FLEXION ROBERTO ROCHEL AWAD

FLEXION ROBERTO ROCHEL AWAD

NSR-10 Sec. C.10.4.1

La separación entre los apoyos laterales de una viga no debe exceder de 50 veces el menor ancho b dell al de ala a o ca cara ra de co comp mpre resi sión ón.. NSR-10 Sec. C.10.8.9.3

Par ara a vi viga gass co cons nstr trui uida dass ínt nteg egra rame ment nte e co con n su suss ap apoy oyos os,, se pe perm rmit ite e di dise seña ñarr co con n bas ase e en los mo mome ment ntos os en la cara ca ra de los ap apoy oyos os..

NSR-10 Sec. C.10.3.5.1

Se permite el uso de refuerzo de compresión en conjunto con refuerzo adicional de tracción para pa ra au aume ment ntar ar la re resi sist sten enci cia a de el elem emen ento toss so some metitido doss a fle flexi xión ón.. NSR-10 Sec. CR.10.10.2.7

1 se to toma marrá co como mo 0. 0.8 85 par ara a hor ormi mig gone ness co con n f’c   280 kgf / cm2. Pa Para ra re resi sist sten enci cias as su supe peri rior ores es 2 2 se reduce a razón de 0.05 por cada 70 kgf / cm de exceso sobre 280 kgf / cm pero  1 no se será rá infe in feri rior or a 0. 0.65 65

NOMENCLATURA r 

b = Base h = Altura d = Altura efectiva E.N. = Eje neutro c = profundidad del eje neutro r = Recubrimiento de = Diámetro del estribo db = Diámetro de la barra longitudinal

c

de

db

Zona compresión

h

Zona tracción

db

r  b

d’ = r + de + db/2

d

E.N.

de

d = h  – r  – de  – db/2

d’

REQUISITOS PARA EL RECUBRIMIENTO DEL REFUERZO

El recubrimiento tiene por   finalidad la protección del refuerzo de la corrosión y el fuego, por tanto, su magnitud depende de la importancia de estos agentes agresivos.

r 

NSR-10, Sec. C.7.7.1 Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a el:

Estribo r 

r  Refuerzo principal

r 

El recubrimiento se mide desde la superficie exterior  del concreto hasta la superficie exterior del acero.

r = 75 mm

Concreto expuesto al suelo o la intemperie: Barras > 3/4” r  = 50 mm Barras < 7/8””

r = 40 mm

Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo: Losas, muros y viguetas Barras No 11 y menores r = 20 mm Vigas y columnas  Armadura principal, Estribos, espirales

r = 40 mm

Cascaras y placas delgadas Barras > 5/8” Barras < 3/4”

r = 20 mm r = 13 mm

SEPARACION LIBRE ENTRE BARRAS DE REFUERZO, s NSR-10 Sec. C.7.6.1 La separación libre no debe ser menor que el mayor de los siguientes valores: s1  2,5 cm s1  1,33 veces el tamaño máximo del agregado s1  Diámetro de la mayor barra, d b NSR-10 Sec. C.7.6.2 Cuando el refuerzo se coloca en dos capas, la separación libre entre ellas no será inferior a 2,5 cm.

s1 2,5 cm

EQUILIBRIO ESTATICO FLEXO COMPRESION

Pu

Pu



c

 A’s

c=0003

0,85 f’c a=1*c

e

d

 As b

Cs

f’s

d

h

d’

d’

d’

f s

a/2

Cc

e

d-a/2 Ts

s=   c Deformaciones unitarias

Esfuerzos

Fuerzas

Pu = Cc + Cs – Ts

Pu =  *  A’s*f’s + 0,85 f’c*a*b  –  As*f s 

Pu*e = Cs *(d –d’) + Cc * (d – a/2)

Pu*e =  *  A’s*f’s *(d –d’) + 0,85 f’c*a*b * (d – a/2) 

FLEXION Refuerzo a tracción ROBERTO ROCHEL AWAD

EQUILIBRIO ESTATICO EN FLEXION, (VIGAS P u = 0) uc=0003

0,85 f’c Cu

a=1*c

c

d

d

h  As b

f y

d-a/2 Tu

y

Deformaciones unitarias

Tu =   As  f y =     bd  f y

  0,85 f’c   1  c * b =     bd  f y

Mu =   As  f y  (d –1  c /2)

Fuerzas

Esfuerzos

Cu =   0,85 f’c  a  b =   0,85 f’c  1  c  b Cu = Tu

a/2

c=

 ∗ f y d 0,85 ∗ 1 ∗ f ′  

Mu =   As  f y  ( 1 – 0,59      )  d 

Mu

f c bd2 0.35 0.25 0.20 0.15

Mu

0.10

  c bd 2

= q  (1 - 0,59q)

0.05 0

0.05

0.10

0.15

q

0.20 =

0.25

   y /  'c

0.30

0.35

0.40

0.45

CUANTIA DE DISEÑO Cc = Tu

  0,85 f’c  a  b =     bd  f y

a =   (f y / 0,85 f’ c)  d

m = f y / 0,85 f’c

a =  md

Mu =   As  f y  (d –a/2) =     bd  f y  (d –   m  d / 2) Mu =     f y  (1 –   m / 2)  * bd2

  f y  (m /2)  2 -   f y   - K = 0

K =     f y  (1 –   m /2)

=

1 m

    1    

Mu = K  bd2 1

     

2mK  

 f y

CONDICION DE DEFORMACION BALANCEADA NSR-10 Sec. C.10.3.2

La condición de deformación balanceada se presenta cuando el acero alcanza su deformación unitaria correspondiente a f y al mismo tiempo que el concreto a compresión alcanza su deformación unitaria supuesta de: uc.= 0,003 uc=0003

0,85 f’c Cu

a=1*c

c

d

d

h  As b

f y

Es = 2’000,000 kgf / uc = 0.003 f  / E

d-a/2 Tu

y =0003 c

Deformaciones unitarias

Fuerzas

Esfuerzos

uc / cb = y / (d - cb)

Del diagrama de deformaciones: Para

a/2

cm 2

NSR-10 Sec. C.8.5.2 NSR-10 Sec. C.10.3.2

c =

6. 6.+  

*d

CUANTIA BALANCEADA uc=0003

0,85 f’c Cu

a= 1*c

c

d

d

h  As b

d-a/2

f y

Tu

y

 

Tu =   As  f y =   b  bd  f y c =

 = 0,85 1   ∗ * cb 

 = 0,85 1

Fuerzas

Esfuerzos

Deformaciones unitarias

Cu =   0,85 f’c  a  b =   0,85 f’c  1  cb  b Cu = Tu

a/2

   

*

6. 6.+  

6. 6.+  

*d

REFUERZO MINIMO A FLEXION NSR-10 Sec. C.10.5.1

A min =

A min =

,2∗    

,∗    

∗b∗d

∗b∗d





  ,4∗∗  

  4∗∗  

MPa

kgf/cm2

NSR-10 Sec. C.10.5.3

Estos limites no necesitan ser aplicados si en cada sección As proporcionado es al menos un tercio superior al requerido por análisis

REFUERZO MAXIMO A FLEXION DEFORMACION MAXIMA PERMITIDA EN EL REFUERZO , t máx. Para elementos a flexión con carga axial inferior a 0,1 f’c * Ag, “ puede ser menor 0,004. NSR-10 Sec. C.10.3.5

t”

en el estado de resistencia nominal no

En la NSR-98 (Sec. C.10.3.3) se restringía la cuantía máxima de diseño, máx., a un valor de 0,75b, que en términos de deformaciones corresponde a una deformación unitaria del refuerzo  t = 0,0038. El limite adoptado por la NSR-10 es prácticamente el mismo. NSR-10 Sec. C.10.3.5

t ma x.

= 0,0040

c=0003 c

 

NSR-98 Sec. C.10.3.3

max.

= 0,75

b

La cuantía es directamente proporcional a “c”:

, 

t =  −

c = 0,429 d

d-c max.

= 0,73

b

t = b = f y / Es = 0,0021

Para f y = 4.200 kgf/cm2

cb = 0,588 d cb = 0,588 d

b

c=?

0,75b



c = 0,441 d t ma x.

= 0,0038

SECCIONES CONTROLADAS POR TRACCION NSR-10 Sec. C.10.3.3

Una sección es controlada por la tracción cuando la deformación unitaria del acero a tracción, t, es igual o mayor de 0,005, cuando el concreto a compresión alcanza su deformación unitaria supuesta de: uc = 0,003. Este limite garantiza un comportamiento dúcil de la sección, se espera una falla por flexión con agrietamiento excesivo que permite prever la falla. c=0003

, 

c

,

0,85 f’c  1  cd =  bd f y

 −

c = 0,375 d

d-c

t=0 005

=

La cuantía es directamente proporcional a “c”,

cb = 0,588 d

b

c = 0,375 d

?



 = 0,638 b

Para: f y = 4200 kgf / cm2 cb = 0,588 d

Controla la tracción cuando:



0,638 0,005

b

SECCIONES CONTROLADAS POR COMPRESION NSR-10 Sec. C.10.3.4

Una sección es controlada por la compresión cuando la deformación unitaria del acero a tracción, t, es igual o menor de 0,002 cuando el concreto a compresión alcanza su deformación unitaria supuesta de: uc = 0,003 Se prevé una falla frágil, explosiva, sin aviso previo c=0003

, 

c

,2

0,85 f’c  1  cb =  bd f y

 −

c = 0,600 d

d-c

t=0 002

=

La cuantía es directamente proporcional a “c”,

cb = 0,588 d

b

c = 0,600 d

?



 = 1,02 b

Para: f y = 4200 kgf / cm2 cb = 0,588 d

Controla la compresión cuando: 

1,02 0,002

b

SECCIONES EN TRANSICION NSR-10 Sec. C.10.3.4

Las secciones con t entre 0,002 y 0,005 constituyen una región de transición entre las secciones controladas por la compresión y las controladas por la tracción. 0,638

Secciones en transición cuando:

0.005

Controla la tracción cuando:



0,638

t

0,005

Controla la compresión cuando:  t

t

b

1,02 0,002

1,02

b

b

0,002

b

DISTRIBUCION DEL REFUERZO A TRACCION NSR-10 Sec. C.10.6.7

Cuando la altura de una viga o vigueta, h, sea superior a 90 cm, debe colocarse refuerzo superficial longitudinal, distribuido en ambas caras laterales del elemento, dentro de una distancia h/2 cercana a la cara a tracción. Refuerzo de tracción Flexión positiva s s

Refuerzo superficial h

h

s s s s

s

h/2

s

h/2

DISTRIBUCION DEL REFUERZO A TRACCION NSR-10 Sec. C.10.6.7

El refuerzo longitudinal adicional, en las zonas de tracción, se coloca con el fin de controlar el agrietamiento en el alma de la viga. Si se omite este refuerzo auxiliar el ancho de la grieta puede exceder el ancho de las grietas a nivel de refuerzo por flexión. No se especifica el tamaño del refuerzo longitudinal. El espaciamiento, mas que el tamaño, es de gran importancia. Se acostumbra a colocar desde barras No 3 hasta barras No 5 o mallas electrosoldadas.

SEPARACION DEL REFUERZO A TRACCION, s NSR-10 Sec. C.10.6.4

El espaciamiento, s, no debe ser mayor que: s  380 ∗

2

s  380 ∗

  2

 

 

- 2.5 cc   300 ∗

2

- 2.5 cc   30 ∗

  2

MPa

 

Kgf / cm2

 

cc es la menor distancia de la superficie de refuerzo a la cara de tracción. f s esfuerzo del refuerzo mas cercano a la cara de tracción en condiciones de servicio. Se permite tomar  2/3 de f y Para el caso común de una viga reforzada con acero de f y = 4200 kgf/cm2 y cc = 5 c m ( r + de), se tiene: f s = 2 / 3 * fy  = 2800 kgf/cm2 el espaciamiento máximo “s” es de 25,5 cm

SEPARACION DEL REFUERZO A TRACCION, s NSR-10 Sec. C.10.6.4

El espaciamiento de las barras tiene como objetivo controlar la fisuración. Esta disposición intenta limitar el ancho de la grieta a un ancho aceptable pero que puede variar ampliamente dentro de una misma estructura. La influencia de las grietas en la corrosión del refuerzo aun es un tema en discusión. Las investigaciones muestran que la corrosión no esta claramente relacionada con el ancho de la fisura a nivel de cargas de servicio. Por esta razón se ha eliminado la distinción entre exposición interior y exterior.

FLEXION Refuerzo a compresión NSR-10 SEC. C.10.3.5.1 Se permite el uso de refuerzo de compresión en conjunto con refuerzo

adicional de tracción para aumentar la resistencia de elementos sometidos a flexión.

Cuando una sección es solicitada por un momento superior al máximo permitido en condiciones sub reforzadas una solución se obtiene colocando aceros de refuerzo adicionales en las zonas de tracción y de compresión, para no modificar las dimensiones de la sección. Ventajas: a) Mejora el confinamiento del concreto incrementando la ductilidad de la sección. b) Reduce el flujo plástico y la retracción del fraguado. c) Disminuye la magnitud de la flecha plastica.

Nomenclatura: 0,85f’c

uc f’s

a

f s

 A’s

d’

d ’

c d

’s d

h

 As

s

b

 A's = Área del refuerzo localizada en la zona de compresiones.  As = Área del refuerzo localizada en la zona de tracciones.

c = Cuantía del acero a compresión (A´s / bd).  = t

= Cuantía del acero a tracción (As / bd).

Mu = Momento externo mayorado. Mmáx M

= Máximo momento resistente permitido en condiciones sub-reforzadas.

= M - Mmáx = Momento que obliga a doble reforzar la sección.

0,85f’c

a

 A’s

d ’

d

=

h

 As

a d  As max b

b

f y



 A’s

f y

d’ d

 As1

f y

b

a) Cálculo de la armadura a tracción:

 As = As máx + As1

 As máx =  máx * bd

max = 0,85 1

   

6.

* 6.+  



d-d’

Mc =  * As1 * f y * (d - d') M

  As =  máx * bd + ∗  ∗ −  

0,85f’c

a

 A’s

d ’

 As

d

h

=

a d  As max b

b

f y



 A’s

f y

d’ d

 As1

d-d’ f y

b

a) Cálculo de la armadura a compresión: El diseño más económico se logra cuando el acero empleado a compresión alcanza su tensión de fluencia, f s = f s = f y, con lo cual se deduce que: As1 = As.

 A’s =

M

∗ ∗ −

f’c =

f y = b = d =

kgf/cm2 kgf/cm2 cm cm

d’ =

cm

Mu =

t-m

 = 0,90

Si

1 = 0,85

f’c  280

No

1 = 0,85 - 0,05*(f’c -280)/70

m = f y / 0,85 f’c

max = 0,73   f’c  6.000 / [ (f y  (6.000 + fy) ] Kmax =    max f y  [ 1 - max  m / 2 ] Mmax = Kmax  bd2

min = 0,80 f’c / f y  14/ f y

Si

K  Mu / bd2

=

Si

 = min

[1-

1 

  min

2mK

y

Mu  Mmax

]/m No

 A’s = 0

 As =   bd

No

Mc  Mu - Mmax

 A’s = Mc / [ (

 f y (d – d’) ]

 As = max  bd2 ´+ A’s

 A’s =

 As =