Fizika 1 Željko Stapić

mr. Zeljko Stapic

FIZIKA 1

Recenzenti: dr. Zoran Primorac prof. Pavle Yalentic

DOM STAMP£ ZENIC:A

" mr. Zeljko Stapic FIZIKA I

lzdavac:

PREDGOVOR

"Dom stampe" Zenica

Za izdavaca: Fuad Pjanic

Knjiga sa zbirkom zadataka radena je prema programu fizike za prvi razred gimnazije, a moze korisno posluziti ucenicima tehnickih i drugih srednjih skola, kao i studentima. Ova knjiga sadrzi sedam tematskih cjelina.

Recenzenti: dr. Zoran Primorac prof. Pavle VaJentic

Na pocetku svakog poglavlja dan je kratak teorijski pregled, a potom velik broj raznovrsnih zadataka u dvije razine:

Lektor:

0- opci zadaci, cijaje uloga uvesti ucenika u povezanost fizikalnog dogadaja sa zakonom.

prof. Nada Abramovic

T- tezi zadaci, namijenjeni ucenicima koji se vise zanimaju za fiziku.

Telrnicka priprema, graficki dizajn i naslovna strana: mr. Zeljko Stapic mr. Samir Lemes

Stampa: "Dom stampe" Zenica

1

l

Veci broj zadataka ima potpuna rjesenja, sto treba ukazati citatelju na metodiku izrade zadataka iz fizike. Svi ostali za4aci imaju krajnji rezultat. Oni su namijenjeni samostalnoj provjeri sposobnosti rjesavanja ovakvih zadataka, sto treba biti pokazatelj raspolaie li ucenik dovoljnim znanjem, iskustvom i odgovarajucom metodikom za njihovo rjesavanje. Zakoni i formule lakse se pamte ako se sto vise koriste, a to se najbolje postize izradom sto veceg broja zadataka.

Naklada: I 000 primjeraka

Uz vecinu zadataka nacrtana je slika koja je cesto presudna za rjesavanje zadatka. Svaki zadatak u fizici, ukoliko je moguce, treba predstaviti slikom.

~

CIP- Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo

I (

'

53(075.3) STAPI = aw,

2

(~J

a" b" .

(a · b/

al-a-1- 0

(a-4) 7 =a 1-4 1·7 =a-'",

=

a

3

·

3

b

•

~=Va4b,

4¥=~

2-J+I

(a·'. b2/ =a·~· b8

=a"=l

(~Y

-b±..Jb' -4·a·c 2·a

.J94 = 9,695 "'9,7

Ako je cifra koja se odbacuje jednaka 5, a iza nje nema cifara, onda se vrsi zaokruzivanje na najblizi pami broj, tj. zadnju cifru koju ne odbacujemo ne mijenjamo ako je parna iii povecamo za jed an ako je neparna. Npr: 0,465 zaokruzimo na 0,46; a 0,475 zaokruzimo na 0,48.

(a-'r'=a'

,

x1.2=

Znacajne cifre pri racunanju- zaokruzivanje brojeva Kada u zadacima racunamo s mjernim podacima, tocnost rezultata mjerenja mora se ravnati prema broju znacajnih (pouzdanih) mjesta sto ih imaju podaci. Zaokruzivanje brojeva vr5i se u proracunima kod kojih se koriste priblizne vrijednosti, a takvi su svi rezultati mjerenja. Ako je pri zaokruzivanju prva od odbacenih cifara veca od 5, posljednja cifra koja se zadriava poveca se za I. Npr: 65,8374 "'65,84 Ako je prva od odbacenih cifara manja od 5, brojevi se zaokruzuju odbacivanjem cifara. Npr: 84,6324 "' 84,63 Pri sabiranju i oduzimanju brojeva treba u rezultatu zadriati onoliko cifara koliko ima broj sa najmanjim brojem cifara. Npr: I ,432 + 0,85 + I ,2 = 3,482 "' 3,5 Pri mnozenju i dijeljenju vrijedi isto pravilo. Npr: 2,52 · 0,6 = 1,512"' 1,5 Pri dizanju brojeva na kvadrat i kub potrebno je u rezultatu zadriati samo onoliko cifara koliko ima u osnovi. Npr: 4,67 2 = 21 ,8089 "' 21,8 Pri vadenju kvadratnog i kubnog korijena vrijedi isto pravilo. Npr:

-

Potenciranje umnoska i kvocijenta: (a· b)" = a"· b" .

5

Vcf =a3'

Nekoliko primjera: - brzina svjetlosti u vakuumu: c = 300000 km/s = 3 · I 05 km/s = 3 · I 08 m/s; - srednji polumjer Zemlje: R = 6370 km = 6,37 · 106 m; - normalni atmosferski tlak: p = I 01325 Pa = I ,013 · I 05 Pa; - promjer atoma: d = 0,000000000 I m = I o- 10 m; - naboj elektrona: e = 1,6 · 10" 19 C, itd.

(-a)·(+b) = (+a)-(-b) =-a· b

-a +a a +b =~=-t;·

+a -a a -=-=+-' +b -b b

m

Pisanje brojeva pomocu potencije broja 10 U fizici se cesto sluzimo vrlo velikim i vrlo malim brojevima, paje uobicajeno da se takvi brojevi pisu skraceno, pomocu potencije broja I 0. 10° =I 10°= I 5623 = 5,623. 103 I0- 1 =0,1 10 1 ~10 0,0045 = 45 · I 0-4 10"2 = 0,01 102 = 100 itd. 140000 = 14. 104

Xn

~x~+x~+ ... +x; ,

(+a) ·(+b)= (-a)·(-b) = +a·b,

I

=(am);; =a;,

Pri rjesavanju nekih zadataka iz fizike javljaju se i kvadratne jednadzbe tipa a·x 2 + b·x + c =0.

·x3 · ••• ·x. ,

X2

W

as

11

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

Razvoj fizike kroz povijest, cilj i podjela

Trigonometrija- pravokutni trokut

Fizika (grc. fysis [fizis] - priroda) prirodna je znanost o opeim svojstvima i gradi tvari i o osnovnim oblicima njezina gibanja, o mehanickim, gravitacijskim, elektromagnetnim, toplotnim, atomskim i drugim pojavama.

a

a, b- katete, c- hipotenuza, a+

.

cosa=-, c

cos a

2

=a 2 + b2

ctga=-, a

cos a clga = -.-.- , sma

sin a tga=--,

c

b

a tga =b '

b

a c

sma=-,

p = 90°,

Cilj tizike je prouciti, objasniti i opisati fizikalne pojave, tj. otkriti i upoznati uzroke i zakone po kojima se one dogadaju te pokazati kako se to saznanje moze prakticki iskoristiti. Zadatak je da se ustanove zakonitosti i pon~anja kako najmanjih sustava, kao sto su elementarne cestice, tako i najveceg sustava kao sto je cijeli svemir, sastavljen od skupova galaksija.

sina = cos/3

Pregled povijesti fizike

sin 2 a +cos 2 a = I

Trigonometrijska kruznica je kruznica sa centrom u koordinatnom pocetku poluprecnika r = I. ctg a

Kao samostalna prirodna znanost fizika se, na odredenom stupnju razvitka ljudskog drustva, pocela izdvajati iz opce filozotije prirode, donekle vee u doba anticke grcke znanosti. Poslije pocetnih koraka u ovom razdoblju, tijekom citavog srednjeg vijeka, nastupio je zastoj u njezinu razvitku. Tek sa renesansom i prirodne znanosti pocinju se sna:lnije razvijati i granati se, pa se pocetkom 17. stoljeea definitivno rada i nova fizika, klasicna fizika. Tijekom tri stoljeca ona ee se razvijati dosta brzim koracima, a krajem 19. stoljeca pocinje prerastati u suvremenu fiziku sa svojim novim, specificnim oblastima - elektronikom, atomistikom i nuklearnom fizikom.

u~ J'2~1ra~1._.

nlrad] 1

IV

Ill

3n/2lrad]

1 krug = 2Jt (rad) = 360°,

!' = 60"

1°= 60',

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih kutova rr/6

7t/4

rr/3

1t/2

1t

2rt/3

21t

oo

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sin a

0

-

I

-.fi

-

I

0

-I

0

cos a

I

0

-I

0

I

±ao

0

±ao

0

0

±ao

0

±ao

0 rad

tga ctga

4

0

±ao

2

..fj

-

2

..fj

-

..fj

-.fi 2

2 I 2

I

..fj

I

-

2

3

..fj

..fj 3

Fizika se od svog pocetka razvijala kao najsira znanost o prirodi. Onaje uvijek imala i vaznu ulogu u zivotu i radu ljudi uopce. Fizikaje teorijska osnova proizvodnje i niza tehnickih grana - od mehanike i strojarstva do suvremene prakticne elektronike i nuklearne tehnike. Fizika proucava osnovna svojstva tvari, njezine promjene i gibanja, te tako ima i veliku ulogu u formiranju znanstvenog pogleda na svijet. Zato je ona tijekom svoje povijesti hila i popriste borbe izmedu progresivne materijalisticke misli i raznih idealistickih tilozotija.

Fizika, tehnika i proizvodnja. Bez sumnje, otkrica i radovi velikih fizicara - znanstvenika utjecu na brzi iii sporiji razvoj fizike i znanstvene misli. lsto tako fizika, kao i svaka druga znanost, ima i svoje unutarnje snage razvoja. U antickoj znanosti radi potreba zemljoradnje, gradevinarstva i vojne tehnike dobile su odredenu samostalnost astronomija, geometrija i statika. Potrebe usavrsavanja parnog stroja diktirale su polovinom 19. stoljeca nagli razvoj znanosti o plinovima i razvoj kalorike. Na snafun razvoj dan~nje nuklearne fizike, raketne mehanike, elektronike, najvise utjecu prakticni ciljevi. Oni su, nafulost, danas prvenstveno vojne prirode. Fizika kao znanost i kao osnova tehnike danas se teorijski i prakticno razvija ne samo u univerzitetskim institutima i akademijama nego i u institutima pri velikim tvornicama i institutima za usavrsavanje vojne tehnike. Napredak raznih grana tehnike stalno je utjecao na razvoj fizikalne znanosti, stalno ga olaksavao i unapredivao. Tehnika je stvorila tizici nevjerojatno osjetljive instrumente i sna:lne strojeve. Elektronski mikroskopi, akceleratori, rakete, mikrouredaji, veoma cisti materijali, sve to danas stoji na raspolaganju fizicaru eksperimentatoru. Povezanost s drugim znanostima. Tijekom razvoja fizike vidi se njezina naju:la povezanost s astronomijom, matematikom, kemijom, a i s drugim prirodnim znanostima. Te znanosti su u pocetku i predstavljale samo komponente jedinstvene znanosti o prirodi- fizike. Tako se u vezi s potrebama astronomije vee u antickoj znanosti prvenstveno razvijala geometrijska optika. Potrebe kemije i astronomije diktirale su kasnije razvoj spektroskopije. Otkrice periodnog sustava elemenata, koje ima prvenstveno znacenje za kemiju, udarilo je koncem

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

19. stoljeca jasan putokaz razvoju suvremene atomske fizike. Potrebe medicine i kemije stimulirale su, u 18. i pocetkom 19. stoljeca, razvoj znanosti o elektricitetu. Prvo je i prouceno kemijsko djelovanje elektricne struje (Davy, Faraday). Cesto su se isti znanstvenici bavili raznim granama prirodnih znanosti, narocito u ranijim razdobljima. Arhimed, Pitagora, Heron, Euklid najveci su matematicari antickog svijeta, a istodobno su dali i osnovna fizicka znanja u tom razdoblju. Newton je za potrebe fizike stvorio novu metodu matematike infinitezimalni racun. Danasnja teorijska fizika napreduje i razvija se zapravo i kao jedna oblast primijenjene matematike. Fizika i filozofija. Fizika se rodila u krilu opce filozofije starih grckih znastvenika. Najufu povezanost njezinog razvoja s materijalistickom filozofijom osta1a je sve do danas. Filozofi Roger Bacon, Descartes, Lomonosov, Boskovic, te francuski enciklopedisti, mnogo su pridonijeli razvoju nove, klasicne fizike 17 - 19. stoljeca. ldealisticki pogledi Platona i Aristotela, iz antickog razdoblja, udarili su kasnije pecat zastoju znanstvene misli i utjecali na dominaciju skolasticke misli tijekom niza stoljeca, izmedu antickog perioda i radanja nove znanosti. S druge strane, dostignuca klasicne i suvremene fizike najsnainija su potpora i dokaz ispravnosti postavki i pogleda na svijet dijalektickog materijalizma. Teorije i hipoteze- unutarnje snage razvoja fizike. Postavljanje i izmjena vodecih teorija predstavlja glavni sadrfuj povijesti fizike. Pokrenuta vanjskim faktorima, svaka znanost dalje napreduje u odredenim oblastima snagom zakona vlastitog razvoja. Geometrijska optika se razvijala iz potreba usavrsavanja durbina i drugih optickih instrumenata. Proucavanje prostiranja i prelamanja svjetlosti dovelo je do postavljanja raznih teorija i hipoteza o prirodi svjetlosti, zatim do otkrica i proucavanja valnih pojava - difrakcije, interferencije i polarizacije svjetlosti, koje su u prvo vrijeme imale samo znanstveno znacenje. Borba izmedu pristalica korpuskulame teorije i pristalica valnih teorija svjetlosti u vrijeme Newtona, a i ranije, znatno je unaprijedila ne samo razvoj fizicke optike nego i znanstvene i filozofske misli uopce, jer kako kaze M. Planck, "lizika je uvijek hila oru:lje, i to mocno oruzje u borbi za pogled na svijet". Fizikalne teorije ne tumace samo razne pojave promatranja i pokusne cinjenice, nego uvijek sadrze elemente novih pogleda i hipoteze koje su stalno davale perspektivu daljem razvoju znanosti. Atomisticka hipoteza, kroz citavu povijest, bilaje ideja vodilja u razvoju znanosti o strukturi tvari. Newtonov zakon gravitacije i zakoni nebeske mehanike obja5njeni su na temelju hipoteze o opcoj privlacnoj sili medu tijelima i njihovim djelicima. Nove teorije cesto korigiraju, utkivaju stare teorije kao specijalne slucajeve. Fizika, kao i svaka znanost, nije se razvijala pravocrtno, nego u spiral nom, pa i u "cik-cak" hodu. Razdoblja u razvoju lizike Razdoblja povijesti fizike ne mogu se strogo razgraniciti, jer se ne moze uzeti kao presudan nijedan pojedinacan faktor: pojava velikih znanstvenika (povijesno) iii ekonomski periodi u razvoju drustva, a tesko je pratiti izdvojeno i razvoj pojedinih oblasti fizike, pa cak ni njezin cjelokupni razvoj odvojeno od dodirnih prirodnih znanosti - astronomije, matematike i kemije. Nekad je podesno pratiti, u nekim periodima, razvoj pojedinih oblasti preko radova i nazora najznacajnijih znanstvenika toga vremena. Kao glavne etape mogle bi se uzeti: I. Anticka znanost, 2. Srednjovjekovna znanost, 3. Nova- klasicna fizika, 4. Suvremena fizika.

j,

6

Anticka znanost U antickom periodu fizika je uglavnom, uklopljena u opcu filozofiju prirode. Znanost se razvijala iii samo na temelju promatranja pojava iii golog razmisljanja. Drfulo se da pokus, kao i svaki drugi fizicki rad, ponifuva slobodnog covjeka. Znanost je bila samo sredstvo za duhovni razvoj i nije imala znacajniju ulogu u praksi, u proizvodnji. Robovlasnickom drustvu nisu bili narocito potrebni pronalasci i savr5enija tehnika za olaksavanje ljudskog- robovskog rada. Tehnika se temeljila na jednostavnim, glomaznim mehanizmima: poluga, cekrk, vijak, strma ravnina. Fizika se u ovom periodu razvija povezano s astronomijom i matematikom. Glavni problemi fizike su statika cvrstih i tekucih tvari. Karakteristika ovog perioda je prikupljanje podataka o pojavama na temelju promatranja. Javljaju se osnovni naivno - materijalisticki pogledi na svijet, bazirani na atomistickim nazorima Leukipa i Demokrita. Astronomija je ucinila prve korake, a i geometrija je dostigla dosta visok stupanj razvoja. Ovdje se mogu uociti tri perioda : Pretpovijest anticke znanosti Jonska znanost A leksandrijska znanost Jonska i aleksandrijska znanost predstavljaju zapravo grcku anticku znanost. Njezin razvoj je trajao oko dvanaest stoljeca, a povijesno se zavr5ava negdje pocetkom 6. stoljeca, kada dolazi do prilicno izrazenog zastoja u razvitku znanstvene misli koji ce se produziti tijekom niza stoljeca. Grcka znanost- Jonski materijalizam Znanost je putem trgovackih veza stigla s lstoka u Grcku i na jonske otoke. Tijekom tri stoljeca ovdje su znanost i filozofska misao vise uznapredovale nego za tri tisuce godina u Babilonu i Egiptu. Znanost je i ovdje ipak sveobuhvatna te ima vise karakter opce filozofije prirode. Grcki filozofi su istovremeno i astronomi, matematicari, fizicari, pa i povjesnicari. Ovaj period povijesno se poklapa sa procvatom robovlasnickog drustva, kad se stvaraju gradovi-drfuve i kad dolazi do podjele rada i stvaranja drustvenih klasa. Kao srediste starogrcke kulture i znanosti u to doba istice se veliki trgovacki centar, grad Milet, koji ima svoje kolonije sirom sredozemlja. Znacajni znanstveni predstavnici iz tog perioda su: Tales (624-547) jedan od sedam mudraca stare Grcke, kao trgovac mnogo putuje i prenosi znanstveni duh iz Egipta i Babilona na novo tlo. Pored racunanja i geometrije njega zanima struktura svijeta kao cjeline. Tales uzima da je pratvar od koje je svijet sagraden voda, ali pri tome ima vise u vidu njezina svojstva, tj. da se pojavljuje u tri agregatna stanja. Tales je vee 585. g. prije Krista znao predvidjeti pomracenje Sunca, govorio o magnetiziranju zeljeza i 0 elektriziranju cilibara. Heraklit (544-474) je jedan od vodecih filozofa stare Grcke. Po njegovu ucenju temelj svega u prirodi je vatra, neka realna tvar. Od stanja razvitka "vatre" zavisi struktura i gibanje svijeta - "iz nje sve postaje i u nju se konacno sve vraca". Heraklitje prvi dijalekticar i u pogledu spoznaje svijeta. Covjek prima svijet preko cula, ali se istinski spoznaja stjece tek putem misljenja. "Misljenje je snaga, ono daje mogucnost da se pronikne u bit stvari".

7

mr. Zeljko Stapii::,FIZIKA I

Pitagora . (580-500) - paralelno s "Miletskom skolom" radila je u Crotonu Guina ltalija) "skola" koju je osnovao Pitagora. Pitagorejci su prilicno unaprijedili geometriju, a proucavali su i svjetlosne pojave. Vaino je napomenuti da su izvodili i neke oglede, narocito na podrucju akustike. Pitagorejci ne vide bit svijeta u njegovoj materijalnosti, za njih su sve stvari i pojave samo neka kombinacija brojeva i pravilnih geometrijskih oblika. Euklid (444-349) je napisao niz radova iz geometrije, astronornije i optike. Demokrit (460-370) iz Abdere, Leukipov ucenik, uvodijasno pojam atoma. Atomi (aternnein - ono sto se ne moze rasjeei) nepromjenljive su cestice koje se stalno gibaju u praznom prostoru, grupiraju se i oblikuju tijela. "Stvarni su samo atomi i prazan prostor" - ucili su ti filozofi. Leukip i Demokrit su napisali dosta spisa i djela, ali se ona nisu sacuvala, jer su ih protivnici njihova ucenja unistavali. Platon (427-347) je najeminentniji predstavnik idealistickih nazora u grckoj filozofiji. On uci da je svijet izgraden po savrsenoj bozanskoj zamisli. Nebeska tijela su loptasta, gibaju se po koncentricnim krugovima, a iznad svega je sfera bogova koji upravljaju svijetom. On odrice primarnost tvari, a kao temelj svega uzima ideje. Aristotel (384-322) je jedan od najznacajnijih filozofa antike. Stalno se koleba izmedu materijalizma i idealizma. Kad priznaje objektivnost prirode, vjecnost i neunistivost tvari i njezinog gibanja kao temelj svakog postojanja, promjena i spoznaje, onje materijalist. Medutim, kad karakterizira tvar uopee kao sadriaj prirode i stvari, odrice joj primarnost i realnost sve dok ona ne poprirni neki odredeni "urodeni oblik", ili kad trazi svrhovitost gibanja i kad ga potcinjava volji "nepokretnog pokretaca", duse svijeta, zapravo boga, on je na pozicijama idealizma. On nastoji skupiti sve grane dotadasnjih znanosti u jedinstven sustav znanosti, ali svuda na prvo mjesto istice filozofuu. Pored cetiri osnovna elementa zemaljskog svijeta - vatre, zraka, vode i zemlje, uvodi i peti element - eter, neku "nebesku savrseniju tvar", od koje je sagradeno nebo i zvijezde, po volji "prvog pokretaca". Promjene koje su nastupile poslije zauzimanja Grcke od strane Aleksandra Makedonskog dovele su do zastoja znanosti i kulture na tlu Grcke i do premjestanja centra znanosti u Aleksandriju, gdje su ucili i radili tadasnji poznati znanstvenici: Euklid, Arhimed, Apolonije, Aristrah, Heron, Ptolomej itd. To zariste znanosti ostat ee i kad Rimljani pokore Egipat, sve do pojave krseanstva. Aristrah (31 0-230) je prvi pokrenuo ideju o heliocentricnom sustavu. Sastavio je katalog od preko 1000 zvijezda i odredio im raspored. r~-

~·:,a -b

c=ii-b

c

jj

Skalarni proizvod dva vektora a i b je skalar c i pise se:

c =a- b

mnozenje

-- --a·b=O - -a .l -b

vrijedi

zakon

komutacije

(a· b = b ·a). Skalami proizvod dva okomita vektora jednak je nuli.

Vektorski proizvod dva vektora je vektor i pise se npr. ~ =

Proizvod vektora ~ i skalara n daje vektor ciji je intenzitet jednak intenzitetu vektora a pornnozenim san, smjera istog ako je n > 0 iii suprotnog za n < 0.

bx ~. lntenzitet vektora ~ jednak bi

je brojnoj vrijednosti povrsine paralelograma cije su susjedne stranice odredene vektorima

~, koji su paralelnim pomicanjem dovedeni na zajednicki pocetak. Vektor ~ je normalan na

- -

-

ravan koju cine vektori b i c. Smjer vektora a je odreden pravilom desnog vijka: ako vektor

-

-

Rastavljanje vektora na komponente. Pri rjesavanju nekih zadataka potrebno je rastavljanje

b rotiramo prerna c najkraCim putem u smjeru obrtanja vijka, pravac napredovanja vijka je

jednog vektora

smjer vektora a .

-

-

-a

- - na dva koji leze na zadanim pravcima, ali tako da vrijedi a= a1 + a2. -

Vektori a 1 i a 2zovu se komponente vektora a . ~

a=va,+ar

y

-

a

\

bxc

t

a

=jbxcj

a=bcj_ =bj_c

-~--,:lF~

iiy

\\

cxb

X

Jedinicni vektor (ort) je vektor Ciji je intenzitet jednak jedinici. Jedinicnim vektorom se najcesce definira smjer u prostoru. Svaki jedinicni vektor relacijom:

u smjeru vektora

~

definira se

=!!..a .

Duljine komponenata vektora na koje je rastavljen dati vektor, predstavljaju duljine projekcije vektora na osi ciji su jedinicni vektori u pravcima nosaca vektora komponenti. Znaci, duljina projekcije vektora na neki drugi vektor je skalar, cija vrijednost zavisi od kuta koji zaklapa vektor s osom vektora na koju se projicira. ah =a·cos30° b Projekcija zbroja (razlike) vise vektora na neku os jednaka je zbroju (razlici) projekcija tih vektora na tu os. (a±b);=a;±b; Projekcija vektora pornnozenog s nekim skalarom na zadanu os jednaka je proizvodu skalara i projekcije vektora na tu os. (n·a); = n·a;

k·,

r~~Ii~(i>. :

~o

~o

~

'

Skalarni i vektorski proizvod. Fizicke velicine koje se opisuju vektorima zahtijevaju uvodenje operacije vektorskog mnozenja, koje moze biti skalamo i vektorsko. Skalamo mnozenje dva vektora daje skalar.

Tenzori su poopeenje vektora i odredeni su s tri vektora, npr. tenzor napona, tenzor deformacije, tenzor inercije. U mnogim oblastima fizike, naroCito u mehanici neprekidnih sredina, elektrodinamici i optici kristala, cesto je potrebno svakom pravcu (svakom vektoru) u jednoj odredenoj tocki prostora pridfliZiti neki vektor koji u opcem slucaju nije kolinearan s tim pravcem. Kao primjer moze se navesti Ohm-ov zakon, koji u uobicajenom obliku glasi: j=a·E

j- gustoca struje, E-elektricno polje, cr-elektricna provodnost date materijalne sredine. Ako je ta sredina izotropna (jednakih fizickih svojstava), vektori j i E su kolineami, tako da iz prethodne relacije slijedi:

-j 1 =a·£1, - -j 2 =a·£2, - -j

-

3

=a·EJ

Kao jos jedan prirnjer, moze se promatrati ponasanje broda koji plovi kad se na njega djeluje silom. Sila je vektor, a brod ce dobiti ubrzanje kao posljedicu djelovanja sile, koja je takoder vektor. Pravac vektora ubrzanja ne mora biti isti kao i pravac djelovanja sile, zbog oblika trupa broda. Medutim, odnos izmedu sile i ubrzanja je linearan, i takva relacija se opisuje tenzorom tipa (1,1), sto znaci da se vektor transformira u drugi vektor. Tenzor se moze predstaviti matricom, koja, kad se pomnozi s vektorom, daje drugi vektor kao rezultat. Bas

'. ·,

l~ ::1:

23

22

mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

mr. Zcljko Stapic: FIZIKA 1

kao sto se brojevi kojimaje vektor predstavljen mijenjaju kad se promijeni koordinatni sustav, i brojevi u matrici koja predstavlja tenzor takoder se mijenjaju kad se promijeni koordinatni sustav.

a Vektor

a;

Greske pri mjerenju Fizikalne velicine odreduju po pravilu neko svojstvo tvari. Npr. indeks lorna svjetlosti karakterizira svojstvo svjetlosti da mijenja brzinu pri prijelazu iz jedne u drugu sredinu. Izmjeriti neku velicinu znaci usporediti je s istovrsnom velicinom koja je odabrana za mjernu jedinicu. Ako je X - mjerena velicina, n - brojna vrijednost mjerene velicine, A - jedinica mjere, rezultat mjerenja se pise: X=n·A,

npr. duljina ueionice a= 8 m

Mjerenja fizikalnih velicina mogu biti direktna (neposredna) i indirektna (posredna). 2

Dvodimenzionalna matrica 1aii

3

N-dimenzionalna matrica

aijk

Opce upute pri rjesavanju zadataka Rjesavanje zadataka najbolji je nacin za provjeru razumijevanja pojmova i pojava u fizici, kao i biti fizickih zakona. Zakoni i fonnule se lakse pamte ako se sto vise rabe, a to se postize rjesavanjem sto veceg broja zadataka. Pri izradi zadataka treba koristiti slijedece opce upute: procitati tekst zadatka i shvatiti njegov smisao napisati date podatke i oznaeiti velicine koje se traze izrazitijedinice u Sl-sustavu, ukoliko je to potrebno skicirati sliku (dcieCi se pravila da se svaki zadatak u fizici moze prikazati slikom) ina njoj oznaciti sve velicine koje su dane i koje se traze napisati fonnule Gednadzbe) cije rjesavanje vodi pronalasku rezultata, vodeci racuna pri matematickim operacijama o broju znacajnih cifara provjeriti dobivene rezultate.

Direktna mjerenja su ona kod kojih se rezultat dobije iz pokusnih podataka nekoliko mjerenja jedne te iste velicine. Npr. mjerenje duljine pomocu ravnala, nonijusa, mikrometra, iii mjerenje temperature pomocu tennometra, mjerenje vremena pomocu sata, kronometra, itd. Indirektna mjerenja su ona kod kojih se rezultat dobije iz pokusnih podataka direktnih mjerenja nekoliko razlicitih velicina koje su sa mjerenom velicinom povezane preko neke funkcionalne ovisnosti. 2·s Npr: a= - 2t Nijedno mjerenje nije apsolutno tocno zbog nesavrsenosti mjernih instrumenata, nasih osjetila, kao i vanjskih utjecaja. Mjerimo li neku velieinu nekoliko puta istim instrumentom i na isti naCin, dobiveni rezultati ipak ce se razlikovati zbog neizbje2nih pogresaka pri mjerenju. Postoje tri vrste gresaka: sustavne, slucajne i grube. Sustavne gre1lke su one koje se javljaju obicno zbog istog uzroka, koji je najcesce unaprijed poznat. Obicno kod vise mjerenja sustavna greska ima istu vrijednost, pa se moze proracunati i otkloniti.Npr. podjela na mjernoj skali nije jednaka, kapilara tennometra ima na raznim dijelovima razlicit promjer, kazaljka instrumenta nije na nuli kad instrument nije ukljucen itd. U vecini slucajeva ove greske se mogu otkloniti. Slucajne greske nastaju uslijed velikog broja razlicitih uzroka koji nisu unaprijed poznati. Takve greske se mogu svesti na minimum, ali se u potpunosti ne mogu izbjeci. To su greske koje donosi samo mjerenje. Nastaju zbog nesavrsenosti uredaja i nasih osjetila, a i zbog neprekidnog djelovanja vanjskih utjecaja (promjene temperature, tlaka, vlaznosti itd) koje ne mozemo predvidjeti. Grube grcskc (promasaji) nastaju uslijed pogresnih mjerenja, nemarnog ocitavanja, nepravilno ukljucenog instrumenta, loseg zapisivanJa rezultata. Tako bi, na primjer, gruba greska hila kad bismo procitali na tennometru 20,6 C, umjesto 26 °C, iii ako bismo zapisali 52,4 g umjesto 5,24 g itd. - lzracunavanjc slucajnih grcsaka (dircktna mjercnja) Mjerenjem neke velicine ne mozemo ocekivati da cemo dobiti izravno nJezmu pravu vrijednost. Pretpostavit cemo da smo pri nasim mjerenjima uklonili sve sustavne i grube greske i upoznali nacin kako, vodeCi racuna o slucajnim greskama, odrediti najvjerojatniju vrijednost mjerne velicine. Ti se postupci zovu racun gre§aka, a osnivaju se na racunu vjerovatnoce. Imaju stoga punu vrijednost samo pri velikom broju mjerenja.

24

25

:-!

'11

mr. Zeljko

mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

S~pic: FIZIKA I

Neka su podaei u mjerenju neke velicine:

Velicina b.= 3cr zove se najveca moguea greska. Prakticno, skoro sve grcike mjerenja (99,7 %) nalaze se u granieama ± 3cr. Nakon prve obrade podataka, podaci cijaje apsolutna greska veca od 3cr odbaeuju se, a nakon toga se vrsi druga obrada podataka. Problem odredivanja slucajne greske rijesio je Gauss. Njegova teorija odlicno odgovara pokusnim rezultatima. Osnovne postavke njegove teorije su: greske jednake po apsolutnoj vrijednosti, a suprotnog znaka jednako su vjerojatne ukoliko je veca apsolutna vrijednost greske, utoliko je ona manje vjerojatna. Vjerojatnost nekog dogadaja definira se kao odnos broja povo!jnih slucajeva (n) i broja mogucih slucajeva (N). . n p=N Npr. neka u kutiji ima I 0 kugliea jednake veliCine i tezine od kojih su 2 bijele, a ostale ervene. Vjerojatnost da se nasumiee izvuce bijela kugliea je 2/10, ada se izvuce crvena je 8/10. Siguran dogadaj je onaj cija je vjerojatnost jednaka jediniei. Vjerojatnost dogadaja koji nije moguc jest nula.

al, az, a3 ............. an.

Srednja vrijednost mjerene velicine (~. aritmeticka sredina) je najblifu njezinoj pravoj vrijednosti. Oznacava se a iii asr.

a=al+a2+a3+ .......a. n n- broj mjerenja (potrebno je izvcliti najmanje tri mjerenja) Apsolutna greska je odstupanje pojedinog mjerenja od tocne vrijednosti. Kako tocnu vrijednost mjerene velicine ne znamo, uzimamo srednju vrijednost (a), pa apsolutne greske iznose: b.a1 =

~~-a 1 j,

b.az =

ja-a j, .... 2

b.an =

ja-a.j

b.al + b.a2 + ...b.a " n Rezultate mjerenja pisemo u obliku: a= a.,± boa .

•

.

SrednJa apsolutna greskaje: boa=

Primjer 1: Pomocu mikrometarskog vijka izmjeren je promjer ziee d = 2,84 mm. Kolika najveca greska moze biti pri ovom mjerenju, ako je preeiznost upotrijebljenog instrumenta 0,01 mm i kolika je relativna greska? Rjesenje: Maksimalna apsolutna greskajednakaje polovini preeiznosti instrumenta, tj. b.d = 0,005 mm. Znaci, rezultat se moze pisati d = ( 2,84 ± 0,005 ) mm. Relativna greska mjerenjaje E = b.d/d · 100% = 1,76%

Relativna greska mjerenja je odnos srednje apsolutne greske i srednje vrijednosti mjerene ·v·

boa

vel 1cme. E = -=a

-boa E-

Ona je neimenovan broj i obicno se izra.Zava u postoeima:

·100%

a

U teoriji gresaka smatra se da je maksimalna apsolutna greska mjerenja nekim instrumentom jednaka polovini vrijednosti njegovog najmanjeg razdjela, tj. polovini njegove preeiznosti. Ako se npr. duljina mjeri ravnalom s milimetarskom podjelom, ondaje maksimalna apsolutna

Primjer 2: Izvr8ena su cetiri mjerenja neke duljine: 11 = 65,2 em, b = 65, I em, b = 64,8 em, ~ = 65,0 em. Izracunaj: srednju vrijednost, najvecu i najmanju gresku mjerenja, relativnu gresku, maksima1nu relativnu gresku. Rjesenje: Srednja vrijednost moze imati samo onoliko znacajnih brojki koliko imaju i pojedini rezultati mjerenja, pa je lsr = 65,025 "' 65,0 em Najveca greska mjerenja je pri prvom i trecem mjerenju b.lm = 0,2 em, a najmanja pri cetvrtom mjerenju. Relativna grcika E ~ 0, 19 % Maksimalna relativna greska Em= 0,31 %

greska mjerenja 0,5 mm. Maksimalna apsolutna greska b.am je apsolutna vrijednost najveceg odstupanja boa od srednje vrijednosti a . Znaci, prava vrijednost (a) nalazi se izmedu vrijednosti a+ b.am i a- b.am. Maksimalna relativna greska je omjer izmedu maksimalne apsolutne greske i srednje vrijednosti svih mjerenja, a moze se izraziti i postotkom:

b.am &m=-;-,

) &m= (boa ~m·lOO.%

Interval unutar kojeg se nalazi stvarna vrijednost bolje je odredena pomocu srednje kvadratne greske.

Primjer 3: 1zvr8ili smo pet mjerenja duljine nekog predmeta i dobili smo vrijednosti: !1 = 20,10 em; h = 20,12 em; h = 20,13 em;~= 20,14 em; 15 = 20,ll em;. Izracunaj relativnu gresku mjerenja.

Srednja kvadratna greska (standardna devijacija) pojedinih mjerenja je:

·c t

L (]" =" j"{':l ..

w::J'.

x-x;

;=I

n-1

"'~ 0.6

Gaussova (norma Ina) raspodjela

0.4 X

Histogram frekveneija

I

1

l

0.2

3

1 -·.-·=- ' 4

Srednja vrijednost mjerene velicine je: lsr = 20,12 em Apsolutne greske pojedinih mjerenja su: Lll 1 = 120,12-20,10 I= 0,02 em bob= l20,12- 20,12 I= 0,00 em Lll3 = 120,12-20,13 1=0,01 em b.~= 120,12-20,14 I= 0,02 em Lll 5 = !20,12- 20,11 0,01 em

I=

5

27 ?h

mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

c±~c= (a±~a)(b±M).

Srednja apsolutna greska mjerenja: ~I = 0,01 em Rezultat mjerenja pisemo u ob1iku: 1 = ( 20,12 ± 0,01 ) em Relativna greska je: e =~VI= 0,01/20,12 = 0,00049"" 0,0005 ,

e=O,OS%

Utjecaj grcsaka izmjcrcnih vclicina na izvedene vclicine (grcske indirektnih mjercnja) Pri mnogim mjerenjima nece nam biti dovoljno da neposredno izmjerimo jednu iii vise velicina. Cesto cemo rezultat izracunati tek pomocu izmjerenih velicina. Ze1imo li pomocu mjerenja odrediti, na primjer, otpor R neke ziee du1jine 1, presjeka S i otpomosti p, izmjerit cemo du1jinu l i promjer d zice te odrediti otpor iz izraza:

l R = p·-= p·

s

(d)-

c±~c= (a±~a)(b±M) b 2 -M 2

(b±~b)(b±~b)

Kad zanemarimo male velicine drugog reda, tj. ~aMi M A

c+u.c = -

_a_b_±_a_~_b_±_b_~_a

~c= a~b+Ma

b2

b2

~c a~b+Ma b ~a ~b &=-= ·e= - + c b2 a a b d) Ako je c = a 2 , za apsolutnu gresku dobivamo iz tocke b), kad stavimo b =a: ~c

=

2a~a,

~a

a za relativnu:

&=2-. a

2 ·1(

e) Kadje c =

.

are 1atlvna

Pitamo se sada kako greske pri mjerenju duljine l i promjera d utjecu na velicinu otpora R? Pitamo se opcenito kako greske izmjerenih ve1iCina utjecu na rezultate sto ih dobivamo nekim racunskim postupkom?

dobivamo:

,

Za relativnu gresku dobivamo:

_I_

2

2

..Ja, dobivamo zbog ..Ja = a &

112

,

apsolutna greska M =.!.. ~:-, 2 -va

1 ~a 2 a

= --.

Radi preglednosti prezentirana je tabliea za apso1utne i relativne greske, koje se racunaju pomocu izmjerenih veliCina. Osim onih koji su izvedeni, dati sujos neki izrazi.

Promotrimo to redom za neke jednostavne racunske operacije. a) Neka sua i b velicine koje mjerimo, a e velicina koju treba izracunati, te daje: c = a+b. Treba sada odrediti apso1utnu gresku ve1icine c, tj. ~c, kad poznajemo greske mjerenja ~a i

Racunske operaeije a+b

Apsolutna greska

~b . Mozemo dakle pisati: c±M = (a±~a)+(b±~b).

a-b

~a+~b

a+b+e

~a+~b+~e

~a+~b+~c

n·a

n·~a

~a

a·b

~ab+Mb

a·b·c

~abc

c±~c

~a+~b

--a+b

M+~b

---

=a +b±~a+(±~b)

a -b

c±~c = c±(~a +~b),

c =a -b , dobili daje Relativna greska bit ce onda za c = a+ b :

Ana1ogno bismo za s1ucaj: ~c

~a+~b

&=-=---, c c

odnosnoza c=a-b:

±~c=±(~a+M).

a+b+c -

~a+M

&=---.

c

Apsolutnu gresku odredit cemo ovako:

a

c ± M =(a± ~a)(b ±~b). c ± ~c = ab ± ~ab ±aM±~aM .

c± ~c = ab±(aM+Ma),

Relativna greska je:

Odredimo najprije apso1utnu gresku:

~a

a b

Ma+a~b

3!

2a~a

a"

n·a"- 1 ~a

.,Ja

!.. l.1a

b2

2 a

Va c±~c=a±~a

ab~c

b

~a

M ~c -+-.+-

b

c

M ~b -+-.

a

b

2~a

a

~b

&=-=-+-. c a b

&=-=---c ab

c) Nekaje c=!!... b

~c = a~b + b~a.

~c

a~b+Ma

+ Mbe +

a

Produkt ~a~b mozemo zanemariti jer su vee ~a i ~b vr1o malene vrijednosti u odnosu na a i b. Njihov je produkt onda toliko mala ve1icina da neznatno utjece na ukupnu vrijednost

~c

a

M ~b -+-.

b) Pretpostavimo sada da je: c = a · b

desne strane. Tako je:

Relativna greska ( e ) M+M

I !1a

3-v;;

~a

/l-

a I

~a

-2 a I

~a

-3 a

b±~b

29 28

r-nr mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

0

Zadaci: Ako je racunska operacija iz koje treba odrediti gresku kombinacija operacija navedenih u tab1ici, gresku cemo izracunati njihovom postepenom primjenom. Treba, na primjer, kod jedno1ikog ubrzanog gibanja uz pocetnu brzinu v0 odrediti gresku za put s:

at 2 s=v 0 t+-,

I

1 ako smo }mjeri1i v0• t i a s greskom /::;. vo, /::;. t i /::;.a,

)

. at 2 s=i(v 0 t)+/::;.(-) i 2 / at 2 1 I !::;.(-)=-/::;.at 2 +-a/::;.(t 2 ), 2 2 2 /

/::;.(v 0 t)=/::;.v 0 t+v 0 /::;.t 2. Izrazi pomocu potencije broja 10 zadane vrijednosti: a) napon 4 mV; b) jacina el. struje 3 ilA; c) va1na du1jina 550 nm; d) kapacitet kondenzatora 7 pF; e) volumen 2 d1; f) duljina 0,1 em; g) vo1umen 5 h1; h) snaga 90 kW; i) rad 7,9 MJ; j) top1ina 0,4 GJ. a) 4-10"3 V, b) 3-10-6 A, c) 5,5-10"7 m, d) 7-10- 12 F, e) 2-10.. /ml, 3 g) 0,5 m , h) 9-104 w, i) 7,9·10 6 J, j) 4-10 8 J f) 10"3 m,

2

2 at I !::;.(-)=-/::;.at +atM. 2 2

l::;.s=/::;.v 0 t+Mv 0 +~/::;.at 2 +atM.

; Takodobivamodaje:

I. lzrazi pomocu potencije broja I 0, u osnovnoj SI jedinici: a) srednju udaljenost Zemlja Mjesec koja iznosi 384000 km; b) srednju udaljenost Zemlja-Sunce koja iznosi 150 milijuna ki1ometara; c) 1 dan; d) temperaturu topljenja zlata koja iznosi 2677°C; e) 4,5 tona; f) jacinu struje od 0,2 rnA; g) svjetlosnu jacinu od 500 cd; h) 0,01 mol. a) 3,84-108 m, b)1,5·10 11 m, c)8,64·104 s, d)2,677·103 K, e) 4,5·10 3 kg, t)2-10-4 A, g) 5-10 2 cd, h)10" 2 mol

Primjer 4: Vazemo vodu na vagi. Odredi1i smo masu prazne posude m P = (22,3 ± 0,2) g i masu posude zajedno s vodom m = (35,4 ± 0,1) g. Kolika je masa vode mv i kolika je re1ativna greska?

mv == m -ntp

3. Izrazi u Sl jedinicama: a) 4 cm f) 1,2 km/min; g) 106 cm/h;

2

;

3

b) 2 mm

;

3

c) 2,2 g I cm

;

d) 1 kg/dm\ e) 54 kmlh; I

a) 4-10-4 m 2, b) 2-10"9 m\ ~2200 kg/m 3 , d) 1000 kg/m3, e) 15 m/s, f) 20 m/s, g) 2,78 m/s '-..._

m,. = 35,4g- 22,3g = 13,1g

4. Pazeci na pouzdana mjesta izvrsi ove operacije; a) zbroji brojeve 0,46+3,1+0,146, b) oduzmi 0,28 kg od 160 kg, c) pomnozi 3,12·5,094, d) podije1i 56,987:3,61, e) kvadriraj---4,252, f) izvadi korijen iz 73. ·--a) 3,7 b) 160 kg, c) 15,89 d) 15,8 e) 18,1 f) 8,5

/::;.m,. =/::;.m+/::;.mp /::;.m,. = 0,1g + 0,2g = 0,3g

m\' =mv ±l!:.mv

5. Zaokruzi na dva decimalna mjesta: a) 4,644; b) 1,376; c) 3,275; d) 3,265; e) 0,006 a) 4,64 b) 1,38 c) 3,28 d) 3,26 e) O,ot

m,. = (13,1 ± 0,3)g &

e=2 °/o

= /::;.m,. = 0,3g = 0 02 m, 13,1g '

Primjer 5: Ko1iki je otpor :lice od nik1a ako je ona dugacka 1 = (58,2 ± 0,2) em, a debe1a d =(1,1 0 ± 0,02) mm? Ko1ike su greske podataka za otpor? Otpornost za nika1 p=7,0-I0-6n em. lz tab1ice se moze uoCiti da je izraz za izracunavanje re1ativne greske kvocijenta jednostavniji nego izraz za apsolutnu gresku. Zato je bolje da se najprije odredi relativna greska, a onda iz I l 4 I R=p-=p--=-p-. 2

n(%J

n

d

2

5m ~-:~~.

;£1

= /::;.R = /::;.[ + M = /::;.[ + 2dM = /::;.[ + 2M = 0,2cm + 2 0,02mm = 0 053 R l d2 l d2 l d 58,2cm I,IOmm '

/::;.R = 0,053

/::;. R = 0,053 R

R

R=~ _!_=~·70·10- 6 ncm· n p d2

3,14

'

7. Izvrseno je pet mjerenja mase nekog tije1a i dobiveni su sljedeci podaci: m 1= 10,25 g, m2 = 10,27 g, m3 = 10,24 g, 114 = 10,26 g, m5 = 10,28 g. Izracunaj re1ativnu gresku. E = 1,1% 8. Ko1ika ce biti maksima1na apso1utna greska mjerenja ako na teretnoj vagi pise ±I%, kada se vaze kamion od 5 tona? /::;.m =50 kg

nje apso1utna.

S

6. Ko1iki je najmanji razdje1 mjeri1a, ako je duljina predmeta iskazana na dva nacina: 15,0 mm i 15,00 mm 0,1 mm i 0,01 mm

58 2 6 4 • cm =43-10 ·I0- n (0,11cm)' '

M = o,os3-4,3 -10-zn = o,13 -1o- 2 n

R = 4,3 -1o-ln

9. Ko1ika je te:lina kamiona ako je maksima1na apso1utna greska mjerenja 25 kg, a na vagi pise±1%? G=24525 N 10. Trgovac je izvagao 2 kg voca s greskom od 40 g, a zlatar 20 g zlata sa greskom 0,5 g. Koje mjerenje je tocnije? Et = 2 °/o, Ez = 2,5 °/o

R = (4,3± o,Jpo-zn.

31

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I mr. Zcljko Stapic: FIZIKA I

II. Geometar je izmjerio 5 km nekog puta s greskom od 20 m, a strojar je izmjerio osovinu precnika 100 mm sa greskom od 0,2 mm. Je li strojar precizniji? DA, Eg = 0,4 %, e, = 0,2 % 12. Dobiveni su podaci mjerenja debljine kvadratne plocice od lima: d 1 = 3,22 mm; d2 = 3,25 mm; d3 = 3,24 mm; t /:,./

~ 0.

'),(;

37

~~'

I mr. Zeljko Stapic: F!ZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

Promjenljivo pravocrtno gibanje a-t dijagram a

Gibanje kod kojeg se brzina mijenja tijekom vremena naziva se promjenljivo gibanje. Za opis promjenljivog gibanja uvodi se velicina koja se zove ubrzanje iii akceleracija. Ubrzanje je odnos promjene brzine i vremena, tijekom koje je brzina promijenjena. Oznacava se sa a.

m] (acceleratJo,. lat.= ubrzanJe).

!:l.v [ a=!:l.t 2s

(

s-t dijagram

s

0 Stika 2.12. Grafikoni promjenljivog ubrzanog pravocrtnog gibanja

!:l.vn a ).{r =-l!lt

t

v

11

c

v-t dijagram

a = konstantno

Ova relacija predstavlja srednje ubrzanje. Ako bi vremenski interval tijekom kojeg se promijenila brzina bio beskonacno malen, onda bi to bilo trenutno ubrzanje. Ako se iznos brzine jednoliko mijenja, takvo gibanje se zove jednoliko promjenljivo gibanje. Takvo gibanje moze biti jednoliko ubrzano (kad se brzina povecava) i jednoliko usporeno (kad se brzina smanjuje). Vektor brzine moze tijekom gibanja mijenjati intenzitet, pravac i smjer. Zbog toga se ubrzanje moze razloziti na dvije komponente: tangencijalnu- koju karakterizira promjena intenziteta brzine i nonnalnu - koju karakterizira promjena pravca brzine. 6v, (a1 ).~r =fl.t- '

v

v-t dijagram

c

'

A

"·~~~t~tlh ~

v~v 0 +at

Vo

0

Stika 2.11. Tangencijalno i normalno ubrzanje Kada At

~

Slika 2.13. Grafikon promjenljivog pravocrtnog gibanja s pocetnom brzinom

0 tocke A i 8 su vrlo blizu pa at ima pravac brzine v 1 , tj. tangente na putanju u

tocki A. Kut Su J

1

•

M].J

v, = sit, = 8,333 rn/s, v2 = s/t2 = 8 rn/s, V3 = s/t3 = 7,692 mls

4

~1.2

66. Tije1o se giba po pravacrtnoj putanji sta1nom brzinom i za 4 h prijede izvjesnu uda1jenost. Ako je brzina tije1a veca za 5 km/h, onda mu je potrebno 3 h manje da bi jednakim gibanjem pres1o isti put. Ko1ike su brzine v 1 i v 2? Kolikaje uda1jenost? s=v 1 · t S = (VI + 5) · (t- 3)

St = 7,5 m,

v, = 1,67 km!h, Vz = 6,67 kmlh, s = 6,68 km

t 1 = s 1/v 1 = 40 s,

sz = 45 m, = 35 m,

S4

0

5

JO

.to

50

60

{

s,

=

s2

7,7 m S3

V 5r

= 8 m/s

ubrzanje tije1a smatrajuCi ga kanstantnim. a= (v- vo)/t, s = vo · t + afl/2 v=5·v , 0

a =2,33 m/s

2

\.... ,

69. Jedan autamobi1 cija je sta1na brzina v, = 70 krn!h, v, v, I 2 : : ~ pretjece drugi automobi1 koji se giba sta1nom brzinom v 2 = 60 km/h. Du1jine automobi1a su po 1 = 4 m. Koliko je vremena potrebno za pretjecanje i ko1iki put ce prijeci automobil koji pretjece, ako je uda1jenost izmedu automobi1a prije i pas1ije pretjecanja d = 20 m? s 1=v1·t

t=17,3s,

v, =4 m/s

75. Ptica leti brzinom 0,8 m/s i preleti 25 m prema istoku, 15 m prerna jugu, 10 m prema zapadu, 5 m prema sjeveru. Odredi: a) ko1ika je njezina udaljenost od mjesta polijetanja, b) kolika vremena traje let od povratka na palazno mjesto (istim putem), c) koliko vremena hi trajalo prelijetanje istog dijela puta s ubrzanjem 0,2 m/s 2? a)

~d =" ~d

2-s = v, · t1

(s)

68. Tije1a prijede 63 m za 6 sekundi, pri cemu se njegova brzina povecava pet puta. Odredi

s=2·1+2·d, t=s/!:w,

s- v3 · t,

t3 = s3/v3 = 20 S,

t2 = sz/v2 = 30 s,

s = v. t = 1,8 km, 10

.Y~.

,.

~t.J =

74. Uceniku je patrebno 30 minuta da dode ad kuce do skate, gibajuci se prasjecnom brzinam 3,6 kmlh. U skoli je ustanovio 15 minuta prije pocetka sata da je zaboravio knjigu. Kojam brzinom treba otici po knjigu, ada ne zakasni?

S6 =10m. Suk = l: S; = 157,5 m Vsr = Sukftuk = 2,62 m/s

-.:-

v2 · t, - v3 · t 1 = 3,7 m,

73. Biciklist je presaa put duljine 30 km brzinom 15 kmlh, a 54 km brzinam 18 kmlh. a) Ko1iko je vremena praveo na tom putu? b) Odredi srednju brzinu tog gibanja. luk = 5 h , Vsr = 16,8 km/h

ss =20m,

;~.1

~2,3 =

72. Jedan trkac je pretrcao put duljine 720 m. Polovinu puta je trcao brzinom 9 m/s, trecinu puta brzinom 8 m/s, a preastali dio puta 6 m/s. Odredi srednju brzinu na tom putu.

67. Danje dijagram brzine u funkciji vremena. Ko1iki put ce prijeci tije1a za 60 s i ko1ika mu je srednja brzina?

,s 3 = 40 m,

= s- v2 · t, = 4 m,

s 1 =336m

70. Teretni v1ak se giba jedno1iko pravocrtno brzinam 36 km/h. Gibajuci se istim ko1osijekam, za njim naide drugi v1ak brzinam 30 rn/s. Strojovada drugog v1aka pacne kaciti u trenutku kad je rastajanje medu v1akavima 200 m. Kocenje izaziva usparenje 1,5 rn/s2 • Hoce 1i se v1akovi sudariti (ina kojem mjestu, aka ce se to desiti)? Za drugi v1ak vrijedi re1acija (da bi se zaustavio, Vk = 0): vk = v - a· t ~ t = 20 s (vrijeme zaustavljanja drugog v1aka). 2 2 Za to vrijeme once prijeCi put: s2 = v2 · t- at /2 =300m Za isto vrijeme prvi (teretni) v1ak ce prijeci put: s, = v, · t =200m Znaci, nece se sudariti jer ce medu njima biti uda1jenost: d 1 = d + s,- sz = 100m d 1 =100m

2 2 2 s = (s,- s3) + (s2- S4) , s = 18,03 m

b) tuk = 2 (s1 +

Sz

c) s = at2/2 ,

+ S3 + S4)/v, tuk = 137,5 s

.... ....

s,

.... ....

s ........

t=23,5 s

.... ....

s2

....

S4

SJ

76. Putnicki vlak cija je brzina 80 kmJh posao je iz mjesta A u B. Jedan sat kasnije u istom pravcu posao je brzi vlak gibajuCi se prosjecnom brzinam 100 km/h. a) Nakon koliko vremena je brzi vlak stigao putnicki ? b) Na kojoj udaljenosti od mjcsta A je brzi vlak stigao putnicki ? t 1 = 5 h, t 2 = 4 h, s = 400 km 77. Srednja brzina gibanja automobila je 10 m/s. Kojom se brzinom gibao automabil prvih 5 s, aka je preostalih I 5 s presao put od 120 m? tuk = t1 + t2 = 20 s,

s, + s2 =

vsr . tuk

s 1 =80 m

v,

=

s,lt,

=

16 m/s

49

Jl'' mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

v 78. Koristeci se grafikonom, izvedi formulu za srednju brzinujednoliko promjenjivog pravocrtnog gibanja. Povrsina ispod crte predstav1ja prijedeni put. Treba izracunati povclinu trapeza:

a+c P=--·h

vk

OB=v0 , AC=v, OA=t

Vo

2

OB+AC -OA

2

s

at=v-vo,

=

S!

+ Sz

A

,._,

'-

i'lo

D 12

t (s)

(rnls2)

l I

3

I I

2

i

2 0

v

v c canst.

-I

I

I

I

I I

I I

2

I i

I

13

0 4

is

I

I

t (s) -2 v=2 m/s

~s=5m

D. Odredi prijedeni put i pomak s dijagrama.

2

3

- j6

14

5

I

-t(s)

I

I

I

E. Napisi jednadibe brzine i puta tijela A i B.

: t-

(0

//r~~

/ ( f ;v,\l \\, )

Obodna brzina valjka jednaka je brzini odmotavanja konopea I v v=-= 1,5 m/s v= r·(i)---t (i)=-=5 rad Is t r

___

v = r · (j) ---t (i) = ~ = 50 rad Is r

"'~(0

•• •••

;t {=15m

IB

-~-

13. Prsten polumjera 5 em postavljen je izmedu dva ravnala koji se gibaju u suprotnim smjerovima brzinom vi= 10 ern!s i v2 = 6 ern/s. Izracunaj period rotaeije prstena.

n·;r (j)-30 (j)=------tn=--=477 7olmin 30 ;r , I T=-=0 126s f =!!___= 7,96 Hz f , 60 8. Vozilo se giba brzinom 54 km/h. Promjer kotaca vozila je 60 em. Izracunaj broj obrtaja u minuti, frekvenciju i period kotaca. n"' 239 olmin, f= 3,98 Hz, T = 0,25 s 9. Odredi period satelita koji kruZi oko Zemlje brzinom 7,73 km/s na visini 330 km. Polumjer Zemlje je 6370 km. v = s/t , Za I obrtaj s = 0 = 2(Rz +h) 7t , t = T

5atefit.

liA

~

'\rv

v = 2(R z +h)·;r ---t T = 5443 s = I h 30 min 42 s

Da bismo odredili period pogodno je smatrati da je donje ravnalo nepokretno, a da se prsten giba srednjom brzinom:

"

T

T

'

=~=1,47·10-3 rad/s n

Obodna brzina na ekvatoru: vc= Rz · co= 465 m/s Na geografskoj sirini 45°: v,= r · co= Rz- eos45° · co= 329 Na polu: vp= 0, jer je r = 0

T

14. Duljina minutne kazaljke sata je R = lm, a satne r = 0,7 m. Izracunaj kutne brzine kazaljki te brzine njihovih vrhova. (j)mi

Kutna brzina Zemlje oko osi: (j) = Z;r = 7, 3 -10-s rad Is

L~

vsr= (vi+v2)12 = 8 crnls s 2r;r v =-=----tT=3 925s

T

10. Izracunaj obodnu (linijsku) brzinu tocke na: a) ekvatoru b) na 45° geografske sirine c) na polu. Smatraj Zemlju loptom cijije polumjer 6370 km.

----;;.

_,..-vi

3600

2;r -S I (i)h=---=14,5·10 rad s 12·3600 vmin =R·(j).,;. =1,74mmls

Min. kazaljka napravi jedan krug za 3600 s, dok satna napravi za 12 sati, tj. 12· 3600 s. Odnos CUmin I COh = 12, ti- velika kazaljka se obme 12 puta, dok se mala obme jedanput.

vh =r·(j)h =0,7-14,5·10-s =1J-imls

v.

15. Na horizontalnoj ravnini nalazi se kalem konea (kao na sliei). Namotani konac se vuce brzinom v = 0,4 rnls. Izracunaj brzinu osi kalema u oba slucaja (kad se namotani konae vuce s donje strane, a drugi put s gomje strane). Polumjer kalema je R = 6 em, a namota r = 4 em.

Prvi slufaj

67

nrr.

\

~

mr. Ze1jko Stapic: FIZIKA 1

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Brzina i smjer osi ka1ema (0) zavise od smjera rotacije (odmotavanja). Periodi za R i r su jednaki. Za vrijeme T os ka1ema prijede put sk= 2Rn:, pri cemu se odmota konac Sodm = 2m. Prema tome, brzina osi kalema je: vk= 2Rn:/T, dok je brzina odmotavanja konca Vodm = 2rn:IT. Vodm = vk- v. I. s1ucaj: Brzina koncaje: Vodm = vk- v 21l 0,4 =-(R-r) ~ T = 0,314s T

2

2

OA: w = Olo- a.t, w - WQ = 2 · a.· Za drugi camac: Vzx = 4,15 rnfs m· v- m 1 • v,=(m+Illt) · Vzx -->

20. Koliku brzinu dobije nepokretni camac, koji zajedno s teretom ima masu 500 kg, ako se sa camca ispali granata mase 10 kg u horizontalnom pravcu brzinom 80 m/s? · v= 1,63 m/s 21. Camac mase 100 kg nalazi se na mimom jezeru. U jednom trenutku covjek mase 80 kg pocne se gibati dui camca brzinom 0,5 rnls (u odnosu na obalu). Kolikom brzinom ce se gibati camac? vc= 0,22 m/s

~v = VIx- Vzx = 1,81 m/s ~.,.

13. Iz vagona koji miruje, a nalazi se na horizontalnoj ravnoj pruzi ispali se granata brzinom 800 rnfs pod kutom 30° u odnosu na prugu. Masa granate je I 00 kg dok je ukupna masa vagona 10 tona. Izracunaj brzinu vagona. Impuls granata jednak je impulsu vagona pg= Pv fig ·Vg ·COS!l = (m- fig) ·V

....... v

vcr ' 0

22. Klizac mase 75 kg stoji na ledu i drii u ruci na ramenu kuglu mase 5 kg, koju izbacuje pod kutom 30°, brzinom 10 m/s. Kolikom brzinom i u kom pravcu ce se klizac pokrenuti, ako se zanemari trenje izmedu klizaljki i leda? v =- 0,526 m/s

;ff mg Fa 5@] ~ m

V = 6,9 m/S

14. Tijelo mase 5 kg giba se pravocrtno brzinom 4 rnfs i udari u tijelo mase IS kg koje je mirovalo. Poslije sudara oba tijela krecu se u istom smjeru jednakim brzinama. Odredi zajednicku brzinu. PI+ p2= Puk IDI ·VI+ mz ·vz= (mi + mz) ·Vz

:;::

(v2= 0, jer je tijelo mirovalo)

vz= 1 m/s

15. S visine I m pada kuglica mase 100 g na horizontalnu podlogu i odbije se do visine 60 em. Koliki je impuls kuglica predala podlozi? ~p

=PI+ P2

~p = m ·VI+ m · vz

,

v1 =~2gh 1

m• I!

hl l v2 =..J2gh 2

·~

Vt

~p= m.Ji.g~ + m..J2ghz = 0, 78 kg!!!..s

l I,

•

]ll __ ,_,.

T

Jt>V2

impuls puske. ffil

PI= Pz m1·Vi = mz ·Vz vz= 10 m/s,

24. Na tijelo mase 2 kg koje se giba brzinom 5,5 mfs djeluje stalna sila 10 N u trajanju 2 s u pravcu gibanja Koliku ce brzinu tijelo imati po prestanku djelovanja sile: a) ako sila dje!uje u smjeru gibanja, b) ako sila djeluje u suprotnom smjeru gibanja tijela? a) v = 15,5 m/s, b) v =- 4,5 m/s 25. Po horizontalnoj glatkoj podlozi klizi tijelo i udari u drugo tijelo dva puta manje mase te se nastave dalje gibati zajedno brzinom 10 rnfs. lzracunaj brzinu prvog tijela prije sudara. v 1 = 15 m/s

16. Iz puske cija je masa 4 kg izlijece zrno mase 50 g brzinom 800 rnfs. Izracunaj brzinu i

~W %.@

23. Tijelo mase 0,2 kg giba se stalnom brzinom 0,5 m/s po horizontalnoj kruinoj putanji. lzracunaj promjenu impulsa tijela kada ono prijede cetvrtinu kruine putanje. ~p = 0,14 kgm/s

V1

...a~-~

26. Na horizontalan zeljeznicki trajekt, koji je privezan za obalu pomocu dva jednaka celicna uzeta, naide zeljeznicka kompozicija ukupne mase 280 tona brzinom I 8 km/h. Uslijed kocenja kompozicija se zaustavi presavsi po trajektu 50 m. Izracunaj silu zatezanja u uzetima, smatrajuci daje sila kocenja konstantna na cijelom putu. F=70MN

pz= 40 kg m/s 87

ll'l'i[: ~I ! i l '·I

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1 mr. Zeljko Stapic: FIZIK.A 1 27. Na tijelo mase 5 kg, koje se giba brzinom 6 rn/s djeluje sila 8 N u pravcu gibanja tijela. Izracunaj: a) brzinu tijela poslije 3 s, b) vrijeme za koje ce se tijelo zaustaviti ako bi sila imala sup rotan smjer. a) v = 10,8 m/s, b) t = 3,75 s 28. Loptica mase 1 g giba se 15 rn/s i udara o podlogu pod kutom 30", od koje se elasticno odbija pod istim kutom. lzracunaj impuls dobiven od podloge za vrijeme sudara. Ap = 1,5"10-2 kgrnls

35. Drvena kugla mase I kg lezi u miru na tankoj podlozi. Vertikalno odozdo metak mase 10 g probije podlogu i kuglu prolazeci kroz njen centar, pri cemu kugla odskoci na visinu 20 em. Brzina metka neposredno pred udar u kuglu je 250 rnls. Na koju visinu ce dospjeti metak? H

h 29. Granata koja se giba brzinom 150 rn/s raspada se na dva dijela, cije su mase 6 kg i 14 kg. Brzina veceg dijela je 240 rnls i ima smjer kao i granata. Izracunaj brzinu manjeg dijela. v, =-18 rnls 30. Vagon-platforma mase 4 tone na kome se na1azi covjek mase 80 kg giba se bez trenja po horizonta1nom kolosijeku. U pocetku vagon se giba brzinom v0 • Koliki ce biti porast brzine vagona ako covjek pocne trcati brzinom 6 m/s u suprotnom smjeru i iskoci iz njega? b.v=0,12 m/s 31. Vagon-platforrna mase 4 tone miruje ina njemu stoji 10 ljudi. Masa svakog covjekaje 80 kg. Hoce li vagon dobiti vecu brzinu ako !judi jedan za drugim iskacu brzinom 5 rn/s ili ako bi oni svi potrcali istom brzinom i istovremeno iskoCili iz vagona? Pretpostavi da je vagon na horizontalnom kolosijeku bez trenja. v, = 0,9 rnls, Vz = 0,83 m/s 32. Pet !judi jedan za drugim pretrcavaju duljinu splava jednakom brzinom 3 rn/s i skacu u vodu u horizontalnom pravcu. Splav je na jezeru u stanju mirovanja. Ako se zanemari otpor vode, izracunaj brzinu splava u momentu kada posljednji covjek skoci sa splava. Masa sp1ava je 500 kg, a svaki covjek ima 80 kg. Izracunaj brzinu splava ako bi svi istovremeno skoci1i istom brzinom. v 1 = 1,65 m/s, v2 = 1,33 m/s 33. Mlaz vode istjece iz horizonta1ne cijevi promjera 4 em brzinom 10 rn/s i pod pravim kutom udara o vertikalan zid. Kolikom silom m1az vode dje1uje na zid? Gustoca vode je 1 kg/dm3 . F=l25,6 N 34. Metak koji se giba horizontalno pogada kug1u objesenu 0 laku cvrstu sipku i zaustavlja se u njoj. Masa metka je 1000 puta manja od mase kugle. Odstojanje tocke vjesanja sipke do centra kugle je 1 m. Izracunaj brzinu metka ako se sipka s kug1om us1ijed udara otkloni za 30°.

I Vo

36. Padajuci s visine 2 m loptica rnase 10 g, udari u stnnu ravninu nagiba 45", od koje se odbije u horizontalnom pravcu ne mijenjajuci intenzitet brzine. Izracunaj promjenu impu1sa 1optice pri odbijanju. Ap = 0,09 kgrn!s 37. Iz topa mase 1,2 tone ispali se granata mase 2 kg pod kutom 30" prema horizontu pocetnom brzinom 300 rnls. Izracunaj: a) brzinu trzaja topa, b) srednje usporenje topa ako on poslije trzaja prijede 1 m. a) v = 0,433 mls, b) a = 0,094 m/s2 38. Na zeljeznickom vagonu mase 9 tona nalazi se raketna rampa. Istovremeno se lansiraju dvije rakete, svaka mase 80 kg u horizontalnom pravcu brzinom 900 rnls, koji se poklapa s pravcem tracnica. Koliki ce put prijeci vagon, ako je koeficijent trenja izmedu tracnica i vagona 0,09? s"' 145m 39. Granata se giba brzinom 380 mls i u jednom trenutku se raspadne na

(-\

',

·,

I

Graficki: RA =30N Rs=86 N

/

"t

--,\

;~

~- ~~·;__ I'B

RA =-FA ,

OB =

-o-

cf

RB =-FB

5. Izracunaj sile u tockama dodi:Ak~ao na slici.

RA =-FA RB=-FB

u,= 1""

/

/! F

G FA = - - = 4,62N cos30° Fs = FA· sin30°= 2,31 N

~c

\ \\

"\

\._

.. r.J:}

\ \\

..,

\,

Konac o kojije objesena G Ra kugla napregnutje na istezanje silom FA, dok kugla tocku 8 pritisce silom Fs. U tockama A i 8, po zakonu akcije i reakcije, javijaju se reakcije suprotnog smjera. 6. Izracunaj reakcije oslonaca, kao na slici.

i

p-1>

lA

u

_lON lcm

F---

R:-\·4,,

AB=2m

(~

Graficki: (reakcije pod loge) RA=20N Rs=45 N

~l I,

~f''D + \T )· = 2,136m

~i-1 I I

1. '

AB

cosa=-=0936 ~ a."' 20,5° .... OB ' G RB =--=85,47N cos a RA =G. tg (l = 29,91 N, iii RA = R8 · sino.

;) I

1:

UL =

0,5m I em

20N

. u,.= i. ro.

i' 0

/i I a.!

B

!l ..

G= SON G'

P.,

y k.

lcm Fr=3N, a. 1 =30° F2 = 3 N , a2 = 135° FJ=4N, a.J=180° F4 = 2 N, a.4 = 270° Racunski: Frx = f,. COS 30°= 2,598 N F.b: = F 1 • sin 30° = I 5 N fzx = Fz ·cos 45°= 2,121 N I:Jx = Fz ·sin 45° = 2.121 N Flx = F3 = 4 N fJv=O F4x = 0 F!h:=2N

•t.F~

f,

,~rr-······

.

F~

(45° !A-T . . •. . . r--..- . ~.... F·;: F~

F; ""iii

x

X

.::..

,. F,

v-y

F;

~

Da bi sustav sila bio u ravnotezi, sve sile se moraju sjeci u tocki 0. Racunski: Potrebno je izracunaj kut a; AP = AB · cos45" = 1,41m ,

-J .,1

FRx = Frx- F2x- Flx = -3,523 N .&v=Frv+F,v-F4y= 1,621 N

L§~

p

15m '

/----:

~

2in

UF-_}!!___

\,\

~ -~---.,

~A

··

8. Izracunaj racunski i graficki rezultantu, kao na slici.

F.

IN

iA

P.,.. ~ /·.

Racunski:

U tockama dodira A i 8, . G=3kN po zakonu akcije i reakcije, podloga djeluje silom na kuglu istim intenzitetom, a suprotnim smjerom, pace poligon sila biti (zatvoren) u ravnoteZi. RA i Rs su reakcije pod1oge.

k"

;; -c.

FR =~F)_, + F~. = 3,878N

6

F. Graficki: h= Ur· 3,8cm FR = 3,8 N

AP=P8

PB 2

tga = AP

~ a."' 27°,

R 8 =~=44,89N, cos a

RA=Rs·sina.=20,38N

~~

no

93

IPT

)'. :\

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I /

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

Elasticna sila

9../ Odredi reakcije podloge za tijelo prikazano na slici, .

G = 200 N, a= 60°.

ako su zadani podaci Graficki:

uF =

FA =230N,

Tijelo se deformira pod djelovanjem vanjskih sila, tj. promijeni oblik, sto zavisi od sila koje djeluju, njegovih dimenzija i vrste tvari od koje je gradeno. Od svojstva tvari opet zavisi hoce li tijelo, po prestanku djelovanja vanjskih sila, doci u prvobitno stanje. Cvrsta tijela zbog jakih sila izmedu cestica imaju stalni volumen. Model cvrstog tijela mozemo slikovito prikazati kao kuglice medusobno vezane jakim elasticnim oprugama. Deformacija tijela oznacava promjenu dimenzija i oblika tijela zbog medudjelovanja s nekim drugim tijelom. Ako tijelo, po prestanku djelovanja vanjskih sila, zauzima isti oblik i volumen kao i prije defonnacije, onda takvo tijelo nazivamo e/asticnim. Tijela koja poslije prestanka djelovanja vanjskih sila zaddavaju steceni oblik, tj. koja se ne vracaju u prvobitno stanje nazivamo plasticnim. Elasticnost i plasticnost karakteristike su svih cvrstih tijela. Elasticna tijela su npr. ona od gume, celika, kaucuka, a plasticna od voska, olova itd. Znaci, svojstvo elasticnosti imaju tijela koja se opiru defonnaciji, a svojstvo plasticnosti ona koja joj sene protive.

lOON icm Fs= 300N

10. Tijelo mase 5 kg nalazi se na strmoj ravnini pod kutom 60°. Tijelo je vezano llZetom za teg ciju masu treba izracunati, pod uvjetom da se tijela ne pomicu. Sila u llZetu:

Fu=G2

lz uvjeta ravnoteze vrijedi:

o.

G, = Fux

~

/\'~,

m 1·g · sina = m2 ·g · cosa m2 = mt · tga = 8,66 kg

II. lzracunaj graficki i racunski rezultantu ako je zadano: Ft=4N, F2 = 3 N, F3 =2 N, F4=4 N,

1-------------:rp

P. +------:·_ ·--=~-=~-=-~=-~=-~~-- ~:----. ~ ~

a1 = 60°, a2 = 150°, a3 = 225°, U4 = 330°.

12. 0 mali prsten B, zanemarljive mase, objesen "' je teret G. Prsten je vezan zicama BA i BC. Zica BC je prebacena preko kotura C i na svom drugom kraju ima objesen teg Q = 10 kN. Kada je sustav u ravnotezi, zice zaklapaju sa vertikalom kutove a = 45° i p = 60°. Izracunaj tezinu tereta G i silu zatezanja FA·

G = 13,7 kN,

FA=

12,25 kN

~p

£--- --- ··-:=-~

;.-: :---------------z;w.

sabijanje

istezanje FR=2,9N

li

~'

Vrste deformacija. Hookeov zakon (R. Hooke, 1635-1703) Deformacije tijela nastaju zbog djelovanja vanjskih sila, Ciji smjer djelovanja odreduje i vrstu deformacije. Ako na tijelo djeluju suprotne sile tako da im smjer ide dllZ osi tijela, onda takvu deformaciju nazivamo istezanjem. Ako sile djeluju ka tijelu, to je sabijarife. Ako na tijelo djeluje sila okomito na njegovu uzdtiZnu os, onda tu deformaciju nazivamo savijanje (jleksija). Deformacija smicanja nastaje kada jednu osnovu tijela ucvrstimo, a na suprotnu djelujemo silom paralelnom s utvrdenom osnovom. Ucvrstimo li opet jednu osnovu tijela tako da bude nepomicna, a na suprotnu djelujemo spregom sila, onda je to deformacija koju nazivamo torzija (uvijanje). Jasno, postoje i slozena naprezanja.

savijanje (fleksija)

t---s-t~-,

~~-----:

!,_ _______ 2

smicanje

torzija (uvijanje)

Slika 3.11. Vrste naprezanja Deformacija moze biti apsolutna i relativna. Apsolutnom deformacijom nazivamo veliCinu promjene bilo koje dimenzije tijela pod djelovanjem vanjskih sila. Tako je npr. pri istezanju sipke duljine I apsolutna defonnacija prirast duljine L'.l. Relativnom deformacijom nazivamo broj koji izrazava koliki dio prvobitne dimenzije tijela L'.l cini apsolutna deformacija. ZnaCi, relativna deformacija (di/atacija) je E = - . I Pri djelovanju sila na tijelo javlja se u njemu napon, a velicinu tog napona (cr-sigma) mjerimo silom koja djeluje najedinicu povrsine njegovog presjeka: cr=!

S

[.!!.._] m 2

95

f~-­

!1' '

\i'

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

'

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

Zadaci: Vezu izmedu mehanickog napona i relativne defom1acije tijela utvrdio je engleski znanstvenik Robert Hooke, ciji zakon glasi: mehanicki napon elasticno deformiranog tijela proporcionalanje relativnoj defonnaciji. Koefi.cijent proporcionalnosti kod istezanja i sabijanja oznacava se sa E (za dati materijal) i naziva se Joungov modul elasticnosti. Hookeov zakon za istezanje i sabijanje ima oblik

K

~

2. Mesingani valjak promjera 7 em, vi sine I 0 em, pritisnut je na gomjoj bazi teretom mase 5 tona. Ko1iko ce se valjak sabiti uslijed elasticne deformacije? EM= 10·10 10 Pa. lih = 12,7 Jlffi

t..l

·~ *''

P - tocka proporcionalnosti

-=-·E E - tocka elasticnosti S I G - gomja granica razvlacenja gdje je: cr - napon D- donja granica razvlaccnja S - poprecni presjek L K- jaCina materijala t..l, (e).._ 0 F-sila E - modul elasticnosti • . "t AJ F ·I Stika 3.12. Hookeov dijagram za celik Izduzenje s apa u =-E·S Hookeov zakon vrijedi samo u podrucjima u kojima su tijela elasticna. Za odredeni stap E, S, 1je konstantno, pa Hookeov zakon mozemo pisati u obliku: F = k·t..1, gdje je k konstanta elasticnosti. Znaci, izduzenje stapa je proporcionalno sili koja ga je izazvala. U deformiranom se tijelu (stapu) na osnovu treceg Newtonovog zakona javlja elasticna sila F = - k·t..l koja se opire deformaciji tijela. Elasticna sila deformirane opruge Ako na oprugu zakacimo teg mase m, opruga se istegne (deformira). Ako njezino izduzenje oznacimo sax (umjesto t..1), onda mozemo napisati: F=k·X

F=G=m·g

I. Koliko se izdulji bakrena zica duljine 1,5 m, promjera I mm, ako je na jednom kraju ucvrstimo, a na drugi kraj zakvacimo teg mase 7 kg? Modul elasticnosti bakra je 12-10 10 Pa. lil=1,1 mm

F, (cr)

cr=e·E F

0

o/' •

3. Meta1na sipka poprecnog presjeka 2 cm2 moze pri istezanju izdr:lati napon od 10 GPa. Ako na taj stap djeluje si1a 2,2 MN, hoce 1i stap izdr:lati tu silu? cr; = 11 GPa (nece) 4. Ko1iki napon v1ada u ce1icnoj zici gitare, ako je duljina :lice prije zatezanja bi1a 11 = 0,9 m, a pos1ije zatezanja h = 0,932 m? Ec = 20·1 0 10 Pa. cr; = 7,1 GPa 5. Bakrena zica duljine 11 = 2 m promjera I mm cvrsto je povezana jednim krajem sa a1uminijskom zicom istih dimenzija. Drugi kraj bakrene :lice je ucvrscen, a na drugi kraj aluminijske :lice je zakvacen teg mase 10 kg. Koliko je ukupno izdu:lenje tih zica? Es = 12·10 10 Pa, EA = 7· 10 10 Pa. .6.luk=S,65 mm 6. Aluminijski stap ucvrscen na krajevima na1azi se na temperaturi 17 °C. Ko1iki ce biti tlak na krajevima stapa, ako se zagrije na 62 °C? EA = 7·10 10 Pa, a.= 24·10"6 1/K. t..1 = 1 ·a.·t..t,

:\

Fv

FN

F1~

Fr=Fv=FN'Jl,

7.

Gr=Gmax-Gs= 11 019N,

r:\~

G,=m·g=981 N

FN= 12000N m"" 1,1 tona

=o:..

G.

8.

=255N,

F: "' F~r=G

F~r = G · Jl = 5,886 N

a=

Vz -

v,

=

t F=Fr+F;n

lll'J

2 !!!_

s ~

1

Fr=F-m·a=SN

a=Ftr =147m/s2 ' m

F'~ G

~~i

..,. i r

F~~=-F;.:r; 19,62 m/s

2

.

11

n = 27,3 °/min

. ..

.

29. Tijelo je prislonjeno uz unutarnji zid uspravnog valjka polumjera 4 m. Izracunaj broj obrtaja valjka oko vertikalne osi, tako da tijelo ne sklizne. Koeficijent trenja izmedu tijela i zidaje 0,3.

24. Kolikom ubrzanjem se treba gibati vertikalno postavljena ploca (kao na slici), da s nje ne sklizne drugo tijelo, ako je koeficijent trenja 0,5? Nonnalna stla Je Jednaka Fin=FN

''''7

T

~ ~

:-,r-;;•

';'/

Vozilo mase 1,5 tona giba se uz nagib 21%. Koeficijent trenja izmedu vozila i strme 22. ravnine je 0,1. Izracunaj silu koju vozilo razvija da bi se gibalo: a) konstantnom brzinom,

a) Vucna si1a vozi\a mora svladati komponentu tezine i situ trenja:

F~

FN=G + Fy

F=21,4 N

-~-----/ \::~ h ..,::::·::)i~t... .· · · · .......Q' ...... .

rnl•'·

'!,) .

&~··':';.

.F

-">

,p

!

:-:.,..

b) FN=G-Fy,

a· t- t = 2 22 s v = a · t = 9 m/s I= , 2 ' ,

b) ub

277:

Izracunaj minimalni koeficijent trenja potreban da vozilo ne sklizne s ceste u zavoju polumjera 50 m pri brzini 72 km/h. ll = 0,815 Izracunaj maksimalnu brzinu kojom se vozilo moze gibati u horizontalnom zavoju polumjera 100m uz koeficijent trenja 0,5.

rad

3 m=-=1163·10-T ' s '

v=~y

r=79,64 m

v = ~ = 79,73 km/h

11~

12. Satelit s prvim kozmonautom (Gagarin) gibao se oko Zemlje za 90 minuta. Na kojoj se visini nalazio satelit? Rz = 6370 km

......

v=(R +H)·m z

M, R,+H

v

R +H=•

=~yM' ·m

......

v

{L)

v=7,73·10J~ s

H..,280 km

13. lzracunaj period gibanja umjetnog Zemljinog satelita na udaljenosti od povrsine Zemlje koja je jednaka polumjeru Zemlje. Fg =Fe,

v=2R·m

M ·nz v2 r (;R/ =m, 2R -->

{L)

......

v=t·M, 2R

= 0,43846 ·1 o-J rad

s

=5586~ s

27r h . T=-=3 59mm. {L)

113

rr:· 1

!',

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 14. Izracunaj prvu kozmicku brzinu Mjeseca, aka je masa Mjeseca 7,37 · 10 1730 km. Fg =Fe

v=

-+

22

b) U sustavu referencije vezanom za kuglicu (NSR, rotirajuci sustav), na kuglicu djeluju dvije sile: tezina i centrifugalna sila. Neinercijalni (ubrzani) sustav referencije je svaki sustav koji se giba ubrzano u odnosu na inercijalni sustav referencije. U NSR djeluje inercijalna sila. Inercijalna sila u rotirajucem sustavu naziva se centrifugalna sila.

kg i polumjer

f¥

m

=1686s

15. P1ikolica je natovarena homogenim teretom (pijeskom) mase I tona i giba se u krivini polumjera 100m. Koeficijent trenja je 0,5 a raspon kotaca prikolice je I ,4m. a) Izracunaj najmanju brzinu prikolice u krivini tako da prikolica ne sklizne sa ceste. b) Izracunaj visinu tdista tereta tako da se pri danoj brzini prikolica ne prevme.

'~

F".= Fe vz a) m·g·JL=m·-

b)

v=79,72km

-+

r

GA "?.Fc·dz,

G

TA

' - ---o';._.-

/

,

I

,',

'

m=2Jr·f

s

1 T= -=091s

f= 1,1 Hz,

-+

f

,

17. Vozilo mase I ,5 tona ulazi u krivinu polumjera 500 m brzinom 72 km!h. Izracunaj silu koja odriava vozilo na krufuoj putanji i koef1cijent trenja.

i!j

Ulogu centripetalne sile ima sila trenja.

·~

i

*

~

-~

m

~

F~r=G

Fe= F,, = m · ac = 1,2 kN

* :~

;~

·11

-+

ll =0,8

a) U ISR djeluju dvije sile: tdina i sila u uzetu. ISR je sustav koji miruje iii se giba ravnomjemo u odnosu na Zemlju. Buduci da se kuglica giba po kruznici rezultanta te dvije sile ima smjer prema centru kruznice te ima ulogu centripetalne sile.

'lil~

-'···>{ ....

,,

1/~.' ~

~~ J .

'

Fe_~ tga=c;- r·g

sma

! 2 -sin 2 a ·4Jr

cos a

l·sina·g·T

2

2

Tz casu= L__2 = 0 4975 l·4Jr ,

, .i

.,

..

G

21. Po idealno glatkoj cesti ciji je polumjer krivine 60 m maze vozilo razviti brzinu 54 km/h. Koliki bi u tom slucaju trebao biti nagib ceste prema horizontu? a.= 20,9" 22. Na koju brzinu je proracunata krivina, ako je nagib prema horizontu 10°, a polumjer krivine 90 m? v=45 km/h 23. Na kruznoj horizontalnoj ploci nalazi se teg. Kolikim ubrzanjem treba zarotirati plocu da teg sklizne s nje, ako je koeficijent trenja izruedu ploce i tijela 0,2 ? Aka je polumjcr place 50 em, izracunaj obodnu brzinu ploce. a= 1,96 m/s 2, v = 0,98 m/s

24. Vozilo mase 1,5 tona giba se brzinom 90 km/h. Kolikom silom ce pritiskati most kad se nade na njegovoj sredini aka most ima: a) oblik izbocenog luka polumjera 150 m. b) oblik udubljenog luka istog polumj era, c) ravan most ? a) F = 8465 N, b) F = 20970 N, c) F = 14715 N

r

(

25. Menzura s vodom mase 500 g vezana je konopcem dugim I m i okrece se jednoliko u vertikalnoj ravnini. a) Pri kojoj se najmanjoj br.lini voda nece prolijevati u najvisoj tocki? b) lzracunaj silu zatezanja u najvisoj i najnizoj tocki. a) v ~ 3,13 m/s, b) Fma(

~-- ••

q :i ..

'f/

u

tS_'l' -~ ·· ....

..{v[ + (gt) 2 = 1000,19 m.f s

7.

'

lz zrakoplova koji leti horizontalno na visini I km brzinom 540 kmlh izbaci se predmet. Na kojoj ce se udaljenosti od vertikale spustene iz zrakoplova u trenutku izbacivanja naCi predmet na

=3,38s

Djecak usmjeri cijeY puske horizontalno tocno prema centru mete (kugla promjera I 0 em) koja je udaljena 50 m. Metak izleti brzinom 400 m/s. U kojern slucaju ce metak promasiti metu i za koliko: a) ako meta ostane nepokretna, b) ako meta pocne slobodno padati u trenutku ispaljivanja metka? a) promasaj za 2,66 em, b) pogodak

Slika 4.1. Horizontalan hitac

0

1

6.

\

Zadaci:

=P:

S prozora autobusa slobodno pada kuglica na horizontalnu podlogu. U kojem s!ucaju ce kuglica bde pasti na podlogu: a) Aka autobus stoji iii ako se giba jednoliko praYocrtno? b) Kakav je oblik putanje kuglice za promatraca u autobusu, a kakav za promatraca na ulici ako se autobus giba?

\

h =!I!_ 2

d) t,

-19,62)

5.

\

D=x

(~000, !

Koliko je potrebno vrijeme "tempiranja" prskalice koja se push tz zrakoplova da eksplodira na Yisini 50 m iznad zemlje? Zrakoplov leti na visini 500 m. ! t=9,58 s

v,= v

,

G

v=~v:+(gtj =1000,98m/s

4.

vy=g·~

h

2

2

Vis ina pada:

v=

Yo

.. d VnJeme pa a: t = Vg , Domet: D

c)

a) t=vg=4,515s, D=v0 ·t=4515m

10. Sa visine 10m izbaci se kamen horizontalno koji udari o povrsinu na udaljenosti 35m. Kolikaje pocetna brzina kamena? V 0 =24,5 m/s

T II. Iz vatrogasnog smrka postavljenog horizontalno izlazi mlaz vode pocetnom brzinom v0 = 18 rn!s. Na kojoj se visini nalazi smrk ako voda pada na zgradu udaljenu 21,6 mod smrka? Kojom brzinom voda udara o zid zgrade? h = 7 m, v = 21,5 m/s

vode.

119

Ir~. , I.

'\.II,

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

rnr. Zeljko Stapic: FlZIKA I

12. S broda koji se giba po morn stalnom brzinom vb = 28,8 kmJh bacen je kamen u horizontalnom pravcu pocetnom brzinom Vo = 6 mls. Kamen pada u vodu poslije 1,8 s. lzracunaj : a) visinu s koje je kamen bacen, b) domet kamena ako je v0 okomito na pravac gibanja broda. a)H=15,9m b)D=18m

Kosi hitac Kosi hitac je slozeno gibanje cije su komponente: - ravnomjemo gibanje u pravcu koji sa horizontalom zatvara kut a i - slobodno padanje.

13. lz tocke A, koja se nalazi na visini H = 12,5 m tijelo slobodno pada bez pocetne brzine. Na svom putu tijelo u tocki 8 udara o kosu ravninu, od koje se odbija pod istim kutom pod kojim tijelo pada na nju, pri cemu gubi 20% brzine. Kut strme ravnine je a = 45°. Odredi domet i kut pod kojim tijelo pada na zemlju. D= 10m p.. 39° 14. Zrakoplov leti horizontalno na visini 2250 m. lznad tocke A zrakoplov ispusti bombu koja ce se naci nakon nekog vremena u tocki 8 ·, koja se nalazi na polovini visine zrakoplova od zemlje. Udaljenost A'8' = 1,5·A'A". Izracunaj: a) vrijeme za koje bomba stigne u 8' b) brzinu kojom zrakoplov leti, c) brzinu bombe u 8'. a) t = 15 s, b) v. = 405 kmlh, c) v = 185,2 m/s

y

• v~~ ~:-._ ! vo A-~ ··~-----,, 'V ly I

.--------~A"

vay

X ~' VI~· .A

0

'f

/ " ; ' 1{] ~y

•

j h=l125 m

8:/_.--

v,=v

0

)h=l125m

vy

15. Kuglica vezana za jedan kraj konca duljine 50 em, ravnomjemo se obrce u vertikalnoj ravnini frekvencijom 2Hz. Centar kruzne putanje nalazi se na visini h = 2 m (na slici). Poslije koliko vremena ce kuglica pasti na tlo ako se konac prekine u tocki: a) A, b) 8, c) C, d) D?

·

x

,;

~

v

(;~ o-+r-\ \

.

"- I

,c

a) t = 1,54 s b) t = 0,9 s c) t = 0,26 s d) t= 0,55 s 16. lzracunaj horizontalnu brzinu kojaje potrebna tijelu na ekvatoru u smjeru rotacije Zemlje da bi se ono gibalo paralelno sa Zemljinom povr5inom. ge = 9,78 m/s 2, R = 6378,4 km. v=7913 m/s

j-

D (domejL_ - --

Vx

X

a·;

,

.

V

'· vy

Slika 4.2. Kosi hitac Komponente pocetne brzine: Vox= Vo ·COS!X V0 y = V0 ·sina U nekoj tocki A koordinate tijela su: X= V0 x·t

g ·t2 y=voy·t- - -

2

Na nekoj visini y (tocka A), brzinaje: v = ~v; + Vx=Vox, Vy=Voy-gt

v:, , komponente brzine su: ~ ·x

JednadZba putanje kod kosog hica je y = x · tga 17. Tri jednake kuglice istovremeno su izbacerie u horizontalnom pravcu iz tri tocke na vertikalnom zidu pocetnim brzinama vo1 =50 m!s, voz = 72 m/s, v03 = 100 mls. Prva kuglica padne na tlo na horizontalnom odstojanju od zida 0 1 =100m. Ako sve tri kuglice istovremeno padnu, izracunaj: a) vrijeme padanja svake kuglice, b) visine sa kojih su izbacene kuglice c) brzine kuglica u trenutku pada. a) t = 2 s, b) h1 = hz = 19,6 m, c) v1 = 53,7 m/s, v 2 = 77,4 m/s, v3 = 102 m/s

&--:->

"'

.L --- - - - -w-~'.-----L Vox :I

;

A

__.,.

X

I

:r'-_ --:~---- ____ ;

2

D= v. sin2a = 7657 m

t }!/ ,; '""B VBx=.V;;,. v~'l6.: ~rs:) . ,.x

Yby =- V0 y =- 86,6 m/s Ybx =Vox = 50 m/s

c) hmax =~=382,2m 2g

!/?>····~~ --~

a:::: 76° (75°58')

2

vo

m Yay= 0, Vox= Vox= 50s U trenutku pada (tocka B):

2

2g

Y_,._

a) Vox= Yo· cos a= 50 rn/s V0 y =Yo· sin a= 86,6 m/s Na max. visini (tocka A):

g

h.nax = v.

V';,

Y')'·

2g

Kuglica se izbaci pocetnom brzinom 100 m/s pod kutom 60° prema horizontali. lzracunaj: a) komponente brzine v, i vy u pocetku gibanja, u trenutku kad se kuglica nalazi na najvecoj visini i u trenutku pada na tlo, b) domet i vrijeme gibanja kuglice do pada, c) maksimalnu visinu koju dostize kuglica i vrijeme za koje to postigne.

b) D= v;·sin2a =882,8m,

2 • 2 2 • ' v. sm a= v. sm· a g 2g

a) D = hmax,

'

..

Vy = Yoy- g · t =Yo· sina- g·t

2.

v:J~:r=·-···--

·--~- ......... ,

Izracunaj kut pod kojimje potrebno izbaciti tijelo da bi: a) domet bio jednak najvecoj visini, b) domet bio jednak visini koju tijelo dostigne pri izbacivanju vertikalno uvis, istom pocetnom brzinom.

D=

v 02 ·sin2a g

Pod kutom 30° izbaci se granata pocetnom brzinom 300 m/s. lzracunaj vrijeme "tempiranja" granate da eksplodira na visini 15 metara prije pada na zemlju, kao i vrijeme leta i vrijeme dostizanja najvece visine.

v:,.-r·······-~f-----cr--·-,

T

'

Voy= Yo· sina = 150 m/s Poslije sredivanja dobije se kvadratnajednad:Zba. 15 = 150. t-4,9. t 2 2 4,9! -150 t+J5 =0

!A/· '

j Jh- "-

'/

1

'-J>''A'

hI J!;u·~ ~ ~ ::-~-~ ~-:x _ --~

2

t 1'2-

-b±.Jb -4ac 150±../22500-294 -- - - - ' ----2a 9,8

_ 2 · v0 ·sin a_

luk-

6676m

y.~:..

Vrijeme gibanja granate dano je uvjetom: gt' y = h = v0 Y • t-

-

g

tl = 0,102 s

12 = 30,05 s

(tocka A)

( tocka A')

30 , 6 S

Vrijeme dostizanja maksimalne visine je t =

1

uk

= 15,3 s

2 l'J'J

123

'11: mr. Zeljko Stapic: FIZIKA l

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

8. lzracunaj kut pod kojim treba izbaciti granatu pocetnom brzinom 400 m/s, koja ce pasti 14124 mod mjesta izbacivanja. 2

•

D= Vo ·sm2a

a= 30o

g

9. lz camca koji se giba pravocrtno sta\nom brzinom 36 kmlh izbaci se pod kutom 45° kuglica brzinom 100 rnls. a) Koliko je udaljen camac od kuglice pri njenom padu u vodu? b) Kojom brzinom se treba camac gibati, ako se kuglica izbaci pod kutom 80°, da kuglica padne na camac?

):~--------------------

a) Kuglica ce prijeci: OB =

sin2a =1019 m g Vrijeme leta kuglice je: t= 2·v0 ·sina 1445 ,

~

.£-

Vo2

, -..L:_ 0

v.

-/-7

\A-·-

····----,, '

'"

. B

/'·~

.

~--.

g

g

348,6 m

-

_ v~ ·sin2a

max-

g

gt2

__ ;5L_

.. 2·v0 ·sina VnJeme leta: tg = - -" ---g Za to vrijeme brod ce prijeci odstojanje d - Xmax, brzinom Vs = 5 m/s. 2 v sin2a g· d -g· 0 g - d - X max - d - xmox - g . d - g . X max va- - - - t 2·v0 -sina 2·V0 ·sina 2·vo ·sina g 0,866 · V0 2 + 5 · V 0 - 98100 = 0, Vo = 334 m/s

124

r_

r ...

~_../

f

!.~\·:··; /off

j

X

/v-.-'7// ) / /

12. Sa stijene visoke 100m izbaci se granata pocetnom brzinom 200 m/s pod kutom 45°. lzracunaj mjesto pada i vrijeme gibanja do pada na horizontalnu ravninu.

n

V0 ·COSa·t,

-

V0

·

v; ;!

gt2

.......

f.-r-~-~=:r·

t2. "·

2

Kad tijelo padne . -H = v 0 · sma · t -

\ '£-7

-/

*

7

.,_

7-;~>

g-t

m

= __ uk = 19 62 2 's

h

m"'

I

,~I ..., . I

!H

~

!

I

D

!

(-'•------?;

:

;

;_,.._.,

S2x = D- d = V0 • t1 ,

Put izmedu prvog i drugog sudara je:

I

.................. ]

....... J/ ..... ·' 7

itd.

2

1

1 , 1 D-d Sly =-g-r =-·g· -V - ) =0 ' 006m 2 I 2

(

o

,

v,

~

Y2 / . - - - - - - - - - . .

(f/

r

~.Y·

v.

.tiL~

-,---

Vt

2-v = ___!!L => V

-.//~

I

je: S 1,.=D-d=v.·t1 ~t 1 = - v.

19. Kako se odnose brzine v, i v 2 , ako je Y vrijeme leta i domet oba tijela isti (kao na slici)?

VA

Da lopta dospije na hmax (tocka A) potrebno je vrijeme : I

-----...

./~

2

;\1

.. ,_

,·/

A/

H = n • S 1y ~ n = 8 sudara

v""

I 2 l D-d S =-·g· n·t1 =-·g·n 2 · - - =H Poslije n-tog sudara: "' 2 ( ) 2 v. ) (

---;:~;;=,fox

Koordinate tocke A su: XA = V0 • eosa · t = 8,66 m

(=

}

...

{

2·(D-d)l ( )2 =-zg·2 l S2y =-z·g· 2t1 ----;;:-

iYA

!%"

0 0

~2 m V.u+VA 2 =22,54y

__ ,

o -~'· ~i'_'C~"'-: ~; ~~- ... ",i~-..;; .' 0

•-'--.

'. . _.·

Ubrzanje kuglice u ravnini putanje je g · sinp 2 • 2 2 • 2 OA=D v.-sm a=071m h v.·sm a g·sinp , max 2-g-sinp

DtiZ y - osi:

y-j' II

.-·f' ~

_/ /< ...> ~~ ~-

..

~~fil----· 'it· ""'/\ .--".'\ -~.\i'····~ ........... \' ~ -

D-d

g VA X= Xi+ X2 = 85,56 m Vrijeme horizontalnog pada: t1 = 1,43 s, Vrijeme kosog hiea: t2 = 2,85 s, Ukupno vrijeme: t = t 1 + h = 4,28 s.

15. Pod kutom -30° prema horizontali izbaei se tijelo sa zgrade pocetnom brzinom 5 m/s. lzracunaj brzinu i polozaj tijela poslije 2 sekunde. Poslije t = 2 s tijelo ce biti u tocki A, gdje su komponente brzine: VAx = V0 • eosa = 4,33 m/s vAy=-v0 ·sina-g-t=-22,12m/s, pa je:

___ ......______ _

= 0,866·v2

Pfo~-

-------.. . :\ ""'

X

20. Izracunaj kut pod kojim treba baciti loptu da bi dostignuta maksimalna visina bila jednaka dometu. I

a= 76"

2 V oy

21. Metak ispaljen iz puske pod ostrim kutom ima komponente brzine: v, = 207 m/s i Vy = 120 m/s. Izracunaj njegove koordinate poslije 2 s.

2g

x = 414 m, y = 220 rn

=-=19,62m

l'lt:...

127

1ft~ ' I ;1,

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 22. Pod kutom 30" izbaci se granata pocetnorn brzinom 200 m/s.Na udaljenosti 2 km nalazi se vertikalna stijena. Na kojoj visini ce granata udariti u stijenu? y=490 m 23. S rnosta visine 20 rn baci se u vodu karnen brzinom 20 m/s, pod kutorn 30°. Na koju udaljenost ce pasti karnen? x=56m 24. Uz strrnu ravninu nagiba 30° treba zakotrljati kuglicu tako da padne u tocku koja se nalazi 2 rn ispod vrha ravnine i 5 rn od brida visine strrne ravnine. Koju pocetnu brzinu treba dati kuglici? Svi otpori se zanemaruju. v.= 5,8 m/s 25. Pod kutorn 60" ispali se granata brzinorn 300 m/s i gada cilj na brdu koje je pod nagiborn 30°. lzracunaj zracnu udaljenost izmedu topa i cilja. d=6km 26. lgrac udari loptu pod kutorn a = 37° pocetnom brzinorn v0 = 15 m/s. Drugi igrac, koji je udaljen od prvog 30 m, pocinje trcati u susret lopti u rnornentu kada je ona udarena. Koliku najmanju srednju brzinu on mora irnati da bi udario loptu neposredno prije pada lopte na zemlju? v =4,5 m/s

''

27. Projektilje izbacen pocetnom brzinom v0 = 400 m/s pod kutorn a= !5°. Izracunaj: a) na kojoj ce visini projektil udariti u vertikalnu stijenu na udaljenosti 3 km od rnjesta ispaljivanja, b) kolikaje brzina projektila u rnornentu udara u stijenu, c) pod kojirn kutorn ce udariti projektil ? a) h = 508,4 m, b) v = 387 m/s, c) ~"" 4° 28. Koliku brzinu irna topovska granata poslije 0,5 s ako je izbacena pocetnorn brzinom Yo= 800 m/s, pod kutorn a = 60°? lzracunaj rnaksirnalnu visinu i domet granate. Otpor zraka zanemari. v = 795, 7 m/s, Hmax = 24463 m, D = 56500 m

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

Newtonov zakon gravitacije

-F

Newton je u svom djelu "Matematicki principi filozofije prirode" (1686) dao maternaticki izraz gravitacijske sile. m1 ·• .... m. Otkriee univerzalnog zakona gravitacije jedno je od najvecih dostignuca u znanosti. Ovaj zakon je univerzalan, k---· ____ .L_ . --··"-~ a sila privlacenja postoji izmedu bilo koja dva tijela koja posjeduju masu. Masa je uzrok privlacenja tijela. Siika 4.3. Gravitaciiska sila Gravitacijsko rnedudjelovanje postoji i izrnedu svih tijela na Zemlji, alije zanemarivo te ga neposredno ne opliZarno. Sila kojom se privlace dvije tockaste rnase upravo je srazmjerna proizvodu tih masa, a obmuto razmjerna kvadratu njihovog rnedusobnog odstojanja. mt·mz

F

! ...

=r---;z-

F - intenzitet gravitacijske sile, rn~, m2 - rnase tijela, r- odstojanje izmedu centara tijela r = 6, 67 ·I o-Il N~z - univerzalna gravitacijska konstanta kg Univerzalnu gravitacijsku konstantu pokusno je odredio Cavendish 1798. godine. Cavendishov pokus: 0 laganu sipku objesenu na elasticnu nit objesene su dvije manje rnetalne kuglice rnasa rn 1 = 0, 729 kg. Neposredno uz qjih su dvije velike kugle masa rn2 = 158 kg. Uslijed gravitacijskog privlacenja rnanje kugle se priblize vecirna i nit se uvije za odredeni kut. Kut se mjeri pomocu svjetlosnog snopa reflektiranog na zrcalu pricvrseenom za nit. Iz otklona snopa i poznatih elasticnih svojstava niti moze se izracunaj sila izmedu rnasa rn 1 i m2 , a potom i gravitacijska konstanta. Metoda je kasnije usavciena. Newtonov zakon je omogucio da izracunarno mase i udaljenosti nebeskih tijela na temelju poznavanja Stika 4.4. Cavendishov pokus brojcane vrijednosti gravitacijske konstante.

29. S visine H = 10m izbaceno je tijelo u horizontalnom pravcu pocetnom brzinom 50 m/s. Tijelo se pri padu na zemlju odbija pod istirn kutorn pod kojirn je palo na nju, pri cernu gubi 20% brzine. Odredi dornet poslije drugog pada tijela na zernlju. D= 164m

Gravitacijsko polje je prostor u kome se osjeca djelovanje gravitacijske privlacne sile na svaku masu koja se unese u taj prostor. To polje je prijenosnik gravitacijskog medudjelovanja. Cestice prijenosnici gravitacijskog medudjelovanja su gravitoni.

30. Kamen bacen s visine 2,1 rn iznad povrsine zemlje pod kutorn a = 45° prema horizontu pao je na zemlju na udaljenosti s = 42 rn od mjesta bacanja. a) Kolikom je brzinom bacen kamen? b) Koliko vremena je letio? c) Do koje maksirnalne visine je dospio? a) V0 = 19,8 m/s, b) t = 3 s, c) hmax = 12,1 m

Tijelo mase M stvara oko sebe gravitacijsko polje Cija je brojcana vrijednost: F M a=a =rg m g r1 \ M (· \ F-gravitacijska sila, m-masa tijela na koje djeluje polje, M-masa izvora polja, r-udaljenost od izvora polja Iz obrasca g =

12R

r · M: Rz

I_

/

j

m

j

Slika 4.5. Gravitacijsko polie

moze se izracunati masa Zemlje. Mz:::: 6 · I 024 kg

129

I": mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA I Jacina gravitacijskog polja Zernlje (iii nekog drugog tijela) je vektorska velicina orijentirana prerna njezinom centro. Sila Zcrnljine teze: Fg = m · g g-ubrzanje Zernljine teze. Standardna vrijednostje

-

-

go= 9,81 rn/s2 ' (45° geografske sirine) Ubrzanje Zernljine te:Ze opada sa udaljenoscu (h) iznad povrsine Zernlje:

M R2 g = r - - -2 = g o - - -2 , (R+h) (R+h)

~-u

b

. • .. z r· rzanJenapovrstm ernJe,

R"' 6370 km-polurnjer Zernlje, g- ubrzanje Zernljine teze na visini h Zemljina sila teze, tezina tijela

g

Mz·m

-r R2

-G=f~ -- +Fe! G = ~F:

I:. I

+~J -2FgFcf ·COSq1

G- Zernljina sila teze F8 - gravitacijska sila

Fer - centrifugalna sila

Zemljeje: m·M Ep=-r-r

Veza kineticke energije i rada. Pod djelovanjem stalne sile tijelo prelazi put (s) i postize brzinu

//

(v).

3n/2

Rad sile je: A = F · s = m · a · s

A=' m ·a-~- m ·v2

2·a ---2-,

.----

E

Stika 5.6. Energija tijela koje titra

v2

Kod jednako ubrzanog gibanja tijela je: ; = 2 ·a· s

~

s=~

_ m-v2 2

2

Buduci da je impuls tije\a p = m · v, slijedi: Ek = _!!_ 2·m Rad koji vrsi stalna sila ubrzavajuci tijelo mase (m) od (v1) do (vz):

I ( v22 -v12) v22 -v12 = 2 ·a·s => a·s=l m ( v2- v2) = Ek 2 - Et 1 A '= F · s = m ·a· s = 2" 1 2

Kada oprugu rastegnemo, raa taaa ooaVIJa vanJsKa sua, c1me se poveca unutarnja energija opruge, tj. njena potencijalna energija. Ona je najveca u amplitudnom polozaju. U ravnoteznom polofaju Ep = 0, a Ek je najveca, jer je tada brzina najveca. Tijekom titrajnog gibanja energija stalno prelazi iz Ep u Ek i obrnuto. Njihov zbroj je u svakom trenutku konstantan i jednak Epmax iii Ekmax· Jasno, treba uzeti u obzir i disipativne sile us\ijed kojih ce se amplituda titranja smanjivati tijekom vremena do nule. Energija tijela pri obrtajnom (rotacijskom) gibanju oko nepomicne osi

E

_f·oi

"''-

---

2

I [kgm 2 ] - moment tromosti tijela u odnosu na promatranu os rotacije

Rad vanjske sile jednak je prirastaju kineticke energije.

143 lA~

'j(' mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZlKA 1 Energija tijela koje VI'Si translacijsko i rotacijsko ravninsko gibanje E = Etr+ Erol 2 m·v I ·ol E=--+-•-2 2 v- brzina translacijskog gibanja centra mase lo - moment tromosti u odnosu na tezisnu os (vlastiti moment inercije) ro- kutna brzina obrtanja oko tezisne osi

za 1optu (kugu: 1)

2

I' k (d' k) Io

2

10 =sm·r, zavaJa

1s

m ·r = - 2

2

Zakoni odrianja

Slika 5.7. Energija pri translacijskom i rotacijskom gibanjukugle

Snaga Snaga je izvrsen rad u jedinici vremena. Jedinica snage je watt [w]. Snagom mjerimo brzinu rada.

P=~ [w=~J

P=F·s t ,

P=F·v,

A= P·t [1 = W · s] 6 U praksi se za rad (energiju) koristi vecajedinica kWh= 3,6·10 J.

Ak - koristan rad

Au - ulozen rad

Pk- korisna snaga koju daje stroj

Tj=-

pu

I. Njihalo Kineticka energija se pretvara u potencijalnu i obratno. U tocki 0 tijelo je u ravnotefuom po1oZ3ju. Tijelo prolazeci kroz ravnotefui poloZaj postiZe maksimalnu brzinu. U tocki A tijelo je maksimalno udaljeno od ravnotefuog poloZ3ja i tada ima maksimalnu potencijalnu energiju. U tocki A: Ek = 0, jer je v = 0 Epmax , jer je hmax U tocki 0: Ekmax , jer je Vrnax Ep = 0, jer je h = 0 U bilo kojem trenutku E = Ep + Ek = cons!.

P u - ulozena snaga u stroj

s=r·>:: :

G · I; = F · 12, 1; = 1- [z G-1-G·[z=F·lz

G · 1= [z · (F + G) ,

-~,0,71m

[z- m+m,

F

//1

7. Drveni stup visok 5 m vezanje uzetom za vrh. S uda1jenosti 12 m od podnozja stupa vucemo uze silom od 0,5 kN. Izracunaj moment kojim dje1ujemo na drveni stup. d2 = + h2 , d = 13 m l cosa = -= 0,923 ~ a"' 22,5° d

e

__/_. . ./

y-

__,--

/

I

//'/\'"/

\,

1 /

/./

."/.

,\;::-'1:

I

\~~

/_-.- ..·.·7

A

MA = F · h ·cos a= 2307,7 Nm

164

I I. Kocka stranice 50 em napravljena od drveta gustoce 0,7 kg/dm 3 naslonjena je na zid pod kutom 30°. Kolikom je silom potrebno djelovati na rub kocke pa da kocka ne pritiska vertikalni zid i kolikom silom tada kocka djeluje na horizontalnu ravninu? Buduci da se radi o kocki p = 45°, a = 30 " F 1• 11 =G ·l2 11 =a ·sin a= 0,25 m

lz = d . COS (a +(3)=

2

)'•.•

tt Im

I:;

a / / / \ · · ••,_ ····--....

I ./ \ ·-----+ Al( o\t' - _i(j rI '•---~-----y(~\ ,~/ d

a.

a·Fl o -·cOS 75 =0,09lm

.

-

2 G = m · g = p · V · g = p · a3 · g = 858,4 N F =312,4 N Ukupna silaje: Fu = G + F = 1170,8 N

.

/~> . ll:

It

12. Izracunaj reakcije oslonaca i maksimalni moment nosaca prikazanog na slici.

h

\a, \

-~~'\;

~ ........ ~"""a.- ~-

·'///

">TG ~~a.l

F= 18,8N

• 04m

L

;.;f:F· }':~·;

Osnovna jednadzba dinamike obrtnog gibanja Moment sile ima istu ulogu kao i sila kod linearnog gibanja. M=I·a [Nm], M-momentsile, M=F·r,

a - kutno ubrzanje

Zakon tromosti za obrtno gibanje: ako je moment vanjskih sila jednak nuli, tada je i kutno ubrzanje tijela jednako nuli, pa se tijelo obrce konstantnom kutnom brzinom. Znaci, kada je moment vanjskih sila jednak nuli (M = 0), moment impulsa je konstanta gibanja (L = eonst.). To je zakon odr:Zanja momenta impulsa.

Kin£'ticka energija pri obrtnom gibanju je

Ek =

1

I

2

Moment tromosti Moment impulsa Momentsile Jednoliko gibanje

I

~- V 0 = 2·a-s

Jednako p:omj_enljivo g1banJe

F = l1p , F = m·a M Veze oravoertnih i kutnih velicina v=r·ro,

v2

an =-=r·m 2 , r

L=I·ro M =ro-t ro= roo+ a-t rp =OJ" ·t+ a ·12 2 2 =2·a·rp

m-m; M M=-

M'

M=I-a

a, =r·a

0

Zadaei:

1. Valjak mase 20 kg poluriljera 16 em rotira stalnom kutnom brzinom 60 rad/s. Izracunaj moment trenja u lezistima ako zaustavljanje traje 10 s. a= 11rol!1t = 6 radls2 , I= m ~/2 = 0,256 kgm2 , M =I· a= 1,536 Nm Moment ujednom lezistuje: M 11,= M/2 = 0,768 Nm

2 1

fm,- r

2

Znaci, moment impulsa je

s = V 0 -t +~

s = r-z = 4 rad/s

67. Osovina sa sipkom ima moment tromosti 3-10-3 kgm2 • Dva tega mas a po I 00 g nalaze se na udaljenosti 10 em od osi rotacije (kao na sliei). Sustav se obrce sta1nom kutnom brzinom 3 rad/s. Izracunaj kutnu brzinu bez tegova. o>.z =5 rad/s

~~:.~

61. Drveni blok mase M = 2,27 kg lezi na horizontalnoj ravnini i spojen je sa osi 0 pomocu horizontalne sipke duljine 0 I= 61 em. U teziste bloka uspravno na ravninu erte:la, ispali se metak mase m = 28,4 g brzinom 610 m/s. Izracunaj broj obrtaja N koji ce blok izvrsiti prije nego se zaustavi uslijed trenja. Koefieijent trenja i podloge je 0,25. Moment tromosti Pretpostavi da metak ostaje u bloku. bloka I= M· N = 3 obrtaja

]

a.-fF,

64. Valjak polumjera 50 em, mase 150 kg rotira kutnom brzinom 18 rad/s. Koje vrijeme je potrebno

a = 1,246 mls

~

::-:

F,~T

~=G+~=,~N

65. Koliea mase m 2 = 1 kg i valjak mase m 1 = 0,5 kg po1umjera r = 4 em povezani su tako da se valjak more kotrljati po podlozi. Oko valjka je namotana nit koja je prebacena preko kotura, a na kraju niti objesen teg mase m 3 = 0,2 kg. koji bez trenja klizi po bocnoj straniei koliea. S kolikim ubrzanjem se giba sustav?

59. Tanak homogeni stap duljine I = I m stoji vertikalno na podlozi za koju je zglobno vezan u tocki A. Ako se stap pusti da padne, kojom ce kutnom brzinom udariti o podlogu?

~>~

tR, ft1ii

t = 3,37 s, N = 4,83 obrta

58. Niz strmu ravninu visine 0,5 m istovremeno krenu kugla i valjakjednakih masa i polumjera. ce tijelo prije stici u podnozje? Sve otpore zanemari. ro vk = 2,647 mls, Vv = 2,557 mls ;;----..._---.........

.~

·\

3

'' ,,

H

63. Tanak homogeni stap konstantnog presjeka ima masu 400 g i duljinu I = 0,5 m. Stap moze rotirati oko horizontalne osovine koja prolazi kroz jedan njegov kraj. u pocetku stap miruje, pod kutom 30° sa horizontalom. lzracunaj horizontalnu i vertikalnu komponentu sile reakeije kojom osovina djeluje na stap u trenutku kad stap prolazi kroz horizontalni polo:laj. Moment tromosti stapa U odnosu na danu OS je: I I= -mf

I

m

m

~(J)

~

I

i~:

68. Djecak mase 50 kg nalazi se na nepokretnoj platformi (koja se moze obrtati) mase 80 kg i polumjera 5 m. Djeeak pocne trcati oko osi rotacije na stalnom odstojanju 3m, brzinom 1,5 m/s u odnosu na platformu. Kolikom kutnom brzinom ce se okretati platforma? Platformu smatraj homogenim diskom, a djecaka materijalnom tockom. Olp

Q

=

0,155 rad/s

69. Djecak mase 40 kg konstantnom brzinom hoda po rubu kru:lne platforme cija je masa 20 kg. Za koji kut ce se platforma zakrenuti kad djecak obide jedan krug? Platformu smatraj homogenim diskom, a djecaka materijalnom tockom.

a

B

>v., pa se brzina v 1 priblifuo smatra jednakom nuli. Znaci, brzina snizavanja nivoa tekucine u posudi moze se zanemariti u odnosu na brzinu istjecanja kroz otvor. Tad a Bernoullijeva jednadZba glasi: p v2

dp-razlika tlaka u posudi i izvan nje,

p-gustoca fluida

Do ove relacije eksperirnentalno je dosao Graham. Ovaj zakon vrijedi i za n~ecanje plinova u posude u kojima vlada snireni tlak. Pitotova cijev Pomocu ove cijevi moze se mjeriti brzina gibanja fluida. Cjevcica A rnjeri staticki B tlak, dok cjevcica B mjeri zbroj statickog i dinarnickog tlaka. To je zbog toga sto Staticki tlak struja tekucine, koja ude u cijev, svoju kineticku energiju pretvara u potencijalnu, zbog cega se poveca visina stupa tekucine proporcionalno velicini dinamickog tlaka pv2/2. Razlika statickih tlakova je pgh. p·v2 Staticki + dinamicki tlak -2-=p·g·h,

2gh

(;J

~ 2; ,

Vz

Po+p·g·h=po+-f

Slika 7 .22. Istjecanje tekucine Odavde je brzina istjecanja: v2 = Ova jednadZba se naziva i Torriceilijeva jednadZba isgecanja te vrijedi i kada je otvor na dnu

.J2ih

posude. Promatranjem istjecanja mlaza kroz otvor moze se uoCiti da je povrsina mlaza tekucine nesto manja od presjeka otvora, sto znaCi daje i stvarni protok nesto manji od teorijskog (Q = S·v ). Ova pojava naziva se suiavanje iii kontrakcija mlaza. Narocito je izra2:ena na otvorima sa ostrim rubovima. Pri istjecanju tekuCine kroz takve otvore strujnice se toliko zgusnu daje povrsina presjeka mlaza Sk manja od stvarne povrsine otvora.

A A

Stika 7.23. Pitotova cijev pa je v = Slican uredaj moze mjeriti brzinu zrakoplova iii helikoptera.

.J2ih

d) Aerodinamicni paradoks Ako pusemo kroz kalem od konca na komad papira, papir nece odle~eti, nego ce ostati priljubljen uz kalem. . .. ~ Isto ce se dogoditi ako u lijevak stavimo kupu od papira. Pu$uci u lijevak, kupa ce ostati priljubljena uz lijevak. Vrijedi isto obja$njenje za oba slucaja. Papir na . kalemu djelomicno zatvara cijev kalema. Zracna struja · . Stika 7.24. Aerodinamicni paradoks koja nastaje puhanjem nailazi na male otvore i njena brzina se povecava, pa zatim opet opada. Poveeanje brzine ima za posljedicu smanjenje tlaka, tako da izmedu kalema i papira postoji tlak koji je manji od atmosferskog. Ova razlika tlaka drZi papir priljubljen uz kalem. Izvrsimo sljedeci jednostavni ogled: uzmemo dva lista papira i pusemo izmedu njih. Umjesto da se udaljavaju oni se medusobno priblizavaju. Strujanjem zraka izmedu listova papira smanjio se staticki tlak, tako da je postao manji od atrnosferskog koji sa strane djeluje na listove i pribli:Zava ih jedan drugom. Zbog toga je opasno da se brodovi mimoilaze u suvise malom razmaku. e) Bunsenov plamenik Sastoji se od cijevi koja ima sa strane otvore. U cijev ulazi tanja cijev koja na kraju ima uzanu mlaznicu, kroz koju velikom brzinom ulazi plin, zbog cega se stvara nizi tlak. Zbog niZeg tlaka u cijevi plina, zrak iz okoline ulazi kroz otvor i omogucuje potpunije sagorijevanje plina.

zrak plin Slika 7.25. Bunsenov plamenik 193

192

.--...,~:;"'

,!; ·,

. . . ~ '" r.:/1#1?#.;-f!l;GuK

38.

U cilindru s pokretnim klipom povrsine 10 cm 2 i tezine 10 N nalazi se plin. Izracunaj dodatnu silu kojom moramo djelovati na klip da se volumen plina u cilindru smanji na polovinu. Atmosferski tlakje I bar. F=llO N

3

Balon je te:lak 90 kg i ima volumen 1000 m • Izracunaj teret koji moze ponijeti kada je pun vodika. Gustoea vodika je 0,09 kg/m3, a zraka 1,3 kg/m 3•

m= 1120 kg 39.

Tijelo mase 500 g objeseno je o nit i visi u zraku. Kolika je sila u niti kada isto tijelo uronimo u vodu? Gustoca tijelaje 2,7 kg/dm3•

Izracunaj volumen tijela na koje u vodi djeluje sila potiska od 981 N.

F=3,09 N 40.

Skela je duga I5 m, a siroka 10m. Ako skela ne smije zaroniti dublje u vodu od I 7 em, koliki teret smije nositi?

41.

m=25,5 t

Tijelo je tesko u zraku 10 N, au vodi 6 N. lzracunaj gustocu tijela. (g = 10 m/s 2)

3

Masa covjeka u zraku je 70 kg, a volumen 65 dm . Covjek potpuno uroni u vodu i stane na vagu. Koliku ce masu vaga pokazivati?

m=5kg 30.

Koliki je na pov!'Sini Zemlje uzgon kojim zrak djeluje na covjeka mase 80 kg i volumena 3 80 dm ? Za koliko postotaka ovaj uzgon smanjuje tlak covjeka na podlogu? pz = I ,3 kg/m3 Fu = 1 N, Ap = 0,13%

1

42.

p = 1,5 kg/dm 3 31.

Stakleni halon volumena 25 litara kada je otvoren ima masu 1612 g, a kad se ispumpa zrak 1580 g. Izracunaj gustocu zraka. p = 1,28 kg/m3

43.

Kamen gustoce 2,6 kg/dm ima tezinu u zraku 30 N. Koliku silu moramo upotrijebiti da ga dr:limo u vodi?

lzracunaj gustocu tekucine da covjek mase 70 kg \ebdi u njoj. Yo lumen covjecjeg tijela je 82 dm3 •

44.

Uze dizalice moze izdrzati silu od 75 kN. Moze li se na njemu dr:lati pod vodom aluminijski 3 4 m ? Moze li u:Ze drZati ovaj blok iznad vode? Gustoca aluminija je blok volumena · 2,7 g/cm3•

3

Gv= 18,52 N 32.

p = 853,7 kg/m 3

je

.r:\V=10%

p = 2500 kg/m3 29.

Izracunaj dio volumena drvene grede koji je iznad povr5ine vode. 800 kg/m3•

.r:\V=20%

V= 100dm3 28.

:!;~(·'l!f(il ···..

p=':S(Jo~m3 35.

2

d=5,1 mm 25.

~ioou

Gz"' 106 kN, Gv = 66,76 kN

198 100

mr. Zeljko Stapic: FIZIK.A 1

rnr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

45.

Povrsina presjeka broda na razini vode je 6200 m2. Zbog opterecenja brod utone 50 em. Izracunaj tezinu tereta. F=30,41 MN

46.

Kroz slavinu ciji otvor ima pominu 0,8 cm2 istjece voda brzinom 1,4 m/s. Izracunaj: a) protok vode, b) koliko ce vode isteci za jednu minutu. a) Q = 0,112 Us, b) V = 6,72litra

47.

Za jednu minutu kroz cijev protekne 24 litra vode, brzinom I ,2 m/s. Izracunaj promjer cijevi. d= 1,24cm

48.

Iz slavine promjera 12 mrn za pola minute istekne 15 litara vode. Izracunaj brzinu istjecanja vode. Kontrakciju mlaza zanemari. v=4,4 mls

:.,

49. .~;!

50.

51.

58.

a) Za5to dolazi do smavanja mlaza vode kada curi iz slavine? b) Zbog cega nastaje propuh? c) Za5to se dim cigarete podigne nekoliko centimetara ravno i prelazi u VJt1og?

59.

Ko1ikom silom moramo drZati strcaljku cijevi ako voda izlazi iz nje brzinom 8 m/s? Promjer cijevije 4 em. F=80,4N

60.

v = 4,65 mls, Q = 2,32 Us 61.

2

Kroz horizontalnu cijev struji voda. Brzina vode na presjeku pomine 60 cm iznosi 80 crn!s. Izracunaj brzinu na presjeku povrsine 0,15 dm2• v=3,2 m/s Brzina protjecanja vode u mem dijelu horizontalne cijevi je 2,4 m/s. Kolika je brzina u dije1ovima cijevi koji imaju: a) dva puta veci promjer, b) tri puta veCi promjer? a) v2 = 0,6 mls, b) v3 = 0,27 m/s Koliko ce vode isteci za 10 s kroz otvor presjeka 4 cm2 koji se nalazi na dnu cisterne ako je razmak izmedu slobodne pomine vode i otvora 2m? V=251

62.

U bazen se ulijeva potok ciji je protok 0,25 m3/s. Na dnu bazena se nalazi kruZni otvor kroz koji istjece voda. Koliki treba biti promjer otvora da bi dubina vode u bazenu bila stalna i iznosi1a 3,5 m? Koeficijent kontrakcije je 0,66. D=24cm

54.

Brzina rijeke je 7,2 kmlh. Izracunaj protok vode ako rijeka ima: a) korito polukruznog oblika polurnjera 3 rn, b) korito oblika pravokutnika stranica 4 m i 2 m. 3 3 a) Q = 28,26 m /s, b) Q = 16 m /s

55.

63.

57.

Na stolu visine 130 em nalazi se posuda s vodom. Na dnu posude nalazi se otvor iz kojeg istjece horizontalno mlaz vode i pada na udaljenost 160 em. Izracunaj visinu vodenog stupa u posudi. h =49 em

200

Izracunaj razliku tlaka u horizontalnoj cijevi ako je brzina strujanja vode u prvom presjeku 2 m/s, a u drugom 3 mls.

U horizontalnoj eijevi na poprecnom presjeku povrsine 60 em2 teee voda brzinom 3 m/s, a .vlada staticki tlak 1,6 kPa. Izracunaj staticki tlak na presjeku tri puta vece povr5ine.

P2 = 5,6 kPa 65.

Izracunaj brzinu vode u horizontalnoj cijevi jednakih presjeka ako je ukupni tlak na jednom presjeku izmjeren savijenom cijevi (Pitotova cijev) iznosio 152 kPa, a staticki tlak izmjeren u vertikalnoj eijevije 120 kPa.

··Pule

v=S m/s 66.

Zracni ventilator ima promjer 20 em i izbacuje 3 m zraka svake minute. Kolikom brzinom struj i zrak kroz ventilator? v = 1,26 m/s Na dnu rezervoara nalazi se otvor promjera 50 mrn. Kroz otvor istekne 600 litara vode u minuti. Na kojoj se dubini is pod povr5ine vode nalazi otvor? h = 1,32 m

s2

Kojom brzinom istjece voda visine 5 m iz otvora na dnu rezervoara ako iznad povrsine vode djeluje tlak od 20 N/em2?

Pr- P2 = 2,5 kPa

3

56.

= 0,32

v=22,3 m/s

Kroz cijev unutamjeg promjera 40 mrn puni se rezervoar volumena 50 m3 • Za koliko ce se vremena napuniti rezervoar ako voda tece brzinom 2 m/s? t = 5,53 h

53.

s,

Jedna vodovodna cijev je kruZnog presjeka polumjera 10 em, a druga kvadratnog presjeka straniee 10 em. Kako se odnose brzine protjeeanja kroz ove cijevi? Vr/V2

64. 52.

Izracunaj brzinu protjeeanja vode i protok kroz popreeni presjek S2, kao na slici. h, = 60 em, h2 =50 em, S2 = 5 cm2.

Voda tece u horizontalnoj eijevi. Vertikalnom ejevcieom 1 mjerimo staticki t1ak, a ejevcieom 2 staticki i dinamicki t1ak. Ako je brzina strujanja vode 1,5 m/s, izracunaj visinsku razliku~h.

~h =

67.

11,47 em

Kroz eijev, nagnutu u odnosu na horizont tako da se srediste gomjeg poprecnog presjeka nalazi na visini h, = 6 m, a drugog na visini h2 = 2 m, protjeee voda. Izracunaj brzinu vode u donjem poprecnom presjeku ako je u gomjem brzina v 1 = 3 m/s. Staticki tlakovi iznose P• = 3,4 kPa i P2 = 1,8 kPa. v= 9,52 m/s

h

~a h

...

h2

= 2

:===~====-=: :: :.== -

=~==~===~=~~~===~====

201

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 68.

Izracunaj brzinu istjeeanja vode iz rezervoara, kao na slici, ako su dani podaei: PI •= 1,55 bar, Po= 101325 Pa, h1 =2m.

~

70.

Savijena eijev uronjena je u vodu koja protjece brzinom v '= 3,1 rnls. Na gomjem kraju eijevi nalazi se mali otvor, na visini ho = 20 em iznad povrsine vode. Koju visinu ce dostici mlaz vode?

!•I

h=29 em 71.

I~ ~

,1

p,

~=-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

78. };:

v

v=2,3 em/s 80.

Prema danim podaeima ustanovije li strujanje laminamo: D = 12 em, v = 0,1 rnls, v = 1,2·10-6 m2/s.

ho

T

~~~~~~~~t=~~I~~I~~~~I~~~Iv

Kroz horizontalnu eijev promjenljivog poprecnog presjeka protjece voda. Vertikalne ejevciee sluie kao manometri. Povrsine presjeka se odnose l :2. Ako je v 1 = 2 rnls i h 1 = 30 em, izracunaj visinu h2 •

81.

Klip mase 8 kg pritiskuje gornju povr5inu vode u vertikalnoj eijevi po1umjera 10 ern. Visina vodenog stupa u eijevi je 80 em. Iznad klipa se na1azi ziva visine 6 em. Izracunaj ukupan tlak na dno eijevi. Gustoca vode je I kg/dm3, a zive 13,59 kg/dm3.

82.

U eistemi prikazanoj na sliei nalazi se voda. Promjer eijevi kojom se kontrolira nivo vode u eijevi je 3 em. U ovu eijev se ulije toliko ulja 3 (gustoce 0,75 kg/dm ) da se u njoj obrazuje stup ulja visine 60 em. a) Za koliko ee se pri ovome spustiti razina vode u eijevi? b) Izracunaj masu istisnute vode iz eijevi.

~-

73.

Izracunaj maksimalnu brzinu fluida koji moze strujati kroz eijev promjera 10 em, da strujanje ostane laminarno. Kineticka viskoznostije 10-6 m2/s.

R. = 104 > 2300 (turbulentno)

hz=45,3 em

72.

Stalnom brzinom od 1 rnls vucemo plocu povr5ine 10 dm2 po ravnoj podlozi pod kutom 30°. Izmedu p1oce i pod loge je s1oj ulja viskoznosti 0,15 Pa-s i debljine 1 mm. Izracunaj silu kojom vueemo p1ocu. Hoce li ta sila biti ista kad se ulje zagrije? F=17,32N

79.

U horizontalnoj eijevi promjera 10 em tece voda brzinom 3 rnls, pri statickom tlaku 2,2 bar. Izmcunaj tlak u uiem dijelu eijevi promjera 4 em. Gus toea vode je 1 kg/dm3• pz = 48,75 kPa

,' ~

'

-L

·r~=~=====~===~~~===:=======

v = 12,1 rnfs 69.

v,-o

mr. Ze1jko Stapic: FIZIKA 1

2

Razlika t1aka izmedu sireg i uzeg dijela eijevi iznosi 10 N/em . Presjek sireg dijela eijevi je 10 dm2, a uzeg 5 dm2 . Koliko litara vode protjece ejevovodom u sekundi? Q=816,51Js Lokomotiva presjeka 5 m 2 i aerodinamicnog koefieijenta 0,6 giba se brzinom 108 krn/h. Izracunaj silu otpora zraka, ako je gustoca zraka 1,3 kg!m3. F=1755N

.:.~

·~~

83.

:'-7

·-~~

ll ~!

U

p = 18346 Pa

.Po

a) .&h = 45 em, b) m = 0,318 kg

posudu s vodom v~rtika1no je postavljena staklen~ ~ije~, tako da voda ude u nJU. Iznad vode ostane nepotopljem dw h eijevi visine 12 em. Zatim se u eijev 1ijeva ulje do vrha. a) Za ko1iko ce se spustiti razina vode u eijevi? b) Izracunaj masu x ulivenog ulja. Polumjer eijevi je 4 em, a gustoca upotrijebljenog ulja je 0,9 kg/dm 3•

., :' o :-:-: .·. -:-:-:

-=~==

.: :=:=:

f _:_: ---~=~- __::

a) x = 1,08 m, b) m = 5,43 kg

-+l"'

1

~.--

·'

74.

Camae se giba brzinom 36 krn/h. Povr5ina dije1a presjeka camea koji se na1azi u vodi je 2m2• Izracunaj silu otpora sredine ako je k = 0,3. Gustoca vode je 1 kg/dm3 • F=30 kN

75.

Na camae koji se giba brzinom 54 krn/h dje1uje otpor sredine silom od 25 kN. Povr5ina presjeka camea koji je u vodi je 6m2 • Izracunaj vrijednost aerodinamicnog koefieijenta. k=0,055

~·

84.

H= 17,2 em 85.

76.

77.

202

Brzinom 72 krn/h giba se automobil ceone povrsine 1,8 m 2• Aerodinamicni koefieijent tog automobila je 0,28. a) Izracunaj silu otpora, b) Ako bi se aerodinamicni koeficijent povecao za 50 %, ko1ika bi tada bila sila otpora? a) F = 131 N, b) F = 196,5 N Izracunaj silu unutamjeg trenja izmedu dvije parale1ne ploce povrsine 50 em 2 koje se nalaze na udaljenosti 0,5 mm, a izmedu kojih se nalazi ulje viskoznosti 0,1 Pas. Gomju plocu pokrecemo brzinom 5 m!s. F=5mN

Klip mase m1 = 2 kg napravljenje u obliku diska polumjera R = 4 ern sa otvororn u sredistu u koji je postavljena eilindricna eijev polumjera r = 1 ern. Klip moze bez trenja kliziti dui staklene posude. Na koju ce se visinu H podici klip ako se u eijev nalije 1 litra vode, u trenutku kad se klip nalazi na dnu posude?

U spojenim posudama nalazi se ziva. Promjer jedne eijevi je cetiri puta veci od prornjera druge. u uZu eijev se ulije toliko vode da se iznad zive forrnira vodeni stup visine ho = 80 em. Za koliko ce se podici nivo zive u: a) siroj eijevi, a za koliko ce opasti u uioj cijevi, b) u uzoj eijevi ako se u siroj nalije toliko vode da se i u njoj obrazuje vodeni stup iste visine ho? Gustoca zive je 13,59 kg/ drn3, a vode 1 kg/dm3• a) h 1 = 5,54 em, hz = 0,35 em, b) u siroj cijevi ce se spustiti za hz = 0,35 em, a u uzoj podici za h1 = 5,54 em

T~ h

:.-:-.

~

L. t~..----~-I-- ~

203

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 86.

87.

88.

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

Izracunaj preeiznost otvorenog manometra koji ima milimetarsku podjelu, ako se koristi: a) ziva, b) voda. a) Ap, ~ 0,7 mbar, b) Ap • .,. 0,05 mbar Na dnu rezervoara u kome se nalazi voda na dubini 120 em ispod povrsine vode, nalazi se kruZni bocni otvor promjera 5 em2• Izracunaj potrebnu silu na zatvaracu da bi sprijecila istjeeanje vode. F=23,1 N

llJJ

U posudi se nalaze jednake mase zive i vode, ukupne visine 40 em. Izracunaj tlak na dno posude.

h

p=7219 Pa 89.

90.

91.

h

U kotlu vlada tlak 1,2 MPa, dokje vanjski tlak I bar. Kotao je eilindricnog oblika visine 3,5 m i polumjera osnove 1,2 m. Izracunaj silu koja djeluje na zidove kotla. F=38,96MN Izracunaj kolika sila djeluje na zidove metalne lopte polumjera 50 em, u kojoj vlada ultravisoki vakuum. Uzmi da je atrnosferski tlak 997 mbar. F=SOO kN Plasticnu koeku gustoce 0,7 kg/dm3 stavimo u vodu. Koji ce dio koeke biti iznad vode? V;JV =3/10

97.

Predmct od Ulj= u koj= ': "'""' mjohmit mk>

'7"~< jo u mlm rr:::::::::::~~ -::~:-

705 N, a u vodt 600 N. IzraeunaJ zapremmu mJehunea zraka u tom predmetu. Gustoea zeljezaje 7,8 kg/dm3, a vode 1 kg/dm 3•

::

iV ::

3

--

--

AV = 1,3 dm 98.

:::::::::::::::::::

---------

Predmet od legure bakra i zlata ima masu 50 g. Kada se potopi u vodu ima tezinu 0,442 N. lzracunaj postotak zlata u predmetu. Gustoca bakraje 8,9 kg/drn3, a zlata 19,3 kg/dm 3. 20,4%

99.

Kada se na dno supljeg valjkastog plovka koji pliva na vodi objesi komad zeljeza mase I kg, tada je visina plovka iznad vode 15 em. Kad se teg stavi na plovak, onda je h h visina plovka iznad vode 11 em. Izracunaj povr5inu r, t presjeka plovka. Gustoca -----~· ___ .!: zeljezaje 7,8 kg/dm3• ====:=;:::: S =32em 2

:-:-:-:!- -'

j::::::=~===:~=~=~=3

100. Koliko puta je sila potiska na mjehuric zraka veca neposredno ispod povr5ine vode, nego na dubini 5 m? Uzmi da je atmosferski tlak Po= 1 bar. F1/F2 = 1,5 3

92.

Zeljezna koeka straniee 10 em i gustoce 7,8 kg/drn3 pliva u zivi gustoce 13,6 kg/dm3. Na zivu se lijeva voda, sve dok ne dostigne gomju p1ohu koeke. Izracunaj visinu sloja vode. hv = 5,4 em

101. Loptiea gustoce 0,7 kg/dm ispusti se u vodi sa dubine 2m. Izracunaj na koju ce visinu iznad vode iskociti loptica.

n .. 86 em

3

93.

Drvena koeka gustoee 700 kg/m3 pliva u posudi s vodom. Na vodu se lijeva ulje gustoce 0,6 kg/drn3 sve dok ne dostigne gomju plohu koeke. Izracunaj odnos volumena koeke koja je u ulju i vodi. V ulju= 3• V vodi

94.

Zracni balon napunjen je vodikom gustoce 0,09 kg/m3• Gustoca zraka je 1,29 kg/m3• Ako je nosivost balona 28 kN, izracunaj polumjer balona. r.,.8,2 m

95.

Balon ukupne mase 0,5 tona 1ebdi u zraku. Iz balona se izbaei teret mase 40 kg vertikalno prema dolje brzinom 1,5 rn/s. Izracunaj visinu na koju ce se balon podici za 5 sekundi. h = 14,92 m

96.

Posuda oblika valjka, cija je povrsina dna 1 dm2 zatvoren je klipom cija je rnasa 2 kg i ispod kojeg se nalazi stup zraka visine 50 em. Ako na klip stavirno uteg mase I 0 kg, za koliko ce se on spustiti? Po= I bar.

AI

........... ........... ............ .......... •

Al=5em

•

•

•

•

0

•••••

It

T'

102. Loptiea gustoce 0,7 kg/dm padne u vodu sa visine 2m. Na koju dubinu ce potonuti kuglica?

h =4,67 m

2

103. Iz vertikalne eijevi cija je povrsina otvora 8 em istjece mlaz vode brzinom V 0 = 10 rn/s i udara u drvenu p!ocu mase 2 kg, kao na slici. Na kojoj visini se odrZava ploca?

Jill!

h=2m

104. Kroz Ventu~jev.~odo~~Ije:, prikazan na sli~i, protjece voda. PromJer stre CIJeVt Je 30 em, a uze 15 em. Razlika razina u piezometarskim eijevima je h = 20 em. Izracunaj brzinu protjecanja vode kroz ufu cijev i protok vode.

v2 = 2,05 rnls, Q = 36,2 lis

105. Iz otvorenog viseg rezervoara pretace se voda u nizi rezervoar, kao na slici. Izracunaj: a) tlak u najnizoj tocki (C), b) protok vode. a) Pc = 54237 Pa, b) Q = 2,43 1/s

'

~

~ ___ _ _- ~ __ - _ _

____ .

~ ---·~ - ~ d, :-~ -_ :-: --ld~ ~- Z~=~=~ =~ ....

--~

Jh= 1.6m

t H=Jm

,~l

W

-1

-. -

..

204

205

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA I 113. Hidroeentrala daje I6·I06 kWh energije godisnje pri ukupnom stupnju korisnog djelovanja od 60 %, Pad vode iznosi 36 m. Izracunaj srednji protok vade. Q =8,6 m 3/s

106. Kroz uiu horizontalna cijev promjera 6 em tece voda brzinom 6 mls, a tlakje 2 bar. Uza cijev spojena je na siru eijev promjera 20 em. lzracunaj: a) brzinu i tlak u sirem dijelu cijevi, b) protok vode. a) v = 0,54 rnls, pz = 217854 Pa, b) Q •:::1 71/s

114. Na dnu eilindricne posude nalazi se krumi otvor promjera d = 5 em. Promjer suda je D = 20 em. Naci zavisnost brzine sni:Zavanja nivoa vode u sudu u funkeiji d, D, h. lzracunaj vrijednost te brzine za visinu h = 5 m.

I 07. Protok vode kroz cijev kao na slici je 70,65 1/s, a tlak u vecem presjeku je 2 bar. Izracunaj brzinu i tlak u manjem presjeku. r,=15 em, r2=?,5 em. Vz = 4 mls, p 2 "" 1,75 bar

sz ·..fiih v 1 = .JSr=Sf, s2 -s2

/.8,.

I 08. Kroz eijev promjenljivog presjeka, koja je u odriosu na horizontalnu ravninu nagnuta, pro~ece voda. l'oprecni presjek gomjeg dijela cijevi je 40 cm2, a donjeg 10 em2. Srediste presjeka gomjeg dijela cijevi na1azi se iznad horizontale 4m, a donjeg na visini 1m. lzracunaj odnos brzina u danim presjecima, ako je razlika tlaka u gomjem i donjem presjeku 0,3 bar. Vz/VJ ""4

.I

l

03m~

~ ~

~

~

~

a) Vs = 0,422 m/s, b) Ps = 173841 Pa, c) Q =8481/s

~.,

Vs

110. lzracunaj vrijeme za koje ce isteci voda iz pune spriee ako se na k1ip djeluje silom od 1,84 N, a hod klipa je I= 4,5 em. Povrsina klipa S 1 = 1,84 cm2, a povr!lina otvora igle s2 = 0,92 mrn2. t= 2 s

115. lzracunaj visinu na koju ce se podici voda iz posude, kao na sliei. Kroz.horizontalnu eijev struji zrak brzinom v 1 = I m/s. · Uzi presjek ima dvadeset puta manju povr5inu nego siri. Gustoca zrakaje 1,29 kg/m 3•

s, v, ~:=:=:::::::::'!11

~

jj iJ

~

--- -- . . ..:~------====1==--=::::_~-~-

r····"''''''''" . -

...

-·

..........

-~

... .

=:

-=------·------=======-_=======:t:======-

/'·ll·li0 \11 t~ !~

h, ~~---=-=-=-=-=n-=-=--------. ---

nv2

h2

I II l

~ IS 1

_- ...:,_.

_

-

116. Brzina zraka kroz uredaj za klimatizaeiju je 5 m/s, a protokje 3m3/s. Izracunaj snagu ventilatora. P=48,4W 117. Klip duzine I = 4 em i polumjera 0,6 em nalazi se u eijevi polumjera 0,8 em. Izmedu klipa i eijevi nalazi se sloj maziva dinamicke viskoznosti 0,82 Pa·s. Izracunaj brzinu kojom ce se gibati klip kroz eijev aka na njega djelujemo silom od 1 N. v = 1,62 m/s. 118. Rezervoar visine I 0 m napunjen je uljem. Na dnu rezervoara nalazi se otvor na koji je postavljena eijev duljine I = 2 m i poluinjera I em. lzracunaj najvecli brzinu istjecanja ulja kroz eijev i protok ulja. Gustoca uljaje 900 kg/m 3, a dinamicka viskoznost 0,5 Pa·s. Vm

~?·"\

d

h

v, Ill. Mlaz vode u fontani istjece brzinom v 2 = 12 m/s kroz otvor promjera 2 em, kao na slici. Promjer rezervoara je D = 2 m. lzracunaj: a) brzinu spustanja nivoa vode u rezervoaru, b) tlak pod kojim voda istjece iz fontane, c) visinu mlaza vade a) v 1 = 1,2 mm/s b) P1 =72 kPa c) h 2 = 7,34 m

;=--~~--~--~--~--=--~--=--==i h

h=22mm

~

109. Voda protjeee kroz eijev u presjeku A brzinom 3 m/s, pod tlakom 1,4 bar. Izracunaj: a) brzinu u presjeku B, b) tlak u presjeku B, c) protok vode.

v 1 ""0,6 m/s

2

:-:-:-:-:-:-:-:>&:t-:

""2,21 m/s, Q = 0,3471/s

-------------------------------------· ·-------------

H t--------------

----------:-:-~ :----_.._----:-_-_-c -:-:-:-:-:-:-:-tPI

I

·I

P2

J

---------------~-----------

119. Loptasto zmo plastike gustoce 800 kg/m 3 isplivava ka slobodnoj povrsini vode stalnom brzinom 0,2 m/s. Viskoznost vode je 0,8 mPa·s. Izracunaj polumjer loptastog zma. r=0,6 mm

J

T

.

~-:-;::;:~~:~:;:~;=~~;::~;:12 1__ , __

'

120. lzracunaj promjer kisne kapi koja pada stalnom brzinom 0,4 m/s. Viskoznost zrakaje 13 J!Pa·s. d = 96,8 fllll

112. Kroz kana) dubok 2m i sirok 5 m protjece voda stalnom brzinom 4 mls. Ako pretpostavimo da jc brzina vode ista po cijelom presjeku kanala, kolikom snagom raspola:Ze voda? Do koje ce se visine popeti voda u vertikalnom kraku Pitotove eijevi kojom se mjeri brzina vode u kanalu? P = 320 kW, h = 81,5 em

206

207

mr. Zeljko Stapic: FIZIKA 1

SADRZAJ 1.

UVOD ........................................................................................................................................ 1 Matematicke dopune .................................................................................................................. I R_a::voJ fizik~ ~roz_po~ijest~. cil} i_ podjela .................................................................................. 5 Ftztkalne vehcme 1 mJeme Jedmtce ......................................................................................... 19 Skalame i vektorske velicine u fizici ....................................................................................... 21 Greske pri mjerenju ...................................................................................................: .............. 25

2.

KINEMATIKA ...................................................................................................................... 34 Osnovni pojmovi ...................................................................................................................... 34 Jednoliko pravocrtno gibanje ................................................................................................... 37 Promjenljivo pravocrtno gibanje .............................................................................................. 38 Slobodan pad, vertikalan hitac ................................................................................................. 57 Kruzno gibanje ......................................................................................................................... 63

3.

DINAMIKA ............................................................................................................................ 73 Gustoca tijela ........................................................................................................................... 73 Newtonovi zakoni ................................................................................................................... 75 lmpuls tijela i impuls sile .............................................................•........................................... 83 Slaganje i razlaganje sila .......................................................................................................... 90 Elasticna sila ........... :................................................................................................................. 95 Sila trenja ............................................................................................................................... I 00 Centripetalna sila ........................................................................................ ,........................... I09

4.

GRAVITACIJSKOPOLJE ................................................................................................ Horizontalan ·hitac .................................................................................................................. Kosi hitac ............................................................................................................................... Newtonov zakon gravitacije ................................................................................................... Keplerovi zakoni .................. :.................................................................................................

118 118 121 129 131

5.

. ENERGIJA, RAD, SNAG A 139 Mehanicka energija 139 Mehanicki rad 141 Energija tijela koje titra .......................................................................................................... 143 Snaga ...................................................................................................................................... 144 Zakoni odrzanja ...................................................................................................................... 145

6.

MEHANIKA KRUTOG TIJELA ....................................................................................... 162 'Moment sile ............................................................................................................................ 162 Rotacija krutog tijela ............................................................................................................... 168 Moment impulsa- kutna kolicina gibanja .............................................................................. 170 Analogije izmedu pravocrtnog gibanja i rotacije ................................................................... 171

7.

208

MEHANTKA FLUIDA Tlak Hidrostaticki tlak Krvni tlak Uzgon (potisak)- Arhimedov zakon Atmosferski tlak Jednadzba kontinuiteta Bemoullijeva jednadzba Specijalni slucajevi primjene Bernoullijeve jednadzbe Realni fluidi Otpor sredine

182 182 183 185 186 187 189 190 192 194

195