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Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Calculo Calculo II
INTEGRALES DOBLES f (x , y )dy d x R f (x , y )dA f (x , y )dxdy R
I
R
Para las las integrales integrales del tipo tipo
A Z
dydx dx se lo realizara de la siguiente forma: f (x, y )dy
N
A
R
A
y
C
b f ( x )
I
f (x , y )dA R
f (x , y )dydx
a g (x )
si f (x , y ) 1 I
.
f (x )
dA Area de "R"
E
R
g(x )
R
b
a
Para las las integrales integrales del tipo tipo
dxdy y se lo realizara de la siguiente forma: f (x, y )dxd R
f (x , y )dA R
f (x , y )dxdy
si f (x , y ) 1 I
OI
( )
h (x )
c h (x )
R
y
d n ( x )
I
-
x
n x
d
R
dA Area de " R" R"
E
R
P
R
U
c
TRANSFORMACIONES
S
x
A
Jacobiano de transformación
CI
v
y
|J| R
R
A
R'
x
I
T
f (x , y )dxdy
R ,
M E
u
T A
x y f (u ,v ) J dudv u v
ANAZA
M Pagina
Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Calculo II
Donde el Jacobiano de transformación será igual a :
x y x u J u v yu
x J una propiedad importante será: y v u x v
COORDENADAS POLARES
x r cos y r sin
1
A
v u v J x y
Z A
y
N A
x x J r r yr y 2
I
y
f (x , y )dA R
1
si f (r , ) 1 I
C .
R
r ( )
f (r , )rdrd
rdrd Area de
g( )
1
" R"
E
( )
r
2
g ( )
-
x
R
Coordenadas polares generalizadas p x ar cos p y br sin
R OI
xr x p 1 p 1 cos sin J pabr yr y
R
y
APLICACIONES A LA FISICA
E P
Centros de masa m
x, y dA
Mx
y x , y dA , M
y
R
x
M y m
x x, y dA,
U S
R
y
R
A
CI
R
,y
M x , (x, y ) m
x
densidad
T
x
A
Momentos de Inercia Ix
x, y y dA 2
R
; Iy
x ,y x dA 2
; I o
R
x ,y x
2
M
y 2 dA
E
R
T
Momento respecto a cualquier eje
I L
x, y D dA donde D es la distancia del punto P(x,y) 2
A
al eje L
M
R
ANAZA
Pagina
Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Calculo II
INTEGRALES TRIPLES
dxdydz dxdzdy f x y z dV dV dydxdz dydzdx dzdx dy dzd ydx
A
,
I
V
,
,
Z
,
A
,
N
z
El orden para el dV dependerá del tipo de proyección:
z
C
A
f (x , y )
dV dz dxdy , dV dz d yd x R
. E
R
si f (x , y , z ) 1 I V z sup
I
R
dzdA
z inf
-
y
z sup z inf d A
R
R OI
x
TRANSFORMACIONES
R
Jacobiano de transformación
I
f x y z dxdydz ,
,
V
x y
f u v w J ,
,
u v
V
E
z
P
dudvdw w
S
U
Donde el Jacobiano de transformación será igual a :
x
u x y z J yu u v w
zu
xv yv zv
x w
x y w una propiedad importante será: J u z w
A
1
CI
w u v w J x y z
v
A
T
z
COORDENADAS CILINDRICAS
x r cos y r sin z z
z
y
x y z J r r z
M E
T
z
A
2 r ( ) z sup
I
f (x , y, z )dxdydz
1 g ( ) z inf
V
si f (r , , z ) 1 I
f (r , , z )rdzdrd
y
rdrd dz Volumen de
" V "
M
r
x
V
ANAZA
Pagina
Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Calculo II
Coordenadas cilíndricas generalizadas x ar cos p p y br sin z cz
A
x y z p 1 p 1 J pabcr cos sin r z z
Z A N
COORDENADAS ESFERICAS x cos sin y sin sin z cos
A
x y z 2 J sin 2 r ( ) ext
I
f (x, y, z )dxdydz V
C .
E
f ( , , ) 2 sin d d d
1 g ( ) int
si f ( , , ) 1 I
2
-
y
sin d d d Volumen de "V "
V
x a cos sin p q y b sin sin z c cosq p
R
x
Coordenadas esféricas generalizadas
OI
q
x y z J pqabc 2 sin 2q 1 sin p 1 cos p 1 cosq 1
E
R
APLICACIONES A LA FISICA
P
Centros de masa
m
U S
(x , y, z )dV
A
V
M xy
z (x, y, z )dV
, M xz
y (x, y, z )dV , M
V
x
M yz m
yz
V
, y
M xz ,z m
M xy m
x (x , y, z )dV
CI
V
, (x , y, z )
T
densidad
A
Momentos de Inercia
M E
Momento respecto a los planos coordenados
I xy
z (x, y, z )dV 2
; I zy
x (x, y, z )dV
V
2
; I xz
V
I xy+I xz
;
A
V
M
Momento respecto a los ejes coordenados
Ix
T
y (x, y, z )dV 2
Iy
I xy+I yz ; I z ANAZA
I zy+I xz
Pagina
Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Calculo II
Momento respecto al origen de coordenadas
I0
I xy +I xz +I zy =
1
I 2
x
Iy
A
I z
Z A
Momento respecto a cualquier eje
I L
N
D 2 (x , y, z )dV donde D es la distancia del punto P(x,y,z) al eje L
A
V
AREA DE SUPERFICIE
C .
Estas integrales dependerán de la proyección a la cual se realicen la superficie.
dxdy
E
dydz
-
z
S
2
2
2
2
2
2
1
z x zy
1
x z xy
z
f (x , y )
R 1
S
R 2
S
1
yx yz
R
y
dxdz
OI
R 3
Dónde:
x
R
R1 es la proyección en el plano XY, R2 es la proyección en el plano YZ
E
y R3 es la proyección en el plano XZ
P U
INTEGRALES DE LINEA
S
Integrales de línea de primera especie
I
f x, y, z dS ; Donde dS
2
2
A
2
dx dy dz
CI
C
T
Integrales de línea de Segunda especie
I
f x , y, z dr
A
Donde: f x , y , z P ,Q ,R ,dr dx ,dy ,dz
M
C
E
I Pdx Qdy Rdz
T
C
A M
ANAZA
Pagina
Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Calculo II
Independencia del camino de integración
z
(función conservativa o irrotacional)
B
A
C1
Rot ( f ) f du
Pdx
0
Py
Qx , Pz u
Qdy Rdz du
dx
x
R x , Qz
u y
dy
Ry
u z
Z
Cn
C2
A N
dz A
A
y
C
B
f
I
dr
C1
f
f
dr ......
C2
dr
Cn
du u Cn
.
x
A
E
Área de una figura plana A xdy ydx ; donde C : (curva cerrada ) C
I
Pdx Qdy
C
-
y
Teorema de Green en el plano Q P R x y dA
R
R
OI
C
R E
x
P
PARAMETRIZACION DE CURVAS NOTABLES
U S A
Lemniscata r
2
( x 2
a
2
y
Cicloide
cos(2 ) 2
)2
a
2
x
( x2
y
2
)
y
a (
Hipocicloide
a(
sin )
cos )
3
3
x
a cos
y
a sin
Cardioide
T
CI
r
a (1 cos )
M
A E T
Catenaria x
y
a
e
a
e 2
Rosa de 4 petalos
Rosa de 3 petalos
a cos(n ) r a cos(3 ) n impar a sin(n )
a cos(n )
r a cos(2 )
a sin(n )
ANAZA
a b b ab y (a b) cos b sin b
x (a b) cos b cos
x a
A
Epicicloide
n par
Pagina
M
Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Calculo II
A Hipocicloide Gral.
Trocoide
ab x ( a b) cos b cos b ab y (a b) cos b sin b
Tractriz
Bruja de Agnesi
x a ln cot cos 2 y a sin
x a b sin y a b cos
A
Z N
2a cot y a(1 cos 2 ) x
C
A . E -
Folio de Descartes x
y
Involuta de una Circunferencia
3at 1 t
3
x
a (cos sin )
3at 2
y
a(sin cos )
Caracol de Pascal r
R
Espiral de Arquimedes
b a No corta a b cos b a Corta
r
OI
a
3
1 t
R
CUADRICAS
Ecuacion de la Esfera ( x xo ) 2 ( y yo ) 2 ( z zo ) 2
R
x 2
2
a2
y2 b2
2
x 2
1
a2
y yo
a2
b2
2
2
a2
y
2
z z o
b2
c2
P U
z c
S
y2
A
b2
CI
z 2 c2
T
1
A
c2
Paraboloide Hiperbolico
E
x 2
2
1
a2
x 2
2
z
b2
Hiperboloide de una sola Hoja
Hiperboloide de dos Hojas x
y2
Ecuacion del Cono Eliptico
Ecuacion del Elipsoide
x xo
a2
Ecuacion del Cilindro Eliptico x 2
E
Ecuacion del Paraboloide Eliptico
1
a
2
y2 b2
y2
b
2
z 2 c2
M T A
z
c
M
ANAZA
Pagina
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