CAPITULO 8 FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS 1.00 PERMEABILIDAD-LEY DE DARCY Una de las características que debe conocerse en un yacimiento, es su habilidad para permitir el flujo de fluidos a través de él. La cuantificación de esta característica es de suma importancia para estudios relativos a la explotación de un yacimiento. Esta propiedad del medio poroso recibe el nombre de "permeabilidad".' La expresión que nos permite cuantificar la “permeabilidad" es conocida como la ley de Darcy. LEY DE DARCY. En 1856, como resultado de estudios experimentales de flujo de agua a través de filtros de arena no consolidada, el francés Henry Darcy dedujo la ecuación que lleva su nombre. La ley se ha extendido con ciertas limitaciones al movimiento de otros fluidos incluyendo dos o más fluidos no miscibles en rocas consolidadas y otros medios porosos. La ley de Darcy enuncia que "la velocidad de un fluido homogéneo en un medio poroso es proporcional al gradiente de presión e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido". Este concepto se puede expresar matemáticamente con la ecuación que fue deducida en el capítulo anterior.
v=
K dp …… (8-1) µ ds
donde: v = Velocidad aparente (cm/seg.) µ = Viscosidad del fluido (centipoises) dp/ds = Gradiente de presión (Atm./cm) K = Permeabilidad (Darcy) El signo negativo (-) de la expresión (8-1), indica que si se toma el flujo positivo en la dirección positiva de (S), la presión disminuye en esa dirección y la pendiente dp/ds es negativa, figura (8-1), y como la velocidad y la movilidad son siempre positivas, se tiene que usar el mismo signo del gradiente para que lo anterior se cumpla. La ley de Darcy (8-1) se aplica solamente para flujo en régimen laminar; el régimen de flujo de los fluidos que escurren en el yacimiento es de éste tipo, por tanto se puede decir que la ley de Darcy se cumple para este caso. La ley de Darcy es una ley estadística que promedia el comportamiento de muchos canales porosos. Debido a la porosidad de la roca, a la tortuosidad de las líneas de flujo y a la ausencia de flujo en algunos de los "espacios porosos (incomunicados) la velocidad real del fluido varfa de lugar a lugar dentro de la roca y mantiene un promedio mucho más alto que la velocidad --
"aparente". Fig. 8-1 (falta escasear)
Como las velocidades reales no son medibles por lo general, las velocidades "aparentes” constituyen la base de la ley de Darcy. El gradiente dp/ds, es la fuerza de empuje y se debe a los gradientes de presión del fluido. Si el ángulo de echado o buzamiento de las capas es muy pronunciado, entonces se debe agregar a la expresión (8- 1) el término correspondiente al gradiente de presión hidrostático (gravitacional) y que es igual a ρ g sen α , en donde α es el ángulo entre la dirección de flujo y la horizontal. La expresión (8-1) quedaría así:
v=−
K
µ
(
dp − ρ g sen α ) …… ( 8-2) ds
donde:
ρ g sen α = Gradiente de presión hidrostático (Atm/cm) v= − Donde:
K dp ( − 9.64 x 10 − 4 ρ sen α ) ...... (8-3) µ ds
9.64 x 10-4 ρ sen α = (Atm/cm) en la dirección del flujo.
ρ = Densidad del fluido (gr/cm3). La unidad de permeabilidad es el "Darcy". Se dice que una roca tiene la permeabilidad de un Darcy cuando un "fluido con una viscosidad de un centipoise avanza a una velocidad de un centímetro por segundo, bajo un gradiente de presión de una atmósfera por centímetro"; esto es: 1 (Darc ) = 1(centipoise) x 1 (cm/seg.) 1(Atm/cm) Para obtener una descripción física de esta unidad, se puede hacer un análisis dimensional en la siguiente forma:
K= Por definición, se tiene:
(M / L T ) x ( L / T ) = (L2) por tanto: K (L2) 2 ( M / L T x 1 / L)
µ=
( M L / T 2 ) / L2 F/A M =( )= dv / dl (L / T ) / L LT
M ) LT V = (L / T )
µ =(
por tanto:
= ∆p =
F (M L / T 2 ) M = = A ( L2 ) LT 2
∆s = ( L ) donde : M = masa, L =Longitud , T = Tiempo, F = Fuerza y A = Area.
Del análisis anterior se puede ver que la permeabilidad tiene dimensiones de longitud elevado al cuadrado. Esta puede ser visualizada como un área. Como un "Darcy", es una unidad bastante alta para la mayoría de las rocas productoras, la permeabilidad generalmente se expresa en milésimas de Darcy, es decir, mili-Darcys (10-3 Darcy). 2.00 CLASIFICACION DE SISTEMAS DE FLUJO EN EL YACIMIENTO DE ACUERDO CON LA GEOMETRIA DE FLUJO. 2.10 FLUJO LINEAL - ECUACION DE DARCY. Considérese un medio poroso horizontal, de longitud (L) y de sección transversal (A), totalmente saturado con un líquido incompresible cuya viscosidad es (µ) Figura (8-2)
La ley de Darcy establece que:
K dp .......(8 − 1) µ ds donde : dp ∂p ∂p ∂p = ∇p = i + j + k ds ∂x ∂y ∂z para flujo horizontal : ∂p ∂p = 0; =0 ∂y ∂z por tan to :
v=−
dp dp = ds dx quedando al sustituir : v=
K dp ......(8 − 4) µ dx
Por definición la velocidad aparente es igual al gasto o ritmo de flujo por unidad de área, esto es: q v = …… (8-5) A igualando las expresiones (8-4) y (8-5), se obtiene:
q K dp …… (8-6) =− A µ dx Para poder integrar la expresión (8-6) es necesario hacer las siguientes suposiciones: 1.- El flujo es horizontal. 2.- El área de la sección transversal es constante. 3.- El flujo es laminar o viscoso. 4.- El fluido es homogéneo e incompresible. 5.- El medio poroso es homogéneo. 6.- El proceso es isotérmico. 7.- La viscosidad del fluido es independiente de la presión. 8.- El gasto y la permeabilidad son constantes con la presión.
Bajo las consideraciones anteriores, la expresión (8-6) se puede integrar por separación de variables.
K P2 dp q L = − dx µ ∫P1 A ∫o q K L = − ( P2 − P1 ) A µ Quedando finalmente: q @ c . e. =
KA ( P1 − P2 )
µL
……(8-7)
La expresión (8-7), es la ecuación de Darcy para flujo lineal. Donde: @c.e. = Condiciones medias de escurrimiento q = Gasto (cm3/seg.) medido @a c.e. A = Área (cm2) K = Permeabilidad (Darcys) µ = Viscosidad (centipoises) P1 = Presión de entrada (atmósferas) P2 = Presión de salida (atmósferas) L = Longitud (cm). Al poner q, µ y K fuera de la integral, suponiendo que son constantes con la presión, se hizo para facilitar la integración y apoyándose en las consideraciones indicadas con anterioridad. En realidad, el volumen y por tanto el gasto variarán con la presión de acuerdo con la ecuación de compresibilidad:
(C = −
1 V
(
∂V )T ) ∂P
La viscosidad, tanto del aceite como del gas, varía con la presión, tal como se explicó en capítulos anteriores. Fatt y Davis * mostraron la variación de la permeabilidad de varias areniscas debido a la presión neta de los sedimentos superpuestos. Considerando dicha presión como la presión total menos la presión Interna del fluido, se observo una variación de permeabilidad con la presión, particularmente en los yacimientos menos profundos. Sin embargo, para simplificar los cálculos se pueden usar, valores de los parámetros citados a la presión promedio. 2.11 ECUACION DE FLUJO LINEAL DE GAS. En el sistema lineal, el ritmo de flujo o gasto de gas expresado a las condiciones estándar, se obtiene a partir de la expresión (8-7), esto es: q g @ c.s. =
KgA ( P1 − P2 ) …… (8-8) µ g LBg
En el capiulo 3, sección (3-23), se vió que el factor de volumen del gas (Bg), es Igual a: −
Pc.s. T c.e. Bg = ( Z c.e. x x ) Pc.e. Tc.s. −
Dónde: −
P c.e. =
P1 + P 2 2
por tanto: −
Pc.s. Bg = ( Zc.e. x ( P1 + P 2 )
T c.e. ) Tc.s.
2
Sustituyendo el valor de Bg en la expresión (8-8)
qg @ c.s. =
qg @ c.s. =
K g A ( P1 − P2 ) ( P1 + P2 ) x Tc.s. −
−
µ g x L x Z c.e. x 2 x Pc.s. x T c.e. Tc.s. Kg A ( P12 − P 2 2 ) −
−
2 Pc.s. x T c.e. x Z c.e. µg L
donde: c.s. = Condiciones estandar: si,
Tc.s. = 20°C = 293ºK Pc.s. = 1 Atm.
* Referencias al final.
qg @ c.s. = 146.5
Kg A ( P12 − P 2 2 ) …… (8-9) Tc.e. x Zc.e. x µg L
donde: qg = Gasto de gas (cm3/seg.) @ c.s. A = Area (cm2). Kg = Permeabilidad efectiva al gas (Darcys) P = Presión (Atms.) −
T = Temperatura absoluta (°K) @ c.e.
−
Z = Factor de compresibilidad @ c.e.
µg = Viscosidad del gas (centipoises). L = Longitud (cm). En las pruebas del laboratorio durante la determinación de la permeabilidad (K) de los núcleos recuperados de la formación, los volúmenes de gas suelen medirse en litros por minuto y la presión en kilogramos por centímetro cuadrado, por tanto la ecuación (8-9) expresada en unidades prácticas queda como: qg @ c.s. = 8.24 x 10
−3
K g A ( P12 − P 2 2 −
−
T c.e. x Z c.e. x µg L
…… (8-10)
donde: qg = (litros/minuto) @ c.s. A = (cm2) P = (Kg/cm2) abs. Kg = (mili-Darcys (mD) ) −
T = (ºK) @c.e. L = (cm) µg = (cp).
EJEMPLO: 8-1 Un tubo horizontal de 10 cm., de diámetro interior y 3000 cm de longitud se llena con arena de permeabilidad de 0.2 Darcys. Calcular el gasto de gas que fluye a lo largo del tubo para los siguientes datos: P1 = 30 (Kg/cm2) P2 = 15 (Kg/cm2) −
T c.e.= 60ºc = 333 ºK −
Z c.e.= 0.92
µg = 0.015 (cp)
SOLUCION: (1) La sección transversal al flujo es igual:
π d2
3.14.16 x 10 2 = 78.5cm 2 4 4 (2) Utilizando la ecuación (8-10) y sustituyendo en ella los demás datos, se tiene: 8.24 x 10 −3 x 0.2 x 10 3 x 78.5 x (30 2 − 15 2 ) qg @ c.s. = 333 x 0.92 x 0.015 x 3000
A=
=
qg @ c.s. = 6.334 (lts. / min .)
2.20 FLUJO RADIAL - ECUACION DE DARCY. El sistema de flujo radial es considerado como el más aproximado a la expresión cuantitativa de flujo desde los alrededores del yacimiento hacia el interior del pozo. Se supone que el flujo ocurre entre dos superficies cilíndricas concéntricas, la exterior de radio (re) y la interior de radio (rw). Sobre la superficie cilíndrica correspondiente a (re), la presión tiene un valor constante e Igual a (Pe) y sobre la superficie cilíndrica correspondiente a (rw), la presión también tiene un valor constante e igual a (Pw). La figura (8-3), ilustra las propiedades de un sistema radial.
En este sistema los vectores de flujo se dirigen radialmente desde el exterior del cilindro hacia el eje del pozo. Aplicando la ley de Darcy en su forma diferencial al sistema cilíndrico, se tiene:
q K dp = …… (8-11) A µ dr
Nótese que para este sistema y para pozos productores, el gradiente de presión es positivo y por lo tanto la ecuación (8-11), tiene signo positivo. El área de la sección transversal al flujo es la correspondiente al área lateral de un cilindro, esto es: A= 2 π rh Sustituyendo este valor en (8-11) y separando variables se obtiene: dr 2π hk q = dp …… (8-12) µ r Para poder integrar la expresión (8-12) será necesario hacer las siguientes suposiciones: 1. - El medio poroso es isotrópico, es decir, la (K) es la misma en cualquier dirección. 2. El medio poroso es homogéneo, esto es, la (@) es la misma en cualquier punto considerado. 3. - La viscosidad (µ) es independiente de la presión. 4.- Los gastos se miden a las condiciones medias de escurrimiento. 5.- El fluido es incompresible. 6.- El proceso es isotérmico: (T = constante). 7. - La permeabilidad (K) es independiente de la presión. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, se puede integrar directamente la expresión (8-12). q∫
re
ew
q ln
dr 2 π h k Pe = dp µ ∫Pw r
re 2 π h k = ( Pe − Pw ) µ rw
quedando finalmente:
q @ c.e. =
donde: q K Pe Pw h
2 π h K ( Pe − Pw …… (8-13) re µ ln rw
= Gasto (cm3/seg.) @ c.e. = permeabilidad (Darcys) = Presión estática del yacimiento. (Atm.) = Presión de fondo del yacimiento (Atm.) = Espesor neto del yacimiento (cm)
re = Radio de drene. rw = Radio del pozo. Estos dos últimos expresados en unidades consistentes, es decir, que los dos tengan las mismas unidades. Cuando el pozo está en producción, a la presión de fondo, se le conoce como presión de fondo fluyendo (Pwf) y a la diferencia (Pe – Pwf), se conoce como "caída" o "abatimiento" de presion. La ecuación (8-13) expresada en unidades prácticas queda como sigue:
q @ c.s. =
donde:
q @ c .e . B
= 5.253 x 10 − 2
h K ( Pe − Pwf …… (8-14) 39.37re µ ( B) ln rw
q = Gasto (m3/día) @ c.s. h = (m) K = (mD) P = (Kg/cm2) µ = (cp) B = Factor de volumen re = ( m) rw= ( pg)
2.21 IMPORTANCIA Y EFECTO DE LAS VARIABLES Y PARAMETROS QUE INTERVIENEN EN LA ECUACION DE DARCY. 1.- EL GASTO (q) Debido a la dificultad de medir o estimar los factores que intervienen en el escurrimiento de fluidos en el yacimiento, no se puede desarrollar una formula que pueda valuar con exactitud el gasto de fluido que produce un pozo o yacimiento; ya que las propiedades y características físicas de la roca almacenadora son muy variables en el recorrido que hacen los hidrocarburos hacia el pozo. El gasto depende fundamentalmente de las propiedades físicas tanto de la roca como de los fluidos. Los fluidos que se mueven en los yacimientos de aceite o gas son multifásicos, consistentes de mezclas de diferentes cantidades de aceite, gas y en ocasiones agua fluyendo juntos hacia los pozos productores. El aceite y el gas, con frecuencia se mueven con diferentes velocidades y las propiedades del aceite y el gas varían de un punto a otro. Observando la expresión (8-13), se puede ver que el gasto es una función de las propiedades y características físicas de la roca. Se manifiesta un incremento en el gasto, si se aumenta la permeabilidad, saturación del mismo fluido, espesor de la formación y también si se aumenta la diferencial de presión.
Con el conocimiento de todos estos elementos, se estará en condiciones de escoger el gasto óptimo para la explotación y control del yacimiento. 2. PRESION DIFÉRENCIAL (Fe - Pwf) El flujo de fluidos al interior del pozo es el resultado de una presión diferencial existente entre el yacimiento y el pozo. Generalmente en los yacimientos de gas, la presión diferencial se mantiene alta. La presión de fondo fluyendo puede aceptarse que tenga valores bajos debido a que la columna de fluido que tiene que soportar en el fondo del pozo, es más ligera que la que existe en los pozos productores de aceite. 3.- VISCOSIDAD (µ) El término viscosidad (µ) que interviene en la ecuación de Darcy, es una propiedad exclusiva del fluido y es inversamente proporcionar al gasto. Ya se vió en capítulo anterior que la viscosidad es una función de la presion y temperatura a la que se encuentran los fluidos, así como de la composición de los mismos fluidos. 4. - RADIO DE DRENE
(re).
Se ha considerado que los fluidos en la roca del yacimiento, están restringidos a una cierta área, en la que se puede mover hacia el pozo de producción. En los yacimientos exclusivamente de gas este fluido se mueve con mayor facilidad a través de los espacios porosos de la roca, debido a su mayor movilidad. Los "radios de drene" en estos yacimientos son marcadamente mayores en comparación con los de aceite. Las condiciones físicas y económicas presentes en cada caso, deben ser consideradas cuidadosamente antes de tomar una decisión. Un programa de explotación para un campo con empuje hidráulico, puede ser diferente del que tenga que aplicarse a un campo donde la energía del gas sea la predominante como fuerza expulsiva. Las fuerzas expulsivas que desplazan los fluidos, a través del yacimiento hacia los pozos productores, pueden ser originadas por la presión ejercida por el empuje de agua, empuje de gas libre, por expansión del gas disuelto en el aceite, por segregación gravitacional y por expansión del propio aceite. Cuando un yacimiento de buena permeabilidad tiene empuje hidráulico y se consigue un equilibrio rápido de presión, los pozos pueden separarse bastante, sin peligro de afectar notablemente la recuperación total. Entre más pequeña sea la distancia que tenga que recorrer el aceite a través del yacimiento, menor será el consumo de la energía del yacimiento y será mayor la eficiencia de utilización de ésta. Sin embargo, las pérdidas de presión en el yacimiento no son directamente proporcionales a la distancia recorrida; esto queda claramente evidenciado en el sistema de flujo radial, donde la mayor parte de la presión se consume en las proximidades del pozo tal como se observa en la curva que muestra la variación de las presiones con la distancia radial. Figura (8-4). -
En la figura 8-4, se puede apreciar cómo el 50% de la energía disponible del yacimiento se consume en las proximidades del pozo debido a la restricción de la sección transversal al flujo y a las fuerzas viscosas que se oponen al movimiento de los fluidos. Figura (8-5).
5.- INTERVALO PRODUCTOR (h). La capacidad productiva de un pozo, está restringida por el espesor expuesto a producción de la roca del yacimiento. La ecuaclon de Darcy Indica que el gasto es directamente proporcional al Intervalo productor (h), o sea que conforme se incremente este intervalo, se Incrementará el gasto. 6.- PERMEABILIDAD (K). La permeabilidad en la ecuación de Darcy, es una de las variables más Importantes que influye directamente en la recuperación de los fluidos del yacimiento. Al aumentar la permeabilidad, el gasto se incrementa en la medida que aumenta ésta. Dada la importancia de este parámetro, se verá más adelante con mayor detalle.
2.30 FLUJO SEMIESFERICO - ECUACION DE DARCY. Las configuraciones geométricas de mayor uso en el cálculo del flujo de fluidos en medios porosos son los sistemas lineal y radial. Otro sistema de posible aplicación es el sistema semi-esférico. La figura 8-6, ilustra la forma de las líneas de flujo semi-esférico.
Al aplicarse la ley de Darcy en su forma diferencial en un punto de este incremento se tiene que: K dp …… (8-15) v= µ dr De la ecuación de continuidad se tiene que: v=
q …… (8-16) A
Para este caso particular, el área de la sección transversal es la superficie de una semiesfera de radio (r), esto es:
A=
1 (4 π r 2 ) = 2 π r 2 2
Sustituyendo el valor de (A) en (8- 16) e igualándolo con (8- 15) y separando variables se obtiene: q dr K = dp …… (8-17) 2π r 2 µ Tomando en cuenta las mismas consideraciones que se hicieron para los sistemas lineal y radial, la expresión (8-17), puede ser integrada. q 2π
dr K ∫rw r 2 = µ r2
∫
Pe
Pw
dp
q 1 1 K ( − = ( Pe − Pw ) 2 π rw re µ Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (rw) y despejando (q) se llega finalmente a la siguiente expresión:
q @ c .e . = donde:
2 π rw K ( Pe − Pw) …… (8-18) µ(1 − (rw /re ))
[email protected]. = (cm3/seg.) K = (Darcys)
∆P = (Atms.) µ = (cp) rw = (cm) La cantidad (rw/re) es una fracción muy pequeña, por lo que puede ser despreciada para fines prácticos; en consecuencia, el ritmo de flujo será directamente proporcional al radio del pozo (rw). 2.40 FLUJO COM BI NADO - EC UACION DE DARCY. El sistema de flujo combinado se aplica a aquellos pozos que penetran solo parte de la formación productora, como lo indica esquemáticamente la figura (8-8). En pozos revestidos (entubados) que penetran toda la formación productora, ésta puede dispararse selectivamente en diferentes partes para dar el mismo efecto de un pozo que la penetra solo parcialmente. Figuras (8-9) (a, b, y c) (diagramas esquemáticos).
Antes de pasar a ver los diferentes Ocasos de penetración parcial, es preciso definir algunos conceptos. PENETRACION (f).-Se conoce por “penetración" a la razón del tramo disparado (hp) al espesor neto (h); esto es: FACTOR DE KOZENY (Fk). - El factor de Kozeny es un factor de corrección por penetración parcial. La expresión matemática de este está dado por la siguiente formula:
[
]
Fk = f (1 + 7 rw /( 2 f h) cos ( f 90º )) …… (8-19) donde: rw y h están expresados en unidades consistentes. Muchos libros que tratan sobre la mecánica de yacimientos, utilizan diferentes nomenclaturas para denotar el mismo concepto, tal es el caso de "Ingeniería aplicada de yacimientos petrolíferos" de B .C. CRAFF y M .F .HAWKINS, Jr., donde utilizan la "razón de productividades" (RP) en lugar del factor de Kozeny (Fk). Este factor puede también ser calculado por medio de nomogramas*. DIFERENTES CASOS DE PENETRACION PARCIAL. A. - Cuando el espesor disparado se encuentra en la parte superior o inferior de la formación productora. La ecuación (8-20) es una expresión aproximada para calcular el flujo en aquellos pozos donde el Intervalo en explotación o espesor disparado se encuentra en la parte superior o
inferior de la formación productora figuras (8 -9a) (8-9c). Es suficientemente precisa para fines de ingeniería y se ha verificado usando modelos eléctricos. q @ c.s . =
[
]
2πhk ( Pe − Pwf ) f (1 + 7 rw /(2 f h) cos ( f 90º ) …… (8-20) u B ln (re / rw
La figura (8-10), es la representación gráfica de la ecuación (8-20), razón de productividades (RP) o factor de corrección de Kozeny (Fk), como función de la penetración (f), para tres espesores y un pozo de 0.333 pies de radio. *Ver página 1 78
La línea interrumpida es la RP o Fk obtenida si el flujo fuese estrictamente radial esto es: RP = Fk = 1.0. La ecuación (8-20) se dedujo suponiendo las mismas permeabilidades vertical (Kv) y horizontal (Kh) para los estratos. Cuando la permeabilidad vertical es Inferior a la permeabilidad horizontal, la razón de productividades o Fk será menor. Para permeabilidades verticales muy, posiblemente causadas por capas impermeables, la RP o Fk se aproxima a la línea interrumpida de la figura (8- 10). El estudio de pozos que penetra la formación productora parcialmente halla una aplicación importante en la producción de zonas de aceite o gas asociados con acuíferos. La figura (8-8), muestra el tipo de cono del fondo de un pozo debido a la reducción en la presión en la vecindad del pozo fluyente. En el último capítulo de este trabajo se verá con más detalle los problemas de conificación. La ecuación (8-20) puede ser también expresada en otra forma. Si se conviene en hacer:
α = 7 rw /( 2 f h) cos( f 90º ) β=
2π K ∆ P µ B ln (re / rw )
Tomando en cuenta que: finalmente como:
Fk = RP = f (1 + () y
hp = f h, la ecuación (8-20) queda
q@ c.s. = hpβ + hpβα hpβ = Gasto de flujo radial. hpα = Gasto de flujo semiesférico.
donde:
B. - Cuando el espesor disparado se encuentra en la parte media de la formación productora. Para esta caso particular, se conviene en dividir el tramo disparado (hp) en dos partes iguales, dando lugar a un intervalo superior (hs) y a otro inferior (hi); por lo tanto, también se tendrá un intervalo disparado superior (hps) y otro Inferior (hpi), tal como se ilustra en la figura (8-9c). Estas consideraciones se hacen con el afán de establecer las condiciones del caso (A). El gasto total será igual a la suma de los gastos de los intervalos superior e inferior, esto es:
qtotal = qsup + qinf ……(8-22) donde:
[
qsup =
2πhsK∆P fs (1 + 7 rw /(2 fs hs ) cos ( fs 90º ) µ B ln re / rw
qinf . =
2πhiK∆P fi (1 + 7 rw /(2 fi hi ) cos( fi 90º ) µ b ln re / rw
[
]
]
EJEMPLO: 8-2. Con los datos que se dan a continuación, calcular el gasto del pozo y el gasto si todo el espesor estuviera disparado. ¿Cuál es el % en que se incrementa el gasto? DATOS: Ko = 127.5 (mD) E = 500 (m), espaciamiento, E=2 re Db = 8.625 (pg), diametro de la barrena, Db = 2 rw Pe = 3 087 (lb/pg2 abs) Pwf = 1 420 (lb/pg2 abs) H = 100 (m) Hp = 100 (pies) µo = 1.6196 x 10-3 p+2.536 Bo = 0.375 x 10-3 p+0.45
SOLUCION: A. Cálculo del gasto si todo el espesor (h), estuviera disparado. h Ko ( Pe − Pwf ) q@ c.s. = 0.02284 µ Bo (5 + log E / db) donde: Ko (md), h (m), Pe, Pwf (Kg/cm2), µo (cp), E (Km), db (cm). Pe = 3 087 X 0.07031 = 217 Kg/cm2 Pwf = 1 420 x 0.07031 = 100 Kg/cm2 Bo = 0.375 x 10-3 (1 420) + 0.45 0.982 µo = 1.6196 x 10-3 (1 420) ÷ 2.536 = 4.836 (cp). (5+log 0.5/21.9)=5+logo.5/0.219x1023.36 Sustituyendo datos:
q@ c.s. 0.0228
100 x 127.5 (217 − 100) = 2140 (m 3 / dia ) 4.836 x 0.982 x 3.36
q @ c.s. = 2140 m 3 / dia
B . - Cálculo del gasto cuando únicamente se disparan 100 pies, esto es el gasto real.
q@ c.s. = 0.0228
h Ko ( Pe − Pwf )
µ Bo (5 + log e / Db)
x Fk
Cálculo de Fk: se puede calcular por fórmula o por nomograma.
[
Fk = f (1 + 7 rw /( 2 fh) cos ( f 90º )) f=
hp 100 x 0.3048 0.3048 = h 100
rw =
Dp 21.9 = = 10.95cm. 2 2
]
Sustituyendo datos: Fk = 0.3048 (1 + 7 10.95 / 2 x3048) cos (0.3048 x90º ))
[
Fk = 0.38505
]
Por tanto:
[email protected].= 2140 x 0.38505 = 824 (m3/dia) Gasto real = 824 (m3/dia)
C. - Porcentaje que se Incrementa el gasto al suponer todo el espesor disparado: (2140 − 824) x100 =159.7% 824
3.00 COMBINÁCION DE PERMEABILIDADES 3.10 FLUJO A TRAVES DE CAPAS EN PARALELO.
La permeabilidad de un yacimiento se determina a partir de mediciones hechas sobre muestras pequeñas tomadas del yacimiento. En la mayoría de los yacimientos se encuentran variaciones tanto en la permeabilidad vertical como horizontal; por lo tanto es conveniente conocer la forma de recombinar las permeabilidades medidas a varias muestras representativas del yacimiento dentro de un valor promedio. La permeabilidad promedio de capas en paralelo puede ser calculada utilizando la ecuación de Darcy para flujo, suponiendo que cada capa presenta una permeabilidad homogénea. Se hace notar que en el cálculo de la permeabilidad promedio se puede utilizar cualquier sistema de flujo. Considerar la situación de varias capas en paralelo (figura 8-11), separadas una de la otra en tal forma de que no se tenga flujo cruzado.
El gasto a través de la primera capa será: q1 =
2πK 1 h1 ( p e − p wf )
µ ln (re / rw )
……. (8-23)
Para la segunda capa será: q2 =
2πK 2 h2 ( pe − p wf )
µ ln (re / rw )
……. (8-24)
En forma similar quedaría expresada la ecuación del gasto para las capas restantes. El gasto total a través de todas las capas puede ser calculado por: qt =
2π K prom ht ( p e − p wf )
µ ln (re / rw )
…… (8-25)
donde: qt= Gasto total. Kprom = Permeabilidad promedio del total de capas. El gasto total a través del sistema entero es igual a la suma de los gastos a través de cada una de las capas, esto es: qt =q1+q2+q3+q4+......+qn .......(8-26) combinando las ecuaciones (8-23), (8-24), (8-2 5) y (8-26) se tiene que: 2πKprom ht ( p e − p wf
µ ln (re / rw )
=
2πK 1 h1 ( p e − p wf )
µ ln (re / rw )
+ ... +
2πK 4 h4 ( p e − p wf )
µ ln (re / rw )
Agrupando y cancelando términos iguales, se llega a: Kprom ht = K1 h1 + K2 h2 + ......+K4 h4 finalmente:
K prom =
K 1 h1 + K 2 h2 + ... + K 4 h4 ht
...... (8-27)
3.20 FLUJO A TRAVES DE CAPAS EN SERIE Se había dicho que las variaciones de permeabilidad podían ocurrir tanto vertical como horizontalmente en un yacimiento. A esta variación natural en la permeabilidad se puede añadir el daño a la formación durante las operaciones de perforación y terminación o reparación del pozo que reduce la permeabilidad en la vecindad del pozo también las técnicas de limpieza o estimulación que pueden incrementar la permeabilidad en la vecindad del pozo. Cuando ocurre este tipo de variaciones laterales en la permeabilidad, la
permeabilidad promedio del yacimiento puede ser calculada en forma distinta a la de las capas en paralelo. Considerar el sistema que se muestra en la figura (8-12),
El gasto a través de las capas puede ser calculado utilizando la ecuación de Darcy para flujo radial. El gasto a través de la primera capa será: 2π h K 1 ( p1 − p wf ) …… (8-28) q1 = µ ln (r1 / rw ) A través de la segunda capa será: q2 =
2π h K 2 ( pe p1 ) …… (8-29) µ ln (re / rl )
El gasto en un yacimiento con permeabilidad homogénea será igual a: qt =
2π h K prom ( pe p wf )
µ ln (re / rw )
…… (8-30)
La caída de presión total es igual a la suma de las caídas de presión a través de cada capa, esto es, se puede establecer la siguiente identidad: ( pe − p wf ) = ( p e − p1 ) + ( pl − p wf ) …… (8-30)
Combinando las ecuaciones (8-28) hasta (8-31) se tiene que: qt µ ln (re / rw ) q1 µ ln (r1 / rw ) q 2 µ ln (re / r1 ) = + 2 π h kprom 2 π h k1 2π h k2
Como se está analizando flujo en régimen permanente; se puede establecer que: q1 = q1 = q2 Cancelando términos iguales y despejando la permeabilidad promedio, se llega finalmente a la siguiente ecuación: K prom =
ln (re / rw ) …… (8-32) ln (rl / rw ) ln (re / r1 ) + K1 K2
Ecuación que puede ser utilizada para calcular la permeabilidad promedio de un yacimiento donde éste tiene una variación lateral en su permeabilidad, como el causado por acidificación o pérdida de lodo; tal como se había Indicado previamente. 4.00 EFECTO DE KLINKENBERG. Klinkenberg * descubrió que las mediciones de permeabilidad hechas con aire, como fluido de medición mostraban resultados diferentes a los obtenidos utilizando un líquido. La permeabilidad de un núcleo medida con aire es siempre más grande que la permeabilidad obtenida utilizando un líquido. Klinkenberg postuló sobre la base de sus experimentos de laboratorio, que los líquidos tienen velocidad nula en la superficie de los granos de la roca porosa, mientras que los gases muestran alguna velocidad finita en la superficie de los granos de la roca. En otras palabras, en los gases se presenta el fenómeno de "deslizamiento molecular" o lo que se conoce como " resbalamiento" (Slippage). Este resbalamiento provoca un gasto mayor a que si se usara liquido, para una misma caída de presión. Kllnkenberg encontró también que para un medio poroso dado, al incremento la presión media, la permeabilidad calculada disminuía, La presión, media definida como la semi-.suma de la presión de entrada y la presión de salida esto es: Pm =
p1 + p 2 2
Si se graficara la permeabilidad medida contra el reciproco de la presión media, o sea K vs 1 /Pm, y se extrapolara hasta el punto donde 1/Pm = 0, en otras palabras, donde Pm = ∞ , esta permeabilidad seria aproximadamente igual a la permeabilidad al liquido. Una gráfica de esta naturaleza se muestra en la figura (8-13).
La ecuación de la recta extrapolada hasta el punto donde Pm = ∞ esta dada por la siguiente expresión: Kg = K ∞ (1+b/Pm)…… (8-33) donde:
Kg = (Darcys) medido a Pm y qm Pm = (Atms) K ∞ = Permeabilidad al liquido o absoluta b = Parámetro que depende del diámetro del poro y de la tortuosidad de los canales
Como la permeabilidad medida Con un liquido inerte es una constante la permeabilidad del líquido es usualmente referida como la permeabilidad absoluta. Es mucho más conveniente medir la permeabilidad de las muestras en el laboratorio usando aire o gas inerte como fluido de medición, debido a que no reaccionan con el material de la roca. La permeabilidad absoluta es determinada por extrapolación tal como se muestra en la figura (8-13). 5.00 CONCEPTOS DE PERMEABILIDAD. 5.10 PERMEABILIDAD ABSOLUTA (K) Se denomina "permeabilidad absoluta" de la roca, cuando ésta se encuentra saturada al 100 % de un fluido homogéneo igual al que se usa como fluido desplazante durante la prueba. Por ejemplo si a través de un núcleo de 2.0 cm2 de sección transversal y 3.20 cm de longitud, fluye agua salada de 1.0 cp a un gasto de 0.50 cm3 por segundo, con una presión diferencial de 2.0 Atm, su permeabilidad absoluta sería:
K=
qµ L 0.5 x 1.0 x 3.0 = = 0.375 Darcy A∆ P 2.0 x 2.0
Si se reemplaza el agua salada por aceite de 3.0 cp de viscosidad, el gasto de aceite es de 0. 167 cm3/seg., bajo la misma presión diferencial y la permeabilidad absoluta debería de resultar: K=
qµ L 0.167 x 3.0 x 3.0 = = 0.375 Darcy A∆ P 2.0 x 2.0
Con el ejemplo se puede ver que la permeabilidad absoluta del medio poroso debe ser la misma para cualquier líquido que no reaccione con el material de la roca y que la satura al 100 %; sin embargo, esta condición no se cumple con los gases y esto es atribuible precisamente, al efecto de "resbalamiento" que ya se mencionó. 5.20 PERMEABILIDAD EFECTIVA (K0 ,Kg, Kw). Se define como "permeabilidad efectiva" de una roca, a la permeabilidad a un fluido particular cuando la saturación de éste fluido en la roca es menor del 100%. La permeabilidad efectiva se escribe utilizando un sub-índice para designar el fluido bajo consideración. Así por ejemplo K0, Kg y Kw, representan respectivamente las permeabilidades efectivas al aceite, al gas y al agua. SI en el núcleo del ejemplo anterior se mantiene una saturación de agua de 70% (Sw = 70%) y de 30% de aceite (So = 30%), a estas saturaciones y solo a éstas, el gasto de agua salada bajo una presión diferencial de 2.0 Atms, es 0.30 cm3/seg, y el gasto de aceite es Igual a 0.02 cm3/seg. Por lo tanto la permeabilidad efectiva al agua es de: Kw =
q w µ w L 0.3 x 1.0 x 3.0 = = 0.225 Darcy A∆ P 2.0 x 2.0
mientras que la permeabilidad efectiva al aceite es de: Ko =
qo µ o L 0.02 x 3.0 x 3.0 = = 0.045 Darcy A∆ P 2.0 x 2.0
Del caso anterior puede observarse que la suma de permeabilidades efectivas es decir, 0.270 Darcys, es menor que la permeabilidad absoluta, 0.375 Darcys. En suma, será evidente que los valores de la permeabilidad efectiva de Ko, Kg y Kw puedan variar desde cero hasta la permeabilidad absoluta (K), con excepción de la Kg, que puede valer más que la absoluta cuando la muestra está saturada 100 % de gas.
o ≤ Ko, Kw ≤ K
La figura (8-14), presenta relaciones típicas de permeabilidad efectiva para un sistema agua aceite en un medio poroso mojado por agua. Se puede a prender mucho acerca de un medio poroso dado, examinando simplemente tales relaciones de permeabilidad. Las formas de las curvas dan una evidencia directa acerca de las relaciones de mojabilidad prevalecientes. Así, por ejemplo, para una saturación de aceite o saturación de agua de 50%, es evidente que la permeabilidad efectiva a la fase mojante (agua) es considerablemente menor que la correspondiente a la fase no-mojante (aceite). Las relaciones de permeabilidad efectiva para agua y aceite delineadas en la fIgura (8-14) pueden ser divididas en tres reglones. La reglón ("A") presenta una saturación "funicular" (mayor que la "critica") para la fase aceite y una saturación "pendular" (menor que la "crítica") para el agua. Se le da el nombre de "funicular" por la analogía que existe con el funcionamiento de un funicular en un terreno montañoso y el de "pendular" porque la fase mojante (agua) forma círculos alrededor de los puntos de contacto de los granos, en forma similar a una rosca. Estos círculos no están en contacto, es decir, a esta saturación el agua no forma una fase continua como para empezar a fluir. Con la saturación funicular existente en la fase aceite, existe una fase continua de aceite y un visual concepto de permeabilidad efectiva al aceite es entonces posible. La región "B" de la figura (8-14) muestra las relaciones existentes cuando ambas fases de agua y aceite tienen una configuración de saturación funicular. Es evidente que la suma de los valores de K0 y Kw no será igual a la permeabilidad absoluta del sistema, lo cual ya se vio en forma más objetiva en el ejemplo numérico precedente. La región "C" de la figura (8-14) muestra el comportamiento de la permeabilidad efectiva cuando la saturación de aceite es “insular", es decir discontinua y la saturación de agua permanece en configuración funicular. Queda claro que a una saturación de 100% de agua, la permeabilidad efectiva al agua viene a ser la permeabilidad absoluta del sistema. La figura (8- 15) muestra una gráfica típica de relación de permeabilidades efectivas para gas y aceite en un medio poroso. Aplicando el mismo razonamiento del caso agua-aceite, la forma de la curva en este caso Indica que el aceite será la nueva fase mojante en este sistema, mientras que el gas será la fase no-mojante.
5.30 PERMEABILIDAD RELATIVA (Kro, Krg, Krw). La permeabilidad relativa se define como "la razón de la permeabilidad' efectiva a la permeabilidad absoluta", esto es: K ro =
Kg K Ko ; K rg = ; K rw = w …… (8-34) K K K
Donde: Kro = Permeabilidad relativa al aceite. Krg = Permeabilidad relativa al gas. Krw = Permeabilidad relativa al agua.
o ≤ K ro , K rg , ≤ 1 La razón de permeabilidades "relativas" Krw/Kro, Krg/Kro, o Krg/Krw es igual a la razón de permeabilidades efectivas Kw/Ko, Kg/Ko o Kg/Kw, tal como se puede ver: K rw K w / K K w = = K ro Ko / K K o
K rg K ro
=
Kg / K Ko / K
=
Kg Ko
etc. …… (8-35)
La figura (8-16) muestra una grafica típica de curvas de permeabilidades relativas al agua y al aceite, para una muestra porosa determinada, en función de la saturación de agua.
Comenzando con una saturación de agua de 100%, las curvas indican que una disminución en la saturación de agua al 85% (un aumento en la S0 = 15%) reduce fuertemente la permeabilidad relativa al agua de 100% a 60%, en cambio a la saturación de 15% de aceite, la permeabilidad relativa al aceite es prácticamente cero. Este valor de saturación de aceite de 15%, se determina "saturación crítica" (5~~ = 0. 15) o sea la saturación a la que el aceite comienza a fluir a medida que la saturación de aceite aumenta. También se denomina saturación residual de aceite "Sor" al valor por debajo del cual no puede reducirse la saturación en un sistema agua-aceite. A medida que la saturación de agua continua disminuyendo, la permeabilidad relativa al agua también continúa disminuyendo, en tanto que la permeabilidad relativa al aceite aumenta. A una saturación de agua del 20%, la
permeabilidad relativa al agua se hace nula y la permeabilidad relativa al aceite es bastante alta. A esta saturación de agua de 20% se conoce corno saturación crítica y puede ser mayor o igual a la saturación "inicial" de agua (Swi). La mayoría de las rocas del yacimiento están con preferencia mojadas por agua, es decir, que la fase de agua y no la de aceite se halla contígua a las paredes de los espacios porosos. Por consiguiente, a la saturación de 20%,el agua ocupa las partes "menos favorables" de los espacios porosos, en forma de capas delgadas alrededor de los granos de la roca, como capas delgadas sobre las paredes de las cavidades de los poros y en las grietas pequeñas y capilares. El aceite que ocupa el 80% del espacio poroso se encuentra en las partes más favorables de los espacios porosos, indicado por una permeabilidad relativa del 93%. RAZON DE PERMEABILIDADES RELATIVAS La razón de permeabilidades relativas expresa la habilidad de un yacimiento para permitir el flujo de un fluido con respecto a su habilidad para permitir el flujo de otro fluido bajo las mismas circunstancias. En la descripción matemática de flujo bifásico o de dos fases, la razón de permeabilidades relativas siempre entra en las ecuaciones. Las dos razones de permeabilidades relativas más utilizadas son: Krg/Kro Y Kro/Kro/K/rw. La figura (8- 17) muestra una gráfica entre la razón de permeabilidades relativas, Kro/Krw y la saturación de agua. Debido a las altas variaciones en los valores de Ko/Kw, la razón de permeabilidades relativas generalmente se registra en la escala logarítmica de papel semi-logarítmico. Como muchas curvas de la razón de permeabilidades relativas, la parte central o principal de la curva no es completamente lineal. Siendo una línea recta en papel semi-logarítmico, la razón de permeabilidades relativas puede expresarse en función de la saturación de agua por medio de la siguiente ecuación: K ro = aε −bsw …… (8-36) K rw
Las constantes a y b pueden determinarse a partir de la gráfica (flgura 8-17) o también de ecuaciones simultáneas.
La ecuación (8-36) indica que la razón de permeabilidades relativas de una roca es solo función de las saturaciones relativas de los fluidos presentes. Aunque es cierto que las viscosidades, tensiones interfaciales y otros factores afectan parcialmente la razón de las permeabilidades relativas, para una roca dada, es más que todo función de las saturaciones de fluidos. 6.00 INDICE DE PRODUCTIVIDAD. Se define al "Índice de productividad" como la razón del gasto por unidad de calda de presión; esto es:
J=
q o @ c.s. ( p e − p wf )
…… (8-37)
donde: J = Índice de productividad (
Brl / dia m 3 / dia ) ( ) o lb / pg 2 Kg / cm 2
[email protected]. = Gasto de aceite @c.s. (Brl/dia) o (m3/día) (Pe – pwf = (lb/pg2) o (Kg/cm2)
El índice de productividad es una medida del potencial del pozo o de su capacidad para producir. Después de un período de cierre del pozo suficientemente largo para obtener equilibrio en la presión del yacimiento, empleando un medidor de presión de fondo (Amerada) se determina la presión estática Pe, y luego que el pozo se pone en producción durante un tiempo suficiente para que el gasto se estabilice, se mide la presión de fondo fluyendo (Pwf), empleando el mismo medidor, obteniéndose de esta forma la caída de presión (Pe - Pwf). El gasto se determina por medio de medidas en el tanque de almacenamiento o en algunos casos, de medidas de los separadores o con medidores del tipo de orificio. En algunos pozos el índice de productividad, permanecerá constante para una amplia variación en los gastos, en tal forma que éste es directamente proporcional a la presión diferencial (Pe – Pwf) de fondo. En otros pozos, a altos gastos, la proporcionalidad no se mantiene y el índice de productividad disminuye, tal como lo muestra la figura (8- 18).
La causa de esta disminución puede ser debida a uno o varios factores; a) turbulencia a altos gastos en la vecindad del pozo, b) disminución en la permeabilidad al aceite debido a la presencia de gas libre resultante, de altos ritmos de producción o, c) aumento en la viscosidad del aceite con la caída de presión, por debajo de la presión de saturación, d) reducción en la permeabilidad debido a la compresibilidad de la formación. El gasto que un pozo puede producir depende del índice de productividad y de la diferencia de presiones (Pe - Pwf) que el pozo pueda admitir, INDICE DE PRODUCTIVIDAD ESPECIFICO (Js). El "Índice de productividad específico" se define como la razón del Índice de productividad (3) al espesor neto productor; esto es:
js = donde:
q o @ c.s . j …… (8-38) = h h( Pe − Pwf )
Js = (Brl/dia/lb/pg2 - pie) o (m3/dia/Kg/cm2 - m.) h =(pies) o (m)
Los factores que afectan al Índice de productividad, se pueden apreciar sustituyendo el gasto para flujo radial de la siguiente forma:
j=
q o @ c.s. 2πhKo …… (8-39) = ( Pe − Pwf ) µ Bo ln (re / rw )
js =
q o @ c.s. 2πhKo …… (8-40) = h( Pe − Pwf ) µ Bo ln (re / rw )
7.00 RAZON GAS-ACEITE INSTANTANEA La ecuación de la razón gas-aceite instantánea está basada en la ecuación de flujo de Darcy. La ecuación para flujo radial será utilizada en su desarrollo; sin embargo, cualquier otra forma de la ecuación de Darcy puede ser utilizada. La razón gas-aceite instantánea se define como:
r=
Gasto de gas medido a c.s. …… (8-41) Gasto de aceite medido a c.s
En yacimientos de aceite saturado, el gas producido será la suma del gas libre producido y el gas disuelto liberado del aceite; en cambio, en los yacimientos de aceite bajo-saturados, el gas producido será el gas disuelto en el aceite únicamente. El gas libre producido (
[email protected].) puede ser calculado por medio de la siguiente expresión:
q gl @ c.s. =
q gl @ c. y . Bg
…… (8-42)
y el gas disuelto liberado del aceite (qgd)s por:
q gd @ c.s. = q o Rs …… (8-43) donde: qgl = Gasto de gas libre @ c. s. qgd = Gasto de gas disuelto liberado del aceite @ c. s. Bg = Factor de volumen del gas. qo = Gasto de aceite @ c. s. Rs = Razón de gas disuelto-aceite. Por lo tanto, el gasto de gas total (qgt) será: qgt = qgl + qgd = qgl + qo Rs... ..(8-44)
Sustituyendo la expresión (8-44) en (8-41), se tiene:
R=
q gt qo
=
q gl + q o Rs
R=
o también:
qo q gl qo
…… (8-45)
+ Rs …… (8-46)
Por otra parte, para flujo radial se tiene:
q gl =
qo =
2π h K g ∆ P
µ g B g ln (re / rw ) 2π h K o g ∆ P
µ o Bo ln (re / rw )
…… (8-47)
…… (8-48)
Sustituyendo las ecuaciones (8-47) y (8-48) en la ecuación (8-46) y simplificando se tiene:
R = Rs +
K g µ o Bo …… (8-49) . . K o µ g Bg
La ecuación (8-49) es la forma usual de la razón gas-aceite instantánea. Se conoce también a R como RGA o GOR (en inglés). De acuerdo con lo que se había indicado anteriormente, en los yacimientos de aceite bajo-saturados, R = Rs. En el desarrollo de esta ecuación se ha supuesto que (1) el gas y el aceite se encuentran uniformemente distribuidos en el yacimiento y que fluyen de acuerdo con el concepto de permeabilidades relativas y (2) los gradientes de presión son los mismos tanto para el gas como para el aceite. La ecuación de R a más de ser utilizada conjuntamente con la ecuación de Balance de Materia, puede emplearse para calcular la curva de permeabilidad relativa en base a los datos de producción o para comprobar la precisión de los datos de permeabilidad relativa obtenidos en el laboratorio. Reordenando la ecuación (8-49) queda:
µ g Bg Kg Krg = = ( R − Rs) Ko Kro µ o Bo Si se dispone de datos que corresponden a las características del fluido del yacimiento, tales como (µg, µo, Bg, Bo y Rs), la ecuación (8-50) servirá para calcular los valores Kg/Ko, para una R determinada.
