Flexocompresion-3 891

 

 Alcívar Moreira W. Stalin Hormigón Armado III  Apuntes del Curso

FLEXO-COMPRESION BIAXIAL Una columna en una estructura tridimensional pertenece simultáneamente a dos pórticos  planos. Por lo tanto, está sometida a dos momentos de flexión, alrededor de ejes perpendiculares perpendiculares a dichos dos pórticos (usualmente estos ejes son X y Y), además de la carga axial. Entonces, es necesario un gráfico 3D que permita representar simultáneamente simultáneamente los casos de flexocompresión flexocompresión uniaxial a lo largo del eje Y (caso “a”), del eje X (caso “b”) y cualquier caso “intermedio” de flexocompresión biaxial (caso “c”) como se observa en la siguiente Figura 1. Figura  1.

Figura 1: Flexocompresión biaxial (fuente: Estructuras de Concreto Reforzado, Arthur Nilson)

Cualquier carga última (ØPn, ØMnx, ØMny) que se encuentre por dentro de los límites determinados en un gráfico como el de la Figura 1 es resistida por la sección, pero no, si se encuentra  por fuera. Un gráfico 3D como el de la Figura, puede simplificarse de dos maneras: 1. Si se conoce la carga axial a la que está sometida una sección, se puede usar el plano obtenido al cortar la Figura 1 horizontalmente (plano con carga axial constante conocida). 2. Si se conoce el ángulo λ , se puede usar el plano obtenido al cortar la Figura 1 verticalmente verticalmente (plano con ángulo λ  constante   constante de acuerdo a λ  =  = arc tan Mny/Mnx = arc tan φMny/ Mny/φ φMnx =arc tan Muy/Mux= arc tan ex/ey). La primera forma es la base del Método del Contorno y la segunda del Método de la Carga Inversa o de Bressler. Esta segunda alternativa necesita el uso de métodos computacionales. Existe también el método propuesto por el Ing. Marcelo Romo, quien ha elaborado diagramas de interacción  para flexión uniaxial paralelo a uno de los ejes principales y diagramas de interacció interacción n con flexión diagonal a 45°; mediante una combinación e interpolación de ambos diagramas se puede obtener la resultante para la flexión con el ángulo correspondiente correspondiente a cada caso.

 

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Método del Contorno El método del contorno de carga se basa en la representación de la superficie de falla de la figura 1 mediante una familia de curvas correspondientes a valores constantes de P. Las formas generales de estas curvas pueden aproximarse mediante una ecuación de interacción adimensional:  1

  2

 Mny    Mnx        Mnxo     Mnyo 

 1 

Donde  Mnx y  Mny son los momentos nominales alrededor de los ejes  X  y  y Y   respectivamente,  Mnxo  y  Mnyo, son los momentos nominales supuestos cuando sólo hay flexión uniaxial, α  es un coeficiente que estira o abomba la curva geométrica resultante.

 Mnx y Mny se pueden calcular dividiendo los momentos últimos para el factor de reducción de resistencia Ø. Mnxo y Mnyo, se calculan usando los diagramas de flexo-compresión uniaxial, donde se  parte de Pn=Pu/Ø para llegar a los momentos correspondientes. En este caso se tiene un gráfico como se indica en la Figura 2.

Figura 2: Método del Contorno (fuente: Apuntes de elementos a Flexocompresión, Pablo Caiza)

La Figura 2 muestraque la relación  y Mny/Mnyo , para varios valores  Mnx/Mnxo del coeficiente α, supuesto la cargaentre axiallos escocientes constante.  Mnx y  Mny  son los momentos nominales resistentes, obtenidos de un análisis biaxial, alrededor de los ejes X y Y respectivamente, y  Mnxo  y  Mnyo los momentos momentos nominales resistentes uniaxiales alrededor de los ejes X  y  y Y  respectivamente.   respectivamente. En su forma más general α no es igual i gual para flexión alrededor de X  y  y Y . Por otra parte, este coeficiente α depende de: a) Las dimensiones de la columna  b) Cantidad y distribución distribución del refuerzo refuerzo longitudinal c) Relaciones esfuerzo-deformación del hormigón y del acero d) Recubrimiento del hormigón e) Cantidad y espaciamiento de estribos La cantidad de parámetros involucrados dificulta su cálculo, por lo que se usan aproximaciones conservadoras. conservadora s. Por ejemplo, en el libro Estructura Estructurass de Concreto Reforzado de Arthur Nilson se indica

 

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que para columnas rectangulares y circulares α varía entre 1.15 y 1.55, por lo que se usaría el valor más conservador de 1.15. Aquí también, si el par de cocientes ( Mnx/Mnxo, Mny/Mnyo) cae dentro de la curva, la sección es capaz de resistirlos, y no en caso contrario. Método de la carga inversa (Método de Bressler) Adicionalmente al método anterior, fue desarrollado por Bressler el método de la carga inversa, el cual ha ganado reconocimiento gracias no sólo a su sencillez sino a su relativa exactitud.  Nótese en primer primer lugar que los momentos momentos son el producto producto de la carga carga axial axial por su excentricidad excentricidad respecto al centroide de la sección. Por tanto, un parámetro más relevante que el momento es el de la excentricidad. Al graficarla se obtiene la parte (a) de la Figura 3. Se observa que la forma relativamente estrecha del gráfico dificulta su uso. Sin embargo, si se invierte la carga axial, parte (b), la forma resultante es más fácil de usar. En este caso, interesa calcular los puntos A, B y C de la Parte (b), porque definen un plano relativamente relativame nte sencillo de calcular, cercano, cercano, pero más conservador que la superficie real (la carga axial resistente exacta Pn, exacta es mayor que la carga axial aproximada Pn, aproximada que se va a calcular).

Figura 3: Método de la carga inversa (fuente: Estructuras de Concreto Reforzado, Arthur Nilson)

El punto A se calcula de un diagrama de flexo-compresión uniaxial en donde a partir del momento Mnx=Mux/Ø se obtiene la carga axial denominada Pnxo, la cual se invierte. De manera similar se opera con el punto B, pero ahora con el momento Mny=Muy/Ø, para obtener Pnyo, que también se invierte. El punto C, es simplemente la carga axial inversa nominal Po cuando los momentos alrededor del X y Y valen simultáneamente simultáneamente cero. La ecuación de este plano relativamente conservador es: 1

Pn



1

Pnxo



1

Pnyo



1

Po

 

 

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Si la carga axial nominal Pn calculada como Pu/Ø es menor que la calculada con la ecuación anterior, entonces la sección soporta las cargas a las que está sometida y no, en caso contrario. Método del Ing. Marcelo Romo

El método parte de la consideración de que es posible obtener, con cierto grado de complejidad, curvas de interacción de columnas sometidas a flexión a ejes diagonales. Con el objeto de mejorar la precisión en el resultado, respecto al uso de diagramas uniaxiales, el Aci ha presentado curvas de Interacción con Flexión a 45° respecto a los Ejes Principales. Existen autores como Row y Pauley que recomiendan diagramas de interacción para más ángulos de flexión intermedios (15°, 30° y 45°), con el objeto de tener una mayor presión en la interpolación. El Ing. Marcelo Romo ha presentado una familia de curvas de interacción a flexión diagonal (un caso particular es la flexión a 45°), las cuales junto con las curvas de interacción respecto a los ejes principales permiten una interpolación angular bastante confiable para cualquier ángulo de flexión en columnas cuadradas. Es de indicar además que en la actualidad existen diversos programas de computador que permiten elaborar las curvas de flexión biaxial de columnas con relativa facilidad. Ejemplo de Aplicación del Método del Ing. Marcelo Romo. Diseñar una columna cuadrada de hormigón armado de 55cm x 55cm, que debe resistir las siguientes solicitaciones: Pu= 211.28 tn Mux= 35.28 tn-m Muy= 27.91 tn-m Considere: f’c= 210 kgf/cm2 y fy= 4200 kgf/cm 2  Pu= Carga axial última Mux= Momento último alrededor del eje ‘x’  ‘x’   Muy= Momento último alrededor del eje ‘y’  ‘y’  

Pasos a seguir: -  Se determina la dirección de análisis en función de los ánulos θ y β. β.    Mux tn       Muy tn  

b/2

  

h/2

 

-  Se calcula el factor de dimensión del núcleo, gx y gy, y se promedia para obtener g.  -  Se calcula el momento flector resultante de la suma vectorial de los momentos flectores.

 

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 Mu  Mux Mux

2



2

Muy Muy  

-  Con la carga axial última y el momento flector último resultante se determinan los coeficientes de entrada a las curvas de interacción adimensionales.  Mu   (para la flexión a 0°)  x 2  f ' c .b.t  

 Mu 

 f ' c. b 3/ 2. t 3/ 2  

 x

 y

Pu 

 f ' c. Ag

 

(para la flexión a β°)  β°)  (para ambos casos)

-  Se calcula el valor de la cuantía, para el caso de fle flexión xión a 0° y para el caso de flexión a β°.  β°.  -  Se interpola para finalmente obtener la cuantía de flexión para θ°.  θ°.  -  Se verifica el cumplir con las cuantías mínimas y máximas.