Formelsammlung Mathematik

Formelsammlung für den Modullehrgang

Eintrittsprüfung 1) Zahlenbereiche Natürliche Zahlen = positive Zahlen

ℕ = {1, 2, 3, …}

Ganze Zahlen = Positive und negative Zahlen, sowie Null Rationale Zahlen = Bruchzahlen

ℤ = {0, ± 1, ± 2, ± 3, …}

Reelle Zahlen = Bruchzahlen und Zahlen, die sich nicht durch Brüche darstellen lassen (irrationale Zahlen)

p  ℚ =  p, q ∈ ℤ und q ≠ 0  q  ℝ = "vollständige" Zahlengerade

2) Griechisches Alphabet

3) Logische Symbole ≤ kleiner gleich

< kleiner

≥ größer gleich

>

größer

≈ ungefähr ∧ und

∨ oder

∩ geschnitten

∪ vereinigt

5∈ A

5 ist Element von A

7∉ A

7 ist kein Element von A

C=D

C gleich D, C und D enthalten gleiche Elemente

E⊆F

E ist eine Teilmenge von F ; aus x ∈ E fo lg t x ∈ F

E⊄F

E ist keine Teilmenge von F ; aus x ∈ E fo lg t x ∈ F

1

Formelsammlung für den Modullehrgang

4) Potenz- und Wurzelgesetze Definitionen a n = a⋅ a ⋅… ⋅a

mit n ∈ ℕ

a 0 = 1 mit

a1 = a

a≠0

n − Faktoren

Rechengesetze

(1)

a m ⋅ a n = a m+n

Multiplikation bei gleicher Basis

(2)

a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n

Multiplikation bei gleichem Exponenten

(3)

am = a m −n n a

(4)

an  a  =  bn  b 

(5)

(a )

m n

mit

a≠0

Division bei gleicher Basis

mit

b≠0

Division bei gleichem Exponenten

n

= a m⋅ n

Potenzieren n

−n

1 1 = n =   mit a ≠ 0 a a

(6)

a

−n

(7)

1   a a   b

−n

(8)

=

Potenzen mit negativem Exponenten

1 = a n mit a ≠ 0 Potenzen mit negativem Exponenten −n a n

b =   mit a, b ≠ 0 a

Potenzen mit negativem Exponenten

Wurzeln (a, b ≥ 0) m

(1)

n

(2)

a

n

(3)

n

a m = a n mit a ≥ 0, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ −

1 n

=

a = b

(4)

1 mit a ≠ 0, n ∈ ℕ n a

(5)

a mit b ≠ 0, n ∈ ℕ b

(6)

n

n

a ⋅ n b = n a ⋅ b mit n ∈ ℕ

( ) n

am

n p

q

= n a mq mit n, q ∈ ℕ, m ∈ ℤ

am =

np

a m mit n, p ∈ ℕ,m ∈ ℤ

5) Satz von Pythagoras a2 + b2 = c2

2

Formelsammlung für den Modullehrgang

6) Binomische Formeln

(a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2 (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a ± b )3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 7) Quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0

⇒

x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac 2a

b c x1 ⋅ x 2 = a a 2 ax + bx + c = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 )

Vieta : x1 + x 2 = −

8) Funktionen a.) Lineare Funktionen y = mx + q m=

∆y … Steigung ∆x

b.) Quadratische Funktionen y = ax 2 + bx + c 2

b  b2  Scheitelpunktformel: y = ax + bx + c = a ⋅  x +  + c − 2a  4a  2

 b 4ac − b 2  S − |  4a   2a

3

Formelsammlung für den Modullehrgang

9) Ebene Figuren A…Flächeninhalt

u… Umfang

a.) Dreieck

b.) Viereck

4

Formelsammlung für den Modullehrgang c.) Kreis

10)

Körper

5

Formelsammlung für den Modullehrgang

6

Formelsammlung für den Modullehrgang

Algebra und Arithmetik Folgen und Reihen Allgemein gilt: (1) n ∈ ℕ (2) a1 … 1. Folgenglied

a n … n-tes Folgenglied n

Teilsummenfolge

s n = a1 + a 2 + a 3 + … + a n = ∑ a k k =1

Arithmetische Folge Graph

Konstante Differenz

d = a n +1 − a n

Explizite Darstellung

a n = a1 + ( n − 1) ⋅ d

Rekursive Darstellung

a n +1 = a n + d

Summenformel

sn =

n ⋅ ( n − 1) ⋅ d n ⋅ ( a1 + a n ) = a 1 ⋅ n + 2 2

Geometrische Folge Allgemein:

q ≠ 1, q ≠ 0

Graph

a n +1 an

Konstanter Quotient

q=

Explizite Darstellung

a n = a1 ⋅ q n −1

Rekursive Darstellung

a n +1 = a n ⋅ q

Summenformel

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1 − qn qn −1 = a1 ⋅ 1− q q −1 1 s ∞ = a1 ⋅ q 1, x ∈ ℝ

Natürliche Exponentialfunktion

y=e

e… Eulersche Zahl, x ∈ ℝ

Logarithmusfunktion

y = log a ( x )

x > 0, a > 1

Logarithmus Basen (1) Allgemeiner Logarithmus

x = log a ( b ) ⇔ a x = b

(2) Dekadischer Logarithmus

x = log10 ( b ) = lg ( b ) ⇔ 10x = b

(3) Natürlicher Logarithmus

x = log e ( b ) = ln ( b ) ⇔ e x = b

(4) Binärer Logarithmus

x = log 2 ( c ) = lb( c ) ⇔ 2x = c

Basiswechsel

log b ( x ) =

Logarithmengesetze

p, q > 0

lg ( x ) lg ( b )

log a ( pq ) = log a ( p ) + log a ( q ) p log a   = log a ( p ) − log a ( q ) q log a p n = n ⋅ log a ( p )

( )

log a

( p ) = n1 ⋅ log n

a

(p)

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Formelsammlung für den Modullehrgang

Geometrie 1. Allgemeine Bezeichnungen ∠ABC…

Winkel mit dem Scheitel B

____

AB… Strecke von A nach B Winkelbeschriftung mit griechischen Buchstaben (siehe Formelsammlung Eintrittsprüfung)

2. Winkel

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Formelsammlung für den Modullehrgang

3. Winkelmaße Grad:

Radiant:

1° = 60′ (Minuten) = 3600′′ (Sekunden) bzw. 180 ⋅ b α= b … Bogenmass π π = 180° π⋅α b= 180°

4. Einheitskreis und Winkelfunktionen

G H A cos ( x ) = H sin ( x ) G tan ( x ) = = cos ( x ) A

sin ( x ) =

G … Gegenkathete A … Ankathete H … Hypotenuse

5. Trigonometrische Grundbeziehungen „Trigonometrischer Pythagoras“

cos ²(α ) + sin 2 (α ) = 1

Komplementär- und Supplemetärwinkelsätze

sin(90° − ϕ) = sin ( 90° + ϕ ) = cos(ϕ) cos(180° + ϕ) = cos (180° − ϕ ) = − cos(ϕ) cos(90° − ϕ) = sin(180° − ϕ) = sin ( ϕ ) cos(90° + ϕ) = sin(180° + ϕ) = − sin ( ϕ )

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Formelsammlung für den Modullehrgang 6. Spezielle Winkel: Höhen- und Tiefenwinkel

Horizontalebene

7. Rechtwinkliges Dreieck Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck

Satz von Pythagoras

c2 = a 2 + b2

8. Allgemeines Dreieck Winkelsumme Sinus-Satz

Cosinus-Satz

180° a b c = = = 2R sin ( α ) sin ( β ) sin ( γ ) R … Umkreisradius a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos ( α )

b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos ( β ) c2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos ( γ ) Flächenberechnung Allgemein

Formel von Heron

A=

a ⋅ b ⋅ sin ( γ ) 2

=

b ⋅ c ⋅ sin ( α ) 2

=

a ⋅ c ⋅ sin ( β )

2 a ⋅b⋅c = 2 ⋅ R 2 ⋅ sin ( α ) ⋅ sin ( β ) ⋅ sin ( γ ) = 4⋅R R … Umkreisradius A = s ⋅ (s − a ) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c)

wobei s =

=

a+b+c 2

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Formelsammlung für den Modullehrgang Inkreisradius

r= r=

A s

(s − a ) ⋅ (s − b ) ⋅ (s − c) s

mit s =

a+b+c 2

Kongruenz und Ähnlichkeit Kongruenzsätze

SSS - Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der drei Seitenlängen überein, dann sind sie ähnlich zueinander. SWS – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis der Längen zweier Seiten und dem von ihnen eingeschlossene Winkel überein, dann sind sie ähnlich. Ssw – Stimmen zwei Dreiecke im Verhältnis zweier Seitenlängen und in dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind sie ähnlich. WSW – Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, dann sind sie ähnlich zueinander.

Strahlensätze

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Formelsammlung für den Modullehrgang

Wahrscheinlichkeit Kombinatorik n ∈ ℕ, k ∈ ℕ, k ≤ n Fakultät Binomialkoeffizient

n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅… ⋅ n 0! = 1 1! = 1 n ⋅ ( n − 1) ⋅… ⋅ ( n − k + 1) n n! =  = 1 ⋅ 2 ⋅… ⋅ k  k  k!⋅ ( n − k ) !

Anzahl der geordneten Stichprobe mit Zurücklegen (Variation mit Wiederholung): nk Anzahl der geordneten Stichprobe ohne Zurücklegen (Variation ohne Wiederholung): n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅… ⋅ ( n − k + 1) ( n − k )! Anzahl der ungeordneten Stichproben ohne Zurücklegen (Kombination ohne Wiederholung): n   k Anzahl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Elementen (Permutation ohne Wiederholung) n!

Wahrscheinlichkeitsrechnung Ω… Ereignisraum ω, E … Ereignis

A ∪ B… A oder B

E… Gegenereignis n … Anzahl der Versuche f w … Absolute Häufigkeit

A ∩ B… A und B P ( E )…

Wahrscheinlichkeit von E

h w … Re lative Häufigkeit

Relative Häufigkeit

hw =

fw n

Gleichwahrscheinlichkeit

P (E) =

Gegenwahrscheinlichkeit

P E = 1− P (E)

g Anzahl der günstigen Fälle = m Anzahl der möglichen Fälle

( )

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Formelsammlung für den Modullehrgang Additionssätze

P ( E ∪ F) = P ( E ) + P ( F) − P ( E ∩ F) P ( E ∪ F) = P ( E ) + P ( F)

Bernoulli – Experiment Ziehen mit Zurücklegen

vereinbare Ereignisse unvereinbare Ereignisse

und → Multiplikation oder → Addition n … Gesamtumfang der Stichprobe k … Anzahl der Erfo lg e p … Wahrscheinlichkeit für Erfo lg q = 1 − p … Wahrscheinlichkeit für Misserfo lg

Hypergeometrische Verteilung Ziehen ohne Zurücklegen

n Pn ( k ) = P ("Genau k Erfo lg e in n Versuchen ") =   ⋅ p k ⋅ q n − k k N … Gesamtumfang der Stichprobe n … Kleine Stichprobe aus dem Gesamtumfang T1 …1.Teilmenge T2 … 2.Teilmenge T1 + T2 = N k … Anzahl der Erfo lg e aus T1

 T1   T2   ⋅  k n −k Pn ( k ) =    N   n

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