Fizika 1 skripta

Fizika 1 Skripta ˇ Viˇsa Tehniˇcka Skola Subotica Baˇzo Filip jesen 2006., zima 2007.

2

Glava 1 Predgovor Skripte su prilagodjene obimu u kome je Fizika 1 zastupljena u nastavnom programu studenata prve godine. Cilj skripte je da pomogne razumevanju gradiva i omogu´ci samostalno rasudjivanje i primenu osnovnih fiziˇckih zakonitosti. Razumevanje gradiva zahteva aktivni pristup uˇcenju, posebno izradi zadataka, kao jednom od najboljih metoda za usvajanje gradiva i stecanja sigurnosti u fiziˇckom rasudjivanju. Otprilike 30 do 60 minuta uˇcenja teorije, odnosno samostalna izrada 5 do 10 zadataka nedeljno je dovoljna za sigurno savladavanje gradiva. Autor preporuˇcuje aktivno i istovremeno kritiˇcko koriˇs´cenje materijala dostupnog na Internetu. Adrese na kojima se moˇze na´ci materijal pogodan da pomogne usvajanje gradiva se neprekidno menjaju, unatoˇc tome Autor preoporuˇcuje neke od url adresa navedenih u spisku literature, kao polazne taˇcke od kojih je mogu´ce dalje pretraˇzivanje. Prilikom pisanja skripti, suoˇcio sam se s ˇcinjenicom da su neke oblasti toliko dobro obradjene u ve´c postoje´coj literaturi, da ih je praktiˇcno nemogu´ce prevazi´ci, (navedene u spisku literature). U takvim sluˇcajevima sam se drˇzao ve´c postoje´cih obrada i pristupa, kao onih, kojima u najboljem sluˇcaju moˇzemo da stremimo.

3

4

GLAVA 1. PREDGOVOR

Glava 2 Fiziˇ cke veliˇ cine, fiziˇ cki zakoni Fizika je nauˇcna disciplina koja prouˇcava opˇste zakone koji vaˇze u prirodi. Pri prouˇcavanju pojava, fizika se koristi viˇsestrukim pristupom: eksperimentalnim, teorijskim i u novije vreme simulacionim. Znaˇci, posmatranu pojavu prouˇcavamo u laboratoriji, ili vrˇsimo merenja, koriste´ci raˇcunarsku tehnologiju vrˇsimo na osnovu matematiˇckih modela raˇcunske simulacije. Nakon ˇsto smo stekli uvid u prirodu pojave, na osnovu teorijskih principa i opˇstih zakona nastojimo da razumemo kako se data pojava uklapa u opˇstu sliku sveta i fiziˇcke pojave koje poznajemo. U novije vreme, fiziˇckim metodama prouˇcavaju se i pojave koje izlaze izvan opsega prirodnih pojava, i po klasiˇcnom shvatanju spadaju viˇse u domen informatike, ekonomije, ˇcak i sociologije. Fiziku delimo na viˇse disciplina, u zavisnosti od metoda koje koristimo, npr. eksperimentalna fizika, teorijska fizika, raˇcunarska fizika. Mogu´ca je i dalja podela na poddiscipline, tako na primer teorijsku fiziku moˇzemo dalje delimo s obzirom na metode koje koristi, kao ˇsto su statistiˇcka fizika, matematiˇcka fizika, itd. U zavisnosti od pojava koje prouˇcavamo, fiziku delimo npr. na astrofiziku, geofiziku, biofiziku, itd. Inˇzinjerskoj praksi najbliˇza je tzv. primenjena i industrijska fizika. Fiziˇcke veliˇcine moˇzemo klasifikovati na viˇse naˇcina, jedan od osnovnih se zasniva na fundamentalnim fiziˇckim osobinama koje moˇzemo matematiˇcki da apstrahujemo kao podelu na vektorske i skalarne veliˇcine. Skalarne veliˇcine moˇzemo zadati jednim brojem, na primer: vreme, temperatura, duˇzina. Skalarnim veliˇcinama baratamo kao i sa brojevima. Vektorske veliˇcine imaju pravac, smer, odnosno intenzitet. Na primer: brzina, ubrzanje, sila, jaˇcina elektriˇcnog polja. Prilikom opisivanja vektorskih veliˇcina, moramo se pridrˇzavati pravila vektorskog raˇcuna. Postoji i tre´ca vrsta veliˇcina, tzv. tenzorske 5

6

ˇ ˇ ˇ GLAVA 2. FIZICKE VELICINE, FIZICKI ZAKONI

veliˇcine, koje su joˇs sloˇzenije od vektorskih. Tipiˇcan primer je pritisak u ˇcvrstim telima. Fiziˇcki zakoni su teorijski zasnovane i eksperimentalno proverene prirodne zakonitosti, koje najpodesnije izraˇzavamo u matematiˇckom obliku.

Deo I Mehanika

7

9 Mehanika je nauka koja prouˇcava kretanje tela, odnosno kretanje sistema tela u najopˇstijem smislu. Mehaniku moˇzemo podeliti na viˇse poddisciplina. Za naˇse potrebe jedna mogu´ca praktiˇcna podela je: • Statika • Kinematika • Dinamika Primer jedne drugaˇcije podele: • mehanika krutih tela • mehanika deformabilnih tela Prouˇcavaju´ci mehaniku ste´ci ´cemo sliku o osnovnim fiziˇckim zakonitostima, koje na razne (na naˇsu veliku sre´cu srodne) naˇcine proˇzimaju i druge fiziˇcke disipline, odnosne sve oblasti inˇzinjerskih nauka. Vaˇzno je napomenuti da je mehaniˇcka slika sveta idealizovana. Idealizacija nam olakˇsava razumevanje, no istovremeno moramo imati na umu i prirodu idealizacija koje primenjujemo, da bi smo imali jasnu sliku i o taˇcnosti mehaniˇckog opisa prirodnih pojava. Drugaˇcijim, komplemetarnim pistupom opisu prirodnih pojava ´cemo se upoznati u delu beleˇski koji obradjuje termodinamiku.

10

Glava 3 Kinematika Kinematika prouˇcava kretanje tela ne uzimaju´ci u razmatranje razloge (uzroke) koji dovode do pojave kretanja. Osnovni pojmovi kinematike su poloˇzaj, brzina i ubrzanje. Daljnji (pomo´cni, mada ˇcesto nezaobilazni) pojmovi su: pojam koordinatnog sistema i pojam materijalne taˇcke. Kretanje tela najˇceˇs´ce opisujemo u odnosu na neki koordinatni sistem. Opis kretanja tela uproˇs´cavamo tako, de celo telo na podesan naˇcin apstrahujemo opisom kretanja jedne taˇcke. Sve vaˇzne odlike kretanja tela tada moˇzemo predstaviti kretanjem jedne jedine taˇcke. Osnovni zadatak kinematike je da odredi zakon kretanja (sistema) tela, tj. da da pravilo, pomo´cu koga moˇzemo da odredimo poloˇzaj (sistema) tela u svakom trenutku. Ukoliko umesto vektorske koristimo koordinatnu notaciju, poznavanje zakona kretanja znaˇci poznavanje svake koordinate (sistema) tela u svakom trenutku.

3.1

Sluˇ caj pravolinjskog kretanja

Neka x(t) u daljnjem oznaˇcava poloˇzaj materijalne taˇcke u trenutku t, (poloˇzaj taˇcke ˇcije kretanje razmatramo) na pravcu, duˇz koga se materijalna taˇck kre´ce. Definicije proseˇcne brzine i proseˇcnog ubrzanja su: x(t + ∆t) − x(t) ∆x = ∆t ∆t v(t + ∆t) − v(t) ∆v a = = ∆t ∆t v =

11

(3.1) (3.2)

12

GLAVA 3. KINEMATIKA

U gornjim definicijama x(t) oznaˇcava poloˇzaj tela (odnosno koordinatu) u trenutku t, a ∆t oznaˇcava duˇzinu vremenskog intervala u kome raˇcunamo proseˇcne vrednosti. Definicije trenutne brzine i trenutnog ubrzanja dobijamo tako, ˇsto proseˇcnu brzinu (ubrzanje) raˇcunamo za infinitezimalno kratak vremenski interval, tj. pustima da ∆t teˇzi nuli: x(t + ∆t) − x(t) ∆x = lim ∆t→0 ∆t ∆t v(t + ∆t) − v(t) ∆v a(t) = lim = lim ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t v(t) =

3.1.1

lim

∆t→0

(3.3) (3.4)

Primeri

U sluˇcaju jednolikog pravolinijskog kretanja, trenutna brzina se poklapa sa proseˇcnom brzinom, i vaˇzi: v=

s t

U sluˇcaju jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja, vaˇzi: v a= , t

v = v0 + at,

s = v0 t +

at2 2

(3.5)

gde v0 oznaˇcava poˇcetnu brzinu, tj. brzinu kojom je zapoˇceto kretanje. Zadatak: Koriste´ci jednaˇcine (3.3) i (3.4) ubedite se da u prethodnom 2 primeru iz s = v0 t + at2 slede izrazi za v i a.

3.2

Sluˇ caj krivolinjskog kretanja u prostoru

U opˇstijem sluˇcaju, kada se telo, ili materijalna taˇcka kre´ce u prostoru, poloˇzaj tela opisujemo pomo´cu vektora poloˇzaja ~r, koji ima tri koordinate, u Dekartovom koordinatnom sistemu koordinate obiˇcno obeleˇzavamo kao: x, y, z. Znaˇci, vektor poloˇzaja zadajemo pomo´cu uredjene trojke brojeva ~r = (x, y, x). Potsetnik osnovnih pravila vektorskog i infinetizmalnog raˇcuna dat je na kraju beleˇski. Proseˇcne i trenutne vrednosti brzine i ubrzanja definiˇsemo analogno pravolinijskom sluˇcaju:

ˇ 3.2. SLUCAJ KRIVOLINJSKOG KRETANJA U PROSTORU

13

d~r ∆~r ~r(t + ∆t) − ~r(t) = lim = = ~r˙ ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t dt d~v d2~r ~v (t + ∆t) − ~v (t) ∆~v ~a(t) = lim = lim = = 2 = ~¨r ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t dt dt ~v (t) =

lim

(3.6) (3.7)

Zapisavˇsi prethodne definicije koordinatnom obliku, dobijamo:

~v (t) = = = = = =

1 (~r(t + ∆t) − ~r(t)) ∆t→0 ∆t 1 ((x(t + ∆t), y(t + ∆t), z(t + ∆t)) − (x(t), y(t), z(t))) lim ∆t→0 ∆t 1 lim (x(t + ∆t) − x(t), y(t + ∆t) − y(t), z(t + ∆t) − z(t)) ∆t→0 ∆t ! x(t + ∆t) − x(t) y(t + ∆t) − y(t) z(t + ∆t) − z(t) , , lim ∆t→0 ∆t ∆t ∆t ! x(t + ∆t) − x(t) y(t + ∆t) − y(t) z(t + ∆t) − z(t) lim , lim , lim ∆t→0 ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t ∆t ! dx dy dz (vx (t), vy (t), vz (t)) = , , = (x, ˙ y, ˙ z) ˙ (3.8) dt dt dt lim

Analognim raˇcunskim postupkom imamo: dvx dvy dvz , , dt dt dt

~a(t) = (ax (t), ay (t), az (t)) = = (v˙ x , v˙ y , v˙ z ) = (¨ x, y¨, z¨)

!

=

d2 x d2 y d2 z , , dt2 dt2 dt2

!

(3.9)

Prethodne zakonitosti moˇzemo i da obrnemo i promatramo slede´ci problem: znaju´ci trenutnu brzinu i poloˇzaj tela u poˇcetnom trenutku, ˇzelimo da odredimo poloˇzaj tela u svakom slede´cem trenutku. Koriste´ci osnovna pravila infinitezimalnog raˇcuna imamo

~r(t) =

Z t

~v (t0 )dt0

(3.10)

0

Analogno, znaju´ci trenutnu vrednost ubrzanja i poˇcetnu brzinu, trenutnu brzinu u trenutku t raˇcunamo kao

14

GLAVA 3. KINEMATIKA

~v (t) =

Z t

~a(t0 )dt0

(3.11)

0

U oba sluˇcaja smo pretpostavili da je kretanje zapoˇceto u nultom vremenskom trenutku. Intenzitet brzine (duˇzinu vektora ~v ) i ubrzanja raˇcunamo po obrascu: v = |~v | =

3.2.1

q

vx2 + vy2 + vz2 ,

a = |~a| =

q

a2x + a2y + a2z

(3.12)

Da li ima neˇ cega ,,iza drugog izvoda”?

Logiˇcno se name´ce pitanje da li tre´ci izvod vektora poloˇzaja po vremenu ima smisla, odnosno primenu. Za potpuni opis mehaniˇckih pojava poznavanje prva dva vremenska izvoda je dovoljno i neophodno za konstrukciju jednaˇcina kretanja. U inˇzinjerskoj primeni, npr. kod nekih problema automatskog upravljanja ili nalaˇzenja optimalnih procesa, medjutim i tre´ci izvod vektora poloˇzaja po vremenu koji nazivamo trzaj, moˇze biti vaˇzan.

3.3

Cilindriˇ cni i sferni koordinatni sistem

Radi lakˇseg raˇcuna, poloˇzaj taˇcke u prostoru je u nekim situacijama prikladnije predstaviti u cilindriˇcnom ili sfernom koordinatnom sistemu. U cilindriˇcnom koordinatnom sistemu poloˇzaj taˇcke predstavljamo pomo´cu trojke (ρ, φ, z), gde ρ meri udaljenost posmatrane taˇcke od z ose, a φ je ugao, koji projekcija vektora poloˇzaja taˇcke (x, y, z) na ravan xy zaklapa sa pozitivnim krakom x ose. Znaˇci, ρ=

q

x2 + y 2 ,

φ = arctg

y x

(3.13)

z koordinata je ista u oba koordinatna sistema. Ako poznajemo cilindriˇcne koordinate neke tavcke, (ρ, φ, z), onda Dekartove koordinate iste taˇcke, dobijamo invertovanjem prethodih obrazaca: (x, y, z) = (ρ cos φ, ρ sin φ, z)

(3.14)

ˇ I SFERNI KOORDINATNI SISTEM 3.3. CILINDRICNI

15

Slika 3.1: Skica cilindriˇcnog koordinatnog sistema Izraˇcunajmo brzinu neke taˇcke, ako znamo njen poloˇzaj u cilindriˇcnom koordinatnom sistemu. Znamo, da je po definiciji ~v = (x, ˙ y, ˙ z). ˙ Koriste´ci jednaˇcinu (3.14), pravilo za diferenciranje sloˇzene funkcije, f (g(x))0 = f 0 (g(x)) ·g 0 (x), (jer su ρ i φ funkcije od t) i definiciju (3.12), npr. za vx imamo x(t) = ρ(t) cos φ(t) d dρ(t) d cos φ(t) x(t) ˙ = (ρ(t) cos φ(t)) = cos φ(t) + ρ(t) dt dt dt ˙ ˙ sin φ(t) = ρ(t) ˙ cos φ(t) + ρ(t)(− sin(φ(t))φ(t)) = ρ(t) ˙ cos φ(t) − φ(t) i tako da dobijamo: (x, ˙ y, ˙ z) ˙ = (ρ˙ cos φ − ρφ˙ sin φ, ρ˙ sin φ + ρφ˙ cos φ, z) ˙ v =

q

x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 =

q

ρ˙ 2 + ρ2 φ˙ 2 + z˙ 2

(3.15) (3.16)

U sluˇcaju sfernog koordinatnog sistema, poloˇzaj taˇcke opisujemo uredjenom trojkom (r, φ, θ), gde r oznaˇcava udaljenost taˇcke od koordiatnog poˇcetka, φ je ugao, koji projekcija vektora poloˇzaja taˇcke (x, y, z) na ravan xy zaklapa sa pozitivnim krakom x ose, a θ je (azimutalni) ugao, koji vektor poloˇzaja posmatrane taˇcke zaklapa sa pozitivnim krakom z ose. Znaˇci, imamo:

16

GLAVA 3. KINEMATIKA

Slika 3.2: Skica sfernog koordinatnog sistema

r=

y φ = arctg , x

q

x2 + y 2 + z 2 ,

θ = arccos √

x2

z (3.17) + y2 + z2

Invertovanjem gornjih obrazaca dobijamo:

(x, y, z) = (r cos φ sin θ, r sin φ sin θ, r cos θ)

(3.18)

Za brzinu taˇcke, ˇciji poloˇzaj odredjujemo pomo´cu sfernih koordinata, postupkom analognim onom, koji smo primenili u sluˇcaju cilindriˇcnog koordinatnog sistema, dobijamo: (x, ˙ y, ˙ z) ˙ = (rθ˙ cos θ cos φ + r˙ cos φ sin θ − rφ˙ sin θ sin φ, rφ˙ cos φ sin θ + rθ˙ cos θ sin φ + r˙ sin θ sin φ, r˙ cos θ − rθ˙ sin θ) v =

q

x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 =

q

r˙ 2 + r2 (θ˙2 + φ˙ 2 sin θ)2

(3.19) (3.20)

Zadatak: Odredite brzinu i ubrzanje taˇcke koja se kre´ce po povrˇsini sfere polupreˇcnika R. Uporedite izraz koji se dobije koriste´ci opis pomo´cu Dekartovih, odnosno sfernih koordinata.

ˇ 3.4. RAZLAGANJE UBRZANJA U SLUCAJUKRIVOLINIJSKOG KRETANJA17

3.4

Razlaganje ubrzanja u sluˇ caju krivolinijskog kretanja

Ako znamo putanju tela, njegov poloˇzaj moˇzemo zadati merenjem udaljenosti od proizvoljno izabrane taˇcke. Napiˇsimo vektor tangencijalne brzine kao proizvod njegovog intenziteta i jediniˇcnog vektora duˇz pravca ~v : ~v = |~v |~e~v . Uvedimo skra´cene oznake |~v | = v, ~e~v = ~τ . Izraˇcunajmo ubrzanje.

Slika 3.3: Grafiˇcki prikaz krivolinijskog kretanja u ravni.

~a =

d~v dv d~τ = ~τ + v dt dt dt 2

τ Za d~ na osnovu slike dobijamo vR ~n, tako da ubrzanje u sluˇcaju krivolinijdt skog kretanja moˇzemo da razloˇzimo na tangencijalnu i normalnu komponentu:

~a =

3.5

v2 dv ~τ + ~n dt R

(3.21)

Kinematika rotacije

~ Intenzitet vektora Uvedimo pojam vektora infinitezimalne rotacije dφ. ~ odredjujednak je dφ, a pravac se poklapa sa osom rotacije. Smer vektora dφ jemo pravilom desnog zavrtnja. Pomeraj d~r prilikom infinitezimalne rotacije za ugao dφ iznosi: ~ × ~r d~r = dφ

(3.22)

18

GLAVA 3. KINEMATIKA

Slika 3.4: Grafiˇcki prikaz vektora infinitezimalne rotacije. Definicija vektora ugaone brzine je: d~ω =

~ dφ dt

Za tangenciajlnu brzinu na osnovu jednaˇcine (3.22) dobijamo:

~v =

~ dφ d~r = × ~r = ω ~ × ~r dt dt

(3.23)

Vektor ugaonog ubrzanja se definiˇse kao: d~ω β~ = dt

(3.24)

Za tangencijalno ubrzanje na osnovu jednaˇcina (3.23,3.24) dobijamo:

~a =

d~v d~ω d~r = × ~r + ω ~× = β~ × ~r + ω ~ × ~v = β~ × ~r + ω ~ × (~ω × ~r) dt dt dt

3.5. KINEMATIKA ROTACIJE

19

Slika 3.5: Grafiˇcki prikaz vektora tangencijalne brzine. Primer. Izraˇcunajmo proseˇcno ugaono ubrzanje β~ materijalne taˇcke, ukoliko tre´cinu ugla α materijalna taˇcka predje konstantnom ugaonom brzinom ω ~ 1 , a preostale dve tre´cine ugla α predje konstantnom ugaonom brzinom ω ~ 2 . Pretpostavimo da se osa rotacije ne menja tokom vremena, tj. ω~1 ||ω~2 . Ukoliko vreme za koje se materijalna taˇcka kre´ce ugaonom brzinom ω ~ 1 oznaˇcimo sa t1 , odnosno vreme za koje se materijalna taˇcka kre´ce ugaonom brzianom ω ~ 2 oznaˇcimo sa t2 , na osnovu definicije proseˇcnog ugaonog ubrzanja imamo: ω ~1 + ω ~2 β~ = t1 + t2

(3.25)

Za vremena t1 i t2 imamo: 1 α 3

α ω1 = = , t1 3t1

ω2 =

2 α 3

t2

=

2α 3t2

(3.26)

Na osnovu prethodnih jednakosti imamo:

t1 =

α , 3ω1

t2 =

2α , 3ω2

β=

ω1 + ω2 α 2α + 3ω 3ω1 2

(3.27)

20

GLAVA 3. KINEMATIKA

3.6

Kosi hitac

Izraˇcunajmo daljinu i maksimalnu visinu kosog hica, ako znamo, da je poˇcetna brzina jednaka v, i da je telo ispaljeno pod uglom α u odnosu na horizontalnu ravan. Prilikom raˇcuna zanemarimo otpor vazduha. Duˇz horizontalnog pravca telo se kre´ce konstantnom brzinom, koja se poklapa sa horizontalnom komponentom poˇcetne brzine, vx (0) = v cos α. U poˇcetnom trenutku analogno imamo vy (0) = v sin α. Duˇz vertikalnog pravca prvo imamo ravnomerno usporeno kretanje, u jednom trenutku telo se zaustavi, a zatim imamo ravnomerno ubrzano kretanje. Duˇz horizontalnog pravca telo za vreme t predje put s = vx (0)t, duˇz vertikalnog pravca brzina tela se menja po zakonu vy = vy (0) − gt. Trenutak, kada se telo zaustavi duˇz vertikalnog pravca tj. najviˇslju taˇcku putanje, odredjujemo iz uslova vy = 0. Dobijamo: tmax =

vy (0) v sin α = . g g

(3.28)

Duˇz horizontalnog pravca telo se kre´ce tokom vremena 2tmax , znaˇci daljina hica iznosi: L = vx (0)2tmax = 2vx (0)

vy (0) v 2 2 sin α cos α v 2 sin 2α = = . g g g

(3.29)

Iz dobijenog obrasca vidimo, de je daljina kosog hica najve´ca, ukoliko poˇcetna brzina tela zaklapa ugao α = π4 sa horizontalnom osom. Maksimalnu visinu putanje odredjujemo na osnovu zakona puta u sluˇcaju ravnomerno usporenog kretanja:

H = vy (0)tmax −

gt2max v 2 sin2 α = . 2 2g

(3.30)

Jednaˇcinu putanje dobijamo koriste´ci zakone puta duˇz x i y ose. Udaljenost duˇz horizontalnog pravca od poˇcetne taˇcke je s = vx (0)t, a trenutna 2 s visina se menja po zakonu h = vy (0)t − gt2 . Izrazimo t iz s: t = vxs(0) = v cos α i uvrstimo u jednaˇcinu za h:

h = v sin α

g( s )2 s g − v cos α = s tgα − 2 s2 v cos α 2 2v cos2 α

Znaˇci, telo se kre´ce po paraboliˇcnoj putanji.

(3.31)

3.6. KOSI HITAC

21

Na slici su prikazane putanje tela kojima poˇcetna brzina iznosi 4 ms , a uglovi koje poˇcetne brzine zaklapaju sa horizontalnim pravcem iznose redom 0,6, 0,8, 1 i 1,2 radijana. 0.8 1 rad 1.2 rad 0.8 rad 0.6 rad

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Slika 3.6: Putanja kosog hica u zavisnosti od ugla.

1.4

1.6

22

GLAVA 3. KINEMATIKA

Glava 4 Dinamika 4.1

Njutnovi zakoni

Njutnovi zakoni sumiraju rezultate mnogobrojnih eksperimenata, i saˇzeto iskazuju sveukupno iskustvo iz oblasti mehanike u obliku podesnom za matematiˇcko opisivanje. Prvi Njutnov zakon, ili zakon inercije: Svako telo nastoji da zadrˇzi stanje kretanja, ukoliko na njega ne deluju nikakve sile. Drugim reˇcima, ukoliko je telo u stanju mirovanja, ili se kre´ce jednoliko pa pravolinijskoj putanji, tj. konstantnom brzinom, na telo ne deluju nikakve sile, ili je zbir svih sila koje deluju na telo jednak nuli. Mera inertnosti tela je njegova masa, ˇsto je telo inertnije tim mu je ve´ca masa, i obrnuto. Drugi Njutnov zakon ili zakon sile daje vezu izmedju sile, mase i ubrzanja: F~ = m~a

(4.1)

Drugi Njutnov zakon nije definicija sile, u smislu da svaku silu moramo da znamo ponaosob. Medjutim, ukoliko znamo prirodu interakcije, na osnovu drugog Njutnovog zakona moˇzemo re´ci, koliko ´ce biti ubrzanje tela mase m, ako na nju deluje sila ˇciji opis znamo. Primetimo, da iz drugog Njutnovog zakona u sluˇcaju, kada je ubrzanje tela jednako nuli, sledi prvi Njutnov zakon: ~a = 0 ⇔ F~ = 0. U tom smislu je prvi Njutnov zakon specijalan sluˇcaj drugog Njutnovog zakona, ali ga zbog njegove velike vaˇznosti navodimo posebno. 23

24

GLAVA 4. DINAMIKA

Tre´ ci Njutnov zakon, ili zakon akcije-reakcije: Ukoliko telo 1 na telo 2 deluje silom F~12 , onda telo 2 deluje na telo 1 silom F~21 , koja je ista po pravcu i intenzitetu, ali je suprotnog smera. F~12 = −F~21

(4.2)

Strogo govore´ci tre´ci Njutnov zakon nema opˇstost prethodna dva, jer implicitno pretpostavlja da se dejstva sila ˇsire trenutno, tj. beskonaˇcnom brzinom, ˇsto nije sluˇcaj. Na osnovu teorije relativiteta i brojnih eksperimenata znamo, da se dejstva sila ne mogu prostirati brzinom ve´com od brzine svetlosti u vakuumu. Medjutim, za potrebe klasiˇcne mehanike, moˇzemo sa velikom preciznoˇs´cu da se oslonimo na iskaz tre´ceg Njutnovog zakona. Njutnovi zakoni ,,se mogu izvesti” i iz opˇstijih teorijskih principa, ali mi to ne´cemo ˇciniti. Sila koja delije na neko telo u opˇstem sluˇcaju zavisi od poloˇzaja tela, odnosno od brzine tela, F = F (~r, ~v ). Na osnovu drugog Njutnovog zakona sve jednaˇcine kretanja zapisujemo u obliku diferencijalnih jednaˇcina drugog reda. m~a = F~ ,

m~¨r = F~ (~r, ~r˙ )

(4.3)

Iz matematike znamo, da je za potpuno odredjenje reˇsenja (specijalno reˇsenje) diferencijalne jednaˇcine drugog reda potrebno poznavanje dva poˇcetna uslova, u naˇsem sluˇcaju poˇcetnog poloˇzaja i poˇcetne brzine. U sluˇcaju da imamo sistem sastavljen od viˇse tela, onda moramo poznavati poˇcetne poloˇzaje i poˇcetne brzine svakog tela ponaosob. Medjutim, ukoliko nam je ta informacija poznata, i umemo da reˇsimo jednaˇcine kretanja, mi smo u principu u mogu´cnosti da predvidimo kretanje tela do u nedogled. Na ovoj ˇcinjenici se zasniva naˇsa sposobnost, da predvidimo ponaˇsanje fiziˇckih sistema.

4.1.1

Primeri sila

Sila zemljine teˇ ze Pri povrˇsini zemlje gravitaciono polje stvara ubrzanje ~g koje deluje na sva tela. Na telo mase m deluje sila zemljine teˇze F~ : F~ = m~g

(4.4)

4.1. NJUTNOVI ZAKONI

25

Teˇzina tela je vektorska veliˇcina, jednaka sili. Vaˇzno je razlikovati teˇzinu od mase, koja je skalarna veliˇcina. Na primer, telo ima istu masu, bez obzira gde se nalazi, dok teˇzina moˇze da mu se menja, zavisno od toga da li teˇzinu merimo na povrˇsini Zemlje ili Meseca. Gravitaciona sila Njutnov zakon gravitacije opisuje privlaˇcnu silu izmedju dve materijalne taˇcke masa m1 i m2 na medjusobnom rastojanju ~r. γ je univerzalna gravitaciona konstanta i iznosi 6, 672 · 10−11 N m2 kg −2 . m1 m2 m1 m2 F~ = − γ 3 ~r = − γ 2 e~~r r r

(4.5)

Kulonova sila Kulonov zakon opisuje silu koja deluje izmedju dva taˇckasta naelektrisanja q1 i q2 na medjusobnom rastojanju ~r. 0 je dielektriˇcna permeabilnost vakuma, i iznosi 8.854187817... · 10−12 F m−1 . F~ =

1 q1 q2 1 q1 q2 ~r = e~~r 3 4π0 r 4π0 r2

(4.6)

Elastiˇ cna sila Sila kojom se telo opire promeni svoga oblika proporcionalna je deformaciji tela. Proporcionalnost vaˇzi ukoliko je deformacija mala. Konstanta elastiˇcnosti se oznaˇcava sa k. x oznaˇcava linearnu deformaciju tela. Npr. u sluˇcaju opruge to je ili istezanje ili sabijanje, tj. otklon opruge od svoje ravnoteˇzne duˇzine. F~ = −k~x

(4.7)

Sila trenja Sila trenja se javlja prilikom klizanja tela preko podloge. Sila trenja je uvek usmerena nasuprot pravcu kretanja tela. Intenzitet sile trenja je proporcionalan normalnoj sili kojom telo deluje na podlogu. Koeficijent proporcionalnosti µ se naziva koeficijent trenja.

26

GLAVA 4. DINAMIKA

F = µN

(4.8)

Sila otpora sredine Prilikom kretanja tela kroz neprekidnu sredinu javlja se sila otpora koja je u sluˇcaju malih brzina proporcionalna relativnoj brzini kojom se telo kre´ce u odnosu na sredinu. F~ = −k~v

4.1.2

(4.9)

Primeri primene Njutnovih zakona

Primenu Njutnovih zakona u praksi ´cemo ilustrovati na slede´ca dva primera. Klizanje tela, krivolinijsko kretanje Telo klizi bez trenja niz polusferu polupreˇcnika r. Odredimo brzinu pri kojoj se telo odvoji od polusfere. Na osnovu (3.21) imamo: dv = mg sin θ dt v2 m = mg cos θ − R r

m

(4.10) (4.11)

Slika 4.1: Grafiˇcki prikaz sila koje deluju na telo koje klizi niz polusferu. R oznaˇcava silu reakcije polusfere koja se opire telu koje po njoj klizi.

4.1. NJUTNOVI ZAKONI

27

Transformiˇsimo jednaˇcinu (4.11). Duˇzina luka odredjena je kao l = rθ,

dl = rdθ.

(4.12)

dl . dt

(4.13)

a intenzitet trenutne brzine je

v=

Izjednaˇcavaju´ci izraze za dl dobijene iz izraza (4.12, 4.13) nalazimo

dt =

rdθ dl = . v v

(4.14)

Uvrstimo izraz za dt u jednaˇcinu (4.11). Nalazimo: vdv = gr sin θdθ Z v0

vdv = gr

0

Z θ0

sin θdθ

(4.15) (4.16)

0

v02 = 2gr(1 − cos θ0 )

(4.17)

U trenutku kada se telo odvoji od polusfere, sila reakcije R postaje jednaka nuli, tako da na osnovu jednaˇcine (4.11) dobijamo:

m

v02 = mg cos θ0 r

(4.18)

Uzimaju´ci u obzir prethodnu jednakost (4.18), kao i jednakost (4.17) dobijamo v02 = gr cos θ0

(4.19)

Eliminiˇsu´ci cos θ0 iz jednakosti (4.17) i (4.19) dobijamo: s

v0 =

2gr 3

(4.20)

28

GLAVA 4. DINAMIKA

Iz prethodnih jednakosti takodje moˇzemo da odredimo i ugao pri kome se telo odvoji od polusfere i dobijamo 2 cos θ0 = , 3

θ0 ≈ 48◦

(4.21)

Joˇ s jednom kosi hitac Neka su svi podaci zadati kao u sluˇcaju kosog hica bez trenja. Silu trenja, u ovom sluˇcaju otpor vazduha, piˇsemo u obliku: F~t = −k~v . Napiˇsimo jednaˇcine kretanja: max = −kvx = −k x˙ may = −mg − kvy = −mg − k y˙ Znaju´ci da je ax = v˙ x , ay = v˙ y , iz prve jednaˇcine dobijamo: !

kt kt vx = vx (0) exp − = v0 cos α exp − m m !! kt v0 m cos α x(t) = 1 − exp − k m

!

, a iz druge !

kt gm gm vy = v0 sin α + exp − − k m k 



. Trenutak kada telo dosegne najviˇslju taˇcku putanje odredjujemo iz uslova vy = 0 i dobijamo: !

tmax

m kv0 sin α = ln 1 + . k gm

. Najviˇslju taˇcku putanje odnosno maksimalnu visinu h = y(tmax ) dobijamo tako, ˇsto reˇsimo jednaˇcinu !

gm kt gm y˙ = v0 sin α + exp − − k m k 



4.1. NJUTNOVI ZAKONI

29

i dobijamo: m gm y(t) = v0 sin α + k k 



!!

k 1 − exp − t m

−

gm t k

Uvrstivˇsi t = tmax , nakon sredjivanja dobijamo: mv0 sin α m2 kv0 sin α h = y(tmax ) = − g 2 ln 1 + k k gm

!

Vreme koje protekne izmedju trenutka kada je telo na najviˇsljoj taˇcci putanje i trenutka kada dodirne tlo dobijamo tako, ˇsto napiˇsemo jednaˇcinu za put predjen duˇz vertikalne ose, sa visine h, i uz poˇcetni uslov vy (0) = 0. mv˙ y = −g − kvy vy (0) = 0 !! kt gm 1 − exp − vy (t) = y˙ = k m !!! gm m kt y(t) = t− 1 − exp − k k m !!! ktmin gm m h = tmin − 1 − exp − k k m Jednaˇcinu za tmin moramo da reˇsimo numeriˇcki. Daljinu hica dobijamo tako ˇsto izraˇcunamo put, koji telo predje duˇz x ose, za vreme tmax + tmin . Na slede´coj slici je prikazana putanja kosog hica u sluˇcaju kada uzimamo u obzir trenje vazduha. Primetimo da oblik krive viˇse nije parabola. Uobiˇcajeni naziv prikazane putanje je balistiˇcka kriva.

30

GLAVA 4. DINAMIKA

30 25 20 15 10 5 0 0

10

20

30

40

50

Slika 4.2: Sluˇcajevi balistiˇcke krive. Masa tela je 1 kg, poˇcetna brizna je 40 m/s , koeficijent trenja iznosi 1 kg/s, a uglovi su redom π/6, π/4, π/3.

4.2

Galilejev princip ekvivalencije

Galilejev princip relativnosti iskazuje ˇcinjenicu da se sve fiziˇcke pojave odvijaju na isti naˇcin u svim inercijalnim sistemima. Moˇzemo ga shvatiti na slede´ci naˇcin: Zamislimo da se nalazimo u ˇzelezniˇckom vagonu bez prozora. Pretpostavimo da imamo idealno opremljenu fiziˇcku laboratoriju unutar vagona. Ne postoji fiziˇcki eksperiment koji bi smo mogli izvesti, a na osnovu kojeg bismo mogli da razluˇcimo stanje mirovanja vagona od stanja u kome se vagon kre´ce konstantnom brzinom. Inercijalni sistemi su referencijalni sistemi koji se jedni u odnosu na druge kre´cu konstantnom brzinom. Inercijalni sistemi se izdvajaju od drugih referencijalnih sistema po tome, ˇsto su u njima svi fiziˇcki zakoni identiˇcni. Ukoliko se referencijalni sistemi kre´cu ubrzano, u njima se javljaju inercijalne sile, koje su posledica kretanja sistema. Ovo naravno ne znaˇci, da nismo u mogu´cnosti da opiˇsemo ubrzano kretanje u referencijalnim sistemima, samo znaˇci da je opis ubrzanog kretanja u jednom inercijalnom sistemu identiˇcan opisu istog tog kretanja u nekom drugom inercijalnom sistemu. Transformacije koje opisuju prelaz iz jednog referencijalnog sistema u drugi nazivaju se Galilejeve transformacije. U osnovi ovih transformacija

4.2. GALILEJEV PRINCIP EKVIVALENCIJE

31

stoji pretpostavka o apsolutnom prostoru i vremenu. Apsolutnost prostora i vremena znaˇci da osobine prostora i vremena moˇzemo posmatrati nezavisno od stanja kretanja referencijalnih sistema. Ta pretpostavka se moˇze shvatiti kao korisna aproksimacija koja vaˇzi u okvirima klasiˇcne fizike. Posmatrajmo neku fiziˇcku pojavu iz inercijalnog referencijalnog sistema 1 odredjenog koordinatama (x, y, z) i ˇcasovnikom koji meri vreme t. Znaˇci pojava se deˇsava u trenutku t i u taˇcci (x, y, z). Ista pojava u inercijalnom referencijalnom sistemu 2, odredjenog ˇcetvorkom brojeva x0 , y 0 , z 0 , t0 , koji se u odnosu na prvi referencijalni sistem kre´ce brzinom v duˇz ose x opisuje se istim fiziˇckim zakonima, ukoliko znamo pravilo kojim ˇcetvorci (x, y, z, t) pridruˇzujemo ˇcetvorku (x0 , y 0 , z 0 , t0 ). Pravilo pridruˇzivanja, iliti prelazak iz opisa pojave u jednom koordinatnom sistemu na opis iste pojave u drugom koordinatnom sistemu zovemo Galilejevim transformacijama. Galilejeve transformacije su date slede´cim jednaˇcinama: t0 x0 y0 z0

= = = =

t x − vt y z

(4.22) (4.23) (4.24) (4.25)

U opˇstem sluˇcaju, ukoliko se sistem 2 kre´ce brzinom ~v = (vx , vy , vz ) u odnosu na sistem 1, Galilejeve transformacije su date jednaˇcinama: t0 x0 y0 z0

= = = =

t x − vx t y − vy t z − vz t

(4.26) (4.27) (4.28) (4.29)

ˇ znaˇci da su fiziˇcki zakoni istog oblika u inercijalnim sistemima? Ako Sta na osnovu jednaˇcina (4.27, 4.28, 4.29) izraˇcunamo drugi izvod (odnosno na osnovu (3.9) ubrzanje) od ~r = (x, y, z) odnosno ~r 0 = (x0 , y 0 , z 0 ), dobijamo ~¨r = ~¨r 0 , tj. na osnovu drugog Njutnovog zakona (4.1). U oba referencijalan sistema je izraz za silu identiˇcan, a shodno tome i jednaˇcina koja opisuje kretanje tela.

32

GLAVA 4. DINAMIKA

Glava 5 Rad sile, Energija Ukoliko sila F~ zaklapa ugao α sa pravcem kretanja tela, definicija rada sile duˇz puta s je A = F s cos α. Znaˇci rad vrˇsi samo ona komponenta sile koja je paralelna putu. Ukoliko put s shvatimo kao orijentisani vektor, moˇzemo da predstavimo rad u obliku skalarnog prizvoda: A = F~ · ~s. Ako napiˇsemo izraz za elementarni rad, (tj. izraz za rad u infinitezimalnom obliku), dobijamo δA = F~ · d~r

(5.1)

Ako telo predje put izmedju taˇcaka 1 i 2 odredjenih vektorima poloˇzaja ~r1 i ~r2 , sumiraju´ci elementarne radove, za ukupan rad koji sila izvrˇsi duˇz putanje, koja spaja taˇcke ~r1 i ~r2 dobijamo: A=

Z 2

F~ · d~r

(5.2)

1

Primetimo da u opˇstem sluˇcaju rad zavisi od putanje koja spaja taˇcke 1 i 2. Matematiˇcka formulacija iste ˇcinjenice je da je integral (5.2) linijski integral, tj. vrednost integrala zavisi od putanje duˇz koje vrˇsimo integraciju. P Ako je sila F~ rezultanta sila F~ = ni=1 F~i , koriste´ci linearnost integrala, dobijamo

A=

Z 2 1

F~ · d~r =

Z 2

n X

1

i=1

!

F~i · d~r =

n Z 2 X i=1 1

F~i · d~r =

n X

Ai

i=1

gde Ai oznaˇcava rad i-te sile. Znaˇci, dokazali smo slede´cu jednakost: 33

34

GLAVA 5. RAD SILE, ENERGIJA

A=

n X

Ai

(5.3)

i=1

Pored gornje jednakosti, rad je aditivna veliˇcina u joˇs jednom smislu. Ukoliko 1, 2 i 3 oznaˇcava tri tacke na putanji, vaˇzi

A12 + A23 =

Z 2

F~ · d~s +

Z 3

1

F~ · d~s =

2

Z 3 1

F~ · d~s = A13

(5.4)

Ukoliko je rad pozitivan, kaˇzemo da sila vrˇsi rad. Ukoliko za rad dobijemo negativnu veliˇcinu, znaˇci da rad vrˇsimo nasuprot sili F~ . Energija je sposobnost tela da vrˇsi rad. Postoje razni vidovi energije, mi ´cemo razmotriti pojmove potencijalne i kinetiˇcke energije. Potencijalna energija zavisi od konfiguracije sistema, dok je kinetiˇcka energija povezana sa kretanjem tela.

5.1 5.1.1

Primeri Rad elastiˇ cne sile

Izraz za elastiˇcnu silu je F~ = −κ~r. Na osnovu (5.2) za elementarni rad dobijamo δA = F~ d~r = −κ~rd~r. Poˇsto se pravac duˇz koga se vrˇsi istezanje, tj. pravac duˇz koga sila vrˇsi rad poklapa sa pravcem elastiˇcne sile, moˇzemo skalarni proizvod zameniti proizvodom skalara, tako da dobijamo −κrdr = 2 −d( κr2 ) . Za rad dobijamo izraz

A1,2 = −

Z r~2 r~1

d(

κr2 κr2 κr2 )= 1 − 2 2 2 2

(5.5)

Ukoliko je u poˇcetnom trenutku telo bilo neistegnuto, (r1 = 0), iz prethodne formule imamo

A0,r = −

κr2 2

(5.6)

5.2. SNAGA

5.1.2

35

Rad sile zemljine teˇ ze

Zamislimo da je telo u poˇcetnom trenutku bilo na visini h1 . Pod dejstvom sile zemljine teˇze, telo poˇcinje da slobodno pada. Koordinatnu osu z izaberimo tako da se poklapa sa pravcem gravitacionog polja i usmerimo je ka teˇziˇstu zemlje, tj. normalno na zemljinu povrˇsnu.

A=

Z h2

m~g d~z =

Z h2

h1

5.1.3

h1

mgdz = mg(h2 − h1 ).

(5.7)

Rad gravitacione i Kulonove sile

I gravitaciona i Kulonova sila su obrnuto proporcionalne kvadratu rastojanja izmedju dve mase zanemarljivih razmera, odnosno izmedju dva taˇckasta naelektrisanja. Radi jedinstvenog razmatranja uvedimo konstantu proporcionalnosti α. ( −γm1 m2 za silu gravitacije Neka je α = 1 za Kulonovu silu 4π0 r , a elementarni rad u obliku Obe sile moˇzemo izraziti kao F~ = α~ r3 α α α α δA = F~ d~r = 3 ~rd~r = 3 rdr = 2 dr = −d . r r r r  

(5.8)

Integraljenjem izraza za elementarni rad dobijamo:

A1,2 = −

5.1.4

Z r~2 r~1

α α α = − r r1 r2

 

d

(5.9)

Rad sile trenja

Na osnovu jednaˇcine (4.8) rad sile trenja je proporcionalan predjenom putu. Sila trenja je primer sile kod koje je rad uvek negativan. Znaˇci da se mehaniˇcka energija uloˇzena kao rad sile trenja ne moˇze ,,povratiti”. Viˇse o ovome re´ci ´cemo u okviru prvog zakona termodinamike.

5.2

Snaga

Snaga je po definiciji jednaka radu izvrˇsenom u jedinici vremena. Na osnovu jednaˇcine (5.1) nakon deljenja sa dt dobijamo:

36

GLAVA 5. RAD SILE, ENERGIJA

d~r P = F~ · dt

(5.10)

Koriste´ci gornji izraz moˇzemo izraˇcunati vremensku zavisnost rada poznavaju´ci izraz za snagu.

5.3

Kinetiˇ cka energija

Izraˇcunajmo rad sile na osnovu drugog Njutnovog zakona. Primetimo, da za proizvoljan vektor ~b vaˇzi d(b2 ) = d(~b · ~b) = d(~b) · ~b + ~b · d~b = 2~b · d~b, tj. ~b · d(~b) = 1 d(b2 ). Pretpostavi´cemo da se masa tela ne menja tokom kretanja. 2

A12 =

Z 2

F~ · d~r =

1

Z 2

m~a · d~r = m

1

Z 2 1

Z 2 d~r d~v · d~r = m d~v · dt dt 1 |{z} =~v

= m

Z 2

(d~v ) · ~v = m

1

Z 2 1

1 d(~v · ~v ) = m 2

Z 2 1

1 2 m d(v ) = (v22 − v12 ) 2 2

mv22 mv12 − = 2 2 2

Veliˇcinu mv2 zva´cemo kinetiˇcka energija, i oznaˇcavati sa Ek . Sila koja deluje na telo, izvrˇsi rad koji je jednak promeni kinetiˇcke energije tela. Drugim reˇcima, priraˇstaj kinetiˇcke energije jednak je zbiru radova svih sila koje deluju na telo. Dokazali smo slede´cu jednakost:

A12 = Ek,2 − Ek,1

(5.11)

U infinitezimalnom obliku prethodnu zavisnost moˇzemo zapisati kao dA = dT . Na osnovu definicije snage, dobijamo: d~r dEk = F~ · = F~ · ~v = P dt dt Znaˇci, vremenski izvod kinetiˇcke energije jednak je snazi.

(5.12)

5.4. POJAM POTENCIJANIH SILA I POTENCIJALNE ENERGIJE 37

5.4

Pojam potencijanih sila i potencijalne energije

Sile kod kojih rad A12 zavisi iskljuˇcivo od poˇcetne i krajnje taˇcke zovemo potencijalnim silama. Dokaˇzimo slede´ce tvrdnje: 1. Ukoliko je sila potencijalna, rad na zatvorenom putu (poˇcetna i krajnja taˇcka se poklapaju) iznosi nula. 2. Ukoliko je rad sile na zatvorenom putu jednak nuli, sila je potencijalna.

Slika 5.1: Zatvoren put 1a2b1. Dokaz. Neka je sila potencijalna. Tada rad A1a2b1 moˇzemo predstaviti kao A1a2 + A2b1 . Ukoliko duˇz segmenta b promenimo pravac kretanja, u izrazu za definiciju rada promenimo predznak elementarnog puta, pa zakljuˇcujemo da vaˇzi A2b1 = −A1b2 . Znaˇci A1a2b1 = A1a2 − A1b2 . Poˇsto je sila po pretpostavci potencijalna, one ne zavisi od puta, tj. A1a2 = A1b2 , tako da dobijamo A1a2b1 = 0. Za dokaz druge tvrdnje obrnimo naˇcin zakljuˇcivanja i pretpostavimo da vaˇzi A1a2b1 = 0. Tada imamo 0 = A1a2 +A2b1 = A1a2 −A1b2 , tj. dobijamo A1a2 = A1b2 , ˇsto upravo odgovara definiciji potencijalnosti sila, jer smo zakljuˇcili da rad ne zavisi od puta koji spaja taˇcke 1 i 2. U sluˇcaju potencijalnih sila postoji mogu´cnost uvodjenja pojma potencijalne energije, tj. energije koja zavisi od konfiguracije sistema koji razmatramo. Pod konfiguracijom u opˇstem sluˇcaju podrazumevamo medjusobni poloˇzaj sastavnih delova sistema.

38

GLAVA 5. RAD SILE, ENERGIJA

Ukoliko u sluˇcaju potencijalnih sila fiksiramo jednu taˇcku, obeleˇzimo je sa O, tada rad duˇz prizvoljnog puta koji spaja taˇcke 1 i 2 moˇzemo izraziti kao

A1,2 = A1,O + AO,2 = A1,O − A2,O .

(5.13)

Uvedimo slede´cu veliˇcinu

UO (P ) =

Z O

F~ · d~r

(5.14)

P

koju zovemo potencijalna energija. Primetimo da je potencijalna energija uvek odredjena izborom taˇcke O. Koriste´ci pojam potencijalne energije, u sluˇcaju potencijalnih sila na osnovu jednakosti (5.13)za rad A12 nalazimo:

A1,2 =

5.4.1

Z 2 1

F~ · d~r = UO (~r1 ) − UO (~r2 ) = −∆U

(5.15)

Pojam centralnih sila

Uvedimo pojam polja sila na primeru sile gravitacije. Mase uzajamno interaguju tako, ˇsto masa poradja-generiˇse oko sebe gravitaciono polje, koje deluje na sve mase. Znaˇci gravitaciona sila je posledica postojanja gravitacionog polja. Primetimo da je za pojam gravitacione sile potrebno uvesti dve mase koje interaguju, dok je za pojam polja dovoljna jedna masa, ona koja generiˇse gravitaciono polje. Ovako uveden pojam polja je prigodan sve dok su pojave koje razmatramo takve da su sve brzine male u odnosu na brzinu svetlosti. Centralne sile sile su sile kod kojih je sila u potpunosti odredjena medjusobnim poloˇzajem tela i izvora sile, taˇcnije reˇceno izvora polja centralnih sila. Ukoliko je izvor polja sila odredjen vektorom polozaja r~1 a poloˇzaj tela na koga deluje polje sila sa vektromo r~2 , onda je sila koja deluje na telo odredjena vektorom ~r12 = ~r1 − ~r2 . U sluˇcaju centralnih sila ˇcesto je pogodno potencijalnu energiju definisati tako, da taˇcku O koja odredjuje potencijalnu energiju poistovetimo sa izvorom polja centralnih sila. U tom sluˇcaju ~r1 = 0, a umesto ~r12 pisa´cemo ~r.

5.4. POJAM POTENCIJANIH SILA I POTENCIJALNE ENERGIJE 39 Ukoliko sila koja deluje u jednoj taˇcci ne zavisi od vremena, takvu silu zovemo stacionarnom. δA = F~ · d~r = f (r)~e~r · d~r A1,2 =

Z 2

f (r)dr

1

Uz navedenu konvenciju za izbor taˇcke O, koriste´ci pojam potencijalne energije za rad centralnih sila nalazimo

AP,O =

Z O

f (r)dr = U (~r)

P

U sluˇcaju centralnih sila za elemetarni rad duˇz puta ds vaˇzi dA = F~ ·d~r = −Fs ds = −dU . Iz poslednje jednakosti zakljuˇcujemo da je centralna sila po intenzitetu i pravcu jednaka izvodu potencijalne energije duˇz pravca ds, a po pravcu je suprotna (zbog negativnog predznaka). Zakljuˇcili smo znaˇci

Fs = −

∂U ∂s

(5.16)

Koristimo parcijalne izvode, jer U moˇze da zavisi od viˇse koordinata. Poˇsto je izbor pravca proizvoljan, silu moˇzemo odrediti tako ˇsto ´cemo gore navedenim postupkom odrediti njene komponente duˇz koordinatnih osa. Ako silu F~ predstavimo kao F~ = Fx~i+Fy~j +Fz~k, na osnovu komponenata sile duˇz svake koordinatne ose za ukupnu silu dobijamo izraz: ∂U ~ ∂U ~ ∂U ~ F~ = − i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

!

(5.17)

Ilustrujmo pojam potencijalnih sila slede´cim primerom. Potencijalna energija dvodimenzionalnog sistema (u odgovaraju´cim jedinicama) odredjena je slede´cim obrascem:

U (x, y) =

sin(xy) . exp 0.1(x2 + y 2 )

(5.18)

40

GLAVA 5. RAD SILE, ENERGIJA

Prikaˇzimo funkciju U (x, y), odnosno polje sila koje potencijal U poradja. Za komponente sila na osnovu obrasca (5.17) nalazimo: Fx = exp(−0.1(x2 + y 2 ))(y cos(xy) − 0.2x sin(xy)) Fy = exp(−0.1(x2 + y 2 ))(x cos(xy) − 0.2y sin(xy))

(5.19)

5.4. POJAM POTENCIJANIH SILA I POTENCIJALNE ENERGIJE 41

5.4.2

Problem potencijalnosti sila

Znaju´ci zavisnost komponenata sile od koordinata moˇzemo da proverimo da li je sila potencijalna ili ne. Potencijalna energija odnosno sila je neprekidno diferencijablina funkcija koordinata, tj. mali pomeraji dovode do malih promena u vrednostima potencijalne energije, odnosno centralnih sila. Drugaˇcije reˇceno, nigde nema skokovitih promena. (Postoje izuzeci od ovog pravila, ali ih mi ne´cemo razmatrati.) Matematiˇcka formulacija glatkosti koristi drugi izvod potencijalne energije: ∂2U ∂2U = ∂x∂y ∂y∂x 2 ∂ U ∂2U = ∂x∂z ∂z∂x 2 ∂ U ∂2U = ∂y∂z ∂z∂y

(5.20)

Ukoliko u prethodnim jednaˇcinama na osnovu jednakosti (5.17) prve izvode potencijalne energije zamenimo odgovaraju´cim silama, dobijamo ∂Fx ∂Fy = ∂y ∂x ∂Fz ∂Fx = ∂z ∂x ∂Fy ∂Fz = ∂z ∂y

(5.21)

Primer: Izraˇcunajmo potencijalnu energiju paralelno, odnosno redno spregnutih elastiˇcnih opruga, ukoliko su odgovaraju´ci koeficijenti elastiˇcnosti k1 , k2 , ..., kn . Zadatak reˇsavamo tako, ˇsto u oba sluˇcaja nalazimo ekvivalentni koeficijent elastiˇcnosti k, i onda koristimo obrazac (5.6). U sluˇcaju paralelno spregnutih opruga istezanje svih opruga iznosi ∆x. Ukupan rad na istezanju svih opruga iznosi

A=

n X i=1

Fi ∆x = −

n X i=1

2

ki (∆x) = −

n X

!

ki (∆x)2 = −k(∆x)2 .

(5.22)

i=1

Zakljuˇcujemo da u sluˇcaju paralelnog sprezanja opruga vaˇzi k =

Pn

i=1

ki .

42

GLAVA 5. RAD SILE, ENERGIJA

Ako opruge veˇzemo redno, ukupno istezanje je jednako zbiru istezanja P svake opruge ponaosob, tako da dobijamo izraz ∆x = ni=1 ∆xi . Zbog zakona akcije i reakcije vaˇzi F1 = F2 = ... = Fn . Ukupan rad pri istezanju redno spregnutih opruga iznosi

A=−

n X

ki (∆xi )2 = F ∆x = −k(∆x)2 .

(5.23)

i=1

Znaˇci, k1 = ni=1 k1i . Na kraju, koriste´ci izraz za potencijalnu energiju 2 elastiˇcne opruge dobijamo U (∆x) = k∆x . 2 Analogija sa Omovim zakonom je oˇcigledna: istezanje odgovara elektriˇcnom naponu, jaˇcina elektriˇcne struje odgovara sili istezanja, a koeficijent istezanja odgovara elektriˇcnoj provodnosti (koja je obrnuto proporcionalna elektriˇcnom otporu). 2 3 Primer: Neka je zadat potencijal U (x, y, z) = x2y − z 3x . Izraˇcunajmo silu, koja deluje u taˇcci (x, y, z). Silu zadajemo sa tri komponente F~ = 3 2 (Fx , Fy , Fz ). Fx = − ∂U = −xy + z3 , Fy = − ∂U = − x2 , Fz = − ∂U = −z 2 x. ∂x ∂y ∂z Primer: Da li je sila Fx = x, Fy = y sin z, Fz = y 2 potencijalna? Proveriy x mo vaˇzenje jednakosti (5.21). Zbog npr. ∂F = 0 6= ∂F = sin z zakljuˇcujemo ∂y ∂x da data sila nije potencijalna. P

5.5

Polje centralnih sila

U sluˇcaju centralnih sila uvodimo pojam polja sila. Ilustrujmo to u sluˇcaju polja gravitacionih sila. Njutnov zakon gravitacije F~ = −γ m1r2m2 ~e~r . ~ gde je gravitaciono polje G ~ Napiˇsimo izraz za silu u obliku F~ = m1 G, generisano masom m2 i to polje deluje na masu m1 . Naravno, dobijamo ekvivalentni opis, ukoliko zamenimo uloge masa m1 i m2 . Zamiˇsljamo da je masa m2 izvor gravitacionog polja, koje deluje na masu m1 . Na osnovu vektorske prirode sila, dobijamo:

~ = F~ = mG

n X i=1

~ = G

n X i=1

~i G

F~i = m

n X

~i G

(5.24)

i=1

(5.25)

5.5. POLJE CENTRALNIH SILA

43

~ r = −dU . Uvedimo Izraˇcunajmo potencijalnu energiju. Imamo mGd~ U veliˇcinu: φ = m . Dobijamo: ~ r = −dφ Gd~ Funkciju φ zovemo potencijal polja. Na osnovu aditivnosti polja sila dobijamo aditivnost potencijala polja:

~ r = Gd~ φ =

n X i=1 n X

~ i d~r = − G

n X i=1

dφi = −d

n X

!

φi = −dφ, tj.

(5.26)

i=1

φi

(5.27)

i=1

Znaju´ci potencijal polja, jaˇcinu polja dobijamo kao: ~ = −( ∂φ , ∂φ , ∂φ ) = −∇φ G ∂x ∂y ∂z

5.5.1

(5.28)

Primer: Gravitaciono i elektriˇ cno polje

Gravitaciono polje na masu deluje ubrzanjem. Potencijal gravitacionog polja generisang masom m, iznosi φg = −γ mr . Naeletrisanje deluje na druga naelektrisanja preko elektriˇcnog polja. Za elektrostatiˇcki potencijal φCoulomb 1 q generisan naelektrisanjem q iznosi φCoulomb = 4π . 0 r

44

GLAVA 5. RAD SILE, ENERGIJA

Slika 5.2: Grafik funkcije

sin(xy) . exp(0.1(x2 +y 2 ))

sin(xy) Slika 5.3: Konturni prikaz funkcije exp(0.1(x 2 +y 2 )) . Svetle oblasti odgovaraju maksimumima, a tamne oblasti minimumima potencijalne energije.

5.5. POLJE CENTRALNIH SILA

Slika 5.4: Polje sila generisano potencijalom

45

sin(xy) . exp(0.1(x2 +y 2 ))

46

GLAVA 5. RAD SILE, ENERGIJA

Glava 6 Zakon odrˇ zanja mehaniˇ cke energije Razmotrimo mehaniˇcki rad u sluˇcaju potencijalnih sila. Iskoristimo obrasce koji povezuju rad sa kinetiˇckom (5.11), odnosno potencijalnom energijom (??). Obe ove jednakosti odredjuju isti mehaniˇcki rad, te izrazi sa desne strane jednakosti moraju biti jednaki.

A12 = Ek,2 − Ek,1 , A12 = U1 − U2 Ek,2 − Ek,1 = U1 − U2 odnosno nakon sredjivanja: Ek,1 + U1 = Ek,2 + U2

(6.1)

Znaˇci da postoji fiziˇcka veliˇcina E koja je zbir kinetiˇcke i potencijalne energije koja se ne menja, ima stalnu vrednost. Tu veliˇcinu nazivamo ukupna mehaniˇcka energija sistema. Ona je nepromenljva bez obzira na kretanje sistema, odnosno na prirodu sila koje deluju unutar sistema. Vaˇznost zakona odrˇzanja energije daleko prevazilazi okvire klasiˇcne mehanike.

E = Ek + U

(6.2)

ˇ smo pretpostavili Koji uslovi moraju biti ispunjeni da bi zakon vaˇzio? Sta prilikom izvodjenja? • Na sistem ne deluju spoljaˇsnje sile, sistem je izolovan. 47

ˇ ˇ GLAVA 6. ZAKON ODRZANJA MEHANICKE ENERGIJE

48

• Sve sile unutar sistema su potencijalne. Ukoliko dozvolimo postojanje spoljaˇsnjih, odnosno nepotencijlanih (disipativnih) sila, zakon odrˇzanja mehaniˇcke energije vaˇzi u obliku E2 − E1 = Asp + Adis

(6.3)

gde Asp + Adis predstavlja ukupan rad spoljaˇsnjih i disipativnih sila. Znaˇcaj zakona odrˇzanja energije ´cemo raspraviti nakon ˇsto upoznamo joˇs neke zakone odrˇzanja. Primetimo da je u sluˇcaju sistema tela kinetiˇcka energija aditivna veliˇcina (tj. ukupna kinetiˇcka energija sistema je jednaka zbiru kinetiˇckih energija delova sistema), dok potencijalna energija nije, ˇsto za sobom povlaˇci da ni ukupna energija sistema nije aditivna veliˇcina.

6.1

Primena zakona odrˇ zanja energije

Razmotrimo ponovo problem klizanja tela niz polusferu koji smo reˇsili u odeljku 4.1.2, slika 4.1. Ovog puta uopˇstimo razmatranje tako ˇsto ´cemo smatrati da je telo poˇcelo da klizi iz stanja mirovanja, ali ne obavezno sa najviˇslje taˇcke, nego iz taˇcke odredjene azimutalnim uglom θ1 . Nadjimo vezu izmedju ugla θ1 i ugla θ2 pri kome se telo odvoji od polusfere. U poˇcetnom trenutku telo ima samo potencijalnu energiju. U trenutku kada se odvoji od polusfere telo ima mehaniˇcku energiju jednaku zbiru potencijalne i kinetkiˇcke energije. Ako je polupreˇcnik sfere jednak r, za potencijalnu energiju u odnosu na osnovu polusfere nalazimo U = mgr cos θ. U poˇcetnom trenutku ukupna energija je jednaka mgr cos θ1 . U trenutku kada se telo odvoji od polusfere potencijalna energija mu je jednaka mgr cos θ2 . Kinetiˇcka energija je jednaka mv 2 /2, a za normalnu silu na osnovu drugog Njutnovog 2 zakona imamo Fn = m vr , gde je Fn = mg cos θ − R. U trenutku kada se telo v2

odvoji od polusfere vaˇzi R = 0, znaˇci u tom trenutku m r2 = mg cos θ2 , pa za kinetiˇcku energiju u trenutku odvajanja dobijamo mgr 2cos θ2 . mgr cos θ1 = mgr cos θ2 + odakle nakon sredjivanja sledi:

mgr cos θ2 2

(6.4)

ˇ 6.1. PRIMENA ZAKONA ODRZANJA ENERGIJE

2 cos θ2 = cos θ1 , 3

s

v2 =

2 gr cos θ1 3

49

(6.5)

Koriste´ci zakon odrˇzanja energije reˇsili smo sloˇzeniji zadatak nego u odeljku 4.1.2 bez da smo eksplicitno reˇsavali jednaˇcine kretanja. Zadatak Reˇsite slede´ci zadatak: U ˇcamcu mase M sede momak i devojka na medjusobnom rastojanju l. Masa momka je m1 , masa devojke je m2 . Za koliko ´ce se pomeriti ˇcamac u odnosu na vodu, ako momak i devojka zamene mesta?

50

ˇ ˇ GLAVA 6. ZAKON ODRZANJA MEHANICKE ENERGIJE

Glava 7 Impuls, Zakon odrˇ zanja impulsa 7.1

Pojam impulsa

Koliˇcinu kretanja ili impuls tela definiˇsemo na slede´ci naˇcin: p~ = m~v .

(7.1)

Pretpostavimo da se tokom kretanja masa tela ne menja. Tada vaˇzi slede´ca relacija: d~p d d~v = (m~v ) = m = m~a = F~ dt dt dt

(7.2)

U zadnjoj jednakosti smo iskoristili drugi Njutnov zakon. Napiˇsimo prethodnu jednakost u integralnom obliku: p~ =

Z

F~ dt + p~0

(7.3)

U sluˇcaju kada imamo viˇse tela, impuls sistema definiˇsemo kao: P~ =

n X

mi~vi =

i=1

n X i=1

51

p~i

ˇ GLAVA 7. IMPULS, ZAKON ODRZANJA IMPULSA

52

7.2

Zakon odrˇ zanja impulsa

Izraˇcunajmo promenu ukupnog impulsa tokom vremena. Pretpostavi´cemo, da je kretanje tela takvo, de se mase tela ne menjaju tokom vremena. n n n n n X X X dP~ d d~vi X d X mi~vi = mi mi~ai = F~i = F~tot = (mi~vi ) = = dt dt i=1 dt dt i=1 i=1 i=1 i=1

Znaˇci, trenutna promena ukupnog impulsa jednaka je ukupnoj sili koja deluje na sistem. Razloˇzimo ukupnu silu na zbir sila koje uzrok imaju u posmatranom sistemu (unutraˇsnje sile) F~int , i na zbir koji sadrˇzi sve spoljaˇsnje sile F~ext . Primetimo, da je zbir svih unutraˇsnjih sila jednak nuli, jer na osnovu tre´ceg Njutnovog zakona znamo da ako i-to telo delujena j-to telo silom F~ij , onda j-to telo deluje na i-to telo silom F~ji = −F~ij , tako da je zbir ovih sila jednak P nuli. Znaˇci dobili smo da je F~int = ij F~ij = 0. Prema tome: dP~ = F~ext dt

(7.4)

Ukupan impuls sistema se menja samo pod dejstvom spoljaˇsnjih sila. Ako na sistem ne deluju spoljaˇsnje sile, ili je njihova rezultanta jednaka nuli, ~ dP = 0, ˇsto znaˇci P~ = const. Dokazali smo slede´ce tvrdjenje: dt Ukoliko na sistem ne deluju spoljaˇ snje sile, ukupan impuls sistema se ne menja. Neka se sistem tela sastoji od n tela, sa masama mi ˇciji su vektori poloˇzaja ~ri . Oznaˇcimo ukupnu masu sistema sa mtot . Vektor poloˇzaja teˇziˇsta odredjujemo kao: Pn

~ c = Pi=1 mi~ri = R n i=1 mi

Pn

i=1

mi~ri

mtot

(7.5)

~ c , pri tome ´cemo koristiti jednaˇcinu (7.4). Odredimo zakon kretanja za R n n n ~c dR 1 d X 1 X d~ri 1 X = V~c = mi~ri = mi = mi~vi dt mtot dt i=1 mtot i=1 dt mtot i=1

ˇ 7.2. ZAKON ODRZANJA IMPULSA

53

n 1 X 1 ~ P p~i = mtot i=1 mtot ~c dV~c d2 R 1 dP~ F~ext = = = = dt dt2 mtot dt mtot = F~ext

=

~c A ~c mtot A

(7.6) (7.7) (7.8)

Dokazali smo, da se teˇziˇste sistema sastavljenog od viˇse tela kre´ce iskljuˇcivo pod dejstvom spoljaˇsnjih sila, bez obzira na kretanje i medjusobnu interakciju tela koja ˇcine sistem. U smislu gornje jednakosti moˇzemo da zamenimo opis kretanja sistema tela opisom kretanja teˇziˇsta sistema.

7.2.1

Primer primene zakona odrˇ zanja impulsa

ˇ Covek mase m miruje u ˇcamcu mase M . I ˇcovek i ˇcamac se nalaze u stanju mirovanja u odnosu na povrˇsinu vode. U jednom trenutku ˇcovek poˇcne da ˇseta duˇz ˇcamca i predje rastojanje l, nakon ˇcega se zaustavi. Za koliko se pomerio ˇcamac? Zanemarimo otpor vode. U poˇcetku je ukupan impuls sistema ”ˇcovek + ˇcamac”bio jednak 0, i znamo da ukupan impuls sistema ostaje nepromenjen. p~1 + p~2 = 0,

tj. m~v1 + M~v2 = 0

(7.9)

p~1 oznaˇcava impuls ˇcoveka, a p~2 impuls ˇcamca. ~v1 i ~v2 oznaˇcavaju brzinu ˇcoveka u odnosu na porvˇsinu vode, odnosno ˇcamca u odnosu na povrˇsinu vode. Izmedju ovih brzina vaˇzi relacija ~v1 = ~v0 + ~v2 , gde je ~v0 brzina ˇcoveka u odnosu na ˇcamac. Zamenimo ~v1 u jednaˇcinu (7.9). Dobijamo: m(~v0 + ~v2 ) + M~v2 = 0,

m~v0 = −(m + M )~v2 ,

~v2 = −

m ~v0 (7.10) m+M

Oznaˇcimo sa L pomeraj ˇcamca u odnosu na vodu. Kretanje je pravolinijsko, a znak minus oznaˇcava ˇcinjenicu de se ˇcovek kre´ce nasuprot ˇcamcu, odnosno da se pomeraj ˇcoveka desio nasuprot pomeraja ˇcamca. Ako je kretanje ˇcoveka trajalo ∆t, tada nalazimo: L m l =− , ∆t m + M ∆t

tj. L = −

m l m+M

(7.11)

54

ˇ GLAVA 7. IMPULS, ZAKON ODRZANJA IMPULSA

Zadatak: U ˇcamcu mase M sede momak i devojka na medjusobnom rastojanju l. Masa devojke je m1 , a masa momka m2 . Koliko ´ce se pomeriti ˇcamac u odnosu na povrˇsinu vode, ukoliko momak i devojka zamene mesta?

Glava 8 Moment impulsa, Zakon odrˇ zanja momenta impulsa Neka se telo mase m kre´ce brzinom ~v i neka je vektor poloˇzaja tela zadat vektorom ~r. Uvedimo veliˇcinu, koju ´cemo zvati moment impulsa, na osnovu slede´ce jednakosti:

~l = ~r × m~v = ~r × p~

(8.1)

U sluˇcaju kada imamo sistem sastavljen od viˇse tela, moment impulsa sistema definiˇsemo kao zbir impulsa tela koja ˇcine sistem:

~ = L

n X

~ri × mi~vi =

i=1

n X

~ri × p~i =

i=1

n X

~li

(8.2)

i=1

~ Nadjimo zakon kretanja za veliˇcinu L. n n ~ X d dL d X = ~ri × mi~vi = (~ri × mi~vi ) dt dt i=1 i=1 dt

!



=



n  X ri  d~  ×mi~vi  dt i=1 |{z}

+ ~ri ×

=~vi

55

 d  (m ~ v ) i i  dt | {z }  =~ pi

ˇ 56GLAVA 8. MOMENT IMPULSA, ZAKON ODRZANJA MOMENTA IMPULSA 

=

=

n  X  ~ |vi i=1  n X

 n X d~pi   × mi~vi +~ri × ~ri × F~i = {z } dt  i=1 |{z}



=0

~i =F

~ m ~i=M

i=1

Veliˇcinu m ~ i = ~ri × F~i zovemo moment sile. Moment impulsa se menja pod dejstvom momenta sile. Rastavimo moment impulsa na dva zbira, jedan neka bude moment svih ~ int , a drugi moment svih spoljaˇsnjih sila M ~ ext . Za moment unutraˇsnjih M unutraˇsnjih sila na osnovu tre´ceg Njutnovog zakona dobijamo: ~ int = M =

n X i,j=1 n X

(~ri × F~ij + ~rj × F~ji ) =

n X

(~ri × F~ij − ~rj × F~ij )

i,j=1

(~ri − ~rj ) × F~ij = 0

i,j=1

jer je vektor ~ri −~rj paralelan sili F~ij , tako da je njihov vektorski proizvod nula. Znaˇci, moment impulsa sistema se menja pod dejstvom momenta spoljaˇsnjih sila. ~ dL ~ ext =M dt Napiˇsimo i integralni oblik prethodne jednakosti: ~ = L

Z

~ ext dt + L ~0 M

(8.3)

(8.4)

~ ext = 0 onda se L ~ ne menja tokom vremena. Tako smo iz Ako je M prethodne jednakosti dobili joˇs jedan vaˇzan zakon odrˇzanja: Ukoliko je ukupni moment spoljaˇ snjih sila koje deluju na sistem jednak nuli, ukupan moment impulsa sistema ostaje nepromenjen.

8.1

Znaˇ caj zakona odrˇ zanja

Sva tri zakona odrˇzanja imaju nekoliko zajedniˇckih odlika:

8.2. DINAMIKA ROTACIJE

57

• Vaˇzenje zakona odrˇzanja prevazilazi okvire klasiˇcne mehanike • Zakoni odrˇzanja ne zavise od detaljnog poznavanja sila • Primenljivi su u sluˇcajevima i kada detaljna interakcija tela nije poznata • Name´cu ograniˇcenja na pojave koje se u principu mogu odvijati, sve ˇsto bi bilo u suprotnosti sa nekim zakonom odrˇzanja u prirodi ne postoji.

8.2

Dinamika rotacije

Moment inercije je veliˇcina koja je odredjena rasporedom mase u odnosu na osu rotacije: I=

X

mi ρ2i

(8.5)

i

Izraˇcunavanje momenta inercije moˇze biti sloˇzeno, u praksi se ˇcesto sluˇzimo tabelama sa ve´c izraˇcunatim vrednostima. U slede´coj tabeli su saˇzeti neki vaˇzniji momenti inercije. R i L predstavljaju karakteristiˇcne linearne dimenzije geometrijskog objekta ili fiziˇckog tela, a M oznaˇcava masu objekta. Obrasci vaˇze pod pretpostavkom da je masa homogeno rasporedjena u telu. sfera sferna ljuska dugaˇcka tanka ˇsipka, osa rotacije polovi ˇsipku i normalna je na nju cilindar, osa rotacije se poklapa sa osom cilindra cilindar, osa rotacije je normalna na osu cilindra

2/5M R2 2/3M R2 1/12M L2 1/2M R2 1/4M R2 + 1/12M L2

Tabela 8.1: Vaˇzniji momenti inercije Izraˇcunavanje momenta inercije na osnovu ve´c poznatih momenata inercije ˇ donekle olakˇsava Stajnerova teorema: Ukoliko je poznat moment inercije I0 nekog tela oko ose fiksirane ose, tada je moment inercije I istog tela oko neke ose koja je paralelna fiksiranoj osi rotacije, i od nje je na udaljenosti l iznosi: I = I0 + ml2

(8.6)

ˇ 58GLAVA 8. MOMENT IMPULSA, ZAKON ODRZANJA MOMENTA IMPULSA

8.2.1

Veze medju veliˇ cinama vezanim za rotaciju

U sluˇcaju fiksirane ose rotacije izraˇcunajmo vektor momenta impulsa. Koristi´cemo cilindriˇcne koordinate, z osa se poklapa sa osom rotacije. Vektor poloˇzaja je oblika ~r = ρ~eρ + z~ez , a za impuls vaˇzi p~ = pρ~eρ + pφ~eφ + pz~ez . Za vektor momenta impulsa nalazimo:



~eρ ~eφ ~ez ~ L = ~r × p~ = ρ 0 z pρ pφ pz

(8.7)

~ iznosi ρpφ . Znamo da Iz gornje jednaˇcine sledi da z komponenta vektora L vaˇzi pφ = mvφ , odnosno vφ = ρωz , tako da za Lz nalazimo mρ2 ωz . Koriste´ci definiciju momenta inercije dobili smo vezu: Lz = Iωz

(8.8)

Diferenciraju´ci gornji izraz po vremenu i koriste´ci definiciju ugaonog ubrzanja nalazimo: Mz = Iβz

(8.9)

mv 2 2

i znamo da je v = ρω. Zamenjuju´ci v u Kinetiˇcka energija rotacije je izrazu za kinetiˇcku energiju nalazimo: mρ2 ω 2 Iω 2 mv 2 = = (8.10) 2 2 2 Rad u sluˇcaju rotacionog kretanja nalazimo na slede´ci naˇcin. Posmatrajmo rotaciju oko z ose koja je fiksirana. Znamo da je izvod kinetiˇcke energije po vremenu jednak snazi, (jednaˇcina (5.12)). Iz jednaˇcine (8.10) nalazimo dEk = Iωdω, odnosno iz jednaˇcine (8.9) znamo Iβz = Lz , pa dobijamo: Ek =

dA d = dt dt

Iω 2 2

!

= Mz dωz = Mz

dφ dt

(8.11)

Mnoˇze´ci gornju jednakost sa dt nalazimo dA = Mz dφ,

A=

Z φ2 φ1

Mz dφ

(8.12)

8.3. PARALELE IZMEDJU TRANSLATORNOG I ROTACIONOG KRETANJA59

8.3

Paralele izmedju translatornog i rotacionog kretanja

predjeni put s vektor infinitezimalnog pomeraja d~r brzina ~v ubrzanje ~a sila F~ impuls p~ masa m jednaˇcina kretanja m~a = F~ jednaˇcina kretanja d~p/dt = F~ kinetiˇcka energija translacije mv 2 /2

8.4

predjeni ugao vektor infinitezimalne rotacije ugaona brzina ugaono ubrzanje moment sile moment impulsa moment inercije

kinetiˇcka energija rotacije

Dinamika krutog tela

Kretanje krutog tela odredjujemo dvema jednaˇcinama. Jedna jednaˇcina opisuje kretanje teˇziˇsta krutog tela a druga jednaˇcina opisuje rotaciju krutog tela oko svog teˇziˇsta. m~a = F~ ~ I β~ = M

(8.13) (8.14)

Posmatrajmo primer valjka koji se kotrlja. Kinetiˇcka energija valjka se sastoji od kinetiˇcke energije vezane za translatorno kretanje teˇziˇsta valjka, odnosno kinetiˇcke energije rotacije valjka oko svoje ose. Razmatranje kretanja krutog tela moze biti veoma sloˇzeno, u okviru Fizike 1 ne´cemo zalaziti u detalje. Primer. Homogena sfera radijusa r poˇcne da se kotrlja bez klizanja niz polusferu polupreˇcnika R, (R > r). Pri kom uglu i kojoj ugaonoj brzini se sfera odvoji od polusfere? Jednaˇcina kretanja sfere u trenutku odvajanja od polusfere je mv 2 = mg cos θ R+r

(8.15)

φ ~ dφ ω ~ β~ ~ M ~ L I ~ ~ Iβ = M ~ ~ dL/dt =M 2 Iω /2

ˇ 60GLAVA 8. MOMENT IMPULSA, ZAKON ODRZANJA MOMENTA IMPULSA Zakon odrˇzanja energije za brzinu u trenutku odvajanja je: v2 ω2 +I 2 2

(8.16)

h = (r + R)(1 − cos θ)

(8.17)

mgh = m Vaˇze slede´ce relacije:

v = ωr,

Za ugao odnosno ugaonu brzinu u trenutku odvajanja dobijamo: 10 cos θ = , 17

s

ω=

10g(R + r) 17r2

(8.18)

Deo II Oscilacije

61

Glava 9 Oscilacije 9.1

Matematiˇ cko klatno

Fiksirajmo jedan kraj opruge, a na drugi uˇcvrstimo telo mase m. Koeficijent elastiˇcnosti opruge neka je k. Za jednaˇcinu kretanja dobijamo: Fel = −kx ma = −kx d2 x m 2 + kx = 0 dt 2 dx k + x=0 2 dt m Uvedimo oznaku ω 2 = u ovim oznakama glasi

k . m

(9.1) (9.2) (9.3) (9.4)

Opˇsta jednaˇcina harmonijskih oscilacija (9.4)

d2 x + ω2x = 0 dt2

(9.5)

Potraˇzimo reˇsenje jednaˇcine (9.4) u obliku: x = C exp(λt). Diferenciranjem x po t dobijamo: x˙ = Cλ exp(λt), x¨ = Cλ2 exp(λt). Uvrˇstavanjem u jednaˇcinu dobijamo: Cλ2 exp(λt) +

k C exp(λt) = 0 m 63

64

GLAVA 9. OSCILACIJE

Poˇsto ni C, ni exp(λt) ne mogu biti nula, nakon kra´cenja dobijamo kvadratnu jednaˇcinu po λ: λ2 +

k =0 m s

λ1,2 = ±i

k = ±iω m

Poˇsto je x(t) realna veliˇcina, za konstante C1 i C2 iz uslova x(t) = x(t)∗ (∗ oznaˇcava kompleksnu konjugaciju) dobijamo C1 = C2∗ . Uzimaju´ci sve navedeno u obzir, C moˇzemo pisati u obliku C = A20 exp(iφ), i znaju´ci da exp(iα) = cos(α) + i sin(α), za x(t) dobijamo: A0 A0 exp(iφ) exp(iω) + exp(−iφ) exp(−iω) 2 2 A0 A0 = exp(i(φ + ωt)) + exp(−i(φ + ωt)) 2 2 = A0 cos(ωt + φ) x(t) =

(9.6)

Za brzinu tela priˇcvrˇs´cenog za slobodan kraj opruge dobijamo: v(t) = x(t) ˙ = −A0 ω sin(ωt + φ)

(9.7)

Za ubrzanje tela priˇcvrˇs´cenog za slobodan kraj opruge dobijamo: a(t) = x¨(t) = −A0 ω 2 cos(ωt + φ)

(9.8)

Na osnovu poznatog trigonometrijskog identiteta cos2 (α) + sin2 (α) = 1 dokazujemo: x(t) A0

!2

v(t) + A0 ω

!2

=1

(9.9)

Vremenska zavisnost poloˇzaja, brzine i ubrzanja harmonijskog oscilatora ilustrovana je slede´cim primerom: (m = 0.15 kg, k = 0.65 N , φ = 0). m Odgovaraju´ce vremenske zavisnosti su prikazane na slici (9.1). Podeoci na osama su dati u odgovaraju´cim SI jedinicama. Za kinetiˇcku energiju tela priˇcvrˇs´cenog za slobodan kraj opruge dobijamo:

ˇ 9.1. MATEMATICKO KLATNO

65

xHtL 10 5 0 -5 -10 0

2

4

6

vHtL

8 10

20 10 0 -10 -20 0

2

4

6

8 10

aHtL 10 5 0 -5 -10 0

2

4

6

8 10

Slika 9.1: Vremenska zavisnost poloˇzaja, brzine i ubrzanja harmonijskog oscilatora.

Ekin (t) =

mA20 ω 2 sin2 (ωt + φ) 2

Znaju´ci, da je potencijalna energija opruge jednaka U = zavisnost potencijalne energije opruge dobijamo:

Epot (t) =

(9.10) kx2 2

kA20 cos2 (ωt + φ) 2

za vremensku

(9.11)

Za ukupnu mehaniˇcku energiju sistema “opruga+telo na kraju opruge” dobijamo:

Etot (t) =

A20 (k cos2 (ωt + φ) + mω 2 sin2 (ωt + φ)) 2

(9.12)

Vremenska zavisnost kinetiˇcke, potencijalne i ukupne mehaniˇcke energije (parametri sistema su nepromenjeni), podeoci na osama su dati u sekundama, odnosno Dˇzulima:

66

Ekin HtL 30 25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

GLAVA 9. OSCILACIJE

Epot HtL

4

30 25 20 15 10 5 0 0

5

1

2

3

4

5

Slika 9.2: Vremenska zavisnost kinetiˇcke i potencijane energije harmonijskog oscilatora.

9.2

Elastiˇ cna opruga sa unutraˇ snjim trenjem

U relanim situacijama javlja se unutraˇsnje trenje u materijalu opruge. Razmotrimo kako se menja ponaˇsanje klatna, ukoliko uzmemo u obzir gubitak energije zbog postojanja trenja. Fiksirajmo jedan kraj opruge, a na drugi uˇcvrstimo telo mase m. Koeficijent elastiˇcnosti opruge je k, a koeficijent unutraˇsnjeg trenja je µ. Za jednaˇcinu kretanja dobijamo: Fel = −kx, Ftr = −µv ma = −kx − µv dx d2 x m 2 + µ + kx = 0 dt dt µ dx k d2 x + + x=0 dt2 m dt m

(9.13) (9.14) (9.15) (9.16)

I ovoga puta potraˇzimo reˇsenje u obliku: x = C exp(λt). Diferenciranjem x po t dobijamo: x˙ = Cλ exp(λt), x¨ = Cλ2 exp(λt). Uvrˇstavanjem u jednaˇcinu dobijamo: Cλ2 exp(λt) +

µ k Cλ exp(λt) + C exp(λt) = 0 m m

(9.17)

Poˇsto ni C, ni exp(λt) ne mogu biti nula, nakon kra´cenja dobijamo kvadratnu jednaˇcinu po λ: µ k λ+ =0 m mq µ 2 k − µ ± (m ) − 4m = m 2

λ2 +

(9.18)

λ1,2

(9.19)

ˇ ˇ 9.2. ELASTICNA OPRUGA SA UNUTRASNJIM TRENJEM

67

µ 2 k Oscilacije se javljaju pod uslovom ( m ) − 4m < 0, tj. µ2 < 4km. U suprotnom sluˇcaju radi se o priguˇsenom kretanju. Poˇsto je x(t) realna veliˇcina, za konstante C1 i C2 iz uslova x(t) = x(t)∗ dobijamo C1 = C2∗ . C i ovoga puta moˇzemo pisati u obliku C = A20 exp(iφ), tako da za x(t) dobijamo:

A0 A0 exp(iφ) exp(λ1 ) + exp(−iφ) exp(λ2 ) 2 2 A0 A0 exp(iφ) exp((− + iω)t) + exp(−iφ) exp((− − iω)t) = 2 2 = A0 exp(−t) cos(ωt + φ) (9.20) x(t) =

Vidimo da se u sluˇcaju neidalne opruge amplituda oscilacija smanjuje po eksponencijalnom zakonu: A(t) = A0 exp(−t). Za brzinu tela priˇcvrˇs´cenog za slobodan kraj opruge dobijamo:

v(t) = x(t) ˙ = −A0 exp(−t)( cos(ωt + φ) + ω sin(ωt + φ))

(9.21)

Za ubrzanje tela priˇcvrˇs´cenog za slobodan kraj opruge dobijamo:

a(t) = x¨(t) = A0 exp(−t)((2 + ω 2 ) cos(ωt + φ) + 2ω sin(ωt + φ)) (9.22) Vremenska zavisnost poloˇzaja, brzine i ubrzanja ilustrovana je slede´cim , µ = 0.1 kg , φ = 0), podeoci na osama primerom (m = 0.15 kg, k = 0.65 N m s su dati u odgovaraju´cim SI jedinicama: Za kinetiˇcku energiju tela priˇcvrˇs´cenog za slobodan kraj opruge dobijamo: Ekin =

mA20 exp(−2t)( cos(ωt + φ) + ω sin(ωt + φ))2 2

Znaju´ci, da je potencijalna energija opruge jednaka U = energiju opruge dobijamo:

Epot =

kA20 exp(−2t) cos2 (ωt + φ) 2

kx2 2

(9.23)

za potencijalnu

(9.24)

68

GLAVA 9. OSCILACIJE

xHtL 10 5 0 -5 -10 0

2

4

6

vHtL

8 10

20 10 0 -10 -20 0

2

4

6

8 10

aHtL 40 20 0 -20 -40 0

2

4

6

8 10

Slika 9.3: Vremenska zavisnost poloˇzaja, brzine i ubrzanja harmonijskog oscilatora. Za ukupnu mehaniˇcku energiju sistema “opruga+telo na kraju opruge” dobijamo: Etot =

A20 exp(−2t)(k cos2 (ωt + φ) + m( cos(ωt + φ) + ω sin(ωt + φ))2 ) 2

Vremenska zavisnost kinetiˇcke, potencijalne i ukupne mehaniˇcke energije (parametri sistema su nepromenjeni), podeoci na osama su dati u sekundama, odnosno Dˇzulima:

9.3

Matematiˇ cko klatno u faznom prostoru

Razmotrimo ponovo jednaˇcinu (9.5). Uvedimo smenu x˙ = y i prepiˇsimo jednaˇcinu u promenljivama x, y. Nalazimo:

x˙ = y y˙ = −ω 2 x

(9.25) (9.26)

ˇ 9.3. MATEMATICKO KLATNO U FAZNOM PROSTORU

Ekin HtL

20 15 10 5 0 0

1

30 25 20 15 10 5 0

1

Etot HtL

69

Epot HtL

2

3

4

5

2

3

4

5

30 25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

Slika 9.4: Vremenska zavisnost kinetiˇcke, potencijalne i ukupne mehaniˇcke energije priguˇsenog harmonijskog oscilatora. Podelimo jednaˇcine jednu sa drugom. Deljenjem se na levoj strani izgubi dt. y dx =− 2 dy ω x

(9.27)

Nakon mnoˇzenja s ω 2 x i dy nalazimo ω 2 xdx + ydy = 0

(9.28)

Integraljenjem gornje jednaˇcine dobijamo ω 2 x2 y 2 + = const 2 2 Konstanta integracije je

E . m

Nakon malo sredjivanja nalazimo:

(9.29)

70

GLAVA 9. OSCILACIJE

x2 E 2 mω 2

+

y2 2 Eω m

2

=1

(9.30)

ˇsto je jednaˇcina elipse u xy ravni. Povrˇsina ove elipse je ukupna mehaniˇcka energija harmonijskog oscilatora. Uporedite ovaj rezultat sa jednaˇcinom (9.9).

ˇ 9.4. FIZICKO KLATNO

9.4

71

Fiziˇ cko klatno

Posmatrajmo nerastegljivo klatno zanemarljive mase i duˇzine l, o ˇciji je kraj obeˇseno telo mase m. Razlˇzimo silu teˇze na normalnu i tangencijalnu komponentu: N = mg cos(θ), T = mg sin(θ). Put koji predje telo na kraju ¨ klatna jednak je s = lθ, pa na osnovu toga za ubrzanje dobijamo a = s¨ = lθ. Poˇsto se telo kre´ce duˇz tangencijalnog pravca, na osnovu drugog Njutnovog zakona imamo: mlθ¨ = −mg sin(θ) g θ¨ + sin(θ) = 0 l Na slici (9.5) su prikazana reˇsenja diferencijalnih jednaˇcina za fiziˇcko i matematiˇcko klatno. Primetimo, da fiziˇcko klatno sporije osciluje (ima kra´ci period oscilacija) od matematiˇckog. U oba sluˇcaja duˇzina klatna je 0.8 m, poˇcetni otklon iznosi 1.26 radijana, a poˇcetna brzina je 0 ms . Ukoliko je ugao otklona θ mali, za sin(θ) moˇzemo pribliˇzno uzeti sin(θ) ≈ θ, tako da u ovom pribliˇzenju dobijamo jednaˇcinu harmonijsog oscilatora: g θ¨ + θ = 0 l q

g sa ugaonom frekvencijom ω = . I u opˇstijem sluˇcaju vaˇzi, da male l oscilacije moˇzemo pribliˇzno smatrati harmonijskim.

9.5 9.5.1

Slaganje oscilacija Slaganje paralelnih oscilacija, izbijanje

Posmatrajmo dva oscilatora ˇcije su frekvencije bliske, ω1 ≈ ω2 ≈ ω, i ω1 − ω2 = ∆ω  1 i osciluju duˇz iste ose. x1 (t) = A cos(ω1 t + φ1 ), x2 (t) = A cos(ω2 t + φ2 ). Da bi smo pojednostavili raˇcun, pretpostavimo da su obe poˇcetne faze jednake nuli. Slaganjem oscilacija, za rezultuju´ce kretanje koriste´ci poznat trigonometrijski identitet dobijamo: x(t) = x1 (t) + x2 (t) = 2 2 A cos(ω1 t) + A cos(ω2 t) = 2A cos ω1 +ω cos ω1 −ω ≈ 2A cos ∆ω cos ω. Poˇsto je 2 2 2 razlika uglovnih frekvencija mala, rezultuju´ce kretanje je sporo modulirana oscilacija. Amplituda je postala zavisna od vremena A(t) = 2A cos ∆ω . 2 Znaˇcaj izbijanja leˇzi u ˇcinjenici, da merenjem perioda amplitudne modulacije

72

GLAVA 9. OSCILACIJE

Slika 9.5: Poredjenje fiziˇckog i matematiˇckog klatna. Primetimo da fiziˇcko klatno kasni u odnosu na matematiˇcko klatno. (koji je velik u odnosu na originalne periode oscilacije), moˇzemo odrediti razliku dve bliske frekvencije. Na slici je prikazana rezultanta dve oscilacije jediniˇcnih amplituda i kruˇznih frekvencija ω1 = 52Hz i ω2 = 48Hz

9.5.2

Slaganje normalnih oscilacija

Pretpostavimo da imamo dva oscilatora, da oni osciluju duˇz dve medjusobno normalne ose i da su im kruˇzne frekvencije identiˇcne. Kako izgleda sloˇzena oscilacija u ovom sluˇcaju? Izvedimo jednaˇcinu, koja opisuje rezultuju´cu trajektoriju. Neka prvi oscilator osciluje duˇz x ose, a drugi duˇz y ose. x(t) = A cos(ωt) y(t) = B cos(ωt + φ)

9.5. SLAGANJE OSCILACIJA

73

Slika 9.6: Primer izbijanja. Napiˇsimo y(t) kao y(t) = B(cos(ωt) cos(φ) − sin(ωt) sin(φ)), i uvrstimo cos(ωt) =

x A s

sin(ωt) =

q

1−

cos2 (ωt)

=

x 1− A 

2

.

Uvrˇstavaju´ci dobijene izraze za cos(ωt) i sin(ωt) u jednaˇcinu za y, dobijamo: 

x y(t) = B  cos φ − A

s

x 1− A 



2

sin φ

koju sredjivanjem dovodimo na oblik: x2 y2 2xy + − cos φ = sin2 φ 2 2 A B AB Dobili smo jednaˇcinu elipse sa poluosama A i B, medjutim elipsa je zbog nenulte faze u opˇstem poloˇzaju, tj. poluose se ne poklapaju sa koordinatnim osama.

74

GLAVA 9. OSCILACIJE

1

0.5

0

-0.5

-1 -1

Slika 9.7: oscilacije.

-0.5

0

0.5

1

Sloˇzena oscilacija kao rezultanta dve normalne harmonijske

Ukoliko se kruˇzne frekvencije oscilatora razlikuju dobijamo putanje slozenog oblika. U dvozdimenzionalnom sluˇcaju zovemo ih Lisaˇzuovim krivama. Vidimo primer sa oscilatorima x(t) = cos t,y(t) = cos(2t + π/2). Analogno moˇzemo slagati oscilacije i u tri dimenzije, za ilustraciju neka posluˇzi primer tri oscilatora x(t) = cos(5t+4π/5), y(t) = cos(4t+π/3), z(t) = sin(3t):

9.5. SLAGANJE OSCILACIJA

75

Slika 9.8: Primer Lisaˇzuove krive.

9.5.3

Prinudne oscilacije, rezonancija

Razmotrimo sluˇcaj prinudnih oscilacija, tj. sluˇcaj kada na priguˇseni oscilator deluje periodiˇcna pobuda Fsp = F0 cos(ωt). Na osnovu drugog Njutnovog zakona nalazimo: µ dx d2 x k F0 + + x= cos(ωt) tj. 2 dt m dt m m x¨ + β x˙ + ω02 x = γ cos(ωt)

(9.31) (9.32)

Predjimo na kompleksne promenljive, i periodiˇcnu pobudu napiˇsimo kao γ exp(iωt). Kompleksno reˇsenje traˇzimo u obliku A exp(iωt), gde je A kompleksna amplituda koje ´cemo odrediti uvrˇstavanjem u jednaˇcinu (9.31). Fiziˇcko reˇsenje ´ce biti realan deo kompleksnog reˇsenja. Diferenciranjem po vremenu nalazimo x˙ = Aiω exp(iωt), odnosno x¨ = −Aω 2 exp(iωt). Uvrˇstavanjem u jednaˇcinu (9.32) nalazimo: −Aω 2 exp(iωt) + βAiω exp(iωt) + ω02 exp(iωt) = γ exp(iωt) (9.33) A(ω02 − ω 2 + βiω ) = γ (9.34) |

{z

=ρ exp(iφ)

ρ=

}

!

q

(ω02 − ω 2 )2 + β 2 ω 2 ,

φ = arctg

βω , tj. 2 ω0 − ω 2

(9.35)

76

GLAVA 9. OSCILACIJE

1

0.5

0

-0.5

-1 1

0.5

0

-0.5

-1 -1 -0.5

0

0.5

1

Slika 9.9: Primer Lisaˇzuove krive u prostoru. γ exp(−iφ) exp(iωt) ρ γ =q exp iωt − arctg (ω02 − ω 2 )2 + β 2 ω 2

x=

(9.36) βω 2 ω0 − ω 2

!!

(9.37)

Realni deo nadjenog reˇsenja daje opis periodiˇcno pobudjenog fiziˇckog klatna:

x= q

γ (ω02 − ω 2 )2 + β 2 ω 2

cos iωt − arctg

βω 2 ω0 − ω 2

!!

(9.38)

9.5. SLAGANJE OSCILACIJA

77

Opˇste reˇsenje jednaˇcine (9.32) ne´cemo izraˇcunati. Energija oscilatora je proporcionalna kvadratu amplitude. Potraˇzimo maksimum amplitude Aω u zavisnosti od frekvencije pobude. Aω = q

γ (ω02 − ω 2 )2 + β 2 ω 2

(9.39)

Nalazimo: 3 d Aω = γ((ω02 − ω 2 )2 + β 2 ω 2 )− 2 2ω(β 2 − 2(ω02 − ω 2 )) dω

(9.40)

Uslov za maksimum je ddAωω = 0, shodno tome iz jednaˇcine (9.40) nalazimo reˇsenje ω = 0, koje odbacujemo, jer povlaˇci odsustvo spoljaˇsnje periodiˇcne pobude, odnosno nalazimo reˇsenje s

ωrez =

β2 − ω02 2

(9.41)

Maksimum rezonantne amplitude dobijamo uvrˇstavanjem ωres u jednaˇcinu (9.39) i nalazimo: γ Arez = q 2 β β2 − ω02

(9.42)

Vidimo da amplituda Arez teˇzi beskonaˇcnosti kako priguˇsenje β teˇzi nuli.

78

GLAVA 9. OSCILACIJE

Deo III Fluidi

79

Glava 10 Elementarna teorija fluida 10.1

Fluidi uopˇ ste

Teˇcnosti i gasove jednim imenom zovemo fluidi. Fluidi imaju mnoge zajedniˇcke osobine, npr. menjaju svoj oblik i primaju oblik suda u kome se nalaze, sto olakˇsava njihov jedinstven opis. Medjutim, teˇcnosti i gasovi se i razlikuju, npr, teˇcnosti imaju slobodnu povrˇsinu, dok ih gasovi nemaju, takodje primetimo da su teˇcnosti mnogo manje stiˇsljive nego gasovi. Pri opisu fluida koristi´cemo i slede´ce pojmove: Pritisak je sila po jediniˇcnoj povrˇsini: p = FS Gustina je masa jediniˇcne zapremine: ρ = m V

10.2

Hidrostatika

Zakon o spojenim sudovima Hidrostatiˇcki pritisak: p = ρgh. Arhimedov zakon daje silu potiska koja deluje na telo zaronjeno u fluid: svako telo zaronjeno u fluid prividno gubi od svoje teˇzine onoliko, kolika je teˇzina istisnutog fluida.

Fp = ρV g gde je ρ gustina fluida u koji je telo zaronjeno, V oznaˇcava zapreminu istisnutog fluida, a g je ubrzanje zemljine teˇze. 81

82

GLAVA 10. ELEMENTARNA TEORIJA FLUIDA

U zavisnosti od toga, kolika je sila potiska u odnosu a teˇzinu tela (Q), telo tone (Q > Fp ), lebdi (Q = Fp ), ili pliva (Q < Fp ).

10.3

Hidrodinamika

Strujanje u fluidu moˇzemo da vizualizujemo na slede´ci naˇcin. Zamislimo da nam stoje na raspolaganju probne kugle zanemarljive zapremine, takve da im se gustina poklapa sa gustionom prouˇcavanog fluida. Takve kuglice na osnovu Arhimedovog zakona lebde. Ukoliko fluid struji, probne se kugle zbog kretanja fluida kre´cu putanjom koja verno odraˇzava kretanje fluida. Putanju kojom se probna kugla kre´ce nazivamo strujna linija, ili strujnica. Bez obzira na prirodu strujanja fluida strujnice se nikada ne seku. Ukoliko zamislimo da smo u poˇcetnom trenutku probne kugle rasporedili po obodu kruˇznice, skup strujnica koje tako rasporedjene probne kugle prebriˇsu ˇcini strujnu cev. Zbog prethodno navedene osobine strujnica, u svakom trenutku vremena fluid struji unutar strujne cevi. Strujanje je stacionarno, ako se oblik strujnih linija ne menja tokom vremena. Protok (ponekad se koristi naziv zapreminska brzina) je po definiciji jednak zapremini koja protekne kroz fiksirani popreˇcni presek u trenutku t: Q = dV . dt m3 Merna jedinica protoka je s . Jednaˇcina kontinuiteta vaˇzi u sluˇcaju nestiˇsljivih fluida, i kada u strujnoj cevi nemamo ni ponore niti izvore: Q1 = Q2 . Zapreminu koja protekne kroz popreˇcni presek strujne cevi za infinitezimalni vremenski interval dt moˇzemo napisati kao Svdt, gde je S povrˇsina popreˇcnog preseka strujne cevi, a v brzina strujanja fluida. Na osnovu definicije protoka Q = dV , i ˇcinjenice da dt je ona konstantna, zakljuˇcujemo: Sv = const.

10.3.1

Idealni fluidi

Bernulijeva jednaˇ cina Bernulijevu jednaˇcinu izvodimo pod pretpostavkom da vaˇzi zakon odrˇzanja energije, tj. pretpostavljamo da je u teˇcnosti unutraˇsnje trenje i gubitak energije zbog rada sile trenja zanemarljivo.

ρ

v2 + ρgh + p = const 2

10.3. HIDRODINAMIKA

83

Strogo govore´ci Bernulijeva jednaˇcina vaˇzi duˇz jedne strujne linije. Toriˇ celijeva teorema Izraˇcunajmo brzinu kojom istiˇce fluid kroz otvor zanemarljivog popreˇcnog preseka. Neka je visina stuba teˇcnosti iznad otvora kroz koji teˇcnost istiˇce h. Primenimo Bernulijevu jednaˇcinu tako, ˇsto ´cemo nivo 1 izabrati tako da se poklopi sa povrˇsinom fluida, a nivo 2 tako da se poklopi sa nivoom na kome se nalazi otvor kroz koji teˇcnost istiˇce. v12 v2 + pA = ρ 2 + pA (10.1) 2 2 gde je v1 brzina kojom opada nivo teˇcnosti u sudu, a v2 je brzina kojom fluid istiˇce kroz otvor. pA oznaˇcava spoljaˇsnji (atmosferski) pritisak. Poˇsto se pA javja na obe strane jednakosti (10.1), moˇzemo ga oduzeti i dobijamo ρgh + v2 v2 ρ 21 = ρ 22 . Poˇsto je porvrˇsina otvora kroz koji teˇcnost istiˇce zanemarljivo mala, mozemo sa sigurnoˇs´cu da zanemarimo v1 u odnosu na v2 i dobijamo v2 ρgh = ρ 22 . Iz poslednje jednakosti za brzinu isticanja fluida dobijamo ρgh + ρ

v=

q

2gh

(10.2)

Primetimo da se dobijena brzina poklapa sa brzinom koju ima telo koje slobodno pada, nakon ˇsto predje put h. Princip rada mlaznog motora

10.3.2

Viskozni fluidi

Fluidi nisu idealni u smislu da se prilikom strujanja javlja unutraˇsnje trenje, koje je posledica medjusobne interakcije ˇcestica fluida. Pojava unutraˇsnjeg trenja u sluˇcaju fluida se naziva viskoznost. Viskozne osobine gasova i teˇcnosti se medjusobno razlikuju: porastom temperature viskoznost fluida opada, dok viskoznost gasova raste. Najprostiji oblik strujanja viskoznih fluida je laminarno strujanje. Prilikom laminarnog strujanja dobro definisani slojevi fluida klize jedni preko drugih tako, da se prilikom klizanja granice izmedju slojeva koji neposrednu kliˇzu jedni preko drugih ostaju dobro definisane. U slucˇaju laminarnog strujanja Njutnov zakon viskoznosti odredjuje silu trenja koja deluje na sloj povrˇsine S: Ftr = −ηS

dv dz

(10.3)

84

GLAVA 10. ELEMENTARNA TEORIJA FLUIDA

gde je koeficijent viskoznosti fluida η, a dv/dz je gradijent brzine. Pravac z je normalan na pravac strujanja fluida. Gradijent brzine meri brzinu promene kojom se menja brzina strujanja fluida duˇz z ose. Primetimo da je merna jedinica koeficijenta viskoznosti P a s. Stoksov zakon Ftr je sila trenja koja se javlja, ako je relativna brzina v viskoznog fluida u odnosu na kuglu polupreˇcnika r, gde je η koeficijent viskoznosti fluida. Stokes je na osnovu analize eksperimentalnih rezultata zakljuˇcio slede´cu zakonitost: Ftr = 6πηrv

(10.4)

Izraˇcunajmo kako se menja brzina kretanja sfere polupreˇcnika r, gustine ρs koja se kre´ce pod dejstvom sile potiska, sile zemljine teˇze i sile trenja opisane Stoksovim zakonom. Gustina sredine kroz koju se kre´ce sfera iznosi ρm , a koeficijent viskoznosti η. Pod pretpostavkom ρm > ρs , drugi Njutov zakon moˇzemo zapisati kao: 4 dv 4 ρs r 3 π = ρm r3 πg − 6πηrv 3 dt 3 dv ρm 9 η v = g− dt ρs 2 ρs r 2

(10.5) (10.6)

Reˇsenje gornje diferencijalne jednaˇcine iznosi: !

!

2 ρm g 2 ρm g 9 η v(t) = + − v0 exp − t 2 2 9 ηr 9 ηr 2 ρs r 2 Iz prethodne jednaˇcine dobijamo limt→∞ v(t) =

(10.7)

2 ρm g . 9 ηr 2

Profil brzina Posmatrajmo cev duˇzine l i polupreˇcnika R. Napiˇsimo jednaˇcinu kretanja kojom opisujemo stacionarno strujanje viskoznog fluida u cevi. Zamislimo da fluid struji u slojevima debljine dr, i da je svaki sloj obvojnica valjka polupreˇcnika r i duˇzine l. Povrˇsina sloja koji se tare sa susednim slojevima iznosi 2rπl. Fluid u cevi struji zbog razlike pritisaka ∆p izmedju

10.3. HIDRODINAMIKA

85

dva kraja cevi. Sila koja deluje nasuprot sile trenja iznosi F = ∆p S = ∆p r2 π. Na osnovu Njutnovog zakona za silu trenja dobijamo −ηS dv . Poˇsto dr je strujanje stacionarno, sila trenja je po intenzitetu jednaka sili F . Na osnovu prethodno navedenih ˇcinjenica, jednaˇcina kretanja je: dv 2rπl = ∆pr2 π | {z } dr povrˇsina omotaˇca cilindra sredjivanjem nalazimo ∆prdr dv = − 2ηl odakle integraljenjem dobijamo ∆pr2 v+C =− 4ηl

−η

(10.8)

(10.9)

(10.10)

Znamo da je brzina strujanja fluida neposredno uz zid cevi jednaka nuli, tako 2 da uvrˇstavanjem R namesto r u predjaˇsnjem obrascu dobijamo: C = − ∆pR , 4ηl tj. za brzinu strujanja nalazimo r2 ∆pR2 1− 2 v= 4ηl R

!

r2 1− 2 , R !

= v0

(10.11)

2

gde je v0 = ∆pR . 4ηl Brzina strujanja fluida u cevi je maximalna duˇz ose cevi gde iznosi v0 i opada po paraboliˇcnom zakonu kako se pribliˇzavamo ka zidu cevi. Poazjeov zakon Izraˇcunajmo zapreminu koja protekne kroz popreˇcni presek u jedinici vremena. U sluˇcaju idealnog fluida brzina strujanja je konstantna u svakoj taˇcci na popreˇcnom preseku cevi, na osnovu toga smo i izveli relaiju Q = Sv. U sluˇcaju viskoznog fluida brzina strujanja je konstantna na udaljenosti r od ose cevi, tako da je povrˇsina za koju vaˇzi analogon prethodne relacije prsten polupreˇcnika r i ˇsirine dr. Kroz tu povrˇsinu protiˇ ce infinitezimalni protok   r2 dQ. Za dQ dobijamo dQ = 2rπdrv(r) = 2rπv0 1 − R2 dr. Ako integralimo izraz za dQ, dobijamo Q=

Z R 0

dQ = 2πv0

Z R 0

r2 R2 π∆pR4 r 1 − 2 dr = 2πv0 = R 4 8ηl !

(10.12)

86

GLAVA 10. ELEMENTARNA TEORIJA FLUIDA

Proseˇcnu brzinu strujanja viskoznog fluida odredjuemo iz prethodne jednakosti na slede´ci naˇcin. Na osnovu jednaˇcine kontinuiteta za protok imamo Q = vS, gde je S = R2 π popreˇcni presek cevi. Uporedjuju´ci prethodni izraz sa jednaˇcinom (10.12) dobijamo v = v0 /2. Otpor protoku fluida Otpor protoku fluida definiˇsemo kao R=

∆P Q

(10.13)

Primetimo sliˇcnost sa definicijom elektriˇcnog otpora. Analogon napona, tj. razlike potencijala je razlika pritisaka na krajevima cevi, dok je analogon jaˇcine elektriˇcne struje - protok. Ukoliko spojimo cevi razliˇcitih otpora R1 , R2 , ..., Rn , za rezultuju´ci otpor dobijamo poznate obrasce:

Rekv. = 1 Rekv.

=

n X

Ri ,

i=1 n X

1 , i=1 Ri

za redno spojene cevi

(10.14)

za paralelno spojene cevi)

(10.15)

Dokaˇzimo obrazac (10.14). Cevi su vezane redno, u i-toj cevi je protok Qi , razlika pritisaka na dva kraja i-te cevi iznosi ∆pi , a otpor protoku fluida i je Ri = ∆p . U sluˇcaju nestiˇsljivog fluida protok kroz cev je konstantna Qi veliˇcina, tako da vaˇzi Q1 = Q2 = ... = Qn = Q. Ukupna razlika pritiska na kraju spojenih cevi iznosi ∆pe = ∆p1 + ∆p2 + ... + ∆pn . Na osnovu obrasca (10.13) izrazimo prethodnu jednakost kao Re Q = R1 Q + R2 Q + ... + Rn Q. Nakon ˇsto podelimo s Q obe strane jednakosti, dobijamo jednakost (10.14). Zadatak: Sliˇcnim raˇcunskim postupkom dokaˇzite obrazac (10.15).

10.4

Turbulencija

U sluˇcaju kada brzina strujanja predje odredjenu kritiˇcnu vrednost, strujanje gubi laminarni karakter i poprima mnogo sloˇzenije odlike, ono postaje turbulentno. Prouˇcavanje zakonitosti koje ˇcine osnov turbulentnog kretanja

10.5. BEZDIMENZIONALNI PARAMETRI

87

zahteva sloˇzene matematiˇcke i eksperimentalne metode. Mi ´cemo se zadovoljiti zadavanjem kriterijuma kojim odredjujemo prirodu strujanja fluida, tj. kriterijuma koji moˇze da razluˇci laminarno od turbulentnog strujanja. U sluˇcaju dugaˇcke cevi kruˇznog popreˇcnog preseka Reynoldsov broj je bezdimenzionalni parametar definisan na slede´ci naˇcin: Re =

ρvl η

(10.16)

gde ρ oznaˇcava gustinu fluida, η njegovu viskoznost, v brzinu strujanja fluida a l je karakteristiˇcna duˇzina. Cev smatramo dugaˇckom ukoliko joj je duˇzina mnogo ve´ca od polupreˇcnika. Za Rejnoldsov broj obiˇcno imamo dve kritiˇcne vrednosti, Re1 i Re2 . Ukoliko je strujanje takvo, da vaˇzi Re ≤ Re1 moˇzemo sa sigurnoˇs´cu da tvrdimo da je strujanje laminarno. U sluˇcaju Re ≥ Re1 moˇzemo sa sigurnoˇs´cu da tvrdimo da je strujanje turbulentno. Ako vaˇzi Re1 ≤ Re ≤ Re2 ima´cemo vremenske intervale u kojima strujanje ima odlike laminarnog strujanja, odnosno vremenske intervale u kojima strujanje ima odlike turbulentnog strujanja. Navedeni vremenski intervali nepredvidivo slede jedni druge.

10.5

Bezdimenzionalni parametri

Stokesov broj - viskoznost

88

GLAVA 10. ELEMENTARNA TEORIJA FLUIDA

Deo IV Termodinamika

89

Glava 11 Termodinamika Termodinamika se formirala kao nauka onda, kada su se u industriji masovno poˇcele primenjivati parne maˇsine. Postalo je jasno, da osim mehaniˇckih, u prirodi vaˇze i drugi zakoni. Iskustvo nas uˇci, da svi fiziˇcki sistemi u stacionarnim uslovima pre ili kasnije dodju do stanja, kada se njihove fiziˇcke osobine uoˇcljive na makroskopskom nivou ne menjaju. U najopˇstijem smislu, termodinamika prouˇcava opˇste uslove, pod kojima fiziˇcki sistemi nalaze u stanju termodinamiˇcke ravnoteˇze, odnosno prouˇcava procese koji se odvijaju u fiziˇckim sistemima, dok oni teˇze stanju termodinamiˇcke ravnoteˇze. Danas je termodinamika moderna nauka, koja ima primene u mnogim oblastima, poˇcev od nauke o materijalima sve do raˇcunarstva.

11.1

Termodinamika kao opˇ sta fiziˇ cka disciplina

Termodinamika je nauka koja je primenljiva na makroskopske sisteme, tj. sisteme koji se sastoje od mnogo gradivnih delova. Za termodinamiku nije bitan naˇcin, na koji gradivni delovi interaguju medjusobno. Termodinamiˇcki metod je samim tim vrlo opˇst, ˇsto je ujedno i njegova prednost. Zbog opˇstosti termodinamike, u konkretnim sluˇcajevima moramo uvek da vodimo raˇcuna, pod kojim uslovima moˇzemo da primenimo rezultate termodinamike. 91

92

11.2

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

Osnovni pojmovi termodinamike

Termodinamiˇcki sistem je svaki sistem sastavljen od velikog broja gradivnih delova. Na primer: gas u zatvorenoj posudi, bilo koje ˇcvrsto telo, elektromagnetno polje. Stanje termodinamiˇckog sistema opisujemo termodinamiˇckim parametrima, koji opisuju makroskposke osobine termodinamiˇckog sistema. Na prmer: temperatura, pritisak, zapremina, koliˇcina materije. Stanje termodinamiˇckog sistema prikazujemo taˇckom u prostoru termodinamiˇckih parametara. Termodinamiˇcki proces je svaki proces u kome termodinamiˇcki parametri menjaju svoje vrednosti. U termodinamiˇckim procesima stanja sistema koje odgovaraju taˇckama u prostoru termodinamiˇckih parametara su povezana krivama. Stanje termodinamiˇcke ravnoteˇze je stanje, u kome termodinamiˇcki parametri ne menjaju svoje vrednosti. Kruˇzni proces je proces, kod koga se poˇcetno i krajnje stanje sistema podudara. Ukoliko se stanje termodinamiˇckog sistema menja beskonaˇcno polako (u praksi to znaˇci vrlo polako), u svakom trenutku sistem se praktiˇcno nalazi u stanju termodinamiˇcke ravnoteˇze. Takve procese zovemo kvazistatiˇcnim procesima. Ukoliko u nekom termodinamiˇckom procesu sistem predje iz poˇcetnog stanja A u krajnje stanje B dˇz neke krive, i zatim se iz stanja B vrati u stanje A duˇz iste krive u prostoru termodinamiˇckih parametara, kaˇzemo da je proces reverzibilan. Ukoliko to nije mogu´ce, kaˇzemo da je proces ireverzibilan. Adijabatsko izolovani sistem ne razmenjuje toplotu sa svojom okolinom. Merna jedinica za koliˇcina materije je mol. Avogadrova konstanta NA = 1 6, 023 1023 mol oznaˇcava broj gradivnih elemenata date jednorodne supstance u jednom molu materije. Na primer u jednom molu helijuma ima taˇcno 6, 023 1023 atoma helijuma, u jednom molu vode ima taˇcno 6, 023 1023 molekula vode. Ukoliko masu jednog mola date supstance oznaˇcimo sa M , a sa N oznaˇcimo broj gradivnih delova (atoma ili molekula) date supstance, a m je masa date supstance, vaˇze slede´ce relacije: n=

m N = M NA

(11.1)

ˇ 11.3. JEDNACINA STANJA

11.3

93

Jednaˇ cina stanja

U sluˇcaju date supstance termodinamiˇcki parametri nisu nezavisni. U sluˇcaju gasova potpuno proizvoljno moˇzemo odabrati bilo koje dve veliˇcine iz slede´ce tri: protisak, zapremina, temperatura i pomo´cu njih izraziti bilo koju termodinamiˇcku veliˇcinu. Znaˇci da je bitno je poznavanje opˇste veze izmedju raznih termodinamiˇckih parametara. Funkcionalna veza izmedju termodinamiˇckih parametara oblika

F (p, V, T, ...) = 0

(11.2)

naziva se jednaˇcinom stanja. Termodinamika ne moˇze da izraˇcuna jednaˇcinu stanja, (nju ili znamo iz eksperimenta, ili je izvodimo iz mikroskopskih osobina sistema), medjutim termodinamika moˇze iz jednaˇcine stanja da dobije niz veoma korisnih informacija o sistemu koji prouˇcavamo. Takodje, jednaˇcina stanja ne moˇze da bude potpuno proizvoljna, ona mora da zadovolji neke opˇste zahteve, koje termodinamika nalaˇze.

11.4

Idealan gas

Idealan gas je teorijska konstrukcija, koja je nastala idealizovanjem podaˇ taka dobijenih iz brojnih eksperimenata. Cestice idealnog gasa medjusobno ne interaguju. Interakcija postoji samo sa zidovima suda, i to u vidu elastiˇcnih sudara. Brojni gasovi se pribliˇzno ponaˇsaju kao idealan gas, ako im je gustina mala, i ukoliko je njihova temperatura dovoljno niska. Na osnovu brojnih eksperimenata, utvrdjeno je da za sve gasove koji se mogu smatrati idealnim vaˇzi relacija pV = const. Ukoliko je koliˇcina T suspstancije n s kojim vrˇsimo eksperimente jedan mol, dobijamo konstantu, koja je ista za sve gasove. Zbog toga je i zovemo univerzalna gasna konstanta, oznaˇcavamo je sa R. Vrednost univerzalne gasne konstante iznosi R = 8, 31 molJ K . Na osnovu reˇcenog, jednaˇcinu stanja za n molova idelanog gasa zapisujemo kao:

pV = nRT

(11.3)

94

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

Izrazimo iz prethodne jednaˇcine pritisak, i iskoristimo jednacinu (11.1): p = NNA RT . Izraz NRA je Bolzmanova konstanta, dok veliˇcina ζ = N meri V V gustinu gasa, kao broj ˇcestica gasa u jediniˇcnoj zapremini. Koriste´ci ove oznake jednaˇcinu stanja idealnog gasa mogu´ce je zapisati i u slede´cem obliku: p = kζT

11.5

(11.4)

Van der Valsova jednaˇ cina stanja

Realni gasovi se opisuju priliˇcno dobro Van der Waalsovom jednaˇcinom stanja. Svaki gas ima odgovaraju´ce parametre a i b, pomo´cu kojih jednaˇcinu stanja zapisujemo u obliku: n2 a p + 2 (V − nb) = nRT. V !

(11.5)

Vrednosti parametara a i b se odredjuju za jedan mol gasa. Parametar b ima veze sa razmerama molekula gasa, a parametar a je povezan sa interakcijom medju molekulima. Primetimo da iz Van der Valsove jednaˇcine stanja dobijamo jednaˇcinu stanja idealnog gasa za vrednosti a = 0 i b = 0. Moˇze se pokazati da u sluˇcaju razredjenih gasova Van der Valsova jednaˇcina teˇzi jednaˇcini stanja idelanog gasa. Van der Valsova jednaˇcina stanja nije univerzalna zato, ˇsto raznim gasovima odgovaraju razne vrednosti parametara a i b, univerzalan je njen oblik.

11.6 11.6.1

Prvi zakon termodinamike Unutraˇ snja energija

Unutraˇsnju energiju sistema U moˇzemo da shvatimo kao energiju koju dobijemo tako, ˇsto od ukupne energije sistema oduzmemo kinetiˇcku energiju sistema kao celine, odnosno oduzmemo potencijalnu energiju koja potiˇce od polja centralnih sila. Ovako definisana unutraˇsnja energija nije potpuno precizan pojam, ali ´ce zadovoljiti naˇse potrebe. Na osnovu reˇcenog zakljuˇcujemo, da je unutraˇsnja energija mehaniˇckih sistema jednaka nuli, odnosno, da unutraˇsnja energija potiˇce od nemehaniˇckih pojava u fiziˇckim sistemima.

11.6. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

95

Na osnovu brojnih eksperimenata, zakljucujemo da je unutraˇsnja energija gasova proporcionalna apsolutnoj temperaturi. U = BT

(11.6)

gde je B konstanta proporcionalnosti. Unutraˇsnja energija je aditivna veliˇcina. Ukoliko imamo termodinamiˇcki sistem A s unutraˇsnjom energijom UA i termodinamiˇcki sistem B s unutraˇsnjom energijom UB , nakon sto dovedemo dva sistema u termodinamiˇcki kontakt, rezultuju´ci sistem A + B ima´ce unutraˇsnju energiju UA + UB . Unutraˇsnja energija je funkcija stanja sistema, tj. njena vrednost zavisi samo od vrednosti termodinamiˇckih parametara a ne zavisi od istorije sistema (prethodnih stanja).

11.6.2

Toplota

Toplota je pojam vezan za proces prenosa energije izmedju makroskopkih sistema u termodinamiˇckom kontaktu, koji je nezavisan od makroskopskih pomeranja. Na mikroskopskom nivou gradivni elementi svih sistema vrˇse sloˇzena kretanja, odnosno interaguju na naˇcine koji na makroskopskom nivou nisu neposredno uoˇcljivi. U procesu prenosa energije sa jednog makroskopkog tela na drugo, toplota je povezana sa navedenim mikroskopskim svojstvima kretanja i interakcije gradivnih elemenata tela. Nezavisno od procesa prenosa energije, govoriti o toploti nema smisla. Toplotu ´cemo oznaˇcavati simbolom Q. Toplota nije funkcija stanja termodinamiˇckog sistema.

11.6.3

Mehaniˇ cki rad

Posmatrajmo gas u klipu. Izraˇcunajmo rad, koji izvrˇsi gas, pri pomeranju klipa duˇz puta s. Na osnovu opˇste definicije rada imamo: d0 A = F ds = p Sds |{z} = pdV

(11.7)

dV

gde je S povrˇsina popreˇcnog preseka klipa, a dV infinetizimalna promena zapremine gasa. Pretpostavili smo da je pomeraj klipa ds toliko mali da se pri tome pritisak moˇze smatrati konstantnom veliˇcinom. Mehaniˇcki rad nije odredjen samo poˇcetnim i kranjim stanjem sistema nego zavisi i od vrste termodinamiˇckog procesa u kome se rad vrˇsi..

96

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

11.6.4

Formulacija prvog zakona termodinamike

Prvi zakon termodinamike je zakon odrˇzanja energije za termodinamiˇcke sisteme. Q = ∆U + A

(11.8)

Q je toplota koju fiziˇcki sistem primi kada mu se unutraˇsnja energija promeni za U i istovremeno sistem izvrˇsi rad A.

11.6.5

Prvi zakon termodinamike u infinitezimalnom obliku

Postoje termodinamiˇcke veliˇcine kod kojih je za izraˇcunavanje njihove promene dovoljno poznavanje poˇcetnog i krajnjeg stanja sistema, to su tzv. funkcije stanja. Takve veliˇcine imaju prave diferencijale. Takve je veliˇcina npr. unutraˇsnja energija. Postoje i veliˇcine, kod kojih je za izraˇcunavanje njihove promene pored poˇcetnog i krajnjeg stanja sistema potrebno poznavati i putanju u prostoru termodinamiˇckih prametara, duˇz koje se sistem kretao izmedju poˇcetnog is krajnjeg stanja. Takve veliˇcine nemaju prave diferencijale. Njihove infinitezimalne promene oznaˇcava´cemo sa d0 . Na osnovu prethodno reˇcenog, infinitezimalni oblik prvog zakona termodinamike je: d0 Q = dU + d0 A = dU + pdV

(11.9)

Mogu´ce su i druge ekvivalentne formulacije prvog zakona termodinamike.

11.7

Toplotni kapacitet

Toplotni kapacitet sistema je po definiciji

C=

∂Q ∂T

Ovako definisan toplotni kapacitet nije precizno definisana veliˇcina, moramo da preciziramo i uslove pod kojima merimo toplotni kapacitet, tj.

11.7. TOPLOTNI KAPACITET

97

potrebno je precizirati veliˇcine koje drˇzimo konstatnim prilikom merenja. Veliˇcine koje drˇzimo kostatnim oznaˇcavamo u indeksu. ∂Q ∂T

Cx =

! x

Dva najznaˇcajnija toplotna kapaciteta su toplotni kapacitet meren pri konstantnom pritisku Cp , odnosno toplotni kapacitet meren pri stalnoj zapremini CV . Izraˇcunajmo toplotni kapacitet pri konstantoj zapremini jednog mola idealnog gasa. Na osnovu prvog zakona termodinamike u diferencijalnom obliku (11.9), i jednaˇcine (11.6) imamo: ∂Q ∂T

CV =

!

∂U =B ∂T

= V

Dobili smo znaˇci U = CV T

(11.10)

Izraˇcunajmo toplotni kapacitet jednog mola idealnog gasa pri konstantnom pritisku. Na osnovu prvog zakona termodinamike u diferencijalnom obliku (11.9), i jednaˇcine (11.6) imamo:

Cp =

∂Q ∂T

! p

∂U ∂V = +p ∂T ∂T

! p

∂V = CV + p ∂T

! p

Na osnovu jednaˇcine stanja za jedan cinjenice da  mol  idealnog gasa i ˇ R pritisak drˇzimo konstantnim, dobijamo ∂V . = ∂T p p Dobili smo: Cp = CV + R Uvedimo veliˇcinu:

γ=

R Cp =1+ CV CV

98

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

R Na osnovu nje moˇzemo da izrazimo CV kao γ−1 . Poˇsto smo izraˇcunali unutraˇsnju energiju jednog mola idealnog gasa, i znamo da ˇcestice idealnog gasa medjusobno ne interaguju, za unutraˇsnju energiju n molova idealnog gasa imamo:

U=

11.7.1

nRT γ−1

(11.11)

Izotermski i adijabatski procesi

Proces, kod koga je temperatura konstanta nazivamo izotermskim. U sluˇcaju idelanog gasa, ako se koliˇcina gasa ne menja, n = const, iz jednaˇcine stanja idealnog gasa (11.3) dobijamo: pV = const

(11.12)

Proces, kod koga ne postoji razmena toplote sa okoliom nazivamo adijabatskim. Napiˇsimo prvi zakon termodinamike u sluˇcaju adijabatskog procesa. Koristi´cemo dobijene izraze za unutraˇsnju energiju idealnog gasa (11.11) i jednaˇcinu stanja idealnog (11.3) gasa:

0 = dU + pdV =

nR nRT dT + dV γ−1 V | {z } | {z } (11.11)

Nakon mnoˇzenja sa

γ−1 nRT

(11.3)

dobijamo:

dT dV + (γ − 1) =0 T V Integralimo obe strane dobijene jednaˇcine: ln(T ) + (γ − 1)ln(V ) = const. Koriste´ci osobine logaritamske funkcije nakon sredjivanja dobijamo: T V γ−1 = const Zamenivˇsi T iz jednaˇcine stanja idealnog gasa, dobijamo: pV γ = const

(11.13)

11.7. TOPLOTNI KAPACITET

99

50

10

p

5

1 0.5 0.1

0.15 0.2

0.3

0.5 0.7

1

1.5

2

V Slika 11.1: Poredjenje izotermskih i adijabatskih procesa. Dijagram je prikazan u logaritamskoj skali, na kojoj su sve krive oblika y = const xγ prave linije. Crvenom bojom je obeleˇzen izotermski proces, zelena i plava odgovaraju stepenima adijabate γ = 1.3 odnosno γ = 1.66 respektivno. Izotermskom procesu oˇcigledno ,,odgovara stepen adijabate”γ = 1. Uporedimo izotermske i adijabatske procese. Iz jednaˇcina (11.12,11.13) dobijamo:

11.7.2

Rad idealnog gasa

Rad idealnog gasa u izohorskom procesu (V = const) je 0. Rad idealnog gasa u izobarskom procesu (p = const) je: A=

Z V2 V1

pdV = p(V1 − V2 )

Izraˇcunajmo rad idealnog gasa u izotermskom procesu. Koristimo pri tome jednaˇcinu (11.12).

A=

Z V2 V1

pdV = p1 V1

Z V2 V1

V1 dV = p1 V1 ln(V )|VV21 = p1 V1 ln V V2

Izraˇcunajmo rad idealnog gasa u adijabatskom procesu. Koristimo pri tome jednaˇcinu (11.13).

100

A=

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

Z V2

pdV =

V1

p1 V1γ

Z V2 V1

dV = p1 V1γ V −γ+1 |VV21 = p1 V1γ (V2−γ+1 − V1−γ+1 ) γ V

Vidimo da rad nije odredjen samo poˇcetnim i krajnjim stanjem termodinamiˇckog sistema nego zavisi i od vrste termodinamiˇckog procesa.

11.7.3

Dodatak: rad Van der Valsovog gasa

Ovaj odeljak prevashodno sluˇzi kao ilustracija prethodno iznetog gradiva o radu u razliˇcitim termodinamiˇckim procesima. Izohorski proces Koriste´ci definiciju mehaniˇckog rada, i ˇcinjenicu da je pritisak konstantan, nalazimo A = p∆V . Izotermski proces Pritisak gasa moˇzemo izraziti iz jednaˇcine stanja (11.5). Dobijamo izraz:

A=

Z V2 V1

n2 a V2 V1 − V2 nRT − 2 dV = nRT ln + n2 a V − nb V V1 V1 V2 !

(11.14)

Adijabatski proces Izraˇcunajmo prvo jednaˇcinu adijabate. Iskoristimo ˇcinjenicu da je unutraˇsnja 2 energija Van der Valsovog gasa U = nCV T − nV a . Na osnovu jednaˇcine stanja(11.5) moˇzemo izabrati T i V kao dve nezavisne promenljive, i izraziti 2 dU kao dU = nCV dT + nV 2a dV . Napiˇsimo prvi zakon termodinamike u slucaju kada vrˇsimo rad na sistemu: n2 a n2 a d Q = nCV dT + pdV + 2 dV = nCV dT + p + 2 dV V V !

0

(11.15)

U adijabatskom procesu je razmena toplote sa okolinom jednaka nuli, (d0 Q = 0). Podelimo jednaˇcinu (11.15) sa nT . Nalazimo: CV

dT RdV + =0 T V − nb

(11.16)

11.8. DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

101

iz koje intergraljenjem nalazimo R

T (V − nb) CV = const

(11.17)

Koriste´ci jednaˇcinu stanja (11.5) vrˇsimo smenu T → p, i nalazimo: n2 a 1+ R p + 2 (V − nb) CV = const V !

(11.18)

Koriste´ci jednaˇcinu adijabate (11.18) u promeljivama (p, V ), moˇzemo da izrazimo pritisak, te za rad u adijabatskom procesu nalazimo:

A =

 Z V2 (p1   V1

+

n2 a )(V1 V12

1+ CR

− nb) 1+ CR V

2

V

−

(V − nb)

R C



n a  dV V2 R C

V V1 − V2 CV n2 a − V2 V 1+ R V + n2 a = (p1 + 2 )(V1 − nb) CV 1 (11.19) R R V1 V1 V2 (V1 V2 ) CV

11.8

Drugi zakon termodinamike

11.8.1

Karnoova teorema

Drugi zakon termodinamike name´ce ograniˇcenja koja ne proizilaze iz prvog zakona termodinamike. Jedan od osnovnih primera je ograniˇcenje na stepen korisnog dejstva toplotnih maˇsina. Svaka toplotna maˇsina radi u ciklusima: nakon predjenog ciklusa vra´ca se u poˇcetnu taˇcku u prostoru termodinamiˇckih parametara. Tokom ciklusa postoji bar jedan period u kome toplotna maˇsina prima toplotu od grejaˇca, i postoji bar jedan period u kome toplotna maˇsina odaje toplotu hladnjaku. Oznaˇcimo sa Q1 toplotu koju tokom jednog ciklusa toplotna maˇsina primi od grejaˇca, odnosno oznaˇcimo sa Q2 toplotu koju toplotna maˇsina tokom jednog ciklusa oda grejaˇcu. Stepen korisnog dejstva toplotne maˇsine definiˇsemo kao odnos rada i toplote odate hladnjaku tokom jednog ciklusa. Na osnovu prvog zakona termodinamike (jednaˇcina (11.9)) imamo d0 Q = dU +pdV . U najoptimalnijem sluˇcaju celokupna toplota se pretvara u rad, tj. dU = 0, znaˇci ∆Q = A. Na osnovu prethodno reˇcenoga, odnos toplote primljene od grejaˇca i toplote odate hladnjaku tokom jednog ciklusa je:

102

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

η=

A Q1 − Q2 = Q1 Q1

(11.20)

Ciklus moˇzemo proizvoljno podeliti na dve faze. Ako poˇcetnu stanje R oznaˇcimo kao 1, i izaberemo proizvoljno taˇcku 2, imamo: Q1 = 1−2 pdV R odnosno Q2 = 2−1 pdV . Primanje odnosno odavanje toplote je najefikasnije tokom izotermskih procesa, zato je grejanje odnosno hladjenje opisano dvema izotermama. Rad sistema, odnosno rad na sistemu je najefikasniji, ukoliko se vrˇsi adijabatskim procesima, tj. u procesima u kojima se unutraˇsnja energija radne supstance ne menja. Znaˇci, jedan ciklus (Karnoove) toplotne maˇsine moˇze da se opiˇse kao uzastopni niz slede´cih procesa: izotermsko primanje toplote od grejaˇca na temperaturi T1 , adijabatsko ˇsirenje, izotermsko odavanje toplote na hladnjaku temperature T2 , i na kraju adijabatsko sabijanje. 6 5 4

p3 2 1 0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

V Slika 11.2: Ciklus toplotne maˇsine u V-p ravni. Koordinatne ose su linearne. Strmije krive su adijabate, koje seku izoterme. Rad u izotermskom procesu prilikom ˇsirenja jednog mola idealnog gasa od zapremine V4 do zapremine V1 iznosi RT1 ln VV41 , gde je temperatura grejaˇca T1 . Tokom ovog procesa unutraˇsnja energija gasa se ne menja, pa se od grejaˇca apsorbuje koliˇcina toplote Q41 = RT1 ln VV14 . U procesu izotermskog sabijanja na temperaturi hladnjaka T2 mi vrˇsimo rad na sistemu Q32 = −A23 = A32 = RT2 ln VV32 , tokom koga se hladnjaku preda koliˇcina toplote Q32 . Za stepen korisnog dejstva dobijamo

11.8. DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

103

20 10 5

p

2 1 0.5 0.2 1

1.5

2

V Slika 11.3: Ciklus toplotne maˇsine u V-p ravni. Koordinatne ose su logaritamske. U ovom prikazu se jasnije ocrtava povrˇsina omedjena krivama, koja odgovara radu tokom jednog ciklusa.

T2 ln VV21 Q32 =1− η =1− Q41 T1 ln VV41

(11.21)

Koriste´ci osobinu adijabatskog procesa T V γ−1 = const, zakljuˇcujemo da vaˇzi VV32 = VV14 , tako da nalazimo

η=

T1 − T2 T1

(11.22)

Moˇze se dokazati da medju svim toplotnim maˇsinama koje rade izmedju dve temperature, Karnoova toplotna maˇsina ima najve´ci stepen korisnog dejstva. Poredjenjem jednaˇcina (11.20) i (11.22) zakljuˇcujemo da za Karnovu toplotnu maˇsinu vaˇzi: Q2 Q1 = T1 T2

(11.23)

104

11.8.2

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

Mikroskopska i makroskopska stanja termodinamiˇ ckih sistema

U zavisnosti od toga na kojoj skali, sa koliko detalja opisujemo termodinamiˇcke sisteme, moˇzemo govoriti o makroskopskim i mikroskopskim stanjima termodinamiˇckih sistema. Makroskopska stanja zadajemo pomo´cu termodinamiˇckih parametara, kao ˇsto su temperatura, pritisak, zapremina, koliˇcina materije, itd. Mikroskopska stanja makroskopskih sistema zadajemo tako ˇsto zadajemo stanje svih njegovih sastavnih delova, koji npr. mogu biti molekuli ili atomi. Oˇcigledno je mikroskopski opis neuporedivo detaljniji od makroskopskog, medjutim upravo zbog te ˇcinjenice on je ˇcesto neprikladan, jer unosi nepotrebne detalje, koji oteˇzavaju makroskopski opis sistema. U opˇstem sluˇcaju pronalaˇzenje veze izmedju mikroskopskih i makroskopskih stanja sistema nije jednostavno, ali je u principu mogu´ce. Bitno je primetiti da jedno makroskopsko stanje moˇze da se ostvari pomo´cu viˇse mikroskopskih stanja. Ilustrujmo ovo sede´cim primerom. Zamislimo sud ispunjen gasom, i u mislima podelimo zapreminu suda na dva jednaka dela, levu i desnu. Da bi primer bio pregledan, zamislimo da se u sudu nalaze ukupno ˇcetiri molekula gasa. U mislima oznaˇcimo molekule brojevima 1, 2, 3 i 4. Makroskopsko stanje sistema je odredjeno brojem molekula u levoj, odnosno desnoj polovini sistema. Mikroskopska stanja sistema zadajemo tako ˇsto zadajemo molekule koji se nalaze u levoj, odnosno denoj polovini sistema. Mogu´ca mikroodnosno makro stanja sistma su predstavljena u tabeli 11.1. Prime´cujemo da broj mikroskopskih stanja koje odgovoraju istom makroskopskom stanju moˇze da primi viˇse vrednosti. U opˇstem sluˇcaju vaˇzi Ω=

N! , n1 !n2 !...nr !

N=

r X

ni

(11.24)

i=1

gde je N broj sastavnih delova (npr. molekula) u termodinamiˇckom sistemu, a r je broj njegovih makroskopskih potsistema (analogoni leve i desne polovine suda u prethodnom primeru).

11.8.3

Entropija

Statistiˇ cka definicija entropije Uvedimo veliˇcinu (oznaˇcimo je sa S), koja zavisi od broja razliˇcitih mikrostanja sistema, i ujedno ima osobinu aditivnosti. Tj., ako je sistem koji

11.8. DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

Broj molekula levo Broj molekula desno 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4

4 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0

105

Mikrostanje Levo Desno {} { 1, 2, 3, 4 } {1} { 2, 3, 4 } {2} { 1, 3, 4 } {3} { 1, 2, 4 } {4} { 1, 2, 3 } { 1, 2 } { 3, 4 } { 1, 3 } { 2, 4 } { 1, 4 } { 2, 3 } { 2, 3 } { 1, 4 } { 2, 4 } { 1, 3 } { 3, 4 } { 1, 2 } { 2, 3, 4 } {1} { 1, 3, 4 } {2} { 1, 2, 4 } {3} { 1, 2, 3 } {4} { 1, 2, 3, 4 } {}

Tabela 11.1: Mikroskopska i makroskopska stanja sistema sastavljenog od ˇcetiri molekula.

Makrostanje Broj odgovaraju´cih mikrostanja Ω { 0, 4 } 1 { 1, 3 } 4 { 2, 2 } 6 { 3, 1 } 4 { 4, 0 } 1 Tabela 11.2: Broj mikroskopskih stanja koje odgovaraju razliˇcitim makroskopkim stanjima

106

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

posmatramo sastavljen od podsistema 1 i 2, i ukoliko sistemi 1 i 2 medjusobno ne interaguju, zahtevamo slede´cu osobinu osobinu koja povezuje S sloˇzenog sistema sastavljenog od podsistema 1 i 2 da vaˇzi S(1, 2) = S(1) + S(2). Neka je broj razliˇcitih mikrostanja sistema 1 Ω1 , a broj razliˇcitih mikrostanja sistema 2 Ω2 . Ukoliko potsistemi i 2 medjusobno ne interaguju, broj razliˇcitih mikroskopskih stanja sistema sastavljenog od potsistema 1 i 2 iznosi Ω1 Ω2 . Znaˇci, S treba da zadovolji osobinu S(Ω1 Ω2 ) = S(Ω1 )+S(Ω2 ). Logaritamska funkcija zadovoljava traˇzenu osobinu. Ukoliko logaritamsku funkciju pomnoˇzimo Bolzmanovom konstantom, dobijena funkcija zadrˇzava traˇzenu osobinu. Znaˇci, statistiˇcka definicija entropije sistema koji ima N razliˇcitih mikrostanja koja odgovaraju istom makrostanju iznosi: S = klnΩ

(11.25)

Primer: Posmatrajmo sud ispunjen gasom, i podelimo ga u mislima na dva jednaka dela, 1 i 2. Neka je ukupan broj molekula gasa N , i neka je broj molekula gasa u delu jedan n, znaci broj razliˇcitih molekula u delu 2 iznnosi N − n. Zamislimo, da molekule stavljamo u potsistem 1 jedan po jedan. Prvi molekul moˇzemo da izaberemo na N razliˇcitih naˇcina, drugi na N − 1, tre´ci na N − 2, itd. Broj razliˇcitih naˇcina na koje moˇzemo da izaberemo n molekula iznosi N (N − 1)(N − 2)...(N − n + 1). Ovaj broj ! ! moˇzemo zapisati i kao n!(NN−n)! . Znaˇci, Ω = n!(NN−n)! , tako da za entropiju N! dobijamo S = k ln n!(N −n)! . Postoji joˇs jedna, tzv. informatiˇcka definicija entropije. Neka sistem koji razmatramo ima r razliˇcitih makroskopskih stanja, i neka je verovatno´ca da se sistem nalazi u i-tom makroskposkom stanju pi . Tada entropiju definiˇsemo kao S = −k

r X

pi ln pi .

(11.26)

i=1

Termodinamiˇ cka definicija entropije U sluˇcaju reverzibilnih termodinamiˇckih procesa, vezu izmedju entropije i ranije uvedenih termodinamiˇckih veliˇcina daje slede´ca formula: dS =

d0 Q T

(11.27)

´ ZAKON TERMODINAMIKE 11.9. NULTI I TRECI

107

Na osnovu prethodne formule, u sluˇcaju reverzibilnih procesa, na osnovu prvog zakona termodinamke moˇzemo zapisati drugi zakon termodinamike u diferencijalnom obliku:

T dS = dU + d0 A T dS = dU + pdV

(11.28) (11.29)

U sluˇcaju ireverzibilnih procesa vaˇzi:

dS >

dQ T

(11.30)

tako da moˇzemo da objedinimo gornje relacije za reverzibilne i ireverzibilne procese kao

dS ≥

dQ T

(11.31)

Prvi zakon termodinamike povezuje razliˇcite vidove energije, dok drugi zakon termodinamike daje ograniˇcenje na pretvaranje jednih vidova energije u druge. U to smo se uverili na primeru toplotnih maˇsina.

11.9

Nulti i tre´ ci zakon termodinamike

Apsolutna temperaturska skala je zasnovana na nultom zakonu termodinamike, koji glasi: Ako je sistem A u termodinamiˇckoj ravnoteˇzi sa sistemom B, a sistem B je u stanju termodinamiˇcke ravnoteˇze sa sistemom C, onda je i sistem A u stanju termodinamiˇcke ravnoteˇze sa sistemom C. Tre´ci zakon termodinamike izrazava ˇcinjenicu, de je nemogu´ce ohladiti sistem do apsolutne nule. Hladjenjem sistema, mi njegovu temperaturu moˇzemo samo da dovedemo do proizvoljne blizine apsolutne nule. To je i razlog, zbog koga se apsolutna nula naziva apsolutnom.

108

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

Slika 11.4: Fazni dijagram vode u T-p ravni. Oblasti osenˇcene plavom bojom odgovaraju ˇcvrstoj fazi, oblasti osenˇcene zelenom bojom odgovaraju teˇcnoj fazi. Siva oblast oznaˇcava gasovitu fazu.

11.10

Fazni prelazi

11.11

Osnovni pojmovi molekularno kinetiˇ cke teorije gasova

Opis sistema ˇcestica pomo´cu Njutnovih zakona sa porastom broja ˇcestica postaje neverovatno sloˇzen, i u izvesnom smislu nepotreban. Poˇsto je tipiˇcan broj ˇcestica gasa reda veliˇcine Avogadrove konstante, moˇzemo smisleno govoriti o brzini ˇcestica kao neprekidnoj sluˇcajnoj veliˇcini. Cilj molekularno

ˇ 11.11. OSNOVNI POJMOVI MOLEKULARNO KINETICKE TEORIJE GASOVA109 kinetiˇcke teorije je, da uzimaju´ci u obzir fiziˇcku prirodu molekula i interakcije medju molekulima, metodama teorije verovatno´ce opiˇse stanje sistema sastavljenog od velikog broja molekula. Na primer, koriste´ci naveden pristup moˇzemo odrediti raspodelu brzina molekula idealnog gasa.

11.11.1

Maksvelova raspodela

Gustina verovatno´ce za brzinu molekula u sluˇcaju jednodimenzionalnog idealnog gasa (npr. gas u dugaˇckoj tankoj cevi) iznosi r

ρ(vx ) =

m mvx2 exp 2πkT 2kT

!

(11.32)

Znaˇci, koriste´ci gornji obrazac moˇzemo izraˇcunati verovatno´cu da je brzina kretanja jednog molekula gasa u dugaˇckoj tankoj cevi u intervalu izmedju v1 i v2 kao P (v1 ≤ vx ≤ v2 ) =

Z v2 v1

ρ(vx )dvx

(11.33)

Poˇsto je gas koji razmatramo homogen i kao celina u stanju mirovanja, izbor koordinatnih osa proizvoljan. To znaˇci, da u sluˇcaju trodimenzionalnog gasa (molekuli gasa mogu da se slobodno kre´cu duˇz sve tri kordinatne ose) imamo ρ(~v ) = ρ(vx )ρ(vy )ρ(vz ). m ρ(~v ) = 2πkT 

3 2

m~v 2 exp 2kT

!

(11.34)

Analizom prethodnog obrasca, na osnovu ρ(~v ) = ρ(−~v ) zakljuˇcujemo da je verovatno´ca da molekul gasa ima brzinu ~v ista kao i verovatno´ca da isti molekul gasa ima brzinu −~v . Ukoliko izraˇcunamo srednju brzinu molekula gasa na osnovu predjaˇsnjeg obrasca dobijamo nulu, ˇsto smo i oˇcekivali, jer smo pretpostavili da je gas kao celina u stanju mirovanja. Kada tako ne bi bilo, onda bi postojao istaknuti pravac u prostoru duˇz koga bi kretanje gasa u jednom pravcu bilo manje verovatno nego u suprotnom, i onda bismo mogli da osmotrimo makroskopsko strujanje molekula gasa duˇz datog pravca. U prostoru brzina predjimo sa Dekartovih koordinata (vx , vy , vz ) na sferne koordinate (vr , vφ , vθ ). Poˇsto ne postoji istaknuti pravac, intenzitet brzine

110

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

molekula gasa ne zavisi od vθ i vφ . Koriste´ci ovu ˇcinjenicu za gustinu verovatno´ce intenziteta brzine moˇze se izvesti slede´ci obrazac, u kome smo inenzitet brzine obeleˇzili sa v: m ρ(v) = 4π 2πkT 

3 2

m~v 2 v exp 2kT 2

!

(11.35)

gde v ∈ [0, +∞). Dobijena raspodela brzina se zove Maksvelova raspodela. Ona oˇcigledno zavisi od temerature gasa i od mase molekula gasa. Na slici (??) vidimo kako se menja gustina raspodele intenziteta brzina molekula gasa u zavisnosti od apsolutne temperature. Sniˇzavanjem temperature smanjujemo i najverovatniju brzinu, odnosno smanjujmo rastur oko najverovatnije brzine, dok pove´canjem temperature pove´cavamo intenzitet najverovatnije brzine, ali istovremeno pove´cavamo i rasturanje oko najverovatnije vrednosti.

2T 1.2 T

1 0.8

0.5 T

0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4

5

Slika 11.5: Zavisnost Maksvelove raspodele od apsolutne temperature. Znaju´ci Maksvelovu raspodelu moˇzemo postaviti pitanje: Kojom karakteristiˇcnom brzinom se kre´cu molekuli gasa? Na ovo pitanje postoji viˇse odgovora u zavisnosti od toga ˇsta podrazumevamo pod karakteristiˇcnom brzinom. Ukoliko pod karakteristiˇcnom brzinom podrazumevamo najverovatniju brzinu vmp , odgovor dobijamo nalaˇzenjem one brzine, za koju gustina verovatno´ce ρ(v) dostiˇze maksimalnu vrednost. Moˇzemo da izraˇcunamo i

ˇ 11.11. OSNOVNI POJMOVI MOLEKULARNO KINETICKE TEORIJE GASOVA111 srednju brzinu v, odnosno moˇzemo da izraˇcunamo srednju kvadratnu brzinu √ v 2 kao kvadratni koren iz srednje vrednosti od v 2 . Ove veliˇcine nisu nezavisne. Nadjimo najverovatniju brzinu iz uslova da je prvi izvod gustine verovatno´ce po brzini jednak nuli. dρ m = 4π dv 2πkT 

3 2

m~v 2 v exp 2kT

!

mv 2 2− kT

!

=0

(11.36)

Prethodna jednaˇcq ina ima dva reˇsenja, v = 0, koje odgovara minimumu verovatno´ce, i vmp = 2kT , koje odgovara maksimumu gustine verovatno´ce. m Proseˇcnu i srednju kvadratnu brzinu nadjimo tako, ˇsto ´cemo izraˇcunati srednju vrednost v n , za vrednosti n = 1, 2.

vn =

Z ∞

v n ρ(v)dv =

Z ∞

0

0

m = 4π 2πkT 

3 Z ∞ 2 0

m 4π 2πkT 

3 2

m~v 2 v n+2 exp dv 2kT

m~v 2 dv exp 2kT

!

!

v

n+2

(11.37)

Vrednost prethodnog integrala se moˇze na´ci u tablicama, ili se moˇze izraˇcunati, npr. metodom parcijalne integracije.

11.11.2

Ekviparticiona teorema

112

GLAVA 11. TERMODINAMIKA

Deo V Talasi

113

Glava 12 Talasno kretanje Talas je uvek vezan za neki poreme´caj koji se prostire kroz posmatranu sredinu. Znaˇci, kada priˇcamo o talasima, onda imamo neku fiziˇcku sredinu u kojoj odredjena fiziˇcka veliˇcina ima dobro odredjenu ravnoteˇznu vrednost u svakoj taˇcci sredine, i imamo poreme´caj (koji se prostire kroz sredinu) koji znaˇci otklon date fiziˇcke veliˇcine od svoje ravnoteˇzne vrednosti. Poreme´caj koji se prostire je periodiˇcan, i u prostoru i u vremenu. Primeri talasa su brojni, navedimo dva: mehaniˇcki talasi u elastiˇcnim sredinama i elektromagnetni talasi.

12.1

Pojam talasa

Talas karakteriˇsemo amplitudom ξ. Amplituda ξ (otklon talasa od ravnoteˇznog polozaja) zavisi od toga gde i kada je merimo, znaˇci da je funkcija viˇse promeljivih. U opˇstem sluˇcaju ξ = ξ(~r, t), gde je ~r vektor poloˇzaja taˇcke u kojoj posmatramo amplitudu, a t oznaˇcava vremenski trenutak. Talas karakterisemo veliˇcinama koje odredjuju periodiˇcnost u vremenu i prostoru. Vremenski period izmedju dva uzastopna maksimuma talasa zovemo period i oznaˇcavamo sa T . Reciproˇcna veliˇcina je frekvencija talasa, oznaˇcavamo je sa ν. Rastojanje izmedju dva uzastopna maksimuma talasa zovemo talasnom duˇzinom i oznaˇcavamo sa λ. Talasi, bez obzira na svoju prirodu, se prostiru kroz sredinu konaˇcnom brzinom. Brzinu prostiranja talasa oznaˇcavamo sa v. Talas predje put od jedne talasne duˇzine za vreme jedne oscilacije: 115

116

GLAVA 12. TALASNO KRETANJE

v=

λ = λν T

(12.1)

Pretpostavimo da je na poˇcetku sredina u stanju mirovanja. Ukoliko u sredini imamo izvor talasa, zbog konaˇcne brzine prostiranja talasa, prostor moˇzemo da podelimo na deo koji je zahva´cen talasnim poreme´cajem i na deo, koji je joˇs u stanju mirovanja. Povrˇsinu koja razdeljuje prostor na prethodno navedene delove zovemo talasni front. Talasni front u principu moˇze da ima proizvoljan oblik, na primer moˇze biti paraboliˇcna povrˇs.

12.2

Vrste talasa

Mi ´cemo se ograniˇciti na dva prosta sluˇcaja, kada je talasni front ravan, i kada je talasni front sfera. U prvom sluˇcaju govorimo o ravanskom ili ravnom talasu, a u drugom govorimo o sfernom talasu. Pravac prostiranja talasa u taˇcci odredjenom vektorom poloˇzaja ~r odredjujemo na slede´ci naˇcin: u taˇcci ~r povucimo tangentnu ravan na talasni front. U istoj taˇcci odredimo normalu na tangentnu ravan. Talas se prostire u pravcu tako odredjene normale. Talasni poreme´caj je otklon, koji u odnosu na pravac prostiranja talasa moˇze biti normalan ili moˇze biti paralelan njemu. U prvom sluˇcaju imamo posla s transverzalnim ili uzduˇznim talasom, u drugom sluˇcaju kaˇzemo da je talas longitudinalan ili uzduˇzan. Mehaniˇcki talasi u fluidima mogu biti samo longotudinalni. Mehaniˇcki talasi u ˇcvrstim telima mogu biti i transverzalni i longitudinalni. Znaˇci, transverzalne talase moˇzemo osmotriti samo u ˇcvrstim telima. Elektromagnetni talasi su uvek transverzalni. Ukoliko prostorno-vremensku zavisnost amplitude talasa moˇzemo opisati pomo´cu sinusne ili kosinusne funkcije, talase zovemo harmonijskim talasima. Ukoliko amplitudu opisujemo drugim funkcijama, talasi nisu harmonijski, ali pod priliˇcno opˇstim uslovima sve talase je mogu´ce prikazati kao superpoziciju harmonijskih talasa.

12.3

Jednaˇ cina talasnog kretanja

Odredimo jednaˇcinu prostiranja talasa. Pretpostavimo da se talasni poreme´caj prostire duˇz x ose, i pretpostavimo da je izvor talasa harmonijski

ˇ 12.3. JEDNACINA TALASNOG KRETANJA

117

oscilator. Koordinatni poˇcetak izaberimo tako, da se poklopi sa poloˇzajem izvora talasa. Znaˇci, u koordinatnom poˇcetku amplituda se menja po harmonijskom zakonu:

ξ(0, t) = A0 cos(ωt + φ)

(12.2)

gde ω oznaˇcava kruˇznu frekvenciju ω = 2πν. Zbog konaˇcnosti brzine prostiranja talasa, do rastojanja x od talasnog izvora talas ´ce sti´ci nakon kaˇsnjenja τ . Znaˇci: ξ(x, t) = A0 cos(ω(t − τ ) + φ)

(12.3)

Za kaˇsnjenje τ vaˇzi relacija τ = xv . Imamo ω(t − τ ) = ω(t − xv ) = ωt − kx, gde veliˇcinu k zovemo talasni broj. Amplituda ravnog harmonijskog talasa se menja po zakonu: ξ(x, t) = A0 cos(ωt − kx + φ)

(12.4)

Veliˇcinu ωt − kx + φ zovemo fazom talasa. φ je poˇcetna faza.

1 0.5 Amplituda 0 -0.5 -1 0

8 6 4 2 2

4 t

x

6 80

Slika 12.1: Grafiˇcki prikaz talasa opisanog jednaˇcinom ξ = cos(t − x).

118

GLAVA 12. TALASNO KRETANJE

Slika 12.2: Grafiˇcki prikaz talasa opisanog jednaˇcinom ξ = cos(t/2 − 2x). ω = Odredimo znaˇcenje talasnog broja. kx = ω xv , tj. k = ωv = λν Na osnovu prethodne relacije, za brzinu prostiranja talasa imamo:

ω k Za amplitudu sfernog talasa nalazimo sliˇcnu zavisnost: v = λν =

2πν λν

=

2π . λ

(12.5)

A0 cos(ωt − kr + φ) (12.6) r Zakon odrˇzanja energije name´ce deljenje maksimalne amplitude A0 s r, jer prostiranjem talasa njegova ukupna energija se ne menja, ˇsto znaˇci da povrˇsinska gustina energije mora da opada. Na osnovu (12.4) izraˇcunajmo drugi izvod amplitude po t, odnosno x. Dobijamo ξ(r, t) =

∂ξ ∂x ∂2ξ ∂x2 ∂ξ ∂t ∂2ξ ∂t2

= A0 k sin(ωt − kx + φ)

(12.7)

= −A0 k 2 cos(ωt − kx + φ)

(12.8)

= −A0 ω sin(ωt − kx + φ)

(12.9)

= −A0 ω 2 cos(ωt − kx + φ)

(12.10)

ˇ 12.3. JEDNACINA TALASNOG KRETANJA

119

0.5 Amplituda 0

10 8

-0.5 6 0 4

2 4 t

x

2 6 8

Slika 12.3: Grafiˇcki prikaz sfernog talasa opisanog jednaˇcinom ξ = x1 cos(t − x). 2

2

∂ ξ 1 ∂ ξ Uporedjuju´ci jednaˇcine (12.8) i (12.10) zakljuˇcujemo k12 ∂x 2 = ω 2 ∂t2 . Na osnovu jednakosti 12.5 dobijamo jednaˇcinu koja opisuje prostiranje ravnog talasa:

∂2ξ 1 ∂2ξ = ∂x2 v 2 ∂t2

(12.11)

Ukoliko se pravac prostiranja ravnog talasa ne poklapa ni sa jednom koordinatnom osom, uopˇstavanjem jednaˇcine (12.4) dolazimo do jednakosti

ξ(~r, t) = A0 cos(ωt − k1 x − k2 y − k3 z + φ)

(12.12)

Analognim rasudjivanjem za jednaˇcinu koja opisuje prostiranje ravnog talasa dobijamo:

vx2

2 2 ∂2ξ ∂2ξ 2∂ ξ 2∂ ξ + v + v = y z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t2

(12.13)

120

GLAVA 12. TALASNO KRETANJE

12.4

Energija talasa

Pretpostavimo da se longitudinalni harmonijski talas prostire duˇz x ose. Elementarna zapremina ∆V kroz koju se talas prostire ima kinetiˇcku energiju Ek i potencijalnu energiju Ep . Ukolikoje gustina sredine kroz koju se talas prostire ρ, nalazimo ρ∆V Ek = 2

∂ξ ∂t

!2

(12.14)

∂ξ ∂x

je relativna deformacija sredine kroz koju se talas prostire. Koriste´ci Jungov modul elastiˇcnosti , za energiju deformacije dobijamo ∆V Ep = 2

∂ξ ∂x

!2

(12.15)

Na osnovu jednakosti (12.14) i (12.15) ukupna energija talasa iznosi 

ρ ∂ξ E = Ek + Ep =  2 ∂t

!2

+ v2

∂ξ ∂x

!2   ∆V

(12.16)

Iz jednaˇcina (12.7) i (12.9) zamenom dobijamo E = ρA0 ω 2 sin2 (ωt − kx + φ)∆V Veliˇcina w = ona iznosi

E ∆V

(12.17)

je gustina energije. Za upravo razmatrani ravanski talas

w = ρA0 ω 2 sin2 (ωt − kx + φ)

(12.18)

Poˇsto srednja vrednost funkcije sin2 x na intervalu duˇzine π iznosi 12 , za srednju vrednost gustine energije dobijamo obrazac 1 w = ρA20 ω 2 2

(12.19)

´ TALASI 12.5. STOJECI

12.5

121

Stoje´ ci talasi

Ukoliko se kroz sredinu prostire viˇse talasa, u svakoj taˇcci nastaje rezultuju´ci talas, ˇciju amplitudu dobijamo primenjuju´ci princip superpozicije. Razmotrimo ovo na primeru dva ravanska talasa identiˇcnih amplituda, frekvencija i talasnih duˇzina, koji se prostiru duˇz x ose ali u suprotnim pravcima. Amplitudu prvog talasa oznaˇcimo sa ξ1 , a amplitudu drugog talasa sa ξ2 . ξ(x, t) = ξ1 (x, t) + ξ2 (x, t) = A cos(ωt − kx + φ1 ) + A cos(ωt + kx + φ2 ) ! ! φ2 − φ1 φ2 + φ1 = 2A cos kx + cos ωt + 2 2

(12.20) (12.21) (12.22)

Pogodnim izborom koordinatnog poˇcetka mozemo da anuliramo poˇcetne faze u izrazu (12.22), i tako da dobijamo: ξ(x, t) = 2A cos (kx) cos (ωt)

(12.23)

Analizom izraza (12.23) uoˇcavamo da sve taˇcke na x osi imaju istu kruˇznu frekvenciju ω. Dobijeni izraz moˇzemo da interpretiramo tako, ˇsto ´ce mo veliˇcinu 2A| cos (kx) | smatrati prostorno zavisnom amplitudom stoje´ceg talasa. Vidimo da postoje taˇcke u kojima maksimalni otklon iznosi 2A, odnosno da postoje taˇcke u kojima maksimalni otklon 0 (te taˇcke zovemo ˇcvorovima stoje´ceg talasa). Kosinusna funkcija koja odredjuje vrednost maksimalne amplitude stoje´ceg talasa ima vrednost nula u taˇckama 

kxn = ± n +

1 π 2 

(12.24)

tj. ˇcvorovi talasa su odedjeni izrazom 

xn = ± n +

1 π 1 λ =± n+ 2 k 2 2 





(12.25)

Analognim rasudjivanjem dobijamo poloˇzaje antiˇcvorova, tj. poloˇzaje taˇcaka u kojima je maksimalni otklon 2A.

122

GLAVA 12. TALASNO KRETANJE

xn = ±n

π λ = ±n k 2

(12.26)

, dok deformaciju sredine opisuje izraz Brzina ˇcestica sredine iznosi ∂ξ ∂t Na osnovu jednaˇcine (12.23) nalazimo ∂ξ = −2Aω cos(kx) sin(ωt) ∂t ∂ξ = −2Ak sin(kx) cos(ωt) ∂x

12.6

∂ξ . ∂x

(12.27) (12.28)

Brzina prostiranja elastiˇ cnih talasa

Razmotrimo kako zavisi brzina prostiranja elastiˇcnog talasa od mehaniˇckih osobina sredine. Pretpostavimo da se duˇz x ose prostire longitudinalni talas. Amplituda talasa meri odstupanje svake elementarne zapremine sredine od njenog ravnoteˇznog poloˇzaja. Prilikom izvodjenja pretpostavljamo da je mehaniˇcka deformacije sredine uzrokovana prolaskom talasa mala, ˇsto za sobom povlaˇci i pretpostavku da je amplituda talasa mala. 

∂ξ Fx = SE  ∂x Razvijaju´ci izraz



!



∂ξ − ∂x x+∆x+ξ+∆ξ

∂ξ ∂x x+∆x+ξ+∆ξ

∂ξ ∂x

!

= x+δx

!

 

(12.29)

x+ξ

u Tejlorov red nalazimo:

∂ξ ∂x

∂2ξ +δ ∂x2 x

!

!

(12.30) x

Zadrˇzavaju´ci se na infitezimalnim veliˇcinama prvog reda (koriste´ci pribliˇzenje ∆x2 ≈ 0, ∆ξ 2 ≈ 0, ξ 2 ≈ 0), nadalje uzimaju´ci u obzir ∆ξ  ∆x na kraju dobijamo

ˇ 12.6. BRZINA PROSTIRANJA ELASTICNIH TALASA

("

∂ξ ∂x

Fx = SE

∂2ξ + (δx + ξ + ∆ξ) ∂x2 x

!

∂ξ ∂2ξ − +ξ ∂x x ∂x2 ∂2ξ ∂2ξ = SE 2 (∆x + ∆ξ) ≈ SE 2 ∆x ∂x ∂x "

!

123

!#

!#)

(12.31) (12.32)

Drugi Njutnov zakon za elementarnu zapreminu moˇzemo zapisati u obliku

ρS∆x

∂2ξ ∂2ξ = SE ∆x ∂t2 ∂x2

(12.33)

Sredjivanjem gornjeg izraza dobijamo ρ ∂2ξ ∂2ξ = ∂t2 E ∂x2

(12.34)

Na osnovu jednaˇcine (12.11) uporedjivanjem oˇcitavamo izraz za brzinu mehaniˇckog talasa: s

v=

E ρ

(12.35)

124

GLAVA 12. TALASNO KRETANJE

Glava 13 ˇ Dodatak: Cemu sluˇ zi termodinamika? Primer energetike istezanja tankog elastiˇ cnog vlakna Razmotrimo energetski bilans istezanja tankog elastiˇcnog vlakna. Ukoliko se istezanje odvija na konstantnoj temperaturi i polako, unutraˇsnja energija vlakna se ne menja, ∆U = 0. U ˇsta se pretvori mehaniˇcki rad uloˇzen u istezanje vlakna? Vide´cemo da se mehaniˇcki rad pretvori u toplotu koju vlakno oda okolini, dok se zbog istezanja u vlaknu molekuli prestruktuiraju. Mera (ne)uredjenosti fiziˇckih sistema je entropija (S). Za konaˇcne priraˇstaje, na iz uslova ∆U = 0 na osnovu jednaˇcine 11.28 imamo

T ∆S = A

(13.1)

na osnovu koje moˇzemo da odredimo promenu entropije prilikom istezanja. Ukoliko na istezanje vlakna primenimo prvi zakon termodinake, naizgled dolazimo do protivreˇcnosti: zbog ∆U = 0 imamo Q = 0 a istovremeno A 6= 0. Primetimo da se promena enropije sastoji od dva priraˇstaja. Jedan deo, obeleˇzimo ga sa ∆Sk , je posledica promene konfiguracije molekula u vlaknu. Poˇsto molekuli vlakna zbog istezanja prelaze u sredjeniju konfiguraciju, zakljuˇcujemo da je ovaj priraˇstaj negativan. Drugi deo priraˇstaja entropije ∆Sosc , je posledica neuredjenosti oscilacija atoma u molekulima elastiˇcnog 125

ˇ ˇ TERMODINAMIKA? PRIMER ENERGETIKE IS 126GLAVA 13. DODATAK: CEMU SLUZI vlakna. Ukupna promena entropije moˇze biti jednaka nuli samo ako je opadanje jednog ˇclana kompenzovano rastom drugog, tj. ∆S = ∆Sk + ∆Sosc = 0. Zagrevanje vlakna zbog istezanja je posledica porasta ∆Sosc . Na osnovu prethodn o reˇcenog moˇzemo oceniti i promenu temperature zbog zagrevanja. Neka je vlakno sastavljeno od molekularnog lanca duˇzine N . Na osnovu mikroskopske definicije entropije (11.25) imamo

∆S = k ln ∆Y

(13.2)

gde ∆Y oznaˇcava promenu broja mikroskopskih stanja sistema. U sluˇcaju jednodimenzionalnog vlakna Y = 2N nalazimo

∆Sk = −kN ln 2

(13.3)

∆Sosc = kN ln 2

(13.4)

znaˇci da je

Za molekularne oscilacije dobijamo

T ∆Sosc = T kN ln 2

(13.5)

Ukoliko prethodnu veliˇcinu podelimo sa toplotnim kapacitetom vlakna, dobi´cemo promenu temperature. Ukoliko zamislimo monomer kao n linearnih oscilatora, za vlakno sastavljeno od N molekula dobijamo

Eosc = nN kT

(13.6)

jer linearni oscilator ima dva stepena slobode, a na njih na osnovu ekviparticione teoreme za jedan harmonijski oscilator E = kT . Za toplotni kapacotet vlakna dobijamo C=

nN k(T + ∆T ) − nN kT ∆E = = nN k ∆T ∆T

(13.7)

127 tj. za toplotni kapacitet jednog monomera dobijamo Cmon = nk. Na kJ osnovu merenja za gumeno vlakno znamo C ≈ 2 kgK , dalje masa jednog −25 monomera iznosi ≈ 10 kg, tako da za toplotni kapacitet dobijamo nk ≈ 210−25 kJ , tj. n ≈ 15. Za temperaturnu promenu prilikom naglog istezanja K dobijamo vrednost od nekih 10 − 15C ◦ . Taˇcna merenja daju otprilike upola manju vrednost, medjutim primer nam ilustruje da ve´c na osnovu elementarnih termodinamiˇckih razmatranja i najprostijeg modela monomera moˇzemo da ocenimo red veliˇcine traˇzene temperature.

ˇ ˇ TERMODINAMIKA? PRIMER ENERGETIKE IS 128GLAVA 13. DODATAK: CEMU SLUZI

Glava 14 Matematiˇ cki podsetnik 14.1

Elementarna pravila vektorskog raˇ cuna

Neka su ~a = (a1 , a2 , a3 ) i ~b = (b1 , b2 , b3 ) dva vektora. Zbir i razliku vektora raˇcunamo kao ~a ± ~b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ). Proizvod vektora ~a = (a1 , a2 , a3 ) i skalara α raˇcunamo q kao α~a = (αa1 , αa2 , αa3 ). Duˇzina vektora ~a = (a1 , a2 , a3 ) se definiˇse kao: |~a| = a21 + a22 + a23 Jediniˇcni vektor ~e~a koji ima isti pravac i smer, kao i vektor ~a, a duˇzinu |~e~a | = 1 dobijamo tako, ˇsto podelimo vektor ~a sa njegovom duˇzinom |~a|, tj. ~e~a = |~a1| (a1 , a2 , a3 ) = ( |~aa1| , |~aa2| , |~aa3| ).

14.2

Skalarni proizvod dva vektora

Definicija skalarnog proizvoda vektora ~a i ~b, koji medjusobno zaklapaju ugao α je ~a · ~b = |~a||~b| cos α Na osnovu definicije zakljuˇcujemo, da je skalarni proizvod dva ortogonalna vektora jednak nuli. U koordinatnom obliku imamo: ~a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 129

130

14.3

ˇ GLAVA 14. MATEMATICKI PODSETNIK

Vektorski proizvod dva vektora

Definicija vektorskog proizvoda vektora ~a = (a1 , a2 , a3 ) i ~b = (b1 , b2 , b3 ), koji medjusobno zaklaaju ugao α je |~a × ~b| = |~a||~b| sin α a pravac vektora ~a × ~b odredjujemo pravilom desnog zavrtnja. Znaˇci ~a × ~b = −~b × ~a. Na osnovu definicije zakljuˇcujemo, da je skalarni proizvod dva paralelna vektora jednak nuli. U koordinatnom zapisu imamo: ~a × ~b = (a2 b3 − a3 b2 , a1 b3 − a3 b1 , a1 b2 − a2 b1 ) Vektorski proizvod moˇzemo zapisati i pomo´cu determinante kao: ~i ~j ~k ~a × ~b = a1 a2 a3 b1 b2 b3

14.4



ˇ s´ Ceˇ ce koriˇ s´ ceni trigonometrijski identiteti sin2 x + cos2 x = 1 sin x tg x = cos x

(14.1) (14.2) !

cos α + cos β = 2 cos

14.5

α+β α−β cos 2 2

!

(14.3)

Osnovne osobine eksponencijalne funkcije exp(x) ≡ ex ,

exp(x + y) = exp(x) exp(y) exp(x) , (exp x)a = exp(ax) exp(x − y) = exp(y) ln(exp x) = x

(14.4) (14.5) (14.6)

14.6. OSNOVNE OSOBINE LOGARITAMSKE FUNKCIJE

14.6

131

Osnovne osobine logaritamske funkcije

log(xy) = log(x) + log(y),

x log y

a log(x) = log (xa ) , eln(x) = x,

!

= log(x) − log(y)

x>0

Logaritam sa osnovom e oznaˇcava´cemo sa ln.

14.7

Infinitezimalni raˇ cun

14.7.1

Izvodi

Definicija i osnovna pravila za raˇcunanje izvoda funkcija:

f 0 (x) = lim →0

f (x + ) − f (x) df =  dx 0

0

0

(f + g) = f + g ,

0

0

0

(f g) = f g + f g ,

f g

!0

f (g(x))0 = f 0 (g(x))g 0 (x) Neki od ˇ ceˇ s´ ce koriˇ s´ cenih izvoda f (x) sin x cos x exp x ln x xn

f 0 (x) cos x − sin x exp x x−1 nxn−1

Tabela 14.1: Izvodi elementarnih funkcija.

=

f 0g − f g0 , g2

ˇ GLAVA 14. MATEMATICKI PODSETNIK

132

14.7.2

Parcijalni izvodi

Ukoliko raˇcunamo sa funkcijom f koja ima viˇse nezavisnih promenljivih, x1 , x2 , ..., xn moˇzemo raˇcunati izvode u odnosu na svaku promenljivu ponaosob. Izvod, kada menjamo samo jednu promenljivu, a sve druge drˇzimo konstantnim, zovemo parcijalni izvod. Preciznije:

∂f f (x1 , .., xi + , ..., xn ) − f (x1 , .., xi , ..., xn ) = lim ∂xi →0 

(14.7)

Neka je f funkcija viˇse promenljivih, f = f (x1 , x2 , ..., xn ). Totalni diferencijal df funkcije f je:

df =

14.7.3

∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + ... + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn

(14.8)

Integrali

Ukoliko je izvod funkcije F po promenljivoj x oznaˇcimo kao f , neodredjeni integral funkcije f po promenljivoj x definiˇsemo kao

Z

def

f (x)dx = F (x) + C

(14.9)

gde C oznaˇcava proizvoljnu konstantu. Odredjeni integral funkcije f po promenljivoj x na intervalu [a, b] definiˇsemo slede´cim izrazom:

Z b

def

f (x)dx = F (b) − F (a)

a

Navedimo da vaˇzi

Rb a

f (x)dx = −

Ra b

f (x)dx.

(14.10)

ˇ 14.8. OSNOVNI POJMOVI U VEZI DIFERENCIJALNIH JEDNACINA133 f (x) sin x cos x exp x x−1 xn

R

f (x)dx cos x + C − sin x + C exp x + C ln x + C xn+1 +C n+1

Tabela 14.2: Integrali elementarnih funkcija. Neki od ˇ ceˇ s´ ce koriˇ s´ cenih integrala

14.8

Osnovni pojmovi u vezi diferencijalnih jednaˇ cina

14.8.1

Nehomogena linearna diferencijalna jednaˇ cina prvog reda y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x) 

y(x) = exp −

Z



p(x)dx

C+

Z



q(x) exp −

Z





p(x)dx dx

14.8.2

Parcijalne diferencijalne jednaˇ cine

14.9

Osnovni pojmovi teorije verovatno´ ce

Neka je x sluˇcajna promeljiva, koja prima vredosti x1 , x2 , ..., xn sa odgovaraju´cim verovatno´cama p1 , p2 , ..., pn . Osnovni uslov koji verovatno´ce p1 , p2 , ..., pn moraju da zadovolje je n X

pi = 1

(14.11)

i=1

Proseˇcna ili srednja vrednost promenljive x je na osnovu N merenja

x=

N 1 X xi N i=1

(14.12)

134

ˇ GLAVA 14. MATEMATICKI PODSETNIK

Ako prilikom N merenja velicine x vrednost xi izmerimo ni puta, uzimaju´ci P u obzir N i=1 ni = n dobijamo N N n n X X xi X 1 X ni x= xi = pi xi = xi = N i=1 i=1 N i=1 N i=1

(14.13)

Analogne relacije za sluˇcaj neprekidne sluˇcajne promenljive se definiˇsu na slede´ci naˇcin. Neka je x iz intervala (a, b). p(x) oznaˇcava gustinu verovatno´ce u taˇcci x. Znaˇci, p(x) je analogon veliˇcini pi u sluˇcaju diskretne sluˇcajne promenljive. Relacija Z b

p(x)dx = 1

(14.14)

a

je analogon relacije (14.12). Za srednju vrednost imamo

x=

Z b

xp(x)dx

a

Sliˇcnost relacije (14.15) sa relacijom (14.13) je oˇcigledna.

(14.15)

Bibliografija [1] I. E. Irodov, Fundamental Laws of Mechanics, Moskva, Mir, 1980. [2] I. V. Saveljev, Physics, Vol. I, Moskva, Mir, 1980. [3] Lj. Ristovski, N. Buri´c, Fizika, Sluˇzbeni List Srbije i Crne Gore, Beograd, 2000. [4] Vuˇci´c, Ivanovi´c, Fizika 1, Beograd, 2000. [5] D. Krpi´c, Uvod u termodinamiku, Nauˇcna Knjiga, Beograd, 1978.

135

136

BIBLIOGRAFIJA

Slike 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Skica cilindriˇcnog koordinatnog sistema . . . . . Skica sfernog koordinatnog sistema . . . . . . . Grafiˇcki prikaz krivolinijskog kretanja u ravni. . Grafiˇcki prikaz vektora infinitezimalne rotacije. . Grafiˇcki prikaz vektora tangencijalne brzine. . . Putanja kosog hica u zavisnosti od ugla. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

15 16 17 18 19 21

4.1 4.2

Grafiˇcki prikaz sila koje deluju na telo koje klizi niz polusferu. 26 Sluˇcajevi balistiˇcke krive. Masa tela je 1 kg, poˇcetna brizna je 40 m/s , koeficijent trenja iznosi 1 kg/s, a uglovi su redom π/6, π/4, π/3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1 Zatvoren put 1a2b1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 sin(xy) 44 5.2 Grafik funkcije exp(0.1(x 2 +y 2 )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin(xy) Konturni prikaz funkcije exp(0.1(x 2 +y 2 )) . Svetle oblasti odgovaraju maksimumima, a tamne oblasti minimumima potencijalne energije. 44 sin(xy) . . . . . . . . 45 5.4 Polje sila generisano potencijalom exp(0.1(x 2 +y 2 )) .

5.3

9.1

Vremenska zavisnost poloˇzaja, brzine i ubrzanja harmonijskog oscilatora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 9.2 Vremenska zavisnost kinetiˇcke i potencijane energije harmonijskog oscilatora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 9.3 Vremenska zavisnost poloˇzaja, brzine i ubrzanja harmonijskog oscilatora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 9.4 Vremenska zavisnost kinetiˇcke, potencijalne i ukupne mehaniˇcke energije priguˇsenog harmonijskog oscilatora. . . . . . . . . . . 69 137

138 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

SLIKE Poredjenje fiziˇckog i matematiˇckog klatna. Primetimo da fiziˇcko klatno kasni u odnosu na matematiˇcko klatno. . . . . . . . . . Primer izbijanja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sloˇzena oscilacija kao rezultanta dve normalne harmonijske oscilacije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primer Lisaˇzuove krive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primer Lisaˇzuove krive u prostoru. . . . . . . . . . . . . . . .

72 73 74 75 76

11.1 Poredjenje izotermskih i adijabatskih procesa. Dijagram je prikazan u logaritamskoj skali, na kojoj su sve krive oblika y = const prave linije. Crvenom bojom je obeleˇzen izotermski xγ proces, zelena i plava odgovaraju stepenima adijabate γ = 1.3 odnosno γ = 1.66 respektivno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.2 Ciklus toplotne maˇsine u V-p ravni. Koordinatne ose su linearne. Strmije krive su adijabate, koje seku izoterme. . . . . . . . . . 102 11.3 Ciklus toplotne maˇsine u V-p ravni. Koordinatne ose su logaritamske. U ovom prikazu se jasnije ocrtava povrˇsina omedjena krivama, koja odgovara radu tokom jednog ciklusa. . . . . . . . . . . . 103 11.4 Fazni dijagram vode u T-p ravni. Oblasti osenˇcene plavom bojom odgovaraju ˇcvrstoj fazi, oblasti osenˇcene zelenom bojom odgovaraju teˇcnoj fazi. Siva oblast oznaˇcava gasovitu fazu. . . 108 11.5 Zavisnost Maksvelove raspodele od apsolutne temperature. . . 110 12.1 Grafiˇcki prikaz talasa opisanog jednaˇcinom ξ = cos(t − x). . . 117 12.2 Grafiˇcki prikaz talasa opisanog jednaˇcinom ξ = cos(t/2 − 2x). 118 119

Tabele 8.1

Vaˇzniji momenti inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11.1 Mikroskopska i makroskopska stanja sistema sastavljenog od ˇcetiri molekula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 11.2 Broj mikroskopskih stanja koje odgovaraju razliˇcitim makroskopkim stanjima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 14.1 Izvodi elementarnih funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 14.2 Integrali elementarnih funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

139

140

TABELE

Sadrˇ zaj 1 Predgovor

3

2 Fiziˇ cke veliˇ cine, fiziˇ cki zakoni

5

I

7

Mehanika

3 Kinematika 3.1 Sluˇcaj pravolinjskog kretanja . . . . . . . . . . 3.1.1 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Sluˇcaj krivolinjskog kretanja u prostoru . . . . 3.2.1 Da li ima neˇcega ,,iza drugog izvoda”? 3.3 Cilindriˇcni i sferni koordinatni sistem . . . . . 3.4 Razlaganje ubrzanja u sluˇcaju krivolinijskog kretanja . . . . . . . . . . . . . 3.5 Kinematika rotacije . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Kosi hitac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dinamika 4.1 Njutnovi zakoni . . . . . . . . . . 4.1.1 Primeri sila . . . . . . . . 4.1.2 Primeri primene Njutnovih 4.2 Galilejev princip ekvivalencije . .

. . . . . . . . . . zakona . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

11 11 12 12 14 14

. . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . 20

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

23 23 24 26 30

5 Rad sile, Energija 33 5.1 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.1.1 Rad elastiˇcne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.1.2 Rad sile zemljine teˇze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 141

ˇ SADRZAJ

142

5.2 5.3 5.4

5.5

5.1.3 Rad gravitacione i Kulonove sile . . . . 5.1.4 Rad sile trenja . . . . . . . . . . . . . Snaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinetiˇcka energija . . . . . . . . . . . . . . . . Pojam potencijanih sila i potencijalne energije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Pojam centralnih sila . . . . . . . . . . 5.4.2 Problem potencijalnosti sila . . . . . . Polje centralnih sila . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Primer: Gravitaciono i elektriˇcno polje

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

35 35 35 36

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

37 38 41 42 43

6 Zakon odrˇ zanja mehaniˇ cke energije 47 6.1 Primena zakona odrˇzanja energije . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7 Impuls, Zakon odrˇ zanja impulsa 51 7.1 Pojam impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.2 Zakon odrˇzanja impulsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7.2.1 Primer primene zakona odrˇzanja impulsa . . . . . . . . 53 8 Moment impulsa, Zakon odrˇ zanja momenta impulsa 8.1 Znaˇcaj zakona odrˇzanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Dinamika rotacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Veze medju veliˇcinama vezanim za rotaciju . . . 8.3 Paralele izmedju translatornog i rotacionog kretanja . . 8.4 Dinamika krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Oscilacije

9 Oscilacije 9.1 Matematiˇcko klatno . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Elastiˇcna opruga sa unutraˇsnjim trenjem . . . 9.3 Matematiˇcko klatno u faznom prostoru . . . . 9.4 Fiziˇcko klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Slaganje oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Slaganje paralelnih oscilacija, izbijanje 9.5.2 Slaganje normalnih oscilacija . . . . . . 9.5.3 Prinudne oscilacije, rezonancija . . . .

55 56 57 58 59 59

61 . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

63 63 66 68 71 71 71 72 75

ˇ SADRZAJ

143

III

79

Fluidi

10 Elementarna teorija fluida 10.1 Fluidi uopˇste . . . . . . . . 10.2 Hidrostatika . . . . . . . . . 10.3 Hidrodinamika . . . . . . . 10.3.1 Idealni fluidi . . . . . 10.3.2 Viskozni fluidi . . . . 10.4 Turbulencija . . . . . . . . . 10.5 Bezdimenzionalni parametri

IV

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Termodinamika

11 Termodinamika 11.1 Termodinamika kao opˇsta fiziˇcka disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Osnovni pojmovi termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Jednaˇcina stanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Idealan gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Van der Valsova jednaˇcina stanja . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Prvi zakon termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.1 Unutraˇsnja energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.2 Toplota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.3 Mehaniˇcki rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6.4 Formulacija prvog zakona termodinamike . . . . . . . 11.6.5 Prvi zakon termodinamike u infinitezimalnom obliku 11.7 Toplotni kapacitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.1 Izotermski i adijabatski procesi . . . . . . . . . . . . 11.7.2 Rad idealnog gasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7.3 Dodatak: rad Van der Valsovog gasa . . . . . . . . . 11.8 Drugi zakon termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.1 Karnoova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.2 Mikroskopska i makroskopska stanja termodinamiˇckih sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8.3 Entropija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9 Nulti i tre´ci zakon termodinamike . . . . . . . . . . . . . . . 11.10Fazni prelazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 81 82 82 83 86 87

89 91 . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 96 96 98 99 100 101 101

. . . .

104 104 107 108

ˇ SADRZAJ

144

11.11Osnovni pojmovi molekularno kinetiˇcke teorije gasova . . . . . 108 11.11.1 Maksvelova raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 11.11.2 Ekviparticiona teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

V

Talasi

12 Talasno kretanje 12.1 Pojam talasa . . . . . . . . . . . . 12.2 Vrste talasa . . . . . . . . . . . . . 12.3 Jednaˇcina talasnog kretanja . . . . 12.4 Energija talasa . . . . . . . . . . . 12.5 Stoje´ci talasi . . . . . . . . . . . . . 12.6 Brzina prostiranja elastiˇcnih talasa

113 . . . . . .

. . . . . .

ˇ 13 Dodatak: Cemu sluˇ zi termodinamika? istezanja tankog elastiˇ cnog vlakna

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

115 . 115 . 116 . 116 . 120 . 121 . 122

Primer energetike 125

14 Matematiˇ cki podsetnik 129 14.1 Elementarna pravila vektorskog raˇcuna . . . . . . . . . . . . . 129 14.2 Skalarni proizvod dva vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 14.3 Vektorski proizvod dva vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 ˇ s´ce koriˇs´ceni trigonometrijski identiteti . . . . . . . . . . . . 130 14.4 Ceˇ 14.5 Osnovne osobine eksponencijalne funkcije . . . . . . . . . . . . 130 14.6 Osnovne osobine logaritamske funkcije . . . . . . . . . . . . . 131 14.7 Infinitezimalni raˇcun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 14.7.1 Izvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 14.7.2 Parcijalni izvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 14.7.3 Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 14.8 Osnovni pojmovi u vezi diferencijalnih jednaˇcina . . . . . . . . 133 14.8.1 Nehomogena linearna diferencijalna jednaˇcina prvog reda133 14.8.2 Parcijalne diferencijalne jednaˇcine . . . . . . . . . . . . 133 14.9 Osnovni pojmovi teorije verovatno´ce . . . . . . . . . . . . . . 133