Formalización Del Lenguaje Natural en Lógica de Predicados (1)

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

´ del lenguaje natural en l ogica ´ Formalizacion de predicados Grado en Ingenier´ıa Inform a´ tica

Octubre 2010

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

´ Esquema de la sesi on

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

1 Estrategias

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´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

2 Patrones

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´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

2 Patrones

´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion

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1 Estrategias

´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

2 Patrones

´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion

´ de razonamientos 4 Formalizacion

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1 Estrategias

´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

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´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion

´ de razonamientos 4 Formalizacion

5 Logicas ´ de orden superior

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1 Estrategias

Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

2 Patrones

Logicas ´ de orden superior

´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion

´ de razonamientos 4 Formalizacion

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Objetivo

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Objetivo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

•

Formalizar una frase del lenguaj e natural en l o´ gica de predicados, esto consiste en encontrar una expresi o´ n que la represente fielmente en el lenguaje formal.

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Objetivo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

•

•

Formalizar una frase del lenguaj e natural en l o´ gica de predicados, esto consiste en encontrar una expresi o´ n que la represente fielmente en el lenguaje formal. No hay procedimientos generales para la formalizaci o´ n, pero se pueden determinar algunas estrategias, como las que vamos a indicar a continuaci o´ n.

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Estrategias iniciales

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Estrategias iniciales

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

•

Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.

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Estrategias iniciales

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

•

´ de Formalizacion razonamientos

Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.

Logicas ´ de orden superior

•

Tenemos que definir claramente el dominio o los dominios a los que pertenecen los objetos que vamos a usar.

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Estrategias iniciales

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

•

´ de Formalizacion razonamientos

Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.

Logicas ´ de orden superior

•

Tenemos que definir claramente el dominio o los dominios a los que pertenecen los objetos que vamos a usar.

Ejemplo:

Todos los hombres son mortales

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Estrategias iniciales

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

•

´ de Formalizacion razonamientos

Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.

Logicas ´ de orden superior

•

Tenemos que definir claramente el dominio o los dominios a los que pertenecen los objetos que vamos a usar.

Ejemplo: •

Todos los hombres son mortales

Si el dominio son los hombres no hace falta el predicado es hombre”.

P(x)=”x

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Estrategias iniciales

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

•

´ de Formalizacion razonamientos

Si la frase que se quiere formalizar no tiene una estructu ra sint´actica f a´ cilmente reconocible, se puede intentar reescribirla en el lenguaje natural hasta llegar a una frase con una estructura m a´ s sencilla y que mantenga el mismo significado.

Logicas ´ de orden superior

•

Tenemos que definir claramente el dominio o los dominios a los que pertenecen los objetos que vamos a usar.

Ejemplo: •

•

Todos los hombres son mortales

Si el dominio son los hombres no hace falta el predicado es hombre”.

P(x)=”x

Si el dominio es el de los seres vivos, sin embargo, s ´ı hace falta.

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Estrategias en frases

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Estrategias en frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

En una frase necesitamos determinar:

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Estrategias en frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

En una frase necesitamos determinar: •

Logicas ´ de orden superior

Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.

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Estrategias en frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

En una frase necesitamos determinar: •

Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.

•

Las variables, que son objetos gen e´ ricos de uno o m a´ s dominios.

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Estrategias en frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

En una frase necesitamos determinar: •

Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.

•

Las variables, que son objetos gen e´ ricos de uno o m a´ s dominios.

•

Las funciones de aridad n > 0 , que representan c o´ mo un cierto objeto queda determinado por otros (u otro).

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Estrategias en frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

En una frase necesitamos determinar: •

Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.

•

Las variables, que son objetos gen e´ ricos de uno o m a´ s dominios.

•

•

Las funciones de aridad n > 0 , que representan c o´ mo un cierto objeto queda determinado por otros (u otro).

´ Los predicados monadicos que representan propiedades de un objeto.

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Estrategias en frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

En una frase necesitamos determinar: •

Las constantes, que son objetos concretos de uno o m a´ s dominios.

•

Las variables, que son objetos gen e´ ricos de uno o m a´ s dominios.

•

•

•

Las funciones de aridad n > 0 , que representan c o´ mo un cierto objeto queda determinado por otros (u otro).

´ Los predicados monadicos que representan propiedades de un objeto. Los predicados de aridad objetos.

n

>

0 que representan relaciones entre

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Primeros ejemplos de frases

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Primeros ejemplos de frases

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Ejemplo:

Todos los hombres son mortales

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Primeros ejemplos de frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

Ejemplo:

Todos los hombres son mortales

∀x M x

•

Logicas ´ de orden superior

Con el dominio de los hombres: mortal.

( ) donde

M x

x

( ) significa es

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Primeros ejemplos de frases

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Ejemplo:

Todos los hombres son mortales

∀x M x

•

Con el dominio de los hombres: mortal.

Logicas ´ de orden superior

•

M x

( ) donde

Con el dominio de los seres vivos ∀x ( H (x) → significa x es hombre.

x

( ) significa es

M (x))

donde H (x)

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Primeros ejemplos de frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

Ejemplo:

Todos los hombres son mortales

∀x M x

•

Con el dominio de los hombres: mortal.

Logicas ´ de orden superior

•

Con el dominio de los seres vivos ∀x ( H (x) → significa x es hombre.

Ejemplo:

Existen hombres inmortales

M x

( ) donde

x

( ) significa es

M (x))

donde H (x)

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Primeros ejemplos de frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

Ejemplo:

Todos los hombres son mortales

∀x M x

•

Con el dominio de los hombres: mortal.

Logicas ´ de orden superior

•

Con el dominio de los seres vivos ∀x ( H (x) → significa x es hombre.

Ejemplo: •

Existen hombres inmortales

En el primer caso: ∃x ¬M (x).

M x

( ) donde

x

( ) significa es

M (x))

donde H (x)

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Primeros ejemplos de frases

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

Ejemplo:

Todos los hombres son mortales

∀x M x

•

Con el dominio de los hombres: mortal.

Logicas ´ de orden superior

•

Con el dominio de los seres vivos ∀x ( H (x) → significa x es hombre.

Ejemplo:

Existen hombres inmortales

•

En el primer caso: ∃x ¬M (x).

•

En el segundo: ∃x ( H (x) ∧ ¬M (x)).

M x

( ) donde

x

( ) significa es

M (x))

donde H (x)

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Estrategias finales

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Estrategias finales

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•

Identificadas las conectivas ling¨u´ısticas y los cuantificadores (universales o existenciales) debemos sustituirlas por los conectivos y los cuantificadores de la l o´ gica de primer orden.

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Estrategias finales

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

•

•

Identificadas las conectivas ling¨u´ısticas y los cuantificadores (universales o existenciales) debemos sustituirlas por los conectivos y los cuantificadores de la l o´ gica de primer orden. Para formalizar un razonamiento necesitamos formalizar el conjunto de sus premisas y de su conclusi o´ n.

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Observaciones y ejemplos

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Observaciones y ejemplos

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1. Ya que la formalizaci o´ n de una frase depende del dominio o de los dominios elegidos, se pueden obtener formalizac iones distintas de un mismo enunciado.

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Ejemplo primero

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Ejemplo primero

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Para formalizar la frase: “Todos los ni˜nos juegan con la pelota,”

Logicas ´ de orden superior

podemos definir los predicados J (x) : x juega con la pelota

y J (x y) : x juega con el juguete y ,

.

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Ejemplo primero

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Ejemplo primero

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a) Sea D 1 el conjunto de los ni n˜ os. Entonces se obtiene

∀xJ (x).

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Ejemplo primero

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

a) Sea D 1 el conjunto de los ni n˜ os. Entonces se obtiene

∀xJ (x).

b) Sean D 2 el conjunto de las personas y sea “ N (x) : x es un ni n˜ o ” En este caso se obtiene ∀x(N (x) → J (x)) .

Logicas ´ de orden superior

.

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Ejemplo primero

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

a) Sea D 1 el conjunto de los ni n˜ os. Entonces se obtiene

∀xJ (x).

b) Sean D 2 el conjunto de las personas y sea “ N (x) : x es un ni n˜ o ” En este caso se obtiene ∀x(N (x) → J (x)) .

Logicas ´ de orden superior

.

c) Sean D 1 el conjunto de los ni n˜ os y D 2 el conjunto de los juegos. Entonces “p = la pelota” es una constante en D 2 y obtenemos la formalizaci´on ∀x J (x p) ,

.

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Ejemplo primero

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

a) Sea D 1 el conjunto de los ni n˜ os. Entonces se obtiene

∀xJ (x).

b) Sean D 2 el conjunto de las personas y sea “ N (x) : x es un ni n˜ o ” En este caso se obtiene ∀x(N (x) → J (x)) .

Logicas ´ de orden superior

.

c) Sean D 1 el conjunto de los ni n˜ os y D 2 el conjunto de los juegos. Entonces “p = la pelota” es una constante en D 2 y obtenemos la formalizaci´on ∀x J (x p) ,

.

d) Sean D 1 el conjunto de las personas y D 2 el conjunto de los juegos. Entonces “p = la pelota” es una constante en D 2 y, usando el predicado “N (x) : x es un ni n˜ o” obtenemos la formalizaci o´ n ∀x

( N (x) → J (x p)) ,

.

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´ observaciones y ejemplos Mas

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´ observaciones y ejemplos Mas

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2. Toda funci´on se puede representar mediante un predicado con un argumento m´as que la funci o´ n. Adem a´ s, las funciones simplifican la estructura de la f o´ rmula obtenida.

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Ejemplo segundo

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Ejemplo segundo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

Consideremos la frase: “Todo padre quiere mucho a sus hijos.”

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Ejemplo segundo

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Consideremos la frase: “Todo padre quiere mucho a sus hijos.”

a) Formalizaci´on con predicados.

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Ejemplo segundo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

Consideremos la frase: “Todo padre quiere mucho a sus hijos.”

´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

a) Formalizaci´on con predicados. Podemos definir el dominio D de las personas y los predicados P(x y) : x es el padre de y ,

,

y Q(x y) : x quiere mucho a y ,

Con estas definiciones, la formalizaci o´ n ser´ıa ∀ x ∀ y (P (x , y ) →

Q(x y)) ,

.

.

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Ejemplo segundo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

b) Formalizaci´on con funciones.

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Ejemplo segundo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

b) Formalizaci´on con funciones. Podemos definir el dominio D de las personas, la funci o´ n

´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

f (x) : el padre de x

,

y Q(x y) : x quiere mucho a y ,

.

Con estas definiciones, la nueva formalizaci o´ n ser´ıa ∀x(Q(f (x), x)).

Notar que la formalizaci o´ n se ha simplificado y que la funci o´ n de un argumento f (x) sustituye al predicado binario P (x y) ,

.

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Ejemplo segundo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

b) Formalizaci´on con funciones. Podemos definir el dominio D de las personas, la funci o´ n

´ de Formalizacion razonamientos

f (x) : el padre de x

Logicas ´ de orden superior

,

y Q(x y) : x quiere mucho a y ,

.

Con estas definiciones, la nueva formalizaci o´ n ser´ıa ∀x(Q(f (x), x)).

Notar que la formalizaci o´ n se ha simplificado y que la funci o´ n de un argumento f (x) sustituye al predicado binario P (x y) ,

•

.

Observar tambi´en que “el hijo de x ” no es una funci o´ n, ya que un mismo padre puede tener m a´ s que un hijo y, por tanto, el t e´ rmino asociado a x (al padre) no quedar ´ıa un´ıvocamente determinado.

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1 Estrategias

Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

2 Patrones

Logicas ´ de orden superior

´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion

´ de razonamientos 4 Formalizacion

´ 5 Logicas de orden superior

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Universal afirmativo

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

∀x(ϕ1 → ϕ2 ), ∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

∀x(ϕ1 → ϕ2 ), ∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo:

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

∀x(ϕ1 → ϕ2 ),

´ de Formalizacion razonamientos

∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Todo ϕ1 es ϕ2 ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

∀x(ϕ1 → ϕ2 ),

´ de Formalizacion razonamientos

∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Todo ϕ1 es ϕ2 ,

•

S´olo los

ϕ2

son ϕ1 ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

∀x(ϕ1 → ϕ2 ),

´ de Formalizacion razonamientos

∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Todo ϕ1 es ϕ2 ,

•

S´olo los

•

Nadie es

ϕ2 ϕ1

son ϕ1 , a menos que sea

ϕ2 ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

∀x(ϕ1 → ϕ2 ),

´ de Formalizacion razonamientos

∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Todo ϕ1 es ϕ2 ,

•

S´olo los

•

Nadie es

•

No hay ning u´ n ϕ1 que no sea

ϕ2 ϕ1

son ϕ1 , a menos que sea

ϕ2 , ϕ2 ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

∀x(ϕ1 → ϕ2 ),

´ de Formalizacion razonamientos

∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Todo ϕ1 es ϕ2 ,

•

S´olo los

•

Nadie es

•

No hay ning u´ n ϕ1 que no sea

•

ϕ1

ϕ2 ϕ1

son ϕ1 , a menos que sea

es suficiente para

ϕ2 ,

ϕ2 , ϕ2 ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

∀x(ϕ1 → ϕ2 ),

´ de Formalizacion razonamientos

∀x(¬ϕ2 → ¬ϕ1 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Todo ϕ1 es ϕ2 ,

•

S´olo los

•

Nadie es

•

No hay ning u´ n ϕ1 que no sea

•

ϕ1

es suficiente para

ϕ2 ,

•

ϕ2

es necesario para

ϕ1 .

ϕ2 ϕ1

son ϕ1 , a menos que sea

ϕ2 , ϕ2 ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

Universal negativo

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal negativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

∀x(ϕ1 → ¬ϕ2 ).

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal negativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

∀x(ϕ1 → ¬ϕ2 ).

Es la forma de representar frases del tipo:

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal negativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

∀x(ϕ1 → ¬ϕ2 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Ningu´ n ϕ1 es ϕ2 ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal negativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

∀x(ϕ1 → ¬ϕ2 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Ningu´ n ϕ1 es ϕ2 ,

•

Todos los ϕ1 carecen de

ϕ2 .

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

Existencial afirmativo

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Existencial afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

∃x(ϕ1 ∧ ϕ2 ).

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Existencial afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

∃x(ϕ1 ∧ ϕ2 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Alg´un ϕ1 es ϕ2 ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Existencial afirmativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

∃x(ϕ1 ∧ ϕ2 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

•

Alg´un ϕ1 es ϕ2 , Alguien es a la vez

ϕ1

y ϕ2 .

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

Existencial negativo

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Existencial negativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

∃x(ϕ1 ∧ ¬ϕ2 ).

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Existencial negativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

∃x(ϕ1 ∧ ¬ϕ2 ).

Es la forma de representar frases del tipo:

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Existencial negativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

∃x(ϕ1 ∧ ¬ϕ2 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Alg´un ϕ1 no es

ϕ2 ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Existencial negativo

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

∃x(ϕ1 ∧ ¬ϕ2 ).

Logicas ´ de orden superior

Es la forma de representar frases del tipo: •

Alg´un ϕ1 no es

•

No todos los

ϕ1

ϕ2 ,

son ϕ2 .

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Ejemplos

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Ejemplos 1) (Universal afirmativo)

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias

Ejemplos 1) (Universal afirmativo)

Patrones

“Nadie se levanta a menos que tenga que irse.”

Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

La frase anterior se puede reescribir como “Para todo x si x no tiene que irse, entonces no se levanta,” ,

o como “Para todo x si x se levanta, entonces tiene que irse.” ,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias

Ejemplos 1) (Universal afirmativo)

Patrones

“Nadie se levanta a menos que tenga que irse.”

Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

La frase anterior se puede reescribir como “Para todo x si x no tiene que irse, entonces no se levanta,” ,

o como “Para todo x si x se levanta, entonces tiene que irse.” ,

Sea D el dominio de las personas y sean P(x) : x se levanta

,

Q(x) : x tiene que irse Con estas definiciones obtenemos la formalizaci o´ n: .

∀x (P(x) →

Q(x))

.

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Ejemplos

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Ejemplos

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

2) (Universal negativo)

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Ejemplos

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

2) (Universal negativo) “Ning´un emperador es odont o´ logo (L. Carroll).”

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Ejemplos

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

2) (Universal negativo) “Ning´un emperador es odont o´ logo (L. Carroll).” Sea D el dominio de las personas y sean P(x) : x es emperador

,

Q(x) : x es odont o´ logo

.

Con estas definiciones obtenemos la formalizaci o´ n: ∀x (P(x) → ¬Q(x)).

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Ejemplos

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Ejemplos 3) (Existencial afirmativo)

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Ejemplos 3) (Existencial afirmativo)

Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

“Algunos estudiantes de inform´atica s o´ lo son amigos de los aficionados a la l o´ gica.” Esta frase se puede reescribir como: “Para algunos estudiantes de inform a´ tica, una persona es un amigo s´olo si es aficionado a la l o´ gica.”

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Ejemplos 3) (Existencial afirmativo)

Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

“Algunos estudiantes de inform´atica s o´ lo son amigos de los aficionados a la l o´ gica.” Esta frase se puede reescribir como: “Para algunos estudiantes de inform a´ tica, una persona es un amigo s´olo si es aficionado a la l o´ gica.” Sea D el dominio de las personas y sean

P(x) : x es estudiante de inform a´ tica Q(x) : x es aficionado a la l o´ gica

,

R(x y) : x es amigo de y Con estas definiciones obtenemos la formalizaci o´ n: ,

∃x (P(x) ∧ ∀y(R(x, y) →

.

Q(y)))

.

,

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Ejemplos

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Ejemplos

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

4) (Existencial negativo)

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Ejemplos

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

4) (Existencial negativo) “Algunos gatos no saben silbar ni maullar (L. Carroll).”

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Ejemplos

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

4) (Existencial negativo) “Algunos gatos no saben silbar ni maullar (L. Carroll).” Sea D el dominio de los animales y sean P(x) : x es un gato

,

Q(x) : x sabe silbar

,

R(x) : x sabe maullar

.

Con estas definiciones obtenemos la formalizaci o´ n: ∃

x ( P ( x)

∧¬

Q(x)

∧¬

R(x))

.

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1 Estrategias

Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

2 Patrones

Logicas ´ de orden superior

´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion

´ de razonamientos 4 Formalizacion

´ 5 Logicas de orden superior

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

´ Negacion

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

´ Negacion

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior •

´ de una frase que Objetivo: ver c o´ mo se escribe la negaci on contiene un cuantificador.

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Universal-Existencial

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Universal-Existencial

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

Consideremos la frase “Todos los alumnos de esta clase aprobar´an en febrero.”

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Universal-Existencial

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

Consideremos la frase “Todos los alumnos de esta clase aprobar´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y

Logicas ´ de orden superior

P ( x)

:

a x aprobar´

en febrero

La frase dada se puede escribir como: ∀xP(x)

.

.

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Universal-Existencial

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

Consideremos la frase “Todos los alumnos de esta clase aprobar´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y

Logicas ´ de orden superior

P ( x)

:

a x aprobar´

en febrero

.

La frase dada se puede escribir como: ∀xP(x) La negaci´on de “Todos los alumnos de esta clase aprobar a´ n en febrero” es “No todos los alumnos de esta clase aprobar a´ n en febrero,” es decir, ¬(∀xP(x)) que podemos reescribir como: .

,

“Existen alumnos de esta clase que no aprobar a´ n en febrero.” Con los mismos dominio y predicados anteriores, su formalizaci o´ n es ∃x(¬P(x)).

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Existencial-Universal

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Existencial-Universal

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

Consideremos ahora la frase “Algunos alumnos de esta clase suspender´an en febrero.”

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Existencial-Universal

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

Consideremos ahora la frase “Algunos alumnos de esta clase suspender´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y P(x)

:

a x suspender´

en febrero

La frase dada se puede escribir como: ∃xP(x)

.

.

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Existencial-Universal

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

Consideremos ahora la frase “Algunos alumnos de esta clase suspender´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y

Logicas ´ de orden superior

P(x)

:

a x suspender´

en febrero

.

La frase dada se puede escribir como: ∃xP(x) La negaci´on de “Algunos alumnos de esta clase suspender a´ n en febrero” es “Ning u´ n alumno de esta clase suspender a´ en febrero,” es decir, ¬(∃xP(x)) que podemos reescribir como: .

,

“Todos los alumnos de esta clase no suspender a´ n en febrero.”

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Existencial-Universal

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

Consideremos ahora la frase “Algunos alumnos de esta clase suspender´an en febrero.” Sean D el conjunto de los alumnos de esta clase y

Logicas ´ de orden superior

P(x)

:

a x suspender´

en febrero

.

La frase dada se puede escribir como: ∃xP(x) La negaci´on de “Algunos alumnos de esta clase suspender a´ n en febrero” es “Ning u´ n alumno de esta clase suspender a´ en febrero,” es decir, ¬(∃xP(x)) que podemos reescribir como: .

,

“Todos los alumnos de esta clase no suspender a´ n en febrero.” Con los mismos dominio y predicados anteriores, su formalizaci o´ n es ∀x(¬P(x)).

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones

1 Estrategias

Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

2 Patrones

Logicas ´ de orden superior

´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion

´ de razonamientos 4 Formalizacion

´ 5 Logicas de orden superior

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

Ejemplos de razonamientos

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

Ejemplos de razonamientos

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

Solo ´ las buenas personas ayudan a los pobres. Ninguna buena persona es aficionada a la fotograf´ıa. Antonio ayuda a Juan. Antonio es aficionado a la fotograf´ıa. Entonces, Juan es pobre.

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores

´ Formalizacion Sea D el dominio de las personas, a la constante Antonio y j la constante Juan. Definamos los siguientes predicados:

P(x) : x es buena persona

´ de Formalizacion razonamientos

Q(x y) : x ayuda a y ,

Logicas ´ de orden superior

R(x) : x es pobre

,

,

,

S(x) : x es aficionado a la fotograf ´ıa

.

Con estas definiciones el razonamiento dado se puede escribir como: ∀x∀y(Q(x, y) ∧

R(y) → P(x))

∀x(P(x) → ¬S(x)),

Q(a j) S (a ) ,

R(j)

,

,

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones

1 Estrategias

Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

2 Patrones

Logicas ´ de orden superior

´ de frases que contienen cuantificado res 3 Negacion

´ de razonamientos 4 Formalizacion

´ 5 Logicas de orden superior

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

´ Logicas de predicados de orden superior

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

´ Logicas de predicados de orden superior

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos Logicas ´ de orden superior

•

El c´alculo de predicados de primer orden admite generalizaciones a c´alculos de predicados de orden mayor que uno. En el c a´ lculo de predicados de primer orden los cuantificadores pueden afectar s o´ lo a las variables y los predicados se calculan s o´ lo sobre t e´ rminos.

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

´ Logicas de predicados de orden superior

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

•

El c´alculo de predicados de primer orden admite generalizaciones a c´alculos de predicados de orden mayor que uno. En el c a´ lculo de predicados de primer orden los cuantificadores pueden afectar s o´ lo a las variables y los predicados se calculan s o´ lo sobre t e´ rminos.

Logicas ´ de orden superior

•

En el c alculo de predicados de segundo orden, los cuantificadores ´ afectan tambi´en a predicados.

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

´ Logicas de predicados de orden superior

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

•

El c´alculo de predicados de primer orden admite generalizaciones a c´alculos de predicados de orden mayor que uno. En el c a´ lculo de predicados de primer orden los cuantificadores pueden afectar s o´ lo a las variables y los predicados se calculan s o´ lo sobre t e´ rminos.

Logicas ´ de orden superior

•

•

En el c alculo de predicados de segundo orden, los cuantificadores ´ afectan tambi´en a predicados. En el c a´ lculo de tercer orden se definen predicados de predicados (no s o´ lo predicados de t e´ rminos).

Grado en Ing eni er´ıa ´ Informatica

´ Logicas de predicados de orden superior

Estrategias Patrones Negaci´ on de frases que contienen cuantificadores ´ de Formalizacion razonamientos

•

El c´alculo de predicados de primer orden admite generalizaciones a c´alculos de predicados de orden mayor que uno. En el c a´ lculo de predicados de primer orden los cuantificadores pueden afectar s o´ lo a las variables y los predicados se calculan s o´ lo sobre t e´ rminos.

Logicas ´ de orden superior

•

•

•

En el c alculo de predicados de segundo orden, los cuantificadores ´ afectan tambi´en a predicados. En el c a´ lculo de tercer orden se definen predicados de predicados (no s o´ lo predicados de t e´ rminos). Siguiendo a˜nadiendo niveles de “predicados de predicados,” se sube el nivel del c a´ lculo de predicados que se est a´ definiendo.