For Mule

AUCE 1172 : Mécanique des sols – Formulaire 1 1.1 1.1

Ana Analy lyse se du sol sol Phas Phases es

Volume du sol : Poids du sol : Porosité : Compacité : Indice des vides : Indice de densité :

V  = V s  + V   +  V v =  V s  + V   +  V w  + V   +  V g W  = W s  + W   +  W w e n = V V v = 1+ e = c = 1−n n v e = V  V s = 1 n n = V V s e

wsat γ d γ w

−

I D,n D,n

=

I D,e D,e

=

[m3 ] [kg] kg ] [%] [%] [/] [/]

(nmax −n) (nmax −nmin ) (emax −e) (emax −emin )

[/]

W w W s W w W s sat γ w ( γ 1d − γ 1s ) =  n γ γ wd V w w V s = wsat

[%]

[/]

1.2 Teneur eneur en en eau eau et satura saturatio tion n Teneur en eau : Teneur en eau à saturation : Degré de saturation :

w

=

W sat sat

=

S r

= =

 

[%] [%] [%]

1.3 Poids Poids volum volumiqu iquee Poids volumique apparent : Poids spécifique des particules : Poids volumique sec : Poids volumique à saturation : Poids volumique déjaugé : Poids volumique de l’eau : Poids Poids spécifique du sable :

(W s +W w ) γ  = W  V  = V  s γ s = W  V s S γ d = W  V  γ s = 1+e = γ s (1 − n) W sat sat γ sat sat = V  γ s +eγ w = =  γ d  + nγ   +  nγ w 1+e γ  = γ sat sat − γ w

[kN/m3 ] [kN/m3 ] [kN/m3 ] [kN/m3 ] [kN/m3 ] [kN/m3 ] [kN/m3 ]

γ w γ s γ sat sat γ d

[kN/m3 ] [kN/m3 ] [kN/m3 ] [kN/m3 ]



= = = =

9.81 26 20 16

1.4 Limit Limites es d’Atte d’Atterber rberg g wL wP  ws

: limite de liquidité : limite de plasticité : limite de retrait

Indice Indice de platicité : Indice de consistance : Indice Indice de liquidité :

I P  P  = wL − wP  wL w I C  C  = wL wP  I L = wwL wwP P  −

− − −

[%] [%] [%]

2

Eau dans le sol

2.1 Perméabilité Formule empirique de Hazen : k  =

116(0.7 + 0.03T )d210

[cm/s]

où

T  : température de l’eau d10 : diamètre actif des grains

[˚C ] [cm]

[m/s]

où

V  : volume d’eau passé A : section de l’échantillon ∆s : épaisseur de l’échantillon

[dm3 = L] [m] [m]

[m/s]

où

[m2 ]

où

µ : viscosité de l’eau

[Pa.s]

[m/s]

où

T  :   température

[˚C ]

Perméamètre à niveau constant : k =

V  ∆s A∆h∆t

Perméamètre à niveau variable : k

s = 2.3 aA ∆  ln( hh ) ∆t 1 2

a : section du tube d’allimentation h1 , h2 : niveaux de charge au temps  t 1 ,  t 2

[m2 ] [m]

Coefficient de perméabilité physique : k0

=

µ γ w k

Influence de la température : k20

=

Sol stratifié : kh kv

2.2

= =

µT  µ20 kT 

 

ei k i e e

[m/s] [m/s]

ei ki

Capilarité

Hauteur capilaire : hc =

2.3

4T 0 cos α γ w d

[m/s]

Écoulement

Loi de Darcy : q  =   k.A.i v = k.i h i = ∆ ∆s

[m3 /s] [m/s] [/]

où

[m] [m]

où

  débit section de l’échantillon gradiant hydraulique hauteur de charge longueur de l’échantillon

[ [ [ [ [

z : viscosité dynamique de l’eau u : viscosité dynamique de l’eau

[ [

q  A i ∆h ∆s

: : : : :

Charge hydraulique : h = z + = z +

Perte de charge :

u γ w u γ w

∆h = (zA  +

Débit : N 

Q = kH  N fd 

+

v2 2g

uA uB γ w ) − (zB  + γ w )

[m/s] [m/s]

où N f  : nombre d’intérvale entre les équipotentielles N d : nombre de tube de lignes de courant

3

Contraintes dans le sol

3.1 Contrainte totale Contrainte totale : ρ   =

lim

Aββ →0

= σ  + τ 

Ri Aββ



σ = σ + u τ  = τ  u = γ w z 

[kP a]

où Aββ :   Surface

[kP a] σ = σ − u [kP a] [kP a] [kP a] 

⇔



Ri

:   forces

σ τ  u z

: : : :





[kN ]

contrainte normal effective contrainte tangentielle effective Pression intertitielle   profondeur

3.2 Contrainte verticale Sol sec :

σv u

= =

γ d z 0 ⇔ σv = γ d z

[kP a] [kP a] [kP a]



Nappe en H,  h c  = 0  : σv =

γ d H  + γ sat (z − H ) γ w (z − H ) ⇔ σv = γ d H  + γ  (z − H )

u

[kP a] [kP a] [kP a]

=





Nappe en H,  h c  >  0  : σv = u

γ d (H  − hc ) + γ sat (z − H  + hc ) = γ w (z − H ) ⇔ σv = γ d (H  − hc ) + γ  (z − H ) + γ sat hc

[kP a] [kP a] [kP a]

= =

[kP a] [kP a] [kP a]



Sol immergé de H :

σv u



γ w H  + γ sat z γ w (H  + z) ⇔ σv = γ  z 

3.3



Écoulement

depuis A : i au point x : σ Déscend :

h = ∆ = h zhA ∆s = z (γ  − i γ w )

où h

−





hA 

hA   > h i γ  z

Immobile : hA  = h i = 0

σv = γ  z

Monte :

σv < γ  z

hA   < h i > 0





=⇒ u = σ =  Boulance

: potentiel au point x [m] : potentiel au point A [m]







=⇒ icr =



γ  γ w

[m2 ]

[kP a] [kP a] [kP a] [m]

4 4.1

Déformation du sol Définition

Loi de Terzagi : 

∆h h

σf 

1 C 

=

ln( σ ) = 

i

1 = −A ln( σ



i

σi ∆σ

−



où ∆h : variation de hauteur



[m]

i







σ ln( σi +∆ ) [/] σ

1 C 

)

[/]

h

: hauteur initiale

C  A σi σf 

: : : :





Constante de compressibilité Constante de gonflement contrainte initiale contrainte finale

[m] [/] [/] [kP a] [kP a]

Variation du volume des vide : ∆h h

=

∆e 1+e0

C C c

= 2, 3 (1 + e0 ) = A C s

[/]

où e0

: indice de vide initial

[/]

où C c

: indice de compressibilité : indice de gouflement

[/] [/]

Indices : C s

Module eodométrique et coefficient de changement de volume : ∆σ E oed = C ∆ln( [kP a] où mv : coef. changement de volume σ ) = Cσ si ∆σ → 0 [kP a] 







1 mv

=

[kP a]

Méthode de Casagrande :

4.2 Tassement et gonflement Normalement consolidé : ∆h =

h C 

σ



ln( σf  )

[m]



i







Préconsolidé,  σ f  ≤ σi : 



Préconsolidé,  σ f  ≥ σi :

∆h =

σf  h A  ln σ i

∆h =

σc h A  ln σ i

[m]









h + C   ln

 σ f  σc 

[m]

4.3 Hydrodynamique 

Koppejan : S t Vitesse :

C α

= h( C 1pr +

=

∆h/h log t2 /t1

1 C sec

log t) ln

σf  

σi

[m]

où C  pr C sec

[m/s]

où C α

:

[/]

:

[/]

:

[/]

[1/kPa]

5

Cisaillement

5.1 Facette d’orientation

ρ

θ

= σ = σ 1 + σ2  + σ3 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

[kP a]

Soit (σA  ,  τ A ) et (σB , τ B ) :

5.2 5.2.1

σ1 +σ3 2 σ1 −σ3 2

= =

σA +σB 2

C  R

= =

= σ A  + τ A tan φ 2 2 A  + C ) + τ A

σ1 σ2

= C  + R = C  − R

[kP a] [kP a]

σθ τ θ θ

= C  + R   cos2θ = R   sin2θ   arcsin (τ θ/R ) = 2

[kP a] [kP a] [kP a]

τ max

= R   sin(± π2 ) = ±R

[kP a]

 (σ

Rupture Mohr-Coulomb

τ f  σ1

= ±c + σ tan φ = σ3 tan µ + 2c tan µ

[kP a] [kP a]

c φ µ φ

:   cohésion [/] : angle de frottement interne [˚ ou  rad] = π4 + φ2 = θ = 2θ − π2

Par rapport au plan de rupture : σθ τ θ 5.2.2

= C  + R   cos( π2 + φ + 2θ) =  C  + R   cos(2µ + 2θ) = R   sin( π2 + φ + 2θ) = R   sin(2µ + 2θ)

Carquot

σf  = σ + c cot φ [kP a]

5.2.3

Déplacement latéral σh,0 σv

État d’équilibre : K 0

=

État passif :

σh,p K  p

> σv = σσh,p v

État actif :

σh,a K a

< σh,0 σ = σh,a v

5.3

avec σh,0 :   variable σv :   constant

Essais

Compression simple : (Casagrande) σ = τ  = tan φ = =

F v Ω F h Ω

[kP a] [kP a]

τ −c σ τ A −τ B σA −σB (pulvérulant)

[kP a] [kP a]

où Ω :   surface

[m2 ]

Contrainte de confinement = contrainte sphérique =  σ 3 Déviateur =  ∆σ = σ1 − σ3 Triaxial CD :

τ f  = ±(c + σ tan φ)

où c :

[kP a]





φ : 

Triaxial CU :



φ = ccu

=

tan µ   =

Triaxial UU :

où ccu  :

τ f  = ±(ccu  + σ tan φcu ) [kP a] = ±(c + (σ − u)tan φ ) [kP a]

cohésion CU angle de frottement CU

[kP a] [˚]

cohésion UU φuu  : angle de frottement UU

[kP a] [˚]

φcu  :



cohésion effective [kP a] angle de frottement effectif  [˚]

 

σ1,A −σ1,B π σ3,A −σ3,B ) − 2 σ1,A −σ3,A tan2 µ 2tan µ −σ1,B 2 arctan ( σσ13,A ) ,A −σ3,B

2 arctan (

 

τ f  = ±(cuu  + σ tan φuu )

où cuu  :

[kP a]

5.4 Chemin de contrainte C  = p = Représentation paramétrique des contraintes en fonction de : R = q  =

Équation de la courbe de régression :  q  = sinφ .p + c.cosφ 











σ1 +σ3 2 σ1 −σ3 2