Flujo Laminar en Tubos

3.3 Tubo circular Régimen Laminar Se mencionó que el flujo en tubos es laminar para Re ≤ 2 300 Y que está completamente desarrollado si el tubo es suficientemente largo (en relación con la longitud de entrada), de modo que los efectos de la entrada sean despreciables. En esta esta secc secció ión, n, se consi onside dera ra el fluj flujo o lami lamina narr esta estaci cion onar ario io de un flu fluido ido inco incomp mpre resi sibl ble e con con prop propie ieda dade des s cons consta tant ntes es,, en la regi región ón comp comple leta tame ment nte e desarrollada de un tubo circular recto. Se obtiene la ecuación de la cantidad de movimiento al aplicar un balance de fuerzas a un elemento diferencial de volumen, así como el perfil de velocidad al resolver dicha ecuación. Como paso siguiente, se usa ésta con el fin de obtener una relación para el factor de fricción. En el flujo laminar completamente desarrollado, cada una de las partículas del fluido se mueve a una velocidad axial constante a lo largo de una línea de corriente y el perfil de velocidades, u(r), permanece inalterado en la dirección del flujo. No se tiene movimiento en la dirección radial y, por tanto, la componente de la velocidad en la dirección perpendicular al flujo es cero en todas partes. No se tiene aceleración, puesto que el flujo es estacionario. Considérese ahora un elemento diferencial de volumen con forma de anillo, de radio r, espesor dr y longitud dx, orientado en forma coaxial con el tubo, como se muestra en la figura 8-17. En el elemento de volumen sólo intervienen los efectos de la presión y los efectos viscosos, de donde las fuerzas de presión y cortantes deben equilibrarse entre sí. La fuerza de presión que actúa sobre una superficie plana sumergida es el producto de la presión en el centroide de la superficie y el área de ésta. Un balance de fuerzas sobre el elemento de volumen en la dirección del flujo da (2πrdrP)x-(2πrdrP)x + dx+(2πrdxτ)r-(2πrdxτ)r+dr=0

FIGURA 8-17 Diagrama de cuerpo libre de un elemento dife difere renc ncia iall de flui fluido do con con form forma a de anil anillo lo,, de radi radio o r, espesor  dr  y longitud dx, orientado en forma coaxial con un tubo tubo hori horizo zont ntal al en fluj flujo o lami lamina narr comp comple leta tame ment nte e desarrollado.

lo cual indica que en el flujo completamente desarrollado en un tubo horizontal las fuerzas viscosas y de presión se equilibran entre sí. Al dividir entre 27 πdrdx y reacomodar, rPx+dx-Pxdx+(rτ)x+dr-(rτ)rdr=0

Al tomar el limite cuando dr, dx →0 da rdPdx+d(rτ)dr=0

Si se hace la sustitución τ = -μ(duldr) y se toma μ=constante, da la ecuación deseada μrddrrdudr=dPdx

La cantidad du/dr es negativa en el flujo en tubos y se incluye el signo negativo con el fin de obtener valores positivos para τ (Es decir, du/dr = - du/dy, ya que y = R - 1:) La parte izquierda de la ecuación 8-37 es función de r y la parte derecha lo es de x. La igualdad debe cumplirse para cualquier valor de l' y X, Y una igualdad de la forma (r) = g(x) sólo se puede satisfacer si tanto (r) como g(x) son iguales a la misma constante. De lo anterior se concluye que dP/dx = constante. Se puede verificar esto al escribir un balance de fuerzas sobre un elemento de volumen de radio R y espesor dx (una rebanada del tubo) dPdx=-2τwR

Aquí, τw es constante, puesto que la viscosidad y el perfil de velocidad son constantes en la región completamente desarrollada. Por lo tanto, dP/dx = constante. ur=14µdPdx+C1in r+C2

Se obtiene el perfil de velocidades u(r) mediante la aplicación de las condiciones de frontera du/dr = 0 en r = 0 (debido a la simetría con respecto a la línea central) y u = 0 en r = R (la condición de no resbalamiento en la superficie del tubo). Se obtiene ur=-R24µdPdx1-r2R2

Por lo tanto, el perfil de velocidades en el flujo laminar completamente desarrollado en un tubo es parabólico con un máximo en la línea central y mínimo en la superficie del tubo. Asimismo, la velocidad axial u es positiva para cualquier r  y, como consecuencia, el gradiente de presión axial dP/dx debe ser negativo (es decir, la presión debe decrecer en la dirección del flujo debido a los efectos viscosos).

Vprom=2R20Rurr dr=-2R20RR24µdPdx1-r2R2r dr=-R28µ(dPdx)

Si se combinan las dos últimas ecuaciones, se redefine el perfil de velocidad como ur=2Vprom1-r2R2

Caída de presión Una cantidad de interés en el análisis del flujo en tubos es la caída de presión  ∆P ya que está directamente relacionada con las necesidades de potencia del ventilador o la bomba con el fin de mantener el flujo. Dado que dP/dx = constante y se integra desde x = x 1, donde la presión es P 1, hasta x = x 1 + L, donde la presión es P2.Se obtiene dPdx=P2-P1L

Sustituyendo en V prom Flujo laminar; ∆P=P1-P2=8µLVpromD2

En donde  ∆P es la caída de presión. Resulta conveniente expresar la pérdida de presión para todos los tipos de flujos internos completamente desarrollados (flujos laminares o turbulentos, tubos circulares o no circulares, superficies lisas o ásperas, tubos horizontales o inclinados). pérdidas de presión: ∆PL=fLDρVprom22

En donde ρVprom22 es la presión dinámica y f  es el factor de fricción de Darcy, en donde no debe de confundiré con el factor de fricción C 1 (también llamado factor de fricción de Fanning). Si se igualan las dos ecuaciones anteriores y se despeja f , se obtiene el factor de fricción para el flujo laminar completamente desarrollado en un tubo circular   Tubo circular, laminar: f=64µρDVprom=64Re

Esta ecuación muestra que en el flujo laminar, el factor de fricción es función sólo del número de Reynolds y es independiente de la aspereza de la superficie del tubo. En el análisis de sistemas de tuberías, las pérdidas por fricción comúnmente se expresan en términos de la altura equivalente de la columna de fluido, llamada pérdida de carga h L. Si se observa, con base en la estática de fluidos, que  ∆P = pgh y, como consecuencia, una diferencia de presión de ∆P corresponde a una altura de fluido de h =  ∆P /pg, la pérdida de carga en el tubo se obtiene al dividir   ∆PL entre pg para dar 

hL=∆PLρg=fLDVprom22g

La pérdida de carga h L representa la altura adicional a la que necesita elevarse el fluido por medio de una bomba para vencer las pérdidas por fricción en el tubo. La pérdida de carga es causada por la viscosidad y está relacionada de manera directa con el esfuerzo cortante en la pared. La velocidad promedio para el flujo laminar en un tubo horizontal es, de acuerdo con la ecuación siguiente tubo horizontal; Vprom=(P1-P2)R28µL=(P1-P2)D232µL=∆P D232µL

Entonces, el gasto volumétrico para el flujo laminar a través de un tubo horizontal de diámetro D y longitud L queda V=VpromAc=(P1-P2)R28µLπR2=(P1-P2)πD4128πL=∆P πD4128πL

Esta ecuación se conoce como ley de Poiseuille y a este flujo se le llama flujo de Hogen-Posieuille. , la caída de presión y, por ende, la potencia requerida de bombeo, son proporcionales a la longitud del tubo y a la viscosidad del fluido, pero inversamente proporcionales a la cuarta potencia del radio (o del diámetro) del tubo. Perfil de temperatura y el número de Nusselt Reconsidérese el flujo laminar estacionario de un fluido en un tubo circular de radio R. Las propiedades del fluido p, k Y Cp son constantes y el trabajo realizado por las fuerzas viscosas es despreciable. El fluido fluye a lo largo del eje x con velocidad u. El flujo está completamente desarrollado, de modo que u es independiente de x, de donde u = u(r). Al advertir que la energía se transfiere por  la masa en la dirección x y por conducción en la dirección r (se supone que la conducción en la dirección x es despreciable), el balance de energía de flujo estacionario para un elemento con forma de una capa cilíndrica, de espesor dr y longitud dx, se puede expresar como: mcpTx+dx+Qr-Qr+dr=0

Donde m= puAc= pu (2πrdr)

Al sustituir y dividir entre 2πrdedx da ρcpuTx+dx-Txdx=-12πrdxQr+dr-Qr dr

O bien,

udTdx=-12ρcpπrdxdQdr

Pero dQdr=ddr-k2πdxdTdr=-2πkdxddrrdTdr

Al sustituir y utilizar α=k/pc p da udTdx=αrddrrdTdr

lo cual expresa que la razón de transferencia neta de energía al volumen de control por el flujo de masa es igual a la razón neta de conducción de calor en la dirección radial. Flujo Constante de calor en la superficie Para el flujo completamente desarrollado en un tubo circular sujeto a flujo de calor  constante en la superficie, se tiene, con base en la ecuación dTdx=dTsdx=dTmdx=2qsρVpromcpR=constante

Al sustituir la ecuación anterior con la relación para el perfil de velocidad y caída de presión 4qskR1-r2R2=1rddrrdTdr

La cual es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Su solución general se obtiene mediante la separación de las variables e integrar dos veces, para dar   T=qskRr2-r44R2+C1r+C2

La solución deseada para el problema se obtiene al aplicar las condiciones de frontera ∂T/∂x=0 en r=0 (debido a la simetría), y T=Ts, en r=R. se obtiene  T=Ts-qsRk34-r2R2+r44R4

La temperatura media de la masa Tm se determina al sustituir las relaciones de los perfiles de velocidades y de temperaturas en la ecuación 8-4 y llevar a cabo la integración. Esto da  Tm=Ts-1124qsRk

Al combinar esta relación con qs=hTs-Tm da h=2411kR=4811kD=4.36

O bien,

tubo circular, laminar (qx=constante): Nu=hDk=4.36

Por lo tanto, para el flujo laminar completamente desarrollado en un tubo circular  sujeto a flujo de calor constante en la superficie, el número de Nusselt es constante. No se tiene dependencia con respecto a los números de Reynolds o de Prandtl. Temperatura superficial constante Se puede realizar un análisis semejante para el flujo laminar completamente desarrollado en un tubo circular para el caso de temperatura superficial constante T. En este caso el procedimiento de solución es más complejo, ya que se requieren iteraciones, pero la relación del número de Nusselt que se obtiene es igualmente simple

tubo circular, laminar Ts=constante; Nu=hDk=3.66

La conductividad térmica k a usarse en las relaciones de Nu antes dadas debe evaluarse en la temperatura media de la masa del fluido, la cual es el promedio aritmético de las temperaturas medias del fluido en la admisión y la salida del tubo. Para el flujo laminar el efecto de la aspereza superficial sobre el factor de fricción y el coeficiente de transferencia de calor es despreciable.

3. 4CORRELACION PARA FLUJO EXTERNO Para calcular la transferencia de calor y masa hacia y desde la superficie hacia un flujo externo. En tales flujos las capas limites se producen libremente como sin restricciones impuestas en las superficies continuas. En consecuencia siempre existe una región fuera de la capa límite en la que los gradientes de velocidad, temperatura o concentración son despreciables. Los ejemplos incluyen el movimiento del flujo sobre un placa plana (inclinada o paralela a la velocidad de flujo libre) y el flujo sobre superficies curvas, como una esfera, un cilindro o el alabe de una turbina. Por el momento confinamos nuestra atención a problemas de convección forzada de baja velocidad sin que ocurra cambio de fase dentro del fluido. En la convección forzada, el movimiento relativo entre el fluido y la superficie se mantiene por medios externos como un ventilador, una bomba, y no por fuerzas de empuje debidas a los gradientes de temperatura en el fluido (convección natural). Los flujos internos, la convección natural y la convección con cambio de fase son comunes en estos sistemas.  Nuestro objetivo es determinar los coeficientes de convec ción para diferentes geometrías de flujo. En particular, deseamos obtener formas específicas en las formas de funciones que  presentan estos coeficientes. Al quitar las dimensiones a las ecuac iones de convección, encontramos que los coeficientes de convección local y promedio se correlacionan con ecuaciones de la forma:

Flujo paralelo a una placa plana de temperatura superficial constante:  para Pr = 1.  para Pr < 1.  para Pr > 1. En este caso la longitud característica (x) es la distancia desde el inicio de la placa. Las  propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura de la corriente libre. Flujo perpendicular a un cilindro de temperatura superficial constante:

En este caso la longitud característica es el diámetro del cilindro. Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura media de la corriente libre y d e la superficie. Flujo alrededor de una esfera de temperatura superficial constante:

La longitud característica es el diámetro de la esfera. μs es la viscosidad del fluido evaluada a la temperatura superficial de la esfera. Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura de la corriente libre. Flujo externo turbulento Flujo paralelo a una placa plana de temperatura superficial constante:

Esta correlación es válida para números de Prandtl turbulentos cercanos a 1. El parámetro G se define como:

Las propiedades físicas se deben evaluar a la temperatura de la corriente libre.

3.5 Correlaciones para flujo interno

El flujo interno se caracteriza por el fluido que queda completamente confinado por  las superficies internas del tubo. La velocidad media y la temperatura media para un tubo circular de radio R se expresan como

El numero de Reynolds para el flujo interno y el diámetro hidráulico se definen como

El flujo en un tubo es laminar para Re10000 y de transición entre estos valores. La longitud de la región desde la admisión del tubo hasta el punto en el que se une la capa límite con la línea central es la longitud hidrodinámica de entrada L h. La región mas allá de la entrada en la cual el perfil de velocidades esta completamente desarrollado es la región hidrodinámica plenamente desarrollada. La longitud de la región de flujo sobre la cual la capa limite se desarrolla y alcanza el centro del tubo se llama longitud térmica de la entrada L t. La región e la cual el flujo esta desarrollado tanto hidrodinámicamente como térmicamente es la región de flujo completamente desarrollado. Las longitudes de las entradas se expresan por 

Para qs=constante, la velocidad de la transferencia de calor se expresa como

Para Ts=constante, se tiene

La caída de presión y la potencia requerida de bombeo para un gasto volumétrico de V son

Para el flujo laminar completamente desarrollado en un tubo circular, se tiene:

Para el flujo laminar en desarrollo en la región de entrada, con temperatura superficial constante, se tiene

Para el flujo turbulento completamente desarrollado con superficies lisas, se tiene

Las propiedades del fluido se evalua a la temperatura media de la masa del fluido . Para el flujo de metales líquidos en el rango de 10 4 < Re < 106, se tiene

Para el flujo turbulento completamente desarrollado con superficies asperas el factor de fricción ƒ se determina con base al diagrama de Moode, o bien, con la expresión

Para una corona circular concéntrica el diámetro hidráulico es números de Nusselt se expresan como

Donde los valores para los números de Nusselt se dan en la tabla

y los