XXVIII Congreso Interamericano de de Ingeniería Ingeniería Sanitaria y Ambiental Ambiental Cancún, México, 27 al 31 de octubre, 2002 2002
EVALUACIÓN DE LAS ECUACIONES UTILIZADAS PARA DETERMINAR EL GRADIENTE MEDIO DE VELOCIDAD EN FLOCULADORES MECÁNICOS
Danilo Ríos (*) Ingeniero Civil Op. Hidráulica y Sanitaria por la Universidad de la República Oriental del Uruguay (UdelaR). Ingeniero de la Administración de las Obras Sanitarias del Estado (OSE): Sub Gerente de Producción de la Región Metropolitana. Profesor Adjunto del Dpto. de Ingeniería Ambiental del Instituto de Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Ambiental de la Facultad de Ingeniería de la UdelaR. Julieta López Instituto de Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Ambiental de la Facultad de Ingeniería de la UdelaR. Cecilia Gómez Instituto de Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Ambiental de la Facultad de Ingeniería de la UdelaR. Giuliana Broggi Instituto de Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Ambiental de la Facultad de Ingeniería de la UdelaR. Armando Lanfranconi Instituto de Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Ambiental de la Facultad de Ingeniería de la UdelaR. Daniela Plottier Instituto de Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Ambiental de la Facultad de Ingeniería de la UdelaR.
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RESUMEN La expresión matemática que vincula la velocidad de rotación en un floculador mecánico de flujo radial con el gradiente de velocidad es ampliamente conocida, y se aplica universalmente para el diseño y/o evaluación de plantas potabilizadoras. La correcta utilización de dicha expresión comprende la elección de los coeficientes k y CD, que dependen de la forma del recinto de floculación, de la forma de las paletas del agitador, así como del número de paletas y del tipo de flujo. El conjunto de hipótesis que deben adoptarse para la elección de los parámetros, otorga al problema determinados grados de libertad que de acuerdo al criterio del proyectista, puede conducir a resultados diferentes. El presente trabajo consiste en la evaluación de las ecuaciones teóricas utilizadas para determinar el gradiente medio de velocidad, mediante el ajuste de datos experimentales de la potencia entregada al fluido por un agitador de flujo radial, bajo condiciones de carga y de vacío, para diferentes velocidades de rotación del eje. Palabras Clave: Gradiente medio de velocidad, Floculador mecánico
INTRODUCCION El gradiente medio de velocidad, definido a través de la potencia específica entregada al fluido, constituye uno de los parámetros clave tanto para el diseño como para la operación de floculadores mecánicos. Especialmente atendiendo a
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esta última actividad, surge la necesidad de contar con una relación matemática que permita calcular el gradiente medio de velocidad a partir de la velocidad de rotación del eje en el floculador. Con el objetivo de determinar la ecuación que relaciona ambos parámetros para un floculador de flujo radial, se optó por efectuar una serie de ensayos de campo los cuales consistieron en la medición de la potencia entregada al fluido por el movimiento del rotor, para el espectro de velocidades de giro posibles. De esta forma se obtuvo una medición real del gradiente medio de velocidades proporcionado por el floculador mecánico, para las velocidades de giro analizadas y para determinada temperatura del agua bruta. Una vez determinados los valores experimentales se evaluó el ajuste de las distintas ecuaciones teóricas utilizadas para calcular el gradiente de velocidad en floculadores mecánicos.
OBJETIVOS Y METAS El objetivo del trabajo consiste en la determinación de una expresión matemática que permita calcular el gradiente medio de velocidad en un floculador mecánico de eje vertical, paletas perpendiculares al eje y flujo radial, a partir de mediciones de la potencia disipada dentro del recinto de floculación, en función de la velocidad de rotación, para luego evaluar las distintas ecuaciones teóricas usualmente utilizadas para calcular dicho parámetro.
METODOLOGIA El trabajo se desarrolló en dos etapas, la primera consistió en determinar en forma teórica diversas expresiones del gradiente medio de velocidad de acuerdo a las recomendaciones de la bibliografía consultada, para luego proceder al ajuste de los parámetros intervinientes a través de mediciones de campo. El gradiente medio de velocidad se define en función de la potencia específica entregada al fluido (potencia P / volumen V) y la viscosidad dinámica del fluido (µ), como se presenta en la ecuación 1. G=(P/ V)½
ecuación (1)
Existen diferentes expresiones para determinar el gradiente de velocidad, que surgen de análisis teóricos y permiten calcular el valor de G en función de las RPM del agitador para determinada temperatura de agua. La elección de los distintos parámetros que intervienen otorga al problema grados de libertad que de acuerdo al criterio del proyectista, puede conducir a resultados diferentes. Con el interés de determinar una ecuación que represente en forma adecuada la relación entre los parámetros G y RPM, se realizaron trabajos de campo en los cuales se midió el gradiente de velocidad para distintas velocidades de giro del rotor. La determinación de G para cada caso se realizó a partir de la medición de la potencia entregada por el agitador mecánico al fluido. Para determinar la potencia entregada por el agitador mecánico se midió la potencia eléctrica suministrada al motor para distintas condiciones de operación: planta funcionando normalmente (condición en carga) y motor funcionando luego d e haber desacoplado el eje que soporta los agitadores (condición de vacío). La potencia suministrada al fluido fue determinada, entonces, como diferencia entre las medidas realizadas en carga y en vacío. Estas medidas se repitieron para diferentes velocidades de agitación, es decir para distintos valores de RPM del agitador. Los resultados obtenidos se detallan en la tabla 1.
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TABLA 1: Medidas de la potencia suministrada Agitador mecánico Potencia consumida Vel.agitación Frecuencia Caso en carga Caso en vacío (RPM) (Hz) (Watts) (Watts) 30 50 310 240 27 45 257 217 24 40 234 197 21 35 214 193 18 30 200 183 15 25 189 186 12 20 175 170 9 15 160 159 6 10 134 132
Potencia suministrada (Watts) 70 40 37 21 17 3 5 1 2
Utilizando estos datos de potencia, se buscó determinar mediante varios métodos una ecuación que relacionara el gradiente de velocidad (G) con las RPM del agitador. En primer lugar, y a partir de los valores de potencia medidos se calculó el gradiente de velocidad, utilizando la ecuación 1 planteada anteriormente. Con esa ecuación se obtuvieron los valores del gradiente medio de velocidad en el floculador mecánico correspondientes a los valores experimentales de potencia. Los valores de gradiente de velocidad así determinados fueron los utilizados para ajustar los parámetros intervinientes en las ecuaciones teóricas y dichos resultados se pueden observar en la tabla 2. TABLA 2: Valores de G experimentales RPM Gexperimental (s-1) 6.16 23.07 9.13 16.31 12.1 23.07 15.06 28.25 18.04 39.96 20.94 71.1 23.92 81.56 26.88 100.56 29.8 136.48
Una vez calculados los valores experimentales de G se buscó determinar una expresión matemática que permitiera generalizar los resultados obtenidos. A continuación se describen los distintos métodos aplicados. Método 1: A partir de los valores experimentales de potencia se determinó una relación P = f (RPM) válida para la temperatura a la cual se realizaron las medidas. La dependencia con la temperatura se da a través de la densidad por lo que puede expresarse de acuerdo a la ecuación 2. *
P = f (RPM,T) =
f(RPM)
ecuación (2)
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Así, partiendo de los valores medidos de P para las distintas RPM del agitador, y considerando la densidad del agua correspondiente, puede obtenerse la ecuación 3 para relacionar P/ρ con las RPM: ecuación (3)
P/ = f(RPM)
A partir de las mediciones experimentales realizadas se determinó la ecuación de f(RPM) y sustituyendo sustituyendo la expresión hallada en la ecuación 1, se obtuvo la ecuación 4. G = ( 0.305 RPM3.54 / V
106 ) ½
ecuación (4)
Siendo V el volumen del recinto de floculación (m3) y ν la viscosidad cinemática (m2/s). En la gráfica 1 se indican los valores de G calculados mediante este método (G1) y los valores experimentales de G. 160 140 120
) 1 - 100 s ( e t n 80 e i d a 60 r G
Gexperimental (s-1) G1 calculado (s -1)
40 20 0 0
10
20
30
40
RPM
Gráfica 1: Comparación entre valores de G experimentales y calculados mediante el método 1
Método 2: Mediante un análisis teórico del proceso puede determinarse la ecuación 5 que relaciona el gradiente de velocidad con las RPM del agitador, las características de la cámara de floculación y del agitador. G = 0.024 [ ( N c D n3 a (R 24-R 14) (1-k)3 ) / (4 V
)]½
ecuación (5)
En la que V es el volumen del floculador, n corresponde a las RPM del agitador, ν a la viscosidad cinemática, N al número de paletas (10 en este caso) y el resto de los parámetros depende de la geometría del floculador y el agitador. Para aplicar la ecuación 5 se debe entonces determinar los valores de C D y k a utilizar. Para ello se siguió el siguiente procedimiento: •
Adoptando valores de k dentro de las recomendaciones de la bibliografía para recintos de floculación de forma prismática (entre 0 y 0.05) se calcularon los valores correspondientes de CD utilizando las parejas (G, RPM) medidas.
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• •
Como con valores altos de k se observó que el coeficiente CD queda fuera de rango, se adoptó k=0. Luego se eligió CD de modo de lograr el menor error entre los valores experimentales y los calculados
De este modo los valores obtenidos fueron: CD = 2.7, k = 0 Con estos valores y la ecuación propuesta en este método, se calcularon los valores de G y se compararon con los G experimentales, resultados que se presentan en la gráfica 2. 160 140 120 ) 1 - 100 s ( e t n 80 e i d a 60 r G
Gexperimental (s-1) G2 calculado (s -1)
40 20 0 0
10
20 RPM
30
40
Gráfica 2: Comparación entre valores de G experimentales y calculados mediante el método 2
Método 3: Al igual que en el método 2, se ajustaron los parámetros intervinientes en una ecuación teórica. Pero en este caso la ecuación utilizada es la definición del número de potencia para un agitador mecánico, que representa el poder de arrastre del mismo (ecuación 6). NP = P /
n3 D5
ecuación (6)
Siendo P la potencia suministrada (Watt), ρ la densidad del fluido (kg/m3), n la velocidad de agitación (RPS), D el diámetro del agitador (m) y Np el número de potencia del agitador (adimensionado). A partir de las ecuaciones 1 y 6 se obtiene la siguiente relación (ecuación 7): G = ( NP RPM3 D5 / 216000 V
)½
ecuación (7)
Siendo ν la viscosidad cinemática (m2/s) La elección de Np fue tal que los valores calculados de G se ajustaran lo mejor posible a los valores experimentales de G; es decir que se eligió N P como aquel que minimiza la suma de las diferencias entre los valores calculados y los medidos. El valor seleccionado fue Np= 5.08
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Con este valor de Np se realiza una comparación entre los valores de G calculados mediante este método y los G experimentales, cuyos resultados se presentan en la gráfica 3. 160 140 120 ) 1 - 100 s ( e t n 80 e i d a 60 r G
Gexperimental (s-1) G3 calculado (s -1)
40 20 0 0
10
20 RPM
30
40
Gráfica 3: Comparación entre valores de G experimentales y calculados mediante el método 3
Método 4: Con el objetivo de aproximarse lo mejor posible a los resultados experimentales obtenidos, se ajustaron los parámetros intervinientes en la ecuación 5, realizando el ajuste de diferente manera. La diferencia con el método 2 radica en considerar un valor variable del coeficiente k, asumiendo una relación con las RPM del agitador. Según la bibliografía consultada, el valor de k disminuiría al aumentar las RPM. Para determinar dicha relación se procedió de la siguiente forma: •
• •
Se adopta k=0 para el valor mayor de RPM y se calcula el valor de C D que mejor ajusta el valor de G calculado mediante la ecuación teórica al valor experimental de G para esas RPM (o sea el que minimiza la suma de las diferencias entre G verdadero y G calculado) Para los puntos correspondientes a las RPM menores, se asume el mismo valor de C D y se despeja k de la ecuación para cada caso (usando en cada caso los valores de G y RPM medidos) Con los valores de k calculados se determina la relación entre k y las RPM (ajustando los puntos por la curva) y luego la ecuación total.
El ajuste obtenido fue el siguiente: • •
CD = 3.91 k = 1.19x10-4 n3 - 7.77x10-3 n2 + 0.15 n -0.57
Los ensayos se efectuaron en un rango comprendido entre 6 y 30 RPM en la UPA 200, por lo tanto esta expresión solamente sería válida para dicha planta y para el rango considerado. En la gráfica 4 se indican los valores de G calculados mediante este método y los G experimentales.
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160 140 120 ) 1 - 100 s ( e t n 80 e i d a 60 r G
Gexperimental (s-1) G4 calculado (s -1)
40 20 0 0
10
20 RPM
30
40
Gráfica 4: Comparación entre valores de G experimentales y calculados mediante el método 4
En el gráfico 4 se observa que los valores experimentales de G y los calculados mediante este método son muy similares, pero se debe de tener en cuenta que el coeficiente C D utilizado queda fuera de escala de acuerdo a los valores que aparecen en la tabla de Vennard. Este valor quizás podría mejorarse si se tomaran en cuenta posibles errores en las medidas efectuadas. Otra observación que se desprende de la expresión del coeficiente k, es que el mismo adopta un valor máximo en torno a 15 RPM, lo cual estaría indicando que para esa velocidad de giro, se obtiene un valor mínimo de la velocidad relativa del rotor respecto al fluido. Esta afirmación no refleja el concepto extraído de la bibliografía consultada, que supone un valor de k decreciente con las RPM.
CONCLUSIONES La utilización de las expresiones clásicas para la determinación del gradiente medio de velocidad en un floculador mecánico puede conducir a errores importantes, principalmente a partir de la elección de los parámetros k y C D. Los valores que permiten una mejor aproximación a los datos experimentales para el caso estudiado corresponden a k = 0 y CD = 2.7, escapando este último valor las recomendaciones de la bibliografía (para b/a= ∞, vale CD=2). Un mejor ajuste se obtuvo con valores de k variable en función de las RPM del agitador. En cambio, la metodología empleada es fácilmente aplicable y permite obtener la relación entre el gradiente medio de velocidad y la velocidad de rotación del agitador, a partir de la medición de potencia disipada en el seno del fluido para diferentes condiciones de trabajo. Si bien los resultados no pueden generalizarse, las conclusiones de este trabajo permiten, además de lo indicado, aportar valores experimentales de los coeficientes k y C D, para floculadores mecánicos de eje vertical y flujo radial.
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