FOlleto Lineal Villena

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Definición de Espacio Vectorial Propiedades Subespacios Subespacio generado Dependencia e Independencia Lineal Bases y Dimensión Espacios asociados a matrices Cambio de base Bases ortonormales

OBJETIVOS:         

Conceptualizar Espacios Vectoriales. Determinar si un Conjunto es o no Espacio Vectorial Determinar si un Subconjunto es o no Subespacio Vectorial Encontrar Subespacios Generados. Determinar si un conjunto de vectores es Linealmente Independiente o no. Determinar Bases y la dimensión de Subespacios Vectoriales. Encontrar Espacios Filas, Espacios Columna, Núcleo e Imagen de una matriz. Obtener el vector de coordenadas de un vector con respecto a diversas bases emplenado Matrices de Transición. Hallar Bases Ortonormales.

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Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

El lector ya se habrá percatado, por los cursos de Matemáticas Básicas, que los conjuntos con los cuales trabajaba son estructuras en los cuales se definen dos operaciones básicas “Suma entre sus elementos” y “Multiplicación por escalares”. Se trata ahora de realizar un estudio más riguroso.

5.1 Definición de Espacio Vectorial Un conjunto no vacio V junto con dos operaciones "Suma" y "Multiplicación por Escalar", denotadas como  y respectivamente, constituyen un Espacio Vectorial Real si se satisfacen los 10 axiomas siguientes: 1. Si suma mos dos elementos de

V,

decir, si v1  V  v 2  V , entonces

el resul tante debe ser elemento de

V . Es

 v1  v2   V . La Suma debe ser Cerrada

v1 , v 2  V ; v1  v2  v2  v1 . La Suma debe ser Conmutativa. 3. v1 , v 2 , v3  V ; v1   v 2  v3    v1  v 2   v3 . La Suma debe 2.

ser

Asociativa. 4. Debe existi r un elemento en V , denotémoslo como 0 , tal que sumado con cualquier elemento d e V el resul tante sea el mismo elemento. Es decir, 0  V, v  V , tal que v  0  0  v  v . Aquí 0 es llamado “Nulo”, “Idéntico”, o “Neutro” 5. Para cada elemento de

V debe existir un

elemento, denotémoslo como

modo que al suma rlos resulte el Neutro. Es decir,

v    v   0 . Donde

 v 

v  V,   v  ,

es llamado “Inverso Adi tivo de

v

, de

tal que

v”

6. La Mul tiplicación por Escalar debe ser Cerrada. Es decir, si v  V    entonces



,

v   V . Mul tiplicando a cualquier elemento de V por un número

real el resul tado debe ser elemento de V . 7. La Mul tiplicación por Escalar debe ser Distributiva para su Suma. Es decir,



 v1  v2   

v1  

v2 . Donde  

8. La Mul tiplicación por Escalar debe ser Distributiva para la suma de números reales. Es decir,

   

v 

v

v . Donde  ,  

.

9. La Mul tiplicación por Escalar debe ser Asociati va. Es decir,  10. El número



v  



v  . Donde  ,  

1 debe ser el “ Idéntico Mul tiplicativo” . Es d ecir, 1 v  v

A los elementos de los Espacios Vectoriales se los denomina Vectores. De acuerdo a lo definido los conjuntos conocidos con las operaciones Suma convencional y Multiplicación por Escalar convencional serían Espacios Vectoriales.

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Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 V  (El conjunto de los Números Reales) Con las operaciones usuales de suma y multiplicación entre números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 2 V

2





  x     / x   y  

   y   (El conjunto de pares ordenados )  

Con las operaciones usuales de suma entre pares ordenados y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 3 V

3

 x      y  / x   z   

 y

   z   (El conjunto de ternas ordenadas)  

Con las operaciones usuales de suma entre ternas ordenadas y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 4

V

4

 x1     x2    / x1   x3   x4  

 x2 

 x3 

    x4   (El conjunto ordenado de 4   

componentes. Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 5

V

n

 x1     x2    / xi  , i  1, 2,3,    xn  

   , n  (El conjunto ordenado de "n" componentes)   

Con las operaciones usuales de suma y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 6 V  C  a, b   f / f es una función continua en  a, b Con las operaciones usuales de suma entre funciones y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas..

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Ejemplo 7 V  P2   p / p es un polinomio de grado menor o igual a 2 O también



P2  at 2  bt  c / a 

 b

 c

.

Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 8 V  P3   p / p es un polinomio degrado menor o igual a 3 O también



V  P3  at 3  bt 2  ct  d / a, b, c, d 



Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 9 V  Pn  ant n  an1t n1  an2tn2 

, a1t  a0 / ai 

 El conjunto de los polinomios

de

grado menor o igual a " n ". Con las operaciones usuales de suma entre polinomios y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 10   a b  V  M 22    / a, b, c, d   c d  

   . El conjunto de las matrices 2  2 .  

Con las operaciones usuales de suma entre matrices y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 11

V  M mn

 a11 a12   a21 a22     am1 am 2 

a13 a23 am3

a1n   a2 n  /a   ij  amn 

      

El conjunto de las matrices de dimensión m n Con las operaciones usuales de suma entre matrices y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Como ejemplos de conjuntos que no son Espacios Vectoriales, también con las operaciones convencionales, tenemos:

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Ejemplo 1 V



El conjunto de los números reales positivo no es espacio vectorial porque no cumple el axioma de la  existencia del elemento nulo, es decir, 0  PREGUNTA: ¿Sólo este axioma no cumple?.

Ejemplo 2  x     1  2   3       V    / x      ,   ,   ,   1         1  1   1  

El conjunto de los pares ordenados cuya segunda componente es siempre igual a 1; no cumple con el axioma de cerradura para la suma, veamos: Sean v1

x  x    1  y v 2   2  entonces 1   1

Por tanto, este conjunto no es espacio vectorial.

x x  v1  v 2   1 2   V  2 

Ejemplo 3 V  at 2  bt  c / a, b, c 

 a  0

El conjunto de los Polinomio de grado exactamente igual a 2 , no es espacio vectorial porque al sumar dos polinomios de grado 2 no necesariamente resulta un polinomio de grado 2 ; por ejemplo (contraejemplo): Sean v1  2t 2  3t  2 y v 2  2t 2  5t  3 Entonces v1  v 2  8t  1 V PREGUNTA: ¿Sólo este axioma no cumple?

Ejemplo 4 V   A  M nn / A es no singular El conjunto de las Matrices no singulares (inversibles), no es espacio vectorial porque la matriz cero no pertenece a este conjunto ya que no tiene inversa PREGUNTA: ¿Sólo este axioma no cumple?

Ahora veamos, cómo proceder en el caso de que haya que comprobar todos los axiomas. Ejemplo  x    1   2   4       V    / y  3x  x      ,   ,   ,   y        3   6   12   El conjunto de los pares ordenados cuya segunda componente es 3 veces la primera componente; es decir, los puntos que pertenecen a la recta con ecuación y  3x . Veamos que se satisfacen los 10 axiomas.

  x1  x2    x1   x2  1. Si v1    y v2    entonces v1  v 2   V  3x1   3x2   3( x1  x2 )   x1   x 2   x 2   x1            2.   3x1   3x 2   3x 2   3x1 

 x1   x 2   x3   x1   x 2   x3                  3.   3x1   3x 2   3x3   3x1   3x 2   3x3 

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Moisés Villena Muñoz

0 4. 0     V 0  x  x  5. Si v    entonces su inverso aditivo ser ía   v    V  3x   3x   x 6. Si v        3x 

 x  entonces  v   V   3x 

 x   x  x  x  7.   1    2     1    2   3x   3x1   3x 2    1   3x 2   x x x 8. (  )         3x   3x   3x    x  x 9.         3x   3x  x x 10.  .1     3x   3x 

Ejercicios propuestos 5.1 Determine si los siguientes conjuntos son Espacios Vectoriales o No. 1.

 x     V    / y  3x  1    y  

 x      2. V   y  / x  y  z  0   z      3.

 x      V   y  / x  5t, y  3t, z 3t t    z     

Todos los ejemplos anteriores fueron considerados con las operaciones convencionales, pero los resultados pueden ser diferentes si las operaciones de "Suma" y "Multiplicación por escalar" se definen de manera diferente. De aquí en adelante, a menos que se diga lo contrario, se empleará las operaciones usuales.

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Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

5.2 Propiedades de los Espacios Vectoriales Sea V un Espacio Vectorial. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: Propiedad 1

El vector neutro  0  es único. Demostración. Suponga que existen dos neutros 01 y 02 . Entonces: v  01 = 01  v  01 Como también: v  02 = 02  v  v . En la primera ecuación, sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de v , y supongamos que 02 es el neutro, entonces:

 -v   v  01 =  -v   v 02

02

02  01  02 01

01  02

Propiedad 2.

Cada vector v tiene un único inverso aditivo   v  . Demostración. Suponga que v tiene dos inversos aditivos   v 1 y   v  2 . Entonces: v    v 1 =   v 1  v = 0 Como también: v    v 2 =   v 2  v = 0 .

En la primera ecuación, sumamos a ambos miembros   v  2 :

  v  2  v    v 1 =   v  2  0 0

  v 2

0    v 1 =   v  2

  v 1

  v 1 =   v  2 Propiedad 3



0  0,para   Demostración. En la ecuación: 0  0  0 Multiplicamos a ambos miembros por el escalar  y aplicamos propiedades distributivas:

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Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 0  0   0  0    0   



0

Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de inverso aditivo y la del neutro:



0   

0     

0   

0



0  0 = 0



0  y consideramos la propiedad del

0    

0 

0

 0



0=0

Propiedad 4.

0

v  0,parav  V Demostración. En la ecuación: 0  0  0 Multiplicamos a ambos miembros por v , y aplicamos propiedades distributivas:  0  0 v  0 v

0 v0 v = 0 v Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de 0 v , y consideramos la propiedad del inverso aditivo y la del neutro:  0 v    0 v      0 v   =  0 v     0 v   0

0

v  0 = 0 0

0

v=0

Propiedad 5

(1)

v  ( v),para v  V

Demostración. En la ecuación 1   1  0 Multiplicamos a ambos miembros por v , y aplicamos propiedades distributivas: 1   1  v  0 v

v     1

1 v

v    1

v  0

v  0

Sumamos a ambos miembros el inverso aditivo de v , y consideramos la propiedad de l inverso aditivo y la del neutro:   v   v    1 v     v   0

  v

0

 1

132

v   v

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Moisés Villena Muñoz

5.3 SUBESPACIOS Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V . H es un subespacio de V si es en sí mismo un espacio vectorial bajo las operaciones de Suma y Multiplicación por Escalar definidas en V . Es decir, un subespacio es un espacio vectorial contenido en otro Espacio Vectorial.

5.3.1 Criterio de Subespacio Teorema

H es un subespacio de V , si se cumplen en él los dos axiomas de cerradura, es decir: 1.- Si x  H  y  H , entonces  x  y   H 2.- Si    x  H , entonces 

x  H .

Cuando se cumple lo segundo existirá el vector nulo ( 0 ) en H y también existirán los vectores inversos aditivos para cada vector de H . ¿Porqué?. El resto de propiedades se cumplirían debido a que ya estamos dentro de un espacio vectorial. Ejemplo 1 Sea el espacio vectorial

V

y sea el subconjunto

H1 



entonces:

1.- Si x    y    ( x  y)  

 x    ( x)   , cuando   0 Por tanto H1 NO es subespacio de V  . 2.- Si  

Ejemplo 2 Para el mismo Espacio Vectorial anterior, tómenos el subconjunto H2  0 .

1. 0  0  0  H 2 2.  0  0  H 2 ,   Por tanto H 2 si es subespacio V . Además, es llamado SUBESPACIO TRIVIAl.

133

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

En un Espacio Vectorial V , al Subespacio Trivial H  0 y a V se los llaman SUBESPACIO NO PROPIOS, al resto son llamados SUBESPACIOS PROPIOS. Ejemplo 3 Sea V 

2

. Determine si el subconjunto

 x     H    / y  mx, donde " m " es fijo  es un    y  

subespacio de V . SOLUCIÓN:

  x1  x2    x1   x2  1. Sean x     y  entonces x  y   H mx mx  1  2  m  x1  x2  

 x1    x1  2.  x     H  mx1   m( x1 )  Por tanto H Si es un subespacio de

2

Ejemplo 4  x    Sea V  . Determine si el subconjunto H   y  / x  at  y  bt  z  ct  t   z    un subespacio de V . 3

   es  

SOLUCIÓN:

 at1   at2   a(t1  t2 )        Sean x   bt1  y y   bt2  entonces x  y   b(t1  t2 )   H  c(t  t )   ct   ct   1 2   1  2  a( t1 )     x   b( t1 )   H  c( t )   1 

1.

2.

Por tanto H es un subespacio de

3

Ejemplo 5 Sea V 

3

 x      . Determine si el subconjunto H   y  / ax  by  cz  0  es un subespacio  z     

de V . SOLUCIÓN:

 x1    1. Sean x   y1  tal que ax1  by1  cz1  0 y z   1  x2    y   y2  tal que ax2  by2  cz2  0 z   2 Al sumar las ecuaciones resulta:

134

a( x1  x2 )  b( y1  y2 )  c( z1  z2 )  0

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 x1  x2    Entonces, se observa que x  y   y1  y2   H (porque satisface la condición de H ) z z   1 2

2. Multiplicando la primera ecuación por el escalar  tenemos:

a( x1 )  b( y1 )  c( z1)  0   x1    Entonces se observa que  x    y1   H (porque satisface la condición de H )  z   1

Por lo tanto H es un subespacio de

3

.

Ejemplo 6 Sea V  M 22 . Determine si el subconjunto

  a b  H    / a, b, d    0 d 

   (Matrices  

triangulares Superior) es un subespacio de V . SOLUCIÓN:

 a1 0

1. Sean x  

b1   a2  y y  d1  0

b2   a1  a2  entonces x  y   d2   0

b1  b2  H d1  d 2 

  a1  b1  2.  x   H  0  d1  Por tanto H es un subespacio de V .

Ejemplo 7 Sea V  M 22 . Determine si el subconjunto

 a b    2 1   4 3   1 2       H    / a, b, c     ,  , ,   b c        1 3   3 6   2 0   es un subespacio de V . SOLUCIÓN:

b1  b2   a1 b1   a2 b2   a1  a2  y y   entonces x  y   H  b c  b c  ( b  b )  1 1  2 2  1 2 c1  c2   b1    a1 2.  x   H   (b1 )  c1  Por tanto H es un subespacio de V . 1. Sean x  

Ejemplo 8 Sea V  M 22 . Determine si el subconjunto

 a b    a 1  a         1 2   2 3    H    / b  1  a  c  0  d  0    / a     , ,  c d 0 0 0 0 0 0                  Es un subespacio de V . SOLUCIÓN:

 a1 1  a1   a2 1  a2   a1  a2  y y  entonces x  y   0  0  0 0  0 Por tanto H NO es un subespacio de V . 1. Sean x  

2  a1  a2  H 0 

135

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 9 Sea V  C 0,1 . Determine si el subconjunto H   f  C 0,1 / f (0)  0  f (1)  0 es un subespacio de V . SOLUCIÓN: 1.- Sean x  f tal que f (0)  0  f (1)  0

y

y  g tal que g (0)  0  g (1)  0 f (1)  g (1)  0  0 f (0)  g (0)  0  0 y entonces ( f  g )( x)  H ( f  g )(1)  0 ( f  g )(0)  0

Como

2.- Si  

 x  H es decir

Como

x  f tal que f (0)  0  f (1)  0

f (0)  0 f (1)  0 y entonces  f   H (f )(0)  0 (f )(1)  0

Por tanto H es un subespacio de V .

Ejemplo 10



Sea V  P2  at 2  bt  c / a, b, c 



H  at 2  at  a / a 



 . Determine si el subconjunto

es un subespacio de V .

SOLUCIÓN: 1. Sean x  a1t 2  a1t  a y y  a2 t2  a2 t  a2 entonces

x  y   a1  a2  t 2   a1  a2  t   a1  a2   H 2.  x   a1  t 2   a1  t   a1  H Por tanto H es un subespacio de V .

Ejemplo 11

 H  at

 . Determine si el subconjunto  bt  c tal que a  b  c  0   2t  4t  6  ,  3t  2t  1 , 

Sea V  P2  at 2  bt  c / a, b, c  2

2

2

es un subespacio de V . SOLUCIÓN: c  a  b

Note que a   b 



entonces el subconjunto puede ser expresado también de esta otra forma

Independiente

H  at 2  bt  a  b / a  b 



1.- Sean x  a1t 2  b1t  a1  b1 y Entonces

y  a2t 2  b2t  a2  b2

x  y   a1  a2  t 2   b1  b2  t   a1  a2    b1  b2   H 2 2.-  x   a1  t   b1  t   a1   b1  H

Por tanto H es un subespacio de V .

136

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 12



Sea V  P2  at 2  bt  c / a, b, c  Determine si el subconjunto

.

H   p  P2 / p(1)  1

es un subespacio de V .

SOLUCIÓN: p(t )  at 2  bt  c entonces el subconjunto puede ser expresado de esta otra forma p(1)  a  b  c

Note que:



 



H  at 2  bt  c tal que a  b  c  1  at 2  bt  c / c  1  a  b Ahora bien. 2 1. Sean x  a1t  b1t  1  a1  b1 

y

y  a2t 2  b2t  1  a2  b2  Entonces

x  y   a1  a2  t 2   b1  b2  t   2   a1  a 2    b1  b 2   H

Por tanto H no es subespacio de V .

Ejemplo 13



Sea V  P2  at 2  bt  c / a, b, c  Determine si el subconjunto



H   p  P2 / p(1)  p´(1)

es un subespacio de V .

SOLUCIÓN: p(1)  p´(1) p(t )  at  bt  c  p´( t )  2at  b a  b  c  2a  b Observe que entonces p(1)  a  b  c p´(1)  2a  b 2a  a  c 2

ac

El subespacio puede ser expresado de esta otra forma

H= at 2  bt  c / c  a  2t 2  3t  2,4t 2  5t  4,



Bien, veamos si se cumplen los axiomas de cerradura 1. Sean

x  a1t 2  b1t  a1

y

y  a2t 2  b2t  a2

Entonces

x  y   a1  a2  t 2   b1  b2  t   a1  a2   H 2.

 x   a1  t 2   b1  t   a1   H 



Por tanto H es un subespacio de V .

Ejercicios propuestos 5.2 Determine si los siguientes subconjuntos 2 1. V 

 x    y  

H son subespacios de V o no.

 

 x    y  

 

a) H1    / y  0 

b) H 2    / x  y 

   x  2  2 c) H3    / x  y  0 y      

   x   d) H 4    / x  y  0  y      

 

 

137

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

V 3

2.

 x   

 

 z   

 

a) H1   y  / z  0 

 x      b) H 2   y  / x  y  z   z       x   

 

 z   

 

c) H 3 =  y  / x  1

V  M 22

3.

 a 0     H1    / a, c, d   c d       a b     c) H3    / a  0  c d    

 a 0     H 2 =  /a d   0 d       a b     d) H 4   / a b   a a    

a)

  a H5     c   a g) H7    c  e)

i)

b)

b    / a  1 d   b    / a  2b  3c  4d  0  d  



 

V  M 33 a) b) c) d)

H2  D  M 33 / D es Diagonal H3   A  M 33 / A es inversible H4   A  M 33 / A es Simétrica





V  P2

  at



2 a) H1 = at  bt  c / b  0

b) H2

2

 bt  c / a  2b  3c  0

c) H3 =  p  P2 / p(0)  p(1) d) H4   p  P2 / p(0)  p(1)  1





e) H5  p  P2 / p 1  p(0)  0 f) H6   p  P2 / p´1  0 g) H7 = p  P2 / p´(0)  p´(1)

 

 a 0   / Tr  A  0 c d    

k) H11 =  A  

H1   A  M 33 / A es triangular Superior

e) H5  A  M 33 / A  1

138

b  / c  d ; a, b, d  d



 a b 2  / Tr  A  a  b d    

 

5.

b   /a  bc  d d  

 a b     H9  A  M 22 / A  At    / a, b, d   b d     

j) H10 =  A   4.

  a H6     c   a h) H8    c  f)

 

    

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

5.3.2 Intersección de Subespacios Definición

Sean H1 y H 2 dos subespacios de V . Entonces: H1  H2  h  V tal queh  H1  h  H2

Es decir, el conjunto intersección agrupa elementos de los subespacios que tengan las características de ambos. Note que nunca será el conjunto vacío.

Teorema

Sean H1 y H 2 dos subespacios de V . Entonces H1  H2 es un subespacio de V . Demostración. Para que H1  H2 sea un Subespacio de V , se deben satisfacer los dos axiomas de cerraduras. Primero, sean x y y elementos de H1  H2 ,entonces x  H1  x  H2 como también y  H1  y  H2 , entonces x  y  H1 , por ser H1 subespacio; y también x  y  H2 , por ser H 2 subespacio. Entonces x  y  H1  H2 . Segundo, sea   y sea x  H1  H2 , entonces x  H1  x  H2 , y se cumple que



x   H1  

x   H2 por ser H1 y H 2 subespacios. Entonces 

x   H1  H2 .

Por lo tanto, H1  H2 es un Subespacio de V .

Ejemplo 1 Sea el espacio vectorial V 

3

y los subespacios

 x    x         H1   y  / x  y  z  0 y H 2   y  / 3x  2 y  z  0  z    z         Hallar el subespacio H1  H2

SOLUCIÓN.

El subespacio intersección tendría la forma:  x      H1  H 2   y  / x  y  z  0  3x  2 y  z  0   z      Para expresarlo más explícitamente debemos simplificar las dos condiciones, resolviendo el sistema  x yz 0 simultáneo  3x  2 y  z  0

 1 1 1 0  F2 3 F1  1 1 1 0       3 2 1 0  0 1 2 0  Reemplazando en la primera ecuación: Por tanto:



x  y  z  0   y  2 z  0  y  2 z

x  2z  z  0  x  z

139

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 x    H1  H 2   y  / x  z  y  2 z  z   z     z    H1  H 2   2 z  / z   z   

    

  1  0   1            2  ,  0  ,  2  ,   1  0   1        

    

Ejemplo 2 Sea el espacio vectorial V  P2 y los subespacios

H1  at 2  bt  c / a  b  c  0 y H2  at 2  bt  c / c  a

Hallar el subespacio H1  H2 SOLUCIÓN. El subespacio intersección tendría la forma:





H1  H2  at 2  bt  c / a  b  c  0  c  a

Para expresarlo más explícitamente debemos simplificar las dos condiciones, resolviendo el sistema

a  b  c  0 simultáneo   ac  0

1 1 1 0  F2  F1  1 1 1 0      1 0 1 0   0 1 2 0  Reemplazando en la primera ecuación: Por tanto:



a  b  c  0   b  2c  0  b  2c

a  2c  c  0  a  c

 H1  H 2  ct 2  2ct  c / c  

  2t 2  4t  2, 

H1  H 2  at 2  bt  c / b  2c  a  c  c 

Ejercicios Propuesto 5.3 1. Sea V 

3

 x   

 

 x   

 z   

 

 z   

y sean H1   y  / x  2 y  y H 2   y  / y  x  z  x, z

    

Determine H1  H2 2.

Sea V 

3

y sean los subconjuntos

 x    x       H1   y  / x  y  z  0 , H 2  1  / x, z   z    z      

    

y

 x    H3   2 x  / x   3x   

a) Determine cuál de los subconjuntos anteriores son subespacios de b) Determine la intersección de los subespacios encontrados. 3.

Considere los subespacios de M 2 x 2

 a b     W1    / d  0 c d      a) Determine W1  W2

y

 a b     W2    / a  0 c d     

b) Demuestre que W1  W2 es un subespacio de M 2 x 2

4.

140

Sea V  M 2 x 2 y los subespacios

3

    

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz    a b   H1    / a  b  c  d  0  c d     Determine H1  H2

y

  a b  H 2 =   / a, b, d   b d  

    

y

 a b     H 2    / 2a  b  2c  5c  0 b d     

Sea V  M 2 x 2 y los subespacios

5.

 a 0     H1    / a  c  d  0 c d      Determine H1  H2 Considere V  P2 y los subconjuntos:

6.

H1   p  P2 / p ' 1  2 p 1

  H3  at 2  2at  3a / a  

H2  at 2  at  1 / a 

a) b)

Determine cuál de los subconjuntos anteriores es subespacio de P2. Determine la intersección de los subespacios encontrados.

5.4 SUBESPACIO GENERADO 5.4.1 Combinación Lineal Definición

Una combinación lineal de los vectores v1, v 2 , , v n es una expresión de la forma: c1v1  c2 v2 

 cn v n

donde c1, c2 , , cn  . Note que el resultado de poner en combinación lineal un conjunto de vectores es otro vector.

Ejemplo 1  1  

 3  

 1  

3  

  1  

1  

  1  

1   

Una combinación lineal de los vectores  2  y  2  podría ser 2 2   3 2  . Al realizar la   7  

operación se tendr ía como resultado el vector   2   5   

141

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 2  1  

 3  

 1  

3  

  1  

1  

  1  

1   

Otra combinación lineal de los vectores  2  y  2  podría ser 3 2   1 2  . Al realizar la  0  

operación tenemos el vector  4    4  

Los vectores resultantes de las combinaciones lineales conforman otro conjunto cuyas características nos proponemos estudiar.

5.4.2 Conjunto de Combinaciones Lineales. Definición Sea S  v1, v 2 , , v n un conjunto de vectores de un

espacio vectorial V . Al conjunto H  v V / v  c1v1  c2 v2  c3v3 

 cn vn para ci 



se lo llama Conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S Teorema Sea S  v1, v2 , , v n  un conjunto de vectores de un

espacio vectorial V . El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S es un subespacio de V . Demostración. Primero, sea H  v V / v  c1v1  c2 v2  c3 v3 

 cn vn para ci 



y sean x, y  H ,

entonces x  a1v1  a2 v2  a3 v3   an vn y y  b1v1  b2v 2  b 3v 3  bn vn . Si sumamos tenemos: x + y   a1  b1  v1   a2  b2  v 2   a3  b3  v3    an  bn  v n c1

c2

c3

Entonces x  y  H . Segundo. Multipliquemos a x por un escalar  , tenemos:  x   a1  v1   a2  v 2   a3  v3    an  v n c1

c2

c3

cn

Entonces  x  H . Por lo tanto H es un subespacio de V .

142

cn

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

En tal caso se dice que H está generado por S . Se lo llamará de aquí en adelante el Subespacio Generado por S y se lo denotará como:

H  gen(S)

A S se le llama Conjunto Generador de H . Ejemplo 1  1   3        Sea S   2  ,  2   . Hallar el subespacio generado por S .  1  1        SOLUCIÓN: La combinación lineal de los vectores de S , generan vectores de determinar.

3

cuya característica debemos

 1  3  x        c1  2   c 2  2    y    1 1  z         c1  3c 2  x 

El sistema 2c1  2c 2  y debe ser consistente

c c  z 2  1 1 3 x   F 2F  1 3   2 1 0 4  2 2 y  F F   1 1 z  3 1  0 4   

x  x 1 3   F3  F1   y  2 x    0 4 y  2x   0 0 x  y  z   x  y  z  0 x  z   

El último renglón permite establecer la condición (característica) buscada de los vectores de H

 x    H  gen(S)   y  / x  y  z  y, z   z   

  1   3   4   7              2  ,  2  ,  4  ,  2  ,   1  1   0   5          

    

Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que determinar las características de los vectores del conjunto S .

Ejemplo 2  3  1  2          Sea S   2  , 1 ,  3   . Hallar el subespacio generado por S .  1  1  0          SOLUCIÓN: Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan y luego establecemos condiciones para la consistencia del sistema que se da a lugar.   3 1   2  x   3c1  c2  2c3  x          c1  2   c2 1  c3  3    y    2c1  c2  3c3  y   1 1  0  z  c c 0  z 1 2         

143

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz  3 1 2   2 1 3  1 1 0 

x  1 1 0  F3 F1  y   2 1 3  3 1 2 z  

z  1 1 0  F2  2 F1  y   0 3 3 F3  3 F1  0 2 2 x  

z   y  2z  x  3 z 

z  F  2 F  1 1 0 z  1 1 0    3 2    0 3 3 y  2z    0 3 3 y  2z   0 6 6 3 x  9 z   0 0 0 3x  2 y  5 z   3x  2 y  5 z  0     Por tanto: F3  3

 x      H  gen(S)   y  / 3x  2 y  5 z  0   z     

Ejemplo 3  3  1  2          Sea S   2  , 1 ,  0   . Hallar el subespacio generado por S .  1  1  1          SOLUCIÓN: Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan y luego establecemos condiciones para la consistencia del sistema que se da a lugar.  3 1   2  x          c1  2   c2 1  c3  0    y  1 1  1  z        

 3 1 2 x  F F  1 1 1   1 3 2 1 0 y  2 1 0 1 1 1 z   3 1 2    1 1 1 z   F3  2 F2     0 1 2 y  2z   0 0 1 x  2 y  z   

z 1 1 1  F2  2 F1  y    0 1 2 F3  3 F1  0 2 5 x  

z   y  2z  x  3 z 

Observe el último renglón, se concluye que para cualquier valor de x, y  z es sistema tendría solución única, es decir:

 x    H   y  / x   z   

   y  z   3   V S Por tanto, el conjunto genera a todo el espacio vectorial

Ejemplo 4





Sea S  t 2  t  1, 2t 2  3t  1 . Hallar el subespacio generado por S . SOLUCIÓN: Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan c1 t 2  t  1  c2 2t 2  3t  1  at2  bt  c Destruyendo paréntesis y agrupando, resulta:









c1t 2  c1t  c1  2c2t 2  3c2t  c2  at2  bt  c

c1  2c2 t 2  c1  3c2 t  c1  c2   at2  bt  c Entonces:

144

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz c1  2c 2  a   c1  3c 2  b  c c  c 2  1 Analizando la consistencia del sistema:

1 2  1 3 1 1  1  5 F3   0 0 

a a  1 2  F2  F1   b    0 5 b  a  F3  F1  0 3 c  a  c    2 a a  F 3F  1 2   3 1  5 b  a    0 5 ba   0 0 2a  3b  5c   2a  3b  5c  0 15 5c  5a   

Por tanto :





H  at 2  bt  c / 2a  3b  5c  0

Ejemplo 5  2 1  3 2  1 1    Sea S   , ,   . Hallar el subespacio generado por S .   1 1   1 0  1 1   SOLUCIÓN: Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan.  2 1  3 2 1 1  a b    c2    c3      c1  1 1  1 0     1 1  c d  Realizando las operaciones de las matrices

 2c1 c1   3c2 2c2   c3 c3   a b       c1    c2 0   c3 c3   c d   c1  2c1  3c2  c3  c1  2c2  c3   a b       c1  c3  c1  c2  c3  c d  Entonces:

 2c1  3c2  c3  a   c1  2c2  c3  b   c1  c2  c3  c  c1  c3  d

Analizando la consistencia del sistema resulta: 3  2   1 2   1 1  0  1

1 1 1 1

a 0  1  F4  F1  b  F1  F2  2 3  F  F   2 c 1 2 3   d  1 1

1 1 1 1

d 0 1 a  1    a  F2  2 F3  0 3 1 a  2d   b  FF3  FF1  0 2 2 bd   4 1  c  0 1 0 c  d 

0 1 d  0 1 d 1 1    F3  2 F2   0  1 0 c  d 0  1 0 c  d       0 2 2 b  d  F3  3 F2  0 0 2 b  d  2c      3 1 a  2d  0 1 a  3c  5d  0 0

F2

F4

0 1 d 0 1 d 1  1    F2  2 F3   0  1 0 c  d 0  1 0 c  d       0 0 0 1 a  3c  5d  0 1 a  3c  5d      0 2 b  2c  d  0 0 2a  b  8c  11d  0 0

F3

F4

Por tanto:

 a b     H    / 2a  b  8c  11d  0  c d     

145

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 6  1 2  1 1    Sea S   ,   . Hallar el subespacio generado por S .  3 4  1 1   

SOLUCIÓN: Ponemos en combinación lineal a los vectores de S para obtener los vectores que se generan.

1 2 1 1  a b    c 2      c1  3 4   1 1  c d  Realizando las operaciones de las matrices

 c1  c 2   3c1  c 2

2c1  c 2   a b    4c1  c 2   c d 

Entonces:

 c1  c 2  a  2c  c  b  1 2   3c1  c 2  c 4c1  c 2  d Analizando la consistencia del sistema resulta: 1 a  1 1 a  1   F2  2 F1    2 1 b    0 1 b  2a   3 1 c  F3 3 F1  0 2 c  3a    F4  4 F1   4 1 d   0 3 d  4a 

1

1 a  a 1 1   F3  2 F2   1 2 a  b 0 1 2 a  b        0 2 c  3a  F4  3 F1  0 0 a  2b  c       0 3 d  4a   0 0 2a  3b  d  Aquí hay dos condiciones. Por tanto:    a b   H    / a  2b  c  0  2a  3b  d  0  c d       1 F2  0

 a b     O también, H    / c  2b  a  d  3b  2a  a, b   c d     

Ejercicios propuestos 5.4 1. Deter mine el subespacio generado por: 1  2   5    

1. S    ,   ,    1  2   5     1 1   1    

4. S    ,   ,    1  2   5     1   0        7. S   2  ,  0    3   0       

10. S  t 2  2t  1

1 

3. S     1

 2   5        5. S   1  ,  3    3   2       

 2   5  1         6. S   1  ,  3  ,  1   3   2   1        

  

1   0   1         8. S   2  ,  0  , 1   3   0   1        

13. S  

 1 1    1 1   

15. S  

14. S  

9. S  t 2  2t  1, t 2  t  5

11. S  t 2  2t  1, t 2  t  5, t 2  t  1

1 1  1 1     ,  1 1 0 0     

12. S  

146

1 1    

2. S    ,    1  2    

1 1  1 1   1 2      ,  ,  1 1 0 0 3 4      

 1 1  1 1   1 2   4 3    , , ,  1 1  0 0   3 4   2 1    

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 1 2   2 1  2 4     , ,   1 1 0 1 1 1       a) Determine si S genera a V . b) En caso de no generarlo encuentre H=gen(S)

2. Sea V  M 22 y sea S  

 1 1 c) Determine si la matriz  H  1 1    a b   d) Considerando el subespacio W=   / b  c  halle H  W . c d      1 1 e) Determine si  H  W 1 1

5.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL  3  1  2     Observe los vectores del conjunto S   2  , 1 ,  3   . Note que el tercer  1  1  0          vector es el resultante de sumar los dos primeros. Por lo anterior se dice que el conjunto S es linealmente dependiente. Este es el concepto que vamos a desarrollar ahora. Además, ocurre generalmente que determinar esta característica por inspección no es tan sencillo, por tanto debemos tener argumentos matemáticos que nos permitan realizar este trabajo.

Definición

Sean v1, v2 , , vn , " n " vectores de un espacio vectorial V . Se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen " n " escalares C1 , C2 ,, Cn , no todos ceros, tales que: C1v1  C 2 v2 

 Cn vn  0

Caso contrario, se dice que son linealmente independientes . Es decir, si: C  0  C  0  C  0 1

2

n

Ejemplo 1  3  1  2    

Determine si el conjunto S=  2  , 1 ,  3   es linealmente independiente o dependiente  1  1  0         

SOLUCIÓN: Aplicando la definición, ponemos los vectores en combinación lineal e igualando al vector cero se obtiene el sistema lineal que nos permite resolver el problema:

147

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

  3 1   2  0         C1  2   C 2 1  C3  3    0   1 1  0   0        



 3C1  C 2  2C 3  0   2C1  C 2  3C 3  0  C C  0 1 2 

 3 1 2 0  F F  1 1 0 0  F  2 F  1 1 0 0    1 3  2 1  0 3 3 0  2 1 3 0    2 1 3 0  F3  3 F1   1 1 0 0   3 1 2 0   0 2 2 0        1    1 1 0 0  F  2 F  1 1 0 0   3  F2  1 1 0 0   3 F3   3 2       0 3 3 0   0 3 3 0   0 1 1 0  0 6 6 0   0 0 0 0  0 0 0 0       El sistema homogéneo tiene Infinitas soluciones, por tanto el conjunto es linealmente dependi ente.

Ejemplo 2  1   2   0  

Determine si el conjunto S   2  ,  2  ,  1   es linealmente independiente o dependiente  3   0   7         

SOLUCIÓN: 1  2  0  0         c1  2   c2  2   c3  1    0   3 0  7  0        



0  C1  2C2  2C1  2C2  C3  0  3C  7C3  0 1 

2 0 0  1  1 2 0 0  F 3F  1 2 0 0    F2  2 F1   3 1  0 2 1 0  0 2 1 0  2 2 1 0  F3  3 F1   3 0 7 0  0 6 7 0   0 0 10 0        C3  0 0 C1  2C2  2C2  C3  0 C2  0    10C3  0 C1  0 

El sistema homogéneo tiene solución única que es la trivial por tanto el conjunto es independiente, es decir ningún vector se forma por combinación lineal de los restantes.

Ejemplo 3  1   2  

Determine si el conjunto S   2  ,  5   es linealmente independiente o dependiente  4   3       

SOLUCIÓN:

1  2   0       c1  2   c 2  5    0    4   3  0       

 C1  2C 2  0  2C1  5C 2  0  4C  3C  0 3  1

 1 2 0  F  2 F  1 2 0  F 11F  1 2 0  C1  2C 2  0 C  0   2 1  3 1   0 1 0    0 1 0   1   2 5 0  F3   4 F1 C  0 C2  0  4 3 0   0 11 0  0 0 0 2        El sistema homogéneo tiene solución única que es la trivial por tanto el conjunto es independiente.

148

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 4 Determine si el conjunto

 1   3        S=  2  ,  6   es linealmente independiente o dependiente  3   9       

SOLUCIÓN: 1  3  0       c1  2   c2  6    0   3 9  0      



 C1  3C2  0  2C1  6C2  0  3C  9C  0 3  1

 1 3 0  F 2F  1 3 0    2 1  0 0 0  2 6 0  F3  3 F1   3 9 0 0 0 0     C1  3C2  0 El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto el conjunto es linealmente dependiente.

Teorema

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes, si y sólo sí uno es múltiplo escalar del otro. Demostración 

Primero, demostremos que si dos vectores son múltiplo escalar entonces son linealmente independientes.

v1 y v 2 , suponga que v2  cv1 ; c   0 , entonces tenemos que cv1 - v2  0 , entonces v1 y v 2 son linealmente independientes. Sean 

Segundo, demostremos ahora que si dos vectores son linealmente independientes entonces son múltiplo escalar. Sean v1 y v 2 vectores linealmente independientes, en tonces existen escales c1 y c2 no todos ceros tales que c1v1 - c2 v2  0 . Suponga c2  0 , entonces dividamos la ecuación anterior para c2 y despejemos v1 :

c1 c v1 - 2 v 2  0  c1v1  v 2  0  v 2  c1v1 c2 c2 c1

1

Lo cual demuestra que los vectores son múltiplos.

Ejemplo 5 Determine si el conjunto





S  t 2  t  1, 2t 2  t  3, t 2  2t  2

es linealmente

independiente o dependiente SOLUCIÓN:

Poniendo los polinomios en combinación lineal e igualando al polinomio cero

C1 (t 2  t  1)  C2 (2t 2  t  3)  C3 (t 2  2t  2)  0t 2  0t  0

149

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

1 2 1 0  F  F  1 2 1 0  F F  1 2 1 0  F  3 F  1 2 1 0    2 1  2 3  3 1  1 1 2 0  F  0 3 3 0    0 1 3 0    0 1 3 0  3  F1 1 3 2 0   0 1 3 0   0 3 3 0   0 0 12 0          C1  2C2  C3  0 C3  0   C  3 C  0   C 2  0 2 3  C  0  12C3  0   1 El sistema homogéneo tiene solución trivial por tanto el conjunto es linealmente independiente

Ejemplo 6 Determine si el conjunto





S  t 2  2t  1, 5t 2  t  2

es linealmente independiente o

dependiente SOLUCIÓN: Por inspección, se observa que los polinomios no son múltiplo por tanto son linealmente independi ente.

Ejemplo 7 1 1  2 1  1 3     Determine si el conjunto S=  , ,  1 1 0 1  1 0         o dependiente

es linealmente independiente

SOLUCIÓN: Poniendo las matrices en combinación lineal e igualando a la matriz cero  1 1  2 1  1 3   0 0  c1    c2    c3     1 1 0 1   1 0   0 0  1 0 1 1 2 1 0  1 2 1 2   F2  F1     12  F3  1  1  3 0 0  3  4 0 0  3  4        1 0 1 0  F3  F1  0 2 2 0   1 F4  0 1 1   F4  F1    1 1 0 0   0 1 1 0  0 1 1

2 1 1  0 1 1    0 3 4  0 1 1

F2

F3

0 1   0  F3  3 F2  0  0  F4  F2  0   0 0

C1  2C2  C3  0  C2  C3  0    C3  0  El conjunto es linealmente independiente

2 1 1 1 0 1 0 0



0  0 0  0

0  0 0  0 C3  0  C 2  0 C  0  1

Teorema

Sea A una matriz cuadrada n  n . Sus filas o Columnas son Linealmente Independiente si y sólo sí A  0 Cuando lo anterior ocurre, al realizar eliminación de renglones (Método de Gauss) no va a existir un reglón de ceros en la matriz resultante.

150

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 4 2 1   Sea la matriz A   3 5 1  1 0 0   Hallando su determinante tenemos: 2 1 4 1 4 2 4 2 1 A  3 5 1  1 0 0 5 1 3 1 3 5 1 0 0

A 1

1 4 00 5 1

A  1(1)(1)  (4)(5)  21 Por tanto sus renglones y filas son linealmente independientes.

Ejemplo 2 4 2 1   Sea la matriz A   3 5 1   5 6 3   Hallando su determinante tenemos:

2 1 4 1 4 2 4 2 1 A  3 5 1  5 6 3 5 1 3 1 3 5 1 0 0

A  5(21)  6(14)  3(7)  0 Por tanto sus renglones y filas son linealmente dependientes. Note la tercera fila es la suma de las dos primeras.

Ejercicios propuestos 5.5 Determine si los conjuntos son linealmente independiente o dependiente.

 1 1    1. S    ,    1 2       

1  2. S     1 

 1 1   1    3. S    ,   ,    1 2 5         

1  2   5     4. S    ,  ,    1 2 5         

 2   5        S  5.  1  ,  3    3   2       

 2   5  1         S= 6.  1  ,  3  , 1   3   2  1        

1   0   1         7. S=  2  ,  0  , 1   3   0   1        







8. S  t 2  2t  1, t 2  t  5



9. S= t 2  1, t  2, t 2  t  1

 1 1  1 1   10. S=  ,    1 1   0 0   

 1 1  1 1   1 2    11. S=  , ,  1 1 0 0 3 4        

151

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

5.6 BASES Y DIMENSIÓN Un conjunto finito de vectores v1, v2 , , vn  es una base para un espacio vectorial, si: 1.- Son linealmente independientes, 2.- Generan al espacio vectorial. La dimensión del espacio vectorial es el número de vectores de cualquier base. Ejemplo 1 Sea V 

3

 1   0   0          . Determine si S   0  ,  1  ,  0   es una base para V  0   0   1         

SOLUCIÓN: Para que S sea una base para vectorial.

3

, debe ser linealmente independiente y deben generar a todo el espacio

1 0  0  0         1. C1  0   C 2  1   C 3  0    0  Si es independiente 0 0 1 0          x   2.  y   z  

1   x 0    0  

 0  0     y 1   z 0  Si genera a todo vector de  0 1    

Por tanto, este conjunto si es una basa para Estándar. La dim

3

3

3

. Además este conjunto es llamado Base Canónica o

3

Ejemplo 2  1   2   0   Determine si S   2  ,  2  ,  1   es otra base para  3   0   7          SOLUCIÓN:

Primero determinemos si S genera a

3

3

 1  2  0  x          C1  2   C2  2   C3  1    y   3  0 7  z         

152

2  1   2  2   3 0  El último renglón indica

0 1 7 que

conjunto S sí genera a

3

.

x x  F 3F  1 2 0 x 1 2 0   F2  2 F1   3 1  y    0 2 1 y  2x    0 2 1 y  2x  F3  3 F1  0 6 7 z  3 x   0 0 10 z  3 y  3 x  z      para cualquier valor de x , y y z existirán soluciones única por tanto el

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Segundo, Para determinar si son linealmente independiente bastará con referirnos a la última matriz reducida con la columna aumentada de ceros.

1 2 0 0   0 2 1 0  0 0 10 0    O también, como el sistema tiene solución única, cuando x , y y z toman el valor de 0 se forma un sistema homogéneo con solución trivial. Entonces, S es linealmente independiente. Por tanto, S si es otra base para

3

Teorema

Sea V un espacio vectorial con base S . Todo vector de V puede ser escrito en combinación lineal única de los vectores de S . Demostración Sea S= v1 , v 2 ,

, v n  una base del espacio V y sea v ∈ V .

Supongamos que existen dos combinaciones lineales para v en términos de S ; es decir: v = 1v1  2 v2   n vn

v = 1v1  2 v2   n vn Igualamos las ecuaciones: 1v1  2 v2   n vn  1v1  2 v 2   n v n De aquí obtenemos: 1 - 1  v1  2 - 2  v2   n  n  vn  0 Y como S es una base, entonces: 1 - 1  0

 2 - 2  0 n  n  0 Es decir: 1  1  2  2    n  n Lo cual demuestra que la combinación lineal es única.

Ejemplo  1   2   0     En el ejemplo anterior se demostró que el conjunto S   2  ,  2  ,  1   es otra base para  3   0   7         

tanto todo vector de

3

3

, por

puede ser escrito en combinación lineal única de los vectores de S . Por ejemplo, al

1    expresar el vector  2  en término de los vectores de S se obtendrá solución única. Compruebe que el 3    1  2  0  1         sistema C1  2   C2  2   C3  1    2  tiene solución única  3 0  7  3        

153

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Bien, continuemos con otros espacios vectoriales. Ejemplo 1





Sea V  P2 . Determine si S  t 2 , t , 1 es una base para V SOLUCIÓN: Se puede observar que S es linealmente independiente y además todo polinomio puede ser escrito en combinación lineal de los vectores de S

at 2  bt  c  a(t 2 )  b(t )  c(1) Por tanto S si es una base para P2 . Esta sería la base canónica La dim P2  3

Ejemplo 2





Determine si S  t 2  2t  1, 2t 2  t  2, t 2  t  1 es otra base para V  P2 SOLUCIÓN: Primero determinemos si S genera a P2  1  2 1  a          C1  2   C2  1   C3 1   b    1  2 1  c          1 2 1 a 2 0 a    F 2F  1   2 1   2 1 1 b  F  0 3 1 b  2a  3  F1  1 2 1 c  0 4 1 c  a    

Hasta allí, como los dos últimos renglones no son múltiplos, existirán soluciones única; por tanto, el conjunto S sí genera a P2 . Segundo. Es fácil comprobar que el conjunto el linealmente independiente. Por tanto, S es otra base para P2 .

Ejemplo 3  1 0   0 1   0 0   0 0     Sea V  M 22 . Determine si S   , , ,   es una base para V   0 0   0 0   1 0   0 1    SOLUCIÓN: Se puede observar que S es linealmente independiente y además toda Matriz puede ser escrita en combinación lineal de los vectores de S

a b  1 0  0 1  0 0  0 0    a   b   c   d   c d 0 0 0 0 1 0         0 1 Por tanto S si es una base para M 2 2 . Esta sería la base canónica La dim M 22  4

Para el caso de subespacios tenemos: Ejemplo 1  x  

 

 z   

 

Hallar una base para el subespacio H   y  / x  y  z  0

SOLUCIÓN: Despejando una variable, le damos otra forma H que nos permita resolver el problema

154

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 x    H   y  / x  y    x  y   

   1  0        x 0  y      1 / x  y     1   1       

    

 1   0       

Por tanto, una base para H sería S   0  ,  1  

 1   1       

Además dim H  2

Teorema

Sea H un subespacio del espacio vectorial V . Entonces: dimH  dimV Además si dimH  dimV entonces H  V . Ejemplo 2





Hallar una base para el subespacio H  at 2  bt  c / c  2a  3b SOLUCIÓN: Reemplazando la condición y expresando en combinación lineal

  H  a(t 2  2)  b(t  3) / a  b   2 Por tanto una base para H sería S  t  2, t  3 , entonces dim H  2 H  at 2  bt  2a  3b / a  b 

Ejemplo 3  a b     Hallar una base para H    / b  c c d      SOLUCIÓN: Reemplazando la condición y expresando en combinación lineal

 a b     H   /abd   b d       1 0 0 1  0 0   H  a    b d /a d b   0 0 1 0  0 1  

 1 0   0 1   0 0     , ,   , entonces dim H  3  0 0   1 0   0 1    

Por tanto una base para H sería S  

155

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 4





Hallar una base para H  gen t 2  t  1, 2t 2  3t  1, 3t 2  2t  2 S OLUCIÓN:

Primero hallamos el subespacio generado por el conjunto de vectores dados:

C1  t 2  t  1  C2  2t 2  3t  1  C3  3t 2  2t  2   at 2  bt  c

La matriz aumentada sería:

1 2 3 a   1  3  2 b  1 1 2 c   Aplicando el método de Gauss:

1 2 3 a 1 2 3 a  1 2 3 a     F1  F2   F2 F3   1 3 2 b   F  0 5 5 b  a    0 1 1 c  a  1  F3 1 1  0 1 1 c  a   0 5 5 b  a  2 c       1 2 3 a  5 F2  F3     0 1 1 c  a  0 0 0 4a  b  5c   El subespacio generado sería:

H  at 2  bt  c / 4a  b  5c  0





2 O también H  at  bt  c / b  5c  4a

Reemplazando la condición y agrupando:

H  at 2   5c  4a  t  c / a, c  H  at  4ct  4at  c / a, c  2



 

H  a  t 2  4t   c  4t  1 / a, c 



Por tanto una base sería:

S  t 2  4t , 4t  1 y dim H 2

Ejemplo 5  x  2 y  3z  0 Hallar una base para el espacio solución del sistema  x  y  z  0 S OLUCIÓN: Primero hallamos el conjunto solución. La matriz aumentada sería:

1 2 3 0    1 1 1 0  Aplicando Gauss

1 2 3 0   F1  F2  1 2 3 0      1 1 1 0 0  1 2 0     El sistema equivalente sería:

 x  2 y  3z  0  y  2z  0  De donde y  2 z , y por sustitución regresiva:

x  2  2 z   3 z  0 xz Por tanto su conjunto solución, denotémoslo por H, sería:

156

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 x    H   y  / x  z  y  2 z  z   z   

    

Reemplazando

 z    H   2 z  / z   z   

   1        z  2  / z     1    

    

 1     

Se observa que una base sería: S   2   y dim H 1

 1     

H  0 , el subespacio trivial, entonces dimH  0 . Por tanto su base sería S   (El conjunto vacío) Si

Ejemplo  x y z 0  Hallar una base para el Espacio Solución del sistema 2 x  y  3z  0 3x  2 y  z  0  SOLUCIÓN: Primero hallamos el conjunto solución del sistema:

1 1 1 1   2 F1  F2  2  1 3    3 F1  F3  0 3 0 2 1   

1 1  3 1  1 2 

Hasta aquí se observa que tiene solución trivial (¿Por qué?) Por tanto su conjunto solución, H, sería:

 0      H   0    0      Entonces dim H  0 y no hay base.

Analice ahora los siguientes teoremas.

Teorema

Sea V un Espacio Vectorial de dimensión n . Entonces: n vectores generan a V entonces son 1. Si linealmente independientes. 2. Si n vectores son linealmente independientes entonces estos vectores generan a V .

157

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Teorema

Un conjunto de vectores linealmente independiente en un Espacio Vectorial de dimensión n , contiene a lo más n vectores. Por ejemplo, en un Espacio Vectorial de dimensión 3 a lo mucho habrá 3 vectores Linealmente Independiente, 4 vectores o más serán dependientes. Ejercicios Propuestos 5.6 1.

Sea

V

3

1  1   3          y S=  1 , 2 , 2        1  3   1         

a) Determine si S es una base para b) En caso de no ser base halle

3

H=gen S

c) Determine una base y la dim ensión de

2.

Determine si el conjunto

H

 1 0   1 1  1 1  1 1    S   , , ,   es una base del espacio  0 0   0 0  1 0  1 1   

M 2x2

3.

Establezca una base y la dim ensión del espacio solución del sistema

x  y  z  0   x  2 y  3z  0 4.

Establezca una base y la dim ensión del espacio solución del sis tema

 x1  x2  x3  2 x4  0  5 x1  4 x2  2 x3  2 x4  0  2 x1  x2  x3  8 x4  0 5 x1  x2  x3  14x4  0  5.

Considere

V  P3 y el conjunto

S= x3  2 x  1, x 2  x3  1, x3  2 x 2  5x, 3x 2  5x  1

a) Encuentre el espacio generado por S b) Encuentre una base para el espacio generado por S

6.

Considere

 1 2  1 1    V  M 22 y el conjunto S   ,  3 4 1 1      

a) Encuentre el espacio generado por S b) Encuentre una base para el espacio generado por S

158

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

5.7 ESPACIOS ASOCIADOS A MATRICES 5.7.1 ESPACIO FILA Podría presentarse la necesidad de determinar la característica de los vectores filas o la característica de los vectores columnas de una matriz.

A( mn )

C1

C2

C3

Cn









 a11   a 21   a 31      a m1

a12 a 22

a13 a 23

a 32

a 33

am2

a m3

 a1 n    a 2n   a 3n      a mn  mn

F1 , R1 F2 , R2 F3 , R3 Fm , Rm

Definición

Sea Amn una matriz. El Espacio Fila o Espacio Renglón, denotado por RA , se define como: RA  gen F1, F2 , F3 ,

 a11   a21   a31         a12   a22   a32  , Fm  gen  a13  ,  a23  ,  a33  ,              a1n   a2 n   a3n 



 am1      am 2    ,  am3        a  mn  

Note que los vectores del espacio fila perte necen a un subespacio de ¿Por qué?

n

Ejemplo Sea

 2  1 1  . Hallar el Espacio Fila R A A    1 2 3

SOLUCIÓN:

 2   1        Por definición RA  gen  1 ,  2    1   3         x   x  2 1         R  y / y  c  1  c Es decir: A     1  2  2  donde c1  c2   z   z  1  3        

    

2 1  x        Entonces c1   1  c2  2    y  1  3  z        2 1   1 2 1 3  Por tanto:

x  1 3   y    1 2 z   2 1

z  1 3 z  1 3 z       y  0 5 y  z   0 5 yz  x   0  5 x  2 z   0 0 x  z  y 

159

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz  x      RA   y  / x  y  z  0  z      Compruebe que los vectores filas satisfacen la condición.

1   0      Además, una base para R A sería S   0 , 1  y d i mRA  2 1  1     

5.7.2 ESPACIO COLUMNA Definición

Sea A una matriz m  n . El Espacio Columna, denotado por C , se define como: A

C A  gen C1, C2 , C3 , , Cn 

 a11   a12   a32         a21   a22   a23   gen  a31  ,  a32  ,  a33  ,              am1   am 2   am 3 

 a1n      an 2    ,  a3n        a   mn  

Note que los vectores del Espacio Columna pertenecen a un subespacio de ¿Por qué?

m

Ejemplo Sea

 2  1 1  . Hallar el Espacio Columna C A A    1 2 3

SOLUCIÓN:

 2   1  1      ,   1 2 3         

Por definición C A  gen   , 

 x   x    y   y  

 2 1

  1  1    c3   donde c1  c2  c3    2  3 

Es decir C A    /    c1    c2 

3 y   2 1 1 x   1 2 3 y   1 2         1 2 3 y 2  1 1 x 0  5  5 x  2 y       Por tanto:

  x  C A    / x    y 

   y    

Las columnas no cumplen condición alguna. Además dimCA  2

160

2

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo  1 1 Sea A   3 1  1 0 

0  4  . Hallar 1 

R A , C A , Bases y dimensiones.

SOLUCIÓN:

 1    1   0        Por definición C A  gen 3 ,  1 ,  4  , entonces:   1   0    1       

(3)  1  3  1  1 1    0 1 0 0 

1 0 x  1 1 0 x  x  1 1 0      1 4 y    0 4 4 y  3x   (4)  0  1  1 z  x   0 4 4 y  3x  0  1 z   0  1  1 z  x    0 x   1 zx  0 x  y  4 z 

 x     1    4         Por tanto C A   y  / x  y  4 z  0 Una base para C A   1 ,  0  y d i mCA  2  z    0   1        

 1   3   1          En cambio RA  gen  1  , 1  ,  0   entonces:  0   4   1         

x   1 3 1 x  1 3 1 x   1 3 1        yx   1 1 0 y    0 4 1 y  x    0 4 1  0 4 1 z   0 4 1 z   0 0 0 z  y  x      x    1   0           Por tanto RA   y  / z  x  y  , Una base para RA   0  ,  1   y dim RA  2  1   1    z          

Teorema

Sea A una matriz m  n . Entonces: dim RA  dim CA Ejemplo  1  1 2 3   1 4 3  . Hallar 1 0 6 6   34 SOLUCIÓN:

Sea A   0

R A , C A , Bases y dimensiones.

1   1   2   3            C A  gen  0  ,  1  ,  4  ,  3   1   0   6   6           

161

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz 1 1 2 3  0 1 4 3 1 0 6 6 

x  1 1 2 3 x  1 1 2 3 x       y  0 1 4 3 y   0 1 4 3 y  z   0 1 4 3 z  x   0 0 0 0 z  x  y 

 x    1   0         C A   y  / x  y  z  Una base para C A   0 , 1  dimCA  2  z    1  1        

 1   0  1          0   1 1 En cambio RA  gen  ,  ,          2   4   6    3   3   6     1  1  2   3 

0 1 4 3 1  0 0  0 

1 x  1 0 1 x  1     0 y  0 1 1 y  x  0   6 z   0 4 4 z  2x   0     6 w   0 3 3 w  3x   0 0 1 x  1 0 1   1 1 y  x  0 1 1  4 4 z  2x   0 0 0   0 0 w  6 x  3 y   0 0 0

0 1 4 3

1 x   1 yx   4 z  2x   3 w  3x 

x   yx   6x  4 y  z   w  6 x  3 y 

 x     y RA    / z  6 x  4 y, w  6 x  3 y  x, y   z   w  

      

y

 1   0       0  1  Una base para RA   ,   y dimRA  2  6   3   6   4   

5.7.3 Núcleo y Nulidad de una matriz Definición

Sea A una matriz m  n . El Núcleo de A , denotado por nuc(A) , se define como: nuc  A  x  n / Ax  0 Teorema

El núcleo de la matriz Amn es un subespacio de 162

n

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Además, la dimensión del núcleo es llamada nulidad de la matriz A y se la denota como:  (A)

Ejemplo 1 1 2  . Hallar núcleo ( nuc( A) ) y nulidad (  (A) ) Sea A   3 1 0 SOLUCIÓN:

 x   x    1 1 2     0   y        z   3 1 0   z   0        x  y  2z  0  Entonces, el núcleo es el conjunto solución del sistema  0 3x  y Por definición: nuc( A)   y  / 

 x    1   0         Es decir nuc( A)   y  / x  R  y  3x  z  2 x    3  ,  0  ,  z    2   0        

    

 1     Una base para nuc( A)   3   y ( A)  1  2     

5.7.4 IMAGEN Y RANGO DE UNA MATRIZ Definición

Sea A una matriz m  n . La Imagen o recorrido de A , denotada por Im(A) o rec( A) , se define como:

Im  A  rec( A)  y 

m

/ y  Ax para cualquierx 

n



Teorema

La imagen de la matriz subespacio de

Amn es un

m

Además, la dimensión de la Imagen es llamada rango de la matriz A y se la denota como: (A) El rango de una matriz indica la cantidad de filas o columnas linealmente independientes.

163

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 1 2  . Hallar Imagen ( Im(A) ) y rango ( (A) ) Sea A   3 1 0 SOLUCIÓN:

 x  y1   y1   1 1 2    /        y  para x   y2   y2   3 1 0   z    

Por definición: rec( A)  

 y

   z   

2 Por tanto será cuestión de determinar los vectores de que se generan o lo que es lo mismo, determinar la condición (si es que existe) que deben reunir y 1 y y 2 para que el sistema

 x y  1 1 2      y    1  sea consistente.  3 1 0  2 3  z   y 2  21   31

Entonces:

x   3x  1  1 2  3 1 0

y  2z  y 

y1   1  1 2  y 2   0 4  6

y1 y2 y1   y 2  3 y1 

El último renglón nos indica que no hay condición, por tanto:

   y   rec( A)   1  / y1   y2    2 y    2      1 0     Una base para Im(A)   ,   y ( A)  2   0   1  

Teorema Para cualquier matriz Amn , se cumple que: 1. C  Im(A) 2. dim RA  dimCA  dimrec(A )   (A ) A

3. ( A)  ( A)  n Ejemplo 1  1 2 3   Sea la matriz A   0 1 4 3  1 0 6 6   a) Hallar Espacio Fila RA , una base y dimensión.  1   0  1          0   1 1 RA  gen   ,   ,     2   4   6    3   3   6    

164

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 x   x   1 0 1            y y  1 1 0  Es decir RA    /    c1    c2    c3   donde c1 , c2 , c3   2  4  6  z   z         w   w   3 3  6 

32

1 0 1 x 1     1 1 0 y   3 4 0   2 4 6 z 0     3 3 6 w 0   

x  1   y  x  0  4 4 z  2 x   0 3 3 w  3x   0

      

   0 0 z  6 x  4 y  0 0 w  6 x  3 y 

0 1

0 1

x

1 1

1 1

yx

 x     y RA    / z  6 x  4 y  w  6 x  3 y  x   z   w  

    y      1  0      0 1    y      x    y / x   y   4   6      6  3  

 x    y  / x RA     6 x  4 y   6 x  3 y   1   0       0  1  Una base para R A   ,   y dim R A  2  6   4   6   3   

      

b) Hallar Espacio Columna C A , una base y dimensión.

1   1   2   3            C A  gen  0  ,  1  ,  4  ,  3   Es decir: 1   0   6   6             x   x  1   1   2 3             C A   y  /  y   c1  0   c2  1   c3  4   c4  3  donde c1 , c2 , c3 , c4   z   z  1   0 6  6            

1 1

0 1 

1 2 3 1 4 3 0 6 6

x x   1 1 2 3 x  1 1 2 3       y    1 0 1 4 3 y   0 1 4 3 y       z 0 1 4 3 z  x 0 0 0 0 z  x  y

 x    C A   y  / z  x  y  x   z     x    C A   y  / x   x  y   

    

   y   

 1   0       y     0  x  1  y / x   1  1      

1   0      Una base para C A   0 , 1  y 1  1     

   y   

dim C A  2

c) Hallar Imagen Im(A) , una base y dimensión (A) . Por el teorema Im( A)  C A y por tanto ( A)  dim C A  2

d) Hallar núcleo nuc(A) , una base y  (A)

165

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 x   x     1 1 2 3     0   y y      nuc( A)    /  0 1 4 3      0       z z    1 0 6 6     0    w    w      

1 1

0 1 

1 2 3 0   1 1 2 3 0   1 1 2 3 0       1 4 3 0    1 0 1 4 3 0    0 1 4 3 0   0 1 4 3 0  0 0 0 0 0 0 6 6 0     

 x  y  2 z  3w  0 . Es decir:  y  4 z  3w  0

El núcleo sería el conjunto solución del sistema 

 x      y   nuc( A)    / x  6w  6 z  y  4 z  3w  z   w     z     w      6w  6 z    6   6         3  4 z  3w    4 nuc( A)   / z   w      z    w / z       z    1   0      0   1  w    

    w    

 6   6         4 3  Una base para nuc( A)    ,    dim nuc( A)  2  1   0    0   1     Note que se cumple que:

( A)   ( A)  n 2  2  4

Teorema

Si A es equivalente por renglones a entonces: RA  RB ,  ( A)   ( B), y  ( A)   ( B) . Ejemplo  1  1 3   0 4 Sea A   2 1  3 1   Haciendo eliminación de renglones tenemos:

(1)( 2)  1  1 3   1  1 3   1  1 3        0 4    0 2  2    0 1  1 2  1  3 1 0  4 4  0 0 0        1 1 3    Entonces una matriz equivalente por renglones a la matriz A sería: B   0 1  1 0 0 0    Veamos ahora:

166

B,

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 1   2   1   x           RA  gen   1 , 0 ,  3    y   3   4   1    z          

 x  1  2   1          / y   C1   1  C2  0  C3   3   z  3  4  1         

2 1 x   1 2 1 x  1 2 1 x   1        2 4 x  y    0 2 4 x y   1 0 3 y    0  3 4 1 z   0 2 4 z  3 x   0 0 0 2 x  y  z         x      Por tanto R A   y  /  2 x  y  z  0  z       1   0    x   x   1  0               Por otro lado RB  gen  1  ,  1     y  /  y   C1  1   C2  1    3   1    z   z   3  1               

x  1 0 x  1 0 x  1 0        x y  1 1 y   0 1 x  y   0 1  3  1 z   0  1 z  3x   0 0  2 x  y  z         x      Por tanto R B   y  /  2 x  y  z  0  z      Lo cual muestra que R A  R B Además se concluye que las tres filas de A son linealmente dependiente, que sólo 2 son independiente de acuerdo a lo que se observa en la matriz B (2 filas diferentes de cero). Por tanto ( A)  ( B)  2 .

Teorema

Sea A

n n

una matriz cuadrada. Entonces A es

inversible sí y sólo si ( A)  n . Ejemplo  1 1 3    0 4 Para la matriz anterior A   2  1 3 1    Se determinó que  ( A)  2 por tanto no es invertible. Además su determinante será cero.

167

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejercicios Propuestos 5.7 Determinar

1)

R A , C A , nuc( A) , Im(A) , bases y dim ensiones para:

1  A  2 3  1  4) A   4 7 

 1 2 3  A    4 5 6

2)

4  5 6 

2 3  5 6 8 9  1 2 3 4   6) A   5 6 7 8  9 0 1 2   2 3 4  1   8) A  5 6 7 8    3 4 6 8   

 1 2 3  3) A    2 4 6

 1 2 3   5) A   4 5 6   2 4 6   1 2 3 4   7) A   1 1 1 1   2 3 4 5  

5.8 CAMBIO DE BASE 5.8.1 VECTORES DE COORDENADAS. Definición

Sea S   v1 , v 2 ,

, vn 

una base de un espacio

Vectorial V . Entonces: v = 1 v1 +  2 v 2 

 n vn ; v  V

Se define el vector de coordenadas de v con respecto a S , denotado por  v S , como:

 v S

 1    2        n 

Ejemplo 1 En

2

 1   0     considerando la base canónica S1    ,    hallar el vector de coordenadas de 0 1       

 5 x =   con respecto S1 .  -4  SOLUCIÓN: Empezamos expresando el vector en términos de S1

 5 1   0    5   4   -4   0 1 

168

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 5   -4 

Entonces:  x S =  1

Note que es el mismo vector.

Ejemplo 2 Halle el vector de coordenadas del mismo vector anterior con respecto a esta otra base    1   1    2 . S2    ,    de 1 2       

Solución: Para determinar el vector de coordenadas del vector con respecto a esta base debemos poner el vector en combinación lineal de los vectores de S2 , es decir:

 5  1  1     1     2    4   1  2 y luego resolver el sistema que se forma:

1   2  5  1  2 2  4 De aquí se obtiene 1  2 y  2  3 , entonces:

 xS

2

 2 =   -3 

Observe que la representación matricial del sistema anterior es:

 1 1   1   5         1 2    2   4  Tiene la forma:

A  xS =  xS 2

1

Observe además que las columnas de la matriz A son las coordenadas de los vectores de la base S2 con respecto a la base S1 , es decir:

   1  A         1  S  1

  1         2   S1 

Esta matriz permite determinar las coordenadas del vector a la base S1 .

169

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

5.8.2 MATRIZ DE CAMBIO DE BASE. MATRIZ DE TRANSICIÓN. Definición S1   v1 , v 2 ,

Sean

, vn 

y

S2  u1 ,u2 ,

, un 

dos

bases de un Espacio vectorial V . La MATRIZ DE TRANSICIÓN de la base S1 a la base S2 , denotada como AS1S2 , se define como:

AS1S2 

 v 

1 S 2

 v 2 S

2

 v n S

2



La MATRIZ DE TRANSICIÓN de la base S2 a la base S1 , denotada como AS2 S1 , se define como:

AS2 S1 

 u 

u2 S

1 S 1

1

un S  1

Ejemplo Obtenga el vector de coordenadas del mismo vector anterior con respecto a esta base    1   2    2 , directamente y luego resuelva el problema empleando la S3    ,    de  1 1       

a

Matriz de Transición de la base S2

S3

Solución: PRIMERO, directamente, ponemos al vector en combinación lineal con respecto a esta base, es decir:  5  1  2     1     2    4   1   1 Al resolver el sistema:  1  2 2  5   1   2  4 Se obtiene 1  3 y  2  1 , entonces:

 xS

3

 3 =   -1 

SEGUNDO, empleando la Matriz de Transición de la base S2 a S3 .

     1  1    1   2   Tenemos S2    ,    y S3    ,    ,   1  2     1   1   v2  u1 u2  v1   Entonces AS2 S3 

 v 

1 S 3

 v2 S

la base S2 con respecto a S3 )

170

3

 (las columnas de A son las coordenadas de los vectores de

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz Las coordenadas del primer vector ser ían:

 1  1  2     1     2    1  1   1  1  2 2  1  1  3   2   1   2  1

 2

 3  Entonces  v1 S    3  2  Las coordenadas del primer vector ser ían:  1   1  2     1     2    2  1   1  1  2 2  1  1  3   2   1   2  2

 1

 3  Entonces  v 2 S    3  1  La Matr iz de transición sería:  3 3  AS2 S3      2 1 

 5   Ahora, hallemos  xS     2  4   S2  5  1  1     1     2    4   1  2

1   2  5  1  2 2  4

 1  2   2  3

 5    2 Entonces  xS        2  4    S2  3  Finalmente:

 3 3   2   3  = AS2 S3  xS        2  2 1  3   1  Que es el mismo resultado anter ior.

 xS

3

Ejercicios propuestos 5.8 1. En

2

  4  2   7     donde B1    ,    . Empleando Matriz de Transición  1  5 3          2   3    si B2 =   ,   .   1  2    

, sea  x B   1

hallar  x B

2

171

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

 1   0   1    2            1  donde B1   1  ,  1  ,  0   . Empleando Matriz de 1  4  0   1   1            3   1   0          Transición hallar  x B si B2   0 , 2 , 1  .       2  0   1   5        

2. En

3

, sea

 x B

5.9 BASES ORTONORMALES 5.9.1

Producto Interno vectores de n

Sean v1   x1 , x2 , x3 ,

Estándar

xn  y v 2   y1 , y2 , y3 ,

para

yn 

n vectores de . El Producto Interno Estándar se define como: v1  v 2  x1 y1  x2 y2   xn yn

Note que se trata del Producto Punto o Producto Escalar que definimos en el capítulo 3. En este caso se dice que Vectorial con Producto Interno.

n

es un Espacio

Aunque ya se estudió en el capítulo 3 a los vectores de embargo puntualicemos nociones que nos serán útiles.

5.9.2 Longitud o Norma

Sea v un vector de n . La Norma de v , denotada como v , está dada por:

v  vv 5.9.3 Vectores Ortogonales

Sean v1 y v 2 vectores de

n

. Entonces

v1 y v 2 son ortogonales si y sólo si v1  v 2  0

172

n

, sin

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Teorema Todo conjunto ortogonal de vectores, diferentes del vector nulo, es linealmente independiente. Demostración Sea

S  v1 , v 2 ,

, v n  un conjunto or togonal de vectores no nulos.

En la combinación lineal

c1v1  c2 v 2 

 cn v n  0 , hallemos las constantes.

 Realizamos el producto interno con

v1 , c1v1  v1  c2 v 2  v1   cn v n  v1  0  v1 0

Entonces: c1 v1  v1

0

0

0

v1 es diferente del vector nulo, entonces c1  0 .  Ahora realizamos el producto interno con v 2 c1 v1  v 2  c2 v 2  v 2   cn v n  v 2  0  v 2 Como

0

Entonces: c2 v 2  v 2

0

0

0

v 2 es diferente del vector nulo, entonces c2  0 .  Y así, realizamos el producto interno con v n c1 v1  v n  c2 v 2  v n   cn v n  v n  0  v n Como

0

Entonces: cn v n  v n Como

0

0

0

v n es diferente del vector nulo, entonces cn  0 .

Lo cual demuestra que S es Linealmente Independiente.

De acuerdo al teorema si tuviésemos un conjunto ortogonal vectores sería linealmente independiente, entonces surge interrogante ¿es posible obtener vectores ortogonales a partir de conjunto linealmente independiente?. Esta interrogante resolveremos luego.

de la un la

5.9.4 Conjunto Ortonormal

El conjunto S  u1 , u2 ,

, u n  es Ortonormal

si y sólo si:  ui  u j  0 para i  j   ui  u j  1 para i  j

173

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Es decir, S

es un conjunto constituido por vectores unitarios y

ortogonales. Un ejemplo típico es la base canónica para 1   0   0          S   0  , 1  ,  0    0   0   1         

3

Bien, ahora definiremos el procedimiento para obtener un conjunto no sólo ortogonal, sino también ortonormal, a partir de un conjunto linealmente independiente

5.9.5 Proceso de Gram-Schmidt para construir Bases Ortonormales A

partir

de

independiente,

S´ u1 , u2 ,

un se

, un 

conjunto puede

S  v1 , v 2 ,

hallar

un

, vn 

linealmente

conjunto

ortonormal

siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: Hallar el vector

u1

de la siguiente forma: u1 

v1 v1

Paso 2: Hallar el vector v 2´ v 2   v 2  u1  u1 . Luego el vector u 2 

Paso 3: Hallar

u3 

el

vector

v3´ v3   v3  u1  u1   v3  u2  u2 ,

v 2´ v 2´

luego

el

vector

v 3´ v 3´

Y así sucesivamente. Es decir: Paso n:

Hallar el vector v n ´ v n   v n  u1  u1   v n  u2  u2  el vector u n 

174

vn´ vn´

  v n  un1  un1 , luego

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo 1 Hallar una base ortonormal para V 

2

  1  2   a partir de la base S    ,    1  1   v2    v1

SOLUCIÓN: En este caso debemos hallar S  u1 , u 2  . Entonces: Paso 1:

u1 

v1 (1,1)  1 1    ,  v1 2  2 2

Paso 2:  2   2   v 2´ v 2   v 2  u1  u1          1   1  

1

    2  

1

2 1

2 1 2

  

 2  1  1 2      2  1 2 1  2   1 2    3 2       1   12   3 2    3 2  3  1 v 2´    2   32   1

Luego: 3  1,1 v 2´ u2   2 3 v 2´ 2 2  1 1  u2    ,  2 2 

  

Por tanto: S  

1

   1 2    ,  1    2  2 

2 1

Ejemplo 2

Hallar una base ortonormal para V 

3

   1   0   1          a partir de la base S   1  ,  1  ,  0    0   1   1           v1 v2 v3 

SOLUCIÓN:

En este caso debemos hallar S  u1 , u2 , u3  . Entonces: Paso 1:

u1 

v1 (1,1, 0)  1 1    , ,0 v1 2 2 2  

175

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz Paso 2:

 0   0   1 2    1 2          v 2´ v 2   v 2  u1  u1   1    1    1 2    1 2   1   1   0    0          1 0  2   1 1   1  2 2  1     0   0   12        1    12  1  0        12    v 2´  1 2    1   

Paso 3:

 1  1  1 2    2

1  1,1, 2   1 1 2  v 2´ Luego: u 2  2   , ,  1 v 2´ 6 6 6  6 2

v 3´ v 3   v 3  u1  u1   v 3  u 2  u 2  1    1   1 2    1 2   1    1 6     1 6                  0     0    1 2    1 2    0    1 6    1 6   1    1   0    0   1   2    2             6    6   1 6 1  1 2   1 1  1  1    0    6  2 2  6 2  1  0      6   1   12    16          0    1 2    16  1  0   1       3   1  23      v 3´    2 3   2 3  1   2   1  3    2 1, 1,1  1 1 1  v´ Luego: u3  3  3  , ,  2 v 3´ 3 3  3 3 3

 1     2   Por tanto S   12  ,      0  

1 6 1 6 2 6

    ,       

  1   3   1  3  

1 3

Ejemplo 3  x   

 

 z   

 

Hallar una base ortonormal para el subespacio H   y  / z  x  y  SOLUCIÓN:

1   0        Una base para H sería S=  0  , 1   1  1        Ortonormalizandola, tenemos:

176

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

u1 

Paso 1:

v1 (1,0,1)  1 1    ,0,  v1 2 2  2

Paso 2:

 0   0   1 2    1 2          v 2´ v 2   v 2  u1  u1   1    1    0    0   1   1   1   1       2    2   1 2 0    1   1   0  2 1  1    2  0   12       1   0  1  1     2   12    v 2´   1   1   2  1  1, 2,1  1 2 1  v 2´ Luego: u 2  2   , ,  1 v 2´ 6 6 6  6 2

 1  Por lo tanto una base ortonormal para H sería: S´   0  1 

  1   2 ,   1 2  2

   6    6  6

Ejercicios propuestos 5.9 1.

Hallar un conjunto ortonormal, a partir de:

1  1    1. S    ,      0  1   1  1   1          4. S   1  ,  0  ,  2    0   1   3         

2.

3.

Sea

V

para

H.

3

1  1    2. S    ,      2  1  

1   1   1         3. S   1  ,  0  ,  1   0  1   1        

1  1  1  0   1   1   1  0                     1 0 1 1   0 0 1 1  5. S    ,   ,  ,    6. S    ,   ,  ,            0  1  1  0    0   1   1  0  1  1  1  1    0   1   1  1      

 x      y el subespacio H   y  / x  2 y  3 z  0  . Encuentre una base ortonormal  z     

 x      Construy a una base ortonormal para el subespacio H   y  / x  2 y  z  0   z     

177

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

5.9.6 PROYECCIÓN ORTOGONAL

Sea S  u1 , u2 , u3 ,

, u k  una base ortonormal

de H , un subespacio del espacio vectorial V . Sea v  V . La proyección ortogonal de v sobre H , denotada por proy H v , se define como: proy H v   v  u1  u1   v  u1  u2 

  v  uk  uk

Note que lo que se trata de definir es no otra cosa que un procedimiento diferente y muy sencillo que permite expresar un vector en combinación lineal de una base ortonormal de un subespacio.

Ejemplo Sea V 

3

1    . Exprese el vector v   2  en términos de los vectores de la base 3  

 1    2       ortonormal S    1 ,   2    0     

1 6 1 6 2 6

   ,      

   1   3  1   3  1 3

SOLUCIÓN: Por definición proy 3 v   v  u1  u1   v  u2  u2   v  u3  u3

 1   12    12   1            proy 3 1, 2, 3    2    12    12     2                3 3 0  0           Esto quiere decir que: 1     2  3  

178

 1   2 3  1   2 2   0   

   7  6  

1 6 1 6 2 6

      

1 6 1 6 2 6

      

   2   3  

1 6 1 6 2 6

   1  3 1   3  1 3

,

entonces:

  1          2        3    

  1   3  1    3  1 3

  1  3  1  3  1 3

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Misceláneos 1. Determine si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justifique.

2 x  3 y  4 z  0 es un subespacio de 3x  y  z  0

a)

El Conjunto Solución del sis tema 

b)

La matriz 

c)

El conjunto x 2  1, x  1, x  1 genera a P2.

d)

3

.

  1 1 1 1  2 1    gen 1 1 , 0 3  2  2        





Sea el espacio vectorial

V

3

y el subconjunto

 x      H   y  / x  y  z  . Entonces H es un  z     

subespacio de dim ensión 2.

 x     V    / y  0  . V es un espacio Vectorial. y     

e)

Sea

f)

Sea

V  v1 , v 2  . Si v 2  2v1 Entonces S es un conjunto linealm ente dependiente.

g)

Sea

V  P2 y H  genx 2  2 x, x  3. El polinomio p( x)  x 2  x  3  H

h)

El conjunto S   

i)

2 2 El conjunto S  x  1, 2 x  x

j)

El conjunto

 2  1 0  2 0  3 0    1  , ,   ,   genera a V  M 22 0 1  1 0  1 1 1 1   





no genera a P2

1 0 1 2  0 1  0 0  1 2    S    , 0 0 ,  1 0 , 1 1 ,  0 1   0 0            

es

una base para

V  M2X 2 k)





3 2 2 Sea V  P3 y sean los polinomios S  2 x  x  3x  1, x  x  3, x  1

entonces S es

linealmente independiente.

l)

1   1  1         Sea el subespacio H=gen  2  ,  1   entonces el vector v   0   H  0   1   1        

m) Si el conjunto S= v1 , v 2 , v3 genera a un espacio vectorial

V y dimV 2 entonces S es

linealmente independiente.

V1 y V2 dos espacios vectoriales. Si la dimV1  2 y dimV2  3 entonces V1  V2

n)

Sean

o)

Sea

p)

Sea

q)

Si el conjunto

V un espacio vectorial. Si la dimV  3 y el conjunto S  v1 , v 2 , v3 , v 4  genera a V entonces el conjunto S es una base para V . V un espacio vectorial de dimensión n y sea el conjunto S= v1 , v 2 , v3 , n  1 v ectores de V . Entonces S genera a V .

, v n1 de

S1  v1 , v 2 , v3  es una base del espacio v ectorial V , entonces el conjunto

S2  v1 , v1  v2 , v1  v2  v3

 es otra base para V .

179

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

2.

2 x1  x 2  0  Determine una base y la dim ensión del espacio solución del sistema:  x 2  x 3  x 4  0 x  x  0 3  1

3.

Sean

V  P2 y los subespacios:

H1   p( x)  (a  b) x 2  ax  b / a, b 



H2   p( x)  P2 / p(1)  p(0) Encuentre 4.

H1  H2 , una base y su dimensión.  4 2 1   3 1 2  1 1 1   , ,   un subespacio de M 2 x 3 ,  3 2 1  2 2 2  1 a b    

Sea H=gen  

Determine los valores de “a” y “b” para que la dim ensión de H sea 2.

5.

Sea

V  M 2 X 2 y sean los subconjuntos  a b  H1    /a  c d  



  , b, c, d    

H2   A  M / A  AT 

a a  c     H3     / a, c,  c 0      a) Determine cuál de los subconjuntos es un subespacio y cuál no. b) Encuentre la intersección entre los subespacios encontrados. c) Determine una base y la dimensión de los subespacios encontrados y de la intersección.

V  3 y sean los siguientes subconjuntos:  x    x    x            H1   y  / x  2t , y  3t , z  t  , H 2   y  / x  y  z  0  y H3   y  / y  0   z    2 y    z           

6.

Sea

a) Demuestre cual de los subconjuntos son subespacios y cuales no. b) Encuentre la intersección entre los subespacios. c) Encuentre una base y la dimensión de los subespacios, incluidos la intersección.

7.

Sea V 

3

y sean

1  0    x    x              H1 =gen 1 , 1   , H 2   y  / x  y  0  , H3   y  / y  0  . 1  0    z    z              a) Demuestre formalm ente cual de los subconjuntos es Subespacio. b) Encuentre la intersección de los subespacios encontrados. c) Encuentre una base y la dim ensión de los subespacios encontrados y también de la intersección. 8.

Sea

V  M 22 y los subconjuntos:  1 2  0 1     H1 =gen   ,     1 1 0 2      a b   H2   / a  d  c  1 y  c d       b  a H3     / a, b, c,  c a  b  

    

a) Determine cuál de los subconjuntos es un subespacio vectorial b) Encuentre la intersección entre los subespacios encontrados

1 2  pertenece al subespacio intersección encontrado. 1 0

c) Determine si la matriz 

180

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

d) Encuentre una base y la dim ensión de los subespacios encontrados y de la intersección.

Sea

9.

V  P2 .

Y sean los subconjuntos:

H1   p  x   P2

/ p´ 2   p 1 

  H 2   p  x   P2 / p   0    



1

 0

  p  x  dx   

H3 = p  x   a1  x  x   a2  x  1  1 / a1 , a2  a) b) c)

2



Determine ¿Cuál de esos subconjuntos son subespacios? Determine las intersecciones entre los subespacios encontrados. Determine la base y dim ensión de los subespacios y de las intersecciones entre los subespacios.

10. Sea

V  M 2 x 2 , considere:  a  H1    0 

a   / a, d  d 

    

1 1  1 0   0 0     H 2 =gen  , ,  1 1  0 0   0 1     a) Encuentre H1  H 2 b) Demuestre que H1  H 2 es un subespacio de V, bajo las operaciones convencionales. c) Determine una base y la dim ensión para H1  H 2 . 11. Sea V 

3

y los subconjuntos

H1  at 2  bt  c / a  b  c H2  at 2  bt  c / a  b H3  at 2  bt  c / 2a  b  c

a) Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. b) Halle la intersección de los subespacios encontrados c) Determine una base y la dim ensión de los subespacios encontrados y de la intersección.

 2   1   1   2            0 2 2   1 12. Sea S    ,   ,   ,     1   0   1   1            0   1   2   1    

a) Demuestre si el conjunto es linealm ente independiente b) Determine si S genera a 4 . Si no genera a 4 , encuentre el subespacio generado. d) Encuentre una base y la dim ensión del subespacio generado.

13. Sea

   a b    / a  d  0 ,  c d    

V  M 22 y los subconjuntos H1  

 a b     H 2    / a  b  c c d      a) b) c)

Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. Halle la intersección de los subespacios encontrados Determine una base y la dim ensión de los subespacios encontrados y de la intersección.

14. Sea V 

3

y los subconjuntos

 x    H1   y  / x   z    a) b) c)

 a b      / 2a  b  c  c d     

y H 3  

  x       y , H 2   y  / x  y  z    z      

 x   

 

 z   

 

y H 3   y  / 2 x  y  z 

Demuestre cual de los subconjuntos es un subespacio. Halle la intersección de los subespacios encontrados Determine una base y la dim ensión de los subespacios encontrados y de la intersección.

181

Cap. 5 Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

  2 1   1 0   1 2   2 2    , , ,   1 0 0  1  1 2  1 1            

15. Sea S  

a) Demuestre si el conjunto es linealm ente independiente b) Determine si S genera a M 2 2 . Si no genera a M 2 2 , encuentre el subespacio generado. c) Encuentre una base y la dimensión del subespacio generado. 16. Determine si las siguientes proposic iones son VERDADERAS o FALSAS. JUSTIFIQUE formalmente su respuesta: a) Sea A una matriz de 3x3 tal que detA=0. Entonces el máximo rango que tiene la matriz es 3 y la mínima nulidad es 0.

A33 una matriz . Si det A  0 entonces el valor de ( A)  3 c) Sea A23 una matriz cualquiera, entonces su espacio fila interceptado con su espacio columna b) Sea

origina un subespacio vectorial. d) Si

A33 cuyo det  0 , entonces RA  CA 

3

.

 1  1 0  1 2  1 encuentre:   0  1 1

17. Para la siguiente matriz

a) El espacio fila, base y dim ensión. b) El espacio columna, base y dim ensión. c) El núcleo de A, base y dim ensión. d) El recorrido de A, base y dimensión.

 1 

1 0 2  2 1 0  . Encuentre:  1 1 1 6   

18. Sea A   2

a) El espacio fila, base y dim ensión. b) El espacio columna, base y dim ensión. c) El núcleo de A, base y dim ensión. d) El recorrido de A, base y dimensión. 19. Califique las siguientes proposic iones como VERDADERAS o FALSAS. Justifique su respuesta.





a) El conjunto S= 1,0, 1 ,  0,1,0  es un conjunto ortonormal b) Si un conjunto de v ectores es ortogonal, entonces es un conjunto linealm ente independientes. c) Sea

V

20. Encuentre

2

 1   2     , entonces B es una base ortogonal de V .  2   1  

y B=   , 

una

base

ortonormal

B=1,1,1 ,  1,0, 1 ,  1,2,3 3

22. Sea

V

 x     y 4 , H=    / z  x  y , w  z   z    w 

23. Sea

V

4

partir

de

la

siguiente

. Halle una base ortonormal considerando S=  1 , 1 , 1       

  2 1   5         

   x . Encuentre una base ortonormal para H .   

donde se ha definido el producto interno canónic o y

S= a) b)

a

  1   2  4        

V

21. Sea

182

3

para



1 2

,0,

1 2



,0 , 0, 

1 2

,0,

1 2

,

1 2



,  12 ,  12 ,  12 

Pruebe que el conjunto es ortonormal Ex prese el vector v  (1,1,1,1) como una combinación lineal de S.

base