Flujo en Tuberias Capitulo 8

FLUJO  EN  TUBERÍAS   CAPITULO  8  

FLUJO  SOMETIDO  A  PRESIÓN   Equilibrio  de  fuerzas:  

∑F

x

= 0;

Fx − Fx+dx + Fτ − Fτ +dr = 0

A f ⋅ Px − A f ⋅ Px+dx + Al ⋅ τ r − Al ⋅ τ r+dr = 0 A f ( Px − Px+dx ) + Al (τ r − τ r+dr ) = 0

2π rdr ( Px − Px+dx ) + 2π rdx (τ r − τ r+dr ) = 0 ! 1 $ # &()2π rdr ( Px+dx − Px ) + 2π rdx (τ r+dr − τ r )*+ = 0 " 2π drdx %

Af   2π r

dr

Al   2π r

dx

r

Px+dx − Px rτ r+dr − rτ r + =0 dx dr

P − P dP si lim x+dx x = dx→0 dx dx

y

rτ r+dr − rτ r d ( rτ r ) lim = dr→0 dr dr

Diagrama  de  cuerpo  libre  de  un  elemento  diferencial  de  fluido  con  forma  de   anillo  de  radio  r  y   grosor   dr   y   longitud   dx,   orientado   coaxialmente   con   una   tubería   horizontal   en   flujo   laminar   totalmente  desarrollado.        

reemplazando queda:

r

dP d ( rτ ) + =0 dx dr

→

si τ =-µ

! ! du $ $ µ d #r & & ! 1 $# dP " dr % & ! 1 $ # + = 0# & # & r " r %# dx dr & "r% # & " % Sí

dP = g(x) dx

y

du dr

→

µ d ! du $ # r & = f (r) r dr " dr %

→

( " du %+ d *r $ -µ 'dP ) # dr &, r + =0 dx dr

dP µ d ! du $ − #r & = 0 dx r dr " dr %

dP µ d ! du $ → = #r & dx r dr " dr %

→ g(x) = f (r)

f (r) = g(x) solo pueden ser iguales si cada una de las funciones es igual a una misma constante

Integrando  dos  veces  se  llega  a:   r 2 " ∂P % u(r) = $ ' + C1 ln r + C2 4µ # ∂x & Donde

∂P es el gradiente de presión. ∂x

2 R 2 # ∂P &) # r & , u(r) = − % (+1− % ( . 4µ $ ∂x '+* $ R ' .-

u(r) = −

1 # ∂P &) 2 2 , % (* R − r 4µ $ ∂x '

u(r):  perfil  de  velocidad  

π R2

Equilibrio  de  fuerza:  

FP − FP+dP − Fτ w = 0 Al   2π R

dx

PP ⋅ AP − PP+dP ⋅ Ap − τ w ⋅ Aτ w = 0 Ap ( PP − PP+dP ) ⋅ −τ w ⋅ Aτ w = 0

π R 2 ( PP − PP+dP ) − τ w ⋅ 2π Rdx = 0 R ( PP+dP − PP ) + τ w ⋅ 2dx = 0

( PP+dP − PP ) = − 2τ w dx

DCL   de   un   elemento   de   fluido   en   forma   de   disco   con   radio   R   y   longitud   dx   en   el   flujo   laminar   totalmente   desarrollado   en   una   tubería  horizontal.  

R

dP 2τ = − w (cte) dx R

FLUJOS  LAMINAR  O  TURBULENTO  

C o m p o r t a m i e n t o   d e   u n   colorante   inyectado   en   un   flujo  laminar    y  turbulento  en   una  tubería.  

NUMERO  DE  REYNOLDS   Re =

0

Fuerzas inerciales Vprom D ρVprom D = = Fuerzas viscosas ν µ ≤ Re

≤

2300

flujo laminar

2300 ≤ Re ≤

4000

flujo transicional

4000

flujo turbulento

Re

≥

Diámetro  hidráulico:  

Dh =

4Ac p

PERFIL  DE  VELOCIDADES  VS.   REYNOLDS  

VELOCIDAD  PROMEDIO  

u(r):  perfil  de  velocidad  

m! = ρV! = ρVprom Ac =

∫ ρu(r)dA

c

Ac

∫ ρu(r)dA

c

Vprom =

Ac

ρ Ac

∫ =

R 0

ρu(r)2π r dr ρπ R 2

2 = 2 R

∫

R 0

u(r)r dr

FLUJO  LAMINAR  

 Perfil  de  velocidad:  

( " r %2 + u(r) = 2V *1− $ ' *) # R & -,

Velocidad  máxima:  

U max = 2V

 VMAX  Vs.  VPROM  PARA  FLUJO  LAMINAR   ! ! ∀ = ∫ V ⋅ dA = •

A

∫

R 0

u(r)⋅ 2π r dr

Integrando: R

π # ∂P &) 2 r 2 r 4 , ! V = − % (+ R − . 2µ $ ∂x '* 2 4 -0

Reemplazando el perfil de velocidades: 2 • • ! ! R π $ ∂P '* 2 R 2 R 4 R 2 % ∂P (+ % r ( . − / ∀ = ∫ V ⋅ dA = ∫ − ' *-1− ' * 0 2π r dr ∀ = − & ), R 0 % ( 2 µ ∂x 2 4. 4µ & ∂x )-, & R ) 0/ + A •

∀=

•

∀=

∫

R 0

∫

R $ ∂P '* R − r − & ), 4µ % ∂x (+ R 2

R 0

2

−

2

2

/ 2π r dr .

1 $ ∂P '* 2 2 , & )+ R − r - π r dr 2µ % ∂x (

π $ ∂P ' R * 2 ∀ = − & ) ∫ + R r − r 3 ,- dr 2µ % ∂x ( 0 •

π $ ∂P '* R 4 R 4 ∀ = − & ), − / 2µ % ∂x (+ 2 4. • π $ ∂P '* R 4 ∀ = − & ), / 2µ % ∂x (+ 4 . •

π R 4 $ ∂P ' ∀=− & ) 8µ % ∂x ( •

π R 4 $ ∂P ' ! − 8µ &% ∂x )( ∀ V= = A π R2

R 2 # ∂P & V =− % ( 8µ $ ∂x '

el punto de U max cuando U ' (r) = 0 2 R 2 # ∂P &) # r & , u(r) = − % (+1− % ( . 4µ $ ∂x '+* $ R ' .-

→

el punto de U max si r = 0 →

du 2r # ∂P & 1 # ∂P & =− % (= % (r = 0 dr 4µ $ ∂x ' 2µ $ ∂x ' 2 R 2 $ ∂P '* $ 0 ' R 2 $ ∂P ' umax = − & ),1− & ) / = − & ) 4µ % ∂x (,+ % R ( /. 4µ % ∂x (

se comprueba entonces que para flujo laminar totalmente desarrollado la

R 2 # ∂P & umax = − % ( 4µ $ ∂x ' R 2 # ∂P & En consecuencia, si umax = − % ( 4µ $ ∂x '

U max = 2V

R 2 # ∂P & V =− % ( 8µ $ ∂x ' * # r &2 * # r &2 → u(r) = U max ,1− % ( / ó u(r) = 2V ,1− % ( / ,+ $ R ' /. ,+ $ R ' /.

FLUJO  TURBULENTO  

Perfil  de  velocidad:   U ( r ) = V "#1+1, 43 f + 2,15 f log (1− r / ro )

%$Velocidad  máxima:  

(

U max = V 1+1, 43 f

)

CAPA  LÍMITE  DE  VELOCIDAD   Totalmente desarrollado hidrodinámicamente:

∂u(r, x) =0 ∂x

→

u = u(r)

LONGITUD  DE  ENTRADA   Lh,

la min ar

D

= 0, 05Re

Lh,turbulento = 1, 359D Re1/4 D

Lh,turbulento ≅ 10 D

CAÍDA  DE  PRESIÓN   Sí la velocidad promedio para el flujo laminar es: R 2 " dP % R 2 P2 − P1 V =− $ '=− 8µ # dx & 8µ L 8µVL Entonces, P2 − P1 = − 2 R 8µVL

ΔP = P1 − P2 =

( D / 2)

2

=

32µVL 2 ρV . D 2 2 ρV

64µ ρ L V 2 64ν L ρV 2 64 L ρV 2 = . = . = . VDρ D 2 VD D 2 Re D 2 L ρV 2 =f D 2

L ρV 2 ΔPL = f D 2 Donde:

Pérdida de carga: 2

hL =

ΔPL = ρg

f

L ρV 2 D 2 =f LV ρg D 2g

f=

8τ w : es el factor de fricción de Darcy-Weisbach 2 ρVprom

2 ρ Vprom / 2 : es la presión dinámica

FACTOR  DE  FRICCIÓN  EN  EL  FLUJO   LAMINAR  PARA  TUBERÍAS  CIRCULARES   Flujo laminar en tubería circular: f =

64 Re

igualando la caida de presión y la pérdida de carga ΔP = ΔPL

32µ LV D2 f=

64µ DV ρ

=

L ρV 2 = f D 2 64 64 64 = = DV ν VD Re ν

;

µ=

ρ ν

FACTOR  DE  FRICCIÓN  PARA  FLUJO   LAMINAR  TOTALMENTE  DESARROLLADO  

El   número   de   Reynolds   para   el   flujo   en   estas   tuberías   se   b a s a   e n   e l   d i á m e t r o   hidráulico  Dh   4Ac p Ac : área de la sección

Dh =

transversal de la tubería p : perímetro mojado

EFECTO  DE  LA  GRAVEDAD  SOBRE  LA   VELOCIDAD  Y  EL  CAUDAL  EN  FLUJO  LAMINAR   Wx = Wsenθ = ρ g∀senθ = ρ g(2π rdrdx)senθ Equilibrio  de  fuerzas:  

Fx − Fx+dx + Fτ − Fτ +dτ − Wx = 0

A f ⋅ Px − A f ⋅ Px+dx + Al ⋅ τ r − Al ⋅ τ r+dr − Wx = 0 2π rdrPx − 2π rdrPx+dx + 2π rdxτ r − 2π rdxτ r+dr − ρ g(2π rdrdx)senθ = 0

que resulta en la ecuación diferencial: µ d ! du $ dP + ρ gsenθ #r & = r dr " dr % dx

Af  

dr

2π r

resolviendo el perfil de velocidad es: $! r 2 $ R 2 ! dP u (r ) = − # + ρ gsenθ
− 2 & " %" R % 4µ dx

Af   2π r

!ascendente θ > 0 y senθ > 0 flujo inclinado " #descendente θ < 0 y senθ < 0

dx

velocidad promedio: Vprom

ΔP − ρ gLsenθ ) D 2 ( = 32µ L

Flujo volumétrico: 4 ΔP − ρ gLsen θ π D ( ) ! V=

128µ L

EJEMPLO   Se  \ene  agua  a  40oF  que  fluye  de  manera  estacionaria  a  través  de  una  tubería  horizontal  de   0.12in   (0.010b)   de   diámetro   y   30b   de   largo   con   una   velocidad   promedio   de   3.0b/s.   Determine   a)   la   pérdida   de   carga.   b)   la   caída   de   presión   y   c)   la   necesidad   de   potencia   de   bombeo  para  superar  esta  caída  de  presión.       ρ = 62.42lbm / ft 3 y µ = 1.038 ×10−3 lbm / ft ⋅ s Régimen de flujo: 3 ρVprom D ( 62.42lbm / ft ) (3 ft / s) ( 0.01 ft ) Re = = = 1803 < 2300 µ 1.038 ×10 −3 lbm / ft ⋅ s

Factor de fricción: 64 64 f= = = 0.0355 Re 1803

Pérdida de carga: 2

2 L Vprom 30 ft (3 ft / s) = 14.9 ft hL = f = 0.0355 D 2g 0.01 ft 2 (32.2 ft / s 2 )

Caída de presión: 2

3 2 " 1 ft 2 % % L ρVprom 30 ft ( 62.42lbm / ft ) (3 ft / s ) " 1lbf 2 ΔP = ΔPL = f = 0.0355 = 929lbf / ft $ = 6.45psi $ 2' 2' D 2 0.01 ft 2 # 32.2lbm ⋅ ft / s & # 144in &

El#flujo#volumétrico#y#la#potencia#de#bombeo#necesaria#son: V! = Vprom Ac = 3 ft / s π (0.01 ft )2 / 4 = 0.000236 ft 3 / s

(

)(

)

" % 1HP −4 ! ! ΔP= 0.000236 ft 3 / s 929lbf / ft 2 $ W = V ' = 3,81 × 10 HP bomba 550lbf ⋅ ft / s # &

(

)(

)

EJEMPLO   Considere   el   flujo   totalmente   desarrollado   de   glicerina   a   40oC   en   un   tubo   horizontal   de   sección  circular  de  70m  de  longitud  y  4cm  de  diámetro.    Si  la  velocidad  del  flujo  en  el  eje   central  de  la  tubería  se  mide  como  6m/s,  determine  el  perfil  de  velocidades  y  la  diferencia   de   presión   a   lo   largo   de   esta   sección   de   70m   de   longitud   del   tubo,   y   la   potencia   ú\l   de   bombeo   necesaria   para   mantener   este   flujo.     Para   el   mismo   aporte   de   potencia   ú\l   de   bombeo,   determine   el   aumento   porcentual   de   caudal   si   el   tubo   está   inclinado   15º   hacia   abajo,  y  la  disminución  porcentual  si  está  inclinado  15o  hacía  arriba.    La  bomba  está  ubicada   fuera  de  esta  sección  del  tubo.   ρ =1252kg/m 3 y µ = 0.3073 kg/m ⋅ s El perfil de velocidades: " r2 % " % r2 u ( r ) = umáx $1− 2 ' = 6m / s $1− = 6 (1− 2500r 2 ) 2' # R & # (0.02m) &

Velocidad promedio: umáx = 2Vprom

→

Vprom =

umáx 6m / s = = 3m / s 2 2

! π D2 $ ! π (0.04m)2 $ −3 3 ! V=Vprom Ac = V # & = 3m / s # & = 3.77 ×10 m / s 4 " 4 % " % 3 ρVD (1252kg / m ) (3m / s) ( 0, 04m) Re = = = 488.9 < 2300 µ 0.3073kg / m ⋅ s

f=

64 64 = = 0.1309 Re 488.9 2

L V2 70m (3m / s) = 105.1m hL = f = 0.1309 D 2g 0.04m 2 ( 9.81m / s 2 ) 0  

0  

P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + htubería → ρg 2g ρg 2g útil entregada P1 P + z1 = 2 + z2 + htubería ρg ρg

Ecuación  de  energía  

ΔP = P1 − P2 = ρ g ( z2 − z1 + htubería )

" % 1kPa ΔP = P1 − P2 = ρ g ( z2 − z1 + htubería ) = (1252kg / m 3 ) ( 9.81m / s 2 ) ( 0 +105.1m ) $ = 1291kPa 2' 1000kg / m ⋅ s # &

" 1kW % −3 3 ! W! bomba,L = VΔP = 3.77 ×10 m / s 1291kPa $ ' = 4.87kW ( ) ( ) L # kPa ⋅ m 3 / s &

La  diferencia  de  elevación  y  la  diferencia  de  presión  para  un  tubo  inclinado  15o  hacia  arriba:   Δz = z2 − z1 = L ⋅ sen15o = ( 70m ) sen15o = 18.1m

70m  

ΔPhacia%arriba = ρ g ( Δz + htubería ) " % 1kPa !!!!!!!!!!!!!!! = 1252kg / m3 9.81m / s 2 18.1m + 105.1m $ ' = 1514&kPa 2 # 1000kg / m ⋅ s &

(

)(

)(

)

W! 4.87kW # 1kPa ⋅ m3 / s & W! bomba,L = V! ΔPL !!! → !!!!!!!! = V! = bomba,L !=! ! %% (( =!!!3.22 × 10−3m3 / s ΔPL 1514kPa $ 1kW '

#

3

Disminución  del  caudal:   % = %%1 − 3.77 × 10−3 m3 / 3.22 × 10 m / −3

$

s& (( * 100% = 17,0&% s'

La  diferencia  de  elevación  y  la  diferencia  de  presión  para  un  tubo  inclinado  15o  hacia  abajo:   Δz = z2 − z1 = L ⋅ sen15o = ( 70m ) sen(−15o ) = −18.1m

70m  

ΔPhacia arriba = ρ g ( Δz + htubería ) " % 1kPa = (1252kg / m 3 ) ( 9.81m / s 2 ) (−18.1m +105.1m ) $ = 1068.5kPa 2' # 1000kg / m ⋅ s &

! W! bomba,L = VΔP L

→

W! bomba,L 4.87kW ! =V = = ΔPL 1068.5kPa

# 1kPa ⋅ m 3 / s & −3 3 % ( = 4.56 ×10 m / s $ 1kW '

# 3.77 ×10 −3 m 3 / s & Disminución  del  caudal:   % = %1− ( *100% = 17.3% −3 3 $ 4.56 ×10 m / s '

PÉRDIDA  DE  CARGA   2

L Vprom Pérdida de carga: hL = f D 2g ΔP = ρ gh (hidrostática)

h=

2

ΔPL ρg

L ρVprom f h= D 2 ρg ! ! ! Pot necesaria: W! bomba,L = VΔP L = V ρ ghL = mghL

Vprom en tubería horizontal: Vprom ΔP = P1 − P2 = Vprom

8µ LVprom 32µ vL = 2 R D2 2

P2 ) R 2 ( P1 − P2 ) ( D / 2 ) ( P1 − P2 ) D 2 = = 8µ L 8µ L 32µ L

P1 − ( =

! V=V prom Ac

P2 ) R 2 ( P1 − P2 ) D 2 = 8µ L 32µ L

(P − = 1

P2 ) R 2 P1 − P2 ) π R 4 ΔPπ D 4 ( 2 πR = = (ley de Poiseuille) 8µ L 8µ L 128µ L

(P − = 1

FACTOR  DE  FRICCIÓN  PARA  FLUJO  TURBULENTO  EN   TUBERÍAS   ε / D : rugosidad relativa

Factor de friccción ( Ecuación de Colebrook → flujo turbulento) : # ε / D 2.51 1 = −2.0 log %% + f $ 3.7 Re f

& (( (1939) '

El   perfil   de   velocidad   en   flujo   totalmente   desarrollado   en   una   tubería   circular   es   parabólico   en   el   flujo   laminar,   pero   es   mucho   más  plano  en  el  flujo  turbulento.  

La   gráfica   de   esta   fórmula   se   conoce   como   el   diagrama  de  Moody.    

Factor de fricción ( Ecuación de Haaland ) : (flujo turbulento) " 6.9 " ε / D %1.11 % 1 = −1.8log $$ +$ ' '' f # Re # 3.7 & &

(1983)

DIAGRAMA  DE  MOODY  Y  LA  ECUACIÓN  DE   COLEBROOK   ! ε / D 2.51 1 = −2.0 log ## + 3.7 f Re f "

$ && %

RELACIONES  ε/D  

Para   una   tubería   lisa,   el   factor   de   fricción   es   mínimo,  pero  aumenta  con  la  rugosidad    

VALORES  DE  RUGOCIDAD  PARA   TUBERÍAS  COMERCIALES  

TIPOS  DE  PROBLEMAS  DE  FLUJO  DE   FLUIDOS  

Relaciones explicitas de Swamee y Jain:(1976) −2

1)

0.9 ! ν D $ *1/ V! 2 L -/ ' ε hL = 1.07 5 . ln ) + 4.62 # & ,2 " V! % ,+/3 gD /0 )( 3.7D

2)

0.5 0.5 ( " 3.17ν 2 L % + " gD 5hL % ε V! = −0.965$ +$ ' ' ln * 3 L 3.7D gD h * # & # L & ) ,

-/10 −6 < ε D < 10 −2 . /03000 < Re < 3×108

0.04

3)

4.75 ' 2$ ! ! ! L $ * L V 1.25 9.4 D = 0.66 )ε # & + ν V! # & 5.2, )( " ghL % " ghL % ,+

Re >

2000

/110 −6 < ε D < 10 −2 0 125000 < Re < 3×108

ECUACIÓN  DE  PÉRDIDA  DE  CARGA   D −W : H=KLQn   2

L Vprom hf = f D 2g hf = f

L (Q / A ) D 2g

2

2

hf = f

L Q D 2gA 2

L Q2 hf = f D 2g (π D 2 / 4)2 L 16Q 2 hf = f D 2gπ 2 D 4 8f 8f h f = 2 5 LQ 2 ; K= 2 5 gπ D gπ D h f = KLQ 2 hf h = KQ 2 ; H = f L L H = KQ 2 (Darcy-Wesibach)

H −W : Q = 0, 2785CD 2,63 J 0,54 J 0,54 =

Q 0, 2785CD 2,63

" % Q J =$ ' # 0, 2785CD 2,63 &

1 0,54

1

1

1 " % 0,54 0,54 " % 0,54 1 1 J =$ ' Q ; K= $ ' # 0, 2785CD 2,63 & # 0, 2785CD 2,63 & H J = KQ1,85 ; J= ; L H = KQ1,85 ; L H=KLQ1,85 ; (Hazen-Williams)

EJEMPLO  

Determinación  de  la  pérdida  de  carga  de  un  ducto.   Se  \ene  agua  a  60oF  que  fluye  de  manera  estacionaria  en  una  tubería  horizontal  de  2in  de   diámetro  hecha  de  acero  inoxidable,  a  una  razón  de  0.2b3/s.  Determine  la  caída  de  presión,   la  pérdida  de  carga  y  la  potencia  de  bombeo  necesaria  para  mantener  el  flujo  en  un  tramo  de   tubería  de  200b  de  largo.     ρ = 62.36lbm / ft 3 y µ = 7.53×10−4 lbm / ft ⋅ s ν =1,2075 ×10−5 ft 2 / s Velocidad promedio: V! V! 4 * 0.2 ft 3 / s V= = = = 9.17 ft / s 2 Ac π D 2 / 4 ! 1 ft $ π # 2in * & " 12in % Número de Reynolds: 3

Re =

ρVD = µ

!

$

1 ft & (62.36lbm / ft ) (9.17 ft / s) #" 2in * 12in % 7.536 ×10 −4 lbm / ft ⋅ s

= 126400 > 4000

Rugosidad relativa: ε = 0.000007 ft = 0.000042 D (2 /12 ft )

Factor de fricción: (Calculado mediante un esquema iterativo) " ε / D 2.51 % " 0.000042 1 1 2.51 = −2.0 log $$ + = −2.0 log $$ + '' → f f 126400 f # 3.7 Re f & # 3.7

Hoja  de  cálculo  para   determinar  el  factor  de   fricción  de  una  tubería  con   un  diámetro  dado.  

% '' → f = 0.0174 &

La caída de presión: 2

3 2% " % L ρV 2 200 ft ( 62.36lbm / ft ) ( 9.17 ft / s ) " 1lbf 2 144in ΔP=ΔPL = f = 0.0174 = 1700lbf / ft $ = 11.8psi $ 2' 2 ' D 2 2 # 32.2lbm ⋅ ft / s & # 1 ft & (2 /12 ft )

La pérdida de carga: 2

ΔPL L V2 200 ft ( 9.17 ft / s ) hL = =f = 0.0174 = 27.3 f ρg D 2g 2 /12 ft 32.2 ft / s 2

La potencia de la bomba: " % 1W 3 2 ! ! W ' = 461W bomba =VΔP= ( 0.2 ft / s ) (1700lbf / ft ) $ # 0.737lbf ⋅ ft / s &

EJEMPLO  

Determinación  del  diámetro  de  una  tubería  (Diseño)   Se   debe   hacer   fluir   el   aire   caliente   a   1atm   y   35oC   en   un   ducto   circular   de   plás\co   de   150m   de  largo,  a  una  razón  de  0.35m3/s.    Si  la  pérdida  de  carga  en  la  tubería  no  debe  superar   20m,  determine  el  diámetro  mínimo  del  ducto.   ρ = 1.145kg / m 3 y µ = 1.895 ×10 −5 kg / m ⋅ s y ν =1.655 ×10 −5m 2 / s

Procedimiento  2:  Dejar  todas  la  Ecs  en  función  del  diámetro   La velocidad promedio: V! V! 0.35m 3 / s V= = = Ac π D 2 / 4 π D2 / 4

Solución  del  conjunto  de  las  4  Ecs  con  las  4  Incognitas  en   Wolfram:  

Régimen de flujo: VD VD Re= = ν 1.655 ×10 −5 m 2 / s Factor de fricción: (Plástico " 0 / D 2.51 1 = −2.0 log $$ + f # 3.7 Re f

ε = 0 liso ) % " 2.51 '' = − 2.0 log $$ & # Re f

% '' &

La pérdida de carga: L V2 hL = f D 2g

→

150m V2 20m = f D 2 ( 9.81m / s 2 )

D = 0.267m f = 0.0180 Re = 100800 V = 6.24m / s

Metodología: Q 4Q 1) V= = A π D2 4Q D VD π D 2 4Q 2) Re= = = ν ν πν D 2gh f D 2gh f D gh f π 2 D 5 L V2 3)h f = f →f= = = 2 2 D 2g LV 8Q 2 L " 4Q % L$ ' # π D2 & )+ ε / D 2.51 -+ 1 4) = −2 log * + . +, 3.7 Re f +/ f ) + +ε / D 1 2.51 = −2 log * + 2 5 gh f π 2 D 5 + 3.7 4Q gh f π D + 8Q 2 L πν D 8Q 2 L ,

+ + . + + /

Hoja  de  cálculo  para   determinar  el   diámetro  de  diseño  de   una  tubería  con  una   perdida  de  carga   determinada.  

EJEMPLO   Determinación  del  diámetro  de  una  tubería  (Diseño)   Se   debe   hacer   fluir   el   aire   caliente   a   1atm   y   35oC   en   un   ducto   circular   de   plás\co   de   150m   de  largo,  a  una  razón  de  0.35m3/s.    Si  la  pérdida  de  carga  en  la  tubería  no  debe  superar   20m,  determine  el  diámetro  mínimo  del  ducto.  

ρ = 1.145kg / m 3 y µ = 1.895 ×10 −5 kg / m ⋅ s y ν =1.655 ×10 −5m 2 / s

El diámetro en función del factor de fricción: L V2 hL = f D 2g

hL

→

hL

L ( 4Q / π D =f D 2g

→

8LQ 2 D= 5 2 f π ghL

L (Q / A ) =f D 2g

2 2

)

→

→ D=

5

2

→

8LQ 2 hL = f 2 5 π gD 8(150m)(0, 35m 3 / s)2 f 2 2 π (9,81m / s )(20m)

→ D = 5 7, 59 ×10 −2 m 6 ⋅ f

(1)

El número de Reynolds en función del diámetro: 2 $1 VD (Q / A) D ( 4Q / π D ) D ! 4Q $ 1 ! 4 ⋅ 0, 35m 3 / s 1 Re = = = =# = 26926m ⋅ & =# & " πν % D " π ⋅1, 655 ×10 −5 m 2 / s % D ν ν ν D

Para calcular el factor de fricción se utiliza la ecuación de colebrook_white (plástico ε = 0m): " ε / D 2.51 % " 0 / D 2.51 % 1 1 = −2.0 log $$ + = −2.0 log $$ + '' → '' f f # 3.7 Re f & # 3.7 Re f & Cálculo de el factor de fricción mediante SOLVE EQUATION HP: D = 0,267m

*Iteración  manual*  

; f = 0,017926 → D = 5 7, 59 ×10 −2 m 6 ⋅ f

→

D = 0,267m

(2)

Ahora   el   diámetro   se   puede   determinar   directamente   a   par\r   de   la   tercera   fórmula   de   Swamee-­‐Jain  como:   0.04

4.75 ' 2$ ! ! ! L $ * 1.25 LV 9.4 ! D = 0.66 )ε # & + νV # & 5.2, )( " ghL % " ghL % ,+

0.04

5.2 , ) # & 9.4 150m (( . = 0.66 +0 + (1.655 ×10 −5 m 2 / s ) ( 0.35m 3 / s ) %% 2 + $ 9.81m / s ( 20m ) ' .*

Error =

0.271m − 0.267m *100 = 1.47% 0.271m

= 0.271m

EJEMPLO   Determinación  de  la  razón  de  flujo  de  aire  en  un  ducto.   Reconsidere   el   ejemplo   anterior.     Pero   ahora   se   duplica   la   longitud   del   ducto   mientras   que   su   diámetro   se   man\ene   constante,   determine   la   caída   en   la   razón   de   flujo   a   través   del   ducto.   La velocidad promedio: V! V! V! V= = = Ac π D 2 / 4 π ( 0.267m )2 / 4

Resolviendo el sistema de ecuaciones (wolfram): V! = 0.236884m 3 / s f = 0.0195106 V = 4.23081m / s Re = 68255

Régimen de flujo: Re=

V ( 0.267m ) VD = ν 1.655 ×10 −5 m 2 / s

Factor de fricción: (Plástico ε = 0 " 0 / 0.267m 2.51 1 = −2.0 log $$ + 3.7 f Re f #

liso ) % " 2.51 '' = − 2.0 log $$ & # Re f

La pérdida de carga: L V2 hL = f D 2g

→

300m V2 20m = f 0.267m 2 ( 9.81m / s 2 )

% '' &

entonces la caída de la razón de flujo se vuelve: V!caída = V!ant − V!act = 0.35 − 0.24 = 0.11m 3 / s Una caída del 31%

Solución  alterna\va:  (iteración)   Velocidad potrmedio a través de la tubería: V=

2ghL fL D

Iteración 1 2 3 4 5 6 7 8

f+(suposición) 0,3 0,02678608 0,020196008 0,019583123 0,019517874 0,019510827 0,019510065 0,019509982

V(m/s) 1,07894393 3,61081237 4,15840449 4,22297516 4,23002801 4,2307919 4,23087456 4,23088351

Re 17406,52742 58252,9851 67087,25073 68128,96481 68242,7479 68255,07176 68256,40534 68256,54964

La nueva razón de flujo: (Segunda ecuación de Swamee-Jain) 0.5 0.5 ( " 3.17ν 2 L % + " gD 5hL % ε V! = −0.965$ +$ ' ' ln * 3 *) 3.7D # gD hL & -, # L &

f+(corregido) 0,02678608 0,02019601 0,01958312 0,01951787 0,01951083 0,01951006 0,01950998 0,01950997

*Función  buscar  obje\vo  

0.5 0.5 ) " 3.17 1.655 ×10 −5 m 2 / s 2 300m % , " 9.81m / s 2 ( 0.267m )5 ( 20m ) % ( ) ( ) ( ) ' . = 0.24m3 / s 0 $ ' ln + = −0.965$ + 3 + 3.7 0.267m $ . 2 $ ' 300m 9.81m / s 0.267m ( ) ( ) (20m) '& . ( ) # & +* # -

EJEMPLO   Calcular   el   diámetro   de   una   tubería   de   hierro   fundido   ks=0,25mm   necesario   para   transportar   300l/s   de   agua   a   25ºC   ν=1,14x10-­‐6m2/s   a   lo   largo   de   1km   de   longitud   y   con   una   pérdida  de  energía  de  1,20m.  

El diámetro en función del factor de fricción: 2

hL = f hL →

LV D 2g

hL

→

2 L ( 4Q / π D ) =f D 2g

8LQ 2 f D= 5 2 π ghL

L (Q / A ) =f D 2g

2

→

2

→

8LQ 2 hL = f 2 5 π gD

8(1000m)(0, 3m 3 / s)2 f → D= 5 2 π (9,81m / s 2 )(1, 20m)

→

D = 5 6,197m 6 ⋅ f

El número de Reynolds en función del diámetro: 2 4Q / π D D ! 4Q $ 1 ! $1 Q / A D ( ) VD ( 4 ⋅ 0, 3m 3 / s ) Re = = = =# & =# & " πν % D " π ⋅1,14 ×10 −6 m 2 / s % D ν ν ν 1 Re = 335 ×10 3 m ⋅ (2) D

(1)

Para calcular el factor de fricción se utiliza la ecuación de colebrook_white (hierro fundido ε = 0, 00025m): " ε / D 2.51 % " 0, 00025 / D 2.51 % 1 1 = −2.0 log $$ + = −2.0 log $$ + '' → '' 3.7 3.7 f Re f f Re f # & # &

Cálculo de el factor de fricción mediante la función buscar objetivo:

Entonces D es igual a: D 5 = 6,197(0, 0169) → D = 0,64m

*Función  Buscar  obje\vo*  

PÉRDIDAS  MENORES   Coeficiente de pérdida:

KL =

hL V 2 / 2g

Pérdida de carga menor por un accesorio:

Longitud equivalente:

V2 hL = K L 2g

Lequiv V 2 V2 hL = KL =f 2g D 2g

→

Pérdida de carga total en un sistema de tuberías: 2

V L V2 hL total = h L mayores + h L menores = ∑ fi +∑ K L, j j Di 2g j 2g i Pérdidas totales para un sistema con diámetro constante: ! L $V 2 hL total = h f + hl = # f + K L & " D % 2g

Lequiv =

D KL f

VENA  CONTRACTA  

La  pérdida  de  carga  en  la  entrada  de  una  tubería   es   aproximadamente   despreciable   para   entradas   redondeadas   pero   aumenta   significa\vamente   para  entradas  con  bordes  agudos.  

COEFICIENTES  DE  PÉRDIDA  POR   ENTRADAS  

COEFICIENTES  DE  PÉRDIDA  POR   EXPANSIONES  Y  CONTRACCIONES    

COEFICIENTES  DE  PÉRDIDA  POR  CAMBIOS   DE  DIRECCIÓN  

COEFICIENTES  DE  PÉRDIDA  POR   ENTRADAS  

COEFICIENTES  DE  PÉRDIDA  POR   EXPANSIONES  Y  CONTRACCIONES    

COEFICIENTES  DE  PÉRDIDA  POR   CAMBIOS  DE  DIRECCIÓN  

EJEMPLO   Pérdida  de  carga  y  elevación  de  presión  en  expansión  gradual.  

Una  tubería  horizontal  de  agua  de  6cm  de  diámetro  se  expande  gradualmente  a  una  tubería   de   9cm   de   diámetro.   Las   paredes   de   la  sección  de   ensanchamiento   \enen  un  ángulo   de  10º   desde   la   horizontal.     La   velocidad   y   presión   promedio   del   agua   antes   de   la   sección   de   ensanchamiento  son  7m/s  y  150kPa,  respec\vamente.    Determine  la  pérdida  de  carga  en  la   sección  de  ensanchamiento  y  la  presión  en  la  tubería  de  diámetro  más  grande.        α1 = α 2 ≅ 1.06 ρ = 1000kg / m 3 ángulo de ensanchamiento: θ =20 o Relación de diámetros: d/D = 6/9 ≈ 0,66 → K L = 0.127 (interpolación)

Velocidad en la expansión: m! 1 = m! 2

→

ρV1 A1 = ρV2 A2

→

2

" 0.06m % V2 = ( 7m / s ) $ ' = 3.11m / s # 0.09m & Pérdida irreversible de carga por la expansión: 2

V12 ( 7m / s) = 0.317m hL = KL = 0.127 2g 2 ( 9.81m / s 2 )

A1 D12 V2 = V1 = V1 2 A2 D2

Elevación de presión en expansión gradual: 0  

0   P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρg 2g útil entregada

P1 v12 P2 v22 + α1 = + α2 + hL ρg 2g ρ g 2g

→

→

Ecuación  de  energía  

# α1V12 − α 2V22 & P2 = P1 + ρ $ − ghL ' 2 % (

#)1.06 ( 7m / s )2 −1.06 (3.11m / s )2 &) + .+ 1kPa . 1kN 2 P2 = 150kPa +1000kg / m $ − ( 9.81m / s ) ( 0.317m )' 2 020 , / 2 1000kg ⋅ m / s 1kN / m , / )% )( = 167.7kPa 3

Ejemplo:  Calcule  la  potencia  suministrada  por  la  bomba,  si  sabemos  que  su  eficiencia  es  de  76%.     Hay  un  flujo  de  54m3/h  de  alcohol  mexlico  a  25ºC.    La  línea  de  succión  es  una  tubería  de    acero   estándar  de  4  pulgadas,  cédula  40  que  cons\tuye  la  línea  de  descarga  es  de  200m.    Suponga  que  al   entrada   desde   el   almacenamiento   1   es   a   través   de   una   entrada   de   bordes   cuadrados.   Y   que   los   codos  son  estándar.    La  válvula  está  abierta  por  completo  y  es  de  \po  globo.          

Ecuación  de  energía:   0  

0  

0  0   P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρ g 2g útil entregada

→ Ecuación  de  energía  

z1 + hbomba = z2 + hL hbomba = z2 − z1 + hL h1 = K (Vs2 / 2g)

( Pérdida a la entrada )

h2 = fs ( L / D ) (Vs2 / 2g)

( Pérdida por fricción en al línea de suscción)

h3 = fdT ( Le / D ) (Vd2 / 2g)

( Válvula )

h4 = fdT ( Le / D ) (Vd2 / 2g)

( Dos codos de 90º )

h5 = fd ( L / D ) (Vd2 / 2g)

( Pérdida por fricción en al línea de descarga )

h6 = 1.0 (Vd2 / 2g)

( Pérdida a la entrada )

Caudal:  

Velocidad  en  la  succión:  

Velocidad  en  la  descarga:   Carga  ciné\ca  en  la  succión:   Carga  ciné\ca  en  la  descarga:  

Factor  de  fricción  en  la  succión:  

Factor  de  fricción  en  la  descarga:  

CONTINUAR  

REDES  DE  DISTRIBUCIÓN  

TUBERIAS  EN  SERIE  

V1D12 = V2 D 22

Para  tuberías  en  serie,  la  razón  de  flujo  es  la  misma   en   cada   tubería,   y   la   pérdida   de   carga   total   es   la   suma   de   las   pérdidas   de   carga   en   tuberías   individuales.  

EJEMPLO   Calcular  el  caudal  en  el  sistema  de  tuberías  si  la  temperatura  del  agua  se  encuentra  a  20ºC  y   estan  hechas  de  hierro  fundido.  (ε=2,59X10-­‐4)  

0  

2 A

0  

0  

0  

2 B

PA v P v +αA + zA = B + α B + zB + hr ρg 2g ρg 2g z A = zB + hr ;

hr = hr1 + hr 2 + hr3 ;

hr = z A − zB = 10m

Q1 = Q2 ;

2 2

V1D = V2 D ;

Q3 = Q2 ;

! 200 $ 2 2 V =# & V 2 = 0,1975V 2 ; " 300 % 2 1

2 2

V3 D = V2 D ;

4

!D $ V3 = # 2 & V2 ; " D3 %

! 200 $ 2 2 V =# & V 2 = 0, 4096V 2 ; " 250 % 2 3

L1 0,1975V 22 L2 V22 L3 0, 4096V 22 10 = f1 + f2 + f3 D1 2g D2 2g D3 2g V2 =

energía disponible

→

4

! D2 $ V1 = # & V2 ; " D1 % 2

2 3

Ecuación  de  energía  

L1 V12 L2 V22 L3 V32 10 = hr1 + hr 2 + hr3 = f1 + f2 + f3 D1 2g D2 2g D3 2g 2

2 1

→

10 * 2g = L1 L2 L3 f1 0,1975 + f2 + f3 0, 4096 D1 D2 D3

$ V22 ! L1 L2 L3 10 = # f1 0,1975 + f2 + f3 0, 4096 & 2g " D1 D2 D3 %

10 * 2g 400 150 200 f1 0,1975 + f2 + f3 0, 4096 0, 3 0, 2 0, 25

! f * = 0, 020 !# V * = 1,162m / s # 1* 10 * 2g * Suponiendo:" f2 = 0, 021 V2 = = 2, 616m / s → " 1* 400 150 200 #$ V3 = 1, 674m / s # f * = 0, 022 0, 020 0,1975 + 0, 021 + 0, 022 0, 4096 3 $ 0, 3 0, 2 0, 25 $ * & Re1 = V1 D1 = 1,162m / s−6⋅ 0, 3m = 346200 ν 1, 007 ×10 m 2 / s & && V2* D2 2, 616m / s ⋅ 0, 2m −6 2 Con ν 20ºC,agua = 1, 007 ×10 m / s : % Re 2 = = = 519600 −6 2 ν 1, 007 ×10 m / s & & V3* D3 1, 674m / s ⋅ 0, 25m = = 415600 & Re3 = −6 2 ν 1, 007 ×10 m / s &'

! # # ## Con ε = 0,000259:" # # # #$

ε 0, 000259 = = 0, 0008633 D1 0, 3 ε 0, 000259 = = 0, 001295 D2 0, 2 ε 0, 000259 = = 0, 001036 D3 0, 25

! ** −2 f = 1, 98 ×10 1 ## con ε / D y Re → " f2** = 2,14 ×10 −2 # #$ f3** = 2, 05 ×10 −2

$ ** & V1 = 1,183m / s Ahora V = = 2, 661m / s → % ** 150 200 &' V3 = 1, 703m / s 0,1975 + ( 2,14 ×10 −2 ) + ( 2, 05 ×10 −2 ) 0, 4096 (1, 98 ×10−2 ) 400 0, 3 0, 2 0, 25 ** 2

10 * 2g

V12 = 0, 0713m; 2g

Calculando     separadamente  

V22 = 0, 361m; 2g

V32 = 0,1478m; 2g

( 2 L V -2 " 400 % 1 1 * hr1 = f1 = (1, 98 ×10 ) $ ' ( 0, 0713) = D1 2g # 0, 3 & * * * " 150 % L2 V22 = ( 2,14 ×10 -2 ) $ ) hr 2 = f2 ' ( 0, 361) = D2 2g # 0, 2 & * * " 200 % L3 V32 * hr3 = f3 = ( 2, 05 ×10 -2 ) $ ' ( 0,1478) = D 2g 0, 25 # & *+ 3

Σhr =

1,882m 5, 684m 2, 424m 9,990m = 10m

Can\dad   que   coincide   con  la  energía  disponible  

Determinación del caudal:

! V=VA;

2

π ( 0, 2m) π D22 ! V= V2 = 2, 662m / s = 0, 0836m 3 / s 4 4

hr = hr1 + hr 2 + hr3 + hl1 + hl 2 + hT L1 V12 = f1 + f2 D1 2g "k1 = 0, 5 $ $k = 0, 32 → # 2 $k3 = 0,1296 $%k = 1, 00 4

L2 V22 L3 V32 V12 V22 V32 V42 + f3 + k1 + k2 + k3 + k4 ; D2 2g D3 2g 2g 2g 2g 2g desague de un ambalse contracción brusca expansión brusca desague en un embalse

EJEMPLO   Se   \ene   agua   a   15oC   que   se   drena   de   un   depósito   grande   con   el   uso   de   dos   tuberías   de   plás\co   horizontales   conectadas   en   serie.     La   primera   tubería   mide   20m   de   largo   y   \ene   un   diámetro   de   10cm,   mientras  que  la  segunda  tubería  mide  35m  de  largo  y  \ene  un  diámetro  de  4cm.  El  nivel  del  agua  en  el   depósito  está  a  18m  sobre  la  línea  central  de  la  tubería.  La  entrada  de  la  tubería  \ene  borde  agudo  y  la   contracción  entre  las  dos  tuberías  es  repen\na.    Si  se  desprecia  el  efecto  del  factor  de  corrección  de   energía  ciné\ca,  determine  la  razón  de  descarga  de  agua  en  el  depósito.              

The  density  and  dynamic  viscosity  of  water  at  15°C  are  ρ  =  999.1  kg/m3  and  µ  =  1.138×10-­‐3   kg/m⋅s,   respec\vely.   The   loss   coefficient   is   KL   =   0.5   for   a   sharp-­‐edged   entrance,   and   it   is   0.46   for   the   sudden   contrac\on,   corresponding   to   d2/D2   =   42/102   =   0.16.   The   pipes   are   made  of  plas\c  and  thus  they  are  smooth,  ε  =  0.  α2  =  1    

0  

0  

0  

0  

0  

0   P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρ g 2g útil entregada

V22 18 m = + hL (1) 2 2(9.81m/s )

m! 1 = m! 2

→ ρV1 A1 = ρV2 A2

→

v22 z1 = α 2 + hL 2g

hL = hL,total = hL,major + hL,minor = ∑

" L %V 2 $ f + ∑KL ' # D & 2g

A2 D22 (4 cm)2 → V1 = V2 = 2 V2 = V2 → V1 = 0.16V2 A1 D1 (10 cm)2

! L1 $ V12 ! L2 $ V22 hL = # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & " D1 % 2g " D2 % 2g

! 20 m $ ! 35 m $ V12 V22 hL = # f1 + 0.5& + # f2 + 0.46 & 2 " 0.10 m % 2(9.81m/s ) " 0.04 m % 2(9.81m/s2 )

(3)

(2)

V! = V2 A2 = V2 (π D22 / 4) ρV D Re1 = 1 1 µ ρV D Re 2 = 2 2 µ

→

V! = V2 [π (0.04 m)2 / 4]

(999.1 kg/m 3 )V1 (0.10 m) → Re1 = 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s (999.1 kg/m 3 )V2 (0.04 m) → Re 2 = 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s

"ε / D 1 2.51 % 1 '' = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &

→

"ε / D 1 2.51 % 2 '' → = −2.0 log $$ + 3.7 f2 Re f # 2 2 &

(4)

(5) (6)

" 1 2.51 % '' (7) = −2.0 log $$ 0 + f1 Re f # 1 1 &

" 1 2.51 % '' = −2.0 log $$ 0 + f2 Re f # 2 2 &

(8)

This  is  a  system  of  8  equa\ons  in  8  unknowns,  and  their  simultaneous  solu\on  by  an  equa\on   solver  gives   V! = 0.00595 m3 / s

Re1 = 66,500,

V1 = 0.757 m/s, V2 = 4.73 m/s, hL = hL1 + hL2 = 0.13 + 16.73 = 16.86 m,

Re2 = 166,200, f1 = 0.0196,

f2 = 0.0162

UNA  SOLA  ECUACIÓN   0   0   2 2 P1 v P v + α1 1 + z1 + hbomba = 2 + α 2 2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρg 2g útil entregada

V22 18 m = + hL (1) 2 2(9.81m/s )

→

v22 z1 = α 2 + hL 2g

hL = hL,total = hL,major + hL,minor = ∑

" L %V 2 $ f + ∑KL ' # D & 2g

! L1 $ V12 ! L2 $ V22 hL = # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & " D1 % 2g " D2 % 2g m! 1 = m! 2

→ ρV1 A1 = ρV2 A2

A2 D22 (4 cm)2 → V1 = V2 = 2 V2 = V → V1 = 0.16V2 2 2 A1 D1 (10 cm)

! L1 $ ( 0,16V2 )2 ! L2 $ V22 hL = # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & D 2g D " % " % 2g 1 2 $ ( 0,16V2 )2 ! L2 $ V22 V22 ! L1 18 m = + # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & (1) 2g " D1 2g % " D2 % 2g

(2)

$ ( 0,16V2 )2 ! L2 $ V22 V22 ! L1 18 m = + # f1 + K L,entrance & + # f2 + K L,contraction & 2g " D1 2g % " D2 % 2g

$ ! L2 $+) V22 ') ! L1 2 18 = + K L,contraction &, (1+ # f1 + K L,entrance & 0, 016 + # f2 2g )* " D1 D % " %)2 V22 =

V2 =

18⋅ 2g ' ! L $ ! L2 $+ 2 1 1+ f + K 0, 016 + f + K ( # 1 # 2 L,entrance & L,contraction &, % " D2 %* " D1 18⋅ 2g ( " L % " L %+ )1+ $ f1 1 + K L,entrance ' 0, 016 2 + $ f2 2 + K L,contraction ', & # D2 &* # D1

!# f1* = 0, 020 Suponiendo:" * #$ f2 = 0, 021

ρV D Re1 = 1 1 µ ρV D Re 2 = 2 2 µ

V2 =

18⋅ 2g ! & ) & ), 20 35 + 0, 5+ 0, 016 2 + ( 0, 021 + 0, 46 +"1+ ( 0, 020 0,10 0, 04 * ' *. $ '

(999.1 kg/m 3 ) ( 0, 68m / s ) (0.10 m) → Re 2 = =59700 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s

= 4, 22m / s → V1* = 0, 68m / s

y ε /D1 = 0 → f1* = 0, 0201

(999.1 kg/m 3 ) ( 4, 22m / s ) (0.04 m) * → Re 2 = =148200 y ε /D = 0 → f = 0, 0166 2 2 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s

V2 =

18⋅ 2g ( " % " %+ 20 35 2 + 0, 5' 0, 016 + $ 0, 0166 + 0, 46 ', )1+ $ 0, 0201 0,10 0, 04 & # &* #

(999.1 kg/m 3 ) ( 0, 75m / s ) (0.10 m) → Re 2 = = 65846 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s

ρV D Re1 = 1 1 µ ρV D Re 2 = 2 2 µ V2 =

( " % " %+ 20 35 + 0, 5' 0, 016 2 + $ 0, 0162 + 0, 46 ', )1+ $ 0, 0197 0,10 0, 04 & # &* #

ρV D Re 2 = 2 2 µ

y ε /D1 = 0 → f1* = 0, 0197

(999.1 kg/m 3 ) ( 4, 70m / s ) (0.04 m) → Re 2 = = 165053 y ε /D 2 = 0 → f2* = 0, 0162 −3 1.138 ×10 kg/m ⋅ s 18⋅ 2g

ρV D Re1 = 1 1 µ

V2 =

= 4, 70m / s → V1* = 0, 75m / s

= 4, 75m / s → V1* = 0, 76m / s

(999.1 kg/m 3 ) ( 0, 76m / s ) (0.10 m) → Re 2 = = 66724 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s

y ε /D1 = 0 → f1* = 0, 0196

(999.1 kg/m 3 ) ( 4, 75m / s ) (0.04 m) * → Re 2 = = 166809 y ε /D = 0 → f = 0, 0162 2 2 1.138 ×10 −3 kg/m ⋅ s 18⋅ 2g ( " % " %+ 20 35 + 0, 5' 0, 016 2 + $ 0, 0162 + 0, 46 ', )1+ $ 0, 0196 0,10 0, 04 & # &* #

= 4, 75m / s → V1* = 0, 76m / s

V! = 4, 75[π (0, 04 m)2 / 4] =0,0597m 3 / s

TUBERÍAS  EN  PARALELO  

hL1 = hL 2 = hL3 = ...

! V ! +V ! +V ! +... V= 1 2 3

Para   tuberías   en   paralelo,   la   pérdida   de   carga   es   la   misma  en  cada  tubería,  y  la  razón  de  flujo  total  es  la   suma   de   las   razones   de   flujo   en   las   tuberías   individuales.    

PROBLEMAS  DE  TUBERÍAS  EN   PARALELO   Problema  de   @berías  en  paralelo  

Datos  

Incógnitas  

1  

HA-­‐B  

Q1,Q2,Q3,…Q  

2  

Q  

Q1,Q2,Q3,…HA-­‐B  

Caso  1:  Se  conoce  la  pérdida  entre  A  y  B  y  se  desea  determinar  el  gasto  en  cada  ramal.  

Vi 2 ΔH = K i 2g

→ Vi =

2gΔH ; Ki

K i = fi

Li + ΣK Li ; Donde: Q i = Vi Ai Di

Caso   2:     se   conoce   el   flujo   volumétrico,   pero   se   desconoce   y   se   desea   determinar   la   pérdida  entre  A  y  B,  así  como  las  distribución  del  gasto  en  cada  ramal.    

Qe = Q1 + Q2 + Q3 +... + Qn = ∑Qi

ΔH L1 = ΔH L 2 = ΔH L3 = ... = ΔH e

Q i = Vi Ai ;

2gΔH Vi = ; Ki

" 2gΔH π % D 2 e '' e Q e = $$ 4 # & Ke

Qe = ∑Qi 2 e

→

2 i

D D =∑ Ke Ki

2gΔH " π Di2 % Qi = $ ' Ki # 4 &

" 2gπ D 2 % ΔH i Q i = $$ '' 4 # & Ki

" 2gΔH π % D 2 i '' i ; ΔH e = ΔH i Q i = $$ 4 # & Ki

n $ $ 2gΔH π ' D 2 2gΔH i π ' Di2 e e && )) )) = ∑ && 4 4 % ( K e i=1% ( Ki

D # Di2 & (( → = %% ∑ Ke $ Ki ' 4 e

2

→

Ke 1 = De4 # Di2 %% ∑ Ki $

; ΔH e = ΔH i

& (( '

2

2 e

V ΔH e = K e 2g

→ ΔH e = K e

8Q 2 → ΔH e = K e 2 4 gπ De

ΔH e =

8 $ Di2 ' && π ∑ )) Ki ( %

2

Q2 g

(Q / A ) 2g

2

→ ΔH e = K e

K e 8Q 2 → ΔH e = 4 De gπ 2

;

Q2 2g (π D / 4) 2 e

2

Ke 1 = 2 2 ' De4 $ D && ∑ i )) Ki ( %

EJEMPLO   El   sistema   mostrado   \ene   la   siguiente   geometría:   H=24m;   L1   =   L2   =   L3   =   L4   =   100m;   D1=D2=D4=100mm;  D3=200mm  además,  f1=f2=f4=0,025  y  f3=0,02;    el  coeficiente  de  pérdida   en   la   válvula   Kv=30,   calcular   los   gastos   en   cada   tubo   despreciando   las   pérdidas   locales   como  cambios  de  dirección.       A  

D  

EJEMPLO   Dos   tuberías   de   idén\co   material   y   longitud   se   conectan   en   paralelo.   El   diámetro   de   la   tubería  A  es  el  doble  del  diámetro  de  la  tubería  B.    Si  se  supone  que  el  factor  de  fricción  es  el   mismo   en   ambos   casos,   y   sin   considerar   pérdidas   menores,   determine   el   cociente   de   las   2D razones  de  flujo  en  las  dos  tuberías.   L A

B

D L

When the minor losses are disregarded, the head loss for fully developed flow in a pipe of length L and diameter D can be expressed as: Q π D2 / 4 hA = hb L V2 L V2 f A A A = fB B B ; DA 2g DB 2g como: LA =LB , DA = 2DB , f A = fB fB

2 A

2 B

LB V L V = fB B ; 2DB 2g DB 2g

VA2 = 2VB2

VA = 2 VB QA / AA = 2 QB / AB QA AB = 2 QB AA

A

B 2 A

QB π D / 4

= 2

QA π DB2 QB π ( 2DB ) QA = 2 4QB QA =4 2 QB

2

= 2

EJEMPLO  

Cierta  parte  de  unas  tuberías  de  hierro  fundido  (ε=0,26mm)  de  un  sistema  de  distribución  de   agua   involucra   dos   tuberías   en   paralelo.     Ambas   tuberías   paralelas   \enen   un   diámetro   de   30cm  y  el  flujo  es  totalmente  turbulento.    Una  de  las  ramas  (tubería  A)  mide  1000m  de  largo,   mientras  que  la  otra  rama  (tubería  B)  mide  3000m  de  largo.    Si  la  razón  de  flujo  a  través  de  la   tubería  A  es  de  0,4m3/s,  determine  la  razón  de  flujo  a  través  de  la  tubería  B.    No  considere   pérdidas   menores   y   suponga   que   la   temperatura   del   agua   es   de   15oC   (ν=1,14x10-­‐6).     Demuestre   que   el   flujo   es   totalmente   rugoso   y   por   lo   tanto   el   factor   de   fricción   es   independiente  del  número  de  Reynolds.  

hA = hb LA VA2 LB VB2 fA = fB ; DA 2g DB 2g como: 3LA =LB , DA = DB , f A = fB LA VA2 3LA VB2 fA = fA ; DA 2g DA 2g VA2 = 3VB2 VA = 3 VB QA / AA = 3 QB / AB QA AB = 3 QB AA

QA como A A = AB ; = 3 QB QA 0, 4m 3 / s QB = = = 0, 23m 3 / s 3 3 QB 4 ⋅ 0, 23m 3 / s VB = = = 3, 25m / s 2 AB π ( 0, 3m) VB D (3.25 m/s)(0.30 m) = = 856270 −6 2 ν 1.14 ×10 m / s 0.00026 m ε/D= = 0.00087 → f B = 1,94 ×10 −2 0.30 m VA = 3VB → VA = 3 (3, 25m / s ) = 5, 63m / s Re B =

VA D (5, 63 m/s)(0.30 m) = = 1481359 −6 2 ν 1.14 ×10 m / s 0.00026 m ε/D= = 0.00087 → f B = 1,92 ×10 −2 0.30 m Re > 4000 the assumption of turbulent flow is verified Re A =

EJEMPLO   Repita   el   problema   anterior   y   suponga   que   la   tubería   A   \ene   una   válvula   de   compuerta   semicerrada  (KL=2.1)  mientras  que  la  tubería  B  \ene  una  válvula  de  globo  totalmente  abierta   (KL=10)  y  las  otras  pérdidas  menores  son  despreciables.    Suponga  que  el  flujo  es  totalmente   rugoso.  The  roughness  of  cast  iron  pipe  is  (tubería  de  hierro  fundido)  ε  =  0.00026  m  

!

30!cm! A

0.4! m3/s!

1000! m!

Válvula  de     Compuerta   KL=2.1  

B

Válvula  de     Globo  KL=10  

3000! m!

30!cm!

For  pipe  A,  the  average  velocity  and  the  Reynolds  number  are     V!A V!A 0.4 m 3 /s VA = = = = 5.659 m/s Ac π D 2 / 4 π (0.30 m)2 / 4

ρVA D (999.1 kg/m 3 )(5.659 m/s)(0.30 m) Re A = = = 1.49 ×10 6 −3 µ 1.138 ×10 kg/m ⋅ s

The  rela\ve  roughness  of  the  pipe  is  

ε/D=

0.00026 m = 8.667 ×10 −4 0.30 m

The  fric\on  factor  corresponding  to  this  rela\ve  roughness  and  the  Reynolds  number     " ε / D 2.51 1 = −2.0 log $$ + f # 3.7 Re f

% '' &

→

" 8.667 ×10 −4 1 2.51 = −2.0 log $$ + 3.7 f 1.49 ×10 6 f #

Then  the  total  head  loss  in  pipe  A    becomes     2 A

2

! L $V ! $ (5.659 m/s) 1000 m hL,A = # f A + K L & = # (0.0192) + 2.1& = 107.9 m = h L,B " D % 2g " % 2(9.81 m/s2 ) 0.30 m

% '' &

→

f = 0.0192

When   two   pipes   are   parallel   in   a   piping   system,  the  head  loss   for  each  pipe  must  be   same.    

Therefore,  the  head  loss  for  pipe  B  must  also  be  107.9  m.  Then  the  average  velocity  in  pipe   B  and  the  flow  rate  become:       ! LB $ VB2 hL,B = # f + KL & " D % 2g

→

! $ 3000 m VB2 107.9 m = # (0.0192) +10 & " % 2(9.81 m/s2 ) 0.30 m

→ VB = 3.24 m/s

V!B = AcVB = [π D 2 / 4]VB = [π (0.30 m)2 / 4](3.24 m/s) = 0.229 m3 / s

EJEMPLO   Una   tubería   que   transporta   petróleo   a   40oC   a   una   razón   de   3m3/s   se   ramifica   en   dos   tuberías  paralelas  fabricadas  de  acero  comercial  que  se  vuelven  a  conectar  corriente  abajo.     LA  tubería  A  mide  500m  de  largo  y  \ene  un  diámetros  de  30cm,  mientras  que  la  tubería  B   mide   800m   de   largo   y   \ene   un   diámetro   de   45cm.     Las   pérdidas   menores   se   consideran   despreciables.  Determine  la  razón  de  flujo  a  través  de  las  tuberías.     The  density  and  dynamic  viscosity  of  oil  at  40°C  are  ρ  =  876  kg/m3  and  µ  =  0.2177  kg/m⋅s.   The  roughness  of  commercial  steel  pipes  is  ε  =  0.000045  m.    

hA = hb LA VA2 LB VB2 fA = fB ; DA 2g DB 2g 5 2 como: LA = LB , DA = DB , f A = fB 8 3 5 LB 2 VA LB VB2 8 fB = fB ; 2 DB 2g DB 2g 3 16 VA2 = VB2 15 VA 4 = VB 15 QA / AA 4 = QB / AB 15 QA AB 4 = QB AA 15

como Q=Q A + QB → Q B = 3m 3 / s − QA QA 16 = 3m 3 / s − QA 9 15 QA = 0, 94m 3 / s

→ Q B = 2, 06m 3 /s

QB 4 ⋅ 2, 06m 3 / s VB = = = 12, 95m / s 2 AB π ( 0, 45m) VB D (12, 95 m/s)(0.45 m) = = 23450 −4 2 ν 2,485 ×10 m / s 0.000045 m ε/D= = 1, 0 ×10 −4 → f B = 2,51×10 −2 0.45 m 4 4 VA = VB → VA = (12, 95m / s) = 13, 38m / s 15 15 V D (13, 38 m/s)(0.30 m) Re A = A = = 16153 −4 2 ν 2,485 ×10 m / s 0.000045 m ε/D= = 1, 5 ×10 −4 → f B = 2,76 ×10 −2 0.30 m Re > 4000 the assumption of turbulent flow is verified Re B =

SOLUCIón  POR  SISTEMA  DE  ECUACIONES   The  density  and  dynamic  viscosity  of  oil  at  40°C  are  ρ  =  876  kg/m3  and  µ  =  0.2177  kg/m⋅s.  The   roughness  of  commercial  steel  pipes  is  ε  =  0.000045  m.     hL,1 = hL,2 V! = V!1 + V!2

(1) →

! + V! = 3 V 1 2

V!1 V!1 = Ac,1 π D12 / 4 V! V!2 V2 = 2 = Ac,2 π D22 / 4

V1 =

ρV D Re1 = 1 1 µ ρV D Re 2 = 2 2 µ

(2)

V!1 π (0.30m)2 / 4 V!2 → V2 = π (0.45m)2 / 4

→ V1 =

(3)

(4)

(876 kg/m 3 )V1 (0.30 m) → Re1 = 0.2177 kg/m ⋅ s (876 kg/m 3 )V2 (0.45 m) → Re 2 = 0.2177 kg/m ⋅ s

Rugosidad relativa; rf1 =

(5) (6)

ε1 4.5 ×10 −5 m = = 1.5 ×10 −4 D1 0.30 m

"ε / D 1 2.51 % 1 '' = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &

→

" 1.5 ×10 −4 1 2.51 % '' (7) = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &

Rugosidad relativa; rf2 =

ε2 4.5 ×10 −5 m = = 1×10 −4 D2 0.45 m

"ε / D 1 2.51 2 = −2.0 log $$ + f2 # 3.7 Re 2 f2 L1 V12 hL,1 = f1 D1 2g L2 V22 hL,2 = f2 D2 2g

% '' → &

" 1×10 −4 1 2.51 = −2.0 log $$ + f2 Re 2 f2 # 3.7

→

500 m V12 hL,1 = f1 0.30 m 2(9.81 m/s2 )

→

800 m V22 hL,2 = f2 0.45 m 2(9.81 m/s2 )

% '' (8) &

(9)

(10)

Solving them simultaneously by an equation solver gives, V1 = 12.9 m/s, V2 = 13.1 m/s, Re1 = 15,540, Re 2 = 23,800, Re > 4000 the assumption of turbulent flow is verified. f1 = 0.02785, f2 = 0.02505

EJEMPLO   Fluyen  por  una  tubería  de  acero  de  2  pulgadas  de  diámetro,  cédula  40,  100gal/min  de  agua   a  60oF.    El  intercambiador  de  calor  en  la  rama  a  \ene  un  coeficiente  de  pérdida  de  K=7.5,   con  base  en  la  carga  de  velocidad  en  la  tubería.    Las  tres  valvulas  se  encuentran  abiertas   por   completo.   La   rama   b   es   un   línea   de   desviación   que   se   compone   de   una   tubería   de   acero   de   11/4in   ,   cédula   40.   Los   codos   son   estándar.     La   longitud   de   la   tubería   entre   los   puntos  1  y  2    en  la  rama  b  es  de  20b.  Debido  al  intercambiador  de  calor,  la  longitud  de  la   tubería   de   la   rama   a   es   muy   corta,   y   es   posible   ignorar   las   pérdidas   por   fricción.     Para   este   arreglo,  determine  (a)  el  flujo  volumétrico  del  agua  en  cada  rama  y  (b)  la  caída  de  presión   entre  los  puntos  1  y  2.      

DIMENSIONES  DE  LAS  TUBERÍAS  DE   ACERO  (CÉDULA  40)  

Las dos velocidades son desconocidas: Las áreas: A a = 0.02333 ft 2

y

! V=A (5) aVa + AbVb

A b = 0.01039 ft 2

! $ 3 1 ft / s # & = 0.223 ft 3 / s gal ! El flujo volmétrico: V=100 min # & gal 449 " min % Pérdida de carga en el ramal a: !Va2 $ !Va2 $ h a = 2K1 # & + K 2 # 2g & 2g " % " % Donde: K1 = faT ( Le / D ) es el coeficiente de resistencia para cada compuerta K 2 = 7.5 es el coeficiente de resistencia para el intecambiador de calor Para una tubería de 2in cédula 40 (tabla): faT = 0.019, L e / D = 8, Para una válvula de compuerta abierta por completo (tabla) entonces: K1 = ( 0.019 ) (8) = 0.152 K 2 = 7.5 Por lo tanto: !Va2 $ !Va2 $ h a = 2 ( 0.152 ) # & + 7.5# 2g & " 2g % " % !Va2 $ h a = 7.8 # & (6) " 2g %

Factor   de   fricción   en   la   zona   de   turbulencia   completa   para   tubería   de   acero   comercial,   nueva  y  limpia.  

Pérdida de carga en el ramal b: !Vb2 $ !Vb2 $ !Vb2 $ h b = 2K 3 # & + K 4 # 2g & + K 5 # 2g & 2g " % " % " % Donde: K 3 = fbT ( Le / D ) es el coeficiente de resistencia para cada codo K 4 = fbT ( Le / D ) es el coeficiente de resistencia para la válvula de globo K 5 = fb ( Le / D ) pérdida por fricción en la tubería de la rama b. fb : no se conoce y se determinará por un proceso de iteración 1

fbT = 0.022, para una tubería de 1 4in, cédula 40 (tabla) L e / D = 30, para cada codo L e / D = 340, para una válvula de globo compuerta abierta por completo (tabla) entonces: K 3 = fbT ( Le / D ) = ( 0.022 ) (30 ) = 0.66 K 4 = fbT ( Le / D ) = ( 0.022 ) (340 ) = 7.48

(

K 5 = fb ( Le / D ) = fb 20

0.1150

) = 173.9 f

b

Por lo tanto

!Vb2 $ !Vb2 $ !Vb2 $ h b = 2 ( 0.66 ) # & + ( 7.48) # 2g & + (173.9 fb ) # 2g & 2g " % " % " % !Vb2 $ h b = (8.80 +173.9 fb ) # & " 2g % *Diagrama  de  Moody*  

Con ε = 1, 5 ×10 −4 ft y D = 11/4in (Tabla: 11.40ft); la rug. rel. para la rama b: Y suponiendo flujo turbulento plenamente desarrollado Re = 10 5

entonces:

D 0.1150 ft = = 767 ε 1.5 ×10 −4 ft

→ fb = 0, 023

"Vb2 % "Vb2 % h b = (8.80 +173.9 ⋅ 0, 023 ) $ ' = 12,80 $ 2g ' 2g # & # &

Para obtener Va en función de Vb se igualan (6) y (7) : ha = hb !Va2 $ !Vb2 $ 7,80 # & = 12,80 # 2g & " 2g % " % Va = 1, 281Vb (8)

(7)

Se combinan las ecuaciones (5) y (8) para calcular las velocidades ! V=A V +AV (5) a a

b b

Va = 1, 281Vb

(8)

! V=A a (1, 281Vb ) + AbVb = Vb (1, 281A a + Ab ) V! 0, 233 ft 3 / s Vb = = = 5, 54 ft / s 2 ! # 1, 281A a + Ab "1, 281( 0, 02333) + 0, 01039$ ft Va = 1, 281Vb = 1, 281( 5, 54) = 7,09 ft / s Correción del factor de fricción f supuesto: Re=

Vb Db ( 5, 54 ft / s ) ⋅ ( 0,1150 ft ) 4 = = 5, 26 ×10 con este valor y D/ε =767 → f=0,0246=0,025 −5 2 ν 1, 21×10 ft / s

Iniciamos nuevamente con la corrección de f: %Vb2 ( %Vb2 ( ! # hb = "8,80 +173, 9 ( 0, 025)$' * = 13,15' 2g * & 2g ) & ) %Va2 ( ha = 7,80 ' * (10) & 2g )

(9)

Valor  de  f  muy   diferente  al   supuesto   inicialmente  

Para obtener Va en función de Vb igualamos (9) y (10) : !Va2 $ !Vb2 $ 7,80 # & = 13,15# 2g & 2g " % " % Va = 1, 298Vb

ha = hb

(11)

Se combinan las ecuaciones (5) y (11) para calcular las velocidades ! V=A V +AV (5) a a

b b

Va = 1, 298Vb

(8)

! V=A a (1, 298Vb ) + AbVb = Vb (1, 298A a + Ab ) V! 0, 233 ft 3 / s Vb = = = 5, 48 ft / s 2 ! # 1, 281A a + Ab "1, 298 ( 0, 02333) + 0, 01039$ ft Va = 1, 281Vb = 1, 281( 5, 48) = 7,12 ft / s Correción del factor de fricción f supuesto: Re=

Vb Db ( 5, 48 ft / s ) ⋅ ( 0,1150 ft ) 4 = = 5, 21×10 con este valor y D/ε =767 → f=0,0247=0,025 ν 1, 21×10 −5 ft 2 / s Valor  de  f  muy   parecido  al   corregido  

! Cálculo de el flujo volumétrico: V=A (5) aVa + AbVb ! ( 0.02333 ft 2 ) ( 7,12 ft / s ) + ( 0.01039 ft 2 ) ( 5, 48 ft / s ) V= ! 60s $! 7, 48gal $ = 0,166 ft 3 / s + 0, 057 ft 3 / s = 0, 223 ft 3 / s # &# & = 100gal / min 3 " 1min %" 1 ft % Caida de presión entre los puntos 1 y 2: P1 P − hL = 2 → P1 − P2 = γ hL → h L1−2 = ha = hb γ γ ha = ( 7,80 ) ( 7,12 2 / 2g) = 6,14 ft 2

# 1 ft & P1 − P2 = γ hL = ( 62, 4lb / ft ) ( 6,14 ft ) % ( = 2, 66 psi $ 12in ' 3

EJEMPLO   Se   \ene   agua   a   10oC   que   fluye   de   un   deposito   grande   a   uno   más   pequeño   a   través   de   un  sistema  de  tuberías  de  hierro  fundido  de  5cm  de  diámetro.    Determine  la  elevación   z1  para  una  razón  de  flujo  de  6  L/s.  

The  density  and  dynamic  viscosity  of  water  at  10°C  are  ρ  =  999.7  kg/m3  and  µ  =  1.307x10-­‐3    kg/ m⋅s.  The  roughness  of  cast  iron  pipes  is  ε  =  0.00026  m.     0   2 1

0  

0  

0  

2 2

0z  

0  

P1 v P v + α1 + z1 + hbomba = 2 + α 2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρg 2g útil entregada

hL = hL,total = hL,mayor + hL,menor

→

z1 = z2 + hL

" L %V 2 = $ f + ΣK L ' # D & 2g

V! V! 0.006m 3 / s V= = = = 3.06m / s Ac π D 2 / 4 π (0.05m)2 / 4 ρVD (999.7kg / m 3 )(3.06m / s)(0.05m) Re = = = 117000 → µ 1.307 ×10 −3 kg / m ⋅ s

ε 0.00026 = = 0.0052 → f = 3.15 ×10 −2 D 0.05

ΣK L = K L,entrada + 2K L,codo + K L,válvula + K L,salida = 0.5 + 2 (0.3) + 0.2 + 1.06 = 2.36 ! $ (3.06)2 89m hL = # 0.0315 + 2.36 & = 27.9m " % 2(9.81m / s 2 ) 0.05m

z1 = 4 + 27.9 = 31.9m

SISTEMAS  DE  TUBERÍAS  CON  BOMBAS   Y  TURBINAS   Ecaución de energía: P1 v12 P2 v22 + α1 + z1 + hbomba = + α2 + z2 + hturbina + hL ρg 2g ρg 2g útil entregada Potencia mecánica necesaria: ! bomba útil ρVgh ! Wbomba eje = ηbomba Potencia eléctrica consumida: ! ρVgh bomba útil W! eléctrica = ηbomba motor Eficiencia de acoplamiento de bomba-motor:

ηbomba−motor = ηbomba ⋅ ηmotor Carga de bomba útil necesaria: h bomba útil = ( z2 − z1 ) + hL

Cuando   una   bomba   pasa   un   fluido   de   un   depósito   a   otro,   la   carga   de   bomba   ú\l   necesaria   es   igual   a   la   diferencia   de   elevación  entre  los  dos  depósitos  más  la  pérdida  de  carga.  

CURVA  CARÁCTERISTICA  

EJEMPLO   Bomba  de  agua  a  través  de    dos  tuberías  paralelas.   Se  debe  bombear  agua  a  20oC  desde  un  depósito  (zA=5m)  a  otro  depósito  a  mayor  altura    (zB=13m)  a   través  de  dos  tuberías  de  36m  de  largo  conectadas  en  paralelo.    LA  s  tuberías  son  de  acero  comercial,  y   los   diámetros   de   las   dos   tuberías   de   4   y   8   cm.     El   agua   se   bombeará   mediante   un   acoplamiento   motor-­‐ bomba   con   una   eficiencia   del   70%   que   extrae   8kW   de   potencia   eléctrica   durante   la   operación.     Las   pérdidas   menores   y   la   pérdida   de   carga   en   las   tuberías   que   conectan   las   uniones   de   las   tuberías   paralelas    a  los  dos  depósitos  se  consideran  despreciables.    Determine  la  razón  de  flujo  total  entre  los   depósitos  y  la  razón  de  flujo  a  través  de  cada  una  de  las  tuberías  paralelas.     ρ20 C = 998kg / m3 o

y µ =1.002 ×10 −3kg / m ⋅ s

Planteamiento  de  las  ecuaciones:  

1) Carga útil suministrada por la bomba al fluido: ! bomba útil ρVgh W! eléctrica = ηbomba motor

998km / m ) V! ( 9.81m / s ) h ( 8000W= 3

→

Ecaución de energía: 0  

2

bomba útil

0.70

2) Carga de bomba útil necesaria:

0  

P1 v12 P2 v22 + α1 + z A + hbomba = + α2 + zB + hL ρg 2g ρg 2g útil

→

h bomba = ( zB − z A ) + hL = (13m − 5m ) + hL útil

3) hL = hL,1

4) hL = hL,2

5)

6)

La velocidad promedio en 1: V!1 V!1 V!1 V1 = = = Ac,1 π D12 / 4 π ( 0.04m )2 / 4

7)

Régimen de flujo en 1:

3 ρVD ( 998kg / m ) V1 ( 0.04m) Re= = µ 1.002 ×10 −3 kg / m ⋅ s

La velocidad promedio en 2: V!2 V!2 V!2 V2 = = = Ac,2 π D22 / 4 π ( 0.08m )2 / 4 8)

Régimen de flujo en 2:

3 ρVD ( 998km / m ) V2 ( 0.08m) Re= = µ 1.002 ×10 −3 kg / m ⋅ s

10)

Factor de fricción en 2: (Acero comercial ε = 0.045mm) " 0.000045m / 0.08m 1 2.51 % '' = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &

9)

Factor de fricción en 1: (Acero comercial ε = 0.045mm) " 0.000045m / 0.04m 1 2.51 % '' = −2.0 log $$ + 3.7 f1 Re f # 1 1 &

11)

La pérdida de carga en 1:

h L,1 = f1

13)

2 1

12) 2 1

L1 V 36m V = f1 D1 2g 0.04m 2 ( 9.81m / s 2 )

Razón de flujo total: ! V ! + V! V= 1

2

La pérdida de carga en 2:

h L,2 = f2

L2 V22 36m V22 = f2 D2 2g 0.08m 2 ( 9.81m / s 2 )

REDES  ABIERTAS  

L1 = 680m, D1 = 0, 55m L2 = 520m, D 2 = 0, 60m L3 = 800m, D3 = 0,80m Q1 + Q2 = Q3 Δh = 70 − 50 = 20 V32 + h3 + h1 + Δh = 70 2g V32 h3 = 50 − h1 − 2g Formula de Kozeny: N=30 Q1 =

π 2 h π h π h 2 D1 (8,86 log D1 + N ) 1 D1 = ( 0, 55m ) (8,86 log ( 0, 55) + 30 ) 1 D1 = (8, 38) 1 D1 4 L1 4 L1 4 L1

Q2 =

π 2 h + Δh π h + Δh π h + Δh 2 D2 (8,86 log D2 + N ) 1 D2 = ( 0, 60m ) (8,86 log ( 0, 60 ) + 30 ) 1 D2 = (10, 09 ) 1 D2 4 L2 4 L2 4 L2

Q3 =

π 2 h π h π 2 D3 (8,86 log D3 + N ) 3 D3 = ( 0,80m ) (8,86 log ( 0,80 ) + 30 ) 3 D3 = (18, 65) 4 L3 4 L3 4

π h π h + Δh π D2 = (18, 65) (8, 38) 1 D1 + (10, 09) 1 4 L1 4 L2 4

V32 50 − h1 − 2g D3 L3

50 − h1 − L3

V32 2g

D3

(8, 38)

h1 h + 20 50 − h1 − 0 (0, 55) + (10, 09) 1 (0, 60) = (18, 65) (0,80) 680 520 800

→

Q1 =

π h π 19, 97m (8, 38) 1 (0, 55) = (8, 38) (0, 55) = 0,838m3 / s 4 680 4 680

Q2 =

π h + 20 π 19, 97m + 20 (10, 09) 1 (0, 60) = (10, 09) (0, 60) = 1, 70m3 / s 4 520 4 520

h1 = 19, 97m (Solve equation hp o wolfram )

2

3

Q3 = Q1 + Q2 = 2, 54m / s

(8, 38)

→

2 16 ( 2, 54m 3 / s ) V32 (Q3 / A3 ) Q32 Q32 16Q32 = = = = = = 1, 30m 2g 2g 2gA32 2g (π D32 / 4)2 2gπ D34 2 ( 9,81m / s 2 ) π 2 ( 0,80m ) 4

h1 h + 20 50 − h1 −1, 30m (0, 55) + (10, 09) 1 (0, 60) = (18, 65) (0,80) 680 520 800

→

h1 = 19, 32m

Q1 =

π h π 19, 32m (8, 38) 1 (0, 55) = (8, 38) (0, 55) = 0,822m3 / s 4 680 4 680

Q2 =

π h + 20 π 19, 32m + 20 (10, 09) 1 (0, 60) = (10, 09) (0, 60) = 1, 69m3 / s 4 520 4 520

Q3 = Q1 + Q2 = 2, 512m 3 / s

(8, 38)

→

2

2 16 ( 2, 512m 3 / s ) Q3 / A3 ) V Q32 Q32 16Q32 ( = = = = = = 1, 27m 2g 2g 2gA32 2g (π D32 / 4)2 2gπ D34 2 ( 9,81m / s 2 ) π 2 ( 0,80m ) 4 2 3

h1 h + 20 50 − h1 −1, 27m (0, 55) + (10, 09) 1 (0, 60) = (18, 65) (0,80) 680 520 800

Q1 =

π h π 19, 33m (8, 38) 1 (0, 55) = (8, 38) (0, 55) = 0,823m3 / s 4 680 4 680

Q2 =

π h + 20 π 19, 33m + 20 (10, 09) 1 (0, 60) = (10, 09) (0, 60) = 1, 688m3 / s 4 520 4 520

→

h1 = 19, 33m

2

Q3 = Q1 + Q2 = 2, 511m 3 / s

→

2 16 ( 2, 511m 3 / s ) V32 (Q3 / A3 ) Q32 Q32 16Q32 = = = = = = 1, 27m 2g 2g 2gA32 2g (π D32 / 4)2 2gπ D34 2 ( 9,81m / s 2 ) π 2 ( 0,80m ) 4

EJEMPLO   Se desea que los gastos sean: Q 5 = 25l / s , Q 4 = 30l / s, hacia los taques C y D respectivamente y que Q 2 = 11l / s desde la bomba. Determinar los diámetros D1, D3 y D4 necesarios para que se satisfagan las condiciones impuestas. El factor de fricción para todos los tubos es f=0,014 y los tanque A y B abastecen a C y D.

L1 = 2850m, D1 = ??? m, Q1 = ??? m 3 / s L2 = 500m, D 2 = 0,10m, Q 2 = 0, 011m 3 / s L3 = 1970m, D3 = ??? m, Q 3 = ??? m 3 / s L4 = 400m, D 4 = ??? m, Q 4 = 0, 030m 3 / s L5 = 600m, D 5 = 0, 20m, Q 5 = 0, 025m 3 / s Q1 + Q2 = Q3; Q 3 = Q4 + Q5 Q 3 = Q4 + Q5 = 0, 030m 3 / s + 0, 025m 3 / s = 0, 055m 3 / s Q1 = Q3 − Q2 = 0, 055m 3 / s − 0, 011m 3 / s = 0, 044m 3 / s

Velocidades*y*carga*de*velocidades: Q1 0,044m 3 / s 0,056 V12 0,000160 V1 = = = ; !!! = 2 2 A1 2g π D1 / 4 D1 D14 Q2 0,011m 3 / s V22 0,014 V2 = = = = 1,4m / s; !!! = 0,1m 2 2 A2 2g π D2 / 4 0,1m

(

)

Q3 0,055m 3 / s 0,07 V32 0,00025 V3 = = = 2 ; !!! = 2 A3 2g π D3 / 4 D3 D34 Q4 0,030m 3 / s 0,038 V42 0,000074 V4 = = = ; !!! = 2 2 A4 2g π D4 / 4 D4 D44 Q5 0,025m 3 / s V52 0,032 V5 = = = = 0,8m / s; !!! = 0,032m 2 2 A5 2g π D5 / 4 0,2m

(

)

Ecuación de energía entre F y C: E F = EC + h f ; V52 PC L5 V52 E F = ZC + + +f ; 2g γ D5 2g 600m 0, 0323m; E F = 16, 39m 0, 20m Ecuación de energía entre F y D: E F = ED + h f ; E F = 15m + 0, 0323m + 0 + 0, 014

V42 PD L4 V42 E F = ZD + + +f ; 2g γ D4 2g 16,39m = 15m +

0, 000074 400m 0, 000074 + 0 + 0, 014 ⋅ ; D4 = 0, 20m 4 4 D4 D4 D4

Ecuación de energía entre B y E: E B + hbomba = EE + h f ;

P=

" 745, 7W % ' (0, 73) (6HP ) $# ηP 1HP & → hb = = = 30, 3m 3 3 γ Q 9810N / m ( 0, 011m / s)

γ Q hb η

V22 PB L3 V32 ZB + + + hbomba = EE + f ; 2g γ D3 2g 0m+0,1m+0m+30,3m = EE + 0, 014

500m ⋅ 0,1m; EE = 23, 4m 0,10m

Ecuación de energía entre A y E: E A = EE + h f ; V12 PA L4 V42 ZA + + = EE + f ; 2g γ D4 2g 30m+0m+0m = 23, 4m + 0, 014

2850m 0, 000161 ⋅ ; D1 = 0, 25m 4 D1 D1

Ecuación de energía entre E y F: E E = EF + h f ; L3 V32 EE = EF + f ; D3 2g 23,4m = 16,39m+0,014

1970m 0, 00025 ⋅ ; D3 = 0, 25m 4 D3 D3

REDES  CERRADAS  

*Red  Cerrada*  

EJEMPLO