Flexion y carga Axial

5.- FLEXION Y CARGA AXIAL Esfuerzos por flexión Ocurre flexión cuando un elemento de sección constante y simétrica respecto al plano donde ocurre dicha flexión, se somete a momentos flectores, M, (o a cargas transversales); la figura 2.10 muestra un elemento, denominado ‘viga’, de sección rectangular sometido a flexión. Cuando la viga está sometida a momentos flectores, sin cargas transversales, como en el caso de la figura 2.10, ocurre flexión pura. Plano donde actúan las cargas y donde ocurre la flexión

M

M

Elemento inicialmente recto

Sección transversal Sección transversal

Figura 2.10 Elemento de sección rectangular sometido a flexión

El elemento sometido a flexión se curva, de tal manera que algunos puntos se alargan (puntos superiores de la viga de la figura 2.10), quedando sometidos a esfuerzos de tracción. Algunos se acortan (puntos inferiores), quedando a compresión, y otros no se deforman ni soportan esfuerzo. La figura 2.11.a muestra una viga con una sección de corte; se muestra el ‘plano neutro’ que es aquel que contiene los puntos de la viga que no sufren deformación ni esfuerzo. El plano neutro es perpendicular al plano donde ocurre la flexión, paralelo a la dirección axial de la viga, y pasa por el centroide de la sección. Para el sentido mostrado de M, los puntos por encima del plano neutro están a tracción (alargamiento) y los puntos por debajo están a compresión (acortamiento). Los estados de esfuerzo de los puntos más alejados del eje neutro son iguales a los producidos en carga axial (véase la figura 2.5).

Sección de corte

Puntos a tracción

T M

C

Plano neutro

Puntos a compresión

(a) Plano neutro. Algunas veces se utiliza el término ‘eje neutro’ como se muestra en la parte (b)

Como se dijo, en flexión se producen esfuerzos normales, de tracción y de compresión, distribuidos linealmente, tal como se muestra en la figura 2.11.b. Los puntos en el plano neutro no soportan esfuerzo, y el esfuerzo en un punto cualquiera es directamente proporcional a la distancia de dicho punto al plano neutro. De acuerdo con esto, los esfuerzos máximos, de tracción y de compresión, ocurren en los puntos más alejados del plano (o eje) neutro, y están dados por: St  Mct, y Sc −Mcc,

 Ec. 2.9

Donde S y S son los esfuerzos máximos de tracción y de compresión, respectivamente, c y c son las distancias desde el plano neutro hasta los puntos extremos a tracción y compresión respectivamente (figura 2.11.b), M es el momento flector en la sección a analizar, e I es el momento rectangular de inercia de la sección. La ecuación 2.9 es válida si la sección es simétrica respecto al plano donde ocurre la flexión (plano de aplicación de las cargas transversales, si las hay); tal es el caso de todas las secciones de la figura 2.12. Si además la sección es simétrica respecto al eje neutro, es decir, la sección es doblemente simétrica (véanse las figuras 2.12.a, b y c), el esfuerzo se puede expresar como:

(2.10)

s=±

Μc M =± Ι Z

Donde S es el esfuerzo en el punto extremo superior o inferior. El signo ‘+’ indica que el esfuerzo es de tracción y el signo ‘–’ indica que es de compresión, c es la distancia desde el plano neutro hasta los puntos extremos y Z = I/c es el módulo de la sección

E.N.

(a) Circular

E.N.

E.N.

E.

(b) Rectangular

(c) “I”

Figura 2.12 Algunas secciones transversales típicas de vigas. Las secciones (a), (b) y (c) son doblemente Simétricas. Las

Si existen cargas transversales sobre la viga, aparecen también esfuerzos cortantes, los cuales son más pequeños que los esfuerzos normales si la viga es ‘larga’ (esbelta). Una viga se considera ‘larga’ si su longitud es 10 o más veces la mayor dimensión de la sección. Es importante tener claro que en los puntos de mayores esfuerzos normales (puntos extremos) el esfuerzo cortante es igual a cero; por lo tanto, los puntos de análisis están sometidos sólo a esfuerzo normal. Las ecuaciones para flexión son válidas bajo las siguientes condiciones: 1. La viga es recta en dirección longitudinal (cuando no está cargada). 2. El punto a analizar no está situado en la proximidad del punto de aplicación de una fuerza, o de una discontinuidad de la sección. 3. El esfuerzo calculado en la superficie es válido si ésta es lisa. 4. La sección de la viga es simétrica con respecto al plano de aplicación de las cargas. 5. Las alas, si las hay (véanse las figuras 2.12.c, d y e), no están pandeadas. 6. La carga es estática. 7. El material es homogéneo. 8. La viga no está retorcida. 9. El material no tiene tensiones residuales. 10. El esfuerzo cortante (vertical) es despreciable comparado con el esfuerzo de flexión (esto sólo es válido para vigas largas, por lo tanto, se deberá hacer la comprobación de la combinación de esfuerzos cortante y normal de flexión en algún punto interior de la viga para vigas cortas y de madera). 11. No hay componente longitudinal de las fuerzas sobre la viga. 12. El esfuerzo permanece proporcional a la deformación (Ley de Hooke), es decir, el esfuerzo no sobrepasa el valor del límite de proporcionalidad. Esfuerzos en carga axial Cuando un elemento recto de sección constante, como el de la figura 2.4, se somete a un par de fuerzas axiales, F, aplicadas en el centroide de la sección transversal, se producen esfuerzos normales en todo el elemento. Bajo algunas condiciones adicionales (dadas más adelante), se dice que este elemento está sometido a carga axial, soportando un esfuerzo uniforme dado por:

(2.5)

S=±

F A

Donde A es el área de la sección transversal (el apéndice 2 presenta las fórmulas para el cálculo de las áreas y otras propiedades seccionales de algunas secciones comunes). El signo es positivo si el esfuerzo es de tracción, es decir, cuando la carga es de tracción (figura 2.4.a). Se toma el signo negativo para esfuerzos de compresión, producidos al aplicar una carga de compresión como la de la figura 2.4.b

Al hacer un corte en una sección cualquiera del elemento de la figura 2.4, se obtiene una distribución uniforme de esfuerzos en dicha sección, tal como se muestra en la figura 2.5.a, para tracción, y 2.5.b, para compresión. El estado de esfuerzo en cualquier punto de la sección es uniaxial (sólo hay esfuerzo en una dirección), como se muestra en la misma figura 2.5.

Figura 2.5 carga axial. Distribución uniforme de esfuerzos. El esfuerzo de cualquier punto es uniaxial.

Como se dijo, la ecuación 2.5 se cumple bajo ciertas condiciones ideales, las cuales sólo se cumplen aproximadamente en la práctica: 1. El elemento es completamente recto. 2. Las secciones a lo largo del material son uniformes. 3. La superficie es completamente lisa. 4. La sección a analizar está alejada de sitios de aplicación de cargas puntuales. 5. La carga F está aplicada exactamente en el centroíde de la sección del elemento y en dirección axial. 6. La carga es estática. 7. El material es completamente homogéneo. 8. El material no tiene tensiones residuales.

9. Si el elemento está en compresión, su longitud es tal que no existe posibilidad de pandeo Cuando las cargas son puntuales, como en las figuras 2.5 y 2.6, el esfuerzo calculado como S =  F/A es sólo el esfuerzo promedio, ya que el esfuerzo no se distribuye uniformemente. La figura 2.6 muestra las distribuciones de esfuerzo en una sección alejada del punto de aplicación de una carga puntual, y en una cercana a dicho punto

En muchas aplicaciones prácticas la carga es distribuida. Algunas aplicaciones con cargas puntuales se manejan con la teoría de esfuerzos de contacto (capítulo 10).

Figura 2.11 plano neutro y distribución de esfuerzos de una viga sometida a flexión

La flecha debida a la flexión producida por la carga excéntrica será despreciable comparada con la excentricidad

5.1 Carga excéntrica y núcleo central

La flecha debida a la flexión producida por la carga excéntrica será despreciable comparada con la

W1*b*

=

Núcleo de una sección Es la región alrededor del c.d.g.de la sección dentro de la cual si se aplica una carga de compresión P producirá compresión en toda la sección.

A (m, n) es el punto de aplicación de la carga P Los momentos de P respecto a los ejes OY y OZ serán Pn y Pm. Aplicando el principio de superposición, la tensión en cualquier punto de la sección transversal definido por las coordenadas (x, y), será: σ =P+ ( P ∙ m ) ∙ y + ( P∙ n ) ∙ zA Iz Iy

Igualando a cero el segundo miembro se obtiene la ecuación del lugar geométrico de los puntos de tensión nula en la sección transversal:

( P ∙ n) P ( P ∙ m) + ∙ y+ ∙ z=0 A Iz Iy

P m∙ y ∙ A n ∙ z ∙ A + + =0 A Iz Iy Introduciendo las notaciones para los radios de giro r z y ry:

ry=

1+

√ √

Iy Iz rz= A A

m∙ y n ∙ z + 2 =0 → RECTA r 2z ry

Fibras longitudinales de la zona no rayada de la sección transversal  COMPRESION Fibras longitudinales de la zona rayada de la sección transversal  TRACCION Las intersecciones u y v de las rectas con los ejes se determinan como sigue:



Con OZ:

y=0 1+

obtenemos v n∙ z =0 r 2y

n∙ z =−1 r 2y

¿V=



Con OY:

z=0 1+

−r 2y Z n

obtenemos u m∙ y =0 r 2z

m∙ y =−1 r 2z −r 2z Y ¿ U= m

Núcleo de una sección rectangular

Consideremos

h P∙ ) ∙ y ( P ∙ b )∙ Z ( 2 −b h P 2 A( − )σ = − − =0 2 2 A I I z

1−

Punto de corte con el eje OZ [ y=0 ]

y

h∙ y b∙z − =0 2∙ r 2Z 2 ∙r 2y b∙z =1 2 ∙ r 2y

1 b2 3 2 Iy= ∙ h ∙b A=b ∙ h r y = 12 12 2∙ r 2y b z= = b 6

h∙ y =1 2 ∙ r 2z

Punto de corte con el eje OY [ z=0 ]

Iz=

y=

1 h2 ∙ b ∙h 3 A=b ∙ h r 2z = 12 12

2∙ r 2z h = h 6

El núcleo central de un rombo cuyas diagonales son b/3 y h/3

Núcleo de una sección circular y n

n

z

z

A

y

P M σ = − =0 A W

P P∙ e − =0 A 1 ∙ A∙d 8

P 8∙e ∙ 1± =0 A d

(

)

8∙ e d =1→ e= d 8

5.2 Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión uniaxial La Tensión representa la intensidad de las fuerzas internas por unidad de área en diferentes puntos de una sección del sólido aislada (Fig. 1a). • El vector tensión S, se define como: S= lim

∆ A →0

∆ F dF = ∆ A dA

(1)

• La tensión tiene unidades de fuerza por unidad de área. • Un vector de esfuerzo, S, puede ser representado por los componentes normal y tangencial a la superficie analizada (Fig. 1b). Utilizando los vectores unitarios i, j, k, el vector de esfuerzo puede expresarse como:

S=σ x i+ τ xy j + τ xz k

(2)

Tanto los esfuerzos internos (N, Vi, Mi) como los componentes del vector tensión sobre sección determinada, están relacionados con las fuerzas internas que actúan sobre dicha sección. Por consiguiente, los componentes de la tensión y los esfuerzos internos deben estar relacionados entre sí.

Teniendo en cuenta que las componentes de un estado de esfuerzos (fuerzas y momentos internos) en un punto de la sección transversal son las resultantes de las tensiones normales y tangenciales que actúan en los puntos de la sección transversal (Fig. 2), los componentes del estado de esfuerzos pueden ser expresados mediante las siguientes ecuaciones (Ecuaciones Estáticas) ❑

❑

❑

A

A

A

N=∫ σ x dA V y =∫ τ xy dA V z =∫ τ xz dA (3) ❑ ❑ ❑ M x =∫ ( τ xz y −τ xy z ) dA M y =∫ σ x zdA M z=−∫ σ x ydA A

A

A

3 - Determinar la carga máxima que puede aplicarse cuando el esfuerzo en cualquier punto debe ser de 20 000 psi. Sol: p = 13 333.3 lb

P

3´´

Espesor = 3/4”

1´´

P

5.3 Ecuación de esfuerzos por carga normal axial y flexión biaxial Las estructuras sujetas a esfuerzos de flexión y cortante comúnmente son comúnmente utilizadas en sistema de piso, cubiertas y muros de la mina entre otros. A estos perfiles en sistemas de piso se les conoce como vigas y en sistemas de cubiertas ligeras y muros como polines. Por conveniencia, este trabajo los miembros sujetos a flexión y cortante serán llamados vigas. Para el diseño de vigas, la resistencia a flexión depende de las propiedades efectivas de la sección. En el caso de las almas en vigas, estas deberán diseñarse por cortante, combinación de flexión y cortante, aplastamiento y combinación de flexión y aplastamiento. Las vigas deben cumplir con los criterios de apoyo lateral especificados por el AISI, ya que la capacidad para resistir momento puede verse afectada por el pandeo lateral del elemento. El diseño a flexión del elemento debe realizarse para que no se excedan los estados límites de falla y de servicio. El estado límite a revisar es normalmente el de deformaciones máximas permisibles. El momento es el principal elemento mecánico a considerar para el diseño a flexión y este se determina a partir de la resistencia nominal a flexión y el factor de seguridad o resistencia dependiendo del método utilizado ya sea ASD o LRFD.

Método ASD:

Método LRFD:

M a=

Mn ≥ Mi Ωb ∑

(3.1)

M a=Φ bMa ≥ ∑ ϰMi

Para poder calcular la resistencia a flexión de la sección (Mn) el AISI en su sección C3.1.1 contempla dos métodos para obtener el momento de diseño de secciones sujetas a flexión que son: 

Método del inicio de fluencia



Método de la capacidad inelástica de reserva

METODO DEL INICIO DE FLUENCIA Este procedimiento considera el momento nominal (Mn) igual al momento de fluencia de acero (My), el cual se deduce a partir de las áreas efectivas de los elementos que componen la sección, puede ser calculado de las ecuaciones de diseño.

CAPACIDAD INELASTICA DE RESERVA

La mayoría de los perfiles laminados en frio tienen relaciones w/t que exceden considerablemente los límites impuestos por el diseño plástico, por lo que carecen de la capacidad para desarrollar articulaciones plásticas antes de que ocurra el pandeo local. El desarrollo de una articulación plástica implica la plastificación total de la sección es decir que todas las fibras de la sección hayan alcanzado el esfuerzo de fluencia del material. Uno de los impedimentos en las regiones de las secciones para alcanzar el esfuerzo de fluencia, es la presencia del pandeo local, pero puede darse el caso que la sección se plastifique parcialmente antes de que ocurra el pandeo, es entonces cuando se puede considerar la capacidad inelástica del perfil. Sin embargo, las limitaciones impuestos por el AISI, para implicar el método de capacidad inelástica de reserva no son generalmente cumplidas por los perfiles de fabricación nacional. Por consiguiente, en este trabajo no se usó dicho método.