Folleto Varias Variables de Moises Villena PDF

 

Vectores en

MOISES VILLENA

 R

3

 

1 1.1  1.2  1.3  1.4  1.5 

Definición Enfoque geométrico Igualdad Operaciones Aplicaciones Objetivos

Se persigue que el estudiante: •  Represente geométricamente un vector de  R 3 •  Determine magnitud y dirección de un vector. •  Sume vectores, multiplique por un escalar escalar a un vector, obtenga el productor escalar y el producto vectorial entre vectores •  Obtenga el área de un paralelogramo sustentadoselporvolumen dos vectores. •  Obtenga del paralelepípedo sustentado por tres vectores.

1

 

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 R

3

 

Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen definiciones y propiedades de los vectores en el espacio.

1.1 DEFINICIÓN

Un vector de  R 3   es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera: →

v = ( x, y, z )

 

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO Geométricamente a un vector de  R como un segmento de recta dirigido.

3

se lo representa en el Espacio

Suponga que se tienen los puntos P1 ( x1 , y 1 , z1 )   y P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 →

representación del vector v

hacia P2 tenemos una

 ⎯    ⎯→

= P1 P2 = z( x2 −  x1 ,  y 2 −  y 1 , z1 − z 2 )   P2   = ( x 2 , y 2 , z 2 ) →

v

P1   = ( x  1 ,  y 1 , z1 )

 y

 x

  Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.  z

 

P( x , y, z ) →

v

 y

 x

2

 

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 R

3

 

1.2. 1.2.1 1 Magnit Magnitud ud o no rma →

→

  , z ) . La m gnitud  o norm de v   Sea v = ( x,  y →

denotada como v , se define como: →

v

=

 x 2

+  y 2 +  z 2  

Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen. →

Para v

= ( x2 − x1 ,   y2 −  y 1 , z 2 − z1 )  sería: →

v

= ( x2 − x1 )2 +  ( y 2 −   y1 )2 + ( z 2 − z1 )2

 

1.2.2 Dirección →

  , z ) está definida por la La dirección  de v = ( x, y medida de los ángulo que forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes  x ,  y ,  z    z

→

γ 

v

 β   y

 x

 

Los ángulos α , α  ,  β   y γ   son llamados Án  Ángu gulo lo s Direc Di rectt ores. or es.

3

 

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 R

3

 

Observe que:  x

Cosα  =

→

 x

v

 y

Cos β  =

→

+  y +  z 2

 x

  2

+  y +  z

2

 y

=  x

v

2

 

2

 y

v

 y

2

=

→

Cosγ  =

 x

=

2

+  y +  z 2

 

2

Ejercicio Demostrar que cos α  + cos  β   + cos γ  2

2

2

=1 

1.2.3 1.2 .3 Sent Sentid ido o →

El sentido  de v lo define la flecha dibujada sobre el segmento de recta. 1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE  R 3 →

→

  Dos vectores v1  = ( x1 , y 1 , z1 ) y v2  = ( x2 , y 2 , z 2 ) son iguales si y sólo si  x1  =  x2  ,  y1  =  y2  y  z1  =  z 2   1.4 OPERACIONES 1.4.1 Sum Suma a →

→

3

Sean v1 y v2 dos vectores de  R   tales que →

→

v1  = ( x1 ,  y 1 , z1 )   y v2  = ( x2 ,  y 2 , z 2 ) entonces la →

→

→

→

suma de v1 con v2 , denotada como v1 +  v2 , se define como: →

 →

v1 + v2

= ( x1 +  x  2 ,  y1 +  y 2 , z1 + z2 )

 

4

 

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 R

3

 

1.4.1. 1.4 .1.1 1 Pro Propi piedades edades →

→

→

Sean v1 , v2 y v3 vectores de  R 3 , entonces: →

1. 

→

→

→

v1 + v2 =  v2 + v1 la suma es conmutativa  →

⎛ → → ⎞ ⎛ → → ⎞ → 2.  v1 + ⎜⎝⎝  v2 + v3 ⎠⎟ =  ⎜⎝⎝  v1 + v2 ⎠⎟ + v3 →

3. 

→

→

la suma es asociativa  →

→

∃ 0 ∈  R , ∀ v ∈ R  tal que v + 0  = v , 3

3

→

Donde 0 = (0,0,0 ) es llamado Vector Neutro  →

4. 

 

∀ v ∈ R

3

  → → →   →  ⎞ ⎛  3 ⎛   ⎞ , ∃⎜ − v ⎟  ∈ R tal que v + ⎜ − v ⎟ = 0 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠

 →  ⎞ ⎛  Donde ⎜ − v ⎟ ⎝   ⎠

→

es llamado Vector Inverso ditivo de v

  Geométricamente:

 z

  → →

v1  = ( x  1 ,  y 1 , z1 )

  →

   v 

  +

2

   v   1

→

v 2 

=

( x 2 ,  y 2 , z 2 )

 y

 x

→

 

→

Los vectores v1 y v 2 sustentan un paralelogramo, el vector de la diagonal mayor   es el Vector Suma  y el vector de la diagonal menor   es el Vector Diferencia.  

1.4. 1.4.2 2 Mult Multipl iplicació icación n por escalar →

Sea α ∈ R y  v

= ( x,  y  , z ) un vector de

3

 R  

entonces: →

α  v  

= (α  x  , α  y, α  z ) 5

 

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 R

3

 

1.4.2.1 1.4 .2.1 Propiedades Propi edades   → → → → ⎤ ⎡ ⎛   ⎞ = + ∀ ∈ ∀ ∈ + α   R , v , v  R α    v   v α  v α  v 1.  1 2 1 2⎥ ⎢⎣ ⎜⎝  1 2 ⎠⎟ ⎦ →   → → → 3⎡    β ) v = α  v + β  v ⎤ 2.  ∀α , β  ∈ R, ∀ v ∈ R ⎢(α  + ⎥⎦ ⎣ →   → → ⎤ 3 ⎡ ⎛   ⎞ ( ) = ∀ α  ,  β  ∈  R , ∀ v ∈  R α     β  v αβ  v ⎜ ⎟ 3.  ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝   ⎠ →

Cualquier vector de

 R

3

→

→

,   v = ( x,  y  , z ) ,  →

combinación lineal de los vectores i →

v

 

3

= (1,0,0  )

puede ser expresado en →

→

,  j = (0,1,0)  y k  = (0,0,1)

= ( x, y, z ) =  x(1,0,0 ) +  y (0,1,0 ) +  z (0,0,1) →

v

→

→

→

=  x i +  y  j +  z k 

1.4. 1.4. 3. Produc Producto to Escalar. P Produ rodu cto Punt Punto o o Produc to Interno →

→

Sean v1  = ( x1 ,  y 1 , z1 ) y v2  = ( x2 ,  y 2 , z 2 ) vectores →

3

→

de  R . El Producto escalar de v1 con v2 denotado →

→

como v1 •  v2 se define como: →

 →

v1 • v2

 

=  x1 x  2   + y1 y2 +  z1 z2

Ejemplo →

→

= ( 3,1,−2  ) y v 2 =  (−  1,4,0) entonces

Si v1

→

→

v1 • v 2

 

= (3)(− 1) + (1)(4) +  (− 2)(0) = −3 + 4 + 0 = 1

 

1.4.3.1 Propiedades →

→

Sean v1 y v2 vectores de  R 3 . Entonces: →

→

→

→

1. v1 • v2 =  v2 • v1  

6

 

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 R

3

 

→

→ → → → → → ⎛   ⎞ 2. v1 • ⎜ v2 + v3 ⎟ =  v1 • v2 + v1 • v2 ⎝   ⎠

⎛ α v→ ⎞ • ⎛ β v→ ⎞   = αβ⎛ v→ • v→ ⎞ ⎜ 1 2⎟ 3. ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ ⎝   ⎠   →

Si v

= ( x, y  , z ) entonces: →  →

v • v = ( x, y, z ) • ( x  , y, z ) =  x

 

→2

→ →

→

Por lo tanto v • v  = v   o también v

→

=

2

+  y 2 + z 2 .

→

v  • v  

1.4. 1.4. 4 4.. Producto Product o Vectorial. Vectori al. P Prod roducto ucto Cruz →

→

Sean v1  = ( x1 ,  y 1 , z1 ) y v2  = ( x2 ,  y 2 , z 2 ) vectores →

3

de  R . El  Producto Vectorial  de →

→

v1 con v2

→

denotado como v1 ×  v2 se define como: →

 →

  v1× v2

= ( y1 z2 − z 1 y2 , −( x1 z2 −  x2 z 1 ), x1 y2 −  y1 x2 )

 

Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera fila: →

i

 j

k 

=  x1

 y1

 z1  

 x2

 y 2

 z 2

 →

v1 ×  v2

Ejemplo →

→

Sea v1 = ( 1, 2, −1  ) y v 2 =  (2  ,−1,0 ) entonces →

→

v1 × v 2

i

 j

=1

2

2

k 

  − 1 = −i − 2 j − 5k   

−1 0

7

 

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 R

3

 

1.4.4. 1.4 .4.1 1 Pro piedades. pi edades. →

→

→

Sean v1 , v2 y v3 vectores de  R 3   →  → ⎛  1.  El vector ⎜ v ×  v  ⎞⎟ es tanto perpendicu perpendicular lar a  ⎠ ⎝  1

→

2

→

v1  como a v 2

→  → ⎛  2.  El sentido del vector ⎜ v ×  v  ⎞⎟ se lo puede  ⎠ ⎝  1

obtener

2

empleando la mano derecha. →

Mientras los dedos se dirigen desde v1 →

hacia v2 , el pulgar indica la dirección de →  → ⎛  ⎜ v ×  v  ⎞⎟ .  ⎠ ⎝  1

2

→

→

v1×  v2

→

v2 • • →

v1

→

→ → ⎛  =  −⎜ v × v  ⎞⎟  ⎠ ⎝  → =0

→

 

3.  v1 × v2 →

 

2

→

4.  v1 ×  v1 →

1

→

→

→

→

5.  Si v1 // v 2 entonces v1 ×  v 2 = 0 → →   → → ⎛   ⎞ ⎛   ⎞ ⎛  6.  ⎜ α  v ⎟ × ⎜ α   v ⎟  = α  α  ⎜ v × v  ⎞⎟  ⎠ ⎝  ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ → → → →   → → → ⎛   ⎞ ⎛   ⎞ ⎛  7.  v × ⎜ v + v ⎟ = ⎜ v × v ⎟ + ⎜ v × v  ⎞⎟  ⎠  ⎠ ⎝   ⎠ ⎝  ⎝  → → →   → → → ⎛  8.  v × v = v  v − ⎜ v • v  ⎞⎟    ⎠ ⎝  1

1

1

2

2

3

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

3

2

1

2

De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, se obtiene un resultado muy importante:

8

 

Vectores en

MOISES VILLENA →

→ 2

v1 × v 2

=

→ 2 → 2

v1

→ 2 →

=

v1 v1

v1 × v 2

=

−

v2

v1

v2

→ 2 → 2

v1

v2

cos 2 θ   

[1 − cos θ ] 2

v2

→ 2 → 2

v1

 

2

→ 2 → 2

= → 2

v2

3

→ →  ⎞ − ⎛  v ⎜ 1 • v2 ⎟  ⎠ ⎝  2 2 ⎛  → →  ⎞ − ⎜ v1 v 2 cosθ ⎟ ⎝   ⎠

→ 2 → 2

=

→

v2

 R

2

sen θ 

Finalmente: →

→

v1 × v 2

=

→

→

v1 v 2 senθ 

 

1.5 APLICACIONES APL ICACIONES 1.5.1 →

CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO SUSTENTADO POR DOS VECTORES. →

Sean v1 y v2 dos vectores, no paralelos. Observe la figura:   v1 →

v1

θ 

 

h →

v2

→

v2

  →

Tomando como base a v2 , tenemos:  Area = base • altura

= Observe que senθ  =

h →

→

 

v2 h

  entonces  Area

=

→

→

v2

v1 senθ   

v1

Y por la propiedad del producto cruz: →

→

 Area = v1 ×  v 2  

9

 

Vectores en

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 R

3

 

Ejemplo 1 Hallar el área del triángul triánguloo sust sustentado entado por los vectores

→

v1

= ( 1, 2,−1) y

→

=  (2,−1, 0)   SOLUCIÓN: v2

→

→

El área del tri triángu ángulo lo sustentado por dos vectores v1 y v 2 es la mitad del área del paralelogramo sustentado por los vectores, es decir: →

→

v1 × v 2  Area Triángulo = →

→

Como v1 × v 2

i

 j

=1

2

2

 

2

k 

  − 1 = −i − 2 j − 5k   

−1 0

entonces →

→

v1 × v 2  Area Triángulo

=

=

2

(− 1)2 + (− 2 )2 + (− 5)2 2

=

30 2

 

Ejemplo 2

Hallar el área del triángul triánguloo que tiene por vértices los punto puntoss (1,−2,0 ) , (1,1 ,1) y (− 2,0,1)   SOLUCIÖN: Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo. P2 (1,1,1)

  →

v1

P1 (1  ,−2,0)

→

En este caso, v1

P3 (  − 2,0,1)

→

v2

→

= P1 P2 = (1 − 1,  1 − (−2), 1 − 0) = (0,3,1)

→

→

  v 2 = P2 P3 = (− 2 − 1,  0 − (−2), 1 − 0 ) = (− 3,2,1)     Entonces, →

→

v1 × v 2

i

 j

k 

= 0 3  1 = i − 3 j − 9k    −3 2 1 →

→

v1 × v 2  Area Triángulo =

2

=

(1)2 + (− 3)2 + (9)2 2

=

91 2

 

10

 

Vectores en

MOISES VILLENA

1.5.2 →

 R

3

 

CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES →

→

Sean v1 , v2 y v3 tres vectores. Observe la figura.  

→

→

v1 ×  v 2

h

→

v3

h

→

v2

•

→

v1

→

→

 

Tomando como base el paralelogramo sustentado por v1 y v2 , la altura →

h del paralelepípedo será la proyección escalar v3

entonces:

→

→

sobre v1 ×  v2 ,

Volumen =  Area   base × altura   →

→

1

2

Donde  Area base = v ×  v  

→

altura = h = Pr    oy →

v3

→

v1 ×v2

⎛ v→ × v→ ⎞ • v→ ⎜ 1 2⎟ 3   = ⎝  →  ⎠→ v1 × v 2

Por tanto. →

→ → →  ⎞ ⎛  ⎜v × v ⎟ • v ⎝  1 2 ⎠ 3 → → v1 × v2

→

Volumen = v1 × v2

 

Finalmente, simplificando resulta: →

→

→

Volumen = ⎛  ⎜ v1 × v2  ⎞⎟ • v3  

⎝ 

 ⎠

Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO →

→

→

ESCALAR de los vectores v1 , v 2 y v 3 , y su interpretación es el volumen del →

→

→

paralelepípedo sustentado por los vectores v1 , v2 y v 3 . Observe además que no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.  

11

 

Vectores en

MOISES VILLENA

 R

3

 

Ejemplo Hallar el volum volumen en del paralelepí paralelepípedo pedo sust sustentado entado por los vectores →

= ( 2,0,−1)  y SOLUCIÖN. v2

→

v1

= (1,−2,1) ,

→

v3   = (1,2,3) .

Por lo definido anteriormente, →

→

→

Volumen = ⎛  ⎜⎜ v1 × v2 ⎞⎟⎟ • v3

 ⎠

⎝ 

1

2

1

= 2   −0 1

− 1 = 2 + 14 + 4 = 20u 3  

2

3

Ejercicios propuestos →

1. Sean los vectores V 1

→

= 3iˆ − 2  jˆ + 4k ˆ y V 2 = 3iˆ  + 3 jˆ − 2k ˆ . →

→

a) Determ Determinar inar la proyección vectorial de V 1 sobre el vector V 2 . →

→

b) Calcular la componente de V 1 perpendicular a V 2 .

Resp.

 ⎯   ⎯→ → a) Pr oy →  V 1 V 2

=(− 15 ,− 15 , 10 )   22 22 22

b)

→ = −3iˆ +  2 jˆ −  B k ˆ . Calcule los valores de  A y → =  A iˆ − 5 jˆ + 2k ˆ y  B 2. Sean los vectores  A  x  z  x → →  B z para los cuales  A× B  es paralelo a:

a) al eje  x

b)   al eje

Resp. a)  a)  A x = 15    B z = 54   2

b)  A x

y  = 152  

 B z

= 54  

3. Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6)

Resp.   Area = 4. Dados tres vectores V 1  = (5,2,6)  , V 2

174 2

 

=  (−1,8,3)   ,

V 3

=  (2,−7,4)  forman un tetraedro con Resp.  h =

vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen.

77 746

 

5. Un tetraedro tiene por ba base se e ell tri triáng ángulo ulo de vértices (3 (3.-6,-1) .-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice

6. Sean u w3

y

v   vectores no nulos,  diferent diferentes es tales que: w1

=  12 (u + v )  . Hallar

938 5459

Resp.  h =

opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura.

w1 • ( w  2 × w3 )  

=  u + v ,

  w2

 

=  u − v ,

Resp.  0  

→ un vector diferente → es un vector cualquiera, el 7. Sea V  diferente de cero, entonces, dem demostrar ostrar que si U 

→ → → → → U • V  → vector W  = U −   V   es ortogonal a V  . → 2 V  →

→

→

→

→

→

8. Demuestre que si U  es ortogonal a V  y a W  , entonces U  es ortogonal a c V  + d    W  para escalares cualquiera

c y  d  . →

→

9. Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores  A ,  B   y → 1 ⎛ → → ⎞ ⎛ → → ⎞ ⎜⎜ B −  A ⎟⎟ × ⎜⎜ C −  A ⎟⎟   C  , es 2 ⎝   ⎠ ⎝   ⎠ → →

→ →

→ →

10.  Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas  A +  B ,  B +  C  y C +   A y es el doble →

→

→

del volumen del tetraedro de aristas  A ,  B   y C  . 11.  Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares.

12

 

Geometría Analítica en

MOISES VILLENA

 R3  

 

2 2.1  RECTAS EN  R 3   2.2  PLANOS 2.3  POSICIONES RELATIVAS 2.4  SUPERFICIES 2.4.1 SUPERFICIES CILINDRICAS 2.4.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN 2.4.3 CUADRICAS 2.5  COORDENADAS CILÍNDRICA. 2.6  COORDENADAS ESFÉRICAS. Objetivos

Se persigue que el estudiante: •  Encuentre ecuaciones de Rectas y Planos. •  Grafique Rectas y Planos. •  Encuentre distancias. •  Grafique Superficies Cilíndricas, de Revolución y Cuádricas.

13

 

Geometría Analítica en

MOISES VILLENA

 R3  

3

2.1 RECTAS RECTA S EN  R   2.1.1 DEFINICIÓN → 3

Sea P0   un punto de  R   y sea S    un vector de  R 3 . Una Recta  l  se define como el conjunto de puntos P  de  R 3  que →

 ⎯   ⎯→  ⎯→

contiene a P0  y tal que los vectores V  = P  0 P  son paralelos →

a S  . Es decir:

⎧ ⎩

  →

→

→

 ⎯  ⎯→

⎫ ⎭

l = ⎨ P( x, y, z ) / P0 ∈ l  y S // V  donde V  = P0 P ⎬   →

Al Vector S   se lo llama VECTOR DIRECTRIZ de la recta.  2.1.2 ECUACIÓN → Sea P0 ( x0 , y 0 , z 0 )  y sea el vector S  = (a, b, c ) .

 z

l

P( x ,  y  , z )

•

→

S  = ( a, b, c ) →

V 

•

P 0 ( x0  ,  y 0 , z 0 )

 y

 x →

→

El vector S    es paralelo al vector entonces: →

  →

V  = P0 P = ( x −   x0 , y −  y 0 , z − z 0 ) ,

→

V  = k    S   

Reemplazando resulta:

( x −  x

0

, y −  y0 ,  z −  z 0 ) = k (a, b, c )  

Por igualdad de vectores, se plantea lo siguiente:

14

 

 

Geometría Analítica en

MOISES VILLENA

 R

3

 

⎧( x −  x0 ) = ka ⎪ ⎨( y −  y0 ) = kb   ⎪( z −  z ) = kc 0 ⎩ Entonces tenemos:  x −  x0

=

 y −   y0

a

=

b

 z −  z 0

 

c

Ecuación de la recta definida por   un punto P0 ( x 0 ,  y 0  , z 0 )   y →

un vector paralelo

S  = (a , b, c )

En ocasiones anteriores ya se ha mencionado que dos puntos definen una recta, observe la figura:  z

l

• P ( x  , y  , z ) 2 2 2 2 P( x ,  y  , z )

•

→

→

V 

S 

•  y

P 1 ( x1 ,  y 1 , z1 )

 x

 

Ahora tenemos que, P0  = P1 ( x1 , y 1 , z1 )  y el vector directriz sería:

 ⎞ ⎛  ⎜ S  = P1 P2 =  x2 −  x1 , y 2 −  y1 , z 2 −  z1 ⎟ , ⎜ 123 123 123 ⎟  ⎠ ⎝  a b c →

  →

Entonces, se tiene:  x −  x1  x2 −  x1

=

 y −  y1  y 2 −  y1

=

 z −  z1  z 2 −  z1

 

Ecuación de la recta definida por dos puntos  puntos  

También se la llama ECUACIÓN C ANÓNICA O ECUACIÓN SIMÉTRICA .

15

 

 

Geometría Analítica en

MOISES VILLENA

 R

3

 

Si consideramos:  x −  x0

=

 y −  y 0

a

 z −  z 0

=

b

c

= t  

Tenemos:

⎧ x =  x0 + at  ⎪ ⎨ y =  y 0 + bt  

Ecuaciones Parámetricas

⎪⎩ z =  z 0 + ct  De lo anterior:

( x, y, z ) = ( x0 + at ,  y0 + bt ,  z0 + ct ) ( x, y, z ) = ( x0 , y0 , z0 ) + t (a, b, c )   123

1 4 24 3  ⎯   ⎯→

 ⎯   ⎯→

V 

S 

0

Se puede expresar de la siguiente manera: →

→

→

Ecuación Vectorial

V  = V 0 +   t  S   

Ejemplo Hallar las Ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al punto es paralela al vector

P(1,− 1 − 1)  y

→

S  = (1,0,2) .

SOLUCIÓN: De a cuerdo a lo definido:

⎧ x =  x 0 + at  = 1 + t  ⎪ ⎨ y =  y 0 + bt  = −1   ⎪ z =  z + ct  = 1 + 2t  0 ⎩

Ejercicios Propuestos 2 1 1. 

Halle ecuaciones paramétri paramétricas cas de la recta que contiene los puntos (2, 1, 3)

y

(1, 2, -1). 

Grafíquela 

⎧ x = 1 + t  ⎪ Resp.  l : ⎨ y = 2 − t    ⎪ z = −1 − 4t  ⎩ 2. 

Halle ecuaciones paramétri paramétricas cas de la recta que contiene los puntos (2, 1, 0)

y

(2,1, 5). 

Grafíquela. ¿Qué conclusió n puede emitir? ¿Cuál sería la ecuación del eje z?   3. 

Halle ecuaciones paramétri paramétricas cas de la recta que contiene los puntos (2, 0, 2)

y

Grafíquela. ¿Qué conclusió n puede emitir? ¿Cuál sería la ecuación d el eje y?   4. 

16

Escriba ecuaciones paramétricas de rectas paralelas al eje x.

(2,5, 2). 

 

Geometría Analítica en

MOISES VILLENA 5. 

Halle ecuaciones paramétri paramétricas cas de la recta que contiene los puntos (2, 3, 5)

 R3  

y

(2,2, 0). 

y

(2,2, 0). 

y

(0,2, 2). 

Grafíquela. ¿Qué concl usión puede emitir? 6. 

Halle ecuaciones paramétri paramétricas cas de la recta que contiene los puntos (0, 2, 2)

Grafíquela. ¿Qué concl usión puede emitir? 7. 

Halle ecuaciones paramétri paramétricas cas de la recta que contiene los puntos (2, 0, 2)

Grafíquela. ¿Qué concl usión puede emitir?

8. 

Halle ecuaciones ecua paramétricas étricas paralel ralela a al vector (4, 1,ciones -3). Grafíquela   de la recta que contiene el punto (-1, -6, 2) y es pa

⎧ x = −1 + 4t  ⎪ Resp. l : ⎨ y = −6 + t    ⎪ z = 2 − 3t  ⎩ 9. 

Halle ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta cuya ecuación es:

1 4

( x − 10) =

1 3

 y  =

1 2

z.

Resp. 

⎧ x = t  ⎪ l : ⎨ y = 2t    ⎪ z = −5t  ⎩

2.2 PLANOS 2.2.1 DEFINICIÓN → 3

Sea P0  un punto de  R  y sea n  un vector de  R 3 . Un Plano π   se define como el conjunto de puntos P  de  R 3  tales que →

→

n  es perpendicular al vector V   que se define entre P0  y P .

Es decir: → →  → → 3 ⎧ π  = ⎨ P( x, y, z ) / n• V  = 0 donde   V  = P0 P  y P0 ∈ R ⎫ ⎬  ⎩ ⎭

2.2.2 ECUACIÓN →

Sean n = (a, b, c )  y P0 ( x0 ,  y 0 , z 0 ) . Observe la figura:

17

 

Geometría Analítica en

MOISES VILLENA

 R

3

 

 z

→

n = ( a, b, c )

π 

→

P 0 ( x 0 ,  y 1 , z1 )

V  P( x ,  y, z )  y

 x

 

Entonces →

 →

n• V  = 0

(a, b, c ) • ( x −  x0 , y −  y0 ,  z −  z 0 ) = 0

 

Por tanto, tenemos: a( x −  x 0 ) + b( y −  y 0  ) + c( z − z 0 ) = 0  

Ecuación de un plano definida por UN PUNTO Y UN VECTOR PERPENDICULAR.

Si se simplifica, tenemos: a( x −  x0 ) + b( y −  y0 ) + c( z −  z 0 ) = 0 ax + by + cz + (− ax0 − by0 − cz0 ) = 0

 

Considerando d  = −ax0  − by  0 − cz0  , tenemos: ax + by +  cz + d  = 0  

18

ECUACIÓN GENERAL de un plano.

 

Geometría Analítica en

MOISES VILLENA

 

 R

3

 

Ejemplo Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos P3 (2  ,−1,0)   SOLUCIÓN:

P1 (1,2,3) , P2  (−1,0,1)   y

Con los tres puntos dados se forman dos vectores (no importa el orden) para de ahí obtener un vector perpendicular al plano buscado. →

→

→

n = V 1 ×   V 2  

P2  (− 1,0,1) →

V 2 P3 (2   ,−1,0) →

P1 (1,2,3)

V 1

 

EE En este caso: →

→

→

→

V 1 = P1 P3 = (2 − 1,−1  − 2,0 − 3) = (1,−3,−3)   V 2 = P1 P2 = (− 1 − 1,0  − 2,1 − 3) = (− 2,−2,−2)  

Entonces →

→

i

→

 j

k 

− 3 − 3 = ( 6 − 6 )i − (− 2 − 6) j + (− 2 − 6)k    −2 −2 −2

n = V 1× V 2 = 1

→

n = 0i + 8 j − 8k    {

a

 

{   {

b

c

Podemos tomar P0 ( x0 , y 0 , z 0 ) = P1 (1,2,3)  (puede ser cualquier otro punto del plano) Finalmente, empleando la ecuación:

a( x −  x0 ) + b( y −  y0  ) + c( z − z 0 ) = 0  

Resulta: 0( x − 1) + 8( y − 2) − 8( z − 3) = 0 8 y − 16 − 8 z + 24 = 0  y − z + 1 = 0  

 

Ejemplo 2 Demostrar que la ecuación del plano que tiene intersección A, B, C, respectivamente con los ejes  x ,  y ,  z  es

 x  A

+

 y  B

+

 z C 

= 1.

SOLUCIÓN:

19

 

Geometría Analítica en

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 R

3

Si el plano tiene intersección A, B, C con los ejes coordenados entonces tenemos tres puntos que pertenecen al plano y se puede determinar su ecuación como en el ejemplo anterior. Observe la figura:  z

P2 (0  , B,0 )

π  →

→

V 2 =  P 1 P2 P3 (0  ,0, C ) →

 y

→

V 1 =  P1  P3 P 1 (  A,0,0 )  x →

→

En este caso tomamos: V 1 =  (−   A, B,0 )   y V 2 =  (−  A,0, C )   Entonces: →

→

i

→

 j

k 

n = V 1× V 2 = −  A  B   0 = ( BC )i − (−  AC ) j + ( AB )k   

−  A 0 C  Si tomamos P0 ( x0 , y 0 , z  0 ) = P1 ( A,0,0)  y reemplazando en la ecuación a( x −  x0 ) + b( y −  y0  ) + c( z − z 0 ) = 0  

Resulta:  BC ( x −  A) +  AC ( y − 0) +  AB( z − 0) = 0  BCx −  ABC  +  ACy +  ABz = 0

 

 BCx +  ACy +  ABz =  ABC 

Dividiendo para  ABC     BCx

+

 ACy

+

 ABz

 ABC   ABC   ABC 

=

 ABC   ABC 

 

 x  y  z + + =1   A  B C 

2.2.3 CONDICIONES ESPECIALES.

Si el plano es PARALELO AL PLANO  xy , entonces sólo tendrá intersección →

con el eje  z , su vector normal será de la forma n = (0, 0, k ) . Su ecuación será de la forma  z = C . ¿POR QUÉ?. ¿Cuál es la ecuación del plano  xy ? PREGUNTA:  ¿Cómo serán las ecuaciones de los planos: paralelo al plano  zy ,

paralelo al plano  zx , paralelo al eje  z , paralelo al eje  x , paralelo al eje  y ?.

20