Flujo del agua en el suelo

Flujo del agua en el suelo INTRODUCCIÓN Hace solo 60 años los proyectos de presas y de estructuras de retención de agua hechas con suelos se basaban casi exclusivamente en reglas empíricas que los constructores se transmitían por tradición oral. Se adoptaban las obras que habían resistido satisfactoriamente los estra gos a causa del tiempo y de las aguas, independientemente de la naturaleza de los materiales y de las características del terreno de cimentación. Con el nacimiento de la mecánica de suelos y el conocimiento de los materiales, que con esta se adquirió, ha sido posible analizar bajo un nuevo nuevo fulgor fulgor el comportamiento de las presas y de las estructuras de retención. Fue el francés Henry Darcy quien estableció las bases para un estudio racional de los  problemas prácticos acerca de la infiltración del agua a través de los suelos. Darcy en el siglo XIX estudió en forma experimental el flujo del agua a través de un medio poroso y estableció la ley que se conoce con el nombre de ley de Darcy. Dicha ley se basa en las siguientes hipótesis, que condicionan su validez: y

Medio continuo, es decir que los poros vacíos estén intercomunicados.

y

Medio isótropo.

y

Medio homogéneo.

y

Flujo del agua en régimen laminar.

Darcy demostró que el caudal Q es proporcional a la pérdida de carga e inversamente proporcional a la longitud del lecho de arena y proporcional al área de la sección y a un coeficiente que depende de las características del material. De esta manera estableció que: Q = KA(h 1 ± h2)/L En

donde K es un coeficiente que se ha denominado coeficiente de permeabilidad con unidades L/T.

Esta

ley es solo aplicable en la resolución de problemas en que el flujo del agua sea laminar. Es decir que el flujo presente un número de Reynolds inferior  a 2000. El número de Reynolds es una relación adimensional entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas, esta relación establece que:

R = V D  V/ Q Posteriormente a Darcy, el siguiente paso fundamental en el conocimiento fue dado por  Ph. Forchheimer, quien demostró que la función carga hidráulica que

gobierna un flujo en un medio poroso poroso es una función armónica, es decir, que satisface la ecuación de Laplace. Forchheimer desarrolló a principios principios del siglo

XX,

las bases para el método gráfico que hoy se conoce con el nombre de método de las redes de flujo, que sigue siendo el arma más sencilla y poderosa de que el ingeniero dispone para la resolución práctica de los problemas que involucren el flujo de agua en suelos. El método de las redes de flujo, que es una solución gráfica de la ecuación de Laplace, fue popularizado a partir de 1937 y desde entonces se ha transformado en el procedimiento normal de trabajo para todos los ingenieros. ECUACIONES

HIDRODINAMICAS QUE RIGEN EL FLUJO DEL AGUA A TRAVES DE LOS SUELOS

 A continuación se presenta un tratamiento matemático que permitirá llegar en forma sencilla a las ecuaciones básicas que se utilizan para plantear  teóricamente el problema del flujo de agua a través de los suelos. Considérese un pequeño paralelepípedo de una región de suelo a travé s de la que fluye el agua, de dimensiones dx, dy y dz, tal como se muestra en la figura:

Supóngase que la velocidad V  con la que el agua pasa por el elemento posee tres componentes Vx, Vy  y Vz  y que estas son solo función de   x, y y z  respectivamente pero no del tiempo (suponiendo que se trata de un fluido permanente) ni de ninguna otra variable. Suponiendo también que estas componentes son funciones continuas que admiten cualquier orden de derivación necesario al razonamiento expuesto. Dadas las condiciones, si en las caras I las componentes de la velocidad son Vx, Vy  y Vz, en las caras II las componentes de la velocidad serán, respectivamente: Vx

+ xVx /xx) dx

Vy + xVy /xy) dy Vz

+ xVz /xz) dz

Supóngase ahora que la porción de suelo a través de la que fluye el agua tiene sus vacíos saturados y que además las partículas que la conforman son incompresibles. Así, durante el flujo, la cantidad que entra al elemento tiene que ser igual a la que sale. Por lo

tanto, teniendo en cuenta que el caudal que pasa por una sección puede expresarse como el producto del área de la sección por la velocidad del flujo, podrá escribirse: Vxdydz

+ Vydxdz + Vzdxdy = (Vx + xVx /xx dx)dydz + (Vy + xVy /xy dy)dxdz + (Vz + xVz /xz dz)dxdy

Donde el termino del lado izquierdo representa el caudal que entra y el del lado derecho el que sale. Simplificándola se obtiene: xVx /xx

dxdydz + xVy /xy dxdydz + xVz /xz dxdydz = o

de donde: xVx /xx

+ xVy /xy + xVz /xz = o

Esta

ecuación es de gran importancia en la teoría de flujo de agua y se conoce con el nombre de ecuación d e l a continui da  d. Es importante recordar que esta ecuación es solo aplicable cuando se cumplen los supuestos anteriormente mencionados, los cuales son: y

Flujo permanente

y

Suelo saturado

y

El

y

El flujo no modifica la estructura del suelo

agua y las partículas son incompresibles

  Ahora teniendo en cuenta la ley de Darcy (V = -Kxh/xl), tenemos que la velocidad de flujo de agua a través del elemento es: Vx = -Kxxh/xx Vy = -Kyxh/xy Vz = -Kzxh/xz

En

estas ecuaciones el elemento de suelo se considera anisótropo en lo referente a su permeabilidad K en la dirección de cada eje Introduciendo estas ecuaciones en la ecuación de continuidad, obtenemos: Kx x2h/xx2 + Ky x2h/xy2 + Kz x2h/xz2 = 0 En

algunos casos en los cuales la sección transversal (x-y) es mucho mayor  que la altura, el problema de flujo podrá estudiarse bidimensionalmente, escribiéndose en una forma más simplificada la ecuación:

Kx x2h/xx2 + Ky x2h/xy2 = 0 Es esta la ecuación fundamental para el análisis de un flujo bidimensional en

una región de flujo dada.

De encontrarse en un suelo isótropo en lo referente a la permeabilidad, es decir  Kx = Ky = K, podrá ser simplificada para obtener la ecuación de Laplace: x2h/xx2

+ x2h/xy2 = 2h = 0

Una función que satisface la ecuación de Laplace se le conoce como armónica . Ecuación que para ser aplicada requiere: y

Suelo isótropo, en lo relativo a su permeabilidad

y

Flujo bidimensional

Estos dos limitantes no son un gran obstáculo ya que un flujo bidimensional se ajusta a la mayoría de los casos prácticos, en cuanto a la isotropía habrá que considerar que muchas de las estructuras de tierra a través de las que interesa estudiar el flujo se construyen compactando por capas, procedimiento que conduce a permeabilidades horizontales bastante mayores que las que se obtienen para el flujo en la dirección vertical. La ecuación general de Laplace está constituida por dos grupos de funciones que  pueden ser representados dentro de la zona de flujo en estudio como dos familias de curvas ortogonales entre sí. La solución general que satisfaga las condiciones de frontera de una región de flujo específica constituirá la solución particular de la ecuación de Laplace para esta región específica. Es conveniente, a partir de la gráfica, una expresión que proporcione el caudal que pasa a través del elemento en el tiempo dt. dq = K x xh/xx dydz + K y xh/xy dxdz + K z xh/xz dxdy

Si el suelo es isótropo en lo referente a la permeabilidad: dq = K(xh/xx dydz + xh/xy dxdz + xh/xz dxdy)

En flujo bidimensional: dq = K(xh/xx dy + xh/xy dx) SOLUCIÓN

DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE

Centrándose en el caso de flujo bidimensional, se observa la ecuación de Laplace: 2

x

h/xx2 + x2h/xy2 = 2h = 0

y se define una función: J = -Kh + c

Función, conocida como función de potencial, que satisface la ecuación de Laplace, cumpliendo que: x2J /xx2 + x2J /xy2

=0

Así la función J(x, y)= constante es una solución de la ecuación de Laplace, solución que representa una infinidad de funciones, según el valor de la constante c que intervenga. Esta expresión puede representar una familia de curvas que se desarrollan en la región plana en la que ocurre el flujo, obteniéndose una curva específica de la familia para cada valor de la constante que se tome. Considérese ahora una función ](x, y)= constante llamada función de corriente y definida de modo que: Vx = ]x/xy

Vy =- ]xxx

La función ] así definida satisface la ecuación de Laplace, de manera que se cumple: 2

2

x ] / xx

+ x2] /xy2 = 0

Si el conjunto de funciones ](x, y)= constante, se representaran ta mbién por una familia de curvas (]= constante) en la región de flujo. La familia ] = constante es ortogonal a la familia J= constante. En un problema específico en el que haya unas condiciones de frontera fijas, la solución de la ecuación de Laplace constituida por las dos familias de curvas, más la exigencia de que estas familias satisfagan las condiciones de frontera existentes, produce en definitiva una solución única del problema considerado. INTERPRETACIÓN FÍSICA Se tendrá entonces que en la curva J= constante, todos los puntos presentaran la misma carga hidráulica, h. Por esta razón es que estas curvas reciben el nombre de líneas equipotenciales. En cuanto a las curvas ]= constante, se considerara la trayectoria del agua que pasa por   P(x, y), en este punto el agua presenta una velocidad V.

 A lo largo de la curva se tendrá: Tan U

= Vy /Vx = dy /dx

De donde:

Vydx ± Vxdy = 0 Lo que puede ser expresado como: ]x dx/xx + ]xdy/xy = 0

La anterior expresión es precisamente la diferencia total de la función ] de manera que se cumple a lo largo de la trayectoria del agua que: d] = 0 Y por lo tanto: ] = constante

La familia de curvas ]= constante esta constituida por las trayectorias físicas y reales del agua a través de la región de flujo.

TEORÍA DE LA SECCIÓN TRAN SFORMADA La teoría de la sección transformada permite reducir la situación de un suelo anisótropo al caso de un suelo isótropo. Con esta reducción se logra que la ecuación de Laplace y sus soluciones sean aplicables para describir el flujo a través de un medio anisótropo. En esencia la teoría de la sección transformada es un simple artificio de cálculo que se logra por medio de una simple transformación de coordenadas y del cua l se obtiene que la permeabilidad equivalente en la sección transformada a la combinación de permeabilidades de la sección real es: K = (KxKy) 1/2 REDES DE FLUJO

La red de flujo es una representación gráfica de la solución de la ecuación de Laplace para J y ] con las condiciones de frontera existentes en el flujo. Esta

constituida por líneas equipotenciales separadas igualmente en J y por  líneas de corriente igualmente separadas en ]. Esta separación se conoce como canal de flujo o canal de corriente. Todas las intersecciones de la red son ortogonales. Propiedades de las redes de flujo:

y

y

El

caudal que fluye entre dos líneas consecutivas es el mismo por unidad de ancho. Ni

las líneas equipotenciales pueden cortarse entre sí, dentro del medio fluido, ni las líneas de corriente pueden cortarse entre sí dentro del medio fluido.

Se trata entonces de definir en cada caso las condiciones de frontera específicas del problema y trazar, cumpliendo con estas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo así una verdadera imagen gráfica del problema, que si a sido realizada con cuidado podrá ser lo suficientemente buena para los fines ingenieriles. Para el trazo de una red de flujo se tienen los siguientes pasos: y

Dibujar los limites del dominio

y

Fijar tentativamente 3 ó 4 líneas de corriente.

y

Trazar tentativamente equipotenciales, ortogonales a las líneas de corriente

y

y

 Ajustar  Comprobar la bondad del ajuste si al trazar las líneas diagonales de los cuadros se obtienen también curvas suaves, formando una nueva red

CALCULO DEL CAUDAL  Al trazar cualquier red de flujo se dibujan las equipotenciales de tal manera que la (h sea la misma y que el (q entre dos líneas de corriente sea el mismo.

Se tendrá entonces que: (q = Ka (h/b

Si nf  es el número total de canales de la red y nc el número de caídas de potencial que hay en toda la zona de flujo, entonces podrá escribirse:

(q = q/nf 

(h = h/ n c

y

Donde q y h son el caudal unitario total y la carga total.  A partir de lo anterior se puede llegar a que: q /nf  = q

Ka h/nc

= (n /f  nc) (a /b) kh

Puesto que q, k, h, n f  y nc

son constantes para una red de flujo dada, la relación a/b debe serlo también. Esta condición implica que se estén cumpliendo las dos condiciones iniciales (que la (h sea la misma y que el (q entre dos líneas de corriente sea el mismo). El

término n f /nc depende únicamente de la forma de la región de flujo, se le conoce como factor de forma y se representa: Ff  = nf  / nc El

calculo de las presiones hidrodinámicas en el agua que se infiltra a través de la región de flujo, es una de las aplicaciones más útiles de una red de flujo. FUERZAS

DE INFILTRACIÓN

El

agua circulando en un medio poroso, imparte energía a los granos sólidos por fricción. Considérese un volumen de arena confinado, en el cual se tiene un nivel de agua h1 antes y un nivel h2 después de la arena.

La fuerza resultante en el volumen de arena es:

F = P1 ± P2 Donde: P1

= Kh1A

A es el área transversal de la muestra.

Sustituyendo:

P2

= Kh2A

F = (h1 ± h2) KA La dirección de F es paralela al flujo y puede localizarse dependiendo de la posición del centro de gravedad del elemento analizado. Para

suelos anisotrópicos, debe utilizarse el concepto de sección transformada.

EJEMPLOS

DE R EDES DE FLUJO

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

y

y

VÉLEZ Otálvaro, María Victoria. Hidráulica de aguas subterráneas. Facultad de minas, Universidad Nacional de Colombia. Segunda edición, Medellín 1999. JUÁREZ

Badillo, Eulalio. RICO Rodríguez, Alfonso. Mecánica de suelos, tomo III flujo de agua en suelos. Editorial Limusa. México 1980.