Flussi Fanno - Rayleigh

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Flusso di Fanno

Flusso di Rayleigh

Fanno&Rayleigh 1

Fluidodinamica

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Dipartimento di Energetica - S.Stecco Nelle puntate precedenti …

Ipotesi: a. moto stazionario b. condotto a sezione variabile c. flusso monodimensionale d. gas perfetto e. flusso adiabatico f. assenza di attrito

Flusso di Fanno Ipotesi: a. moto stazionario b. condotto a sezione costante c. flusso monodimensionale d. gas perfetto e. flusso adiabatico f. presenza di attrito Esempio: gasdotti, trasporto di fluidi per processi chimici Fanno&Rayleigh 2

Flusso di Rayleigh Ipotesi: a. moto stazionario b. condotto a sezione costante c. flusso monodimensionale d. gas perfetto e. assenza di attrito f. presenza di scambio termico Esempio: camera di combustione con forte eccesso d’aria Fluidodinamica

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PERCHE’? Fanno&Rayleigh 3

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Fanno&Rayleigh 4

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Fluidodinamica

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Da un punto di vista monodimensionale, i fattori più comuni che producono variazioni continue nello stato di un fluido sono:

• Variazione di sezione • Attrito • Scambio termico

(ugello, già visto)

(Fanno, oggi)

(Rayleigh, domani)

Se non si smarrisce la visione di insieme delle cose che studiamo (universitas), si capisce meglio il senso di ciò che ci viene proposto e si è capaci di usare tutti gli strumenti messi a nostra disposizione. Fanno&Rayleigh 5

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Ugello convergente-divergente Ipotesi: a. moto stazionario b. condotto a sezione variabile c. flusso monodimensionale d. gas perfetto e. flusso adiabatico f. assenza di attrito

Flusso di Fanno Ipotesi: a. moto stazionario b. condotto a sezione costante c. flusso monodimensionale d. gas perfetto e. flusso adiabatico f. presenza di attrito Esempio: gasdotti, trasporto di fluidi per processi chimici Fanno&Rayleigh 6

Flusso di Rayleigh Ipotesi: a. moto stazionario b. condotto a sezione costante c. flusso monodimensionale d. gas perfetto e. assenza di attrito f. presenza di scambio termico Esempio: camera di combustione con forte eccesso d’aria Fluidodinamica

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Flusso di Fanno – A=Cost , q=0, stazionario, attrito d ρ dV Continuità (legame tra densità e ρV = G = Cost ⇒ + =0 ρ V velocità) V2 G2 h0 = Cost ⇒ h + = Cost ⇒ h = h0 − 2 2ρ 2 s = s ( h, ρ )

Fanno&Rayleigh 7

Energia (legame entalpia e densità)

tra

Equazione di stato (legame tra entropia, entalpia e densità)

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Introduciamo l’ipotesi di gas perfetto

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p = ρ RT

dh = C P dT

Per descrivere qualitativamente questa tipologia di flusso può essere utile seguirne la trasformazione nel diagramma T-S. Partendo dalla seconda legge della termodinamica si vuole ottenere una espressione che lega la variazione di entropia alla velocità ed alla temperatura del fluido. Per far questo si può scrivere la seconda equazione del Tds ed utilizzare la legge di stato dei gas perfetti (nella sua espressione in forma integrale e differenziale):

p = ρ RT ⇒ dp = d ρ + dT ρ p T ⎛ d ρ dT ⎞ dp dp Tds = dh − = C P dT − RT = C P dT − RT ⎜ + ⎟ p T ρ ρ ⎝ ⎠

Fanno&Rayleigh 8

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Inoltre dall’equazione di continuità valida per flussi monodimensionali:

dρ

ρ

=−

dV V

⎛ d ρ dT ⎞ ⎛ dV dT ⎞ Tds = C P dT − RT ⎜ C dT RT + = − + P ⎜− ⎟ ⎟ T V T ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dall’equazione dell’energia possiamo ottenere un legame tra dV e dT:

1 1 2 T0 = T + V = Cost ⇒ dT + VdV = 0 ⇒ 2C P CP ds C P ⎛ 1 dV 1 ⎞ = − R⎜− + ⎟ dT T ⎝ V dT T ⎠

1⎞ ds C P ⎛C = − R ⎜ P2 + ⎟ dT T T⎠ ⎝V

C dV =− P dT V ds Cv RC P = − 2 dT T V

Questa equazione può essere integrata dando luogo alla curva in figura nel diagramma T – s detta linea di Fanno. Questa curva presenta un punto a tangenza verticale in cui (ds/dT) = 0 . Fanno&Rayleigh 9

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Esempio 1: Aria fluisce in un condotto adiabatico di sezione costante a T0=288K e valori in ingresso T1=286K e p1=98.6kPa. Si tracci la curva di Fanno per il flusso descritto. Soluzione Possiamo calcolare M1 , ρ1 e V1

T0 k −1 2 = 1+ M 1 ⇒ M 1 = 0.2 2 T1

⇒ ρV = ρ1V1 =

p1 M 1 kRT1 RT1

Poniamo ad esempio p=48.3kPa

( ρV ) 2 T 2 T0 = T + 2C P ( p 2 R 2 ) dp dp Tds = dh − = C P dT − RT p ρ

T p ⇒ s − s1 = C p ln − R ln T1 p1

E cosi via per diverse pressioni. L’importante è capire che la curva di Fanno è il luogo dei punti che descrivono i possibili stati del fluido con quella data T0 e con quella data portata. Fanno&Rayleigh 10

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Nel punto a tangenza verticale:

CP ds Cv = −R 2 =0 dT T V Cp Cv CP 2 =R 2 ⇒ V =R T T V Cv Va = γ RTa Questo implica che nel punto a la velocità assume il valore sonico e quindi il numero di Mach è unitario. Poiché la temperatura totale è la stessa per ogni punto di una linea di Fanno la temperatura statica nel punto a coincide con quella critica T*. Questo punto permette di dividere la linea di Fanno in due rami rispetto al valore di T*. Il ramo superiore corrisponde a condizioni di regime per un flusso subsonico, caratterizzate da temperature superiori a quella critica e quindi Mach minori di 1. Il ramo inferiore rappresenta invece condizioni di flusso supersonico. Fanno&Rayleigh 11

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II secondo principio della termodinamica sancisce che in un sistema adiabatico, (in cui non ci sono scambi di calore con l’ambiente esterno), l’entropia può solo aumentare per effetto delle trasformazioni irreversibili che avvengono al suo interno, per esempio in seguito alla dissipazione di energia a causa dell’attrito. Questo implica che lungo la curva di Fanno ci si può spostare solamente verso la parte destra, cioè il sistema può evolvere solamente verso valori crescenti di entropia. Se il flusso entra subsonico (1) il numero di Mach potrà solo aumentare, mentre, se entra supersonico (1’), potrà soltanto diminuire. Flusso Subsonico

Fanno&Rayleigh 12

Flusso Supersonico

Flusso Supersonico + Urto Retto

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Consideriamo il caso in cui le condizioni del flusso (portata e entalpia totale) e la lunghezza del condotto siano tali che in uscita si abbia M=1. Immaginiamo di aumentare la lunghezza del condotto: cosa succede?

1) Se il flusso in ingresso è subsonico, non è possibile smaltire la portata assegnata, che deve essere diminuita 2) Se il flusso in ingresso è supersonico, si verifica un urto Flusso Supersonico + Urto Retto

Ciò significa che, per le condizioni assegnate, la lunghezza massima che consente l’efflusso del fluido senza variazioni di tali condizioni e senza discontinuità delle proprietà del fluido è proprio la lunghezza per cui in uscita si ha M=1. Fanno&Rayleigh 13

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Fino ad ora abbiamo visto qualitativamente cosa accade nei vari casi per un flusso di Fanno. Chiediamoci adesso come incide quantitativamente la presenza di attrito sulle proprietà termodinamiche del fluido evolvente. Per fare questo introduciamo l’equazione della quantità di moto, l’unica in cui appare esplicitamente il termine di attrito.

( ρVA ) dV

1 τ w = f ρV 2 2

= − dpA − τ wπ Ddx

Sfruttando le equazioni viste fino da ora in forma differenziale (continuità, energia, quantità di moto, equazione di stato…) si ottengono delle relazioni che legano le proprietà del fluido al numero di Mach (M), al coefficiente di attrito ( f ), al tipo di fluido (k) e alla geometria del condotto (D):

dp dV dT dp0 , , , ....... = g ( M , f , k , D ) p V T p0 Esempio:

dp =− p

kM 2 ⎡⎣1 + ( k − 1) M 2 ⎤⎦ 1− M

Fanno&Rayleigh 14

2

dx 4f D

M1 p cresce Fluidodinamica

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Le formule vanno sapute leggere più che imparate a memoria. Se uno le sa interpretare, con in aggiunta l’aiuto della curva di Fanno, giunge alle seguenti conclusioni:

M1

p M V T ρ p0 N.B. L’unica grandezza su cui è impossibile sbagliarsi è la pressione totale, che diminuisce sempre a causa delle forze di attrito! Fanno&Rayleigh 15

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Integrando le relazioni viste in forma differenziale si ottengono delle formule utili per la risoluzione pratica dei flussi di Fanno. Si utilizza il numero di Mach come variabile indipendente. kM 2 ⎡⎣1 + ( k − 1) M 2 ⎤⎦ dp dx Esempio: f =− 4 p D 1− M 2

Sfruttando la relazione Si ottiene:

( k − 1) M 2 ⎤ 2 ⎡ kM 1 + ⎢ ⎥ 2 dM 2 ⎣ ⎦ 4 f dx = 1− M 2 M2 D

dp p = g (k , M ) 2 2 dM M

e si integra separando le variabili.

Come estremi di integrazione si scelgono quelli riferiti alla generica sezione in cui si ha una data coppia (M,p) e la sezione dove si ha M=1, in cui, quindi, la pressione è quella critica. Passaggi analoghi si fanno per le altre grandezze. Si ottengono dunque relazioni tra il rapporto p/p* (e analogamente T/T *, ρ/ρ * …) e il numero di Mach. N.B. Essendo p* costante per un dato flusso (e analogamente T *, ρ * …) , è opportuno che funga da riferimento! Fanno&Rayleigh 16

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Come detto le altre grandezze tipiche del flusso di Fanno possono essere ottenute in modo analogo integrando i differenziali tra le condizioni locali e quelle critiche.

dT k −1 =− T 2

1 dM 2 k − 1) 2 ( 1+ M 2

( k + 1) T = T ∗ 2 + ( k − 1) M 2 1/ 2

V M kRT T = =M ∗ * * V T kRT

ρ V = ∗ ρ V

*

p ρ RT ρ T = = p ∗ ρ * RT * ρ * T *

Fanno&Rayleigh 17

⎧⎪ ⎫⎪ V k +1 =M⎨ 2 ⎬ ∗ V 2 k 1 M + − ( ) ⎩⎪ ⎭⎪

2 1 ⎧⎪ 2 + ( k − 1) M ⎫⎪ ρ = ⎨ ⎬ ∗ M ⎪⎩ k +1 ρ ⎭⎪

1/ 2

⎫⎪ k + 1) ( p 1 ⎧⎪ = ⎨ ⎬ ∗ p M ⎩⎪1 + ( k − 1) M 2 ⎭⎪

1/ 2

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( k + 1) ⎫⎪ p 1 ⎧⎪ = ⎨ ⎬ p ∗ M ⎪⎩1 + ( k − 1) M 2 ⎪⎭

1/ 2

k + 1) ( T = ∗ T 2 + ( k − 1) M 2

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.......

TABELLE DI FANNO

Fanno&Rayleigh 18

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E’ utile calcolarsi la lunghezza del condotto per cui si raggiunge la condizione M=1 in uscita ⎡ ( k − 1) 2 ⎤ kM M ⎥ ⎢1 + 2 2 dM ⎣ ⎦ 4 f dx = 1− M 2 M2 D 2

4 f ( L* − L ) D

∫

1

M2

4 f ( L* − L ) (1 − M 2 ) d ( M 2 ) 4 L* = ∫ f ⋅ dx = k −1 2 ⎞ D L D 4⎛ kM ⎜ 1 + M ⎟ 2 ⎝ ⎠

2 2 1 (1 − M ) k + 1 ⎪⎧ ⎣⎡ ( k + 1) / 2 ⎦⎤ M ⎪⎫ = + ln ⎨ 2 2 ⎬ k M 2k + ⎡ − ⎤ k M 1 1 / 2 ) ⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎣ (

Per un dato condotto L* rappresenta la distanza richiesta prima che, a causa delle azioni di attrito, il numero di Mach locale diventi unitario. Questa relazione è utile per valutare l’evoluzione di un fluido all’interno di un condotto di Fanno di lunghezza generica L, note per esempio le condizioni di ingresso. N.B. Il coefficiente di attrito f è considerato costante o sostituito con il valore medio assunto all’interno della distanza di integrazione. Fanno&Rayleigh 19

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Esempio 2: Consideriamo un flusso di Fanno con f=0.01 e D=0.1m, M1=0.3 e M2=0.7. Si calcoli la lunghezza del condotto. Inoltre, sapendo che il fluido è aria e che p1=3bar e T1=300K, si calcolino le proprietà del fluido in uscita.

Soluzione Dalle tabelle:

4 fL1* = 5.2993 D

L1* = 13.25

Ancora dalle tabelle:

4 fL2* = 0.2081 D

L2* = 0.52

p1 * = 3.6191 ⇒ p = 0.83bar * p

L = L1* − L2* = 12.73 p2 = 1.4935 ⇒ p2 = 1.24bar p*

Analogamente per la temperatura e per la densità Fanno&Rayleigh 20

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Esempio 3: Dell’aria (T0=288°K, p0=101kPa) fluisce da un ugello semplicemente convergente in un condotto adiabatico con attrito. Il condotto è lungo 2m ed ha un diametro di 0.4m. Il coeff. di attrito medio è 0.02. a) Calcolare la portata massima che il condotto può smaltire. b) In questa configurazione calcolare, pressione statica e totale, temperatura statica e totale, velocità in ingresso ed uscita. Soluzione La massima portata si ottiene quando la contropressione è tale da causare il chocking del condotto e quindi quando il Mach in uscita è pari ad 1. In questa situazione, ipotizzando di prendere x=0 all’ingresso del condotto avremo la lunghezza critica coincidente con la lunghezza del condotto L. 4 fL* 4 ⋅ 0.02 ⋅ 2 = = 0.4 D 0.4 E’ possibile calcolare il numero di Mach invertendo la funzione di Fanno o più semplicemente interpolando i valori dalla tabella dei flussi di Fanno. Infatti dalla tabella si vede che: MI=0.62 FI(M)=0.4172 MII=0.64 FII(M)=0.3533 Fanno&Rayleigh 21

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M = M1 +

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( M II − M I ) 0.02 ( F − FI ) = 0.62 + ( 0.4 − 0.4172 ) = 0.625 ( FII − FI ) 0.3533 − 0.4172

Noto il valore di Min=0.625 è possibile calcolare tutte le grandezze statiche e totali in ingresso al tubo di Fanno, sapendo che l’efflusso nell’ugello è adiabatico ed isoentropico (temperatura totale e pressione totale si conservano): pin 1 = = 0.768 ( k /( k −1) ) 2 p0 (1 + 0.5 ( k − 1) M ) in

Tin 1 = = 0.927 2 T0 1 + 0.5 ( k − 1) M in

pin = 0.768 p0 = 101 ⋅ 0.768 = 77.6 kPa

Tin = 0.927 p0 = 288 ⋅ 0.927 = 267 K

ρ in =

pin kg 77600 = = 1.08 3 RTin 287 ⋅ 267 m

Vin = M in kRTin = 0.625 ⋅ 1.4 ⋅ 287 ⋅ 267 = 204 m / s

m = ρ in AinVin = 204 ⋅

Fanno&Rayleigh 22

π ⋅ 0.4 2 4

⋅1.08 = 27.69 kg / s

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Nella sezione di uscita, sappiamo che il flusso e critico per cui Mou=1 e che la temperatura totale si conserva, T0out=T0in: Tou 2 Tou = T0 ou ⋅ 0.833 = 288 ⋅ 0.833 = 240 K = = 0.833 T0 ou k + 1 Vout = M out kRTout = 1.00 ⋅ 1.4 ⋅ 287 ⋅ 240 = 311m / s Per il calcolo delle altre grandezze è necessario conoscere la pressione totale o la statica. Per far questo si possono utilizzare nuovamente le tabelle, interpolando tra i valori di Mach più vicini. Infatti dalla tabella si vede che: MI=0.62 P0/P0*=1.1657=GI MII=0.64 P0/P0*=1.1451=GII Interpolando linearmente: P0 (G II − G I ) 1.1451 − 1.1657 M M 1.1657 = GI + − = + + ( ( 0.625 − 0.620 ) = 1.159 I ) P0* ( M II − M I ) 0.02 P0 ou

P = P0* = P0 ⋅ 0* = 101/1.159 = 87.07 kPa P0

pou = p0 ou ⋅ 0.528 = 45.99kPa Fanno&Rayleigh 23

p0 ou ⎛ k + 1 ⎞ =⎜ ⎟ pou ⎝ 2 ⎠

( k /( k −1) )

= 0.528

Analogamente per le altre grandezze Fluidodinamica

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Ugello convergente-divergente Ipotesi: a. moto stazionario b. condotto a sezione variabile c. flusso monodimensionale d. gas perfetto e. flusso adiabatico f. assenza di attrito

Flusso di Fanno Ipotesi: a. moto stazionario b. condotto a sezione costante c. flusso monodimensionale d. gas perfetto e. flusso adiabatico f. presenza di attrito Esempio: gasdotti, trasporto di fluidi per processi chimici Fanno&Rayleigh 24

Flusso di Rayleigh Ipotesi: a. moto stazionario b. condotto a sezione costante c. flusso monodimensionale d. gas perfetto e. assenza di attrito f. presenza di scambio termico Esempio: camera di combustione con forte eccesso d’aria Fluidodinamica

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Esempio 2: Consideriamo un flusso di Fanno con f=0.01 e D=0.1m, M1=0.3 e M2=0.7. Si calcoli la lunghezza del condotto. Inoltre, sapendo che il fluido è aria e che p1=3bar e T1=300K, si calcolino le proprietà del fluido in uscita.

Soluzione Dalle tabelle:

4 fL1* = 5.2993 D

L1* = 13.25

Ancora dalle tabelle:

4 fL2* = 0.2081 D

L2* = 0.52

p1 * = 3.6191 ⇒ p = 0.83bar * p

L = L1* − L2* = 12.73 p2 = 1.4935 ⇒ p2 = 1.24bar p*

Analogamente per la temperatura e per la densità Fanno&Rayleigh 25

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Flusso di Rayleigh – A=Cost , f=0, stazionario, scambio termico d ρ dV Continuità ρV = G = Cost ⇒ + =0 V ρ q = h02 − h01 Energia p + ρV 2 = Cost s = s ( h, ρ )

Fanno&Rayleigh 27

⇒ p+

h = h( p, ρ )

G2

ρ

= Cost

Quantità di moto Equazione di stato

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Introduciamo l’ipotesi di gas perfetto p + ρV = Cost 2

⇒ dp + ρVdV = 0

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p = ρ RT

dh = C P dT

Equzione della quantità di moto in forma differenziale

ds C p V dV Tds = dh − = C p dT + VdV ⇒ = + dT T T dT ρ dV d ρ d ρ dT dp dV dT − ρVdV − = + = − + = ρ V T p V T ρ ρ RT dT ⎛ T V ⎞ ⎛ 1 V ⎞ dT =⎜ − ⎟ dV ⎜ − = ⎟ dV ⎝ V R ⎠ ⎝ V RT ⎠ T dp

1 ds C p V = + dT T T T V −V R Questa equazione può essere integrata dando luogo alla curva in figura nel diagramma T – s detta linea di Rayleigh. Questa curva presenta un punto a tangenza verticale in cui (ds/dT) = 0 . Fanno&Rayleigh 28

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Nel punto a tangenza verticale, in analogia con il flusso di Fanno, si dimostra che si ha M=1. Un altro punto particolare della curva di Rayleigh è rappresentato dal punto b in cui la curva ha tangente orizzontale.

1 ds C p V = + =0 Ma =1 dT T T T V −V R dT 1 = =0 RT 1 1 ds C p V Mb = = + k kRT T T T V −V R Siccome k è maggiore di 1 il punto b corrisponde necessariamente a condizioni di flusso subsonico. Per comprendere completamente l’evoluzione di un flusso di Rayleigh è utile conoscere anche l’andamento della velocità. Per questo è utile, considerare l’equazione dell’energia in forma differenziale, con dq calore infintesimo scambiato per unità di massa .

dh + VdV = dq dT ⎛ T V ⎞ =⎜ − ⎟ dV ⎝ V R ⎠ Fanno&Rayleigh 29

⎡ ⎤ ⎛T V ⎞ C p dT + VdV = ⎢C p ⎜ − ⎟ + V ⎥ dV = dq R⎠ ⎝V ⎣ ⎦

dV dq 1 = V c p T (1 − M

2

)

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Nel caso di riscaldamento (reversibile!!!) del fluido dq è positivo e l’entropia aumenta. Nel diagramma T-s la curva viene pertanto percorsa da sinistra verso destra (stesso effetto dell’attrito per flusso di Fanno). In condizioni di moto iniziale supersonico la temperatura aumenta fino al punto a, oltre il quale, non potendo ulteriormente incrementare l’entropia, non è più possibile cedere calore al fluido.

Per quantificare il comportamento di un flusso di Rayleigh si devono sviluppare appropriate forme delle equazioni che governano il sistema. Usando come stato di riferimento quello del flusso in condizioni soniche identificato dal punto a della figura si possono ottenere alcune espressioni che legano le grandezze fluidodinamiche in una generica sezione a quelle critiche in funzione del Mach locale (in totale analogia con il flusso di Fanno). Queste funzioni vengono riportate nelle tabelle di Rayleigh e rendono possibile determinare il comportamento delle diverse grandezze al variare del Mach e del calore scambiato (in particolare del suo segno). Fanno&Rayleigh 30

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dV dq 1 = V c p T (1 − M

2

)

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In condizioni di moto subsonico, cedendo calore al fluido, la temperatura aumenta fino al punto b, oltre il quale, pur continuando a cedere calore la temperatura diminuisce! Una volta giunti al punto a anche nel caso subsonico non è più possibile continuare a cedere calore al fluido. Con M< 1 la relazione vista ci dice che dV è positivo e che quindi il flusso sta accelerando. Il comportamento nel tratto compreso tra a e b è spiegabile come segue: la temperatura totale aumenta (rilascio di calore positivo), ma l’aumento di velocità è più rapido dell’aumento della temperatura totale stessa; ciò comporta che parte dell’energia termica è richiesta per l’aumento dell’energia cinetica (velocità).

T0 (↑) = T (↓) +

1 V 2 (↑↑) 2C P

Nel flusso di Rayleigh è possibile passare dal ramo supersonico a subsonico della curva attraverso un urto retto (analogia col flusso di Fanno). Fanno&Rayleigh 31

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Dall’equazione della quantità di moto ρ aVa 2 a 2 = k p a p ⎛ ρV 2 ⎞ p ρV 2 2 2 1+ + = 1+ p + ρV = p a + ρ aVa a ⎟ = 1+ k ρ a p a ⎜⎝ p ⎠ pa pa pa Dall’equazione di continuità e legge dei gas perfetti: p ρ T 1 Ta T 1 T kRTa ρ Va 1 Ta = = = = = = p a ρ a Ta M T Ta M Ta ρa V M T M kRT ⎡ (1 + k ) M ⎤ ⎛ T p ⎞ = ⎜M = ⎟ ⎢ 2 ⎥ 1 Ta ⎝ pa ⎠ kM + ⎣ ⎦ 2

2

1 ⎛ (1 + k ) M ⎞ ρ = ⎜ ⎟ ρ a M ⎝ 1 + kM 2 ⎠

p 1+ k = p a 1 + kM 2

⎡ (1 + k ) M ⎤ V =M ⎢ 2 ⎥ + Va 1 kM ⎣ ⎦

La temperatura totale varia per effetto dello scambio termico, e può essere calcolata osservando che: 2 1 k M + ⎛ ⎞ ) T0 T T Ta ⎛ 2 k −1 2 ⎞ ( = 0 = ⎜1 + M ⎟⋅⎜ 2 ⎟ + 2 1 T0, a T Ta T0 a ⎝ kM ⎠ ⎝ ⎠ k +1 T0 T0, a

k −1 2 ⎞ ⎛ M ⎟ (1 + k ) M 2 2 ⎜1 + 2 ⎠ = ⎝ 2 2 (1 + kM )

Fanno&Rayleigh 32

1+ k ) ⎡ 2 ⎛ ( p0 k − 1 2 ⎞⎤ M ⎟⎥ = ⎜1 + 2 ⎢ p 0, a 1 + kM ⎣ (1 + k ) ⎝ 2 ⎠⎦

k

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( k −1)

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Riscaldamento q>0

M1

!!!!!

Raffreddamento q