Download Formelsamling Til Matematik A og B Niveau. Fra Undervisningsministeriet....
Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen
Undervisningsministeriet Erhvervsskoleafdelingen 1997
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen Udgivet af Undervisningsministeriet, Erhvervsskoleafdelingen 1997 1. udgave, 3. oplag. Januar 2001. 2000 stk. Udarbejdet til faget matematik ved bekendtgørelse nr. 463 af 9. juni 1995 om den erhvervsgymnasiale uddannelse til højere handelseksamen. Bestilles hos (UVM-7-326) sæt à 10 stk., (UVM-7-327) enkelteksemplarer, hos Undervisningsministeriets Forlag, Strandgade 100 D 1401 København K. Tlf. 3392 5220 Fax 3392 5219 E-mail:
[email protected] eller hos boghandlere Tryk: Boisen & Nielsen A/S
2
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Indholdsfortegnelse Niveau B Procentregning........................................................................5 Rentesregning .........................................................................6 Annuitetsregning.....................................................................7 Potensregneregler ...................................................................8 Linie ........................................................................................9 Parabel...................................................................................11 Trekant..................................................................................12 Funktion ................................................................................14 Polynomier ............................................................................16 Asymptote for polynomiumsbrøk .........................................18 Eksponentielle funktioner.....................................................19 Logaritmefunktioner .............................................................21 Potensfunktioner...................................................................23 Trigonometriske funktioner ..................................................26 Lineær funktion i to variable .................................................30 Differentialregning ................................................................31 Deskriptiv statistik.................................................................33 Sandsynlighedsregning..........................................................37 Stokastisk variabel .................................................................38 Binomialfordeling..................................................................39 Normalfordeling ....................................................................40 Niveau A Vektorer i planen ..................................................................43 Linie i planen.........................................................................47 Afstand i planen ....................................................................48 Parabel...................................................................................49 Cirkel.....................................................................................50 Ellipse....................................................................................51 Hyperbel ...............................................................................52 Kvadratisk funktion i to variable ...........................................53 Integralregning......................................................................54 Numerisk integration ............................................................57 Differentialligninger ..............................................................58 Sandsynlighedsregning..........................................................59 Stokastisk variabel .................................................................62 Binomialfordeling..................................................................64 Normalfordeling ....................................................................66 Konfidensinterval..................................................................68 Areal .............................................................................................71 Matematiske symboler ................................................................72 Stikordsregister for niveau B B......................................................76 Stikordsregister for niveau A .....................................................78
3
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
4
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Procentregning Gennemsnitlig procent En pris stiger et år med 6%, det næste år med 4%, og det næste år igen med 12%. Den gennemsnitlige rentefod er
Gennemsnitlig rentefod r af r1, r2 ,, rn
r 3 (1 0,06 ) (1 0,04) (1 012 , ) 1
r n (1 r1 ) (1 r2 ) (1 rn ) 1
(1)
0,0728 Den gennemsnitlige procentvise prisstigning pr. år er 7,28%.
Vejet gennemsnit Værdien 2 antages at have vægten 0,7 og værdien 6 vægten 0,3. Det vejede gennemsnit af 2 og 6 er
Vejet gennemsnit x af x1, x2 ,, x n med vægte r1, r2 ,, rn
x ( 2) 0,7 6 0,3 0,4
x x1 r1 x2 r2 xn rn
(2)
Indekstal Tabellen viser priser for en vare i 2 forskellige år. År Pris
1990 45
Indekstal I for et år med værdi t ud fra et basisår med værdi b
1995 54
Indekstallet for 1995 med basisår 1990 er I
54 100 120 45
I
t 100 b
(3)
5
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Rentesregning
Startkapital K 0 Rentefod r pr. termin Antal terminer n Kapital K n efter n terminer
Fremskrivning 400 kr., der forrentes med 6% p.a., er efter 5 år vokset til K 5 400 (1 0,06 )5 535,29 kr.
K n K 0 (1 r ) n
(4)
Tilbageskrivning Det beløb, der forrentet med 6% p.a. og som efter 8 år er vokset til 1500 kr., er K 0 1500 (1 0,06 ) 8 94112 , kr.
K 0 K n (1 r ) n
(5)
Effektiv rente Hvis renten er 2% pr. måned, så er den effektive rentefod p.a.
Den effektive rentefod i pr. n terminer
i (1 0,02) 12 1 0,2682
i (1 r ) n 1
(6)
Den effektive rente i procent p.a. er 26,82%.
6
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Annuitetsregning
Hovedstol A0 Rentefod r pr. termin Antal annuitetsydelser n Annuitetsydelse y Kapital An efter n annuitetsydelser
Fremtidsværdi af en annuitet Der indbetales 100 kr. hvert år i alt 4 gange, og renten er 5% p.a. Værdien efter sidste indbetaling er A4 100
(1 0,05) 4 1 , kr. 43101 0,05
Opsparingsformlen
An y
(1 r )n 1 r
(7)
Nutidsværdi af en annuitet Et lån tilbagebetales med 8 på hinanden følgende månedlige ydelser på 50 kr. Renten er 2% pr. måned. Lånets hovedstol er A0 50
1 (1 0,02) 8 366,27 kr. 0,02
Gældsformlen
A0 y
1 (1 r ) n r
(8)
Annuitetsydelse Den månedlige ydelse på et sædvanligt annuitetslån på 900 kr., der forrentes med 2% pr. måned og som har en løbetid på 6 måneder, er y 900
0,02 160,67 kr. 1 (1 0,02) 6
Amortisationsformlen
y A0
r 1 (1 r ) n
(9)
7
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Potensregneregler x 7 x 4 x 7 4 x 11
x s x t x s t
(10)
x7 x 74 x 3 4 x
xs x s t t x
(11)
( x 3 )2 x 3 2 x 6
( x s ) t x s t
(12)
( x y ) 5 x 5 y 5
( x y) s x s y s
(13)
5
x x5 5 y y
x 3
1 x3
s
x xs s y y
(14)
x0 1
(15)
x s
1
1 xs
(16)
1
x x2
s
x xs
t
xs x t
3
x3 x 2
(17) s
(18)
8
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Linie Hældningskoefficient for linie
Linien, der går gennem punkterne A(1,2) og B(3,0) har hældningskoefficienten a
02 21 3 ( 1)
Hældningskoefficient (stigningstal) a for linien l
a
y2 y1 x 2 x1
(19)
En linie, der danner en vinkel på 120° med 1. aksen, har hældningskoefficienten a tan 120 3
a tan v
(20)
9
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Ligning for linie
Linien gennem 6 på 2. aksen med hældningskoefficienten 2 har ligningen
Ligning for linien l
y 2 x 6
y ax b
(21)
y y 0 a( x x 0 )
(22)
Linien gennem A(1,2) med hældningskoefficienten 21 har en ligning bestemt ved y 2 21 ( x ( 1)) y 21 x 1 21
10
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Parabel
En parabel har ligningen
Ligning for parabel med symmetriakse parallel med andenaksen
y 21 x 2 x 4
y ax 2 bx c
(23)
Diskriminant d d ( 1) 2 4 21 ( 4) 9
d b 2 4ac
(24)
Toppunkt T ( 1) 9 , T (1 , 4 21 ) 2 21 4 21
b d , T 2a 4a
(25)
Skæringspunkter S1 og S2 med førsteaksen ( 1) 9 S1 , 0 ( 2 , 0) 2 21
b d , 0 S1 2a
( 1) 9 S2 , 0 ( 4 , 0) 2 21
b d S2 , 0 2a
(26)
Skæringspunkt S0 med andenaksen S0 ( 0 , 4)
S0 ( 0 , c )
(27)
11
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Trekant Retvinklet trekant
I en retvinklet trekant ABC med C 90 , a 5 og b 12 er c bestemt ved 52 122 c 2
a 2 b2 c 2
(28)
c 52 122 13 sin A
a c
(29)
b sin B c
cos A
b c
(30)
a cos B c Vinkel A er bestemt ved tan A
5 12
0,4167
A 22,6
tan A
a b
(31)
b tan B a
12
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Vilkårlig trekant
I en trekant ABC med a 5 , b 9 og c 6 er vinkel C bestemt ved
Cosinusrelationerne
6 2 52 92 2 5 9 cos C
c 2 a2 b2 2ab cos C
cos C
5 9 6 0,7778 2 5 9 C 38,9
a b c 2bc cos A
I en trekant ABC med A 40 , B 80 og b 5 er a bestemt ved
Sinusrelationerne
a 5 sin 40 sin 80
a b c sin A sin B sin C
2
a
2
2
b2 a2 c 2 2ac cos B 2
2
(32)
2
(33)
5 sin 40 3,26 sin 80
En trekant ABC med C 40 , a 5 og b 7 har arealet
Areal T af trekant
T 21 5 7 sin 40 1125 ,
T 21 ab sin C T 21 bc sin A
(34)
T ac sin B 1 2
13
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Funktion Funktionsbegrebet
Figuren viser grafen for en funktion f.
Definitionsmængden for f Definitionsmængden for f er grafens udstrækning målt på 1. aksen Dm( f ) @ a ; b@ Værdimængden for f Værdimængden for f er grafens udstrækning målt på 2. aksen Vm( f ) >e ; g @ Funktionsværdi y f ( x ) f(x) er andenkoordinaten til det punkt på grafen, som har førstekoordinaten x
(35)
(36)
(37)
Monotoniintervallerne for f f er aftagende i @ a ; c @ f er voksende i >c ; d @
(38)
f er aftagende i >d ; b@
14
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Sammensat funktion f ( x ) 2x 3 g( x ) x 1
Den sammensatte funktion f g af to funktioner f og g
( f g )( x ) 2( x 1) 3 2 x 1
( f g )( x ) f ( g ( x ))
(39)
Omvendt funktion
Den omvendte funktion f 1 til en funktion f
f ( x ) 2x 3 y 2x 3 x
1 2
y 1 21
y f ( x ) x f 1 ( y )
(40)
Med x som uafhængig variabel er en forskrift for f 1 f 1 ( x ) 21 x 1 21
15
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Polynomier Lineær funktion f ( x ) ax b
(41)
Grafen for f er en ret linie i et sædvanligt koordinatsystem.
16
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Andengradspolynomium f ( x ) 2x 2 4x 6
f ( x ) ax 2 bx c
(42)
Grafen for f er en parabel. Diskriminant d d b2 4ac
d 64
(43)
Nulpunkter (rødder) x1 og x2 x1 1 ,
x2 3
x1
f ( x ) 2 x 2 4 x 6 2( x 1)( x 3)
b d 2a
, x2
b d 2a
Faktorisering f ( x ) ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 )
(44)
(45)
Polynomium af grad n f ( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0
f ( x ) 2x 3 x 2 3x 4 De mulige rationale nulpunkter er p q
1 , 2 , 4 1 , 2 , 4 ,
1, 2
1 2
Mulig rational nulpunkt (rod) med heltallige koefficienter p går op i a0 og q går op i an Division med (x-t) t er nulpunkt i f ( x t ) går op i f ( x )
Da 1 er et nulpunkt i f, går ( x 1) op i f ( x ) og
p q
(46)
i et polynomium (47)
(48)
(2 x x 3 x 4):( x 1) 2 x x 4 3
2
2
17
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Asymptote for polynomiumsbrøk f (x)
f (x)
x 2 3 x 2 5
Da tællergrad < nævnergrad er y 0 en vandret asymptote
f (x)
4 3
(49)
Vandret asymptote Hvis tællergrad < nævnergrad, så er y 0 en vandret asymptote
(50)
4 x 2 2 3 x 2 5
Da tællergrad = nævnergrad er y
g( x ) h( x )
en vandret asymptote
Hvis tællergrad = nævnergrad, så er a y n en vandret asymptote, hvor bn
(51)
g ( x ) an x n a1 x a0 og h( x ) bn x n b1 x b0
x 2 3
f ( x ) 2x 4 Da tællergrad er én større end nævnergrad er y 21 x 1 en skrå asymptote, idet f ( x )
x 2 3 2x 4
x 1
1 2
1 2x 4
Skrå asymptote Hvis tællergrad = nævnergrad + 1, så er
(52)
y ax b en skrå asymptote, hvor f ( x ) ax b
r(x) h( x )
, og graden af r er
mindre end graden af h f (x)
x 2 3 2x 4
Da er nævnernulpunkt men ikke tællernulpunkt er x 2 en lodret asymptote
Lodret asymptote Hvis k er nulpunkt i nævner men ikke i tæller, så er x k en lodret asymptote
(53)
18
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Eksponentielle funktioner Eksponentialfunktion med grundtal a f (x) ax
Den naturlige eksponentialfunktion f ( x ) ex
(54)
(55)
Eksponentielt voksende/aftagende funktion Fremskrivningsfaktor a Relativ tilvækst r Begyndelsesværdi b f ( x ) ba x b(1 r ) x
(56)
Grafen er en ret linie i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.
19
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Fremskrivningsfaktor a
En eksponentiel funktion f ( x ) ba x er fastlagt ved f (1) 120 og f ( 4) 405. Fremskrivningsfaktoren er a 4 1
405 120
15 ,
a
x 2 x1 y2 y1
y2 y1
1 x 2 x1
(57)
Begyndelsesværdi b
En eksponentiel funktion f ( x ) ba x er fastlagt ved a 15 , og f ( 4) 405. Begyndelsesværdien er , 4 80 b 405 15 Fordoblingskonstanten for , x er f ( x ) 80 15 T2
ln 2 171 , ln(15 , )
b y0 a x
(58)
0
Fordoblingskonstant T2 T2
ln 2 ln a
(59)
Halveringskonstant T T 1 2
ln 21 ln a
1 2
(60)
Eksponentiel ligning 2 3 10 x x
ln 102 ln 3
, 1465
ba
x
yx
ln
y b
ln a
ln y ln b ln a
(61)
20
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Logaritmefunktioner Logaritmefunktionen med grundtal 10, log
Regneregler y 10 x x log y
(62)
x 10
(63)
log x
log(10 ) x
log10 1
(64)
log( x y ) log x log y
(65)
log x log y
log
x y
log(a ) x log a x
(66) (67)
21
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Den naturlige logaritmefunktion ln
Regneregler y e x x ln y
(68)
xe
(69)
ln x
ln(e ) x
ln e 1
(70)
ln( x y ) ln x ln y
(71)
ln
x y
ln x ln y
ln( a x ) x ln a
Sammenhæng mellem log og ln ln x log x ln 10 ln x
log x log e
(72) (73)
(74)
(75)
22
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Potensfunktioner Potensfunktion med eksponent a f (x) x a
(76)
Funktion der er proportional med potensfunktion f ( x ) bx a
(77)
Grafen er en ret linie i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.
23
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Eksponent a
En potensfunktion f ( x ) bx a er fastlagt ved f (2) 6 og f ( 8 ) 96. Eksponenten er ln 966 2 a ln( 82 )
ln y a ln ln x ln
y2 y1
x2 x1
2 2
ln y1 ln x1
(78)
Bestemmelse af b
En potensfunktion f ( x ) bx a er fastlagt ved a = 2 og f ( 8 ) 96. b er b 96 8 2 15 ,
b y0 x 0 a
(79)
Potensligning 2 x 10 x 3
3 10 2
1710 ,
bx a y x a
y b
y b
1 a
(80)
24
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Proportionalitet
Ligefrem proportionalitet y y k x x k
(81)
Omvendt proportionalitet y c 1x x y c
(82)
25
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Trigonometriske funktioner Cosinus og sinus
Graf for cos
x
0
5
2
5
3 2
cos x
1
0
–1
0
25 1
Graf for sin
x
0
5
2
5
3 2
sin x
0
1
0
–1
25 0
Regneregler (cos x )2 (sin x )2 1
(83)
cos ( x 2 ) cos x sin ( x 2 ) sin x
(84)
cos ( x ) cos x sin ( x ) sin x
(85)
cos ( x ) cos x sin ( x ) sin x
(86)
26
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Tangens
tan x
sin x cos x
(87)
Graf for tan
x tan x
5 4
0
5 4
–1
0
1
Regneregler tan( x ) tan x
(88)
tan( x ) tan x
(89)
27
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Specielle funktionsværdier Grader
0
30
45
60
90
Radiantal
0
6
4
3
2
sin
0
1 2
2 2
3 2
1
cos
1
3 2
2 2
1 2
0
tan
0
3 3
1
3
(90)
–
Trigonometriske grundligninger cos x 0,2 , x 13694 p 2 ,
0,6435 p 2 x
0 6435 p 2
sin x a
(92)
tan x a
(93)
p Z
p Z
tan x 14 , x 0,9505 p ,
(91)
p Z
sin x 0,6
0,6435 p 2 x
2 4981 p 2
cos x a
p Z
28
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Harmonisk svingning f ( x ) 3 cos( 4 x 1) 5 f ( x ) 3 sin (4 x 1) 5 Perioden for f ( x ) 3 sin( 4 x 1) 5 er 2 p 4 2
f ( x ) a cos(bx c ) d f ( x ) a sin ( bx c ) d
(94) (95)
Periode p p
2 b
(96)
Graf for harmonisk svingning
p x 2 x1 a
ymax ymin 2
d ymax a
(97)
(98) (99)
29
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Lineær funktion i to variable f ( x, y ) x 2 y 3
N ( t ):
x 2y 3 t y 21 x
N (2):
f ( x, y ) ax by c
(100)
Niveaulinie N(t) N ( t ): ax by c t
(101)
t 3 2
x 2y 3 2 , y 21 x 25
30
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Differentialregning
Differentialkvotient f ?(x0) f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) lim xox x x0
(102)
0
En ligning for tangenten til grafen for funktionen f ( x ) x 2 x 3 i A(1, f (1)) er bestemt ved y 3( x 1) 5
Ligning for tangent t i A(x0 , f (x0))
y f ( x 0 )( x x 0 ) f ( x 0 )
(103)
y 3x 2 Det approksimerende førstegradspolynomium for funktionen f ( x ) x 2 x 3 i tallet 1 har en forskrift, der er bestemt ved p( x ) 3( x 1) 5
Approksimerende førstegradspolynomium p for f i tallet x0
p( x ) f ( x 0 )( x x 0 ) f ( x 0 )
(104)
p( x ) 3 x 2
31
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Differentiation af specielle funktioner Funktion f (x)
Afledet funktion f ?(x)
Funktion f (x)
Afledet funktion f ?(x)
5
0
k (konstant)
0
x3
3 x2
1 = x 1 x
1 x 2 x2 1 1 1 x 2 2 x 2
xa 1 = x 1 x
a x a 1 1 2 x 2 x 1 1 1 x 2 2 x 2
1
x = x2
1
x = x2
3x
ln3 3 x
ax
ln a a x
ex
ex
ex
ex
e3 x ln x
3e3 x
e kx ln x
k e kx
cosx sinx tanx
1 x
sinx cosx 12 1(tanx) (cosx)2
(105)
1 x
cos x sin x
sin x cos x
tan x
1 1 (tan x )2 (cos x ) 2
Regneregler for differentiation ( x 2 3 x ) 2 x 3
( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x )
(106)
( x ln x ) 1 ln x x 1x ln x 1
( f g ) ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
(107)
(3 sin x ) 3 cos x
( k f ) ( x ) k f ( x )
(108)
2 x 1 2 (x 1) (2 x 1) 1 3
2 x 1 x x 1 ( ) ( 1)2
§ ¨ ©
((2 x 1) 3 ) 3(2 x 1) 2 2 6(2 x 1) 2
( f g ) ( x ) f ( g ( x )) g ( x )
f ·c ¸ (x) g¹
f c( x ) g ( x ) f ( x ) g c( x ) ( g ( x ))2
(109)
(110)
32
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Deskriptiv statistik Antal observationer n Observationer x1, x2 ,, x n Gennemsnittet af karaktererne 10, 9, 11, 9, 8, 6, 7, 8 opnået af 8 elever er 10 9 11 9 8 6 7 8 x 8,5 8
Middeltal (gennemsnit) x n
x
¦ xi i 1
n
(111)
Diskrete observationer I en forretning har man i 60 på hinanden følgende dage registreret antal kunder i den første åbningstime. Fordelingen af antal kunder i denne time og en analyse samt illustration af denne fordeling er vist i det følgende. Antal kunder xi
Hyppighed hi
Frekvens
1 2 3 4 i alt
6 18 12 24 n = 60
0,1 0,3 0,2 0,4 1,0
Antal observationsværdier k Observationsværdier x1, x2 ,, x k Hyppigheder h1, h2 ,, hk Antal observationer n k
fi
Det gennemsnitlige antal kunder er
n ¦ hi
(112)
i 1
Frekvenser f1 , f2 ,…, fk h fi i , i 1, 2,, k n
(113)
Middeltal (gennemsnit) x k
x
1 6 2 18 3 12 4 24 2,9 60
x
¦ xi hi i 1
n
(114)
k
x 1 01 , 2 0,3 3 0,2 4 0,4 2,9
x ¦ xi fi
(115)
i 1
33
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Pindediagram for fordelingen af antal kunder.
Pindediagram
Højde af pind svarer til frekvens/hyppighed af observationsværdi. Antal kunder xi
Frekvens fi
Summeret frekvens Fi
1 2 3 4
0,1 0,3 0,2 0,4
0,1 0,4 0,6 1,0
Summerede frekvenser F1, F2 ,, Fk i
Fi ¦ f j
, i 1, 2,, k
(116)
j 1
Trappediagram for fordelingen af antal kunder.
Trappediagram
010 , fraktil 1 1. kvartil 2 2. kvartil median 3 3. kvartil 4
a fraktil xi 1. kvartil 0,25 fraktil 2. kvartil median 05 , fraktil 3. kvartil 0,75 fraktil
(117) (118) (119) (120)
34
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Grupperede observationer På en skole har man for 80 elever registreret antal timer, som eleven var om at lave en afleveringsopgave i matematik. Fordelingen af antal timer til at lave afleveringsopgaven og en analyse samt illustration af denne fordeling er vist i det følgende. Antal timer Inter- Antal Intergrupperet i val- elever valintervaller midtfrekvens punkt hi fi mi ( xi 1; xi (
( 05, ;15, ( (15, ;25, ( (25, ;35, ( (35, ;45, ( i alt
1
8
0,1
2
40
0,5
3
24
0,3
4
8
0,1
n = 80
1,0
Det gennemsnitlige antal timer er
Antal intervaller k
(
((
( (
Intervaller x 0 ; x1 , x1; x2 ,, x k 1; x k Hyppigheder h1, h2 ,, hk
Intervalmidtpunkter m1 , m2 ,…, mk xi 1 xi , i 1, 2,, k mi 2
(
(121)
Antal observationer n k
n ¦ hi
(122)
i 1
Intervalfrekvenser f1 , f2 ,…, fk h fi i , i 1, 2,, k n
(123)
Middeltal (gennemsnit) x k
¦ mi hi
1 8 2 40 3 24 4 8 x 2,4 80
x
x 1 01 , 2 05 , 3 0,3 4 01 , 2,4
x ¦ mi fi
i 1
n
(124)
k
(125)
i 1
35
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Søjlediagram for fordelingen af antal timer.
Antal timer grupperet i intervaller ( xi 1; xi (
Intervalfrekvens fi
Summeret frekvens Fi
( 05, ;15, ( (15, ;25, ( (25, ;35, ( (35, ;45, (
0,1
0,1
0,5
0,6
0,3
0,9
0,1
1,0
Søjlediagram (histogram)
Areal af rektangel svarer til intervalfrekvens/hyppighed. Summerede frekvenser F1, F2 ,, Fk i
Fi ¦ f j
, i 1, 2,, k
Sumkurve for fordelingen af antal timer.
Sumkurve
010 , fraktil 15 ,
a fraktil x a 1. kvartil 0,25 fraktil 2. kvartil median 05 , fraktil 3. kvartil 0,75 fraktil
1. kvartil 18 , 2. kvartil median 2,3 3. kvartil 3
(126)
j 1
(127) (128) (129) (130)
36
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Sandsynlighedsregning Antal udfald n Udfald u1, u2 ,, un Udfaldsrum U
^
U u1, u2 ,, un
`
(131)
Sandsynlighedsfunktion P 0 P (u ) 1 , i 1, 2,, n
Et stokastisk eksperiment er beskrevet ved
i
u P(u)
1 0,2
2 0,1
3 0,5
4 0,2
n
¦ P (ui ) 1
(132)
i 1
Sandsynligheden for hændelsen A ^3,4` er
Sandsynlighed P(A) for en hændelse A
P ( A) P (3) P ( 4) 05 , 0,2 0,7
P(A) er lig med summen af sandsynlighederne af alle udfald i A
(133)
Regneregler for sandsynligheder I et sandsynlighedsfelt (U,P) har hændelsen A sandsynlighed P ( A) 0,25
Udfaldsrum U Hændelse A
Sandsynligheden for den komplementære hændelse er P ( A) 1 0,25 0,75
P (U ) 1 P( Ø) 0
(134) (135)
P ( A) 1 P ( A)
(136)
37
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Stokastisk variabel Fordelingsfunktion F for en stokastisk variabel X (137) F ( x ) P( X x ) , x R
Diskret stokastisk variabel X
Sandsynlighedsfordelingen for en stokastisk variabel X er x P(X = x)
2
5
7
0,4
0,5
0,1
Antal værdier n Værdier x1, x2 ,, x n Sandsynlighedsfunktion f f ( xi ) P ( X xi ) , i 1, 2,, n
(138)
Fordelingsfunktionen for X er 2
x
5
0,4
F(x)
0,9
7 1,0
Fordelingsfunktion F i
F ( xi ) ¦ f ( x j ) , i 1, 2,, n
(139)
j 1
Middelværdien af X er
Middelværdi µ
E ( X ) 2 0,4 5 05 , 7 01 , 4
2 E ( X ) ¦ xi P ( X xi )
n
(140)
i 1
Variansen af X er
Varians 8
Var( X ) ( 2 4)2 0,4 (5 4) 2 05 ,
8 2 Var( X ) ¦ ( x i 2 ) 2 P ( X x i )
(141)
8 2 Var( X ) E ( X 2 ) ( E ( X ))2
(142)
2
( 7 4) 01 , 3 2
Var( X ) 22 0,4 52 05 ,
n
i 1
7 01 , 4 3 2
2
Standardafvigelsen af X er
Standardafvigelse 8
8 ( X ) 3 173 ,
8 8 ( X ) Var ( X )
(143)
38
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Binomialfordeling 5 ! 1 2 3 4 5 120
5! 5 K (5,3) 10 3 3 !(5 3)!
n fakultet n! n ! 1 2 n 0! 1 Binomialkoefficient K(n, r) n! n K ( n, r ) r r !( n r )!
(144) (145)
(146)
Binomialfordelt stokastisk variabel X Lad X betegne antal defekte enheder i en stikprøve på 50, som stammer fra en produktion, hvoraf 14% af enhederne er defekte. Det antages
Antalsparameter n Sandsynlighedsparameter p Værdier 0, 1, 2, , n
, ) X b(50 ; 014
X b( n, p )
Sandsynligheden for at stikprøven indeholder 2 defekte er
Sandsynlighedsfunktion
P ( X 2) K (50, 2) 014 , 2
P ( X r ) K ( n, r ) p r (1 p ) n r
(1 014 , )
50 2
(147)
(148)
0,0172
Det forventede antal defekte i stikprøven er
Middelværdi
E ( X ) 50 014 , 7
E( X ) n p
Variansen af antal defekte er
Varians
Var( X ) 50 014 , (1 014 , ) 6,02
Var( X ) n p (1 p )
Standardafvigelsen af antal defekte er
Standardafvigelse
8 ( X ) 50 014 , (1 014 , ) 2,45
8 ( X ) n p (1 p )
(149)
(150)
(151)
39
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Normalfordeling Normalfordelt stokastisk variabel X Lad X betegne det antal km, en bestemt bilmodel kører på 1 liter benzin. Det antages
Middelværdi 2 Standardafvigelse 8
X N (15, 2)
X N ( 2, 8 )
(152)
Grafen for fordelingsfunktionen F på nornalfordelingspapir går gennem punkterne (15 2; 0159 , ) (13; 0159 , ), (15; 05 , ) og (15 2; 0,841) (17; 0,841)
Grafen for fordelingsfunktionen F er en ret linie på normalfordelingspapir.
40
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Sandsynligheden for at en bil af denne model kører højst 14 km på 1 liter benzin er
Beregning af intervalsandsynligheder
P ( X 14)
P ( X a)
F (14)
0,31
F (a)
(153)
Sandsynligheden for at den kører mindst 14 km på 1 liter benzin er P ( X ! 14) 1 F (14) 1 0,31 0,69
P( X a) 1 F ( a)
(154)
P (a X b)
(155)
Og sandsynligheden for at den kører mellem 14 km og 16 km på 1 liter benzin er P (14 X 16 ) F (16 ) F (14) 0,69 0,31 0,38
F ( b) F ( a ) , a b
41
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
42
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Vektorer i planen o
Vektor a
o o a a a1 i a2 j a1 2
o o 5 a 5 i 2 j 2
o
o
(156)
o
Længde af a o
o
_a_ 52 ( 2)2 29
_a_ a12 a22
(157)
Regning med vektorer o 5 For a 2
o 3 , b 4
og
a a 1 a2
o
o b , b 1 b2
og t er et tal
t 2 gælder følgende o
Vektor t a
o 2 5 10 t a 2 ( 2) 4
o t a t a t a1 2
(158)
43
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
o
o
Sum a b
o 5 3 8 a b 2 4 2
o
o a b a b 1 1 a2 b2
o
o
(159)
o
Differens a b
o 5 3 2 a b 2 4 6
o
o a b a b a1 b1 2 2
o
o
(160) o
Skalarprodukt a b
o o
a b 5 3 ( 2) 4 7
7 29 5 cos v
o o
a b a1 b1 a2 b2
o o
o
(161)
o
a b _a__b_ cos v
(162)
v 74,9 o
o
Skalarprodukt a a o o
a a
29
2
29
o o
o
a a _a_2
(163) o
o
Vinkelrette vektorer a og b o
o
o o
a b ab 0
(164)
44
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
o
o
o
Projektion a b af a på b
o
ab
21 7 3 25 4 3 25 1 25
o o o
ab
a b o2
_b_
o
b
(165)
o
Tværvektor a
o
( 2) 2 a 5 5
o
a a a2 1
(166) o
o
Areal A af det parallelogram, som a og b udspænder
2 3 A 5 4 26
o o
A _a b_
(167)
45
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Vektor bestemt ved to punkter i planen
For A(3,5) og B( 6,1) gælder, at 6 3 3 AB 1 ( 5) 6
o
o
Koordinatsæt for AB x x1 AB 2 y2 y1
o
(168)
o
Længde af AB o
_ AB_ ( 6 3) 2 (1 ( 5))2 45
o
_ AB_ ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
(169)
Areal af trekant
En trekant ABC, hvor A (3,2) , B (5,6) og C (4,2) har arealet T
6 4 2
1 4
Areal T af trekant ABC
1 o o
T 2_ AB AC_
(170)
46
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Linie i planen
Ligning for linie Linien gennem A( 12 , ) med normalo
vektoren n
har en ligning 2 3
Ligning for linien l gennem P0 ( x 0 , y0 ) med o
normalvektor n
a b
bestemt ved 2( x ( 1)) 3( y 2) 0
a( x x 0 ) b( y y0 ) 0
(171)
y 23 x 2 23
Retningsvektor for linie En retningsvektor for linien med ligningen y 2 x 6 er o
r
1 2
o
Retningsvektor r for linien l med ligningen y ax b o
r
1 a
(172)
47
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Afstand i planen Afstand mellem to punkter
Afstanden mellem A(3,5) og B( 6,1) er
Afstand _AB_ mellem to punkter A( x 1 , y1 ) og B ( x 2 , y 2 )
_AB_ ( 6 3) 2 (1 ( 5))2 45
_AB_ ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
(173)
Afstand fra punkt til linie
, ) til linien Afstanden fra punktet P(25 l med ligningen x 2 y 3 0 er dist( P, l )
_( 1) 2 2 5 3_
( 1) 2 2
2
2,24
Afstand dist ( P , l ) fra punktet P ( x 0 , y 0 ) til linien l med ligningen ax by c 0 dist( P, l )
_ax 0 by0 c_ a 2 b2
(174)
48
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Parabel
En parabel har ligningen
Ligning for parabel med symmetriakse parallel med andenaksen
y 21 x 2 x 4
y ax 2 bx c
(175)
Diskriminant d d ( 1)2 4 21 ( 4) 9
d b2 4ac
(176)
Toppunkt T ( 1) 9 , T (1 , 4 21 ) 2 21 4 21
b d , T 2a 4a
(177)
49
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Cirkel
En ligning for cirklen med centrum i C(21 , ) og radius 3 er bestemt ved
Ligning for cirkel med centrum i C(x0, y0) og radius r
( x 2) 2 ( y 1)2 32
( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 r 2
(178)
x 2 4x y2 2 y 4 0
Omkreds O O 2 3 6
O 2r
(179)
Areal A A 3 2 9
A r 2
(180)
50
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Ellipse
En ligning for ellipsen med centrum i C(21 , ) og halvakser a 3 og b 2 er bestemt ved
Ligning for ellipse med centrum i C(x0, y0) og halvakser a og b
( x 2) 2 ( y 1) 2 1 32 22
( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 a2 b2
(181)
4 x 2 16 x 9 y 2 18 y 11 0
Areal A A 3 2 6
A ab
(182)
51
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Hyperbel
En ligning for hyperblen med , ) og halvakser centrum i C(21 a 3 og b 2 er bestemt ved
Ligning for hyperbel med centrum i C(x0, y0) og halvakser a og b
( x 2) 2 ( y 1) 2 1 32 22
( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 a2 b2
(183)
4 x 2 16 x 9 y 2 18 y 29 0
Asymptoterne har ligningerne
Ligning for asymptoter
y 1 23 ( x 2) y 23 x
y y0 ab ( x x 0 )
1 3
og
og y 1 ( x 2) y x 2 2 3
2 3
1 3
(184)
y y0 ( x x 0 ) b a
52
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Kvadratisk funktion i to variable f ( x, y ) x 2 6 x 2 y 2 4 y 5
N ( t ): x 6 x 2 y 4 y 5 t 2
2
( x 3) 2( y 1) 6 t 2
2
( x 3) ( y 1) 1 6t 3 21 t 2
(185)
Niveaukurve N(t) N ( t ): ax 2 bx cy 2 dy e t
(186)
– en cirkel for a c – en ellipse for a c 0 og a c – en hyperbel for a c 0
( x 3) ( y 1) 1 4 2 2
N (2):
2
f ( x, y ) ax 2 bx cy2 dy e
2
53
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Integralregning Stamfunktion F er en stamfunktion til f F ( x ) f ( x )
(187)
Stamfunktion til specielle funktioner Funktion f (x)
Stamfunktion
3
3x
³ f ( x )dx
x3
1 4
x4
Funktion f (x)
Stamfunktion
k (konstant)
kx
³ f ( x )dx 1 a 1
xa 1 x 1 x
x a 1
ln_x_ 3
1
x x2 3x
1 ln 3
3x
a
2 3
x
x x 23 x 2 1 ln a
ex e3x
1 3
e3x
e
(188)
ax
ex 1 k
kx
e kx
ln x
x ln x x
cos x
sin x
sin x
cos x
tan x
ln_cos x_ 2
1 (tan x )
tan x
1 (cos x )2
tan x
54
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Regneregler for ubestemt integral
³ x dx 31 x 2
³ (x
2
3
c
4)dx 31 x 3 4 x c
³ 5 x 2dx 3 x 3 c 5
³ f ( x )dx F ( x ) c
(189)
³ ( f ( x ) g ( x ))dx ³ f ( x )dx ³ g ( x )dx
(190)
³ k f ( x )dx k ³ f ( x )dx
(191)
Partiel (delvis) integration
³ (e
x
) x dx ( e ) x ³ e 1 dx x
x
³ f ( x ) g ( x )dx F ( x ) g ( x ) ³ F ( x ) g ( x )dx (192)
x e e c x
x
Integration ved substitution
³ (2 x 1) e e c e t
x2 x
x2 x
dx ³ e dt
³ f ( g ( x )) g ( x )dx ³ f (t )dt
t
, hvor t g ( x ) (193)
c
Regneregler for bestemt integral 2
³1 (3 x
2
>
4)dx x 3 4 x
@
2 1
³a f ( x )dx > F ( x )@ a F (b) F (a) b
b
(194)
23 4 2 (( 1) 3 4 ( 1)) 3 b
c
b
³a f ( x )dx ³a f ( x )dx ³c f ( x )dx b
b
(195) b
³a ( f ( x ) g ( x ))dx ³a f ( x )dx ³a g ( x )dx b
b
³a k f ( x )dx k ³a f ( x )dx
(196)
(197)
Partiel (delvis) integration
(198)
³a f ( x ) g ( x )dx > F ( x ) g ( x )@ a ³a F ( x ) g ( x )dx b
b
b
Integration ved substitution b
g (b)
³a f ( g ( x )) g ( x )dx ³g ( a ) f (t )dt
(199)
F ( g ( b)) F ( g ( a )) , hvor t g ( x )
55
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Arealberegning Areal A af skraveret område
Arealet af området
^ ( x, y )_ 2 x 1 0 y x 2 2 x 2` er 1
³2 ( x
2
2 x 2)dx
>
1 3
x 3 x 2 2x
@
1 2
b
A ³ f ( x )dx a
(200)
31 1 2 ( 83 4 4) 6 Areal A af skraveret område
Arealet af området
^( x, y)_1 x 4 1 x 2 4x 3 y 2 x 2 2 x 3< er 4
³1 ( 21 x 4
2
³1 ( 21 x
2 x 3 ( x 2 4 x 3))dx 2
>
2 x )dx 61 x 3 x 2
@
4
1
b
A ³ ( f ( x ) g ( x ))dx a
(201)
10 23 16 ( 61 1) 4 21
56
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Numerisk integration
f ( x ) 21 x 2 2 x 3
> @ >
Intervallet >1;4@ inddeles i 6 lige
Interval a ; b x 0 ; x n
lange delintervaller
Antal delintervaller n
@ >
@>
@ >
Lige lange delintervaller x 0 ; x1 , x1; x2 ,, x n 1; x n Delintervallængden er , x 461 05
Delintervallængde x x xi xi 1 bn a , i 1, 2,, n
@
(202) b
Tilnærmelsessummer for
a
f (x )dx
Venstresum Vn n 1
V6 05 , ( f (1) f (15 , ) f (2 ) , ) f (3) f (35 , )) f (25 05 , (15 , 1125 , 1 1125 , , 2125 , ) 41875 , 15
Vn x ¦ f ( x i )
(203)
i 0
Højresum H n n
H n x ¦ f ( xi )
(204)
i 1
Trapezsum Tn
(205) n 1
Vn H n x
Tn f ( x 0 ) 2 ¦ f ( xi ) f ( x n ) 2 2 i 1
57
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Differentialligninger (206) Ligning dy x2 dx
Løsning y 31 x 3 c
dy ky dx dy 2y dx
y ce2 x
dy y(3 21 y ) dx
y
6 1 ce 3 x
Ligning
Løsning
dy h( x ) dx
y ³ h( x )dx
dy h( x ) g ( y ) dx
³ g (1y ) dy ³ h( x )dx
dy ky dx
y ce kx
dy
y
dx
y( b ay )
dy ay( M y ) dx
y
b a
1 ce bx M 1 ce aMx
58
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Sandsynlighedsregning Antal udfald n Udfald u1, u2 ,, un Udfaldsrum U
^
U u1, u2 ,, un
`
(207)
Sandsynlighedsfunktion P 0 P (u ) 1 , i 1, 2,, n
Et stokastisk eksperiment er beskrevet ved
i
u P(u)
1 0,2
2 0,1
3 0,5
4 0,2
n
¦ P (ui ) 1
(208)
i 1
Sandsynligheden for hændelsen A ^3,4` er
Sandsynlighed P(A) for en hændelse A
P ( A) P (3) P ( 4) 05 , 0,2 0,7
P(A) er lig med summen af sandsynlighederne af alle udfald i A
(209)
Regneregler for sandsynligheder I et sandsynlighedsfelt (U,P) har hændelsen A sandsynlighed P ( A) 0,25
Udfaldsrum U Hændelse A
Sandsynligheden for den komplementære hændelse er P ( A) 1 0,25 0,75
P (U ) 1 P( Ø) 0
(210) (211)
P ( A) 1 P ( A)
(212)
59
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
I et sandsynlighedsfelt (U,P) gælder for hændelserne A og B, at P ( A) 0,4 , P ( B ) 0,2 og P ( A B ) 01 ,
Udfaldsrum U Hændelser A og B Sandsynligheden for hændelsen enten A eller B er P ( A B ) 0,4 0,2 01 , 05 ,
Additionsreglen
Sandsynligheden for A givet B er 01 , P ( A_B ) , 05 0,2
Betinget sandsynlighed P ( A B) P ( A_B ) P ( B)
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B )
(213)
(214) P ( A B) P ( B_A) P ( A)
Multiplikationsreglen P ( A B ) P ( A_B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B_A) P ( A)
A og B er ikke uafhængige, da P ( A_B ) 05 , 0,4 P ( A)
05 , 0,2 P ( B_A) 0,25 0,4
A og B uafhængige hændelser P ( A_B ) P ( A) P ( B_A) P ( B ) P ( A B ) P ( A) P ( B )
Bayes formel P ( A_B ) P ( B ) P ( B_A) P ( A)
(215)
(216)
(217)
(218)
60
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
En fabrik producerer en bestemt vare på tre maskiner, M1, M2 og M3 . Produktionen fordeler sig med 40% på M1 , 50% på M2 og 10% på M3 . Nogle af varerne er defekte. Det drejer sig om 5% på M1 , 6% på M2 og 30% på M3 . Mængden af defekte varer betegnes D. En vare fra denne produktion udvælges tilfældigt.
Udfaldsrum U Hændelse A Antal hændelser n Hændelser H1, H 2 ,, H n , der udelukker hinanden, og som udfylder U
Sandsynligheden for at varen er defekt, er
Loven om den totale sandsynlighed
P ( D ) 0,05 0,4 0,06 05 , 0,30 010 , 0,08
P ( A) ¦ P ( A_H L ) P (H L )
Sandsynligheden for at varen er produceret på M1 , når det oplyses, at den er defekt, er
Bayes formel (alternativ version)
n
P ( M1_D )
0,05 0,4 0,25 0,08
(219)
i 1
P ( H j_ A )
P ( A_H M ) P ( H M ) P ( A)
,
j 1, 2, , n (220)
61
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Stokastisk variabel Fordelingsfunktion F for en stokastisk variabel X (221) F ( x ) P( X x) , x R
Diskret stokastisk variabel X
Sandsynlighedsfordelingen for en stokastisk variabel X er x P(X = x)
2
5
7
0,4
0,5
0,1
Antal værdier n Værdier x1, x2 ,, x n Sandsynlighedsfunktion f f ( xi ) P ( X xi ) , i 1, 2,, n
(222)
Fordelingsfunktionen for X er x F(x)
2
5
0,4
0,9
7 1,0
Fordelingsfunktion F i
F ( xi ) ¦ f ( x j ) , i 1, 2,, n
(223)
j 1
Middelværdien af X er
Middelværdi µ
E ( X ) 2 0,4 5 05 , 7 01 , 4
2 E ( X ) ¦ xi P ( X xi )
n
(224)
i 1
Variansen af X er
Varians 8
Var( X ) ( 2 4)2 0,4 (5 4) 2 05 ,
8 2 Var( X ) ¦ ( x i 2 ) 2 P ( X x i )
(225)
8 2 Var( X ) E ( X 2 ) ( E ( X ))2
(226)
2
( 7 4) 01 , 3 2
Var( X ) 22 0,4 52 05 ,
n
i 1
7 2 01 , 42 3 Standardafvigelsen af X er
Standardafvigelse 8
8 ( X ) 3 173 ,
8 8 ( X ) Var ( X )
(227)
62
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Kontinuert stokastisk variabel X
Figuren viser grafen for en tæthedsfunktion f. Arealet under grafen er lig med 1
Fordelingsfunktion F F ( x ) er arealet under grafen for f til venstre for x
(228)
Lineær transformation af stokastisk variabel X 5X 4
aX b
Det antages, at E ( X ) 10 og Var( X ) 9 . Så er
Regneregler
E (5 X 4) 5 10 4 54
E ( aX b) aE ( X ) b
(230)
Var(5 X 4) 52 9 225
Var ( aX b) a 2 Var ( X )
(231)
8 (5 X 4) _5_ 3 15
8 ( aX b) _a_8 ( X )
(232)
(229)
63
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Binomialfordeling 5 ! 1 2 3 4 5 120
5! 5 K (5,3) 10 3 3 !(5 3)!
n fakultet n! n ! 1 2 n 0! 1 Binomialkoefficient K(n, r) n! n K ( n, r ) r r !( n r )!
(233) (234)
(235)
Binomialfordelt stokastisk variabel X Lad X betegne antal defekte enheder i en stikprøve på 50, som stammer fra en produktion, hvoraf 14% af enhederne er defekte. Det antages
Antalsparameter n Sandsynlighedsparameter p Værdier 0, 1, 2, , n
, ) X b(50 ; 014
X b( n, p )
Sandsynligheden for at stikprøven indeholder 2 defekte er
Sandsynlighedsfunktion
P ( X 2) K (50, 2) 014 , 2
P ( X r ) K ( n, r ) p r (1 p ) n r
(1 014 , )
50 2
(236)
(237)
0,0172
Det forventede antal defekte i stikprøven er
Middelværdi
E ( X ) 50 014 , 7
E( X ) n p
Variansen af antal defekte er
Varians
Var( X ) 50 014 , (1 014 , ) 6,02
Var( X ) n p (1 p )
Standardafvigelsen af antal defekte er
Standardafvigelse
8 ( X ) 50 014 , (1 014 , ) 2,45
8 ( X ) n p (1 p )
(238)
(239)
(240)
64
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Approksimation af binomialfordelt stokastisk variabel X med normalfordeling X b( n, p ) Forudsætning n p 5 og n (1 p ) 5
Antag, at X = b(32; 0,25) . Så er med tilnærmelse
X a N 32 0,25; 32 0,25 (1 0,25)
Tilnærmelsesvis fordeling af X
X a N n p, n p (1 p )
(241)
X a N (8, 6 ) Beregning af sandsynligheder ved hjælp af fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen 5 05 , 32 0,25
P( X 5)
32 0,25 (1 0,25)
a 05 , n p
P( X a )
n p (1 p )
(242)
a 05 , n p
P( X a ) 1
n p (1 p )
(243)
( 102 , ) 015386 ,
5 05 , 32 0,25
P( X 5) 1
32 0,25 (1 0,25) , ) 1 ( 143 1 0,07636 0,92364
9 05 , 32 0,25
P (5 X 9)
32 0,25 (1 0,25) 5 05 , 32 0,25
32 0,25 (1 0,25)
b 05 , n p
P (a X b)
n p (1 p ) a 05 , n p
n p (1 p )
(244)
( 0,61) ( 143 , ) 0, 72907 0,07636 0, 65271
65
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Normalfordeling Normalfordelt stokastisk variabel X Middelværdi 2 Standardafvigelse 8 Varians 8 2 X N ( 2, 8 )
(245)
Standardnormalfordelt stokastisk variabel U U N ( 01 ,)
(246)
Graf for fordelingsfunktion
0,95 fraktil 1645 ,
a fraktil ua
(247)
, ) 0,95 (1645
(ua ) a
(248)
66
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Standardisering af normalfordelt stokastisk variabel X Antag at X ~ N ( 7, 2) , så er X 7 ,) N ( 01 2
X N ( 2, 8 ) X2 N ( 01 ,) 8
(249)
Beregning af intervalsandsynligheder 8 7 , ) 0,69146 P( X
( 05 8 ) 2
§ 8 7· § 4 7· P (4 X 8 ) ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 ¹ © 2 ¹ , ) ( 15 , ) (05 0,69146 0,06681 0,62465
a 2 P( X
a) 8
(250)
a 2 P( X
a) 1 8
(251)
b 2 a 2 P (a
X b) 8 8
(252)
– Gennemsnit X af n uafhængige identisk normalfordelte stokastiske variable Det antages, at Xi N (10, 2) i 1, 2,,50 , og at de stokastiske variable er uafhængige.
Xi N ( 2, 8 ) , i 1, 2,, n uafhængige stokastiske variable n
X
Fordelingen af gennemsnittet er 2 ) X N (10, 50
¦ Xi i 1
(253)
n
X N ( 2,
8
)
(254)
n
67
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Konfidensinterval Konfidensinterval for middelværdien 2i 2 en normalfordeling med kendt varians 8 På en årgang, der har været til matematikprøve, udvælges 8 elevers karakterer tilfældigt. De udvalgte karakterer blev 10, 9, 11, 9, 8, 6, 7, 8. Stikprøvens middelværdi x 8,5 Af erfaring ved man, at karaktererne er normalfordelt med 2 varians 8 2,25
Stikprøvens størrelse n Observeret middelværdi i stikprøven x Standardafvigelse i normalfordelingen 8 100 (1 a2 )% fraktil u1 a 2 i standardnormalfordelingen
, Dvs. 8 2,25 15 100 (1 a )% konfidensinterval for 2
Et 95% konfidensinterval for gennemsnitskarakteren 2 er 8,5 196 ,
15 , 8
, 2 8,5 196
7,46 2 954 ,
15 , 8
x u1 a 2
8
n
2 x u1 a 2
8
n
(255)
68
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Konfidensinterval for sandsynlighedsparameteren p i en binomialfordeling I en stikprøve på 50 enheder er der 8 defekte enheder. Den observerede andel af defekte er
p
8 , 016 50
Stikprøvens størrelse n Antal succeser x Observeret andel af succeser i stikprøven p
p
x n
(256)
Forudsætning n p 5 og n (1 p ) 5
100 (1 a2 )% fraktil u1 a / 2 i standardnormalfordelingen
Et 95% konfidensinterval for andelen p af defekte i produktionen er 016 , (1 016 , ) p 016 , 196 , 50 016 , (1 016 , ) 016 , 196 , 50 0,06 p 0,26
100 (1 a )% konfidensinterval for p
p u1 a 2
p u1 a 2
p (1 p ) p n
(257)
p (1 p ) n
69
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
70
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Areal Cirkel radius r areal A omkreds O A r 2 O 2r
Trekant højde h grundlinie g areal A A 21 hg
Parallelogram højde h grundlinie g areal A A hg
Trapez højde h parallelle sider a og b areal A 1 A 2 h( a b)
71
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Matematiske symboler Symbol
Betydning, læsemåde
Eksempler, bemærkninger m.v.
pq konjunktion (“og”) pq disjunktion (“eller” i betydningen “og/eller”) non p , p negation pq implikation (“hvis … så”, “medfører”) pq biimplikation (“ensbetydende med”, “hvis og kun hvis”) mængde, hvis elementer opregnes; ^ 2, 5, 8` mængde skrevet på listeform mængden af de elementer x i G, ^ x R_x 6` for hvilke p( x ) er sand afkortet symbol der kan anven- ^ x_x ! 6)` des, når det af sammenhængen fremgår, hvilken mængde G der lægges til grund a M er element i (tilhører) A B er delmængde af er ægte delmængde af A B
fællesmængde
A B
foreningsmængde
A B
\
mængdedifferens
A\ B
komplementærmængde
CA, A
mængdeprodukt
Au B
non ,
^.,.,.,.`
^ x G_ p( x )` ^ x_ p( x )`
C,
u
^(a, b)_a A
og b B`
72
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Symbol
Betydning, læsemåde
Eksempler, bemærkninger m.v.
>;@
lukket interval
> 2;3@ ^ [ R 2 [ 3`
@; @
halvåbent interval
@ 2;3@ ^ x R 2 x 3`
> ;>
halvåbent interval
@;>
åbent interval
N
mængden af naturlige tal
Z
mængden af hele tal
> 2;3> ^ x R 2 x 3` @ 2;3> ^ x R 2 x 3` N ^1, 2, 3, ` Z ^ , 2, 1, 0, 1, 2, `
Q
mængden af rationale tal
tal, der kan skrives på formen
p q,
hvor
p Z , q N R Ø (a, b) ( a1, a2 ,, an ) n
¦ ai
mængden af reelle tal den tomme mængde
Ø^
`
ordnet elementpar ordnet elementsæt
(2, 6 ) ( 2, 4, 6 )
a1 a2 an
hvis indeksmængden, som i skal gennemløbe, fremgår af sammenhængen, skrives blot ¦ ai eller ¦ ai
n fakultet
n ! n ( n 1) ( n 2) 2 1 for n N 0! 1 n! K ( n, r ) r !( n r )! i visse sammenhænge bruges udtryksmåder
i 1
i
n! n K (n, r ) , r f: A B
f(x) Dm( f ) Vm( f ) fg fg f g , fg f g fg f
1
binomialkoefficient funktion f fra A (definitionsmængde for f) til B funktionsværdi af x ved funktionen f definitionsmængde for f værdimængde for f sum af to funktioner differens mellem to funktioner produkt af to funktioner kvotient mellem to funktioner sammensat funktion invers (omvendt) funktion
som “funktionen f ( x ) 2 x 5 ”, “funktionen y 2 x 5 ” og “funktionen 2 x 5 ”
( f g )( x ) f ( x ) g ( x ) ( f g )( x ) f ( x ) g ( x ) ( f g )( x ) ( fg )( x ) f ( x ) g ( x ) f (x) f , hvor g ( x ) 0 (x) g( x ) g ( f g )( x ) f ( g ( x )) y f ( x ) x f 1 ( y )
73
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Symbol ax
Betydning, læsemåde
Eksempler, bemærkninger m.v.
ln
eksponentialfunktion med a x betegnes også exp a ( x ) grundtal a, a 0 den naturlige eksponentialfunktion e x betegnes også exp( x ) logaritmefunktionen med y log x x 10 y grundtal 10 den naturlige logaritmefunktion y ln x x e y
sin cos tan
sinus cosinus tangens
ex log
cot _x_
tan betegnes også tg cos x cotangens cot x sin x den numeriske (absolutte) værdi af x _x_ betegnes også abs( x )
f (x) a for x x 0
grænseværdi af f(x) for x gående mod x 0 f(x) går mod a for x gående mod x 0
f (x) for x x f
f(x) går mod uendelig for x gående mod uendelig x-tilvækst i x 0 funktionstilvækst for f i x 0
f x
differenskvotient for f i x 0
lim f ( x )
x o x0
f ( x 0 )
differentialkvotient for f i x 0
lim( x 2 5) 4, x o3
lim
x of
1 0 x
sin x o 1 for x o 0 x x3
for x
x x x0 f f ( x ) f ( x0 ) f f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) x x x x0
f ( x ) f ( x0 ) xo x x x0 f lim x o0 x f ( x0 x ) f ( x0 ) lim x o0 x df ( x ) df dy betegnes også , , eller y dx dx dx i stedet for f ( 2 ) og f ( 3 ) skrives som regel f og f f ( x 0 ) lim
0
f f (n)
³ f ( x )dx b
³ f ( x )dx
afledet funktion af f den n-te afledede funktion af f stamfunktion (ubestemt integral til f) integralet fra a til b af f (bestemt integral)
a
74
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Symbol AB _AB_ o
o
a , AB
o
o
a , AB o
a
o o
a b
~
Betydning, læsemåde
Eksempler, bemærkninger m.v.
liniestykket AB længden af liniestykket AB vektor længde af vektor tværvektor skalarprodukt “er parallel med” “er vinkelret på” “er kongruent med” “er ligedannet med”
ha
højden med fodpunkt på siden a eller dennes forlængelse
ma
medianen med fodpunkt på siden a
vA
vinkelhalveringslinien for vinkel A
A
vinkel A
A anvendes også som betegnelse for
gradtallet, f.eks. A 105 X ~ b(n, p)
X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p
X ~ N ( 2, 8 )
X er normalfordelt med middelværdi 2 og standardafvigelse 8
75
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
Stikordsregister for Niveau B
! " " # " #$ % & % &
' ( ' ' ' ' #
' $
' '
' ) * % *
( *
$ " *
D " *
" *
! *
+ " , , , ! , ()%
, % , % , ! ,
, ( , $ , ( , ( -
$
-
$
. -
# . -
. -
. - / ! / " " / % / # " / 0 1 . 1 . 1 0 $ ( 2 0 2 ()% 3 . 3 ! 3 3 3
! 3 " 3 $ 0 3 $ 3
!
3
4 $
4 $
. 4 $ " 4 $ 4 ( 4 4 5 ! 5 (! 5 (! 5 5
6
$ 6
$ . 6 . 6 . 6 7 7 " 7 ( 7 % 7 Q 7
7 ( 7
7# . 7 . 8 % 8 9 .
76
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
9 0 0 0 9 0 $
9 0 " 9 0 $ % 9 % 9
9: 9 $ "
9 $ 9 " 9 " (! 9 % 9 ()% 9; % $ < < $
( $ (. (( ( (( (( > . > ((
79
C K,
[email protected] Dette dokument er en personlig udgave hentet fra Studieportalen.dk, og det er ikke tilladt at dele dokumentet med andre.
