Flujo Maximo

 

Optimización y Programación Lineal Programación Lineal: Flujo Máximo Departamento de Matemáticas

ITESM

Programación Lineal: Flujo Máximo

TC3001 p. 1/8

 

Red de Transporte Una  Red de Transporte es Una Red Transporte  es un grafo dirigido con peso   (V , E , c) c) donde hay dos vértices distinguidos: uno llamado fuente llamado  fuente  s  y otro llamado sumidero llamado  sumidero   t. Se asume que todo vértice del grafo   v   ∈   V  



está en un camino   s v t. El peso de cada lado debe ser no negativo y se considera la considera  la capacidad del capacidad  del lado. Si  e ∈ /   E ,   c(e) = 0. 16 s

12  

v1 4

 

v2

20 t

7

10 9

13

4

v4

14

v3

Red de Transporte Un Flujo Ejemplo El problema Max Flow LP Max Flow en LINGO ´ 1 Aplicacion

Programación Lineal: Flujo Máximo

TC3001 p. 2/8

 

Flujo en una Red Un  flujo   f  en Un flujo   en una red de transporte   (V , E , c) c)  es una asignación a cada lado de la red  e   ∈   E  de   de un valor numérico   f  f ((e)  que satisface: 1. Rest Restricció ricción n de capacidad capacidad::   ∀e   ∈   E :

Max Flow en LINGO ´ 1 Aplicacion

0   ≤   f  f ((e)   ≤   c(e) 2. Cons Conservac ervación ión del flujo: flujo:  ∀v   ∈   V   − {s, t}:



f ((x, v )   = f 

(x,v)∈E



f ((v, y ) f 

(v,y )∈E

Esto es para cualquier nodo   v , diferente de   s   y de   t,  el flujo total que llega al nodo   v  es igual flujo igual  flujo total que sale de   v . El valor El  valor del flujo   f  se   se define como:

|f |   =



(s,v )∈E

Esto es, el flujo total que sale de   s.

f ((s, v ) f 

Red de Transporte Un Flujo Ejemplo El problema Max Flow LP

Programación Lineal: Flujo Máximo

TC3001 p. 3/8

 

Ejemplo de un flujo en una red Cada lado tiene dos valores asignados, una alternativa es una fracción simulada: el número en el numerador representa el flujo el  flujo en el lado; lado; el valor en el denominador representa la capacidad la  capacidad del lado. lado.

s

12 /   12 12

v1

11 / 16 16

1 / 4

 

v2

0 / 10 10

t

4 / 9 8 / 13 13

4 / 4

v4

v3 11 / 14 14

Aquí   |f |   = 19.

Max Flow en LINGO ´ 1 Aplicacion

15 / 20 20

7 / 7

Red de Transporte Un Flujo Ejemplo El problema Max Flow LP

Programación Lineal: Flujo Máximo

TC3001 p. 4/8

 

El problema Dada una red de transporte   (V , E , c) c)  encontrar un flujo   f   con máximo valor   |f |.

La formulación como LP es directa: Para cada lado   e   ∈   E  se   se tiene una variable de decisión   xe  que representa el flujo en el lado   e   con restricciones  0   ≤   xe   ≤   c(e). Objetivo:



Max   z   =

xe

e   ∈   E  e   = (s, v ) Sujeto a para cada vértice   v  diferente de   s   y de   t:



e=(x,v)∈E

xe   =



e′ =(v,y )∈E

xe

′

Red de Transporte Un Flujo Ejemplo El problema Max Flow LP Max Flow en LINGO ´ 1 Aplicacion

Programación Lineal: Flujo Máximo

TC3001 p. 5/8

 

c(e3 ) v1 c(e1 )

= 12

 

v2

= 16

c(e4 ) c(e10 10) )

s   =   x6

c(e9 )

= 10

= 4

c(e5 )

c(e8 ) c(e2 )

= 20

=9

= 13 v4

v3 c(e7 )

t   =   x5

= 7

c(e6 )

= 4

= 14

0   ≤   x61   ≤   16 0   ≤   x64   ≤   13 Max   z   =   x61   + x64

0   ≤   x12   ≤   12

Sujeto a

0   ≤   x25   ≤   20

x61   + x41   =   x12   + x14

0   ≤   x32   ≤   7

x64   + x14   + x24   =   x41   + x43

0   ≤   x35   ≤   4

x12   + x32   =   x24   + x25 x43   =   x32   + x35

0   ≤   x43   ≤   14 0   ≤   x24   ≤   9 0   ≤   x41   ≤   4 0   ≤   x14   ≤   10

Red de Transporte Un Flujo Ejemplo El problema Max Flow LP Max Flow en LINGO ´ 1 Aplicacion

Programación Lineal: Flujo Máximo

TC3001 p. 6/8

 

Codificación en LINGO c(e3 ) v1 c(e1 )

= 12

 

v2

= 16

c(e4 ) c(e10 )

s   =   x6

c(e9 )

= 10

= 4

c(e)

c(e8 ) c(e2 )

c(e5 )

=   M 

=9

v4

v3

MODEL: c(e7 )

NODES/1..6/; ARCS(NODES,NODES)/ 

= 14

DATA:

C=16,13,12,10,9,20,7,4,4,14,1000 C=16,13,12,10,9,20,7,4,4,14, 1000;;

6,2

ENDDATA

6,4

MAX=X(5,6) X(5,6);;

1,2

@FOR(ARCS(I,J):

1,4

X(I,J)