Flexion Simple
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LT Paul CONSTANS RDM
Dossier référence
Cours Mécanique Fiche 1
FLEXION SIMPLE
Défini Déf initio tion n:
Une portion de poutre est sollicitée en flexion simple suivant l’axe z si z si pour chacune des sections droites, le torseur de cohésion se réduit, dans le repère R = (G, x , y, z ) de définition des sollicitations : 0 0 {T coh E 1}= R = Ty 0 coh }={ E 2 → M G G
0 Mfz Mfz (G, x, y, z ) G
Remarque : si Ty est nul, alors la sollicitation est appelée flexion appelée flexion pure Relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant dMfz =−Ty dx
Etude des contraintes normales
La poutre étant sollicitée en flexion simple, la ligne caractéristique peut être assimilée à un arc de cercle de rayon R rayon R appelé rayon de courbure
Au cours de la déformation, le tronçon considéré initialement prismatique se transforme en portion de tore de rayon moyen R intercepté d’un angle d α
MM’ est MM’ est une fibre du tronçon joignant deux points homologues des sections Σ et Σ' Les fibres situées dans le plan (G, x , z ) ne varient pas et sont appelées fibres appelées fibres neutres Les fibres au dessus de G (Y > 0) se raccourcissent et celles en dessous de G (Y < 0) s’allongent Rchr
14/11/12
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Cours Mécanique Fiche 2
FLEXION SIMPLE
Allongement / Raccourcissement relatif de la fibre M’M -
coordonnées du point M point M (Y M , Z M ) dans le repère local R = (G, x , y, z ) longueur initiale M’M initiale M’M = dx =−Y M d α
allongement relatif :
ε
dx
Expression de la contrainte normale
En exprimant la loi de Hooke définie par la relation
= E . , on obtient :
σ ε
E .Y M d α dx
σ M =−
-
-
la con contra train inte te norm normale ale est est nul nulle le sur sur la la fibre fibre neu neutr tree le signe s’inverse à la traversée du plan (G, x, z ) la répa réparti rtiti tion on est est liné linéai aire re sur sur la sect sectio ion n droi droite te le point point le la secti section on le plus plus solli sollicité cité est est celui celui qui est est le plus plus éloigné éloigné de de la fibre fibre neutre neutre
Relation entre contrainte normale et moment fléchissant fléchissant
Une coupure est effectuée au niveau de la section droite Σ M , Z M ) et d Σ un Soit un pont M de M de coordonnées ( X M ,Y élément de surface entourant M entourant M
L’action mécanique de cohésion s’écrit :
σ M .d Σ { S +→S −}= 0 0 M
0 0 σ M .d Σ = 0 0 0 − σ M .d Σ 0 0 Y . (G, x, y, z ) G (G, x, y, z )
Le moment fléchissant Mfz est la somme des moments en G des actions mécaniques élémentaires transmises par les éléments de surface d Σ constituant le section droite avec dMfz =−Y .σ M .d Σ
Mfz
∫
d
∫
d α d
d α
∫
d
σ
∫
d
σ M
=
Mfz Mfz .Y M
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Dossier référence
Cours Mécanique Fiche 3
FLEXION SIMPLE
∫
².d Σ (mm4) est le moment quadratique de la section La somme Y ². Σ
droite Σ par rapport à l’axe Gz que l’on notera I GZ . Le moment quadratique dépend uniquement de la géométrie de la section droite
∫
GZ = Y ².d Σ I GZ
Σ
Théorème de Huygens
Le moment quadratique d’une section par rapport à un axe contenu dans son plan est égal au moment quadratique de cette section par rapport à un axe parallèle au premier et passant par son barycentre, augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.
I Oy = I Gy +S .d ²
I Oy : moment quadratique de (S) par rapport à (O, y ) (mm4) I Gy : moment quadratique de (S) par rapport à (G, y ) (mm4) S : S : aire de la section (S) (mm²)
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Dossier référence
Cours Mécanique Fiche 4
FLEXION SIMPLE
Décomposer (S) en deux rectangles (1) AKEF et (2) BCDK I 1G1 x =100 x103 ; 12 I 1Gx = I 1G1 x + S 1.d ²=100.103 +(100.10).10² =105 +105 12 12 I 2G2 x =10.503 12 I 2Gx = I 2G2 x + S 2.d ²=10.503 +(50.10).20²=125.104 +20.104 12 12 I Gx = I 1Gx + I 2Gx =41,2.104mm4
Module de flexion GZ On appelle module de flexion la quantité I GZ en mm3. C’est une caractéristique courante des profilés. Y max
Contrainte normale maximale σ max
= contrainte normale maximale (Mpa)
I GZ GZ = module de flexion (mm 3) Y max Mfz = moment de flexion sur z sur z (N.mm)
Mfz I GZ Y max
σ max= −
Condition de résistance à la contrainte normale
R pe : contrainte pratique de limite élastique (Mpa) = Re s Re : contrainte de limite élastique (Mpa) s : coefficient de sécurité σ max = contrainte normale maximale (Mpa) kt : kt : coefficient de concentration de contrainte
kt .σ max ≤ R pe
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FLEXION SIMPLE
Cours Mécanique Fiche 5
Soit une poutre AB sollicitée en flexion simple et ( A, x , y, z ) un repère d’étude global qui ne se déplace pas lorsque la poutre se déforme. x) C est la ligne caractéristique de la poutre déformée considérée comme la graphe de la fonction y = f ( x l’équation de la déformée s’obtient par intégration successive de y’’ Exemple
− F . x M fz y''( x)= = 2 = − F . x E . I GZ E . I GZ 2. E . I GZ 2 E . I . GZ y . ''=− F x . première intégration 2 E . I . GZ y . '=− F . x² +C 1 2 4 E . I . GZ y . '=− F x . ² +C 1 recherche de C1 : y’=0 pour x x = l/2 (symétrie de la déformée) 0=− F .l ² +C 1⇒C 1= F .l ² 4 4 4 E . I . GZ y . '=− F x . ²+ F .l ² 4 deuxième intégration : . 3 + F .l ². x +C 2 = −4 F . x . 3 +3 F . .l ². x +C 2 4 E . I . GZ y . =− F . x3 + F .l ² x . +C 2 =− F x 3 4 3 4 12 recherche de C2 : y=0 pour x x = 0 (appui ponctuel d’axe y ) . x . 3 +3 F . .l ². x y = −4 F y est maxi pour x x = l/2 (symétrie de la déformée) 48 E . I . GZ 3
−4 F . . l +3 F . .l ². l F (− 4l 3 + 3l 3 ) F (− l 3 + 3l 3 ) F ( 2l 3 ) 8 2= 8 2 = 2 2 = 2 y = 48 E . I . GZ
y= F .l 3 48. E . I GZ
48 E . I . GZ
48 E . I . GZ
48 E . I . GZ
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Dossier référence FLEXION SIMPLE
Formulaire des poutres
Cours Mécanique Fiche 6
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Cours Mécanique Fiche 7
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Cours Mécanique Fiche 8
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Cours Mécanique Fiche 9
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Dossier référence FLEXION SIMPLE
Cours Mécanique Fiche 10
Contrainte tangentielle
Ty est l’effort tranchant (N) S est S est la surface de la coupure Σ (mm²) τ Ymoy est la contrainte tangentielle (Mpa)
τ Ymoy=
Ty S
Contrainte tangentielle maximale Section rectangulaire τ max
= 3τ moy
τ max
= 4τ moy
2
Section circulaire
3
Autres sections τ max
= 3 τ moy 2 S A
Si l’épaisseur est petite devant les autres dimensions tranversales, on peut considérer que seule la section SA (partie grisée) travaille au cisaillement
Condition de résistance à la contrainte tangentielle
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Cours Mécanique Fiche 11
FLEXION SIMPLE
Exemple 3
Etude statique . et On déduit Y 1→S = Y 2→S = F 3→S = 10,5 N donc A1→S =10.5 y 2 1 B2→S =10.5 y . Torseur de cohésion pour 0≤ x≤ l 2
2
F = 21 N l = 600 mm b= 20 mm h = 4 mm Matiere : A60 E = 200 000 Mpa Mpa Re = 340 Mpa R g = 0.6 Re s=2
0 0 0 0 0 0 = −0.5 F 0 = −10.5 0 {T coh} ={ S + →S −} = − 0.5 F 0 0 0( A, x, y, z ) G 0 0,5 xF (G, x, y, z ) G 0 10.5 x(G, x, y, z ) A
l Torseur de cohésion pour ≤ x≤l 2
0 0 0 0 0 0 {T coh} ={ S − →S +}= 0.5 F 0 0 0 = 0.5 F = 10.5 0 0( B, x, y, z ) G 0 0,5 F (l − x)(G, x, y, z ) G 0 −10.5 x+6300(G, x, y, z ) B
Diagrammes 10,5 N
10,5 N
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Dossier référence FLEXION SIMPLE
Cours Mécanique Fiche 12
Contrainte tangentielle maximale 3 3 0.5 F = 3.10.5 =0.19 MPa MPa max = τ moy= . τ max 2 2 b.h 2 20.4 Condition de résistance
R pg → τ Y m ax≤ 0.6 Re → 0.1 9≤ 0.6 3 4 0→ 0.1 9≤1 0 2 la condition est vérifiée avec un rapport τ max =0.00059 Re 2 s
τ Y m ax≤
Conclusion La poutre soumise à la flexion simple est plus sensible aux contraintes normales qu’aux contraintes tangentielles. Le calcul de résistance d’une poutre sollicitée en flexion simple se fait selon le critère de la contrainte normale
Calcul de la flèche maximale 21.6003 =4.42mm f ( l )= P .l 3 = 20.43 48 . 200000 . 2 48 E . I . GZ 12
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B A
Fiche 13
FLEXION SIMPLE
=
C D
+
B A
D
Exemple On considère un IPE 180 reposant sur deux appuis linéaires rectilignes parfaits en A et B Cette poutre, dont on ne négligera pas le poids supporte en C une charge verticale concentrée C 4→1=−1200 y . Hypothèses : -
Cours Mécanique
poids li linéique : p : p = 188 N/m 4 moment quadratique I GZ GZ = 1 317 cm module de Young : E = 2.105 Mpa longueur l l = 3m
Calculer la flèche en I, milieu de la poutre
Considérons dans un premier temps temps la poutre soumise soumise à la
C A
D
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Dossier référence
Cours Mécanique Fiche 14
FLEXION SIMPLE
y
Exemple 1
F
Une poutre AB en HEA 600 (I GZ/v = 4786 cm3 ; E = 2.105 MPa) de longueur l = 4m encastrée à ses deux
S
extrémités supporte en C une charge F =−5000 y . 1
Déterminer les actions en A et B Equations de statique : A1→S = B2→S = F / 2 (symétrie) M A1→S − Fl + M B2→S + B2→S .l =0 : 2 M A1→S − Fl + M B2→S + Fl =0 2 2 donc M A1→S = M B1→ S
A
l/2
B
2
l
y
F
M B2→S x
M A1→S A
le système est hyperstatique d’ordre 1
C
x
A1→S
C
B
B2→S
Equation de déformation : l Calcul du moment fléchissant quand 0≤ x≤ 2 0 0 0 0 {T coh} =−{T ext →S −} = − A1→S 0 0 . − M A1→S = A1→S M fz = A1→S x 0 M A1→S − A1→S x . . 0 − M A1→S + A1→S x
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Cours Mécanique Fiche 15
FLEXION SIMPLE
0 0 0 0 0 0 0 0 F F F {Tcoh} =−{T ext →S − } = − F / 2 0 0 0 0 = − 2 = − 2 = − 2 Fx 0 M A1→ S − 0 − M A1→S + Fx 0 − Fl + Fx 0 F .( x − l ) 2 G 2 G 8 2 G 2 4 G 0 0 0 − x F 0 0 M G →S = M A1→ S +GA∧ A1→S = 0 + 0 ∧ = 0 + 0 = 0 = Fl − Fx z . Fl 0 2 Fl − Fx Fl − Fx 8 2 0 8 8 2 8 2 l Torseur de cohésion pour ≤ x≤l 2
0 0 0 0 F F = 0 0 2 2 .l + F (l − x) 0 F .(− l +(l − x)) 0 − F 2 4 8 2 G G
0 0 F {Tcoh} ={T ext →S + }= 0 = 2 0 M B2→S + B2→S .(l − x) G
0 0 0 l − x F 0 0 F (l − x) = =− Fl + M G2→S = M B2→S +GB∧ B2→ S = 0 + 0 ∧ = 0 + 0 0 z . 2 Fl F (l − x) Fl F (l − x) 8 2 Fl 0 − − + 0 8 − 8 2 8 2 Effort tranchant 0≤ x≤ l : Ty =− F =−2500 N 2 2 l F
y
M A1→S
F
M B2→S
x
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Dossier référence FLEXION SIMPLE
5000.4000 =−1,74mm y( l )=− 2 192.200000.4786000 3
Cours Mécanique Fiche 16
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