Fluidos-SIMILITUD

Flujos con superfcie libre

Un fujo con supercie libre es uno en el cual una parte del límite implica una condición límite de presión. Este infuye fujos sobre vertederos y diques, fujos en canales, fujos que implican dos fuidos separados en una interaz, y fujos alrededor de objetos fotantes con olas y alrededor de objetos sumergidos con cavitación presente. En todos estos fujos la ubicación de la supercie libre se desconoce y tambin la velocidad en sta! la presión es la que debe ser la misma en uno u otro lado de la interaz. En fujos con supercie libre, la gravedad controla tanto la ubicación como el movimiento de la supercie libre.

 Esto introduce el n"mero n" mero de #roude #roude y debido a la infuencia de las uerzas de gravedad. $i se consideran lujos que no e%&iben movimientos periódicos, cuyos eectos de compresibilidad y tensión supercial son insignicantes, se puede ignorar la infuencia de $t, ', y (e. )or )or lo tanto, sólo los eectos viscosos &an de ser considerados. E%isten muc&os fujos con supercie libre en los cuales los eectos viscosos son signicativos. *onsidere, sin embargo, que en la mayoría de los estudios de modelos el agua es el "nico fuido económico a utilizar! si el fuido produce prototipo tambin es agua, como sucede a menudo, se encontrar+ con los n"meros de #roude 2

V m l m gm

2

=

V  p l p g p

()

V m lm ∴ = V  p l p

1 2

$i se supone que

gm= g p

de eynolds -con

v m =v p ¿ :

V m l m vm

∴

=

V m V  p

 .esultando iguales a los n"meros

V  p l p

=

v p l p lm

e este modo se crea un conficto. $/ se utiliza el mismo fuido en el estudio del modelo que en fujo prototipo, no se puede satisacer tanto el criterio del n"mero de #roude como el criterio del n"mero de eynolds. $i se requiere que ambos criterios se satisagan utilizando fuidos dierentes para el modelo y prototipo ( v m ≠ v p ) , se debe elegir un fuido 3

para el modelo con una viscosidad

v m =v p ( l m / l p ) 2

 -esto resulta

de igualar los n"meros de #roude y eynolds0. Un fuido con esta viscosidad es probablemente o una imposibilidad o una impracticabilidad. )or consiguiente, cuando se modelan fujos con supercie libre en los que los eectos viscosos son importantes, se igualan los n"meros de #roude e incluyen los eectos viscosos por medios de alguna otra tcnica. )or ejemplo, si se mide el retardo total el modelo de un barco, se calcula con m+s o menos precisión el retardo viscoso- mediante alguna tcnica no incluida aquí0 y se resta del retardo total, con lo que queda el retardo debido a la resistencia del oleaje. El retardo por oleaje en el prototipo luego es pronosticado mediante similitud, y se agrega el retardo viscoso apro%imado al retardo provocado por el oleaje, lo que da el retardo esperado en el barco. )ara un mejor dise1o el retardo

viscoso en los casos de barcos es del mismo orden de magnitud que retardo provocado por el oleaje.

Ejemplo 2 $e tiene que probar un dise1o propuesto de una bomba grande que &a de suministrar de agua con un propulsor de 34 cm de di+metro y una elevación de presión de 344 5)a. $e tiene que utilizar un modelo con propulsor de 6 cm de di+metro. 78u velocidad de fujo se deber+ utilizar y que elevación de presión es de esperarse9 El fuido modelo es agua a la misma temperatura que el agua en el prototipo. $olución )ara que e%ista similitud en este problema de fjo incompresible connado, el n"mero de eynolds debe ser igual, es decir. ℜm = ℜ p

V m d m vm

=

V  p d p v p

 :eniendo en cuenta que iguales, se ve que V m V  p

¿

=

d p dm

0.4 0.08

=5

v m =v p

 si las temperaturas son

;a relación de las velocidades de fujo se encuentra reconociendo que

Q=VA

<

2

Q m V m d m = Q p V  p d p2

¿5

() 1 5

2

=

1 5

Entonces, encontramos que Q m=

Q p 5

=

1.5 5

3

=0.3 m / s

;a elevación de presión sin dimensiones se encuentra utilizando el n"mero de Euler<

( ) ( )  ∆ p

=

2

 pV 

m

∆p

2

 pV 

 p

)or lo tanto la elevación de presión para el modelo es 2

 ρm V m 2 ∆ pm =∆ p p  = 400 x 1 x 5 =10 000 kPa 2  ρ p V  P

=bserve que en este ejemplo la velocidad en el modelo es igual a la velocidad en el prototipo multiplicada por la relación de longitud, y la elevación de presión en el modelo es igual a la elevación de presión en el prototipo multiplicada por la relación de longitud al cuadrado. $i la relación de longitud uera muy grande, es obvio que mantener la equivalencia del n"mero de eynolds seria bastante diícil.

Ejemplo > $e utiliza un modelo a escala 24 de una embarcación para probar la infuencia de un dise1o propuesto en el retardo

provocado por las olas. $e mide un retardo provocado por las olas de ?.> lb en el modelo a una velocidad de 6.4 t@seg. 7A qu velocidad corresponde sta en el prototipo9 B 78u retardo provocado por las olas se pronostica para el prototipo9 /gnore los eectos viscosos y considere el mismo fuido para el modelo y prototipo. $olución El n"mero de #roude debe ser igualado tanto para el modelo como para el prototipo. Así pues V m

 Fr m= Fr p

=

V  p

√ lm g √ l p g

Esto da, teniendo en cuenta que g no varia signicativamente en la supercie de la tierra, V  p=V m

() l p lm

1/ 2

=8.0 √ 20 =35.8 ft / seg

)ara encontrar el retardo provocado por las olas en el prototipo, se iguala la relación de retardo con la relación de uerza de inercia<

( F  D )m  ρm V m l m = ( F  D ) P  ρ p V  p l p 2

2

2

2

Esto nos permite calcular el retardo provocado por las olas en el prototipo, utilizando

( F  D ) P= ( F  D )m

¿ 6.2 x

 35.8 8

2

2

2

2

2

 ρ p= ρm

 ,como,

 ρ p V  p l p  ρm V m l m

2 2

x 20 = 49 700 lb

Cota< $e pudo &aber utilizado la relación de la uerza de gravedad en lugar de la uerza inercial, pero no utilizo la

relación de la uerza viscosa puesto que las uerzas viscosas se supusieron insignicantes.