Forma paramétrica de la derivada

Forma paramétrica de la derivada Si una curva curva viene expresad expresada a por las ecuacione ecuaciones s x = f(t), f(t), y = g(t), g(t), dy dx dy entonces entonces la pendiente pendiente de la curva en un punt o (x, y) viene dt  ≠ 0 dada por: = punto dt  dx dx dt  siempre que dy = 0  siendo La curva tiene tangente horizontal cuando dt  dx  Y tiene tangente vertical cuando = 0  siendo dy ≠ 0

dt 

dx dt 

≠0

dt 

Una curva en paramétricas puede cruzarse consigo misma en el plano y en esos puntos puede tener más de una tangente. De la misma forma podemos calcular derivadas de orden superior d   dy  como:   d 2 y dx 2

=

d   dy 

dx  dx 

=

dt   dx  dx

2 ª derivada

dt 

 x = 2t  − π  sin t 

La cicloide prolata dada por se corta a si misma en el  y = 2 − π  cos t  punto (0,2). Hallar las ecuaciones de las tangentes en ese punto así  como los puntos de tangencia horizontal y vertical. Vemos en que valores de t se alcanza el punto en cuestión (0,2)  y = 2 − π  cos t  = 2  x = 2t  − π  sin t  = 0 = ± π/2 π  cos t  = 0

t

2t  = π sin t 

t 

cos t  = 0

t  = ±

è

sin t 

π 

t  = ±

2

= π  2 π  2

dy

dt  = π  sin t  = de Así como el valor de la derivada para esos valores t dx dx 2 − π  cos t  dy

dt 

Para Para t = ± π/2 π/2 son:

è

dy/dx = ± π/2 y las dos rectas tangentes en (0,2)  π    x    2  

 y − 2 = −  y − 2 =

π  2

 x

 para t  = −  para t  =

π  2

π  2

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Puntos de tangencia horizontal y vertical dy

=0 ⇒ dt  t  =arcsin( 0)

dt 

⇒ dx

t  =0

para

dx

sin t  =0

=0

dt 

⇒ 2

para

t  =± 3.567

⇒

sin t  =0

⇒

t  =0

=2 −π   cos(

2 −π   cos t  =0

cos t  =

π   

⇒

π   

0)

=2 −π   ≠0

⇒

2

=π   cos

t 

⇒

 2  =±50 .49 =± π       3.567  π     π     ≠0 =π   sin   ±     3.567  

t  =ar  cos

π   

dy dt 

Longitud de arco en forma paramétrica Si una curva suave C dada por   x = f (t) e y = g (t) no tiene auto intersecciones en el intervalo a ≤ t ≤ b, entonces la longitud de arco de C en el intervalo viene dada por: 2

 s =

b

∫  a

2

   d  x        +  d  y   d t      d    t     d t     

Sabem Sabemos os que toda toda curva curva regula regularr es rectifi rectificab cable, le, es decir, decir, admite admite el cálculo de la longitud de su arco sobre un intervalo real dado. Siendo, por tanto, la repres represen entac tación ión param paramétri étrica ca regula regularr ([a b], v (u)) rectif rectifica icable ble se puede puede

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Teorema: Sea ([a, b], v (u)) un arco regular y uo perteneciente a [a, b]. Si

Es, para todo u del intervalo [a, b], se cumple que s (u): [a, b] ---à [s(a), s (b)] es un cambio de parámetro admisible de clase r. En efecto: a) s (u) es supray suprayect ectiva iva y estric estrictam tamen ente te crecie creciente nte,, por tratar tratarse se de la integral de una función positiva. b) La derivada de s con respecto a u es no nula: Al parámetro s (u) le llamaremos parámetro longitud de arco. Propiedades del parámetro longitud de arco de curva.

1. La lo longitud de de ar arco de de cu curva no no se se al altera cu cuando se se ha hace un cambio de parámetro admisible. En efecto: Sea C la curva de ecuación , el cambio de parámetro r  ( λ )

dado dado por 

, ento entonc nces es la long longit itud ud de curv curva a en

λ

= (f µ) , ′ f( µ) ≠ 0,

λ0

= ( f µ0 )  

 

 

es:

[ λ0 , λ ] λ 

s[ λ0 , λ ]

=∫

r

 µ 

r

r′ ( λ ) ⋅ r′ ( λ ) dλ

λ0

 µ

=∫

r r = ∫  r′ ( f (µ ) ) ⋅ r′ ( f (µ ) ) f′ (µ ) dµ =    µ 0

r

µ 

r

r ′ ( f ( µ ) ) f ′ ( µ ) ⋅ r′ ( f ( µ ) ) f ′ ( µ ) d µ =

 µ0

2.

r

r

r′ ( µ )⋅ r′ ( µ ) d µ = s [ µ 0 ,µ ]  

µ 0

Para los puntos regulares de la curva, es decir, para los , se verifica

que r ′ ( λ 0 )

∫ 

≠0

ds d λ  λ = λ 

0

En efecto:

≠0

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Como

, deriva derivando ndo la funció función n r ′ ( λ 0 )

punto

≠0

y partic particula ulariz rizand ando o en el  s ( λ )

queda

λ 0

ds d λ  λ = λ 

=

r

r

r ′ ( λ0 ) ⋅ r ′( λ 0 )

≠0

0

Dos consecuencias importantes de estas dos propiedades son: Para Para los los punt puntos os regu regular lares es exis existe te la func funció ión n inver inversa sa de 1. , es decir una función , siendo por tanto posible un cambio  s = s ( λ )

λ

= λ (  s )

de parámetro y expresar la curva mediante r ( s)

Toma Tomand ndo o como como pará paráme metr tro o de la curv curva a el pará paráme metr tro o 2. longitud de arco de curva se observa que , ds 2

es decir el vector 

= drr ⋅ drr  ⇒

dr dr

⋅

ds ds

=1 ⇒

dr   ds

=1

es un vector unitario en la dirección del vector  r′ ( s )

tangente, por tanto es el vector tangente unitario.

Área de una superficie de revolución Si la curva está definida por las funciones  x(  x(t ) y y y  y((t ), ), perteneciendo t a t  a un intervalo [a [ a,b] y siendo el eje de revolución el eje coordenado  y,  y, el área A área  A estará dada, entonces, por la integral

 x(t ) siempre positiva. siendo  x( positiva. Esta ecuación ecuación es equivalente equivalente al Teorema Teorema del centroide centroide de Pappus. Asimismo, la cantidad

se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, curva, como en la ecuaci ecuación ón de la longitud longitud de arco. arco. La cantidad cantidad 2π x 2π x((t ) es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución. Si la curva está definida por la función  y =  f  ( x),  x), la integral se transforma en

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

 para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas. Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva  x(  x(t ) = sen =  sen((t ) y  y(  y(t ) = cos( cos(t ) cuando t toma t  toma valores en el intervalo [0,π]. Su área, por tanto, será

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar una curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si  y=  y= f  ( x)  x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

Ejercicios