folletofsicac1erparcial-100918183753-phpapp02

ESPOL

FÍSICA C Primer Parcial *Fuerza Eléctrica *Campo Eléctrico *Ley de Gauss *Energía Eléctrica *Potencial Eléctrico *Capacitancia *Resistencia

ERICK CONDE ESPOL

FÍSICA C ESPOL FUERZA Y CAMPO ELÉCTRICO Ejercicio 1. Dos esferas idénticas que tienen carga de signo opuesto se atraen entre sí con una fuerza de 0.108 N cuando están separadas por 50 cm. Las esferas se conectan súbitamente con un alambre conductor delgado, luego se retiran y las esferas se repelen entre sí con una fuerza de 0.0360 N. ¿Cuáles eran las cargas iniciales de las esferas? F = 0.108 N r = 50 cm F*= 0.0360 N ①𝐹 =

𝐾 𝑞1 𝑞2 𝑟2

② 𝐹∗ =

③𝑞 =

𝐾 𝑞1 𝑞2 𝐾𝑞2 = 2 𝑟2 𝑟

𝑞1 − 𝑞2 ; 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 2

De ② se tiene que:

𝑞2 =

𝐹∗𝑟 2 ⇒ 𝑞= 𝐾

0.0360 0.5 9 ∗ 109

2

= 1 ∗ 10−6 𝐶

De ③ se tiene que: 𝑞1 = 2𝑞 + 𝑞2 ③ en ① 𝐹=

𝐾𝑞2 2𝑞 + 𝑞2 𝑟2

⇒ 𝑟 2 𝐹 = 2𝐾𝑞2 𝑞 + 𝐾𝑞2 2

0 = 𝐾𝑞2 2 + 2𝐾𝑞 𝑞2 − 𝑟 2 𝐹 𝑞2 =

𝑞2 =

𝑞2 =

−2𝐾𝑞 ±

2𝐾𝑞 2 − 4(𝐾) −𝑟 2 𝐹 2𝐾

−2 9 ∗ 109 1 ∗ 10−6 ±

2 9 ∗ 109 1 ∗ 10−6 2 9 ∗ 109

2

+ 4 9 ∗ 109

0.52 0.108

−18000 ± 36000 ; 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 , 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 18 ∗ 109

𝒒𝟐 = 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝑞1 = 2𝑞 + 𝑞2 𝒒𝟏 = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪

2 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL Ejercicio 2. Una barra delgada de longitud L y carga uniforme por longitud 𝝀 esta a lo largo del eje x como se muestra en la figura. Calcule el campo eléctrico en el punto P a una distancia Y de la barra.

Por simetría las componentes del campo en “x” se anulan, entonces: 𝑑𝐸𝑦 = 𝑑𝐸 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑑𝐸𝑦 = 𝐾 𝑑𝐸𝑦 =

𝑑𝐸 = 𝐾

𝑑𝑞

; 𝐶𝑜𝑠𝜃 =

𝑟2

𝑑𝑞 𝐾𝜆 𝑑𝑥 𝑌 𝐶𝑜𝑠𝜃 ⇒ 𝑑𝐸𝑦 = 𝑟2 𝑟2 𝑟

𝑌 𝑟

⇒ 𝑑𝐸𝑦 =

; 𝜆=

𝐾𝜆𝑌 𝑑𝑥 𝑟3

𝑑𝑞 𝑑𝑥

;

⇒ 𝑑𝑞 = 𝜆 𝑑𝑥 𝑟 = 𝑥 2 + 𝑌2

1

2

𝐾𝜆𝑌 𝑑𝑥 𝑥 2 + 𝑌2 𝑙

3

2

2

𝑑𝑥

𝑑𝐸𝑦 = 2𝐾𝜆𝑌

𝑥2

0

𝒍 𝑬𝒚 = 𝟐𝑲𝝀

3 + 𝑌2 2

𝟐

𝒀𝟐 𝒀𝟐 + 𝒍 𝟐

𝟐

= 2𝐾𝜆𝑌

𝑙

𝑥 𝑌2

𝑌2

+

𝑥2

2

0

𝒋 𝑵𝑪

Ejercicio 3. Una línea de carga positiva se forma dentro de un semicírculo de radio R igual a 60 cm. La larga por unidad de longitud a lo largo del semicírculo se describe por medio de la expresión 𝝀 = 𝝀𝟎 𝑪𝒐𝒔 𝜽. La carga total en el semicírculo es de 12 𝒖𝑪. Calcule la fuerza total en una carga de 3 𝒖𝑪 situado en el centro de la curvatura. 𝑑𝐹𝑦 = 𝑑𝐹 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑑𝐹𝑦 =

𝐾𝑞 𝑑𝑄 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑅2

;

𝑑𝐹𝑦 = 𝑑𝐹𝑦 =

𝑑𝑄 = 𝜆0 𝐶𝑜𝑠 𝜃 ⇒ 𝑑𝑄 = 𝜆0 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝑙 𝑑𝑙

𝜆 = 𝜆0 𝐶𝑜𝑠 𝜃 ⇒

𝐾𝑞 𝜆0 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝑙 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑅2

;

𝑑𝑙 = 𝑅 𝑑𝜃

𝐾𝑞 𝜆0 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 𝑅 𝑑𝜃 𝐾𝑞 𝜆0 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑𝜃 = 2 𝑅 𝑅 𝜋

2𝐾𝑞 𝜆0 𝑑𝐹𝑦 = 𝑅

0

2

𝜋

2𝐾𝑞 𝜆0 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑅

3 ERICK CONDE

0

2

1 + 𝐶𝑜𝑠 2𝜃 𝑑𝜃 2

FÍSICA C ESPOL 𝐾𝑞 𝜆0 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 𝐹= 𝜃+ 𝑅 2

𝜋

2

= 0

𝐾𝑞 𝜆0 𝜋 𝑅 2

Pero no conocemos el valor de 𝜆0 , entonces: 𝑑𝑄 = 𝜆0 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝑙 𝑑𝑄 =

𝜆0 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝑙 = 𝜋

𝜆0 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑅 𝑑𝜃

2

𝑄 = 2𝑅𝜆0

𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 = 2𝑅𝜆0 𝑆𝑒𝑛𝜃

𝜋

2

0

= 2𝑅𝜆0

0

𝜆0 =

𝑄 2𝑅

𝐾𝑞 𝑄𝜋 9 ∗ 109 3 ∗ 10−6 12 ∗ 10−6 𝜋 = = 0.7068 𝑁 2 4𝑅 4 0.6 2

𝐹=

𝑭 = −𝟎. 𝟕𝟎𝟔𝟖 𝒋 𝑵

Ejercicio 4. Una esfera aislante de radio R contiene una carga positiva total Q en todo su volumen de modo 𝜶 ; 𝒓𝑅 halle 𝜶 en términos de Q y R.

𝑑𝑄 ⇒ 𝑑𝑄 = 𝜌 𝑑𝑣 𝑑𝑣

𝑑𝑄 =

𝜌 𝑑𝑣

;

4 𝑣 = 𝜋𝑟 3 ⇒ 𝑑𝑣 = 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 3 𝑅

𝑅

4𝜌𝜋𝑟 2 𝑑𝑟

𝑑𝑄 =

+

𝑄 = 4𝜋𝛼

𝑅

2

+2 0

𝑟3 𝑟4 − 3 4𝑅

2𝛼 1 − 𝑅

0

𝑟3 𝑄 = 4𝜋𝛼 3

𝜶=

𝑅

𝛼𝑟 2 𝑑𝑟

= 4𝜋

0

2

2

𝑅

= 4𝜋𝛼 𝑅

2

𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑅

𝑅3 𝑅3 𝑅4 𝑅3 𝑅4 +2 − − + 24 3 4𝑅 24 64𝑅

𝑅3 2𝑅3 𝑅3 𝑅3 𝑅3 5 3 + − − + = 4𝜋𝛼 𝑅 24 3 2 12 32 32

𝟖𝑸 𝒄 𝒎𝟑 𝟓𝝅𝑹𝟑

4 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL Ejercicio 4. Dos barras delgadas idénticas de longitud 2A contienen cargas iguales 𝑸+ uniformemente distribuidas a lo largo de sus longitudes. Las barras descansan a lo largo del eje x con su centro separado a una distancia 𝒃 > 2𝒂. Demostrar que la magnitud de la fuerza ejercida por la barra de la izquierda sobre la derecha esta dad por: 𝑭 =

𝑲𝑸𝟐 𝒃𝟐 𝒍𝒏 𝟐 𝟐 𝟒𝒂 𝒃 −𝟒𝒂𝟐

Vamos a encontrar una expresión de la fuerza que ejerce la 2da barra sobre una partícula “q” que pertenece a la 1era barra, para luego generalizarla (“q” y la distancia entre ”q” y la barra permanecerá constante)

𝑑𝐹 =

𝐾𝑞 𝑑𝑄 𝑥2

𝑑𝐹 =

𝐾𝑞𝑄 𝑑𝑥 2𝑎𝑥 2

;

𝜆=

𝑑𝑄 𝑄 𝑑𝑄 𝑄 𝑑𝑥 ⇒ = ⇒ 𝑑𝑄 = 𝑑𝑙 2𝑎 𝑑𝑙 2𝑎

𝑑+2𝑎

𝑑𝐹

=

𝐾𝑞𝑄

𝑑𝑥

2𝑎

𝑥

2

=

𝐾𝑞𝑄 2𝑎

−

1

𝑑+2𝑎

𝑥

𝑑

𝑑

𝐹=

=

𝐾𝑞𝑄 2𝑎

−

1 𝑑 + 2𝑎

+

1 𝑑

𝐾𝑞𝑄 𝑑 𝑑 + 2𝑎

Ahora “q” será un dq de la primera barra y la distancia entre dq y la 2da barra no será constante

5 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL 𝑑𝐹 =

𝐾𝑄 𝑑𝑞 𝑥 𝑥 + 2𝑎

𝑑𝐹 =

𝐾𝑄𝑄 𝑑𝑥 2𝑎𝑥 𝑥 + 2𝑎

𝐾𝑄 2 𝑑𝐹 = 2𝑎

;

𝑥 𝑠𝑢𝑝

𝑥 𝑖𝑛𝑓

𝑑𝑞 =

𝑄𝑑𝑥 2𝑎

𝑑𝑥 𝐾𝑄 2 = 𝑥 𝑥 + 2𝑎 2𝑎

𝑏

𝑏−2𝑎

𝑑𝑥 𝑥 𝑥 + 2𝑎

1 𝐴 𝐵 = + 𝑥 𝑥 + 2𝑎 𝑥 𝑥 + 2𝑎 1 = 𝐴 𝑥 + 2𝑎 + 𝐵𝑥 ⇒ 1 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 2𝑎𝐴 1 = 2𝑎𝐴 ⇒ 𝐴 =

1 2𝑎

0=𝐴+𝐵 ⇒ 𝐵=− 𝐾𝑄 2 𝐹= 2𝑎

𝑏

𝑏−2𝑎

1 2𝑎

𝐴 𝐵 𝐾𝑄 2 1 1 + 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛 𝑥 + 2𝑎 𝑥 𝑥 + 2𝑎 2𝑎 2𝑎 2𝑎

𝐹=

𝐾𝑄 2 4𝑎2

𝐹=

𝐾𝑄 2 𝑏 𝑏 − 2𝑎 𝑙𝑛 − 𝑙𝑛 4𝑎2 𝑏 + 2𝑎 𝑏

𝐹=

𝐾𝑄 2 𝑏2 𝑙𝑛 4𝑎2 𝑏 + 2𝑎 𝑏 − 2𝑎

𝑭=

𝑲𝑸𝟐 𝒃𝟐 𝒍𝒏 𝟐 𝟐 𝟒𝒂 𝒃 − 𝟒𝒂𝟐

𝑙𝑛 𝑏 − 𝑙𝑛 𝑏 + 2𝑎

𝑏 𝑏−2𝑎

− 𝑙𝑛 𝑏 − 2𝑎 − 𝑙𝑛 𝑏 − 2𝑎 + 2𝑎

=

𝑏 𝐾𝑄 2 𝑏 + 2𝑎 𝑙𝑛 𝑏 − 2𝑎 4𝑎2 𝑏

𝑵

Ejercicio 5. Una carga de 8 𝒖𝑪 se coloca en x = 4m , y = 0 , donde se deberá colocar una carga de 4 𝒖𝑪 para que el campo eléctrico sea nulo en el origen. 𝐸8 𝑢𝐶 = 𝐸4 𝑢𝐶 𝐾 4 𝑢𝐶 𝐾 8 𝑢𝐶 = 𝑥2 𝑥2 𝑥2 = 8

⇒

⇒

4 8 = 2 2 𝑥 4

𝑥=± 8

Tomamos el valor negativo, debido a que la carga1 se encuentra a la izquierda del origen 𝒙 = −𝟐 𝟐 [𝒎]

6 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL Ejercicio 5. Una línea de carga empieza en 𝒙 = +𝒙𝟎 y se extiende hasta el infinito positivo. Si la densidad de carga lineal es 𝝀 =

𝑑𝐸 =

𝐾𝑑𝑞 𝑥2

𝑑𝐸 =

𝐾𝜆0 𝑥0 𝑑𝑥 𝑥3

;

𝜆=

+∞

𝑑𝐸 = 𝐾𝜆0 𝑥0 𝑥0

𝐸 = 𝐾𝜆0 𝑥0 lim

𝑬=−

Determine el campo eléctrico en el origen.

𝑑𝑞 𝜆0 𝑥0 𝑑𝑞 𝜆0 𝑥0 ⇒ = ⇒ 𝑑𝑞 = 𝑑𝑥 𝑑𝑙 𝑥 𝑑𝑙 𝑥

𝑑𝑥 = 𝐾𝜆0 𝑥0 lim 𝑡⟶+∞ 𝑥3

−

𝑡⟶+∞

𝝀𝟎 𝒙𝟎 𝒙

1 2𝑥 2

𝑡

𝑥0

𝑑𝑥 𝑥3

𝑡 𝑥0

= 𝐾𝜆0 𝑥0 lim

𝑡⟶+∞

−

1 1 + 2𝑡 2 2𝑥0 2

𝑲𝝀𝟎 𝑵 𝒊 𝑪 𝟐𝒙𝟎

Ejercicio 6. Se lanzan protones a una rapidez inicial 𝒗𝒊 = 𝟗. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝒎/𝒔𝒆𝒈 dentro de una región donde se presenta un campo eléctrico uniforme 𝑬 = −𝟕𝟐𝟎𝒋 𝑵/𝑪 como se muestra en la figura, los protones van a incidir sobre un blanco que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto donde se lanzaron los protones. Determinar: a) Los 2 ángulos de lanzamiento 𝜽 que darán como resultado del impacto. b) El tiempo total de vuelo para cada trayectoria. Para a) 𝐹 = 𝑚𝑝 𝑎 𝐹𝑒 = 𝑚𝑝 𝑎 𝑎=

⇒

𝐸𝑞𝑝 = 𝑚𝑝 𝑎

𝐸𝑞𝑝 −720 1.6 ∗ 10−19 = = −6.89 ∗ 1010 𝑚/𝑠𝑒𝑔2 𝑚𝑝 1.67 ∗ 10−27

𝑥𝑚 á𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑡𝑣

⇒

𝑡𝑣 =

𝑥𝑚 á𝑥 𝑣0𝑥

1 𝑥𝑚 á𝑥 1 𝑥𝑚 á𝑥 𝑦𝑚 á𝑥 = 𝑣0𝑦 𝑡𝑣 + 𝑔𝑡𝑣 2 = 𝑣0𝑦 + 𝑔 2 𝑣0𝑥 2 𝑣0𝑥 𝑦𝑚 á𝑥 =

𝑣0 𝑆𝑒𝑛𝜃 1 𝑥𝑚 á𝑥 2 𝑥𝑚 á𝑥 + 𝑔 2 𝑣0 𝐶𝑜𝑠𝜃 2 𝑣0 𝐶𝑜𝑠𝜃 2

7 ERICK CONDE

2

FÍSICA C ESPOL Pero sabemos que al final del impacto las coordenadas son 0, 𝑥𝑚 á𝑥 0=

𝑆𝑒𝑛𝜃 1 𝑥𝑚 á𝑥 2 𝑥𝑚 á𝑥 + 𝑔 2 𝐶𝑜𝑠𝜃 2 𝑣0 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃

𝑥𝑚 á𝑥 = −

2 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑣0 2 𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 2 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑣0 2 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑆𝑒𝑛2𝜃 𝑣0 2 =− =− 𝑎 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑎 𝑎

𝑆𝑒𝑛2𝜃 = −

𝑎 𝑥𝑚 á𝑥 −6.89 ∗ 1010 1.27 ∗ 10−3 =− 2 𝑣0 9.55 ∗ 103 2

𝑆𝑒𝑛2𝜃 = 0.9594

⇒

2𝜃 = 73.62

𝜽𝟏 = 𝟑𝟔. 𝟖𝟏° 𝜃2 = 90 − 𝜃1

⇒

𝜽𝟐 = 𝟓𝟑. 𝟏𝟗°

Para b) 𝑡1 =

𝑥𝑚 á𝑥 𝑥𝑚 á𝑥 1.27 ∗ 10−3 = = 𝑣0𝑥 1 𝑣0 𝐶𝑜𝑠𝜃1 9.55 ∗ 103 𝐶𝑜𝑠 36.81

𝒕𝟏 = 𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝒔𝒆𝒈 𝑡2 =

𝑥𝑚 á𝑥 𝑥𝑚 á𝑥 1.27 ∗ 10−3 = = 𝑣0𝑥 2 𝑣0 𝐶𝑜𝑠𝜃2 9.55 ∗ 103 𝐶𝑜𝑠 53.19

𝒕𝟏 = 𝟐. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝒔𝒆𝒈

Ejercicio 7. Tres cargas puntuales están alineados a lo largo del eje x como se muestra en la figura. Encuentre el campo eléctrico en la posición (0 , 2.0) y en la posición (2.0 , 0)

Para (0 , 2.0) 𝐸1 =

𝐾𝑞1 9 ∗ 109 4 ∗ 10−9 = = 8.46 𝑁/𝐶 𝑟1 2 2.06 2

𝐸2 =

𝐾𝑞2 9 ∗ 109 5 ∗ 10−9 = = 11.25 𝑁/𝐶 𝑟2 2 2.0 2

𝐸3 =

𝐾𝑞3 9 ∗ 109 3 ∗ 10−9 = = 5.84 𝑁/𝐶 𝑟3 2 2.15 2

𝜃1 = 𝑇𝑎𝑛−1

2 = 75.96° 0.5

𝜃2 = 𝑇𝑎𝑛−1

2 = 68.19° 0.8

8 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL 𝐸1𝑥 = 𝐸1 𝐶𝑜𝑠𝜃1 = −2.05 𝑖 𝑁/𝐶

𝐸1𝑌 = 𝐸1 𝑆𝑒𝑛𝜃1 = −8.20 𝑗 𝑁/𝐶

𝐸2𝑥 = 𝐸2 𝐶𝑜𝑠90° = 0

𝐸2𝑌 = 𝐸2 𝑆𝑒𝑛90° = 11.25 𝑗 𝑁/𝐶

𝐸3𝑥 = 𝐸3 𝐶𝑜𝑠𝜃2 = −2.17 𝑖 𝑁/𝐶

𝐸3𝑌 = 𝐸3 𝑆𝑒𝑛𝜃2 = 5.42 𝑗 𝑁/𝐶

𝐸𝑝 = −4.8 𝑖 + 8.47 𝑗 𝑁/𝐶 𝑬𝒑 = 𝟗. 𝟗𝟕 𝑵/𝑪 Para (2.0 , 0) 𝐸1 =

𝐾𝑞1 9 ∗ 109 4 ∗ 10−9 = = 5.76 𝑁/𝐶 𝑟1 2 2.5 2

𝐸2 =

𝐾𝑞2 9 ∗ 109 5 ∗ 10−9 = = 11.25 𝑁/𝐶 𝑟2 2 2.0 2

𝐸3 =

𝐾𝑞3 9 ∗ 109 3 ∗ 10−9 = = 18.75 𝑁/𝐶 𝑟3 2 1.2 2

𝐸𝑅 = −5.76 𝑖 + 11.25 𝑖 + 18.75 𝑖 𝑁/𝐶 𝐸𝑅 = 24.24 𝑖 𝑁/𝐶 𝑬𝑹 = 𝟐𝟒. 𝟐𝟒 𝑵/𝑪

9 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL LEY DE GAUSS Ejercicio 1. Una esfera pequeña cuya masa es 1.12 mg contiene una carga 19.7 𝜼𝑪 cuelga en el campo gravitatorio de la tierra de un hilo de seda que forma un ángulo de 27.4° con una lámina grande no conductora y uniformemente cargada. Calcule la densidad de carga uniforme 𝝇 para la lámina. + →

𝐹𝑥 = 0

+ ↑

𝐹𝑒 = 𝑇 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐹𝑒 = 𝑚𝑔

𝐹𝑦 = 0

𝑇 𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑔

𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃

𝑇=

𝑚𝑔 𝐶𝑜𝑠𝜃

𝜍=

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝐴𝑒𝑛𝑐

𝐸𝑞 = 𝑚𝑔 𝑇𝑎𝑛𝜃 𝐸 . 𝑑𝐴 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝐸𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑠(0) =

𝐸 2𝐴 =

𝜍𝐴 𝜀0

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

⇒

𝐸=

⇒

𝐸

𝑑𝐴 =

𝜍𝐴 𝜀0

𝜍 2𝜀0

𝜍 𝑞 = 𝑚𝑔 𝑇𝑎𝑛𝜃 2𝜀0 𝜍=

𝑚𝑔 𝑇𝑎𝑛𝜃 2𝜀0 2 1.12 ∗ 10−6 𝑇𝑎𝑛 27.4 8.85 ∗ 10−12 (9.8) = 𝑞 19.7 ∗ 10−9

𝝇 = 𝟓. 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝑪/𝒎𝟐

Ejercicio 2. Un cilindro infinitamente largo de radio a lleva una carga uniforme por unidad de volumen −𝝆𝟎 𝝆𝟎 > 0 y está rodeado por un cilindro conectado de radio b coaxial al cilindro como se muestra en la figura. Mediante la utilización de una superficie gaussiana apropiada. Determine el campo eléctrico para r < a , a < r < b , r > b

10 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL Para r < a 𝐸 . 𝑑𝐴 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝐸𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑠(180) =

−𝐸 2𝜋𝑟𝑙 =

𝜌= 𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

−𝜌0 𝜋𝑟 2 𝑙 𝜀0

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝑉𝑒𝑛𝑐

⇒ −𝐸

⇒

⇒

𝑑𝐴 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 = 𝜌 𝑉𝑒𝑛𝑐

𝜌 𝑉𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝑬=

𝝆𝟎 𝒓 𝑵/𝑪 ; 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝟐𝜺𝟎

𝜌=

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝑄𝑡 = 𝑉𝑒𝑛𝑐 𝑉𝑒𝑛𝑐

Para a < r < b 𝐸 . 𝑑𝐴 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝐸𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑠(180) =

−𝐸 2𝜋𝑟𝑙 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

−𝜌0 𝜋𝑎2 𝑙 𝜀0

⇒ −𝐸

⇒

𝑬=

𝑑𝐴 =

⇒

𝑄𝑡 = 𝜌𝑉𝑒𝑛𝑐

𝜌 𝑉𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝝆𝟎 𝒂𝟐 𝑵/𝑪 ; 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝟐𝒓𝜺𝟎

Para r > b

Como el conductor está conectado a tierra, suben electrones para neutralizar la carga +𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 por lo tanto la carga encerrada es nula, entonces. 𝑬=𝟎

11 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL Ejercicio 3. Para la configuración mostrada en la figura suponga que a = 5 cm, b = 20 cm, c = 25 cm. Suponga también que se mide el valor del campo eléctrico en un punto a 10 cm del centro igual a 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵/𝑪 radialmente hacia adentro en tanto que le campo eléctrico en un punto a 50 cm del centro es 𝟐. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟐 𝑵/𝑪 radialmente hacia afuera. A partir de esta información encuentre la carga neta sobre la esfera conductora hueca.

a b (Exprese los resultados en función de a, b, 𝝆, r). b) Usando la Ley e Gauss, calcule el campo eléctrico a una distancia r desde el eje del cilindro donde a < r < b Para a) 𝐸 . 𝑑𝐴 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

;

𝜌=

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑉𝑒𝑛𝑐 𝑉𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜌 𝑉𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜌 𝜋𝑏 2 𝑙 − 𝜋𝑎2 𝑙 = 𝜌𝜋𝑙 𝑏 2 − 𝑎2 (𝐶) 𝐸𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑠(0) =

𝐸 2𝜋𝑟𝑙 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

⇒

𝜌𝜋𝑙 𝑏 2 − 𝑎2 𝜀0

𝐸

𝑑𝐴 =

⇒

𝑬=

𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜀0

𝝆𝝅𝒍 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝟐𝒓𝜺𝟎

; 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂

Para b) 𝐸 . 𝑑𝐴 =

𝜌=

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝑉𝑒𝑛𝑐

𝑑𝑄 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0 ⇒ 𝜌=

𝑑𝑞 𝑑𝑉

𝜌𝑑𝑉

𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑙 − 𝜋𝑎2 𝑙 = 𝜋𝑙 𝑟 2 − 𝑎2

;

𝑟

𝑞𝑒𝑛𝑐 = 2𝜋𝜌𝑙

𝑟𝑑𝑟 = 2𝜌𝜋𝑙 𝑎

𝑟2 2

⇒

𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟𝑙 𝑑𝑟

𝑟 𝑎

𝑞𝑒𝑛𝑐 = 𝜌𝜋𝑙 𝑟 2 − 𝑎2 (𝐶) 𝐸𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑠(0) =

𝐸 2𝜋𝑟𝑙 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝜌𝜋𝑙 𝑟 2 − 𝑎2 𝜀0

⇒

𝐸

⇒

𝑑𝐴 =

𝑬=

14 ERICK CONDE

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝝆𝝅𝒍 𝒓𝟐 − 𝒂𝟐 𝟐𝒓𝜺𝟎

; 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂

FÍSICA C ESPOL ENERGÍA Y POTENCIAL ELÉCTRICO Ejercicio 1. Un bloque de 4 Kg con una carga Q con 50 𝒖𝑪 se conecta a un resorte para el cual k= 100 N/m, el bloque esta sobre una pista horizontal sin fricción, el sistema está inmerso en un campo eléctrico uniforme de magnitud 𝑬 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑽/𝒎 y su dirección es como se indica en la figura. Si el bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no está deformado (x = 0).

a) Que distancia máxima se alargará el resorte. b) Cuál será la posición de equilibrio del resorte. c) Muestre que existe M.A.S y determine su periodo. Para a) 𝐸𝑖 = 𝐸𝑓 0 = 𝑈𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑈𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 1 0 = 𝑘 𝑥𝑚 á𝑥 2

2

1 + −𝑄𝐸𝑑 = 𝑘 𝑥𝑚 á𝑥 2

2

− 𝑄𝐸𝑥𝑚 á𝑥

1 0 = 𝑘𝑥𝑚 á𝑥 − 𝑄𝐸 2 𝑥𝑚 á𝑥 =

2𝑄𝐸 2 50 ∗ 10−6 5 ∗ 105 = 𝑘 100

𝒙𝒎á𝒙 = 𝟎. 𝟓 𝒎 Para b) + →

𝐹𝑥 = 0

𝐹𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 − 𝐹𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 0 𝑄𝐸 − 𝑘𝑥𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 = 0 𝑥𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 =

⇒ ⇒

𝐹𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 = 𝐹𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑄𝐸 = 𝑘𝑥𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜

𝑄𝐸 50 ∗ 10−6 5 ∗ 105 = 𝑘 100

𝒙𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 = 𝟎. 𝟐𝟓 𝒎

15 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL Para c) 𝐹 = 𝑚𝑎 𝐹𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 − 𝐹𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝑚

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

𝑄𝐸 − 𝑘 𝑥𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 + 𝑥 = 𝑚

−𝒌𝒙 = 𝒎

−

𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒕𝟐

⇒

𝑘 𝑚

𝑇=

𝜔=

𝑘 𝑚

;

⇒

𝑄𝐸 − 𝑘𝑥𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 − 𝑘𝑥 = 𝑚 0

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

∴ 𝑬𝒔 𝑴. 𝑨. 𝑺

𝑘 𝑑2 𝑥 𝑥= 2 𝑚 𝑑𝑡

𝜔2 =

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

;

−𝜔2 𝑥 =

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

2𝜋 𝜔

𝑇 = 2𝜋

𝑚 4 = 2𝜋 𝑘 100

𝑻 = 𝟏. 𝟐𝟔 𝒔𝒆𝒈

Ejercicio 2. Una carga de -3 𝒖𝑪 esta fijo en un determinado punto desde una distancia de 4,5 cm, una partícula de 7,2 gr y carga -8𝒖𝑪 es disparada con una velocidad inicial de 65 m/seg directamente hacia la carga fija ¿Qué distancia recorre la partícula antes de que su velocidad sea cero.

Δ𝐾 = 𝑈𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐 𝑎 1 1 𝑚 𝑣𝑓 2 − 𝑚 𝑣𝑖 2 = −𝑞𝐸𝑑 2 2 1 − 𝑚 𝑣𝑖 2 = −𝑞 2

1 𝑚 𝑣𝑖 2 = −𝑞 2

𝑥

0

;

𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑥

𝐸 𝑑𝑥 0 𝑟𝑓

𝐾𝑄 𝑑𝑥 𝑟2

1 1 𝑚 𝑣𝑖 2 = 𝐾𝑄𝑞 − 2 𝑟

⇒

𝑟𝑓

⇒ 𝑟0

1 𝑚 𝑣𝑖 2 = −𝑞 2

𝑟0

𝐾𝑄 (−𝑑𝑟) 𝑟2

1 1 1 𝑚 𝑣𝑖 2 = 𝐾𝑄𝑞 − 2 𝑟0 𝑟𝑓

16 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL 1 1 𝑚 𝑣𝑖 2 = − 𝑟𝑓 𝑟0 2𝐾𝑄𝑞

⇒

1 𝑚 𝑣𝑖 2 − 𝑟0 2𝐾𝑄𝑞

𝑟𝑓 =

−1

=

1 7.2 ∗ 10−3 65 2 − 0.045 2 9 ∗ 109 3 ∗ 10−6 8 ∗ 10−6

−1

𝑟𝑓 = −0.0207 ; el resultado nos queda negativo debido a que ”dr” es un vector, pero sabemos que dx = - dr, entonces 𝒙𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟎𝟕 𝒎

Ejercicio 3. Considere que una carga de +3 𝒖𝑪 es colocada en el punto A. ¿Cuánto trabajo se requiere para llevarla desde el punto A hasta el punto B del rectángulo de dimensiones 2 cm x 10 cm?

Δ𝑈 = −𝑊

;

Δ𝑉 =

Δ𝑈 𝑞

Δ𝑈 = Δ𝑉 𝑞 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 𝑞 𝑉𝐴

𝑞1 𝑞2 𝑞1 𝑞2 Δ𝑈 = 𝑞 𝐾 + 𝐾 − 𝐾 + 𝐾 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎

= 𝑞𝐾

𝑉𝐵

Δ𝑈 = 3 ∗

10−6

Δ𝑈 = −7.56 𝐽

9 ∗ 109 1 ∗ 10−6 ⇒

−

𝑞1 𝑞2 𝑞1 𝑞2 + − + 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎

5 2 5 2 + − + 0.02 0.1 0.1 0.02

𝑾 = 𝟕. 𝟓𝟔 𝑱

Ejercicio 4. Una carga puntual “q” es colocada en reposo en el punto “p” sobre el eje de un anillo con carga uniforme q y radio R. Cuando la carga se libera, esta se mueve a lo largo del eje x, conforme lo muestra la figura. Encuentre una expresión para la velocidad final que adquiere esta carga puntual luego de moverse una distancia “x”, desprecie efectos gravitacionales.

17 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL 𝐸𝑖 = 𝐸𝑓 𝑈𝑖 + 𝐾𝑖 = 𝑈𝑓 + 𝐾𝑓

⇒

− 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = Δ𝑈 Δ𝑉 =

𝐾𝑖 − 𝐾𝑓 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖

⇒

Δ𝑈 = −Δ𝐾

Δ𝑈 Δ𝐾 =− 𝑞 𝑞 𝑚 𝑣𝑓 2 1 𝑚 𝑣𝑓 2 − 𝑣𝑖 2 = − 2𝑞 2𝑞

Δ𝑉 = − 𝑞 𝑟

𝑉=𝐾

⇒

𝑑𝑉 = 𝐾

𝐾

𝑑𝑉 =

𝑅2

𝑉𝑞 − 𝑉𝑝 = −

+

𝑚 𝑣𝑓 2 2𝑞

𝐾𝑞 𝑅2 + (𝑅 + 𝑥)2 𝟐𝑲𝒒𝟐 𝒎

𝒗𝒇 =

𝑑𝑞

𝑑2

−

𝑑𝑞 𝑅2 ⇒

; 𝐾𝑞

𝟏 𝟐𝑹

2𝑅

−

+ 𝑑2 𝑉=

𝑉𝑞 =

=−

𝐾𝑞 𝑅2

𝐾𝑞 𝑅2

+ (𝑅

+ 𝑥)2

;

𝑉𝑝 =

𝐾𝑞 𝑅2

+ 𝑅2

𝑚 𝑣𝑓 2 2𝑞 𝟏

𝑹𝟐

+ 𝑑2

+ (𝑹 + 𝒙)𝟐

𝒎/𝒔𝒆𝒈

Ejercicio 5. ¿Cuál de las siguientes premisas es correcta? a) Si el campo eléctrico es cero en algún punto del espacio, el potencial eléctrico debe ser también cero en dicho punto b) Si el potencial eléctrico es cero en algún punto del espacio, el campo eléctrico debe ser cero también en dicho punto c) Las líneas del campo eléctrico apuntan hacia las regiones donde el potencial es más alto d) En electroestática, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial. Para a) 𝑑𝑉

𝐸= ; Por esta definición nos dice, que si el campo eléctrico es cero, el potencial eléctrico no necesariamente es 𝑑𝑟 cero, si no que puede ser una constante Para b) 𝑉=𝐾

𝑄 𝑟

𝑉1 = 𝐾

(𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙)

𝑞1 𝑑

;

𝑉2 = 𝐾

𝑞2 𝑑

Si el campo eléctrico es cero, el potencial eléctrico es cero

18 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL Para c) Las líneas del campo eléctrico apuntan donde el potencial decrece Para d) La superficie de un conductor es una superficie equipotencial

Ejercicio 6. Si tenemos una carga positiva de 1 C en el centro de una esfera de radio R ¿Cuál es el flujo a través de la superficie de la esfera. 𝐸 . 𝑑𝐴 =

ɸ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =

𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝑄𝑒𝑛𝑐 𝜀0

⇒

ɸ𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 =

𝟏 𝑵𝒎𝟐 /𝑪 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐

Ejercicio 7. Un alambre doblado en forma de semicírculo de radio “a” mantiene una carga eléctrica uniformemente a lo largo de su longitud, con densidad 𝝀. Calcule el potencial eléctrico el el punto O 𝑉=𝐾

𝑄 𝑟

𝑑𝑉 = 𝐾

𝑑𝑉 =

𝑉=

𝑑𝑄 𝜆𝑑𝑙 =𝐾 𝑎 𝑎 𝐾𝜆 𝑎

𝐾𝜆 𝜋𝑎 𝑎

𝑑𝑙

⇒

⇒

𝑉=

𝐾𝜆 𝑙 𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

𝑽 = 𝑲𝝀𝝅 𝑽

Ejercicio 8. Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el anillo mostrado en la figura la cual tiene una densidad de carga 𝝇 = 𝜶/𝑹 donde 𝜶 es una constante positiva. 𝒅𝒙 𝑹𝒆𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂𝒓 𝒒𝒖𝒆: = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 𝟐 𝟐 𝒙 +𝒂

19 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL 𝐴𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑅: 𝑉 = 𝐾𝑑𝑞

𝑑𝑉 =

𝑟2

+

𝐾𝜍𝑑𝐴

𝑑𝑉 =

𝑑𝑉 =

;

𝑅2

𝜍=

2𝐾𝜍𝜋𝑟𝑑𝑟

=

𝑟 2 + 𝑅2

𝑎

⇒

⇒

𝑑𝑞 = 𝜍𝑑𝐴

𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟𝑑𝑟

2𝐾𝜋𝑟𝑑𝑟 𝛼 𝑟 2 + 𝑅2 𝑟

𝑏

𝑑𝑉 = 2𝐾𝜋𝛼

𝑑𝑞 𝑑𝐴

𝐴 = 𝜋𝑟 2

;

𝑟 2 + 𝑅2

𝐾𝑄 𝑥 2 +𝑅 2

𝑑𝑟 𝑟2

+

𝑅2

= 2𝐾𝜋𝛼 𝑙𝑛 𝑟 + 𝑟 2 + 𝑅2

𝑏 𝑎

𝑉 = 2𝐾𝜋𝛼 𝑙𝑛 𝑏 + 𝑏 2 + 𝑅2 − 𝑙𝑛 𝑎 + 𝑎2 + 𝑅2 𝒃 + 𝒃𝟐 + 𝑹𝟐

𝑽 = 𝟐𝑲𝝅𝜶 𝒍𝒏

𝒂 + 𝒂𝟐 + 𝑹𝟐

𝑽

Ejercicio 9. Un alambre que tiene densidad lineal de carga uniforme 𝝀 se dobla de la forma indicada en la figura. Encuentre el potencial eléctrico en el punto O.

𝜆=

𝑑𝑞 𝑑𝑙

𝑑𝑉1 = 𝐾

⇒ 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑟 𝑑𝑞 𝜆𝑑𝑟 =𝐾 𝑟 𝑟 3𝑅

𝑑𝑉1 = 𝐾𝜆 𝑅

𝑑𝑟 = 𝐾𝜆 𝑙𝑛 𝑟 𝑟

3𝑅 𝑅

𝑉1 = 𝐾𝜆 ln⁡ (3) 𝑑𝑉2 = 𝐾 𝑑𝑉2 = 𝑉2 =

𝑑𝑞 𝜆𝑑𝑙 =𝐾 𝑅 𝑅 𝐾𝜆 𝑅

𝑑𝑙 =

𝐾𝜆 𝑙 𝑅 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

𝐾𝜆 𝜋𝑅 𝑅

𝑽𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝑲𝝀 𝐥𝐧 𝟑 + 𝑲𝝀𝝅 𝑽

20 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL Ejercicio 10. Un cilindro conductor de radio a tiene una carga uniformemente distribuida es su superficie 𝝆 Determine: a) El valor del campo eléctrico fuera del cilindro. b) La diferencia de potencial entre 2 puntos ubicados a una distancia 𝑹𝟏 y 𝑹𝟐 , fuera del cilindro medidos desde el eje del cilindro (𝑹𝟐 > 𝑹𝟏 ). Para a) 𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝐸 . 𝑑𝐴 =

𝐸𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑠(0) =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

2𝜌𝜋𝑎𝑙 𝜀0

𝐸 2𝜋𝑟𝑙 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝑉𝑒𝑛𝑐

⇒

𝑑𝐴 =

2𝜌𝜋𝑎𝑙 𝜀0

𝜌=

⇒

⇒

𝐸

𝑬=

𝑞𝑒𝑛𝑐 = 𝜌𝑉𝑒𝑛𝑐 = 𝜌 2𝜋𝑎𝑙

𝝆𝒂 𝑵/𝑪 ; 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂 𝜺𝟎 𝒓

Para b) Δ𝑉 = −𝐸𝑑 𝐵

Δ𝑉 = −

𝐸 . 𝑑𝑠 𝐴 𝑟2

𝐵

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −

𝐸 (−𝑑𝑟 ) = 𝐴

𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 =

𝜌𝑎 𝜀0

𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 =

𝑟1 𝑟2

𝑟1

𝜌𝑎 𝑑𝑟 𝜀0 𝑟

𝑑𝑟 𝜌𝑎 = ln 𝑟2 − ln 𝑟1 𝑟 𝜀0

𝝆𝒂 𝒓𝟐 𝒍𝒏 𝜺𝟎 𝒓𝟏

Ejercicio 11. Dos cascarones conductores esféricos y concéntricos están conectados por medio de un alambre delgado como se muestra en la figura, si una carga Q se pone en el sistema ¿Cuánta carga queda sobre cada esfera? a = 0.4 m b = 0.5 m Q = 10 𝒖𝑪

21 ERICK CONDE

FÍSICA C ESPOL Cuando se une por un alambre el potencial en la superficie de las dos esferas son iguales. 𝑉1 = 𝑉2

;

𝑄 = 𝑞1 + 𝑞2

𝑞1 𝑞2 =𝐾 𝑎 𝑏

⇒

𝑞1 𝑞2 = 𝑎 𝑏

𝑄 − 𝑞2 𝑞2 = 𝑎 𝑏

⇒

𝑄 = 𝑞2 1 +

𝐾

𝑞2 = 𝑄 1 +

𝑎 𝑏

−1

= 10 ∗ 10−6

𝒒𝟐 = 𝟓. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪

𝑎 𝑏 1+

0.4 0.5

−1

𝒒𝟏 = 𝟒. 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪

;

Ejercicio 12. Una esfera solida aislante de radio R tiene una densidad de carga volumétrica uniforme con carga total Q. a) Determine el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera, es decir (r > R). Considere V = 0 en el infinito. b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfera (r < R) Para a) ∆𝑉 = −

𝐸. 𝑑𝑟

𝐸 . 𝑑𝐴 =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0 𝑄 𝜀0

⇒

𝐸

⇒

𝐸=

1 𝑄 4𝜋𝜀0 𝑟 2

𝐸𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑠(0) = 𝑄 𝜀0

𝐸 4𝜋𝑟 2 =

𝑑𝐴 =

𝑄 𝜀0 ⇒

𝐸=

𝐾𝑄 𝑟2

𝑟

𝑉𝑟>𝑅 − 𝑉𝑟=∞ = −

𝐸𝑑𝑟 ∞

𝑟

𝑉𝑟>𝑅 = − ∞

𝐾𝑄 1 𝑑𝑟 = 𝐾𝑄 2 𝑟 𝑟

𝑟

⇒ ∞

𝑽𝒓>𝑅 =

𝑲𝑸 𝑽 𝒓

Para b) 𝐸 . 𝑑𝐴 =

𝜌=

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑒𝑛𝑐 = 𝑉𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑉𝑒𝑛𝑐

𝐸𝑑𝐴 𝐶𝑜𝑠(0) =

𝑞𝑒𝑛𝑐 𝜀0

⇒

𝑞𝑒𝑛𝑐 =

⇒

𝐸

𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑉 𝑉𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑐

𝑑𝐴 =

22 ERICK CONDE

𝑄𝑟 3 𝜀0 𝑅3

⇒

𝑞𝑒𝑛𝑐 =

𝑄 4 3 𝜋𝑟 4 3 3 𝜋𝑅 3

FÍSICA C ESPOL 𝐸 4𝜋𝑟 2 =

𝑄𝑟 3 𝜀0 𝑅3

⇒

𝐸=

1 𝑄𝑟 3 4𝜋𝜀0 𝑅3

⇒

𝐸=

𝐾𝑄𝑟 3 𝑅3

𝑟