Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik
February 2, 2017 | Author: Jakob Vesely | Category: N/A
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Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik
2
Inhaltsverzeichnis Gleichstromtechnik 1 Elektrische Grundgrößen....................................17 1.1 Elektizitätsmenge/Ladung...................................17 1.2 Stromdichte........................................................17 1.3 Leitwert..............................................................18
2 Ohmsches Gesetz....................................................19 2.1 Allgemein............................................................19 2.2 Kurzschlussstrom................................................20
3 Der Widerstand......................................................21 3.1 Schaltung von Widerständen..............................21 3.1.1 Serienschaltung...............................................21 3.1.2 Parallelschaltung.............................................22 3.1.2.1 Bei 2 Widerstände...................................22 3.1.2.2 Bei mehr als 2 Widerstände....................22 3.2 Der Leiterwiderstand..........................................23 3.2.1 Spezifische Widerstand...................................23 3.2.2 Spezifische Leitfähigkeit..................................23 3.2.2.1.1 Leitfähigkeitswerte..........................24 3.3 Temperaturabhägingkeit.....................................25 3.3.1 Warmwiderstand............................................25 3.3.2 Berechnung mit Tau........................................25 3.3.3 Temperaturdifferenz.......................................26
4 Kirchhoffschen Gesetze........................................27 3
4.1 Knotenregel........................................................27 4.2 Maschenregel.....................................................28
5 Spannungs- und Stromteilerregeln..................29 5.1 Spannungsteilerregel..........................................29 5.2 Stromteilerregel..................................................30 5.2.1 1.) Stromteilerregel.........................................30 5.2.2 2.) Stromteilerregel.........................................30 5.2.3 3.) Stromteilerregel.........................................30
6 Spannungsteiler......................................................33 6.1 Unbelasteter Spannungsteiler.............................33 6.2 Belasteter Spannungsteiler.................................34
7 MB – Erweiterung für Str. und Spg....................35 7.1 MB – Erweiterung beim Amperemeter................35 7.2 MB – Erweiterung beim Voltmeter......................36
8 Ersatzschaltbilder..................................................37 8.1 Reduzierte Ersatzschaltbilder..............................37 8.2 Stern und Dreieck-Schaltung...............................38 8.2.1 Dreieck – Stern – Transformation...................38 8.2.2 Stern – Dreieck – Transformation...................38
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad................41 9.1 Arbeit und Energie..............................................41 9.1.1 Elektrische Arbeit............................................41 9.1.2 Mechanische Arbeit........................................42 9.1.2.1 Gewicht...................................................42 9.1.2.1.1 Erdbeschleunigung..........................42 9.1.2.2 Kraft.........................................................43 4
9.1.3 Wärmeenergie................................................43 9.1.3.1 spezifische Wärmekapazität....................43 9.1.3.1.1 H2O..................................................43 9.1.4 Gleichwertigkeit..............................................44 9.2 Leistung..............................................................44 9.2.1 Allgemein........................................................44 9.2.2 Elektrische Leistung........................................44 9.3 Wirkungsgrad......................................................45 9.3.1 Gesamt Wikrungsgrad.....................................45
Wechselstrom 10 Allgemeine Parameter.......................................49 10.1 Frequez.............................................................49 10.2 Kreisfrequenz....................................................49 10.3 Momentanwert bei Sinuswelle..........................50 10.4 Linearer Mittelwert...........................................50 10.5 Gleichrichtwert.................................................51 10.5.1 Vollweggleichrichtung...................................51 10.5.2 Einweggleichrichtung....................................51 10.5.3 Gleichrichtwert einer Sinuswelle..................52 10.5.4 Gleichrichtwert eines Dreiecksignals............52 10.5.5 Gleichrichtwert eines Rechtecksignals.........52 10.6 Effektivwert......................................................53 10.6.1 Effektivwert für beliebige Kurvenform.........53 10.6.2 Effektivwert bei Sinuswelle...........................53 10.6.3 Effektivwert bei Sinushalbwelle....................54 10.6.4 Effektivwert bei Virtelsinuswelle..................54 10.6.5 Effektivwert bei Rechtecksignal....................54 10.6.5.1 Mit Nullstellen.......................................54 5
10.6.5.2 Ohne Nullstellen....................................55 10.6.6 Effektivwert eines Dreiecksignals.................55 10.6.7 Effektivwert einer Mischgröße......................56 10.7 Scheitelfaktor – Crestfaktor...............................56 10.8 Formfaktor........................................................56
11 R, L und C im Wechselstromkreis...................59 11.1 Rein ohm'scher Widerstand im Wechselstromkreis...................................................59 11.1.1 Spannung......................................................59 11.1.2 Strom.............................................................60 11.2 Reine Induktivität im Wechselstromkreis..........60 11.2.1 Voraussetzung...............................................60 11.2.2 Spannung......................................................60 11.2.2.1 Momentanwert.....................................60 11.2.2.2 Effektivwert...........................................61 11.2.3 Induktiver Blindwiderstand...........................61 11.2.4 Induktiver Blindleitwert................................62 11.3 Reine Kapazität im Wechselstromkreis..............62 11.3.1 Voraussetzung...............................................62 11.3.2 Strom.............................................................62 11.3.2.1 Momentanwert.....................................62 11.3.2.2 Spitzenwert...........................................63 11.3.2.3 Effektivwert...........................................63 11.3.3 Blindwiderstand............................................64 11.3.4 Blindleitwert..................................................64 11.4 Serienschaltung von R und L..............................64 11.4.1 Impedanz......................................................64 11.4.2 Admittanz......................................................65 11.4.3 Bauteilleitwerte............................................66 11.5 Serienschaltung von R und C.............................66 6
11.5.1 Impedanz......................................................66 11.5.2 Admittanz......................................................67 11.5.3 Bauteilleitwerte............................................68 11.6 Serienschaltung von R, L und C..........................68 11.6.1 Impedanz......................................................68 11.6.2 Wirkspannung...............................................69 11.6.3 Blindspannung..............................................69 11.7 Parallelschaltung von R und L............................70 11.7.1 Admittanz......................................................70 11.7.2 Gesamtstrom................................................70 11.8 Parallelschaltung von R und C...........................71 11.8.1 Admittanz......................................................71 11.9 Parallelschaltung von R, L und C........................72 11.9.1 Admittanz......................................................72 11.10 Serienschaltung beliebiger Verbraucher..........72 11.10.1 Spannung....................................................72 11.10.2 Impedanz....................................................73 11.10.3 Serienschaltung gleicher Elemente............73 11.10.3.1 Widerstände........................................73 11.10.3.2 Induktivitäten......................................74 11.10.3.3 Kapazitäten..........................................74 11.11 Parallelschaltung beliebiger Verbraucher........75 11.11.1 Strom...........................................................75 11.11.2 Admittanz....................................................75 11.11.3 Parallelschaltung gleicher Elemente...........76 11.11.3.1 Widerstände........................................76 11.11.3.2 Induktivitäten......................................77 11.11.3.3 Kapazitäten..........................................77
12 Leistungen im Wechselstromkreis................79 12.1 Wirkleistung bei ohm'schen Widerstand...........79 7
12.2 Blindleistung.....................................................80 12.3 Scheinleistung...................................................81 12.4 Leistungsfaktor.................................................81
13 Schwingkreise.......................................................83 13.1 Serienschwingkreis...........................................83 13.2 Parallelschwingkreis..........................................84 13.3 Nomierung von Schwingkreisgrößen.................85 13.3.1 Kennfrequenz des Resonanzkreises..............85 13.3.1.1 nomierte Frequenz................................85 13.3.2 Kennwiderstand des Resonanzkreises..........86 13.3.3 Verstimmung.................................................86 13.3.4 Gütefaktor und Dämpfungsfaktor.................87 13.3.4.1 Serienschwingkreis................................87 13.3.4.1.1 Gütefaktor.....................................87 13.3.4.1.2 Bauteilgüte einer Spule.................89 13.3.4.2 Parallelschwingkreis..............................89 13.3.4.2.1 Gütefaktor.....................................89 13.3.4.2.2 Bauteilgüte eines Kondensators....90 13.3.5 Die Bandbreite..............................................91 13.3.5.1 Serienschwingkreis................................91 13.3.5.2 Parallelschwingkreis..............................92 13.3.6 Zusammenhang Güte, Dämpfung und Bandbreite................................................................92 13.3.7 Das Bodediagramm.......................................93 13.3.7.1 Übertragungsfunktion...........................93 13.3.7.2 Hochpass...............................................94 13.3.7.2.1 Übertragungsfunktion...................94 13.3.7.2.2 Verstärkung....................................94 13.3.7.2.3 Phasenwinkel.................................95 13.3.7.2.4 Grenzfrequenz...............................95 8
13.3.7.3 Tiefpass.................................................96 13.3.7.3.1 Übertragungsfunktion...................96 13.3.7.3.2 Verstärkung....................................96 13.3.7.3.3 Phasenwinkel.................................97 13.3.7.3.4 Grenzfrequenz...............................97
Elektrisches Feld 14 Grundgrößen......................................................101 14.1 Feldstärke.......................................................101 14.2 Flussdichte......................................................102 14.3 Permittivität....................................................102 14.4 Kraft ...............................................................103 14.5 Ladung ...........................................................103 14.6 Kapazität ........................................................104
15 Die Kapazität......................................................107 15.1 Serienschaltung...............................................107 15.2 Parallelschaltung.............................................108
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld...............................................................................109 16.1 Energieinhalt ..................................................109 16.2 Kraft ...............................................................110 16.3 Arbeit..............................................................110 16.4 Leistung..........................................................111
17 Coulombsches Gesetz.......................................113 17.1 Kraft................................................................113 17.2 Elektrische Feldstärke......................................114 9
18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum....115 19 Kondensator an zeitabhängiger Spg...........117 19.1 Stromstärke zum Zeitpunkt t...........................117 19.2 Ladung............................................................118
Elektromagnetismus 20 Grundgrößen......................................................121 20.1 Magnetische Feldstärke...................................121 20.2 Flussdichte......................................................121 20.2.1 Permeabilität...............................................122 20.3 Induktivität.....................................................122 20.4 Durchflutung einer Spule.................................123 20.5 Spannung........................................................123 20.6 Kraftwirkung im magnetischen Feld................123
21 Induktionsgesetz...............................................125 21.1 Allgemein........................................................125 21.2 Induktion der Bewegung.................................126 21.2.1 Spannung....................................................126 21.3 Induzierte Spannung durch zeitlich veränderliche Magnetfelder..........................................................126 21.3.1 Flussänderung Dreiecksförmig....................126 21.3.1.1 Spannung............................................126 21.3.2 Flussänderung Sinusförmig.........................127 21.3.2.1 Spannung............................................127 21.3.3 Selbstinduktion...........................................127 21.4 Gegeninduktion - Trafoprinzip.........................129 21.4.1 Trafogesetze................................................129 10
21.4.1.1 1. Trafogesetz......................................129 21.4.1.2 2. Trafogesetz......................................129 21.4.1.2.1 Übersetzungsverhältnis...............130 21.4.1.3 3. Trafogesetz......................................130
22 Induktivität von Spulen..................................131 22.1 Für alle Spulen mit 1 mag. Wdst. Gilt...............131 22.1.1 Magnetische Feldstärke..............................131 22.1.2 Durchflutungssatz.......................................132 22.1.3 Induktion.....................................................132 22.1.4 Magnetische Fluss.......................................132 22.2 2. Form des Induktionsgesetz..........................133 22.3 Induktivität Allgemein.....................................134 22.3.1 Magnetische Widerstand............................135 22.4 Luftspule.........................................................135 22.4.1 Ringspule (Torus).........................................135 22.4.1.1 Fläche..................................................135 22.4.1.2 Länge...................................................136 22.4.1.3 Magnetischer Widerstand...................136 22.4.1.4 Induktivität..........................................136 22.4.2 Zylinderspule...............................................137 22.4.2.1 Für l ≥ d................................................137 22.4.2.1.1 Fläche..........................................137 22.4.2.1.2 Magnetischer Widerstand...........137 22.4.2.1.3 Induktivität..................................138 22.4.2.2 Für l < 10 d...........................................138 22.4.2.2.1 Fläche..........................................138 22.4.2.2.2 Magnetischer Widerstand...........139 22.4.2.2.3 Induktivität..................................139 22.5 Eisendrossel ohne Luftspalt.............................140 22.5.1 Magnetischer Widerstand..........................140 11
22.5.2 Induktivität..................................................140 22.6 Eisendrossel mit Luftspalt...............................141 22.6.1 Induktion.....................................................141 22.6.1.1 In Sättigung bei Trafo Perm N2...........141 22.6.1.2 Nicht in Sättigung bei Trafo Perm N2. .142 22.6.2 Induktivität..................................................142 22.7 Spule an Wechselspannung.............................143 22.7.1 Spannung....................................................143 22.7.2 Strom...........................................................143
23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen...............................145 23.1 Kopplungsgrad und Streufaktor.......................145 23.1.1 Kopplungsgrad............................................145 23.1.2 Streufaktor..................................................146 23.1.3 Übersetzungsverhältnis..............................146 23.2 Gegeninduktivität...........................................147 23.2.1 Gesamtstreufaktor......................................147 23.3 Kopplung von 2 in Serie geschaltete Spulen.....147 23.3.1 Gleichsinnig wirkende Suplen.....................147 23.3.1.1 Für k = 100% , Ϭ = 0.............................147 23.3.1.2 Für 0 < k < 1, 0 < Ϭ < 1.........................148 23.3.1.3 Für k = 0, Ϭ = 1...................................148 23.3.1.3.1 Serie.............................................148 23.3.1.3.2 Parallel.........................................149 23.3.2 Gegensinnig wirkende Spulen.....................149
24 Energie im magnetischen Feld......................151 24.1 Energieinhalt...................................................151 24.2 Energiedichte..................................................152
12
Anhang 25 Konstanten..........................................................157 26 Griechisches Alphabet.....................................159
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Gleichstromtechnik
15
16
1 Elektrische Grundgrößen
1 Elektrische Grundgrößen
1.1 Elektizitätsmenge/Ladung
Q= I⋅t Q............Elektrizitätsmenge/Ladung [As/C] I..............Stromstärke [A] t.............Zeit [s]
1.2 Stromdichte
I J= A 1 Elektrische Grundgrößen
17
d.............Leiterdurchmesser [mm] A............Leiterquerschnitt [mm²] I..............Stromstärke [A]
1.3 Leitwert
1 G= R G............Leitwert [S] R............Widerstand [Ω]
18
1 Elektrische Grundgrößen
2 Ohmsches Gesetz
2.1 Allgemein
U =R⋅I U R= I
U I= R
U............Spannung [V] R............Widerstand [Ω] I..............Stromstärke [A]
2 Ohmsches Gesetz
19
2.2 Kurzschlussstrom
U0 I K= Ri IK ............Kurzschlusstrom [A] U0 ..........Quellspannung [V] Ri............Innenwiderstand [Ω]
20
2 Ohmsches Gesetz
3 Der Widerstand
3.1 Schaltung von Widerständen 3.1.1 Serienschaltung
R ges=R 1 R n Rges.........Gesamtwiderstand [Ω] R1...........Widerstand 1 [Ω] Rn...........Widerstand [Ω]
3 Der Widerstand
21
3.1.2 Parallelschaltung 3.1.2.1 Bei 2 Widerstände
R1⋅R2 R ges= R 1 R 2 Rges.........Gesamtwiderstand [Ω] R1...........Widerstand 1 [Ω] R2...........Widerstand 2 [Ω] 3.1.2.2 Bei mehr als 2 Widerstände
1 1 1 1 = R ges R 1 R 2 R n Rges.........Gesamtwiderstand [Ω] R1...........Widerstand 1 [Ω] R2...........Widerstand 2 [Ω] Rn...........Widerstand [Ω]
22
3 Der Widerstand
3.2 Der Leiterwiderstand 3.2.1 Spezifische Widerstand
l⋅ R= A R............Widerstand des Leiters [Ω] l..............Leiterlänge [m] ρ.............spezifische Widerstand [Ωmm²/m] A............Leiterquerschnitt [mm²]
3.2.2 Spezifische Leitfähigkeit
l R= ⋅A 1 = R............Widerstand des Leiters [Ω] l..............Leiterlänge [m] 3 Der Widerstand
23
γ.............spezifische Leitfähigkeit [Sm/mm²] A............Leiterquerschnitt [mm²] 3.2.2.1.1 Leitfähigkeitswerte
Kupfer CU : =56 S
m mm 2 m mm 2
Aluminium Al : =35 S
24
3 Der Widerstand
3.3 Temperaturabhägingkeit 3.3.1 Warmwiderstand
RW = R K⋅1⋅T R W =R K⋅[1⋅ T ⋅T 2 ] RW..........Warmwiderstand [Ω] RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω] α............Temperaturkoeffizient [1/k] α=α20....gilt bei 20º C ΔΤ...........Temperaturdifferenz [1K]
3.3.2 Berechnung mit Tau
R K⋅W RW = K 1 o = −20 C 3 Der Widerstand
25
ϑW..........Warmtemperatur [K] ϑK...........Kalttemperatur [K] RW..........Warmwiderstand [Ω] RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω] τ.............Temperaturbeiwert
3.3.3 Temperaturdifferenz
T =W − K RW −1 RK T = ϑW..........Warmtemperatur [K] ϑK...........Kalttemperatur [K] RW..........Warmwiderstand [Ω] RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω] α............Temperaturkoeffizient [1/K] ΔΤ...........Temperaturdifferenz [1K]
26
3 Der Widerstand
4 Kirchhoffschen Gesetze
4.1 Knotenregel
Σ I =0
Σ Izufl. = Σ Iabfl. ΣI............Summe der Ströme in einem Knoten ΣIzufl.........Summe der zufließenden Ströme ΣIabfl.........Summe der abfließenden Ströme
4 Kirchhoffschen Gesetze
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4.2 Maschenregel
Σ U =0
Σ UVerbraucher = Σ UQuellen ΣU..................Summe der Spannungen in einer Masche ΣUVerbraucher......Summe der Verbraucherspannungen ΣUQuellen..........Summe der Quellspannungen
28
4 Kirchhoffschen Gesetze
5 Spannungs- und Stromteilerregeln
5.1 Spannungsteilerregel
Ui Ri = U ges R ges
5 Spannungs- und Stromteilerregeln
29
5.2 Stromteilerregel 5.2.1 1.) Stromteilerregel
I i RK Gi = = I K Ri G K Die Teilströme verhalten sich so wie die Leitwerte bzw. umgekehrt zu den betreffenden Widerständen.
5.2.2 2.) Stromteilerregel
R ges Gi I i = I ges⋅ = I ges⋅ Ri G ges Ein Teilstrom = dem Gesamtstrom mal den Gesamt Widerstand dividiert durch jenen Teilwiderstand durch den der betreffende Strom fließt.
5.2.3 3.) Stromteilerregel Für 2 Widerstände parallel:
30
5 Spannungs- und Stromteilerregeln
RK I i = I ges⋅ Ri R K Ein Teilstrom = dem Gesamtstrom mal dem gegenüberliegenden Widerstand dividiert durch die Summe der Widerstände.
5 Spannungs- und Stromteilerregeln
31
32
5 Spannungs- und Stromteilerregeln
6 Spannungsteiler
6.1 Unbelasteter Spannungsteiler
x p= l p.............Potentimeterstellung x.............Gesamte Potentimeter l..............Potentimeter - Abegriffener Widerstand
6 Spannungsteiler
33
6.2 Belasteter Spannungsteiler
x p= l Rs a= Ra p.............Potentimeterstellung x.............Gesamte Potentimeter l..............Potentimeter - Abegriffener Widerstand a.............Maß für Belastung Rs............Potentimeter Widerstand [Ω] Ra...........Abgegriffene Widerstand [Ω]
34
6 Spannungsteiler
7 MB – Erweiterung für Str. und Spg.
7.1 MB – Erweiterung beim Amperemeter
I n= Ia n.............Messbereichserweiterungszahl I..............Gesamtstrom - der zu messende Strom [A] Ia.............Strom durch Amperemeter - zulässiger Strom [A]
7 MB – Erweiterung für Str. und Spg.
35
RiA R n= n−1 Rn...........Nebenwiderstand [Ω] n.............Messbereichserweiterungszahl RiA...........Innenwiderstand [Ω]
7.2 MB – Erweiterung beim Voltmeter
U n= UV n.............Messbereichserweiterungszahl U............Gesamtspannung - die zu messende Spg. [V] Uv...........Spannung durch Voltmeter- zulässige Spg. [V]
RV = Riv⋅n−1 Rv...........Vorwiderstand [Ω] n.............Messbereichserweiterungszahl RiV...........Innenwiderstand [Ω] 36
7 MB – Erweiterung für Str. und Spg.
8 Ersatzschaltbilder
8.1 Reduzierte Ersatzschaltbilder
U0 I K= Ri IK............Kurzschlussstrom [A] U0...........Leerlauf Spannung [V] Ri............Innenwiderstand [Ω]
8 Ersatzschaltbilder
37
8.2 Stern und Dreieck-Schaltung 8.2.1 Dreieck – Stern – Transformation Der Stern Widerstand = dem Produkt der beiden anliegenden Dreieckswiderständen dividiert durch die Summe der Dreieckswiderstände.
R 12⋅R 13 R1 = R12 R13R 23 R1...........Stern Widerstand [Ω] R12..........Anliegender Dreiecks Widerstand [Ω] R13..........Anliegender Dreiecks Widerstand [Ω] R23..........Dreiecks Widerstand [Ω]
8.2.2 Stern – Dreieck – Transformation Der Dreieck Widerstand = Die Summe aller möglichen Produkte der Sternwiderstände dividiert durch den gegenüberliegenden Sternwiderstand.
R1⋅R2 R1⋅R3 R 2⋅R3 R12 = R3 R1...........Stern Widerstand [Ω] 38
8 Ersatzschaltbilder
R2...........Stern Widerstand [Ω] R3...........Gegenüberliegende Stern Widerstand [Ω] R12..........Dreiecks Widerstand [Ω]
8 Ersatzschaltbilder
39
40
8 Ersatzschaltbilder
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
9.1 Arbeit und Energie 9.1.1 Elektrische Arbeit
W =U⋅I⋅t=P⋅t Arbeit= Leistung⋅Zeit W...........Arbeit [Ws] U............Spannung [V] I..............Strom [A]
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
41
t.............Zeit [s] P.............Leistung [W]
9.1.2 Mechanische Arbeit
W =G⋅h W...........Arbeit [Nm] G............Gewicht [N] h.............Höhe [m] 9.1.2.1 Gewicht
G=m⋅g m...........Masse [kg] G............Gewicht [N] g.............Erdbeschleunigung [m/s²] 9.1.2.1.1 Erdbeschleunigung
g=9,81
m s2
g.............Erdbeschleunigung [m/s²] 42
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
9.1.2.2 Kraft
F =m⋅a m...........Masse [kg] F.............Kraft [N] a.............Beschleunigung [m/s²]
9.1.3 Wärmeenergie
Q=m⋅c⋅ =m⋅c⋅1−2 Q............Wärmeenergie [kJ] Δϑ..........Temperaturdifferenz [K] c.............spezifische Wärmekapazität [kJ/kg.K] m...........Masse [kg] ϑ1...........Anfangstemperatur [K] ϑ2...........Endtemperatur [K] 9.1.3.1 spezifische Wärmekapazität 9.1.3.1.1 H2O
c=4,19
kJ kg⋅K
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
43
c.............spezifische Wärmekapazität [kJ/kg.K]
9.1.4 Gleichwertigkeit
1Ws=1Nm=1J 9.2 Leistung 9.2.1 Allgemein
W P= t Arbeit Leistung = Zeit W...........Arbeit [Ws] t.............Zeit [s] P.............Leistung [W]
9.2.2 Elektrische Leistung
P=U⋅I 44
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
U2 P= P= I 2⋅R R U............Spannung [V] I..............Strom [A] P.............Leistung [W] R............Widerstand [Ω]
9.3 Wirkungsgrad
P ab = 1 P zu Pab..........Abgegebene Leistung [W] Pzu..........Zugeführte Leistung [W] η............Wirkungsgrad
9.3.1 Gesamt Wikrungsgrad
GES =1⋅2⋅3 ηGES.........Gesamtwirkungsgrad
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
45
η1...........Wirkungsgrad 1 η2...........Wirkungsgrad 2 η3...........Wirkungsgrad 3
46
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
Wechselstromtechnik
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
47
48
9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad
10 Allgemeine Parameter
10.1 Frequez
1 f= T f.............Frequenz [Hz] T.............Periodendauer [s]
10.2 Kreisfrequenz
=2⋅⋅f ω............Kreisfrequenz [1/s] 10 Allgemeine Parameter
49
f.............Frequenz [Hz]
10.3 Momentanwert bei Sinuswelle
i t = I⋅sin ⋅t i(t)..........Momentanwert des Strom [A] t.............Zeit [s] I..............Spitzenwert [A] ω............Kreisfrequenz [1/s]
10.4 Linearer Mittelwert
Q 1 i = = T T
t 0 T
∑ i t ⋅ t t0
i..............Liniarer Mittelwert [A] Q............Ladung T.............Periodendauer [s] i(t)..........Momentanwert des Strom [A] t.............Zeit [s]
50
10 Allgemeine Parameter
10.5 Gleichrichtwert 10.5.1 Vollweggleichrichtung
Q 1 ∣i ∣= = T T
t 0T
∑ ∣i t ∣⋅t t0
|i|..........Gleichrichtwert [A] Q............Ladung T.............Periodendauer [s] |i(t)|......Absolutbetrag Momentanwert des Strom [A] t.............Zeit [s]
10.5.2 Einweggleichrichtung
∣i∣ ∣i HP∣= 2 |i|..........Gleichrichtwert Vollweggleichrichtung [A] |iHP|.......Gleichrichtwert Einweggleichrichtung [A]
10 Allgemeine Parameter
51
10.5.3 Gleichrichtwert einer Sinuswelle
I 2 ∣i ∣= Fläche unterhalb einer Sinuswelle=2 I |i|..........Gleichrichtwert [A] I..............Spitzenwert [A]
10.5.4 Gleichrichtwert eines Dreiecksignals
I ∣i ∣= 2 |i|..........Gleichrichtwert [A] I..............Spitzenwert [A]
10.5.5 Gleichrichtwert eines Rechtecksignals
∣i ∣= I |i|..........Gleichrichtwert [A] I..............Spitzenwert [A] 52
10 Allgemeine Parameter
10.6 Effektivwert 10.6.1 Effektivwert für beliebige Kurvenform
1 I eft = T
t 0 T
2
∑ [ i t ] ⋅ t t0
Ieft...........Effektivwert [A] T.............Periodendauer [s] i(t)..........Momentanwert des Strom [A] t.............Zeit [s]
10.6.2 Effektivwert bei Sinuswelle
I I eft Sinus = 2 Ieft Sinus......Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]
10 Allgemeine Parameter
53
10.6.3 Effektivwert bei Sinushalbwelle
I I eft Sh= 2 Ieft Sh........Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]
10.6.4 Effektivwert bei Virtelsinuswelle
I I 1= eft 2⋅ 2 4 Ieft 1/4.......Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]
10.6.5 Effektivwert bei Rechtecksignal 10.6.5.1 Mit Nullstellen
U eft = U Ueft.........Effektivwert [V] 54
10 Allgemeine Parameter
U............Spitzenwert [V] 10.6.5.2 Ohne Nullstellen
t e U eft =U⋅ =U⋅ T Ueft.........Effektivwert [V] U............Spitzenwert [V] te............Einschaltzeit [s] T.............Periodendauer [s] λ.............Einschaltverhältnis, Tastverhältnis
10.6.6 Effektivwert eines Dreiecksignals
I I eft Dreieck = 3 Ieft Dreieck. . .Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]
10 Allgemeine Parameter
55
10.6.7 Effektivwert einer Mischgröße
I eft ges= I DC I AC 2
2
Ieft ges.......Gesamteffektivwert [A] IDC...........Gleichstromanteil [A] IAC...........Wechselstromanteil [A]
10.7 Scheitelfaktor – Crestfaktor
I F s= I eft FS............Scheitelfaktor Ieft...........Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]
10.8 Formfaktor
I eft F F= ∣i ∣ 56
10 Allgemeine Parameter
FF............Formfaktor Ieft...........Effektivwert [A] |i|..........Gleichrichtwert [A]
10 Allgemeine Parameter
57
58
10 Allgemeine Parameter
11 R, L und C im Wechselstromkreis
11.1 Rein ohm'scher Widerstand im Wechselstromkreis 11.1.1 Spannung
ut =U⋅sin t u(t).........Momentanwert [V] U............Spitzenwert [V] ω............Kreisfrequenz [1/s] t.............Zeit [s]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
59
11.1.2 Strom
i t = I⋅sin t i(t)..........Momentanwert [A] I..............Spitzenwert [A] ω............Kreisfrequenz [1/s] t.............Zeit [s]
11.2 Reine Induktivität im Wechselstromkreis 11.2.1 Voraussetzung
i t = I⋅sin t Strom sei Sinusförmig 11.2.2 Spannung 11.2.2.1 Momentanwert
ut =U⋅cost 60
11 R, L und C im Wechselstromkreis
u(t).........Momentanwert [V] U............Spitzenwert [V] ω............Kreisfrequenz [1/s] t.............Zeit [s] 11.2.2.2 Effektivwert
U eff = L⋅I eff Ueff..........Effektivwert [V] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] Ieff...........Effektivwert [A]
11.2.3 Induktiver Blindwiderstand
X L = L XL............Blindwiderstand ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
61
11.2.4 Induktiver Blindleitwert
1 B L =− L BL...........Blindleitwert ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]
11.3 Reine Kapazität im Wechselstromkreis 11.3.1 Voraussetzung
ut =U⋅cost Spannung sei Cosinsförmig 11.3.2 Strom 11.3.2.1 Momentanwert
i t = I⋅−sin t i(t)..........Momentanwert [A] 62
11 R, L und C im Wechselstromkreis
I..............Spitzenwert [A] ω............Kreisfrequenz [1/s] t.............Zeit [s] 11.3.2.2 Spitzenwert
I =C⋅U I..............Spitzenwert [A] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] U............Spitzenwert [V] 11.3.2.3 Effektivwert
U eft I eft =U eft⋅B C = ∣X C∣ Ieft...........Effektivwert Strom [A] Ueft.........Effektivwert Spannung [V] BC...........Blindleitwert [S] XC...........Blindwiderstand [Ω]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
63
11.3.3 Blindwiderstand
1 X C =− C XC...........Blindwiderstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]
11.3.4 Blindleitwert
BC =C BC...........Blindleitwert [S] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]
11.4 Serienschaltung von R und L 11.4.1 Impedanz
Z = R j L 64
11 R, L und C im Wechselstromkreis
jL
Z =∣Z∣⋅e Z.............Impedanz [Ω]
R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]
11.4.2 Admittanz
1 Y= Z Y =G j B Y.............Admittanz [S] Z.............Impedanz [Ω] G............Leitwert [S] B............Blindleitwert [S]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
65
11.4.3 Bauteilleitwerte
1 G R= R GR...........Leitwert [S]
1 B L =− L BL...........Blindleitwert [S] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]
11.5 Serienschaltung von R und C 11.5.1 Impedanz
1 Z = R jC 66
11 R, L und C im Wechselstromkreis
1 Z = R− j C Z.............Impedanz [Ω] R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]
11.5.2 Admittanz
1 Y= Z Y =G j B Y.............Admittanz [S] Z.............Impedanz [Ω] G............Leitwert [S] B............Blindleitwert [S]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
67
11.5.3 Bauteilleitwerte
1 G R= R GR...........Leitwert [S] R............ohmsche Widerstand [Ω]
BC =C BC...........Blindleitwert [S] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]
11.6 Serienschaltung von R, L und C 11.6.1 Impedanz
1 Z = R j L− C ± j
Z =∣Z∣⋅e 68
11 R, L und C im Wechselstromkreis
Z.............Impedanz [Ω] R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F]
11.6.2 Wirkspannung
U W =U R UW..........Wirkspannung [V] UR...........Spannung am ohmschen Widerstand [V]
11.6.3 Blindspannung
U B =U L −U C UB...........Blindspannung [V] UL...........Spannung an der Induktivität [V] UC...........Spannung an der Kapazität [V]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
69
11.7 Parallelschaltung von R und L 11.7.1 Admittanz
1 1 Y= − j R L − j
Y =∣Y∣⋅e Y.............Admittanz [S]
ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]
11.7.2 Gesamtstrom
U U I ges = − j R L 1 1 I ges =U⋅ − j R L 70
11 R, L und C im Wechselstromkreis
Iges..........Gesamtstrom [A] U............Spannung [V] R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]
11.8 Parallelschaltung von R und C 11.8.1 Admittanz
1 Y = j C R j
Y =∣Y∣⋅e Y.............Admittanz [S]
R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
71
11.9 Parallelschaltung von R, L und C 11.9.1 Admittanz
1 1 Y = j C − R L ± j
Y =∣Y∣⋅e Y.............Admittanz [S]
R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] L.............Induktivität [H]
11.10 Serienschaltung beliebiger Verbraucher 11.10.1 Spannung
U ges =U 1U 2U n Uges.........Gesamtspannung [V]
72
11 R, L und C im Wechselstromkreis
U1...........Spannung an der Impedanz Z1 [V] U2...........Spannung an der Impedanz Z2 [V] Un...........Spannung an der Impedanz Zn [V]
11.10.2 Impedanz
Z ges=Z 1Z 2Z n Zges..........Gesamtimpedanz [Ω] Z1............Impedanz 1 [Ω] Z2............Impedanz 2 [Ω] Zn............Impedanz n [Ω]
11.10.3 Serienschaltung gleicher Elemente 11.10.3.1 Widerstände
R ges=R 1 R 2R n Rges.........ohmsche Gesamtwiderstand [Ω] R1...........ohmsche Widerstand 1 [Ω] R2...........ohmsche Widerstand 2 [Ω] Rn...........ohmsche Widerstand n [Ω]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
73
11.10.3.2 Induktivitäten
L ges= L1 L2 L n Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H] Ln............Induktivität n [H] 11.10.3.3 Kapazitäten
1 1 1 1 = C ges C 1 C 2 C n Cges.........Gesamtkapazität [F] C1...........Kapazität 1 [F] C2...........Kapazität 2 [F] Cn...........Kapazität n [F]
74
11 R, L und C im Wechselstromkreis
11.11 Parallelschaltung beliebiger Verbraucher 11.11.1 Strom
I ges =I 1I 2 I n Iges..........Gesamtstrom [A] I1............Strom durch Admittanz Y1 [A] I2............Strom durch Admittanz Y2 [A] In............Strom durch Admittanz Yn [A]
11.11.2 Admittanz
Y ges =Y 1Y 2Y n Yges..........Gesamtadmittanz [S] Y1...........Admittanz 1 [S] Y2...........Admittanz 2 [S] Yn............Admittanz n [S]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
75
11.11.3 Parallelschaltung gleicher Elemente 11.11.3.1 Widerstände
1 1 1 1 = R ges R 1 R 2 R n Rges.........ohmsche Gesamtwiderstand [Ω] R1...........ohmsche Widerstand 1 [Ω] R2...........ohmsche Widerstand 2 [Ω] Rn...........ohmsche Widerstand n [Ω]
G ges=G1G 2G n Gges.........Gesamtleitwert [S] G1...........Leitwert 1 [S] G2...........Leitwert 1 [S] Gn...........Leitwert n [S]
76
11 R, L und C im Wechselstromkreis
11.11.3.2 Induktivitäten
1 1 1 1 = L ges L1 L 2 Ln Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H] Ln............Induktivität n [H] 11.11.3.3 Kapazitäten
C ges=C 1C 2C n Cges.........Gesamtkapazität [F] C1...........Kapazität 1 [F] C2...........Kapazität 2 [F] Cn...........Kapazität n [F]
11 R, L und C im Wechselstromkreis
77
78
11 R, L und C im Wechselstromkreis
12 Leistungen im Wechselstromkreis
12.1 Wirkleistung bei ohm'schen Widerstand
t 0T
1 p= P= ⋅∑ pt⋅ t T t 0
p= P=U eft⋅I eft 12 Leistungen im Wechselstromkreis
79
P=S⋅cos =U eft⋅I eft⋅cos p.............Leistungsmittelwert [W] P.............Wirkleistung [W] T.............Periodendauer [s] p(t).........Leistung [W] t.............Zeit [s] Ueft.........Effektivspannung [V] Ieft...........Effektivstrom [A] S.............Scheinleistung [VA]
12.2 Blindleistung
Q=S⋅sin=U eft⋅I eft⋅sin Q............Blindleistung [Var] S.............Scheinleistung [VA] Ueft.........Effektivspannung [V] Ieft...........Effektivstrom [A] ϕ............Phasenwinkel [°]
80
12 Leistungen im Wechselstromkreis
12.3 Scheinleistung
S= P Q S=U eft⋅I eft 2
2
S.............Scheinleistung [VA] Q............Blindleistung [Var] P.............Wirkleistung [W] Ueft.........Effektivspannung [V] Ieft...........Effektivstrom [A]
12.4 Leistungsfaktor
P cos = S ϕ............Phasenwinkel [°] S.............Scheinleistung [VA] P.............Wirkleistung [W]
12 Leistungen im Wechselstromkreis
81
82
12 Leistungen im Wechselstromkreis
13 Schwingkreise
13.1 Serienschwingkreis
Resonanz dann , wenn I mZ =0 1 res = LC
13 Schwingkreise
83
U ges I res = R eZ ωres.........Resonanzfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F] Ires...........Resonanzstrom [A] Uges.........Gesamtspannung [V] Im(Z)......Imaginärteil aus Z Re(Z)......Realteil aus Z
13.2 Parallelschwingkreis
Resonanz dann , wenn I mY =0 1 res = LC ωres.........Resonanzfrequenz [1/s] 84
13 Schwingkreise
L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F] Im(Y)......Imaginärteil aus Y
13.3 Nomierung von Schwingkreisgrößen 13.3.1 Kennfrequenz des Resonanzkreises
1 0= LC ω0...........Kennfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F] 13.3.1.1 nomierte Frequenz
= 0 ν.............nomierte Frequenz [1/s] ω............Aktuelle Frequenz [1/s] ω0...........Kennfrequenz [1/s] 13 Schwingkreise
85
13.3.2 Kennwiderstand des Resonanzkreises
L Z 0= C Z0............Kennwiderstand [Ω] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F]
13.3.3 Verstimmung
1 0 v=− = − 0 v.............Verstimmung ν.............nomierte Frequenz [1/s] ω............Aktuelle Frequenz [1/s] ω0...........Kennfrequenz [1/s]
86
13 Schwingkreise
13.3.4 Gütefaktor und Dämpfungsfaktor
1 Q= d Q............Gütefaktor d.............Dämpfungsfaktor 13.3.4.1 Serienschwingkreis 13.3.4.1.1 Gütefaktor
UL U c 0 L Q= = = = U ges U ges R 1 0 C 1 G = = R 0 C⋅R 0 C Q............Gütefaktor Uges.........Gesamtspannung [V] 13 Schwingkreise
87
UL...........Spannung an der Induktivität[V] UC...........Spannung an der Kapazität [V] ω0...........normierte Frequenz [1/s] L.............Induktivität [H] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F] G............Wirkleitwert [S]
0 L L Q= = = R LC⋅R L 1 Z0 ⋅ = C R R
Q............Gütefaktor ω0...........normierte Frequenz [1/s] L.............Induktivität [H] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F] Z0............Impedanz [Ω]
88
13 Schwingkreise
13.3.4.1.2 Bauteilgüte einer Spule
L Q= R Q............Gütefaktor ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] R............Widerstand [Ω] 13.3.4.2 Parallelschwingkreis 13.3.4.2.1 Gütefaktor
IL IC R Q= = = = I ges I ges 0 L 0 C R⋅0⋅C = G Q............Gütefaktor Iges..........Gesamtstrom [A] 13 Schwingkreise
89
IL.............Strom durch Induktivität[A] IC............Strom durch Kapazität [A] R............Widerstand [Ω] ω0...........normierte Frequenz [1/s] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F] G............Wirkleitwert [S] 13.3.4.2.2 Bauteilgüte eines Kondensators
C Q= G Q............Gütefaktor ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] G............Wirkleitwert [S]
90
13 Schwingkreise
13.3.5 Die Bandbreite 13.3.5.1 Serienschwingkreis
B* 1 R B= = ⋅ 2 2 L B............Bandbreite B*...........Bandbreite* R............Widerstand [Ω] L.............Induktivität [H]
13 Schwingkreise
91
R B= L *
B*...........Bandbreite* R............Widerstand [Ω] L.............Induktivität [H] 13.3.5.2 Parallelschwingkreis
1 G B= ⋅ 2 C B............Bandbreite G............Leitwert [S] C............Kapazität [F]
13.3.6 Zusammenhang Güte, Dämpfung und Bandbreite
f0 B= = f 0⋅d = f go − f gu Q B............Bandbreite 92
13 Schwingkreise
f0............nomierte Frequenz[Hz] fgu...........Untere Grenzfrequenz [Hz] fgo...........Obere Grenzfrequenz [Hz] Q............Gütefaktor d.............Dämpfungsfaktor
2
0 = go⋅ gn ω0...........nomierte Frequenz [1/s] ωgu..........Untere Grenzfrequenz [1/s] ωgo..........Obere Grenzfrequenz [1/s]
13.3.7 Das Bodediagramm 13.3.7.1 Übertragungsfunktion
U 2 Wirkung H j = = U 1 Ursache H(jω)......Übertragungsfunktion U1...........Eingangsspannung [V] U2...........Ausgangsspannung [V]
13 Schwingkreise
93
13.3.7.2 Hochpass 13.3.7.2.1 Übertragungsfunktion
R
H j =
R− j
1 C
R
= R
1 j C
H(jω)......Übertragungsfunktion R............Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] 13.3.7.2.2 Verstärkung
∣H j ∣=
R
1 R 2 C 2
|H(jω)|. .Absolutwert Übertragungsfunktion R............Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]
94
13 Schwingkreise
13.3.7.2.3 Phasenwinkel
=arctan
1 RC
ϕ............Phasenwinkel [°] ω............Kreisfrequenz [1/s] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F] 13.3.7.2.4 Grenzfrequenz
g=
1 RC
ωg...........Grenzfrequenz [1/s] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F]
13 Schwingkreise
95
13.3.7.3 Tiefpass 13.3.7.3.1 Übertragungsfunktion
1 H j = 1 j RC H(jω)......Übertragungsfunktion R............Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] 13.3.7.3.2 Verstärkung
1 ∣H j ∣= 2 1 R C |H(jω)|. .Absolutwert Übertragungsfunktion R............Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]
96
13 Schwingkreise
13.3.7.3.3 Phasenwinkel
=arctan − R C ϕ............Phasenwinkel [°] ω............Kreisfrequenz [1/s] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F] 13.3.7.3.4 Grenzfrequenz
1 g= RC ωg...........Grenzfrequenz [1/s] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F]
13 Schwingkreise
97
98
13 Schwingkreise
Elektrisches Feld
13 Schwingkreise
99
100
13 Schwingkreise
14 Grundgrößen
14.1 Feldstärke
F = E Q U E= d U............Spannung [V] d.............Abstand [m]
14 Grundgrößen
101
E.............elektrische Feldstärke [V/m] F.............Kraft auf eine Probeladung [1N] Q............Ladung [C/As]
14.2 Flussdichte
=⋅E D Q D= A D............Flussdichte [As/m²] E.............elektrische Feldstärke [V/m] ε.............Permittivität [F/m] A............Fläche [m²] Q............Ladung [C/As]
14.3 Permittivität
=r⋅0 ε.............Permittivität [F/m] εr............relative Permittivität 102
14 Grundgrößen
ε0............Naturkonstante Permittivität [F/m]
Permittivität des leeren Raumes=0 =8,854⋅10−12
F m
14.4 Kraft
=m⋅a F m...........Masse [kg] F.............Kraft auf eine Probeladung [1N] a.............Erdbeschleunigung = 9,81 [m/s²]
14.5 Ladung
∣ Q= A⋅∣D ∣ Q= A⋅⋅∣E
Q= I⋅t Q=C⋅U Q............Ladung [C/As] I..............Strom [A] 14 Grundgrößen
103
t.............Zeit [s] A............Fläche [m²] D............Flussdichte [As/m] ε.............Permittivität [F/m] E.............elektrische Feldstärke [V/m] C............Kapazität [F] U............Spannung [V]
14.6 Kapazität
Q C= U A⋅ C= d C............Kapazität [F] Q............Ladung [C/As] A............Fläche [m²] d.............Abstand [m] ε.............Permittivität [F/m]
104
14 Grundgrößen
U............Spannung [V]
14 Grundgrößen
105
106
14 Grundgrößen
15 Die Kapazität
15.1 Serienschaltung
C 1⋅C 2 C ges= C 1C 2 Cges.........Gesamt Kapazität [F] C1...........Kapazität 1 [F] C2...........Kapazität 2 [F]
15 Die Kapazität
107
15.2 Parallelschaltung
C ges=C 1C 2 Cges.........Gesamt Kapazität [F] C1...........Kapazität 1 [F] C2...........Kapazität 2 [F]
108
15 Die Kapazität
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld
16.1 Energieinhalt
C⋅U² W= 2 C............Kapazität [F] W...........Energieinhalt [Ws] U............Spannung [V]
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld
109
16.2 Kraft
Q² F= 2⋅A⋅ F.............Kraft [N] Q............Ladung [C/As] A............Fläche [m²] ε.............Permittivität [F/m]
16.3 Arbeit
W =U⋅Q W...........Arbeit [J] Q............Ladung [C/As] U............Spannung [V]
110
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld
16.4 Leistung
W P= t W...........Arbeit [J] P.............Leistung [W] t.............Zeit [s]
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld
111
112
16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld
17 Coulombsches Gesetz
17.1 Kraft
F=
Q 1⋅Q 2 2
4⋅r ⋅⋅ F =Q⋅E Q1...........Ladung 1 [As][C] Q2...........Ladung 2 [As][C] r.............Radius [m] ε.............Permittivität [F/m] 17 Coulombsches Gesetz
113
r.............Radius [m] Q............Ladung [C/As] E.............Elektrische Feldstärke [V/m]
17.2 Elektrische Feldstärke
D E= D............Flussdichte [As/m²] E.............elektrische Feldstärke [V/m] ε.............Permittivität [F/m]
114
17 Coulombsches Gesetz
18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum
E 1 r2 = E 2 r1 E1...........Feldstärke 1 [V/m] E2...........Feldstärke 2 [V/m] ε1............Permittivität 1 [F/m] ε2............Permittivität 2 [F/m]
18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum
115
116
18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum
19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.
19.1 Stromstärke zum Zeitpunkt t
U c i t =C⋅ t i(t)..........Stromstärke [A] C............Kapazität [F] ΔUC.........Spannung [V] Δt...........Zeit [s]
19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.
117
19.2 Ladung
qt =C⋅U c t q(t).........Ladung [As][C] C............Kapazität [F] UC (t).......Spannung [V]
118
19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.
Elektromagnetismus
19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.
119
120
19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.
20 Grundgrößen
20.1 Magnetische Feldstärke
l H= 2⋅r⋅ H............Magnetische Feldstärke [A/m] r.............Radius [m] l..............Länge [m]
20.2 Flussdichte
B = µ⋅H 20 Grundgrößen
121
H............Magnetische Feldstärke [A/m] B............Magnetischer Fluss, Induktion [T] µ............Permeabilität [H/m]
20.2.1 Permeabilität
µ=µ0⋅µr µ............Permeabilität [H/m] µr............relative Permeabilität µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]
20.3 Induktivität
L'= I L ges = L '⋅N L'............Induktivität einer Windung [H] Lges..........Gesamte Induktivität [H] Φ............magnetischer Fluss [Wb] I..............Stromstärke [A] 122
20 Grundgrößen
N............Windungszahl
20.4 Durchflutung einer Spule
= H⋅l= N⋅I Θ............Durchflutung [A] H............Magnetische Feldstärke [A/m] l..............Länge [m] N............Anzahl der Windungen I..............Stromstärke [A]
20.5 Spannung
U= t U............Spannung [V] Φ............magnetischer Fluss [Vs] t.............Zeit [s]
20.6 Kraftwirkung im magnetischen Feld
F = B⋅I⋅l 20 Grundgrößen
123
F.............Kraft [N] l..............Länge [m] B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]
124
20 Grundgrößen
21 Induktionsgesetz
21.1 Allgemein
U = N⋅ t U............Spannung [V] ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs] Δt...........Zeit [s] N............Windungszahl
21 Induktionsgesetz
125
21.2 Induktion der Bewegung 21.2.1 Spannung
U 0=B⋅l⋅v U0...........Spannung [V] B............Magnetischer Fluss, Induktion [T] l..............Länge [m] v.............Geschwindigkeit [m/s]
21.3 Induzierte Spannung durch zeitlich veränderliche Magnetfelder 21.3.1 Flussänderung Dreiecksförmig 21.3.1.1 Spannung
U 0max =4⋅f ⋅N⋅max U0max.......Spannung [V] f.............Frequenz [Hz] N............Windungszahl Φmax........Fluss [Vs]
126
21 Induktionsgesetz
21.3.2 Flussänderung Sinusförmig 21.3.2.1 Spannung
U 0max =4,44⋅f ⋅N⋅max U0eft........Spannung [V] f.............Frequenz [Hz] N............Windungszahl Φmax........Fluss [Vs]
21.3.3 Selbstinduktion
u=N⋅ t U............Spannung [V] ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs] Δt...........Zeit [s] N............Windungszahl
e=−N⋅ t 21 Induktionsgesetz
127
e.............Selbstinduzierte Spannung [V] ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs] Δt...........Zeit [s] N............Windungszahl
e=−u e t=−ut e.............Selbstinduzierte Spannung [V] u.............Spannung [V]
1 t =P = ⋅∑ u⋅t ...t=0 N Φ............magnetischer Fluss [Vs] P.............Leistung [W] N............Windungszahl u.............Spannung t.............Zeit [s]
128
21 Induktionsgesetz
21.4 Gegeninduktion - Trafoprinzip 21.4.1 Trafogesetze 21.4.1.1 1. Trafogesetz
U1 N1 = U2 N2 U1...........Primärseitige Spannung [V] U2...........Sekundärseitige Spannung [V] N1...........Primärseitige Wicklung N2...........Sekundärseitige Wicklung 21.4.1.2 2. Trafogesetz
U1 I2 N1 = = U 2 I1 N 2 U1...........Primärseitige Spannung [V] U2...........Sekundärseitige Spannung [V] I1............Primärseitiger Strom [A] 21 Induktionsgesetz
129
I2............Sekundärseitiger Strom [A] N1...........Primärseitige Wicklung N2...........Sekundärseitige Wicklung 21.4.1.2.1 Übersetzungsverhältnis
Oberspannung ü= Unterspannung ü.............Übersetzungsverhältnis 21.4.1.3 3. Trafogesetz
2
2
Z1 U1 N1 2 = = =ü Z2 U2 N2 U1...........Primärseitige Spannung [V] U2...........Sekundärseitige Spannung [V]
130
21 Induktionsgesetz
22 Induktivität von Spulen
22.1 Für alle Spulen mit 1 mag. Wdst. Gilt 22.1.1 Magnetische Feldstärke
I⋅N H= l H............Magnetische Feldstärke [A/m] I..............Strom [A] N............Windungszahl l..............Länge [m]
22 Induktivität von Spulen
131
22.1.2 Durchflutungssatz
= I⋅N =H⋅l Θ............Durchflutung [A] H............Magnetische Feldstärke [A/m] l..............Länge [m] N............Anzahl der Windungen I..............Stromstärke [A]
22.1.3 Induktion
B= µ⋅H B............Magnetischer Fluss, Induktion [T] µ............Permeabilität [H/m] H............Magnetische Feldstärke [A/m]
22.1.4 Magnetische Fluss
= B⋅A Φ............magnetischer Fluss [Vs] B............Induktion [T] A............Fläche [m²]
132
22 Induktivität von Spulen
I⋅N = µ⋅ ⋅A l Φ............magnetischer Fluss [Vs] B............Induktion [T] I..............Strom [A] N............Windungszahl l..............Länge [m] A............Fläche [m²]
22.2 2. Form des Induktionsgesetz
i U = L⋅ t U............Spannung [V] L.............Induktivität [H] i..............Strom [A] t.............Zeit [s]
22 Induktivität von Spulen
133
22.3 Induktivität Allgemein
2
N 2 2 L= = N ⋅= N ⋅A L Rm N............Windungszahl Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H] Λ............Magnetischer Leitwert AL...........AL - Wert
L=N⋅ i L.............Induktivität [H] N............Windungszahl Φ............magnetischer Fluss [Vs] i..............Strom [A]
134
22 Induktivität von Spulen
22.3.1 Magnetische Widerstand
1 1 R m= = AL Rm.........Magnetischer Widerstand [1/H] Λ............Magnetischer Leitwert AL...........AL - Wert
22.4 Luftspule 22.4.1 Ringspule (Torus) 22.4.1.1 Fläche
d 2⋅ A= 4 A............Fläche [m²] d.............Durchmesser [m]
22 Induktivität von Spulen
135
22.4.1.2 Länge
l= D⋅ l..............Länge [m] D............Außendurchmesser [m] 22.4.1.3 Magnetischer Widerstand
l R m= µ0⋅A Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H] l..............Länge [m] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²] 22.4.1.4 Induktivität
A L=N ⋅µ0⋅ l 2
L.............Induktivität [H] N............Windungszahl 136
22 Induktivität von Spulen
l..............Länge [m] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²]
22.4.2 Zylinderspule 22.4.2.1 Für l ≥ d 22.4.2.1.1 Fläche
2
d ⋅ A= 4 A............Fläche [m²] d.............Durchmesser [m] 22.4.2.1.2 Magnetischer Widerstand
l R m= µ0⋅A Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H] l..............Länge [m] 22 Induktivität von Spulen
137
µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²] 22.4.2.1.3 Induktivität
A L=N ⋅µ0⋅ l 2
L.............Induktivität [H] N............Windungszahl µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²] l..............Länge [m] 22.4.2.2 Für l < 10 d 22.4.2.2.1 Fläche
d 2⋅ A= 4 A............Fläche [m²] d.............Durchmesser [m] 138
22 Induktivität von Spulen
22.4.2.2.2 Magnetischer Widerstand
l R m= µ0⋅A Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H] l..............Länge [m] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²] 22.4.2.2.3 Induktivität
L nach Nagaoka L[ nH ]=K⋅N 2⋅d [cm] L[nH].........Induktivität [nH] K.............Nagaoka Koeffizient N............Windungszahl d[cm]........Durchmesser [cm]
22 Induktivität von Spulen
139
22.5 Eisendrossel ohne Luftspalt 22.5.1 Magnetischer Widerstand
l Fe R mFe = µ0⋅µr⋅A Fe RmFe........Magnetischer Widerstand [1/H] lFe............Länge (Eisen) [m] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] µr............relative Permeabilität AFe..........Fläche (Eisen) [m²]
22.5.2 Induktivität
A Fe L=N ⋅µ0⋅µr⋅ l Fe 2
L.............Induktivität [H] N............Windungszahl µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] µr............relative Permeabilität 140
22 Induktivität von Spulen
AFe..........Fläche (Eisen) [m²] lFe............Länge (Eisen) [m]
22.6 Eisendrossel mit Luftspalt 22.6.1 Induktion 22.6.1.1 In Sättigung bei Trafo Perm N2
B1,5T B l Fe = I⋅N = ⋅[ l ] µ0 µr ...............Durchflutung [A] I..............Strom [A] N............Windungszahl B............Magnetische Flussdichte, Induktion [T] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] lFe............Länge (Eisen) [m] µr............relative Permeabilität lδ............Länge (Luft) [m]
22 Induktivität von Spulen
141
22.6.1.2 Nicht in Sättigung bei Trafo Perm N2
B1,5T I⋅N B≃ l B............Magnetische Flussdichte, Induktion [T] I..............Strom [A] N............Windungszahl lδ............Länge (Luft) [m]
22.6.2 Induktivität
A Fe L≃ N ⋅µ0⋅ l 2
L.............Induktivität [H] N............Windungszahl µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] AFe..........Fläche (Eisen) [m²] 142
22 Induktivität von Spulen
lδ............Länge (Luft) [m]
22.7 Spule an Wechselspannung 22.7.1 Spannung
i u= L⋅ t u.............Spannung [V] L.............Induktivität [H] i..............Strom [A] t.............Zeit [s]
22.7.2 Strom
1 i t = ⋅∑ u⋅ t I konst t=0 L i..............Strom [A] L.............Induktivität [H] u.............Spannung [V] t.............Zeit [s]
22 Induktivität von Spulen
143
144
22 Induktivität von Spulen
23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen
23.1 Kopplungsgrad und Streufaktor 23.1.1 Kopplungsgrad
n Nutzfluss k= = ges Gesamtfluss k.............Kopplungsgrad Φn..........Nutzfluss [Vs]
23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen145
Φges........Gesamtfluss [Vs]
23.1.2 Streufaktor
= ges σ............Streufaktor Φn..........Streufluss [Vs] Φges........Gesamtfluss [Vs]
23.1.3 Übersetzungsverhältnis
U1 ü=k⋅ U2 ü.............Übersetzungsverhältnis k.............Kopplungsgrad U1...........Spannung 1 [V] U2...........Spannung 2 [V]
14623 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen
23.2 Gegeninduktivität
M =k⋅ L1⋅L 2 M...........Gegeninduktivität [H] k.............Kopplungsgrad L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H]
23.2.1 Gesamtstreufaktor
=1−k
2
σ............Gesamtstreufaktor k.............Kopplungsgrad
23.3 Kopplung von 2 in Serie geschaltete Spulen 23.3.1 Gleichsinnig wirkende Suplen 23.3.1.1 Für k = 100% , Ϭ = 0
L ges= L1 L22M 23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen147
Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H] M...........Gegeninduktivität [H] 23.3.1.2 Für 0 < k < 1, 0 < Ϭ < 1
L ges= L1 L22M Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H] M...........Gegeninduktivität [H] 23.3.1.3 Für k = 0, Ϭ = 1 23.3.1.3.1 Serie
L ges= L1 L2 Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H]
14823 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen
23.3.1.3.2 Parallel
L1⋅L 2 L ges= L1 L2 Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H]
23.3.2 Gegensinnig wirkende Spulen
L ges= L1 L22M Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2..............Induktivität 2 [H] M...........Gegeninduktivität [H]
23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen149
15023 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen
24 Energie im magnetischen Feld
24.1 Energieinhalt
2
L⋅I W= 2 N⋅⋅I W= 2 24 Energie im magnetischen Feld
151
2
N ⋅ W= 2L
2
W...........Energieinhalt [W] [J] [Nm] L.............Induktivität [H] I..............Strom [A] N............Windungszahl Φ............Magnetischer Fluss [Vs]
24.2 Energiedichte
W B⋅H w= = v 2
W µ⋅H 2 w= = v 2
152
24 Energie im magnetischen Feld
2
B w= 2µ w............Energiedichte [Ws/m³] W...........Energieinhalt [W] [J] [Nm] B............Magnetischer Fluss, Induktion [T] H............Magnetische Feldstärke [A/m] µ............Permeabilität [H/m]
24 Energie im magnetischen Feld
153
154
24 Energie im magnetischen Feld
Anhang
24 Energie im magnetischen Feld
155
156
24 Energie im magnetischen Feld
25 Konstanten
Formelzeichen Größe
Wert
γCu
Leifähigkeitswert von 56 S⋅m/mm² Kupfer
γAl
Leifähigkeitswert von 35 S⋅m/mm² Aluminium
g
Erdbeschleunigung
c
4,19 kJ/kg⋅K Spezifische Wärmekapazität H20
0
μ
0
25 Konstanten
9,81 m/s²
Permittivitat des leeren Raumes
8,854 ⋅ 10−12 F/m
Permeabilitat des leeren Raumes
4 π ⋅ 10-7 H/m
157
158
25 Konstanten
26 Griechisches Alphabet
Buchstabe
Bezeichnung
groß
klein
Α
α
Alpha
Β
β
Beta
Γ
γ
Gamma
Δ
δ
Delta
Ε
ε
Epsilon
Ζ
ζ
Zeta
Η
η
Eta
Θ
θ
Theta
Ι
ι
Jota
Κ
κ
Kappa
26 Griechisches Alphabet
159
Λ
λ
Lambda
Μ
μ
My
Ν
ν
Ny
Ξ
ξ
Xi
Ο
ο
Omikron
Π
π
Pi
Ρ
ρ
Roh
Σ
σ
Sigma
Τ
τ
Tau
Υ
υ
Ypsilon
Φ
φ
Phi
Χ
χ
Chi
Ψ
ψ
Psi
Ω
ω
Omega
160
26 Griechisches Alphabet
Stichwortverzeichnis & Impressum
Stichwortverzeichnis & Impressum
Stichwortverzeichnis & Impressum
161
162
Stichwortverzeichnis & Impressum
Stichwortverzeichnis A Admittanz 65, 67, 70ff., 75 Amperemeter 35 B Bandbreite 91ff. Blindleistung 80f. Blindleitwert 62ff. Blindwiderstand 61, 63f. C Crestfaktor 56 D Dielektrikum 115 Dreieck 38f., 52, 55, 126 E Eisendrossel 11f., 140f. Energiedichte 12, 152f. Energieinhalt 9, 12, 109, 151ff. F Flussdichte 102, 104, 114, 121, 141f. Formfaktor 56f. G Stichwortverzeichnis & Impressum
163
Gegeninduktion 129 Grenzfrequenz 93, 95, 97 H Hochpass 94 I Impedanz 64ff., 73, 88 K Kopplungsgrad 145ff. M Mittelwert 50 R Resonanz 84ff. S Scheinleistung 80f. Scheitelfaktor 56 Spule 89, 123, 131, 143, 145, 147, 149 Stern 38f. streufaktor 147 Streufaktor 145f. T Tiefpass 96 Trafo 129f., 141f.
164
Stichwortverzeichnis & Impressum
V Verstärkung 94, 96 Verstimmung 86 Voltmeter 36 W Wirkleistung 79ff.
Stichwortverzeichnis & Impressum
165
166
Stichwortverzeichnis & Impressum
Impressum 2. Auflage 2010 Version Nr.: 327 © 2010 Jakob Vesely2008-2010 Alle Rechte Vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung des Autors ist es nicht gestattet, das Buch oder Teile davon auf photomechanischem Wege (Fotokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen! Gedruckt auf 80 g/m² Elementar-Chlor-Freiem Papier
Stichwortverzeichnis & Impressum
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