FOLLETO Matematica Basica Cursos Sabatinos

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LOGICA: La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones: lógica simbólica( o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal. La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

LÓGICA PROPOSICIONAL Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0). Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones. Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente: p 1 0

p' 0 1

A continuación se describen las principales operaciones lógicas entre dos proposiciones p,q y sus tablas de verdad: Conjunción: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p  q, y se lee "p y q". p 1 1 0

q 1 0 1

0 0

pq 1 0 0 0

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Disyunción: es aquella proposición que es verdadera cuando al menos una de las dos p o q es verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p  q, y se lee "p o q".

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pq 1 1 1 0

Disyunción exclusiva: es aquella proposición que es verdadera cuando una y sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en cualquier otro caso. Se escribe p  q, y se lee "p o q pero no ambas". Se usa muy poco. p q pq 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Condicional: es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p  q, y se lee "si p entonces q". p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Bicondicional: es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y falsa en caso contrario. Se escribe p  q, y se lee "si y sólo si p entonces q". p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pq 1 0 0 1

Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'.

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Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen; por ejemplo: p  p'. Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad; suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa". Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen; esta definición equivale a decir que la proposición p  q es una tautología. Por ejemplo, las proposiciones pq y q'  p' Son equivalentes. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco", y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo. Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos.

NÚMEROS NATURALES: PRINCIPIO DE INDUCCIÓN Admitivos como intuitivo el concepto de número natural; así, podemos enumerar los números naturales en orden creciente: N = { 1,2,3,4,5, ... } Cuando se quiere demostrar que una proposición relativa a números naturales es cierta, se necesita el Principio de Inducción: "Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que mS y que n S  n+1  S Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }" (es decir, la propiedad se verifica para todo número natural a partir de m; normalmente se usa con m = 1). Algunas veces, cuando se quiere demostrar que la proposición es cierta para n+1, es necesario usar que la proposición se verifica para todo k < n+1; en ese caso se utiliza el Principio de Inducción completa: "Sea S el conjunto de números naturales para los que la proposición p(n) es cierta; supongamos que mS y que m,m+1, ... ,n S  n+1  S Entonces S = { m,m+1,m+2, ... }"

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Ejercicio: pruébese por inducción la fórmula del binomio de Newton

(Indicación: utilícense las propiedades de los números combinatorios).

TEORÍA DE CONJUNTOS Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A. Ejemplos de conjuntos:      

 : el conjunto vacío, que carece de elementos. N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q : el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales. C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto: o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza. Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo: o A := {1,2,3, ... ,n} o B := {p Z | p es par} Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B. Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica). Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A; B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.

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El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A). Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos: Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}. Si a  A entonces {a}  (A). Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A  B := {a  A | a  B}. Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B := (A  B)   A Si A   (U), a la diferencia U  A se le llama complementario de A respecto de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano). Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: o '=U. o U ' = . o (A')' = A . o A  B  B'  A' . o Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}. Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B, es decir: A  B := { x | x  A  x  B}. Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B, es decir: A  B := {x | x  A  x  B}. Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A  B'. En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades : PROPIEDADES 1.- Idempotencia 2.- Conmutativa 3.- Asociativa 4.- Absorción 5.- Distributiva 6.- Complementariedad

UNION AA=A AB=BA A(BC)=(AB)C A(AB)=A A(BC)=(AB)(AC) A  A' = U

INTERSECCION AA=A AB=BA A(BC)=(AB)C A(AB)=A A(BC)=(AB)(AC) A  A' = 

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Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole. Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades: o A   = A , A   =  ( elemento nulo ). o A  U = U , A  U = A ( elemento universal ). o ( A  B )' = A'  B' , ( A  B )' = A'  B' ( leyes de Morgan ). Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados: A  B := { (a,b) : a  A  b  B} Dos pares (a,b) y (c,d) de A  B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica AB=CD(A=CB=D) Se llama grafo relativo a A  B a todo subconjunto G  A  B. Dado un grafo G relativo a A  B, se llama proyección de G sobre A al conjunto ProyAG := { a  A : (a,b)  G,  b  B} Análogamente se define la proyección ProyBG de G sobre B. Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos. Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto Ai , entonces se define el conjunto { Ai : i  I } y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { Ai } i  I . De forma análoga se define una familia de elementos ( ai ) i  I . Dada una familia de conjuntos { Ai } i  I se definen: o o o

 i I Ai := { a : a  Ai ,  i  I }  i  I Ai := { a : a  Ai ,  i  I }  i  I Ai := { (ai) : ai  Ai ,  i  I }

Las propiedades de la unión e intersección siguen siendo válidas para familias de conjuntos, y en particular las leyes de Morgan : (  i  I Ai )' =  i  I A'i

,

(i  I Ai )' = i  I A'i

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Contenido: - Diagramas de Venn. - Leyes del álgebra de conjuntos. Competencias: - Representa gráficamente conjuntos de la forma adecuada. Utiliza la teoría de conjuntos en situaciones reales. Objetivos:    

Ilustrar correctamente las operaciones de conjuntos en diagramas de Venn. Aplicar adecuadamente las leyes del álgebra de conjuntos a través de ejemplos y ejercicios. Desarrollar las habilidades de construir diagramas de Venn y operaciones con las leyes del álgebra de conjuntos a través de la solución de ejercicios propuestos. Mostrar interés, ética y estética en la realización de las tareas asignados.

Desarrollo. Al Estudiar conjunto y las relaciones entre los mismos, es útil algunas veces representar a través de Diagramas los conjuntos. Diagramas de Venn: son figuras planas cerradas; normalmente, el conjunto universal se representa por el interior de un rectángulo y los otros se representan por discos incluidos en el rectángulo. Nota: algunas veces es conveniente sombrear las áreas para representar al conjunto o las operaciones indicadas de conjunto. Ejemplo 1: Sean U  a, b, c, d , e, f , g ; A  a, c, e, g, B   a, b, c, d , e y C  b, e, f , g ; Represente gráficamente en diagramas de Venn cada una de las siguientes operaciones: 1) A B . Rpta A  B  a, b, c, e, g . 1) U A B 2) C  B Rpta C  B   f , g. a b c 3) B  C Rpta B  C  b, e. g e d 4) C C

Rpta C C  a, c, d .

5) B  C

Rpta. B  C  a, c, d , f , g. U

2)

B

U

C f g

3)

B

C b e

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4)

U

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a

U

5)

C

C f

a c d

d

c

B

g

Álgebra de conjuntos. Las operaciones con conjuntos poseen propiedades similares (pero no idénticas) a las operaciones con números. El conocimiento y empleo de estas propiedades es importante, por cuanto permite simplificar considerablemente ciertas operaciones en apariencia complicadas. Las propiedades fundamentales de las operaciones con conjuntos se presentan en el texto base en el recuadro de la página XXXVI. Ejemplo 2. Represente gráficamente el conjunto A  ( B  C ) Solución: Primero se sombrea a A con rayas inclinadas hacia la derecha arriba, y luego a B  C con rayas inclinadas hacia la izquierda, ahora, A  ( B  C ) es el área donde se cruzan las líneas (formando cuadritos).

A

B

A

B

C

AyB C

C

Ejemplo 3

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Ejemplo 3. Considere los conjuntos A  1,2,4,6,7,8,9, B  1,3,5,7,.9 y C  2,4,6,8 demuestre que ( A  B)  C  A  ( B  C ) Solución: I) A  B  1,2,4,6,7,8,9 y ( A  B)  C  1,2,3,4,5,6,7,8,9 II) B  C  1,2,3,4,5,6,7,8,9 y A  ( B  C )  1,2,3,4,5,6,7,8,9  ( A  B)  C  A  ( B  C )

Contenido: - Diagramas de Venn. - Leyes del álgebra de conjuntos. Competencias: - Representa gráficamente conjuntos de la forma adecuada. Utiliza la teoría de conjuntos en situaciones reales. Objetivos:   

Aplicar adecuadamente las leyes del álgebra de conjuntos a través de ejercicios. Desarrollar las habilidades de construir diagramas de Venn y operaciones con las leyes del álgebra de conjuntos a través de la solución de ejercicios propuestos. Mostrar interés, ética y estética en la realización de las tareas asignados.

Guía de ejercicios para actividad . I)

Sean

A  3,4,5,6, B  1,2,3,4, C  1,4,6,7 y

U  1,2,3,4,5,6,7,8,9

represente a través de diagramas de Venn las siguientes operaciones.

1) A B

4) ( BC )

2) A  C

5) ( A  C )

3) B  C

6) ( B  C )

II)

Suponga dados los conjuntos A, B y C no vacíos; use diagramas de Venn para ilustrar los resultados obtenidos al efectuarlas operaciones indicadas en las expresiones dadas.

1) A B

6) A  B

2) A B

7) A  B

3) A B

8) ( A  B)  ( A  C ) 11

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4) A B

9) ( A  B)  C

5) ( A  B)  C

10) A  B

Contenido: - Conjuntos, operaciones, Leyes del álgebra de conjuntos. Competencias: Representa conjuntos de forma adecuada. o Opera los conjuntos adecuadamente. o Identifica tipos de conjuntos, su forma de presentación y los representa gráficamente. o Interpreta leyes de de los conjuntos. Objetivos:  Desarrollar las habilidades en la construcción y representación de los diagramas de Venn y operaciones con las leyes del álgebra de conjuntos.  Desarrollar habilidades de comunicación, tolerancia en la interacción del subgrupo y subgrupo – docente.  Mostrar actitud de responsabilidad ética y estética durante la realización del trabajo grupal. Descripción del trabajo grupal I) Dado los siguientes conjuntos U  x / x es un dígito A  x / x U ; x  2 ; B  2,5,8; C  2,4,6,7,8 y D  1,3,5,8,9 Diga el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a) 2 A _____

b) 3,8  D _____

c) 3,4  C _____

d) 5 B _____

II) Represente los siguientes conjuntos en un diagrama de Venn. U  x / x es una letra del alfabeto hasta i A  a, c, d , e; B  c, f , g , h, C  b, c, e, i III) Determine el conjunto potencia del siguiente conjunto G  1,5,7,9 IV) Identifique las siguientes leyes en el álgebra de conjuntos. a) A  B  B  A : _________________________________________ b) ( AC )C  A _______________________________________________ c) A  A  A ______________________________________________

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d) A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ) _______________________________ V) Dados los siguientes conjuntos U  x / 6  x  17; A  x / x  9  x  13; B  x / 11  x  14 y C  x / x esimpar  Determine las siguientes operaciones de conjuntos a) C C  A b) AC  C c) A C d) C C  A * e) A  ( B  C ) * f) AC  BC VI) Dados los siguientes conjuntos verifique las leyes: U  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, M  3,4,5,6,8, N  2,4.6,8, P  1,2,3,4 a) M  ( N  P)  M  N   ( M  P b) ( N  P)C  N C  P C

* Son alternativos

ALGEBRA TEMA: Ecuaciones con una incógnita. CONTENIDO:  Ecuaciones lineales.  Ecuaciones cuadráticas.  Ecuaciones con radicales y de tipo cuadrático.  Ecuaciones con valor absoluto y ejercicios. COMPETENCIA: Resuelve ecuaciones a través de enfoque algebraico. OBJETIVOS:  Comprender los conceptos de ecuaciones lineales y cuadráticas, ecuaciones con radicales y de tipo cuadrático y ecuaciones con valor absoluto.  Adquirir habilidades en la interpretación de los diferentes tipos de ecuaciones con una incógnita y su solución.  Aplicar los diferentes métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.  Mostrar interés y disposición en la resolución de los ejercicios planteados.  Respetar la participación y opinión de los compañeros durante el desarrollo de la clase. DESARROLLO: Ecuaciones con una incógnita Ecuación: es una afirmación de que dos expresiones son iguales. Ejemplos: Solución o raíz de una ecuación: es cualquier número que sustituido en la ecuación la convierte en una proposición verdadera. Resolver una ecuación significa encontrar sus soluciones. 13

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Ecuaciones lineales con una incógnita. Una ecuación de la forma ax +b = 0, a 0 donde a y b son números reales, se llama ecuación lineal. La ecuación lineal ax +b 0, a 0 tiene exactamente una solución . Ejemplo 1: resuelva 5y -3 = y +9 Solución: 5y –y = 9+3 4y = 12

Comprobación 5(3) -3 = 3+9

15 -3 = 12 La solución es y = 3.

12 = 12

Ejemplo 2: resuelva

Comprobación

Solución: 4r = -3 +3

2(0)2 – 3 = - 3 -2[2(0) – (0)2] -3 = -3

la solución es r = 0. Ejemplo 3: resuelva Solución: multiplicando a ambos lados por (x +3), obtenemos: 2x – 4 = 2 + 3(x+3) 2x – 4 = 2 + 3x+9 X = - 15 Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática de la forma a + bx +c =0, a 0 donde a, b,c son números reales se llama ecuación cuadrática. Esta ecuación tiene a lo sumo dos raíces.  Métodos para resolver una ecuación cuadrática:  Factorización.  Completando cuadrado.  La fórmula general. Ejemplos de factorización: Resuelva: -60 =-7x Solución: Ordenando, +7x – 60=0 (x + 12)(x – 5) =0 X +12 =0 ν X–5=0 La soluciones son x1 = - 12 y x2 = 5. La comprobación dejarla de tarea. Ejemplo de completando cuadrado Resuelva: + 2x – 2 = 0 Solución: +2x+1 = 2+1 =3 X+1 = se obtiene X1 = -1 y X2 = -1 Resuelva : 14

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Solución :

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completando cuadrado

Aplicando raíz ambos lados de la ecuación se obtiene K+ = La fórmula general:

, las soluciones son K1 = - 1 y K2 = -

Si a 0, entonces las raíces de a + bx +c =0 están dadas por . La naturaleza de las raíces está determinada por , el cual se llama discriminante. Si , la ecuación tiene dos raíces reales diferentes. Si , la ecuación tiene dos raíces reales iguales. Si , la ecuación no tiene dos raíces reales. Ejemplo de la fórmula general Resuelva +6x +4 =0 Solución: a = - 9, b = 6, c = 4 sustituyendo los valores de a, b y c en la fórmula general = Las soluciones son X1 = y X2 = Nota: verificar las soluciones de la ecuación. Ecuaciones con radicales Sugerencias para resolver ecuaciones con radicales:  Aislé el radical más complicado a un lado de la ecuación.  Elimine ese radical elevando ambos lados de la ecuación a una potencia apropiada.  Repita los pasos anteriores hasta que se hayan eliminado todos los radicales de la ecuación.  Resuelva la ecuación resultante y verifique las respuestas. Ejemplos de ecuaciones con radicales Resuelva : Solución:

elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: , de lo anterior resulta x+1 = 9 +18x + 9

, ordenando

9 +17x +8 = 0, resolviendo la ecuación cuadrática resulta x1 = -1 y x2 = Nota: verificar las soluciones de la ecuación Resuelva : 15

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Solución:

elevando ambos miembros a la potencia 4 se obtiene: , de lo anterior resulta

= 16

Resolviendo la ecuación cuadrática resulta z = Nota: verificar las soluciones de la ecuación Resuelva : Solución:

elevando ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: =

, de lo anterior resulta 2u + 2

procedimiento nuevamente, se obtiene potencia 2 se obtiene:

=-

+ 1 = u +1. Aplicando el

. Elevando ambos miembros a la

, de lo anterior resulta 4u =

. Ordenando,

Resolviendo la ecuación cuadrática resulta u1 =0 y u2 = 8 Nota: verificar las soluciones de la ecuación Ecuaciones de tipo cuadrático Ciertas clases de ecuaciones pueden transformarse en ecuaciones cuadráticas por medio de una apropiada sustitución. Los ejemplos ilustran esta técnica. Resuelva: Solución: , haciendo r = , tenemos la ecuación cuadrática -7r – 8=0. Las soluciones de esta ecuación cuadrática son r1 = 8 y r2 = -1. Ya que r = , tenemos =8 y = -1, elevando a la quinta ambos miembros de la ecuaciones, obtenemos x1 = 32,768 y x2 = -1. Nota: verificar las soluciones de la ecuación Resuelva: Solución : ecuación z – 6

, haciendo z = - 16 = 0, haciendo un orden adecuado z – 16 = 6

, tenemos la y elevando

2 ambos miembros a la potencia 2 se obtiene: . De lo anterior resulta - 68z + 256 = 0, las soluciones de esta ecuación cuadrática son z 1 = 64 y z2 = 4. Ya

que z =

, tenemos

= 64 y = 4 elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuaciones y resolviendo, obtenemos x1 = 4,098 y x2 = 18. Nota: verificar las soluciones de la ecuación Ecuaciones con valor absoluto.

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De la definición de valor absoluto de un numero (véase sección 1.2 pág. 13 – 14 del dosier) se deduce que para cualquier número real positivo a, |X| = a si y sólo si x = a o x = - a. Ejemplos de ecuaciones con valor absoluto Resuelva : | 4 – 3x| = 8 Solución: La ecuación dada equivale a dos ecuaciones: 4 – 3x = 8 o 4 – 3x = - 8 -3x = 4 o -3x = - 12 Entonces, las respuestas son y 4. Por sustitución se puede verificar que ambas satisfacen la ecuación dada. Resuelva : |4x – 3| = 2x +3 Solución: La ecuación dada equivale a dos ecuaciones: 4x – 3 = 2x + 3 o 4x – 3 = - (2x +3) 4x – 2x = 3 + 3 o 4x + 2x = - 3 + 3 2x = 6 o 6x = 0 Entonces, las respuestas son 3 y 0. Por sustitución se puede verificar que ambas satisfacen la ecuación dada. Ejercicios para la actividad 1 Resuelva y compruebe la(s) respuesta(s). 4 (2y +5) = 3(5y – 2)

Rta. Y = Rta. X = -

- 7u = - 10 9

Rta. U1 = 5 y U2 = 2

= 36t – 1

Rta. T1=

=2 4

-7

Rta. X1 = - 4 y X2 = 2 -2 = 0

Rta. W1 = 64 y W2 =

Actividad 2: Clase práctica. Resuelva las siguientes ecuaciones: 1-

9

- 10 = 5x -

Solución: 9x +6 – 10 = 5x 27x + 18 – 30 = 15x – 8 27x – 15x = - 8 +12 X=

2-

+ 48 = 49 17

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Solución:

. Entonces m = 7

3Solución:

5(2x + 2) + 3(14 – 2x) = 15(6 – x) 10 x + 10 + 42 – 6x = 90 – 15x 4x + 15x = 90 – 52 X=2

4Solución:

, elevando al cuadrado ambos miembros. 5x – 1 = 16 - 8

+ x +3

5x – x – 16 – 3 – 1 = - 8 X – 5 = -2 , elevando al cuadrado ambos miembro – 10x + 25 = 4(x+3), ordenando

–14x +13 = 0.

Resolviendo la ecuación cuadrática resulta x1 =13 y x2 = 5-

=0

Solución:

-2

+1 = 0, haciendo y =

, obtenemos

- 2y +1 =0

Resolviendo la ecuación cuadrática resulta y1 =1 y y2 = Ya que y =

.

,

tenemos ,

=1

y

ecuaciones, obtenemos :

= x1 = 1

. Elevando al cuadrado ambos miembros de las y x2 =

.

Guía de ejercicios Resuelva las ecuaciones dadas y compruebe sus respuestas. 1. 4(1 – x) = x – 3(x+1) 2. 18

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3. - 4(2y – 1) = y – 2 4. X(5x – 4) = - 2 5. 2

-3

-2=0

T EMA: Ecuaciones Lineales de primer grado con una incógnita y Ecuaciones Cuadráticas. Aplicaciones. CONTENIDOS:  Aplicaciones de Ecuaciones Lineales de primer grado con una incógnita.  Aplicaciones de Ecuaciones Cuadráticas. OBJETIVOS:  Reconocer la utilidad de las aplicaciones de Ecuaciones Lineales con una incógnita y Ecuaciones Cuadráticas mediante la resolución de problemas aplicados a la vida real.  Utilizar el lenguaje algebraico de forma clara, sencilla y creativa en el planteamiento de los problemas.  Adquirir habilidades en la interpretación de problemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas.  Mostrar interés y disposición en la resolución e interpretación de problemas aplicados a la vida real. DESARROLLO Aplicaciones de ecuaciones lineales con una incógnita Algunas sugerencias para resolver problemas de los contenidos a estudiar: 1. Si el problema se enuncia por escrito, léalo cuidadosamente varias veces, y piense en los datos que se dan, junto con la cantidad desconocida que se debe encontrar. 2. Denote la cantidad o cantidades desconocidas mediante una letra. Las frases que contienen palabras como “que”, “encuentre”, “Cuanto”, “ a qué distancia” o “Cuando” nos indica la cantidad desconocida. 3. Haga una figura o croquis si es necesario. 4. Se traducen los enunciados verbales en una ecuación. 5. Se resuelve las ecuaciones en la o las variables y se calculan las cantidades incógnitas. 6. Por último se comprueba la respuesta en el problema inicial planteado con palabras. Ejemplo 1 Carla invirtió C$ 10,000 córdobas en una asociación de ahorro y préstamo. Una parte al 7% de interés simple anual y el resto al 8.5%. ¿Cuánto invirtió al 7% si la cantidad total de interés en un año fue de C$ 796 córdobas? 19

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Compresión del problema Conozco: C$ 10,000 cantidades que se invirtió Una parte con el interés simple al 7% Ξ 0.07 El resto al 8.5% Ξ0.085 Total ganado en interese es C$ 796 Resolviendo esta ecuación por completación de cuadrados obtenemos:

Entonces x1 = 34 y x2 = - 22 4) Reflexione sobre la solución (comprobación) 5) Redacte la solución En el huerto hay 34 filas de arboles. Problemas propuestos de ecuaciones lineales con una incógnita. 1. Una varilla de 74 cm de longitud se ha pintado de azul y blanco. La parte pintada de azul excede en 14 cm al duplo de la parte pintada en blanco. Hallar la longitud de la parte de cada color. 2. Preguntando un hombre por su edad, responde si al doble de mi edad se quitan 17 años se tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tenía el hombre? 3. El asta de una bandera de 9.10ms de altura se ha partido en dos. La parte se parada tiene 80 cm menos que la otra parte. Hallar la longitud de ambas partes del asta. 4. Dos niños que se encuentra a una distancia de 224 m. Comienza a caminar uno hacia el otro, al mismo tiempo a una velocidad de 1.5 m/s y 2m/s respectivamente. a) ¿En cuánto tiempo se encuentra? b) ¿Qué distancia había caminado cada uno? T EMA: Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas. Aplicaciones. CONTENIDOS  Concepto de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas  Procedimientos de solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas.  Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas.  Resolución e interpretación de ejercicios y problemas.

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OBJETIVOS:  Reconocer la utilidad de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas.  Aplicar los procedimientos de resolución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos y tres incógnitas mediante la solución de ejercicios y problemas.  Adquirir habilidades en la interpretación, planteamiento y resolución de problemas de sistemas de Ecuaciones Lineales mediante el método del aprendizaje basado en la resolución de problemas.  Manifestar interés en la interpretación y solución de problemas aplicados a diversos contextos de la vida real. Desarrollo Muchos de los problemas planteados con palabras se pueden resolver usando ecuaciones con dos y tres variables para ello se hacen las siguientes sugerencias: 1. Léalo con cuidado las veces que sea necesario y piense en los datos o cantidades desconocidas que se desean encontrar. 2. Elija dos o tres letras para representar las cantidades desconocidas 3. Trace una figura si es necesario 4. Haga una lista de lo conocido y desconocido 5. Se traducen los enunciados verbales en una ecuación. 6. Se resuelve las ecuaciones en la o las variables y se calculan las cantidades incógnitas. 7. Por último se comprueba la respuesta en el problema inicial planteado con palabras Aplicaciones de sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Ejemplo 1 Un vendedor tiene un tipo de café que cuesta C$ 3.60 la libra y el otro que cuesta C$ 2.90 la libra. ¿Cuánto debe mezclar de cada uno para obtener 100 libras de una nueva mezcla que cueste C$ 3.30 la libra? Solución 1) Compresión del problema

Conozco: Un tipo de café a C$ 3.60 la libra Otro tipo de café a C$ 2.90 la libra El total de la mezcla 100 libras Mezcla final a C$ 3.30 la libra Desconozco Cuanto se debe mezclar de cada café para obtener 100 libras de una nueva mezcla

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2) Plan de actuación

Sea A el tipo de café a C$ 3.60 la libra Sea B el tipo de café a C$ 2.90 la libra Entonces tenemos que A + B = 100 Ec (1) 3.60 A + 2.90 B = 3.30 (A + B) efectuando el producto de la derecha obtenemos 3.60 A + 2.90 B = 3.30 A + 3.30 B ordenandoresulta 0.30 A – 0.4 B = 0 Ec (2) Sistema a resolver es: 3) Llevar a cabo el plan de actuación

Resolviendo el sistema formado por el método de igualación obtenemos A=

y B=

4) Reflexione sobre la solución (comprobación) 5) Redacte la solución

Se debe mezclar libras del café tipo A y las 100 libras de café a un precio de C$ 3.30.

libras del café tipo B, para obtener

Ejemplo 2 Pedro tiene el doble de los libros que tiene Sergio menos tres. Sergio tiene la cantidad de libros que tiene Pedro menos dos. ¿Cuántos libros tienen cada uno? Solución 1. Compresión del problema Conozco: Pedro tiene dos veces los libros que tiene Sergio menos tres. Sergio tiene la misma cantidad de Pedro menos dos. Desconozco: ¿Cuántos libros tiene Pedro? ¿Cuántos libros tiene Sergio? 2. Plan de actuación Sea X el # de libros de Sergio Sea Y el # de libros de Pedro El sistemas es y = 2x – 3 X=y–2 3. Llevar a cabo el plan actuación Resolviendo el sistema formado por el método de sustitución obtenemos 22

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X=5 ^ Y=7 4. Reflexione sobre la solución (comprobación) 5. Redacte la solución El número de libros de Sergio es igual a 5 y el número de libros que tiene Pedro son 7. Ejemplo 3 En un grupo, 7 veces el total de mujeres menos 44 es igual que el doble de hombres; y 6 veces el número de hombres más cuatro es igual que 5 veces el número de mujeres. ¿Cuántas mujeres y cuantos hombres hay en el grupo? Solución 1. Compresión del problema Conozco Que 7 veces el total de mujeres menos 44 equivale a 2 veces los hombres Que 6 veces los hombres más 4 equivalen a 5 veces las mujeres. Desconozco ¿Cuántas mujeres hay en el grupo? ¿Cuántos hombres hay en el grupo? 2. Plan de actuación Sea X el número de mujeres en el grupo Sea Y el número de hombres en el grupo Sistema a resolver es: 3. Llevar a cabo el plan de actuación Resolviendo el sistema formado por el método de reducción obtenemos X=8 ^Y=6 4. Reflexione sobre la solución (comprobación) 5. Redacte la solución En el grupo hay 8 mujeres y 6 hombres. Sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplo 1 Resolver Solución Combinando la ecuación (1) y (2) para eliminar z, multiplicando ec(1) por – 2 obtenemos -4x - 6y - 2z = -8 3x - 3y + 2z = 15 - x - 9y = 7 ecuación 4 23

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Combinando la ecuación (1) y (3) para eliminar z, multiplicando ec(1) por – 3 obtenemos -6x -9y -3z = -12 -4x +2y +3z = -1 -10x – 7y = -13 ecuación 5 Combinando las ecuaciones (4) y (5) y resolviendo el sistema, obtenemos y=-1 ^ X = 2 luego sustituyendo los valores de las variables encontradas en la ecuación 1, resulta z=3 La solución del sistema es Aplicaciones Ejemplo 2 El perímetro de un triangulo es de 15 cm. Si a la suma de dos de sus lados se resta el mayor el resultado es 3cm, pero si el mayor se suma con el menor, la suma es dos veces la longitud del tercer lado. Encuentre la longitud de cada lado. Solución Sea x el lado mayor X Sea y el lado menor y Sea z el tercer lado Z Según los datos del problema El perímetro (la suma de la longitudes de sus tres lados) es 15cm. Entonces la ecuación 1 está formada por: x + y + z = 15 Si a la suma de los dos se le resta el mayor, el resultado es tres. Entonces la ecuación 2 está formada por: y + z – x = 3 Si el lado mayor se suma con el menor, la suma es dos veces la longitud del tercer lado. Entonces la ecuación 3 está formada por: x + y = 2z. El sistema a resolver es: La solución del sistema planteado es: La longitud del lado mayor es 6cm. La longitud del lado menor es 4cm. La longitud del tercer lado es 5cm. Ejemplo 3 Una empresa tiene 150 empleados ubicados en tres categoría A, B, y C. El número de empleados A duplica a la suma del número de empleados B y C. Un empleado A gana C$ 75 diarios, un empleado B C$50 diarios y un empleado C C$ 40 diarios. La empresa paga diario C$ 9700. ¿Cuántos empleados hay en de cada categoría? Solución Sea x el número de empleados de la categoría A Sea y el número de empleados de la categoría B 24

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Sea z el número de empleados de la categoría C El total de empleados es de 150. Entonces la ecuación 1 está formada por: x+y+z = 150 A duplica a la suma del número de empleados B y C. Entonces la ecuación 2 está formada por: x = 2(y +z). Un empleado A gana C$ 75 diarios, un empleado B C$50 diarios y un empleado C C$ 40 diarios. La empresa paga diario C$ 9700. Entonces la ecuación 3 está formada por: 75x+50y+40z = 9700. Entonces el sistema es:

Al resolver el sistema planteado su solución es: Esto nos indica que la respuesta del problema es: Que hay en la empresa 100 empleados en la categoría A, 20 empleados en la categoría B y 30 empleados en la categoría C. Ejemplo 4 Para un experimento con ratones, un biólogo necesita una mezcla de alimentos que contenga 23gr de proteína, 6.2gr de grasa y 18gr de vitamina. Solo tiene mezclas de las composiciones mostradas en la tabla; Mezcla Proteínas %

Grasa %

Vitaminas %

A

20

2

15

B

10

6

10

C

15

5

5

¿Cuántos gramos de cada mezcla debe emplear para obtener la dieta deseada? Solución X: la cantidad en gramos que se toma de la mezcla A Y: la cantidad en gramos que se toma de la mezcla B Z: la cantidad en gramos que se toma de la mezcla C Como se necesitan 23 gramos de proteína para la mezcla de alimentos. Entonces la ecuación 1 está formada por: 20% x +10% y +15% z = 23 25

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Como se necesitan 6.2 gramos de grasa para la mezcla de alimentos. Entonces la ecuación 2 está formada por: 2% x +6% y +5% z = 6.2 Como se necesitan18 gramos de vitamina para la mezcla de alimentos. Entonces la ecuación 3 está formada por: 15% x +10% y +5% z = 18 Entonces el sistema es:

Resolviendo el sistema la solución del problema es: Se necesitan 70 gramos de la mezcla A, 67.5 gramos de la mezcla B y 15 gramos de la mezcla C para obtener la mezcla deseada. Ejercicios propuestos de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas. 1. Una tienda que está liquidando su mercadería anuncia que todos los precios fueron rebajados en un 20%. Si el precio de un artículo es de C$280.00. ¿Cuál era su precio antes de la liquidación? 2. Seis personas iban a comprar una casa contribuyendo por partes iguales, pero dos de ellas desistieron del negocio y entonces cada una de las restantes tuvo que poner C$ 20,000.00 más. ¿Cuál era el valor de la casa? 3. Un comerciante de autos usados compra dos automóviles en $ 2,900.00. Vende uno con una ganancia del 10% y el otro perdiendo el 5% y aún obtuvo una ganancia de $ 185.00 por la transacción completa. ¿Cuánto le costó cada automóvil? 4. Un recipiente está lleno de agua. Se extrae la mitad del agua y después la mitad del resto, quedando en el recipiente 200 litros. ¿Cuál es la capacidad del recipiente? 5. La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble del primero; el tercero el doble del segundo, y el cuarto el doble del tercero. ¿Cuáles son los números? 6. En un jardín hay el doble de números de rosas que violetas y hay el triple del número de rosas que dalias. Si en total hay 33 flores, ¿Cuantas violeta tiene el jardín? 7. Pedro demora tres horas en cortar el pasto y su hermano menor se demora el doble. Si trabajan juntos el tiempo empleado en realizar la labor es de: 8. La suma de dos números es 8 y su diferencia es 2. ¿Cuál es la suma de sus cuadrados? 9. Un tercio de un número es igual a la mitad de otro número. Si los números suman 10, ¿Qué diferencia hay entre el mayor y el menor? 10. La segunda potencia de un número, más el doble del mismo número es -1. ¿Cuál es el número?

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Resolver los sistemas 1)

2)

3)

4)

5)

6)

TEMA: Inecuaciones CONTENIDO:  Inecuaciones lineales  Inecuaciones cuadráticas y simultáneas con valor absoluto  Inecuaciones racionales, ejercicios y aplicaciones. COMPETENCIA: Resuelve Inecuaciones a través de enfoque algebraico y gráfico. OBJETIVOS:  Analizar las propiedades de las inecuaciones y su representación gráfica.  Graficar las diferentes formas de raíz o soluciones de las inecuaciones (cuadráticas y racionales).  Resolver ejercicios de las distintas inecuaciones.  Mostrar interés, estética y responsabilidad en la realización de inecuaciones. DESARROLLO Inecuaciones lineales ax +b (≤, ≥, ) 0; a 0 y a, b R se llama inecuación lineal. El símbolo de desigualdad > o < se denomina estricta. Si el símbolo es ≥ o ≤ se dice que es débil. Regla 1: Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad el sentido de la desigualdad no cambia. Regla 2: El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplica ( o dividen) por un mismo número real positivo y se invierte cuando se multiplica ( o dividen) por un mismo número real negativo. Ejemplo: Encuentre el conjunto solución de

y+

Solución. 12(y + ) ≤ 12 + 12(1) 12y + 9 ≤ 20y – 8 + 12 -8y ≤ - 5 dividiendo por (-8) Y

. El conjunto solución es [ , ∞).

Ejemplo : Encuentre el conjunto solución de

3(2x – 1) > 4 + 5(x -1) 27

MATEMATICA BÁSICA Solución.

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6x – 3 > 4 + 5x – 5 6x – 5x > -1 + 3 X > 2. El conjunto solución es (2, +∞)

Inecuaciones simultáneas Utilizando inecuaciones básicas e inecuaciones simultáneas podemos describir cierto conjunto de números reales llamado intervalos. a< x < b Ejemplo: Encuentre el conjunto solución de -1 ≤

+5 ≤1

Solución. - 1 – 6 ≤ ≤1–5 -6 (3) ≤ 2x ≤ - 4

-9 ≤ x ≤ - 2 Nota: hacer la grafica y el conjunto solución. Ejemplo: Encuentre el conjunto solución de 8 – 3x ≤ 2x – 7 < x – 13 Solución. Resolvemos estas dos desigualdades por separado 8 -3x ≤ 2x – 7 ^ 2x – 7 < x – 13 -3x – 2x ≤ -7 -8 ^ 2x – x < - 13 + 7 -5x < - 15 ^ x 3 ^ x < -6 Nota: hacer la gráfica y el conjunto solución Inecuaciones con valor absoluto Teorema: Si a es un número real positivo, entonces: |x| a si y solo si x> a o x < -a Ejemplo: Resuelva |2x – 3| + 5 0 Solución: la desigualdad puede reescribirse como |2x – 3|≤ - 5. Pero como |2x – 3| nunca puede ser negativo, de modo que no hay valores de x para los cuales la desigualdad se cumpla. En consecuencia, no existe solución. Ejemplo: Resuelva |

|<

Solución. -

Nota: hacer la grafica y el conjunto solución. Ejemplo: Resuelva |2 – 3x|> 7 28

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Solución. Utilizando la proposición 2 del teorema, la desigualdad dada implica que 2 – 3x > 7 o bien 2 – 3x < - 7 -3x > 7 – 2 o -3x < -7 – 2 X3 Nota: hacer la gráfica y el conjunto solución. Inecuaciones cuadráticas y racionales Resolución de inecuaciones utilizando el Metodo de la raíz. Pasos metodológicos para resolver una inecuación utilizando el Metodo de la raíz. Hacemos la desigualdad mayor que cero o menor que cero según el caso, trasladando los términos que haya en el segundo miembro de la desigualdad, con el objetivo de lograr ese propósito. 1. Escribimos la expresión como el producto de dos factores. 2. Buscamos los números que hacen cero a cada factor. 3. Ubicamos en la recta real éstos números o raíces, de forma ascendente originando tantos intervalos como raíces haya. 4. Colocamos el signo para cada intervalo, comenzando por la derecha con el signo positivo (+) y alternando los signos. 5. Si el producto de los factores es positivo o sea mayor que cero,(  0 ) tome entonces todos los intervalos donde haya signo + y esa será solución de la desigualdad. 6. Si el producto de los factores es negativo o sea menor que cero,(< 0) tome entonces todo los intervalos donde haya signo –, y esa será la solución de la desigualdad. Ejemplo 1: Vamos ahora a resolver la desigualdad cuadrática que también se puede solucionar por otros procedimientos pero que resultan tediosos y cansados, ahora lo vamos hacer utilizando el Método de Raíz.

3 x 2  10 x  8  0 , Solución: Primero descompongamos en factores la expresión dada: 3 x 2  10 x  8  0  3 x 2  12 x  2 x  8  (3 x 2  12 x )  ( 2 x  8)  0 3 x ( x  4)  2 ( x  4)  0 ( x  4) (3 x  2)  0

Expresemos el trinomio como un producto: ( x  4) (3x  2)  0 x4  0 x  4 Obtengamos las raíces de este trinomio: 3 x  2  0  x  2 3 29

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Ahora debemos ubicar estas raíces en el eje numérico de forma ascendente y colocamos el signo para cada intervalo, comenzando por la derecha con (+) y alternando los signos. +

-

+

2 3 Como el producto debe ser mayor que cero, la solución son los intervalos con signo (+), o 2  sea que la solución es: (   ,  4 ] U  ,    . 3  -4

Forma tradicional de resolver el mismo ejemplo: 3 x 2  10 x  8  0

Solución:

ya

sabemos

que

al

descomponerla

en

factores

estos

son:

( x  4) (3x  2)  0

Razonamiento: Para el producto de dos factores sea positivo, entonces o los dos factores son negativos o bien los dos factores son positivos: () ()   Da tal manera que tenemos ( ) (  )   I) Primera parte: (Vamos a suponer que los dos factores son positivos) Vamos

a

suponer

que 2 3x  2  0  3x  2  x  3

x  4  0  x  4

ahora

supongamos

que

2 , ahora hay que 3 preguntarse lo siguiente: ¿Cuáles son los números que son mayores que -4 y al mismo 2 tiempo mayores qué ? 3 S i graficamos estos números en recta numérica, tenemos que: De tal manera que ahora tenemos lo siguiente: x  4 y también x 

-4

0

2 3 30

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Evidentemente los dos números que cumplen esa condición son: los números que van 2 2  desde hasta infinito, de tal manera que la primer solución es S1   ,    3 3  II) Segunda parte: (Vamos a suponer que los dos factores son negativos)

x  4  0  x  4

3x  2  0  3x  2  x 

2 3

2 , ahora hay que 3 preguntarse lo siguiente: ¿Cuáles son los números que son menores que -4 y al mismo 2 tiempo menores que ? 3 S i graficamos estos números en recta numérica, tenemos que: De tal manera que ahora tenemos lo siguiente: x  4 y también x 

2 3 Evidentemente los dos números que cumplen esa condición son: los números que van desde menos infinito hasta -4, de tal manera que la segunda solución es S 2    ,  4 -4

0

Para obtener la solución general debemos unir las soluciones particulares: 2  S g    ,  4   ,    como se puede notar, esta respuesta coincide con la solución 3  obtenida para el mismo ejercicio pero utilizando el método de la raíz, el método tradicional es muy largo y tedioso. x 2 Ejemplo 2: Resolver la siguiente inecuación x 1 x 20 Solución: Utilizando el método de las raíces, tenemos que: x 1 x  2x  2 2 x  0 , por tanto:  0 ahora multiplicaremos por por lo que tenemos que: x 1 x 1 x2 0 (-1) ambos miembros de la desigualdad, teniendo como resultado: x 1 Raíces: 2 Punto crítico: 1 + + 1 2 Debido a que el producto de los factores es menor que cero, entonces la solución está entre los intervalos siguientes: (1 , 2) o sean los valores de 1  x  2

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x x 1  x 1 x  2 x x 1 x( x  2) ( x  1)(x  1)   0 , lo que es lo mismo que:  0 ; Solución: x 1 x  2 x 1 x2 x 2  2 x  ( x 2  1) x 2  2 x  x 2  1 1 2x  1    0 , Raíces:  y tenemos que: ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) 2 puntos críticos: -1 y -2 Observando que el producto de los factores es mayor que cero, y trazando la gráfica correspondiente tenemos que: + + 1  -2 -1 2 1 Por tanto la solución de la desigualdad está en los intervalos: (2,1)  ( ,  ) 2 Ejemplo 3: Resolver la inecuación por el método de la raíz

Ejemplo 4:

Resolver la desigualdad:

x 4 x3

Solución: x x x  4 x  12  3x  12 3x  12 4 40 0 0 0 x3 x3 x 3 x3 x3 Punto crítico: x  3  0  x  3 12 4 Raíz: 3x  12  0  3x  12  x  3 Grafiquemos ahora estos puntos en la recta numérica: + + 3 4 Como la expresión resultante es mayor que cero, entonces la solución serán los intervalos donde haya signo +   , 3  4 ,   Ejemplo 5: Resolver la inecuación: 4 x 2  9 x  9 Solución: Debemos primero descomponer en factores la expresión dada: 4x 2  9x  9  4x 2  9x  9  0 4 x 2  9 x  9  0  4 x 2  12 x  3 x  9  0  (4 x 2  12 x)  (3 x  9)  0  4 x ( x  3)  3 ( x  3)  0 (4 x  3) ( x  3)  0

Encontremos ahora los puntos críticos: 4 x  3  0  4 x  3  x 

x  3  0  x  3 Grafiquemos ahora estos puntos en la recta numérica: + -

3 ^ 4

+ 32

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3 4 Como la expresión es menor que cero la respuesta estará entonces donde se encuentre 3  los intervalos negativos o sea:   3 ,  4  1 2  Ejemplo 6: Resolver la inecuación siguiente: x  1 3x  1 Solución: 1 2 1 2    0 x  1 3x  1 x  1 3x  1 -3

3x  1  2 x  2 x3 0 0 (3x  1) ( x  1) (3x  1) ( x  1)

Punto crítico: 3x  1  0  3x  1  x 

1 ^ x  1  0  x  1 3

Raíz: x  3  0  x  3 . De tal manera que los puntos críticos son: Grafiquemos en la recta real: -

1  1 3

+

+ 1 -1 3 3 De tal manera que la solución estará donde están los signos negativos debido a que la 1  expresión es menor que cero, por tanto la solución será:   ,  1   , 3  3  APLICACIONES DE LAS INECUACIONES A LA SOLUCION DE PROBLEMAS. EJEMPLO 1: Una empresa cuyo negocio es alquilar carros cobra 125 córdobas por día más una renta adicional de 75 centavos por los primeros 100 kilómetros, 50 centavos por cada kilómetro después de los primeros 100. Un promotor de ventas programa 400 córdobas para transportae. ¿Cuál es el mayor kilometraje que con un carro de esta empresa puede hacer sabiendo que su trabajo requiere tener bajo su responsabilidad el carro por dos días? Solución: Sea x el kilometraje que puede hacer; entonces Por los dias paga 250 cordobasbasicos; Por los primeros 100 Km paga 0.75(100)= 75 córdobas; Por los ( x – 100)Km paga 0.5(x - 100) córdobas; todo menor o igual que 400. Estas condiciones conducen a la siguiente inecuación: 325

75 + 0.5(x – 100) ≤ 400

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325 + 0.5x – 50 ≤ 400 entonces

0.5x ≤ 125 el resultado es

x o sea x ≤ 250 El máximo kilometraje que puede hacer con 400 córdobas es de 250 kilómetros. Ejemplo 2: Cuando una lupa se separa x decímetros de un objeto, el aumento A que produce está dada por A = . Encuentre la menor y la mayor distancia a la que debe colocarse una lupa para que la imagen que se obtenga sea invertida y menor que la mitad del tamaño del objeto. Solución: a) el aumento está dado por A = b) Un aumento menor que la mitad del temaño del objeto, en matemática se escribe asi: A <

y si la imagen la queremos invertida escribimos A <

De a y b concluimos que problema.

.

la resolución de la inecuación nos da la solución del

entonces , los números que hacen cero al numerador y al denominador son x = 18 y x =6. Usando el método de la raiz la solución es (6, 18) por lo tanto, para una distancia mayor que 6 y menor que 18 el aumento sera menor que la mitad del tamaño del objeto con imagen invertida.

Ejemplo 3: Cuando se inyectan X miligramos de un antibiótico, la presión del paciente está dada por P = . La presión normal de un ser humano está entre 90 y 120; si la dolencia requiere más de 10 miligramos de antibiótico por dosis; indicar las posibles dosis para que el medicamento no afecte la presión del paciente. Solución: 90 < P < 120 90 < 10 ( la dosis debe ser mayor que 10 mg) Resolviendo estas dos desigualdades por separado se obtiene: i) > 90 ^ ii) < 120 0 div. Entre 6 0 Nota: Terminar el ejercicio y hacer la representación gráfica. La solución del problema es la intersección de i y ii con x > 10. De acuerdo con eso la dosis de antibiótico deben ser mayores que 12.2 miligramos pero menores que 13.6 miligramos. Ejercicios Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades y represéntelas gráficamente. 1. 2. 34

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CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

3. 4. 3x 5. 6. -2 7. |3x +7| 1. En el tercer ejemplo, la función F(x) tiene el grado del polinomio del numerador menor que el grado del polinomio del denominador, por lo cual la asíntota horizontal tiene la ecuación: y = 0 (eje X) Las funciones racionales también tienen otro tipo de asíntotas, son las llamadas asíntotas oblicuas, que no estudiaremos en este curso. La gráfica de una función racional nunca es cortada por la asíntota vertical, pero puede ser cortada por la asíntota horizontal. Para construir la gráfica de una función racional habrá que analizar detenidamente los siguientes pasos que servirán de guía en la construcción de la gráfica: 1. Analice la simetría con respecto al eje Y y al origen. 2. Determínese las asíntotas verticales (si las hay), verificando en que lugar el denominador se hace cero. 3. Determínese la asíntota horizontal si la hay, utilice el teorema correspondiente. 4. Determínese los interceptos con los ejes coordenados.

62

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CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

5. Para hallar intersección con X se hace el numerador de la función igual a cero, y se despeja x. 6. Hacer una tabla de valores, como complemento de la información anterior, para marcar los puntos correspondientes en el plano. 7. Trácese la gráfica, marcando las asíntotas. Ejemplo 1: Trácese la gráfica de la función y determine: Simetría, Asíntotas, interceptos, dominio y recorrido: x2 f ( x)  x3 Solución: 1. Analicemos la simetría con respecto al eje Y, y al origen: a. Respecto al eje Y se cambia x por - x en la ecuación dada, si la ecuación no cambia la función es par entonces hay simetría con el eje Y, observemos que al cambiar x por – x en la ecuación nos quedara:

f ( x) 

x2  x3

Observemos que la ecuación cambia, por lo tanto no tiene simetría con el eje Y. b. La función es impar si hay simetría con el origen, se busca cambiando y por -yyx por -x. En este caso la ecuación quedará:

y

x2  x3

y

x2 x3

Comparando con la ecuación original, notamos que no es la misma ecuación, por lo que debemos afirmar que la gráfica no tiene simetría con el origen. 2.-Determinemos la asíntota vertical: tomamos el denominador de la función y buscamos el valor (o los valores) donde se hace cero x - 3 = 0  x = 3 2. Analicemos si la función tiene asíntota horizontal: en este caso notemos que el polinomio del numerador es de primer grado y el del denominador también, por lo 1 y  1 tanto la asíntota horizontal es: 1 3. Para hallar los interceptos: a) con el eje X: hacemos el polinomio del numerador igual a cero: x + 2 = 0, despejando se tiene x = - 2 es decir la gráfica corta al eje X en P(-2 , 0) b) con el eje Y, se hace x = 0, lo que nos lleva a:

y

02 03

= - 2/3 la gráfica

intercepta al eje Y en el punto Q(0, -2/3) 63

MATEMATICA BÁSICA

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

4. En cuanto a la tabla de valores, se recomienda hacerla tomando como referencia la asíntota vertical, es decir en este caso particular se toman unos tres valores a la izquierda y tres valores a la derecha de la asíntota vertical, y se completan los valores x2 de y, para luego graficar, veamos: f ( x)  x3 X 0 1 2 3 4 5 6 f(x) -0.7 -1.5 -4 A.V 6 3.5 2.6 5. En el plano cartesiano trace las asíntotas con línea de puntos, ubique los intercepto y los puntos obtenidos en la tabla de valores, la gráfica será de la forma:

El denominador es cero si, y sólo si, x = 3. Por lo tanto, el dominio de f es x  R x  3 El recorrido de f es el conjunto de los números Reales excepto el 1, es decir: y  R y  1 Ejemplo 2. Trácese la gráfica de la función y determine: Simetría, Asíntotas, interceptos, dominio y recorrido: x f ( x)  2 x  x6 Solución: 1. Analicemos la simetría con respecto al eje Y, y al origen: a. Respecto al eje Y se cambia x por - x en la ecuación dada, si la ecuación no cambia la función es par entonces hay simetría con el eje Y, observemos que al cambiar x por – x en la ecuación nos quedara:

64

MATEMATICA BÁSICA

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON f ( x) 

x x2  x  6

 y

x x  x6 2

La ecuación cambió, con respecto a la ecuación original, por lo tanto no tiene simetría con Y. b. La función es impar si hay simetría con el origen, se busca cambiando y por -yyx por -x. La función cambia por lo tanto no hay simetría en el origen ,en este caso la ecuación quedará:

f ( x) 

x x x  y  2 y 2 x  x6 x  x6 x  x6 2

2. Determinemos la asíntota vertical, tomamos el denominador de la función y buscamos el valor o los valores donde se hace cero: x2 + x – 6 = 0 , Factorizando (x + 3)(x – 2) = 0 ,Despejando las x obtenemos dos asuntotas verticales x = -3 y x = 2 3. Analicemos si la función tiene asíntota horizontal, en este caso el polinomio del numerador es de menor grado que el del denominador, por lo tanto de acuerdo al teorema de las asíntotas horizontal, será la recta y = 0 (eje X). 4. Para hallar los interceptos: a. Con el eje X: hacemos el polinomio del numerador igual a cero: en este caso sencillamente es x = 0 es decir que la gráfica intercepta al eje X en el punto (0, 0), en el origen del sistema de coordenadas. b. Con el eje Y, se hace x = 0, lo que nos lleva a: 0 y  f ( x  0)  2 =0 0 06 5. Hacer una tabla de valores, para marcar los puntos correspondientes en el plano, en este caso debe tomar en cuenta que hay dos asíntotas: X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 F(x) -0.25 -0.3 -0.6 A.V 0.5 0.1 0 -0.25 A.V 0.5 0.3 0.1

65

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El dominio: Todos los números reales excepto x = -3 y x = 2 Y el recorrido es el conjunto de los números reales. EJERCICIOS PROPUESTOS: En los siguientes ejercicios utilice el procedimiento sugerido para construir la gráfica de una función racional ,determine el dominio y rango 25 x4 3x x 1.  f ( x )  2.  g ( x)  3.  h( x)  2 1 x1 x3 x

4.  F ( x) 

7.  f ( x) 

1 ( x  2)2

1 x

2x 2 x2 6.  H ( x)  x2  1 x2  3 x  2 2 x 1 x2  1 9.  g ( x )  8.  f ( x)  x4 x2  4

5.  G( x) 

TEMA: Funciones Racionales CONTENIDO: Clase practica *Dominio, recorrido y grafica *Ejercicios OBJETIVOS: Trazar la grafica de una función racional, usando los pasos sugeridos. Determine las simetrías , asíntotas horizontal ,asíntota vertical , interceptos y grafique 2 1) f x   x2 Solucion

66

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i)SIMETRIA analicemos la simetría con respecto al eje y , y al origen: con respecto al ejey ,hacemos x=2 2 y x donde f  x   x2 2 x lafuncion cambio, con respecto a la funcion original ,por lo tanto no tiene simetría con y. con respecto al origen ,hacemos y=-y x=-x , donde 2 2 2  f  x    y  y x2 x2 x2 lafuncion cambio, con respecto a la funcion original ,por lo tanto no tiene simetría con el origen. ii)INTERCEPTOS 2  1 obtenemos el punto 0,1 , si hacemos y=0 la grafica no corta Hacemos x=0 , y  02 al eje x. iii)ASINTOTAS Asintotas vertical: seleccionamos el denominador de la funcion y buscamos el valor donde se hace cero x  2  0  x  2 . Asuntotashorizontal :si n0y a ≠1, se llama función logarítmica de base “a”. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial, por tanto el logaritmo base “a” de un número positivo x es el exponente al que hay que elevar “a” para obtener x. Así: Y = logax ay = x Puesto que el dominio y el contradominio de la función exponencial de base a son R y los números reales positivos, respectivamente, el dominio de su inversa logax son los números reales positivos, su contradominio R. Ejemplo: Grafique las siguientes funciones. Determine si las gráficas son crecientes y decrecientes. 1) f(x) = log3 x 2) Solución: 1.

f(x) = f(x) =

log1/ 3 x

log3 x

Como x toma valores en el intervalo (0, + ), la siguiente tabla muestra algunos puntos de la gráfica. 72

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X Y

1/9 -2

1/3 -1

1 0

3 1

9 2

3 f(x) =

log3 x

2

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1  -2 -3 Observemos que la gráfica de la función es creciente, esto se debe a que la base a = 3 es mayor que 1. 2)

f(x) =

log1/ 3 x

la siguiente tabla muestra algunos puntos de la gráfica.

X Y

1/9 2

1/3 1

1 0

3 -1

9 -2

Y

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 

73

MATEMATICA BÁSICA

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON -2

f(x) =

log1/3x Como la base de la función es 1/3 y este valor está comprendido en el intervalo (0, 1), entonces la gráfica de la función es decreciente. Ejemplo: Trace la gráfica de f(x) =

log2 ( x  3) y determine su dominio y rango.

Solución: Si x – 3 > 0, entonces el dominio de la función es (3, + ). Tomando algunos valores del dominio, tenemos: X y

3.5 -1

4 0

5 1

7 2

Y 2 f(x)=log2(x– 3)

1

1

2

3

4

6

7

8

X

-1 -2 Observemos que el rango de la función son todas los números reales. FUNCIÓN LOGARÍTMO NATURAL. Definición:

La función f(x) = Lnx es la inversa de la función exponencial de base “e” y se denomina función logarítmo natural. Así:Y = Lnx x = ey

Propiedades de la función logarítmica natural: 1. 2. 3. 4.

Lne = 1 eLnx = x Lnex = x Ln1 = 0

Ejemplo: Trace la gráfica de f(x) = Ln(x –2) Determine su dominio y rango. 74

MATEMATICA BÁSICA

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

Nota: Hacer el ejemplo en conjunto con los estudiantes, haciendo uso de la calculadora. Propiedades de la función logarítmica. Si a R, a > 0, a  1 y “U” y “V”  R+, entonces: 1)

loga u . v = log a U

2)

u log a   = log a U v

3)

log a U

4)

loga a 

5)

loga 1  0

n

 log

V a

 log

V a

 n log U , n  R a 1

Ejemplo: 1.

Exprese

Solución: log 2

2.

log 2

x3 y Z2

x3 y1 / 2 Z2

en término de los logaritmos de x, y, z.

3 1/ 2 x y  log

 log 2

=

log2 x 3  log2 y 1 / 2  log2 Z 2

=

1 3 log2 x  log2 y  2 log2 Z 2

Z

2

2

Exprese en término de un solo logaritmo

1 log5 x 2  1  log5 y  4 log5 Z 3 Solución:

=

log5 x 2  1  log5 y  log5 Z 4

=

log5 3 x 2  1  log5 y  log5 Z 4 75

MATEMATICA BÁSICA

3.

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

 log5 Z 4

=

log5

=

z4 3 x2 log5 y

y

1

 0.3010 y log3  0.4771

Dado log2 Calcule: a)

3 2 x 1

log

16 3

log

16  log16  log3  log 24  log3 3

b)

log 3 12

Solución: a)

= 4 log 2  log 3

b)

 40.3010  0.4771  0.7269

log 3 12  log12

1/ 3

=

=

1 1  log12  log(2 2.3) 3 3

1 log 2 2  log 3  1 2 log 2  log 3 3 3

1 2(0.3010)  0.4771 3

Teorema (Cambio de base) Sean a, b, x  R+ con a, b  1, entonces Ejemplo: Solución:

logb x 

log a x log a b

Dados log 2  0.3010 y log 5  0.6990calcule

log 2 5 

log2 5

log 5 0.6990   2.322 log 2 0.3010

Antilogaritmo: Se llama antilogaritmo al número correspondiente a un logaritmo dado. 76

MATEMATICA BÁSICA

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

Si log N = x N = antilog x Ejemplo: Calcule a) Solución: a)

b)

Antilog 3.6284 b)

logx 4 

2 3

N = antilog 3.6284 N = 4250

log x 4 

2 log 4 2    3 log 4  2 log x 3 log x 3

3 log 4  log 2  0.9031  log x  2 x  anti log 0.9031  8



x8 Ejemplo: Calcule, haciendo uso de logaritmo. a) log (5.63 x 8.34) = log 5.63 + log 8.34 = 0.7505 + 0.9212 = 1.6717 (5.63 x 8.34) = antilog 1.6717 = 46.957 b)

1 log 5 83.964  log(83.964)1 / 2  log(83.964) 5 1 (1.9241)  0.3848 5 5 83.964  anti log(0.3848)  2.4255

I. Determine dominio, rango y grafique f ( x)  log2 x 1) 2)

f ( x)  log5 x

3)

f ( x)  log2 ( x  3)

4)

f ( x)  log2 x  3

II. Expresar a forma logarítmica a cada uno de las siguientes ecuaciones. a)

5 1 

1 5

b)

6° = 1

c)

103 = 1,000

77

MATEMATICA BÁSICA

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

III. Expresar a forma exponencial de las siguientes ecuaciones. a) b) log4 1  0 log2 1 / 8  3

3)

log4 / 3 27  3

IV.

V.

Encuentre “x” , “a” o “y” en cada uno de las siguientes ecuaciones.

log8 x 

3)

y=

2)

log1 / 2

4)

y  log5 1 / 125

Dado a)

VI.

log 25 5

log 2  0.3010 y log 3  0.4771, encuentre: log 48 d) g) log 24

b)

log6

e)

log3 8

c)

log 3 / 2

f)

log3 2

h)

log2 12

log2 10

Exprese el logaritmo dado en término de los logaritmos de x, y, z.

a)

b)

VII.

2 3 x  4

1)

x2 y log3 3 z

log a

c)

x z2 y4

d)

log

3

log a

y2 z4

y6 x 3

x2

Escriba la expresión dada como un solo logaritmo. 1. 2. 3.

1 2 log a x  log a ( x  2)  5 log a (2 x  3) 3 1 5 loga x  loga (3x  4)  3 loga (5 x  1) 2 2 log a

y3 x

 3 log a

y

1 loga x 2 y 2 2

78

MATEMATICA BÁSICA

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

1 log x  log(x  3)  log(x  1) 2

4.

TEMA: - Aplicaciones de Función Exponencial y Logarítmica Objetivos: 1. Valorar la importancia de las funciones exponenciales y logaritmica en los diversos campos del quehacer humano. 2. Analizar los problemas de funciones exponenciales y logaritmicas que se proponen en el plan de clase. 3. Mostrar interés y desempeño, participando activamente en las tareas asignadas. Contenidos:  Aplicaciones  Ejercicios Aplicaciones en funciones exponenciales. 1. Para un experimento de control sobre el crecimiento del Jabalí, en una zona determinada, se introdujeron 100 de ellos y se aplicó un mecanismo de caza. Los resultados experimentales establecen que el número N(t) de los jabalíes que aún quedan vivos después de t años se puede predecir con la fórmula N(t) = 100 (0.9) t. a) Estime la cantidad de animales vivos después de 5 años. b) ¿En cuánto años habría aproximadamente 78 jabalíes?. Solución: a) N(t) = 100 (0.9) t N(5) = 100 (0.9)5 N(5) = 59.049  59 Rta. Después de 5 años quedan vivos 59 jabalíes. b) N(t) = 100 (0.9) t 78 = 100 (0.9) t

78 = (0.9) t 100

0.78 = (0.9)t ó (0.9)t = 0.78 expresando la ecuación en su forma logarítmica se tiene:

log0.9 0.78  t ,

Luego usamos el teorema cambio de base

79

MATEMATICA BÁSICA

t

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

log 0.78  2.3582  2.36 log 0.9

Rta: En 2.36 años habrían aproximadamente 78 jabalíes. 2) La cantidad de madera que produce un bosque joven crece de manera exponencial y se pude aproximar mediante la fórmula V(t) = Vi (1+0.035)t, donde t es el tiempo en años y Vi el volumen inicial de madera. Se puede suponer que en un año crece a razón del 3.5 %. Si se mantiene la razón de crecimiento del 3.5 % por un largo período, ¿Cuánto tiempo es necesario esperar para que se duplique la cantidad de madera del bosque?. Solución: Si V(t) = 2Vi

2Vi = Vi (1+0.035)t

2Vi = (1.035)t Vi t

2 = (1.035) Expresando en forma de logaritmo, tenemos de base. T=

log0.035 2  t, usando el teorema cambio

log 2  20.15  20 log1.035

Rta: Es necesario esperar 20 años para que la cantidad de madera se duplique.

3)

El Estroncio 90 se usa en reactores nucleares y se desintegra de acuerdo a la ecuación A = Pe -0.0248t donde P es la cantidad presente en t = 0 y A la cantidad que queda después de t años. Si se colocan 800 mg de estroncio 90 en un reactor nuclear. ¿Cuánto quedará después de 150 años? ¿En cuánto tiempo quedará la mitad?.

Solución: Para t = 150 P = 800 mg. -0.0248(150) A = 800e A(150) = 800– 3 .72 = 19.387  19 Rta: Después de 150 años quedarán aproximadamente 19 mg. Cuando a = 400t = ? 400 = 800e-0.0248t

80

MATEMATICA BÁSICA

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

400  e -0.0248t 800

0.5 = e-0.0248t expresando en la forma logarítmica natural, Ln 0.5 = – 0.0248t t=

Ln 0.5  27.95  28  0.0248

Rta. En 28 años los 800 mg se reducirán a la mitad. Aplicaciones de Funciones Logarítmicas. 1) La técnica de datación con carbono 14 (14C) se emplea para determinar la edad de muestras arqueológicas y geológicas. A veces se usa la fórmula: T = – 8310 Lnx para estimar la edad T, en años, de un hueso fósil, donde x es el porcentaje (expresado en decimal) de 14C todavía presente en el fósil. Calcule, aproximadamente, el porcentaje de 14C presente en un fósil de 10,000 años de antigüedad. Solución: T = – 8310 Lnx , como T = 10,000, entonces 10,000 = –8310 Lnx

10,000  Lnx  8310 – 1.2034 = Lnx expresando en la forma exponencial. x = e-1.2034 x = 0.300 (30 %) Rta: En un fósil de 10,000 años de antigüedad se encuentra presente el 30 % de 14C 2)

Según la Escala de Ritcher, la magnitud de un sismo de intensidad I puede evaluarse mediante la fórmula: M = log (I / Io), en la que Io, es cierta intensidad mínima. Encuentre la magnitud de un sismo suponiendo que es 1,000 veces la intensidad mínima (I = 1,000 Io)

Solución: Como I = 1,000 Io, entonces M=

log

1,000Io Io

M = log (1,000) M=3 Rta. El temblor fue de magnitud 3 en la escala Ritcher. 81

MATEMATICA BÁSICA

3)

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

La energía E (en ergs) liberada durante un terremoto de magnitud R está dada por la fórmula LogE = 1.4 + (1.5)R. Calcule la energía liberada por un terremoto de 8.4 en la escala Ritcher.

Solución: Log E = 1.4 + (1.5)R Log E = 1.4 + (1.5) 8.4 Log E = 14 Expresando en la forma exponencial E = 1014 Rta: La energía liberada fue de 1014ergs. Tema: Ecuaciones Exponenciales y Logarítmica. I.- Competencias a desarrollar.  Identifica el tipo de ecuación exponencial o logarítmica para aplicar las propiedades adecuadas en la solución de las mismas.  Analiza y resuelve ecuaciones exponenciales y logarítmicas.  Aplica ecuaciones exponenciales y logarítmicas para resolver e interpretar problemas de crecimiento relacionado con aspectos de la vida cotidiana y con los otros componentes curriculares.  Desarrolla habilidades y destrezas en la solución de ejercicios y problemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.  Muestra disciplina y responsabilidad en el desarrollo de la actividad, así como precisión y limpieza en la presentación de los trabajos asignados. II.-Contenido:  Ecuaciones exponenciales.  Ecuaciones logarítmicas.  Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Desarrollo de la actividad. Ecuaciones Exponenciales. Las ecuaciones que contienen variables reales como exponentes, tales como , se llaman ecuaciones exponenciales.

123 x  2  5

Procedimientos para resolver una ecuación exponencial: a) Cuando ambos miembros de la ecuación pueden descomponerse en forma de potencia, de tal forma que igualamos los exponentes, y despejamos la variable. b) Hacer uso de las propiedades de los logaritmos. 5x2

Ejemplo 1: Resuelva la ecuación 10

 348 82

MATEMATICA BÁSICA

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

Solución:

105 x  2  348

Ecuación dada

log 10 5 x  2  log 348

se obtienen los logaritmos de ambos

miembros

(5x  2) log 10  log 348 5x log 10  2 log 10  log 348 5x  2  log 348

Logaritmo de una potencia propiedad distributiva el logaritmo de cualquier número positivo con la misma base siempre es igual a 1.

log 348  2 5 x  0.908315849 x

Ejemplo 2: Resuelva la ecuación Solución :

se despeja x

323 x  4 2 x 1

323 x  4 2 x 1 log 3 23 x  log 4 2 x 1

ecuación dada se obtienen los logaritmos de ambos

miembros

(2  3x) log 3  (2 x  1) log 4

propiedad log de una potencia

2log 3 – 3x log 3 = 2x log 4 + log 4 propiedad distributiva  3x log 3  2 x log 4  log 4  2 log 3 sefactoriza

x (-3log 3 – 2log 4) = log4 –2 log3

se despeja x

log 4  2 log 3  3 log 3  2 log 4 0.60206  2(0.47712) x  3(0.47712)  2(0.60206) 0.60206  0.95424 x  1.43136  1.20412 x  0.13363 x

Ecuaciones Logarítmicas

83

MATEMATICA BÁSICA Las

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

ecuaciones

que

log( x  3)  log x  1

contienen

ó

términos

logarítmicos

ln( x  5)  ln x  4

tales

como

se les denomina ecuaciones

logarítmicas. Para resolver una ecuación logarítmica se usan las mismas propiedades, y además la definición de logaritmo. Paso 1: Paso 2:

Use las propiedades de los logaritmos para expresar el lado izquierdo como un solo logaritmo. Convierta la expresión a la forma exponencial y despeje x.

Ejemplo 3:

Resolver log( x  9)  log 100x  3

Solución: log( x  9)  log 100x  3

ecuación dada

log( x  9)(100x)  3 ( x  9)(100x)  10

logaritmo de un producto

3

se pasa a la forma exponencial

2

100x  900x  1000

resolver la ecuación cuadrática

2

x  9x 10  0 (x -10)(x + 1) = 0 Las soluciones son x = 10; x = - 1. En la ecuación original x = - 1 es inadmisible porque el logax no está definido si x es negativo. La solución de la ecuación logarítmica es x = 10. Ejemplo4: Solución:

Resolver

(ln x) 2  ln x 2

(ln x) 2  ln x 2 2

(ln x)  2 ln x

ecuación dada logaritmo de una potencia

2

(ln x)  2 ln x  0

igualar a cero y resulta una ecuación cuadrática

(ln x) (ln x  2)  0

factor común ln x

(ln x) (ln x  2)  0 ln x  0 y ln x  2  0

Igualando cada factor a cero

x1  e0

x2  e 2

se pasa a la forma exponencial

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MATEMATICA BÁSICA

x1  1 Ejemplo 5: Solución:

CURSOS SABATINOS, UNAN-LEON

x 2  7.389

solución de la ecuación logarítmica

Resolver log2 (x – 2) + log2(x -3) = 1

log2 (x – 2) + log2(x -3) = 1 ecuación dada log2 (x – 2)(x – 3) =1 logarítmo de su producto 1 (x – 2)(x – 3) = 2 se pasa a la forma exponencial x2 - 5x + 6 = 2 resolver la ecuación cuadrática x2 - 5x + 4 = 0 (x – 4)(x - 1) =0 x1 = 4 y x2 = 1 que son soluciones de la ecuación original.

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