

la

ra íz

cuadrada,

to m a m o s

com o

variable

independiente a la variable y , es decir, / ( y ) = y 2 / 4. L a re gió n está lim itada por las curva s / ( y ) = y 2 / 4, .9 ( y ) = 9, las rectas y = 0 c y = 6 (fig. 2.10).

•El área del i-é sím o rectángulo es [g(Zi) - / ( z , ) ] A y . P o r tanto, el área de la re gió n está dada p or

110

INTEGRAL DEFINIDA

^ = *im 4 AyZ ^ (zí)- /(z4 d o n d e A y = £ , z i = 0 + iA y = ^ i , n

n

g ( Zi) = 9 y f ( z ¡ ) = Í ( - A 4 \rc )

9 (.orno g ( z , ) - f (z¡ ) = 9 - — i 2, se tiene 4 = lim

n-* oo

n*-

6V

- )

ruL-¡

= ~ i n¿

9

= 3 6 u 2.

( 9 ----- - i 2)

n-

E J E R C IC IO S i:n cada uno de lo s e jercicios siguientes, encuentre el área de la re gió n lim itada por las cu rva s dadas. 1. y = ( x - l ) 3 , x = 3 , x = 8 y el e j e *

R. 2 3 8 5 / 4 u 2

2 . y = x 2 , x = 0 , x = 2 y el eje x

R. 8 / 3 u 2

3. y = 4 - x 2 y el eje x

R. 3 2 / 3 u 2

4. y = 4 - |x|, x = - 4 ,

x = 4 , el eje x

R. 8 u 2

5. y = 2 v x , eje x , x = 0 , x = 4

R. 3 2 / 3 u 2

6 . y = x 3 , x = - 1 , x = 1 , eje x

R. 1 / 2 u 2

7. y = 1 2 - x 2 , e j e x , x = - 3 , x = - 2

R. 3 0 5 / 6 u 2

8 . y = 2 - '! * ( , e j e x , x = - 2 , x = 2

R. 4 u 2

9. y = x 2 , y = 4 - 3.x2

/?. 1 6 / 3 u 2

1 0 . y = m x , m > 0 , eje x , x = a , x = b , c o n 0 < a < b

R11. y = x 2 - 2 x - 1 , eje x , x = 1 , x = 4

m ( ¿ 2 - a 2) ------- V • 2 /13V2

"■ l

3

\ - 4j "

4 12. y = 3 x - 3 x ‘ - - x 3 , eje x , x = 0 , x = i

/?. 1/6 u 2

13. y = c o s h x , x = 0 , x = l ,

e je x

ñ. s e n h ( l ) w 2

, e je x

/?. 2u

•

14. y = e o s x , x =

n

n

x = -

15. 4 y = ( x t _ 4 ) 2 , 4 y = ( x + 4 ) 2 , 4 y = - ( x - 4 ) 2 , 4 y -

-(4 + x)2

K. 6 4 / 3 u 2 16. y = 3 x 2 , y = - 1 - 3 x 2 , x = 0 , x = 3

111

R. 5 7 u l

,

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN 11

2.3 S U M A S U P E R IO R Y S U M A IN F E R IO R En

esta se cción

y

en

las

siguientes, hasta la se cció n

co n sid e ra da s están d efin id as en un intervalo / = [a;

Definición 2. S i P x y P 2 refinam iento de P x cuand o

2.10,

las

fu n c io n e s

b], co n a < b.

so n d o s particiones de /, se dice que P 2 es un c P 2 , Se com prueba fácilm ente que si P 2 es un

refinam iento de Pj , entonces ||P2 || < H H .

Definición

3.

Sea

u na

fu n ció n

acotada

en

/ = [a; b]

y

P = { x 0, x 1, ...,xn } una partición de /. C o n I¡ denotam os al j-é s im o su b in te rva lo de /, es decir, l¡ = \xj_x)Xj\, j = 1 , C o m o / es acotada en ¡ , existen m¡ y Mj tales que

m¡ = i n f { / ( x ) / x e Ij } ; M¡ = s u p { / ( x ) / x G !¡} Se cum ple: m¡ < / ( x ) < M¡, V x £ I¡, j = 1,2, ...,n. D e fin im o s: a) L a s u m a in f e r io r de / para P , que se d esigna con S ( / ; P ) , se define c o m o n n

S(f; P ) = ^

m j( x j - xH 1) = £

7=1

m ; Ayx

7=1

b) L a strm a s u p e r io r de / para P, que se denota con 5 ( / ; P ) , se define c o m o n

S(/ ;P ) = ^ M , A , x j'= l E j e m p lo 17.

Se a / ( x ) =

k

la fu n c ió n constante d e fin id a en

/ = [a; b}. L a

gráfica de la fu n c ió n se m uestra en la fig. 2.11. Se tiene n

n

S_(f. P) = ^

kAjX = k ^

áj-x = k(b - a), donde k = inf{/(x) /

xe //}

■ • 7= 1

n

S (f,P ) - ^

n fcA/X = k y

A , x = k ( i - a ) , d o n d e /c = s u p { / ( x ) / x E /,}

Fig. 2.12

Fig. 2.11

112

INTEGRAL DEFINIDA

(

E je m p lo 18. S i f ( x ) = x , x e 1 = [a ;b ], entonces n £ (/ .p ) -

l¡],j = 1 , 2 , , n

* j - i A j x , d o n d e xh x = in f { / ( x ) / i e j=i

n

= ^ ]x jA jX , donde j~ 1

= s u p { / ( x ) / x E 1¡},¡ = 1 ,2

I ;i gráfica de la fu n c ió n se m uestra en la Fig. 2.12.

I.jc m p lo 19. C o n sid e re m o s " l a fu n ció n de D iric h le t”

c, s

( 1 , s i x es ra c io n a l

,

lo , si x es irra c io n a l 1 x e l’ara cua lq u ier p artición

r

~

,

]

P se ve rifica que m¡ = 0 y M¡

= 1 , j = 1,2, ...,n.

Luego, n

S( f , P) = Y

n

¡= i

2.3.1

l . A ;x = ¿ - a

O.A; x = 0 y 5 ( / , P ) =

S IG N IF IC A D O IN F E R IO R E S

j= i

G E O M É T R IC O

D E L A S S U M A S S U P E R IO R E S E

L a s su m a s su p e rio r e in fe rior p oseen una interpretación geom étrica sim ple. L n p rim e r lugar, a n a lice m o s el sig n ific a d o del producto hjAjX,

d on d e h¡ es

nij

ó Mj y Aj'x es la lo ngitu d del su bin te rvalo Ij = [ x j ^ x j ] . S i hj > 0 . entonces hjAjX es num éricam ente igual al área del rectángulo de base /, y altura

h¡. S i h¡ = 0 , entonces hjAjX = 0; y si hj < 0 , entonces hjA¡x es

num éricam ente igu a l al op ue sto del área del rectángulo de base ¡¡ y altura - h¡. P or esta razón, al n ú m e ro

hjAjX

rectángulo cu y a base es Ij y altura es

lo d e n o m in a re m o s á re a a lg e b r a ic a

\hj\

del

, es decir, el área alge b raica es p o sitiva

si el rectángulo esta sob re el eje x y negativa, si está debajo de eje x. lin la se cció n 2.2.2 (fig u ra s 2.2 y 2.3), v im o s que cu a n d o / es no n e ga tiva en /,

S_(f>P) y S ( f . P ) (que den o tam os p or I {P ) y C ( P ) ) son, respectivam ente, las áreas de lo s p o líg o n o s rectangulares inscrito y circ u n sc rito a R, don d e R es la re gió n lim ita da p or la s grá fica s de / , las rectas x = a , x = b y del eje x.

113

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

E n las fig u ra s 2.13 y 2.14 se m uestran, respectivam ente, S ( f , P ) y S ( f , P ) $ m a una fu n ció n que no necesariam ente es positiva.

L a c o n d ic ió n de que / esté acotada en / = [a; b] es esencial para que existan los valores m¡ y M¡ . E sto s n úm e ros se definieron c o m o los ín fim o s y su prem os, en ve z de m ín im o s y m á x im o s (co m o se h izo en la se cció n 2 .2 .2 ), y a que en esta op ortu nid ad no se e x ig ió qug / sea continua.

2.3.2 P R O P I E D A D E S D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E I N F E R I O R E S C o m o / es acotada sobre /, existen m y M tales que

m = in f { / 0 ) / x E I }

y

M = s u p { / 0 ) / x E /}

P r o p o s ic ió n 1. Se a / una fu n c ió n acotada i'n una p artición de /. En ton ce s

/ = [a ;b ]

y P =

[ x 0,x-i.

..., x n }

( 1)

m ( b - a ) < S ( f , P ) < S ( f , P ) < M( b - a ) D e m o s t r a c ió n Se tiene

m < m , < Mj < M. M u ltip lic a n d o to d os io s té rm in os p o r A ¡x > U

su m a n d o las re la cio nes obtenidas para j = 1 ,2 ,..., n , ob tenem os n

^

n

mAjX <

7= i

7=i «

m X A¡x j =i

n

nijAjX < ^ ;= i

n

Mj Aj X <

MA¡x

ó

j= i n

ajx

j= i

n

C om o ^

Ayx = b - a, e n to n ce s m ( b - u ) < 5 (/ , P ) < 5 (/ , P) < M (b - a).

y

INTEGRAL DEFINIDA

P r o p o s ic ió n 2.

S i / es una fu n c ió n acotada en /, y Px y P 2 so n d o s particiones

de I tales que P2 es un refinam iento de Pr , (Pt c P2), entonces ‘0 •!(/. Pi) < S ( f , P 2) y b)

S ( f , P x) > S ( f , P2)

S i P2 — / \ tienen r puntos, entonces

í ( f , P 2 ) - S ( f , P í ) < r ( M - m ) \ \ P 1\\

S(f.P1)- S if , P 2) 0,

V x 6 [a; b ]

,

A(R) =

f

f(x)dx

*a

b ) Si f ( x ) < 0 , V x e [a; b] ► - A(R) = f f ( x ) d x JQ c ) Si al n ú m ero I f ( x ) d x lo lla m a m o s área a lg e b ra ic a , p a r a una f u n ció n Ja arbitraria f continua en [a; b], esta integral definida de f en [a; b] representa la suma de las áreas algebraicas de las regiones determinadas p o r la gráfica de f y el eje X, desde x = a hasta x = b.

T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

E je m p lo

22.

La

gráfica

de /

consta

de

se gm e n tos de recta y una sem icircunferencia,

ik

co m o se in d ica en la fig u ra adjunta. Halle:

4 a)

í

/ ( x ) d x b)

Jo

J -6

“6 c)

f

/ (x )d x d)

f

y

V

| / (x )| d x

•'-6

y

*

5

¿ x

/■ / * / !

i\ i\ i \

í f(x)dx

i i !

-4

J-6

e) E l área de la re gió n lim itada por la gráfica de / , el eje x y las rectas x = —6 y x = 8 . S o lu c ió n a)

C o m o el área del círcu lo de radio r = .4 es Ax = n r 2 = I ó í t u 2, entonces

í

A,

J / W

^

= - T

= —A4 ti = -

es /12 = 4 u 2

b) D a d o que el área de un triángulo de base b = 2 y altura h = v /4 y el área del se m ic írc u lo es A = — = 8n u 2, ento n ce s

í f(x)dx = í J-6

c)

/ ( x ) d x + í f ( x ) d x = Az - A = 4 - 8 tt. J —4

J-6

Puesto que la integral d efin id a desde —6 hasta 8 está fo rm a d a p or la su m a de áre a s a lg e b ra ic a s de u n triá n g u lo ( A2 = 4 ) , de u n se m ic írc u lo

/ A2 —

\

= — 8 n j,

de u n triá n g u lo (Á3 — 2 ) y de u n rectágulo ( A 4 = 12), e n to n ce s r8

I J-

r —4

/ (x )d x = 6

I

/• 4

J - 6

r 5

/* 8

f (x)dx + I / (x )d x + I / (x )d x

/ (x )d x + I

J4

J - 4

J s

= 4 + ( — 87t ) + 2 + 1 2 — 1 8 ■ 87T d) C o m o |/(x)| = — / ( x ) , V x G [ - 4 ; 4 ] , entonces í

/ (x )d x =

j-ó

f

/ (x )d x - í

J-6

f(x)dx + í f ( x ) d x + í f(x)dx

■ '-4

Js

**4

= 4 - C— 8 tt) + 2 + 1 2 = 1 8 + 8 tt e) E l área de la re gió n p ed ida es 4 (R ) =

í J-6

|/(x)| d x =

[

f (x) dpTh( ( - / (x ))d x + [ / (x )d x + í f(x)dx

J-6

' = 4 — ( —87r) + 2 + 1 2

• '- 4

( 1 8 + 87r)

118

-M u2

->5

INTEGRAL DEFINIDA

T eorem a 1

(C rite rio de integrabilidad de R iem an n ).

Si /

es una función

;icotada en /, una co n d ic ió n necesaria y suficiente para que / sea integrable en / es que d ad o e > 0 arbitrario, exista una partición P de 1 tal que (6 )

S(f,P )-S (f,P ) 0, existe una partición P1 de / tal que J_-¿ 0 , existe u na p artición P2 tal que

S ( f , P 2) < 7 + |

ó

(8)

S ( f , P 2) ~ ] < -E

S u m a n d o m ie m b ro a m ie m b ro las d esigua ld a d e s (7 ) y ( 8 ) y c o n sid e ra n d o que / = ] , obtenem os

S ( j r, P2) - S ( f , P 1) < E C o n sid e ra n d o Pí U P2 = P (es un refinam iento de P, y P 2 ), tenem os

S ( f , P ) - S ( f , P ) < S ( f . P 2) - S ( f , P J < £ b) ( < = ) S u p o n g a m o s que d ad o £ > 0, existe una partición P de I tal que (7) es verdadero. C o m o

J_ > S ( f , P ) y ] < S ( f , P ) se obtiene 0 <

J — J < 5 (/ , P ) - S (/ , P ) < e. C o m o £ es arbitrario, se obtiene

7-7 = 0 o 7=7 P o r tanto, / es integrable en /.

Hasta ahora,

I f ( x ) d x se ha d efin id o so lo si a < b . P o r conveniencia, se d an

¿as sigu ien te s definicio n e s:

Definición 6. S i a < b , se define I f ( x ) d x = — ¡ f ( x ) d x , sie m p re que I f { x ) d x

h

Ja

Ja

Definición 7. S i / es una fu n c ió n d efinid a en o. se define ,-a

I

f(x)dx = 0

a

119

exista.

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

P r o p o s ic ió n

4. S i f

es una fu n ció n continua en / = [a; b],

entonces /

es

integrable en /. L a d em ostración se deja co m o ejercicio al iector. 2.5.1 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A 1. S i / es una fu n c ió n integrable en /, entonces es integrable en cu alq uier su bin te rva lo [c; d ] c /. 2.

S i f es una fu n c ió n integrable en /, entonces para toda constante real k , k f es integrable en / y se tiene: (9 )

f k f{x)dx = k í f(x)dx Ja Ja 3.

S i / y g so n fu n c io n e s integrables en I, entonces / ± g tiene: rb

pb

rb

l f ( x ) ± g ( x ) ] d x = \ f (x) dx ± I g(x)dx Ja Ja Ja

4.

es integrable en / y se

(10)

S i f es integrable en los intervalos [a; c] y [c; b], entonces / es integrable en I = [a; b] y se tiene:

( 11 )

f f(x)dx = í f(x)dx + í f(x)dx Ja Ja Je (P rop ied ad aditiva respecto al intervalo de integración).

Esta prop ie dad es vá lid a para tres nú m e ros arbitrarios a , b , c siem pre que las tres integrales existan. 5.

Si

/

es integrable en

I = [a; b] y f ( x ) > 0 , V x E I. entonces ( 12)

f f(x)dx> 0 Ja

6 . S i / y g son fu n c io n e s integrables en /y f ( x ) < g ( x ) , V x E /, entonces í f(x)dx <

Ja 7.

(13)

í g(x)dx Ja

S i / es integrable en

/ = [a;

b] y m < f ( x ) < M, V x E /, entonces

m(b - a) < í f ( x ) d x < M{b - a )

(14)

-'a

8.

S i / es integrable en

I, entonces

f /(x )d x | S í \ f ( x ) \ d x Ja

I

(15)

Ja

120

1N I h C jK A L D t r l N I U A

2.5 .2 T E O R E M A D E L V A L O R IN T E R M E D IO P A R A IN T E G R A L E S T eorem a 2.

S i / es una fu n ció n continua en I = [a; 6 ], entonces existe un

núm ero c G / tal que

í f(x)dx = f ( c ) ( b - a ) Ja D em ostración E l T e o re m a del V a lo r Interm edio de una fu n c ió n continua indica: “ S i f continua en [a; b]

y se cum ple que / ( a )

es

/ '( ¿ ) , entonces para cu a lq u ie r o)

entre / ( a ) y f ( b ) existe un nú m e ro c entre a y b tal que / ( c ) = 6 )". P or hipótesis, / es integrable en /, pues / es co n tinu a en I (Prop. 4 ). Lu e go , por (14), se tiene:

m( b — a) < f f ( x ) d x < M( b - a) Ja donde m y M son el m ín im o y el m á x im o a bso lu to s de / en I, respectivam ente (estos va lo re s existen p orq ue / es continua). Lu e go , m = f ( x m ) y M = f ( x M ) , con x m y x M G / , y

fbf(x)dx f ( Xm) ~

b -a

~ / ( * m)

P o r el teorem a del v a lo r interm edio para fu n cio n e s continuas, existe c entre x m y

x M (c G /) tal que fbf (x ) dx rb f (c ) = — ------------, es decir, I f { x ) d x = / ( c ) ( ¿ — a ) , con c e I b -a Ja 2 .6 T E O R E M A S FU N D A M E N T A L E S D E L C Á L C U L O IN T E G R A L T eorem a 3 (P rim e r T eo rem a Fu ndam ental del C álcu lo In teg ral o T eo rem a de B arro w ) S i f es u n a f u n c ió n c o n t in u a en

/ = [a ;b ]

y

F es la f u n c ió n d e f in id a p o r

F( x) = I f { t ) d t , x G /, e n to n ce s se tiene F '( x ) = ¿ ( /

f(t)dtj = f (x ) ,v x e i

D em ostración P o r d efinición, para x G [a; b] {x fijo), se tiene , ,. F( x + h ) - F ( x ) f * +h f ( t ) d t - f i f ( t ) d t F ( x ) = l i m ------------ -------------- l i m ----------------- r-----------------

h h-*oh

h-*o ,

! * f w t + c kf w t - s * f w t

r v ( í) d í

= h m ---------------------------- :-----------------------------= u m -------------------

h-*o

h

h-o

121

n

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

Por el teorema del valor intermedio para integrales, para el par de números x y x + h e [a; b] existe c entre x y x + h tal que rX+h.

I

f ( t ) d t = / (c )(x + h - x ) = hf(c)

Jx Luego,

F'(x ) = lim h->o

h

, c entre x y x + h }

F '( x ) = lim f ( c ) , c entre x y x + h

h-0

F'(x ) = / (x ), V x E / , e s decir, F es u n a a n tid e riv a d a de / en /. Observación 4. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral definida e indefinida. Se prueba que una función f continua en I admite una antiderivada dada p o r F( x) = / * f ( t ) d t , pues F '( x ) = f ( x ) , V x € /. es un teorema de existencia, pues si f es una función continua en l, existe

F( x) = / * f ( t ) d t

tal que F' ( x) = f ( x ) , V x G 7.

Como F( a ) = 0 , F

es la

antiderivada de f en l cuya gráfica p a sa p o r el punto (a ; 0 ). T eo rem a 4 (Segundo T eorem a Fu n d am en tal del C álcu lo In teg ral) S i / es una fu n c ió n continua en / = [a; b] y F es una a ntid erivada de f

en /

( F '( x ) = f ( x ) , V x E /), entonces

[ f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) = [ F( x ) ] b Ja a

(1 6 )

D em ostración C o m o F es una a ntid erivada de / en / y, por el p rim e r teorem a fundam ental,

F defin id a p o r F ( x ) = / f ( t ) d t es tam bién una antiderivada de / en / , entonces existe u n a constante c tal que F( x) = F ( x ) + c , V x E l. A s í, tenem os

F( b) = F( b) + c = f f ( t ) d t + c y *a

F( a) = F (a) + c =

C o m o /Qa / ( t ) d t = 0, entonces

F( b ) - F ( a ) =

f f(t)dt Ja

C o m o la va ria b le t n o tiene sig n ific a d o especial, se c o n clu ye

í f ( x ) d x = F( b) - F ( a ) ■'a

122

1

f ( t ) d t 4- c

INTEGRAL DEFINIDA

Observación 5 n) \ F ( x ) ] ba es una notación p a r a F( b ) — F( a) . h) La fórm ula dada en (16) es llamada “Fórmula de N ewton-Leibniz” debido a que estos dos matemáticos establecieron, independientemente uno d el otro, la relación íntima entre los conceptos de la derivada y de la integral. -El nombre que se le da a esta fórm u la es convencional, y a que ni Newton (1642-1727) ni Leibniz (1646-1716) dieron exactamente con esta fórmula. c) Obsérvese que la diferencia F( b ) - F( a ) no depende de la elección de la antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una constante, la que desaparece al efectuar ¡a diferencia. Por eso, al calcular una integral definida no es necesario considerar la constante en la antiderivada.

E j e m p l o 2 3 . S e a la fu n c ió n F { x ) = a)

b) F " ( x )

F '0 0

------- - d t . C a lcu le Jn0 1 + t c) F’( 1 )

S o lu c ió n a) Sie n d o

/ ( t ) = 1 / ( 1 + t 2)

una fu n c ió n continua, p or el p rim e r teorem a

fundam ental, se tiene F' ( x) = 1 / (1 + x 2) , V x > 0

(es ne ce sario notar que

F' { x) = 1 / (1 + x 2) es v á lid o para todo x e R ). C o m o entonces F es un a fu n c ió n estrictamente creciente en R .

F' ( x ) > 0 , V x R ,

b) F" ( x ) = —2 x / { l + x 2) 2 (F presenta punto de in fle xió n en x = 0). c) F ' ( 1 ) = 1 / 2 . Finalm ente, dado que F ' ( x ) = 1 / (1 + x 2) , entonces F ( x ) = a rc t a n x + C para a lgu n a constante C. C o m o F ( 0 ) = 0, entonces = a rc t a n (O ) + C => C = 0, es decir, F ( x ) = a rc ta n x

0

E je m p lo 24. C a lc u le el v a lo r de cada una de las integrales

S o lu c ió n a)

U n a antiderivada de f ( x ) = 1 / (1 + x 2) en l = [ - 1 ; 1] es F ( * ) = a rc t a n (en esta antiderivada, p o r la obs. 5-c, no se co n sid e ra la constante). L u e g o , f

J r 1t/2

b) J

dx 1 ■■ 7T y 7T\ n T + x 2 = [arctan x ] _ 1 = a r c t a n ( l) - a r c t a n ( - l ) = - -J = jj.

sen x dx = - [ c o s x ] ^ 2 = - ^ c o s - - cosO j =

o

123

1

x

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

c) f e* d x = Ja

o

C 1 — e° = e — 1 == e

f1 1 d ) I se n h x d x = [c o s h x ] = c o s h ( l) - 1 Jq u C o m p a re las respuestas obtenidas en (b), (c) y (d) co n las ob tenid as en los ejem plos (13), (1 4 ) y (1 5 ) de este capítulo. E je m p lo 2 5 i)

Se a G ( x ) = / “ f ( t ) d t , donde / : / = [a; b] -> R es co n tin u a una fu n c ió n d erivable (u :

y u = w (x )

es

—» /). Pruebe que

d G' ( x) = / ( u ) . u ', d o n d e u' = — ( u ( x ) ) ax ii) Se a H( x ) = f ^ f ( t ) d t , d o n d e / y u = tt(x ) tienen las c o n d ic io n e s d adas en (i). D e m u e stre que

d H ' ( x ) = - / ( u ) . u ', d o n d e u ' = — ( u ( x ) ) dx S o lu c ió n i)

Si F (x ) = / * f ( t ) d t y

u

(F o u )(x ) = F ( u (x )) =

= u ( x ) , entonces

f ( t ) d t = G(x) . P o r la re gla de

la cadena, se tiene

G' ( x ) = F '( u ( x ) ) . u '( x ) = F '( u ) . u ' = f ( u ) . u ', pues F '( x ) = / ( x ) . E n resum en, G '( x ) = / ( u ) . u '. ii) H( x ) = f “ f ( t ) d t = - / “ / ( t ) d t P o r (i), t f '( x ) = - ( / ( u ) . u ') = - / ( u ) . u '.

E j e m p lo 2 6 . S e a G ( x ) = Halle: a) G '( x )

í

— — -—

—dt y W (x ) = f

J_3 1 + 9 s e n 2t

3 12 + 9 se n t + 15 ^

b) t f '( x )

S o lu c ió n a) U sa n d o el ejem plo 23-i), para / ( t ) = 1 / (1 + 9 s e n 2 1) y u = x 4, se tiene 1 C ' W = 3 - r ^ ------^ ‘4x3 l + 9 s e n 2 ( x 4)

4x3 l + 9 s e n 2 ( x 4)

b) U s a n d o el resultado del ejem plo 2 3 -ii), obtenem os .

1

,

H M = -----r — :-----r r — -• 3x x 6 + 9 se n (x 3) + 15 124

3x2

x 6 + 9 s e n ( x 3) + 15

INTEGRAL DEFINIDA

rX* E jem p lo 2 7 . S i G(x) = [

Jx2

I j l + y 3 d y , h a lle G '( x ) .

S o lu c ió n C o m o / ( y ) = ^/1 + y 3 es co n tinu a en M, e n to n c e s

G (x) =

f

y i + y 3 dy =

Jx2

f

\ ] l + y 3 dy + í

Jo

¿x2

X j l + y 3 dy

Lu e go , G '( x ) = - \ ¡ l + x * • 2 x + V l + x 9 • 3 x 2 = x [ 3 x V i + x 9 - 2 3V l + x 6]

E je m p lo 2 8 . C a lc u le el v a lo r d e

r 1 j x ld x -------- 1 + x2

S o lu c ió n

Si / ( x ) = { ^ 2

si x > 0

1 + x2 '

’ e n to n c e s / ( * )

X

,

“ l + x2

si x < 0

P ara ca lcu la r esta integral, se aplicará la prop ie dad a d itiva respecto al intervalo de integración. E n efecto,

f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x = = — i —l dx + í ■ * dx J- 1 J-i J_x l + x 2 J0 1 + x 2 rl i1 - l n ( l + x 2)]^

rl i° = - [ - l n ( l + x 2)j

ln 2 ) + | ( l n 2 ) = l n 2

=

E jem p lo 2 9. Calcule J =

í |x2 + x — 6 | dx. J~4

S o lu c ió n L a va ria ció n de s ig n o s de x 2 + x - 6 = ( x + 3 ) ( x - 2 ) es +

-

+

-3

2

lu e g o |;t2 + x - 6 | = í A:2 + * _ 6 ' i.uego, |x + x 6 | l _ (x2 + x _ 6 l

125

s i x 6 ( - 00; - 3 ] u [ 2 ; + c o ) s i x 6 < _ 3 ;2 >

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

A p lic a n d o la prop ie dad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración, se tiene 2

f \ x2 + x - 6\dx = í

( x2 + x - 6 ) d x - f ( x2 + x - 6 ) d x + f ( x 2 + x - 6 )dx ■'—4 J—3Jo 3

«'—4

3

v2

+ lT + T - 6, -3

125\ ■

38

6 ) + T

i - i "

109 - T~

x > 9, resuelva la ecuación:

E j e m p lo 30. Sa b ie n d o que

16 dt 27T / 2 + yfx \ 3 = — + ln 1 ------ I - 2 arctan - —ln 5 ... (a) 9 V2(16 - t 2) 3 Syfx - 10

i S o lu c ió n

,

f

,

J

t = u2 y dt =

2udu.

16 dt Ví(16 —t2)

I - = -------------

En p rim e r lugar, ca lc u la m o s la integral

u s a n d o la su stitu c ió n

D e esta manera,

f 16 dt _ f 32 u du f 32 f 4 i Vt(16 - t 2) ~ J u( 16 - u4) ~ J 16 - u4 dU “ J 4 - u2

f 4 + J 4+ü* d“

, |u + 2| aín lVF+21 ' /Vt\ = ln ---- - + 2 arctan (-) + C = ln —---- + 2 arctan —- + C \u-2\ '2' V t-2 \2 Lu e go ,

16 dt 9 Vt( 16- t 2) i

In

Vt + 2 Vt 1 + 2 arctan(—) V t-2 Vx 3 + 2 arctan — — 2 a rcta n - -

V i , , + 2 a rc t a n —— V s V z - 10)

O'

In

5

2 a r c t a n - ... (ß) 2 2^

R e e m p la za n d o (/?) en (a ), se tiene

. / Vx + 2 \ ln

V? + 2 arctan T

V*

2 arctan — =

2n

3

2ir

- 2 arctan 2 = T A/x\

n

4x

+

ln ( 4 ± i L ) _ \Syix-lQ )

, ns

V*

2 arctan

y » arctan I — 1= - — = tan (-J » — = V3

F inalm ente, x = 12.

126

INTEGRAL DEFINIDA

E J E R C IC IO S I . K n cada u n o de lo s sigu ien te s ejercicios, calcule la d eriva d a de las sigu ien te s (unciones. ..)

■'(x

/■

)- j

c o sh (2 t 2

”Senx

J

I»)

a

R. F '(x ) = 2 co sh ([8x2 + 1)

^ ------------d t

a rcse n t

f í [ y -—

C)

+ 1) d t

*■

r d t ) dy j *

^ —

'2 \ J 8 1 + 1 + se n 2t r*3

1

F 'w

=Í

t t

A + s e n 2t

dt

j.

rJ0 i + s e n 2 t

e o s2( y 2 + 4 ) d y

d) F(x) = • 'a

e) F Q t) = se n |J

s e n ^J

s e n 3t d t ] d y

/•arcsen^cosArj 2. Sean F ( x ) = A /3 -senx

J

1 — se n x

/ (se n t ) dt -

J

______

1 4- se n x

____________

x2+ i

2 ~t2 d t , calcule G '( x ) y G '( l ) .

r e* 6 . Si F ( x ) = I

x ( t 2 + l ) d t , calcule F '( x ) .

7. Sea G(x) = I f ( t ) d t , d o n d e f • 1 -* R •Vi(x) fu n c io n e s

es u na fu n c ió n c o n tin u a y las

,

im p a r continua, tal que I / ( x ) d x = 10 y I g ( x ) d x = — 2. Halle: J -6 “'-6 rO a) í t / (x ) + £ ( x ) ] d x fí. 12 b ) [ [ / (x ) + s # ( x ) ] d x R. 20

•'-6

•'-6

11. E n los sigu ien te s ejercicios, calcule / ( 2 ) sabiendo que /

es co n tinu a y

ve rifica la ecu ación dada para todo x > 0 . a)

R. 1 6

[ f { t ) d t = x 2( l + x ) Jo

X2 b)

í

f(t)dt

R.

x 2( l + x )

2 + 3V2 L

■'O rfW

c)

I Jo

d)

f

t 2 d t = x 2( l + x )

R. V 3 6

r X 2 {l + l)

1

f(t)dt = x

12. D e m ue stre que si / es continua, entonces

J f(u)(x-u)du = J Sug: c o n sid e re F( x) =

I

Jo

^ J f(t)dt^jdu f ( u ) ( x - u ) d u , e nto n ce s F '( x ) = I f ( u ) d u . Jo

L u e g o , halle su antiderivada y calcule F ( 0 ) para su constante. 13. A partir del ejercicio anterior, dem uestre que

[ Xf ( u ) ( x - u ) 2d u = 2 f i f í f Zf ( t ) d t ) d z d u Jo •'o lyo \ Jq J

128

INTEGRAL DEFIN ID A

14. H a lle f ( x ) s i

= ■ 1 , V x > 0. v i + s e n 2*

15. C a lc u le el v a lo r de las siguientes integrales:

a)

J x 3 dx

c)

I

f 1/2

b)

1

(x + l ) 3 dx

r2

i Vi - x2

Jo

J

d)

x ;------- 7

Ji i 1+ x 5

e)

J - i 1 + 1*1 I

g)

J3 h) I Jo

|cosx|d x

Jo r

°

L

a!

—

dx

5 x - 20

(2 - x ) ( x 2 + 1 )

dx

R. 1 ,336685 ...

se n 2(3 x )d x

r

° I

i “*

ln x dx

16. Sea / : [ - 6 ; 6 ] -» IR u n a fu n ció n continua. Si f es im p a r y

I

f ( x ) d x = 3,

6

halle J

R. - 3 5

( / ( x ) - 2x) dx.

17. Para cierta p ob lación , su p o n g a que N es una fu n c ió n co n tinu a tal que N ( x ) es el núm e ro de p erson as que alcanzan la edad de x en cu a lq u ie r año. Esta fu n c ió n se llam a función de la tabla de vida. B a jo co n d icio n e s apropiadas, la integral J * +n N ( t ) d t da el núm ero esperado de gente en la p o b la c ió n que tiene exactam ente entre x y x + n años, inclusive. S i N ( x ) = 3 0 0 V 1 0 0 - x, determ ine el n ú m e ro de personas que tienen entre 36 y 64 años.

R. 5 9 2 0 0 personas 18. Se a

una recta tangente a la cu rva C : y = g ( x ) en el punto P ( 2 ; 3 ) .

A d e m á s, la recta Lx pasa p or el punto Q ( 1 0 ; 7 ) que no está en la cu rva C. Si f ( x ) = J

J t 2 + 7dt,

h a l l e / '( 2 ) .

129

R. 2

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

2.7 CA M B IO DE V A RIA BLE EN UNA IN T E G R A L D EFIN ID A S i / es u n a fu n ció n continua en / = [a; b] y si se re e m p laza la

T e o r e m a 5.

variable x de la integral p or g { t ) (es decir, x = g ( t ) ) , don d e g: [ a ; ß ] -> / tiene d erivada co n tinu a en [a; ß] , con g ( a ) = a

g ( ß ) = b ; entonces

y

í f ( x ) d x = í f { g ( t j ) - g'(t)dt Ja Ja

(1 7 )

D e m o s t r a c ió n Sea F ( y ) =

ry í f ( x ) d x , y 6 I . P o r el P rim e r Teorem a F u n d a m e n ta l del Cálculo, se Ja

tiene F ' { y ) = / ( y ) , V y 6 /. P o r la regla de la cadena ó derivada de una fu n ció n com puesta, tenem os

í F í g m ' = F ' i m ) ■s ' ( t ) = / ( s e o ) •5 ' ( o F ( g ( t ) ) es una antiderivada de

P o r tanto,

f ( g ( t ) ) - g ' ( t ) . P o r el S e g u n d o

T e o re m a Fun da m enta l del C á lcu lo , se tiene

C f ( f i ( 0 ) •g ' W d t = [ F ( g m ß = F { g ( ß ) ) - F ( g ( a ) ) = F ( b ) - F ( a ) •^a =

í / (x )d x •'a

Observación 5. Si la función g \ [ a \ ß ] -* [a; b] es tal que g ( ß ) = a y g { a ) = b, p o r la fórm ula (17), se tiene f f ( x ) d x = í f ( g C O ) ■g ' { t ) d t Ja

Jß

E j e m p lo 3 1 . Calcule I =

f3

I

x2

3 3 dx.

J2 (1 + x )

S o lu c ió n H a cie n d o

t = 1 + x 3, se tiene q ue

x = g(t) = V t - 1 ,

g'(t) = 3 V ( t - l )2 '

g(9) = 2

g ( 2 8 ) = 3. D a d o que g y g' son co n tinu a s en [9; 2 8 ], entonces

y

I _ J2 ( 1 + a : 3) 3 t _ J9 1 f 28

-

j

L

,

2 \ j (t — l ) z f

t3

l r l ]’28 28

70 3

j 9 - 381024

INTEGRAL DEFINIDA

Hn la práctica, no es necesario dar la fu n c ió n g ( t ) explicitam ente. C o n sid e ra n d o que el lector está habituado a cam biar la variab le en una integral indefinid a, só lo n os queda d ecir que para cam biar los lím ites de integración basta re e m p lazar la variable o rig in a l x p o r lo s lím ites de integración en la correspondiente sustitución y así obtener lo s n u e vo s lím ites de integración (que so n los va lo re s de la n ueva variable). E n el ejem plo anterior, procederíam os así: C o m o la sustitució n es t = 1 + x 3, entonces d t = 3 x 2dx. Para x = 2 => t = 9 = a ; para x = 3 = > t = 2 8 = / ? . P or tanto,

x ¿2 d x

_

1 r 3 3x ¿ 2 dx

1 fr 2Bd 2 t

~ J2 ( 1 + x 3) 3 ~ 3 J 2 (1 + x 3) 3 = 3

E j e m p lo 32. Calcule el v a lo r de 1 =

J9

703

t3

381024

fi (x^ — 1 ^dx -------------- I •'1/2 ( x 2 + l ) V x 4 + 1

S o lu c ió n A n te s de efectuar el ca m b io de variable, d iv id im o s n um e rad or y d e n o m in a d o r por x 2 ( x z > 0, p u e s x 6 [1 / 2 ; 1 ]) y luego re e m p la za m os t = x + 1 / x. E n to n ce s

_ f1

( x2 - l ) d x

f1

Ji/2 (x 2 + l ) V x 4 + 1

_

r2 - 's /2

dt í V t 2

i -

2

V 2

(l--p)dx

J i /2

1

|

1

/,ilNl2

aresee ,| —|f| V 2 . 5/2

= - ^ ( a r c s e c ( V 2 ) - a re s e e ^ ) = V2 V v 1 2) V2

- a re s e e ^ )

E j e m p lo 33. D e m u e stre que

a) Si / es co n tin u a en [0; a], e n to n ce s I f ( x ) d x =

Jo

I f(a-x)dx. Jo /*d

r a.

/ (x )d x = 2 I f (x) dx.

b) Si f e s fu n ció n p a r y co n tin u a en [ - a ; a], e n to n ce s I

j-a c) Si f es fu n ció n im p a r y c o n tin u a en [- a; a], e n to n ce s I • '-a

131

Jo f ( x ) d x = 0.

T Ó P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II

f"

d ) Si f e s fu n c ió n p a r y continua, ento n ce s | x / ( c o s x ) d x = n f J

^0

í nI2

/ (c o sx )d x .

o

fn 7r r e) S i / e s continua, en ton ce s I x f ( s e n x ) d x = /(senx)dx. -'o 2 J0 Solución a)

En

la

J ^ f ( a —x ) d x

integral

En ton ce s para x = 0 = * z = a , y

a —x ~ z

reem plazam os

ydz = -d x .

para x = a => z = 0. P o r tanto,

f f ( a - x)dx ~ - f f ( z ) d z = f f ( z ) d z = f f ( x ) d x ja jo Jo

J0

(L a última igualdad es válida porque ia variable z no tiene sign ificado especial)

b)

f f{x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx J - q _________

J-a

...

( a)

Jq

J

E n la integral / re e m p la za m os x = - y . En se gu id a , u tiliza m o s el hecho de que p o r ser / par se verifica / ( - y ) = / ( y ) .

7 = [

/ (x )d x = -

f / (-y )d y =

J -a

f f(y)dy = f f(x)dx

Ja

... (/?)

Jo

Jq

R e e m p la za n d o (/?) en (a ), se obtiene

f f(x)dx = f f(x)dx + c)

f

^0

*'-a

/ (x )d x = 2 [ / (x )d x ¿O

S ig u ie n d o el m ism o p roced im ie n to em pleado en la parte (b) y u tiliza nd o el h echo de que / ( - y ) = - / ( y )

(p o r ser / impar), se prueba que

J - ¡ f{x)dx - - f f(x)dx J-a

Jq

R e e m p la z a n d o este re su lta d o en (a ), se sig u e q u e f

f ( x ) d x = 0.

J-a

d ) y e) E je rc icio . E n a m b o s c a so s reem plazar x = n — y.

dx.

E j e m p lo 34. C alcule I = [

JQ

1 4"

X

Solución S i u tiliza m o s la su stitu ció n x = ta n 8, tenem os

rMníl+x)

Jo ~TT x*~

f nl*\n(l + x.an0)

J0

,

r*/4

■ * * ' « ‘‘' = 1

to(l + ta „ « ) J Í

IN T E G R A L D E F IN ID A r XT/4

f

r M In l + t a n í ------- 6 ) I dd (a p lic a n d o el ejem plo 3 2 - a )

1=1 Jo

4

/■n/4

, = j0

l-ta n 0 \

,

f^ 4

/

ln V1 + l T t a ñ f l ) = i

rn¡4

1=1

2

\

(íT ia ñ d )

/-rt/4

In2d0- I

ln(l+ tanfl)c¡0

¿o________ __________ , i

Jo /■ir/4 P o r tanto, 2 1 =

7r 7T ln 2 d6 = - l n 2 , de d o n d e se co n clu ye que I = — ln 2. 4

Jo

E j e m p lo 3 5 . Calcule 1 =

8

r Itx s e n x dx — — ----— . Jq 1 "i eos X

S o lu c ió n T e n ie n d o en cuenta que e o s 2x = 1 — s e n 2 x, se tiene

rnxser¡xdx

1=

------------ —

í 71 senx x -----------dx

=

J0 1 + e o s 2*

2 - s e n 2x

J0

se n x P u esto que el in te gra n d o es de la fo rm a x / ( s e n x), d o n d e / ( s e n x ) = ^ _ ser)2' ~ » u san d o el ejem plo 32-e, obtenem os

rn

se n x n f n senx x - --------- - d x = — I ---------- 5- d x J0 2 - s e n 2x 2 J0 2 - s e n 2x

1=

7T [ n = 2 Í

Sen X

7T = - 2 [arctan(coS* :'] 0

7T

TTr

= - - [ a r c t a n ( - l ) - a r c t a n (l)] r^/4 r '■

E j e m p lo 3 6 . Calcule J =

7T

7Tl

2L 4

7T2

’

4J 2

(

udv =



\ v du ■'a

(T o d a s estas integrales existen, pues u, v, u ', v ' son co n tin u a s)

E j e m p lo 3 7 . C alcule / =

f x 2 l n x dx. 'i

S o lu c ió n ^u = ln x

=> du = - d x

H a cie n d o

x

dv

y =

= x 2 dx

o , o b te n e m o s

A =» v = — 3

x3 l3 ■jlnx - Í / ^ c Í A : = ( 9 | n 3 - Í |n 1 ) - [ i ^

1 26 = 9 ln 3 — - ( 2 7 — 1 ) = 9 ln 3 — —

134

I

a

v du

INTEGRAL DEFINIDA

E j e m p lo 3 8. Calcule el v a lo r de J = j

a rcta n J^jx - 1 dx.

S o lu c ió n S i z = a r c t a n V V * — 1 => V * = s e c 2z => x = s e c 4z Para x = 1 => z = 0

y d x = 4 s e c 4z ta n z d z.

y para x = 1 6 => z = tt/3. E n to n ce s

rii/3

} =

I

z • s e c 4z ta n z d z

Jo Para integrar p or partes a esta últim a integral, c o n sid e ra m o s => d u — d z \-dv = 4 s e c 3z • s e c z ta n z d z => v = s e c 4z fu = z

En ton ce s f *''3 se c 4z d z

7 = [z se c 4z]o 3 — I

(*)

Jo r^/3

jj.

(1 + ta n 2z ) s e c 2z d z

— ( —) ( 1 6 ) — I

1Ó7T í tan3z \ n^ 1Ó7T r•— tan z + = — -2 V 3 3 3

0

( * ) Para integrar se c 4z es suficiente considerar que s e c 2z = 1 + ta n 2z.

2.9 I N T E G R A C I O N D E F U N C I O N E S D I S C O N T I N U A S D e f in ic ió n 6 . Se a /: [a; b] -» IR u n a fu n c ió n acotada y sea P = { x 0l x lt . . . , xn} u na p artición de / = [a; b]. Se a n clt c 2 ,...,cn elem entos de /, de tal m an e ra que Cj £ Ij

X yj ,

j

1/2, .../T I.

L a su m a n

S(/ ,P ) = £ / ( c , ) A ;x ;= i se d e n o m in a S u m a d e R i e m a n n de f con respecto a la partición P. Sean m ; = i n f { f ( x ) / x £ /,} y M¡ - s u p { f ( x ) / x e 1¡}. E n to n ce s

rtij < f ( c j ) < Mj, j = 1,2, ...,n y m ás aún S(/ ,P )< S (/ ,P )< S (/ ,P ) L a su m a de R ie m a n n es u n tipo de su m a que no necesariam ente es u n a su m a inferior o una su m a superior, sin o m ás bien está co m p re n d id a entre ellas.

135

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

Se dice que S ( f , P )

D e f in ic ió n 7. escribe

toda p artición P , co n 0 <

tiene lím ite J e R

si dado e > 0

5 (/ ,P ) = /

||P||

cu a nd o

(arbitrario), existe

||P|| —» 0

5 > 0

y se

tal que para

< 8 , y para cualquier c¡ se tiene

\m ,P )-)\\< £ T eore m a 7

(d e D a r b o u x ) . S i / es una fun ció n acotada en /, u na c o n d ic ió n

necesaria y suficiente para que f sea integrable en / es que exista / G IR tal que J im

5 (/ ,P )= / ;

( j = jj(x )d x ^

D e m o s t r a c ió n (Ejercicio).

T e o r e m a 8 . Se a n f , g ■l = [a ; b ] -» M

d os fun cio n e s tales que f ( x ) = g ( x ) ,

V x E I, excepto para un nú m e ro finito de puntos. S i g es integrable en /, entonces / es integrable en ¡ y se tiene rb

r b

í f (x) dx = í g(x)dx Ja Ja

(1 9 )

D e m o s t r a c ió n S i g es integrable en / y

g { x ) d x = J, p or el teorem a de D a rb o u x , d ad o

e

> 0,

existe 8 X > 0 tal que para todo P , c o n 0 < ||P|| < 5 1; y V c¡ E l¡ se tiene

\ S { g , P ) - J \ < £P o r otro lado, si A = { x e / / f ( x ) * g ( x ) } posee r p u ntos (r fin ito ) y sea

L = s u p { \ f ( x ) - fl(x )| / x E /}, para toda p artición P , c o n ||P|| <

=> F ( x ) =

f ( - 2 )dt = - 2 x - 4 J-2

Si x E [—1 ,1 ] =* F ( x ) = J

Si x

E

f(t)dt = J

( - 2 )dt + J

(1; 2) =* F( x) = J f ( t ) d t — J í-2x - 4,

P o r tanto, F ( x ) = | ( x 4 - 9 ) / 4 ,

( — 2) d t +

J

x4 9 t 3 dt = ■ T _ 4 t 3 d t + J 2 d t = 2x — 4

- 2 < x < -1 - 1 < x < 1

\2x - 4,

1 < x ■ / ; x 6( 6 5 - X 6) 1/ 6

1023 12300 128

1 0 . f x 8( l — x 3) 5/4 d x

i?.

-

■>1

2n

11 . f x 4 ( l — x 2)3/2 d x

R’ "256

Jo

fV v r

71

X dx

R' 4

Jq 13.

1—= Vi - x d x

I

5967

R . y ¡ 2 - ln (l + V 2)

f :J Z ^ x x ex

e - 2

c - ,(1+ x ) 2 d

fi.

f ln yjl —■x d x

fi. ln 2 -----

2

Jo

16-

f 1/2

L

1 + x

J —

1/2 -

dx

¡■n/3

17.

I

c o t x ( ln s e n x ) d x

7- J

18.

11/3

í „/ó

V ía n x d x V tan x + V c o t x

/•7T/4 tt/4

19.

I |tan 5x | d x J-7T/4 r 2*

20. I

fi. — 4- ln 2 2

fi. 4 V 2

| se n x — c o s x | d x

Ja 21.

22 .

23.

x se n x ---------- — d x Jo 1 + c o s 2x

7T

í

4'X + 1 x + 6

rn/: 11/3

T

dx

fi. 5 + 5 ln -

V s e c x dx

fi.

‘'ir/ó V s e c x + V c s c x

140

IN T E G R A L D E F IN ID A

Si

f ^ 2 se n x c o s x --------------- d x en 7— — - -; 7 dx = A, calcule el v a lo r de la in te gral (x + 2 ) 2 J0 x + 1

c n eos x

I

h

fu n c ió n de A.

R - ( - 4 ------ - -----2 \2 n + 2 f n cosxdx

Su ge re n c ia : e xp re se

[2

f 71 e o s x dx J,

co sx

¿

)

L u e g o , calcule cada una de las d os integrales u san d o integración p o r partes y finalm ente haga el ca m b io de variable x = 2 u.

f 1 ex III. Si k =

dx, e xp re se lo s va lo re s de las sig u ie n te s in te grale s en fu n ció n

I J q

X

T

i-

de k.

'• l - , 7 ^ T T d x ?

f 1 x e x¿

J0 x 2 + 1 s. f -

~*ce~a 1 + y2 + ■■■+ y 9 + y io ] = 3 , 0 3 9 9 2 5 9 8 9

i

P or la fó rm u la (2 2 ) (a p ro x im a c ió n p or trapecios), 4

--dx = 0,1

í r

= 3 ,1 3 9 9 2 5 9 8 9

+ x2

P or la fó rm u la (2 3 ) (a p ro x im a c ió n p or parábolas o m étodo de Sim p so n ), f1

J

4

0,1 r

i + x z dx ~ ~ 3 ~'-y° + y i ° + 4(-y i + y 3 + y s + y ? + y ^ + + 2 ( y 2 + y 4 + y 6 + y 8)] = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 1 4

Este ú ltim o v a lo r co m p a ra d o co n el va lo r real de la integral

"1 4 d x

í0

= n = 3 ,1 4 1 5 9 2 6 5 .. 1 + *2

es exacto hasta la séptim a cifra decim al.

14 7

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

E JE R C IC IO S C a lcu le los va lo re s a p ro x im a d o s de las siguientes integrales:

1.

f ^ dx I — , p o r la fó rm u la de lo s tra p e cios y la de S im p s o n (n = 2).

R. 1,61 8 2 y 1 ,6 0 9 8 respectivam ente 2.

r 2 dx — , p o r la fó rm u la de lo s tra pe cios y la de S im p s o n (n = 10).

'i x R. 0 ,6 9 3 7 7 y 0 ,6 9 3 1 5 respectivam ente 3 . í V 1 —x } d x , p o r la fó rm u la de lo s tra pe cios (n = 6 ). ■'o

R. 0 ,81 0 9 4.

f3

dx

, p o r la fó rm u la de S im p s o n (n = 4).

Ji 2 x - l

R. 0,81 1 1

1 - ......................

0, V x e / y la integral im p ro p ia entonces

elv a lo r de la integral representa

el área

de la

ub icad a a izq uie rd a de la recta x = b y está lim itada p or

f { x ) d x converge,

I j

— 00

re g ió n plana infinita

la g rá fic a de. / y el eje x

(F ig. 3.2). D e fin ic ió n 3.

Se a /: E - * K

una fu n ció n continua en el intervalo { - o o ; + c o } .

L a integral im p ro p ia de f de — oo a + co se escribe co m o r + 00

I

r + co

f b

f ( x ) dx = I

J — 00

f ( x ) dx + I

J — OO

f ( x ) dx

J b

donde b es cu a lq u ie r núm e ro real. rb

,.+ 0 0

f ( x ) d x es c o n v e r g e n t e si tanto I

La integral im p ro p ia J — 00

f(x)dx

com o

—00

/ ( x ) dx s o n convergentes, y es d iv e r g e n t e

si a lg u n a

de las

in te grales

í im p ro pia s del lado derecho diverge.

( x - 2 ) e xd x c o n ve rg e o diverge.

E j e m p lo 1. D e te rm in e si la inte gral |

J-00 S o lu c ió n E n esta integral se a p lica la integración p or partes con u = x — 2 y d v = e xdx.

150

IN T E G R A L E S IM P RO P IAS D e la d e fin ic ió n de la integral im propia, se tiene

[

■Leo

lim f (x - 2) e x d x = lim [(x - 2 ) e x - e x] 2 t-f-CO Jt t->-CO t

( x - 2 ) e xd x =

lim [ - e 2 - ( t - 2 ) e t + e c] = - e z -

=

t —*—oo

E l ú ltim o lím ite es de la fo rm a

0. A p lic a n d o la R e g la de L ’H ó pita l, se obtiene

t - 2

lim ( t - 2 ) e c =

lim — —

t-*—oo

lim (t - 2 ) e c

t -+—co Q 1

1 lim -----

=

0

t- » - c o — Q~

P or lo tanto, c o n c lu im o s que r 2

f

( x - 2 ) e xd x = - e 2

J — (

E n co n clu sió n , la integral im p ro p ia es convergente y co n ve rg e a — e 2. r+°° E j e m p lo 2. D e te rm in e si la integral

^ _j_ 2X —— — — - d x co n ve rg e o diverge. x "f- 3x 5

S o lu c ió n +0°

i

x 2 4- 2x x 3 4- 3 x 2 4- 5

dx

i r +0 3 x 2 + 6x 1 t lim d * = x lim [ln x 3 + 3 x 2 + 5|] t->+cc 3 J 1 x 3 + 3 x 2 + 5 3 t-*+oo J1

1

1

3 t-»°°

3

— lim [ln | t 3 4- 3 t 2 4- 5| - ln 9 ] = ~ ( + o o ) = + o o P or tanto, la integral im p ro p ia dada diverge.

r + CO E j e m p l o 3. C a lc u le

-------- r d x . Loo

1+X2

S o lu c ió n E lig ie n d o b = 0 , se obtiene r +0°

dx

_ r°

=

=

X2 +

Jg

dx 1+ x 2

' r° dx f b dx lim ------- 7 + lim ------- 7 a->-oo J 1 + X 2 b-*+oo J 1 + x 2 lim [a rc ta n x] a -> -° O

=

r +co

dx

J_ 00 1 + X 2 ~ J_!x¡1 +

.y =

0 a

4- lim [a rc ta n x]

b-*+co

b

Fig. 3.3

o

lim [a rc ta n (a )] 4- lim [a rcta n (b )] = - ( — rr/2) 4- n / 2 = n

a-> - co

ö-»+oo

[ +°° P o r lo tanto, la in te gral im p ro p ia I

dx

------- - es con ve rgen te y co n ve rg e a n

J-oo i + x l

1

E n la Fig. 3.3 se m u e s t r a la g rä fic a de f ( x ) =

151

+ x2■

1+ x 2

T Ó P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II

f

ax

E j e m p lo 4. M u e stre qu e la integral I

—

J\

x^

converge si p > 1 y d iv e rge si p < 1.

S o lu c ió n Para p

f cd x _

1, se tiene que

xp

J i

—p + 1

~

Lu e go ,

C+codx

a) Si p > 1 ,

—

XP

f rt dx

=

lim t^ + QO

1

— = lim XP Í-.+CO (1 - P ) t p -1

1 -p .

p -1

y la integral co n sid e ra d a es convergente.

b) Si p < 1,

/•+cod x I— = lim Jj x p +

r Éd x — = xp

t 1' ? lim +° 1 - p

=:

4-00

1—p

y la integral co n sid e ra d a es divergente. f +” dx c) Si p = 1 , I— - = lim Jj

XP

I —

r £d x = lim [ln X

t->+co

t-*+00

t] = + C

y así la integral dada es divergente. En resum en.

3.2

■/;

xP

es conve rgen te si p > 1 y d ive rge n te si p < 1 .

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S C O N L ÍM IT E S F IN IT O S

D e fin ic ió n 4.

Se a /: I-» R

(donde I = [a; ó »

una fu n c ió n co n tin u a en / y

lim / ( x ) = co. L a in te g ra l im p r o p ia de / de a a b se d e fin e c o m o

x-*b

f f ( x ) d x = lim í / ( x ) d x Ja t-*»' Ja S i ellím ite existe, se dice que laintegral im p ro p ia contrario se dice que es d iv e rge n te .

es c o n v e rg e n te ; en caso

L a d e fin ic ió n dada tam bién es equivalente a rb

I

rb-E

f { x ) d x = lim

Ja Si / ( x ) > O, V x

I

/ ( x ) dx

E" 0+ Ja £ [ a ; b ], y la inte gral im p ro p ia

I/ ( x )

dx

es convergente,

el

v a lo r de esta integral representa el área de la re gió n in fin ita lim ita da p or la gráfica de /, el eje x y las rectas x = a

A

x = b (F ig. 3.4).

152

INTEGRALES IMPROPIAS

a

t

Fig. 3.5

D e fin ic ió n 5.

Se a /: / - * E

(donde / = (a; b ]) una fu n c ió n co ntin ua en / y

J im / ( x ) = oo . La in te gral im p ro p ia de / de a a b se e scrib e co m o

f f ( x ) d x = lim í / ( x ) d x Ja a A S i el lím ite existe, se dice que la integral im p ro p ia es co n vergen te; en caso contrario se dice que es divergente. L a d e fin ic ió n dada tam bién es equivalente a rb

r b

I f(x)dx = Ja

lim

f(x)dx

I

e~>0 J a+e

Si / ( x ) > O, V x e [a; ¿ ] y la in te gral im p ro p ia I / ( x ) d x es convergente, el v a lo r de esta integral representa el área de la región infinita lim itada p or la g rá fic a de /, el eje x y las rectas x = a

Definición 6.

A

Se a f : I -» E

x = b (Fig. 3.5).

(donde / = [a; £>]) una fu n c ió n co n tin u a en /,

excepto en a lg ú n p u n to d G (a; b) en d o n d e

lim / ( x ) = o o ó

lim / ( x ) = oo. x-*d +

En ton ce s se define

f f ( x ) d x = í f ( x ) d x + í / (x )d x • 'a

• 'a

Jd

rb

f d

rb

l.a inte gral im p ro p ia I f ( x ) d x es convergente s i tanto I f ( x ) d x c o m o I f ( x ) d x ja

'a

Jd

son convergentes, y es d ivergente si a lgu n a de las integrales im p ro p ia s del lado derecho diverge.

15 3

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

Observación 2. Si la función f definida en (a; b) (a p u ed e ser —oo y b pu ede ser + 00 ) tiene dentro del intervalo (a; b) un número finito de puntos de discontinuidad infinita c1(c2, ....,cn , entonces la integral de la función f en (a; b) se define como f f(x)dx = f

f(x)dx+ f

*a

• 'a

f(x)dx + ...+ f

*Cx

f(x)dx

cn - i

siempre que cada una de las integrales impropias d el segundo miembro sean convergentes. Si p o r lo menos una de las integrales diverge, entonces fb

I f(x)dx

ta m b ié n d iv e r g e

Ja

E j e m p lo 5. D e term ine, s i existe,

f2

dx

I — J1 V x - 1

S o lu c ió n

1

La fu n c ió n / ( * ) =

— .- es co n tin u a en (1; 2] y

lim f ( x ) = + 00.

Lu e go , / =

[

=

lim

= lim Í 2 V x - 1 ] 2 = lim Í 2 - 2 V t - 1 1 = 2

í

P o r lo tanto, la integral im p ro p ia / es convergente y c o n v e rg e a 2.

E j e m p lo 6 . M u e s tr e q ue la in te gral p

f 1 dx

I

—

Jq x

co n ve rge si 0 < p < 1 y d iv e rge si

> 1.

S o lu c ió n a) Para 0 < p < 1, n o s queda

[ v dx f 1 dx — = lirn —- = lim J0 x P t-*o+ Jt x p t->o+ 1 - p

ti-P 1 -p

1 -p

y la integral considerada es convergente. b)

Para p = 1 , I

f * dx

— = lirn J0 x t-*o+

f * dx

— =

x

lim ( - ln t) = +00

t-o+

y la integral dada es divergente. c)

Para p > 1 , I

[' dx

— = lim

J0 x pt-»o* J t

y la integral es divergente.

f 1d x

I — =

xP

lim

11

( p - l ) t P -t-o+ 1 p - 1

+00

INTEGRALES IMPROPIAS

/■*/«

Ejemplo 7.

I

Calcule, s i existe, la integral

cot 9 d.6.

■ '-fr/4

S o lu c ió n Se o b se rv a q u e la fu n c ió n / ( f l) = cot 6 =

tiene d is c o n tin u id a d in fin ita en

se n 8 9 = 0. A s i, la integral d ad a se escribe co m o r0

r*r/ 4

I

J - n /4

r ít/ 4

c o t9 d8 +

co t 8 d.8 = i

J-n/4

cot 8 d8

Jo

Puesto que la integral

í

c o t 8 dd = lim í

lim [ln|sen 0 | ] I l M

co t 8 d 8 -

^

e - 'O + J - n / 4

J —n / 4

0+

'

J[im+ [ ln | -s e n (e )| - l n ( V 2 / 2 )] = - o o

-

es divergente, entonces la integral dada tam bién es divergente

r o e i/x

Ejemplo 8.

Calcule I

J

— j~ d x (si existe).

x

S o lu c ió n C La fu n c ió n f ( x ) = —

x

tiene d isc o n tin u id a d in fin ita en x = 0. Entonces, u s a n d o el

m étodo de in te gración p o r partes, se obtiene

rr0 egl/X ' — z - d■x = -lim

J_! Ï 3.

r -1 ff ~- ££ ep i/x 1/x r I1 — j - d■x = -lim [eei / * _ _ e i/*l

£->0+J_! X3

£->0+1

X

2 + - e _1/£ - 2 e ' £

— lim £-*0+ L

e _1/£ 0 N O T A : El lim ite Um+ — - — es de la fo rm a - . A p lic a n d o la Régla de L’H ô p ita l, résulta e -1/£ 7 limi , --------= lim T7t- = — u ni — t

£-♦0 +

e

-l/ e 2 î l i m -------------------------r-4 = 0 n 2—* ■

£-*o+ e1'*

£-*0+ei/£^_

+ 00

Ejemplo 9.

Calcule, s i existe,

I J-co

dx ¿)

Solución La fu n c ió n / ( x ) = — — —

x {x - 2)

tiene d isc o n tin u id a d infinita en x = 0 y x = 2.

E lig ie n d o lo s p u ntos * = - l , x

3

= l y i = 3 ,

155

la in te gra l d ad a se escribe

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

dx

r +"

_

r -1

dx

J_m x ( x

J_M x ( x - 2 )

r°

dx

r1

dx

r2

dx

- 2 ) + J_t x ( x - 2 ) + J0 x ( x - 2 ) + Jx x ( x - 2)

’3

dx

J, x ( x -- 2) i2 *(* 2)

^ f +”

dx

J3 J3

x ( x - 2)

Puesto que la integral

rt

dt

lim t->0- J-i 0

lim

t-2

rl lim

~ 1)

=

2_

2 ln

-ln 3

-

t

1

x -

2

2 ln

= 4-00

dx

— ------- — es divergente.

es divergente, e n to n ce s la integral I

J —oo X (.X — ¿ )

De te rm ine el v a lo r de n para el cual la integral im p ro p ia

E je m p lo 10.

3X

-+ » / «

[ ( V— J, x +

x

2x2 + n)

1

dx

es convergente. A d e m á s, calcule la integral para d ich o v a lo r de n. S o lu c ió n A l aplicar la d e fin ic ió n de la integral im propia, se tiene

f +co /

l

n

V ÍT Í

3x " 2x 2

+

\

n

n ) dX ~

I

t

3x

\

~ 2x 2 + n

n

(t + l ) n lim ln t-* + 00 ( 2 t 2 + n ) 3/4

)

dx 2n

ln -

(2 + n ) 3/4J

Com o ( f + 1) n lim =--------T77 = t^+co ( 2 í 2 + n ) 3/4

lim

( t + l)n .....— -------------------------------V 8 Í 6 + 1 2 n t 4 + 6 n 2t 2 + n 3

3 e n to n c e s e ste lím ite e xiste c u a n d o n = -

3 ó n < 2 5/2

a) Si n = - ,

2

b) Si n < - , 2

lim ln t-»+oo

lim

t —*+oo

,

(t+ir

( 2 t 2 + ± ) 3/y (t + 1 )"

i-'-i—

3

\ ( 2 -f-| )3/4;

,

3 7 3 = 74 l n 74 _ o 2 ln 2

2"

ln — ------- TT7T - ln ( 2 t 2 + n ) 3/4 (2 + n ) 3/4

3 3 7 3 P o r tanto, el v a lo r de n es - y d v a lo r de la in te gral es - ln — — - ln 2.

INTEGRALES IMPROPIAS

E JE R C IC IO S D e te rm in e si las sigu ien te s integrales so n con ve rgen te s o divergentes. S i es convergente, calcule su valor.

1.

r +00

í I

sen x

dx

i?, diverge

r+OO .

í

2- 1 r

P «*

+ 00

e ~ * dx

R. i

f +c° \x\e x d x

R' i

3- I

Jo

4.

5

I

J — 03

f'

'

dx

1

5V4

r

(*-2 )3 / 5

6. r

JO

*

fi. 2

Ve*

r 1 dx

^3

7' J

r +0°

fi- diverge dx

n

J -co 4 x 2 + 1 /•+00 9.

Jo

**2

xdx

i fi- — la

l + 9) 2 (x2

dx '» ■ /

J0 V 9 ^

n.

17

r

7T

,

*.

0— dx~

fi. O

J-2 - 2 VxTT

r

J0 1

2

+ cosx

diverge

157

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II /• ig i/x

13.

J —— Jo x

R. d iv e rge

r +“ d x

14- {

^

R - 100

r /2

16-

dx

í—

I

x..5 d x

rr+ " I

d iv e rge

(1 + x 3) 7/4

r +0° 17.

Rú diverge

1 — se n a~:

Jq

— —

dx - ---------------------------------------------------------------- - R. n

J-o* * 2 +' 2x + 2 r+ O O

e-a*sen bx dx

R.

——

f +0° I e a* eos fax d x

R.

t (a > 0 ) a 2 + fc2

18. í

J0

19.

'o +"

— (a > 0)

a¿ + o¿

a

dx

7T

xVx2 — 1

2

f +0° a r c t a n x

21' J P ? 22.

•+0° d x í +0° — d—* -

Jn

r1

2 tt

R.

2V3

X3 + 1

dx

23- J„

*• ‘« ''“ se

r +co

24.

í

R .2

e - |x| d x

J — 03

25. J V i + x “ 2/3 d x

/?. 2 ( 2 V 2 — 1)

158

INTEGRALES IMPROPIAS r+ca + 00

26 .

27-

28

I x2e ~x 3 dx

fi. d ive rge

J—OO

— 1 — — 2x fr+ “ —X ¿JL I u. ;------ 7T~ d x Jo 3 x 2/3(x - l ) 2 '

fi. d ive rge

dx

■/:

fi. 3

|VF+T|

dx

+0° 29. /_

_œ e* + e~x 1 ( I - * 3) 1' 3

3o-

c

[ +0°

dx

fi. d ive rge

x

31-

^-------i d x J --00 œ 1 + x4

32.

J -1

fi. 0

dx fi. d ive rge

,2 x 3( l + x 3) 4/3

fi. d ive rge

„

lr+"Vxr=T

3H 35.

—

dx

r+œ

' / •'0

dx

^ ________ _

(a2+fc2)(è2 + x2)

2 a b (a + b)

fr-+00 36.

e

dx

fi. 1

* — 00

( aai - e

37.

— = Jo V a 2 -

38.

f Jo V4x —x 2

4

dx

f i . 7T

159

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 3 9.

40.

41.

f n sen 6 d d

r. R. 2V2

—............... J0 V I + eos 9

r4

x dx

f1

dx

R. 4

, Jo V l 6 — x 2

R. n

------------------------Jo V x ^ x 2

x5

42.

dx

R. - -

■ /-iV T T ^ 3

44

9

x 5 dx ----------------( 1 + x 3) 5/ 2

r +0°

1 's

5V2

/?. -----18

dx

4 5- f

l ) ( x ~ o.. 8 x +. ^ 15)

diverge

:r 2 ¿ x 3á d x

192

R' ~3S

4 6 ‘ Ji 1 =V x - 1 r-++CcOo

7. 47.

I

2

2 x 2e~3* dx

27

Jo

48.

4

f4

dx — -----Ji x 2 - 4

/?. diverge

1.

160

,—

n2

dx.

J0

V x3

INTEGRALES IMPROPIAS 52. Si G ( a ) =

'•+00 dx ^ - + xa)X ( 1 + x 2 ) . c a lc u le G (0), G ( 1), G (2 ). /?. 7t/ 4 ; nr/4; tt/4

f +° °se n x tí f +0° s e n 2x 53. S a b ie n d o q u e I ------- d x = — , calcule el v a lo r de I — r — dx.

J0

x

2

J0

x2

R. n / 2

54. E sb o ce la gráfica de la fu n c ió n F ( x ) =

I

f ( t ) d t en lo s s ig u ie n te s casos:

J — 00

s i |t| > 1

(1, b) m

= |i

2 ,

si t < 1 Si | t | > 1

555. 5 Se S eaa /f ((xxI -) - í ^™ * * ’ sSÍ |x| >~ 33 i W

1

f+co D e te rm in e m de m o d o que I

/ (x )d x — 1.

R. m = —

J-œ

18

3.3 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N I N T E G R A N D O S N O N E G A T I V O S P r o p o s ic ió n 1.

S e a / u n a fu n c ió n no negativa en

[ a ; b ) (esto es, / ( x ) > 0 ) e

integrable en [a; t] para todo t 6 [a; b). Si la fu n c ió n F ( t ) =

I / ( x ) d x es acotada en [a; £>), e nto n ce s I / ( x ) d x converge. Ja

• 'a

D e m o s t r a c ió n C o m o / ( x ) > 0, V x £ [a; fe), e n to nce s F ( t ) =

I / ( x ) d x es creciente e n [a; 6).

Ja Por hipótesis, F ( t ) es acotada. E n to n ce s F ( t ) es creciente y acotada en [a; b). P o r tanto,

lim_ F ( t ) existe y es finito, es decir, t—

161

I / ( x ) d x es convergente, /

• 'a

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

P roposición 2 (C rite rio de C om p aración ) Se a n / y

g

fu n c io n e s tales que

a) Si

< g ( x ),

0 < / (x )

para to d o

I g ( x )d x converge, entonce s

I / ( x ) d x converge.

•Ja 'a

“' a

b ) Si I f ( x ) d x

x

e [a ; b ), e

[a; b). Lu e go ,

integrables en [a; t], V t e

diverge, e n to n ce s

• 'a

s(x )d x

diverge.

*'a

D em ostración S e sigu e inm ediatam ente de la p ro p o sic ió n 1 y de la d e sigu a ld a d

í f ( x ) d x < í g ( x ) d x , V t 6 [a ; b ) • 'a

■'a

dx

f +0°

Ejemplo 11.

J

V e rifiq u e s i

4^

" i co n ve rge o diverge.

Solución C om o

0 < -----

1

1

< —

r , f +codx , M x £ [2; + 00), y — - es co n ve rg e n te (v e r

h'2

f +°°

ejem plo 2 , p = 6 ), e nto n ce s se concluye que

J

2

Ejemplo 12

x6

dx

——j = = = x

- V

f1 . A n a lic e el co m p o rta m ie n to de la in te gral

es convergente.

l + :

dx

, = . Jo V x 2 + 2 x

Solución C om o 0 <

1 , , f 1* < - = , V x £ (0; 1 ], y -p V x 2 + 2x Vx Jo V x -

1

f1

' , es co n ve rg e n te (v e r ejem plo

dx

4, p = 1 / 2 ) , se co n clu ye qu e

es convergente.

Jo V x 2 + 2 x fr -33

Ejemplo 13.

V e rifiq u e si

dx . „■= es co n ve rg e n te o divergente. i-o, V x 2 + 3 x + 2

Solución C om o 0 < —

I

3

1

1 < — - , V x £ ( - 00; - 3 ] , y x V x 2 + 3x + 2

-

dx

es divergente.

Vx2 + 3x + 2

162

fí 3 dx dx ---------------------- diverge, ento n ce s j -00 *

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

rb D efinición 7. Se dice que la integral im propia

f f ( x ) dx es a b s o lu ta m e n te

b

co n v e rg e n te cuando I |/( x ) |d x es convergente.

Ja

P ro p o sició n 3. Si

la

integral

I /( x ) d x

es

absolutam ente

convergente,

Ja

entonces es convergente.

Demostración Como 0 < |/ ( x ) | — f ( x ) < 2 |/ ( x ) | , se sigue, por la proposición anterior, que l / M I —/"(■*) es convergente. Luego, rb

r-b

rb

I /( x ) d x = I |/ ( x ) |d x — I [ |/( x ) | - / ( z ) ] dx Ja

Ja

Ejem p lo 1 4 . Analice sí

converge

Ja f +coCOS O 2)

-------— dx es convergente o divergente. x

I

Ji

Solución La integral dada es absolutamente convergente, pues eos (x 2)

1

< —

*

r * , V x e [ 1 ; + c o > , y la integral

f +c° d x

Ji

—

x

es convergente.

f +° ° c o s ( x 2)

Luego, por la proposicion anterior, I Jl

----- -— dx es convergente. X

Proposición 4 (C riterio del Lím ite) Sean / y g fu n c io n e s su p o n g a m o s que

no

negativas

integrables

en

m lim — — = r . x-*b- g ( x ) i\) S i 0 < r < + o o , entonces las integrales im p ro p ia s F = í fW d x Ja

y

G = í g(x)dx Ja

son a m b as co nve rgen te s o a m b as divergentes. b) S i

r —O

y G co nve rge, entonces F converge.

c) S i r = ± o o y G diverge, entonces F diverge.

D em ostración, (ejercicio para el lector).

163

•

[a; t], V t 6 [a; b),

y

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II C o r o la r i o 1.

Se a

su p o n g a m o s que

f

una

fu n c ió n

integrable

en

[a; t ] , V t G [a; + 00 ), y

lim x p/ ( x ) = r < + 00 . X->+oo

Lu e go , se tiene: a) Si p > 1, e n to n ce s Ja+° ° / (x )d x converge. b ) Si r

f ( x ) d x diverge.

0 y 0 < p < 1, e n to n ce s

C o r o la r i o 2.

Se a / una fu n ció n integrable en [a; t ] , V t 6 [a; b), (b e l )

y

su p o n g a m o s que lim ( b - x ) p/ ( x ) = r < + 00 . x -*b

L u e go , se tiene a) Si 0 < p < 1, e nto n ce s

I / (x )d x

converge.

Ja b) Si r

o y p > 1, e n to nce s

I / (x )d x

diverge.

Ja r ”

E j e m p lo 15. A n a lic e si

h

d* --------- co n ve rge o diverge. x 3V 4 x 5 + x 3 — 1

Solución C o n sid e ra n d o que lim x 11/2----- , ..... - -.......— ■ = — (e n este caso p = — X -.+ 0 0

x 3 V 4 x 5

4- x 3

—

1

2

\

se concluye, p o r el c o ro la rio 1, que la inte gral

E j e m p lo 16. V e rifiq u e si

>

2

/

r +0° dx I -----converge. J2 x 3V 4 x 5 + x 3 — 1

f5 dx I — 2---------,2 co n ve rg e o diverge. ^2 ^ )

Solución T e n ie n d o en cu e nta q ue M

1 1 lim (x — 2 ) 3/2 ■ ------- ------- t t t t t = — 7= J ( x - 2 ) 3/2 (x + 1 ) 3/2 3^3

( en este

caso p - 3 / 2 > 1), la integral es divergente (se usa el co ro la rio a n á lo g o al co ro la rio 2, re e m p lazan d o (í> - x ) p por (x - a ) p).

x dx f° E jem p lo 17. A n a lic e si I jp = = = = = = ^ = lice

co n ve rg e o diverge.

J—oo V 2 x 9 4- 8 x — 10 Solución L a in te g ra l c o n v e rg e , p u e s

lim x *-*+ “

x

1

• ,-------V 2 x 9 + 8 x - 10

V2

164

( b = 2 > 1).

1INi tOKALhb lívlrKUrlAÍS

EJERCICIOS A n a lic e la co n ve rg e n c ia o d iv e rge n cia de las sigu ien te s integrales im p ropias.

1.

dx

" +0°

í

/?. co n ve rge

J2

dx /?. co n ve rge

x 2 + 3x + 4 r+CO

(x + l) d x /?. co n ve rge

x3- 1

í +0° x + x3 + 3 X4 + x dx

4- J

'

í

R- co n ve rg e

R. co nve rge

X3 + X2

+0°

dx

■l

c3 Mx2 + 4

r +0° x 3 + 1

j dx

7- J2 2

R ■ diverge

j^x 2n -r1 V

dx

o

R. d ive rge

x 2 Mx2 + X + 1

+”

e -2 * d x

R. co n ve rge

x 2 + 3x + 5

> 1

r-ruo

10.

e _Ars e n ( x 2) d x

R. co nve rge

e~x dx

R. co n ve rge

r +00

11.

I

0 f +" 12'

i

dx x 2( i + e x)

R; ¿ o n v e r ee

165

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II i,

fS

R. c o n v e rg e

dx

' J4 x V 2 5 ^ F 14

f 3 * 3 + L dx 4 ^ 1

R. co n ve rg e

fxsen’Qdx

R. co n ve rg e

’ h

15.

l"1 _______ ^ _______

R. co n ve rg e

r 1 s e n ( x 3) d x

R co nve rge

17- í

18

r*

f ' _ i ---- dx Jo

9n

r + co

R. converge

"i-

rlv

.__________ ____________

J1 x4 + 5x3 + x 2 +x + l

R. co n ve rg e

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 'tts

(F'

Hn este capítulo a bo rd a re m o s a lgu na s a plicacion e s de la integral d e fin id a a ios p rob le m as geom étricos, fís ic o s y e conóm icos. 4.1 Á R E A D E R E G I O N E S P L A N A S CASO

I: Se a /: [a ;b ] -» IR una función continua y

f ( x ) > 0, V x 6 /. D e la

interpretación ge om é trica de la integral d efinid a se sig u e que el área de la región

R lim itada p or la grá fica de /, el eje x, las rectas x = a y x = b (F ig. 4.1) está dada por

A (R ) =

C A S O II:

Se a n /

f(x )d x ^ u 2

y

g

d os

fu n cio n e s con tin u as

V x £ [a; b]. E l área de la re gió n

íl

en

[ a \b ] y g ( x ) < f ( x ) ,

lim itada p o r las rectas x = a A x = b

las gráfica s de / y g (F ig . 4 .2 ) está dada por:

A (n) = ( í [f(x ) - g ( x ) ] d x ) u 2 Para dem ostrar esta fórm ula, co n sid e re m o s el nú m e ro real k tal que V x £ [a; b].

k < g(x),

y

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II Efe ctuan d o u na traslación de ejes al origen 0 ' ( 0; fc), las nu e va s e cu a cio n e s de las

y = f(_x), y = g ( x ) y de las rectas x = a y x = b son, y x = f ( x ) —k , y x — g ( x ) - k , x = a y x - b (p o r las fó rm u la s de traslación y x — y — k A x x — x). P o r lo tanto, en el n u e vo sistem a cartesiano x 10 ' y 1 se ve rifica cu rva s

respectivam ente,

0 < g ( x ) — k < f ( x ) - k , V x e [a; b] L u e go , teniendo en cuenta la fó rm u la del caso I, se tiene

a

Observación 1. Si la región R está limitada p o r las gráficas de x = / ( y ) , x = g (y ), las rectas y — a A y — b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones continuas en [a; b] y g ( y ) < / ( y ) , V y E [a; b], entonces el área de la región R es

y - o

Fig. 4 .4

Fig. 4 .3

E je m p lo 1. C a lc u le el área de la re gió n lim itada por 71

y = sen x , x - 0 , x

• y ~ ®

S o lu c ió n D e la d e fin ic ió n d ada en el ca so 1 y de la fig ura 4.4, se obtiene

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA I ¡im plo 2. C alcule el área de la región S lim itada por

y

2 |x | , el eje x y las rectas x = — 2 y x = 1

1 + x2

Solución l'itr la d e fin ic ió n de v a lo r absoluto, se tiene que r-x , x < 0 1*1 = { ; U , .x > 0 A m , por la fó rm u la dada en el caso I y la figura 4.5, resulta -1 x ro

= [

f° = -

2|x|

,

j 2x

f 1 2x ------- T dx J0 l + x 2

------- r d x +

J-2 1 + x

= - [ l n ( x 2 + 1 ) ] ° 2 + [ l n ( x 2 + 1 ) ] q = ln 5 + ln 2 = (ln 1 0 ) u 2

r.jem plo 3. C a lc u le el área de la re gió n lim itada p or la p arábola y = eje x y las rectas x = - 2

A

x 2 + 4 x , el

x = 2.

S o lu c ió n ( »bservando la gráfica de la re gió n (F ig. 4.6), se tiene que para / ( x ) = x 2 + 4 x se m in p le / ( x ) < 0, V x 6 [ - 2 ; 0]

y

/ ( x ) > 0, V x 6 [0; 2]

l’or tanto, el área de la re g ió n p ed ida se d esco m p one en la su m a de las áreas de las regiones

y R2, es decir,

A ( R ) = A ( R 1) + A ( R 2) f0 f2 16 32 = - l ( x 2 + 4 x ) d x + I ( x 2 + 4 x ) d x = — + — •= 1 6 u 2 J -2 J0 J 3

169

I» TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II E je m p lo 4. H a lle el área de la re gió n F lim itada p or las gráfica s de

y - x 2 , y —x3 , x - - 1 ,

x = 2

S o lu c ió n lin la gráfica de la re gió n F (Fig. 4.7), se ob se rva que

x 3 < x 2 , V x 6 [ - 1 ; 1] y x 2 < x 3 , V x

e

[1; 2]

Luego,

A (F ) =

J1 r

( x 2 - x )d x +

Jr 2( x ,3 -

8

x 2) d x = —

17 25 _ + — = — u

E je m p lo 5. H a lle el área de la re gió n lim itada por las gráfica s de y = a r c s e n x , y = a rc c o s x , y = 0 S o lu c ió n L a s gráfica s de las fu n c io n e s y = a rc s e n x y y = a rc c o s x están d adas en la Fig. 4.8. A h o ra bien, p o r la d e fin ic ió n de las in ve rsa s de estas fun cio ne s, resulta x = s e n y < x = e os y , V y 6 [ü; - ] P o r consiguiente, el área de la re gió n p ed ida es ,-71/4

,4 ( 12) =

I Jo

( e o s y - se n y ) d y = ( V 2 - l ) u 2

liste ejem plo se puede re solve r u san d o a x c o m o variab le independiente, esto es,

/l(/2) =

/•>/2/2 r1 I a rcse n x dx + f arcc o sxd x Jo J\/2/2

lis evidente que en este caso el p roced im ie n to es m ás c o m p lic a d o que el anterior, por

lo

que

re co m e n d a m o s

al

lector

escoger

independiente antes de a plicar la fó rm u la del área.

170

adecuadam ente

la

variable

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

K jc m p lo 6. H a lle el área de la re gió n R lim itada p or las gráfica s de

y = 4 - x 2 , y = ln (2 x - 3 ) , y = 1 S o lu c ió n I ;i gráfica de la re gió n R se m uestra en la fig. 4.9. P o r c o m o d id a d co n sid e ra m o s a c o m o v a r ia b le i n d e p e n d i e n t e , e s t o e s , x = ^ 4 -

y

a

ey + 3

x

-. Luego, se

obtiene

A( R) ~ l

y (L r ^ ~ J * : r y ) dy = Tey

^ 3y

+ ^2

- y

) 3/2

I ji-m p ío 7. H a lle el área de la re gió n R lim itada p o r las gráfica s de y = |x3 - 4 x 2 + x + 6 | , 3 y + x 2 = 0 , x = 0 , x = 4 S o lu c ió n I ti gráfica de la re gió n R se m uestra en la fig. 4 .10 y su área de la re gió n es

A(R) =

=

J f4

Jo

j|x3 - 4 x 2 + x +

6¡ -

|x3 - 4 x 2 + x + 6| d x +

y jj

dx

í 4x 2

— dx

Jo

3

l'íii.i hallar la integral del v a lo r absoluto, tenem os en cuenta que |x3 - 4 x 2 + x + 6| = |(x + l ) ( x - 2 ) ( x - 3)|

[ x 3 - 4 x 2 + x + 6,

0 < x < 2

|x3 - 4 x 2 + x + 6| = •{ - ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 ) , 2 < x < 3

3- 4x2 + x + 6,

171

3 < x < 4

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II L u e go , r4

/=

í \x3 — 4 x 2 + x + 6\dx 'o

= í ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 )d x - f ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 ) d x + f ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 )d x Jo J2 h _ 22

1

4 7 _ 71

_ T + 12 + 12 ~ T P o r tanto, el área de la re gió n R es 71

A (R )

64

341

2

u

4 V2

( r *

1 1

64 dx = -

E j e m p lo 8. H a lle el área de la re gió n í í que se encuentra en el p rim e r cuadrante y está lim itada p o r las cu rva s x y = 1 , x y = 3 , x - x y = 1 , x — x y = 3. S o lu c ió n Se ve rifica fácilm ente que las gráfica s de las cu rva s se intersecan en los puntos

>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C (6; 1/2) y D ( 4; 3/4) L a gráfica de la re gió n Q se m uestra en la fig. 4.11. Finalm ente, el área de la re gió n Q es

AW

= A W ¿ + M B O = [ [(i - i) -

1} i x

729 = (2 — ln 4 ) + ^ 6 ln ^ — 2 j =

In 256 "

172

.

+ j ‘ | ■- (i - ;)

dx

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA E je m p lo 9. H a lla el área de la re gió n F , ubicada en el p rim er cuadrante y que está lim itada p or las gráfica s de y = x 2 , x 2 = 4 y , x + y = 6. S o lu c ió n L a re gió n F se m uestra en la Fig. 4.12. L o s p u ntos de intersección de las cu rva s en el p rim e r cuadrante se hallan re solvie n d o sim ultáneam ente ecuaciones:

y = x2

y

_ 6 _ x x

= 6 - xx2 + x - 6 = Q= * x = 2 (p a ra el p rim e r cu a d ra n te )

y = x 2/ 4

y

=

6

-

los pares de

x —

-

y = 6 —x

6- x

x - 2 4 1 - 2 (p a ra el p r im e r c u a d ra n te )

.uego, el área de la re gió n F es

A (F ) - A (F i) + A(F2) =

J

( x 2 - ^ x 2^Jdx +

j

^6 - x - ^ j d x

1 1 = 2 + - ( 2 8 V 7 - 6 8 ) = - ( 2 8 a/7 - 6 2 ) u 2

K je m p lo 10. L a re gió n F , lim itada p or la cu rva y = 1 0 * - 5 x 2

y el eje x, es

d iv id id a en d o s partes igua le s p or una recta que pasa por el origen. H a lle la e cuación de d ic h a recta. S o lu c ió n L a re gió n F se m uestra en la Fig. 4.13. L a pendiente de la recta L que pasa por el orige n y por el punto .r>a2) es

(a; 1 0 a -

10a — 5 a 2 m = --------------- = 10 - 5a. a A sí, la e cuación de la recta L es y = (1 0 - 5a)x. I’or otro lado, el área de la región F es /K F ) =

I

Jo

Fig. 4 .1 3

20 ( 1 0 * — 5 x 2) d x — -—u 2

3

A(F) 10 Ahora, c o m o F = F1 U F2,c o n A (F 1) = A(F2), y A(Ft ) - —— = — , e n to nce s ra M F i) =

I

JQ

5 10 [ ( 1 0 x - 5 x 2) - ( 1 0 - 5 a ) x ] d x = - a 3 = — = > a = V 4 6 3

l’or lo tanto, la ecuación de la recta L es y = ( 1 0 - 5 \Í4 )x .

173

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II E j e m p lo 11. U n a p aráb ola de eje vertical corta a la c u rv a

y = x3 + 2

en lo s

puntos ( — 1; 1 ) y (1; 3). S i se sabe que las cu rva s m e n c io n a d a s encierran una región de área 2 u 2, halle la e cuación de la parábola. S o lu c ió n Este p rob le m a tiene d o s soluciones. Prim er caso:

C u a n d o la p aráb ola está por debajo de la cu rva y — x 3 + 2.

Se g u n d o caso: C u a n d o la p aráb ola está por encim a de la c u rv a y = x 3 + 2. P r im e r caso: Se a

(F ig. 4 .14 ) la región lim itada p o r la p aráb ola b u scad a y la

p arábola se m icú b ic a y = x 3 + 2. C o n sid e ra n d o que la ecu a ción general de una p arábola de eje vertical es y = A x 2. + Bx + C y que

los p u ntos ( — 1; 1 ) y (1; 3 ) pertenecen a d ich a parábola, se tiene 1 = A - B + C 3

Com o ^ C f i) =

...

(a )

= A + B + C

f (x3 + J -i

...(/?)

2 - A x 2 ~ Bx - C)dx = 2 = > A+ 3C = 3 ... (y )

R e s o lv ie n d o ( a ) , (/?) y ( y ) se obtiene

B = 1 , A = 3 /2 , C = 1 / 2 L u e go , la ecuación de la p aráb ola es 2 y = 3 x 2 + 2x + 1.

S e c u n d o caso: Se a F-¿ U ig- l l í j región lim itada por ¡a p arabola

b u scad a y la

parábola se m ic ú b ic a y = x 3 + 2. C o m o A(F2) =

j

( A x2 + Bx + C - x 3 - 2 ) d x = 2 = > /I + 3 C = 9 ... (A)

R e so lv ie n d o ( a ) , (/?)

2y

y

(A ) se obtiene que la e cu a ció n de la p aráb ola es

= 7 + 2 x - 3 x 2.

174

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA K jc m p lo 12. C alcu le , si existe, ei área de la re gió n infinita c o m p re n d id a entre ia n irv a ( 2 a - x ) y 2 = x 3, ( a > 0 ) y su asíntota vertical. S o lu c ió n I ;i asíntota vertical de la cu rva es x = 2a. E n la fig. 4.16 se m uestra la grá fica de l;i región infinita Q . Lu e go ,

A (íi) =

2 -Í'o

--------- dx — 2 lim

2a —X

-

JÍo' t V 2Íax —:

t->2a ,2a

-.dx

= 2 lim I —= = : dx t_>2a Jo ^ J a 2 -— ( x - a ) : I laciendo u — x — a se obtiene

A ( ü ) = 2 t lim _ a 2 ^ a r e s e n ( — ^ ~ ) - ^

= 2 «¿‘12- “2[iarcse" ( - ir

(.* + 3 a ) v 'x ( 2 a - x )

- ¿ (t + 3“)V«2a-t) +

)

= 2“2 ( t + t ) = (3,i“2)“ 2

Fig. 4 .1 7

K je m p lo

13. D a d a la re gió n infinita í í

lim itada superiorm ente p or x y = 1,

inferiorm ente p o r y x 2 + y - x - 0 y a la izq uie rd a p o r x = 1; calcule su área si existe. ’ S o lu c ió n L a re gió n Í2 se m uestra en la fig u ra 4 .17 y su área requerida es

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

E JE R C IC IO S I)

So m b re e la re gió n Í2 lim itada p or las curva s dadas y calcule su área.

TI

71

1.

y = cosx,x = - - , x = - , y - 0 .

2.

y = x 2 + 2 x - 3 , x = - 2 , x = 0 , y = 0.

/*. T

3.

y = 9 - x 2 , y = x 2 + 1.

64 . fi. y u 2

4.

y

5.

y = 3 x - x 2, y = x 2 - x.

6.

x = 0 , y = ta n x,

7.

y = x 3 + x,

8.

y = l n ( x 2) , y = ln 4 , x = e.

R. ( 4 - e ln 4 ) u 2

9.

x = e y , x = 0, y = 0 , y = ln 4 .

R. 3 u 2

3

2

,

22

x

- x

, y = 0, x = - 1 , 1 + x2'

x = 2.

u

, n 11 88 \ /?. “—)u , ( 1l + - - arctan 2 +- - ln 2 5/ 8

,

R : 3 tt

y = -c o sx . 5

x = 0,

y = 2,

y = 0.

2

R. - u 2 4

3x 10. y = a r c t a n x , y = a rc c o s — , y = 0.

/2 f i- u

11. y = a r e s e n x ,

». g - V l ) u 2

y = a rc c o s x ,

x = 1.

2

4\ i)

2

1 2 . y = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 2 , y = 2 x 2 - 4 x + 2. 13. y = 4 - l n ( x + 1 ) ,

y = l n ( x + 1 ) , x = 0.

R. 2 ( e 2 - 3 ) u 2

14. í í es la re g ió n encerrada p o r la elipse a 2x 2 + b 2x z = a 2b 2.

R- n a b

15. Í1 es la re g ió n de m a y o r área encerrada p or las c u rva s x 2 — 2 y 3 = 0 ,

x 2 - 8 y = 0,

y = 3.

R ■ ( _5 _ + 5 ^ ) u2

16. í í es la re gió n de m e n o r área lim itada p o r las cu rv a s x 2 + y 2 = 2 0 ,

y 2 = 2 x 3.

R. íI 2 0 a re s e n —2 - -8\ Ju

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 17. í í es la región de m a y o r área encerrada por las gráfica s de S x 2 - 4 y = 0 y la elipse c u y o s fo co s son los puntos (0, ± 6 ) y cu y a longitud de su eje m enor

R-

es

V

V 5 n — 9 V 5 a rcse n — —

V3

2 J

18. y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0.

(4x-xz l9 - y =

4

( x 2 + 8 x — 40 '

. y=

x< 0

R .1 7 u >

--------- 1 6 -------- • * > - ‘ .

\-3x-16,

x < -4

20. y ( x 2 + 4 ) = 4 ( 2 - x ) , y = 0 , x = 0.

/?, ^ _ l n 4 j u 2

2 1 . y = x 3 + x - 4 , y = x, y = 8 - x .

22. y — e x , y - e ~ x , x = 1.

2 3. y — 2 x + 2 , x = y 24. y = \ x ~ 2 \ ,

r ^e

2 + l , x = 0 , y = 0 , x = 2.

e u2

~ ^ 4

R. ( i s + í v

y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3.

R

— u2 '

25. y = y/'x2 - 3 ,

y = \ x - 1|, y = 0.

26. y = |sen x| con x e [0 ; 2tt] , y + x = 0 , x - 2 n = 0.

^

6

^ ]n3 - i ) u 2

R. ( 4 + 2 n 2) u 2

x2- 4

2 7 - y = ^ T _ 16 > x = - 3 ' X = 3 . y = 0. 28. y = arcsen x , y = a rc co s x , x = 0.

R. ( 2 - y j l ) u 2

29. y = arcsen x , y = a r c c o s x , y = 0.

r_ (y¡2 - i ) u 2

30. y = x 3 + 3 x 2 + 2 , y = x 3 + 6 x 2 - 2 5 . 31. y = x 2 , y = 8 — x 2 , y =

4 x + 12.

32. y = x 2 , 2 y = x 2 , y = 2 x . 2

r . 108 u2

R.

64u2 K. 4 u 2

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 3 V 3 -7 T

R.

34. y = t a n 2* , y = 0 , x - — , x = 0.

35. x zy — 2 , x + y = 4 ,

* = 1,

\

ó

R. ( 9 / 4 ) u 2

* = 2.

36. y = x 4 , y = 8 x.

R. ( 7 9 / 5 ) u 2

37. y = x 3 - x , y = s e n f a x ) .

fi- ( í 4 ) " 2

38. x = 4 y - y 2 , x + 2 y = 5.

R. ( 3 2 / 3 ) u 2

39. y = s e c 2x , y = t a n 2x , x = 0.

«

. ( í - i y

1 40. y =

1

, 2 y = x 2.

*■ ( I 4 ) “ 2

+ x2

R. ( 3 n a 2/ 8 ) u 2

41. x 2^3 + y 2/3 = a 2!3.

8a3 42. x

/?.

= 4ay,

43. y =

| 2 0 x + a: 2 - x 3\ , y -

44. x =

y 3 —2 y 2 — 5 y + 6 , x =

/?. ( 2 3 2 1 / 1 2 ) u 2

0.

2 y 2+ 5 y - y 3 -R. 6 .( 2 5 3 / 6 ) u 2 '1

V3 4 5. y = a r c s e n 2 x , x = — ■ J 4

R.

46. y =

x e 8_2x\

/?.

47

^ T 4 '

y =

y = x.

y = 0,

4a" 2 a 7r — •

* = 0 'x =

V3

n

4' e — 73

48. y =

R.

x 3 e 8 -2 * 2, y - 4 x .

49, y = | j c - l| ,

R. ( 7 / 3 ) u 2

y = x 2 - 2x , x = 0 , x = 2 .

50. y = V x T T - V x - 1, x = - 1 , x = 1.

R. 3 V 2 u 2

51. (x + y ) 2 = 16x, 5x + y = 8 .

R. 1 8 u 2

52. y = |x - 2| - |x - 6|, x - y = 4 .

R. 8 u 2

53. y = |x - 5| - |x + 3|, x + y - 2 -

0.

5 4 . y = se n x + | cosx| , x = - n , x - n , y = 0 .

178

fí. 3 4 u 2 fi. 4

u

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA T>5. y =

X2 r, x

(4 —x 2) 3/ 2 ’

0, x — 1, y — 0.

R,

' X ~ L> y ~ u-

56.

y =

60 (x s - x 4 + x 3), y = - 2 x , x 2 =

.r)7.

y = x + se n x, y = x, x = 0, x = - .

1.

8x

= y 3,

52 u 2

R.

R —~ ^

6 58. 8 x = 2 y 3 + y 2 - 2 y ,

ty f'

2

’

y 2 + y -

u2

R. — u 2

2 = 0. 96 37

R. — u 2

59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0.

12 60 . y -

c

s e n ( - ) ln ( s e n

61 . y 3 ( x -

, x = 0 , x = an.

R.

2ac(l -

ln 2 ) u

2

R . 9 u ,2

2 ) 2 = 1 , y = 0 , x = 1 , x = 10 .

62. y ( x 2 + 4 ) = 8 , 3 x 2 - 4 y - 8 = 0.

R . 2(7r +

,2 2 )u

63 . Í2 es u n a rc o d e la c ic lo id e c u y a e c u a c ió n p a ra m é tric a es x

c i( t

s e n t),

y = íz (1 — e o s £).

R . 3 tccl2

f 2n Su ge rencia : 4(.fi) = y dx. 6 4 . D. es la r e g ió n lim it a d a p o r el a stro id e x = a e o s 3 t ,

y = a s e n 3 t. 3 /? .

65 . D. es la f ig u r a c o m p r e n d id a entre la h ip é rb o la

-7 T U 2

8

x 2 - y 2 = 9 , el eje x

d iá m e tro d e la h ip é r b o la q u e p a sa p o r (5 ; 4).

y el

R. 9 l n 3

2 \x

\

66 . f í e s la r e g ió n lim it a d a p o r la g rá fic a d e / ( x ) = -------- - , el eje x y la s d o s

1 -f* X re ctas v e rtic a le s c o r re sp o n d ie n te s a las a b s c is a s de lo s p u n t o s m á x im o s a b so lu to s. A (]n 4 )u 2 67 . í í es la r e g ió n lim it a d a p o r la g r á f ic a d e / ( x ) = 2 x 4 - x 2 , el eje x y las d o s re ctas v e rtic a le s q u e p a s a n p o r lo s p u n to s m ín im o s re la tiv o s. R. (7 / 1 2 0 ) u 2 60 . 69 .

e s la r e g ió n e n c e rra d a p o r y 2 = x 2 - x 4.

R. (4 / 3 ) u 2

Cí e stá lim it a d a p o r u n la z o d e la c u r v a a 2y 4 = x 4 ( a 2 - x 2). n 4íj2 ? R. — u2 5

17 9

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

£2 e s t á

70.

encerrada por un lazo de la curva 16a4y 2 = b2x (a —2 cu). nh ab

R. -

u2

4 a 2x

y^

30

71. Q está encerrada p or el lazo de la curva ( x 2 +

y 2)3 =

Q está encerrada p or la lem niscata ( x 2 + y 2) 2

72

a (x

V )■ R. a 2 u 2

73. Q está acotada p o r y ( 4 + x 2) = 5 y el se m ic írc u lo su p e rio r de

S.

x 2 + y 2 — 2 y = 0. 74

^

(2 -5 a rc ta n - + 5 )u 2

Q está encerrada p or la elipse (de eje o b licu o ) ( y - x + 3 )

- 4 - x .

R. 4 n u 2 7 5 . y = 9 - x 2 , y = ln (x - 2) , y = 2 . E n cada un o de lo s siguientes ejercicios grafique ía re g ió n ilim itad a Q. y halle

II

su área (si existe), si se sabe que Q está co m p re n did a entre las grafica s de.

n 1 . y = s e c h x y su asíntota. 2

y su asíntota.

y =

2

2U

R. 16tt

u 2

x 2 + 16 3

( 4 — x 2) y 2 = x 4 y

su s

asíntotas verticales.

R- 2n u 2 R. no existe

4 . y = a rc ta n x , 2 y = i r , x = 0 .

7T 2 n

5 . y = se c h _1x y s u a sín tota vertical.

2W 6' y ~ 1 + x 4 ' V I II

4 |xl

R■ ~^u

m

R.3nu2

1 + x 4'

De te rm in e m de m anera que la re gió n que está p or e n cim a de debajo de la parábola y = 2 x - x 2 tenga área igual a 3 6 u .

IV

y

mx y

K. m -

I I área de la re gió n co m p re n d id a entre la p aráb ola y = 1 2 x - 6 x 2 y el eje x es d iv id id o en d o s partes ig u a le s p or una recta que pasa p or el origen. I lullc la ecua ción de d ic h a recta.

V

La

h ip é rb o la

equilátera

circu nfe re n cia x 2 + y 2 =

x2 - y2 = 8

d iv id e

R. y ~

6 (2 -

en

re gio n e s

3

V4Jx a

1 6 . H a lle el área de cada u n a de las regiones.

la

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 4.2 V O L U M E N D E U N S Ó L I D O E N F U N C I Ó N D E L A S Á R E A S D E L A S S E C C IO N E S T R A N S V E R S A L E S Sea S un só lid o lim itado en el espacio. B a jo ciertas co n d icio n e s es p o sib le hallar el v o lu m e n de este sólid o. P o r ejemplo, sea Sx una se cció n plana del s ó lid o S obtenido al cortar el só lid o con un p la n o p erpend icular al eje x en el p unto de abscisa x (F ig. 4 .1 8 ) y s u p o n g a m o s que existe un intervalo [a; b] tal que

-

u

xe[a:b]

S i >5(5X) es la fu n c ió n área de la se cción plana (llam a d a se cción transve rsal de S )

y es continua,

V x e [a; b], entonces el v o iu m e n del só lid o 5 está d ad o p or

í A(Sx) d x Jn

Fig. 4 .1 8

Fig. 4 .1 9

E je m p lo 14. L a base de un só lid o es la región lim itada p or la elipse

b 2x 2 + a 2y 2 - a 2b 2 . I lalle el vo lu m e n del só lid o S si las secciones transversales perpe n d iculare s al eje

x son: ¡i) T riá n g u lo s re ctá n gu lo s isósceles, cada uno con hipote n usa sobre el p la n o x y . b) C u ad ra d os.

c)

T riá n g u lo s de altura 2.

S o lu c ió n a) L a grá fica de la se cció n transversal del só lid o se m uestra en la Fig. 4.19. E l só lid o es la u n ió n de los Sx, x 6 [— a; a], donde Sx es un trián g u lo rectángulo isósceles de área

M S X) ~ \ b h = ^ ( 2 y ) h = \ ( 2 y ) y = y 2 = ^ ( a 2 - x 2) Lu e go ,

b2 F=Jf a — (a 2 -

/4

\

x 2) d x - i^ -ab2J u 3

18!

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II h) S i las se ccion e s transversales so n cuadrados (F ig. 4.20), el só lid o queda descrito c o m o la u n ió n de lo s Sx, x E [ - a ; a], tal que Sx es un cu a d ra do lado 2 y

e

= — y¡a2 - x 2 . Luego, el área de la se cció n Sx es

¿ ( S * ) = ( 2 y ) 2 = 4 y 2 = 4 ^ ( a 2 - x 2) P o r tanto, el vo lu m e n del só iid o es y =

b2

4 ^ j ( a z - x z)dx = ( ^ - a b ^ u 3

í

JJ~a ~-n

&

c) S i las se ccio n e s transversales son trián gu los de altura 2 (F ig . 4.21), ei s o lid o es la u n ió n de los S *, x 6 [ - a ; a], tal que S * es el trián g u lo de altura 2 y base

2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área d é la se cción p la na es

a 1 2b r — — A(.Sx) = - ( 2 y ) 2 = 2 y = — J a 2 - . P o r tanto, el v o lu m e n del só lid o resulta

V =

/-fl U —

___ ____ _

y /a 2 - x 2 dx = (n a b ) u 3

La a

l 'i c m n lo 15 e lipses

U n a recta se m ue ve paralelam ente al p la no y z cortando a las dos

b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 A

c 2 x 2 + a 2z 2 - a 2 c 2, que se encuentran en los

p lanos x y y x z respectivam ente. C a lc u le el v o lu m e n del cu e rp o asi engendrado.

Solución Kn este sólid o, la se cción Sx

es un ro m b o (F ig. 4 .2 2 ) cu ya s d ia go n a le s so n

2 y A 2z. L u e g o , el área de la se cció n plana es

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

---------------

U

, ........ .....

(lom o y = — y a 2 — x 2 A z — — J a 2 — x 2,

a

a

entonces el v o lu m e n del s ó lid o es

[a =

| J —a

be 2 — ( a 2 - x 2) d x ^

= (?a f,c )U=

E J E R C IC IO S 1.

L a base de un só lid o es un círcu lo de radio r. T o d a s las se ccion e s transversales del sólid o, p erpendiculares a un diám etro fijo de la base son cuadrados. Determ ine el volum en del sólido.

R. ( 1 6 r 3/ 3 ) u 3 U n só lid o tiene p or base un círcu lo de radio 1 y su s intersecciones con p la n os perpendiculares a un diám etro fijo de la base so n triá n g u lo s re ctá n gu lo s isósceles c u y a s h ipo te nu sa s son

las respectivas cuerdas de

los círculos.

D e te rm in e el v o lu m e n del sólido.

R. ( 4 / 3 ) u 3 V

H a lle el v o lu m e n del s ó lid o S que es la parte co m ú n a dos c ilin d ro s circulares rectos de radio r, su p o n ie n d o que sus ejes se cortan perpendicularm ente.

R. ( 1 6 r 3/ 3 ) u 3 4.

L a base de un s ó lid o es una elipse c u y o s ejes m id e n 2 0 y 10 unidades. L a intersección de este só lid o con un plano p erpend icular al eje m a y o r de la elipse es un cuadrado. C a lc u le el vo lu m e n del sólido.

R. ( 4 0 0 0 / 3 ) i í 3 5.

H a lle el vo lu m e n de un só lid o S cu ya base es un círc u lo de rad io 3 y cuyas se ccion e s plan as p erpendiculares a un diám etro fijo son triá n g u lo s equiláteros.

R. 3 6 v Í u 3 (>. L a base de un só lid o es la re gió n entre las p arábolas x = y 2 y x = 3 — 2 y 2 . H a lle el v o lu m e n del s ó lid o si las secciones transversales p erpend iculares al eje x son cuadrados.

R. 6 u 3 183

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II /

1 ;i base de un só lid o es la región entre las parábolas y = x 2 A

y - 3 — 2 x 2.

H alle el v o lu m e n del só lid o si las secciones transversales perpe n d iculare s al eje y son triá n g u lo s rectángulos isósceles, cada uno de ellos co n la h ipo te nu sa sobre el p la n o x y .

R .( 3 / 2 ) u 3 8 . E l punto de intersección de las d ia go n a le s de un cuadrado (de lado variab le ) se d esp laza a lo largo del diám etro (fijo) de una circun fe re ncia de ra d io 3. E l plano

del

cu ad rado

perm anece

siem pre

p erpend icular

al

p la n o

de

la

circunferencia, m ientras que d o s vértices opuestos del cu a d ra d o se d esp lazan por la circunferencia. H a lle el v o lu m e n del cuerpo así engendrado.

R. 7 2 u 3 9.

U n c ilin d ro circ u la r recto de radio r es cortado p or un p la n o que pasa p or un diám etro de la base bajo un á n gu lo a respecto al p la n o de la base. H a lle el vo lu m e n de la parte separada.

R. ( 2 r 3ta n a / 3 ) u 3 10.

E l triá n g u lo c u y o s vértices so n 0 ( 0 ; 0 ), A (a; b ) y B ( 0; b ) gira alrededor del eje y . H a lle el v o lu m e n del co n o obtenido.

R. ( n a 2b / 3 ) u 3 11.

L a base de un só lid o es un círc u lo de rad io 3. T o d o p la n o perpe n d icular a un diám etro d ad o interseca al só lid o en un cuadrado que tiene un lado en la base del sólid o. C a lc u le el v o lu m e n del sólido.

R. 1 4 4 u 3 12.

L a base de un s ó lid o es la re gió n lim itada p or Las

se ccio n e s

tran sve rsales

del

só lid o

y = 1 —x 2 , y = 1 — x 4 . d eterm inadas

p or

p la n o s

perpe n d iculare s al eje x so n cuadrados. Encuentre el v o lu m e n del sólido. 13.

E n un só lid o las se ccio n e s transversales p erpend iculares al eje y son círc u lo s c u y o s diám etro s se extienden entre la cu rv a

x = ^[y

y la recta x = y.

C a lc u le su vo lu m en.

R. ( t i/ 1 2 0 ) u 3 14.

L a base de un s ó lid o es un círcu lo lim itado p o r

x 2 + y 2 = 25

y las

se ccio n e s tra n sve rsales p erpendiculares al eje y so n triá n g u lo s equiláteros. C a lc u le su vo lu m en. 15.

U n c ilin d ro recto c u y a base es una elipse está cortado p o r un p lan o in clin a d o que pasa p or el eje m e n o r de la elipse. C a lc u le el v o lu m e n del cuerpo engendrado, sa b ie n d o que la lon gitu d del eje m e n o r de la elipse es 8 y la lon gitu d del sem ieje m a y o r es 1 0 .

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.3 V O L U M E N D E UN S Ó L ID O D E R E V O L U C IÓ N

plan a'u red ed or^ e u n a í e c í f í^ c l)™ id a \n ne r l t 7 d bT ' d0 ^ ^ llama eje de revolución. P 6 la r e g lo a La recta fiJa se 4.3.1 M E T O D O D E L D I S C O C I R C U L A R Y D E L A N I L L O C I R C U L A R

:*,"< £

•'!

4 M t 'o t o i i a d T T

r

a y - X = * ' ( F ig - 4 2 n U se c c ió " t r a s v e r s a l

q « p a l l l r e 'r T / “ “5" del SÓW0 5

P '“ o Perpendicular

• i ^ r , P or x e es un círcu lo de radio i v i = I f f r 'U c irc u la r). E l area de esta se cción es 1/ M I

A (sx) = n y 2 = n [ f ( x y\2 i x e[a;b] I -ucgo, p o r el m étodo de las se ccion e s transversales, el v o lu m e n de 5 es

Observación 2. Sea S el sólido de ' t'volucion obtenido p o r ¡a rotación en h>rno a l eje y de la región plan a R limitada ,a c u n a x = 9 ( y ) (g continua en el intervalo [ c ; d ]), e l eje y y ¡as rectas v - c A y - d (Fig. 4.25). / monees el volumen d el sólido es

n fc [g(y)l2 d y ' j u 3

m «* (d isc o

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Observación 3.

Sean f , g \[ a - ,b ]

R funciones continuas cuyas gráficas se

encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g ( x ) \ < ] / ( x ) | , V x 6 [a; ó]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene p o r la rotación en torno al eje x de la región ü acotada p o r las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) y ¡as rectas verticales x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g { x ) < / ( x ) ) . Como la sección transversal Sx obtenida p o r la intersección de S con un plano perpendicular al eje x que p asa p o r x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27), entonces el área del anillo circular es ¿ ( S * ) = Tt { [ f ( x) ] 2 - [ g ( x ) ] 2} , x G [a; b ]

Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta [ g ( x ) ¡ 2] d x

u

re vo lu c ió n es

-a v

- r ¿) d x

u

donde R es el ra d io m a y o r del a n illo circu lar y r es el ra d io m e n o r (fig. 4.26), S i r = 0 , la fó rm u la es la que se obtiene p or el m étodo del d isc o circular.

Observación 4. Sean f , g : [ a; b] -> E funciones continuas cuyas gráficas se encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \ g ( x ) — c| < \ f ( x ) — c\, V x G |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno a la recta y = c la región Q 1imitada p o r ¡as gráficas de y = f (x), y — g { x ) , x a y x = b (Fig. 4.28). /■'.monees el volumen del sólido S es

V -•

J

( l / ' M - c ] 2 - [g ( x ) - c ] 2} d x j u 3

186

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 5. Si la región Q limitada p o r las gráficas de x = / ( y ) , x = g ( y ) r las rectas horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f , g están a un mismo lado del eje de rotación y \ g ( y ) - k\ < | / (y ) - k \ , V y 6 [c;d]. Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es v = (rc /cV ( y ) - k ] 2 - [ g ( y ) - k ^ d y ^ j u 3

E je m p lo 16.

C a lc u le el vo lu m e n del só lid o generado p or la rotación alrededor

del eje x de la re gió n lim itada p or las gráficas de y = e x, x = 0 , x = 1 , y = 0 . S o lu c ió n l-a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.30. A p lic a n d o el m étodo del d isc o (R - e x), ■ se obtiene

V = n f ( e x) 2 d x = n í e 2x d x = ^ ( e 2 - 1 ) u 3

Jo

Jo

2

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II E je m p lo

17. L a re gió n

lim itada p or las gráficas de y — a r e s e n x , y — 0 y

x ~ —1 gira alrededor del eje y. C a lc u le el v o lu m e n del s ó lid o engendrado. S o lu c ió n Com o

el

eje de

rotación

es

el

eje y ,

co n sid e ra m o s

a y

com o

variable

independiente. L a re g ió n se m uestra en la Fig. 4.31. C o m o R = 1 y r = - s e n y , entonces el vo lu m e n del s ó lid o es

ry

1

1° 1

= ir - + - ss eenn ( 2 y ) j 2 4 J- E

n 2

2

E je m p lo 18.

= — - u3 4

L a re gió n lim itada p or las gráficas de y - x 2, y - V *

y x - 2

gira alrededor del eje x. C a lc u le el vo lu m e n del sólido. S o lu c ió n L a s cu rva s y = x 2 y y = V *

se cortan en los p u ntos (0; 0 ) y (1; 1). E n

la

Fig. 4.32 se m uestra la re gió n entre ellas y la recta x = 2. E n la p rim era región,

(0 < x < 1 ) una se cción transversal es un a n illo circu la r co n ra d io m en o r r = x y radio m a y o r R — V * . E n la se gu n d a re gió n (1 < x < 2 ), la se cció n transversal es un a n illo circula r con rad io m en o r r = yfx y rad io m a y o r R = x 2. P or lo tanto, el vo lu m e n del s ó lid o S es

V = n

- ( x 2) 2] d x + n ¡ \ ( x 2) 2 - ( ^ f ) d x

3

X x = 3

Fig. 4.33

Fig. 4.32

188

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ejem plo 19. L a re gió n lim itada p o r la circunferencia

( x + 2 ) 2 + ( y >- 2 ) 2 = ]

j'.iiii a lie d e d or de la recta x — 3. C a lcu le el vo lu m e n del só lid o ge n e rad o (to ro de

revolución). S o lu c ió n I .a re gió n se m uestra en la fig. 4.33, donde / ( y ) = - 2 - V i - (y - 2) 2 A A sí, el ra d io m a y o r /? y el = 3 - / (y ) = 5 + V i

g ( y ) = - 2 + / i - ( y - 2)T

rad io m en o r r son, respectivam ente, - (y - 2) 2 y r = 3 - 5 (y ) = 5 - v' l - ( y -

2)2

Lue go , el vo lu m e n del só lid o de re volu ció n es

V = 7i

( R 2 - r 2) d y = n

2 0 ^ Y ^ ( y ^ 2 y dy

= ÍOn [ ( y - 2 ) V i - ( y - 2 ) 2 + a r c s e n ( y - 2 )] Ejem plo 20.

L a re gió n

lim itada por la elipse

0 < b < a gira alrededor de su eje m ayor. generado.

= ( 1 0 n:2) u 3

b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b z

con

C a lc u le el vo lu m e n del só lid o

Solución C o m o la elipse es sim étrica respecto al eje m ayor, p o d e m o s co n sid e ra r que el só lid o es generado p or la rotación de la re gió n som bread a en la fig. 4.34 alrededor de! eje x. A s í, el rad io de g iro del d isc o circu la r es

b i-----------R = y = -V a 2- x2 a P o r consiguiente, el só lid o de re v o lu c ió n es

vo lu m e n

ía V = nj

del

í a b2 R 2d x = n J

/4 \ — ( a 2 - x z ) d x = y - a b 2n j u 3

Ejem plo 21. L a re gió n infinita co m p re n did a entre la cu rva x + x y 2 - y = 0 y su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. C alcu le , si existe, el vo lu m e n del sólido. Solución A l d e sp e ja r x de la ecuación, o b te n e m o s x = „ V , con lo cual la a síntota 1+ y2 vertical de esta cu rva es x = 0 (eje y ), pues y -> ±00 x -> 0 .

189

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

C o n sid e ra n d o que la cu rva (F ig. 4.35) es sim étrica con respecto al o rige n y el rad io de giro en el p rim e r cu ad rante es R = x = ^

-j . e nto n ce s el v o lu m e n del só lid o

es + oo

V = 2tc í Jo

R2d y = 2n í Jo

ft

2

(i + y 2) 2

d y = 2 n J im _

y 2

„

, dy í-+ o o J/n 0 ( i + y 2Y

H a cie n d o y = ta n 9, la integral resulta

y = 2 K , ! i S . [ í arctan(>,)- 2 ( i + 7 ) ] 0

= 2” tÜ ! S , [ i a rctan (t)- 2 c T T F ) ]

E je m p lo 22. D e te rm in e el v o lu m e n del só lid o de re v o lu c ió n generado al rotar alrededor del eje x la re gió n infinita co m p re n d id a entre la recta y = O y la cu rva

y =

L

S o lu c ió n 1.a resiión se m uestra en la Fig. 4.36. A l aplicar el m étodo del disco, se obtiene r+ “ / i

i' H

\2

1 te )

= , M im = 37T u 3

j V

«

r +"

_! ; t 3 ‘b

«fe = ’' , l i ? „ l - 3 * ' ‘ /3 l'l = * tü 5 . ( - í r o + 3 )

APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA

4.3.2 M É T O D O D E L A C O R T E Z A C IL IN D R IC A Sea f \ [ a; b] -» K , a > 0

una fu n ció n continua y n o negativa y S el s ó lid o dé

re volu ció n obtenido al hacer rotar en torno al eje y la re gió n í í lim itada p or las f raileas y = / ( * ) , y = 0, x = a A x = b (F ig. 4 .38 )

i:i só lid o S (F ig. 4 .3 9 ) puede ser con sid e rado c o m o la u n ió n de lo s c ilin d ro s C x G [a; b], es decir, *’

5=

U

Cx

x e [ a :b ]

C o m o el área (lateral) de cada c ilin d ro circular recto Cx está d ad o por

A( CX) = 2 n x f ( x ) ; x 6 [ a , b] se deduce que el vo lu m e n del s ó lid o S es

K = í

A(Cx ) d x - 2 n f x f ( x ) d x

Ja

Observación 6. Sean f ,g : [a; b] -> M funciones continuas en [ a; b] tales que , E funciones continuas en [a; b] tales que g ( x ) < f [ x ) , V x e [a, b], y S el sólido de revolución obtenido al hacer girar alrededor de la recta x = c, con c > b, la región Q limitada p o r las gráficas de x = a , x = b , y = f ( x ) , y = g ( x ) (Fig. 4.41). El volumen del sólido S es K = ( 27t J

(c - x ) [ f ( x ) - g ( x ) ] d x " j u 3 Fig. 4.41

Observación 8. Sea Q la región limitada p o r las gráficas x = f ( y ), X = g ( y ) , y = a A y = b (Fig. 4.42), donde f y g son continuas en fa; b] tales que g ( y ) < / ( y ) , V y G [a, b] , y S el sólido de revolución que se obtiene a! hacer rotar la región Q alrededor de la recta y = c, con c < a . El volumen de S es V = (^2n

j

(y - c )[/(y ) - s (y )] d y j u 3

Observación 9. Sea Q la región limitada p o r las gráficas de x = g (y ) , x = f ( y ), y = a A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son continuas en [a; fa] tales que g { y ) < / ( y ) , V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar la región Q alrededor de la recta y = c, con b < c. El volumen del sólido S es V = ^ 2n

J

(c-y)[f(y) - g(y)]dyju3 Fig. 4.43

A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A

l'.jem plo 23. Encuentre el vo lu m e n del só lid o e nge n dra do al g ira r sob re el cíe y l:i región lim itada p o r la cu rva y = (x - 2 ) \ el eje x y la recta x = 3 . S o lu c ió n 1.a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.44. A p lic a n d o el m étodo de la corteza leñem os

V

= ZU i

X^

d x = ¿T l\2 x ( x ~ 2 ^ d x

= 2 n í (x 4 - 6 x 3 + 12 x2 - 8x)d x

h 147r

=

l'.jemplo 24.

H a lle el v o lu m e n del só lid o generado p o r la rotación de la re gió n

lim itada p or las gráfica s de x + la recta y = 3.

y 2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0 alrededor de

Solución l a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.45. C o m o el eje de re v o lu c ió n es horizontal, el vo lum en del só lid o es

V = 2n f

(3 - y ) l ( 6 - 3 y - y 2) - (3 - y ) ] d y

J -3

= 2n f J_3

( y 3 - y 2 - 9 y + 9) d y

256 tt , = — ^— Uá

TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

E je m p lo 25. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o de re v o lu c ió n que se obtiene al g ira r alrededor de la recta x = 1 la re gió n lim itada por las gráfica s de

y — ¡x2 — 2x — 3 \ , y + l = 0 , x — 1 = 0 , x — 4 = 0 S o lu c ió n L a región se m uestra en la figura 4.46. A l aplicar el m étodo de la corteza cilindrica, el vo lu m e n del só lid o es

V = 2n

J

( x - l ) [ | x 2 - 2x - 3| + 1 ] dx

U sa n d o la fig u ra 4 .46 y la d efinició n de va lo r absoluto, se tiene

¡xz - 2x - 3| = | 0 - 3 ) 0 + 1)1 = { _ ( * 2 ~ 2X ~ 3 ) ' 2x-3,

1 ~ x 0 , V x > 1. Para todo a > 1 , el v o lu m e n del só lid o generado p o r la rotación de la región lim itada p or las g rá fica s de y = / ( x ) , x = 1 , x = a y el eje x, alrededor /

-a

del eje x es: V =

+ 2 a 2 - - j u 3. D e te rm in e f ( x ) .

R. f ( x ) = 75.

Se a / : [0; + 00 ) -> K

Vtt

.V x 2 + 4 x

una fun ció n continua. Para todo a > 0, el vo lu m e n del

só lid o generado p or la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra entre la gráfica de y = / ( x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a co n a > 0 es V = ( a 2 + a ) u 3 . De te rm ine / ( x ) .

199

TO PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita. 1. L a cu rva

y 2 ( 2 a — x ) = x 3 gira alrededor de su asíntota vertical. H a lle el

vo lu m e n del só lid o generado.

R. 2 n 2a 3u 3 1

x

2. Sea fl la re g ió n infinita c o m p re n d id a entre las gráficas de y = - A y = y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. E l eje de rotación es el eje

x. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o generado. 1

3. n es la re g ió n c o m p re n d id a entre la cu rva y = - 2 — ^ y s u a sín to ta y el eje de rotación es el eje x. C a lcu le el vo lu m e n del só lid o generado. 7T2

R. Y C

4. fí es la re gió n c o m p re n d id a entre la cu rva y = J

„

u>

_4t — ------ d i ( x e IR) y

su asíntota y el eje de rotación es su asíntota. 3 16' 5. £2 es la re gió n co m p re n d id a entre la cu rva x y z - 4 a 2 ( 2 a — x ) y su asíntota, y e! eje de re v o lu c ió n es su asíntota. H a lle el vo lu m e n del s ó lid o generado.

R. Anz a 3 u 3 6 . fl es la re g ió n c o m p re n d id a entre la cu rva y 2 = — — -

y s u a sín tota x = 2 a

y el eje de re v o lu c ió n es x = 2 a. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o engendrado. R . 2 n 2a 3 u 3 7. fi es la re gió n co m p re n d id a entre la curva rse n x

y = \ x (o ,

x > 0 x = 0

y su asíntota, y el eje de re v o lu c ió n es el eje x. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o Tí

g e n e ra d o sa bie ndo i que

í

J0

dx = 2' TI

,

R. — u 3 2

200

A P LIC A C IO N E S D E LA IN TE G R A L D EFIN ID A

i. i L O N G IT U D D E A R C O Se;; / : [a; b] -» R una fu n c ió n co n d eriva d a con tinu a en [ a; b] y P - { x0, x 1 , una partición de [a ;6], E sta p artición define un a p o lig o n a l c o n f l u i d a p o r los se gm e ntos rectilíneos desde < M * ¿ ; / ( * ¡ ) ) , p a r a i = 1 ,2, ... , n (Fig. 4.49).

n

hasta

n

L{p) =

=Z

V O i - * ¡ - i) 2 + (/ (.rj -

i =1

¿=1 i I num e ro ¿ -

^ ( x , ^ ; / (*,_ ,))

¡|{i|m o L(P) , si existe, se llam a

desde ei punto (a ;/ ( a )) hasta el que en este caso el nú m e ro Lsiem pre existe.

y = f{x)

longitud de punto

a rc o de la cu rva

(£ > ;/ (£ )). D e m o stra re m o s

C o m o f es d erivable y co n tin u a en [ x t_ i ; x t] , i = 1 , 2 .....n, por el teorem a de L a gra n ge o del V a lo r M e d io , 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que

= f ( t i) ( x ¡ — x ¡ _ x) , i = 1 ,2 ,..., n

f (x¿) — I laciendo A¿x = x¿ — x

, i = 1,2,..., n , te n e m o s

■A

n V ( A¡ * ) 2 + [ / '( t i ) ] 2 . ( A 1x )2 = V

=

Í=1

V i + [ / '( t ¿)]2 fet

l’or tanto, la longitud de arco de la cu rva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es n

1 ~ I

&

I

W

M

. es decir

TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II

Observación 10. La longitud de la curva x = g ( y ) comprendida entre las rectas y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es

1=

( j ■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J

jl +

4

Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en fo rm a param étrica mediante un p a r de funciones con derivadas continuas, esto es,

C:£ : $ r Entonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es

¿=

Vl*'(t)]2+ [y'(OP dt'Ju

E j e m p lo 28. H a lle la longitud de la curva

( 1 + V sec2x + 1 \ n n ,-------------y = v se c 2x + 1 - ln ---------------------- d e sd e x = — h a sta x = ' \ secx J 4 3 S o lu c ió n A l aplicar las re glas de d e riv a c ió n y sim p lific a n d o se obtiene = tan x V s e c 2x + 1

^

dx

P o r lo tanto, c o n la fó rm u la de la lon gitu d de arco resulta

f

L=

d x = f * [1 + ta n 2x ( s e c 2x + l ) ] 1' 2 dx

1 + ® 4

4 / 4

K d x J

J ” /4

rn/3

= I

E j e m p lo 2 9

s e c 2x dx = [tan x \ n J ^ = (V 3 - l ) u

E n c u e n tre la lo n g itu d de la cu rva cuya e cu a ció n es

desde x = —2 hasta x = — 1 . S o lu c ió n C om o y

J

1

x4

dy

= — r + — , e n to n ce s — 2 x 21 6 dx

l = £

4T 7 W ? (x 3

1 \

■+ —

= £

x3 1

= —-Luego, la lo n g itu d de a rco es 4 x3

J ( £ + i )

21

I dx = —

u

- Í T ( ^ ¿ ) 202

¡i- + 1

dx

A P LIC A C IO N E S DE LA IN TE G R A L D EFIN ID A

E je m p lo 30. C a lc u le 4a lo n gitu d total de la cu rva c u y a ecu a ción es:

n

y - J^ V co st d t, ~2

n

- ^- . / ( x ) = l n ( c o t h - ) , x £ [ a ; b ] , a > 0

205

R.

’

/b>

e 26 - 1

ln^

_ i) + a ~ b

TÓ PIC O S DE C Á LCU LO - V O LU M EN II

59 17. / ( * ) = y + ¿ . * e [ 1 ; 2 ]

R- 7T7U

18. x = ( a 2/3 - y 2/3) 3^2 , y e [ - a ; a]

R. 3 a u

R. — [ V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u

2 0 . x =■ e c s e n t , y =

R. vV 22 ( e ’r - 1 l ))uu

e o s t, t e [ 0 ; 7r]

R. ln

— u

2 2 . x = a (e o s t + t s e n t ) , y = a ( s e n t - t e os t ) , t e [0 ;

a]

p u n to m á s p ró x im o d o n d e la tangente es vertical.

R. ~ a a 2u

II.

E n los sig u ien te s ejercicios, halle la longitud de arco de las c u rva s que se indican.

1.

L a lo n gitu d total de la circu nfe re n cia x 2 + y 2 = a 2

R. 2 n a u

2. L a lo ngitu d total del astroide x = a e o s 3 t , y = a s e n 3 t 3.

R. 6 a u

L a lo ngitu d del arco de la ram a derecha de la tractriz

d e s d e y = a h a st a y = b c o n 0 < b < a. /Xn 2/3 / y >.2/3 4. La lo n g itu d de la cu rv a ( - J + M =1

R. a l n ^ - J u en el p r im e r cuadrante.

a 2 + ab + b 2 R. -------------:------ u 5. L a lo n gitu d total de la c u rv a cu y a e cuación es

R. 6 a u

4 ( x z + y 2) - a 2 = 3 a 4/3 y 2/3

6 . L a lo n gitu d total de la c u rv a 8 y 2 = x 2 - x 4

R. W 2 u

7. La longitud de la curva 9 y 2 = 3 x 2 + x 3 desde x = - 3 hasta x - 0 R. 4 V 3 i¿

206

A P LIC A C IO N E S D E L A IN TE G R A L D EFIN ID A

II

l a longitud de arco de la p aráb ola se m icú b ica 5 y 3 = x 2 c o m p re n d id a dentro 134 de la circ u n fe re n cia x 2 + y 2 = 6 R. — -u 27

•J. C a lcu le el perím etro de y2 = 2x3 A

la re gió n

de m enor área

lim itada p or las gráfica s

x 2 + y 2 = 20 X2

II). I,a lo n g itu d de la c u rv a y = - -

I n V x , d esd e x = 2 h a sta x =

3.

I I . L a lo n gitu d de la R. 2 u

u ir v a y = V x - x 2 + a r c s e n V x . I L a

lo n gitu d total de la cu rv a dada p or ( y - a rc s e n x ) 2 = 1 - x 2

R. 8u

2 13. La lo n g itu d del a rco de la cu rva y 2 = - ( x - l ) 3 c o m p re n d id a d e n tro de la

p a rá b o la y

x — —

14. L a lo ngitu d del arco de la cu rv a dada p or x = ( t 2 - 2 ) s e n t + 2 t e o s t , y = (2 -

t2) eos t

+ 2 t se n

t, d esd e

t = 0 ha sta t = n

71^

15. L a lo ngitu d del arco de la cu rva y = l n ( l - x 2) desde x = 0 hasta x = 1 / 2

R. [ - ¿ + I n 3 ] u III. L o s sigu ien te s ejercicios tratan del m ovim ie n to de u n a partícula. 1.

E n el tiem po t, una partícula se encuentra en el punto P (c o s

t+

t se n t ; se n t - t eos

t)

Encuentre la d istancia recorrid a desde el instante t = 1 hasta t = n 2.

E n el instante

t, la

p o sic ió n de una partícula es

x = 1 + a rc ta n t , y = 1 - ln \ / 1 + t 2 H a lle el re co rrid o desde el instante t = 0 hasta t = 1

207

R. l n ( l + V 2 ) u

TÓ PICO S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

4.5 Á R E A D E U N A S U P E R F IC IE D E R E V O L U C IÓ N Se a

/: [a, b] -> M

un a fu nció n no negativa, con d erivada co n tin u a en

[a; £>].

H a cie n d o g ira r la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se obtiene una su pe rficie de re v o lu c ió n (F ig. 4.52). E l área de esta su p e rficie de re v o lu c ió n está dado p or i4 ( S ) = (271 f f ( x ) y j 1 + [ f ( x ) ] 2d x

Fig. 4 .5 2

Observación 12, Si la curva se describe p o r la ecuación paramétrica C : x = x ( t ) , y = y ( t ) , t e [a;/?] donde x ( t ) y y ( t ) son funciones con derivadas continuas en [a; /? J, entonces el área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es

A(S) = ( l n J % ( t ) V [ * '( O P + ty'(t)]2dt Observación 13. Sea f : [a, b] -> E una función con derivada continua en [a; b] tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es

.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g ( y ) , V y 6 I " : H donde g es una función con derivada continua en [a; b] y S e s la superficie ./ y

a: =

a co sh (— )

a

'" " A . C7 i

—

0

y

f

a

<

>

a co sh (l)

r

x

Fig. 4.56

E je m p lo 35. H a lle ei área de la su pe rf cié engendrada por la re v o lu c ió n airededor - 'i d esd e x = a h a sta x = a c o sh ( 1 ) a'

del eje y del arco de la c u rv a y = a eos S o lu c ió n

C o n sid e ra n d o que la cu rva (F ig. 4.5« >) gira alrededor del eje y , el área de la superficie ge ne rad a es

A (S) - 2tt f / ( y ) V 1 + [/ '(y )]2d y •'o / y\ d o n d e x = / ( y ) = a c o sh

y

dx — = f'(y) = s e n h Q

Lu e go .

A( S) = 2 n J

= 2n

J

a co sh

Jl -< - se n h 2(^ )d y na2 , „ , d y = ------(2 + s e n h 2 ) u 2

a co sh 2

E j e m p lo 36. H a lle el área de la super íc ie cua n d o la cu rva

2 x = y v V - 1 + ln ¡ y - J y 2 - l | , y e [ 2 ; 5 ], g ira alrededor del eje x. S o lu c ió n L a ecu a ción param étrica de la c u rv a e:

. * ( 0 = ^[t%/t2 - l + l n | t - ^ f2

~ 1 B , t 6 [2; 5]

y (t) = t de donde x ' ( t ) = V t 2 - 1

A

y'(t)

= 1

P o r tanto, el área de la superficie es

a (s )

=

í y c o T I x ' M F n / M F í !t = 2jt í t-J ( t 2 - 1) + 1 dt = 78n u 2 h 210

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA I1'templo 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al rlr y

del arco de la curva y = - [ x2 - 21n x], x e [ l ; 4 ].

Solución

1.1ecuación paramétrica de la curva es ( x( t ) = t

1e

y (0 = ^ [t2 -2 1 n t] ’

[1;4]

1

1

tic donde x ' ( t ) - 1 , y '( t ) = - (t - - ) ucgo,

A(S) = 2 ?t J | x ( t y [ x ' ( t ) ] 2 + [y'(t)]2dt

= 2„ J

, J l + i ( , - i ) * d t = 2 , J ‘ l (, + | ) d t = 2 4 ™ ’

I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer líirar la curva y = 2 - e x , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la recta V- 2 So lu c ió n

I .i gráfica de la curva se muestra en la ligura 4.57. Se tiene que dy ¿ =f'M lu e g o ,

= -ex

según la fórmula, el área de la

superficie es

¿ ( S ) = 27r f ( 2 - f M ) J l + [ f ' ( x ) ] d x *'0

= 2n í e xyfí' + ( ex) 2 dx “'O

: 7r | e 2V l + e 4 - V2 + + ln

e2 + Vi + e‘ 1+V2

211

TÓ PIC O S DE C Á L C U L O -V O L U M E N II

E je m p lo 39. H a lle el área del elipso id e de re volu ció n que se obtiene al hacer x2 v2 g ira r la elipse — + — = 1 , a lre d e d o r de: a) su eje m a y o r

b) su eje m enor

S o lu c ió n a) C u a n d o la elipse

gira alrededor de su eje m ayor, es su ficiente co n sid e ra r la

curva C d e scrita p o r / ( x ) = - - ^ 2 5 - x 2, x e

A l e m p le a r / ( x )

4 i----------= - V 25 - x 2 A

/ '( x )

[— 5; 5] (F ig.4 .5 8 ).

=

4x - ^ = = = ,

,, , el area de

, la

superficie resulta r 5 ¿J,

A(S) = 2n j

__________

16x2

-V25-X'

l f

100

3\

/

= 27r ( l 6 + —

2 5 ( 2 5 - x 2)

dx

a rc s e n -Jw

b) C u a n d o la elipse gira alrededor de su eje m enor, es suficiente consid erar la cu rva x = - V l 6 - y 2, y 6 [ - 4 ; 4] ( F ig .4.59). 4 L u e go , el área del e lip so id e generado es 5

A( S ) = 2 n J j V l 6 - y 2

25yz

1 +

1 6 ( 1 6 - y 2)

/ 8071, \ , = Í507T + - ^ - l n 4 J u 2

212

dy

A P LIC A C IO N E S DE LA IN TE G R A L D EFIN ID A

E J E R C IC IO S I.

E n ca d a u n o de lo s sigu ien te s ejercicios, halle el área de la supe rficie de re v o lu c ió n que se obtiene al g ira r alrededor del eje x, las cu rv a s d ad as p or

1.

/ ( x ) — —x 3 , x £ [ 0 ; 2 ]

2.

/ (x ) = c o sx ,

3.

U n la zo de la cu rva 8 a 2y 2 = a 2x 2 - x 4

R. ( n a 2/ 4 ) u 2

4.

6 a zx y = x 4 + 3a 4 d e sd e x = a hasta x = 2 a

R. (4 7 r ra 2/ 1 6 ) u 2

5-

/ O ) = - x 3, x e [ 0 ; 2 ]

R. ^ ( 1 7 3/2 -

6.

y 2 + 4x = 2 l n y d e sd e y = 1 h a sta y = 2

R. ( IO t t / 3 ) u 2

7.

x = a c o s 3 t, y = a s e n 3 t

/?. (1 2 7 ra 2/ 5 ) u 2

8.

y = e ~x , x > 0

9.

x =

/?. ( 9 8 t t / 8 1 ) u 2

R. 2 jt[V2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2

x e [-j;| ]

l)u 2

R. ;r[V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2

et se n t, y = e c eos t d esd e t = 0 hasta t = | R. 2 n y Í2 (e n - 2 ) / 5 u 2

10. y = e - *, x > 0

R. ^ [ V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2

1 1 . x = a (e o s t + ln ( t a n | ) ) ,

fi. 47r a 2 u 2

y = a se n t

1 2 . y = t a n x d e sd e ( 0 ; 0 ) h a sta ( £ ; l )

V4 '

/?. t t ( V s - V 2 + l n ^

13. E l lazo de la cu rv a 9 a y 2 = x ( 3 a - x ) 2

V

R. 3 n a 2u 2

14. x 2 + ( y - /j) 2 = a 2, 0 < a < b (toro de re v o lu c ió n ) x3

e

t1;

2

R ■(208rr/9)u2

[ 0 ; 2]

r . 8 n V 5 i ¿2

17. y 2 = 4 a x d e sd e x = 0 h a sta x = 3 a II.

R . 4 n 2a b u

1

15- y = y + 2 ¿ ‘ x e 16. y = 2 x, x

+ 2

V5 + 1

R. (5 6/ ra 2/ 3 ) u 2

H a lle el área de la su pe rficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada una de las sigu iente s cu rva s

1. x = y 3 ,

y 6 [0; 3 ]

R. — [ ( 7 3 0 ) 3^2 - l ] u

2. 6 a 2x y = x 4 + 3 a 4 desde x = a hasta x = 3 a

213

R. ( 2 0 + ln 3 ) n a 2u 2

T Ó PIC O S D E C Á L C U LO - V O LU M EN II 3 . 2 y

=

*V F ^ T + ln (*-V F ^ T ),x e[2 ;S ]

K . 7 8 U U 2

4. x 2 + 4 y 2 = 1 6 5. y - x 2 , x £ [1; 2]

6. y = x4/3, x e [1; 8] III. H a lle el área de la superficie de re v o lu c ió n fo rm ada cu a n d o la cu rv a in dica d a g ira alrededor del eje dado. 1. y = x 3/z , x G [1; 8]; alrededor de y = 1 2

V = í l + _ L ( x £ [1; 2]; a lre d e d o r de y = 1 ' ^ 3 4x

3. y = x 3, x 6 [1; 2]; alrededor de y = - 1 4. y = l n ( x - 1 ) , x G [2; 5. y = 4 + e x, x G [0; 1];

e2 +

1]; alrededor de x = 1

alrededor de y = 4

6. y = 2 x , x £ [0; 2 ]; alrededor de y = - 1

R - 1 2 V 5 ttu z

4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD) E l m om ento de m asa de un a partícula respecto a u n a recta L se define c o m o el p rod ucto de su m a sa y su d istan c ia a la recta L. A s i, si m es la m g sa de la particu y d su d istan cia a la recta L F ig. 4.60, entonces el m om ento de la p artícu la respecto a la recta L está d ad o por

Ml = m d

Fig. 4.61

A P LIC A C IO N E S D E LA IN TE G R A L DEFINIDA

•

E s conve n ie nte co n sid e ra r la partícula lo ca liza da en un p la n o de co o rd e n a d a s y determ inar el m om ento de la partícula respecto a un eje de co ord e n a d a s ( o a una recta paralela a un eje de coordenadas). E n este ca so se u sa n las d istan cia s d irigidas, a sí el m om en to será p o sitivo o ne gativo o cero, se gú n la u b ic a c ió n de la partícula; p o r ejem plo si la partícula de m asa m está en el punto ( x ; y ) F ig. 4.61 , entonces su s m o m e n to s Mx y My respecto a los ejes x e y , respectivam ente son

Mx = m y , My = m x m 1, m 2 l ..., m n

S i un sistem a de n partículas de m asa s puntos ( * ! ; y i ) , ( x 2; y 2),

están situ a d o s en lo s

respectivam ente, lo s m o m e n to s Mx y My

(x n;y n)

del sistem a de n partículas se definen co m o n

Mx =

-

™ ¡y ¡

n

My =

]jr

rriiXi

( I)

i= 1

í= l

El c e n tro d e m a s a o c e n tro de g r a v e d a d de un sistem a de p artículas es un punto

P ( x ; y ) tal que, supuesto que la m asa total m del sistem a esta concentrad a en el punto P , lo s m om en tos de P y del sistem a coinciden. S i el sistem a de m partículas de m asas m u m 2, ■■■, m n

(x \'< yi), f e ) y2).

ub icad as en los puntos

- ( x n> Vn) tienen su centro de grave d a d en el p u nto que la m asa total del sistem a es

P{x; y ) y

n

m = ^

mi

i= i entonces los m om en tos Mx y My de P están d ad os p or

Mx = m y , My = m x Luego, de ( I) se obtiene n

my

n

= m¿y; y m x = i= l

^ ¡=1

De don d e resulta

_

Z "= 1m ¿x ¡

y y_ =

x = --------------------------m m En resum e n , si Mx y My so n los m om entos de un sistem a de partículas respecto ;i los ejes x e y respectivam ente y P ( x ; y ) es el centro de grave d a d o centro de m asa del sistem a, entonces

My

Mx

* = -T m

y = -mf

(II)

donde m es la m asa del sistem a.

215

TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II

Ejem plo

40

C u atro

P3 ( 0; 5), P4 (2 ; 1 )

partículas y

su s

están

m asa s

en

son

los

puntos

P t ( — 1; — 2), P 2 (1; 3),

m 1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4

respectivam ente, determ ine el centro de gravedad del sistem a fo rm a d o p or estas cuatro partículas.

Solución Tenem os

Mx = 2 ( — 2 ) + 3 ( 3 ) + 3 ( 5 ) + 4 ( 1 ) = 2 4 My = 2 ( — 1 ) + 3 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + 4 ( 2 ) - 9 m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12

Lu e go ,

- _M y _

9

- _ M X _ 24 _

_ 3

X- ñ r~ 1 2 - 4

’

V ~ ~m ~Y 2~2

P o r tanto, el centro de grayedad está u b icad o en el punto P ( 3 / 4 ; 2 )

4.6.1 C E N T R O D E G R A V ED A D D E UNA R E G IÓ N P L A N A ó L Á M IN A E n p rim er lugar, es necesario tener en cuenta las sigu ien te s co n sid e ra cio n e s a) U n a lá m in a es llam ada hom ogénea si d o s p orcio n e s de igu a l área tienen el m ism o peso. b) L a d e n s id a d

p de una lá m in a es la m asa de una un ida d cu a d ra d a de lámina.

S i un a lá m in a es hom ogénea, entonces su d ensidad (de área) p ■es constante y si A es el área de d ic h a lám ina, entonces su m asa es m = pA c) E l centro de m a sa de un a lá m in a hom ogénea, puede p ensarse c o m o el punto de balance de la lám ina; si esta lá m in a tiene un centro geom étrico, este será tam bién el centro de m asa ó centro de gravedad. P o r ejem plo, el centro de m asa de una lá m in a circula r h o m o g é n e a es el centro del círcu lo; el centro de m asa de u n a lám in a rectangular h o m o g é n e a es el centro del rectángulo (intersección de las d ia go na le s). Se define el m om ento de un a lám in a de m asa m respecto a una recta, c o m o el m om ento de una partícula de m asa m situado en el centro de m asa de la lám ina. d) S i una lá m in a se corta en trozos, el m om ento de la lá m in a es la su m a de los m om en tos de su s partes.

Ejem plo 41 En cu en tre el centro de m a sa de una lá m in a h o m o g é n e a de d ensidad p, que tiene la fo rm a propuesta en la F ig . 4.62 (la s m ed idas están en cm .)

Solución L a lám in a está fo rm a d a p o r 3 re ctá n gu lo s y el área total de la lá m in a es igu a l a 9 3 c m 2. S i c o lo c a m o s lo s ejes de co ord e n a d a s tal c o m o se in d ic a en la figura, los centros de m asa de lo s re ctá ngulo s

Rlt R2 y R3 son: 216

U t L A 1ÍN 1 t O K A L U t , r 1 ÍN 1 U A

respectivam ente. L u e g o ,

Mx = ( 2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( 6 ) + ( 1 2 p ) /13\

= ^

p

969

My = ( 2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( S ) + ( 1 2 p ) ( 8 ) = —

p

P o r tanto, el centro de m asa ( x ; y ) de la lám ina está d ad o por 969

My -J-P x = ^ = = 5 ,2 0 9 6 7 7 4 1 9 m 93 p

_

1197

y = —- = '

Se a

F

m

un a

~2~P — 93p

= 6 ,4 3 5 48 3 87 1

lá m in a h o m o g é n e a cu ya

d ensidad

es constante

e igual

a

p.

S u p o n g a m o s que F es la re g ió n lim itada p or las gráfica s de:

y =

/(*),

y = a(x),

x = a,

donde f y g so n fu n c io n e s co n tinu a s en

y [a ; b ]

x = b y

/ ( x ) > g ( x ) , V x G [a;fr]

(F ig. 4 .63 ) Se a

P = { x 1, x 2, ■■■,xn}

u na partición de

[ a;b]

y

c¡

es el p u nto m e d io de

[x¿_ x; x¡] , entonces se tiene que:

m = p [ / ( c , ) - 5 ( c ¡) ] A ¡x , i = 1 ,2 ,...... n ( A ix = x¡ - x ^ ) es la m asa del i-é sim o rectángulo som bread o en la fig ura 4.63

217

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

lil centro de grave d a d del i-é sim o rectángulo se encuentra en el punto

(

f ( c¡) + g (c¡)>

[ Ci)

2

Su stitu ye n d o cada rectángulo p o r un punto m aterial y lo ca liza n d o la m a sa de cada rectángulo en su centro de grave dad se obtiene que lo s m o m e n to s de m a sa de lo s n rectángulos, d eterm inados p o r la partición, respecto a lo s ejes x e y son: /l

lí

Mr

Z

™ ¡y ¡ =

/ (c ¡) + g ( a ) p [/ (c ¡) - 5 (c ¡)]

A jX

M,

L u e go , el centro de grave dad

(x ; y )

estará aproxim ad am ente en el centro de

gravedad de lo s re ctá n gu lo s d eterm inados p or la partición, es decir:

My _ P'Z’j =iCi [ f ( c i) - g j c ^ A j X x

m Mx

y X m ~

p E H iE / ( c¡) -

S(c¡)]A¡*

I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^ p lU lfic d -g ic ^ x

P asan d o al lím ite cu a n d o

||P|| -» 0, se obtiene que las co ord e n a d a s

(x ;y )

del

centro de grave d a d de la lám ina F están d adas por

Ja * [ /( * ) - g ( x ) ] d x

^

_

^ J q {[/(* )]2 - to (* )]2}

£[fto-g(x)]dx

A

y

tf\f(.x)-g(x)]dx

C o m o se observa, las co ord e n a d a s del centro de m asa de la lá m in a h o m o g é n e a no dependen de s u d en sid a d

p, s ó lo depende de su form a. U su a lm e n te el centro de

m asa de u na lá m in a se d e n o m in a ce n tro de g rav ed ad o cen tro id e, re se rva nd o el térm ino centro de m asa p ara un sólid o.

Observación 1S a) Si la región p l an a F es simétrica con respecto a la recta x = x 0 , entonces x = X0 b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y 0 , entonces

y = yo

218

A P LIC A C IO N E S D E L A IN TE G R A L D EFIN ID A

Observación 16 Si la región pl ana F esta limitado por las gráficas de: x = f(y ), x = g(y), y = c, y = d donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , V y g [ c ;d ] l'ig. 4. 64, las coordenadas del centro de grav ed ad (x ; y ) de la región F son

_ _ 2/cd{[/(y)32-[g(y)]2}dy

~ -= C y t f W

/,d [ / ( y ) - g ( y ) ] d y

- 9(y)]dy

C ifX y ) -g (y )\d y

E je m p lo 42 Encuentre el centroide de la re gió n acotada p o r las cu rv a s y = x 3 , y = 4 x en el p rim er cuadrante. , S o lu c ió n E l área y los m om en tos con respecto a los ejes x e y de la re gió n son

A( R) =

í ( 4 x - x 3) d x = 4 Jo

_2

2

My = i x [ f ( x ) - g ( x ) ] d x = í x ( 4 x - x 3) d x = ^ Jo 15 Mx = z 2 ¡ 0 My 64/15 x = — = --------m _ Lue go ,

“ Í9 ( x ) ] 2} d x = ^ J

Mx

256/21

m

„ , /16 6 4 \ l’o r tanto, el ce n troid e es P \ — : — V15 21/

219

( 1 6 x 2 - x ü) d x =

256 J T

TÓ PIC O S D E C Á LC U LO - V O LU M EN II

E je m p lo 4 3

H a lle el centro de gravedad de la re gió n lim ita da p o r las ciirvas

x 2 - 8 y = 0 , x 2 + 1 6 y = 24 S o lu c ió n C o m o la re gió n F (F ig. 4 .6 6 ) es sim étrica respecto al eje y, se sabe que x = 0 E l área de la re g ió n y el m om ento con respecto al eje x so n

A

■

a

dx = 4V 2

16

16V2

24- x ■ r ' d

dx =

16~

/ 4\ _ P o r tanto, el ce n tro de g rave d a d es ^0; - J p o rq u e

E je m p lo 4 4

En cu en tre

el

centroide

de

la re gió n

Mx

4

_ A

lim ita da

p or

las

c u rva s

x = 2y - y 2 , x = 0 S o lu c ió n C o m o el centro de m asa está situ ado en el eje de sim e tría y = 1 (F ig . 4.67), entonces y = 1. A p lic a n d o las fó rm u la s d ad as en la o b se rva ció n 16 se obtiene

i l o ( 2y - y 2) 2d y _ f g ( 2 y - y 2) d y Luego, el ce n tro id e es P

;

e /is _ 2 4 /3

5

1j 220

A P LIC A C IO N E S D E L A IN TE G R A L D EFIN ID A

(CJemplo 45

D e te rm in e el centroide de la re g ió n p la na lim itada p o r las cu rva s

y = / ( * ) . y = - x 2 , x = - 1 , x = 2, donde f (x) = í 1 ~ x’

n )

x ^ °

l x 2 + 1,

x > 0

S o lu c ió n L a re gió n se ilustra en la F ig . 4.68. D iv id ie n d o la re g ió n en d o s partes se obtiene

A =

11

í ( í - x + x 2) d x + f ( x 2 + 1 + . J- 1 J0

22

55

16 = 2/

K 1 “ * ) 2 “ x *]d x +

f° M, -

J-i

+ ! ) 2 “ x *~id x

r2 x ( l - x + x 2) d x +

_ 107/12 ,uego, x ■, 55/6

_

71/15

'

55/6

J0

1 1 _ 71

1 5 + ~3~ — 15 13

107

x ( x 2 + 1 + x 2)d x = ------ + 1 0 = 12

^

,

~12

/107

142\

V110

275/

y = -=— r , de d o n d e el ce n tro id e es P ----- ; ------ )

Fig. 4.68

E je m p lo 4 6

H a lle el centro de gravedad de la re gió n infinita, en el p rim er

cuadrante, co m p re n d id o entre la cu rva y = x e~ x y el eje x. S o lu c ió n L a re gió n se ilustra en la F ig . 4.69. Lu e go , se tiene " +CO

A

J o

x e~x d x =

lim [ - x e~ x - e~ x]o = 1 t-*+0°

221

T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II /* +00 i-to

My =

I

Jo

/■ r ++ »00 xf(x)dx = I x 2e ~ xd x Jo

= lim [-x 2e * —2xe * —2e *]£ = 2 t->+°0

M x=- J i

‘X

r +”

[ x2e ~ 2 x - Q ] d . x

Jo

1 r 1 1 1 i* 1 = - lim — - x 2e 2x —- x e ~ 2x —- e ~ 2x¡ = 2 t-.+ « L 2 2 4 J0 8

Luego,

My

_

MX

1

* =T =2. y=T =8

P o r tanto, el ce ntro de grav e d a d de la re g ió n es P ^2;

T eo rem a (T eo rem a de Papp u s p a ra volúmenes) S i un só lid o S es obtenido al hacer rotar una re gió n p la na F (F ig . 4 .70 ) en torno de una recta del m is m o plano, que n o sea secante a la re g ió n F, entonces el v o lu m e n de S es igua l al.área de la re gió n F m ultip licado p or 2 n r , sie n d o r la d istancia del centro de g rave d a d de la re gió n F al eje de rotación, esto es,

V = 2 nr . A donde A es el área de F.

A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A

Ejem plo 4 7 S

Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la

a

a P ° rla P a r á b 0 ,a y = * 2 y ,a r e C ía y = * + - 2

en tom o a esta

Solución Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4 .7 1 ) se tiene

A ( F) = í ( x + 2 - x z) d x = J-1 2 My = í

x ( x + 2 - x 2) d x = -

•'-i

Mx = \ í

4

[ ( x + 2 y - x 4] d x = — 5

¿ J -i

P o r tanto, el centroide ( x ; y ) de la re gió n tiene las co orde n a da s

A ~2

‘ y _ T " 5

C a lcu la n d o la d ista n c ia r del p u n to C ^

a

la recta y = * + 2 se tiene

r = ^ ~ y + 2 l = l l ~ l + 2| _ 9V2 Vi +1 V2 20 Lu e go , p o r el teorem a de Pap p us, el vo lu m en del só lid o S es

V = 2 u r. A = 2 n

Q

=

«3

Y' i.

l\ 1

f ¡ \

F

Vv.7, \\ \ \v 1 .

i i i

L

%

/1 / Y

1 1

/ /

y (V s '

"x ►(-! ;0)

r TÓ PIC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II

Ejem plo 48 L a re gió n lim itada p or las gráficas de y = x 2, y = 5 g ira alrededor de una recta o b lic u a que pasa p o r el punto

¿4(1; 0 ). H a lle la e cu a ción de d ic h a

recta, si el v o lu m e n del só lid o generado es igual a 4 0 V 5 t t u 3

Solución L a gráfica de la re g ió n se m uestra en la fig. 4.72. E n p rim e r lu ga r d ete rm in are m os el centroide de la re g ió n F. C o m o el centro de m asa está situado en el eje de sim etría (eje y), entonces x = 0. P o r otro lado, la orde nad a del centroide de la re gió n es

- _ M* _

A

~ x ^ dx _

20v^

/ ^ r ( 5 - x 2) d x

20V5/3

L u e go , el centro de grave dad es ( x ; y ) = (0 ; 3 ) 20V5 C o n sid e ra n d o q u e el área de la re g ió n F es A = — - — , se tiene

V = 40V57t = 2nr

=* r -

3

Finalm ente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que p asa p o r el punto A(l-, 0 ), entonces su e cu a ción es

y - 0 = m ( x - 1) ó

mx - y - m = 0

P uesto que, r — 3 es la d istancia del punto (x; y ) = (0 ; 3 ) a la recta L, entonces

3 —

\m x-y -m \ .

| -3 -m |

>—»* 3 —

Vm 2 + 1

.

Vm 2 + 1

9 ( m 2 + 1 ) = 9 + 6 m + m 2 m ( 4 m — 3 ) = 3

0 , so n lo s vértices de un triángulo.

C a lc u le el v o lu m e n del s ó lid o obtenido p or la rotación en torno a la recta

y = x - a, de la re g ió n lim ita d a p o r el triá n g u lo ABC. 3.

S e a R la re g ió n del p la n o lim itado p o r la p aráb ola

5 V 2 7 ra 3

R. ----------24

y = x2 - 1

y la recta

y = x — 1 . D e te rm in e el v o lu m e n del só lid o obtenido p or la rotación de la

re g ió n R a lre d e d o r de la recta y = x ~ 1.

7rV2

R. -----60

4. L a re gió n lim itada p o r las gráfica s de y 2 = 2 0 x , x 2 - 2 0 y

g ira alred edor de

la recta 3x + 4 y + 1 2 = 0. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o generado.

R. 4000tt 227

TÓ PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II

5,

L a región lim itada p o r las gráfica s de y = x 2 , y = 5

g ira alred edor de una

recta o b lic u a que p asa p o r el punto ( - 1 ; 0 ). H a lle la e cu a ció n de la recta si el v o lu m e n ge n e rad o es igu a l a ( 4 0 V 5

IV . E l centro de grave dad

(x ;y )

n )u 3

R. 3 x + 4 y + 3 = 0

del arco de una cu rv a (h o m o gé n e a ), cu y a

e cuación es y = f ( x ) c o n x 6 [a; b] , donde / es u n a fu n c ió n c o n d eriva d a co n tin u a en [a; b ] , está dado por

_

f c x ji + if'ixw dx j ^ i + [f(x)Y dx

f / w

' y

y i + i / 'M P d *

j ab y i + [ f ' ( x ) ) 2 d x

U s a n d o estas fórm ulas, determ ine el centro de grave d a d de las cu rva s c u y a s ecuacion e s so n 1.

,-----------y = V a 2 - x2

2.

y = a c o sh -,

/

R.

x

(

x £ [-a ;a ] a' 1 ' J

R■ (0 ;

22 a —

a (e 4 + 4 e 2 -

V '

4 e (e2 /

3.

x = a ( t - s e n t ) , y = a ( l - e o s t ) , t e [0;27r]

4.

r Til x = a c o s 3 t , y = a s e n 3t , t e [ 0 ; - j

228

'4 a \

R. (?ra ;/2a

R.

3 /

2a\

1)

A PLIC A C IO N E S DE LA IN TEG R A L D EFIN ID A

4.7 A PL IC A C IO N E S DE LA IN T E G R A L EN LO S N E G O C IO S 4.7.1 E X C E D E N T E D E L C O N S U M I D O R ( on sid e re m o s la fu n c ió n d em an da p = f ( q )

de un determ inado artículo, donde

1/ representa la cantidad de artículos que se d em andan al p recio u nitario p. L a l’i áfica de esta fu n c ió n es la cu rva de dem anda. Si el p recio en el m ercado del artículo en m en ció n es cantidad d em a n d a d a es

p0

y la correspondiente

q0, entonces los c o n su m id o re s que estu vie se n en

c o n d icio n e s de p agar p or el artículo un precio m a yo r que p 0 ganan, p o r el sim p le hecho de que el p recio en el m ercado es menor. Majo ciertas h ipó te sis e conóm icas, la ga n a n cia total del c o n su m id o r se representa por el área bajo la cu rva de dem anda y sobre la recta p = p 0 (F ig. 4.73). A esta arca se le d e n o m in a e xce d ente del c o n s u m id o r ( E C ) y está dado por

/ fQo

\

/ rqn

V -'O

/

V -'O

/

IJna fo rm a alternativa de calcular el excedente del c o n su m id o r es

(u. m. s ig n ific a u n ida d es m onetarias)

p = /(?) ? =

Q Fig. 4.73

229

TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II

4.7.2 E X C E D E N T E D E L P R O D U C T O R C o n sid e re m o s la fu n c ió n oferta p = f ( q )

de un determ inado artículo, d o n d e

q

es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. L a grá fica de esta fu n c ió n es la c u rv a de oferta. S i el p re cio en el m ercado del artículo en m e n ció n es

p 0 y la correspondiente

cantidad ofertada es q0, entonces lo s productores que estu vie se n en c o n d ic io n e s de vender el artículo a u n p recio m enor, ganan, p o r el sim p le he ch o de que el p recio en el m ercado es m ayor. B a jo ciertas h ip ó te sis económ icas, la ga n a n cia total del p rod u ctor se representa p or el área sobre la cu rva de oferta y bajo la recta p = p 0 (F ig . 4.74). A esta área se d e n o m in a e xce d en te d e l p r o d u c t o r ( E P ) y está dado, p or

Ep = ( f

[ P o - f ( ‘})]d q Sj u . m . = ^p0q0 - J

U n a fo rm a alternativa de excedente del productor es

EP = ( í

f (q )d q ju .m .

'

9 (.P)dp^u.m., d o n d e g = / -1 y P i = / (O )

A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A

’

l' Jt'iiip lo 4 9 S i la fu n ció n d em anda es p = 9 - a 2 v o - 5 H a llp m ^ ) ili'l con sum idor. q > Po “ H a lle el c x c cdcnie

Sol u ció n I .i región se m uestra en la fig ura 4.75. C o n la ayu da de ¡a figura se obtiene

f

EC =

\(9 — q 2) — 5 jcJ 0

y

0 < 0 < 2 tt

(1)

b) Cuando no se considera la restricción (!) a un punto dado, infinitos pares de coordenadas polares

se puede asociai-

(r; 9). Si las coordenadas polares

P son (r; 0), también son coordenadas de P los pares:

((-l)nr ;

9 + nn) , n

62

(2)

Por ejemplo, ctl punto C ( 2; u) se puede asociar las coordenadas pola) es

(-2; 2rr) , (2; 3tt), (2; -7r), (2; 5rr), (-2;

6tt), ..., etc.

de

C O O R D EN A D AS PO LARES

5.2

R E L A C IÓ N

ENTRE

LAS

COODENADAS

PO LARES

Y

LAS

CO O RDENADAS RECTANGULARES C o n sid e re m o s el sistem a de coordenadas rectangulares x O y , co n

Öx = OA , donde

OA es el eje p olar (F ig. 5.3). Si

P

es

co orde na da s

un

punto

del

rectangulares y

p la n o

cuyas

p olares

son

O ; y ) y ( r ; 0 ) respectivam ente, el cam bio de coorde n adas rectangulares a coordenadas polares se relaciones:

efectúa

co n sid e ra n d o

x = r cos 9 y = r se n 9

las

^

Inversam ente, el ca m b io de coordenadas cartesianas a co orde n a da s p olares se efectúa a través de las relaciones

r2 = x2+ y 2 y ta n 8 = —

ó

r = ±/x2+ y2 y

ó

9 = a rc ta n —

E je m p lo 2

n) H alle ¡as c o o rd e n a d a s re cta n gu la re s dei p u nto P b) H a lle las co orde na da s polares del punto P ( - v ' 3; - 1 ) . S o lu c ió n a) r = 4 , 6 = - = * x = 4 e o s ^ , y = 4 s e n ^ = » P ( 2 v 3 ; 2). b) x = - V 3 , y = - 1 tan 6 = —

=> r = ±2

(3 e r cu a d ra n te ) => 8 — — ==> p Í 2 - — 'j

6

V ’ 6/

E je m p lo 3. E n (a) y (b) halle la ecuación p olar de la cu rva dada y en (c) y (d) halle la ecu a ción cartesiana de la curva. a) x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 (circunferencia) b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x z - y 2) ,

a > 0 (lem niscata de B e rn o u lli)

2 39

TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

c) r •- 4 s e n 0 (circunferencia) d) r =

2

---------(e lipse ) 2 - eos 8

S o lu c ió n a) x 2

+ y 2 = a 2 =3^r2 = a 2 =» r = ± a

L a e cu a ción polar de una circunferencia de radio a (a > 0 ) y centro en el origen es r = a

ó r = -a.

b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2) => r 4 = a 2( r 2 c o s 2& - r 2 s e n 2 0 ) => r 2 = a 2 c o s 22 0

c) r = 4 sen 0 => r = 4 - =» r 2 = 4y => x 2 + y 2 = 4y '

r x 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 (circunferencia de centro (0; 2

d )r = 2

^

„

2 é

3 r = j

n

¿

2 ) y radio 2)

2

= ,1 = 2 F ^ Í

r

=> 2 r - x = 2 => 4 r 2 = (2 + x ) 2 =* 4 ( x 2 + y 2) = (2 + x ) 2 => 3 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 4 = 0

(elipse)

5.3 D I S T A N C I A E N T R E D O S P U N T O S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S La

distancia

entre

los

puntos

¿ f a ; 0 X) y f í ( r 2; 0 2) está dada por

d = J r j 2 + r 2 - 2 r t r 2 e os ( 0 2 - 0 ^ L a d em ostra ción se realiza u sa n d o la ley de los co se n o s en el trián gu lo AOB (F ig. 5.4). P or ejem plo,

la d istancia entre

puntos A ( —3; 7 n / 1 2 )

los

y ( 5 ( 5 ; ír / 4 )

es

d =

I 7T 19 + 2 5 + 3 0 e o s - = 7

Fig. 5.4

CO O RD EN A D A S P O LA R ES

5.4 E C U A C IÓ N P O L A R D E UNA R E C T A I.

Se a L una recta que no pasa p or el origen. S i

N( p; w ) es el par p rin cip a l de

co ord e n a d a s p olares del pie de la perpendicular trazada del p o lo a la recta L y

P(r; 8 ) es un punto de la recta L (F ig.5 5), la ecua ción p olar de la recta es r co s(0 —

II.

oj )

= p

(5 )

S i la recta L pasa p or el orige n (Fig. 5.6), su e cuación p olar es

8 = a , a co n stante Observación 2 i)

Si la recta es perpendicular al eje pol ar y está a p unidades del polo, la ecuación (5) se transforma en r = eos 8 = ± p , p > 0

(6 )

El signo de p es positivo si la recta está a la derecha del polo, y es negativo si está a la izquierda. i i)

Si la recta es paralela al eje pol ar y está a p unidades del polo, la ecuación (5) se transforma en r se n 8 = ± p , p > 0

(7 )

El signo de p es positivo si la recta está p o r encima del eje polar, y es negativo si está p o r debajo del eje polar. iii)

La ecuación pol ar r e o s ( 8 - ùj) = p (cartesiana) normal de la recta x eos

iv)

cü +

es equivalente a la ecuación

y se n o) = p

Una ecuación p ol ar de la recta que p as a p o r los puntos A f a ; 8 X) y B (r2>s 2) es rxr s e n ( 0 ! - 9 ) + r 2r s e n ( 0 - 0 2) = r i r 2 s e n ( 0 ! - 0 2) 241

(8 )

TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

Kjcinplo 4 a) H a lle la ecu ación de la recta perpendicular al eje p o la r que pasa p o r el punto i4(6; 2 n / 3 ) . b) H a lle la ecuación de la recta paralela al eje p olar que pasa p o r el punto

B( 2 V 2 ; ff/4). c)

H a lle la ecua ción p o la r de la recta cuya e cuación cartesiana es 3 V 3 x 4- 3 y 4- 2 4 = 0

d) H a lle un a e cu a ción en co orde n adas polares de la recta que pasa p or los puntos / i( 4 ; 2 7 r / 3 ) y B ( 2 V 2 ; tt/ 4 ) S o lu c ió n a) E n la Fig. 5.7 se ob se rva

p = 6 co s(2 7 r/ 3 ) = - 3 Luego,

la e cu a ción

p olar

de

la

recta L es r e os 9 = - 3 b) p = 2 V 2 c o s ( 7 i/ 4 ) = 2. L u e go , la e cuación p o la r de la recta es r sen 0 = 2 c) C o n sid e ra n d o la e qu ivalen cia de la e cuación p o la r co n ia ecu ación norm al, es necesario transform ar la ecu ación dada en su fo rm a norm al. P o r geom etría analítica, se sabe que si la ecu ación cartesiana de u n a recta es de la form a

Ax 4- B y 4- C= 0 , C * 0 la e cu a ción

n orm a l se obtiene

(*)

____________________

d iv id ie n d o ( * ) entre

+^¡A2 4- B 2 , donde el

sig n o del radical es opuesto al sig n o de C. E n nuestro caso, se tiene A = 3>/3 ,

B = 3 y C = 4-24. P o r tanto, d iv id im o s entre

-J (3 V 3 )2 + 32 = - 6

y la

ecuación n orm a l de la recta es: V3 1 ------- x — y = 4 2 2 D e esta e cu a ción se deduce que c o so ) = - V 3 / 2 , s e n (o = - 1 / 2

y p = 4.

D e los va lo re s del se no y del co se n o se co n clu ye que o) está en el tercer cuadrante y a) = 7 n / 6 . P o r tanto, la e cuación p o la r de la recta es r c o s ( 0 — 77t / 6 ) = 4 d) L a e cu a ción

p olar de la recta que pasa por lo s p u ntos

B ( 2 V 2 ; ír/ 4 ), usand o la fó rm u la (8), está dada por

4 r se n ( y - d'j +

2

V2 r sen

(0

-

=

8

V2 s e n ^ |

yl(4 ;2 7r/3 )

y

CO O RD EN A D A S P O LA R ES

5.5 E C U A C I Ó N P O L A R D E U N A C I R C U N F E R E N C I A L a e cu a ción p o la r de una circunferencia de centro C(p; a ) y rad io a, a > 0, es

r 2 + p 2 — 2 rp cos(9 —a ) = a 2

(9 )

E n la Fig. 5.8 se ob se rva que si P(r; 8) es un punto de la circunferencia, a plican d o la ley de los co se n o s en el triángulo OCP, se obtiene la e cuación

(9). Observación 3 i) Si la circunferencia p a s a p o r el polo y su centro está en el eje p ol ar (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a r = 2p c o s 0

( 10)

El centro de esta circunferencia es C(p; 0 ) y su radio es |p|. ii) Si la circunferencia p a s a p o r el polo y su centro está en el eje n / 2 (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a ( 11)

r = 2p sen 9

El centro de esta circunferencia es C(p; n / 2 ) y su radio es \p\. iii) Si el centro es el pol o (p = 0 ) , la ecuación (9) se reduce a ( 12)

r = ±a

E je m p lo 5. H a lle la ecu a ción p o la r de la circunferencia tal que: b) Su centro es C ( - 5; n / 2 ) y su radio es 5

a) Su centro es el p olo y su radio es 4

c) Su centro es C (3 ; 0 ) y su radio es 3d) Su centro .es

C (3; 7r /6 ) y su radio es

S o lu c ió n U sa n d o convenientem ente las fó rm ulas dadas en (9), (10), ( 11 ) ó (1 2 ) se tiene a) L a e cuación de la circun fe re ncia es r = 4 o r = — 4. b) L a e cuación de la circun fe re ncia es r

= 6cos0.

c) L a e cuación de la circun fe re ncia es

r = — 1 0 s e n 9.

d) L a e cuación de la circu n fe re n cia es

r 2 - 6 r c o s ( 0 - n / 6 ) = 55.

243

8

TÓ PICO S DE CÁ LCU LO - V O LU M EN II

5. - r = 4 e o s 8 + 2 (varía). S i n es im p ar => r = 2 - 4 e os 8 (varía). L u e g o , la cu rv a no es sim é trica porque la ecua ción va ría para todo n G TL. iii) R e sp e cto al polo. A l reem p lazar (r; 8) que - ( - l ) n = 4 c o s ( 0 + n n ) + 2.

p or ( - ( - l ) n r; 8 + n n ) , se tiene

S i n es p ar => - r = 4 e o s 8 + 2 (varía) S i n es im p ar => r = 2 - 4 e o s 8 (varía) L a cu rva n o es sim étrica co n respecto al polo. L a grá fica del caracol r = 4 e o s 8 + 2 se m uestra en la figura 5.10. b) i)

R e spe cto al eje polar. Para (r; 2 n - 8) , se tiene

n = 2, es decir, re e m p lazand o (r ; 8 ) por

P o r tanto, la c u rv a es sim é trica con respecto al eje polar. ii) R e sp e cto al eje n / 2 . ( — r; 2 n — 8) , se tiene

P ara

n = 2, es decir, reem p lazand o (r ; 8 ) por

P o r tanto, la cu rva es sim é trica con respecto al eje n / 2 . iii) R e spe cto al polo. L a ecu a ción no va ría al reem plazar (r; 8 ) p o r ( — r; 8) (para n = 0). L u e g o , la cu rva es sim étrica respecto al p o lo y su g rá fica se m uestra en la Fig. 5 . 1 1.

245

TÓ PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II

c) i:i cardioide

r = 3 ( l + co s0 )

es sim étrico con respecto al eje polar. N o es

sim étrico respecto al eje n / 2 ni respecto al p olo (verificar). I,a gráfica del cardioide r = 3 ( l + c o s 0 ) se m uestra en la F ig. 5.12.

110“\

‘

.

✓ S/

*"*

N A V " i /V ^ s ; i . . r* l K ■*"...I i ' j J

\

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y -s

__

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\ x

1 * \

— *^\ cosO +2

240°

i V \ / jk / i

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X \^ *

7

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'> & .

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s¡§-

3 N gQ a

\ / \ A

/ \

r = 3 (l + c o s 0 )

E je m p lo 7. D isc u tir y grafica r la e cuación r — 4 e os 9 + 2 (caracol). S o lu c ió n P o r la p e rio d ic id a d del coseno, es suficiente co nsid e ra r 8 6 [0; 2n]. I.

In te rs e c c io n e s

a) C o n el eje polar. R e e m p la z a m o s 9 = n n en la ecuación y se tiene r = 4 c o s ( n 7 r ) + 2. S i n es par => r = 6 => (6; 0 ) S i n es im p a r => r = — 2 => ( - 2 ; n ) b) C o n el eje n / 2 . R e e m p la z a m o s 9 = (tt/2 + n n ) en la e cu a ción y ob tenem os r = 4

c o s (7t / 2

+ nn) + 2

S i n es par => r = 2 => (2 ; n / 2 ) S i n es im p a r => r — 2 => (2 ; 3 n / 2 )

246

COORDENADAS POLARES

c)

C o n el polo. H a c ie n d o r = 0 en la ecuación, se obtiene

0 = 4 eos 6 + 2 ó

eos 9 = — 1 /2 . L u e go , 8 = 2 n / 3 V 9 = 4 n / 3 . L a cu rv a pasa p o r el polo. II. S im e t ría s. E n el ejem plo 6 h em os visto que este caracol es sim é trico solam ente respecto al eje polar. III. E x t e n sió n , fl £ M A - 2 < r < 6, IV . T a b u la c ió n

9

0

n/6

r

6

5,5

7T/4 4,8

n/3 4

n/2 2

2n/3

3n/4

Sn/6

7T

0

-0 ,8

-1 ,5

—2

V. T r a z a d o de la g rá fic a . L a gráfica se m uestra en la fig u ra 5.10.

E j e m p lo 8. D isc u tir y g ra fica r la e cuación r 2 = 9 S o lu c ió n

se" © + 1

P roce de m o s de m anera sim ila r a lo realizado en el ejem plo anterior. I.

In te rs e c c io n e s

a) C o n el eje polar. 9 = n n => r 2 = 9 [s e n (n 7 r/ 2 ) + 1], S i n = 0 => ( 3 ; 0 ) y ( — 3; 0). . S i n = 1 => (4,2; 7r) y ( — 4,2; 7r). S i n = — 1 => (0 ; — 7r).

b) C on el eje

7T

71

¿

6 = - + nn ¿t

( \ + nn\ se n

—

+1

S i n = 0 => (3,9; n / 2 ) y ( - 3 , 9 ; tt/2). S i n = 2 => (1 ,6 ; S n / 2 ) y ( - 1 , 6 ; S n/ 2 ) . c) C o n el polo, r = 0 => 9 = 3 n , 9 = 7n. II. S im e t ría s . L a c u rv a es sim étrica con respecto al eje polar, al eje n / 2 y al orige n (v e r ejem plo 6). III. E x t e n sió n . 9 £ K IV . T a b u la c ió n es 47r)

y - 3 V 2 < r < 3V2.

(E je rc ic io para el lector. C o n sid e ra r que el perío d o de la fu n c ió n

V. T r a z a d o de la g rá fic a . L a gráfica se m uestra en la fig u ra 5.11.

247

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

E je m p lo 9. T ra ce la gráfica de r = 1 — [2 s e n 2 0 ] , 0 e [0; n]. S o lu c ió n D iv id im o s convenientem ente el intervalo [0; 7r] de m o d o que |[2 s e n 2 0 ] tom e un solo va lo r entero en el su bin te rvalo considerado. Si 0 £ [0; 7T/12) => 0 < 2 se n 2 0 < 1 => |2 sen 2 0 ] = 0 => r = 1. Si 0 e [tt/12; 7t/4) => 1 < 2 se n 2 0 < 2 => [2 sen 2 0 ] = 1 => r = 0. Si 0 =

t i/ 4

= ^ 2 se n 2 0 = 2 => [2 se n 2 0 ] = 2 =* r = - 1 .

Si 0 G 1 < 2 se n 2 0 < 2 => 12 se n 2 0 ] = 1 => r = 0. Si 0 6 r = 1.

Si 0 e ( j t / 2 ; 7tt/12] =* - 1 < 2 se n 2 0 < 0 => \2 se n 2 0 ] = - 1 Si 0

6

- 2 <

2 se n 20

<

Si 0 e [1171/12; 7r> => - 1 < 2 se n 2 0 < 0 =>

-1

=»

=> r = 2.

[2 se n 2 0 ]

=

12 se n 2 0 ] = - 1 =» r =

S i 0 = 7r => 2 se n 2 0 =

0 => [2 se n 2 0 ] = 0 => r = 1.

L a gráfica se m uestra en

la Fig. 5.13.

-2 2.

5.7 I N T E R S E C C I Ó N D E C U R V A S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S P r o p o s ic ió n 1. S i

r = / ( 0 ) es la ecu a ción de una cu rv a en co ord e n a d a s polares,

entonces ( - l ) n r = / ( 0 + 7i7r) , n £ Z

(1 3 )

es tam bién la ecu a ción de d ich a curva.

C o n sid e ra n d o esta p ro p o sició n , para hallar la intersección de d o s cu rva s cu y a s ecuaciones en co ord e n a d a s p olare s son

r = f ( 6 ) y r = g(8) se sig u e n lo s sigu ien te s pasos: 1. Se obtienen todas las ecu acion e s distintas de las d o s c u rv a s a p lic a n d o (1 3 ) a cada u n a de ellas. r = f ( 9 ) , r = A ( 0 ) , r = f 2( 9 ) , ... r = g(9) , r

= g^G) , r =

g 2( 8 ) , ...

2. Se resuelven, para r y para 9, las e cu acion e s sim ultáneas

r=m r = g(9)

'

fr = /i(0)

[ r = f(6)

lr = ^ ( 0 )

’ [r = 5 l (0 )

248

’

e iC '

=> r =

L O Ü K U tN A D A S P O L A R E S

3. Se ve rific a si el p o lo es un punto de intersección h acie n do

r = 0

en cada

e cuación para determ inar si existe so lu c ió n para 0 (no necesariam ente la so lu c ió n será la m ism a). I

ara tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de d o s curvas,

se sugiere trazar sus gráfica s previam ente de m o d o que se sim p lifiq u e el trabajo. E je m p lo 10. H a lle las diferentes ecuaciones de las cu rva s b) r = 2 + s e n 0

a) r = 2 + e os 2 0 S o lu c ió n

a) A p lic a n d o (13), las ecuaciones de r = 2 + e os 20 están dadas p or ( - 1 ) nr = 2 + eos 2 (0 + n n ) , n E l S i n es par = * r = 2 + e os 29 . S i n es im p ar = > - r = 2 + e o s 29. Lu e go , las diferentes e cuaciones de la cu rva son: r = 2 + e o s 29

y

r = - 2 - e os 2 0

b) D e m anera sim ilar, las e cuaciones de r = 2 + s e n

0 están dadas por

( - l ) n r = 2 + s e n ( 0 + n n ) , n E TL

n es par => r = 2 + s e n 0. S i n es im par = > - r

Si

= 2 - s e n 0.

L u e go , las diferentes ecu acione s de la cu rva son: r = 2 + se n0

E je m p lo 11.

y

r = - 2 + se n0

H a lle lo s p untos de intersección de las c u rva s c u y a s e cu a cio n e s en

coorde nadas p olares so n V 2 r = 3

y

r 2 = - 9 eos 20.

S o lu c ió n L a s gráfica s de estas cu rv a s se m uestran en la Fig. 5.14. C o n sid e ra n d o las sim etrías de estas cu rva s (respecto al eje polar, al eje n / 2 hallar un punto de intersección. Al

re solve r ♦

sim ultáneam ente sus i

i—

.

= — 9 eos 2 0 = > c o s 2 0

—

—

— , i

ecuaciones, se obtiene 9 2

—

y al p olo), es suficiente

'

-

7 C O S (Z t

T 1 = — 2

Jlr = l

L u e go , lo s puntos de intersección son:

Fig. 5.14

249

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II K je in p lo 12. H a lle los puntos de intersección de las cu rva s r = 2 e os 0 y r = 2 s e n 6 S o lu c ió n Las

gráfica s

de

estas

curvas

(circu n fe re ncias) se m uestran en la figura 5.15. E s evidente que el p o lo es un punto de la intersección (en r = 2 eos 6 G = 7r/2 => r = 0; en r = 2 se n G Q - o => r = 0). No

es

necesario

hallar

las

para para

diferentes

ecuaciones de las d o s curvas, y a que al re solve r sim ultáneam ente sus ecuaciones se obtiene 2 e os 6 = 2 s e n 6 => ta n 6 = 1

=> Q = — 4

L u e go , los p untos de intersección so n P ( V 2; 7r/4) y el p olo .

E je m p lo 13. H a lle los puntos de intersección de las cu rva s r = 4 ( 1 + s e n 6)

y

r ( 1 - s e n 6) = 3

S o lu c ió n L a s gráfica s de r = 4 ( 1 + s e n 6 ) (card ioid e) y r ( 1 - s e n 0 ) = 3 (p ará bo la ) se m uestran en la F ig. 5.16. Se ob se rva que el p o lo no pertenece a la intersección. N o es necesario h allar las otras ecuaciones de estas curvas, pues al re solve r sim ultáneam ente su s ecuaciones se obtienen los cuatro p u ntos que se ob se rva n en el gráfico. E n efecto, 4 ( 1 + s e n 6) = 3 / ( 1 - s e n 6) ^ 4 e o s 26 = 3 => e o s 6 = ± V 3 / 2

Sn T

llr c

7n ’ e - e

’ d

~6~

Lu e go , los p u ntos de intersección son 4 ( 6 ; 7r/6) , 6 ( 6 ; 5 n / 6 ) ,

C(2 ;7 tt/ 6 ) y D (2 ; ll7 r / 6 )

Fig. 5.16

25 0

CO O RDENADAS POLARES

5.8 D E R I V A D A S PO LARES

Y

RECTAS

TANGENTES

EN

CO ORDENADAS

Se a r — f ( 0 ) la ecuación de una curva. D e las fó rm u la s

(x = f ( 9 ) eos 9 x = r e o s 9 A y = r s e n 6 se obtienen P (y = / (0 )se n 0

que so n las ecu acion e s param étricas con parám etro 0, de donde

dy d y _ ¿e_

d y _ f ' { 9 ) sen 8 + / ( 0 ) eos 9

dx

dx

dx^' dG

/ '( 0 ) e os 9 — / ( 0 ) s e n 9

(1 4 )

C o m o sabem os, esta d eriva d a es la pendiente de la recta tangente a la c u rv a en el punto ( x ; y ) , es decir,

dy — = ta n a dx

(1 5 )

donde a es el á n g u lo de in clin a ció n de la recta tangente a la curva. Se a P ( r \ 9 ) el punto de tan gencia y /? el á n g u lo que form a el rad io vector O P y la recta tangente. E x a m in a re m o s los siguientes casos:

E n el ca so (a):

a = 9 + p => p = a — 9

E n el ca so (b):

p = a + n - 9 => p = n + ( a - 9 ) , de donde: ta n p = ta n frr + ( a - 0 ) ] = t a n ( a - 9 )

L o que sig n ific a que en a m b a s situaciones se ve rifica ta n p = t a n ( a - 0 ), es decir, ta n p =

ta n a — ta n 9 (1 6 )

1 + ta n a ta n 9

251

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II C o n s id e r a n d o ( 1 4 ) y (1 5 ) se o b tie n e

/ '( 0 ) s e n 0 + / ( 0 )

cosd _

fí

f ' ( 9 ) e o s 6 - / ( f l) s e n 6

ta n /? =

i 4 . f i a s e n e + f{B) cose 1 + /f '' (f ñ fí -- /f (fffYcen 0 )'l rnc e os 0 0 )s e n fí fí

Sim p lific a n d o se obtiene / (« ) tan/? = -7 77^ - , esto es,

fiey

dr tan P ~

°

d 0 :::r c o t i?

0 desde

E je m p lo 25. H a lle la longitud de la cu rva 0 = 0 hasta 0 = tt/3. S o lu c ió n L a grá fica de la cu rv a se m uestra en la obtenem os

fig.

5.33. C o n la fó rm u la de la d erivada

dr d9

- r' = 2b se n 0 ( s e c 20 + 1)

Luego,

TT ‘

1 = l J r 2 + ( r ') 2 d9 n = 2b j

tan 0 V s e c 20 + 3 d9

L n la últim a integral h a ce m o s el ca m b io de variable u 2 = s e c 20 + 3. En ton ce s

2 u d u ~ 2 s e c 20 tan 0 d9 => tan 0 d6 -

u du u2 - 3

C a m b ia n d o los lím ites de integración, se tiene

L = 2b

f vV? u U2 du

i

H 7

3

; = 2b

^ 3 = 2 b lJ 2 i l + ^ Í > du =

2 ¿ ( V 7 - 2 ) + V 3 f c ln f - p + V ^ (V 7 ~ V I)

l(2-V3)(V7 + V3).

.

V3 lu - V 3 u + — ln ------- -

2

u + V3

V7

TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II

5.12

V O L U M E N D E U N S Ó L ID O D E R E V O L U C IÓ N E N C O O R D E N A D A S PO LARES

E n prim er lugar, q u erem os calcular el v o lu m e n de un s ó lid o (F ig. 5.35) obtenido p or la rotación alrededor del eje x de un sector circu lar del p la n o x O y (F ig . 5.34) c o m p re n d id o entre los á n g u lo s 0*

y

0 2.

i /

y

\

/

1

i

A X

Fig. 5.34 E l sector circu la r puede ser descrito del siguiente m odo: 0 < x < r c o s 02 y f i ( x ) < y < f 2{x) ) sect:or e n tre Qt y r eos 0 2 < x < r eos 0, .y f t (x) < y < fl( x ) )

02

donde

f x( x) = x ta n 0 r , /2 ( x ) = x ta n 0 2, g { x ) = J r 2 - x 2 A l aplicar el m étodo del disco, obtenem os /•r eos ¡•r cos 02 0,

V = .jr

fr rr Ccos0i OS0! | -rc o s 0 ! [ f 2( x ) ] 2d x + n \ [ g ( x ) l 2d x — n I l A ( x ) ] 2d r

J q-

*^r eos 02

r . r eos 0 2

f r cosOj

r rco s0 !

x 2 t a n 26 2 d x + u

= tt

( r 2 - x 2) d x - n \ - ¡r eos 02

Jn

x 2 t a n 20 1 d x

0

H a c ie n d o lo s c á lc u lo s respectivos, se tiene 2 n r3 1/ = — — (e o s 0 ! - e o s 0 2)

(21 )

A h o ra , nuestro p ro p ó sito es ca lcula r el v o lu m e n V del s ó lid o ob ten id o p or la rotación en to rn o al eje p o la r de la re gió n plana

F = ( ( r ; 0 ) / 0 < r < f ( f l ) , a < 8 < (3} d ond e r = / ( 0 ) co n tinu a en

es la e cu a ció n de u n a c u rv a en co o rd e n a d a s p olare s ( / es

[a ; /?]) y F es la re g ió n lim itada p o r las grá fica s de la cu rv a

/ ( 0 ) y lo s ejes 0 = a y 0 = /? (F ig. 5.36).

268

r =

CO O RD EN A D A S P O LA R ES

Sean 9 0 y 80 + A 8 d os puntos de [a;/?], con A 8 > 0. y m = 90 0. 20. L a re gió n está co m p re n d id a entre la parte ex.erna e intetna de 3 e r = a s e n '5-

K-

\

“ 2 ----------5 5 ---------

J

“ 2

21. L a re gió n está co m p re n d id a entre las curvas:

9 a ) r — i — e os 2 0 , r — 2 ( 1

e os 2 0 ) ,

0 < 0 ^

,

b ) r = 2 a eos 0 , r = 2 a sen 0

n

R- ~

^

)

,

2

c) r = a s e n 0 , r = a ( l i- e os 0 )

d ) r = 2 se n 2 0 , r = 2 eos 20

»•

( F 1)

curva. 1

r = se n

2. r =

20

3. r =

o(l

9 , 0 S [0; 2rr] , e e lo ;

«■I W T +

^ n + eos 0 ) , a > 0

4. e = i ( r + i) 5. E l a l

2

2« )

d esd e r = 1 ha sta r

d e t a e spiral lo ga rítm ica

dentro del círcu lo

r

4F

+ '" t2 " + R- 8 a u

= 3 r =

R . Í( 4 + ln 3 )U m > 0, , u e se encuentra

- a. 1 + mz

R. a -------- - u N

m

,

RECTAS Y PLANOS

L=

EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

(-.1 V E C T O R E S E N E L E S P A C I O T R I D I M E N S I O N A L I I o b j e t i v o d e e s t a s e c c i ó n , e s r e c o r d a r las o p e r a c i o n e s c o n v e c t o r e s y s u s p r o p i e d a d e s c o n la f i n a l i d a d d e h a c e r u s o d e e ll a s e n la s i g u i e n t e s e c c i ó n , r a z ó n po r la c u a l n o se d e m o s t r a r á n las p r o p i e d a d e s . (».6.1 E l E S P A C I O E 3 1.1 e s p a c i o d e d i m e n s i ó n t r e s e s el c o n j u n t o d e t o d a s las t e r n a s o r d e n a d a s de n ú m e r o s r e a l e s y se d e n o t a c o n R 3 = { (x ;y ;z )

/ x,y ,z

6 IR}

Así, u n v e c t o r e n el e s p a c i o IR3 es u n a t e r n a o r d e n a d a d e n ú m e r o s r e a l e s y se denota con á = ( a ^ a ^ a - ^ )

Igualdad de Vectores D os v e c t o r e s a = ( a 1 ; a 2 ; a 3) y b = ( b 1 l' b 2 , b 3 )

e n el e s p a c i o K 3 s o n i g u a l e s si

solo sí s u s c o m p o n e n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s so n i g u a l e s , e s d e c i r d = b a t = b lt

a 2 = b2

y

a3 = b3

Vector nulo I s el v e c t o r q u e t i e n e t o d a s s u s c o m p o n e n t e s i g u a l e s a c e r o y se d e n o t a c o n 0 -- ( 0 ; 0; 0 ) . E s t e v e c t o r e s el ú n i c o v e c t o r q u e n o t i e n e d i r e c c i ó n e s p e c i f i c a

Suma de Vectores Sean

á = ( a 1; a 2; a 3)

y

b = ( b 1; b 2 ; b 3)

d o s v e c t o r e s e n el e s p a c i o IR3 ,

e n l o n c e s el v e c t o r á + b e s t á d e f i n i d o c o m o á + b = ( a 1 + b 1 - , a2 + b 2 \ a 3 + b 3 )

Multiplicación de un escalar por un vector Sea r un e s c a l a r ( r 6 R ) y a = ( a : ; a 2 ; a :l) un v e c t o r e n el e s p a c i o IR3 , e n t o n c e s 1.1 m u lt i p l i c a c i ó n d e l e s c a l a r r p o r el v e c t o r ü e s t á d e f i n i d o c o m o rá

= (raí,- r a 2; r a 3)

TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II

6.1.1.1 PR O PIE D A D E S Si d , b , c

son vectores en el espacio IR3 y r , s G E

se ve rifica n las sig u ie n te s

propiedades: 1.

a + b es un vector en el e spacio E 3.

2.

á + b = b + á

3.

a + (b + c ) = ( a + b j + c

(P ro pie dad C onm u tativa)

4.

E x iste un ú n ico vector

5.

P ara cada vector

(P ropiedad A so c ia tiv a )

cero 0 = (0; 0; 0 ) tal

a = ( a 1; a 2; a 3),

que á + 0 =

existe un ú n ic o

a , V a en

ve ctor (opuesto de

l 3 a),

- a = ( ~ a 1; - a 2; - a 3) tal que a + ( - a ) = 0 6.

r a es un vector en E 3

7.

r ( a + b) = r a + r b

8.

(r + s ) a = r d + s a

9.

r (s a) = (r s) a

10. 1 a = a , V a en M3 C u a lq u ie r sistem a m atem ático en el que estas prop ie dade s so n válid as, recibe el nom bre' de e sp a cio vectorial real. D e este m o d o

E 3 es u n e spa cio vectorial real

de d im e n sió n tres. S u s t r a c c ió n d e v e c to re s Sean a = ( a x; a 2; a 3) y

b = (i?x; b 2; b 3) d o s vectores del e sp a cio E 3, entonces

la diferencia de estos vectores se define co m o

a - b = a + ( — ib), es decir, a - b = (a x - bx\ a 2 - b z \ a 3 — b3) 6.1.2 R E P R E S E N T A C I Ó N G E O M É T R I C A D E U N V E C T O R E N

E 3

D a d o que un ve ctor es u n ente m atem ático que tiene dirección , sentido y longitud; es representado p o r un se gm e nto orientado en el que se d istin g u e un o rig e n y un extremo. E l vector que tiene c o m o o rig e n el o rige n de co o rd e n a d a s y extrem o cu a lq uier punto P ( x - ,y ; z )

del e sp a cio E 3 (F ig. 6.1) se llam a v e c t o r d e p o s ic ió n y se

denota con

a = OP = ( x ; y ; z ) donde O es el o rige n de coordenadas.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL l'n vector que tiene como origen un punto inicial P0 y extremo el punto A (l i;;. 6.2) se denomina vector libre y se denota con a = P0P:

l'n la figura 6.3 se representa geométricamente las operaciones entre dos vectores tí y b .

d - P,P2 - OPz - OPx

=

( x2; y 2; z 2) - (x1; y 1; z 1) = ( x2 - Xl; y 2 - y i -.z2 - z j

275

TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II

6.1.3 V E C T O R E S PA R A L E L O S EN E 3 Se dice que d o s vectores a y b en el espacio R 3 so n paralelos, si u n o de e llo s es m últip lo e scalar del otro, es decir,

a II í « a

= r í

V

5

r ,s G R

=

D o s vectores parale los á y b tienen el m ism o sentido si

á = rb ,

r > 0

D o s vectores p aralelos a y a = rb ,

b tienen sentidos opuestos si

r < 0

E je m p lo I

¡a) S i a = (1; 3; - 4 ) y b = ( 2 ; - 1 ; 2 ), encuentre los vectores a + b, d + b y 3 a - 2b b) D e te rm in e

s;

cada

par

de

los

vectores

b = (5; - 1 0 ; 1 5 ) , c = ( - 2 ; 4; - 6 ) y

dados

S o lu c ió n a) A l ap licar las d e fin ic io n e s d adas se tiene

a + b = (1; 3; - 4 ) 4- (2; - 1 ; 2 ) = (3; 2; - 2 ) a — b = (1 ; 3; - 4 ) - (2; - 1 ; 2 ) = ( - 1 ; 4; - 6 )

3a-

2 b =

3(1; 3 ; -

4 ) - 2 (2 ;-1 ; 2)

= (—1; 11; —16).

b) T e n e m o s

b = — 5 a = > a II b y tienen se ntido s opuestos c = 2 a => a \\ c y tienen el m ism o sentido L o s vectores a y

d no so n paralelos

a — ( —1; 2; — 3 )

d = (0; 1; 3 ) so n paralelos.

y

6.1.4 M Ó D U L O O LO N G IT U D D E UN V E C T O R EN M3 I.» longitud o n orm a o m ódulo de un vector a — ( a ^ a 2 ; a 3) en el e sp a cio M 3 se denota y se define c o m o

Hall = V a i + a2 + CL32 2

2

l’or ejem plo, si a = (1 ; 2; - 2 ) => ||a|| = j l 2 + 2 2 + ( - 2 ) 2 = 3

O bservación 2 ti) La norm a de un vector es la longitud d el segm ento orientado que lo representa (Fig. 6.5) ■h) Todo vector de longitud igual a 1 se llam a vector unitario, es decir u es unitario si ||u|| = 1 ¡'i El vector unitario en la dirección del vector no nulo a es el vector _

3.

6.1.4.1 P R O P I E D A D E S Si a y b so n vectores en el e spa cio R 3 y r es un escalar, entonces 1. ||a|| > 0

y

||a|| = 0 a = 0

2. ||r a|| = |r|||a|| 3. ||a + b || < ||a|| + ||¿|| (D e sig u a ld a d triangular)

4. ||a|| = ||—a|| 6.1.5

P R O D U C T O IN T E R N O O E S C A L A R D E V E C T O R E S E N

S i a = ( a t ; a 2; a 3) y

E 3

b = (b t ; b 2; b 3) son vectores en el espacio IR3 , entonces

el p rod u cto interno o p ro d u cto e sca la r de denotado p or

a y b es el núm e ro real d e fin id o y

a • b = a xb1 + a 2b 2 + a 3b3 (se lee " a punto ¿ ”) l’or ejem plo, si a = (5 ; 4; - 1 ) y b = (2; - 1 ; 3 ), entonces

d - b = 5 (2 ) + 4 ( — 1) + ( - 1 ) 3 = 3 277

TO PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II

6.1.5.1

P R O P IE D A D E S

Sean á ,b y c vectores en el e spacio R 3 y sea r un escalar. E n to n c e s se tiene 1. á - b = b ■a

(P ro p ie d a d C onm u tativa)

2. ( r a ) ■( b ) = r ( a - b ) 3. á - ( b ± c ) = d - b ± á - c

4.

(P ro pie dad D istrib u tiva )

a •a = ||al|2 ; a ■a = 0 á =

5. ||a+ ¿||2 =

Hall2 + ||£||Z + 2a-b

6. ||a— b \\2 =

Hall2 + ||fe||2 - 2 a • 5

7.

0

||a + b||2 + ||a - fc||2 = 2[|a[|2 + 2||fo||2 (L e y del p arale lo g ra m o )

6.1.6 Á N G U L O S E N T R E D O S V E C T O R E S

Sean

vi setores no n u lo s en el

b

a y

espacio R 3 . E l ár igu lo entre los vectores

b es el ]m enor á n gu lo p o sitivo lerm inado p or a m b os al (0 < Q < n ) del partir de un m ism o o rige n co m ú n (F ig. 6.6) a y

0

T eore m a 1

Si

6

entonces

6=—

ye

/a

es el á n g u lo entre dos

vectores n o n u lo s á y b del e spa cio R 3,

eos

~b \

á

O(origen)

Fig. 6.6

Ha

D e m o s t r a c ió n E je rc ic io para el lector

O bservación 2 D el teorem a 1 se deduce que una fo rm a altern ativa p a ra calcular e l produ cto escalar de los vectores á y b es a - b = l|a||||£|| e o s 9

278

i i L A I N U O LI N

l l

W IVU.1U

1 KlUllVItINjIUWAL

(>■1.7 V E C T O R E S O R T O G O N A L E S O P E R P E N D I C U L A R E S D o s vectores n o n u lo s a y b en el e spacio R 3 son orto go n ale s o perpendiculares si el á n g u lo determ inado p or a m b os es de 9 0 c T e o r e m a 2 D o s vectores no n u lo s á y b en ei e spa cio R 3 son p erpend iculares si y solam ente si á - b = 0

O bservación 3 Sean a. y b vectores no nulos en el espacio R 3. D e la figura 6.7 se tiene:

Á

a + b /r b

b

u a 1 ¡b ¡|a + ¿||" = j|a||2 + ||¿||“ {Teorema de Pitágoras) ií)

á Ib

a

«=> ||a — b ' f = ||a||2 + ||fc||‘

Fig. 6.7

E je m p lo

2

H a lle

el

á n g u lo

que

form an

los

vectores

d = (1 2 ;0 ;-6 )

y

/>' = ( — 6; 0; 3 ) S o lu c ió n

a ■b - 7 2 + 0 - 18 -9 0 -9 0 e os 9 = --------— = — ---------------- = ----------------= --------= — i = > q — n ||a||¡¡¿>|¡ v l8 0 v 4 5 2V45V45 90 E je m p lo 3 C a lcu le el p roducto escalar de los vectores a y b si se sabe que form an un á n gu lo de 30°, ||a|| = 4 y ||fe|| = 6 V 3 S o lu c ió n

a - b = l|a||p|| e o s 30° = 4 ( ó V 3 )

E je m p lo 4

Sean a y

b

= 36

d o s vectores que form an entre sí un á n gu lo de 45° y

¡|a|¡ = 3. C a lcu le |¡¿|¡ si se sabe que el vector a - b e s perpendicular al vector a. S o lu c ió n l’uesto que el vector a — ¿ es perpendicular al vector a. se tiene

( a - b) ■á = 0 ||||a|| e o s 45°

»

9 = ||¿ ||( 3 ) ( - ^ j ~

279

¡|¿|| = 3V2

T O PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II

E je m p lo 5 p || = 2 V 3

Se a n

a ,b y c

vectores en el espacio IR3 tales que ||a[| = 6.

||c|| = 2. Sa b ie n d o que los vectores a y b

y

30°, los vectores b y c

un á n gu lo de 6QC y los vectores

form an un á n g u lo de a y c

un á n g u lo de

90°, calcule a) a - ( b + c)

b) ||a - c||

S o lu c ió n T e n e m o s a ) á - ( b + c) = á - b + d - c = H a l l p H e os 30° + ||a||||c]| e o s 90°

= 6 ( 2 V 3 ) ^ ~ j + 6 ( 2 ) ( 0 ) = 18

b) ||a - c||2 = ||a||2 - 2 a • c + |lc|l2 = 3 6 - 2||a||l|c|| e o s 9 0 ° + 4 = 4 0 D e don d e se obtiene ||a - c|| = V 4 Ó

6.1.8

C O M P O N E N T E Y P R O Y E C C IÓ N O R T O G O N A L D E U N V E C T O R EN L A D IR E C C IÓ N D E O T R O V E C T O R

Sean a y b vectores no n u lo s en el e spacio K 3

A l vector OM (F ig. 6.8) se llam a v e c to r p ro y e c c ió n o r t o g o n a l de a

s o b re b y

se denota c o m o

OM = P r o y ^ a E n el sigu ien te teorem a ve re m o s el proced im ie nto para determ inar este vector

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL T e o r e m a 3 Se a n a y b vectores n o n u lo s en el e sp a cio K 3, entonces ¡i) E l ve ctor p ro y e c c ió n orto go nal de a sobre b es el vector d ad o p or d r o y- r a = P

I)) A l

e s c a la r

b =ú

que

p ii ; pii

m u lt ip lic a

al v e c to r

u n it a r io

ur = - J - se d e n o m in a

IMI c o m p o n e n t e del v e c to r a en la d ir e c c ió n b (se denota C o m p g a ), es decir, ~ . a-b Com pga =

E je m p lo 6 H a lle el vector p ro y e cc ió n ortogonal de a sobre b y la com p one n te del vector á en la d ire c ció n b de lo s vectores a = (5; 0 : 4 ) y b = (2 ; - 1 ; 2 ) S o lu c ió n El vector p ro y e c c ió n orto go n al de a sobre b es el vector -—

( á - b \r

. „

na =

/10 + 0 + 8 \

F F

v—

9—

J (2: ~ 1; 2 ) = 2 (2 ; _ 1 ; 2 ) = ( 4; _ 2 ;

.a com p one n te del vector a en la d irección de b es el escalar

a-b Com pga =

18 = — = 6

6.1.8.1 P R O P I E D A D E S Sean a , b y c vectores no n u lo s en el e spacio distinto de cero. E n to n ce s I . P r o y ¿ ( a ± b ) = P r o y f a ± Proy,? b

2. P r o y ¿ (k a ) = k P r o y ¿a 3. P r o y (fcf)a = P r o y c-a 4. C o m p ¿ ( a ± b ) = C o m p r a ± C o m p r ó 5. C o m p ^ f c a ) = kC om p¿a

, ' C

f C o m p r a , si k > 0

„ -

W

Í -

c

ün, p , i , s i K

,

281

K 3 y k un escalar cualq uiera

TOPICOS DE CALCULO - VO LUM EN II

E j e m p lo 7 Se a n a y b vectores en el e spacio E 3 que ve rific a n a + 3 b = 0 y c o m p g a = - 6 . C a lc u le el v a lo r de A = 5 ( 3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2 b ) S o lu c ió n a = - 3 b , entonces los vectores a y b tienen se n tid o s opuestos. L u e g o ,

Com o

el á n gu lo que fo rm an estos vectores es 9 = rr. A d e m á s,

||a|l = 1I-35H = 3||b||

(1 )

P o r otra parte, •

Com pga =

'

á-b

W

Ha || b I eos ti = ---------¡r ^ --------= -||a|| - - 6 = * ||a|| - 6

MI

(2 )

R e e m p la za n d o (2 ) en (1 ) obtenem os ||5|| = 2 A h o r a bien, u sa n d o las prop ie dade s del producto escalar resulta A = 5 ( 3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2 b ) = 5 (9||a|i2 - 4||b||2) = 5 [ 9 ( 3 6 ) - 4 ( 4 ) ] = 1540 E j e m p lo 8 D a d o el trián g u lo de vértices ¿4(5; 2; 3), B ( 8 ; 2 ; - 1 ) y C ( 3 ; 3 ; 5 ) a) H alle las co m p on e ntes del vector P ro y-^ M N

si se sabe que el vector M N es

paralelo al ve ctor AC , donde M está sobre el lado A B , N sob re el lado BC y

\\MN\\ = 1 8 b ) C a lc u le A = 5 ( AC ■ü jg + - C o m p ^ ^ f l j S o lu c ió n Sean lo s vectores AB = (3; 0; - 4 ) y AC = ( - 2 ; 1; 2 ) a) C o m o M N || ~AC, entonces P r o y ^ M N = M N. A d e m á s,

W Ñ = kAC = fc( — 2; 1; 2 ) (fc > 0 ) P o r otra parte, |¡MW|| = V 9 k 2 = 3fc = 1 8 = > k = 6 P o r con siguie n te , P ro y jg M N = 6 ( — 2; 1; 2 ) = ( — 12; 6; 1 2 ) b) A q u í tenem os

AB ^

" p

1

N

f ¡ “ 5 C 3 :0 ;_ 4 )" __ ,

¿f l-Z C

C om P rcA B =

3

^

(5 ; ;

- 6 - 8 = — 3—

-

4^ 5 14 - y

\\AC\\ L u e g o resulta /__ , 3 ___a ( 14 14\ A = 5 yAC • Ujg + - C o m p ^ y l ñ J = 5 ( - y - y ) = - 2 8

282

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Eje m p lo 9

a) L n el trián gu lo ABC que se m uestra en la figura

adjunta

se

tiene

^r° y j c ^ = (2; — 1; 5).

,4(3; 1; 1 ) D eterm ine

B

y las

co orde n a da s del punto M , que es el pie de la p erpe nd icula r trazada del vértice B al lado AC. Ii) Si

se

u y

sabe

que

los

vectores

unitarios

form an un á n g u lo de 120°

v

Rectores

w y v

un

á n g u lo

y los

de

90°,

calcule el v a lo r de ||Proyij(4u + vv) j| S o lu c ió n ,i) U tiliza n d o la d e fin ic ió n de la p ro ye cc ió n de un ve ctor sobre otro, tenem os

AM = P r o y ^ A B = (2; - 1 ; 5)

O m - 3;y M - l ; z M - 1) = (2; —1; 5) xM = 5 ,y M = 0 A z M = 6 P or lo tanto, las co orde n a da s del pie de la perpe nd icu lar trazada del vértice B al lado A C es A í ( 5; 0; 6 )

I)) T e n e m o s ||u|| = ||i?|| = i,

ü - v = ||u||||v|| eos 120° = - ^

ñ— • f * - —n /( 4 u + vv) ■ Proyp(4 u + w) - I ----- ----------- I v = (4u - v + w - v ) v = 4 Por lo tanto, el m ódulo buscado es J|Proy^j ( 4 u + ív)|| = ||-2v|| = 2||í5|¡ = 2 (.1.9 P R O D U C T O V E C T O R I A L Sean a = ( a 1; a z ; a 3) y vectores en el espacio E 3

b = (b 1; b 2; b 3)

dos

Se d e n o m in a p ro d u c t o v e c to ria l de los vectores d y

b al vector que es p erpend icular al plano que

contiene a los vectores

á y b

y se denota con

ti x b. A n te s de dar su d e fin ic ió n precisa, es ^ inve nie n te observación.

tener

en

cuenta

la

siguiente

283

y w - v = 0. A s í,

/ u -J = -2v

TOPICOS DE CALCU LO - VOLUM EN II

O bservación 4 Los vectores unitarios que siguen e l sentido p o sitivo de los ejes coordenados son i = (1; 0; 0), / = (0 ; 1; 0 ) y

k = (0; 0; 1)

A estos vectores también se ¡es llanta vectores de la base canónica en M 3 Los vectores unitarios T , j y k se utilizan p a ra representar cualquier vector del espacio R3 en su fo rm a algebraica. En efecto, si a = (a-L; a 2; a 3) , entonces se tiene a = ( a i, a 2; a 3) = ( a x; 0; 0 ) + (0; a 2; 0 ) + (0; 0; a 3) = a x (1; 0; 0 ) + a 2( 0; 1; 0 ) + a 3 ( 0; 0; 1 ) = a xí + a 2j + a 3k

Luego, todo vector a = (a 1(- a 2; a 3) se pu ede escribir en su fo rm a algebraica cí = a-t i + a 2J + a 3k A h o r a podernos expresar el ve ctor á x b

en térm inos de lo s vectores

í, / y k

m ediante el siguiente determ inante de orden 3 x 3

a x b =

T

j

k

a l

a 2

a 3

b,

b2

a 31

\a 2

|a l

al

a 3

b3 \J +

¿1

a 2|

b:

= ( a 2b3 - a 3b 2) i — ( a xb3 - a ^ ) / + ( « 1^2 ~ a 2bx)k

= ( a 2b3 - a 3b 2; a 3 foj Se ve rifica fácilm ente que

a x¿ 3; a xb2 - a 2b t )

a • ( a x b ) — b • { a x b ) = 0, es decir, elvector

a x b es p erpe n d icu la r a los vectores a y b. E j e m p lo 10

C o n sid e ra n d o lo s vectores

a = ( ( 1 ; — 1;1 )

un vector que sea perpe nd icu lar tanto a a

y

b = ( 2 ; 0 ; 1 ), halle

com© a b

S o lu c ió n E l vector que es perpe n d icular a a m b o s vectores, es el vector á x b . A s í tenem os

áxb =

l

J

k

1

-1

1

2

0

1

-1

11

0

II

|1

lf -

12 i r 284

|1

I2

\ k = - 1 + j + 2k

R E C T A S Y PLAN OS EN EL ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L

6.1.9.1 P R O P I E D A D E S Sean á, b y c vectores en el espacio R 3 y k cua lq u ier escalar. E n to n c e s I

á x b = —b x a (P ro p ie d a d A n tico n m u ta tiva ) á x (b ± c ) = (á x b ) ± (á x c ) ) ,„

> L e y e s d is t r ib u t iv a s

1(1; 0; 0), B ( 0; 3; 0), C (0 ; 0; 2 ) y D(x-, 0; 0 ) a) D e te rm in e el ve ctor á , si se sabe que es p erpendicular al p la n o que contiene al trián g u lo A B C y que ||a|| = 1 4 u b) S i el v o lu m e n del tetraedro C-ABD es 3 u 3, determ ine las co ord e n a d a s del punto D .

288

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Solución a)

L o s vectores AB = ( — 1; 3 ;G ) y AC == ( — 1; 0; 2 ) se encuentran en el m ism o p lano del trián g u lo A B C , entonces

j

k

- 1 3 - 1 0

i

0 2

(6; 2; 3)

C o m o á \ \ A B x A C * = * a = kAB x AC = ( 6 k\ 2k; 3 k ). Puesto que ||a|| = 14, entonces ||a|| = V 3 6 f c 2 + 4/c2 + 9 k 2 = 1 4 7|fc| = 1 4 k = ± 2 P o r tanto, a = (1 2 ; 4; 6 ) V b)

a = (-1 2 ; -4 ; - 6 )

L o s vectores aristas adyacentes del tetraedro C - A B D son

AB = ( - 1 ; 3; 0),

A D = (x — 1; 0; 0 )

y

AC = ( - 1 ; 0; 2 )

E l triple prod ucto escalar de estos vectores es - 1 3

___

AB ■(AD x A C ) =

x - 1

0 0

- 1 0

0

= - 6 ( x - 1)

2

D a d o que el vo lu m e n del tetraedro es 3 u 3 , entonces se tiene 1 ,—

_

—

.

1

Vt = - \ A B • ( A D x A C ) l = — \—6(x — 1)| = \x - 1| = 3 o

6

P o r consiguiente, D ( — 2; 0; 0 )

V

-2

V

x = 4

D (4 ;0 ;0 )

E j e m p lo 15 C o n lo s p u ntos ^4(8; 0; 0 ), C (4; — 1; 1 ), D ( 6; 0; 5 ) y B (punto del p rim er octante)

se fo rm a un paralelepípedo cu ya s aristas son los vectores

AS,

AC y AD a) C a lc u le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los p untos ¿4, C y

D. b) S a b ie n d o que el vector AB

es paralelo al vector n = (1; 1; 1 ) y el vo lu m e n

del paralelepípedo es de 4 4 u 3, determine las co orde n a da s del punto B.

Solución a)

D a d o que lo s vectores adyacentes que fo rm an la cara A C H D (p ara le log ra m o ) del paralelepípedo so n AC = ( - 4 ; - 1 ; 1 ) y AD = ( - 2 ; 0; 5 ), entonces

ACxAD =

i

J

k

-4

-1

1

-2

0

5

= (-5 ; 1 8 ;-2 )

L u e g o , el área de la cara del paralelepípedo es

A ^ = \\AC x AD\\ = V 2 5 + 3 2 4 + 4 = V 3 5 3 u 2 289

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II b) C o m o AB II ñ — (1 ; 1; 1 ) = * AB = k n = (fc; k ; fc) (fc > 0 ). L u e g o ,

AB ■(AC x AD =

k

k

k

-4

-1

1

-2

0

5

= 11*

Puesto que el v o lu m e n del paralelepípedo es 4 4 u 3 , entonces se tiene

VP = \ A B - ( A C x AD )| = |llfc| = 4 4 k = 4 P o r tanto, de AB = (4 ; 4; 4 ) resulta B = (1 2 ; 4; 4 ) E je m p lo 16 a) S i lo s vectores á , b

y e

son unitarios y satisfacen la co n d ició n :

a + b + c = 0, calcule el v a lo r de M = a - b + b ■c + a ■c b) L o s vectores a

y b

||a|| = 4 , ||ft|| = 6,

son trid im e n sion a le s y form an un á n g u lo de 30°. S i utilizan d o

el

álgebra

vectorial,

trián g u lo c u y o s lados adyacentes son los vectores a

calcule

el área

del

y b .

S o lu c ió n - » 2 a) D a d o que a + b + c = 0 = > ||a + b + c|| = 0 ||a + b + c|| ||a||2 + ||¿||

+ ||c||2 + 2 a ■b + 2 a ■c + 2b • c = 0

C o m o los vectores a , b

ye

= 0

(*)

so n unitarios, entonces ||a|| = ||fo|| = ||c|| = 1

R e e m p la za n d o estos va lore s en ( * ) se obtiene -

-

l + l + l + 2 a - b + 2a'C + 2 b - c = 0 = * M = a- b + a- c + b- c = — b) E l área del triá n g u lo c u y o s la d os adyacentes so n lo s vectores

a

3

2

y b es

¿a = j \ \ a x ¿|| = ^ ||o ||p ||s e n (3 0 ° ) = ^ ( 4 ) ( 6 ) ^ j = 6 u 2 E j e m p lo 17

L o s puntos

.4(4; 2; 0 ), 5 ( 4 ; 8; 0 ), D ( —2; 2; 0 ) y W ( - 2 ; 4 ; 8 ) son

lo s vértices del p aralelepíped o ABCDEFGH a) C a lc u le su v o lu m e n b) D e te rm in e la altura del paralelepípedo S o lu c ió n a) L o s vectores de las aristas adyacentes del p aralelepíped o son

AB = (0; 6; 0), A D = ( - 6 ; 0; 0 ) y AE = DH = (0 ; 2; 8 )

290

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL L u e g o , el v o lu m e n del paralelepípedo es

y = |i4B • G 4 D X j4 £ )| =

0

6

0

-6

0

0

0

2

8

= |288| = 2 8 8 u 3

b) T e n e m o s

AB x A D =

í

f

k

0 -6

6 0

0 0

= (0 ; 0; 3 6 )

A s í, el área del p arale log ra m o ABCD es A ¿? = ||AB x AD|| = 3 6 u 2 P u esto que el v o lu m e n del paralelepípedo ABCDEFGH es

Vp = (á re a d e la b a s e ) ( a lt u r a ) = ( 3 6 )(7 i) = 2 8 8 = > h = 8 u O bservación 5 Sean P ^ x^ , y t ; z x) y P 2 ( x 2; y 2; z 2) los extrem os d e un segm ento P i P 2. Entonces las coordenadas del punto P ( x ; y ; z ) que d ivide a l segm ento en PtP la ra zó n d a d a r = —- = ( r í - 1) son

P °2 X1 + r x 2 1 + r

y=

y 1+

ry2

1 + r

Zj + r z 2

z =

1 + r

O bservación 6 Si M (x ; y ; z ) es el punto m edio d el segm ento cuyos extrem os son los pu ntos P i f e ; y x; z x) y P 2 ( x 2; y 2; z 2) , entonces X, + x . Zi + z 2 yi+ y2 x = z = E j e m p lo 1 8

D a d o s lo s p u n to s P i( 5 ; 7; 9 ) y P 2 (3; - 5 ; - 7 ) , halle lo s p u ntos de

trisección del se gm e n to P XP 2 S o lu c ió n Se a n A 1(x 1; y 1; z 1') y ¿42 ( x 2; y 2; z 2) lo s puntos de trise cció n del se gm e nto P i P 2 P ara e n c o n tra r las c o o rd e n a d a s del p u n to Av la ra zó n es r =

P A

1

AP-,

L u e g o , p o r la o b se rva c ió n 5 se tiene

5

x1 =

+ ^ ( ) 13 3

1+\

3 '

7 + 7 Í- 5 )

y\

9 + ¿ C -7 ) =3,

Zi =

1 4- •

1 +;

Pt A2

2 = - = 2 A2P2 1

A n a lo ga m ente , p a ra el p u n to A2 la ra zó n es r = — — P o r co nsiguiente, las co o rd e n a d a s del punto A 2 son

5 + 2 (3 )

*2

1

+ 2

11 3 '

9 + 2 (-7 )

7 + 2 ( — 5)

yz

1 +2 291

= -1,

z2 =

1+ 2

11

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

E JE R C IC IO S 1. E xp re se el vector

a

b

co m o la su m a de un vector paralelo

y un vector

ortogon al a b , si á = (2; 1; - 1 ) y b = (1; 4; - 2 ) 2. 3.

H a lle el á n g u lo entre los vectores a = (3; 1; 2 ) y S i el á n g u lo que form an los vectores a y b

b = (1; 1; 2 )

es de 45° y

||a|| = 3, halle el

m ó d u lo de b para que a + b form e con a un á n gu lo de 30°.

R. 3 ( V 2 + V 6 ) / 2 4.

Sean

a y b

d o s vectores unitarios en

R 3. D e m u e stre que

á + b es un

vector unitario el á n gu lo fo rm ado p or e llos es de 120°. 5.

D a d o el p arale logra m o ABCD, E está a

2/3

de la

d istancia de B a C y F es el punto m edio de

D

F

C

CD.

H a lle r y s de m o d o que YF = r ~AB + s ~AC

R. r = - 1 / 2 , 5 = 1 / 3 6.

Se a n a ,b y c tres vectores de m ó d u lo s r, s y t

respectivam ente. S e a a el

á n gu lo entre b y c, B el á n g u lo entre

y el á n g u lo entre

a y c y

a y

b

Pruebe que el m ó d u lo S de la su m a de tres vectores está d ad o p o r la fó rm u la

S 2 = r 2 + s 2 + t 2 + 2s t e os a + 2 r t e os/? + 2 r s c o s y 7. S i a = (1; 3; 2 ) , b = ( 1 ; - 1 ; 3 ) y c = (2 ; 3; — 4 }

S.

i)

H á lle el área del parale logram o determ inado p o r a

ii)

H a lle el área del trián gu lo determ inado p or a y c

iij)

H a lle el v o lu m e n del paralelepípedo determ inado

Los

vértices de

un

trián g u lo

so n

lo s

p u ntos

y

b

p or a ,b y c

4 ( 1 ; 2; 3 ),

6 ( 0 ; 2; 1 )

y

C ( — 1; - 2 ; - 4 ) . HaJle el área y el perím etro del triángulo. 9.

Los

vértices de

un

tetraedro

C (3 ; 4; 2 ) y D ( 0; 0; - 1 )

so n

. C a lc u le el

los

p untos ,4(2; 1 ; 0 ) , 5 ( 1 ; - 1 ; 1 ) , v o lu m e n del tetraedro.

10. E n el triá n g u lo de vértices i4(3; 0; 0 ) , 5 ( 0 ; 4; 0 ) y i)

C { 0; 0; 5 ) , halle

L a s lo n gitu d e s de cada m ediana

i i) L a s lo n gitu d e s de cada altura iii) E l centro de grave d a d del trián gu lo 11. Sean

P { 3; 1; — 1 ) y Q ( 4; — 1; 2 ) . H a lle las co o rd e n a d a s del punto R que se

encuentra en la p ro lo n g a c ió n de ~PQ y extendiendo 3 veces su longitud.

292

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

13. U n auto recorre 2 0 k m h acia el norte y d esp u és 4 0 V 2 en u n a d ire c c ió n 60° al oeste del norte. H a lle el vector d esplazam iento resultante del auto y su longitud.

R . f = ( - 2 0 ; 4 0 ) y ||r+J = 2 0 V 5 k m . 14. Se a n a y

b so n vectores en el espacio R 3 que verifican: a + 2 b = 0 y

c o m p r a = — 8. D e te rm in e el va lo r d e A Í = 2 ( a + 3 f o ) - ( a — 3 b ) . R .M = -1 6 0 . 15. D a d o el trián gulo de vértices A ( 2 ; — 2 ; 4 ) , ñ ( 4; 2; 6 ) y C ( 4; 8; 1 0 ). a)

H a lle el ve ctor unitario de MN, si MN es paralelo al lado AB, M sobre el lado AC y N sobre el lado BC.

b) D e te rm in e las co m p on e n tes del vector MN, si se sabe que MN ■AC = 56. R. W Ñ = ( 2 ; 4; 2 ) . 16. E n la fig u ra adjunta, M y N son lo s centros de las caras GDEF y OAFE respectivam ente.

S i ||p|| = 1 0 y ||q|| = 4 V l 3 , determine las co m p on e n tes del vector 2 p - 3 q. R. 2 p - 3 q

= (3 4 ; 16; 4 8 )

17. Sean a , b , c y d vectores unitarios en el espacio R 3. S i se sabe que los vectores a y b fo rm a n un á n g u lo de 60° y los vectores c y d un á n g u lo de 120°, halle: a) C o m p g ( 4 a )

c) ( P r o y 2 ¿ ( 2 c + 3 d ) ) ■ d

b)Proy4¿(4a) R. a) 2

b) 2 b

c )2 .

18. E l vector p o sic ió n a se encuentra en el plano y z y el vector p o sic ió n b sobre el eje y negativo, de m anera que el á n gu lo entre e llo s es 120". S i ||a|| = V 2 7

y

\\b\\ - 8, halle las co m p on e n tes del vector a x /;. R. ( ± 3 6 ; 0 ; 0 ) . 1 9 .Se a n a +

a,byc

vectores no nu lo s tales que

||tí|| = 3, ||¿|| = 1, ||c|

b + c = 0. C a lc u le el v a lo r de A = d - b + b- c + d - c. R . —13

293

4 y

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN [[

20. D a d o s los puntos: /1(8; 0; 0), C (4 ; — 1; 1), D (6 ; 0; 5 ) y 5 un punto del prim er ociante. a)

E n el e spa cio R 3 , grafique el paralelepípedo cu ya s aristas son los vectores

AB, AC y AD. b) C a lc u le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los p u ntos A, C y

d

.

c) S i se sabe que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el vo lu m e n del paralelepípedo es de 4 4 i í 3, determine las co orde na da s del punto B . R. b ) V 3 5 3 u 2

c ).B (1 2 :4 ;4 ).

, 19. a) D a d o el triángu lo de vértices 4 ( 3 ; 1; 1), 6 ( 2 ; 1; 4 ) y C (5 ; 4; 6 ). H a lle las com p onentes del vector P r o y ^ MN, si se sabe que el vector M Ñ es paralela al lado AC del triángulo, M está sobre el lado AB, N sobre el lado

BC y ||M77|¡ = V 3 8 / 3 . b) D a d o s

lo s

vectores

a = (2 ;-l;l) ,

b = (-2;l;2)

y

c=(4;3;-3).

C a lc u le 6 ( a • üj¡ ) + V S í C o m p , ? b. R. a) ( 2 / 3 ; 1; 5 / 3 )

b) - 1 7 .

21. D a d o s los p untos A ( 2 ; 4; 3 ), 6 ( 4 ; 5; 5 ) y C ( - 1; 4; 0). a) H a lle

dos

vectores

unitarios

perpendiculares

sim ultáneam ente

a

los

vectores AB y AC. b) Se a M un punto interior del segm ento AC tal que d ( A ; M ) = \ d(A-,C). S i Q ( —1; 4; 2), determ ine si el á n g u lo fo rm a d o p o r lo s vectores QC y QM es a g u d o o no. R. a) i¡ = ( + 1 /\H l ; 0; ± 1 / V 2 ) b) E s agu d o 22. Sean a, b y c tres vectores en el espacio E 3 ales que a = 2 r. |[c|| = 2

y

b ■ c = 4. S i se sabe que lo s vectores b y c form an un á n g u lo de 60°. halle la lo ngitu d del ve ctor V 3 a

x

b ^ 5 a x c.

23. Sean a, b y c vectores no n u lo s en el espacio E 3 tales que ||c|| = 4. P r o y c- b =

b y P r o y g +(? a = 0. S i se sabe que los vectores a y b so n Ui’itarios, halle el m ó d u lo del ve ctor a x b i- a X c .

P..2S

25. D a d o s los p u ntos ¿4(— 1; 5; 3 ) y 6 ( 0 ; 3; 1). a)

H a lle d o s vectores unitarios parale los al vector AB .

b) D e te rm ine d o s vectores un ita rio s p erpendiculares al ve ctor AB

y paralelo

al vector b = (1; 1; - 1 / 2 ) . R. a) w = ( ± 1 / 3 ; + 2 / 3 ; + 2 / 3 )

294

b) ü = ( ± 2 / 3 ; ± 2 / 3 ; + 1 / 3 )

R E C T A S Y PLA N O S EN E L ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L

(>.2 R E C T A E N E L E S P A C I O 6.2.1

ÁN G U LO S,

CO SEN O S

Y

NÚM EROS

D IR E C T O R E S

DE

UNA

RECTA S e a L una recta en el

Definición 1

llam a conjunto de ángulos d irecto res de la recta L al

espacio

M 3. Se

conjunto ord e n a d o {a , p , y }, dond e a,

¡i, y son *o s á n g u lo s que fo rm a la recta L con los ra y o s p o sitiv o s de lo s ejes de co orde n a da s x , y A z respectivam ente (Fig. 6.14) L o s á n g u lo s directores tom an va lore s entre 0 o y

180°, es decir, 0 C < a , p , y , < 180°

O bservación 7 El ángulo entre dos rectas que no se intersecan, se define com o el ángulo form ado p o r rectas que se intersecan y que, al mismo tiem po son p aralelas a las rectas dadas. Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos conjuntos de ángulos directores que son: { a , p, y ) y

{1 8 0 ° - a ,

1 8 0 ° -/ ?, 180p - y }

En lo que sigue, las rectas serán consideradas sin orientación. Definición 2

L o s c o se n o s de los á n g u lo s directores de u n a recta se llam an

cosenos d irecto res de la recta. U n a recta tiene d o s co njun to s de co se n o s directores. (e o s a, e o s /? , e o s y } O b s e r v a c ió n 8

y

{-e o s a , -e o s/ ?, -e o s y}

D o s rectas so n paralelas si y s o lo sí tienen los m is m o s co se n o s

directores. D e f in ic ió n 3

U n conjunto [ a ; b; c] es llam ado

números directores

constante fe ^ 0 tal que

a

= k eos a,

b

= kcosp, c = kcosy

295

si existe una

TOPICOS DE CALCU LO - VO LUM EN II

6.2.1.1

Se a

E X P R E S IÓ N D E L O S C O S EN O S D IR E C T O R E S D E U N A R E C T A Q U E P A S A P O R DOS PU N T O S

L una recta que pasa p or los

puntos P1(x 1-,y1-,z1) y P2(.x2: y 2, z 2) y sean d = ||PXP 2 1| y

a > P,

\ ------

Y l° s

á n g u lo s directores de L. L o s co se n o s directores de la recta L que pasa p o r los puntos

y P2 son

Fig. 6.15 cos a =

-,

e o s /? =

yz-yi

z2 - z x co sy =

S i la recta L está orientada en el sentido de P2 a P x , entonces lo s co se n o s directores de la recta so n

*2- *1

„

yi-y-L

-

22 Zl

c o s a = ------- — , cos/? = ------- — , c o s y = ------ — donde d es la d istan cia entre Pr y P2

6 4 .1 .2

R E L A C IO N RECTA

E N T R E L O S C O S E N O S D I R E C T O R E S D E UN A

S i e le va m o s al cu ad rado cada un a de las e xp re sio nes de los c o se n o s directores de la recta L que pasa p o r los p untos Px y P2 y su m a m o s, se obtiene 2

cos*a

2 (*2 - * ) 2 + (y 2 - y i ) 2 + +, eos 2 ¡sn +i cos¿y = --------------d2

0 2 - Zl)2

„

d2

P o r lo tanto, u na relación fundam ental entre los co se n o s directores de una recta es

c o s 2a + c o s 2p + c o s 2y = 1 Ejem plo 19 a) H a lle

los

c o se n o s

directores

de

u n a recta d eterm inada

por

los

puntos

P ! ( l ; 0 ; 2 ) y P2( 3; 2; 3 ) y d ir ig id o de Px a P2 b) S i {45°, 60°, y } es un con ju nto de á n g u lo s directores de u n a recta, calcule los p o sib le s va lo re s del á n g u lo y

296

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

S o lu c ió n

Px y P2 es d = V 4 + 4 + 1 = 3. Lu e go , lo s co se n o s

a) L a d istan cia entre

directores de la recta que pasa por Pt y P2 son 3 - 2 1 e os b) D e la

2

1

a = — - — = - ,e os B = - , e os y = 3 3

F

3

3

relación entre los co se n o s directores de una recta, se tiene

1 1 c o s 24 5 ° 4- c o s 26 0 ° + c o s 2y = 1 = > e os 2 y = - = > e os y = ± D e d on d e resulta e o s y = 6 0°

6.2.2

V

y = 1 20 °

E C U A C IO N E S D E U N A R E C T A E N E L E S P A C IO K 3

U n a recta es un conjunto de puntos que se d esp lazan en el e spa cio R 3 en una d ire cción constante (F ig. 6.16)

6.2.2.1 E C U A C I Ó N V E C T O R I A L D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O K 3 Se a L u n a recta que p asa

p or el punto Pn( x n-,y 0 ; z 0)

y sig u e la d ire c ció n dei

vector á = - ( a 1; a 2',a3) (F ig . 6.17;. E l vector a se llam a v e c to r d ire c c ió n .d e la recta L. Se a

P(x;y\z)

un punto cualq uiera de la recta L. E n to n ce s

vector a, luego existe t e M

P o r lo tanto, la e c u a c ió n v e c to ria l de la recta L es i |

PaP es paralelo al

tal que P0 P = t a P = P 0 + í a , t £ E

:

L : ( x ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z 0) + t á ,

te R

297

i j

TOPICOS DE CALCU LO - VO LUM EN II

E je m p lo

20

/»,(3 ; 2 ; - l )

Encu en tre

la e cuación

de

la recta que

p asa

por

lo s

p u ntos

y P2( 5 ; - 2 ; 4 )

S o lu c ió n E l vector d ire c ció n de la recta que p asa p or P1 y P2 es a = P1P2 = (2 ; — 4; 5 ) T o m a n d o el punto P i ( 3 ; 2 ; - l )

c o m o P 0, Ia e cuación de la recta es

L-. ( * ; y ; z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - 4 ; 5 ) 6.2.2.2 E C U A C I Ó N P A R A M É T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O D e la e cuación ve cto rial de la recta L: 0 t ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z o ) +

se tiene que

cu alq u ier punto P ( x ; y ; z ) E L ve rifica la igualdad O ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z 0) + ¿ 0 % ; a 2; a 3) L u e go , de la igua ld ad de vectores resulta

x = x Q+ ta t

I

y - y0 + ta2 z = z0 + ta 3

Esta s e cu a cion e s se d e n o m in a n e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s de la recta L que pasa p or el punto P0(x 0 ; y 0; z 0) y es paralela al vector a , y t se lla m a p a r á m e t r o de la ecuación. E je m p lo 21 H a lle las e cuaciones param étricas de la recta que pasa p or lo s puntos P i( 2 ; 3 ; 4 ) y P2( — 1 ; — 3 ;2 ) S o lu c ió n E l vector d ire c ció n de la recta es a = P XP 2 = ( - 3 ; — 6; - 2 ) . A s í, las ecuaciones param étricas de la recta so n

L:

(x = 2 - 3 1 y = 3 - 6t, z = 4 - 2t

te

6.2.2.3 E C U A C I O N S I M E T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O Se a L una recta c u y a s ecuacion e s param étricas son

L:

x = x0 + tat y = y 0 + ta2 , t e z = z0 + ta3

r

S i n in g u n o de los n ú m e ro s a t , a 2 y a 3 es cero, entonces d espejando t de cada una de las e cu a cio n e s param étricas e igu a la n d o lo s resultad os se obtiene

x - x 0 L\

y - yo

z - z Q

-----------= ------------ = -----------al

a2

(*)

a3

298

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

E sta s e cu a cio n e s se llam an e c u a c io n e s s im é tr ic a s de la recta L que p a sa p o r el punto

P o ( x 0; y 0; z 0)

y es paralela al vector á = ( a x; a 2; a 3). L a s co m p on e n tes

del vector a 1 , a 2 y a 3 son los núm e ros directores de la recta L.

v

O bservación 9 a) Si uno de los números directores a i , a 2 ó a 3 es igual a cero, no p odem os usar la ecuación (*). En este caso se em plean otras relaciones P or ejemplo, si a x = 0, la ecuación de L se escribe com o , A y - y 0 ¿-¿o L: x = x 0 A --------- = ---------a2 a3

Si a 2 = 0, la ecuación de la recta L se escribe como x - x 0 z - z0

L: —

= —

A

=

S i a 3 = 0. La ecuación de L se escribe como

x - x 0 y — yo

L: -------------= -------- A z = zn a,

a2

b) Si dos de los números directores a, , a 2 ó a 3 son iguales a cero, tam poco se p u ede usar (*). P or ejemplo, si a , = a 3 = 0, la ecuación de la recta L se escribe com o L: x = x 0 A z = z 0 E je m p lo 2 2

D e te rm in e ¡as e cuaciones vectorial, param étricas y sim é tricas de la

recta que pasa p or el punto -4(1; 2; 2 ) y es p erpendicular a las rectas

Lx\ ( x ;y ;z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - l ; 0 ) y L2: ( x : y ; z ) = ( 0 ; - 3 , 0 ) - r s ( — 12; 3; 1 3 ) S o lu c ió n A q u i el ve ctor d ire cción a. de la recta L que pasa p or el punto A es perpe nd icu lar a los vectores

(vector dirección de Lx) y

¿ = (2;-l;0)

c = ( - 1 2 ; 3; 1 3 )

(vector d ire c ción de L2 )• E n to n ce s a \ \ b x c , donde

i J b x c

2 -13

k -

1 3

= (-1 3 ;-2 6 ;-6 )

0 13

A h o ra , to m and o el vector á = (1 3 ; 26; 6 ), las ecuaciones de la recta L son: F o rm a vectorial

L: ( x : y , z ) = (1: 2; 2 ) + £ (1 3 ; 26; 6), t £ IR IX =

1 4- 1 3 t

F o rm a param étrica L: | y = 2 + 2 6 t l z = 2 + 6t

x —1

y — 2 z — 2 F o r m a sim é tr ic a L: -------- = --------- = --------13 26 6 299

TOPICOS DE CALCU LO - VOLUMEN II

6.2.3 P O SIC IO N E S R E LA TIV A S DE DOS R EC TA S EN E L E SPA C IO E n el espacio R 3 las rectas

Lx: ( x ; y ; z ) = P0 + t a y L2 : ( x ; y ; z ) = Q0 + t b

pueden tener las siguientes p o sicio n e s relativas 6.2.3.1 R E C T A S P A R A L E L A S L a s rectas y L2 so n paralelas si su s vectores d irección d C o m o co n se cue n cia de este resultado tenem os

y b so n paralelos.

O bservación 10 i)

P ara todo punto Px de R 3 y toda recta Lt : (x\ y: z ) — P0 + t á , t E R , existe una única recta L que p a sa p o r el punto P x y es p a ra lela a la recta Ll

ii) S i Li y ¿ 2 son dos rectas paralelas, entonces

= l 2 ó L1 n L2 — 0

6 .2 .3 .2 R E C T A S S E C A N T E S

Lr y ¿ 2

L a s rectas

so n secantes si se intersecan en un ú n ic o punto, esto es,

¿ i n L2 — {P o }

6 .2 .3 .3 R E C T A S Q U E S E C R U Z A N L a s rectas Lx y i 2 se cruzan si n o se cortan y no son paralelas. D o s rectas que se cruzan están en p la n o s paralelos, esto es, no se encuentran en u n m is m o plano.

6.2.4

ANG ULO ENTRE DOS RECTAS

E l á n g u lo entre las rectas L t \ ( x \y - ,z ) = P0 + t á

y

L2: ( x ; y ; z ) = Q0 + s b

(F ig. 6 .18 ) es el á n g u lo 0 co m p re n d id o entre los vectores d ire cción a £)ü±bá-b = Q

300

y b

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ' 6.2.5 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N A R E C T A Se a n

un

L: ( x - ,y ; z ) = P0 + t á

una

punto recta

y

en

el

espacio IR3 . A h o ra , si d es la d istan cia del punto P,

a la

recta L (F ig . 6.19), entonces d = ||v|| s e n 9

8

don d e

es el á n gu lo

que

form an

los

vectores a y v = P0P1 P o r una p rop ie dad del producto vectorial se

Fig. 6.19

sabe que Ha x y|| = H a llllvll s e n 9 = ||a||(d) D e d ond e resulta a

E je m p lo 2 3

X

17 j

a x P0Pt

C a lc u le la d istan c ia del punto 4 ( 3 ; 2 ; - 1 )

a la recta

L: P — (1 ; 3; 2 ) + í ( — 1; 2; 3), t € K S o lu c ió n E n este ca so d = ( - 1 ; 2; 3 ) y v = 1 \A - (2 ; - 1 ; - 3 ) . entonces

á x v = ( - 3 ; 3; - 3 ) . L u e go , V9 + 9 + 9 _ V9 + 4 + 1

E je m p lo 2 4

27 ^ 14

Se a n las rectas;

L^. P = ( - 2 ; 1; 0 ) + £ ( - 2 ; 1; - 1 ) , t 6 R L2:Q = (3 ; 7; 1 ) + (— 1; 2; 3 ) , s 6 R ¿ 3: x = 2 + 4 t , y = - 1 - 2t , z = 2 + 2t x - 9

z - 3

LS:R = (3 ;4 ; 0) + r ( 4 ; - 2 ; 2 ) , r e IR

30!

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

Determ ine si son o no paralelas cada uno de los siguientes pares de rectas, en caso que sean secantes determ ine su intersección.

y Lz

a)

d) l 2 y L 4

b) ¿ i y l 3

c) Lx y Ls

e) L2 y L3

f) ¿ 4 y Ls

S o lu c ió n a)

Com o

lo s

vectores

d irección á = ( - 2; 1; — 1 )

y6 =

(— 1 ;2 ;3 )

no

son

paralelas, entonces las rectas Lt y L2no son paralelas. S u p o n g a m o s que A ( x ; y ; z ) £

n L2, entonces existen va lo re s ú n ic o s para t

y s para lo s cuales

A = ( - 2 ; 1; 0 ) + t ( — 2; 1; - 1 ) = (3; 7; 1 ) + s ( - 1; 2; 3 ) P or la igu a ld ad de vectores, se obtiene — 2 — 2t = 3 — s

(1 )

1+ t = 7 + 2 s

(2 )

- t = 1 + 3s

(3 )

7 26 R e so lv ie n d o (2 ) y (3 ) se ob tie n e s = - y t = — , p e ro e stos v a lo re s no 5 5 satisfacen (1). L u e g o , n o existe punto de intersección entre las rectas L 1 y Lz , es decir, Lx y L2 se cruzan. E n fo rm a a n á lo g a se prueba los siguientes resultados. b) Lx c)

|| ¿ 3 || ¿ 5

A

■=

¿3

n ¿5 =

0

AL x n L s = >1(5; 3; - 5 )

d)

L2 ttL 4

e)

L2 l/¡ L3 A

E j e m p lo 2 5

A

Lz A ¿ 3 se cruzan H a lle la ecu ación de la recta que pasa p or el punto P 0 ( 3 ; l ; 5 )

paralelo a la recta L t : 2 x — 2 = 1 — y A z = 4 S o lu c ió n E n p rim e r lu g a r re orde n and o la ecuación de la recta Lx tenem os 2 x - 2 = l - y A z

= 4

y —1

x - 1 = —

Lu e go , la e cu a ció n vectorial de L1 es L^.P = C o m o L ||

—

—2

Az = 4

(l;l;4 ) + t ( l ; - 2 ; 0 ) , t E R

=> L || a , don d e a = (1; - 2 ; 0 ) es el vector d ire c ció n de Lx

P o r tanto, la e cu a ció n de la recta b u sc a d a es

L: Q = (3 ; 1; 5 ) + A ( l ; - 2 ; 0 ), A £ R

302

yes

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

E je iilp fo 2 6 H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r P 0 (3; 1; — 2 ) y es p erpe n d icu la r a la recta Lx: x -r 1 = y + 2 = z + í

e interseca

S o lu c ió n L a fo rm a vectorial de !a e cuación de la recta

es

Ly. Q = ( —1; —2; —1) + A ( l ; 1; 1) ,

AgR

A el punto de intersección de las rectas Lx y L (F ig. 6.20). C o m o A G Lv entonces 3 k G K tai que A ( —l +

Se a

k : ~ 2 -'r k ' , — 1 -r k ) .

Por

la

c o n d ic ió n

de

perpendicularidad

resulta

P0A = {k - 4; k - 3; k + 1) 1 a = (1; 1; 1 ) PfíA. a. — k — 4 i- k — 3 + fc -i- 1 = 0 «=> k = 2 A s í, / 4 ( 1 ;0 ;1 ) L u e go , la e cu a ción de la recta que pasa por los puntos P 0 ( 3; 1; - 2 ) y ¿4(1; 0; 1 ) es

L: P = (3; 1; - 2 ) + t ( 2; 1; - 3 ) ,

t £ R

E j e m p lo 2 7 D e te rm in e la e cuación de la recta que pasa p or perpe n d icu lar a las rectas

L^.x = 3 + t , y = 4 + t , z = - 1 + t

A

x + 4 2y - \ ¿ 2 : -------- = -----------

S o lu c ió n Se a

a

el vector d ire cción de la recta

L buscada. Un vector d ire cción de L2 es v = (4 ; 1; 0 ) y el vector d ire cción de es b = (1; 1; 1). C o m o L i ¿ i

L 1 L2 y

^ a l í y a i i

=> a || v X b = (1; - 4 ; 3 ) L u e go , la ecua ción de la recta b uscada es

Fig. 6.21

L: P = (1; 4; 0) + t ( l ; —4; 3), t 6 303

P0( l ; 4 ; 0 )

yes

1 A

z ——

IOl’ lCOS DE CALCULO - VOLUMEN II

K jc in p ln 28 D eterm ine la e cuación de la recta que pasa p o r el punto m ed io de

AH

y corta bajo un á n gu lo de

recta que pasa p or lo s puntos donde 4 ( 2 ; 4; O V

2?(0; 0; — 2),

60c

a la

R y S. R ( 3; 3; 3 )

y S (-l;3 ;3 ). S o lu c ió n Este p rob le m a tiene d os so lu c io n e s

( Fig.

6 .2 2 ). El

punto

'm e d io

M ( 1; 2; — 1 )

del

segm ento

AB

es

y la e cuación de la recta L-¡_

que pasa p or R y S es

p = ( _ i ; 3; 3) + t ( l ; 0; 0), t 6 R Se a / el punto de intersección de L con Lr => I £

=> 3 t £ E / / ( - 1 + t; 3; 3)

D e la co n d ic ió n de que la recta L interseca a la recta L x bajo^un á n g u lo de 60° resulta

a ■t> eos 6 0 “ = ■

, d o n d e d = (1; 0; 0 ) , b = MI = (t - 2; 1; 4)

Ma ll|!u li

D e donde so o b tie n e

t-2

1

t = 2 ± ^ 1 7 / 3 => / ( I ± ^ 1 7 / 3 ; 3 ; 3 )

_ ¿ ( t ~ 2 )2 + 1 + 16

2

Lu e go , tas e cu a cio n e s de las rectas bu scad as son

L: Q = (1; 2; - 1 ) 4- r ( V l 7 / 3

; 1 ; 4), r £ U

L':Q' = ( 1 ; 2 ; - 1 ) + A ( - V l 7 / 3 ; 1 ; 4 ) , A E R E je m p lo 2 9

H a lle el punto en la recta

L: F = (2; 11; 1 4 ) 4- í (2;. 4; 5), t £

que e quidista de las rectas

L¡: E je x

A

/,2 :i.; b 2; b 3) L u e go , p o r la igu ald ad de vectores resulta

x = x 0 + r a x + sb x y = y 0 + ra 2 + sb 2 , r,s 6 R

Í

z = z0 + ra 3 +

E stas e cu a cion e s se llam an e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s del p lano Q que pasa p or el punto

P0( x 0; y Q-,z0)

y es paralelo a los vectores

a y b, r y s se llam an

p a r á m e t r o s de la ecuación. E je m p lo 3 0

H a lle las ecuacion e s vectorial y param étrica del p la n o que pasa por

los p untos P 0 ( 3 ; l ; 2 ) , P ^ l - , - 1 ; 2 ) y P 2 ( 2 ; 0 ; 3 ) S o lu c ió n L o s vectores p aralelos al plano Q que pasa por P0 ,P i 5

y

P2

so n

á = P ¿ P ¡ = ( - 2; — 2; 0 )

y

= P„P2 = ( - l ; - l ; l )

L u e go , la e cu a ción vectorial del p la n o Q es

Q: P = ( 3 ; l ; 2 ) + r ( - 2 ; - 2 ; 0 ) + s ( - l ; - l ; l ) ,

r,s 6 R

y su e cu a ción param étrica es:

íx = 3 — 2r —s Q: \ y = \ - 2 r - s , Iz = 2 + s

r ,s 6 R

O b s e r v a c ió n 12

i)

D e la ecuación vectorial del plan o se obtiene que N = a X b es un vector perpen dicu lar al plano. En general, todo vector no nulo perpen dicu lar al plan o es llam ado n orm al del plano.

ii) Si N es una norm al d el plan o Q: P = P0 + r a + s b , r , s E 1 y Px y P2 son dos puntos d el plano, entonces N 1 P\P2. iii) S i N es la norm al d el plan o Q: P — P0 + r á + s b , r , s 6 R y P0P1 1 N entonces Px 6 Q iv) Si

N

es la norm al d el plan o

Q = {P (x ;y ;z ) /

Q: P = P0 + r á + s b , r , s G R , entonces

Ñ .P^P = 0 } y es el único plan o que p a sa p o r

norm al N 307

P0

con

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

6.3.1.3 ECU A CIO N G EN E R A L DE UN PLANO Q un plano que pasa por el punto Po(x o’>yo'' z o) Y cu yo vector norm al es Ñ = ( A-.B-.C).

Se a

Se a

P (x ;y ;z )

un punto cualquiera del

plano Q , entonces P ¡ P 1 Ñ «=* Ñ.P^P = 0