FLUJO DE FLUIDOS

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Flujo de fluidos

FLUJO DE FLUIDOS

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DR. JOSÉ ENRIQUE VILLA RIVERA Director General DR. EFRÉN PARADA ARIAS Secretario General DR. JOSÉ MADRID FLORES Secretario Académico DR. VICTOR MANUEL LÓPEZ LÓPEZ Secretario de Extensión y Difusión ING. MANUEL QUINTERO QUINTERO Secretario de Apoyo Académico CP. RAÚL SÁNCHEZ ANGELES Secretario de Administración DR. MARIO A. RODRÍGUEZ CASAS Secretario Técnico DR. LUIS ZEDILLO PONCE DE LEÓN Secretario Ejecutivo de la Comisión de Operación y Fomento de Actividades Académicas ING. JESÚS ORTIZ GUTIÉRREZ Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e Instalaciones LIC. ARTURO SALCIDO BELTRÁN Director de Publicaciones

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Flujo de fluidos

FLUJO DE FLUIDOS JUAN CARLOS VILLASEÑOR RÍOS

INSTITURO POLITÉCNICO NACIONAL -México-

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Flujo de Fluidos Primera edición: 2006 D.R. 2006 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Dirección de Publicaciones Tresguerras 27, 06040, México, DF. ISBN: 03-2001-061516261600-01 Impreso en México / Printed in México

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Flujo de fluidos

A mi esposa Betty, A mis hijos: Betty, Charly y Letty, todo mi amor. Gracias por su comprensión y paciencia.

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Flujo de fluidos

PRÓLOGO El transporte de fluidos es una actividad sustantiva de cualquier proceso, de aquí que sea parte de la formación de todos los ingenieros. En los procesos biotecnológicos se manejan fluidos con características muy diversas: se requiere conocer los principios básicos de fluidos newtonianos (capítulo 3) y no newtonianos (capítulo 4), de los gases a presiones altas, moderadas y de vacío (capítulo 5), así como de fluidos a través de sistemas heterogéneos (caítulo 6). Si bien de estos temas existe una gran cantidad de información, en el presente libro me permito hacer una breve revisión para introducir a los estudiantes a estos temas. Se contempla un curso previo de fenómenos de transporte como requisito para abordar el capítulo 1, donde se presentan las deducciones de los balances macroscópicos de materia, cantidad de movimiento y energía que se utilizan a lo largo del libro, permitiendo abordar y desarrollar los temas de una manera más directa y concisa. La estrategia sugerida para este curso semestral de flujo de fluidos, es revisar y de considerarse necesario, profundizar la parte teórica a través de revisiones específicas, complementada con la resolución del mayor número de problemas por parte de los alumnos en sesiones plenarias. En la resolución de problemas es recomendable elaborar un esquema o diagrama de la situación en el que se viertan los datos, elegir un sistema de unidades (de preferencia el sistema internacional) y hacer las conversiones de datos antes de utilizarlos en las fórmulas. Hacer un análisis dimensional de los cálculos realizados y complementar el esquema con los resultados obtenidos, consideraciones realizadas, conclusiones obtenidas, etc., con el fin de tener un resumen del problema, identificar posibles errores y facilitar la comunicación con otros colegas. Agradezco al IPN las facilidades otorgadas para escribir la presente obra en mi ejercicio de año sabático, a mis alumnos por permitirme aprender con ellos, a mis compañeros y amigos por sus comentarios, sugerencias y apoyo. Juan Carlos Villaseñor Ríos

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Flujo de fluidos

CONTENIDO Tema:

Pág.

1 Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. 1.1 Introducción. 1.2 Ecuación de continuidad. 1.3 Ecuación de cantidad de movimiento 1.4 Ecuación de energía mecánica. 2 Estática de fluidos. 2.1 Ecuación de la hidrostática. 2.2 Presión absoluta, manométrica y de vacío. 2.3 Indicadores de presión. 2.4 Fuerzas sobre objetos sumergidos. 2.5 Problemas propuestos. 3 Fluidos incompresibles Newtonianos. 3.1 Introducción. 3.1.1 Experimento de Reynolds. 3.1.2 Perfiles de velocidad. 3.1.3 Caídas de presión. 3.2 Fricción en tuberías cilíndricas. 3.2.1 Régimen laminar. 3.2.2 Régimen turbulento. 3.3 Balance macroscópico de energía mecánica. 3.4 Fricción en tuberías no cilíndricas. 3.5 Fricción en accesorios. 3.6 Problemas que no tienen solución directa. 3.7 Medidores de flujo. 3.7.1 Tubo de Pitot. 3.7.2 Vénturi. 3.7.3 Medidor de orificio. 3.7.4 Toberas. 3.7.5 Rotámetros. 3.8 Bombas centrífugas. 3.8.1 Curvas características 3.8.2 Tipos de impulsores 3.8.3 Carga neta de succión positiva (NPSH) 11

15 15 16 19 24 31 31 33 34 38 45 51 51 51 51 52 53 53 57 60 62 64 72 77 77 79 80 82 82 83 83 87 90

3.8.4 Arreglo de bombas 3.8.5 Punto de operación de bombas centrífugas 3.9 Problemas propuestos. 3.9.1 Propiedades físicas. 3.9.2 Tubería en régimen laminar. 3.9.3 Tubería en régimen turbulento. 3.9.4 Descarga de tanques. 3.9.5 Tuberías no cilíndricas. 3.9.6 Caída de presión en accesorios. 3.9.7 Redes. 3.9.8 Medidores de flujo. 3.9.9 Bombas y turbinas. 4 Fluidos no newtonianos. 4.1 Modelos reológicos. 4.2 Fluidos que se describen con la ecuación de potencia. 4.3 Plásticos de Bingham. 4.4 Fricción en válvulas y accesorios. 4.5 Bombas de desplazamiento positivo. 4.6 Problemas propuestos. 5 Fluidos compresibles. 5.1 Velocidad del sonido. 5.2 Flujo en ductos de sección variable. 5.3 Flujo adiabático con fricción. 5.4 Flujo isotérmico con fricción. 5.5 Ventiladores, sopladores y compresores. 5.6 Trabajo de compresión. 5.6.1 Compresión adiabática. 5.6.2 Compresión isotérmica. 5.6.3 Compresión politrópica. 5.7 Flujo de gases en condiciones de vacío. 5.7.1 Patrones de flujo. 5.7.2 Definiciones de caudal, velocidad de bombeo y conductancia. 5.7.3 Ecuación general para un sistema de bombeo. 5.7.4 Guía general para el diseño de sistemas de vacío. 5.8 Problemas propuestos. 6 Interacciones sólido – fluido. 6.1 Lechos empacados. 6.2 Fluidización. 6.3 Problemas propuestos. Nomenclatura. Anexos. A1 Coordenadas cilíndricas y ecuaciones de variación. A2 Relaciones termodinámicas B1 Pesos específicos de líquidos. B2 Viscosidad en función de la temperatura. B3 Nomograma de viscosidades de líquidos. B4 Nomograma de viscosidades de gases. 12

94 96 96 96 97 99 101 104 105 109 110 113 123 123 125 126 129 132 138 143 143 145 149 157 159 163 163 164 165 166 166 166 168 170 173 177 177 184 190 195 199 200 202 203 204 205 208

Flujo de fluidos B5 Presiones de vapor en función de la temperatura. B6 Tablas de vapor saturado. C1 Caída de presión en tubos de acero inoxidable. C2 Caída de presión en tubos sanitarios. C3 Diámetros de tuberías sanitarias. C4 Diámetros de tuberías de acero inoxidable. C5 Diámetros de tubería de cobre. C6 Rugosidad de tuberías. C7 Diagrama de Moody. C8 Factor de fricción en función del número de Von Karman. C9 Factor de corrección de la energía cinética. C10 Factor de fricción en función del número de Reynolds para ecuación de potencia. C11 Factor de fricción en función del número de Reynolds para Plásticos de Bingham. C12 Nomograma para L/D de accesorios. C13 Coeficientes de resistencia K de Accesorios. C14 L/D de accesorios. D1 v/vmzx de Tubo de Pitot. D2 Cv Vénturi. D3 Co de Orificio. D4 Ct de Toberas. D5 Cr de Rotámetros. E1 Tabla de Puriti para bombas. E2 Curvas características. F1 Nomograma para flujo adiabático. F2 Nomograma para flujo adiabático. G1 Longitudes máximas para líneas de vacío. G2 Conductancia de líneas de vacío. G3 Factor de bombeo de bombas de vacío. G4 Curva de operación de bomba de vacío. G5 Aplicaciones en condiciones de vacío. H1 Factor de fricción en lechos empacados. H2 Características de resina de intercambio iónico. H3 Esfericidad de partículas. I1 Algoritmo para establecer la secuencia de cálculo. I2 Programa de sistema de vacío. J1 Tablas de conversión. Bibliografía. Indice

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210 211 213 214 215 216 217 217 218 219 220 220 221 222 223 227 228 228 229 230 230 231 233 237 238 239 239 240 240 241 243 243 244 244 246 247 249 251

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ECUACIONES BÁSICAS PARA EL FLUJO DE FLUIDOS 1.1 INTRODUCCIÓN Las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía, son la piedra angular del cúmulo de conocimientos que tiene el hombre en Ingeniería, en su desarrollo han participado incontables genios de la humanidad. Estas ecuaciones tienen en forma implícita los principales conceptos y leyes de la Física. La aplicación de estas ecuaciones está restringida por la imaginación de quien las utilice y de las herramientas matemáticas que se requieren para resolver la situación dada. Sus expresiones matemáticas junto con las consideraciones realizadas en su deducción y aplicación, constituyen el modelo matemático que nos permitirá cuantificar el fenómeno en estudio, teniendo presente que todo modelo matemático que describa una situación física real tendrá un margen de error, el cual se incrementará conforme nuestro modelo se aleje de las condiciones presentes en la situación real. Las ecuaciones que se revisan en este capítulo son válidas para sistemas monofásicos; el movimiento del fluido se considerará como régimen laminar (el fluido describe trayectorias definidas). La deducción de los balances macroscópicos, se lleva a cabo por la integración sobre un volumen de control finito de los balances diferenciales. En el esquema de la figura 1.1-1, se ilustran los principios y la estrategia que es utilizada en su deducción1. Entenderemos como elemento de control la parte del universo que deseamos estudiar (definición de sistema en termodinámica) y el resto del universo como alrededores. El elemento de control que estudiaremos es el que se muestra en la figura 1.2-1, el fluido ocupará todo el volumen2 (V) y estará delimitado por la suma de todas las superficies sólidas fijas (Sf) y dos áreas transversales al flujo por donde entra (S1) y sale (S2) el fluido; también se considera una superficie sólida móvil (Sm) a través de la cual se puede intercambiar energía con los alrededores en forma de trabajo mecánico. Este elemento de control podrá intercambiar energía con los alrededores en forma de calor, si hay diferencia de temperaturas entre el fluido y los alrededores a través de la superficie fija; otra situación posible es aislarlo térmicamente para que no exista transferencia de energía en forma de calor (sistema adiabático).

1

Este capítulo está basado en las siguientes referencias: Bird, R. B., Steward, W. E., Lightfoot, E. N., Fenómenos de Transporte. Ed. Reverté, Méx., 1993. Bird, R. B., Chem. Eng. Sci., 6 (123) 1957. Fulford, G.D., Pei, D.C.T., Ind. and Eng. Chem. 61 (47) 1969.

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Si un líquido no llena completamente una tubería, se tiene la situación de un canal, situación no analizada en este libro.

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos.

ELEMENTO DE CONTROL: PRINCIPIO: DIFERENCIAL: Balance de materia o ley de conservación de la materia. Balance de fuerzas o segunda ley de Newton.

Ecuación de continuidad. Ecuación de cantidad de movimiento. (v•)

Ley de conservación de la energía.

Ecuación de energía mecánica.

FINITO:

∫ ∫

v

v

∫

v

Balance macroscópico de materia. Balance macroscópico de cantidad de movimiento.

Balance macroscópico de energía mecánica.

Fig. 1.1-1 Estrategias en la deducción de las ecuaciones generales utilizadas en flujo de fluidos. Si bien no es el caso para el estudio de este libro, al elemento de control se le pueden incluir otras superficies con el fin de describir la transferencia de masa, de calor o ambos. Las tuberías cilíndricas son un caso particular de este elemento de control: se presentará cuando no existan aditamentos mecánicos; el volumen estará definido por un cilindro de diámetro D y longitud L, el área lateral definirá la interfase sólido - fluido (Sf o área húmeda) y los dos círculos o áreas transversales por donde entra y sale el fluido, como se observa en la fig. 1.2-2. Por la importancia de las tuberías en el flujo de fluidos, muchos de los términos desarrollados en los balances macroscópicos se acotan a este sistema.

1.2 ECUACION DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad (ec. 1.2-2) es la expresión matemática de la ley de conservación de la materia, su deducción considera un elemento de control infinitesimal fijo, a través del cual fluye el fluido. Se considera que el fluido tiene una composición constante. En esta ecuación ρ es la densidad, t el tiempo y v la velocidad del fluido dentro del elemento de control infinitesimal. El primer término (I) representa la velocidad con la que se acumula la materia por unidad de volumen dentro del elemento de control (término de acumulación), el término de la derecha (II) es la divergencia (producto escalar del operador nabla con un vector) de la velocidad másica (ρv) y representa la velocidad neta con la que el fluido atraviesa el elemento de control por unidad de volumen (término convectivo). 16

Flujo de fluidos La velocidad másica o flux másico representa la cantidad de materia que pasa a través de un área unitaria (normal a la velocidad) por unidad de tiempo, también se puede interpretar como la cantidad de movimiento por unidad de volumen.

Fig. 1.2-2 Esquema de una tubería cilíndrica.

Fig. 1.2-1 Elemento de control finito.

Velocidad de acumulación de materia/unidad de volumen

Velocidad neta de = transferencia de materia asociada al movimiento/ unidad de volumen

(I)

(1.2-1)

(II)

−

∂ρ ∂t

= ∇ ⋅ (ρv )

(1.2-2)

Respecto a la densidad sobresalen dos casos generales: fluido incompresible (ρ=ctte) y fluido compresible (ρ≠ctte), en el primer caso se incluyen en forma práctica a los líquidos y determinadas situaciones de gases en donde la variación de la densidad es pequeña, en el segundo caso se incluyen a los gases principalmente. La ec. 1.2-2 se puede integrar para el elemento de control finito de la fig. 1.2-1, para dar lugar al balance macroscópico de materia. I) Término acumulativo.

∫ V

(−

d ∂ρ )dV = − dt ∂t

∫

ρdV = −

dm T dt

&T = −m

V

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(1.2-3)

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. Como puede observarse la masa total (mT) contenida dentro del elemento de control finito de volumen V, es la integral sobre el volumen de la densidad.

m T = ∫ ρdV

(1.2-4)

V

En el desarrollo de la ec. 1.2-3 se utilizó la fórmula de Leibnitz3 simplificada para un volumen de control constante.

∫

(∇ ⋅ ρ v )dV =

V

∫

(ρ v ) n dS =

S

∫

(ρ v ) n dS +

S1

∫

(ρ v ) n dS +

S2

(Velocidad con (Velocidad con la que entra) la que sale)

3

∫ ( ∇ ⋅ ρv )dV

= ρ 2 v 2S 2

− ρ1 v 1S1

∫

(ρ v ) n dS

(1.2 − 5)

Sf + S m

(ρv)n = 0 para Sf y Sm

(1.2-6)

V

Donde ρ, v, y S son las densidades, velocidades lineales promedio y áreas transversales a las tuberías en los puntos de referencia 1 y 2. En esta deducción se considera que el fluido es isotrópico en todo el plano transversal, y se utiliza el teorema de la divergencia de Gauss3, en donde (ρv)n es la componente normal al área considerada, cuya dirección positiva es hacia afuera del elemento de control, lo que da lugar al signo negativo del término de velocidad de entrada de materia. Por las interfases sólido - fluido no puede haber intercambio de materia, de aquí que (ρv)n para las áreas Sf y Sm sean cero. Igualando las ecuaciones 1.2-3 y 1.2-6 se obtiene el balance macroscópico de materia:

−

dm T dt

= ρ 2 v 2S 2

− ρ1 v 1S1

(1.2-7)

3

Sean: s un escalar, v un vector, t un tensor cualquiera, y n el vector unitario normal al área S cuya dirección es hacia afuera del elemento de control de volumen V constante, se tiene que: Fórmula de Leibnitz (simplificada):

∂s

d sdV = dt ∫V

∫ ∂t dV V

Teorema de Gauss aplicado a s, v, y t:

∫ (∇s)dV

∫ sndS

=

V

S

∫ (∇ ⋅ v )dV

=

∫ (∇ ⋅ t)dV

=

V

V

∫ (n ⋅ v )dS S

=

∫ (v)

n

dS

S

∫ (n ⋅ t)dS S

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Flujo de fluidos Esta ecuación se puede expresar de diferentes formas dependiendo de las siguientes definiciones: Flujo o gasto volumétrico (caudal) = Gv = vS Flujo o gasto másico = Gm = ρvS = ρGv Flux másico o velocidad másica = ρv

(1.2-8)

Al utilizar el balance macroscópico sobresalen dos situaciones generales: estado estable y estado no estable. La condición de estado estable se presenta cuando no hay acumulación de materia dentro del elemento de control (-dmT/dt = 0), siendo los flujos másicos que entran y salen de igual magnitud, los cuales no dependerán del tiempo (Gm1 =Gm2 = ctte). Observe que para fluidos incompresibles no hay acumulación de materia aún cuando los flujos másicos no sean constantes, condición típica de estado no estable o transitorio. En las ecuaciones anteriores la velocidad lineal promedio se define como la relación entre el flujo volumétrico y el área de la sección transversal al flujo: 2π R

v =

Gv S

=

∫∫v

z rdrdθ

0 0 2π R

(1.2-9)

∫ ∫ rdrdθ 0 0

En la ecuación 1.2-9 θ y r son las coordenadas (cilíndricas) angular y radial respectivamente, vz es el perfil de velocidades dentro de la tubería, aplicando esta definición, se puede evaluar la velocidad lineal promedio si se conoce el perfil de velocidades. Para conocer el perfil de velocidades a partir de la velocidad lineal promedio, es necesario conocer también el patrón de flujo (si es laminar o turbulento) y el modelo reológico que caracteriza al fluido (si es Newtoniano, plástico de Bingham, etc,). Un aspecto importante del balance macroscópico, es que sus términos pueden ser evaluados con facilidad en forma experimental, independientemente del patrón de flujo y del comportamiento reológico del fluido.

1.3 ECUACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO La ecuación de cantidad de movimiento (ec. 1.3-1 y 1.3-2) representa el balance de fuerzas (segunda ley de Newton4) aplicada a un fluido que pasa por un elemento de control infinitesimal:

4

Segunda ley de Newton: (masa x aceleración/volumen) = Σ(Fuerzas/volumen)

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1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. Vel. de acumulación de cant. de mov./vol.

=

Vel. neta de transferencia de cant. de mov. Asociada al mov. del fluido/vol.

Vel. neta de transf. de cant. de mov. + por transporte + molecular/vol.

II) Término convectivo.

III) Término viscoso

Vel. neta de producción de cant. de mov. asociada a superf. Del elemento de control/vol.

Vel. neta de prod. de cant. de mov. asociada al volumen de control/vol.

I) Término de Acumulación

(1.3-1) +

IV) Gradiente de presión. 1 ∂ (ρv ) gc ∂t I) Fuerza resultante/vol.

= −

1 [∇ ⋅ ρvv ] − gc

II) Fza. Inercial neta/vol.

V) Término gravitacional.

[∇ ⋅ τ]

− ∇p +

III) Fza. de fricción/vol

IV) Fza. de presión/vol.

1 ρg gc

(1.3 − 2)

V) Fza. gravitacional/vol

Siendo p la presión absoluta, τ el tensor de esfuerzos, g el vector de aceleración gravitacional y gc el factor de conversión de unidades5. No se incluyen las fuerzas magnéticas, eléctricas ni las asociadas a la tensión superficial, las cuales pueden ser importantes en algunos sistemas. I) Término acumulativo.- Representa la velocidad con la que se incrementa la cantidad de movimiento dentro del elemento de control (fuerza resultante por unidad de volumen). Permite definir la condición de estado estable cuando su valor es igual a cero, en donde la cantidad de movimiento permanece constante (flux másico constante). Si este término es diferente de cero se tendrá estado no estacionario. II) Término convectivo.- Se puede interpretar como la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento asociada a la convección (inercia) del fluido por unidad de volumen. Puede adquirir un valor de cero aún cuando el fluido se mueva (v ≠ 0), por ejemplo cuando se tiene un fluido incompresible en estado estable a través de una tubería de diámetro constante, este término se simplifica al producto de ρv(∇⋅v), la cual es cero por la ecuación de continuidad. En otras palabras, la fuerza inercial asociada al fluido que entra al elemento de control es igual a la fuerza inercial del fluido que sale. III) Término viscoso.- Representa la velocidad de ganancia de cantidad de movimiento por transporte viscoso por unidad de volumen, el cual se lleva a cabo a nivel molecular. Está 5

La definición de gc es: gc = (masa x aceleración/Fuerza) = 1 Kg m/s2 N en el sistema internacional de unidades.

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Flujo de fluidos relacionado con la fricción que se genera debido al gradiente de velocidades. Las ecuaciones empíricas llamadas modelos reológicos6, son un intento por describir el mecanismo de transmisión de cantidad de movimiento; relacionan el esfuerzo de corte y el gradiente de velocidades. Este término será mayor que cero, siempre que exista un fluido en movimiento. Su magnitud será pequeña cuando se manejen gradientes de velocidades pequeños y/o viscosidades bajas (ej. gases a bajas velocidades). Un caso teórico es considerarlo como cero, condición que define al flujo potencial. IV) Gradiente de presión.- Representa la velocidad de cambio en la cantidad de movimiento dentro del elemento de control debido a las fuerzas de compresión por unidad de volumen. También se puede interpretar como el término generativo de la cantidad de movimiento asociada a superficies del elemento de control. V) Término gravitacional.- Es la fuerza originada por un campo gravitacional, el cual actúa sobre todo el volumen del elemento de control por unidad de volumen (peso/vol.). Es el término generativo de la velocidad de cantidad de movimiento asociada a todo el volumen por unidad de volumen.

Cuando se maneja un fluido incompresible Newtoniano (ρ=ctte, µ=ctte), la ec. 1.3-2 da lugar a la ec. de Navier - Stokes, que se puede expresar como se muestra en la ec. 1.3-3, donde se indican las pseudodimensiones de cada término expresadas como velocidad (v*), tiempo (t*), longitud (L*) y presión (p*) características del sistema que se desea estudiar; la relación de dos términos de esta ecuación define un número adimensional (ec. 1.3-4). Para un problema en particular, la cantidad de números adimensionales necesarios para describirlo, será el número de fuerzas menos uno, esto es, si en un problema participan los cinco términos de la ec. 1.3-3, se requerirán de cuatro números adimensionales para describirlo; la elección de los números adimensionales es arbitraria, pudiéndose elegir cualquier combinación, pero con la restricción de que cada término participe cuando menos una vez en algún número adimensional. Las variables características normalmente se eligen como las cantidades promediadas con respecto al volumen que se emplean en los balances macroscópicos. Los números adimensionales sirven para caracterizar experimentalmente el sistema de estudio, sus relaciones matemáticas (correlaciones) permiten predecir el comportamiento a cualquier escala. El número de Reynolds tiene una importancia particular, dado que se utiliza como criterio para definir el tipo de régimen que se presenta en los diferentes sistemas. 6

Los modelos reológicos más utilizados en Ingeniería son: a) Fluidos Newtonianos. τrz = -(µ/gc)(dvz/dr) b) Ec. de potencia. τrz = -(m/gc)(dvz/dr)n c) Plásticos de Bingham. τrz = τo -(η/gc)(dvz/dr) Siendo τrz el esfuerzo de corte presente en una tubería cilíndrica, (dvz/dr) el gradiente de velocidades, µ la viscosidad, m el índice de consistencia, n el índice de comportamiento, τo la tensión de fluencia y η la viscosidad plástica.

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1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. 1 ∂v gc ∂t

⎡ v* ⎤ ⎢ gc t * ⎥ ⎣ ⎦

1 µ 2 1 ∇ v − ∇p + gc ρ ρ

1 (v ⋅ ∇v ) + gc

= −

⎡ v *2 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ gcL * ⎦

⎡ v* ⎤ ⎥ ⎢ 2 ⎣ gcL * ρ ⎦

g gc

(1.3 − 3)

⎡g⎤ ⎢ gc ⎥ ⎣ ⎦

⎡ p* ⎤ ⎢L *ρ⎥ ⎣ ⎦

Re ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯| Th |⎯⎯⎯⎯⎯→ Eu |⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Fr

←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯| Fza. de inercia Fza. viscosa

Re =

No de Reynolds =

Th =

No. de Thompson =

v * L *ρ µ

=

Fza. de inercia Fza. resultante

=

v*t* L* (1.3-4)

Eu =

`

No. de Euler =

Fr = No. de Froude =

Fza. de presión Fza. de inercia

=

Fza. de inercia Fza. de gravedad

p * gc ρv *2 v *2 g L*

=

El caso teórico de considerar flujo potencial, da lugar a la ecuación de Euler (ec. 1.3-5): 1 ∂v gc ∂t

= −

1 1 v ⋅ ∇v − ∇p + gc ρ

g gc

(1.3-5)

Se integrará la ec. 1.3-2 sobre el volumen de control finito de la figura 1.2-1 con el fin de obtener el balance macroscópico de cantidad de movimiento. En lo sucesivo, las integrales de área se acotan a los términos que participan en forma significativa no se indican los términos que tengan un valor de cero. Sobreentendiendo que se hace uso de la fórmula de Leibnitz o del teorema de Gauss según sea el caso. I) Término acumulativo. 1 ∂ (ρv )dV = gc V∫ ∂ t

1 d (ρv )dV = gc dt V∫

1 dPT gc dt

=

1 & PT gc

(1.3 − 6)

En esta ecuación PT es la cantidad de movimiento total del elemento de control.

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Flujo de fluidos II) Término convectivo. −

1 [∇ ⋅ ρvv ]dV = − 1 ∫ [ρvv ]n dS = − 1 (ρ 2 2 v 2S 2 − ρ1 2 v 1S1 ) ∫ gc V gc S1 +S2 gc

(1.3 − 7)

Recordemos que este término está asociado a la diferencia de las fuerzas inerciales del fluido que entra y sale del elemento de control. En esta ecuación 2 v se define como el promedio del cuadrado de las velocidades referidas a los puntos 1 y 2. 2π R

2

v =

∫∫ 0

v 2z rdrdθ

0 2π R

∫∫ 0

(1.3-8) rdrdθ

0

III) Término viscoso. −

∫(

∫ (n

∇ ⋅ τ )dV = −

⋅ τ )dS = − {Ff }

(1.3-9)

Sf + S m

V

En este término se involucran todas las fuerzas asociadas a las interfases sólido - fluido (Sm + Sf), representa la fuerza resultante que se opone al movimiento del fluido y se conoce como fuerza de arrastre. En base a la tercera ley de Newton, la magnitud de esta fuerza es igual a la que se necesita para mover el fluido.

IV) Gradiente de presión.

−

∫(

∇p )dV = −

∫

npdS = − (p 2S 2 − p1S1 )

(1.3-10)

S1 +S2

V

En el desarrollo de esta ecuación se supuso que la presión es constante en todo el plano definido por la sección transversal al flujo, referida al centro de la tubería. La fuerza asociada a la presión sobre las partes móviles se incluye dentro del concepto de fuerza de arrastre. V) Término gravitacional. 1 gc

∫ V

(ρg )dV

=

g gc

∫

ρdV =

gm T gc

(1.3-11)

V

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1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. Este término da como resultado el peso del fluido contenido dentro del elemento de control. Se supuso que el vector de aceleración gravitacional es constante. Igualando la ec. 1.3-3 a la suma de los resultados de las ecs. 1.3-4 a 1.3-8 se obtiene el balance macroscópico de cantidad de movimiento:

1 dPT gc dt

= −

1 (ρ2 2 v 2S2 − ρ1 2 v1S1 ) − (p2S2 − p1S1 ) − gc

{Ff }

+

mT g gc

(1.3-12)

Utilizando la ecuación de continuidad y reacomodando: 1 dPT gc dt

= − ∆(

1 2v Gm + pS) gc v

− {Ff } +

mTg gc

(1.3-13)

1.4 ECUACION DE ENERGIA MECANICA El producto escalar de la velocidad del fluido con la ecuación de cantidad de movimiento (ec. 1.3-2) da lugar a la ecuación de energía cinética o energía mecánica (ec. 1.4-2), la cual se integrará sobre el volumen de control finito de la fig. 1.2-1 para obtener el balance macroscópico de energía mecánica.

v⋅

1 ∂ ⎛1 ⎞ 1 1 ⎜ ρv ⎟ = − (v ⋅ [∇ ⋅ ρvv]) − v ⋅ [∇ ⋅ τ] − v ⋅ ∇p + v ⋅ ρg gc ∂t ⎝ 2 ⎠ gc gc

(1.4-1)

1 ∂ ⎛1 2⎞ 1 ⎛ 1 2 ⎞ 1 ρ(v ⋅ g ) ⎜ ρv ⎟ = − ⎜ ∇ ⋅ ρv v ⎟ − v ⋅ [∇ ⋅ τ] − v ⋅ ∇p + gc ∂t ⎝ 2 gc ⎝ 2 gc ⎠ ⎠ I

II

III

IV

V

Vel. de acum. de energía cinética/vol.

Vel. neta de transf. de energía cin. asociada al movimiento/vol.

Vel. neta de transf. de ener. cinética por transporte molecular/vol.

Vel. neta de trabajo asociado a la presión/vol.

Vel. neta de trabajo asociada a un campo gravitacional /Vol.

(1.4-2)

I) Término acumulativo. 1 ∂ ⎛1 2⎞ ⎜ ρ v ⎟dV gc V ∂t ⎝ 2 ⎠

∫

=

1 d ⎛1 2⎞ ⎜ ρ v ⎟ dV gc dt V ⎝ 2 ⎠

∫

=

24

1 d KT gc dt

=

1 & KT gc

(1.4 − 3)

Flujo de fluidos & la velocidad con la que Siendo KT la energía cinética total del elemento de control, y K T cambia dicha energía. II) Término convectivo.

−

1 ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ ∇ ⋅ ρv v⎟ dV = ∫ ⎠ gc V ⎝ 2

−

1 ⎛1 2 ⎞ ⎜ ρv v⎟ dS = ⎠n gc ∫S ⎝ 2 = −

−

1 ⎛1 2 ⎞ ⎜ ρv v⎟ dS = ∫ ⎠n gc S1 + S2 ⎝ 2

1 ⎛1 3 1 3 ⎞ ⎜ ρ 2 v 2 S 2 − ρ 1 v 1 S1 ⎟ gc ⎝ 2 2 ⎠

(1.4 − 4)

Donde 3 v es el promedio de las velocidades cúbicas, la diferencia entre los puntos 1 y 2 da como resultado la variación de la energía cinética del fluido en movimiento. 2π R

3

=

v

∫∫ 0

v 3z rdrdθ

0 2π R

∫∫ 0

(1.4-5) rdrdθ

0

III) Término viscoso. Al desarrollar este término, se puede expresar como la suma del trabajo asociado a las fuerzas viscosas (IIIa) y la disipación viscosa (IIIb). −

∫(

v ⋅ [∇ ⋅ τ])dV = −

V

∫

∫(

∇ ⋅ (τ ⋅ v )dV +

τ : ∇v )dV

V

(1.4-6)

V

IIIa

IIIb

IIIa) Trabajo asociado a fuerzas viscosas.

−

∫ ∇ ⋅ (τ ⋅

v )dV = −

V

∫ (τ ⋅ S

v )n dS = −

∫ (τ ⋅

& v )n dS = − W v

(1.4-7)

Sm

Este trabajo (reversible) se transmite a los alrededores a través de la superficie móvil, se puede interpretar como la velocidad de transferencia de energía mecánica a los alrededores debido a las fuerzas viscosas. IIIb) Disipación viscosa.

∫(

τ : v )dV = − E& v

(1.4-8)

V

25

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos.

Este término de disipación viscosa (- E& v ) representa la velocidad total de pérdidas de energía mecánica (en forma irreversible), la cual se transforma en calor, asociada a la fricción. IV) Velocidad de trabajo asociada a la presión. −

∫

(v ⋅ ∇p )dV

= −

V

∫ V

⎛ ⎞ 1 ⎜⎜ ρv ⋅ ∇p ⎟⎟dV ρ ⎝ ⎠

(1.4-9)

La ec. 1.4-9 se puede expresar en términos de la energía libre de Gibbs, si se mantienen $ =1/ρdp , ver anexo A2): condiciones isotérmicas (d G −

∫ V

−

⎛ ⎞ 1 ⎜⎜ ρv ⋅ ∇p ⎟⎟dV ρ ⎝ ⎠

∫ (ρv ⋅ ∇Gˆ )dV

= −

∫(

)

ˆ dV ρv ⋅ ∇G

(1.4-10)

V

=

∫ (∇ ⋅ ρvGˆ )dV − ∫ Gˆ(∇ ⋅ ρv )dV

−

V

V

(1.4-11)

V

IVa

IVb

IVa) − ∫ ( ∇ ⋅ ρv )dV = V

−

∫ (ρvG$ )

S1 + S2

n

(

)

$ dS = dS − ∫ ρvG Sm

n

ˆ S −ρ v G ˆ & = − (ρ 2 v 2 G −W 2 2 1 1 1S1 ) p

(1.4-12)

IVb) −

∫

ˆ (∇ ⋅ ρ v )dV = − d G dt

V

∫ (ρGˆ − p)dV

= −

d AT dt

& = −A T

(1.4-13)

V

& p la velocidad con la que se transmite la energía mecánica a los alrededores Siendo − W $ − p es la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen y debido a las fuerzas de presión, ρG AT la energía libre de Helmholtz total del elemento de control. Sumando los resultados parciales se tiene que:

−

∫ (v ⋅ ∇p)dV

(

ˆS = − ∆ ρvG

)

& −W p

& −A T

(1.4-14)

V

26

Flujo de fluidos V) Término gravitacional.- Sean φ la energía potencial del elemento de control infinitesimal y φ$ su energía potencial por unidad de masa. En base a estas definiciones, el vector de aceleración gravitacional será igual a menos el gradiente de φ$ (g = -∇ φ$ ):

(

)

(

)

1 1 1 $ ρ( v ⋅ g)dV = − ∫ ρv ⋅ ∇φ$ dV = − ∫ ∇ ⋅ ρvφ$ dV + φ(∇ ⋅ ρv)dV (14 . − 15(1.4-15) ) ∫ ∫ gc V gc gc V V V Va Vb

Va)

−

∫ (∇ ⋅ ρvφˆ )dV

1 gc

= −

V

∫ (ρvφˆ )dS

= −

(

1 ρ 2 v 2 φˆ 2S 2 − ρ1 v 1φˆ 1S1 gc

)

(1.4-16)

S1 +S2

Vb) 1 gc

∫

1 φˆ (∇ ⋅ ρ v )dV = − gc

V

∫

∂ρ 1 φˆ dV = − ∂t gc

V

∫

∂ρ φˆ dV ∂t

(1.4-17)

V

En esta última igualdad se supuso que φ$ no depende del tiempo (∂ φ$ /∂t = 0). −

1 gc

∫

∂φˆ ρ 1 d dV = − ∂t gc dt

V

∫

1 d φˆ ρdV = − φT gc dt

= −

1 & φT gc

(1.4-18)

V

φ T es la energía potencial total del elemento de control finito. Después de sumar los resultados de cada término y reacomodando, el balance macroscópico de energía mecánica es:

(

)

1 & ˆ 2 S 2 − ρ1 v 1 G ˆ 1S1 ) + & T + 1 φ& T = − 1 ρ 2 3 v 2 S 2 − ρ1 3 v1 S1 + (ρ 2 v 2 G KT + A gc gc gc 2 1 (1.4-19) (ρ 2 v 2 φˆ 2S2 − ρ1 v1φˆ 1S1 ) − W& v − W& p − E& v + (1.4 − 19) gc & = -Wv & & Definiendo a -W −Wp como el trabajo total intercambiado con los alrededores (potencia transmitida) y utilizando el balance macroscópico de materia:

1 & & T + 1 φ& T KT + A gc gc

$ = Observe que ∆G

⎞ ⎛ 1 3v φˆ ˆ ⎟Gm − W & − E& v = − ∆⎜⎜ + +G ⎟ gc 2 v gc ⎠ ⎝ p2

1

(1.4 − 20(1.4-20) )

∫ ρ dp se puede simplificar para fluidos incompresibles a ∆p/ρ, siendo

p1

la velocidad con la que cambia la energía libre de Helmholtz cero.

27

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos. De especial importancia práctica es el manejo de condiciones de estado estable donde los términos acumulativos de la ec. 1.4-21 se hacen cero. El caso particular de manejar estado estable, cuando no hay pérdidas por fricción ni intercambio de energía en forma de trabajo, da lugar a la ecuación de Bernoulli que representa la interconversión ideal de las energías cinética, potencial y de presión. Un procedimiento análogo al anterior para el caso de un sistema adiabático (sistema aislado térmicamente o proceso isentrópico), da lugar al siguiente balance de energía mecánica que se utiliza para fluidos compresibles principalmente. 1 & 1 K T + E& T + φ& T gc gc

⎞ ⎛ 1 3v φˆ & − E& v ˆ ⎟Gm − W = − ∆⎜⎜ + +H ⎟ gc 2 v gc ⎠ ⎝

(1.4 − 21) (1.4-21)

En la tabla 1.4-1 se resumen las consideraciones que se hicieron en la deducción de las ecuaciones generales, por lo que estarán en forma implícita cada vez que se utilicen estas ecuaciones.

Tabla 1.4-1 Principales consideraciones en la deducción de las ecuaciones generales. Ec. de continuidad (ec. 1.2-2) Fluido monofásico. Composición constante (sin reacción química). Régimen laminar. Ec. de cantidad de movimiento (ec. 1.3-2) Despreciables las fuerzas eléctricas, magnéticas, nucleares y las asociadas a la tensión superficial. Balance energía mecánica (ec. 1.4-2)

Las mismas que para la ec. de cantidad de movimiento.

Balance macroscópico de materia (ec. 1.2-7) Volumen de control constante. Existencia de continuidad del fluido en todo el volumen de control. Areas consideradas: S = S1 +S2 + Sf + Sm Fluido isotrópico en las áreas S1 y S2 Balance macroscópico de cantidad de movimiento (ec. 1.3-13) p1 y p2 serán las mismas en toda el área S1 y S2 respectivamente y referidas al centro de la tubería. En la fuerza de arrastre se involucran todas las fuerzas que se oponen al movimiento del fluido asociado al equipo. Balance macroscópico de energía mecánica Campo gravitacional constante (g = ctte). La energía potencial no depende del tiempo (planos de referencia fijos y constantes). a) Isotérmico (ec. 1.4-20) El calor generado por la disipación viscosa se transmite a los alrededores. b) Adiabático (ec. 1.4-21) El volumen de control está aislado térmicamente, lo que da lugar a un proceso isentrópico.

En el esquema de la fig. 1.4-1 se muestran en forma de diagrama de flujo algunos casos particulares de las ecuaciones generales que se revisarán con más detalle en los capítulos siguientes. El lector no debe tener dificultades para simplificar las ecuaciones generales, acorde a las consideraciones indicadas en el esquema, teniendo presente que los balances macroscópicos son las formas promediadas con respecto al volumen de control de los balances diferenciales, no contemplan la información en forma puntual como lo hacen los balances diferenciales. La información obtenida con los balances diferenciales se complementa con la de los balances macroscópicos y su análisis se facilita expresándola en términos de los números adimensionales y otras cantidades adimensionales. 28

Flujo de fluidos

Ec. generales diferenciales y macroscópicas.

v=0

Estática de fluidos.

v≠0 ∂(ρv)/∂t ≠ 0 Dinámica de fluidos.

Estado no estable.

∂(ρv)/∂t = 0 Isotérmico.

µ=0 ρ ≠ ctte.

Estado estable. Flujo potencial.

Fluido compresible.

Adiabático.

ρ = cte.

Fluido incompresible.

µ = ctte.

Newtoniano.

Rég. turbulento.

µ ≠ ctte.

No Newtoniano.

Rég. laminar.

Ec. de potencia.

Rég. laminar. Rég. turbulento.

Plástico de Bingham.

Rég. laminar.

Fig. 1.4-1 Casos particulares de las ecuaciones generales de fluidos en tuberías cilíndricas.

29

1) Ecuaciones básicas para el flujo de fluidos.

30

ESTÁTICA DE FLUIDOS

2.1 ECUACION DE LA HIDROSTATICA El suponer un fluido en reposo (v=0), implica que la densidad no depende del tiempo (ver ec. de continuidad y restricciones); la ecuación de cantidad de movimiento se puede simplificar a: 1 ρg = 0 gc

− ∇p +

(2.1 - 1)

Esta ecuación es la forma diferencial de la ecuación de la hidrostática, tiene implícito el principio de Pascal: "La presión aplicada a un fluido encerrado (en reposo) se transmite a cada punto del fluido y de las paredes del recipiente que lo contiene". Para el sistema de referencia de la fig. 2.1-1, donde el eje Z coincide con la vertical, se tiene que el vector de aceleración (constante) y el gradiente de presión son:

g = gx

+ gy

+ gz

r = − kg

Fig. 2.1-1 Sistema de referencia.

(2.1-2)

Siendo cero las componentes gx y gy. g = 9.807 m2/s = ctte. de aceleración gravitacional. r ∂p r ∂p r ∂p r ∂p − ∇p = − ( i +j +k ) = −k ∂x ∂y ∂z ∂z

(2.1-3)

Como p es función exclusiva de Z para este sistema de referencia, la ec. 2.1-1 se puede expresar como:

r dp −k dz

r kρg − gc

= 0

(2.1-4)

2) Estática de fluidos. Considerando únicamente cantidades escalares: dp dz

= −

1 ρg gc

(2.1-5)

Para la mayoría de las aplicaciones en ingeniería, se puede suponer que la ρ=ctte. aún para gases. Separando variables e integrando entre los puntos de referencia 1 y 2: p2

h

2 1 dp = − ρ g dz ∫ gc h∫1 p1

p 2 − p1

= −

(2.1-6)

1 ρg(h 2 − h 1 ) gc

(2.1-7)

Observe que si h1>h2, p1=0 lo que da lugar a que las presiones absolutas sean siempre positivas. Una vez conocida la presión atmosférica (presión absoluta del aire) se puede evaluar la presión absoluta para otros sistemas. En la fig. 2.2-2a se ilustra un sistema que tiene una presión absoluta mayor que la presión atmosférica; con relación a esta fig. se tiene que:

Fig. 2.2-2 Manómetro diferencial en “U”.

1

Estrictamente, la presión de vacío absoluto es la presión de un espacio que no tenga moléculas.

33

2) Estática de fluidos.

pm

= ρ m (h 1 − h 2 )

g gc

(2.2-3)

Donde ρm es la densidad del líquido manométrico. La diferencia de presiones p2-patm se conoce como presión manométrica (pm), será positiva si p2>patm, cero si p2=patm y negativa si p2> D2 se puede despreciar la v12 ya que v12 4000): − W' =

v2 ⎞ 1 ⎛ v 22 g p − p1 ⎜⎜ + ∑ Ev 12 − 1 ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ ρ gc

(3.7-4)

Del balance microscópico de materia: ρ1 v 1 πD12 4

=

ρ 2 v 2 πD 22 4

(3.7-5)

v2 = v1 (D1/D2)2

(3.7-6) 79

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Si se maneja régimen turbulento en la tubería (punto de 1993), también se tendrá régimen turbulento en la garganta (punto de ref. 2), por lo que α1 = α2 =1. Sustituyendo v2 en el balance de energía y resolviendo para v1:

v1

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ 2gc( p1 − p 2 ) ⎥ = ⎢ ⎥ 4 ⎞⎥ ⎢ ⎛⎜ ⎡ D1 ⎤ ⎟ ⎢ ρ ⎜ ⎢ ⎥ − 1⎟ ⎥ D ⎢⎣ ⎝ ⎣ 2 ⎦ ⎠ ⎥⎦

1/ 2

(Re1 > 4000)

(3.7-7)

Introduciendo el concepto de coeficiente de venturi (Cv).

v1

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ 2gc( p1 − p 2 ) ⎥ = Cv ⎢ ⎥ 4 ⎞⎥ ⎢ ⎛⎜ ⎡ D1 ⎤ ⎟ ⎢ ρ ⎜ ⎢ ⎥ − 1⎟ ⎥ D ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎣ 2 ⎦

1/ 2

(Re1 > 4000)

(3.7-8)

Para un venturi que conserve las especificaciones indicadas, el Cv aproximadamente es la unidad, disminuyendo en la región laminar, como puede observarse en el anexo D2. Las pérdidas por fricción del medidor en general no sobrepasan 10 % de la marcada en el manómetro diferencial. Para un cálculo más exacto, se pueden utilizar las ecuaciones para contracción gradual y expansión gradual indicadas en el anexo C13.

3.7.3 Medidor de orificio El diseño estándar de un medidor de orificio (fig. 3.7-4), consiste en una perforación concéntrica al diámetro de la tubería (D1) con bordes afilados (D0) que provoca un cambio brusco en la energía cinética del fluido. En las inmediaciones de la placa aguas abajo, se forman remolinos y lo que se conoce como vena contracta, que es la región en donde el fluido alcanza la mayor velocidad y donde se registra la caída de presión más grande en el manómetro diferencial, cuando las tomas de lectura se disponen a un

1 D0

D1

50 D1

D1

2

0.5 D1

50 D1

Fig. 3.7-4) Esquema de un medidor de orificio.

80

Flujo de fluidos diámetro aguas arriba y 0.5 de diámetro aguas abajo del diafragma. Un desarrollo análogo al medidor de vénturi da lugar a que la velocidad en la tubería sea:

v1

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ 2gc( p1 − p 2 ) ⎥ = Co ⎢ ⎥ 4 ⎞⎥ ⎢ ⎛⎜ ⎡ D1 ⎤ ⎟ ⎢ ρ ⎜ ⎢ ⎥ − 1⎟ ⎥ D ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎣ o ⎦

1/ 2

(Re1 > 4000)

(3.7-9)

Donde Co es el coeficiente del medidor de orificio, que depende del número de Reynolds y la relación de diámetros (Do/D1) como puede observarse en las figuras del anexo D3. El coeficiente Co depende de la posición de la toma aguas abajo del manómetro. La caída de presión asociada a la fricción se puede estimar de la diferencia de presiones registrada en el manómetro diferencial como:

p1 − p 4 p1 − p 2

= 1 − β2

(3.7-10)

Donde p4 corresponde a la presión del fluido 4 a 8 diámetros de tubería aguas abajo del medidor de orificio, siendo el coeficiente de resistencia del medidor de orificio (Ko): KO

≅

1 − β2 Co 2β 4

(3.7-11)

Ejemplo 3.7-2 Especificar el diámetro de un medidor de orificio. Por una tubería de 0.157 m de diámetro interno circula agua a 20 °C con un flujo de 850 lpm. Se desea emplear un medidor de orificio de cantos vivos que utilice mercurio con una diferencia de niveles de 9.55 cm. Calcular el diámetro de orificio. ρ = 1000 Kg/m3 µ = 0.001 Kg/ms ρm = 13560 Kg/m3 D1 = 0.157 m Gv = 850 l/min = 0.014166 m3/s ∆h = 0.0955 m Do = ? A1 = πD12/4 = 0.01936 m2 v1 = Gv/A1 = 0.771776 m/s p1-p2 = ρm∆hg/gc = 12690 Pa Re1 = D1v1ρ/µ = 114888 Suponiendo que el Co ≅ 0.62 para β = Do/D1 = 0.5

81

(Anexo D3)

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

v1

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎢ 2gc(p − p ) ⎥ 1 2 ⎥ = Co ⎢ 4 ⎞⎥ ⎢ ⎛ ⎡ D1 ⎤ ⎢ ρ⎜ ⎢ ⎥ − 1⎟ ⎥ ⎟⎥ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎣ D o ⎦ ⎠⎦

1/ 2

Resolviendo para Do. Do = 0.07692 m β = 0.4899 ≅ 0.5 Por lo que el resultado es correcto.

3.7.4 Toberas Las toberas tienen estructuras similares a los medidores de orificio, pero en lugar de la placa se tiene un tubo convergente como se muestra en la fig. 3.7-5. En el anexo D4 se muestra el coeficiente de flujo para toberas. El procedimiento de cálculo es similar al de los medidores de placa. Principalmente se utilizan para mediciones elevadas de flujo o cuando la relación de diámetros es grande (β > 0.7).

Fig. 3.7-5) Esquema de una tobera.

3.7.5 Rotámetros

θ/2 Rf Flotador

En la fig. 3.7-6 se esquematiza un rotámetro que consta de un tubo vertical de sección cónica divergente, por el cual pasa el fluido en dirección ascendente. Son variadas las formas y materiales de construcción de los flotadores, en los que se establece un equilibrio entre el peso del flotador, el empuje ascendente del fluido y la fuerza de arrastre (debida a la fricción) como se ilustra en la figura 3.7-7.

p2

h

p1

Fig. 3.7-6) Esquema de un rotámetro.

82

Flujo de fluidos Balance de fuerzas en el flotador.

Ff = Fuerza de fricción

Ff = F G – F B

(3.7-12)

Ff = Sf (-∆p) = Vf (ρf - ρ)g/gc

(3.7-13)

FB = Empuje del fluido FG = Peso del flotador

Ff = Fuerza de arrastre. FG = Peso del flotador. FB = Peso del líquido o empuje ascendente. Sf = Area del flotador. ρf = Densidad del flotador. ρ = Densidad del fluido. Vf = Volumen del flotador.

Fig. 3.7-7) Análisis de fuerzas de un flotador.

Por analogía con el medidor de orificio, despreciando la relación entre las áreas del ánulo y área del flotador (Ao2/Sf2).

Gm = C R Ao

2gρ(ρ f − ρ) Vf Sf

(3.7-14)

En esta ecuación CR es el coeficiente de flujo para el rotámetro cuyo comportamiento se puede observar en la fig. del anexo D5, Sf es el área del flotador y Ao el área del ánulo.

3.8 BOMBAS CENTRIFUGAS 3.8.1 Curvas características Las bombas centrífugas están constituidas por un impulsor formado por una serie de aletas radiales curvadas hacia atrás del sentido de rotación, que giran dentro de una carcaza cuya forma más común es el de tipo de voluta. El fluido entra por el centro de la carcaza poniéndose en contacto con el impulsor que le transmite energía cinética y lo descarga en forma tangencial. El diámetro de la tubería de la línea de succión en general es mayor que el de la línea de descarga, aunque algunos modelos tienen el mismo diámetro. Al aplicar el balance de energía entre la entrada y la salida de la bomba, se puede observar que el trabajo transmitido por la bomba es transformado en energía de presión y en energía cinética.

− W' =

v2 ⎞ 1 ⎛ v 22 g p − p1 ⎜⎜ + ∑ Ev 12 − 1 ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ gc ρ

83

(3.8-1)

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

Fig. 3.8-1 Esquema de una bomba centrífuga. Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980, pag. 543.

Note que el trabajo transmitido, definido en la ec. 3.8-1, corresponde con el trabajo reversible o ideal hecho por el fluido. Si bien existen pérdidas por fricción en el interior de la bomba, estas se incluyen dentro del concepto de eficiencia de la bomba. En las líneas de succión y descarga normalmente se manejan condiciones de régimen turbulento, siendo los factores de corrección de la energía cinética próximos a la unidad. Definiendo la cabeza total (hT) de la bomba como el trabajo transmitido expresado como la altura del fluido que se bombea, se tiene que: 1 ⎛ v 22 v 12 ⎞ p 2 − p1 ⎜ − ⎟⎟ + (3.8-2) gc ⎜⎝ 2 2 ⎠ ρ − W' gc 1 ⎛ v 22 v 12 ⎞ ⎛ p 2 − p1 ⎞ gc ⎜ − ⎟⎟ + ⎜⎜ (3.8-3) = hT = ⎟ g g ⎜⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ρ ⎟⎠ g Para bombas con el mismo diámetro de succión y descarga, la cabeza total se reduce a la carga debida a la diferencia de presiones. − W' =

Para bombas con diferentes diámetros se succión y descarga se acostumbra simplificar la carga total (cabeza total) despreciando el término asociado a la succión: hT

⎛ v 2 ⎞ ⎛ p − p1 ⎞ gc = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ρ 2 g ⎝ ⎠ g ⎝ ⎠

(3.8-4)

La potencia transmitida al fluido (Pt) se define como el trabajo multiplicado por el flujo másico:

84

Flujo de fluidos Pt = − W' Gm =

h T gGm gc

(3.8-5)

La potencia al freno (Pf) es la potencia consumida por una bomba, necesaria para mover el impulsor y vencer todas las pérdidas por fricción (del fluido dentro de la bomba, fricción en los cojinetes, derrames, etc.) y proporcionar la potencia transmitida al fluido, como se esquematiza en la fig. 3.8-2.

Fig. 3.8-2 Principales factores presentes en el funcionamiento de una bomba centrífuga. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 200. La eficiencia de una bomba (η) se define como la relación entre la potencia transmitida (PT) y la potencia al freno (Pf) expresada en porcentaje. ⎛P η = ⎜⎜ T ⎝ Pf

⎞ ⎟⎟ 100 ⎠

(3.8 - 6)

En la figura 3.8-3 se presentan las relaciones de carga total, potencia transmitida y eficiencia de la bomba en función del flujo volumétrico, conocido como curvas características de operación.

Fig. 3.8-3) Curvas características de una bomba centrífuga. Fuente: McNaughton, K., Bombas, selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México 1994, pag. 75.

Se recomienda que el punto de operación de una bomba centrífuga se encuentre cerca del punto de máxima eficiencia. Los fabricantes de bombas suministran gráficas como las de la fig. 3.8-4, o tablas como las del anexo E1, que permiten hacer una preselección de una bomba cuando se conoce la carga total y el flujo volumétrico con que trabajará la bomba.

85

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

Fig. 3.8-4 Gráfico compuesto para la selección de una bomba centrífuga. Fuente: Mott, L.R., Mecánica de fluidos aplicada, 4ª. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana, México 1994, pag. 422.

Una vez realizada la preselección, se especifica el diámetro del impulsor y la potencia nominal3 del motor de la bomba a partir de las gráficas compuestas de bombas con el mismo diámetro de carcaza como las de la fig. 3.8-5.

Fig. 3.8-5 Gráfica compuesta del funcionamiento de una bomba con diferentes diámetros de impulsor. Fuente: McNaughton, K., Bombas, selección, uso y mantenimiento. McGraw-Hill, México 1994, pag. 35. 3

Para motores eléctricos de una sola velocidad, la potencia nominal aproximadamente corresponde con la potencia al freno.

86

Flujo de fluidos En esta figura se gráfica en primer lugar las curvas de carga y flujo volumétrico para diferentes diámetros de impulsor. Se sobrepones las curvas de potencia nominal del motor4 que se debe utilizar, la eficiencia de la bomba y el valor de carga neta de succión positiva requerido (NPSHR), concepto que se revisará en el inciso c de este capítulo. En estas figuras se pueden observar las “leyes de afinidad” de las bombas centrífugas: Cuando el diámetro del impulsor varía (D1 y D2): Gv1/Gv2 = D1/D2

(3.8-7)

hT1/hT2 = (D1/D2)2

(3.8-8)

PF1/PF2 = (D1/D2)3

(3.8-9)

Cuando la velocidad del impulsor varía (N1 y N2): Gv1/Gv2 = N1/N2

(3.8-10)

hT1/hT2 = (N1/N2)2

(3.8-11)

PF1/PF2 = (N1/N2)2

(3.8-12)

NPSHR1/NPSHR2 = (N1/N2)2

(3.8-13)

Las velocidades nominales más comunes para motores eléctricos son 1800 y 3600 revoluciones por minuto (rpm). Cuando se manejan fluidos más viscosos que el agua, las curvas características se modifican, disminuyendo la carga total y la eficiencia conforme se incrementa la viscosidad del fluido como se esquematiza en las figuras 3.8-6 y 3.8-7.

3.8.2 Tipos de impulsores El impulsor es el corazón de una bomba centrífuga, existen diferentes tipos de impulsores entre los que destacan los impulsores cerrados, que normalmente presentan las eficiencias mayores (fig. 3.8-8-a); de doble succión, que permiten equilibrar las fuerzas sobre el impulsor (fuerzas en dirección axial) cuando se manejan grandes volúmenes y presiones (fig. 3.8-8-b); los inatascables que permiten manejar sólidos en suspención (fig. 3.8-8-c); los impulsores abiertos para bombeo de fluidos con sólidos abrasivos (fig. 3.8-8-d); los semiabiertos con placas de refuerzo entre las aletas para reducir los esfuerzos en el impulsor cuando se manejen fluidos viscosos (fig. 3.8-8-e); el impulsor de flujo mezclado (fig. 3.8-8-f), en el cual existen tanto la componente radial como la axial de velocidad que permiten un buen mezclado del fluido. La velocidad del impulsor se escogerá considerando que algunas bombas están diseñadas 4

Para bombas pequeñas el motor está integrado a la bomba. Para bombas grandes normalmente se venden por separado el motor y la bomba.

87

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. para ser más eficientes trabajando a baja velocidad (1800 rpm), o bién a alta velocidad (3600 rpm), como puede observarse al comparar los gráficos de los anexos E2. Para fluidos abrasivos y viscosos, trabajar a baja velocidad permite reducir las pérdidas por fricción dentro de la bomba y el desgaste del impulsor. En algunas aplicaciones se desea homogenizar el fluido, siendo adecuada la velocidad alta.

Fig. 3.8-6 Efecto de la viscosidad sobre la curva de carga de una bomba centrífuga. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 201.

Fig. 3.8-7 Efecto de la viscosidad sobre la curva de eficiencia de una bomba centrífuga. Fuente: Brown, G.G., Ingeniería Química. Manuel Marín y Cia. España 1965, pag. 201. 88

Flujo de fluidos

Fuente: Foust, S.A., Principios de operaciones unitarias. Cia. Ed. Continental. México 1980, pag. 542.

89

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

3.8.3 Carga neta de succión positiva (NPSH) El fenómeno de cavitación se presenta cuando hay un cambio de fase dentro del sistema, ya sea en bombas, medidores de flujo, o bien, en algún accesorio o válvula. Se manifiesta por vibraciones normalmente aunadas con ruido. El cambio de fase provoca que las paredes sólidas se vean sometidas a esfuerzos considerables y se erosionen rápidamente, pudiendo incluso fracturarse. En la fig. 3.8-9 se muestra el cambio de fase en una hélice de barco.

Fig. 3.8-9) Cavitación en la hélice de un barco. Fuente: Fay, A.J., Mecánica de fluidos. CECSA. México 1996, pag. 470. Nivel del recipiente. 1

En bombas, la carga neta de succión positiva disponible (NPSHD Net positive suction head) es el criterio que permite predecir el funcionamiento adecuado en la línea de succión de una bomba. Para su deducción consideremos el sistema de la fig. 3.810 en donde fijaremos la entrada de la bomba punto de referencia 2, como plano de referencia (Z2 = 0) y el nivel del líquido en el recipiente de alimentación como punto de referencia 1, siendo la velocidad en este punto despreciable con respecto al de la tubería, en donde se considerará que se tiene régimen turbulento.

V1 ≅ 0

Z1 Entrada de la bomba 2

Z2 = 0

Fig. 3.8-10) Deducción del NPSHd.

90

Flujo de fluidos Balance de energía: − W' =

v 12 ⎞ g p − p1 1 ⎛ v 22 ⎜⎜ ⎟⎟ + ( Z 2 − Z1 ) + 2 − + ∑ Ev 12 gc gc ⎝ 2α 2 2α1 ⎠ ρ

(3.8-14)

Reacomodando términos: p 2 v 22 + ρ 2gc

=

p 1 Z1 g + − ΣEv 12 gc ρ

(3.8-15)

Restando en ambos términos la presión de vapor del fluido entre su densidad, se tienen las dos definiciones de NPSHD. NPSH D

=

p 2 v 22 p v + − ρ 2gc ρ

(3.8-16)

NPSH D

=

p p1 Z 1 g + − ΣEv 12 − v ρ ρ gc

(3.8-17)

Si el NPSHD es mayor que cero, no habrá cambio de fase en la línea de succión, si el NPSHD es menor o igual a cero, se presentará un cambio de fase en la línea de succión. En líquidos puros pv es la presión de vapor del fluido a la temperatura de operación. Para fluidos con gases disueltos pv es la presión a la cual el líquido se satura con el gas disuelto. Los fabricantes de bombas proporcionan para cada bomba, una gráfica de NPSHR (requerido) en función del flujo, que representan los valores mínimos que ellos recomiendan para un adecuado funcionamiento de la bomba, de aquí que el NPSHD tiene que ser mayor que el NPSHR dado por el fabricante para evitar el fenómeno de cavitación en la bomba. Si NPSHD > NPSHR Funcionamiento adecuado. Si NPSHD ≤ NPSHR Cavitación dentro de la bomba.

Ejemplo 3.8-1 potencia de una bomba.

Cálculo de la

Se desea transferir 375 lpm de agua (25 °C y 585 mmHg) de un recipiente a otro a través de una instalación sanitaria como se ilustra en la fig. 3.8-11. Especificar las características generales de una bomba para llevar a cabo esta operación.

5

Z5 = 6.5 m 1 Z1 = 1.5 m

Z2 = 0.5 m

2 VB

p3

p4

VB

Z3 = 0

Fig. 3.8-11) Esquema del ejemplo 3.8-1. 91

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. De 2 a 3 (Succión):

De 4 a 5 (Descarga):

Patm = 585 mmHg T = 25 °C ρ = 1000 Kg/m3 µ = 0.001 Kg/ms pv = 0.464 psia = 3200 N/m2 Gv = 375 lpm = 6.25E-3 m3/s Gm = ρGv φ = 2 in, Ac. inox. sanitario. L=1m V. bola = 1 Te como codo = 1 Te paso recto = 1 Entrada de borde afilado = 1 D = 0.0475 m A = πD2/4 = 1.772E-3 m2 v = Gv/A = 3.527 m/s Re = Dvρ/µ = 167530 α=1 fF = 4E-3 fT = 0.0195

φ = 1.5 in, Ac. inox. sanitario. L = 10 m V. bola = 1 Te paso recto = 1 Codos 90° (r/D=2) = 3 Salida = 1 D = 0.0349 m A = 9.566E-4 m2 v = 6.533 m/s Re = 228015 α=1 fF = 3.77E-3 fT = 0.021

Succión: ΣEv23 = EvTR + EvVB + EvTe90 + EvTe +EvEnt ΣEv23 = (2fFv2L)/(gcD) + ((3 + 60 + 20)fT + 0.5)v2/(2gc) ΣEv23 = 2.09511 + 13.1768 = 15.2719 Nm/Kg Descarga: ΣEv45 = EvTR + EvVB + EvTe + EvCodo +EvSal ΣEv45 = (2fFv2L)/(gcD) + ((3 + 20 + 3(30))fT + 1)v2/(2gc) ΣEv45 = 92.1841 + 64.3616 = 156.5457 Nm/Kg ΣEv15 = ΣEv23 + ΣEv45 = 171.8176 Nm/Kg Balance de energía entre 1 y 5: − W' =

v12 ⎞ 1 ⎛ v 52 g p − p1 ⎟ + ( Z 5 − Z1 ) + 5 ⎜ + ∑ Ev15 − ⎟ ⎜ gc ⎝ 2α 5 2α 1 ⎠ gc ρ 92

Flujo de fluidos -W’ = 21.34 + 49.035 + 171.8176 = 242.1926 Nm/Kg hT = 24.7 m Pt = -W’Gm = 1513 W = 2 HP. Se requiere una bomba que desarrolle una carga total de 25 m con un flujo de 375 lpm. La bomba modelo 216 de 5 HP operando a 3600 rpm (1.5X2X4.75) cubre los requerimientos para esta aplicación. Esta bomba requiere de un NPSHR de 2 m, siendo el NPSHD de: NPSHD = (77.98 + 14.71 – 15.272) – 3.197 = 74.221 Nm/Kg Que expresado en metros de altura es: NPSHD = NPSHD gc/g = 7.6 m Como el NPSHD > NPSHR no habrá cavitación en la bomba. Observe que bajo estas condiciones se emplea gran parte de la energía en las pérdidas por fricción.

Ejemplo 3.8-2 Cálculo de la potencia de una bomba segunda parte. Repetir el problema anterior considerando una tubería general de 4 in tanto en la succión como en la descarga. D = 3.834 in = 0.09738 m A = 0.0074484 m2 v = 0.8391 m/s Re = 81715 fF = 4.637E-3 fT = 0.01648 ΣEv15 = EvTR + EvVB + EvTe90 + EvTe + EvCodo + EvEnt + EvSal ΣEv15 = (2fFv2L)/(gcD) + ((2(3) + 60 + 2(20) + 3(30))fT + 0.5 +1)v2/(2gc) ΣEv15 = 2.4 Nm/Kg − W' =

v12 ⎞ 1 ⎛ v 52 g p − p1 ⎟ + ( Z 5 − Z1 ) + 5 ⎜ + ∑ Ev15 − gc ⎜⎝ 2α 5 2α 1 ⎟⎠ gc ρ

-W’ = 0.352 + 49.035 + 2.4 = 51.787 Nm/Kg hT = 5.28 m

93

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. Pt = 323.66 W = 0.434 HP Para estas condiciones una bomba modelo 216 de 1 HP operando a 1800 rpm (1.5X2X5.5) cubre los requerimientos. Esta bomba no tendrá problemas de cavitación, ya que las pérdidas por fricción para este problema serán menores que para el anterior. Desde el punto de vista técnico, es más adecuada las condiciones del ejemplo 2, pero la decisión final se debe basar en un análisis económico para determinar el diámetro óptimo (y su bomba) que se debe utilizar.

3.8.4 Arreglo de bombas El arreglo en serie se presenta cuando la descarga de una bomba alimenta a otra. En este sistema se tiene que la carga total del sistema es la suma de cargas de las bombas individuales para un flujo dado, como en el caso ilustrado en la fig. 3.8-13) para dos bombas de la misma capacidad. hTS = hT1 + hT2

(3.8-18)

GvS = Gv1 = Gv2

(3.8-19)

hT

3

hTS

2

hTS

1 hT1=hT2 hT1=hT2

Gv1=Gv2=GvS

Fig. 3.8-12) Arreglo en serie.

Gv

Fig. 3.8-13) Comportamiento del arreglo en serie.

El arreglo en serie se utiliza para proveer presiones elevadas y para disminuir la presión de la tubería en algunos sistemas como la elevación de fluidos y en ductos de longitud considerable (acueductos por ej.), que de otra manera requerirían tuberías de cédulas grandes (de mucho espesor). El arreglo en paralelo permite manejar más volumen para una carga total dada. En la fig. 3.8-15 se esquematizan las dos disposiciones posibles y en la fig. 3.8-16 se muestra el comportamiento del arreglo en paralelo de dos bombas idénticas.

94

Flujo de fluidos GvP = Gv1 + Gv2

(3.8-20)

hTP = hT1 = hT2

(3.8-21)

Pm↑

a) Alimentación a recipientes con elevadas presiones.

c) Elevación de líquidos

b) Transporte de líquidos a grandes distancias.

Fig. 3.8-14) Pricipales aplicaciones del arreglo en serie. En algunos procesos que se requiere un funcionamiento continuo ininterrumpido (ej. sistema de enfriamiento de un reactor exotérmico), la disposición en paralelo permite alternar la operación de dos bombas.

1

hT

2

2 1

hTP hTP=h1=h2

1

h1=h2

a) Alimentación independiente.

Gv1=Gv2

b) Alimentación común.

GvP=Gv1+Gv2

Fig. 3.8-16) Comportamiento del arreglo en paralelo.

Fig. 3.8-15) Arreglo en paralelo.

En algunos procesos que se requiere un funcionamiento continuo ininterrumpido (ej. sistema de enfriamiento de un reactor exotérmico), la disposición en paralelo permite alternar la operación de dos bombas. 95

3) Fluidos incompresibles Newtonianos.

3.8.5 Punto de operación de bombas centrífugas Cuando se conecta una bomba a un sistema, se establece en forma natural un punto de operación definido por un flujo volumétrico. Este flujo se encuentra en la intersección de la curva característica de la bomba y el comportamiento del sistema. En la fig. 3.8-17 se presenta un sistema con válvulas completamente abiertas y cuando disminuye el flujo al cerrar parcialmente una válvula.

Sistema con válvula semiabierta. h Sistema con válvula abierta.

Curva característica.

Gv

Fig. 3.8-17) Puntos de operación de un sistema - bomba.

3.9 PROBLEMAS PROPUESTOS 3.9.1 PROPIEDADES FISICAS 3.9.1-1 Cálculo de µ del NaCl. (Valiente, 1990, pag. 88, pro. 2.34). ¿Cuál es la viscosidad de una salmuera (NaCl) al 25 % y 30 °C? R) µ = 1.85 cp. 3.9.1-2 Cttes de la ec. de Andrade (µ=µ (T)). (Valiente, 1990, pag. 65, pro. 2.5). El benceno tiene una viscosidad de 0.87 cp a 0 °C y de 0.41 cp a 55 °C. ¿Cuál será el valor de las constantes de Andrade a y b? log µ = a + b/T T[=] °K R) a = -2.009 b = 531.95 °K 3.9.1-3 Cálculo de µ=µ (T). (Valiente, 1990, pag. 87, pro. 2.32). Se sabe que la viscosidad del clorobenceno a 20 °C es igual a 0.9 cp y a 50 °C de 0.6 cp. Utilizando la ec. de Andrade. ¿Cuál será el valor de la viscosidad del clorobenceno a 70 °C? R) µ = 0.47 cp. 96

Flujo de fluidos 3.9.1-4 Cálculo de µ de mezcla de gases. (Valiente, 1990, pag. 62, pro. 2.3). Una mezcla de gases está constituida por 60 % de metano, 35 % de etano y 5 % de propano (% en mol/mol total). Si la mezcla esta a 1 atm y 100 °C. ¿Cuál será la viscosidad cinemática y absoluta de la mezcla? PMmez/µmez = y1PM1/µ1 + y2PM2/µ2 + ... + yiPMi/µi yi = fracción mol. ν = µ/ρ R) µ = 0.0119 cp 3.9.1-5 Cálculo de µ de líquidos no polares. (Valiente, 1990, pag. 67, pro. 2.7). ¿Cuál de viscosidad de una mezcla líquida de 30 % de benceno 40 % de tolueno y 30 % de ortoxileno en mol a 30 °C? log µmez = x1logµ1 + x2logµ2 + ... + xilogµi xi = fracción mol. R) µmez = 0.616 cp. 3.9.1-6 Cálculo de ρ y µ mezcla de líquidos. (Valiente, 1990, pag. 87, pro. 2.30). Una mezcla líquida está formada por 50 % de octano, 25 % de heptano y 25 % de hexano en mol a 25 °C. ¿Cuál es la viscosidad y densidad de la mezcla? R) µ = 0.4327 cp ν = 0.63914 centistoks. 3.9.1-7 Cálculo de µ del aire líquido. (Valiente, 1990, pag. 85, pro. 2.22). Obtenga la viscosidad del aire líquido a 100 °K. R) µ = 0.1352 cp. 3.9.1-8 Cálculo de µ de mezcla de gases de combustión. (Valiente, 1990, pag. 85, pro. 2.23). Determine la viscosidad de unos gases de combustión formados por 16 % de CO2, 5 % de O2, 79 % de N2 en volumen. La temperatura es de 400 °C y la presión de 1 atm. R) µ = 0.03408 cp.

3.9.2 TUBERIA EN REGIMEN LAMINAR 3.9.2-1 Cálculo de perfil de velocidades. (Valiente, 1990, pag. 73, pro. 2.12). Por una tubería con 0.68 m de diámetro interno fluye un aceite con una viscosidad de 15 cp y una densidad de 800 Kg/m3 con un caudal de 40 m3/h. Determine el perfil de velocidades y la caída de presión por metro de tubería. R) ∆P = 0.0032379 Kgf/m2 Re = 1110 3.9.2-2 Manómetro diferencial para un tubo inclinado. (Bird, 1993, pag. 2-34, pro. 2.L3). Determinar la velocidad de flujo (en Kg/h) en el medidor de flujo capilar de la fig. El fluido que circula por el tubo es agua a 20 °C y como fluido manométrico se utiliza tetracloruro de carbono (CCl4) cuya densidad es de 1.594 g/cm3. El diámetro del tubo es de 0.025 m. Observe

97

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. que para medir el flujo basta medir H y L, es decir, no es necesario medir el ángulo de inclinación. ¿Porque? ¿El sentido del flujo es de A a B o de B a A? L =300 cm

A

θ h = Lsenθ

B

C Agua

D

E

H = 2.5 cm CCl4

Fig. 3.9.2-1 Problema 3.9.2-2. 3.9.2-3 Cálculo de Gv en un capilar. (Valiente, 1990, pag. 68, pro. 2.8). Se utiliza un tubo capilar para medir el flujo de un líquido cuya densidad es de 0.875 g/cm3 y una viscosidad de 1.13 cp. El capilar tiene un diámetro interno de 2 mm y una longitud de 0.5 m. Si la caída de presión a través del capilar es de 100 Kgf/cm2. ¿Cuál es el caudal que pasa por el medidor? R) 2.45 l/h. 3.9.2-4 Cálculo de Esfuerzo en tubo. (Valiente, 1990, pag. 71, pro. 2.11). A través de una tubería de 25 cm de diámetro interno fluyen 75 l/h de benceno a 20 °C. ¿Cuál es la caída de presión por cada 100 m de tubería? ¿Cuál es el esfuerzo de corte en la pared? R) ∆P = 14.605 Kgf/m2 τR = 9.128E-4 Kgf/m2 3.9.2-5 Irrigación por goteo. (Levenspiel, 1990, pag. 34, pro. 2.18). La irrigación por goteo es un medio para proporcionar agua a las plantas en crecimiento con muy poco gasto. Un método utiliza un tubo "madre" de polietileno de gran diámetro (10-15 mm de d.i.), del cual salen muchos tubos de polietilieno de pequeño diámetro, denominados goteros, que van directamente a las plantas individuales. ¿Qué diámetro y longitud del gotero debería utilizarse si se desea un caudal de 4 l/h para cada planta y si la longitud del gotero ha de estar entre 0.5 y 1.5 m? Datos: La presión del tubo madre es de 200 KPa, la ambiental de 100 KPa y los capilares se construyen con 0.5, 1 y 1.5 mm de diámetro interno. 3.9.2-6

Correcciones de entrada en viscosímetros de tubo. (Bird, 1993, pag. 7-31, pro.

7N3). En relación con los sistemas de la fig. si se maneja en ambos el mismo flujo másico, demostrar que: (Po-P4)/(Lb-La) = (pb-pa)/(Lb-La) + ρg(1+(lb-la)/(Lb-La)) Siendo Po = po + ρgZo/gc La diferencia Po-P4 representa las perdidas por fricción de una tubería de longitud Lb-La.

98

Flujo de fluidos Explicar con detalle como se utilizaría esta ecuación para analizar los resultados experimentales tendientes a evaluar la viscosidad. ¿Sería válida la ecuación para tubos de sección no circular? pa

1

pb la

3 lb

La 2

Lb

“0” Lb-La

4

Fig. 3.9.2-2 Problema 3.9.2-6.

3.9.3 TUBERIA EN REGIMEN TURBULENTO 3.9.3-1 Velocidades medias para régimen turbulento. (Bird, 1993, pag. 7-29, 7.H2). En régimen turbulento se acostumbra sustituir 3v/v por v2, lo que equivale a suponer que el factor de corrección de la energía cinética es de 1. ¿Qué porcentaje de error se comete al utilizar esta aproximación para el flujo en un tubo? Utilice la ley de potencia con n=7 para estimar el error. R) 6 %. 3.9.3-2 Cálculo de Ev en función de Gv. (Levenspiel, 1990, pag. 32,pro. 2.1). Cuando un fluido circula a través de un tubo con una velocidad u, parte de su energía mecánica se disipa en energía interna por efectos friccionantes. Sea esta Ev (J/Kg). Qué le ocurre a esta pérdida friccional de energía si se triplica el caudal? a) Supóngase Re inicial = 100 en tubo rugoso, ε/D = 0.01 b) Supóngase Re inicial = 10000 en tubo liso. c) Supóngase Re inicial = 1000000, ε/D = 0.01 3.9.3-3 Cálculo de ∆P y ∆Z en tubo recto. (Brown, 1965, pag. 175, pro. 17). Por una tubería horizontal, de acero de 2 in cédula 40 y a la velocidad de 750 l/min, circula agua a 20 °C. Las conexiones de 5 manómetros aparecen situadas a lo largo de la tubería, espaciadas 15 en 15 cm. Un manómetro cargado con agua, situado verticalmente y con uno de sus extremos abierto, se une a la conexión # 5 aguas abajo, con lo que se produce una diferencia de niveles de 15 cm. Calcular las lecturas que se producirían (cm de agua y Kgf/cm2) en los siguientes casos: a) Con un manómetro análogo al citado, pero unido “aguas arriba” a la tubería (conexión # 1).

99

3) Fluidos incompresibles Newtonianos. b) Con un manómetro sencillo de tubo en U cargado con mercurio, conectado a las tomas 1 y 4. c) Con un tubo en U invertido que utilice aire como fluido auxiliar, conectado a las tomas 1 y 5. d) Con un manómetro en U conectado a los puntos 2 y 3, cargado con un líquido inmiscible de densidad = 1.045 g/cm3. 3.9.3-4 Fuerza para mover un fluido. (Valiente, 1990, pag. 86,pro. 2.26). A través de una tubería de 20 cm de diámetro y 60 m de longitud fluye un líquido. El esfuerzo de corte en la pared es de 4.6 Kgf/m2. Calcular la fuerza necesaria para que el fluido se mantenga en movimiento. R) F = 173.32 Kgf. 3.9.3-5 Cálculo de p en un tubo recto. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 10). Una tubería de 2 in cédula 40, transporta un aceite de 0.85 g/cm3 de densidad, a razón de 75 l/min. En cierto punto de la línea la carga estática es de 3.16 Kgf/cm2 sobre la atmosférica. Calcular la carga estática en otro punto de la línea 15 m aguas abajo, situado 15 metros más abajo que la anterior. La viscosidad del aceite es de 20 cp, a la temperatura del fluido, que se supone invariable. 3.9.3-6 Cálculo de L para un Gv dado. (Levenspiel, 1990, pag. 33, pro. 2.8). Agua a 20 °C fluye desde la base de un gran tanque de almacenamiento a través de una tubería horizontal lisa (100 mm de diámetro interno, 1 Km de longitud) a una velocidad de 1 m/s. Esto no es suficientemente rápido. ¿Cuanta tubería debe eliminarse para conseguir que la velocidad a través del tubo sea 2.5 veces mayor? Ignórense los efectos de la energía cinética y los de entrada de la tubería. 3.9.3-7 Cálculo de Gv por efectos de L de la tubería. (Brown, 1965, pag. 157, pro. 17). Una tubería para el transporte de aceite petrolífero conduce 1000 m3/día a 40 Km por canalización sencilla de 30 cm (12 in) de diámetro interior. Esta capacidad de la línea resulta ahora insuficiente para satisfacer las necesidades del mercado, en vista de lo cual se piensa instalar una línea paralela a la anterior del mismo diámetro, pero de longitud tres veces menor. ¿Cuánto se incrementará con ello la capacidad de transporte? Se supone que ambas tuberías van a iguales niveles en todo el recorrido común. El peso específico del aceite es de 0.91, su viscosidad a la temperatura que circula, de 500 cp. La presión a la entrada se mantiene invariable. 3.9.3-8 ∆P para un flujo dado. (Bird, 1993, pag. 6-23, pro. 6.A1). Hallar la diferencia de presiones necesaria para bombear agua a 20 °C a través de una tubería de 25 cm de diámetro y 1234 m de longitud con una velocidad de 1.97 m3/s. La tubería es horizontal y contiene 4 codos normales de 90° y 2 codos de 45° (L/D=32 y 15 respectivamente). R) 315 atm. 3.9.3-9 Cálculo de D para un Gv dado. (Valiente, 1990, pag. 87, pro. 2.31). Qué diámetro de tubería será necesario para transportar 25 l/s de un aceite a 15 °C, con una viscosidad cinemática de 2E-4 m2/s y una densidad de 0.912 g/cm3, si la caída de presión máxima permisible en 1000 m de longitud es de 0.25 Kgf/cm2. R) D=0.295 m o 12 in de acero comercial.

100

Flujo de fluidos 3.9.3-10 Cálculo de Rendimiento de tuberías. (Brown, 1965, pag. 156, pro. 11). El rendimiento de tuberías se define como el cociente entre la cantidad de fluido realmente transportado y la cantidad que podría transportar si la tubería fuera lisa, de la misma longitud y diámetro interior con las mismas presiones de entrada y de salida. a) Cierta sección de una línea dedicada al transporte de gas natural conduce 280000 m3/h. La presión de entrada es de 56.5 atm de sobrepresión (sobre la atmosférica); la de salida es 43.3 atm, también de sobrepresión. La citada sección consiste en 150 Km de tubería de 60 cm de diámetro exterior y 6.25 mm de espesor. La presión exterior es de 0.95 atm. La temperatura del gas en la tubería es de 5 °C. El caudal de gas se mide y expresa como cantidad del mismo que ocupa un metro cúbico a la presión de 1 atm absoluta y a la temperatura de 15 C. La viscosidad del gas a 5 °C y 47.5 atm es de 1.34E-2 cp. Su peso específico respecto al aire es 0.69 a baja presión. La masa de un metro cúbico de gas a P atmósferas excede el valor calculado supuesto se cumplan las leyes ideales de los gases en 4.23E-2 P. Cual es el rendimiento de esta conducción? b) Dos líneas una de 20 in (diámetro interior efectivo = 48.75 cm) y otra de 22 in (53.75 cm) trabajan en paralelo en una longitud de 75 Km. Entre las dos transmiten 200000 m3/h de gas, cantidad calculada a la presión de 1.115 atm y 15 °C. La presión de entrada es de 37.4 atm, la presión barométrica es de 0.95 atm. El peso específico del gas a baja presión es de 0.65 y su viscosidad 0.012 cp (a 34 atm y 5 °C, esta es la temperatura de conducción). El peso de un metro cúbico de gas a P atmósferas excede al calculado admitiendo válidas las leyes de los gases ideales de los gases en 0.047 P. La línea de 20 in tiene un rendimiento de conducción de 92 %, el de la línea de 22 in es 88 %. Ambas líneas están tendidas horizontalmente. ¿Cuál es la presión de salida?

3.9.4 DESCARGA DE TANQUES 3.9.4-1 Viscosímetro de Ostwald. (Valiente, 1990, pag. 83, pro. 2.19). En un viscosímetro de Ostwald se determina la viscosidad del CCl4 a 20 °C. El tiempo en que fluye es de 25 s, mientras que el agua lo hace en 42 s. ¿Cuál es la viscosidad del CCl4? 3.9.4-2 Tiempo de vaciado de un tanque elevado. (Bird, 1993, pag. 7-31, pro. 7.M3). a) El tanque de la fig. 3.9.4-1 está inicialmente lleno de un líquido de densidad ρ y viscosidad µ. Hallar una expresión del tiempo necesario para vaciar el tanque (pero no la tubería), utilizando un método cuasi estacionario. Emplear el balance de materia en estado no estacionario juntamente con el balance de energía mecánica en estado estacionario. Despréciense las pérdidas por fricción de la entrada y salida y supóngase que en el tubo se tiene régimen laminar. Desprecie también la energía cinética de la corriente que sale. b) Repetir el problema suponiendo régimen turbulento. R) a) tvac = ((8µLR2)/ρgRo4)ln(1+(H/L)) 3.9.4-3 Ec. de Torricelli. Un recipiente tiene una perforación lateral cuyo diámetro es Do, abajo del nivel del líquido como se indica en la fig. 3.9.4-2. Si el Do