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Formulaire de Mécanique (Sciences Techniques)

FORMULAIRE DE MECANIQUE formulaire de base Aire d'un disque

A : aire en mm2 r : rayon du disque en mm d : diamètre du disque en mm

Aire d'un anneau

A : aire en mm2 r : rayon intérieur de l’anneau en mm R : rayon extérieur de l’anneau en mm

Longueur d'un arc

L : longueur en mm r : rayon en mm θ : angle en rad

Relations dans le triangle rectangle

L=r.θ a = OM . cos θ b = OM . sin θ b/a = tan θ a2 + b2 = OM2

a, b, OM : longueurs en mm θ : angle en ° (degré)

Produit vectoriel

… et la règle du tire-bouchon ! Page 1 / 11

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Poids d'une masse

P = m.g

Pression

F P= S

Raideur d'un ressort

F k= f

Frottement

P : poids en N m : masse en kg g : accélération de la pesanteur en m/s2 p : pression en MPa (N/mm2) F : force en N S : surface pressée en mm2 k : raideur du ressort en N/mm F : force appliquée en N f : flèche* du ressort en mm * différence entre sa longueur initiale et sa longueur sous charge

T : "force de frottement" (ou composante tangentielle) en N N : composante normale en N f : facteur de frottement (sans unité) avec f = tgφ

T=N.f

Statique Principe fondamental de la statique

Théorème de la résultante statique

Pour un système matériel isolé

Théorème du moment statique

Tous les moments des résultantes appliquées au système matériel isolé doivent être définis au même point (B)

Changement de point d'expression d'un moment Page 2 / 11

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Cinématique

Mouvement plan

I1/0 représente le CIR du mouvement de 1/0

Autrement dit, V = r . ω pour un mouvement de rotation circulaire

Transmission de puissance Disque d’embrayage Couple transmissible par friction (embrayage, limiteur de couple, …)

Rapport de réduction

Transmission par courroie et transmission par engrenage

2 r ⎛ R3 − r3 ⎞ ⎟ C t = .n. F .f.⎜⎜ 2 2 ⎟ 3 − R r ⎝ ⎠

r=

N sortie Zmenantes = (−1) c . N entrée Zmenées

N1 Z 2 d 2 = = N 2 Z1 d1 avec d = m . z la dernière égalité (= d2/d1) n'est pas valable pour les couples roue + vis sans fin

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Ct : couple transmissible en N.mm r:rayon intérieur de garniture en mm R: rayon extérieur de garniture en mm n: nombre de contacts f: facteur de frottement (sans unité) r : rapport de réduction Ni : fréquence de rotation en tr/min c : nombre de contacts extérieurs z : nombre de dents n : fréquence de rotation en tr/min z : nombre de dents d : diamètre de poulie ou diamètre de roue en mm m : module de denture en mm Préparé Par Mr Ben Abdallah Marouan

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Principe vis-écrou (rotation de vis provoquant une translation d'écrou)

Principe biellemanivelle (réversible)

Principe pignoncrémaillère (réversible)

Principe came excentrique - poussoir (non réversible) (rotation de came provoquant une translation de poussoir)

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s = p.θ. V = p.

1 2.π

s : déplacement de l'écrou en mm p : pas de vis en mm ( par tour ), θ : angle de rotation de la vis en rad v : vitesse linéaire de l'écrou en mm/s N : fréquence de rotation en tr/min

N 60

C : course du piston (translation) en mm e : excentration de la manivelle (rotation) en mm

C=2.e

s=r.θ v=r.ω

C=2.e

W

r V

s : déplacement de la crémaillère en mm r : rayon primitif du pignon en mm θ : angle de rotation du pignon en rad v : vitesse linéaire de la crémaillère en mm/s ω : vitesse angulaire du pignon en rad/s

C : course du poussoir (translation) en mm e : excentration de la came (rotation) en mm

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Puissance relative à un mouvement de translation Puissance relative à un mouvement de rotation

P=F.V

P : puissance en W F : force en N v : vitesse linéaire en m/s

P=C.ω

P : puissance en W C : couple en N.m ω : vitesse angulaire en rad/s Psortie : Puissance de Sortie en W Pentrée : Puissance d’entrée en W Putile : Puissance utile W Pabsorbée : Puissance absorbée en W

Rendement

Guidage en Rotation Guidage par contact direct

A cause des risques Les ajustements possibles (Ex) d’échauffement, cette solution est à réserver aux domaines suivants : H7/e7 - H8/e8 - H6/f6 - H7/f7 - H8/f7 - Faibles vitesses ; - H6/g5 - H7/g6 . . . - Efforts transmissibles peu élevés.

Guidage par interposition de bagues de frottement (Coussinet)

Le principe du contact direct est amélioré en interposant des bagues de frottement qui vont : - Diminuer le coefficient de frottement ; - Augmenter la durée de vie de l’arbre et du logement ; - Diminuer le bruit ; - Reporter l’usure sur les bagues.

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Diamètre extérieur H7/p6 Diamètre intérieur H7/f7

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ARBRE TOURNANT PAR RAPPORT A LA CHARGE

Les Ajustements : Les bagues intérieures tournantes sont montées SERREES : Tolérance de l’arbre : k6 En remplaçant le frottement par Guidage en rotation par roulements à billes à contact radial (type BC)

glissement par du roulement, on diminue

Les bagues extérieures fixes sont montées GLISSANTES : Tolérance de l’alésage : H7 (la régosité de porte de roulement Ra=0,8)

la puissance absorbée. Le rendement du

ALESAGE (MOYEU) TOURNANT PAR

guidage en rotation est

RAPPORT A LA CHARGE

donc meilleur.

Les Ajustements : Les bagues intérieures fixes sont montées GLISSANTES : Tolérance de l’arbre : g6 Les bagues extérieures tournantes sont montées SERREES : Tolérance de l’alésage : N7 (la régosité de porte de roulement Ra=0,8)

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ARBRE TOURNANT PAR RAPPORT A LA CHARGE MONTAGE DIRECTE EN ‘X’

Ajustements : Les bagues intérieures tournantes sont montées SERREES :

Ces roulements Guidage en rotation par roulements à contact obliques (types KB et BT)

supportent des charges axiales relativement

Tolérance de l’arbre : m6 Les bagues extérieures fixes sont montées GLISSANTES : Tolérance de l’alésage : H7 (la régosité de porte de roulement Ra=0,8)

importantes et des

ALESAGE (MOYEU) TOURNANT

charges axiales et

PAR RAPPORT A LA CHARGE MONTAGE

radiales combinées.

INDIRECTE EN ‘O’

Ajustements : Les bagues intérieures fixes sont montées GLISSANTES : Tolérance de l’arbre : f6 Les bagues extérieures tournantes sont montées SERREES : Tolérance de l’alésage : N7 (la régosité de porte de roulement Ra=0,8) Page 7 / 11

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- Le montage en «O» s'emploie aussi avec les arbres tournants lorsque les organes de transmission sont situés en dehors de la Cas Particulier pour un guidage en liaison (engrenages en rotation par porte à faux). roulements à contact - Le réglage du jeu interne obliques (types KB et BT) est réalisé sur la bague intérieure du roulement qui est à gauche (Ø... h6) par l’écrou à encoches. Conditions de montage

Exemple de montage

Joints à lèvres à frottement radial

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Les Engrenages Engrenages cylindriques à denture droite - Les plus courants. - Les plus économiques. - Petite roue : pignon - Pas d’effort axial.

Engrenages cylindriques à contact intérieur

Engrenages cylindriques à denture hélicoïdale - Contact progressif donc moins de bruit. - Présence d’un effort axial.

Pignon - crémaillère

Engrenages coniques - Nécessite un réglage (coïncidence des sommets des cônes primitifs). - Axes non parallèles - Denture droit, hélicoïdale ou hypoïde.

Roue et vis sans fin

- Grand rapport de réduction - Transformer un mouvement - Les deux roues ont même - Vis : Z=nombre de filets de rotation en un mouvement de - Irréversibilité possible sens de rotation. translation et réciproquement. - Axes perpendiculaires.

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Z

Nombre de dents

m

Module

d

d=mxZ

Diamètre primitif

ha

ha = m

Saillie

hf

hf = 1,25 m

Creux

h

h = 2.25 m

Hauteur de dent

p

p= π.d/Z = π.m

Pas au primitif

da

da = d + 2m

Diamètre de tête

df

df = d – 2,5 m

Diamètre de pied

a

(d1 + d2) / 2 = m (Z1 + Z2) / 2

Entraxe de deux roues dentées

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Flexion Plane Simple - Diagramme des efforts tranchants (TY)

C’est la répartition des actions perpendiculaires à la ligne moyenne sur toute la longueur de la poutre

TY Maxi

- Diagramme des Moments Fléchissant (MfZ)

C’est la répartition des moments autour de l’axe (OZ) Sur toute la longueur de la poutre

MfZ Maxi

- Contrainte normale Maximale (σMaxi)

- Contrainte Tangentielle (τ)

σ Maxi =

r

σMaxi : Contrainte normale Maximale (N/mm2) MfZ Maxi : Moments Fléchissant Maximale (Nm)

MfzMaxi I GZ v

τ moy =

IGZ : Moment Quadratique (mm4) v : Désigne la valeur de Y la plus éloignée « Y Maxi » (mm) IGZ / v : Module de flexion (mm3)

r TY Maxi

|| τ || : Contrainte Tangentielle (N/mm2)

|| Ty Maxi || : Effort Tranchant Maximale (N) ;

S

σ Maxi ≤ R pe

- Condition de Résistance

S : Section de la poutre (mm). MfzMaxi Re ≤ I GZ s v

⇒

- Valeur du moment Quadratique de surfaces élémentaires : IGZ

IGZ = b h3 / 12 Avec v = h / 2 Page 10 / 11

IGZ = a4 / 12 Avec v = a / 2

IGZ = π . d4 / 64 Avec v = d / 2

IGZ = π . (D4 - d4) / 64 Avec v = D / 2 Préparé Par Mr Ben Abdallah Marouan

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Torsion Simple

θ=

- Angle unitaire de torsion (θ)

α L

τ = G.ρ .θ et

- Répartition des contraintes

τ Maxi = G.R.θ M θ= t G.Io

- Equation de la déformation élastique

θ ≤ θlimite

- Condition de rigidité - Condition de résistance

Mt : Moment de torsion en (N.mm) G : Module d’élasticité transversale en (N/mm2)

τ Maxi =

Mt ⎛ Io ⎞ ⎜ ⎟ ⎝R⎠

≤τp =

τe s

Mt : Moment de torsion (N.mm) τMaxi : Contrainte tangentielle Maxi (N/mm2) τe : (Reg) Limite élastique au cisaillement ou au glissement (MPa) (N/mm2). - Valeur du moment Quadratique plaire : Io

Io = π . d4 / 32

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L : Longueur de l’éprouvette en mm θ: est exprimé en rd/mm α: angle de torsion en rd G : Module d’élasticité transversale ou module de Coulomb (N/mm2) R : Rayon de la section (mm) R=ρmaxi τ : Contrainte de torsion (N/mm2) Io : Moment quadratique polaire en (mm4 ) θ : Angle unitaire de torsion en (rd/mm)

Io : Moment quadratique polaire (mm4) R : Distance entre la fibre neutre et la fibre la plus éloignée (mm) s : Coefficient de sécurité τp : (Rpg) Résistance pratique au glissement (MPa).

Io = π . (D4 - d4) / 32

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