Fliess - Estabilidad Tomo I

t'el ingeni~ro Enrique D, Flie$S .:onstituye una destacada contribución a la ensCn;¡.n1,a y estudio de esa importante rama dc la Ingeniería que es la Estabilidad de las Construcciones, En ella desarrolla el primer curso de Estabilidad~ taJ como lo dicta en su cátedra de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Buenos Aires. Siguiendo la escuela de Timoshenko, parte del principio del parafelogramo y sobre él construye todo el edificio de la Estática a través de una sucesión de secuencias rigu ro, ,,ncllte encadenadas. de sencilla deducción, Dc los diez capítulos que componen la ' ,b!;>, 10$ tres primeros se destinan al estudio ¿ l' Ivs ~istemas planos y espaciales de fuer:1. ,1 5: sigile /:1 cuarto con Geometría de masas, para rc.Ji l dr , ('1] el quinto, el estudio de las fuerzas Jislri!.>uidas, Los capítulos sexto, séptimo y octavo, estudian todo lo referente al equilibrio de cuerpos vinculados, sistemas de retkulado y sistemas de aJma Bena. El principio de los trabajos virtuales y los sistemas planos sujetos a cargas móviles cierran el ciclo de Estabilidad, primer curso. La abundancia de ejemplos prácticos relativos a cada uno de los temas desarrolla-

SITARIA

d os, cons ti tuye mi efica;r; o;;omplemento de

los conce ptos teóricos enunciados Y1 que, además de poner en evidencia sus respectivos Gunpos de aplicación, facilita considerablerrtC llll' ~11 asimiladón por parte de los estudLlmes, a quienes, sin duda, la obra está prin ci p~ !me n ie destÍJ1,lda, Además, el ingenie ro Aiess, al evidenciar, un;1 vez más, sus conoddas condiciones didácticas, hace un valioso aporte en beneficio de la tarea que desarrolla el equipo de colaboradores que lo acompaña en la Cátedra de Est;¡bilidad , primer curso. Esta obra se completa con Estabilidad 11, del mismo autor que cubre las temas de la asignatura tal como se dicta en la Facultad de Ingenierí:t de , la Universidad de Suenos Aires y en la Escuela Superior Técnica del Ejército. Cubre, también, temas de los cursas de la Universidad Tecnológica,

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F ERNANDO M, L OPEZ PROve-CTl~TA II!e-C,ANI CO

, INGEN IERO CIVIL

Enrique D. Flie'ss Profesor titulor de Estabilidod de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, V de la Escue la Superior Técnica del Ejército . . Jefe del Depa rtomento Técnico del Institulo del Cemento Portlond Argentino.

E S t a b I• I I• d ad primer curso

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Todas las dl'fecno~ 'L'SC'v~{los par H~. 1910 ) ED IT ORIAL KAPELUSZ S.A .. Molo'"'' 312. Buenos A"lls. Hucho el rleiJ

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Fig. 1.8.

tativos de las fuerzas componentes (fig. 1.9). Generalizando diremos que la resultante de dos fuerzas concurrentes cuyas rectas de acción son coincidentes, se pbtiene directamente como suma algebraica de los vectores representativos de las componentes. EI ·principio del paralelogramo de fuerzas nos dice que siempre es posible reemplazar dos fuerzas concurrentes por s u resultante, o, en otras palabras, que ambos sistemas son equivalentes. Como corolario de ello se tiene que la única posibilida.d de que dos fuerzas concurrentes se en·

-R

A 13 --~

"ParlJ que dos fuerza! .se equilibren es necesario que .sean opuesta.!" entendiéndose por fuerzas opuestas aquellas que teniendo la m isma rec:· ta de acción, son de igual intensidad y sentidos cont rarios. Los sistema'! constituidos por dos fuerzas en equilibrio se denominan a;sten:"Jl nul"". Consider em os nuevamente el caso de dos fuerzas concurrentes a un punto A (fig. 1 . 10 ). El 29 principio de la Estática nos dice que para equilibrar el s ist ema, bastará que en A actúe una fuerza opuesta a la resultante R , denominada equiJibrante. Ea el correspondiente triángulo de fuerzas, la equilibrante tendrá sentido contrario a la resultante R, Y en consecuencia se t endrá que e l triángulo de fuerzas será cerrado, coincidie ndo el o rigen de la p rimera fue rza con e l extremo de la equilibrante. El terce r principio de la E stática, evidente por sí mism o, e l;Cpresa que: El efecto d e un sistema de (uerza.s dado, sobre un cuerpo rí~ido no se modifica, .si a dicho .sistema se agrega o quita un ·sist ema de Juerza.s nulo. Basándonos en el tercer principio de la E stática,. d emostrarem os e l teorema de la transmisibilidad de una fuer za, cuyo enunciado es el si· guiente: Si una fuerza actúa .tabre un cuerpo rígido, es po&ible desplazar su punto de aplicnción sobre su recta de acción sin que resulte alterado su efecto. Para demostrarlo, consideremos el Cl.1erpo rígido de la filtura l . 11 a,

(d)

~ '

-R

"> Fil. 1.9.

CON(2PTQS F U NDAMENTALES

-t}-

P,

,~

8

Fil. 1.10.

cuentren en equilibrio es que su resultante sea nula. Cuando las dos fuerzas tengan la misma recta de acci6n, como su resultante se obtiene por la suma algebraica de ambas fuerza s, es evidente que para que la resultante sea nula, la intensidad de las dos fuerzas debe ser la m isma y sus sentidos contrarios. Esta conclusión puede generalizarse en el 29 principio de la Estática, que reza:

PAP'8P"

lb)

-8 -(e)

Fi¡. 1.11 .

en el que actúa la fuerza P a plicada en el punto A . Apliquemos ahora en el punto B, ubicado sobre la recta d e 'acción de P, dos fu erzas P' y P", opuestas, y de igua l intensidad y recta de acción que P (lig. 1. 11 b). Por tratarse de un sistem a de fuerzas en equilibrio (siste ma nuJo) , la existencia del mismo no altera en nada e l efecto de P. Considere mos ahora el conjunto de las fuerzas P y P" que también constituyen un sistema nulo ya que P y P" son opuestas. En virtud d e l tercer principio de la Estática podemos e liminar a mbas fuerzas sin que se altere la acción del sistem a, y . obtenemos así actuando sobr e el cuerpo rígido únicamente la fuerza P', aplicada en e l punto B. Como P' y P eran igual ~ en intensidad y sentido y actuaban sobr e la misma recta de aC(:iÓn. hemos obtenido com o relul· tado una translaci6n de la fuerza P del punto A al punto B . Como e l punto B lo hemos ele¡ido arbitrariamente sobre la recta de acción de P , queda

s

,

LOS PRINCIPIOS DE LA ESTÁTtCA

con ello demostrado que es posible desplazar una fuerza aplicada sobre un cuerpo rígido, sin que su efecto se altere en absoluto. Destacamos que el teorema de la transmisibilidad de una fuerza es aplicable únicamente al caso de los cuerpos rígidos, y Que pierde validez cuando se trata de cuerpos deforma bies. El ejemplo que desarrollaremos a continuación permite apreciar perfectamente lo que acabamos de enuo. ciar. Sea (fig. 1 . 12) un conjunto de dos cuerpos elásticos (deformables), que los visualizaremos como dos resortes suspendidos, uno a continuaci6n óel otro, de un punto fijo O. Si en el punto A, aplicamos una fuerza P di·

o

o

A'

A"

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--------~-8'

lb)

ób

P 8"

__

(CI Fi g. 1.12.

rigida hacia abajo, el resorte superior experimentará una deformación, des-. plazándose e l punto A de .\8, y pasará a ocupar la posición A', mientras que el resorte inferior no habrá experimentado ' ala rgamiento alguno, transla· dándose e l punto B a la posición B'. Si ahora aplicamos la fuerza P en el punto B ', el resorte infe rior se deformará incrementándose su longitud de Ab. D e l caso (b) se pasa al (e) simplemente deslizando la fuerza P a lo largo de su recta de acción de A á B. Este deslizamiento no puede reali· zarse sin modificar el efecto físi~ de la fuerza sobre el cuerpo, en este caso deformable. Si las dos fuerzas actuantes sobre un cuerpo rígido no se encuentra~ aplicadas a un mismo punto, tal el caso de la figura 1.13, en que las fuer·

10

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

zas Pl Y p . actúan respectivamente en los puntos A y B, en virtud del teorema de la transmisibilidad de las fuerzas, es posible deslizar ambas a lo largo de sus respectivas rl!(:tas de acción hasta aplicarlas en el punto e, de intersección de éstas, y en base al primer principio de la Estática, reemplazarlas por su resultante. Si el punto de intersección no pertenece al cuerpo rígido, la construcción indicada es válida, pues podemos imaginar la existencia de una prolongación del cuerpo que contenga al punto de intersección. El cuarto principio de la Estática, sumamente importante por sus aplicaciones en los distintos problemas de la técnica, es el denominado principio de la acción y reacción. Su enunciado dice que toda acci6n implica existencia de una reacci6n, de il1ual intensidad y sentido contrario. Sea la esfera de fi,gura 1.14, que se encuentra apoyada sobre un plano. La esfera está sujeta a la acción de la gravedad, es decir de una fuerza P cuya intensidad es igual &1 peso de la esfera, dirigida hacia abajo y aplicada en su centro de gravedad. La esfera apoyáda se halla inmóvil, es decir, en equilibrio. Si suprimimos el piano de apoyo, es evidente que la esfera caerá. Para evitarlo, debemos aplicar en el punto de apoyo una fuerza opuesta al peso P; tal que equilibre a este último. Aplicada esta fuerza, la esfera se encontrará nuevamente en e

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1 . 2~.

por los signos de P, y p ••

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1. 15 . Signo de las fuerzas. A los efectos de faci lita r la solución e interpretación de los resultados de distintos problem as, es necesario ad judicar s igno a las fuerzas. Cuando se trate de fue rzas verticales u horizontales, el signo será el de sus proyecciones sobre el eje y y z respectivamente. Así, en la figura 1 .30, la fu erza P , ' será positiva, la p ~ negativa y la p . tam bién negativa. Si, en cambio, la dirección de la fuerza no coincide con ninguno de los ejes coordenados, como en e l caso de la fuer za p . de la figura 1 . 30, exist e dua~ 'idad de signo según sea e l eje sobre el q ue se la proyecte. Si consideramos la proyección p ", su signo será negat ivo, y en cambio si la proyectamos sobre el eje y, su signo será positivo. En consecuencia, es necesario es· tablecer a pr iori e l eje sobre el cual se considera rá la proyección de la fuerza a efectos de establecer su signo. La elección del' eje, denominado eje director, es convencional, y adoptaremos en lo que sigue, el eje Z .romo eje director. P or consiguie nte, el signo de la fu erza P., de acuerdo con la convención que adoptam os, es negativo.

F i¡. 1.30.

1. 17 . Expresión analítica del momento de una fuerza respecto de un pUnto. Sea (fig. 1 . 31) la fuerza P y un punto M . Si descomponemos,la fuerza P en sus componentes norma les P w y P" de acuerdo con e'l t eorema de VARION ON, su momento respecto de M será igual a la suma algebraica de los momentos de "'P. y P, respecto del mismo punto M. La dista ncia de cada una de las componentes al centro de momentos es igual a la diferencia de coordenadas entre el centro d e momentos y un punto cualquiera de la recta de acción de la fuerza, que se supone como punto de aplicación de la misma. Tendremos así

[1.20] Se afecta del signo (-) a l segundo término del segundo m iembro de la expresión [1 . 20] para que exista concordancia en los signos de los

25

EXPU:SIÓN ANAÚTICA DEL MOMENTO USPEC'ro DB UN PUNTO

17

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y.

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+y Fi.¡. 1.31.

momentos. En t¿t~~o, el primer término e~tre paréntesis re~~1ta positivo, por aer %M > %.t Y sie~d~ f If positiva, tam~¡é~ lo es el pr~ucto de ambos, existiendo concordancia de signos por cuanto el momento de PII res. •. •• •..< '1 • meto de M es PositivO. ~n cambio, el segundo parént~~ls tiene SIgnO neg.Hvo por ser y Ii < Y.A, ~.1.!.w.ientras que p ~ es posi~j~a. Por tanto el produ~o de ambos té~~~s ~~rá negativo, siendo fl~esario afectarlo del para que r~u1te ' positivo, por cuanto, ~ino surge, de la figura signo (-) . ,,~'hl,¡r.:". 1" 1.31, el momento de P ~ r~.~~ecto de M es posi~ivo. Por consiguiente, la expresión [1.20] nos d a en valor y signo, el mo. '.~"

mento de una fuerza respecto de un punto, en función de sus componentes

sobre ~~ 4!recciooes ortogonales. J

:

28

SISTEMAS PLANOS 08 P11EltZA.1

2

la compondremos 8 $U vez con la fuerza p. , lo que "nos dar' una nueva resultante R " que lo será también de las tres primeras fuerzas. Luego, componiendo esta última resultante con P4' obtendremOs R., que será la resultante del sistema buscada. Esta resultante la hemos hallado construyendo sucesivamente tres

2. Sistemas planos de fuerzas.

2 . l . Fuerzas concurrentes en el plano. Hemos visto (1.4) que los sistemas de fuerzas se dividen en dos grandei'l grupos: sistemas planos y sistemas espaciales, y que cada uno de ellos comprende dos subgrupos: fuerzas concurrentes y fuerzaa no concurrente!. En el presente capítulo nos ocuparemos de los sistemas planos, com enzando por aquello! constituidos por fuerzas concurrentes a un punto propio, dejando para otro capítulo el estudio de los sistemas de fuerzas paralelas; es decir, concurrentes al punto impropio de sus direcciones comunes. En el estudio de los sistemas de fuerzas, sean planos o espaciales, se presentan dos problemas principales: el de la reducción del sistema y el de 8U equilibrio (o descomposición). Reducir un sistema de fuerzas significa reemplazarlo por otro equivalente y que esté constituido por el menor número posible de elementos. En ciertos casos será posible reducir el sistema a una única fuerza, la resultante, o bien a un par; en otros no cabe hablar de resultante única, reduciéndose entonces E)I sistema a dos fuerzas, o a una fuerza y un pat.

2.1 . 1. Reducción de' siuem.as de {uenas concurrentes. Para proceder a la reducción de los sistemas de fuerzas concurrentes es necesario componerlas, a efectos de hallar su resultante. El caso de dos fuerzas concurrentes 10 hemOl tratado al discutir el primer principio de la Estática; es decir, el principio del paralelo¡ramo. Pasemos ahora al caso de sistemas de más de dos fuenas concu· rrentes a un mismo punto de un cuerpo rigido. Consideremos el sistema de la figura 2 .1 a. constituido por las fuerzas PI' P" P, y P4> concurrentes al punto O. Para hallar gráficamente la resultante del sistema, aplicaremos sucesivamente la regla del paralelogramo. determinando primeramente la resultante Rl de las fuerzaS p .1 Y . P I' Hallada R.,

paralelogramos de fuerzas. Ello no es necesario, en general, sieñ60 posible simplificar la construcci6n, extendiendo el concepto de triánguÍé! tie fuer· zas, tratado en 1 .5 para el caso de dos fuerzas concurrentes, al de poJípzo de fuerzas, cuando el número de fuerzas componentes es superior a dos. Para ello trabajamos con los vectores representativos de las fuerzas, vec· tores libres. Llevando los mismos uno a .continuaci6n del otro, figura 2. 1

(al Fic.2.1.

b, el vector definido por el origen del vector representativo de la primera fuerza y el extremO del de la última, constituye el vector representativo de la resultante del listema, como surge de inmediato del análisis de la figura 2. 1 b. En efecto, en la misma hemos construido los sucesivos triángulos de fuerzas A o,A 1,A2 i Ao.A2,A1 y Ao,A3'~' En el primero de ellos, el vector AoA, es representativo de la resultante de las dos prlmeras fuerzas; es decir, Rl y también lado del segundo triángulo de fuern •. En consecuencia, el vector AoAI será representativo de la resultante de laa fuerzaS' ·puPt,;y P I, y, por las mismas razones, el.vector AoA. lo será de la resultante total del sistema. En la construcción del polígono de fuerzas, el orden en que se lleven los vectores representativos de las mismas puede ser cualquiera. En la figura 2.1 b, S8 ha permutado el orden de dos de los vectores sin que el resultado se a ltere. Una vez determinado el vector representativo de la resultante del sistema, ésta queda definida, por cuanto se conoce au intensidad y .u

2.

dirección debiendo, evidentemente, pasar su recta de acciÓn por el punto

O, de concurrencia de las fuerzas que constituyen el sistema. Consideraremos ahora dos casos particulares: cuando todas las fuerzas concurrentes tienen la misma recta de acción; es decir, son coHneales, la resultante del sistema se obtiene por simple suma algebraica de las fuerzas componentes; el segundo caso particular se presenta cuando, al construir el polígono de fuerzas, el extremo del último vector coincide con el origen del primero. Evidentemente, el vector representativo de la resul· tante será nulo y no habrá resultante (fig. 2.2). En este caso se dice que el sistema se encuentra en equilibrio. Llegamos así a dos posibilida., des en 10 que se refiere al polígono de fuerzas: . a) Polígono de fuerzas abierto. b) Polígono de fuerzas ce. ' ... rrado. 4, En el caso a), el sistema admite una resultante, y en el caso b), el sistema se encuentra en equilibrio. La segunda posibilidad nos Fig.2.2. conduce a establecer la siguien_ te condición ~ráfica. para el equilibrio de un sistema de fuerzas concurrente$: . Para que un sistema de fuerzas concurrentes en el plano se encuentre en equilibrio, es condición necesaria y suficiente que su poIí~no de fuerzas sea cerrado.

3.

2

SISTJ';MAS PLANOS DE FUERZAS

el punto A de un cuerpo rígido y se pide hallar sus componentes según las rectas de acción (1) y (2), concurrentes en A. Ubicado el vector representativo de P, tracemos por sus extremos dos rectas paralelas a las rectas de acción dadas. El punto de intersección N nos definirá dos vectores MN y NQ, cuyos módulos corresponderán a las intensidades de la"ll componentes buscadas P 1 y P2> Y cuyos sentidos serán tales que la ·s uma geométrica de los mismos nos dé el vector representativo de P. En el problema de la deL oomposición de una fuerza en dos componentes, aparte del caso tratado en el párrafo an':~ (2) p terior, pueden presentarse otras p --!:N-:--'P,?--Q tres posibilidades, según se 00nozcan: 2 (1)

"

a) la dirección de una de las' componentes y la intensidad de la restante;

Fig.2.3.

b) la dirección e intensidad de una de las componenres; c) la intensidad de ambas componentes. Posibilidad a). Sea una fuerza P (fig. 2.4) aplicada en el punto A de un cuerpo rígido, y se pide descomponerla en una componente de intensidad P I y en otra que actúe según la recta (2). Para resolver el pro-

,

\

N A

N

N

p, .

La condición es necesaria, pues de no ser cerrado el polígono, existiría una resultante, y, por 10 tanto, no podría haber equilibrio; y es ¡>uficiente por cuanto el equilibrio de un sistema . exige que el mismo sea nulo, bastando para ello, en sistemas concurrentes, que la intensidad de la resultante sea cero.

2.1.2. Descomposición de una fuena en dos direcciones concurrentes con su punto de aplicación. . El problema de la descomposici6n de una fuerza en dos componentes cuyas rectas de acci6n, conocidas, concurran al punto de aplicación de la fuerza dada, tiene su solución gráfica impUcita en el principio del paralelogramo de fuerzas. En efecto, sea Ja fuerza P (fig..2.3) aplicada en

(2)

H

11

H

P

,, ,

(2)

Q (2) Id) Fig. 2.4.

lb)

(e)

blema, trazamos por uno de los extremos del vector representativo de P , el N por ejemplo, una recta paralela a la recta de acción que es dat.o del problema. Luego, por el otro extremo trazamos un arco de circunferencia cuyo radio, en la escala de fuerzas adoptada, represente la intensi~d de la segunda componente P t • Pueden presentarse tres casos:

J

31

FUERZAS CONCURRENTES EN EL PLANO

19 ) que la recta corte el arco de circunferencia (fig. 2.4 a) ; 29) que la recta sea tangente al arco de circunferencia (fig. 2.4 b) y 39) que la recta sea exterior al arco de drcunferencia (fig. 2.4 e). En el primer caso existen dos soluciones. En efecto, el vector NQ, completa, con P I ' un triángulo de fuerzas que tiene por resultante a P, y, en consecuencia, soluciona el problema. Pero el punto R define un vector NR, que también es solución, por cuanto completa, con otra fuerza cuya intensidad es PI' un triángulo de fuerzas cuya resultante es P. En cada caso, las condiciones particulares del problema permitirán establecer cuál de las dos soluciones es compatible con aqu"éllas. En el segundo caso la solución es única, pues existe un solo vector NT, definido por el punto de tangencia de la rec. P, ta con la circunferencia, que da origen a un triángulo de P fuerzas cuya resultante es P. Finalmente, ai la recta resulta exterior a la circunferencia, el problema no tiene solución, lo que surge de la figura 2.4 C, en Fig. 2.5 . forma evidente.

Posibilidad b). Dada la fuerza P (fig. 2.5), descomponerla en la componente P I . de la que se conocen su intensidad y dirección, y otra componente P 2 • La solución es inmediata: en efecto, llevando por uno de los extremos del . vector representativo de P el vector representativo de P t , . el vector QN . definido por el extremo de PI y el extremo de P, es representativo de la componente buscada, ya que completa, oon P 1 , el triángulo de fuerzas que tiene por resultante P.

1J11+1t3 1> ¡P I M

1p,1+1"q 1< 113 I

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Fig. 3.23 .

3

FUERZAS

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3.4 . l . Reducción de

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SISTr;MAS ESPACIALES

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=

148

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P,

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P,

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7

al que, por razones de simplicidad, supondremos constituido por s6lo tres fu erzas, P, , P 1 Y p , . aplicados a un cuerpo rígido, y sean A" A 1 Y A " respectiva mente, puntos de sus rectas de acción. Elijamos un punto O perteneciente al mismo cuerpo rígido y al que en 10 sucesivo denominaremos centro de reducción, y apliquemos al mismo dos fuerzas opuestas, paralelas a P , y de su misma intensidad. La fuerza PI' que suponemos aplicada en A l y la-P " que lo es en O, constituyen un par de fuerzas. Llamando d , la distancia del centro de reducción a la recta de acción de P I ' el momento de dicho par será

[3.68] y lo representaremos mediante un vector de módulo M" normal al plano definido por O y la recta de acción de p ,. y orientado conforme con la convención adoptada. (Por razones de claridad no se han representado en la figura los vectores momento). Conforme con lo establecido en l. 12, el sistema constituido por la fuerza P , a plicada e n O y el par de momento M, " es equivalente a la fu erza P , cuya recta de acción pasa por A l ' Operando en forma similar con las restantes fuerzas, tendremos, en definitiva, un sistema equiva lente al dado, constituido por tres fuerzas p ,. P 2 Y P3 concurrentes en O y paralelas a las dadas, y tres pares' de momentos Mí Y M! . Estamos e n condiciones ahora de componer las tres fuerzas P" P 2 Y p . aplicadas en el centro de reducción, hallando su resultante R . que en 10 sucesivo denominaremos resultante de reducci6 n •. P rocediendo en

MI.

--.---ceneulmente, en los tratados de la materia ~ acoltumbra a denominar la relul tante ui determinada corno resultante de trulllción del . i. tema. Entendemol que tal de, ianación e. err6nea, pOr cuento no el posible trtuladar una fueua paralelamente a lí misma ain que IU efecto le altere. Preferimos emplear la flxprflli6n re.ultante de reduedÓn. por entender que con ello se expresa lo que realmente le realiza : rHmpla:ur cade fueua por un .htflma equiv';lente. Y preciumente, una da lu acepciones del té rmino redueci6n .. "reemplazar una cosa por otra qua le Ma ~uiY8lanta".

,

l"VERZAS NO CONCURRENTES EN El- ,aPACIO

'"

forma aná loga con las vectores momento, representativos de los pares M " Y M~ I obtendremos un vector momento resu ltante, representativo del par de reducción del sistema, que denominaremos M. M~

Si variamos el centro de reducción, la resultante de reducción no varia, pero sí el par de reducción, que podrá diferir tanto en intensidad como en sentido y en la dirección del eje de su vector momento. En efecto, el vector R lo hemos obtenido como resultante de los vectores representati vos de las fuerzas componentes, supuestas aplicadas en O en el caso analizado. Si como centro de reducción elegimos otro punto cua lquiera del e&po.cio, el polígono vcctoriol que nos define R , seró el

m ism o. En ca mbio, al variar el centro de reducción, las distancias de éste a las rectas de acción de cada una de las fuerzas cambiarán, mod ificándose con ello las intensidades de los pares, así como también los planos en que actúan. Podemos decir entonces que la resultante de reducción es un inva· riante del sistema de fuerzas espaciales, que por su naturaleza d enominaremos invariante vectorial. Consideremos ahora un sistema cualquiera de fuerzas espaciales P" y supongamos que, elegido como centro de reducción el punto O (fig. 3 . 24) resultan ser R y M respectivamente la resultante y e l par de reducción. Elijamos una terna ortogonal, haciendo coincidir su origen con el centro de reducción O. Y orientemosla en forma ta l que e l eje z coin-

z

R

R /1. -- - - - H

o~

______-,~~________~X d M,

".

SISTEMAS ESPAClALES PE l'UERZAS

3

cida con el vector resultante de reducción y que el vector momento de reducción quede ubicado en el plano x z. Si proyectamos el vector momento de reducción sobre la resultante de reducción, obtendremos un vector momento que llamaremos M *. Demostraremos a continuación, que cualquiera sea el centro de reducción adoptado, la proyección del par de reducción sobre la resultante de reducción es constante; es decir, constituye otro invariante, que por su naturaleza denominaremos invariante escalar *. En . efecto, elijamos otro punto cualquiera O' , que por comodidad de dibujo lo hemos ubicado sobre el eje 1C, Y reduzcamos el sistema a dicho punto. Para ello, una vez reducido el sistema al punto O, bastará aplicar en O' dos fuerzas R y - R, paralelas a la resultante de reducción f'n O. La fuerza R aplicada en O y su paralela - R, que lo es en O', constituyen un par de momento M, = R. d que actúa- en el plano z x y cuyo vector momento será normal a dicho plano. Por tratarse de vectores libres, podemos aplicar en O' los vectores momentos M y .1\1" cuyo vector resultante M' constituirá el vector momento del · par de reducción del sistema respecto del punto O'. Si ahora proyectamos el vector momento M' sobre la dirección de R, dicha proyección coincidirá con la proyección del vector M aplicado en O' sobre la dirección de R. En efecto, la recta que une los extremos de los vectores M y M ' es, por construcción, paralela al vector M r, el que, contenido en el plano x y, es normal a la dirección de R. Por tanto, el plano que siendo paralelo al 1C y conte nga la recta mencionada, definirá, e n su in tersección con R . el extremo del vector proyección que, en consecuencia, será el mismo tanto para M~ como para M. En consecuencia, la proyección del vector momento de reducci6n sobre la dirección de la resultante de reducción es constante al variar el centro de reducción. En cambio, sí varía la componente del vector momento de reducción normal a la dirección del vector resultante. Ello puede observarse en figura 3.25, donde un sistema de fuerzas P I se ha reducido primeramente a un punto O', ubicado sobre el eje 1C, Eligiendo un segundo centro de reducción O" sobre el mismo eje, por lo dicho, la resultante de reducción será la misma que para O', así como' también la componente del vector momento de reducción en la dirección de R. es decir M·. Lo único que varía es la componente de M normal a la dirección de R, siendo esta variación lineal. En efecto, la reducción del sistema a O" se obtiene, una vez conocidos los elementos resultantes de la reducción a O', aplicando en O" un sistema nulo constituido por dos fuerzas R y - R , paralelas a la resultante de reducción. El momento

-R Fig. 3.24.

a El producto esc:al.r de dos vectores es igual al producto dal módulo d* uno de ellos por e l coseno del ángulo que forman sus direccio nes; es dec:ir, la proyecd6n da uno lobre e l otro. y as una mar¡nitud escalar.

•

PUltRZAS NO CONCURRENTES EN EL ESPACIO

1S1

SISTEMAS ESP,\CIA.l.JtS DE FUERZAS

3

del nuevo par es igual al producto de la intensidad de R por la distancia O' y O" . Como la intensidad de R es constante y d varía linealmente también le,.. hará M'. que además podrá llegar a cambiar de sentido' como puede observarse en figura 3.25 para el centro de reducci6n O''''. Si M' puede cambiar de sentido, evidentemente habrá un punto que tomado entre

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Fig. 3.26.

Fir;. 3.25.

como centro de reducción conduzca a un par resultante de reducción, cuyo vector momento sea paralelo a la dirección de la resultante de reducción, por anulación de la componente M ' normal a esta última dirección tal el punto O de la figura 3.25. Si, una vez hallado el punto para el cu~l se cumple lo anterior, consideramos llucellivOI centros da reducción ubicadOI sobre la recta de acción de la resultante de reducción correspondiente a O, cualquiera sea el punto considerado, como el momento de R respecto del mismo es siempre nulo, para dichos puntos la recta de acción del vector momento de reducción coincidirá con la del vector resultante de reducción. El lugar geométrico de dichos puntos se denomina eje central del sistema de fuerzas. Definiremos, en consecuencia, como eje central de un sistema de fuerzas en el espacio, al lugar geométrico de los puntos que tomados como centro de reducción dan origen a un vector momento paralelo al vector resultante de reducción. En tal caso, el plano en que actúa el par de reducción es normal a la dirección de la resultante, y al conjunto de ésta y el par se lo suele denominar torsor de fuerzas.

Para determinar e l eje central de un sistema de fuerzas en el espacio se procede en la forma siguiente. Consideremos, figura 3.26, un sistema P I reducido al centro O . Conocidos la resultante de reducción y el correspondiente par resultante, hagamos coincidir una terna de ejes con el centro de reducción y orientémosla en forma tal que el eje z coincida con el vector representativo de la resultante de reducción, y que e l vector momento quede ubicado en el plano yz. Proyectando este último sobre la dirección de R y sobre su normal obtenemos los vectores momento MO y M'. Por definición de eje central cualquier punto del mismo que consideremos como centro de reducción, nos conducirá a que la proyección M ' del vector momento sea nula. En consecuencia, bastará hallar un punto tal que, con respecto al mismo, el momento de R aplicado en O tenga e l mismo valor absoluto que M' , y su vector representativo tenga la misma dirección y sentido contrario. En el caso de figura 3.26, como M' está dirigido según e l eje y, el par que lo anule deberá actuar en el plano normal; es decir e l z %. Luego el nuevo centro de reducción debe[á estar ubicado sobre el eje J{, y a una distancia d de O tal que se cumpla [3.69J IM'I = IRI· d

4

FUERZAS NO CONCURRENTES EN EL UPACIO

153

El nuevo centro de reducción 0' . que es a la vez un punto del eje central del sistema queda Hbjcado a la derecha de O. sobre la rama pOsitiva del eje .1:, por cuapto. el vector reprE:sentativo del momento de R respecto de O' debe eStar dirigido según el semieje positivo y para q\:" anule el vector M '. - . . Un sistema de fuerzas en ~l ~Sp~!;ip' p~ede reducirse a dos fuerzas no concurrentes. En efecto, consiperemos en la fi gura 3.27 un sistema cualquiE!!'a que, una vez reducid" al punte: O, nos conduce a una resultante de reducción R y al corres~2Il:~H~~te pa~ resultante M, represen-

154

3

SISTEMAS ESPAClALItS DE FUERZAS

punto cualquiera. D eterminadas las trazas sobre el plano xy (icnográ. fica) de cada una de las rectas de acción de las fuerzas, apliquemos en las mismas los vectores representativos de las fuerms y descompungamos cada uno de eltos en una componente normal al plano xy y orra según la proyección de la correspondiente recta de acción, Estas componentes las denominaremos respe"ctivamente componente vertical y componente horizontal H emos reemplazado' ~í el sistema dado por otros dos sistemas que en conjunto le son equivalentes: un sistema plano, constituido por las componentes horizontales, y otro de fuerzas paralelas en el espacio. formado por las componentes verticales.

111-11 z

R

/?o

d

x

-p

Fi,. 3 . 27.

tado en la figura por su vector momento. Consideremos ahora el plano 11', normal al vector momento, en que actúa el par, y supongamos a éste formado por dos fuerzas P , de intensidad cualquiera, y sepáradas por una distancia d tal que se cumpla la c~~dici6n M = P . d. Aplicando una de las fuerzas en '0, podemos comPonerla con R, obteniéndose asl un nuevo sistema. equivalente al anterior, constituido por las fuerzas R ' -resultante de ~ 'y p- y - P , no coplanares. . Como el par M puede ser repr~sentado por infinitos conjuntos. de dos fuerzas paralelas óe igual intensidad y sentido contrario y, ' además, el RJ~90 en que actúa ~i par puede desplazarse paralelamente a si mismo, existir'á n infinitos sistemas de dos fuerzas no"coplanares equivalentes al sistema, dado. Para proceder gráficamente a la reducción de un sistema de fuerzas en el espacio se ope;a de la . forma siguiente. En la figura 3.28 · hé~os representado en perspectiva, y referido a una terna de ejes, un sistema constituido por tres fuerzas P , . P I Y p.~:; Como centro de reducción adoptamos el origen de coordenadas, aunque podríamos haber elegido otro

Fil, 3 .28.

Determinamos ahora, mediante el trazado de un polígono funi cular (omitido en la figura), la resultante de las componentes horizonta les, que denominaremos R A , Y luego, por abatimientos según las d irecciones JI: é y, yen la forma explicada en 3 . 3.1, la traza T ., de la recta de acción de la resultante de las componentes verticales R ~. La intensidad y sentido de esta última, por tratarse de fuerzas paralelas, resultan de la suma algebraica de las componentes. Conocidas R . y R " , procedemos a reducirlas al origen O. La reducción de la primera de ellas nos conduce a una fuerza R~ aplicada en O y a un par de momento M . = M I:: = R ~ . d I, c uyo vector momento estará dirigido según el eje % y será la componente, según dicho eje, del vector momento de reducción del sistema. Su sentido se obtiene de a plicar la convención adoptada.

4

FUERZAS NO CONCURRENTU E N El,. ESP ACIO

155

R h , que y ace en el p lano x y . admite las componentes R " y R , según los ejes x é y, que a la vez serán las correspondientes componentes de la resulta nte de reducción. Operando ahora con R ~ , su reducción 8 O da origen a un par de momento M h M I li = R r . d 2 , cuyo vector momento, ubicado en el

=

plano xy es normal al plano definido por O y la recta de acción de R F O

M,= O M ,= O

Caso a) Constituye el caso general. Cuando al establecer las seis ecuaciones de cond ición resultan todas ellas distintas de cero, el sistema de fu erzas se reduce a una única fuerza aplicada en el centro de reducción, la resultante de reducción, y a un par resultante o, lo que es equivalente, a dos fuerza s no copian ares. Caso b) Cuando son nulas las condiciones d.e momento respecto de tres ejes, 'pero las de proyección tienen un valor determinado, el sistema se reduce a una i:mica fuerza, la resultante de reducción, que pasa precisa. mente por el centro de reducción elegido, para el que, además, se anula el par de reducción. También el sistema se reduce a una única fuerza, cuando en el caso a) la resultante de reducción pertenece al mismo plano que el par de reducción. En tal caso, es posible la composición de R y M , obteniéndose una única fuerza como sistema equivalente.

Caso e) En este caso, en que las tres proyecciones de la resultante de reducción son nulas, el sistema se reduce a un par de fuerzas, cual~ quiera sea el centro de reducción adoptado.

I,

P , .cosa.

=

R,.

=O

[3.77]

Si ello se cumple, existen las tres posibilidades siguientes: a) La resultante de reducción se encuentra en plano zy. b) El sistema se reduce a un par de fuerzas. c) El sistema se encuentra en equilibrio. Si proyectando el sistema sobre el eje y encontramos que, además de la [3.77], se cumple para el mismo

•

I,

PI. COS~ (

= Rv

=O

[3.78]

las posibilidades del sistema son las siguientes: a) La resultante de reducción es normal al plano x y; es decir, está dirigida según el eje z. b) El sistema se reduce a un par de fuerzas. e) El sistema se encuentra en equilibrio. Finalmente, si proyectando el sistema sobre el eje z mente con las [3.77] y [3.78] se cumple

¿•

•

P,.COSYI _

R. _ O

simultánea~

[3.79]

4

Pu.RZAS NO CONCURUNnS BR

:u.

UPAClO

",

evidentemente queda descartada la posibilidad de que al reducir el sistema a un punto cualquiera, exista una resultante de reducci6n. En efecto, el cumplimiento de las [3.77] Y [3.78] obligaría a la misma a ser paralela al eje z, pero la [3.79] le exige que, de existir, debe ser normal a z, condiciones éstas imposibles de cumplir simultáneamente, salvo que

la resultante de reducción sea nula.

1'0

SISTEMAS ESPACIALES DE FUERZAS

3

En consecuencia, es condici6n nllcesaria y suficiente para que un sistema de fuerzas espaciales no concurrentes se encuentren en equilibrio que sean nulas las sumas de las proyecciones del mismo sobre tres ejes, y que los momentos del sistema respecto de Tos mismos ejes también sean nulos. El equilibrio de un sistema de fuerzas espaciales no concurrentes puede establecerse también de las siguientes maneras:

Resumiendo: si 'l as sumas de las proyecciones sobre tres ejes de un sistema de fuerzas espaciales no concurrentes son simultáneamente nulas, el sistema se reduce a un par de fuerzas o bien se encuentra en equilibrio. Tomando ahora momentos del sistema respecto del eje %, si la suma de los mismos es nula, es decir si

}9: Mediante seis condiciones de nulidad de momentos respecto de seis ejes cualesquiera, de los cuales tres pueden ser concurrentes a un punto.

[3.80]

39: Mediante cuatro condiciones de nulidad de momentos respecto de cuatro ejes, y dos condiciones de nulidad de proyección, sobre dos ejes.

puede ocurrir: a) El sistema se reduzca a un par de fuerzas, cuyo vector momento sea normal al eje x. b) El sistema se encuentra en equilibrio. Si tomamos momentos respecto del eje y, y simultáneamente con la [3.80], se cumple

•=

•

~M¡

,

M il

=

O

[3.81]

existen las siguientes posibilidades para el sistema: a) El sistema se reduce a un par de fuerzas, cuyo vector momento es normal al plano xy, y por lo tanto tiene la dirección del eje z, por cuanto debe simultáneamente cumplir con la condición de ortogonalidad con los ejes x é y. b) El sistema se encuentra en equilibrio. Finalmente, si además de cumplir el sistema con todas las condi· ciones expuestas, al tomar momentos del mismo respecto del eje z, resulta

•

•=

~Mw

,

M.

=

O ;

[3.82]

sólo resta la posibilidad de que el sistema se encuentre en equilibrio, por cuanto, de reducirse a un par, el cumplimiento de la [3.82] exigiría al mismo que su vector momento fuera normal al eje z; es dedr, paralelo al plano xy, 10 que es imposible, por cuanto las condidones impuestas anteriormente exigían que fuera ortogonal ' a dicho plano.

29 : Mediante cinco -condiciones de nulidad de momentos respecto de cinco ejes y una condición de nulidad de proyección sobre un eje.

Discutiremos a continuación los tres casos indicados. Consideremos un sistema de ejes concurrentes, y hagamos coincidir su origen con el centro de reducción de un sistema de fuerzas espaciales n9 concurrentes. Si al tomar momentos del sistema respecto de dichos ejes encontramos que las sumas de los mismos son nulos, ello significa que, para el centro de reducci6n elegido, el sistema se reduce a una resultante, siendo nulo el par de reducción o se encuentra en equilibrio. Si, elegido un cuarto eje no concurrentes con los anteriores, la suma de los momentos del sistema respecto del mismo es nula, las posibilidades del sistema son: a) Si el sistema admite resultante de reducción, la misma, además de pasar por O , centro de reducción, corta el nueve eje. b) El sistema se encuentra en equilibrio. Si con respecto a un quinto eje, coplanar o no con el anterior, la suma de los momentos del sistema también es nula, ello implica~ o bien el equilibrio del sistema o sino, si el sistema admite resultante de reduc-. ción, la misma aparte de pasar por O, centro de reducción, y cortar el cuarto eje, se apoya también en el quinto eje. En caso que los dos últimos ejes fueran coplanares, la resultante de reducción pasaría por el punto de concurrencia de ambos. Finalmente, si elegido un' sexto eje, la suma de los momentos del sistema respecto del mismo resulta nula, sólo resta la posibilidad de equilibrio, salvo que los tres últimos ejes fueran concurrentes, pues de ser así, el sistema podría admitir una resultante de reducción que pasaría por el punto de concurrencia de los ejes, siendo de hecho nulos los momentos respectivos.

,

!I .'

4

PUERZAS NO CONCURRENTES EN EL ItSPACIO

101

El segundo caso, es decir, cuando el equilibrio se establece mediante cinco condiciones de nulidAd de momentos respecto de cinco ejes y una condición de nulidad de proyección sobre un eje, se justifica de la manera siguiente: Establecidas las cinco condiciones de nulidad de momentos respecto de cinco ejes, las posibilidades del sistema, por lo visto en el caso anterior, se reducen a: a) Si el sistema admite una resultante de reducción, la misma pasa por el centro de reducción y corta los dos ejes restantes. b) El sistema se encuentra en equilibrio; es decir, la resultante de reducci6n es nula. Si ahora proyectamos el sistema sobre un eje cualquiera, siempre que no sea normal a la dirección de la resultante de reducción en caso de existir la misma, y encontramos que la suma de las proyecciones es nula, evidentemente el sistema se encuentra en equilibrio, porque dicha suma de proyecciones es igual a la proyección de la resultante y, si esta proyección es nula, debe serlo también la resultante de reducción. Finalmente, consideremos el caso en que, planteadas cuatro condi. ,~ iones de momentos, tres con respecto a los tres ejes que p~s.m por el :entro de reducción y una respecto de un cuarto eje, todas ellas resultan nulas. Evidentemente, las posibilidades que se presentan para el sistema son dos: equilibrio o, de existir resultante de reducción, la misma pasa por el centro O y corta el cuarto eje. Si proyectado el sistema sobre un quinto eje, la suma de sus proyecciones es nula, podría ocurrir, aparte del equilibrio, que la resultante de reducción, además de pasar por O y cor. tar el cuarto eje, fuera normal al quinto. Finalmente, si elegido un sexto eje, la suma de las proyecciones del sistema es nula, la única posibilidad que le resta al sistema es la de encontrarse en equilibrio

3.4.4. Descomposición de una fuena en seis componentes en el espacio. Hemos visto que en ,los problemas relativos a sistemas de fuerzas espaciales no concurrentes, es posible plantear seis ecuaciones de condi·. ciÓn. En c.o nsecuencia, sera posible resolver problemas que impliquen la existencia de seis incógnitas. Uno de los problemas más importantes relativos a sistemas de fuerzas en el espacio es el de hallar las componentes (o equilibrantes), según seis direcciones no concurrentes, de una una fuerza o sistema de fuerzas espaciales. Como veremos más adelante, este problema se presenta en el estudio de los sólidos espaciales vinculados.

162

Sl8~AS

ltSPAClALEB DE II'UERZAS

3

En consecuencia, dada una fuerza, definida en el espacio por las coordenadas de un punto de su recta de acción, por su intensidad y los cosenos directores que establecen su dirección, y seis rectas cualesquiera en el espacio, de las que se conocen -las coordenadas de un punto de las mismas y los correspondientes cosenos directores, si se pide hallar las componentes (o equilibrantes) de. la misma según las seis rectas dadas, las únicas incógnitas del problema serán las seis intensidades de las com· ponentes. Estamos, pues, ante un problema de seis incógnitas, resoluble mediante el planteo de seis ecuaciones de condición entre la fuerza dada y las seis componentes incógnitas. F)stas ecuaciones de condición, pueden plantearse como ecuaciones de proyección o de momentos respecto de ejes, con las mismas posibilidades vistas al analizar las condiciones de equilibrio de un sistema de fuerzas no concurrentes en el espacio. Para que el problema tenga solución es condición indispensable que a lo sumo cinco de las seis rectas de acción d~ las componentes (o equi. librantes) incógnitas sean cortadas por un mismo eje. De no ser así, es decir, si el eje corta las seis rectas de acción;, los momentos de las com· ponentes respecto de dichó eje resultarían nulos, lo que sólo es posible si la fuerza a descomponer también se apoya sobre el eje. Esta condición general conduce a las siguientes condiciones particu. lares, a ser satisfechas por las rectas de acción de las componentes incóg. nitas, para que el problema de la descomposición tenga solución: 19: A un punto propio o impropio no pueden concurrir más de tres rectas de acción. En efecto, de concurrir cuatro, por el punto de concu· rrencia siempre es posible trazar un eje que se apoye en las dos restantes rectas de acción. 2 9: No más de tres rectas de acci6n pueden ser coplanares. De ser cuatro las rectas coplanares, las trazas de las dos restantes sobre dicho plano definen una recta que se apoya sobre las seis rectas de acción. 3 9: A 10 sumo cuatro de las rectas de acci6n pueden pertenecer a la misma serie reglada. Si pertenecieran cinco, la sexta recta de acción cortarla a la superficie reglada en un punto por donde pasarla una generatriz que se apoyarla sobre las seis rectas. Existen dos casos particulares de descomposición de una fuerza en seis componentes, cuya solución gráfica es simple. En el primero de ellos se trata de descomponer una fuerza R (fi~ gura 3.29) en seis componentes, tres de las cuales concurren a un punto A. y las tres restantes yacen en un mismo plano, que en el caso de la figura hemos supuesto coincidente con el plano zy. Para resolver el problema se determina primeramente la traza del plano determinado por

4

FUERZAS NO CONCURRENTES EN JU.. ESPACtQ

163

164

3

SISTEMAS ESPACIALES DI: FUERZAS

z

1

/

I

x

\ Fig. 3.29.

'I. I I I

!

la fuerza a descomponer y el punto de concurrencia A , de tres de las componentes incógnitas, con el plano en que yacen las tres componentes restantes, el xy en el caso que nos ocupa. Dicha traza, que llamaremos r. contiene la traza T R de la fuerza R. Determinada a continuación la recta m definida por A y T R, que será coplanar con r y con la recta de acción de R, será posible descomponer esta última en las direcciones r y m. Halladas las componentes de R según estas direcciones, se descompone la componente según m en las direcciones (1), (2) y (3), concurrentes cbn ella en A, Y luego la componente auxiliar según r, se descompone en las direcciones (4), (5) y (6), lo que es posible por ser las cuatro coplanares y no concurrentes. Un segundo caso particular lo constituye el de figura 3.30, donde se trata de descomponer una fuerza R en seis componentes, de las que tres concurren a un punto A , dos a un punto B y la sexta pasa por un punto e. El problema se resuelve descomponiendo primeramente R en tres direcciones concurrentes a un punto D de su recta de acción y que pasen por A, B Y direcciones que llamaremos m, n y q, respectivamente.

e.

\

\

Fig. 3.30.

La componente según q la descomponemos en las direcciones (6), (ó!

(j,

/

!

CB y CA concurrentes en C. Hallando luego la resultante de CB y n, concurrentes en B, la descomponemos en las direcciones . (4), (5) Y BA. Finalmente, componiendo las componentes m, CA y BA. concurrentes en A , descomponemos su resultante en las direcciones (1), (2)

Y (3), con lo que el problema queda resuelto.

16.

4

sas componentes del sistema. Es decir, un punto material tal que cumpla las condiciones siguientes: M

4. Geometría de las masas.

- l;, .... •

= , m,.x, " D4·Y, M .Ya = ~ , ~

M .%fi

4. 1. Baricentrol.

M .zo

[4 .3]

" Jn¡, .:z, = l: ,

4. 1 . l . Centros de masaJ. Consideremos, figura 4. 1, un conjunto de puntos Al, A t . Al , ' ..• Al. cuyas coordenadas genéricas con respecto a una terna J ( . y . z son Y" Z¡. Supongamos que cada punto posea una masa mi. Al conjunto de puntos materiales Al de masa mi. lo denominaremos en 10 sucesivo conjunto discreto de masas. Definimos como momento estático o de primer orden de la masa mi respecto del plano xy, al producto de la masa mi por su distancia Z'i al mismo, el decir

x"

S? = m;.", .

donde %0. Yo, %0 son las coordenadas respecto de Jos tres planos zy. u é ya' del centro de masas G . y M la masa total del sistema. En consecuencia, la posición del centro de masas de un conjunto discreto queda definido por las expresiones:

"

~m;.JI:¡

ro

,

-

" l;m, ,

•

~ml.Y'

[4.1] Yo=

" m, l; ,

Análogamente, los momentos estáticos de la masa mi respecto de los planos y% y %X tendrán las expresiones siguientes:

=

"

[4-2]

ro

-

m¡.JI:,¡

" l; , m,

Si todas las masas son coplanares, estando ubicados los puntos ma· teriales sobre el plano zy por ejemplo, en las e1Cpresiones [4.3], por ser nulas todas las coordenadas XI, se anulan los términos que las contengan, resultando como expresiones que definen en este caso el centro de masaa, las si¡uientes:

Se define como centro de masa del conjunto discreto a

un punto material G cuya masa es igual a la suma de las masas que componen el sistema, y cuyo momento estático respecto de cada uno de Jos tres planos JI: y % Z y zy es igual a la suma de Jos momentos estáticos respecto de dichos planos, de las ma·

[4 .4]

~m,.:I;

. . sr- = mi·Y' S;-

1

J

.... ...1(1__ _

"

M = l;"" ,

J

-<

y Fil. 4 . 1.

M .:lo M.yo

" - l:ml.z¡ , • . - l:ml.Y¡ ,

[4_5]

161

BAlUCI!:NTROS

Los' proouctos m ¡.z¡ y m¡.Yi se definen como moment03 está. tiex» o de primer orden de la masa, mi respecto de ios ejes y y z respectivamente. Las coordenadas del centro de masas, en este caso, serán:

•

168

Si, con respecto 8 los planos :u é yz, las distancias se miden en direcciones que formen ángulos cualesquiera con los ejes normales a di· chos planos se llega, para las dos restantes coordenadas del centro de masas, a expresiones correspondientes con la {9. 4 J, teniéndose en definitiva

' ¿m¡.z¡ ,

"

-

•

• ¿mi ,

[4.6]

¿• m, .y , y,

=

x', =

,

,-

y'

•

En lo anterior hemos supuesto que las dista ncias, t a nto a los planos como a los ejes coordenados, se medían normalmente a los mismos. Si, en el caso de toma r momentos estáticos de un sistema de masas respecto de un plano, el xy, por ejemplo, conviniéramos en medir las distancias en una dirección que (armara un ángulo

y

La posición final de cada uno de los dos puntos oonsiderados queda

definida por dos coordenadas. No obstante, la posición final de la chapa exige el conocimiento de s610 tres de ellas. En efecto, fijada la posición final del punto A' por sus coordenadas z~, y~, el hecho de que ambos puntos se encuentren sujetos a la condición de rigidez, implica la invariabilidad de la distancia d entre ambos; hace que sólo sea necesario fijar una de las dos coordenadas del punto B' , ya que la otra resulta determinada por la expresión de la condición de rigidez

[6.1) Luego, para determinar la posición final de una chapa que se ,4esplaza en su plano, sólo es necesario fijarle tres coorden~das. En !=onsecuencia una chapa en el plano posee tres grados de libertad, por tener tres coordenadas libres. Fijando una coordenada de un plano cualquiera de una chapa, por ejemplo el :l'A en la figura 6 . 4a, ésta, al desplazarse, está obligada a

Fi,.6.4.

z

O

, I

ys _CfI

I

~

I I

/

,:YA ,

/

lB .

, ,

, I

A

_3~

hacerlo manteniendo el punto A sobre la recta de ecuación Z A = e j , · Hemos restringido así un gTado de libertad, por cuanto la chapa no puede ocupar cualquier posición en el plano, ya que sólo le está permitido desplazarse paralelamente al eje y y alrededor de A. En otras palabras, hemos impuesto a la chapa una condici6n de vínculo. Si ahora fijamos el punto A , es decir, imponemos que deba cumplirse

[6.2) a la chapa s610 le resta como posibilidad de movimiento una rotación en torno del punto A. En efecto, cualquier otro punto que consideremos, el B por ejemplo, al estar ligado al A por el vínculo de la rigidez no puede alterar su distancia d al mismo y, por tanto, se desplazará sobre un arco de circunferencia de centro en A . Como todos los puntos de la chapa deben describir circunferencias de centro A t el único movimiento posible de la chapa será una rotación en torno de dicho punto. R esultan así restringidos para la chapa dos grados de libertad, habiéndosele impuesto a la misma dO$ condiciones de vinculo. Una chapa a la cual se le han fijado las coordenadas de un punto y que, en consecuencia, posee solamente un grado de libertad, se diCe que se encuentra ar· ticulada., constituyendo el punto fijo una

articulación a tierra alrededor de la cual

__

, I

,I

Y FiC· 6.5.

6

puede girar. Consideremos finalmente la chapa de la figura 6.5, a la que hemos fijado el punto A. De acuerdo con 10 expuesto, podrá girar en torno del mismo, y otro punto cualquiera de la chapa, el B por ejemplo, estará obligado a desplazarse sobre un Brco de circunferencia de centro A .

. LOS SISTEMAS PLANOS VINCULADOS

265

Si a este segundo punto le imponemos además la condición de que Sf:: desplace sobre la recta de ecuación YII Cte. ; es decir, le fijamos su coordenada Yo, el punto resultará inmóvil, al no poder desplaza rse simultáneamente sobre el arco de circunferencia de centro A y la recta de ecuación YII C te. . La chapa resulta así con dos puntos fijos y, en consecuencia, fija ella misma, por cuanto cualquier otro punto que consideremos, el C. por ejemplo, al estar ligado ~ los anteriores por el vínculo de la rigidez, resulta fijo. H emos restringido de esta manera a la chapa sus tres grados de libertad e impuesto tres condiciones de vinculo. Llegamos así a la conclusión de que, para fijar una chapa a tierra, es necesario imponerle tantas condiciones de vínculo como grados de libertad posea.

=

=

6 . 1 .4 . Oesl)lazamientos de una chapa.

Los desplazamientos que puede experimentar una chapa en su plano son rotacionas o traslaciones. Se dice que una chapa experimenta una rotaci6n cuando todos sus puntos se desplazan sobre arcos de circunferencia de centro común, denominado centro o polo de rotaci6n. En cambio, la chapa sufrirá una traslaci6n si el desplaza miento es de naturale za tal que todos sus pun~os se desplazan en una misma dirección; es decir, experimentan corrimientos paralel~. Consideremos la chapa de la figura 6.6(8) Y dos posiciones cualesquiera de la misma. Sean A, B (d > y A' , B ' las posiciones respectivas de dos puntos de la chapa. Si por T los puntos medios S y T de los segmentos AA' y B8' trazamos las normales, las mismas se cortarán en un punto O. En los triángulos AOA' y 80B', isósceles por construcc.ión, se tiene

o

OA = OA'; OB = OB'. Consider~mos

[6.3]

ahora los triángulos AOB y A'O B '. Para los

lb '

".

ItQUJUBJUO OB CUBRPOS VINCULADOS

•

mismos se cumplen las [6.3] y, además., por la condición de rigidez, resulta AB = A' B'. En consecuencia, ambos triángulos serán congruentes y, como de acuerdo con la hipótesis, el segmento AB luego del desplazamiento pasa a ocupar la posición A' B', análogamente, el triángulo A O B ocupará la posición A' Of B " , permaneciendo fijo el punto O. Cualquier otro punto de la chapa en su posíción primitiva vinculado a los anteriores por la condición de rigidez, pasará a su nueva posición describiendo un arco de circunferencia de centro O . En el caso particular de que los corrimientos de los puntos A y B sean paralelos (figura 6.6 b), las normales trazadas por los puntos medios de los segmentos AA' y B B ' también resultarán paralelas eatre sí, y su punto de intersección O será impropio. En consecuencia, podemos interpretar una traslación como una rotación en torno de un polo impropio, lo que nos conduce a la siguiente generalización: Todo desplazamiento de una chapa. en su plano es una rotaci6n en torno de un polo, propio o impropio. Sea la chapa de la figura 6.7 que experimenta una rotación de intensidad O en torno del polo O. Un punto cualquiera A de la misma, como consecuencia de la rotación sufrida por la chapa a la que pertenece, pasará, describiendo un arco de circunferenciii, a ocupar una nueva posición A'. E l vector AA' = a constituye el corrimiento del punto A y 10 define, en intensidad, dirección y sentido. Supon,, gamos ahora que la intensidad de la rotación es infinitésima. En tal caso, la cuerda AA' , , 9 ' el arco AA' y la tangente AA", se confun' ,+ ~

-,

,

+R&.senq>b + R e. sen q>c

•

~

3) +

= O P ¡ .sen q>¡+

=

O

+ [6.18]

+ Yo)] +

- z, ) - COS'P, (y" - Y,)]

+ Rb. [sen q>B(Z ... -

%0) -

• ~PJ .(sentp¡ (zD -,

COSCllB(Y" -

cos q>c(Y ... - Yo)]

.=

z, ) - cOSfJl¡(YD - y ¡ )]

+

+Rc. [sen q>c(Z .. - %0) -

4)

+

Pi. [sentp, (z ... - z, ) - cosq>,(y.. - y,)]

• " ~ PJ. [senq>J(z ...

-,

p ¡ .COS q>¡

O

Como puede observarse, la cuarta ecuación contiene únicamente a R " como incógnita, lo que permite despejarla de inmediato. Conocido el valor de R . e introducido en la 1:ercera ecuación, es posible despejar directamente R &. Finalmente, introduciendo los valores así calculados en las dos primeras ecuaciones, la determinación de H .. y Va es inmediata. Analizaremos a continuación el caso 3 9, es decir, el correspondiente a una cadena cinemática de dos chapas, una de las cuales se encuentra empotrada en su sección extrema, y la otra vinculada a tierra mediante un apoyo móvil. Para "-a solución gráfica del problema se procede en la forma siguiente (figura 6.39a): siendo A ,,= un punto fijo de la chapa S" se comportará a los efectos de la sustentación de S~ como una articulación fija a tierra. Si R¡ es la resultante de las fuerzas exteriores activas apli. cadas en Sz. la reacción en A1.,'J deberá concurrir al punto N de inter_ sección de las rectas de acción de ~¡ y R b . Luego, descomponiendo el vector representativo de R ¡ en direcciones paralelas a BN y Au.N, obtendremos los vectores representativos de R b y-T. Llamando T a la ,fuerza opuesta a esta última reacción, obtendremos la acción que la chapa S, transmite a la Sl Que, compuesta a su vez con R, resultante de las fuerzas activas aplicat!as en la 'l1tima de Qas chapas mencionadas,

LOS SISTEMAS PLANOS VINCULA&OS

\ I \ I

\f... ........

/

I

I

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A"z

1I ft

I I

I

1-~~_lR•• -Ri

.

,

•

EQUILIBRIO DK CUERPOS VINCULADOS

nos dará la resultante total R;. La recta de acción de esta última resul· tante pasará por el punto M . y su intensidad, dirección y sentido resul· tan de componer en el polígono de fuerzas los vectores representativos de T y R i . FinaJmente, la reacción del empotramiento será una fuerza R. , de igual intensidad y r~cta d"e acción que R: ' pero de sentido con· trario. El valor del par de empotramiento estará dado por el momento de R . respecto de A, es decir, M . = R e.d. Para determinar analíticamente las reacciones de ytnculo en el caso analizado, una vez referido el sistema a un par de ejes c,oordenados, ponemos en evidencia las reacciones, eligiendo como incógnitas para la reacción oe em~tfamiento. el par de empotramiento y las dos componentes de aquélla, p¡¡¡ralelas a los ejes coordenados y pasantes por A (figura 6.39b). En el caso analizado, la reacción de vínculo en B es vertical, es decir, paralela a l eje y, con lo que su proyección sobre el eje z será nula. Las ecuaciones de equilibrio que resuelven el J:;!roblema son las ." siguientes:

.

"

=

1)

H.+ kP , .COScp.+~p¡ .cosqJ;

2)

V.+ ~Pi . sencp,+ ~P j .senqJ l+ R R

I

• l

• ,

(o)

"

•

'

¿Pi . [sen cp¡(z,t -

4)

•

.. ..,. .

O

= O

_+1

Z¡) - COSCP¡(YA - Y¡)]

L PI ' [sen CP/ (ZD - Z¡) - COS (P¡(YD - Y¡)]

~

+ [6.19]

+ ~

11.

Ve

(b) !I

¡ti¡. 6.89.

En las mismas se ha elegido, como centro de momentos para el planteQ de la ecuación general "~e momentos, el punto A. por·I~~anto, con respecto al mismo, se anulan los ~omentos de H . y V •. Por 9tra parte, en las ecuaciones de proyecci6n só'bre los ejes, no aparece el par ae empotramiento, por cuanto su proyecci6n es nula. Par"~ simplificar la resolución del sistema de ecuaciones conviene comenzar po~ la última ecuación, que nos' p~n:nite despejar directamente R~, valor que, introducido eri la 3), conduce"cÚrectamente al valor de M •. Las dos primeras ecuaciones son independ"ientgj en H . y V •• por )0 que 8U resolución es inmediata. "'"" .

LOS SISTEMAS PLANOS VINCULADOS

'07

6 . 1 . 11 . Arco a tres articulaciones. Al enunciar en el parágrafo anterior las distintas for; mas en que podían distribuirse las condiciones de vínculo en una cadena cinemática constituida por dos chapas articu_ ladas entre si, mencionamos (d) el caso en que estuvieran aplicadas dos condiciones a cada una de las chapas, constituyendo una estructura denominada arco a tres articulaciones. El nombre deriva del el hecho que, efectivamente, di~ __~ ____~__ _ ~4 _ _ ~ cha estructura posee tres articulaciones: dos de ellas absolutas. constituidas por articulaciones fijas en tierra o por lb ) dos apoyos móviles en cada chapa ~n cuya caso las artiFil:. 6.40. culaciones resultan ficticiasy una tercera que vincula ambas chapas entre sí, o articulaci6n relativlt. En 10 que sigue nos limitaremos al análisis del taso en que las articulaciones absolutas estén constituidas por apoyos fijos, ' por cuanto los correspondiente!! desarrollos, tanto gráficos como analíticos, son directamente aplicables al caso en que se utilicen como vinculos apoyos m6viles o bielas. Consideremos el sistema de la figura 6.40 a, sujeto a tierra mediante una articulaci6n fija en A y otra en S. En primer término analizarem~ si el sistema se encuentra isostáticamente sustentado, y qué condiciones se deben cumplir para que no exista vínculo aparente. Cada una de las chapas del sistema de la figura 6.40 a consideradas independientemente, posee dos condiciones de vínculo directNJ a tierra, es decir, una menos de las necesarias para estar fijas. Evidentemente, para cada una de las chapas la condici6n de vinculo restante debe resultar de su vinculaci6n a la otra chapa. En efecto, consideremos el punto e , articulaci6n relativa, como perteneciente a la chapa S 2' El único gradc de libertad que posee esta última chapa se traduce en la posibilidad d \.

,n

29.

,

girar en torno del punto B, polo de la rotaci6n. Como consecuencia de la misma, el punto C está obligado a desplazarse en la direcci6n non, normal a Be. Ahora bien., e pertenece también a la chapa S1 y, por lo dicho, está otiligado a desplazarse en una direcci6n perfectamente establecida. Pero la existencia del apoyo fijo en A , obliga al punto e a desplazarse también según la normal a AC, resultando, en consecuencia, fijo. Es decir, que a Jos ~fectos de la sustentación de la chapa 5 1' la Sz se comporta como una biela de dirección se, o también como un apoyo m6vil aplicado en e y de dirección normal a Be. Igual razonamiento podemos hacer para la chapa S 2' para cuya sustentación la existencia. de la S, equivale a un apoyo móvil aplicado en e, de direcci6n m-m normal a Ae. En última instancia tenemos que en el punto e e~isten aplicados dos apoyos móviles ficticios, equivalentes a uno fijo, también ficticio, coincidente con 'C, por lo que este punto resultá fijo. Al estudiar la chapa simple isostáticamente sustentada mediante un apoyo fijo y otro m6vil vimos que, si la n~rmal a este último pasa por la articulación fija, existe vínculo aparente. En consecuencia, en el arco a tres articulaciones, para que exista vínculo aparente, es necesario que el apoyo m6vil ficticio a que equivale la existencia de una de las chapas con respecto a la otra pase por la articulaci6n absoluta de esta ú1tima. Para que ello sea posible es necesario que las tres articulaciones se encuentren alineadas, como muestra la figura 6.40 b. Del análisis de la misma surge que e'l punto e, común a las dos chapas, es móvil, por cuanto existen aplicados al mismo dos apoyos móviles ficticios, de direcciones coincidentes, permitiendo asi desplazamientol de e en la direcci6n de los mismos. En consecuencia, se deduce la siguiente condici6n: para que en un arco a tres articuladones no exista vínculo aparente es necesario que 1M articulaciones no se encuentren alineadas. Para la determinaci6n gráfica de las reacciones de vinculo de un arco a tres articulaciones, se procede de la manera siguiente: Supuesta descarlitada la chapa S 2 del sistema de la figura 6.41, equilibramOs la resultante R¡ de las fuerzas exteriores activas aplicadas en S, con dos fuerzas: una, de dirección es, es decir, normal al apoyo m6vil ficticio aplicado en e a la chapa S" y la otra, definida por el punto A y el de intersección M de las rectas de acci6n de R ¡ Y la reacci6n en el apoyo m6vil ficticio en e. La primera de ellas actúa en el apoyo fijo B y la segunda en el aplicado en A, Y corresponden respectivamente a las reacciones de vínculo parciales R ~ y R ~ , originadas exclusivamente por las fuerzas aplicadas en la chapa S 1. encontrándose descargada la S2'

LOS SISTI!.MAS PLANOS VINCULADOS

".

300

EQUIUBRIO D& CUe:JIPOS VINCULADOS

6

sidad, dirección y sentido de las mismas. . Trazando por A y B paralelas a dichos vectores obtenemos las rectas de acción de las reacciones buscadas, con 10 que queda completamente resuelto el problema de su determinación. Las intersecciones de las rectas de acción de R . y R . con las correspondientes a R¡ y R J determinan respectivamente dos puntos E y F, que deben encontrarse alineados con la articulación relativa C. En efec_ to, la resultante de R . y R ¡ debe pasar por E, Y la de R ~ y R J debe hacerlo por F. Por otra parte, el equilibrio del sistema exige que las dos resultantes deben tener la misma recta de acción, igual intensidad y sentidos contrarios y, además, deben pasar por C. En consecuencia, la única posibilidad de que e1lo se cumpla es que E, e y F se encuentren sobre una misma recta. La intensidad y sentido de la fuerza T, resultante de las fuerzas que actúan a la izquierda de la articulación e, están dados en el polígono de fuerzas por el vector 2 - 4, correspondiendo el vector opuesto 4-2, a la resultante - T de las fuerzas que actúan a la derecha de C. Dichas fuerzas corresponden a la reacción interna de la articulación relativa e, cuya interpretación es la siguiente: T es la fuerza que es necesario aplicar a la chapa S ~ para mantenerla en equilibrio bajo la acción del sistema P i si suprimimos la chapa S" , Análogamente, - T es la fuerza que corresponde aplicar a la chapa SI si se suprime la S"

o J Fi¡¡:;. 6.41.

Determinadas estas primeras reacciones parciales, descargamos la chapa S, y suponemos cargada la S •. Descomponiendo ahora la resultante R ¡ de las fuerzas exteriores activas aplicadas en 5 t en 'las direcciones AN y B N obtendremos dos componentes que, cambiadas de signo, corresponden a las reacciones parciales en A y B, R ;' Y R ¿' respectivamente, originadas por e l sistema P i ' cuando suponemos cargada la chapa S, y descargada la S,. Trazando ahora en el polígono de fuerzas, por el extremo del vector representativo de una paralelA al vector representetivo de R:', y por e l origen de este último otra paralela al de le prim'!ra, obtene mos los vectores representativos de las reacciones parciales correspondientes a cada apoyo, ubicados uno a continuación del otro. De esta manera podemos sumarlos geométric3mente. obteniendo así los vector ~s representativos de las reacciones totales R4 y R" que nos defin_~ n la ¡nten-

s,

s, A

R;

y Fi¡¡:;. 6.42.

LOS 8tSTZMAS PLANOS VINCULADOS

La determinaci6n a nalítica de las reacciones de víncuto es simple, y se reduce al planteo de cuatro condiciones de equilibrio, las mismas utilizadas en' la resoluci6n de las cadenas cinemáticas estudiadas en el parágrafo anterior. Consideremos el sistema de la figura 6.42, referido a un par de ejes coordenados. Ponemos en evidencia las reacciones eligiendo como incógnitas las componentes de reacci6n según las direcciones de los ejes coordenados, y planteamos dos ecuaciones de proyecci6n sobre los mismos, y dos ecuaciones de momentos. Una de estas últimas corresponde a la ecuaci6n general de momentos en que interviene la totalidad de las fuerzas exteriores activas y reactivas, y para la que elegimos como centro de momentos el punto A, por anularse con respecto al mismo los momentos de H. y V • . Igualmente podría haberse elegido el punto B. La ecuaci6n restante es la que establece el equilibrio relativo entre ambas chapas, y expresa que la suma de los momentos de las fue rzas que actúan a uno u otro lado de la articulación e debe ser nula con respecto a la misma. En consecuencia, teridremos:

,

-,

•

•

.

1)

1J.+ ~Pi .COS cido correspondiente a una barra) mediante tres fuerzas cuyas rectas de acción coinciden con los ejes de las barras que concurren al nudo. El problema tiene solución si el número de esfuerzos desconocidos es tres. T a nto el procedimiento gráfi co o método de Culmann ext endido al espa· cio, como el gráfico·numérico, que consiste en tomar momentos respecto de tres ejes ubicados en form a tal que se anulen los momentos de dos de los esfuerzos inc6gnitos (procedimiento de Ritter) , han sido exhaus. tivamente tratados en el capítulo 3 relativo a Sistemas Espaciales de Fuerzas, por lo que no volveremos sobre el particular.

7 .2 .6 . Método de Henneberg o de falsa pos ición. Cuando en el reticulado espacial no existe ningún nudo al que sólo concurran tres barras, la resolución analítica resulta compleja y laboriosa por el elevado número de ecuaciones simultáneas que es preciso resolver. Por otra parte, no es posible utilizar ni la solución gráfica ni la gráfico-numérica. En estos casos, cualquiera sea el camino que se siga para la resoluci6n del sistema, la aplicación del método de H enneberg facilita sensiblemente la tarea. Sea el reticulado espacial de la figura 7 . 31 a todos cuyos nudos con· curren cuatro ba rras de vínculo interno, encontrándose además todos ellos solicitados por fuerzas exteriores cualesquiera. La soluci6n analítica media nte el planteo de ecuaciones independientes para cada nudo no es posible, lo mismo que la utilización de los procedimientos de Culmann y Ritter. Si suprimimos la barra 5.8 > por ejemplo, de modo de dejar en el nudo 8 únicamente tres barras concurrentes, será necesario agregar una nueva barra al sistema pa ra que continúe siendo rígido e indeformable. Al ubicar la barra sustituta, deberá cuidarse que la misma n~ signifique un vínculo superabundante que, al mismo tiempo, deje parte del sistema con movilidad. T al sería el caso si colocásemos la barra sustituta

2

l.OS SISTEMAS DE NI ! rCUI..ADO .l;$PAClALES

383

384

SISTEMAS 01;; flETICliL AOO

y, en especial, para la barra sust ituta:

4""', -_ _ _..... 3

[7. 49 ]

5

Entre los infinitos valores que puede asumir X , habrá uno que anule la expr~sión (7.49 ]. Pero si T 4 • 5 es nula, ello significa que el esfuerzo X es el que corresponde a la barra 5-8 en el sistema primitivo por efecto de las cargas exteriores, pudiendo en tal caso suprimirse la barra sustituta sin que el equilibrio del sistema de reticulado resulte afectado. E n consecuencia, podemos despejar el valor de X de!a [7. 49]:

6

,1!{-----==="K;2 (d)

(b)

4 ""'_ _ _ _--,, 3

_ - - - -..... 3

(7.50]

Reemplazando el valor de X dado por la anterior en la (7.48], obtenemos la expresión genérica del valor del esfuerzo e n todas las barras del reticulado: "---~::::::;l.! 2 (d)

(e )

T~

Fig. 1.3 1.

en la posición 6·8 (figura 7.3 1 e), por cuanto el nudo S podría des~ plazerse según la dirección n-n, normal al plano definido por las barras 1_5 y 6-5. La ubicación correcta es la que indica la figura 7.3 l b. En este sistema sustituto estamos en condiciones de calcular los esfuerzos en las distint as barras q ue Jo constituyen, comen zando por el nudo 8, al que sólo concurren tres barr.as ;;;iendo, en consecuencia, de aplicación tanto el método analítico simplificado como los procedi m ientos de Culmann y R itter. Conocidos en el sistema sustituto los esfuer zos debidos a las cargas exteriores, q ue denom inaremos genéricamente T ri ' aplicamos en los. nudos 5 y . 8 del sistem a descargado, según la dirección de la barra suprimida, dos fuer2as opuestas que materialicen un eslueno U = 1 de tracción. Como consecuencia, se originarán en las barras del reticulado espacial esfuerzos T :j. Si la intensidad del esfuerzo auxil ia r aplicado según la ba rra suprim ida fu era X(t) 'e n lugar de ,oser un esfuerzo unitario, los esfuerzos correspondientes a las d istintas barras resultarían mul· tiplicados por X. Superponiendo ambos estados, se tiene :

(7.48 ]

(7. 51]

quedando con ello resuelto el problem a. E n lugar de ubicar una barra sustituta que vincule dos vértices del reticulado, puede fijarse el nudo que resulte móvil, luego de suprimida la barra, m ediante una biela a t ierra, de la misma dirección que la barra . suprimida (figura 7.3 1 d). En tal caso e l esfuer zo auxiliar no es más un esfuerzo en barra sino una fuerza exterior. La resolución del sistema procede en forma similar a la indicada.

7 . 2 .7. Determinaci6n de esfu erzos en bllrras en casos especiales. En ciertos casos, según se(j. la configuración del sistema de cargas exteriores o la disposición del reticulad o, aunque no exista ningún nudo al cual concurran sólo tres barras, es posible determinar tos esfuerzos en tas barlI¿3 . p;. 5,f"~--~6C---~1

>{.1/l

M4 (d )

9

7 -8, pOr las razones anteriores, es nulo. En consecuencia, es posible comenzar la determinación de esfuerzos por el nudo 8, al que ahora concurren sólo tres barras de esfuerzo desconocido y continuar luego el proceso por los nudos 9, 10 , introduciendo en cada uno de ellos el esfuerzo transmitido por la barra que vincula el nudo inmediato anterior como una fuerza externa, que se compone con la exterior aplicada. Cuando existe simetría de figura y simetría de cargas, el problema se simplifica aún más pues, en tal caso, basta determinar únicamente los esfuerzos de las barras que concurren a los nudos de un s610 meridiano, por cuanto las 'de los restantes son iguales por razones de simetría. Esta situación se presenta e n el caso de cúpulas que admiten un eje de simetría vertical cuando se trata de determinar los esfuerzos en las barras originados por el peso propio y las cargas permanentes. Por razones de simetría,

Fig. 7.33.

Por s imetría de fi gura y por encontrarse simétricamente cargados los nudos del paraielo superior, las barras del mismo que concurren a un mismo nudo soportarán esfuerzos iguales. Considerando el nudo 1 tendremos que T .. = T u. En consecuencia, la resultante de ambos esfuerzos tendrá por recta de acción la bisectriz del ángulo 4 - 1-2 y resulta ser coplanar con P, y la direcci6n de la barra 1-5 . Como la cuarta barra que concurre al nudo 1 es exterior a dicho plano, el esfuerzo en la misma debe necesariamente ser nulo. En consecuencia, equilibrando P, con dos .fuerzas dirigidas, una según la bisectriz del ángulo que forman las dos

,

LOS SISTEMAS DE RltTlCULADO ESPAClALM

387

barras del paralelo que concurren al nudo y otra según el eje de la barra 1.5, Y descomponiendo luego la primera según las direcciones 1·2 y 1-4, obtenemos los esfuerzos en las barras que concurren a l . Los correspondientes polígonos de fuerzas aparecen en la figura 7.33 a. Pasando ahora al nudo 5, componemos el esfuerzo transmitido por la barra 5.1 con la carga exterior P a , Y luego equilibramos la resultante R~ de las mismas con fuerzas actuando según la dirección de la barra 5-9 y la bisectriz del ángulo 8-5-6. Finalmente, esta última la descompo-

nemos en las direcciones de las barras 5-6 y 5-8, con lo que tenemos establecido el equilibrio del nudo, resultando nulo, como es obvio, el esfuerzo según la diagonal 5-12 (figura 7.33 b). En el nudo 10, una vez conocido el esfuerzo T ,o-t := To~&, se 10 equilibra mediante tres fuerzas cuyas rectas de acción sean los ejes de las barras 10~9 y 10-11 y el de la biela vertical aplicada en 10, lo que nos permite obtener el valor de los esfuerzos en las mismas.

390

LOS SISTaMAS D& AUlA LLII:NA

8

8. Los sistemas de alma llena. 8. l . Sistemas pJanos de alma llena.

\

8. 1 . l . Definiciones.

el

.,

En capítulo 7 nos ocupamos del equilibrio de los sistemas discretos de puntos materiales, vinculados entre sí mediante las condiciones estric· tamente necesarias para mantener sus distancias relativas invariables. Tales sistemas, que denominamos sistemas de reticulado, reciben también el nombre de sistemas de alma calada. Sea, figura 8.1 a, 8-S una línea plana contenida en "Un plano l"t y F una figura cualquiera normal a aquélla, que se desplaza en forma tal que su baricentro pertenezca en todo momento a la línea. En su desplazamiento, la figura engendrará un sólido, que podemos imaginar como un conjunto continuo de puntos materiales, cuyas .distancias relativas se mantienen invariables por el vínculo de la rigidez. Si la figura es simétrica con respecto al plano :rt. el sólido engendrado por la figura al desplazarse a lo largo de lJ-lJ, también será simétrico con respecto a :rt. Si además las fuerzas aplicadas al sólido se hallan simétricamente dispuestas con respecto al mismo plano, cada par de c!lrgas P: y P~' admitirá una resultante P, cuya recta de acción se hallará contenida en el plano de simetría de la figura. Si, fin almente, los vínculos son también simétricos, sus reacciones podrán ser reemplazadas con fuerzas reactivas R 1 , actuantes en e l 'Plano 11: . De ahí que, a los efectos del estudio del equilibrio del sólido, podamos reemplazarlo por una chapa -materialización del plano :n: de simetría- denominada de alma llena, sujeta a la acción del sistema P I . contenido en la misma. El equilibrio de una chapa de esta naturaleza establece el correspondiente al sólido primitivo. Supongamos que la chapa de la figura 8. 1 a. se encuentra en equilibrio bajo la acción del sistema de fuerzas P" RJ Y R , activas las primeras y reactivas las dos últimas. Imaginemos una sección n-n cualquiera, normal a la curva directriz. Llamemos R, a la resultante de las fuerzas que actúan a la izquierda de n-n (en lo sucesivo, resultante izquierda) y R, = -R,. a la de las

R, (d)

(e)

(d)

(e) F i¡. 8.1.

391

SISHMAS PLANOS Da ALMA LLENA

que actúan a la derecha de la sección considerada (resultante der~ha). Por razones de equilibrio ambas resultantes son fuerzas opueStas que intersecan la sección non considerada en un punto A. Reduciendo ambas resultantes al baricentro de la sección mediante la aplicaci6n en el mismo de un nuevo .s istema nulo R; = de rectas de acción paralelas a las del anterior y tal que IR. I = I R í I (fig. 8.1 b), obtenemos. tanto pal'a el sistema que actúa a la izquierda de la sección como para el que lo hace a su derecha, dos nuevos sistemas equivalentes, constituidos cada uno por un par y una fuerza aplicada ~n el baricentro. Los momentos de los pares valen

-R;,

M.

=

R • .d

Md

=

R d. d

}

[8.1J

donde d es la distancia que separa ambas rectas de acci6n, siendo sus sentidos contrarios. Por otra parte, a. las fuerzas y aplicadas en el baricentro 'de la sección podemos descomponerlas e n componentes normales a la secci6n y contenidas en el plano de la misma, indicadas con :N. y Q en la figura 8.1 c. El .conj unto de los dos pares M y -:Al! constituye lo que en lo sucesivo denominaremos momento l1exor en la secci6n y cuya definición es la siguiente: Se denomina momento l1exor .M en una secci6n, el par de pare3 que actúan normalmente a uno y otro lados de la misma, cuyo.! momento.! corresponden a los momentos con respecto al baricentro de la &eeci6n de las resultantes jzquierda y derecha, y cuyo siAn viene dado por el momento de la resultante iZqUierda, o el de la derecha con siAno contrario. AnálOAamente, definiremos como esfuerzo de corte o tan¡ferlciaJ en una secci6n al conjunto de las dos fuerzas Q, cuyas rectas de acci6n se encuentran contenidas en el plano de aquélla, y cuyas intensidades corres.. ponden a las pro}'IeCCiones de las resultantes izquierda o derecha sobre el plano de la sección y cuyo signo 10 define la proyecci6n de la resultante izquierda. Finalmente, las proyecciones de las reB ultant~s iz.q uierda y derecha normales a la sección nos permiten definir como esfuerzo normal o esfuerzo axi! al conjunto de las dos fuerzas aplicadas en el bsricentro de la &ecc;ón romiderada, cuyas rectas de acción ron normáles al plano de la misma y cuylNl intensidades corresponden a las proyecciones sobre dicha direccl6n de la resultante izquierda y derecha. El signo del esfuerzo normal depende de si la sección resulta solicitada por tracción o compresi6n. En el primer caso será positivo, y negativo en el segundo. En cuanto a los signos del momento de la resultante izquierda y de su proyección sobre el plano de la sección, corresponden a la convenci6n adoptada en el capitulo 1.

R:

R;

LOS SlST1tMAS DI!: ALMk LLl!:NA

8

El momento f1exor, el esfuerzo de corte y el esfuerzo normal constituyen los tres esfuerzoa característicos, o simplemente características, de la secci6n considerada, y pueden ser concebidos también como resultado de .Ja descomposición de las resultantes izquierda y derecha en tres componentes cuyas rectas de acción sean la recta impropia del plano (par) y dOl rectas propias, una normal a la sección que pase por su baricentro y otra con\tenida en el plano de la misma. Volviendo a la figura 8.1, si imaginamos suprimida la parte de la chapa ubicada a la · izquierda de la sección n-n , la pa'r te derecha no 'Se encontrará más en equilibrio. Para restituirlo será necesario aplicar a la sección una acci6n equivalente en sus efectos a la parte suprimida, es decir, la resultante izquierda o bien sus tres componentes .7vf, :N. y Q mencionadas (figura 8.1 d). Si, en cambio, se suprime la parte derecha, deberá aplicarse a la sección la resultante derecha o sus componentes (figura 8 . 1e). Los tres esfuerzos característicos de una secci6n podemos obtenerlos también en la forma indicada en la figura 8 . 2. En lua:ar de reducir la resultante izquierda (o derecha) al baricentro, la suponemos aplicada e n el punto A en que su recta de acción corta la sección, y la descomponemos según las direccione¡ normal a la sección y contenida en la misma, reduciendo luego la componente normal al ·baricentro de la sección, lo que nos conduce a un sistema equivalente constituido por el par de momento M = N~ . e y a la fuerza axil N aplicada en el baricentro. El momedto del par así obtenido es igual al de la resu1tante izquierda respecto de G, 10 que es fácil de comprobar por aplicación del teorema de Varignon. Fil. 8.2. Esta forma de concebir los esfuerzos caracteristicos de una sección facilita la determinaci6n de los mismos en ciertas eStructuras mediante el trazado del denominado políl?;ono de prasit)ne!, en el caso que la carga esté constituida por fuerzas concentrada'3, o de la curva de presiones cuando la carga es distribuida.

8. 1.2. Determinación de los esfuerzos caracteristicos.

Los tres esfuerzos característicos de una secci6n constituyen las rea clones internas de la misma. En efecto, hemos visto en el parágrafo anterior que, efectuada una sección en una chapa de alma llena, en equilibrio bajo la acci6n de un sistema de fuerzas exteriores, si se suprimía la parte

SISTSMAS PLANOS DE ALMA LLENA

393

ubicada a un lado de aquélla, el equilibrio se rompía y que, para restituirlo, era necesario aplicar a la parte remanente los tres esfuerz03 característicos de la secci6n. Esta situación es semejante a la que se presenta cuando en un sólido vinculado sujeto a un estado de cargas determinado, se suprime uno de los vínculos. P ara restituir el equilibrio, es necesario aplicar, en lugar del vínculo suprimido, la reacci6n -en este caso externa- que aquél es capaz de desarrollar. En una chapa de alma llena, sujeta a la acci6n de un sistema de fue rzas exteriores en equilibrio, en general, tanto el momento flexor como los esfuerzos de corte y normal varían de secci6n en secci6n. Como veremos más adelante, en ciertos sistemas de alma llena y para determinados estados de carga, puede ocurrir que los -esfuerzos característicos, o por lo menos uno de ellos, se mantengan constantes en una determinada parte o en todo el mismo. Interesa conocer, pues, cómo varían de secci6n en secci6n los esfuerzos característicos de las mismas. Consideremos el sistema de alma llena de la figura 8.3 a, vinculado a tierra mediante una articulación aplicada en A y un apoyo móvil en B, sujeto a la acci6n de las fuerzas concentradas P " ... , p •. Determinadas las reacciones de vínculo, sea gráfica o analíticamente, trazamos un polígono funicular de las cargas ubicando el polo del mismo en el origen del vector representativo de R " en el polígono de fuerzas. Si hacemos pasar el primer lado del funicular por A , el mismo coincidirá con la recta de acci6n R A , por cuanto el primer rayo polar, del que es paralelo, se confunde con el vector representativo de R " . El segundo lado del funicular pasará por M, intersección del primero con la recta de acción de p . y será paralelo al segundo rayo polar R ¡. El último lado del fu nicular coincidirá con la recta de acción de R II , por ser paralelo al último rayo polar, que precisamente coincide con el vector representativo de aquella reacción. El polígono funicular osi trazado A , M , N, S, T, B recibe el nombre de políAono de p nesiones y, para una secci6n cualquiera, tal como la n-n, el lado del funicular mencionado que corta la m isma constituye la recta de acci6n de la resultante izquierda (o derecha) de la secci6n considerada. estando dadas su intensidad y sentido por el rayo polar correspondiente. En efecto, el primer lado del funicular coincide con la reacción R" , que es la resultante izquierda para todas las secciones comprendidas entre A y M' -punto este último determinado por la intersecci6n del eje de la chapa con la recta de acción de p.por cuanto entre ambos puntos no actúa ninguna otra fuerza. Al pasar a una secoión ubicada a la derecha de M I la resultante izquierda la oh-

396

LOS IUSTEMAS DE

~

LLENA

8

8. l. 3. Diagramas de esfuerzos característicos. Sea el sistema de alma llena de la figura 8.4, representado por su eje, en equilibrio bajo la acción del sistema de fuerzas exteriores activas P, y reactivas R .. y R s' Supongamos haber determinado, para distintas secciones s -a del mismo, Jos valores de .M , Q y :JI(. Si, a partir d e un eje de referencia cualquiera M N Y en una direcci6n arbitraria -vertical en el caso de la figura-, llevamos, en correspondencia con la vertical de cada sección, segmentos KK' que, en una escala determinada, representen los valores de los correspondientes momentos flexores (figura 8.4 a), el lugar geométrico de Jos puntos así obtenidos, constituyen una figura denominada diaArama de momentos flexores. Procediendo en forma similar con los esfuerzos de corte y normales, es posible construir diagramas análog~s para ambos esfuerzos característicos (figura 8.4b y e). Los diagramas de moF i¡.8.4. mentas flexores, esfuerzos de corte y esfuerzos normales, permiten obtener de inmediato y para cua'l quier secci6n el valor del esfuerzo característico correspondiente. Bastará para ello trazar por la sección considerada una recta de la direcci6n para la cual ha sido trazado el diagrama. El segmento definido por ésta entre el eje de referencia y el diagrama propiamente dicho, leido en la escala correspondiente, da el valor de la característica buscada en

SISTBMAS PLANOS DE ALMA LLE-NA

'97

magnitud y signo, por cuanto los diagramas se orientan conforme con las convenciones adoptadas. Permiten, por otra partel formarse una composición de lugar sobre la forma en que varían de sección a sección los esfuerzos característicos, y en cuáles de ellas alcanzan sus valores máximos, mínimos y nulos.

8.1.4. La viga simple de eje rectilíneo. Entre los sistemas de mayor utilización en la práctica de las construcciones se encuentra la denominada viga simple de eje reotilíneo o, más comunmente, viga simplemente apoyada. Imaginemos un sistema de alma I1ena, de longitud muy grande con respecto a sus dimensiones transversales, cuyo eje baricéntrico (enten. diendo por tal el lugar geométrico de los barlcentros de las sucesivas secciones) sea una recta, y que se encuentre sustentado a tierra mediante un apoyo fijo y otro móvrl, este último de dirección vertical. El sistema asi concebido se denomina villa simplemente apoyada. Para la misma, cuando las cargas, concentradas o distribuidas, son verticales, también lo serán las reacciones de vinculo (figura 8.5 a). El caso más corriente es aquél para el que el eje de la viga es horizontal (figura 8.5 b). En este caso, como veremos de inmediato, para todas las secciones el esfuerzo normal es nulo.

A

IR A I

,I

A (d)

t. I I

I

I

Fil. 8.'.

En efecto, siendo el eje de la viga horizontal, todas sus secciones serán verticales. Por otra parte, hemos definido el esfuerzo normal como el conjunto de dos fuerzas aplicadas al baricentro de la sección y actuantes a uno y otro lado de la misma, cuya intensidad está' dada por la proyección normal al plano de la sección de la resultante de las fuerzas situadas a la izquierda o a la derecha de aquélla. Como en el caso que

'98

LOS SISTEMAS DIt ALMA LL&NA

8

no!; ocupa, todas las fuerzas -activas y reactivas--- son verticalfS; es decir, paralelas al plano de la sección, la resultante de las mismas también lo será y, en consecuencia, su componente normal a aquélla, es decir, el esfuerzo normal, será nulo. Para la viga simplemente apoyada, el trazado de los diagramas de características puede realizarse tanto gráfica como gráfico-numéricamente. Si las cargas aplicadas a la viga son continuas, cabe también la determinacitÍn analítica de funciones que nos den las variaciones del valor de las tres caracterlsticas a lo largo del eje de la viga. Consideraremos primeramente la determinación gráfica de los diagramas de momentos flexores y esfuerzos de corte de una viga simplemente apoyada, de eje horizontal, sujeta a la acción de un sistema de fuerzas concentradas (figura 8.6). Hemos visto en 7. 1 . 7 que, para un sistema de fuerzas paralelas en equilibrio, las ordenadas del polígono funicular de las mismaSj referidas al lado de cierre, nos dan los valores de los momentos de la resultante izquierda Con respecto a los puntos ubicados sobre la vertical coinci· dente con la ordenada. Ahora bien, de la definición de momento flexor en una sección sabemos que precisamente éste resulta, en valor absoluto y signo, igual al momento de la resultante izquierda de la sección considerada con respecto a su baricentro. En consecuencia, el polígono funicular, refl'¡fido al 'iado de cierre, nos da, en este caso, directamente el diagrama de momentos flexores de la viga simplemente apoyada. En la figura 8.6, una vez llevados uno a continuación de otro -por tratarse de fuerzas paralelas- los vectores representativos de las distintas fuerzas en el orden en que aparecen al recorrer la viga de izquierda a derecha, elegimos un polo arbitrario O y trazamos un poligono funicular . cuyos lados extremos, al cortarse con las verticales de los apoyos, determinan dos puntos M y N que, unidos mediante una recta, definen el lado de cierre del polígono funicular. Trazando por O una paralela a dicho lado de cierre, la misma determina sobre el poligono de fuerzas un punto K que define los vectores representativos de las reacciones de vínculo R A, y R s' Como el polo O fue elegido en forma arbitraria, el lado de cierre resulta inclinado, Interesa generalmente que los diagramas de características estén referidos a ejes horizontales. Para que ello ocurra es necesario que el lado de cierre también lo sea. En consecuencia, si se desea rectificar el diagrama de momentos flexores, bastará trazar por K en el polígono de fuerzas una horizontal (rayo polar paralelo al ,lado de cierre) y ubicar sobre el mismo el nuevo polo. Si deseamos Que el diagrama rectificado resulte en la misma escala que el primitivo, será necesario mantener la misma distancia polar, por lo que el nuevo polo O ' se encontrará en la intersección de la horizontal trazada por K y la

SISTllMAS PLANOS DE ALMA LLENA

'99

vertical bajada por O. Tratando con este polo un nuevo polígono funicular, como es fáCil de observar en la figura, los lados extremos del mismo determinan sobre las verticales de los apoyos dos puntos M 1 y N 1 ubicados sobre una recta horizontal.

P,

lse. ~ ("erUj

ex RglCI'rl Ese. de/ang. {3m/cf\'\ Ese. de ., / CX.¡3.h R9"Vcrn

Fig. 8.6.

La rectificación del diagrama de momentos flexores puede realizarse tambié n sin necesidad de recurrir al trazado de un segundo polígono funicular. Basta para ello trazar el eje M , N , horizontal, y llevar normalmente al mismo, sobre las verticales de las fuerzas aplicadas, segmentos S I T I = ST, utilizando para ell.o regla o compás de punta seca. Uniendo mediante se¡zmentos de recta los puntos sucesivos, obtenemos el diagrama rect:ificado. Para determinar el signo del diagrama de momentos f1 exores se procede como sigue: Consideramos una sección tal como la n-n, el signo

400

LOS S ISTEMAS DE ALMA LLENA

8

de cuyo momento flexor resulte de un análisis simple. Para la sección n_n. la resultante izquierda se reduce a la reacción R" y su momento respecto de n_n es, de acuerdo con la convención adoptada. positivo. En consecuencia. la ordenada M .. , que en el diagrama mide el valor de dicho momento flexor. será positiva. Como, en el caso presente, todas las ordenadas del diagrama de momentos f1exores quedan ubicadas de un mismo lado del eje de referencia, serán todas positivas, siendo éste, en consecuencia, el signo del diagrama. En lo que sigue. para la representación de los diagramas de momentos flexo res en vigas simplemente apoyadas, convendremos en llevar hacia abajo las ordenadas positivas y hacia arriba las neAativa3. Al trazar gráficamente el diagrama de momentos f1exores,' debe prestarse atención a la ubicación del polo con respecto al polígono de fuerzas, con el objeto de que el diagrama resulte orientado de acuerdo con la convención adoptada. Para que ello se- cumpla, basta observar la sencilla regla s iguiente: para una sección cualquiera, el signo del momento respecto del polo del vector representativo de la correspondiente resultante izquierda debe ser igual al de ésta con respeeto a l baricentro de la sección. Por ejemplo, en la figura 8.6, para la sección n-n el momento de R A es positivo. En el polígono de fuerza~ el !IJlomento del vector representativo de ~ A respecto de O (ó de O') también lo es. En consecuencia, el diagrama resulta orientado de conformidad con la convención adoptada. Es fácil observar que, si el polo O lo hubiéramos elegido a la izquierda de los vectores representativos de las fuerzas, el poligono funicular, y con él el diagrama, hubieran resultado ubicados por encima del eje de referencia, es decir, en sentido contrario al correspondiente a la convención. El trazado del diagrama de esfuerzos cortantes, una vez determinadas las reacciones de vínculo, es inmediato por cuanto, para cada sección que se considere, el esfuerzo de corte viene dado directamente por la resultante izquierda, en magnitud y signo. El diagrama de esfuerzos de corte será discontinuo y estará constituido por tramos paralelos al eje de referencia, estando ubicadas las discontinuidades en coincidencia con las verticales de las fuerzas aplicadas. En efecto, para cualquier sección comprendida entre la extrema izquierda y la infinitamente pró"ima a la izquierda del punto de aplicación de P iel esfuerzo de corte será CMStante e igual a R ". Para la sección infinitamente próxima a la derecha del punto de aplicación de p ), la resultante izquierda se obtendr~ restando P 1 de R ". y su valor se mantendrá constante hasta la sección infinitamente próxima a lIi izquierda del punto de aplicación de PI' Al pasar a la derecha de este último, será necesario restar el valor de P I ' Ratonando en forma semejante, llegamos finalmente hasta la sección infi-

SISTltMAS PLANOS DE ALMA LLENA

401

nitamente próxima al extremo derecho de la viga (B) Y. para esta sección, por razones de equilibrio, es evidente que R ¡ = - Rll . Gráficamente, el trazado del diagrama de esfuerzos de corte se efectúa de la manera siguiente: ubicado en el polígono de fuer zas el punto K, que define las reacciones 'de vínculo, se adopta como eje de referencia una horizontal que proyecte al mismo. Trazando ahora una horizontal por el extremo del vector representativo de R /I, ' la misma constituirá la ordenada del diagrama de esfuer zos de corte para la parte de viga comprendida entre el extremo izquierdo y el punto de aplicaci6n de P ,. Proyectando luego horizontalmente el extremo del vector representativo de P" dicha horizontal será el diagrama para la parte comprendida entre P , y P a. Procediendo en forma análoga para las fu erzas restantes, completamos el trazado del diagrama. El signo del esfuerzo de corte en una secci6n será directamente el de la resultante izquierda correspond iente a la misma. Tenem03 así que, para la sección extrema izquierd~ el esfuerzo de corte es directamente R A y, como su vector representativo está dirigido según el semieje negativo de las y, gerá, en consecuencia, negativo. D~ modo que a la parte del diagrama ubicado por encima del eje de referencia corresponde signo negativo, y positivo a la parte inferior. Para el trazado del diagrama de momentos flexores por el procedimiento gráfico-numérico es necesario previamente determinar las reacciones de vínculo, lo que en general se efectúa analíticamente. Por tratarse del equilibrio de un sistema de fuerzas paralelas, las condiciones necesarias y suficientes para establecerlo son dos, expresa bIes sea media nte dos condiciones de nulidad de momentos respecto de dos puntos cualesquiera o bien por una condición de nulidad de momentos y una de nulidad de proyección sobre un eje. E!ita última forma es la que se acostumbra a emplear, eligiendo como centro de momentos uno de los apoyos y como eje de proyección el coincidente con la dirección de las fuerzas. Consideremos la viga de la figura 8. 7. en la que hacemos coincidir con el.extremo B el origen O de un par de ejes coordenados ortogonales, cuyo semieje positivo z coincida con el eje de la viga. Llamando genéricamente Z ¡ ,la abscisa de ·los puntol de aplicación de las fuerzas, l la luz de la viga, y suponiendo R .l positiva, tomamos momentos respecto del apoyo B:

[8.2J de donde

•

.zp¡.z.

[8.3J

•

402

q. A

Fig. 8.7.

En esta última expresi6n el signo (-) indica que el sentido de R Á es contrario al supuesto; es decir, Que está dirigida hacia arriba. Proyectando el sistema sobre el eje y:

[8 .4J despejando R ll e introduciendo R .. con su signo:

[8.SJ Conocidas las reacciones de vínculo, estamos en condiciones de calcular los valores de los momentos f1exores en puntos determinados Que, representados gráficamente en una cierta escala a partir de un eje de referencia, nos definen el diagrama buscado. Para hallar dichos valores aplicaremos simplemente la definición de momento flexor, Es evidente que en las secciones A y B los momentos flexores deben ser nulos, por cuanto la resultante izquierda para la primera y la derecha para la segunda son respectivame':lte R /I, y R B Y ambas pasan por los baricentros de las secciones consideradas. P ara las secciones comprendidas entre A y i!l punto de aplicación de P I. el momento flexor será igual al momento de R .. con respecto al baricentro de la misma. Llamando z la abscisa de una cua lquiera de de ellas, tendremoo M~ = R.A (1 - z), es decir una variaci6n lineal para

SISTEMAS PLANOS VE ALMA U,2NA

403

404

8

LOS SISnMAS DE ALMA u.&NA

el valor del momento flexor.. El val~r máximo ocurrirá para la sección más alejada de A, es decir, en coincidencia con P , . Será suficiente calcular este valor para poder trazar el diagra,ma entre A y P,. Tenemos asi:

[8.6]

Ese f/.lerzas Ct kg/em Ese. long_(3 mlcm Ese . ,';1., . C( .(3. h Il.gm/''''

Análogamente, la variación del momento flexor para secciones comprendidas entre dos fuerzas consecutivas también será lineal, por lo que será suficiente calcular solamente los valores de los momentos flexores en las secciones coincidentes con los puntos de aplicación de las sucesivas fuerzas. Las expresiones de los mismos, de acuerdo con la notación de la figura, son:

M , = R,.(l-z,)-P,(z,-z,) M , = R " . (1- za) - P , (Zl - Z3) M. = R,¡. ( l - ~4) - Pl(Z¡ - z , ) -

- -t,

) p=(%~ -

%3)

P 2(Z2 -

z,) -

•

[8.7]

- P s(zs - z.) . Adoptando un eje de referencia M N, Y llevando en una escala conveniente a partir de aquél, segmentos que, en coincidencia con las verticales de las fuerzas, representen los momentos flexores .J/II" "', .J/II. y, uniendo luego mediante rectas los extremos de los mismos, se complela el trazado del diagrama buscado. Consideremos ahora el caso de una viga sometida a la acción de una carga distribuida según una ley cualquiera (figura 8.8). En este caso el polígono funicular de las carga3 se transforma en curva funicular que, referida como antes al lado de cierre, nos proporciona el diagrama de momentos flexores buscado. ,Para trazar la curva funicular es necesario descomponer la carga en cargas parciales, en forma tal que resulte posible determinar el valor de las correspondientes resultantes y sus rectas de acción; es decir, que sea posible ubicar las verticales que pasan por los baricentros de los diagramas parciales. Para que ello sea posible, estos últimos deben responder a formas que puedan asimilarse sin mayor error a figuras geométricas conocidas, tales como trapecios, rectángulos o triángulos. En la figura 8.8 el diagrama de cargas ha sido dividido mediante las divisorias de carga 1-1; 2-2; ... ; 5-5, en seis superficies, de las que la primera puede asimilarse a un rectángulo, y las restantes, a trapecios. Las respeCltivas ~reas nos dan las intensidades de las correspondientes resultantes R" .. : , R 6 , cuyas re

[8.42J pI

SlSnMAS PLANOS DI: AJ.WA UZNA

4 16

8

LOS SI STEM AS P E ALMA LLENA

obtener e l va lor de la abscisa z de la sección correspondiente y que reemplazada en la [8. 44] , nos da e l m á ximo buscado. D erivando e igualando a cero :

=

% p(I -2z )

=

[8. 4SJ

O ,

de donde:

[8.4 6J

z= IAd .

R eemplazando en la expresión del momento flexor :

[8.47J Sust ituyendo z

= %1

en la [8.4 1J, obtenemos

Q(z) ] .r

y que corresponden, como era dado esperar, el pr imero a la reacción d e vínculo e n A y e l segundo a la reacción en B cambiada de s igno. P or

otra parte, el diagrama corta el eje de referencia, por razont:!s de simetria, en e l centro de la luz, lo que es fácil verificar, anulando la expresión [8.4 1 J y despeja ndo %:

=

O

z

= Y.:!1

[8 . 43J

La expresión del mom ento flexor en la sección s-s la obte nemos tom a ndo momentos con r especto a su baricentro, de las fuerzas situadas a su izquierda, es decir : M(,)

=

M(,)

= 'h p , (I -

y, pl ( 1 - ,) - p(I -,).'h.(I - ,) .) ,

[8 . 48 J

que confirm a el resultado dado por la [ 8.43J . E n la construcción del d iagrama de esfu erzos de corte, una vez cono$=ida la ordenada del mismo en correspondencia de una determinada sección, si se desea t razar la tangente en dicho punto puede aplicarse la siguient e construcción, q ue no es A'J;-_ ' ' __'· ~11~'P;';-(:'::L"":f :. ,-""_' ,,'1:':"·'- -7>:8 otra cosa q ue la interpretación I gráfica de la expresión

Fig. 8 . 13.

Va p(1 - 2 ,%)

~, = %p(l - 1) = O

[8. 44J

que corresponde a una par ábola de segundo grado. El valor del máximo momento fl exor 10 obtenemos derivando la segunda de las [8 . 44] e igualando la derivada a cero, lo que nos permite

1 I

p(z)

dQ(,)

= - -c¡;- .

Sea K un punto del d iagrama de esfuerzos de cort e de la viga de la figura 8. 14. L levando hor izonta lmente a partir del mism o en la esca la de longitudes un segmento K K ' = a (m) , y por el extremo de l m ismo verticalmenF ig. 8 , 14. te hacia abajo, e n la escala de fuerzas, Cltro segmento K ' K " = = p ( k g/m), a(m) = p. a ( kg ) , la recta K K " será la ta ngente en K al d iagrama de esfuerzos de corte. En efecto, con la not ación de la figura y , llamando r:p e l ángulo que forma la t¡:m gente geométrica en K con el eje de referencia, tenemos . p .•

- - = p = t g l:p

•

[8.49 J

SlrrBMAS PLANOS DE ALMA LL&NA

y como p buscada.

=-

418

d Q/ dz, dicha recta resulta ser efectiva m ente la tangente

En lugar de llevar un segmento de longitud a( m) puede llevarse uno de 1 m. En tal caso e l segmento vertical trazado por su extremo será igual a p(kg/ m) leído e n la escala de fue rzas.

8

Determinada la tangente n~n en un punto cualquiera S de la curva funicular, por un polo O arbitrario trazamos paralelas al eje z. a la línea de cierre m~m y a la tangente n-n . las que nos definen sobre una recta vertical ubicada a una distancia cualquiera de O, los puntos 1, 2 Y 3 respectivamente. De la figura tenemos :

La construcci6n del diagrama de esfu erzos de corte, partiendo del diagra ma de momentos f1exores, puede efectuar· se gráficam ente, conci· biéndolo como diagrama !;lerivado de l último, me. diante una simple deri· vaci6n gráfica de la curo va funicular que define e l diagrama.

LOS SISTEMAS DI!; ALMA LLENA

3-1 _

(0-1) tg 'P

[8.53]

2-1 _

(0-"1) tg w

[8.54]

3-2 = (O-l)(tglp - tgw).

[8.55]

Pero, de acuerdo con la [8.52]

3-2 = (O-l).Q(')

[8.56]

de donde

Q(') -

Sea, fi gura 8 . 15, la curva funicular de una determinada carga d isFig. 8 . lS. tribuida que, referida al eje m · m (línea de cierre), constituye un diagrama de mome ntos fl exores. Llamando w el á ngulo que fo rma la línea de cierre con el eje z, de acue rdo con la notación de la figura, tenemos: .:M (z) _

y - z .tg w .

[8 .50]

3-2 0-1

[8.57]

En la expresión anterior, 3-2 debe ser leído en la escala de momentos flexores y 0-1 en la de longitudes, o bien, interpretando el segmento 0-1 como una distancia polar, el esfuerzo de coflte estará dado directamente por el segmento 3-2 leído en una escala igual al cociente entre la escala de momentos f1exores y la longitud representada por la distancia po"lar. En cuanto al sentido de Q (z) será tal que origine I"espe I M, l. actuando M, a una dista!1cia d , del apoyo derecho, y M . a d 2 del mismo apoyo. Las reacciones de vínculo, que deben constituir un par, valen

S H

4'

A

z')

-IM,J+'M,j ¡

[8.83]

440

Por ser M , < O Y M I > O Y mayor que el anterior, el par resultante será positivo. y en conse. cuenda R ,¡ estará dirigida hacia abajo y R /I hacia arriba, pues deben constit uir un par negativo.

I

l I

8

La viga A, B l. está solicitada por dos fuerzas concentradas aplicadas en los puntos M' y N'. constituidas por las accioDeI transmitidas por la estructura AM N B •

P ara las secciones comprendidas entre A y s, el momento f1exor será igual al producto de la in_ tensidad de R ,\ por la diFig. 8.2.5. fe rencia de abscisas entre A y la sección considerada. Su variación lineal y el diagrama estará representado por una recta de ordenada nula en . A. Siendo ' negativo el roo.. mento de R ,L respecto de cualquiera de las secciones, las ordenadas del diagra ma entre A y ti también '¡O serán. Al pasar ahora a una sección ubicada a la derecha de IhS, el momento de la resultante izquierda se incrementa del valor del par M , . Siendo éste también negativo, el d iagra. ma de momentos flexores experimentará un desplaza miento paralelo del mismo signo, válido hasta la acción $' . s' > en que actúa el segundo par. Como M t es de signo contrario a l de M.~ , al pasar a la derecha de s' -s', el desplazamiento del diagrama será de signo contrario al de las ordenadas, e igual en escala· a la intensidad de M , . El diagrama de esfuerzos de corte será constante, por cuanto para cualquier sección la resultante de las fuerzas de la izquierda, se redUCe a R ,t ' y estará representado por ana recta paralela al eje de referencia A" B n .

8 . 1. 10 . Transmisión indirecta de cargas. En cierto tipo de estructuras, las cargas no actúan directamente sobre la parte de las mismas en que se~desea conocer el diagrama de momentos f1exores. Tal el caso de la figura 8.26, donde la carga distribuida p, aplicada en la estructura de barras articuladas A M N B, es transmitida a la estructura portante, constituida la viga simplemente apoyada A , B " por intermedio de las bielas M M ' Y N N '. Como es fácil omervar, el conjunto constituye una estructura isostáticamente sustentada. En efec· to, siendo A y M' puntos fijos, también 10 será M . Análogamente, N también resulta ser fijo y, en consecuencia, la barra N B sólo requiere un vínculo adicional de primera especie para encontrarse fija.

Fig. 8.26.

Una form a de resolver el problema del trazado del diagrama de momentos flexores para el tramo A , B " seria determinar las reacciones en M y N. debidas a la carga P . considerando los tramos AM. M N y N B como vigas simplemente apoyadas. Cambiando de tigno a dichas

SISTEMAS PLANOS DE ALMA LLENA

441

reacciones, obtenemos las accione3 correspondientes sobre A , B " Y luego, ~l trazado del polígono funicular de las mismas, referido a la línea de cierre correspondiente, resuelve el problema. No obstante, el problema se simplifica, mediante la construcci6n gráfica que pasamos a describir, y que involucra los sucesivos pasos que hemos mencionado. Tracemos primeramente la curva funicular de la carga p, referida a la recta A' 8' . Su flecha valdrá, como sabemos, pP / 8. Determinemos ahora los puntos M" y N" en que las verticales de M y N cortan la curva funicular. Trazando las rectas A' M" , M" N" Y N" 8' , la poligona l A' M" N" B' será el polígono funicular de las cargas concentradas Que inciden sobre la viga A , 8, . En efecto, el arco de parábola A' M" es la curv.a fu nicular de la carga parcial AM, Y la recta A' M" puede considerarse como el correspondiente lado de cierre. Trazado un polígono de fuerzas de la resultante pI y elegido un polo O simétrico, la's paralelas a las tangentes en A' y M" a la curva funicular trazadas por O , definen la intensidad de la resultánte de la carga parcial aplicada sobre el tramo AM. Conocida ésta, la para le la por O a A' M" determina en el polígono de fuerzas las reacciones en A y M correspondientes, En forma análoga, las paralelas trazadas por O a las tangentes en M" y N", definen la resultante de la carga actuante sobre M N Y la paralela al lado de cierre M" N" determina las reacciones correspondientes en M y N. Procediendo en forma semejante obtenemos las reacciones en N y B re lativas al tramo N8.

Ahora bien, la acción transmitida a la viga inferior por la biela

M M ' será opuesta a la suma de las reacciones concurrentes en M , es decir, Rj( R~ R;; Y los rayos polares que pasan por el origen y

=

+

extremo de su vector representativo, son respectivamente paralelos, por construcción, a los lados de cierre A' M" Y M " N". los que, en consecuencia serán los lados consecutivos del funicular de dicha fuerza. Otro tanto ocurre con la acción transmitida por la biela N N'. En consecuencia, e l polígono de los lados ' de .cierre es el polígono funicular de las acciones transmitidas a través de las bielas, a la viga inferior, Trazando ahora el lado de cierre definitivo A; B~ uniendo los puntos en que las vertiCales de los apoyos de la estr'uctura inferior cortan los lados extremos del funicular, obtenemos ,el diagrama de momentos nexores buscado. La construcción que hemos descrito, permite obtener simultáneamente los diagramas de momentos nexores correspondientes a las barras AM , MN Y NB. Están constituidos por los arcos de parábola A' M" , M " N " Y N" B', referidos respectivamente a las rectas A' M" , M" N~' Y N " B ', como es fácil demostrar.

442

1.011 SISTEMAS DE ,u,MA LlZl'f A

•

En cuanto al trazado del diagrama de esfuerzos de corte, una vez determinadas las reacciones de vinculo R A Y R " , ea inmediato, por lo que no entraremos en mayores detalles al 'rell~

8 , I , 11, Trazado de diagramas de caracterÍliticas para cargas mixtas, con-

centradas y distribuida¡. Suelen presentarse casos en Que la solicitaci6n externa de una viga esté constituida por cargas concentradas y distribuidas, El trazado de 10'3 diagramas de momentos flexores y esfuerzos de corte, no difiere de lo que hemos visto. Basta para ello reemplazar las cargas distribuidas por sus correspondientes resultantes, y trazar el polígono funicular del sistema de cargas. Este polígono funicular debe ser corregido en correspondencia con las cargas distribuidas, trazando las curvas funiculares inscriptas en el polígono, que generalmente serán parábolas de segundo o tercer grado. Refiriendo luego el polígono funicular 21 lado de cierre. se tiene el diagrama de momentos flexores buscado. Qtro tanto ocurre con el diagrama de esfuerzos cortantes, que debe también corregirse para las zonas correspondientes a las cargas distribuidas. Puede ocurrir que una carga concentrada incida superpuesta con una carga distribuida. En este caso, se elige la recta de acci6n de dicha fuerza concentrada como línea divisoria de la carga distribuida, ' operando con dos resultantes parciales. La curva funicular presentará un punto singular en correspondencia con la recta de acción de la carga concentrada. Las dos tangentes extremas Que se cortan sobre dicha recta de acción son, a la vez, los lados del funicular de la carga concentrada.

X

8 , 1, 12 , P6rticos. Definiciones.

Denominaremos p6rtioo en 10 que sigu~ a 'toda estructura constituida por una sucesiÓn de barras, de eje rectilíneo o curvilineo, vinculadas entre sí y a tierra, de modo de constituir una estructura isostát icamente sustentada. Cuando los ejes de las barras son curvos, suele denominárselos 8l'C()8. La figura 8.27 muestra ejemplos distintos de pórticos, constituidos los (o) y (b) por una única chapa, los (e), (d) y (e) por dos chapas, y el (1) por tres. Distinguiremos entre pórticos simples y múltiples, correspoitdiendo la primera denominación a aquellos p6rticos de u.n,a sola hu: o tramo, la segunda a los de dos o más (figura 8.27/).

SfST1.""AS PLANOS DE ALMA LL1:NA

443

444

LOS SfsnM AS DIt .o.LMA LlANA

8

Fig. 8 28.

(e)

(dJ

Al analizar más adelante, en detalle, el trazado de 10.; diagramas de características en pórticos, estudiaremos las relaciones que vinculan entre sí las tres formas de expresar las cargas distribuidas en piezas inclinadas. Antes de proceder al trazado de los diagramas de características, es necesario establecer las convenciones de signo a seguir. Estas convenciones son las siguientes: a) Momentos flfttores.

Ell , 1 1 Filt> 8 . 27.

Los elementos verticales o indinados de los pórticos se denominan pilares, y los horizontales, viAa o dintel del pórtico. "

La figura 8.27 e muestra un tipo de p6rtico denominado atirantado. Está constituido por dos chapas articuladas entre sí y vinculadas por una biela (o tirante), e rticulada a cada una de las chapas. El conjunto es rígido e indeformable, poseyendo tres grados de libertad, por lo que re· quiere tres cond iciones de vínculo a tierra para su fijación. Las cargas que solicitan a los pórticos pueden ser concentradas o distribuidas, o una combinación de ambas. En cuanto a su dirección, pueden ser verticales, horizontales o normales a la dirección de las piezas indinadas. Para estas últimas, las cargas distribuidas pueden estar dadas por metro lineal de proyección (vertical u horizontal), por metro lineal de desa rrollo de la pieza o bien normales a la misma. lJa figura 8.28 aclara los tres casos mencionados.

Para piezas horizontales o indinadas, el momento flexor estará dado en magnitud y signo, por el momento de la resultante de las fu erzas de la ,izquierda de la sección considerada, con respecto al baricentro de la misma, o de la derecha con signo contrario. Para las piezas verticales, se tomará el momento de la resultante de las fuerzas ubicadas por debajo de la sección considerada, o el de la resultante de las que quedan por encima, con signo contrario. b) Esfuerzos de oorte.

Para piezas horizontales o inclinadas, se considerará en magnitud y signo, la componente paralela al plano de la sección considerada, de la resultante de las fuerzas a la izquierda de la misma. En caso de trabajar con las fu erzas de la derecha, se cambiará el signo. Para piezas verticales, se considerará la proyección sobre el plano de la 'sección considerada, de la resultante de las fuerzas ubicadas por debajo de aquélla, o la correspondiente a las que actúan por encima de la sección, pero con signo cambiado.

e) EsJuerzos normales. Tanto para piezas verticales, horizontales o inclinadas, el esfuerzo normal estará dado en magnitud por la proyeceión normal al plano de la sección, de la resultante de las fuerzas ubicadas a un lado de la misma.

SIST1!MAS PLANOS DI: ALMA LutNA

445

446

J,.()S

SUITEMAS DE AI:.WA t.L&NA

•

En este caso, es indistinto que se trabaje con las fuerzas de la izquierda o de la derecha, de abajo o de arriba, por cuaRto el signo del esfuerzo no rmal resulta de 'Si la componente axi! de la resultante considerada com prime o tracciona la secci6n. En el primer caso el esfuerzo normal será ne¡jldivo y en el segundo, pmitivo.

cular de las fuertal que actúen IObre el mismo. .t.ste, referido al primer lado comenzando por la izquies-da --o por abajo según el calO-- nos dará el diagrama de momentos f1exores buscado. Dicho primer lado le hace coincidir con el eje del tramo correspondiente, a e fectos de que el die/Vama de momentos flexor es resulte referido al eje de la pieza.

Finalmente, es necesario establecer una convención para la representación de los distintos diagramas. En lo que respecta a los diagramas de momentos flexores , convendremos en llevar las o rdenadas positivas en el sent ido en que actúan las fuerzas aplicadas en e l tramo para el q ue se traza e l diagrama, y las neAativas en sentido contra.rio. Para el diagram,a de esfuerzos de corte, llevaremos las orden,adas con el mismo sentido que la componente de la resultante izquierda o de abajo, q ue da origen al esfuerzo de corte. E n cuanto al di,agram.a de esf.uerzos normales, es indistinto el sentido en que se dibujen los di.agramas. No obstante convendremos en representar hacia la derecha y hacia abajo, las ordenadas positivas.

Considerem os el pórtico de la figura 8.29, sujeto a la acción de dOl cargas concentradas P I y P" aplicadas en los pilares, y una carga uniformemente distri buida de intensidad P. actuando sobre el dintel El pórtico posee un tramo en voladizo DE.

P or ettar los pórticos conMituidos por una sucesión de tramos, los diagra mas de car acterísticas 'Se subdividirán en diagram as parciales, correspondiendo uno a coda 'tramo. E stos diagramas parciales se acostumbra a referirlos a los ejes de las distintas bar-ras que constituyen el pórtico. Existen tres procedimientos para el trazado de diagra mas de característica~ en pórticos:

a) Gtilfioo. b) Grifioo-numérico. c) Numérico o anaHtico. A continuación, trataremos los tres métodos, desarrollando ejemplos a ·los efectos de aclarar conceptos. "

8 . 1 . 18 . Método grMico para el trazado de diagramas de características en pórticos. a) MomentO/J /lexot"OB.

Hemos visto a nteriormente, que las ordenadas comprendidas entre el polígono funicula r de un sistem a de fuerzas paralelas y su primer lado, en la escala correspondiente, nos dan los valores de los momeotos de las fuerzas ubicadas a un lado de la sección que se consid.ere. Como por definici6n, este último concepto corresponde al del momento (laxar, en u.n pórtico determinado bastará trazar, para ca da tramo, el polígono funi-

Determinadas las reacciones de vínculo -gráficamente en e l ejemplo considerado-, construimos un polígono de fuerzas, comenzando por R ... Y llevando una a continuación de la otra, las fuerzas y reacciones, en el orden en que aparecen recorriendo la estructura en sentido cíclico. Considerem os primeramente el tramo A C. Sobre el mismo actúan la reacción R ... y la fue rza exterior P I. El momento de R... respecto del baricentro de una secci6n cualquiera será, de acuerdo con el !teorema de Varignon, igual a la suma de los momentos de sus componentes norm a l y paralela al eje de la pieza. D e estas últimas, la aegunda tiene momento nulo respecto del baricentro de cualquier lección, por pasar I U recta de acción por el mismo. En consecuencia, interesa sólo el momento de la componente normal al eje de la pieza. Lo mismo ocurre con las fuerzas exteriores aplicadas. En este caso especial, por ser PI normal al eje de la pieza, IU componente &xii es nula. Trazado en el polígono de fuerzas un eje m-m, normal a l eje de la pieza A C, proyectamos el origen y extremo de los vectores representativos de R ... y Po¡, obteniendo los vectores l~O y 2-1, que corresponden a las componentes normales al eje de AC de las fuerzas que actúan sobre el mismo. E l polígono funicular de estas fuer zas, referido a su primer lado, será el diagrama de momentos flexores para e l tramo AC . Como dicho primer lado debe coincidir con el eje del tramo, el rayo polar correspondiente, que debe pasar por el origen del vector 1-0 debe ser paralelo a A C . Trazando, en conaecuencia, por O una paralela a AC obtenemos el primer rayo polar, sobre el qUe d ebe encontrarse e l polo 0 1.

La distancia polar h , la fijamos de modo que el diagra ma de momentos f1exores resulte en una escala conveniente. F a lta sólo ubica!' 1a posición del polo. P ara hacerlo, razona mos como ligue : En una sección infinitamente próxima a la derecha de A, el m~ m ento flexor tendrá el signo del momento de R J. respecto del baricentro de la m isma, es decir, positivo en este caso. Como hemos convenido en representa r las ordenadas positivas en el sentido en q ue actúan lal fuerzal exteriores. corresponde que dicha ordenada esté dirigida hacia adoniro

SI SttMAS PLANOS DE ALMA LLENA

1

I,,

"

447

del pórtico, y .como relsulta med ida entre el segundo y el pri~ er lados del funicular, se t iene que este segundo .lado debe estar dirigido hacia el interior del pór tico, siendo su pendiente con respecto a la horizontal trazada por A , menor que la del primer lado. E n consecuencia, el polo O, deberá encontrarse ubicado hacia afuer a, a efectos de q ue la pendiente del rayo polar 0 , . 1 resulte menor que la del 0 , - 0 . Ubicado en esta forma el polo O 1 trazamos e l polígono funicular haciendo coincidir su primer lado con el eje del tramo A c. El segundo lado pasará por A , punto en que el primer lado corta la recta de acción de la componente tangencia l Q" de R " . E l segundo lado corta la recta de ·acción de PI en M, punto por donde pasa el tercero y último lado que, prolongaClo hasta la normal a AC trazada por C, define la ordenada ce', que representa en la escala correspondiente, el momento flexor. en la sección extrema derecha de la pieza A C . Pasemos a analizar ahora el dintel del pórtico. La concurre ncia en D de t res p iezas: CD , BD y D E, hace necesario considerar independientemente dos partes del d intel, el tramo e n y el voladizo DE . Si imaginamos reducido el sistema R " , P , - fuerzas aplicadas en AC- al centro de reducción C, nos enconrtTamos que en el nudo e actúan una resultante y un par de reducción. La re"3ultante de reducción lo se rá de las fuerzas R ,1 Y P l1 Y el par tendrá por momento al momento respecto de C de aquéllas dos fuerzas, es decir que su intensidad será la del momento f1exor en e, representado en el diagrama por la ordenada ee'. En consecuencia, al analizar el t ramo e D , debemos considerar las sigu ientes acciones exteriores: una fuerza R e Y un par M fJ , aplicados en e, y la carga distribuida sobre C D, cuya resultante es R ; = pi, . El efecto del par será consttante a 19 largo de la pieza, 10 que gráficamente equivale a trasladar el eje de r~érencia CD paralelamente, asimismo, de la distancia CC" = ce', que en escala representa el momento flexor en e ( igual al momento del par). Estamos ahora en condiciones de t razar el diagrama de momentos flexores para el tramo C D. Proyectando en el polígono de fuerzas los vectores representativos de R o y R~ sobre el eje n _n normal a CD. obtenemos los vectores 1..() y 2-1, representativos de las componentes tangenciales de R e y R ;, respectivamente. El primer rayo polar debe ser paralelo a C D . Trazando, en consecuencia, por O una paralela a C D, ubicamos sobre -esta recta el polo O 2 a la misma distancia polar h utilizada para el polígono funicu lar correspondiente al tramo AC, con el objeto de mantener la escala del diagrama de momentos flexores. Un razonamiento análogo al efectuado para el t ramo A C. nos cond uce a que el polo debe estar ubicado hacia afuera del polígono de fuer-

448

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Fig. 8 .29

R (a )

P,

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/\--Ro ----/ lA.

o~/ ~, /

'\ .............

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'\,'~\'

R

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\ \ " ',\ 1>,', Ro

449

450

8

LOS SISTEMAS OE ALMA LUNA

zas. El primer lado del funicular será paralelo a e D y pasará por e", concurriendo en este punto con el segundo lado. que a su vez cortará la recta de acción de R ; en S, punto éste por donde pasará el tercero y último lado. El tercer lado determina sobre la vertical de D , un segmento DD" que en la escala de momentos representa el momento f1exor en la sección extrema derecha de la pieza e D , es decir, infinitamente próxima a la izquierda del nudo D.

,

'a

t;------'''''':;I 2

Por tratarse de una carga distribuida uniformemente, el segundo y tercer lados del funicular aSl trazado son las tangentes extremas del arco de parábola que constituye la curva funicular correspondiente. Trazada la parábola en la forma conocida, queda completado el diagrama de m~ mentos llexores para el tramo eD. Cabe hacer notar que, en este caso, dada la configuraci6n del sistema y las magnitudes relativas de las fuerzas exteriores aplicadas, el diagrama de momentos f1exores para el tramo e D resulta ubicado en su totalidad por encima del eje de referencia, es decir, que todas sus ordenadas son negativas. P asamos ahora a considerar el tramo en voladizo DE. Por razones de sencillez operativa, conviene en este caso trabajar con las fuerzas que actúan a la derecha de las secciones consideradas, cambiando el signo a los momentos resultantes, para obtener los momentos flexores.. A la derecha de la sección extrema jzquierda del voladizo, es decir, infinitamente próxima a la derecha del nudo D . actúa la carga repartida P. sobre la longitud lt , siendo su resultante R;' p/ t . Para que el polígono funicular de esta carga, que referido a su primer lado nos dará el diagrama de momentos f1exores, resulte orientado de acuerdo con la convención adoptada, en lugar de cambiar de signo a los momentos, cambiamos el sent ido a R ~. En consecuencia, el primer rayo polar pasará por el extremo del vector representativo de R;'. en lugar de hacerlo por su origen. Luego, trazando por O, extremo de la pr~ yecci6n de R ~' sobre n·n, una hotizontal, ubicamos sobre la misma y hacia afuera, a una drstancia h (la misma anterior) el polo O ~ . El primer lado del funicular, paralelo a 0.0 3 , lo trazamos cointidente con el eje del voladizo, hasta cortar en T la recta de acción de R ~. Por dicho punto pasará el segundo lado del funicular, que determina sobre la vertical de D un segmento DD' que eU' la escala correspondiente nos da el valor del momento f1exor en la sección extrema izquierda de la pieza DE , es decir, infinitamente próxima a la derecha del nudo D . En la sección extrema derecha E . el momento flexor es nulo, por cuanto a la derecha de la misma no existen fuerzas aplicadas. Los dos lados del polígono funicular que hemos trazado, constituyen las tangentes extremas de la parábola cuadrática que corresponde a la

=

.?(ÍI'ig.

8.29.

(escala ' dobíe)

(d)

StST&MAS PLANOS DE ALMA LLENA

4S1

curva funicular de la carga p, la qu~ trazada en la forma vista completa el diagrama de momentos flexores para el voladizo DE. Consideremos finalmente el pilar B D. Sobre el mismo actúan la reacción R lJ (de la que únicamente nos interesa su componente tangen· cial Qs) Y la fuerza P" las que aparecen en ese orden al recorrer el pilar de abajo hacia arriba. Proyectando ambas fuerzas sobre la normal s -s al eje del pilar, encontramos que el orden en 'que aparecen en la proyección se encuentra invertido con respecto al indicado antes. Si cam· biamos sus sentidos, el orden correspondiente se restablece, pero entonces, para conservar el signo de los momentos flexores y a fin de que su dia· grama resulte orientado conforme con la convenci6n adoptada, es nece. sario invertir simultáneamente la posición del polo, que debe ubicarse hacia adentro. En consecuencia, trazando una paralela al eje del pilar por el extremo de la proyecci6n del vector representativo de Ro --que por el cambio de sentido se convi~rte en origen 0 - ubicamos hacia adentro y a la distancia h, el cuarto polo O •. Completados 103 rayos polares, trazamos por B, punto en que el primer lado del funicular -coincidente con BD- corta la recta de acción de Qs. el segundo lado que a su vez corta la recta de acci6n de P, en N, punto éste por donde pasa el tercero y último lado, que determina sobre la horizontal de D el segmento D D '" . Este segmento, leído en la escala de momentos f1exores da el valor del correspondiente a la sección extrema superior del pilar, es decir, infi· nitamente próxima abajo del nudo D_ Como control de cierte, el segmento D' D " debe ser igual al DD"', por las razones que expondremos a continuación. Consideremos, figura 8.30, un nudo al que concurren tres barras de un pórtico, sujeto a un estado determinado de cargas. Imaginemos que cortamos las piezas que concurren al nudo por sus secciones infinita· mente próximas a la izquierda, derecha . y abajo del mismo. Para man· tener el equi librio es neeesario aplicar en cada sección dos pares (M, y - M I ; M I Y - M I ; M I y -M 3 ) opuestos entre sí, actuando uno en cada cara de la sección. Además, es necesario aplicar conjuntos de dos

8

452

fuerzas opuestas, tangenciales y normales, pero prescindiremos de ellas pues no interesan a los efectos de nuestra demostración. Aislado el nudo, nos encontramos que en las tres car8'3 de las sec· ciones actúan pares M 1 ; M , Y M~ que representan, respectivamente, los momentos de las resultantes izquierda, derecha y de abajo con respecto a los baricentros de las mismas. Como el nudo pertenece a un sistema de puntos materiales en equilibrio, considerado aislado, debe continuar en equilibrio_ En consecuencia, para que éste se verüique debe tenerse:

(8.84] de donde

(8.85] Ahora bien, siendo M,el momento de las fuerzas de la izquierda de la sección considerada, respecto de su baricentro, corresponderá en magnitud y signo al momento flexor en aquélla, es deeir que tendremos

(8.86] En cambio, para la seeción infinitamente próxima a la derecha del nudo, MI, que representa el momento de las fuerzas de la dereeha con respecto al baricentro de la misma, tendrá igual intensidad pero signo contrario al del momento f1exor en la sección, es decir .

(8 .87] Finalmente, siendo M s el momento de las fuerzas ubicadas abajo de la sección infinitamente próxima por debajo d~1 nudo, coincidirá en magnitud y signo con el correspondiente momento flexor, o sea

(8.88] Reemplazando estos valores en la [S. SS] llegamos a

(8.89]

( b¡ Fig. 8.30.

expresión que establece el equilibrio del nudo, y que constituye un control de cierre. Aplicando la expresión anterior al ejemplo desarrollado en la figura 8.29, tenemos

:.M,

Dumérico p ara el trazado de d iagramas de características e n p6rticos.

F ig. 8.32.

E l procedimiento gráCico-numérico consiste en determinar analíticamcote los valores de los esfuerzos característicos e n determinadas secciones de los pórticos, y luego de representado.:;, completar el 1trazado de los diagramas util izando los procedimientos gráficos que en cada caso corresponda. Para aclarar conceptos, a nal izaremos el trazado de los diRgrRmRs de momentos flexo res, esfuerzos de corte y norm::des, del pórtico de la Bgura 8.32. Se trata de una estructura isostática, vinculada mediante una articulaci6n fija en A y un apoyo móvil, vertical, e n B , sujeta a la acción de una carga ·triangula r de intensidad máxima p , aplicada normalmente a l pila r AC y otra uniformemente distribuida por unid-ad de longit ud sobre la proyección horizontal del dintel, y de intensidad constante p z . En prime r término, es neJO 0& LOS TRABAJOS vmTUALd

B

__ __

9 . 1 . Complementos de cinemática plana. 9 . 1. 1. Desplazamiento de un punto material. Corrimientos. Sea, figura 9 .1, un punto material que se desplaza sobre una tra~ yectoda cualquiera $, pasando de una posici6n inicia l A a otra final B . El simple ca mbio de lugar del punto - independientemente del ti em~ po requerido y de la trayectoria seguida, que podría haber sido otra cua l~ quiera, tal como la .'- se define como oorrimiento del punto. Como

z

sI" , /

s A

8

IZA

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I

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---------.>;.

A ________ ______ ~

~x

x

I .. O . Como consecuencia de la misma, el punto A l.1 experimentará un corrimiento .. A, .. de dirección normal a 0 1 A l., Y de intensidad

[9.56J

OOMPLEMENTOS DE CINEMÁTICA PLANA

'"

Elegido un punto cualquiera P,," como polo. estamos en condiciones de proceder al trazado del diagrama de Williot-Mohr correspondiente a la chapa S, . El punto A _ O" por "t.' r un p~ , nto fijo, coincidirá con PO" Llevando a partir de p~. el vector P ~_ A I~ . equipolente con a L ~ • su extremo define el punto A,._. En la forma indicada en 9.1.4 procedcmo.~

/

524

•

IU. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

pes, Al.! . que permite el pasaje de una a otra de ellas en el diagrama de Williot-Mohr, es un punto impropio. Una vez hallados los polos de las chapas en la forma conocida y determinado el corrimiento a¡.. del punto K, que define el punto K." consideramos a una de las barras que constituyen la articulación relativa,

s, ___---.-j A,,~

~

IJ!I!>.~"L --- --

s,

_---------. L" .- _ ~

.q, Kw Fig. 9,36.

Fig. 9.35.

a continuación a ubicar los puntos C,.. y D ... , obteniendo la figura P .,. , A ,.: ... , C ... . D.,. normal y semejante a la A , A ,.1 , e, D . Pasando a la chapa S~, en el diagrama de WilIiot-Mohr su polo O ~.,. coincidirá con p ... por tratarse de un punto fijo y A, ,: . considerado como perteneciente a 5 : coincidirá en el diagrama con A , .~ ... por cuanto A l. : es común a ambas chapas. La determinación de A J . " ... es inmediata, bastando para ello trazar por A I. ~'" y P,.. sendas normales a A".., A , . ~ Y A ~., O~ , En la misma forma ubicamos E ... , Finalmente, en la chapa 5~ sólo es necesarlo ubicar F .. , por cuanto O"" coincide con P,.. y A ~ . ;"c ya 10 hemos hallado. Trazando por p ", Y A ~. a ... normales O de la chapa 5, . Determinados los polos de las distintas chapas aplicamos en 0 1 , polo de 5" una elación vertical O, > O Y adoptamo3 un eje de referencia m - m horizontal. El diagrama de corrimientos verticales de la chapa 5. será, como sabemos, una recta que pasará por la proyección del poJo O , por cuanto la ordenada del diagrama debe ser nula en corres-

O:

, /

aL PRINCIPIO DI: LOS TRABAJOS VIRTUALBS

•

Oeterminada la ubicación de los polos, el correspondiente a la chapa S. resulta ser el punto impropio de la dirección común de los apoyos. En consecuencia, los desplazamientos absolutos de S, sólo podrán ter

Fil. 9.37.

pondencia ron la recta de acción del vector representativo de la elación 91 , Dicha recta será válida entre las ordenadas extremas de la chapa S1' El corrimiento vertical del punto A1.I será común a las chapas S, y S ,. En consecuencia, la recta [52]' · representativa del diagrama de corrimientos verticales de la chapa SI. deberá pasar por A~.1 • intersección de la vertical de A l,! con [S , ] y ·por ~. proyección de O. sobre m-m, y se extenderá hasta encontrar la vertical extrema de la chapa S • • En cuanto al diagrama representativo de los corrimientos verticales de S • • será una recta paralela a [SI ] que pasará por O; . proyección sobre de O•. En efecto, el desplazamiento relativo de S. respecto de SI es una traslación ó por cuanto la articulación relativa entre las mismas es impropia y, en consecuencia, los corrimientos relativos entre Jos puntos de ambas chapas y por ende sus proyecciones en cualquier dirección, son todos iguales entre sí. Y como las proyecciones vfi!rticales de los mismos están medidos en una cierta escala por las ordenadas comprendidas entre las rectas [S3] y [S2] , al ser iguales para cualquier punto que se considere, dichas réctas necesariamente deben ser paralelas. Cuando una de las chapas de la cadena cinemática posee dos condiciones de vínculo, constituidas por dos apoyos m6vi:1es pa ralelos, el diagrama de corrimientos, cualquiera sea la dirección del mismo, es una recta paralela al eje de referencia. En efecto, sea el sistema de la figura 9.38, cuya chapa se encuentra vinculada a tierra mediante dos apoyos móviles B y e, paralelos.

m-m

m

Fig. 9.38.

traslaciones, y como para una traslación de una chapa los corrimientos absolutos en una dirección cualquiera son iguales para todos los puntos de la misma, resulta así que las ordenadas del diagrama correspondiente serán también iguales entre sí, reduciéndose éste a una recta paralela al eje de referencia. De acuerdo con lo anterior, trazando en la figura 9.38 una recta cualquiera paralela al eje de referencia, la misma constituirá el diagrama de corrimientos verticales de la chapa S •• limitado por los puntos A'M y A ~:I' intersecciones de dicha recta con las verticales trazadas por las articulaciones relativa'3 A,.I y A '.3 respectivamente. Uniendo A:. t con proyección de O, sobre el eje de referencia, obtenemos el diagrama de los corrimientos verticales de S , y efectuando análoga operación con A'u y O; definimos el correspondiente a S.. El signo de las distintas partes del diagrama, resulta del desplazamiento experimentado por S.. Si éste. es de sentido tal que sus corrimientos verticales resulten positivos, la recta paralela al eje de referencia que materializa

O;.

COMPUM~NTOS DE ClNEMÁTlCA PLA N A

528

•

EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTlJALES

el correspondiente diagrama deberá trazarse por debajo de aquél, resultando así el diagrama orientado. En cuanto a la escala, si el corrimiento vertical de los puntos de la chapa S ~ (uera de a (m) y las ordenadas (todas iguales) del diagrama correspondiente fueran de II(cm), la escala resultante sería a(m) / 11{cm).

9 . 1. 15 . Articulaciones relativas entre

chapa~

-1

no conset:u tivas.

En todo mecanismo de un grado de libertad, constituido por una suces ión de chapas vinculadas entre sí, al desplazarse una cualquiera de las mismas, las restantes, como hemos visto, tambié n experimenton desplazamientos. En ciertos problemas interesa, y a veces es necesario, conocer para dos chapas no consecutivas, es decir, que no se encuentran vinculadas directamente e ntre sí, el punto del plano en torno al cual gira una de e'lIas, supue"sta fija la otra, o sea, su articulación relativa. Consideremos, por ejemplo, el sistema de la fi gura 9 . 39 Y veamos la forma de determinar la articulación relativa e ntre las chapas 5, y S." es de:::;r, A ,.• . Supongamos por un momento que la chapa 5, se encuentra fija. La cha pa S. está vinculada con la S , por intermedio de la S~ , que desde el punto de vista cinemático se comporta como una biela de dirección A ,.• A ~, • . Por otra parte, al eslar S , y S~ articuladas directamente a tierra, podemos adm itir esta última como una chapa rígida a rticulada a las anteriores en O , y O" respectivamente, chapa que cinemática mente se comportará como una segunda biela de dirección O , O • . En consecuencia, .Ias chapas S , y S o, estarán vinculedes por las biela'3 A ,.• A ~.", Y 0 , 0 " , que equivalen a una a rt iculación r.!lativa ficticia A 1.., ubicada en la intersección de las 'rectas prolongación de las mismos. D e lo expuesto deducimos que la a rticu lación relativa e ntre dos chapas no consecutivas, se encuentra alineada con los polos de las mismas y con las articulaciones relativas con la chapa intermedia. Trazado el diagrama de corrimientos de una dirección cualquiera, vertical en el caso de la fi gura 9.39, vemos que la articulaci6n relativa A , .3 se encuentra ubicada sobre la vertical del punto de intenlección A'... de las rectas que definen los diagramas de corrimientos de las ctiapas S, y 5". Ello es ev idente, por cuanto el corrimiento vertical del punto A u considerado como perteneciente a la chapa S , debe ser el mismo que experimenta cuando se lo consídera sobre la chapa S 3 .

I

-- ---- --A g. 9 . 39.

9 . l . 16 . Variación de distancia entre puntos de una cadena cinemática de un grado de libertad. Interesa en ciertos problemas conocer la variación de distancia que experimentan dos puntos determinados, pertenecientes a distintas chapas de una cadena cinemática, como consecuencia de un desplazamiento de la misma, El problema puede resolverse, sea con el trazado de un diagrama de Williot-Mohr o bien mediante un diagrama de corrimientos en una determinada dirección. Sea, por ejemplo, el mecanismo cinemática de la figura 9.40, del que se pide hallar la variación de distancia experimentada por los puntos A y B, como consecuencia de una rotación 6 1 > O aplicada a la chapa SI '

529

S, / / / 1 a, / / /

/,."' ....

,

9

ti".

// / /

/

EL PJI:lNCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALZII

A l, ... respectivamente. El punto A" I. es el único que nos interesa de la chapa S , . por ser el que nos permite pasar a la chapa S • . Ubicado At .... . determinamos a continuación B • . El vector A... B .. corresponde, como sabemos, al corrimiento relativo 4." y el opuesto al a. .... La proyección de cualquiera de ellos sobre la dirección AB DOS da la variación de distancia 6A.a buscada. Como puede observarse. en este caso es positiva, por cuanto, para el despluamiento experimentado por el mecanismo, Jos puntos se alejan el uno del otro.

A

/

530

La variación de distancia puede determinarse también mediante el trazado del diagrama de corrimientos en una dirección determinada. Conlideremos para ello el mecanismo cinemático de la figura 9.41, del que se pide hallar la variaci6n de distancia lIJflf para una rotación 0 1 > O.

A _--

--

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/¡! \

/

A,

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11 1

/

I

1 1

1

1 1

Fi,. 9 . 40.

Resolveremos el problema mediante el trazado de un diagrama de Williot-Mohr, que para el caso no requiere la obtención de las figuras normales y semejantes en su totalidad, sino !micamente la ubicación de aquellos puntos que nos pennitan conocer el desplazamiento relativo de A respecto de B (o su recíproco). Determinados los polos en la forma conocida, comenzamos por calcular el corrimiento efectivo de un punto de la chapa S) > el A~,2 por ejemplo, como consecuencia de la rotaci6n 6\ aplicada a la misma, L'l amando d la distancia de A I ,~ al polo 0 1 > dicho corrimiento será de intensidad [9.57J Elegido el polo P"" del diagrama de Williot-Mohr, llevamos a partir del mismo un vector P oo A u "" = a.t, .• cuyo extremo nos define el punto A" .", y luego, en la forma explicada anteriormente, ubicamos el punto A"" Conocido A1.2oo pasamos a ubicar A~,~"" que se encontrará en la intersección de las normales de A2 . l O, y A ~.~ A, ,:l trazadas por P". y Vic. 9 .41.

\ \ \

531

COMPLEMENTOS DE C1NEMÁnCA PLANA

De terminados los polos de las chapas S, y 52' trazamos un diagrama de los corrimientos verticales debidos a O" que nos permite determinar '1 M y 1] .... . Por otra parte, como conocemos las direcciones de los Corrimientos efectivos de M y N, normales respectivamente a 0 1 M Y O. N , tra· zando por el origen de 1],11 una paralela a la normal a O , M Y desproyectando su extremo sobre esta última dirección, obtenemos el vector representativo de 8J1 en intensidad, d irección y sentido. Procediendo en forma a náloga con 1)\' obtenemos a,· y llevando a partir de un punto P ", vectores equipolentes a au y a l'>', el vector definido entre los extremos de los mismos, con uno u otro sentido, nos da a", ,\, 6 tJN,II según el caso. Finalmente, proyectando cualquiera de estos vectores sobre la direc· ción de la recta M N, obtenemos la variación d e distancia b.ll,v. Analizando el diagrama de corrimientos verticales vemos que como consecuencia del desplazamiento experimentado por el mecanismo, la chao pa S~ ha sufr ido con respecto a la S, una rotación relativa O2 . 1 < O. En consecuencia, el punto N se aleja del M y la variación de distancia resulta ser positiva. A la misma conclusión habríamos llegado si hubié· sernas considerado la rotación relativa 0,.1 de la chapa S, respecto de la S •. E xiste una última forma de establecer la variación de distancia entre dos puntos de una cadena cinemátjta, y es partiendo del diagrama de corrimientos. Sea el mecanismo de un grado de libertad de la figura 9.42, del Que se pide calcular la variación de distancia e ntre ·Ios puntos M y N debida a una rotación O, < O de la chapa S, . D eterminados los polos y t razado el diagrama de corrimientos verticales llevamos a partir de A',." horizonta lmente, un segmento t igual a la distancia de A ,,: a la recta M N definida por los puntos de los que deseamos hallar la vari~ción de distancia. T razando por el extremo de dicho segmento una vertical, la misma determina en su intersección con las rectas O ~ A ;.~ y O ~ A; .2 un seg· mento TT' cuya longitud nos da la magnitud de la variación de distancia buscada. En efecto, admitamos por un momento fi ja la chapa S" En tal caso, la rotación relativa 0" , Se transforma en absoluta, y el polo de la misma será el punto A" • . Si aplicamos en este punto la elación \J 2.'. de la d~recci6n ~ como consecuencia de la misma el punto N expenmentara un corrimiento en . dicha dire O por lo que el punto N se acerca al M, resulta ndo con ello negativa la variación de distancia.

'33

COMPLEMENTOS DE ClNEMÁT:lCA PLANA

53.

EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

9

por lo que resulta a priori imposible ubicar el polo O, . que debe encontrarse en la intersección de la dirección del apoyo móvil e con la recta

9 . 1. 17 . Casos particulares en la determinación de polos y trazado de diagramas de corrimientos.

O : A z,a'

En determinados casos, sea por la configuración del mecanismo cinemático o bien por la disposición de los vínculos, la determinación de los polOS o el trazado de los diagramas de corrimientos, o bien ambos, presenta algunas dificultades. Sea, por ejemplo, el sistema de un grado de libertad de la figura 9 .43. El polo de la chapa S . se encuentra en la intersecci6n de la recta O, Al.2 con la recta que corresponde a 'Ia dirección del apoyo móvil B. Pero dicha intersección Queda ubicada fuera de los 1ím.ites del dibujo.

Pero esta última recta no se puede trazar por ser O: inaccesible. El problema se resuelve mediante la proposición de Desargues. Elegido un punto cualquiera K sobre la recta BO, construimos el triángulo A •. : K I A J • 3 • Luego, por un punto cualquiera L de ¡a recta 0 1 A I , 2 tra· zamos paralelas a A •.: A2.~ y a Al •• K. Esta última corta a BO. en M. Trazando por este último una paralela a K A ,,3 ' en su intersección con la paralela a A,.: AJ " determina un purlto N que unido con A 2.! define una recta Que pasa por O: . Como, además, por construcción pasa por A •. s . sobre la misma debe encontrarse el polo O" que Queda determinado por la intersecci6n de dicha recta con la Que define la dirección del apoyo móvil C .

• 0, 10,

,N

s, A_q /

0" •

A,.3

•

Una segunda dificultad se presenta para el trazado del diagrama de corrimientos verticales. En efecto, elegido un eje horizontal de referencia, y proyectados los polos O, y O" obtenemos los puntos O: y O;, en correspondencia de los cuales tendrán ordenada nula los diagramas de corrimientos correspondientes a las chapas S, y Ss . No ocurre lo mismo con O. por ser .inaccesible, por lo que una vez trazada la recta O; A~. 2 ' nos vemos imposibilitados de continuar con el trazado del diagrama. El problema se resue'lve determinando la articulación relativa A •. , entre las chapas S. y S s , que se encontrará en la intersección de las rectas O. 0 3 Y A •• ! A t ,3 ' Ubicado A L" prolongamos la recta O: A'•.• hasta encontrar en A'. ~ la vertical trazada por A,." Por dicha intersección pasará 'l a recta que define el diagrama de corrimientos de S , . Como éste debe tener ordenada nula en uniendo este último punto con queda definido el diagrama. En cuanto al diagrama correspondiente a 5,. debe pasar por A~.2 y por la intersección de O; A~ .3 con la vertic.al de A:,! , con 10 que queda resuelto el problema. En el caso de la figura 9.43, si la dirección del apoyo m6vil e fuera tal que su intersección con A 2 • J O. también resultara inaccesible, debemos recurrir para el trazado del diagrama de corrimientos verticales al trazado de un diagrama auxiliar, como muestra la figura 9.44. En la misma, para la determinación de la articulación reIativa A ,.~ se ha recurrido a una segunda proposición de Desargues.

O:.

Fig. 9 . 43.

A;,.a ,

'3>

'" su signo

ItL PRlNClPrO DE LOS T'RABAJOS VlRTUALItS

11 ' ,.1

y

11 ,4 •

SUS

•

extremos, unidos, nos definen el dialfama

correspon~ iente a la 'c'hapa S 2. Uniendo A :.1 así determinado, con O : obte nemos el d iagrama de la chapa SI. que prolongado define en su intersección con la vertical de A,.s el punto A~ ., . que unido finalmente con A ~,J ' determina el diagrama de Ss' Sea ahora el sistema de la figura 9.45. El polo de la chapa S I coincid e con la articulación A y el correspondiente a S , será el punto impropio d e la dirección común de los apoyos m óviles para lelos B y c.

\ \ \

"\

e

A,,J

o; Q',

Fig.9 . 44.

Conocida A ,,) es' posible trazar un diagrama de corrimientos de la dirección del apoyo móvil e, por cuanto el polo 0 , se encuentra sobre dicha recta, y si elegimos un eje de referencia normal al apoyo e, se proyecta e n ·la dirección de este último. Una vez trazado el diagrama de la dirección indicada, podemos determinar los corrimientos efectivos 8 .01", y 8 .4.,.• de los puntos A I,l y Au que desproyectados sobre la dirección vertical nos permite conocer los corrimientos verticales "lA y "l A ' es decir, de dos puntos de la chapa SI . con lo que qued~ perfect~mente determinado el desplazamiento de ·la misma. Adoptando ahora un eje de referencia vertical y llevando a partir del mismo sobre las proyecciones de Al.I y Au respectivamente y con

rs,/

Fil. 9 ."5.

L as a rticulaciones relat ivas entre las chapas 5 ,-51 y 5 1 -S, !Ion también impropias, por esta r unidas dichas chapas dos a dos por pares de bielas pa ralelas. El polo de la chapa S I debe encontrarse .lineado con 0 , A '.2'" Y con O C" A".,y. . Siendo esta última recta la impropia del p lano, el polo O: será, e n consecuencia, el punto impropio de la paralela trazada por O , a las bielas que vinculan S , con S, . Es decir que 0 200 &ilI A ' .I '" resultando con ella la chapa 5 , con dos puntos fijos: O, y Al., ,,, , este último por coincid ir con O ~"" , En consecuencia, resulta inmóvil. Si da mos un desplazamiento cualquiera al sistema, al trazar el diagrama de corrimientos de una dirección determinada, vertical por ejemplo, el correspondiente a 5 , se confunde con el eje de referencia, por cuanto los corrimientos de sus puntos son nulos.

S37

COMPLltMaNTOS Da ClHaM1T1CA PLANA.

Al estar ta chapa S : vinculada mediante dos bielas pl!ralela. a una chapa inmóvi~ el único desplazamiento absoluto que puede experimentar es una traslac'i9~' Por lo que el correspondiente dia&rama de '~fr4riientos será una re:~~ paralela al eje de referencia. La chapa S. se encuentra en análogas condiciones, por cuanto está vinculada coñ tierra mediante dos apoyos móviles paralelos. Como, ade-más, está vinculada con la S2 pejr una articulación relativa impropia, la recta que d efine .u diagrama de corrimientos, resulta aparentemente inde-. ,¡ . terminada. Para trazar el diagrama de la chapa SI debemos recurrir a una chapa auxiliar, la S" ' por ejemplo. . El polo de la misma' se encuentra en la intersección de las paralelas a 0.,01«1 y a la dirección común de B y C, trazadas por M y N respectivamente. .. Uniendo M', proyección de M lobre [S.] con O; y proyec· tando el punto N, sobre la recta así obtenida, obtenemos el N', 'q ue define el corrimiento vertical de N. Y como N pertenece a S" ~Fa. zando por N' una paralela al eje de referencia, obtenemos el diagrama correspondiente ~ esta última chapa.

9 . 1 . 18 . Determinación de polos en cadenas cinem'ticas Cltrradu grado de libertad.

(k

un

La determinaci6n de los polos de las cadenas cinemáticas cenadas de cua tro chapas, que son las únidÍs d~: tas que noa ocuparemos, no ofrece mayor dificultad, salvo en aquelloS 4~s en que las tres condiciones de vínculo están distribuidas una por chapa. Tratándose de 4 chapas y tres condiciones de vinculo, los ca~ poli· bIes son tres: ' a) dos condicione! de vínculo en una chapa, y la adyacente. "

re,!~ante

' 38

ltL PRlNCO'JO Dtt LOS TlIA8o\}OS VIRTUALES

Pig. 9 . 46 .

a poyo móvil B . Para determinar O" es necesario previamente hallar A 1 •3 , articulación relativa entre S , y S. , Considerando 'las c ha pas 52 y S. como dos bielas, A ". se e ncontrará en la intersección de A l .• A s.• con A l:! A :¡.:: . U niendo O , con A 1 .:t Y O:¡ con A :!.:t, e n su intersección obtenemos Oa. Finalmente, pl'OCediendo en forma similar, encontramos O. . Como control, deben resultar 0 3 y O. a lineados con A~ .• . Si el a poyo móvil B estuviera aplicado e n 5. en lugar de 5 = el ca mino a seguir pa ra la d et erminación de los polos es el mismo.

en una

.

b) dos condiciones de vínculo en una chapa y la tercera en la opuesta. .

"

.~

c) una condición de vínculo en cada una de tres chapas. Analizaremos a continuaci6n los tres casos

mencionado~,

C880 a)

'.

Consideremos la cadena cerrada ~~ cuatro chapas de la figura 9 . 46, con dos condiciones de vinculo en SI). una en S, . El polo 01 de S I coincide con la articulaci6n A. El correspondiente a S, se encuentra en la intersección de 01 At.2 con la recta que .define ·la dirección del

•

Fig. 9.47.

COMPL~ENTOS DE CINJtMÁTICA PJ.ANA

'"

Caso b)

Determinada h. articulación rsiativa A u el polo de la chapa S , queda determinado por la intersección de la recta definida ppr 0 1 " A Y A" con la dirección del apoyo B. Conocido O a , la determinación de O 2 es inmediata. Basta para elio unir · O" con A ~ . ~ y O; con A' .2' rectas que en su intersección definen el polo O. buscado. Para la determinación de O. se procede en ¡orma análoga.

540

Supongamos por un mome nto suprimido el apoyo móvil C y reem. plazado por otro apoyo móvil aplicado en S" en el punto Si bien la cadena cinemática continúa teniendo un grado de libertad, sus condiciones de sustentación han cambiado, pero es posible ahora determinar los polos de las distintas chapas, por cuanto una de ellas, la SI, posee dos condiciones de vínculo. El polo O~ se encontrará en [a intersección de las direcciones de los apoyos móviles A y A'. El polo resulta ubicado en la intersección del apoyo móvil B con la recta O; A 1.. Y finalmente el polo de la chapa 5, resulta de la intersección de las rectas Por el momento no interesa conocer ·la ubicación O' A . :> Y O; A ~ ., de O;. Los polos hallados no son Jos que corresponden al sistema en las condiciones de sustentación dadas. En efecto, para un desplazamiento de la cadena cinemática, la chapa 5 " experimentará una cierta rotación e~ en torno de y como consecuencia de ella el punto C sufrirá un normal a la dirección O; C. Pero dicho corricorrimiento efectivo miento es incompatible con la existencia del apoyo móvil C, que sólo permúe al punto e corrimientos absolutos normales a la dirección del mismo. Quitemos ahora de A' el apoyo sustituto de la chapa S, y ubiquémoslo en otro punto cualquiera A" de la misma, determinando en la forma conocida los nuevos polos O ~', O;' Y O;' que tampoco serán Jos definitivos, por cuanto corresponden a condiciones de sustentación que no son las reales impuestas al sistema. Para cualquier desplazamiento de la cadena cinemática, S 3 rotará en torno de O;' y C experimentará un corrimiento a ~' , normal a 0:' e Que también será incompatible con las verdaderas condiciones de sustentación, Ah or~ bien, siemprf' es posible dar a la chapa S, dos rotaciones O' y O" en torno de los polos O; y O:' respectivamente, tales que compuestas conduzcan a un corrimiento de C compatible con la existencia en dicho punto del apoyo móvil C que corresponde a las verdaderas condiciones de sustentación de la, cadena cinemática. Ahora bien, hemos visto en 9.1.6 que al componer dos rotaciones, el polo de la rotación resultante se encuentra alineado con los polos de las rotaciones componentes. En consecuencia, el polo de la rotación que conduzca para 'el punto C a un corrimiento compatible con las reales condiciones de sustentación del sistema debe, necesariamente, encontrarse sobre la recta O; O ~' . Pero dicho polo, será el polo \'erdadero de 5 3' y como éste necesariamente debe e ncontrarse sobre la reota que define la dirección del apoyo móvil C, será el punto de intersección de esta última

A:

O:

j

Caso c)

En los casos anteriores, la determinación de los polos tiene solución en forma directa por cuanto existe siempre una chapa con un punto fijo, si está articulapa. o se conoce la dirección del desplazamiento de dos de sus puntos, si posee dos vínculos de primera especie. Es decir que se conoce a priori el polo de una de las chapas, a partir del cual la determinación de los polos restantes no ofrece mayor dificultad. En cambio, si ninguna chapa posee dos condiciones de vinculo, no existe ningÓn polo del cual partir, por 10 que es necesario recurrir a procsdimientos indirectos, como veremos a continuecióI1Sea la cadena cerrada de la figura 9 .48, sustentada a tierra por medio de 3 apoyos móviles A, B y e, ubicados en las chapas S\, S. y 53 respectivamente.

/'

/

A,2

s,

(bl (di F¡g. 9.48.

9

E!. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

O;:

aJn

O; O;' .

a;,

541

'"

aL PRINCIPIO DIt LOS TRABAJOS VIRTUAL&S

De la anterior deducimos que, en una cadena cinemática cerrada de un grado de libertad, si el polo de una chapa ~ desplaza sobre una recta, 10$ polos de las chapas restantes también se desplazan sobre rectas. Una vez hallado el polo real de S • • la det8l'rnin,aci6:n de loe polos de las chapas restantes es inmediata El procedimiento indicado admite una simplifice.cián. En efec¡to, supongamos, figura 9 . 49, suprimido el apoyo móvil e de la chapa S s y reemplazado por otro aplicado a la chapa S t , en una posición tal que el polo resulte ser el punto O , . En la misma forma explicada, determinamos 101 polo. O; Y O,; Pasamos ahora 8 cambiar la posición del apoyo móvil, y supon¡amoe que su nueva ubicación en S, sea tal que el pcilo O~' coincida con el punto de intersecci6n de las direcciones de los apoyos m6viles A y B . En tal caso, en dicho punto coinciden también O; y O,:.

l O',

o

A1.4 ,,-A.

\

O;

\

o;

Oj'

,

,-0;-0; Ar.J Fig. 9.49.

A~.3

En efecto, como es fácil observar en la figura 9.50, el polo de la chapa S , debe encontrarse sobre la dirección de B y sobre I.a recta O ;' A l.• .

Pero la intersecci6n de las mismas coincide con O ~, de donde O;' _ O:' Por un razonamiento análogo llegamos a que O:' _ O;', de donde reluIta O ~' _ O ~' EIIIIi O; . En consecuencia, para hallar el polo efectivo de S, bastará fij ar un polo arbitrario a la chapa 5 1 ubicado sobre la recta que define la direcci6n del a poyo móvil aplicado a la misma, y partiendo de éste d etermina r luoesivamente y Lue¡¡:o, uniendo con el pu.nto de inter sección de los apoyos móviles A y B , hallamos la intersección de dicha recta con la dirección del apoyo móvil real de la chapa S . , que nos define O ••

O:

O:.

O;

Q Filio 9 . 50.

COMPLEMENTOS DE CINltMÁTlCA PLANA

543

Es posible también ubicar los polos en el caso que estamos analizando, mediante el trazado de diagramas de corrimientos, como veremos a continuación. Quitado el apoyo móvil A de la cadena cinemática de la figura 9.50 Y aplicado en e' el apoyo sustituto, determinamos los polos

544

EL PRINCIPIO OE LOS TRABAJOS VIRTUALES

•

9 . 2 . Trabajo virtual.

O; ." O; , Luego damos al sistema un desplazamiento cualquiera y trazamos el diagrama de corrimientos de la dirección delllpoyo suprimido A, Como consecuencia de la rotación de la chapa S s , el punto A de aplicación del apoyo móvU, experimenta un corrimiento '1 ~ ,. que es incompatible con las condiciones reales de sustentación de .Ia chapa, por cuanto el apoyo móvil original impide precisamente los corrimientoS de su dirección para el punto A. Ubicando el apoyo sustituto en una nueva posición de la chapa 5 a , punto e", determinamos los polos correspondientes, y damos ahora al sistema un segundo desplazamiento, tal que sumado al anterior conduzca para el punto A a corrimientos comp?tibles con su condición de vínculo primitivo.- Es decir que el corrimiento resultante para el punto A debe ser tal que su proyección sobre la dirección del apoyo móvil sea nula. Si llamamos '1:( al corrimiento vertical de A debido al segundo desplazamiento del sistema, debemos tencr [9.61J En conse.cuencia, si proyectamos sobre el eje de referencia adoptado el polo O;' y lo unimos con el punto N, extremo de la ordenada del diagrama que corresponde a 'I"j:', la recta así obtenida, referida a la recta [5~] que corresponde al diagrama de corrimientos vertica'les de 5 3 para la primera posición del apoyo móvil, nos da el diagrama de corrimientos verticales de la chapa 5 3 en su verdadera condición de sustentación. Determinando ahora la intersección Q de dicha recta con la vertical de A",., obtenemos un punto que, unido con la proyección sobre el eje de referencia de 0.;', determina la recta [S:'] que a su vez, referida a [5:] corresponde a l diagram,a de corrimientos de 54 para su verdadera condición de sustentación. En consecuencia, la intersección M de [5~] con [5;] corresponde a un punto de 54 de corrimiento vertical nulo, por lo que el polo 0 4 debe encontrarse sobre la vertical del mismo. Trazada dicha vertical, su intersección con la dirección del apoyo móvil e define el polo O, de S • . Conocido éste, la determinación de los polos restantes es inmediata.

9.2. l . Desplazamientos virtuales.

En g, 1 hemos analizado distintos problemas relativos a desplazamientos infinitésimos de chapas o sistemas de chapas, libres o vinculados. Definiremos a continuación el concepto de desplazamiento virtual, diciendo que es' todo. desplazamiento infinitésimo de un punto o sistema rígido de puntos materiales, compatible con sus condiciones de vínculo. Diremos que un desplazamiento virtual es reversible, cuando dado a partir de una cierta posición inicial, es siempre posible dar otro desplazamiento de igual intensidad pero de signo contrario. Cuando no exista esta posibilidad, el desplazamiento será irreversible. Los desplazamientos virtuales dependen de los vínculos. En consecuencia, la reversibilidad o irreversibilidad de aquéllos será también función de la naturaleza de los vínculos. Los vínculos de un sistema serán bilaterales cuando permitan únicamente desplazamientos virtuales reversibles, y unilaterales, cuando alguno de ellos pueda ser irreversible. Supongamos, por ejemplo una chapa articulada en un punto O. Impuesta a la misma una rotación infinitésima e cualquiera, siempre será posible dar a la chapa una rotación de igual intensidad pero de sentido contrario, en tomo del mismo polo O. Es decir que el desplazamiento que experimenta la chapa es reversible, y como los únicos desplazamientos posibles de ésta son rotaciones de polo O, el vínculo constituido por la articulación será bilateral. Consideremos ahora un punto A material vinculado con un punto fijo O mediante un hilo inextensible. El punto podrá sufrir un desplazamiento infinitésimo en la dirección de la tangente al arco de circunferencia de centro O y radio OA. Dicho desplazamiento es evidentemente reversible, por cuanto puede ocurrir en dos sentidos contrarios. Pero, aparte de dicho desplazamiento, el vínculo materializado por el hiJo permite al punto un desplazamiento en la direcci6n del radio de la circunferencia y dirigido hacia el centro de la misma, no siendo posible el desplazamiento opuesto debido a la inextensibilidad del hiJo. Es decir que es posible un desplazamiento virtual irreversible. En consecuencia, el vínculo es unilateral Un punto perteneciente a una chapa que experimenta un desplazamiento virtual, sufrirá un determinado corrimiento iilfinitésimo, corrimien-

..

, •

..,

te que no podrá ser cualquiera, sino que su dirección queda impuesta por

A

los vínculos de'! sistema material a que pertenece el punto. Por esta razón será un cordmiento virtual. Dos desplazamientos virtuales son equivalfmt8.! cuando es posible pasar del uno al C?tro multiplicando por una constante la intensidad de los corrimientos originados por uno de ellos. Un desplazamiento o corrimiento virtual de un sistema, es depondiente cuando es resultante de dos o más desplazamientos o corrimientos experimentados por el mismo sistema. En cambio, será independiente si no depende o equivale Q alguno o varios de ellos.

•

IU. Ptl l NCIP10 D6 LOS 1'RABAJOS VIRTUALQ

C;~.~ O y ~.l( .\' < O. Por otra parte, de la figura tenemos

[9.109J Fil. 9.60.

de donde

donde ~"'N es la variación de distancia entre los puntos M N Y 1], I '112 . ll_ los corrimientos verticales de los puntos de aplicación de las fuerzas. Supongamos que la chapa S, experimenta una rotación 6 1 > O. Como consecuencia de la misma, la S, sufrirá a su vez otra rotación 6 " que será en este caso negativa. Los polos de las mencionadas rotac:iones serán, para la. c:hapa 5 " ~a artic:u'lac:ión fija A y para la 5 . el punto B por enc:ontrarse alineado con 0, y A ,.t!i!ii- e y sobre la direcc:i6n del apoyo móvil B. Si aplic:amos en O, una elac:ión vertic:al (por ser verticales las fuer-

zas actuantes) de intensidad

e,

y llamamos" a la longitud de la malla

0"

-.

I

=-

1 0 1-:-,

[9.110J

"

R eemplazando en la [9.106] O2 por su valor dado por la [9.107] resulta

[9 . 111J Finalmente, de acuerdo con las [9.108], [9.110] Y [9.111] Y teniendo e n cuenta el signo de 6JlN , la [9. 103] se transforma en

del reticulado, los corrimientos ve(ticales de los puntos de aplicaci6n de P , y p . valdrán respectivamente

[9. 112] Despejando T Y considerando que 3}.

}

=

I .

[9.104J T =- P 1 +3 P z + 2P 3 6/

"

'

[9.113J

2

' 59

TRABAJO VIRTUAL

expresión que nos da en intensidad y signo, el esfuerzo en la barra M N . c) E sfuerzos ca ract erísticos en sistemas de alma JIena. H emos visto que para poder aplicar el principio de los trabajos virtuales a la determinación de incógnitas estáticas, es necesario ponerlas previamente en evidencia, confiriendo al sistema de puntos materiales un grado de libertad, para que en esta forma pueda experimentar des-plazamientos. En el caso de las reacciones de vínculo externo o esfuerzos en barras de reticulado, la incógnita la evidenciábamOll suprimiendo el vínculo externo o interno, y haciendo actuar en su reemplazo, la reacción que era capaz de desa rrol!a r. Vea mos ahora la forma de poner en evidencia los tres esCuerzos característicos de una sección cualquiera de un sistema de alma llena: momento flexor. esfuerzo !ie cort e y esfuerzo normal. Consideremos para ello el sistema de la fi gura 9. 6 1.!1, isostáticamente sust entado, y -sujeto a un estado de cargas P , . En una sección cualquiera s-s, las fuerzas exteriores, activas y reactivas, ubicadas a uno u otro la(al do de la misma, al ser reducidas a l baricentro -.,11 :;1'1 de fa sección dan origen a un momento flexor, un esfuerzo de corte y un esfuerzo axil o normal. Si pretendemos poner en evidencia el momento fIexor, debemos idea r un mecanismo ci(e) nemática que, ubicado en la sección que se Onrllice, no permita la propagación de momentos a Fig. 9.51. través de la misma. Pero d icho mecanismo sí debe permitir la transmisión de los esfuerzos normales y de corte. El m ecanismo mencionado se logra simplemente disponiendo una articulación en coincidencia con el baricentro de la sección considerada (fig. 9.6 1 b). Dicha ar ticulación es capaz de transmitir cualquier Cuer-

\

r4

\

rI

~

'60

EL PRINCiPiO DE LOS TRABAJOS VIRTUALIItIi

•

za de la parte izquierda a la derecha o viceversa, pero no así un par, por cuanto éste ha ría gira r la chapa en la cual estuviera aplicado, e n torno a dicha art iculación. Introducida la articulación, el sistema se transforma en una cadena cinemática de dos chapas, con tres condiciones de vínculo. En consecuencia, posee un grado de libertad, y como se encuentra cargada, no estará más en equilibrio, experimentando cada una de las chapas despla· zamientos que, en el caso de la figura, serán rotaciones en torno de polos propios. L a chapa de la d~recha experimentará con respecto a la de la izquierda una rotación relativa e n torno a la articulación introducida. Para restituir el equilibrio, y evitar la rotación relativa entre las partes, imaginemos dos chapas empotradas en las secciones extrem as de cada parte del sistema, inmediatas a la articulación, y supongamos actuando dos pares opuestos, uno en cada chapa, tales que se opongan a la rotación relativa (figura 9.61c). I mpedida de girar una parte del sistema con respecto a la otra, éste se encontrará en las cond iciones iniciales, es decir, se ha restit uido el equilibrio y al mismo tiempo evidenciado un par de pares, opuestos, que por definición materializan el momento f1exor. Supongamos ahora el mismo sistema de la figura 9.61 cortado en la sección s-s, y separadas ambas caras de la misma una distancia infinitésima di (fig. 9.628). Si vinculamos ahora las dos partes por medio de dos bielas paralelas y normales a la S'eCción (fig. 9.62 b) , el desplazamiento relativo posible de una parte r.especta de la otra es una traslación de dirección normal a la de las bielas, resulta ndo impedida toda rotación relativa y cualq uier traslación de la dirección de aquéllas. Por

~ -O

(e)

F iC. 9 62

-Q (b)

•

'" otra p arte, el mecanismo indicado, permite transmitir pares y esfuerzos normales entre las dos .partes del sistema, p ero no así esfuerzos de corte. En efecto, las dos fuerzas que constituyen el par pueden considerarse de rectas de acción coincidentes con los ejes de las b ielas, y ' como éstas son capaces de absorber esfuerzos colineales con ellas, están en condiciones de transmitir las fuerzas que forman el par, de una parte a la otra del sistema Lo mismo ocurre con el esfuerzo normal, que aplicado en el barice ntro de una cara de ' la sección y siendo normal a la misma, puede ser descompuQsto e n ' dos fuerzas paralelas coincidentes con los ejes d e: las bielas. No ocurre lo mismo con fuerzas contenidas en el plano de la secci6n, tal el esfuerzo de corte, por cuanto las mismas tenderlan a producir desplazamientos relativos entre las dos partes del sistema, precisamente de la direcci6n que permiten las bielas. Prácticamente, cuando se opera con sistemas de alma llena y se los 'representa por su eje, el mecanismo que permite poner en evidencia el esfu erzo de torte se indica esquemáticamente en la forma que muestra la figura 9.62--(c). Se hace notar que las dos fuerzas Q y -Q que mat erializan el esfuerzo d e corte en la secci6n, si bien aparecen como desplazadas, en realidad tienen la misma recta de acci6n, estando aplic~das cada una de ellas a una de las caras de la secci6n, infinitamente próximas entre si. Para evidenciar el esfuerzo normal recurrimos a un mecanismo cine. mático constit uido también por dos bielas paralelas, pero d ispuestas paralelamente al plano de la secci6n en la form a que indica la figura 9.63. Este mecanismo sólo permite desplazamientos rel~tivos entre 'las dos: partes del sistema, de direcci6n normal a la direcci6n de las bielas, impi~ diendo tanto las rotaciones relativas como las traslaciones relativas de la • direcci6n de las mismas.' Por otra parte, permite la propagaci6n de pares, .J'~empl azados por dos fuerzas de rect as de acci6n ' coincidente con los ejes

\5

PIe. 9 . 63.

'62

&J,.

,

PRlNC[pIO DE LOS TRABAJOS VIRTU.u.&I

de las bielas, o bien de esfuerzos de corte, materializarlos por dos fueuas, también coincidentes con aquéllas. En cambio, el esfuerzo axil, constituido por dos fuerzas opuestas normales al plano de la sección, y en consecuen~ da a las bielas, t iende a pr1ucir un desplazamiento relativo de ambas caras de aquélla, o a impedirlo. En la figura 9 . 63 (b) indicamos la forma esquemática de repr~ sentar dicho mecanismo. L a figura 9.64 (a) muestra un sistema isostáticamente sustentarlo, sujeto a un estado de cargas PI al que hemos puesto en evidencia el esfuerzo de corte en una sección s -s. P a ra ello. hemos cortado en la secci6n y a plicarlo a 18 misma el mecanismo cinemático de la figura 9.62, con lo que el sistema a.d quiere un grado (al de libertad. Por encontrarse sujeto a la acción de las 5 no se enconcargas t rará más en equilibrio y 5 las dos chapas en que ha quedado dividido el siste. ma, tenderán a desplazarse eb) relativamente en direcci6n normal a las bielas, es de. Fil. 9.64. cir, paralelamente al plano de la secci6n. Para restituirlo, a plicamos en a mbas caras de la misma, fuerzas opuestas que tiendan a evitar dicho desplazamiento relativo, y que máteria'liza n el esfuerzo de corte. En forma similar, hemos puesto en evidencia el esfuerzo normal en la sección, lo que ilustra la figura 9.64 (b) . De acuerdo con la convención adoptada, el signo del momento flexor coincide, para piezas horizontales e inclinadas, con el signo del momento de la resultante de las fuerzas ubicadas a la izquierda de la secci6n, con respecto al baricentro de la misma, y con el de la resultante de las ubicadas por debajo, si la pieza es vertical. En consecuencia, de los dos pares que materializan el momento flexor en la figura 9.64 (e), el que define el signo del mismo es el aplicado a la parte derecha del sistema, por cuanto es el que equilibra a la misma si se suprime la parte izquierda. Para una pieza vertical, el signo del momento flexor corr~pondería al par aplicado a la parte superior de las dos en que se divide la pieza.

p,.

2

TRABAJO VIRTUAL

563

La situación es análoga para el esfuerzo de corte, en que el signo del mismo se corresponde con el de la fuerza aplicada a la cara derecha de la sección, o a la BUperiOI'. si la pieza es vertical. Para el esfuerzo normal, el signo resulta de si la componente normal a la sección de WlO u otro lado de la misma, la comprime o tracciona. En este caso es indistinto considerar una u otra de las dos fuerzas que materializan el esfuerzo axil. Establecida la forma de poner en evidencia los tres esfuerzos cantcterísticos de una sección, veremos a continuación la forma de determinar sus valores aplicando el principio de"los trabajos virtuales. Sea la viga simplemente apoyada de la figura 9.65, sujeta a la acción de una carga distribuida de intensidad constante p ", " d~ la que pretendemos calcular el valor del mo~ mento flexor .)'11 en la sección s-s ubicada a una distancia 1, del apoyo A. Puesta en evidencia la incógnita, introduciendo una articulación en s-s y aplicando dos pares opuestos MI = -M2 en los extremos de las dos chapas en que ha quedado dividida la viga, damos Un desplazamiento cualquiera al sistema, previa la determinación de los polos, que es inmediata. Supongamos que S, experimente .una rotación- A, > o _ El trabajo desarrollado por ~ ~ {-tI carga pa.rcial distribuída Que actúa sobre aQll:élla, será igual Fig. 9.65. al producto de la intensidad de su resultante R, pI, por el corrimiento de su punto de aplicación en la direodón de R Que coincide con el corrimiento efectivo S , Y " cuyo valor es:

=

[9.114J y el trabajo desarrollado

564

EL PRINCIPIO DE

~S

Análogamente, para la ch,apa 52 tenemos:

[9.116J El trabajo de los dos pares será, llamando ..::A4 al momento f1exor,

[9.117J· y de acuerdo con el principio de los trabajos virtuales debemos tener

[9.118J Pero de la figura:

I 0, I = I 0, 1 ~ 1,

I

! l - t,

-0, - - -

}

[9.119J

valores que reemplazados en [9.118] conducen a

[9.120J de donde M

=

%(p/ I)[I - l¡)U I

=

%p[ll, - ln·

[9.121J

Si, en cambio, deseamos calcular el esfuerzo de corte en la sección indicada, lo ponemos en evidencia introduciendo en la misma el mecanismo correspondiente (fig. 9.66). Si y son las rotaciones experimentadas por las chapas S, y S2 durante el desplazamiento del sistema, como el desplazamiento relativo de 2 respecto de es en este caso una traslación, resulta = En consecuencia, tenemos

el

el e2 e e2.

e,

t.

pO,2 -p

[9.115J

9

To/'8AJOS ViRTUALES

° 1

(! -

4)' 2

1

[9.122J

El trabajo del conjunto de las dos fuerzas Que materializaD el

e90

,

'65

TRABAJO VIRTUAL

'66

Los corrimientos verticales de los puntos M y N de aplicación de las resultantes parciales R, y R " respectivamente, valen

fuerzo de corte es, como sabemos, igual al producto de la intensidad de una de ellas por la proyección sobre su dirección del corrimiento relativo de su -punto de aplicaci6n. En este caso, dicha proyección coincide con el corrimiento relativo, por cuanto las fuerzas Q y -Q son de la dirección de este ú ltimo. Considerando, para la expresión del trabajo, la fuerza Q aplicada a Fig.9.66. la chapa de la derecha, por cuanto coincide en signo con el esfuerzo de corte, resulta:

} } ~

,/ 1

" 1

por ser negativo el corrimiento relativo B z,.' En consecuencia, la ecuación de los trabajos virtuales será

I

I1

[9. 124J

q

, S,

5

.,N'~

i

XI $\' - O .

c) Línea de influencie: de V • . Para la dete rminación de la línea de influencia de V ., sustentamos la chapa auxiliar-mediante dos apoyos móviles horizontales y uno verti· cal y ponemos en evidencia la incógnita, una vez cargado el sistema,

suprimiendo el último apoyo mencionado y haciendo actuar en su reem· plazo V • . P ara un desplazam iento virtual cualquiera, la correspondiente ecua· ción de trabajo será:

[lO. 177 ]

P. 11/'+ V