Flexion de Vigas Asimetricas

FLEXION DE VIGAS ASIMETRICAS Para el análisis de esta se debe estudiar el comportamiento de miembros sometidos a flexión pura de sección transversal asimétrica, considerando que "cuando una viga asimétrica se encuentra sometida a flexión pura, el plano del momento flexionante es perpendicular a la superficie neutra sólo si los ejes centroidales de la sección transversal son los ejes principales de la misma". Los ejes principales son aquellos con respecto a los cuales la sección transversal presenta sus momentos de inercia máximo y mínimo, siendo, El producto de inercia para estos es cero. Por tanto si un momento flexionante actúa en uno de los planos principales, este plano será el plano de flexión y se podrá aplicar la teoría de flexión vista anteriormente (s=Mc/I). Para esto se hallan los ejes centroidales de la sección con respecto a los cuales se descompone el momento aplicado M, obteniéndose los momentos My y Mz mostrados en la figura que se presenta a continuación. Por lo general el eje neutro no es perpendicular al plano en el que actúa el momento aplicado; por lo tanto los ángulos b y q no son iguales salvo cuando q = 0, q = 900, e Iz = Iy. En los análisis anteriores de la flexión supusimos que las vigas tenían secciones transversales con un eje de simetría mínimo. Para este tema vamos a considerar vigas con secciones transversales asimétricas también para este análisis anterior, supondremos que las vigas son de materiales elásticos lineales Supongamos que una viga con sección transversal está sometida a un momento flexionante M que actúa en la sección trasversal extrema. Figura 6.19 a Queremos conocer los esfuerzos en la viga y el eje neutro. Sin embargo no hay manera directa de establecer estas cantidades; por lo tanto usaremos un procedimiento indirecto: en vez de comenzar con un momento flexionante y tratar de encontrar el eje neutro, partiremos del eje neutro supuesto y hallaremos el momento flexionante. 1. Construimos dos ejes perpendiculares y y z en un punto seleccionado de forma arbitraria en el plano de la sección transversal. 2. Después suponemos que la viga esta flexionada de manera tal que el eje z es el eje neutro de la sección trasversal en consecuencia la viga se deflexiona en el plano xy que es el plano de flexión 3. En estas condiciones el esfuerzo normal que actúa sobre un elemento de área de A localizado a una distancia del eje neutro es:

σ x =−E k y y

El signo menos se necesita porque la parte de la viga arriba del eje neutro está en compresión cuando la curvatura es positiva. La fuerza que actúa sobre el elemento de A es σ x dA y la fuerza resultante que actúa sobre toda la sección transversal es la integral de esta fuerza elemental sobre el área la de la sección transversal dado que la viga está a flexión pura la fuerza resultante debe ser 0 ❑

❑

A

A

∫ σ x dA=∫ E k y ydA=0 El módulo de elasticidad y la curvatura son constantes en cualquier sección transversal dada, por lo que ❑

∫ y dA=0 A

Esta ecuación muestra que el eje neutro pasa por el centroide C de la sección transversal. Los momentos flexionantes son ❑

❑

A

A

Mz

y

My

de los ejes z y y respectivamente

M z =−∫ σ x y dA=k y E∫ y 2 dA=k y E I z ❑

❑

A

A

M y =∫ σ x z dA=k y E∫ yz dA=−k y E I y z En estas ecuaciones I z es el momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje z e I y z es el producto de inercia con respecto a los ejes y y z. Conclusiones: si le eje z se escoge en una dirección arbitraria que pase por M z actúan el centroide será el eje neutro solo si los momentos M y respecto a los ejes y y z y nada más si esos momentos están en la razón establecida por las ecuaciones de M y y M z . Si el eje z se toma como eje principal, el producto de inercia I y z es igual a cero y el único momento flexionante es el M z . En este caso el eje z es el eje neutro, la flexión tiene lugar en el plano xy y el momento M z actúa en ese mismo plano así entonces la flexión se presenta de manera análoga a como lo hace en una viga simétrica. PROCEDIMIENRO PARA REALIZAR UNA VIGA ASIMETRICA Comenzamos localizando el centroide de la sección transversal y construimos un conjunto de ejes principales en ese punto a continuación e l momento flexionante M se descompone en las componentes M y y M z , positivas. Estas componentes son:

M y =Msenθ

M z =Mcosθ

Donde

θ es el angulo entre el vector M y el eje z.

Puesto que cada componente actúa en el plano principal, produce flexión pura en dicho plano. Asi pues las formulas usuales para flexión pura son aplicables y resulta sencillo encontrar los esfuerzos debidos a los momentos M y y M z que actúan por separado. Los esfuerzos de flexión obtenidos de los momentos que están actuando por separado se sobreponen para obtener los esfuerzos producidos por el momento flexionante M. La superposición de los esfuerzos de flexión para obtener el esfuerzo resultante en cualquier punto en la sección transversal esta dada por la ecuación.

σ x=

M y Z M z Y ( Mcosθ ) z ( Mcosθ ) y − = − Iy Iz Iy Iz

En donde Y y Z son las ordenadas del punto en consideración. La ecuación del neutro nn se obtiene al igualar

σx

a cero y simplificar

sen θ cosθ z− y =0 Iy Iz El angulo anterior

β

entre el eje neutro y el eje z puede obtenerse con la ecuación

y I tanβ= = z tanθ z Iy Esta ecuación hace ver que en general los ángulos θ y β no son iguales, por lo que el eje neutro no suele ser perpendicular al plano en que actúa el par aplicado M Esta teoría también se puede aplicar a las vigas simétricas; si una viga tiene un solo eje de simetría el eje de simetría es uno de los ejes centroidales principales de la sección transversal, el otro eje principal es perpendicular al eje de simetría en el centroide. Si una viga es doblemente simtertica, los dos ejes de simetría son ejes centroidales principales. En sentido estricto, los analisis de esta sección son aplicables solo a flexión pura, lo que significa que no actúan fuerzas cortantes sobre las secciones transversales. Cuando se tienen fuerzas cortantes, surge la posibilidad de que la viga se tuerza respecto al eje longitudinal. La torcion se evita cuando las fuerzas cortantes actúan a traves del centro de cortante.