For Mule

Nevena Lukić

Matematičke formule za učenike srednje škole

Kompjutersko-tehnička obrada: Konstantin Simić

Beograd, 2006.

Matematičke formule

2

Sadržaj 1. Osnovne algebarske formule ................................................................................5 1.1. Apsolutne vrednosti ..........................................................................................5 1.2. Racionalni izrazi .................................................................................................5 1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)>0) ..........................................................................5 1.4. Rastavljanje na činioce....................................................................................6 1.5. Lagranževa formula .........................................................................................6 1.6. Osobine korena i stepena ...............................................................................6 2. Iracionalne nejednačine ........................................................................................8 3. Kvadratna funkcija ..................................................................................................8 3.1. Kvadratna jednačina .......................................................................................8 3.2. Vijetova pravila .................................................................................................9 3.3. Znak rešenja .......................................................................................................9 3.4. Znak kvadratnog trinoma f(x)=Ax2+Bx+C....................................................10 4. Logaritmi..................................................................................................................12 5. Trigonometrija.........................................................................................................13 5.1. Trigonometrijske funkcije ................................................................................14 5.2. Inverzne trigonometrijske funkcije ................................................................18 5.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za važnije uglove .................22 5.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacije ..........................................22 5.5. Svođenje na oštar ugao ................................................................................23 5.6. Adicione formule.............................................................................................24 5.7. Dvostruki ugao.................................................................................................24 5.8. Trostruki ugao ...................................................................................................25 5.9. Polovina ugla ...................................................................................................25 5.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod........26 5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku........26 5.12. Važnije trigonometrijske sume.....................................................................27 5.13. Trigonometrijske jednačine..........................................................................28 5.14. Osnovne transformacije inverznih trigonometrijskih funkcija .................29 5.15. Sinusna teorema ...........................................................................................30 5.16. Kosinusna teorema .......................................................................................30 6. Planimetrija .............................................................................................................31 6.1. Krug ...................................................................................................................31 6.2. Kružni isečak.....................................................................................................31 6.3. Kvadrat .............................................................................................................31 6.4. Pravougaonik...................................................................................................32 6.5. Trougao.............................................................................................................32 6.6. Jednakostranični trougao .............................................................................33 6.7. Pravougli trougao ...........................................................................................33 6.8. Paralelogram ...................................................................................................34 6.9. Trapez................................................................................................................35 6.10. Jednakokraki trapez .....................................................................................36 6.11. Tangente i tetive ...........................................................................................37 6.12. Osobine upisanog kruga u trougao...........................................................38 6.13. Tetivni četvorougao......................................................................................39

Matematičke formule

3

6.14. Tangentni četvorougao...............................................................................39 7. Stereometrija ..........................................................................................................40 7.1. Kosa četvorostrana prizma............................................................................40 7.2. Kosa četvorostrana prizma sa rombom u osnovi ......................................41 7.3. Trostrana kosa prizma .....................................................................................42 7.4. Trostrana piramida sa svim bočnim jednakim ivicama ............................43 7.5. Trostrana piramida kod koje bočne strane zaklapaju sa osnovom isti ugao.........................................................................................................................44 7.6. Trostrana piramida čije su sve bočne ivice normalne ..............................45 7.7. Četvorostrana piramida kod koje je jedna bočna ivica (DV) normalna na ravan osnove ....................................................................................................46 7.8. Kupa ..................................................................................................................47 7.9. Zarubljena kupa ..............................................................................................48 7.10. Lopta (sfera) ..................................................................................................49 7.11. Loptin isečak ..................................................................................................49 7.12. Loptin pojas....................................................................................................50 8. Determinante .........................................................................................................51 8.1. Sarusovo pravilo ..............................................................................................51 8.2. Razbijanje na kofaktore .................................................................................51 8.3. Osobine determinanti ....................................................................................52 9. Vektori......................................................................................................................53 9.1. Kolinearnost......................................................................................................54 9.2. Linearna zavisnost vektora ............................................................................54 9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomoću determinante ................54 9.4. Formiranje vektora ..........................................................................................55 9.5. Trougao.............................................................................................................55 9.6. Vektor visine trougla .......................................................................................56 9.7. Vektor simetrale ugla između dva vektora.................................................56 9.8. Skalarni proizvod .............................................................................................57 9.9. Vektorski proizvod ...........................................................................................58 9.10. Mešoviti proizvod ..........................................................................................59 9.11. Trostrana piramida ........................................................................................60 9.12. Četvorostrana piramida ..............................................................................60 10. Analitička geometrija u ravni.............................................................................61 10.1. Podela duži u odnosu m:n ...........................................................................61 10.2. Jednačina prave ..........................................................................................62 10.3. Odnos dve prave..........................................................................................63 10.4. Jednačina kruga...........................................................................................63 10.5. Uslov da je prava tangenta kruga .............................................................64 10.6. Međusobni položaj dva kruga ....................................................................64 10.7. Pramen pravih ...............................................................................................65 10.8. Pramen krugova............................................................................................65 10.9. Elipsa ...............................................................................................................66 10.10. Hiperbola......................................................................................................67 10.11. Parabola.......................................................................................................68 11. Nejednakosti, sume i nizovi.................................................................................69 11.1. Nejednakosti ..................................................................................................69 11.2. Sume ...............................................................................................................69

Matematičke formule

4

11.3. Osobine sume................................................................................................70 11.4. Aritmetički niz (progresija)............................................................................70 11.5. Geometrijski niz (progresija).........................................................................71 11.6. Beskonačan geometrijski niz (red)..............................................................71 12. Polinomi .................................................................................................................72 12.1. Vijetova pravila za polinome ......................................................................72 12.2. Formiranje jednačina ...................................................................................72 13. Uvod u analizu......................................................................................................73 13.1. Oblasti definisanosti nekih funkcija ............................................................73 13.2. Ispitivanje funkcije .........................................................................................74 13.3. Granična vrednost funkcije .........................................................................74 13.4. Važnije granične vrednosti ..........................................................................74 13.5. Neodređeni matematički izrazi...................................................................75 13.6. Asimptote funkcije ........................................................................................76 14. Izvodi ......................................................................................................................77 14.1. Pravila izvoda.................................................................................................77 14.2. Tablica izvoda ...............................................................................................77 14.3. Izvod višeg reda ............................................................................................78 14.4. Izvod složene funkcije...................................................................................78 14.5. Izvod inverzne funkcije .................................................................................78 14.6. Tangenta funkcije u tački (x0,f(x0)) .............................................................78 15. Integrali..................................................................................................................79 15.1. Osobine integrala .........................................................................................79 15.2. Tablica integrala ...........................................................................................79 15.3. Često korišćeni integrali sa uobičajenim smenama ...............................80 15.4. Metod neodređenih koeficijenata ............................................................80 15.5. Trigonometrijski integrali ...............................................................................81 15.6. Metod parcijalne integracije ......................................................................81 15.7. Integracija racionalnih funkcija ..................................................................82 15.8. Njutn-Lajbnicova formula ............................................................................82 15.9. Neke rekurentne formule za integrale .......................................................83 16. Kombinatorika ......................................................................................................84 16.1. Binomni koeficijenti .......................................................................................84 16.2. Izračunavanje zbira kvadrata binomnih koeficijenata...........................85

Matematičke formule

5

1. Osnovne algebarske formule 1.1. Apsolutne vrednosti

⎧ A, A ≥ 0 A =⎨ ⎩ − A, A ≤ 0 A⋅ B = A ⋅ B A A = B B 2

A 2 = A = A2 A − B ≤ A+ B ≤ A + B A ≥ B ⇔ A ≥ B ∨ A ≤ −B

y=|x|

A ≤ B ⇔ A ≤ B ∧ A ≥ −B A = B ⇔ ( A = B ∧ B ≥ 0) ∨ ( A = − B ∧ B ≥ 0) 1.2. Racionalni izrazi

B = 0 ⇔ ( B = 0 ∧ I ≠ 0) I B B ≥ 0 ⇔ ( > 0) ∨ ( B = 0 ∧ I ≠ 0) I I 1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)>0)

A( x) B ( x ) = 1 ⇔ ( A( x) = 1) ∨ ( A( x) ≠ 0 ∧ B ( x) = 0) A( x) B ( x ) = A( x)C ( x ) ⇔ ( A( x) ≠ 0 ∧ B ( x) ≠ 0 ∧ C ( x) ≠ 0) ∨ ∨ ( A( x) = 1) ∨ ( B ( x) = C ( x) ∧ A( x) ≠ 0)

Matematičke formule

6

1.4. Rastavljanje na činioce

A2 − B 2 = ( A − B ) ⋅ ( A + B ) A3 ± B 3 = ( A ± B ) ⋅ ( A2 ∓ AB + B 2 ) A2 + B 2 = ( A − Bi ) ⋅ ( A + Bi ) ( A ± B) 2 = A2 ± 2 AB + B 2 ( A ± B)3 = A3 ± 3 A2 B + 3 AB 2 ± B 3 ( A ± B)3 = A3 ± 3 AB( A ± B ) ± B 3 A4 + A2 B 2 + B 4 = ( A2 + AB + B 2 )( A2 − AB + B 2 ) A3 + B 3 + C 3 − 3 ABC = ( A + B + C )( A2 + B 2 + C 2 − AB − AC − BC )

1.5. Lagranževa formula

A± B =

A + A2 − B ± 2

A − A2 − B 2

1.6. Osobine korena i stepena n

x ⋅ m y = nm x m y n

an / m = m an a n ⋅ a m = a n + m , n, m ∈ a n : a m = a n−m ( a n ) m = a n⋅ m , 2n

a0 = 1

A2 n = A

( 2 n A ) 2 n = A,

y= x

A≥0

Matematičke formule

y = ax,a > 1

y = ax,a < 1

7

Matematičke formule

2. Iracionalne nejednačine

A( X ) ≥ B ( X ) I A(X) ≥ 0 ∧ B ( X ) ≥ 0 ∧ A( X ) ≥ B 2 ( X ) II A(X) ≥ 0 ∧ B ( X ) ≤ 0 ∧ nema kvadriranja Rešenje je unija rešenja I i II A( X ) ≤ B ( X ) A(X) ≥ 0 ∧ B ( X ) ≥ 0 ∧ A( X ) ≥ B 2 ( X ) 3. Kvadratna funkcija y = ax 2 + bx + c Funkcija ima ekstremnu vrednost ⎛ b 4ac − b 2 ⎞ u tački T ⎜ − , ⎟ a a 2 4 ⎝ ⎠ za a > 0, funkcija ima minimum za a < 0, funkcija ima maksimum 3.1. Kvadratna jednačina

ax 2 + bx + c = 0 −b ± D 2a D = b 2 − 4ac (diskriminanta) D > 0, x1 , x2 ∈ x1/ 2 =

D = 0, x1 , x2 ∈ , x1 = x2 D < 0, x1 , x2 ∈ , x1 = x2

8

Matematičke formule

3.2. Vijetova pravila

ax 2 + bx + c = 0 x1 + x2 = − x1 ⋅ x2 =

b a

c a

b 2 − 4ac x1 − x2 = a 3.3. Znak rešenja

ax 2 + bx + c = 0 b c S = x1 + x2 = − , P = x1 ⋅ x2 = a a 1o rešenja istog znaka D >0∧ P >0 2o rešenja suprotnog znaka D >0∧ P 0∧ P 0 b) oba negativna D >0∧ P 0 ∧ D ≤ 0

10

Matematičke formule

3. kvadratni trinom uvek negativan A < 0 ∧ D < 0

4. negativan, sem jedne vrednosti A < 0 ∧ D ≤ 0

11

Matematičke formule

4. Logaritmi def

log b a = x ⇔ b x = a uslovi: a > 0 ∧ b > 0 ∧ b ≠ 1

1 log|b| a 2n = 2n log b | a |

log b2 n a = log b a 2 n

log a 1 = 0 log a a = 1

y = log a x, a > 1

log b a n = n log b a 1 log b a m log a AB = log a A + log a B log bm a =

log a

A = log a A − log a B B

a log a b = b log a b =

1 log b a

log a b =

log c b (za digitron) log c a

log10 a = lg a = log a log e a = ln a

y = log a x, a < 1

12

Matematičke formule

13

5. Trigonometrija

a c b cos α = c

a b b cot α = a

sin α =

sec α =

tan α =

1 cos α

csc α =

1 sin α

Sohcahtoa je ime jednog Indijanca. Zapamtite ga, zato što ono na engleskom znači: Sinus (sine) opposite hypotenuse, cosinus (cosine) adjacent hypotenuse, tangens (tangent) opposite adjacent ! Hyponenuse znači hipotenuza, opposite znači naspramna stranica, a adjacent znači nalegla stranica.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t an α ⋅ cot α = 1

sin α tan α = cos α cos α cotα = sin α

tan 2 α sin α = 1 + tan 2 α 1 cos 2 α = 1 + tan 2 α 2

U narednoj tabeli dat je znak trigonometrijskih funkcija po kvadrantima : sin α cos α tan α cot α

I + + + +

II + -

III + +

IV + -

Zapamtite frazu : All students take classes! Dakle, u prvom kvadrantu su svi pozitivni, u drugom sinus, u trećem tangens, a u četvrtom kosinus. Zar nije lako?

Matematičke formule

14

5.1. Trigonometrijske funkcije

y=sin x 1

0.5

-6

-4

-2

2

4

6

-0.5

-1

1o oblast definisanosti D: x∈ D : y ∈ [ −1,1]

2o znak funkcije y > 0 za x ∈ ( 0 + T , π + T ) y < 0 za x ∈ (π + T , 2π + T ) o

3 nule funkcije y = 0 za x = kπ

4o monotonost funkcije y y

π ⎡ π ⎤ za x ∈ ⎢ − + T , + T ⎥ 2 ⎣ 2 ⎦ 3π ⎡π ⎤ za x ∈ ⎢ + T , + T ⎥ 2 ⎣2 ⎦

5o ekstremne vrednosti

π

ymax = 1 za x = ymin = -1 za x = -

+ 2 kπ

2

π

2

+ 2 kπ

6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodičnost funkcije T = 2 kπ

Matematičke formule

15

y=cos x 1

0.5

-6

-4

-2

2

4

6

-0.5

-1

1o oblast definisanosti D: x∈ D : y ∈ [ −1,1] 2o znak funkcije

π ⎛ π ⎞ y > 0 za x ∈ ⎜ − + T , + T ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 3π ⎛π ⎞ y < 0 za x ∈ ⎜ + T , + T ⎟ 2 ⎝2 ⎠ 3o nule funkcije y = 0 za x =

π 2

+ kπ

4o monotonost funkcije y

za x ∈ [π + T , 2π + T ]

y

za x ∈ [ 0 + T , π + T ]

5o ekstremne vrednosti ymax = 1 za x = 2kπ ymin = -1 za x = π + 2kπ 6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodičnost funkcije T = 2 kπ

Matematičke formule

16

y=tan x 30

20

10

-6

-4

-2

2

4

6

-10

-20

-30

1o oblast definisanosti D: x∈ D: y∈ 2o znak funkcije

π ⎛ ⎞ y > 0 za x ∈ ⎜ 0 + T , + T ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ π ⎞ y < 0 za x ∈ ⎜ − + T ,0 + T ⎟ ⎝ 2 ⎠ 3o nule funkcije y = 0 za x = 0 + T

4o monotonost funkcije y

za ∀x ∈

5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije vertikalna asimptota x = 7o periodičnost funkcije T = kπ

π 2

+ kπ

Matematičke formule

17

y=cot x 30

20

10

-6

-4

-2

2

4

6

-10

-20

-30

1o oblast definisanosti D: x∈

4o monotonost funkcije y

D: y∈

za ∀x ∈

5o ekstremne vrednosti

2o znak funkcije

Funkcija nema ekstremuma.

π ⎛ ⎞ y > 0 za x ∈ ⎜ 0 + T , + T ⎟ 2 ⎝ ⎠

6o asimptote funkcije

⎛π ⎞ y < 0 za x ∈ ⎜ + T , π + T ⎟ ⎝2 ⎠

7o periodičnost funkcije

o

3 nule funkcije y = 0 za x =

π 2

+T

vertikalna asimptota x = π + kπ T = kπ

Matematičke formule

18

5.2. Inverzne trigonometrijske funkcije1

y=arcsin x

1o oblast definisanosti D : x ∈ [ −1,1] ⎡ π π⎤ D : y ∈ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦ 2o znak funkcije y > 0 za x > 0 y < 0 za x < 0 3o nule funkcije y = 0 za x = 0 1

4o monotonost funkcije y

za ∀x ∈

5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodičnost funkcije Funkcija nije periodična.

Napomena: Kodomeni inverznih trigonometrijskih funkcija su definicijom određeni, da bi ove funkcije bile jednoznačne, zato što su trigonometrijske funcije periodične. Ukoliko bi kodomen inverznih trigonometrijskih funkcija bio ceo skup realnih brojeva, tada bi inverzne trigonometrijske funkcije bile višeznačne.

Matematičke formule

19

y=arccos x

1o oblast definisanosti D : x ∈ [ −1,1] D : y ∈ [ 0, π ] 2o znak funkcije y > 0 za ∀x ∈ D 3o nule funkcije y = 0 za x = 1

4o monotonost funkcije y

za ∀x ∈

5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodičnost funkcije Funkcija nije periodična.

Matematičke formule

20

y=arctan x

1o oblast definisanosti D: x∈ ⎛ π π⎞ D : y ∈⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2⎠ 2o znak funkcije y > 0 za x > 0 y < 0 za x < 0 3o nule funkcije y = 0 za x = 0

4o monotonost funkcije y

za ∀x ∈

5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije

π

horizontalne: y → − , x → +∞ 2 y→

π

, x → +∞ 2 7o periodičnost funkcije Funkcija nije periodična.

Matematičke formule

21

y=arccot x

1o oblast definisanosti D: x∈ D : y ∈ ( 0, π ) 2o znak funkcije y > 0 za ∀x ∈ 3o nule funkcije y = 0 za x =

π 2

4o monotonost funkcije y

za ∀x ∈

5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije horizontalne: y → π , x → +∞ y → 0, x → +∞ 7o periodičnost funkcije Funkcija nije periodična.

Matematičke formule

22

5.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za važnije uglove stepeni

0

radijani

0

sin α

0

cos α

1

tan α

0

cot α

∞

30

45

60

90

π

π

π

π

6 1 2 3 2 3 3

4 2 2 2 2

3 3 2 1 2

2

1

3

1

180

tan(−α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α sin(α + 2kπ ) = sin α ⎫ ⎬ T = 2 kπ cos(α + 2kπ ) = cos α ⎭ tan(α + kπ ) = tan α ⎫ ⎬ T = kπ cot(α + kπ ) = cot α ⎭

360

π

3π 2

2π

1

0

−1

0

0

−1

0

1

3

∞

0

∞

0

3 3

0

∞

0

∞

5.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacije

sin(−α ) = − sin α cos( −α ) = + sin α

270

Matematičke formule

5.5. Svođenje na oštar ugao

⎧ ⎛π ⎞ sin α − ⎜ ⎟ = + sin α ⎪ ⎝2 ⎠ ⎪ ⎪ ⎛π ⎞ α cos − ⎜ ⎟ = + cos α ⎪⎪ ⎝ 2 ⎠ I ⎨ ⎪ tan ⎛ π − α ⎞ = + tan α ⎟ ⎪ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎪cot ⎛⎜ π − α ⎞⎟ = + cot α ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠

⎧ ⎛π ⎞ sin α + ⎜ ⎟ = + sin α ⎪ ⎝2 ⎠ ⎪ ⎪ ⎛π ⎞ α cos + ⎜ ⎟ = − cos α ⎪⎪ ⎝ 2 ⎠ II ⎨ ⎪ tan ⎛ π + α ⎞ = − tan α ⎟ ⎪ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎪cot ⎛⎜ π + α ⎞⎟ = − cot α ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠

⎧sin(π − α ) = + sin α ⎪cos(π − α ) = − cos α ⎪ II ⎨ ⎪ tan(π − α ) = − tan α ⎪⎩cot(π − α ) = − cot α

⎧sin(π + α ) = − sin α ⎪cos(π + α ) = − cos α ⎪ III ⎨ ⎪ tan(π + α ) = + tan α ⎪⎩cot(π + α ) = + cot α

⎧ ⎛ 3π ⎞ sin α − ⎜ ⎟ = − sin α ⎪ ⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ 3π ⎞ cos α − ⎜ ⎟ = − cos α ⎪⎪ ⎝ 2 ⎠ III ⎨ ⎪ tan ⎛ 3π − α ⎞ = + tan α ⎟ ⎪ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎪cot ⎛⎜ 3π − α ⎞⎟ = + cot α ⎠ ⎩⎪ ⎝ 2

⎧ ⎛ 3π ⎞ sin α + ⎜ ⎟ = − sin α ⎪ ⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎪ ⎛ 3π ⎞ cos α + ⎜ ⎟ = + cos α ⎪⎪ ⎝ 2 ⎠ IV ⎨ ⎪ tan ⎛ 3π + α ⎞ = − tan α ⎟ ⎪ ⎜⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎪cot ⎛⎜ 3π + α ⎞⎟ = − cot α ⎠ ⎩⎪ ⎝ 2

⎧sin(2π − α ) = − sin α ⎪cos(2π − α ) = + cos α ⎪ IV ⎨ ⎪ tan(2π − α ) = − tan α ⎪⎩cot(2π − α ) = − cot α

I

⎧sin(2π + α ) = + sin α ⎪cos(2π + α ) = + cos α ⎪ ⎨ ⎪ tan(2π + α ) = + tan α ⎪⎩cot(2π + α ) = + cot α

23

Matematičke formule

5.6. Adicione formule

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β cot α cot β ∓ 1 cot(α ± β ) = cot β ± cot α tan(α ± β ) =

sin(α + β ) ⋅ sin(α − β ) = sin 2 α − sin 2 β cos(α + β ) ⋅ cos(α − β ) = cos 2 α − sin 2 β tan(α + β ) − tan α − tan β = tan α tan β tan(α + β )

sin(α + β ) = tan α + tan β cos α cos β cos(α + β ) = cot α cot β − 1 sin α sin β cos α + sin α ⎛π ⎞ = tan ⎜ + α ⎟ cos α − sin α ⎝4 ⎠ 5.7. Dvostruki ugao

sin 2α = 2sin α cos α cos 2α = cos 2 α − sin 2 α 2 tan α tan 2α = 1 − tan 2 α cot α cot 2α = 1 − tan 2 α 1 + cos 2α cos 2 α = 2

2 tan α 1 + tan 2 α 1 − tan 2 α cos 2α = 1 + tan 2 α 1 − tan 2 α cot 2α = 2 tan α 1 − cos 2α sin 2 α = 2 sin 2α =

24

Matematičke formule

25

5.8. Trostruki ugao

sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α cos3α = 4cos3 α − 3cos α 3tan α − tan 3 α tan 3α = 1 − 3tan 2 α cot 3 α − 3cot α cot 3α = 3cot 2 α − 1

1 sin(60 − α )sin α sin(60 + α ) = sin 3α 4 1 cos(60 − α ) cos α cos(60 + α ) = cos3α 4 tan(60 − α ) tan α tan(60 + α ) = tan 3α 2cot 2α = cot α − tan α 5.9. Polovina ugla

1 − cos α 2 2 α 1 + cos α cos 2 = 2 2 α 1 − cos α tan 2 = 2 1 + cos α α 1 + cos α cot 2 = 2 1 − cos α

sin 2

α

=

Primer:

sin18 = Dokaz:

5 −1 4

sin 36 = cos54 2sin18 cos18 = cos(3 ⋅18 ) 2sin18 cos18 = 4cos3 18 − cos18 / : cos18 4sin 2 18 + 2sin18 − 1 = 0 Rešenje kvadratne jednačine je: sin18 =

5 −1 4

Matematičke formule

5.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

sin α ± sin β = 2sin

α ±β 2

cos

α∓β

2 ⎛π ⎞ sin α ± cos β = sin α ± sin ⎜ − α ⎟ ⎝2 ⎠ α +β α −β cos α + cos β = 2cos cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2sin sin 2 2 sin(α ± β ) tan α ± tan β = cos α cos β

5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku

1 sin α cos β = ⎡⎣sin (α − β ) + sin (α + β ) ⎤⎦ 2 1 cos α cos β = ⎡⎣cos (α − β ) + cos (α + β ) ⎤⎦ 2 1 sin α sin β = ⎡⎣cos (α − β ) − cos (α + β ) ⎤⎦ 2

26

Matematičke formule

5.12. Važnije trigonometrijske sume

n +1 n x ⋅ sin x n 2 2 ∑ cos kx = x k =1 sin 2 n +1 n sin x sin x ⋅ n 2 2 ∑ sin kx = x k =1 sin 2 n sin 2 nx ∑ sin(2k − 1) x = sin x k =1 n 1 tan( n + 1) x − tan x = ∑ 2sin x k =1 cos x + cos(2 k + 1) x n tan nx k x kx tan( 1) tan − ⋅ = −n ∑ tan x k =2 n sin1 = tan n ∑ cos( k 1) x cos k − ⋅ k =1 cos

27

Matematičke formule

28

5.13. Trigonometrijske jednačine

Jednačina

Rešenje

sin x = 1

+ 2 kπ 2 3π x= + 2 kπ 2 a ∈ (−1,1)

x = kπ

sin x = 0

x=

sin x = −1 sin x = a

π

π

+ kπ 2 x = 2 kπ x = π + 2 kπ x=

cos x = 0

cos x = 1 cos x = −1

Česta smena kod trigonometrijskih jednačina je:

A sin x + B cos x = C .

Kod trigonometrijskih jednačina takođe se veoma često koriste sledeće transformacije:

sin x =

2 tan

x 2

x 1 + tan 2 2

x 2 cos x = x 1 + tan 2 2 1 − tan 2

i

U tekstu koji sledi biće objašnjeno još par tipova trigonometrijskih jednačina:

1. A sin x + B cos x = C / : A2 + B 2 cos x =

A A2 + B 2

, sin x =

B A2 + B 2

Matematičke formule

29

2. A sin 2 x + B cos 2 x + C sin x cos x = D / : cos 2 x (homogena) 1 2 =tan x +1 2 cos x A tan 2 x + B + C cot x = D (tan 2 x + 1)

3. A sin x + B cos x = C sin x =

2 tan

x 2

x 2 x 1 − tan 2 2 cos x = x 1 + tan 2 2 1 + tan 2

5.14. Osnovne transformacije inverznih trigonometrijskih funkcija

π ⎧ x x arccos arcsin + = ⎪⎪ 2 ⎨ ⎪arctan x + arccot x = π ⎪⎩ 2 ⎧ arcsin(− x) = − arcsin x ⎨ ⎩arctan(− x) = − arctan x ⎧arccos(− x) = π − arccos x ⎨ ⎩arccot(− x) = π − arccot x

⎧ arcsin(sin x) = x ⎪arccos(cos x) = x ⎪ ⎨ ⎪arctan(tan x) = x ⎪⎩arccot(cot x) = x ⎛ π⎞ uslov: x ∈ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠

Matematičke formule

30

5.15. Sinusna teorema

C γ

a

b

A

α

β

c

B

a = 2R sin α b = 2R sin β c = 2R sin γ bc sin α ac sin β ab sin γ = = P = 2 2 2

5.16. Kosinusna teorema

C

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

γ

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β

a

b

A

α

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ

c

β

B

Matematičke formule

6. Planimetrija 6.1. Krug

P = R 2π O = 2 Rπ

O

R

6.2. Kružni isečak

P=

O R

α

R

R 2πα

360 Rπα O=l = 180

l

6.3. Kvadrat

P = a2 O = 4a d

a

d =a 2

d 2 a Ru = 2 Ro =

31

Matematičke formule

6.4. Pravougaonik

D

C b

d

a

A

P = ab O = 2a + 2b d Ro = 2

B

6.5. Trougao

C

Ta

Tb

a A

a (srednja linija) 2 b mb = 2 c mc = 2 abc Ro = 4P P Ru = s ma =

c

B

a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc = = 2 2 2 P = s ⋅ ( s − a) ⋅ ( s − b) ⋅ ( s − c) (Heronov obrazac) P=

a+b+c (poluobim) 2 O = a + b + c = 2s s=

32

Matematičke formule

33

6.6. Jednakostranični trougao

h = a ⋅ sin 60 =

a 3 2

a ⋅ h a2 3 P= = 2 4 O = 3a

h O

a 3 3 a 3 Ru = 6 Ro =

Ro

Ru 60 a

6.7. Pravougli trougao

c 2 a+b−c Ru = 2 ab chc P= = 2 2 Ro =

C

hc

Ro

hc 2 = p ⋅ q (geom. sredina)

A

p

q

B

P = ( s - a ) ⋅ ( s - b)

Matematičke formule

34

6.8. Paralelogram

d1 ha

hb

P = aha = bhb b

d2

O = 2a + 2b d12 + d 22 = 2( a 2 + b 2 )

a specijalni slučaj: romb

P = ah =

d1d 2 2

O = 4a Ako su poznate jedna stranica i obe dijagonale, površinu paralelograma moguće je izračunati na sledeći način:

AA '⋅ ha 2a ⋅ ha = = ah = P ABCD 2 2 P AA ' C može se izračunati preko Heronovog obrasca, ako je dato: P AA ' C =

AA ' = 2а AC = d1 CA ' = d 2

Matematičke formule

35

6.9. Trapez

b

D d

C a+b ⋅h 2 O = a+b+c+d P=

c

h a

A

B

Ako su date stranice a, b, c i d, površina trapeza se izračunava na sledeći način:

D

b

C

a −b ⋅h 2 P A ' BC može se izračunati preko Heronovog obrasca a+b PABCD = ⋅h 2 a+b PABCD = ⋅ P A ' BC a −b P A ' BC =

d A

d a A’

c

h

B

a-b

Ako su date stranice a i b i dijagonale d1 i d2, površina trapeza se izračunava na sledeći način:

D

b

d2 d h d2 d M

b A

A’ a

C P

c d1 B

BMD

=

a+b ⋅ h = PABCD 2

Matematičke formule

36

6.10. Jednakokraki trapez

b

D

C

a+b (srednja linija) 2 P = m⋅h O = a + b + 2c m=

c

A

h

a −b 2

a

d

a+b 2

c

B

Ako je krug upisan u jednakokraki trapez, tada je:

c=m=

a+b 2

h = ab Ru =

h ab = 2 2

Matematičke formule

37

6.11. Tangente i tetive

T X

A

B

XT 2 = XA ⋅ XB

O

Ugao između tangente i tetive jednak je periferijskom uglu nad tetivom:

C α

AOB = 2 ACB = 2α

Ο

DAB = ACB = α

2α

Α

Β D

Matematičke formule

38

6.12. Osobine upisanog kruga u trougao

C

P

N

O R

M A

AM = AP = s − a BM = BN = s − b CP = CN = s − c B

Matematičke formule

39

6.13. Tetivni četvorougao

C D

A

γ δ

α + β = γ + δ = 180

α

β B

6.14. Tangentni četvorougao

b d c

a

a+b = c+d

Matematičke formule

40

7. Stereometrija 7.1. Kosa četvorostrana prizma

D1

A1

C1

B1

D

C

E A

B

AA1,BB1,CC1 i DD1 su bočne ivice kose prizme. AA1 zaklapa sa AB i AD isti ugao. Prema tome, E (podnožje visine EA1) je na simetrali ugla.

Matematičke formule

41

7.2. Kosa četvorostrana prizma sa rombom u osnovi

D1

C1 M1

A1

B1

D

E1 A

E

C M

B

Visina H=AE pripada ACC1A1. ACC1A1 je normalan na bazu. Dijagonale baze su međusobno normalne (AC ⊥ BD i A1C1 ⊥ B1D1). Prema tome, dijagonala BD je normalna na ACC1A1. Iz toga dalje sledi da je dijagonala BD ⊥ MM1, pa je BDD1B1 pravougaonik.

Matematičke formule

42

7.3. Trostrana kosa prizma

C1

M1 A1

B1

C

M H A

B

BC ⊥ AM , pa je prema tome i BC ⊥ AMM1A1. ABB1A1 i ACC1A1 su paralelogrami. BCC1B1 je pravougaonik.

Matematičke formule

43

7.4. Trostrana piramida sa svim bočnim jednakim ivicama

V

C H A Podnožje visine H je u centru opisanog kruga.

B

Matematičke formule

44

7.5. Trostrana piramida kod koje bočne strane zaklapaju sa osnovom isti ugao

V

C H A Podnožje visine H je u centru upisanog kruga.

D B

Matematičke formule

45

7.6. Trostrana piramida čije su sve bočne ivice normalne

C

V A

B

Bočne ivice su AV = BV = CV = s . Ivice osnove su a = s 2 .

s s3 2 = Zapremina se izračunava po obrascu : V = 3 6 s⋅

Matematičke formule

46

7.7. Četvorostrana piramida kod koje je jedna bočna ivica (DV) normalna na ravan osnove

V

D

A

DV ⊥ ABCD ⎫ ⎬ VA ⊥ AB DA ⊥ AB ⎭ VAB je pravougli trougao. DV ⊥ ABCD ⎫ ⎬ VC ⊥ BC DC ⊥ BC ⎭ VCD je pravougli trougao.

C

B

Matematičke formule

47

7.8. Kupa

s

s

H

s

s

R R

α

B⋅H 3 P= B+M

B = R 2π M = Rπ s

V=

Omotač kupe

π sα

α s

s

Ob

= 2 Rπ 180° sα = R ⋅ 360° π sα OB = 180°

Matematičke formule

48

7.9. Zarubljena kupa

R*

s*

s*

s*

s*

H*

R α

*

*

R

*

B* = k 2 B

*

H * = kH

M = s π (R + R ) *

*

P = B+B +M *

H π 2 ( R + RR 2 + R*2 ) V = 3 *

M * = (1 − k 2 ) M P* = B + k 2 B + (1 − k 2 ) M

s* = ks R* = kR

M * = k 2M P* = k 2 P V * = k 3V

V * = (1 − k 3 )V s* = (1 − k ) s H * = (1 − k ) H

Matematičke formule

49

7.10. Lopta (sfera)

r

P = 4 R 2π R

h

V=

4 3 Rπ 3

Kalota

P = 2 Rπ h

(omotač odsečka)

⎫ (3R − h) ⎪ 3 ⎬ odsečak Po = r 2π + 2 Rπ h ⎪⎭

Vo =

π h2

7.11. Loptin isečak

h

2 V = R 2π h 3 P = M1 + M 2 , gde su: M1 omotač kupe M 2 omotač kalote

Matematičke formule

7.12. Loptin pojas

h

P = 2 Rπ h

50

Matematičke formule

51

8. Determinante 8.1. Sarusovo pravilo Pored determinante 3x3, sa desne strane treba prepisati prve dve kolone. Vrednost determinante se računa na sledeći način :

a a1 a2

b b1 b2

c a c1 a1 c2 a2

b b1 = (ab1c2 + bc1a2 + ca1b2 − ba1c2 − ac1b2 − cb1a2 ) b2

Treba voditi računa da je proizvod dijagonala koje idu s leva na desno pozitivan, a proizvod dijagonala koje idu s desna na levo negativan. Vrednost determinante dobijamo sabiranjem ovih proizvoda dijagonala.

8.2. Razbijanje na kofaktore

a+

b−

c+

a1−

b1+

c1− = + c

a2+

b2−

c2+

a1 a2

b1 a − c1 b2 a2

b a b + c2 b2 a1 b1

Znak mesta se određuje na sledeći način: (-1)vrsta + kolona

Matematičke formule

52

8.3. Osobine determinanti 1. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) podeli nekim brojem, pa se cela determinanta pomnoži istim brojem.

ka kb kc a b c ... ... ... = k ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) pomnoži nekim brojem i doda drugoj koloni (vrsti).

3. Ako je zbir po kolonama isti, onda se druga i treća vrsta prepišu i dodaju prvoj vrsti.

a c b

a+b+c a+b+c a+b+c

b a a= c b c

b c 1

a b

a c

1 1 1 = (a + b + c) b a a = c b c

0 0 = (a + b + c) b a − b a − b = ( a + b + c)(c − b)(a − b) c b−c 0

Matematičke formule

53

9. Vektori

{

}

Ca −1 = x −1 x −1 = a −1

y

i i j su jedinični vektori.

A( a, b)

A '' b

OA = OA ' + A ' A

OA ' = a ⋅ i OA '' = b ⋅ j

j O i

x

a A'

OA = OA ' + OA '' OA = ai + b j OA(a, b) a = ai + b j

z Az

A '''

c A ''

i , j i k su jedinični vektori.

OAx = ai

A( a, b , c )

a

O k i j

Ax

y

b Ay

OAy = b j OAz = ck

A'

x OA = OAx + Ax A + A ' A OA = ai + b j + ck OA(a, b, c)

Desno orijentisani vektori: i

j k

j k

i

k

j

i

Matematičke formule

9.1. Kolinearnost Svi vektori istog, odnosno paralelnog pravca, označeni su kao kolinearni. 9.2. Linearna zavisnost vektora

a , b, c c = α a + β b , α ,β ∈ x,

a1 , a2 ,..., an

x = α1 a1 + α 2 a1 + ... + α n a1 x, a1 , a2 ,..., an su zavisni.

Vektor d je linearno nezavisan akko se ne može prikazati kao linearna kombinacija vektora a, b i c .

9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomoću determinante

1.

2.

a1 ⎧ D = ⎪ b1 ⎪ a(a1 , a2 ) ⎪ ⎨D = 0 b(b1 , b2 ) ⎪ ⎪D ≠ 0 ⎪ ⎩

a2 b2 a b

(zavisni)

a b

(nezavisni)

a1 ⎧ ⎪ D = b1 a(a1 , a2 , a3 ) ⎪ ⎪⎪ c1 b(b1 , b2 , b3 ) ⎨ ⎪D = 0 c(c1 , c2 , c3 ) ⎪ D≠0 ⎪ ⎪⎩

a2 b2 c2

a3 b3 c3

c =αa + βb

(zavisni)

c ≠ αa + βb

(nezavisni)

54

Matematičke formule

55

9.4. Formiranje vektora

A( a, b, c) ⎫ ⎬ ⇒ AB(a1 − a, b1 − b, c1 − c) B( a1 , b1 , c1 ) ⎭ Dokaz:

AB = AO + OB AB = OB − OA

A

AB = a1 i + b1 j + c1 k − B k O

i

− (ai + b j + ck ) AB = (a1 − a )i + (b1 − b) j + +(c1 − c) k

j

9.5. Trougao

A1, B1,C1 su središta stranica.

C

T je težište trougla ABC. A1

B1

A

OA + OB 2 ⎛ a + a1 + a2 b + b1 + b2 c + c1 + c2 ⎞ T⎜ , , ⎟ 3 3 3 ⎝ ⎠ OC1 =

C1

B

OA + OB + OC 3 a (a1 , a2 , a3 )

OT =

| a |= a12 + a22 + a32 O

Matematičke formule

56

9.6. Vektor visine trougla

C

h = CA + AD h = AD − b

b

AD = k ⋅ a0 = k ⋅

h A

a

D

B

k = Proja b = AD = h=

9.7. Vektor simetrale ugla između dva vektora

s=

a b + |a| |b|

a b 2

|a|

a b 2

|a|

a |a|

a b |a|

a

a−b

Matematičke formule

57

9.8. Skalarni proizvod

a b =| a | ⋅ | b | ⋅ cos α (skalarni proizvod dva vektora je skalar )

b

α = ( a, b) b α

α

O

O

a

a

Pravilno!

i i

j k

1 0 0

j 0 1 0 k

α ≠ ( a, b)

Nepravilno!

a (a1 , a2 , a3 ) b(b1 , b2 , b3 ) = = (a1 i + a2 j + a3 k ) ⋅ (b1 i + b2 j + b3 k ) = = a1b1 + a2b2 + a3b3

0 0 1

cos α =

a b | a |⋅|b |

a =| a | ⋅a0 , gde je a0 jedinični vektor.

b

x =| b | ⋅ cos α x=

| a | ⋅ | b | ⋅ cos α |a|

a b x = Proja b = |a|

α O x

a

Matematičke formule

58

9.9. Vektorski proizvod

a × b = c (vektorski proizvod dva vektora je vektor )

1° Pravac c je normalan na ravan koju određuju vektori a i b . 2° Vektori a, b i c su desno orijentisani vektori (suprotno smeru kazaljke na satu, odnosno pravilo desnog zavrtnja). 3° Vektorski proizvod c vektora a i b definiše se kao površina paralelograma koji obrazuju vektori a i b. 4° | a × b |=| a | ⋅ | b | ⋅ sin α 5°

a × b = −b × a

6°

a×b = 0 ⇔ a b

7°

a(a1, a2 , a3 ) b(b1, b2 , b3 ) i j a × b = a1 a2 b1 b2

k a3 b3

×

i

j

k

primer :

i

0

k

−j

(1) Naći vektor x koji je normalan na a, b.

j −k

0

i

k

−i

0

j

x = p ⋅a×b (2)

a a (a, x) = (a, i ) ⇒ cos α x = 1 , cos α y = 2 , |a| |a| a3 cos α z = |a|

Matematičke formule

59

9.10. Mešoviti proizvod

Mešoviti proizvod predstavlja zapreminu paralelepipeda. To je skalar. V = BH V = a×b ⋅ H H =| c | ⋅ sin α V = a × b ⋅ | c | ⋅ sin α V = a × b ⋅ | c | ⋅ cos β , β = 90° − α , a × b = n V =| n | ⋅ | c | ⋅ cos β V = n c = (a × b) c = ⎡⎣ a, b, c ⎤⎦ ⎡ a, b, c ⎤ = 0 ⇔ a, b, c su kolinearni ⎣ ⎦

V ⎡⎣ a, b, c ⎤⎦ H= = B a×b

a b ⇔ a×b = 0

H = p⋅a×b

a⊥b⇔a b=0

H = p ⋅ a×b p=

H=

H=

a (a1 , a2 , a3 )

H

b(b1 , b2 , b3 )

a×b

c(c1 , c2 , c3 )

H a×b

a1 a2 ⎡ a, b, c ⎤ = b1 b2 ⎣ ⎦ c1 c2

⋅a×b

⎡ a , b, c ⎤ ⎣ ⎦ a×b

2

(

⋅ a×b

)

a3 b3 c3

a × (b × c) = (a c) ⋅ b − (a b) ⋅ c

Matematičke formule

9.11. Trostrana piramida

V= V=

BH 3 a×b ⋅ H 6

⎡ a , b, c ⎤ ⎣ ⎦ V= 6

9.12. Četvorostrana piramida

V= V=

BH 3 a×b ⋅ H 3

⎡ a , b, c ⎤ ⎣ ⎦ V= 3

60

Matematičke formule

61

10. Analitička geometrija u ravni

B

A( x0 , y0 ) B( x1 , y1 )

S

AB = ( x1 − x0 ) 2 + ( y1 − y0 ) 2

A

⎛x +x y +y ⎞ S ⎜ 0 1 , 0 1 ⎟ središte duži AB 2 ⎠ ⎝ 2

C

A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) C ( x3 , y3 )

T

⎛ x + x + x y + y + y3 ⎞ S⎜ 1 2 3 , 1 2 ⎟ težište ABC 3 3 ⎝ ⎠

B

A 1 1 P = | x1 2 y1

1 x2

1 x3 |

y2

y3

površina trougla

10.1. Podela duži u odnosu m:n

M A

B

M ( x, y ) AM : MB = m : n ( x − a1 , y − a2 ) : (b1 − x, b2 − y ) = m : n ( x − a1 ) : (b1 − x) = m : n ( y − a2 ) : (b2 − y ) = m : n

Matematičke formule

62

10.2. Jednačina prave

y = kx + n (eksplicitni oblik) k = tan α Ax + By + C = 0 (implicitni oblik)

α

x y + =1 a b

(segmentni oblik)

b a

A( x − xo ) + B ( y - y0 ) = 0 y = k ( x − x0 ) + y0 y= d= s:

| Ap + Bq + C | 2

A +B A1 x + B1 y + C1 A12

+ B12

s : Ax + By + d=

(jednačina prave kroz 1 tačku A( x0 , y0 ))

y1 − y0 ( x − x0 ) + y0 x1 − x0 2

2

A +B

2

(jednačina prave kroz 2 tačke A( x0 , y0 ) i B ( x1 , y1 ))

(odstojanje tačke ( p, q ) od prave Ax + By + C = 0) =±

A2 x + B2 y + C2

C1 + C2 =0 2

C1 − C2

(normalni oblik jednačine prave)

2

A2 + B2

2

(simetrala ugla)

(osa simetrije između paralelnih pravih)

(rastojanje između dve paralelne prave Ax + By + C1 = 0 i Ax + By + C2 = 0)

Matematičke formule

10.3. Odnos dve prave

y = k1x + n1 y = k2 x + n2 k1 = k2 (prave su paralelne) k1 ⋅ k2 = −1 (prave su normalne) tan ϕ =

k1 − k2 1 + k1 ⋅ k2

(ugao između dve prave)

10.4. Jednačina kruga

M R

O( p, q ) je centar kruga. R je poluprečnik. M ( x, y ) je skup tačaka sa osobinom da je rastojanje M od O jednako R. (d ( M , O ) = R )

O

( x − p )2 + ( y − q )2 = R 2 (j-na kruga)

Udaljenost tačke ( x0 ,y0 ) od kruga dobija se kada se od udaljenosti tačke od centra oduzme poluprečnik: d = ( x0 − p ) 2 + ( y0 − q) 2

63

Matematičke formule

64

10.5. Uslov da je prava tangenta kruga

| Ap + Bq + C | 2

=R

A +B (ako je poznata prava u exp. obliku)

M(x0,y 0)

R 2 ( R 2 + 1) = (kp − q + n)2 (ako je poznata prava u imp. obliku)

R 2

Ax

+B C y+

O

2

( x − p )( x0 − p ) + ( y − q)( y0 − q ) = R 2

=0

(ako je poznata tačka)

10.6. Međusobni položaj dva kruga

d > R1 + R2 (ne seku se)

d = R1 + R2 (dodiruju se spolja)

d = R1 − R2 (dodiruju se iznutra)

d < R1 − R2 (ne seku se)

Matematičke formule

10.7. Pramen pravih

Ax + By + C + λ ( A1 x + B1 y + C1 ) = 0

10.8. Pramen krugova

( x − p1 ) 2 + ( y − q1 ) 2 = R12 ( x − p2 ) 2 + ( y − q2 ) 2 = R2 2

( x − p1 ) 2 + ( y − q1 )2 − R12 + λ ⎡( x − p2 ) 2 + ( y − q2 )2 − R22 ⎤ = 0 ⎣ ⎦

65

Matematičke formule

66

10.9. Elipsa

x2 a2

+

y2 b2

=1

b F1

a

c2 = a 2 − b2 F1 (−c,0) ⎫ ⎬ fokusi,žiže F2 (c,0) ⎭ a 2 k + b 2 = n 2 (uslov dodira sa datom tangentom y = kx + n) x ⋅ x0 a

2

+

y ⋅ y0 b

2

= 1 (uslov dodira sa datom tačkom ( x0 , y0 ))

F2

Matematičke formule

10.10. Hiperbola

x2 a2

−

y2 b2

=1

c2 = a 2 + b2 b y = ± x (asimptote) a F1 (−c,0) ⎫ ⎬ fokusi,žiže F2 (c,0) ⎭ a 2 k − b 2 = n 2 (uslov dodira sa datom tangentom y = kx + n) x ⋅ x0 y ⋅ y0 − 2 = 1 (uslov dodira sa datom tačkom a2 b ( x0 , y0 ))

67

Matematičke formule

10.11. Parabola

y 2 = 2 px

p=2kn

(uslov dodira sa datom tangentom y = kx + n) y ⋅ y0 =p(x+x 0 ) (uslov dodira sa datom tačkom ( x0 , y0 ))

68

Matematičke formule

11. Nejednakosti, sume i nizovi 11.1. Nejednakosti

2n > n 2 3n > n3 n ! > 2n n ! > 3n n ! < n n −1 n! < nn−2 n

∑

i =1 n

1 > n , n ≥1 i 1

1

∑n+i > 2

, n≥2

i =1

(1 + h) n > 1 + nh , n ≥ 2, h > -1 (Bernulijeva nejednakost)

11.2. Sume n

∑i =

i =1 n

n(n + 1) 2

∑ (2i − 1) = n2

i =1 n

∑ i2 =

i =1 n

n(n + 1)(2n + 1) 6

⎡ n(n + 1) ⎤ ∑i = ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ i =1 3

2

2

4

(1 + x)(1 + x )(1 + x ) ⋅ ... ⋅ (1 + x

2n −1

1 − x2 )= 1− x

n

, n ≥ 1, x ≠ 1

69

Matematičke formule

70

11.3. Osobine sume n

∑ ai

i =1 n

∏ ai i =1 n

def

= a1 + a2 + ... + an

∑1 = n

def

i =1 n

= a1 ⋅ a2 ⋅... ⋅ an n

n

i =1 n

i =1

∑ (ai + bi ) = ∑ ai + ∑ bi

i =1 n

k

n

i =1

i =k

∑ ai = ∑ ai + ∑ ai

i =1 m

∑ aj

,k < n

(broj članova sume je m − k + 1)

j =k

∑ (c ⋅ ai ) = c ⋅ ∑ ai

i =1

n

i =1

11.4. Aritmetički niz (progresija)

a1 a2 ... an an = a1 + (n − 1)d

d − razlika

n n Sn = (a1 + an ) = [2a1 + (n − 1)d ] 2 2 an − k + an + k = 2an

čest zadatak Odrediti niz (bilo koji) takav da razlike njegovih uzastopnih članova obrazuju aritmetički niz. a2 − a1 = d1 ⎫ an − a1 = d1 + d 2 + ... + d n −1 a3 − a2 = d 2 ⎪⎪ n −1 (d1 + d n −1 ) ⎬ an − a1 = ... 2 ⎪ ⎪ an − an −1 = d n −1 ⎭ a = a + n − 1 (d + d ) 1 1 n n −1 2

Matematičke formule

čest zadatak Odrediti zakonitost: {1},{1,2},{3,4,5},{6,7,8,9},{10,11,12,13,14} S1

S2

S3

S4

S5

S3 = {1 + 2,...} S4 = {1 + 2 + 3,...} S5 = {1 + 2 + 3 + 4,...} n an = (n + 1) 2 n poslednji član skupa: bn = (n + 1) + n 2

prvi član skupa:

11.5. Geometrijski niz (progresija)

a1 a2 ... an a2 = a1q

a3 = a1q 2

an = a1q n −1

1 − qn Sn = a1 ⋅ 1− q an − k ⋅ an + k = an 2

11.6. Beskonačan geometrijski niz (red)

a1 a1q ... a1 1− q n →∞ važan uslov: |q|0

f ( x) = eln A

,A>0

f ( x) = ln A2n = 2n ln | A | 1 f ( x) = log A e

,A ≠ 0

f ( x) =

1 log A2 n e

f ( x) = ln e A 1 f ( x) = sin α 1 f ( x) = cos α f ( x) = tan α f ( x) = cot α

=

1 1 log e 2n | A|

,A ≠ {0,1} ,A ≠ {0,1} ,(nema uslova) ,α ≠ kπ ,α ≠ ,α ≠

π 2

π

+ kπ

+ kπ 2 ,α ≠ kπ

73

Matematičke formule

74

13.2. Ispitivanje funkcije 1. oblast definisanosti (domen) 2. parnost/neparnost 3. periodičnost 4. nule funkcije (y=0) 5. znak funkcije 6. asimptote (izračunavanje graničnih vrednosti) a) vertikalne (VA) b) horizontalne (HA) c) kose (KA) 7. monotonost i ekstremne vrednosti a) monotonost (traženje prvog izvoda funkcije) b) ekstremne vrednosti (minimum i maksimum) , y’=0 8. tačke prevoja i konveksnost/konkavnost a) tačke prevoja (traženje drugog izvoda funkcije) , y’’=0 b) konveksnost/konkavnost 9. grafik funkcije 13.3. Granična vrednost funkcije

y = f ( x) (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x) ( x − x0 < δ ⇒ f ( x) − a < ε ) a = lim f ( x) x → x0

13.4. Važnije granične vrednosti

sin x =1 x →0 x Dokaz :

1. lim

x > 0,

sin x ≤ x ≤ tan x

x 1 ≤ sin x cos x sin x ≥ cos x 1≥ x 1 1 1≤

sin x → 1 (po teoremi o 2 policajca) x

tan x =1 x →0 x arcsin x 3. lim =1 x x →0 arctan x 4. lim =1 x x →0 2. lim

Matematičke formule

5. lim

1 − cos x

x →0

x2

=

75

1 2

Dokaz : 2

2

2

x⎞ ⎛ x⎞ 1⎛ x⎞ ⎛ x 2 ⎜ sin ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ 2sin ⎜ sin ⎟ 1 2⎠ ⎝2⎠ 2⎝ 2⎠ 2 = lim ⎝ lim = lim = 2 2 x →0 x →0 x →0 ⎛ x ⎞ 2 x2 ⎛ x⎞ 2 x ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2

sin x ≤ x ≤ tan x n

⎛ 1⎞ 6. lim ⎜1 + ⎟ = e n⎠ n→∞ ⎝ n

⎛ 1⎞ an = ⎜1 + ⎟ − konvergentan ⎝ n⎠ ln(1 + x) =1 7. lim x x →0

(1 + x) k − 1 10. lim =k x x →0 sin x 11. lim =1 x →∞ x

ex −1 =1 8. lim x →0 x ax −1 = ln a 9. lim x →0 x

13.5. Neodređeni matematički izrazi

1. ∞ − ∞ ∞ 2. ∞ 3. 0 ⋅ ∞ 4. 0∞ 5. ∞

0

6. 1∞

7. ∞ + ∞ → ∞ 8. ∞ ⋅ ∞ → ∞ 9. ∞ + n → ∞ 10. ∞ ⋅ n → ∞ 11. ∞ n → ∞ 12. ∞ → ∞

, a >1 ⎧∞ ⎪ a ∞ = ⎨neodređeni izraz , a =1 ⎪0 , 0 < a