Flujo Critico

1

El estado de flujo crítico ha sido definido como la condición para la cual el número de Froude es igual a la unidad. Es un estado del flujo en que la energía específica es mínima para un caudal determinado. La corriente es inestable y está sujeta a fluctuaciones de la profundidad del agua. Por esta razón no deben diseñarse canales con flujo crítico sino con flujo subcrítico o supercrítico, dependiendo de la pendiente con que se tienda el canal.

Canal de riego: Flujo supercrítico

Un canal para navegación sería ejemplo de flujo subcrítico y un canal de riego es un ejemplo de canal súpercrítico. Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de las condiciones críticas. Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puede conseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.

Canal de riego: Flujo subcrítico 2

FLUJO CRÍTICO. Un canal, o alguna sección de él, está trabajando bajo un régimen crítico, cuando: 

Posee la energía especifica mínima para un caudal dado.



Posee el caudal máximo para una energía especifica dada,



Posee la fuerza específica mínima para un caudal dado.



La altura de la velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica en un canal de baja pendiente.



El número de Froude es igual a la unidad.



La velocidad de flujo en un canal de baja pendiente con distribución uniforme de velocidades es igual a la celeridad de pequeñas ondas gravitacionales en aguas poco profundas causadas

FR =

V gYh

=1

3



Caudal o Gasto Crítico.



Tirante Crítico.



Velocidad Crítica.



Pendiente Crítica.



Régimen Subcrítico.



Régimen Supercrítico.

4

A.

E=Y +

Condiciones para la Energía Específica Mínima (Q=Constante) 2 Q 2 2∗g∗A

Tirante

(Ec-1.1) Q constante

De la ecuación Ec-1.1 se tiene:

2 Q E=Y + ∗ A−2 2∗g

y2 Régimen subcritico (F1)

Derivando Ec-1.1 con respecto al tirante e igualando a cero, se tiene: 2 dE d Q = (Y + ∗ A−2 ) dy dy 2∗g 2 −2 Q dA 1+ ∗ =0 2∗g dy 2 Q dA 1 − 2∗ ∗ A−3 ∗ =0 2∗g dy

E min

De donde:

1.3)

E

2 Q dA ∗ =1 3 dy g∗A

Energía Especifica

(Ec5

Interpretación de

dA : dy

T

dy

dA

y

El elemento de área dA cerca a la superficie libre es igual a T*dy, es decir: dA dA=T*dy → =T (Ec-1.4) dy Sustituyendo (Ec-1.4) en (Ec-1.3), resulta: 2 3 Q Ac = g Tc

(Ec-1.5)

Como A y T están en función de y, la ecuación (Ec-1.5) impone las condiciones del flujo critico en un canal de cualquier forma y permite calcular el tirante critico.

6

Condición Para El Caudal Máximo (E constante)

B.

E=Y +

Q

2

2 2∗g∗A

(Ec-2.1)

Tirante E constante

E

De donde: 2 Q E-y = 2 2∗g∗A Q2 = 2∗g∗A2 *(E-y)

y2 Flujo subcritico (y2 > yc) yc

Flujo crítico (y = yc) Flujo supercrítico (y1 < yc)

Q=

2∗g ∗ A*(E-Y)1/2 (Ec-2.2)

Donde E es constante y A = f (y)

y1

Q

Qmax

Caudal

En la figura se observa que existen dos valores de y para cada valor de Q, excepto en el de Máximo.

De la ecuación (Ec-2.2) se observa que para y = o → A = 0, luego Q = 0 y para y = E → Q = 0 y entre estos dos valores existe un máximo para Q. Si se grafica Q vs y, se obtiene una curva como la que se muestra en la fig. Esta curva es útil en aplicaciones en que corresponde a caudales variables, con energía constante, como sucede en los vertederos laterales. 7

dA =T, luego: dy A (E-y)T = 2

T

De la segunda consideración de la definición de régimen crítico, se tiene que un régimen es crítico, para una E constante, si Q es máximo, es decir: dQ =0 dy

Pero

Derivando (Ec.2.2) con respecto al tirante e igualando a cero, se tiene:

De la ecuación (Ec-2.1), se tiene

dQ d = ( 2∗g ∗ A*(E-y)1/2) = 0 dy dy d 2∗g∗ (A*(E-y)1/2) = 0 dy d (A*(E-y)1/2) = 0 dy 1 dA A* (E-y)-1/2 (-1) + (E-y)1/2* =0 2 dy A dA − + (E-y)1/2* =0 dy 2∗(E−y)1/2

E-y=

A 2∗T

E-y =

2 Q 2 2∗g∗A

dy

dA

y

(Ec.2.3)

(Ec.2.4)

Igualando (Ec.2.3) y (Ec.2.4), resulta: 2 Q A = 2 2∗T 2∗g∗A O también:

2 Multiplicando ambos miembros por (EQ Ac3 = y)1/2, se tiene: g Tc A dA − + (E-y)* =0 2 dy Que es idéntica a la Ec.1.5 dA A (E-y) = Como se puede observar,dy se ha2 establecido que el estado critico no solo proporciona la energía

especifica mínima para un caudal dado, sino que también el caudal máximo para una energía especifica dada, para este último caso, la energía especifica E, es la mínima con la cual puede pasar el caudal máximo a través de la sección. 8

C.

Calculo Del Valor Del Número De Froude Para Las Condiciones Del Flujo Crítico. De la ecuación de continuidad, se tiene: Q= v*A Sustituyendo en (Ec-3.5), se tiene: 2 2 3 Vc ∗Ac Ac = g Tc 2 Vc Ac = g Tc Ac Pero: yc = , luego: Tc 2 Vc = yc g 2 Vc =1 g∗yc Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros, se tiene: 2 2 Vc V = 1 , por definición: =F g∗yc g∗y Será el valor del número de Froude para las condiciones de flujo crítico, para el caso de una sección cualquiera. 9

D.

Relaciones Entre Los Parámetros Para Un Régimen Crítico

Las condiciones teóricas en que se desarrolla el régimen crítico están dadas por la ecuación (Ec-1.5) 2 Q Ac3 = g Tc

Esta ecuación indica que dada la forma de la sección del canal y el caudal existe un tirante único y viceversa.

10

E.

Formulas Que Relacionan Los Parámetros En Un Régimen Crítico Para Las Secciones Más Usuales T

Relación entre el tirante crítico y el caudal: A=b*y

y

Sustituyendo en la Ec-1.5 se tiene:

T=b 𝑌𝑐 =

3

𝑄2 𝑏2 ∗ 𝑔

b 𝑄

Definiendo la relación 𝑞 = como “caudal unitario” o 𝑏 caudal por unidad de ancho, luego:

𝑌𝑐 =

3

𝑄2 = 𝑏2

3

𝑞2 𝑔

Esta ecuación permite el cálculo directo del tirante crítico en una sección rectangular.

11

Relación entre la velocidad y el tirante crítico: En la Ec-1.5 sustituyendo Q= v*A, se tiene: 2 2 3 Vc ∗Ac Ac = , simplificando: g Tc 𝑉𝑐 =

g∗Yc

(Ec-3.1)

Relación entre la energía específica mínima y el tirante crítico: De la ecuación de la energía especifica, se tiene: 2 V E=Y + , para las condiciones 2∗g críticas, se expresa como: 2 Vc E min=Yc + 2∗g

(Ec-3.2)

Sustituyendo la Ec-3.1 en la Ec-3.2, se tiene: 𝐸𝑚𝑖𝑛 =

3 ∗ Yc 2

Distribución de la energía especifica en un canal rectangular

(Ec-3.3) 12

Relación entre el tirante crítico y el caudal: Sustituyendo valores en Ec-1.5, se tiene: A=Z*y2 T=2*Z*y

Relación entre la velocidad y el tirante critico: Elevando a la potencia cinco a ambos miembros de la Ec-4.1 y reemplazando la ecuación de continuidad se tiene: 2 2 2∗Vc ∗Ac 5 Yc = , pero Ac = Z∗Yc2 , luego: 2 g∗Z 5

Yc =

2

2

2∗Vc ∗Z ∗Yc 2

g∗Z

𝑌𝑐 =

5

2 ∗ 𝑄2 𝑍2 ∗ 𝑔

2 ∗ Vc2 yc = g 𝑉𝑐 =

𝑔 ∗ 𝑌𝑐 2

(Ec-4.1)

ó

(Ec-4.2)

4

,

simplificando tenemos: 13

Relación entre la energía especifica mínima y el tirante critico: 2

Yc Vc De la Ec-4.2, se tiene: = , sustituyendo este 4 2∗g valor en Ec-3.2, resulta: Yc E min = yc + 4

𝐸m𝑖𝑛 =

5 4

∗yc

(Ec. 4.3)

Fig.4: Distribución de la energía especifica en un canal triangular

14

A= b*y + Z*yc2 T=b + 2*Z*yc b y Z son conocidos

Relación entre el tirante y el caudal: Sustituyendo valores en la Ec-1.5, se tiene: 3

(b+Z∗yc ) ∗yc 3 Q2 = g b 2∗Z∗yc

Para resolver esta ecuación se puede recurrir a tanteos o al ábaco que nos proporciona Ven Te Chow.

15

𝒁=

𝑸 𝒈

Nomograma De Ven Te Chow Para Calcular El Tirante Critico

16

Relación entre la energía especifica mínima y el tirante critico: Si expresamos el área del trapecio para las condiciones críticas de la siguiente manera: 𝑨=

𝒃+𝑻 ∗ 𝒀𝒄 𝟐

reemplazando en la ecuación Ec-1.5, resulta: Vc =

𝑔∗

𝑏+𝑇 ∗ 𝑌𝑐 2∗𝑇

Vc2 b+T = ∗𝐸 2∗g 5T+b

Yc=

4T ∗𝐸 5T+b

Fig.5: Distribución de la energía especifica en un canal trapezoidal 17

El área se plantea así: 𝑟2 𝐴 = ∗ (𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃) 2 Teniendo en cuenta: 𝑑𝐴 𝑟(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑇= = 𝜃 𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑛 2 Reemplazando en la Ec-1.5, resulta: 𝑄2 𝑟 5 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 3 𝜃 = ∗ ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑔 8 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 2 𝐷

Haciendo 𝑟 = 2 2 5 𝑄 𝐷 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 3 𝜃 = 8∗ ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑔 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 2

𝑄2 𝐷5 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 3 𝜃 = 8∗ ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝑔 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 2 Teniendo en cuenta las sustituciones trigonométricas, se puede sustituir: 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 2 3

5 𝑔 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 2 𝑄= ∗ 1∗𝐷 16 𝜃 2 2 ∗ 𝑠𝑒𝑛 2

(Ec-5.1)

Esta expresión es la que da las condiciones críticas en una tubería circular parcialmente llena, la que Teniendo en cuenta las sustituciones hidráulicamente es un canal. trigonométricas, se puede sustituir: Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente ángulo θ que 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛 da las condiciones críticas. 𝜃 2 𝑠𝑒𝑛 2 El tirante crítico es: 𝐷 𝜃 𝑦𝑐 = ∗ (1 − 𝑐𝑜𝑠 ) 2

2

18

La Ec-5.1 se puede resolver utilizando el nomograma de Ven Te Chow (fig.N-1), o utilizando el siguiente grafico (fig.N-2):

Fig.N.2:

Nomograma para el cálculo de profundidades críticas: FUENTE: Hidráulica De Canales Y Tuberías,

19

Relación entre la velocidad y el tirante critico Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3 área del rectángulo circunscrito: 2 𝐴 = ∗ 𝑦𝑐 ∗ 𝑇 3 De la Ec-1.5, se puede obtener su equivalente que es igual a: 𝑉𝑐 =

𝐴

𝑔 ∗ , reemplazando la expresión anterior en 𝑇

esta, resulta:

𝑉𝑐 =

2 ∗ 𝑔 ∗ 𝑦𝑐 3

(Ec.5.2)

Que es la ecuación de la velocidad critica en un canal parabólico 20

Relación entre la energía especifica mínima y el tirante critico

De la Ec.5.2 se obtiene:

𝑉𝑐 2 2𝑔

=

𝑦𝑐 3

La energía ha sido definida en la Ec.1.1, reemplazando la expresión anterior en la ecuación de la energía, resulta: 3 𝑦𝑐 = ∗ 𝐸 4 2 𝑉𝑐 1 = ∗𝐸 2𝑔 4

Fig.6: Distribución de la energía especifica en un canal parabólico 21

Fig.7: Fuente:

Tabla para el cálculo de secciones críticas. HIDRÁULICA DE CANALES Y TUBERÍAS, Arturo Rocha Felices.

22

F.

Flujo Crítico Normal. Pendiente Crítica

Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de las condiciones críticas. Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puede conseguir velocidades altas y acercarse o igualar a las condiciones críticas. En principio no hay inconveniente desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener un régimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimiento y por ejemplo dar servicio a lo largo del canal. Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igual al tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica. Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variaciones de la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Se produce oleaje y pequeños saltos imperfectos. Estas oscilaciones de la superficie no son recomendables, pues obligan a un borde libre mayor. José Gandolfo recomienda que una condición de diseño sea: 𝑉2 𝐴𝑐 (𝑦 + ) ≥ 1.05(𝑦𝑐 + ) 2𝑔 2 ∗ 𝑇𝑐

𝐴 𝑛2 𝑆𝑐 = 𝑔 ∗ ∗ 2/3 𝑇 𝑅

(Ec-F.1)

Del equivalente de la Ec.1.5 se tiene: 𝑉𝑐 =

𝑔∗

𝐴 𝑇

Y de la fórmula de Manning: 2 1 𝑉 = ∗ 𝑅3 ∗ 𝑆 1/2 𝑛 Igualando estas dos expresiones y despejando la pendiente (S) se tiene:

Que es la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning. Igualmente se puede calcular para la ecuación de Chézy

23

G.

Pendiente Critica Mínima (pendiente limite, SL )

En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente crítica correspondiente. De todas las pendientes criticas posibles hay, para determinada sección, una que es la mínima. Se le llama pendiente limite (𝑆𝐿 ). Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interés práctico se presenta acá como una contribución al esclarecimiento teórico. En general la pendiente crítica es (Ec-F.1): 𝐴 𝑛2 𝑠𝑐 = 𝑔 ∗ ∗ 2/3 𝑇 𝑅 La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de: 𝑑𝑆𝑐 =0 𝑑𝑦𝑐 Para un canal rectangular se tiene: 𝑔 ∗ 𝑛2 (𝑏 + 2𝑦𝑐 )4/3 𝑠𝑐 = 2/3 = 𝑏 𝑦𝑐 1/3 Derivando esta ecuación con respecto al tirante “y” e igualando a cero, resulta: 𝑏 = 6𝑦𝑐

Que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente límite 𝑆𝐿 , reemplazando en la Ec-F.1, resulta: 8 𝑔 ∗ 𝑛2 𝑆𝐿 = ∗ 2/3 3 𝑏

(Ec-G.1)

De manera similar se puede obtener la pendiente crítica límite para las demás secciones

De donde: 𝑃 = 8𝑦𝑐 𝑏 3 𝑅 = = ∗ 𝑦𝑐 8 4

24

Régimen tranquilo subcritico

𝒚𝒏

Flujo rápido supercrítico



𝒚𝒄

 (𝒐)

𝑺𝒐 < 𝑺𝒄

Sección de control

𝒚𝒄

𝒚𝒏

𝑺𝒐 > 𝑺𝒄



Si el tirante normal 𝑦𝑛 > 𝑦𝑐 el régimen es tranquilo lento o subcrítico. Si el tirante normal 𝑦𝑛 = 𝑦𝑐 el régimen es crítico. Si el tirante normal 𝑦𝑛 < 𝑦𝑐 el régimen es rápido o supercrítico.

Fig.5-1: frontera entre los tipos de flujos en una caída.

La sección en que se verifica el cambio de régimen recibe el nombre de “sección de control” porque define la profundidad del escurrimiento aguas arriba.

Sección de control, donde se forma el tirante critico en una rápida

25

En un canal cuando el régimen de escurrimiento cambia de supercrítico a subcritico o viceversa, necesariamente la profundidad pasa por el valor crítico.

𝒚𝒏

FIG.6.1: cambio brusco en la pendiente del canal causa una disminución del tirante normal

Ejemplo de cambio de régimen subcritico o supercrítico el aumento brusco de la pendiente de suscritica o supercrítica, figura 6.1 y en la entrada de los canales de pendiente grande figura 6.2.

FIG.6.2: ocurrencia de la profundidad critica en las entradas de los canales se presenta la frontera entre el flujo subcritico y supercrítico

26

Ejemplo en una caída vertical (escalón) figura 6.3 y figura 6.4 ocurrencia de la profundidad crítica en caída inclinada

FIG.6.3: Presencia de la profundidad critica en una caída vertical (escalón)

FIG.6.4: Ocurrencia de la profundidad crítica en caída inclinada

27



Canales Parshall Los canales Parshall se pueden diseñar para medir gastos en cauces abiertos. El canal Parshall se describe técnicamente como un canal aforador de profundidad crítica. Sus principales ventajas son que sólo existe una pequeña pérdida de carga a través del aforador, que deja pasar fácilmente sedimentos o desechos, que no necesita condiciones especiales de acceso o una poza de amortiguación y que tampoco necesita correcciones para una sumergencia de hasta un 95 %. En consecuencia, es adecuado para la medición del gasto en los canales de riego o en corrientes naturales con una pendiente suave. El aforador Parshall está constituido por tres partes fundamentales que son: La entrada, la garganta y la transición de salida. (fig.7.1a y 7.1b).

Fig.7.1a: Vista general del canal Parshall, se aprecia la sección convergente de entrada, la sección de la garganta y la sección divergente

Fig.7.1b: Componentes del canal Parshall

28

Descripción De La Estructura El medidor Parshall está constituido por tres partes fundamentales que son: La sección convergente o de entrada: está formada por dos paredes verticales simétricas y convergentes, y de un fondo, plantilla que es horizontal. La garganta: está formada por dos paredes también verticales pero paralelas, y el fondo es inclinado hacia abajo con una pendiente de 2.67:1. La sección divergente o de salida: está formado por dos paredes verticales divergentes y el fondo es ligeramente inclinado hacia arriba. Hay que hacer notar que tanto las paredes como el fondo son planos, y a la arista que se forma por la unión del fondo de la entrada y el de la garganta se le llama Cresta del Medidor y a su longitud (o sea la distancia entre las paredes de la garganta) se le llama Tamaño del Medidor y se le designa por la letra W. En la figura 7.2 se muestra un medidor en donde están acotadas sus dimensiones conservando prácticamente las mismas notaciones usadas por Parshall.

Fig.7.2:

Planta y elevación del canal Parshall, fuente: Hidráulica de Canales Abiertos, Ven Te Chow 29

Fig.7.2:

Planta y elevación del canal Parshall, fuente: Hidráulica de Canales Abiertos, Ven Te Chow

30

Funcionamiento Del Aforador Parshall 





Los muros convergentes de la entrada guían suavemente los filetes de la vena líquida hasta la cresta, que es propiamente la sección de control, en donde debido al cambio brusco de la pendiente del piso en la garganta, el agua escurre con un mínimo de energía, es decir con la profundidad crítica cuando el escurrimiento es libre, que es uno de los dos casos de escurrimiento que pueden efectuarse en la estructura, el otro es el de escurrimiento con sumersión o ahogado. Al entrar el agua en el medidor, debido a que la sección va reduciéndose, su velocidad va en continuo aumento, pues al llegar a la cresta del medidor se precipita siguiendo el piso descendente de la garganta, hasta que al salir de ella empieza a perder velocidad y como ésta es menor en el canal aguas abajo, resulta que debe producirse un salto hidráulico cerca del extremo inferior de la garganta. La localización de este salto es variable con el gasto que pasa por el medidor, pues para un gasto muy grande o muy pequeño, el salto se localizará más lejos o más cerca de la garganta, consecuentemente con lo cual la carga Hb variará haciéndose más pequeña o aumentando tendiendo a ser igual a Ha La localización del salto es afectada igualmente por la elevación de la cresta sobre la plantilla del canal así como también por la diferencia de elevación de la plantilla en los canales aguas arriba y aguas abajo de la estructura. Cuando la carga Hb es considerablemente menor que la carga Ha, se dice que el medidor trabaja con descarga Libre y en estas condiciones el gasto es función únicamente de la carga Ha de la entrada; pero cuando la carga Hb defiere poco de la carga Ha se dice que el medidor trabaja con Sumersión y entonces el gasto es función de las dos cargas Ha y Hb. 31

Ejercicio 1: Un canal trapezoidal tiene un ancho de solera b=1 m, talud Z=1 y tiene que conducir un caudal de 3 m3/s. calcular el tirante crítico, la energía especifica mínima y la pendiente critica si el coeficiente de rugosidad es n=0.015. Datos: Q=3 m3/s N=0.015 Z= 1 b= 1m

Se pide 𝑦𝑐 , E min, 𝑠𝑐 Calculo de tirante crítico: Utilizando el nomograma de Ven Te Chow. 𝑄 3 Z= = =0.9578 𝑔

9.81 𝑍

0.9578

Ahora = 2.5 = 0.9578 𝑏2.5 1 Con este valor y con el talud Z=1 nos vamos al nomograma y obtenemos que: 𝑦𝑐 = 0.76 𝑏 𝑦𝑐 = 0.76 ∗ 1 𝒚𝒄 = 𝟎. 𝟕𝟔 𝒎

Calculo de la 𝑬𝒎𝒊𝒏 : De la Ec.3a se tiene: 𝑦𝑐 =

4T ∗𝐸 5T+b

Dónde: T= b + 2*Y*Z = 1 + 2*0.76*1=2.52 m Reemplazando en la Ec.3a, resulta: E min= 1.025 m kg/kg

32

Calculo de la pendiente crítica: De la Ec.F-1: 𝐴 𝑛2 𝑠𝑐 = 𝑔 ∗ ∗ 2/3 𝑇 𝑅

Datos: Q=3 m3/s N=0.015 Z= 1 b= 1m

Donde: A=(b+yc*z)*yc = (1+0.76*1)*0.76 =1.3376 m2 T= 2.52 m P=b+2 𝑧 2 + 1*𝑦𝑐 = 3.1496 m 1.3376 R= = 0.4247 m 3.1496

Reemplazando en la Ec.F-1, resulta: 1.3376 0.0152 𝑠𝑐 = 9.81 ∗ ∗ 2.52 0.42472/3 𝑠𝑐 = 0.00207 𝑠𝑐 = 2.07 ‰

33

𝒁=

𝑸 𝒈

Nomograma De Ven Te Chow Para Calcular El Tirante Critico

34