Fizica povestita (in lucru)

Fizi a povestit  Cristian Presura

în lu ru April 19, 2010

i Observatii: • Dia riti ile nu au fost in a integrate. • Permisiunile pentru materiale preluate nu au fost in a erute. • Paginatia este aleasa doar pentru a  printata usor pe un A4. Ea se poate s himba.

ii

Contents

1 Me ani  

1. Lumea material  este ordonat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Limbajul naturii este matemati a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Despre Godel si limitele intrinse i ale matemati ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Astronomia în epe u iesirea din meditatie si m surarea mis  rii astrilor eresti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Cum putem m sura u un b t raza întregului P mânt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. De e nu s-a învârtit P mântul pentru mii de ani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Avantajul pra ti al stelelor xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Umbra e as unde m rimea Lunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Cum putem m sura distanta pân  la Soare f r  s  mergem a olo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Modelul lui Ptolemeu si oin identele sale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. De e sistemul lui Coperni este on eptual superior elui al lui Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Povestea lui Kepler si num rul magi 1.0042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Galileo Galilei si  derea liber  a orpurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Despre Newton si ele trei prin ipii ale me ani ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Desi diferite on eptual, masa inertial  si masa gravitational  sunt perfe t egale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Cum ade Luna mereu pe P mânt, f r  s -i ating  vreodat  suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. De e se s himb  mareele de dou  ori pe zi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Despre omete si mis area elipti   a a estora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. Cum a fost des operit  planeta Neptun din penita stiloului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. O teorie o întelegem bine atun i ând putem s rie un program pe omputer are s  simuleze numeri teoria . . . . 21. Forta de atra tie gravitational  dintre doi oameni este egal  u greutatea unei furni i, sau povestea lui Cavendish 22. Energia în zi   este un num r u unit ti de m sur , nu o notiune izoteri   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Notiunile zi e ne ajut  s  întelegem fenomenele, dar nu au existent  de sine st t toare . . . . . . . . . . . . . . . 24. Me ani a analiti  , sau despre um a ajuns o simpl  sme herie matemati   s  e "piatra din olt" a zi ii . . . . 25. Prin ipiul a tiunii minime în me ani a analiti   si e uatiile lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. Prin ipiul lui Fermat si dilema salvamarului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2 Ele tromagnetism 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52.

Ele tri itatea a un jo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dopul de plut  si âmpul ele tri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Broas a ele tro utat  si aparitia bateriei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polii magneti i nu pot  separati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câmpul magneti este generat de sar inile ele tri e în mis are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câmpul magneti a tioneaz  asupra sar inilor în mis are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cum a m surat Millikan sar ina ele tronului de pe o pi  tur  de ulei . . . . . . . . . . . . . . . . Cum a m surat Thomson raportul dintre sar ina ele tri   si masa ele tronului . . . . . . . . . . . Num rul lui Avogadro ne spune âte mole ule sunt în dou  g leti de gaz . . . . . . . . . . . . . . . Cum putem estima masa si dimensiunea unui atom din experimentele de ele troliz  . . . . . . . . Sar ina pozitiv  a atomilor este on entrat  în nu leu, iar ele tronii orbiteaz  în jurul a estuia . . O s urt  enumerare a st rilor materiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Materia vie, sau um er et m Universul în dire tia gresit  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câmpurile magneti e variabile genereaz  âmpuri ele tri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si âmpurile ele tri e variabile genereaz  âmpuri magneti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E uatiile lui Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Despre um se genereaz  undele ele tromagneti e si um au fost ele m surate de Hertz . . . . . . Lumina este o und  ele tromagneti   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Os ilatiile undelor ele tromagneti e si difra tia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cum a fost vizualizat âmpul ele tri al luminii abia a um âtiva ani . . . . . . . . . . . . . . . . Energia âmpului ele tromagneti este distribuit  în toate olturile spatiului . . . . . . . . . . . . Generatorii ele tri i transmit energie e hipamentelor ele tri e prin âmpul ele tromagneti din aer Cum are âmpul ele tromagneti masa inertial  si problema ele tronului lasi . . . . . . . . . . . Presiunea luminii si um am putea ânt ri lumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potentialele âmpului ele tromagneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forma analiti   a âmpului ele tromagneti si densitatea de lagrangean. . . . . . . . . . . . . . . . ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

iii

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1 1 1 3 3 4 5 6 6 7 8 9 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 19 20 23

29

29 30 31 33 34 34 35 37 38 39 41 43 44 46 47 48 49 51 52 55 56 57 59 61 63 65

CONTENTS

iv

3 Relativitate restrâns  53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74.

Sistemele de referint  inertiale sunt e hivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E uatiile lui Maxwell sunt a eleasi în toate sistemele inertiale, sau um am zugr vit asa ve inului . . . Câmpurile ele tri e si magneti e iau valori diferite în sisteme de referint  inertiale diferite . . . . . . . . Viteza luminii este a eeasi în ori e sistem de referint  inertial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viteza luminii nu depinde de vitez  sursei e o emite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lumina nu ir ul  prin "eter", pre um sunetul în aer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P mântul nu antreneaz  eterul în mis area sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De e trebuie a timpul s  se dilate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dilatarea timpului are lo nu numai pentru easuri, dar si pentru atomi sau ardeleni . . . . . . . . . . . Dilatarea timpului pentru sistemele ele tromagneti e se poate expli a lasi . . . . . . . . . . . . . . . . Dilatarea timpului este un fenomen universal, valabil nu numai pentru efe tele ele tromagneti e . . . . Contra tia Lorentz ne spune   obie tele în mis are vor  turtite în dire tia mis  rii . . . . . . . . . . . Postulatele lui Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nu exist  un timp absolut, e are îsi du e u el propriul s u timp. Materia genereaz  spatiul si timpul. Despre simultaneitatea absolut  e nu exist  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paradoxul gemenilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evenimentele se pot ordona într-un spatiu-timp 4-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formularea lui Minkovski pentru spatiu-timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cum numai un simplu prin ipiu de re ipro itate ondu e la transform rile lui Lorentz . . . . . . . . . . Masa inertial  a unui orp reste u viteza lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De e ni i m  ar informatia nu poate dep si viteza luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masa si energia sunt e hivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

4 Relativitate generalizat 

75. Teoria in omplet  a gravitatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. Prin ipiul e hivalentei si heia întelegerii relativit tii generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. Geometria ne-eu lidian  exempli at  de suprafata sferei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. Harta unei suprafete urbe si metri a sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79. Metri a spatiu-timpului urb. Analogia u o sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. Corpurile se mis a pe geodezi a temporal  a spatiu-timpului, iar lumina pe geodezi a nul  . . . 81. Metri a spatiu-timpului este data de tensorul de energie al obie telor e sunt ontinute în spatiu 82. Teoria relativitatii generalizate, sumarizata in trei relatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83. Aproximarea e uatiei lui Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. Metri a S hwarzs hild a spatiu-timpului urb din jurul unei stele . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. Raza de lumin  se urbeaz  în âmp gravitational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. Spatiul însusi este urbat în apropierea stelelor masive. Lentile gravitationale . . . . . . . . . . . 87. Fre venta luminii este deplasat  spre rosu în âmpurile gravitationale intense. . . . . . . . . . . 88. Timpul este în etinit în âmpurile gravitationale intense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89. Sistemele de navigatie GPS foloses teoria relativit tii generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . 90. Periheliul lui Mer ur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. Undele gravitationale au fost dete tate indire t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Sistemul LIGO de dete tie dire ta a undelor gravitationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. O alatorie atre gaurile negre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. Dovezi experimentale ale existentei gaurilor negre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Radiatia Hawking si "gaurile de vierme" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96. Friedmann si expansiunea prezisa a Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. Hubble si expansiunea masurata a Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98. Radiatia osmi   de fond, sau um s-a întune at Universul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99. Materia întune at  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100. Energia întune at  este responsabil  de expansiunea a

elerat  a Universului . . . . . . . . . . 101. Din olo de Einstein, sau teoria dinami ii newtoniene modi ate . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

5 Me ani a uanti   102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115.

Radiatia orpului negru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un os ilator uanti are nivele dis rete de energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De e orpurile în  lzite apar înrosite si nu alb strite... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lumina este uanti at  în pa hete dis rete de energie, numite fotoni . . . . . . . . . . . . . . . Emisia sau absorbtia luminii are lo prin tranzitii între nivelele dis rete de energie ale atomilor Unda pilot a ele tronului si rezonanta ei în atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unda de probabilitate a fotonului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unda de probabilitate a ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E uatia lui S hrodinger des rie evolutia undei de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Colapsul undei de probabilitate, misterul me ani ii uanti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Superpozitia uanti  , statuia uanti a si pisi a lui S hrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prin ipiul de in ertitudine al lui Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spinul ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Situatia mai multor parti ule. Bozoni si fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

71

71 72 73 75 76 77 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 91 95 97 98 100 100

107

107 108 110 112 114 117 119 121 122 123 125 126 128 131 133 134 134 135 137 139 141 143 146 148 150 153 155

161

161 162 163 164 166 167 169 172 175 176 178 182 184 186

CONTENTS 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128.

v

Postulatele me ani ii uanti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De oerenta poate expli a olapsul undei de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constiinta nu are probabil de-a fa e u me ani a uanti   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ipoteza universurilor multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paradoxul masuratorii fara intera tie, sau um putem identi a o bomb  a tivat  f r  s  o vedem Laserul, sau um putem obtine o stare de superpozitie uanti a în garaj . . . . . . . . . . . . . . . Cal ulatoarele uanti e exempli ate pe tabla de sah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cal ulatoarele uanti e implementate u elemente opti e liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Me ani a uanti   nu poate  expli at  lasi , prin variabile as unse . . . . . . . . . . . . . . . . . Me ani a uanti   nu este o teorie lo al  u variabile as unde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paradoxul EPR si veri area lui experimentala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teleportarea uanti   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Criptograa uanti a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Putina re apitulare si punere in s ena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metode de observatie a noilor parti ule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A

eleratoarele moderne de parti ule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pionul, pre ursorul fortei nu leare tari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intermezzo: Despre u tuatiile de energie, sau legea lui Murphy din me ani a uanti a . . . . . . . . . . . . Familiile de parti ule: leptoni, barioni si mezoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordinea as unsa a noilor parti ule si sar inile lor aditionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aparitia quar ilor: aromele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistematizarea parti ulelor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quar ii si " ulorile" lor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intermezzo: Ele tri ianul si transformarile de etalonare ale potentialelor ele tromagneti e . . . . . . . . . . Intermezzo: Experimentul Aharonov-Bohm si faza ele tronului privita a un grad de libertate intern . . . . Intermezzo: Spatiul Kaluza-Klein u patru dimensiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intermezzo: Manun hiurile de bre si spatiile interne ale parti ulelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invarianta la etalonare pentru romodinami a uanti   si simetria SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gluonii olorati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quar ii se ignor  la distante mi i si se atrag la distante mari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De e nu se g ses quar i liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cateva uvinte despre " ulorile" quar ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intera tia ele tro-slaba: punere in s ena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Neutrinul, pre ursorul fortei nu leare slabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoria lui Fermi pentru intera tiile slabe si bozonul W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eli itatea neutrinului si ruperea simetriei de hiralitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intera tia slab  si simetria SU (2) x U (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ideea de baza a bozonului Higgs: asemanarea u teoria supra ondu torilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Înghetul" Universului si ruperea spontana de simetrie datorata bozonului Higgs . . . . . . . . . . . . . . . A hizitia de mas  pentru bozonul W si uni area ele tromagnetismului u teoria intera tiilor nu leare slabe A hizitia de masa a ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quar ii si intera tia slab  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelul standard al parti ulelor elementare. Re apitulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Os ilatiile neutrinilor si masa lor nenul  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O s urta, foarte s urta istorie a Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

,

,

6 Me ani a uanti a relativista si ele trodinami a uanti   129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139. 140. 141. 142. 143. 144. 145. 146. 147.

Esenta me ani ii uanti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mis area relativisti   a ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pozitronul exist ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . St rile semi- lasi e din ele trodinami a uanti   si unda de probabilitate a Universului . . De la ampul lasi la a doua uanti are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De la ampul lasi la parti ule singurati e in Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Metoda lui Feynman pentru o parti ula fara spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramele Feynman: propagatorul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramele Feymann: Intera tia dintre ele troni si fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramele Feynman si multiplele pro ese virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parti ulele virtule si supa Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antiparti ulele pot  interpretate a niste parti ule are merg înapoi în timp . . . . . . . Diagramele Feynman in reprezentarea impulsului. Din nou despre parti ule virtuale. . . . Problema innitatilor din ele trodinami a uanti   si masa innit negativa a ele tronului Renormalizarea ele trodinami ii uanti e în metoda dimensional  . . . . . . . . . . . . . . Deplasarea Lamb si lungimea de und  Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentul anomal al ele tronului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vidul uanti are nu este into mai ... vid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aspe te moderne ale vidului uanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

,

,

,

,

7 Modelul Standard al parti ulelor elementare 148. 149. 150. 151. 152. 153. 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172. 173. 174. 175. 176. 177. 178. 178.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188 191 193 197 199 202 206 209 214 215 216 222 225

231

231 232 234 237 238 241 244 249 252 254 259 261 263 268 271 274 277 277 279

287

287 288 289 292 294 297 298 300 301 302 304 306 310 312 315 318 320 322 323 324 325 326 328 330 334 338 342 344 346 348 349 353

CONTENTS

vi 179. 180. 181. 182. 183. 184. 185.

Modelul inationar al Universului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Violarea simetriei dintre materie si antimaterie si a elei de sar ina-paritate Supersimetria parti ulelor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Marea Uni are a fortelor fundamentale ale Universului . . . . . . . . . . . În  utarea bozonului Higgs u a

eleratorul Large Hadron Collider . . . . . G urile negre mi ros opi e, un peri ol pentru Pamant? . . . . . . . . . . . . Ce ne mai astept m s  g sim la LHC? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

,

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

358 362 364 368 371 372 377

1

Capitol 1 Me ani  

se dedu una din alta. Este a si um Rusell ar în er a s  ne onving    Universul are o stru tur  logi  , e se poate reg si si re onstrui prin propozitii logi e deduse una din alta,

u ajutorul unor reguli denite mai dinainte. Foarte în ântati, multi oameni de stiint  au ridi at matemati a în sfera abstra tului, undeva din olo de a est Univers, ne ontaminat  de timp si spatiu, um spunea Mir ea Eliade despre oameni. Dar vai, e dezam gire pentru ei, ând matemati ianul Godel a demonstrat ( ulmea, matemati !)   si matemati a îsi are limitele ei. ,

1. Lumea material  este ordonat .

,

Einstein spunea odat    lu rul el mai de neînteles despre lume este   lumea poate  înteleas . Ciudat, nu? Ne-am  asteptat poate a lumea s  e o ole tie haoti   de întâmpl ri pun tuale si omplet imprevizibile, un Univers în are ori e se poate întâmpla si ori ând. Dar nu, Universul îsi are legile lui, pe are oamenii de stiint  în ear   s  le s oat  la suprafat . Ploaia, de exemplu, ade mereu de sus în jos si nu ne astept m s  ne punem umbrela sub pi ioare atun i ând iesim din as . Aristotel este desigur printre primii are a apre iat a east  ordine în Univers si p rintele stiintei. Dar nu despre el as vrea s  spun ai i âteva uvinte, i despre divinitate. Unii istori i spun   noi am inventat divinitatea atun i ând am în er at s  ne expli  m lu rurile din jurul nostru si nu am putut. Atun i am invo at interventia divin . O onse int  a a estei teorii este  , odat  e am des operit   multe lu ruri în Univers se întâmpl  în mod natural, f r  interventia dire t  a divinit tii, am în eput s  ne îndoim de prezenta ei. C  i ai i este heia a estei ordini a Universului relevate de stiint : este independent , este autosu ient . Ploaia ade de sus în jos mereu, independent par   de vointa divinit tii. Cel putin în lumea material  îl putem pune pe Dumnezeu deoparte, îl l s m doar s  priveas  ,   i lumea material  o putem expli a f r  el. Este desigur putin  autoironie ai i, dar pe de alt  parte poate   ai i st  r d  ina adân   a ateismului modern: putem expli a lumea material  f r  prezenta divinit tii. Pentru zi ieni îns , paradoxal, a est fapt este el însusi a un dar dumnezeies . C  i e poate  mai frumos de ât a porni pe a est drum lung, la ap tul  ruia putem expli a poate tot Universul însusi, sau m  ar modul în are el fun tioneaz ? ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3. Despre Godel si limitele intrinse i ale matemati ii ,

Ai i vrem s  lari  m ideea   nu ne astept m s  putem expli a tot Universul odat  e fa em parte din a est Univers. Nu este nevoie s  i lozof a s -ti dai seama  , în a est az, nu putem expli a totul. Este o iluzie s  redem asta. O iluzie

e trebuie eliminat  de la în eput, pentru a nu rea astept ri

e nu se vor adeveri mai târziu. Matemati a este parte a a estei lumi tot asa um eu, sau dumneavoastr , suntem parte a a estei lumi. 1 + 1 = 2 pentru toat  lumea, pentru   Universul în are tr im este asa f  ut. Da   pun un m r lâng  altul am dou , ori ine e de a ord   sunt dou , dar asta pentru   nimi zi nu se întâmpl  u merele. Si pentru   este asa pentru toti,  dem de a ord si putem onstrui limbajul matemati ii. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2. Limbajul naturii este matemati a S  m atenti si s  observ m   ordinea Universului o " itim"

u limbajul matemati ii. Da   avem dou  monede de in i lei, stim   avem ze e lei în total. Da   trenul plea   din Bu uresti la o or  si stim ât de repede merge, atun i putem prezi e ând ajunge la Râmni u Vâl ea. Pozitia unei stele o m sur m pe

er si o s riem în aiet u ajutorul unor numere. Putem prezi e unde se va a  steaua peste dou  ore da   lu m în al ul rotatia în jurul P mântului, adunând si înmultind numere. Et ., et ... Matemati a st  profund la baza zi ii si a a estei ordini a Universului. Clar, f r  s  înv t m s  rezolv m integrale nu vom putea rezolva e uatiile din zi  , f r  s  num r m nu putem s  abord m a east  problem  a ordinii Universului. Matemati a este limbajul naturii, asa um a fost armat adeseori. Matemati ianul Betrand Rusell (1872-1970) a în er at magistral s  în apsuleze toat  logi a matemati ii în elebra sa arte " Prin ipia mathemati a ", pentru a demonstra non ontradi tia si ompletitudinea matemati ii, f r  s  reuseas   de ât partial. Pentru ei uriosi, " Prin ipia mathemati a " este o arte diferit  de ori are alta. Dup  o s urt  introdu ere în uvinte, urmeaz  mii de propozitii logi e are ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 1.1: O mâna e o deseneaz  pe ealalt , într-o

unos ut  lu rare a artistului olandez Maurits Es her. Cine este Creatorul si ine este reatia? ,

,

,

,

,

,

Nu numai obie tele e le folosim fa parte din lume, dar hiar si imaginatia noastr  este ontaminat  de lume,   i ea imit  ,

,

Capitolul 1 : Mecanica˘

2

si opiaz  omport rile a estei lumi. Cine spunea   noi nu invent m nimi , i doar redes operim? S  e lar, matemati a este parte a a estei lumi, se trage din ea si se manifest  în ea. Ca atare nu ne putem astepta a matemati a s  poat  expli a

omplet îns si lumea din are fa e parte si are a reat-o,   i ar rea ontradi tii prin referinte la ea îns si. S  lu m de exemplu fraza "Eu mint". E usor de v zut

  ea nu poate  ni i adev rat  ni i fals  si   ea ontine o referint  la ea îns si. O astfel de propozitie ni i adev rat  ni i fals  este un osmar pentru matemati  . S  s riem a um o propozitie matemati   despre un lu ru din lume. Ca 1+1=2. Da   propozitia matemati   ar  dintr-o alt  lume, iar lu rul la

are se refer  (s  zi em niste mere) ar  din a east  lume, ni i o ontradi tie nu ar putea ap rea printr-o referint  la ea îns si. Ori e propozitie pe are o s riem este îns  parte a a estei lumi, doar a s  o s riem avem nevoie de erneal  are las  urme de atomi pe hârtie. F  ând a esta propozitie s  se refere

hiar la atomii din are e propozitia f  ut  (de i la propozitia îns si) putem rea auto-referinta de are aveam nevoie a propozitia s  nu e ni i adev rat  ni i fals . Iar a easta a fost tehni a lui Kurt Godel (1906-1978) pentru a demonstra in ompletitudinea matemati ii. În a est fel a demonstrat Godel   matemati a e in omplet ,   ontine propozitii e nu pot  ar tate ni i adev rate ni i false. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

în ât vom avea si uvinte a "5 123409" sau " 5d". În azul logi ii matemati e, Godel a putut res rie toate propozitiile logi e u numai sapte ifre, prin niste arti ii ingenioase, are au minimizat simbolurile folosite. Pra ti si uvântul " sau " si uvântul ”egal” din propozitiile logi e erau des rise de niste numere. În nal, e are propozitie logi   era exprimat  printr-o su

esiune de ifre, adi   un num r. S  remar  m atun i   o su

esiune de propozitii devine o su

esiune de numere. A demonstra sau inrma o propozitie se redu e la a g si su

esiunea de numere ( onform unor reguli bine stabilite)

are du e la armarea propozitiei sau la negarea ei. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

In orice sistem suficient de complex există o eroare ce nu poate fi decodificată

Figure 1.3: Câte numere reale avem? Cum pentru e are

ifr  a num rului real avem ze e alegeri, înseamn    num rul total de numere reale este χ(R) = 10×10×...×10. Da   not m u χ(N ) num rul de elemente innite ale multimii numerelor naturale, atun i avem χ(R) = 10χ(N ) . Se poate ar ta   ele dou  numere χ(N ) si χ(R) sunt innit ti diferite, pentru   nu poate  atribuit  o relatie bije tiv  între multimile pe are le reprezint . Interesant îns , printr-o teorem  asem n toare u ea a lui Godel, matemati ienii au demonstrat   nu vom putea sti ni iodat  da   exist  o ole tie de numere u un num r de elemente intermediar între χ(N ) si χ(R). ,

,

,

,

,

,

,

,

În prin ipiu, ne-am astepta a ori e propozitie are poate  formulat  s  e nu numai fals  sau adev rat , dar si demonstrabil . În limbajul lui Godel, a easta înseamn    pentru ori e num r e reprezint  o propozitie logi   trebuie s  g sim o su

esiune de numere are reprezint  demonstratia sau inrmarea propozitiei. Godel îns  a ar tat   exist  propozitii matemati e al  ror num r nu poate  onstruit a o su

esiune de numere ale propozitiilor intermediare. Adi  , u alte uvinte,   matemati a este in omplet , pentru   exist  propozitii are nu pot  demonstrate ni i false ni i adev rate. Demonstratia lui Godel foloseste faptul   metalimbajul, adi   limbajul logi ii, limbajul matemati ii, a devenit a um o su

esiune de numere, su

esiune  reia i se poate si ei atasa un alt num r! Pe de alt  parte, limbajul matemati ii se refer  la numere. Ne a m atun i în situatia initial , ând vrem s  des riem o lume (lumea numerelor, a matemati ii, a logi ii)

u instrumente apartinând a elei lumi ( tot numere, ele are ,

Figure 1.2: O ari atur  e s oate în evident  faptul

  paradoxurile se înmultes odat  e omplexitatea unui sistem reste.

,

,

,

,

,

,

,

Metoda lui Godel este pe ât de interesant , pe atât de e ient . Astfel, Godel urm reste ideile lui Rusell, are re unoaste   matemati a (si în general ori e fel de limbaj) este o ole tie de simboluri. Godel îns  are ideea genial  de a alege a este simboluri hiar numere ! Exemplul el mai simplu este el al jo ului opera Gusti, un jo pe are opiii îl joa   pentru a-si transmite mesaje "se rete". Ai i, o parte din litere sunt înlo uite u ifre, prin identi area "operagusti"="1234567890". Dup  um se poate vedea, uvântul "toiag" se s rie a "91056". Desigur, în azul jo ului nu avem ifre su iente s  a operim toate literele, asa ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

3

˘ ˘ as, trilor ceres, ti 4. Astronomia începe cu ies, irea din meditat, ie s, i masurarea mis, carii

des riu metalimbajul). Propozitia onstruit  de Godel are nu poate  demonstrabil  este de fapt elebra "Eu mint", s ris  în a est metalimbaj al numerelor si are se refer  tot la numere. Este util de mentionat   teorema de in ompletitudine a lui Godel nu a r mas în aria lozoei. Astfel, matemati ienii

hiar au g sit o propozitie matemati   despre are ei red   nu poate  demonstrat  ni i fals  ni i adev rat . A easta se refer  la num rul de elemente pe are le au diferite multimi innite si pe are matemati ienii le numes ardinali. Astfel, paradoxal, num rul de elemente innite al multimii numerelor naturale ( ardinalul numerelor naturale) este diferit de num rul innit al elementelor multimii numerelor reale ( ardinalul numerelor reale). Ciudat nu? Dou  numere innite

are sunt diferite. A est lu ru este posibil, pentru   nu se poate atribui o relatie bije tiv  (unu la unu) între elementele

elor dou  multimi. Ne putem întreba îns  da   exist  multimi innite al  ror

ardinal s  se ae între el al numerelor naturale si el al numerelor reale ( are este evident mai mare). Conform teoremei lui Godel, apli at  în a est az, se poate ar ta   nu putem aa ni iodat  r spunsul la a east  întrebare, pentru   a east  întrebare nu are o su

esiune de propozitii logi e are s  ondu   la r spunsul ei! Cu alte uvinte, este demonstrat matemati   nu putem sti ni iodat  pre is da   exist  o astfel de multime u un ardinal intermediar... Fas inant nu? S  stim u sigurant 

  nu putem aa vreodat  r spunsul la a east  întrebare...

Vară Iarnă

,

,

,

,

Către Steaua Polară

o

15 /h

Soarele

,

Vest

,

,

Nord

,

,

Est

,

,

,

,

,

,

Figure 1.4: Mis area zilni   a Soarelui pe er, în diverse anotimpuri. De notat   Soarele se mis   aparent pe er

u o vitez  de 15◦ pe or , adi   exa t 360◦ pe zi, atât ât îi trebuie s  o oleas   P mântul. ,

,

,

,

Luna si reeaz  efe tul de e lips . Cum a east  umbr  e rotund , P mântul trebuia s  e rotund a on luzionat el. Briliant, am zi e noi ast zi. C  i astfel toat  astronomia s-a n s ut. Da   P mântul poate  o olit si e rotund, unde se a  el si ât de departe se a  Soarele sau Luna? Dar stelele? Cât de mare e atun i P mântul? Iat  um, pornind de la o simpl  observatie si gândind alfel de ât majoritatea ( are vedea a elasi lu ru) âtiva oameni au putut rea atâta progres în întelegerea fenomenelor e ne în onjoar . A um toti gândim a Aristotel, dar s  nu uit m s -i  ut m printre noi pe ei putini are anti ipeaz  gândirea diferit  a urm toarelor milenii... S  nu uit m s  privim u alti o hi lumea din jurul nostru. ,

4. Astronomia în epe u iesirea din meditatie si m surarea mis  rii astrilor eresti ,

,

,

,

,

,

O s  în epem a um in ursiunea în zi  , printr-o s urt  introdu ere în astronomie, pornind de la observatii simple, a

esibile si nou , dar are as und în ele esenta lu rurilor... Pentru gre ii anti i, r s ritul si apusul zilni al Soarelui era o enigm . Unii, a de exemplu Xenophanes (570-480 î.H.), redeau   Soarele este o ole tie de pietre de fo , e se adun  în e are dimineat  s  formeze Soarele, a s  se despart  apoi seara. Altii redeau   Soarele este mereu altul în e are dimineat . Greu de spus atun i e este Soarele, iar

ei mai multi îl onsiderau desigur un zeu. Altii, putini îns , au îndr znit s  gândeas   altfel. Astfel, ei au observat   mis area Soarelui pe er este uniform , de 15 grade pe or . S  observ m   a easta ondu e la 360 de grade în 24 de ore, adi   într-o zi. Ori 360 de grade este un er omplet! P i atun i, au zis ei, nu este mai usor s  presupunem   Soarele des rie un er omplet si o oleste P mântul? Remar ati ât de puterni este argumentul. C  P mântul poate  o olit a fost a

eptat greu,   i el p rea urias de mare si nimeni nu îi v zuse ap tul. Dar da   poate  o olit, înseamn    are form . Indienii redeau   el este plat a o farfurie, purtat pe spate de un elefant. Filozoful Aristotel (384 î.H. - 322 î.H.) avea îns  alt  p rere. Astfel, el a putut estima în prim  instant  pozitia Soarelui în timpul noptii, de ealalt  parte a P mântului. Desigur, de tot e a avut nevoie a fost un eas are indi a ora din noapte,

  i stia   Soarele se mis   u 15 grade pe or . În a est fel, el putea al ula unde ajunge Soarele la ori e or  din noapte, de ealalt  parte a P mântului, de i putea extrapola pra ti pozitia Soarelui pe er. Apoi, Aristotel a studiat pozitia Lunii în adrul noptilor

u e lips  de Lun  si a omparat-o u pozitia extrapolat  a Soarelui (de ealalt  parte a P mântului) în a elasi moment al noptii. El a remar at atun i   pozitia extrapolat  a Soarelui este pre is opus  elei a Lunii fat  de P mânt, de i   pra ti

ei trei astri sunt aliniati în spatiu. Ca atare, Aristotel a presupus atun i ore t   umbra P mântului ajunge pre is pe Lun  si ea este ea are as unde ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

5. Cum putem m sura u un b t raza întregului P mânt ,

Primul are a m surat dimensiunile P mântului a fost gre ul Eratostene (276 î.H. - 194 î.H.), u mai mult de o mie de ani înaintea lui Cristofor Columb (1451 - 1506). S  ne reamintim   expeditia lui Cristofor Columb  tre Indii a fost nantat  de spanioli, dup  e portughezii au refuzat. Se rede îns  adeseori gresit   navigatorul Columb a fost refuzat de portughezi pentru   a estia nu au rezut   P mântul e rotund si a atare el nu ar  putut ajunge în Indii o olind P mântul. Gresit, portughezii au fost de a ord   P mântul e rotund, numai   ei stiau si dimensiunile lui, printre altii de la gre ul Eratostene, despre are vom dis uta ai i. Ori, au zis probabil ei, "dup  al ulele noastre, Indiile sunt prea departe pentru a le atinge o olind P mântul". "O s  mori de sete pân  a olo, sau de s orbut", ar  ontinuat ei. Columb îns  nu a as ultat, pentru   el redea gresit   P mântul este mai mi , i-a onvins pe spanioli si a ple at. Si noro ul lui   a dat de Ameri a pân  la Indii, pentru   altfel ar  murit sigur pân  la Indii! Ca s  vedeti   des operirile se pot fa e si pornind de la premise false atun i ând noro ul ne st  în drum, rar e e drept... Dar s  revenim la gre ul Eratostene si s  vedem um a m surat a esta dimensiunile P mântului f r  laboratoare de milioane de Euro. Astfel, Eratostene a observat umbra unui b t în dou  orase egiptene, în a elasi moment de prânz al zilei. Într-un oras, denumit Syene, Soarele era perfe t deasupra ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Capitolul 1 : Mecanica˘

4

apului, iar un b t verti al nu d dea umbr , pentru   era îndreptat hiar spre Soare. La a eeasi or  îns , în Alexandria, orasul elebrei bibliote i, Soarele de amiaz  nu era perfe t deasupra apului. În onse int , b tul verti al, s  zi em de 2 metri, d dea o umbr  de aproape 25 de entimetri. ,

,

,

,

,

Am v zut în pun tul pre edent um ve hii gre i au on luzionat în mod ore t   P mântul e rotund si i-au al ulat si raza. Am folosit îns  pe as uns în determinarea formei P mântului un lu ru esential si anume   umbra P mântului se poate forma pe Lun , u alte uvinte a Luna e un orp material si nu fo , imagine sau alt eva. Teoria   Luna, împreun  u elelalte orpuri eresti (Soarele, stelele, stelele  z toare, et .) sunt substante materiale (bolovani eresti am putea spune) a âstigat în greutate odat  u  derea unui mare meteorit lâng  Aigos Potamoi, în 467 î.H. Evenimentul l-a determinat pe Anaxagoras din Klazomenae (500 î.H. - 428 î.H.) s  presupun  hiar   Soarele e o piatr  rosie erbinte mai mare de ât Peloponez! Astronomia va  fost astfel n s ut ,   i tot eea e va urma, va  de fapt m surarea mis  rii a estor "pietre" prin spatiu, mis are v zut  de pe P mânt si apoi eventual întelegerea ei! Duetul experiment-teorie, um l-am numi azi. În urm toarele pun te vom exempli a a east  idee u

onstru tia si determinarea aproximativ  a sistemului P mântSoare-Lun , folosind alte âteva exemple heie din istoria astronomiei. În er  m s -l fa em pe ititor s  înteleag    în multe azuri m surarea propriu-zis  poate  efe tuat  de  tre

ititor însusi si   nu e mereu foarte di il , îns  ideea tipului de m sur toare a fost desigur revolutionar . Asa um am mentionat deja, ideile noi si m sur torile ru iale sunt "dup 

olt", trebuie s  stim numai dup  are olt s  ne uit m! ,

,

,

,

,

,

,

umbra

,

Razele Soarelui

Alexandria

,

,

băŃ

Syene

Pământul

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 1.5: Cum a m surat gre ul Eratostene raza P mântului. Stiind în ltimea b tului (2 m), umbra lui în Alexandria (25 m) si distanta dintre Syene si Alexandria (800 de Km) puteti estima raza P mântului? ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

O astfel de situatie se poate expli a simplu, da   vom

onsidera   P mântul este rotund, iar Soarele este foarte departe (s  zi em milioane de Km). În a est az, b tul ar  în linat diferit fat  de Soare, în fun tie de lo atia sa pe suprafata P mântului rotund si va genera umbre de lungimi diferite. În a east  situatie, stiind distanta dintre ele dou  orase (800 de Km) si lungimea umbrei (25 de m pentru un stâlp de 2m), u putin  geometrie, Eratostene a estimat raza P mântului a ind de aproape 6000 Km. Curios îns , a elasi efe t l-am obtine si da   P mântul ar  plat, iar Soarele s-ar aa undeva aproape de P mânt. Ai i, situatia este asem n toare u ea în are Soarele ar  un fel de be aat pe un stâlp de iluminat eva mai mare. Si în a est

az lungimea umbrei ar  dependent  de lo atia b tului aat pe undeva sub stâlp. Când suntem sub stâlp (situatia orasului Syene) lumina ade peste noi exa t de deasupra apului si nu l s m umbr . Când îns  ne mut m mai în olo de stâlp (situatia orasului Alexandria), vom avea o umbr  are se lungeste pe m sur  e ne dep rt m de stâlp. Luând în al ul distanta dintre ele dou  orase si m rimea umbrei, putem

al ula în ltimea stâlpului pe are s-ar aa Soarele si am obtine tot am 6000Km. Care din ele dou  situatii e adev rat ? Desigur   ea în are P mântul e rotund, a spus Eratostene,

are a tr it dup  Aristotel si unostea p rerea maestrului   P mântul e rotund. Ceea e e bine de retinut din a east  poveste sunt dou  lu ruri. Primul este   e bine s  vezi e s-a f  ut înainte, a s  în epi u premise ore te. Al doilea lu ru, poate mai important, este   unele experiente sunt "dup  olt", adi   pot  f  ute repede, odat 

e premisele sunt ghi ite ore t. O umbr  de 25 de entimetri este vizibil  pentru ori ine, iar experimentul poate  f  ut de un grup de s olari în ex ursie de la Baia Mare la Bu uresti. Oare âte astfel de experimente nu s-ar putea fa e în zi  , psihologie sau biologie, numai da   am ghi i premisele ore te, numai da   am sti dup  are " olt" s  ne uitam...

Cãtre Steaua Polarã

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Luna

,

,

,

Soarele

Soarele

Luna Pãmântul

Pãmântul în rotatie

,

,

Sfera stelelor în rotatie

,

,

,

,

Sfera stelelor fixe

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 1.6: Stânga: P mântul e nemis at, iar Luna, Soarele si sfera stelelor revolutioneaz  în jurul P mântului sin ron, u o perioad  de 24 de ore. Dreapta: a eeasi situatie, doar   a um numai P mântul se învârte în jurul axei orientate  tre Steaua Polar  (în sens opus!) la 24 de ore, restul r mânând xe pe par ursul unei zile. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Am v zut de i um ve hii gre i au dedus   P mântul este rotund si au m surat dimensiunile lui. În plus, ei au presupus

ore t (pentru timpul lor)   Soarele si Luna o oles P mântul în e are zi. Chiar si erul u stelele sale o oleste P mântul în e are zi. Cel mai natural p rea atun i   întreaga bolt 

ereas   ( u Soarele, Luna si elelalte stele xate pe ea a pe o ortin ) se roteste zilni , în jurul P mântului. Desigur

  la intervale mai mari, de un an, Soarele se deplaseaz  pe bolta ereas  , a si Luna la intervale de o lun . Dar pentru o singur  zi, putem presupune u o rezonabil  aproximatie   întreaga bolt  ereas   se învârte sin ron în jurul P mântului. Situatia este oare um surprinz toare. Avem trei tipuri de obie te eleste (Soarele, Luna si stelele), are se învârt sin ron ,

,

,

,

,

,

,

,

6. De e nu s-a învârtit P mântul pentru mii de ani

,

,

29

Capitol 2 Ele tromagnetism

Am v zut în apitolul pre edent um sistemul lui Newton des rie ore t intera tia gravitational  dintre obie te, asa

um sunt planetele masive ale sistemului solar sau bilele din experimentul lui Cavendish. Nu ne asteptam îns  a natura tuturor fortelor s  e numai gravitational . Atra tia gravitational  dintre obie tele u are suntem obisnuiti este prea mi  , de m rimea greut tii unei furni i, asa um am v zut. Ea nu poate de i expli a adeziunea s o iului sau forta mus hilor nostri, de exemplu. Forta gravitational  este prea mi   si pentru a expli a atra tia unui magnet, sau hârtiutele ridi ate de un pieptene atun i ând a esta este fre at. A este dou  exemple sunt desigur exoti e, f r  prea multe utilit ti pra ti e (ex eptând utilizarea magnetului în navigatie), motiv pentru are au si fost ignorate se ole de-a rândul. În a este dou  exemple (magnetul si fre area unui pieptene) g sim îns  sâmburii urm toarei teorii, ele tromagnetismul. C  i, adeseori în zi  , mi a ex eptie de la regul  "des oper " un alt sistem mai profund. Totul este s  remar  m si apoi s  studiem ex eptia. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Faraday (1791 - 1867), are a presupus   obie tele pot avea în orporate în ele un fel de "uid ele tri ", e poate  de dou  tipuri: pozitiv si negativ, ele dou  tipuri atr gându-se între ele. Ast zi stim   materia obisnuit  e onstituit  din ele troni, protoni si neutroni. Fluidul negativ al lui Faraday este format atun i din toat  ole tia de ele troni, iar el pozitiv din toat 

ole tia de protoni. O parte din materie, format  din neutroni, r mâne neutr  ele tri . De fapt, tuturor parti ulelor elementare li se poate atribui a east  ara teristi   fundamental , denumit  sar in  ele tri  . Ea poate  nul , pozitiv , sau negativ . Ele tronii au sar ina ele tri   negativ , iar protonii o au pozitiv . Din feri ire pentru noi, sar ina ele tri   are a eeasi valoare absolut  pentru ele tron si proton, doar semnul difer . Datorit  a estui lu ru, materialele obisnuite sunt neutre din pun t de vedere ele tri ,   i num rul de ele troni este egal u num rul de protoni si atun i sar ina ele tri   total  este nul . Dup  um se stie, sar inile ele tri e se atrag sau se resping una pe ealalt , dup  unos uta lege: sar inile ele tri e de a elasi tip se resping, iar ele de tip opus se atrag. Unitatea de m sur  a sar inii ele tri e este Coulomb, o unitate e ne poate ap rea arti ial aleas  ast zi. Astfel, forta de intera tie între dou  parti ule u o sar in  ele tri   de un Coulomb, situate la un metru una de alta, este e hivalent  u greutatea unui milion de tone! De fapt, da   am avea dou  persoane, una f  ut  doar din ele troni si alta doar din protoni, situate la un metru distant , atun i forta de atra tie ar  e hivalent  u o greutate de 1026 tone... Adi   aproape miliarde de miliarde de miliarde de tone, inimaginabil... De a eea am spus   "din feri ire" orpurile noastre sunt neutre ele tri , altfel ne-am  lipit unii de altii pentru vesni ie... Cantitatea de ele tri itate dintr-un obie t este suma sar inilor ele tri e ale tuturor parti ulelor din are este format obie tul. Asa um am mentionat, materialele obisnuite sunt neutre ele tri , pentru   a east  sum  este zero. Cu toate a estea, problema poate  âteodat  mai omplex ,   i sar inile ele tri e dintr-un material se pot deplasa dintr-o parte în alta, desi suma total  r mâne nul , iar materialul r mâne în ansamblu neutru din pun t de vedere ele tri . A east  deplasare a sar inilor ele troni e (ele troni si protoni) în material este destul de omplex  si ea depinde de material. Pentru dis utia noastr , putem presupune momentan   doar ele tronii au a east  apa itate, protonii ind imobilizati în stru tura are d  de fapt forma materialului. Pentru ele troni îns  unos dou  azuri extreme: metalele, în are unii dintre ei se pot deplasa liberi de la un ap t la altul si izolatorii, în are ele tronii ramân împere heati u protonii în atomi, dar se pot totusi mis a putin mai la stânga sau mai la dreapta. A um, s  lu m exemplul pieptenelui are atrage bu  tele mi i de hârtie. Ce se întâmpl ? Odat  e pieptenele este fre at de haine, a esta a umuleaz  sau pierde sar ini ele tri e de pe haine (ele troni) si îsi pierde neutralitatea, devenind în  r at u ele tri itate. Cu toate a estea, hârtiuta nu a fost ni i fre at , ni i atins , si de i ea este în   neutr  din pun t de vedere ele tri . Din a east  auz  ea nu poate  atras  de pieptenele ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

27. Ele tri itatea a un jo Termenul de "ele tri itate" este deviat din gre es ul "elektron", are înseamn  " hihlimbar". Chihlimbarul este o r sin  solidi at  de opa , e ontine de multe ori în interiorul s u plante, sau mi i inse te si de a eea este folosit des a bijuterie. Ve hii gre i au observat un efe t straniu: de âte ori hihlimbarul era fre at, el atr gea pene sau obie te mi i. Desigur si noi ând eram opii, ne ju am fre ând un pieptene de haine: dup  a eea puteam folosi pieptenele pentru a atrage bu  tele mi i de hârtie. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 2.1: Inse t  onservat  în hihlimbar Expli atia ore t  a a estui fenomen a fost dat  de Mi hael ,

,

,

,

,

30

Capitolul 2 : Electromagnetism

în  r at ele tri . A easta pentru   dou  obie te trebuie s  e ând eram opii poart  în el sâmburele si expli atia unei legi ambele în  r ate u sar ini ele tri e pentru a s  se resping  sau fundamentale din ele trostati  : variatia fortei ele tri e u atrag . De e este atun i atras  hârtiuta, da   ea este neutr  ? distanta. Cu alte uvinte, este ne esar a a east  fort  de intera tie dintre sar inile ele tri e s  depind  de distant ... ,

,

,

,

,

,

,

,

28. Dopul de plut  si âmpul ele tri ,

Forta ele tri   de atra tie sau respingere între orpurile în  r ate ele tri a fost m surat  pentru prima dat  de Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), printr-un instrument foarte asem n tor u el al lui Cavendish folosit la m surarea fortei gravitationale. Rezultatul este uimitor de asem n tor: forta de atra tie sau respingere ele tri   este proportional  u m rimea sar inilor si invers proportional  u p tratul distantei dintre ele. Supozitia noastr  din se tiunea pre edent  este astfel onrmat , a east  fort  variaz  u distanta. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Forta Coulomb de atra tie sau respingere a dou  sar ini ele tri e este:

Figure 2.2: În gur  este reprezentat  intera tia mi ros opi   e are lo atun i ând un pieptene fre at atrage o hârtiut . Obie tul din stânga-sus este un pieptene fre at de haine, are a devenit în  r at u sar ini ele tri e pozitive, iar el de jos este o hârtiut  neutr  ele tri . Deoare e sar inile ele tri e pozitive din piptene atrag ele tronii din hârtie, materialul hârtiei se polarizeaz  (ele tronii se redistribuie). Pentru   ele tronii sunt mai aproape de pieptene, forta u are ei sunt atrasi e mai mare de ât forta u are sunt respinse sar inile pozitive din hârtie, e sunt mai departe (vezi s hita din dreapta). În nal, forta total  este nenul , iar hârtiuta este atras  în sus.

,

,

,

,

Ai i ǫ0 este onstant  de permitivitate a vidului, q si Q sunt valorile elor dou  sar ini ele tri e, d este distanta dintre ele, iar i un ve tor unitate orientat pe dire tia elor dou  sar ini. Da   s riem a east  e uatie a: ,

,

,

,

,

,

,

1 qQ i 4πǫ0 d2

F=

,

,

,

E=

,

1 Q i 4πǫ0 d2

F = qE

,

atun i putem deni al primul termen a un âmp ele tri produs de sar ina Q iar al doilea termen a ind forta pe Expli atia a estui fenomen st  în stru tura mi ros opi   a are o simte sar ina q în âmpul ele tri E produs de sar ina hârtiutei si în faptul   sar inile ele tri e negative (ele tronii) ele tri   Q. sunt într-o oare are m sur  putin mobili. Astfel, pentru simplitate, s  presupunem   pieptenele pierde ele troni în Desi se stie mai putin, el are a veri at primul forma urma fre  rii si de i el are un ex es de sar in  ele tri   pozitiv  p trati   a atra tiei ele trostati e a fost, a si în azul (pra ti are mai multi protoni de ât ele troni). A east  sar in  fortei gravitationale, tot Henry Cavendish! Istoria spune   ele tri   pozitiv  în surplus atrage ele tronii din hârtiut , Benjamin Franklin (1706-1790) a observat   o sfer  metali  

are au sar ina ele tri   negativ . A um îns , hârtia este un goal  pe interior, în  r at  u sar ini ele tri e pe suprafata sa, izolator si de i ele tronii se pot deplasa putin în interiorul atrage o bil  de plut  doar da   bila de plut  este situat  în atomilor,  tre partea u hârtiuta, ind atrasi de pieptene. Pe afara sferei metali e, dar nu în interiorul ei. Curios, nu? de alt  parte, sar inile ele tri e pozitive (protonii) nu se pot La o întâlnire a So iet tii Regale Britani e, Franklin i-a odeplasa, de i ele r mân la lo ul lor. muni at a east  " uriozitate" lui Joseph Priestley (1733-1804). S  observ m   în a est pro es ele dou  antit ti de sar ini A esta a observat   efe tul este identi u el al ulat teoreti ele tri e (ele troni si protoni) din hârtiut  r mân în   egale si pentru fortele gravitationale, da   ne imagin m o planet  de i hârtia r mâne neutr , hiar da   ele tronii s-au deplasat goal  pe interior. Si ai i, da   punem un obie t în interiorul putin. Rezultatul nal este   avem mai multi ele troni  tre gol al planetei, a esta nu va  atras gravitational de  tre partea u pieptenele de ât în partea opus . Fenomenul a esta planet , indiferent de pozitia lui. Priestley a tras on luzia de reorganizare a sar inilor ele tri e dintr-un material izolator   fortele ele tri e trebuie s  aib  a eeasi omportare a ele poart  numele de polarizare ele tri  . gravitationale, adi   trebuie s  s ad  u p tratul distantei. S  observ m  , da   sar ina pozitiv  în ex es din pieptene Henry Cavendish, auzind a east  argumentare, a repetat ar atrage ele tronii din hârtie u a eeasi fort  u are respinge foarte bine aranjamentul lui Franklin si a dovedit   expoprotonii din hârtie, atun i hârtia tot nu se va mis a... A easta nentul distantei din formula fortei ele trostati e este e 2, în azul în are ele dou  forte (de atra tie si respingere) ar  e difer  de 2 printr-o valoare mai mi   de 0.03! Din p  ate egale în valoare absolut  si de i s-ar ompensa... Cavendish nu si-a publi at ni iodat  rezultatul are, în ziua Cu toate a estea, nimi nu ne împiedi   s  presupunem   de ast zi, i-ar  adus un premiu Nobel... forta de atra tie si respingere depinde de distant  ! Da   este Expli atia a estui fenomen porneste de la aranjamentul asa, atun i forta u are sunt atrasi ele tronii din hârtiut  este uniform al sar inilor ele tri e de pe sfera metali   (ele troni mai mare de ât ea u are sunt respinsi protonii, pentru   de exemplu). A easta fa e a forta ele tri   în entrul sferei ele tronii sunt mai aproape de pieptene... Forta total  asupra s  e perfe t nul  indiferent e omportare are a easta u hârtiutei va  atun i nenul  si de i hârtia va  atras  hiar distanta, datorit  simetriei sferi e. Cu toate a estea, forta da   ea r mâne neutr ! ele tri   în elelalte pun te din interiorul sferei poate  nenul  ! Iat  um un simplu experiment efe tuat a o joa   atun i A easta pentru   unele sar ini ele tri e de pe sfer  sunt mai ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

31

29. Broasca electrocutata˘ s, i aparit, ia bateriei

- - -

-

-

F

-

F

-

-

- - -

Figure 2.4: Stânga: Câmpul ele tri al unei sar ini ele tri e pozitive Q. A esta este dat de forta u are sar ina Q a tioneaz  asupra unei alte sar ini ele tri e pozitive q = +1C , de marime egal  u unitatea (numit  sar in  de prob ). Dreapta: âmpul ele tri al unui dipol format din dou  sar ini ele tri e opuse ,

,

Figure 2.3: În gur  este reprezentat  o sfer  metali   în  r at  ele tri . Lâng  a easta se adu e întâi un dop de plut  (dreapta sus). Sar inile ele tri e de pe sfera metali   vor polariza dopul de plut  si îl vor atrage înspre sfer . Într-un al doilea experiment se aseaz  dopul de plut  în interiorul sferei metali e ( entru). Si a um dopul de plut  este atras în toate p rtile de sar inile ele tri e de pe sfer  îns  forta total  este identi nul . Cum este posibil un astfel de rezultat nul, are nu se reg seste initial în simetria problemei?

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

ve torial, are a tioneaz  asupra sar inii de prob . Cum îns  forta este proportional  u m rimea sar inii ele tri e a probei, putem împ rti forta ele trostati   la valoarea sar inii de prob . Obtinem atun i un alt âmp ve torial, are este identi de fapt

u âmpul de fort  (pân  la o onstant ) si are este îns  independent de m rimea sar inii de prob . Îl numim pe a esta âmp ele tri . Am putea spune   a esta este un âmp "potent", e deseneaz  în spatiu liniile de fort  ale sar inii ele tri e mari. Pra ti , putem spune atun i   sar ina ele tri   mare nu atrage dire t orpul de prob , i indire t, prin intermediul a estui âmp ele tri . Astfel, sar ina mare Q reeaz  în prima instant  a est âmp ele tri . Sar ina de prob , aat  undeva prin spatiu, simte a est âmp ele tri sub forma unei forte, fort  are este atun i produsul dire t dintre sar ina sa ele tri   si âmpul ele tri din pun tul în are se a . Forta a easta o vom denumi de a um în olo fort  ele tri  . Pra ti , am împ rtit a tiunea ele tri   în dou  etape. În prima etap  o sar in  ele tri   reaz  un âmp ele tri , iar în ea de-a doua etap , âmpul ele tri a tioneaz  asupra unei alte sar ini ele tri e prin intermediul fortei ele tri e. Des rierile matemati e ale intera tiilor ele trostati e e prin forte ale lui Coulomb e prin âmpuri ele tri e sunt e hivalente,

u unostintele pe are le avem în a est moment. Cum am mai dis utat în le tiile pre edente, da   des rierile matemati e sunt e hivalente, nimi nu fa e o des riere mai "real " de ât alta. Astfel, âmpurile ele tri e pot ap rea în prima instant 

am "misti e", nenaturale. De e ar trebui s  introdu em un element aditional are nu se vede u o hiul liber ( âmpul ele tri ), are este generat în tot Universul de o simpl  sar in  ele tri   si a  rei "potent " se poate m sura doar plasând o alt  sar in  ele tri   în apropiere? Pare   ne ompli  m mai mult ! În plus, e are sar in  ele tri   din Univers va produ e propriul ei âmp ele tri si pe toate a estea trebuie s  le adun m, dup  um adun m si fortele într-un pun t. Cu toate a estea, vom vedea mai târziu   to mai a east  des riere u âmp ele tri este mai "real " de ât ea u forte, pentru simplul motiv   a este âmpuri ele tri e pot evolua în ontinuare hiar si atun i ând sar inile ele tri e e le-au generat au fost eliminate! Pra ti , âmpul ele tri ap t  propria lui viat , în lipsa sar inilor ele tri e... ,

,

,

,

,

,

îndep rtate, altele mai apropiate, iar valoarea fortei mai depinde si de distant . Pra ti , simetria este rupt  si forta total  va putea  nenul ... A um si ai i este toat  frumusetea problemei, da   forta ele tri   variaz  pre is invers proportional u p tratul distantei, atun i forta ele tri   total  în ori are pun t din interiorul sferei este nul  ! Numai în a est az si numai da   sar inile ele tri e de pe sfer  sunt aranjate uniform, este forta ele tri   nul  în toate pun tele din interiorul sferei. De notat

  în exteriorul sferei forta r mâne nenul  hiar si în a est az. Putem pune de i un material izolator a dopul de plut  în interiorul sferei, într-un pun t aleatoriu si m sura forta. Da   ea este nenul , atun i dopul de plut  se va polariza ( a si hârtiuta din se tiunea pre edent ) si apoi va  atras într-o parte sau alta... Interesant este   nu vrem s  punem o singur  sar in  ele tri   u are s  test m prezenta fortei, dintr-un motiv pra ti : a easta atrage la rândul ei ele tronii din sfera metali  . A estia, ind foarte mobili, se vor deplasa într-o parte sau alta, stri ând uniformitatea e este ne esar  pentru a testa teoria! Pornind de la forta ele tri  , putem folosi o mi   sme herie matemati  , pentru a introdu e eea e vom numi de a um în olo un âmp ele tri . Astfel, forta de intera tie ele trostati   dintre dou  sar ini este proportional  u produsul sar inilor a estora si a tioneaz  pe dire tia elor dou , a un ve tor. Ne putem imagina atun i o sar in  mare în entru si una mult mai mi  , pozitiv , pe are o vom numi sar in  de prob , pe undeva prin spatiu. Oriunde îns  s-ar aa ea, sar ina de prob  este atras  sau respins  de sar ina mai mare u o fort  anume, are depinde de lo atia ei si este proportional  atât

u valoarea sar inii mari ât si u ea a sar inii de prob . Pe a easta sar ina de prob  o putem folosi s  m suram âmpul 29. Broas a ele tro utat  si aparitia bateriei de forte ele tri e din jurul sar inilor. Am mentionat faptul a ele tronii (sar ini ele tri e negA est âmp de fort  din jurul sar inii mari este un âmp ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

32

Capitolul 2 : Electromagnetism

ative) posed  o anumit  mobilitate. Desigur, mobilitatea a easta depinde de material si ea este ea mai mare în metale. În se olul al XVIII-lea fuseser  deja onstruite dispozitive spe iale ( a de exemplu generatorul van der Graa) are permiteau extragerea ele tronilor prin fre are si depozitarea lor pe ondu tori metali i. De ai i, ele tronii puteau  pusi apoi în mis are pentru produ erea anumitor efe te, a de exemplu des  r  ri ele tri e. Cu toate a estea, un dispozitiv are s  întretin  ontinuu mis area ele tronilor nu fusese des operit. Spre sfârsitul se olului, Luigi Galvani (1737-1798), are efe tua experimente u ele tri itate pe broaste, a observat un lu ru urios. Astfel, el a pus în onta t apetele a dou  re metali e de materiale diferite. Apoi, u elelalte dou  apete r mase libere a atins mus hii unei broaste, are apoi s-au

onvulsionat instantaneu. Dou  teorii au ap rut apoi are s  expli e fenomenul. Prima, sustinut  de Galvani, spunea   mus hii genereaz  ele tri itate, eliberat  apoi de rele metali e. A doua, sustinut  de Alessandri Volta (1745-1827), spunea

  rele de metale diferite în onta t genereaz  ele tri itate, la are mus hii broastei doar rea tioneaz . ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 2.6: Bateria lui Volta onsta în esenta din trei elemente: un dis de upru, unul de zin si între ele un ele trolit ( a de exemplu hârtie impregnat  u sare). A este elemente sunt asezate într-un sandwi h unul peste altul pentru a rea o tensiune ele tri   ât mai mare. ,

,

,

,

densitatea de energie din toate bateriile r mâne am a eeasi, deoare e propriet tile ele trolitilor r mân asem n toare. De a eea avem în   baterii voluminoase si grele da   avem nevoie de energii mari. Sar inile ele tri e generate de  tre baterie sunt ole tate de obi ei prin dou  re metali e asezate la apetele ei. S-a observat apoi   alte re metali e pot  utilizate de asemenea la transportul în ontinuare al sar inilor, punând astfel bazele primelor ir uite ele tri e. A est lu ru nu trebuie s  ne surprind    i metalele sunt ondu toare, prin ele sar inile ele tri e ir ul  foarte usor. Cir ulatia de sar ini ele tri e din

ondu tori este uanti at  de urentul ele tri . A esta se deneste a ind antitatea de sar in  ele tri   e tre e prin

ondu tor în unitatea de timp. ,

Zinc

,

,

,

,

Cupru

,

,

,

Figure 2.5: Experimentul lui Galvani. Ai i dou  re metali e de zin si upru sunt aduse în onta t la ap tul din dreapta gurii. Ele formeaz  atun i la el lalt ap t (stânga gurii) o baterie ele tri   e genereaz  so uri ele tri e în mus hii broastei. ,

,

,

,

Pân  la urm , în azul studiat, s-a dovedit   Volta are dreptate, desi, dup  um a presupus Galvani, ele tri itatea poate  produs  si de orpurile vii. Pentru a-si demonstra teoria, Volta a onstruit o su

esiune de dis uri de metale diferite (zin si upru) în onta t, alternate u bu  ti de

arton impregnate u sare. În a est fel, el a onstruit de fapt prima baterie are, ind apabil  s  genereze sar ini ele tri e în mis are într-un mod ontinuu, s-a dovedit apoi ru ial  în urm toarele experimente de ele tri itate. O simpl  baterie se poate onstrui u ajutorul unei l mâi, în

are la un ap t b g m un ui, iar la el lalt ap t punem o moned  de upru. Pra ti , l mâia joa   rolul bu  tii de arton impregnate u sare din onstru tia lui Volta, ind un ele trolit. Trebuie îns  spus  , pentru a lumina o simpl  diod  luminoas , avem nevoie de âteva astfel de "baterii u l mâi" în serie. Interesant este  , pân  ast zi, prin ipiul bateriilor nu s-a s himbat prea mult. Avem desigur metale diferite, ele troliti diferiti, geometrii diferite, et ., îns  prin ipiul de baz  a supravietuit iat , mai mult de dou  se ole de la inventia lui. A esta este si motivul pentru are miniaturizarea bateriilor nu poate  onsiderat  de ât partial un su

es... Desigur, bateriile se pot fa e mai mi i, dar la fel si energia sto at  în ele. În nal, ,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 2.7: În gur  este exempli at um putem aprinde o diod  luminoas , onfe tionând o baterie în bu  t ria

asei. Pentru a easta, avem nevoie de âteva l mâi u ele trozi "implantati", one tati în serie. Un ele trod poate  o moned  de upru iar el lalt un ui galvanizat (a operit de obi ei u un strat subtire de zin ). În er ati! ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

În nal, s  mention m   metoda lui Galvani de a genera so uri ele tri e broastei a fost extins  azi în domeniul medi al. Astfel, în azul unui stop ardia , se poate folosi un aparat ,

,

,

71

Capitol 3 Relativitate restrâns 

În apitolul pre edent am v zut um ele tromagnetismul, elaborat pe par ursul se olului XIX, expli   foarte bine fenomenele ele tri e si magneti e. Desi nu am insistat, pe par ursul prezent rii teoriei am folosit un singur sistem de referint  inertial în are a east  teorie se elaboreaz . Desigur, am avut în minte un sistem de referint  x în raport u P mântul, pe suprafata  ruia am efe tuat experimentele. Problema major  este îns    P mântul îsi s himb  dire tia de mis are în de ursul unui an si de fapt noi am veri at, f r  voie, a eleasi legi ale lui Maxwell în mai multe sisteme inertiale... Desigur, a elasi lu ru este valabil si pentru legile me ani ii newtoniene, unde a east  revelatie nu produ e nimi spe ial. În azul ele tromagneti ii îns , asa um vom vedea,

onstatarea de mai sus a produs o revolutie la în eputul se olului XX si a dat nastere teoriei relativit tii. ,

,

z

z'

,

O'

,

,

zA

,

,

,

x'

y'

v

,

A

,

,

,

,

yA

,

O

,

y

,

,

,

,

,

xA

x

Figure 3.1: Dou  sisteme de oordinate ortogonale (Oxyz si O′ x′ y ′ z ′ ) în mis are unul fat  de altul u viteza v. În zi  , un sistem de referint  reprezint  un ansamblu Pozitia ori  rui pun t A se determin  u ajutorul a trei rigid de pun te din spatiu fat  de are se raporteaz  pozitia numere în e are dintre a este trei sisteme de oordinate, unui orp si  ruia i se ataseaz  un sistem de trei axe x, y , {xA , yA , zA } sau {x′A , yA′ , zA′ }. z , numite axe de referint . Pe par ursul a estui apitol, o s  avem în vedere numai sistemele de referint  ortogonale, unde

ele trei axe x, y , z sunt perpendi ulare între ele. Într-o prim  instant , situatia a easta omplex  se poate Pra ti , un sistem de referint  ortogonal poate  privit ignora. Pot alege de exemplu sistemul meu de referint 

a o hart  tridimensional : pozitia ori  rui pun t o putem ortogonal dat de oltul amerei. Este adev rat   a est olt se determina u ajutorul a trei oordinate x, y , z . Interesant mis  , îns  nu m  deranjeaz , în e are moment eu determin este   putem alege, pentru a eeasi situatie, o innitate de pozitia pun telor din Univers raportate la a est olt, oriunde sisteme de referint ; depinde unde aleg entrul sistemului de s-ar aa a est olt... Pentru un p ianjen are îsi fa e plas  în

oordinate si în e dire tie sunt orientate axele. a el olt de amer  nu prea are sens s  stie mis area oltului, Pentru un singur moment de timp, odat  e am ales pentru   ori um el se deplaseaz  prin Univers odat  u el. sistemul de oordinate (originea lui si orientarea), putem Dar, pentru o întelegere a unor multitudini de evenimente determina pozitia ori  rui pun t u ajutorul oordonatelor din Univers, ar  bine s  stiu um se mis   oltul amerei sale. Problema se ompli   îns  da   vrem s  studiem mis area mele (originea sistemului de referint ) prin a est Univers...

orpurilor în timp. De e? O s  spuneti, doar putem alege Cu alte uvinte, ar  bine s  onstientizez mis area sistemului un sistem de referinte pe are s -l p str m mereu a elasi... de referint . Ajungem astfel la on luzia  , pentru a des rie Da   eu aleg originea hiar în oltul de sus al unei amere, evolutia temporal  a sistemelor zi e, avem nevoie s  stim iar ele trei axe date de ele trei dungi e formeaz  oltul, nu numai originea si orientarea sistemului de oordinate la atun i pot determina pozitia unui pun t, în ori e moment, un moment dat, dar si mis area a estora prin spatiu. Avem prin trei numere e se s himb  în timp x(t), y(t), z(t). Ele vor atun i o ole tie innit  de sisteme de oordinate, are se reprezenta traie toria orpului. mis   unele fat  de altele, pe traie torii urbe, a

elereaz , Desigur, faptul   putem des rie mis area orpurilor în timp et . Dintre a estea îns , ele mai importante vor  pentru noi în a elasi sistem de referint  este ore t. Trebuie numai s  sistemele de referint  inertiale.

onstientiz m eea e se întâmpl  u sistemul de referint  însusi... De multe ori avem senzatia unui sistem de referint  absolut, are st  x, f r  s  se miste sau s  se roteas  , în a eeasi pozitie din spatiu. A est lu ru îns  nu este adev rat,

  i nimeni nu a putut g si un astfel de sistem de referint  Oare âte nu sunt lu rurile otidiene din jurul nostru are ne absolut pân  a um... Astfel, în azul oltului de amer , este lar   sistemul spun eva fundamental despre Univers? Cerul întune at ne de referint  nu este un sistem de referint  absolut,   i a est spune   Universul are o dimensiune si vârst  nit , altfel am

olt de amer  se mis   odat  u P mântul în jurul Soarelui!  inundati de lumina stelelor (paradoxul lui Olbers). Faptul Un sistem de referint  xat rigid pe Soare ar  probabil mai   apar linii întune ate între dou  degete pe are le apropiem aproape de el absolut, da   n-am realiza   si Soarele se ne spune   lumina este o und . Oare e se as unde în spatele faptului   nu putem du e de ât trei linii perpendi ulare una mis   fat  de stelele xe...

53. Sistemele de referint  inertiale sunt e hivalente ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Capitolul 3 : Relativitate restrânsa˘

72

pe peronul trenului va prezi e a eeasi mis are a orpului în

 dere, fat  de tren, f r  s  se ontrazi   unul pe altul.

pe ealalt ? Nimeni nu stie...

,

,

,

,

54. E uatiile lui Maxwell sunt a eleasi în toate sistemele inertiale, sau um am zugr vit asa ve inului ,

,

,

Teoreti , sistemul de referint  inertial este a el sistem de referint  în are mis area unui orp l sat liber, asupra  ruia nu a tioneaz  ni i o fort , este re tilinie si uniform . Este pra ti a el sistem are satisfa e prima lege a lui Newton,

are ne spunea   un orp l sat liber se mis   re tiliniu si uniform. C  i, da   as avea un orp liber de forte în vidul

osmi si sistemul meu de referint  a

elereaz  fat  de orp, atun i mis area orpului în a el sistem de referint  va p rea a

elerat ! Un astfel de sistem nu satisfa e ni i legile lui Newton, ni i intuitia noastr : de e ar a

elera orpul da   nu a tioneaz  o fort  asupra lui? S  mai observ m   ori e sistem de referint  are se mis   liniar si uniform fat  de a est obie t l sat liber în innitatea

osmi   este de asemenea un sistem de referint  inertial. În pra ti  , sistemele de referint  inertiale sunt a elea are se mis   u vitez  onstant  în raport u un sistem imaginar

are este denit de stelele xe. Foarte important este îns  s  remar  m   toate sistemele de referint  inertiale se mis   unul fat  de altul u vitez  onstant . Este usor s  ne imagin m a este sisteme de referint  inertiale,   i avem experienta lor aproape zilni . Un astfel de sistem este el pe are îl denim ând st m în repaus pe un peron. Axele a estuia le putem xa rigide fat  de peretii g rii. O minge asupra  reia nu a tioneaz  ni i o fort  r mâne în repaus fat  de a est sistem. Un alt sistem inertial este el pe are îl denim atun i ând suntem într-un tren e ir ul  u vitez  onstant . Axele a estui sistem le x m rigid de peretii trenului. Uitându-ne pe fereastr , am putea a um vedea mingea de pe peron um se deplaseaz , u vitez  onstant , în dire tia opus  trenului. A est lu ru satisfa e îns  legea lui Newton, are ne spune   un

orp asupra  ruia nu a tioneaz  forte se deplaseaz  u vitez 

onstant . Ori asta este exa t eea e se întâmpl  u mingea: ea pare   se deplaseaz  în sens opus u vitez  onstant ! Desigur, în azul mingii ne d m seama   noi suntem ei

e ne deplas m,   i putem privi apoi opa ii în mis are, sau gara. De âte ori nu ne însel m îns , atun i ând un tren de lâng  noi porneste în et, iar noi ne speriem pentru un s urt moment, având senzatia   trenul nostru este el ple at? Mai iudat îns , ând ne a m în tren si d m drumul la un obie t s  ad  jos, el ade în mod natural pe podea, f r  a r mâne în urma trenului. De fapt, da   am trage perdelele si am a operi ferestrele si am avea el mai silentios tren, ni i nu am putea sti   ne a m în tren! Am putea merge u 100 de Km/h si tot nu ne-am putea da seama   trenul merge, ori âte experimente me ani e am efe tua în abin ... A est aspe t a fost în apsulat de Galileo Galilei în prin ipiul de relativitate e îi poart  numele si are spune   toate sistemele de referint  inertiale sunt e hivalente pentru legile lui Newton. Pra ti , legile me ani ii sunt a eleasi în e are din a este sisteme. A easta expli   de e orpurile ad simplu pe podeaua trenului în mis are, pentru   putem apli a pur si simplu legea  derii orpurilor libere în sistemul de referint  al trenului, asa um o stiam din sistemul de referint  al peronului. Desigur, omportarea  derii orpurilor în tren o putem expli a si altfel, da   onsider m   toate orpurile în  dere liber  din interiorul trenului în mis are primes un impuls în dire tia de mis are a trenului. Pra ti , asa um am dis utat la le tia de me ani  , ele vor ir ula paralel si sin ron u podeaua trenului, v zut de pe peronul trenului. De a eea, lu ru foarte important, un observator din tren sau unul de ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

S  revenim a um la âmpul ele tromagneti si s  ne întreb m în are sistem inertial am elaborat noi teoria ele tromagnetismului. Desigur, ne-am  dorit s  o  elaborat într-un fel de "sistem inertial absolut", da   el o  existând... si astfel s   s  pat de toate grijile. Cu toate a estea, in onstient, am efe tuat toate experimentele de ele tromagnetism pe suprafata P mântului. Partea proast  este   P mântul se mis   în raport u Soarele si de i nu poate  un "sistem inertial absolut", desi poate  onsiderat un sistem de referint  inertial pe momente s urte. Astfel, am dovedit valabilitatea e uatiilor lui Maxwell într-un sistem de referint  inertial parti ular, are este x u P mântul si nu are ni i un ara ter de "sistem de referint  absolut"! Suntem astfel în situatia unui zugrav are zugr veste o as  foarte frumos si, la întoar erea proprietarului, îi arat  a estuia mun a minunat . Proprietarul este de a ord, f  ând îns  observatia   a ea as  este a ve inului si nu a lui. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 3.2: Pozitia P mântului în patru lo uri ale orbitei sale în jurul Soarelui. Noi am veri at, de-a lungul anului, legile lui Maxwell într-un sistem de referint  inertial parti ular, xat în a elasi lo pe suprafata P mântului (reprezentat în gur  prin niste guri mi i). Cum P mântul îns  îsi s himb  pozitia în timpul anului, noi am veri at f r  s  vrem legile lui Maxwell în mai multe sisteme de referint . Cum ni i unul nu este preferential si um legile lui Maxwell nu ontin un termen referitor la viteza P mântului, e musai atun i a legile lui Maxwell s  e valabile în ori e sistem de referint  inertial! ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

De fapt, da   urm rim mis area P mântului, vedem   viteza P mântului îsi s himb  dire tia si de i noi am veri at experimental legile lui Maxwell într-o multitudine de sisteme ,

,

,

,

73

55. Câmpurile electrice s, i magnetice iau valori diferite în sisteme de referint,a˘ inert, iale diferite

de referint  inertiale! Cum e uatiile lui Maxwell nu ontin ni i un termen referitor la viteza P mântului, nu ne r mâne de ât de on luzionat   ele sunt probabil valabile în ori e sistem de referint  inertial... Mare s ofal , o s  spuneti, înseamn  atun i   si legile lui Maxwell satisfa prin ipiul de relativitate al lui Galiei, a si legile lui Newton: ele sunt a eleasi în ori e sistem de referint  inertial. Care este problema? În se tiunile urm toare o s  dis ut m âteva probleme. Asa

um vom vedea, ea mai mare problem  este viteza luminii (viteza undelor ele tromagneti e), are este o onstant  universal  în e uatiile lui Maxwell. Atun i lumina trebuie s  mearg  u a eeasi vitez  (egal  u valoarea onstantei) da   este privit  din ori e sistem de referint  inertial... Ori um se poate asa eva, din moment e sistemele de referint  inertial  se deplaseaz  unele fat  de altele? În ontinuare vom vedea   e hivalenta e uatiilor lui Maxwell în diverse sisteme de referint  inertiale pune probleme serioase. De fapt, ai i este pun tul unde se sparge me ani a lasi   si

are impune teoria relativit tii restrânse. De a eea poate   n-ar  r u s  re apitul m ordinea a estor argumente ru iale: ,

,

,

,

,

astfel si âmp ele tri si âmp magneti ! Ce se întâmpl  atun i

u âmpul magneti , este el sau nu este în realitate? ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 3.3: Avem o sar in  ele tri   în tren. Pentru observatorul din tren (stânga), sar ina este în repaus, de i a easta produ e numai âmp ele tri E. Pentru observatorul de pe peron (dreapta), sar ina ele tri   este în mis are, de i produ e si âmp magneti B, are este desenat într-un plan perpendi ular pe dire tia de mis are a trenului. Ce se întâmpl ? Produ e sar ina ele tri   âmp magneti sau nu? Cum poate un observator ( el de pe 1. E uatiile lui Maxwell au fost obtinute într-un sistem inertial peron) s  vad  si âmp magneti iar altul ( el din tren) s  rigid u P mântul. 2. E uatiile lui Maxwell nu ontin ni i un termen are s  se vad  numai âmp ele tri ? refere la viteza P mântului. 3. P mântul nu este spe ial în Univers, ba mai mult, el are dire tii diferite de mis are în diverse momente ale anului. În Chiar da   întrebarea pare în uietoare, solutia nu este. V  e are moment noi am veri at astfel e uatiile lui Maxwell mai adu eti aminte ând am spus   trebuie s  lu m legile zi ii pentru diferite sisteme de referint  inertiale.

a pe niste e uatii matemati e are des riu lumea si nimi mai mult? Cum âmpul ele tri , are este un âmp ve torial, nu Din observatiile de mai sus nu se poate trage de ât o singur  este o ole tie de "s geti zi e" de are ne întep m, i un sistem

on luzie logi  : E uatiile lui Maxwell sunt a eleasi în ori e matemati are des rie um se omport  sar inile ele tri e? sistem inertial ! Ei bine, a um avem a eeasi situatie. Fie are din ei doi Da   nu v  onving argumentele de mai sus, atun i putem observatori are sistemul s u matemati are des rie lumea, adu e si veri  ri experimentale. S  ne gândim numai la u alte uvinte anumite valori pentru âmpul ele tromagneti . satelitii lansati pe orbite în jurul P mântului sau în sistemul Câmpurile ele tri e si magneti e vor  îns  diferite în ele Solar, are efe tueaz  m sur tori bazate pe âmpuri ele tro- dou  sisteme de referint , pentru   sistemele u are des riu magneti e. În fond, ne-am  asteptat hiar a a esti sateliti ei lumea sunt diferite! Ciudat nu? Desigur, dar adev rat. Ceea s  se pr buseas   da   e uatiile lui Maxwell ar  fost diferite e e important, este   ambii observatori s  prezi   a eeasi în sistemele de referint  inertiale ale satelitului, pentru   mis are a sar inilor ele tri e, altfel ar iesi ontradi tii. ele troni a de la bord nu ar mai  fun tionat asa um am Faptul   doi observatori, din dou  sisteme inertiale, prezi

onstruit-o noi pe P mânt... a eleasi rezultate pentru mis area sar inilor, nu este delo evident. În exemplul nostru, ne putem imagina   vrem s 

al ul m are este forta u are a tioneaz  sar ina din tren 55. Câmpurile ele tri e si magneti e iau valori diferite asupra unei a doua sar ini ele tri e de prob , aat  tot în tren. Vor prezi e si observatorul din tren si el de pe peron în sisteme de referint  inertiale diferite a eeasi inuent ? Va avea sar ina de prob  a eeasi mis are în ambele

azuri? S  vedem... În pun tul pre edent am ajuns la on luzia   e uatiile lui Observatorul din tren ar al ula âmpul ele tri dat de Maxwell sunt a eleasi în ori e sistem inertial. S  dis ut m a um despre prima onse int  major  a a estei observatii. prima sar in  ele tri  , apoi forta ele tri   asupra sar inii de Pentru a easta, s  studiem putin legile ele tromagnetismului prob , pentru a în nal s  determine mis area a esteia, în în dou  sisteme de referint  inertiale diferite. S  alegem parti ular a

eleratia ei. Observatorul de pe peron va al ula dou  azuri mentionate mai devreme, el al trenului si el al si âmpul ele tri si âmpul magneti dat de prima sar in  din tren ( are se mis   pentru el). Apoi va al ula si el fortele peronului. Pentru usurinta exprim rii, ând vom spune de a um în olo e a tioneaz  asupra sar inii de prob , îns  nu numai forta

  un observator din tren m soar  eva, întelegem   el fa e ele tri  , dar si pe ea magneti   pentru  , pentru el si a ele m sur tori în sistemul de referint  inertial are este rigid sar ina de prob  va  în mis are. În nal, folosind fortele, va

u trenul. Desigur, a elasi lu ru va  subînteles si pentru obtine si el o a

eleratie pentru sar ina de prob . S  observ m îns  um âmpul ele tromagneti este diferit observatorul de pe peron: ând el m soar  eva, el m soar  în pentru ei doi observatori, a si fortele e a tioneaz  asupra raport u sistemul de referint  e este xat rigid de peron. S  în epem a um u un az simplu: s  presupunem   în sar inilor si de i nimi nu ne asigur    ei vor obtine în nal tren se a  o sar in  ele tri   în repaus. Atun i, un observator a eeasi a

eleratie a sar inii de prob ! Pra ti , noi nu putem din tren ar raporta numai un âmp ele tri , sau mai bine spus  siguri   ei vor prezi e a eeasi mis are a sar inilor, ea are un âmp ele trostati , pentru   sar ina ele tri   nu este în se observ  în pra ti  ... mis are fat  de tren. Pe de alt  parte, observatorul de pe Partea ea mai interesant  este  , pentru viteze mi i ale peron va vedea o sar in  ele tri   în mis are, are genereaz  sar inii, folosind e uatiile lui Maxwell (e are în sistemul lui ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Capitolul 3 : Relativitate restrânsa˘

74

"Potrivirea" a easta a fortei magneti e se poate întelege si antitativ, da   vizualizam âmpul magneti neuniform al magnetului. Da   ne-am aa pe ondu tor, am vedea um magnetul se mis a fata de noi si de i um noi vom per epe a est âmp magneti a ind variabil pentru noi. Ori gradul de "variabilitate" depinde de viteza u are magnetul se mis a fata de noi, de i u vitez  relativ  dintre magnet si ondu tor. Creste viteza, reste si variatia âmpului. A easta variatie este îns  proportional  u âmpul ele tri generat, de i u forta ele tri   pe are o simt sar inile în ondu tor. În plus, a easi variatie depinde si de m rimea total  a âmpului magneti

are variaz . Estimativ atun i, âmpul ele tri pe are îl simt sar inile din ondu tor reste u sar ina ele tri  , u vitez  relativ  a ondu torului fata de magnet si u âmpul magneti . ,

F'm F'e

Fe

,

,

v

,

E'

,

,

+q

v

B'

E

v

v

+q

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 3.4: Stânga: Dou  sar ini ele tri e pozitive se resping într-un ompartiment de tren (în  sut  este s hitat  forta ele tri   e a tioneaz  asupra sar inii de sus). Dreapta: Fat  de un observator de pe peron, ambele sar ini sunt în mis are. În a est az prima sar in  ( ea de jos) genereaz  un âmp ele tri modi at E′ , dar si un âmp magneti aditional B′ . Cea de-a doua sar in  ( ea de sus) este a um în mis are în a est âmp magneti si ea va simti o fort  magneti   aditionala (vezi  suta din dreapta). În prin ipiu, suma fortelor magneti e si ele tri e în azul din dreapta ar putea  diferit  de forta ele tri   din stânga, eea

e înseamn    ei observatori ar prezi e mis  ri diferite ale elor dou  sar ini. Cu toate a estea, si ai i este mira olul e uatiilor lui Maxwell, forta magneti   din dreapta

ompenseaz  exa t s  derea fortei ele tri e, în asa fel în ât

ele dou  forte totale din stânga si dreapta sunt egale! ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 3.5: Un magnet si un ondu tor sunt în mis are relativ . Datorit  a estui lu ru, âmpul magneti indu e urent ele tri în ondu tor. Stânga: în sistemul de referint  al ondu torului magnetul în mis are reeaz  âmp magneti variabil, are la rândul lui reeaz  âmp ele tri

e a tioneaz  asupra sar inilor ele tri e. Mis area a estora

ondu e apoi la un urent ele tri . Dreapta: în sistemul de referint  al magnetului, ondu torul este în mis are si

u el sar inile ele tri e din ondu tor (ele tronii). Asupra ele tronilor a tioneaz  numai forta magneti  , pentru   în a est sistem de referint  magnetul este stati si de i nu exista âmp ele tri . Forta asupra ele tronilor va genera din nou urent ele tri . La viteze mi i, forta asupra ele tronilor va  de fapt a eeasi indiferent de sistemul de referint  ales si la fel va  si urentul ele tri generat. Exemplul ne arat  în   odat    nu apar ontradi tii ând folosim e uatiile lui Maxwell dintr-un sistem de referint  în altul si de i a este legi r mân valabile în ori e sistem de referint . ,

,

,

,

de referint ), ei doi observatori vor obtine a eeasi valoare a a

eleratiei. Cum se poate? Da   am studia al ulele, e uatie

u e uatie, am observa   heia întregii potriviri o poart  forta magneti  . Astfel, a easta este luat  în onsiderare doar de observatorul de pe peron, dar ea are pre is valoarea are

ompenseaz  diferenta de fort  ele tri   raportat  de ei doi observatori. De fapt, la viteze apropiate de viteza luminii, exist  onguratii în are forta ele tri   este aproape omplet înlo uit  u ea magneti   si totusi ei doi observatori prezi a eeasi mis are a sar inilor. Un alt exemplu de orelatie strâns  dintre âmpul ele tri si magneti este legea indu tiei magneti e. Ai i un âmp magneti variabil indu e o tensiune ele tri   într-un ondu tor. A east  tensiune ele tri   pune apoi în mis are ele tronii din

ondu tor. Pra ti , ele tronii din ondu tor "simt" âmpul ele tri e a fost generat de  tre âmpul magneti variabil,

onform u e uatiile lui Einstein. Pentru ineva de pe magnet îns  situatia e diferit , pentru

a el nu vede âmp ele tri ( âmpul magneti este stati fata de el, nu e variabil), i doar âmp magneti . El vede îns  un

ondu tor în mis are, are se se deplaseaz  relativ fata de el si presupune ore t a asupra sar inilor ele tri e din ondu tor a tioneaz  fort  magneti  , are le pune în mis are. Ce pune atun i în mis are sar inile din ondu tor, fort  magneti   sau forta ele tri  ? Observatorul de pe ondu tor spune   forta ele tri  , iar el de pe magnet spune   forta magneti . Pra ti , e are observator are r spunsul lui diferit, îns  el mai important este   ei prezi ambii a sar inile ele tri e vor  puse în mis are si ambii vor  dea de a ord asupra vitezei. Ori a est lu ru este posibil to mai pentru a fort  magneti   (proportional  u viteza si âmpul magneti ) are o valoare e fa e posibil  a easta potrivire. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Pe de alt  parte, un observator aat pe magnetul în mis are vede doar o sar ini ele tri e ( ele din ondu tor) e se mis   relativ la el. El nu observ  âmp ele tri , i doar âmp magneti . Cu toate a estea, stie de la primul observator   asupra sar inii s-a a tionat u o fort . Cum nu are âmp ele tri , el nu poate da vin  de ât pe âmpul magneti , are a tioneaz  asupra sar inii. Mai mult, va trebui s  on luzioneze   a east  fort  reste u sar ina ele tri  , âmpul magneti si

u viteza sar inii, asa um a prezis primul observator, pentru a raporta a eeasi mis are a sar inii ele tri e. Vedem astfel a fort  magneti   are o form  spe ial onstruit , pentru a doi observatori din sisteme inertiale diferite s  prezi   a eleasi rezultate, folosind e are în parte legile lui Maxwell. Este desigur remar abil  , la viteze mi i, fort  magneti   potriveste asa de bine lu rurile. Desigur, da   era s   onstruit noi Universul, am  ales o ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

107

Capitol 4 Relativitate generalizat 

Cine presupune   teoria relativit tii generalizate este mult mai di il  de ât ea a relativit tii restrânse, s-ar putea însela. Este adev rat   e uatiile sunt mult mai omplexe, îns  baza teoriei, metri a spatiu-timpului, a fost deja onstruit  în teoria relativit tii restrânse. Asa um am dis utat in apitolul pre edent, a easta reprezinta o formula e ne da "distanta" dintre doua evenimente in spatiu-timp, a easta distanta putandu-se masura e u rigla e u easul. Tot eea e trebuie ad ugat in teoria relativitatii generalizate sunt trei ingrediente aditionale: forma urb  a a estei metri i, formula are ne spune um se onstruieste metri a urba, si e uatiile are spun um se mis   materia în a east  metri  . Restul sunt detalii... O s  pornim si noi la drum, dis utând despre esenta teoriei relativitatii generalizate in a din primele se tiuni. A easta reprezinta o rasturnare a metodei pedagogi e obisnuite, are in epe de la lu rurile simple, pre um urbura luminii sau dilatarea timpului in ampuri gravitational si apoi merge

atre lu rurile mai omplexe, a de exemplu metri a spatiului

urb. Noi insa o sa fortam putin apa itatea de asimilare a dumneavoastra, si o sa in er am sa onstruim esenta teoriei Atra tia gravitational  pe are o exer it  pe elementele apitolului pre edent, in mod spe ial metri a Figure 4.1: P mîntul se poate des rie si prin intermediul potentialului spatiu-timpului. Abia dupa a easta urmeaza s  dis ut m gravitat ional V (r) . Ai i r reprezint  distanta de la pun tul apli atiile si nout tile teoriei. de masur  la entrul P mantului. Potentialul gravitational

reste u masa Pamantului M si s ade invers proportional

u r. În plus, el poate  privit a o und  sferi   e plea   75. Teoria in omplet  a gravitatiei din entrul P mantului si are se se deplaseaz  u viteza În apitolul de relativitate restrâns  am dis utat extensiv nit  a luminii. Ca atare, P mântul nu atrage orpurile despre e uatiile ele tromagnetismului, pe "spinarea" arora a olo unde potentialul gravitational în   n-a ajuns! Enam dezvoltat de fapt teoria. Dupa um ati vazut insa, nu ergia potential  a unui orp în âmpul gravitational al ne-am "atins" de teoria atra tiei gravitationale a lui Newton, P mantului se s rie simplu a E = mV (r), ind dat  de desi si a easta trebuie fa uta ompatibila u teoria relativitatii masa orpului si de potentialul gravitational în pun tul restranse. De exemplu, nu am dis utat despre forta de atra tie unde se a  orpul. La în ltimi h mi i fat  de suprafata gravitationala dintre orpuri, are este instantanee in teoria P mântului, potentialul graviational ia forma simpl  lui Newton, desi relativitatea restrâns  ne spune   ni i o informatie nu poate ir ula u o viteza mai mare de at viteza V = gh, unde g este a

eleratia gravitational . luminii. Cu alte uvinte, nu se poate a un orp s  atrag  instantaneu un alt orp aat la mii de ani lumin ... Am putea extinde legea de atra tie gravitationala a lui New- gravitationala) este mereu de atra tie, si nu de atra tie si de ton, luând în al ul viteza nit  a luminii? R spunsul este pozi- respingere a in azul fortei ele tri e. tiv. Da   vrem s  onstruim o teorie în are inuenta gravitatiei Da a vrem sa extidem teoria gravitatiei in asa fel in at s  nu dep seas   viteza luminii, ea mai natural  în er are este intera tiile gravitationale sa se deplaseze u viteza maxima a s  presupunem   a easta se deplaseaz  exa t u viteza luminii. luminii, putem opia reteta potentialelor ele tri e din teoria Pentru a easta ar trebui sa pornim de la potentialul grav- ele tromagnetismului. E uatiile pe are le vom obtine se itational, si nu de la forta, are este o onse inta a lui. A est dovedes nu prea omplexe, si asem n toare u ele ale unei potential gravitational ne este familiar, el ind proportional u sar ini ele tri e are emite potentiale ele tri e sub forma unor energia potentiala pe are o a umuleaza un orp de proba aat unde sferi e e se deplaseaz  u viteza luminii. Teoria astfel in a el amp gravitational. Pra ti , potentialul gravitational obtinut  se numeste a potentialelor gravitationale retardate. ne spune are este "potenta" orpului de proba are s apa de Potentialele se numes "retardate" pentru   ele ir ul  u o a olo, at de multa energie poate el onverti apoi in energie vitez  egal  u ea a luminii si de i ajung intr-un pun t anume

ineti a... El reste u masa a elor orpuri are reeaza ampul din Univers mai târziu, si nu instantaneu. Pra ti , atun i e are orp isi extinde inuenta gravitationgravitational, si este mai puterni in apropierea a estora. Am putea spune a potentialul gravitational este foarte asemanator ala ontinuu, prin intermediul unui front de unde sferi e e se potentialului ele tri ( el are deneste tensiunea ele tri a deplaseaza pre is u viteza luminii. Ori, u alte uvinte, un intre doua pun te), atata doar a forta e rezulta din el (forta orp emite in ontinuu unde e sunt e hivalente potentialelor ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Capitolul 4 : Relativitate generalizata˘

108

gravitationale, unde e se deplaseaza u viteza luminii. Atentie insa, asa um vom vedea mai tarziu, a estea nu sunt in a unde gravitationale, pentru a ele nu poarta intrinse energie (altfel, un orp lasat liber in Univers ar pierde in ontinuu energie prin a est me anism si masa lui ar s adea, eea e nu este in a azul). Teoria potentialelor gravitationale retardate, desi adev rat  într-o prim  aproximatie, nu este ins  solutia nal ! Cu alte uvinte, formula potentialelor gravitationale retardate nu reprezint  forma omplet  a teoriei gravitatiei, desi teoria gravitatiei se redu e într-o prim  aproximatie la a easta. A est lu ru a fost a

entuat în mod spe ial de Albert Einstein, desi a esta a urmat o alta ale de gandire. Astfel, Einstein a fost nemultumit de faptul   teoria relativit tii restranse se restrânge la azurile sistemelor de referinta inertiale. El a sesizat leg tura dintre sistemele de referinta inertiale si âmpul gravitational, pentru   sistemele inertiale trebuie

 utate la dep rtare de âmpuri gravitationale si a presupus

  inuenta âmpului gravitational este mai profund . Epopeea  ut rii sale a durat âtiva ani, pân  în anul 1915,

ând formulele prin ipale are o des riu au fost g site. S  în er  m si noi s  urm rim în parte a east  urgere a ideilor, pornind de la a ele observatii are l-au f  ut pe Einstein s 

read    gravitatia joa   un rol mai profund în natur  de ât o simpl  fort  de atra tie. Dup  um vom vedea in nal, gravitatia se va dovedi mult mai mult de ât o simpla intera tie e se deplaseaza u viteza nita a luminii. Astfel, forta gravitationala va  intrinse diferita de tot restul fortelor din Univers (ele tromagneti  , nu lear  sau slab ). Forta gravitationala va  in nal o manifestare dire t  a propriet tilor spatiu-timpului asupra obie telor are sunt il el ! Ori, in termeni tehni i, metri a spatiu-timpului este ea are va determina um se mis a obie tele, si nu forta gravitationala. De a eea, asa um vom aminti des, zi ienii pun astazi un semn de egalitate intre gravitatie si teoria relativitatii generalizate. Ambele sunt a elasi lu ru. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

F = mg si a

eleratiei g de i va  in a est az egala u masa gravitationala. Dar de fapt noi stim a si a est orp ade u a

eleratia g . Egalitatea elor doua mase inseamna atun i pur si simplu a toate orpurile ad u a eeasi a

eleratie g la suprafata Pamantului (desigur, da a se neglijeasa fre arile). Cu alte uvinte, în onditii ideale, dou  orpuri diferite l sate libere vor  dea în a eeasi manier  pe P mânt, un lu ru pe are îl stim de la experientele lui Galilei. Ori, într-o alt  formulare putin diferit : mis area orpului m într-un âmp gravitational este independent  de valoarea masei sale. Pun tul a esta este esential, asa   merit  s  îl strig m în gura mare: Mis area unui orp pun tual într-un âmp gravitational este independent  de masa si ompozitia sa, da a se neglijeaza fre arile. Si totusi, si-a zis Einstein, de e orpurile nu ad diferit în

âmpul gravitational, da   ele tot sunt diferite ? Trebuie s  e un motiv mai profund de ât oin identa egalit tii maselor gravitationale si inertiale, asa um a fost formulat  de Newton. C  i e determin  atun i mis area a elui orp? Da   a east  mis are nu are de-a fa e u orpul însusi (pentru   toate se mis   la fel) atun i e poate ? Cu e este in jurul orpului? Dar e este, a este numai spatiu vid... Ne apropiem de raspuns... ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

76. Prin ipiul e hivalentei si heia întelegerii relativit tii generalizate ,

,

Poate p rea iudat, dar motivul pentru are Einstein s-a în  p tânat s  read    gravitatia joa   un rol spe ial se reg seste în gândirea si experimentele lui Newton. Astfel, Newton a realizat   teoria sa are un aspe t pe are nu îl putea expli a: e hivalenta dintre masa inertial  si masa gravitational . Am dis utat a est pun t în apitolul de me ani  , dar s  re apitul m pe s urt ai i. Masa inertial  a unui orp se

al uleaz  în experiente în are nu intervine gravitatia. Ea se deneste   raportul dintre forta u are se trage de un

orp si a

eleratia pe are a east  fort  o imprim . Pe de alt  parte, masa gravitational  se deneste a raportul dintre forta u are orpul este atras de P mânt (da a ar  asezat pe suprafata lui) si o onstanta universala g , e reprezinta a

eleratia u are toate orpurile ad pe P mânt (si are are valoarea g = 9.8m/s2 ). Cele dou  valori ale maselor au primit denumiri diferite, deoare e sunt rezultate ale unor tipuri diferite de experiente (a

eler ri în imponderabilitate sau atra tie gravitational ). Dupa um se vede, primul experiment este dinami ( orpurile se mis  , pentru   noi tragem de ele) iar el de-al doilea este stati si impli   gravitatia (P mântul trage de orpuri)... Vedem de i ai i o relatie intrinse   între mis area orpurilor si fortele de gravitatie. Da a luam in onsiderare a si orpul despre are vorbim ar

ade a

elerat u a eeasi a

eleratie g , atun i egalitatea elor doua mase s-ar expli a. Pra ti , Pamantul trage de el, el ade

u a

eleratia g iar masa inertiala va  dat de raportul fortei ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 4.2: Reprezentare a lui Einstein aat in imponderabilitate intr-un lift. Intrebarea este, va putea sti Einstein da a se aa intr-un lift aat in imponderabilitatea osmi a, departe de stele? Sau poate a se aa intr-un lift in adere libera? Cum in el de-al doilea az toate orpurile ad sin ronizate Einstein n-ar putea observa diferenta fata de primul az. Pra ti , din interiorul liftului, Einstein nu poate vedea da   este în imponderabilitatea spatiului interstelar sau în  dere liber . De a eea, si pentru a r spunde la a east  întrebare, Einstein a imaginat elebrul experiment al liftului. În lift, o persoan  fa e experimente u orpuri, neputându-se uita afara pe un eventual geam. O alt  persoan , pus  pe sotii, e pune liftul în spatiul imponderabil, e îl lasa s  ad  liber în âmpul gravitational al P mântului. Dup  um intuitiv ne asteptam, deoare e toate obie tele din liftul în  dere ad sin ronizate, în a elasi timp, observatorul din lift nu va remar a ni i o ,

,

,

,

,

109

˘ ,ii generalizate 76. Principiul echivalentei si cheia înt, elegerii relativitat

diferent  între ele dou  situatii, ea în are liftul ade liber pe P mânt, ori ea în are liftul e în imponderabilitate undeva în spatiul îndep rtat. Desigur, obie tele ad sin ronizate to mai datorit  egalit tii

elor dou  mase, în onformitate u observatiile lui Galilei. Rezultatul este îns  remar abil: un observator din lift nu poate fa e diferenta între ele dou  situatii (  derea liber  sau imponderabilitate), el putin da   se uit  la orpurile din lift. Situatiile sunt identi e. Este îns  posibil a situatiile ele dou  s  e identi e în ori e privint ? Albert Einstein, sub inuenta teoriei relativit tii restranse, a propus exa t a est lu ru, si anume   ele dou  situatii ( ea în are liftul ade liber, sau ea în are e adus în imponderabilitate) sunt e hivalente. A esta este unos ut a prin ipiul e hivalentei. Dintre proprietatile omune, Einstein a de is sa se foloseas a de una anume, si anume metri a spatiu-tipului,

are trebuie sa e de i a eeasi in ambele situatii. Sa ne adu em a um aminte a, in spatiul impoderabil, departe de ampuri gravitationale, metri a spatiu-timpului este data de teoria relativitatii restranse, si ea a fost dis utata in apitolul pre edent. Asa um am vazut, a easta deneste de fapt "distanta" dintre ori are doua evenimente din spatiu-timp. "distanta" pe are am denumit-o interval. Da a evenimentele sunt temporale, atun i "distanta" se masoara u un eas in mis are re tilinie si uniforma intre ele doua evenimente. Pra ti , ea este data de timpul propriu al easului in mis are. Dupa um am dis utat, easul bate mai in et (intarzaie) to mai pentru a este in mis are, iar timpul propriu e tre e va  altul de at diferenta de timp dintre momentul nal si initial

al ulata in sistemul nostru de referinta. Timpul propriu poate  insa al ulat dire t din spatiu-timp, u ajutorul metri ii, de i u o formula asemanatoare teoremei lui Pitagora. Pentru simplitatea dis utiei o sa denumim metri a a easta a spatiu-timpului minkowskiana, pentru a sa stim a ea se apli a teoriei relativitatii restranse. Si, pentru a forma a estei metri e (dis utata in apitolul pre edent) este asemanatoare teoremei lui Pitagora, o sa aso iem a easta metri a spatiului eu lidian, el in are se apli a pre is teorema lui Pitagora. Sa revenim la observatorul din liftul in adere libera, si sa remar am um situatia a estuia este e hivalenta u ea din liftul in imponderabilitate, departe de ampuri gravitationale. Atun i, da   observatorul din liftul în  dere liber  îsi va trasa

oordonate de spatiu si timp, spatiu-timpul observat de el va  tot minkovskian ! Cu alte uvinte, aându-ne în interiorul liftului în  dere liber , vom veri a în întregime legile relativit tii restranse. A easta desi ne-am aa în  dere într-un

âmp gravitational si nu în spatiul imponderabil pre um am presupus ând am onstruit teoria relativit tii restranse! Presupunerea lui Einstein este astfel ru ial  si ea m reste în primul rând situatiile în are relativitatea restrâns  poate  apli at , el putin u azul liftului în  dere liber  în âmp gravitational. S  observ m îns    oriunde este un âmp gravitational putem alege un lift în  dere liber . Într-un sistem inertial rigid

u liftul, legile relativit tii restrânse vor  lo al satisf  ute. Lo al, metri a spatiu-timpului va  minkovskiana, în a ord u teoria relativit tii restrânse. Pra ti atun i, în ori e pun t din spatiu ( hiar si în ele în are a tioneaz  forte gravitationale) putem g si lo al sisteme de referint  ( ele ale liftului de i)

are satisfa legile relativit tii restrânse. Desigur, a estea a tioneaza pe o zona mi a ( ea din interiorul liftului), de a eea si sublinierea noastra a a est sistem de referinta va  lo al. Ne putem imagina atun i tot spatiul, hiar si a olo unde

ampurile gravitationale sunt puterni e, a ind onstruit de bu atel e mai mi i (lo ale) unde spatiu-timpul este minkowskian (de i se supune teoriei relativitatii restranse). Inseamna a easta a tot spatiu-timpul este minkowskian? Nu desigur, a i nu are um, stim doar a in azul general ( ampuri ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 4.3: Cheia teoriei relativitatii generalizate. Stanga: o suprafata spatiala urba, pe are este desenata o metri a ( a o plasa de peste) e s oate in evidenta proprietatile lo ale. Astfel, lo al, suprafata este planara, desi la distante mai mari ea ramane urba. Axele sistemului de oordinate sunt x si y . Dreapta: in a elasi fel este si spatiu-timpul

urb. Pe zone mi i, lo ale, a esta este minkovskianan, adi a des ris de teoria relativitatii restranse, dar pe distante mari va  urb, si pentru a estea trebuie sa dezvoltam teoria relativitatii generalizate. Axele sunt a um x si ct (timp). ,

gravitationale) un orp lasat liber nu isi va pastra viteza onstanta... Si atun i, e poate  spatiu-timpul da a este ontruit din zone mi i in are e minkowskian, a intr-un fel de puzzle? Raspunsul pe are l-a gasit Einstein este heia intregii povesti... El se bazeaza pe asemanarea dintre spatiu-timpul minkowskian si spatiul eu lidian, la are se mai adauga un ingredient: suprafetele urbe ! Astfel, se stie a suprafetele

urbe sunt, pe portiuni lo ale, drepte, planare am putea spune. Atun i Einstein a generalizat: în prezenta gravitatiei, putem presupune   toate evenimentele se aseaz  pe un spatiu-timp 4dimensional urb. Lo al, pe portiuni mi i, putem alege o metri   Minkovskiana. În totalitate îns , spatiu-timpul va  urb. Un spatiu-timp urb poate  imaginat prin analogie u suprafetele urbe, un deal s  spunem. Metri a a estor suprafete

urbe ( a dealul de exemplu) este ne-eu lidian , spre deosebire de ea a unor suprafete planare. Pe portiuni mi i ale dealului, putem onsidera îns  suprafata planar  si de i eu lidian . Tot asa, ne putem imagina   tot spatiu-timpul este urb, a un deal. Pe portiuni mi i îns , ni-l putem imagina planar,

eea e înseamn    putem onsturi lo al sisteme de referint  minkovskiene. Sistemele de oordonate lo ale ale spatiu-timpului e vor satisfa e astfel legile relativit tii restrânse vor  el rigid fat  de un lift în  dere liber , si ele are au vitez  onstant  fat  de a esta. Conse inta prin ipiului e hivalentei, pra ti heia intregii probleme este de i: Într-un âmp gravitational, toate evenimentele se aseaz  pe un spatiu-timp 4-dimensional urb. Lo al, metri a spatiutimpului este minkowskiana. In nalul se tiunii putem raspunde si la intrebarea initiala:

e pune in mis are orpurile aate intr-un amp gravitational, da a a easta mis are nu trebuie sa depinda de proprietatile

orpului, atata timp at el ramane pun tual? Desigur, trebuie sa e eva din jurul orpului. Iar raspunsul lui Einstein este: Corpurile sunt puse in mis are hiar de atre spatiu-timpul

urb are este reat de ampul gravitational! Dar, pentru a l muri mai bine a este aspe te, o s  dis ut m în ontinuare despre suprafetele urbe (neeu lidiene ), e hivalentul bi-dimensional al spatiu-timpului urb. A easta este îns  numai un pas intermediar,   i în nal va trebui s  ne

onfruntam u exemplul unui spatiu-timp urb... ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Capitolul 4 : Relativitate generalizata˘

110

77. Geometria ne-eu lidian  exempli at  de dreapt . Desigur, în azul eu lidian (foaia de hârtie întins , suprafata sferei de exemplu), linia dreapt  dintre dou  pun te este ole tia ,

,

Am dis utat pân  a um de impli atiile fundamentale a unei simple observatii, a ea a prin ipiului e hivalentei. Am vazut um a esta sugereaza heia teoriei relativitatii generalizate: spatiu-timpul este urb. A um îns  trebuie s  intr m mai adân în subie t si s  dis ut m despre stru tura

urb  a spatiu-timpului. Vom în epe de a eea mai simplu, u geometria ne-eu lidian  ( urb ) a spatiului. Pentru a xa îns  la în eput notiunile, mention m   geometria eu lidian  se apli   suprafetelor planare. Conform lui Eu lid ( a. 325 î.Hr - 265 î.Hr) a estea sunt suprafete pe

are, printr-un pun t, se poate du e doar o singur  paralel  la o linie dreapt  dat . Din pun tul nostru de vedere, el mai important este  , in geometria eu lidiana, distanta dintre dou  pun te se poate al ula din oordinatele pun telor u teorema lui Pitagora. Pe de alta parte, geometria ne-eu lidiana se apli a suprafetelor urbe, a de exemplu o sfera sau un

ilindru. Ai i distanta dintre doua pun te va avea nevoie de o alta formula de at teorema lui Pitagora. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

de pun te intermediare are deneste distanta ea mai s urt  dintre ele dou  pun te. În azul sferei, sau al ori  rei alte suprafete urbe, situatia este mai omplex . Ai i nu mai este lar imediat are este distanta ea mai s urt  dintre dou  pun te. Desigur, a easta trebuie al ulat  de e are dat  în fun tie de forma lo al  a suprafetei sferi e si ea deneste eea e se numeste o geodezi  . Geodezi a este de i linia ea mai s urt  dintre dou  pun te date. Ea este e hivalentul liniilor drepte din geometria eu lidian , si trebuie aata de la az la az. S  lu m de exemplu azul parti ular al suprafatei sferi e a P mântului. Va mai amintiti, meridianele sunt a ele linii

are str bat P mântul de la Nord la Sud, tre ând prin ei doi poli. S  alegem a um dou  orase aate pe a elasi meridian, unul mai la Sud si altul mai la Nord. E lar, linia e deneste distanta ea mai s urt  dintre a este dou  orase este hiar meridianul. Meridianul este atun i o geodezi   parti ular . Pra ti , putem observa usor a ori e geodezi a în geometria sferei este atun i o linie urb  (un er ) are împarte P mântul în dou  emisfere perfe t egale. În azul meridianului, geodezi a tre e prin ei doi poli îns , în general, ea va tre e prin pun te opuse pe suprafata sferei, onstruind pra ti er ul de diametru maxim are în onjoar  P mântul. Nu numai meridianele sunt geodezi e, dar si e uatorul. O linie are uneste România u Noua Zeeland  este o geodezi   în a east  geometrie, pentru   ele dou  t ri sunt situate la

apete opuse ale P mântului. Da   vrem s  ajungem ât mai repede in Noua Zeeland , atun i trebuie s  urm rim a east  linie a geodezi ei, pentru   ea deneste distanta ea mai s urt  între dou  pun te de pe o suprafat  urb . ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 4.4: Imagine din Google Earth u meridianele si paralelele Pamantului. Toate meridianele sunt geodezi e, denind linia ea mai s urt  dintre dou  pun te prin are tre , dar nu toate paralelele. Geodezi ele împart P mântul în dou  emisfere egale. Si e uatorul este o geodezi a. Cer ul polar si tropi ele nu sunt o geodezi a. O linie are tre e prin Romania si Noua Zeelanda, si are imparte Pamantul in doua parti egale va  o geodezi a.

Figure 4.5: Cele trei tipuri de geometrii: eu lidiana (stânga), elipti   ( entru) si hiperboli   (dreapta). Liniile paralele isi pastreaza distanta intre ele (stanga), se apropie (mijlo ) sau se indeparteaza (dreapta). Suma unghiurilor într-un triunghi este e 180 de grade (stanga), e mai mare de at 180 de grade ( entru) sau mai mi   (dreapta). ,

S  test m a um prin ipiul lui Eu lid pe suprafata urb  a P mântului si s  lu m a exemplu "linia dreapt " (geodezi a)

hiar meridianul e tre e prin Bu uresti. Putem du e a um o paralel  printr-un alt pun t (s  zi em Rm. Vâl ea) la meridianul P mântului e tre e prin Bu uresti? Sunt multe geodezi e ("linii drepte") e plea   din Vâl ea, dar ea are are sansa s  e paralel  este hiar meridianul e tre e prin Vâl ea. Ghinion îns , meridianul e tre e prin Vâl ea se întâlneste u meridianul e tre e prin Bu uresti de dou  ori, la ei doi poli! Putem trage atun i on luzia simpl : pe suprafata sferei, dou  linii paralele ( ele doua meridiane alese) se întâlnes ! Desigur, rezultatul este de asteptat, deoare e ori e doua

er uri mari are in onjoara P mântul (înp rtindu-l în dou  p rti egale) se vor interse ta. Prin ipiul lui Eu lid nu mai este valabil, de unde denumirea de geometrie non-eu lidian . ,

,

Pentru simplitate, s  lu m azul unei foi de hârtie. A easta este o suprafat  bidimensional , pentru   pe ea se pot desena doar dou  axe perpendi ulare una pe alta. În a elasi timp îns , da   foaia este întins  perfe t, suprafata este si eu lidian , planar  am putea spune. Astfel, printr-un pun t se poate du e doar o singur  paralel  la o alt  linie, iar suma unghiurilor într-un triunghi este de 180 de grade. S  lu m a um o alt  suprafat  si anume suprafata sferi   a globului P mântes , are nu este planar . Mai este ai i valabil postulatul liniilor paralele al lui Eu lid? Pentru a dis uta îns  de linii paralele pe suprafete urbe, va trebui mai întâi s  expli  m e întelegem ai i prin linie ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

161

Capitol 5 Me ani a uanti  

În primele patru apitole ale a estei  rti am dis utat teoriile lasi e : me ani a, ele tromagnetismul, teoria relativit tii restrânse si ea a relativit tii generalizate. În ultimele patru

apitole, vom dis uta orespondentele uanti e ale a estor teorii lasi e. Astfel, me ani a lasi   va lua forma me ani ii uanti e iar ele tromagnetismul va lua forma ele trodinami ii uanti e. Teoria relativit tii restrânse se va materializa în teoriile

uanti e de âmp, adunate în modelul standard al parti ulelor elementare. Cât despre teoria relativit tii generalizate, nimeni nu a reusit s  o uanti e pân  în prezent, asa   vom dis uta numai o propunere e în ear   s  fa   a est lu ru, unos ut  sub numele de teoria orzilor relativiste. Cuanti area teoriilor lasi e este îns  mai mult de ât o simpl  sme herie matemati  , este o noua imagine a realit tii

are iese la iveal , u aspe te extrem de paradoxale întelegerii noastre lasi e. Vom vorbi de in ertitudine a unoasterii, de teleportare, de atra tie a vidului sau de dis ontinuit ti în lumea aparent ontinu . Este interesant de observat   multe dintre a este aspe te paradoxale ale me ani ii uanti e au în eput s  e în orporate pe s ar  larg  în tehnologie, îns  ele nu ne-au uprins în   viata de zi u zi, are r mâne lasi  . Astfel, ne astept m a dimineata s  ne trezim în a elasi pat, desi me ani a uanti   ne spune   este posibil (dar u o sans  innitezimal de minim ) s  ne trezim si pe Luna... Noi in a vedem imagini netede si ltrate ale lumii din jurul nostru, desi o hii nostri sunt apabili de a inregistra "puri ii" uanti i din a este imagini, dati de natura dis reta a luminii, fotonii... Pe de alt  parte este posibil a, peste milioane de ani, oamenii s  experimenteze dire t u simturile lor a east  form 

uanti   a lumii, în fond natura ei real . Poate   suetul lor va putea s ri de la un pun t la altul în univers, asa um poate fa e uanti un ele tron, poate   reierul oamenilor va per epe ash-urile dis rete de lumin  e formeaz  fotonii, poate   gândirea lor va iesi atun i din forma ei analiti   si ontinu  pe are o simtim noi a um si va avea olapsuri

uanti e de neb nuit... La urma urmei, revolutia uanti   este o revolutie a ultimei sute de ani, iar urm rile a estei revolutii peste sute sau mii de ani sunt imposibil de prezis. Noi vom urm ri, în urm toarele dis utii, um a avut lo a east  revolutie uanti   si în e onst  ea. Vom in epe pe o linie "istori a" si pedagogi a in a elasi timp, urmarind aparitia diverselor on epte uanti e si evolutia lor ulterioara. Inspre partea a doua a apitolului ne vom on entra pe aspe te mai avansate, are sunt la ora a tuale subie te a tive de er etare. ,

,

,

,

,

,

,

lumina. Proie tând apoi toate ulorile astfel separate pe un e ran, Newton a obtinut spe trul a elei raze de lumin  alb ,

e era in a est az olorat a un ur ubeu, de la rosu la violet. În anul 1859, Gustav Kir ho (1824-1887) era preo upat de prezenta unor anumite linii întune ate în spe trul luminii de la Soare, pe are el le-a m surat într-o manier  asem n toare lui Newton. Desigur, a este linii întune ate relev  absenta unor ulori în lumina parti ular  a Soarelui. În în er area sa de a le întelege, Kir ho a onsiderat absorbtia si emisia de lumin  a orpurilor în  lzite în general, nu numai a Soarelui. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

102. Radiatia orpului negru ,

Faptul   lumina e vine de la Soare este ompus  din mai multe ulori a fost demonstrat u su

es de  tre Isaa Newton prin experientele sale u o prism  opti  . Newton a plasat prisma în drumul unei singure raze de lumin  alb  si e are uloare omponent  a fost deviat  într-o alt  dire tie. El a reusit astfel sa separe e are uloare din raza alba de ,

,

,

Figure 5.1: Pentru m surarea radiatiei orpului negru, se ia mai întâi o in inta în his  (stanga), a  rei pereti interiori se înnegres . Apoi in inta se în  lzeste uniform la o temperatur  T dat , dup  are ea se va înrosi datorita aldurii, hiar da a in inta este neagra. Spe trul luminii radiate in urma in alzirii se poate m sura printr-o gaur  mi   f  ut  în in int . In gura este prezentat prin ipiul masuratorii spe trului, printr-o prisma opti a asezata in alea luminii emise. Datorita dispersiei, lumina se separa in ulorile omponente. Apoi, masurand intensitatea luminoasa a e arei omponente putem re onstitui spe trul intregii raze. ,

,

,

,

Faptul   Soarele erbinte, sau fo ul, emite lumin , este un fapt obisnuit. Pare normal   ori e obie t în  lzit se înroseste si emite lumin . Cu ât se în  lzeste mai mult, u atât devine mai str lu itor si emite mai mult  lumin . Kir ho a fost interesat între relatia dintre temperatura orpului si spe trul luminii emise. Pentru o temperatur  dat , ât de mult  lumin  se emite, are este spe trul a esteia? Într-o prim  etap , Kir ho a ar tat, printr-un argument ingenios,   raportul dintre ât  lumina radiaz  un orp

ând este în  lzit si ât  lumina absoarbe este o m rime universal , independent  de natura orpului si dependent  doar de temperatura lui. Fizi ienii au ales s  m soare a east  m rime universal  pe un az parti ular, aproape ideal, el al asa-numitului orp negru. Dupa um ii sugereaza numele, un orp negru absoarbe ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Capitolul 5 : Mecanica cuantica˘

162

toat  lumina in ident  pe el. Pra ti , din toata lumina e ade pe el nu se mai ree ta nimi , eea e il fa e sa apara negru. Contrar asteptarilor insa, un orp negru radiaza lumin  da a este in alzit! Cu alte uvinte, un orp negru va apare si el rosu odata e este in alzit... Emisia orpului negru are de i un spe tru de lumina (mai mult rosu, mai putin galben, et .). In plus, spe trul a esta este dependent de temperatur , pentru a

u at il in alzim mai mult u atat el devine "mai rosu" sau "mai galben"... Pentru un orp negru de i, absorbtia luminii egaleaz  unitatea (pentru a se absoarbe tot), pe and emisia este dependent  de temperatur . M rimea universal   utat  de Kir ho (raportul dintre emisie si absorbtie) ar  atun i egal  u emisia a estui orpului negru. De a eea, er et torii au în eput s  e interesati în m surarea spe trului radiatiei

orpului negru si dependenta a estuia de temperatur . Desigur, a easta ar trebui s  e o marime universala, independent  de materialul din are e fa ut orpul negru. ,

,

,

în ontinuu, ajungându-se dup  un timp la un e hilibru termi . În nal, Lummer si Pringsheim au m surat spe trul luminii radiate prin mi a gaur  f  ut  intentionat. Variind temperatura in intei, ei au putut astfel masura si variatia spe trului u temperatura. Spe trul m surat de ei doi zi ieni are un maxim de radiatie la o anumit  uloare a luminii, e depinde de temperatur . La temperaturi mi i, a est maxim este în infrarosu, iar la temperaturi din e în e mai mari el se apropie de rosu. De a eea orpurile în  lzite ne apar înrosite. Ast zi, a este efe te sunt foarte bine unos ute. Ele sunt folosite invers, la m surarea temperaturii unui orp numai pe baza spe trului de lumin  generat de a esta. În a est fel putem m sura temperatura orpului uman u ajutorul unui termometru în infrarosu, sau temperatura medie a Universului,

u ajutorul radiatiei de fond. Spe trul radiatiei orpului negru ar  ramas o uriozitate poate, u ateva apli atii tehni e, da a el nu ar  s os la suprafata una dintre esentele me ani ii

uanti e: uanti area nivelelor de energie.... ,

,

,

,

,

,

,

,

103. Un os ilator uanti are nivele dis rete de energie În paralel u m surarea spe trului de radiatie al orpului negru, zi ienii au în er at s  expli e forma a estuia. Primul

are a avut su

es a fost zi ianul german Max Plan k (1858-1947). Remar abil, a esta a putut ta tot spe trul de radiatie al orpului negru, pentru toate temperaturile, u o singur  formul . Interesant este   a east  formul  ontine o singur  onstant  nou  h fat  de ele deja unos ute, e a primit mai târziu denumirea de onstanta lui Plan k.

1646oC

,

o

1460 C

,

,

1259oC

Raportul dintre emisivitatea e a unui orp si absorbtia sa a este dat o onstanta universala K(λ, T ) = e(λ, T )/a(λ, T ). Pentru orpul negru a = 1, iar onstanta autata K depinde numai de emisivitate. Pla k a reusit sa teze toate urbele de emisivitate (radiatie) ale orpului negru u formula: Figure 5.2: M sur torile originale ale zi ienilor Lummer si Pringsheim (anul 1900) pentru variatia u temperatura a spe trului orpului negru. Pe axa verti ala este intensitatea unei anumite ulori din spe tru, iar pe axa orizontala este lungimea de unda a a elei ulori, exprimata in mi rometri. Spe trul de radiatie al orpului negru este reprezentat la diverse temperaturi. Pe masura e temperatura reste, intensitatea luminii reste, iar lungimea de unda a maximului se deplaseaza spre valori mai mi i (spre stanga). In plus, pe gura mai sunt si tot felul de artifa te ale masuratorii (asa um se ade unor masuratori originale),

a de exemplu o banda aditionala de absorbtie a apei, vizibila in jurul lungimii de unda de 3 mi rometri.

K(λ, T ) =

,

8πhc 1 5 hc/λkT λ e −1

Ai i h este onstanta lui Pla k, c este viteza luminii, λ este lungimea de unda, k este onstanta lui Boltzmann si T este temperatura.

Plan k îns  a venit si u o teorie are expli   zi formula folosit  pentru spe trul de radiatie. Pentru a easta, Plan k a apli at legile deja unos ute ale termodinami ii, onsiderând

  suprafata orpului negru are emite este o ole tie haoti   de os ilatori aati în e hilibru termi . Pentru a obtine îns  formula to mai des operit , el a trebuit s  introdu   o modi are esential : energia a estor os ilatori ia numai valori dis rete si nu ori e valoare, asa um spune me ani a lui Newton. Valorile dis rete ale energiei unui singur os ilator sunt, O m sur toare de su

es a spe trului de emisie a orpului dupa Plan k, e hidistante, diferenta ∆E dintre a este nivele negru, si a dependentei sale de temperatur , a fost efe tuat  de energie ind proportional  u onstanta lui Plan k h si de zi ienii Otto Ri hard Lummer si Ernst Pringsheim în anul fre venta f a os ilatorului: 1900. A estia au onsiderat o avitate în his , ât se poate de neagr , are are numai o gaur  mi   pe unde putem m sura lumina are iese din interiorul avitatii. Apoi au în  lzit u ∆E = h · f totul a east  avitate, pân  ând toti peretii din interior au avut o temperatur  uniform . Desigur, presupunerea a easta iese omplet din adrul zi ii Datorit  temperaturii ridi ate, peretii au în eput s  emit  lasi e, a olo unde un os ilator de o fre vent  dat  poate avea lumin  în interior. Lumina era radiat  si absorbit  de pereti ori e energie (nu numai valori dis rete), pentru   poate avea ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

163

˘ ˘ 104. De ce corpurile încalzite apar înros, ite s, i nu albastrite...

ori e amplitudine a os ilatiei. In me ani a uanti a, simplisti vorbind, numai anumite amplitudini sunt permise, si de i numai anumite energii... Valoarea experimental  a onstantei lui Plank h iese din tarea spe trului de radiatie al orpului negru. Pra ti , a easta adu e u sine nasterea me ani ii uanti e, a olo unde energiile nu iau mereu ori e valori lasi e, i pot  uanti ate, adi   iau în mod normal valori dis rete. Constanta lui Plank h are dimensiunile a tiunii (v  mai adu eti aminte, ea are reprezint  lagrangeanul sumat pe traie torie in me ani a lasi a), si ea este innitezimal de mi   fat  de valorile me ani e obisnuite ale a tiunii: h = 6.62 ∗ 10−34 m2 kg/s. ,

,

,

,

,

,

DE=hf E2=2hf+E0

de 10−13 ori mai mi a (energia este propotionala u patratul amplitudinii), adi a eva de ordinul de marime al nu leului unui atom! Cu alte uvinte, trebuie sa " iupim" o oarda de hitara si o deplasam pe distanta unui nu leu de atom pentru a observa efe tele uanti e in nivelele dis rete! Cu atat mai mult trebuie sa admiram reusita lui Plan k are, iata, reuseste sa gaseas a o manifestare a a estei dis retizari inme in masuratorile radiatiei orpului negreu.... Desigur, da a vorbim de faptul a energia orzii de hitara ia numai valori dis rete, trebuie sa m atenti um interpretram amplitudinea os ilatiei... Astfel, intr-o imagina simplista, putem spune si a amplitudinea os ilatiei orzii de hitara poate lua numai valori dis rete! Nu este ore t, insa ne ajuta sa ne imaginam mai usor efe tele uanti e... In plus, nu mai putem vorbi de o mis are ontinua a orzii de hitara pentru a a easta ar insemna in esenta tre erea ontinua printre nivelele de energie, ori a est lu ru nu mai este posibil in me ani a

uanti a, a olo unde a eastea au valori dis rete... În nal, s  mention m un lu ru surprinz tor. Astfel, os ilatorii e sunt în e hilibru termi , responsabili de emisia de lumin  in azul radiatiei orpului negru, nu sunt dati de stru tura intern  a atomilor asa um poate ne-am  asteptat. În s himb, ei sunt dati de os ilatiile atomilor în jurul pozitiilor lor de e hilibru! Cu alte uvinte, nu stru tura intern  a atomilor a relevat forma uanti   a energiei, i mai degrab  mis area lor de os ilatie. Ori a est lu ru este suprinz tor, pentru a atomii sunt elemente ompuse, formate din ele troni, protoni si neutroni. Pra ti , os ilatia întregului sistem ompus (atomul) este

uanti ata. Le tia de înv tat este una singur : ori e mis are a unui obie t ompus este uanti at  în me ani a uanti  ,

hiar si ea a atomilor, a pietrelor, a leag nului, sau a stelelor... ,

E1=hf+E0

,

E0=hf/2 0

,

,

Figure 5.3: Nivelele uanti e de energie ale unei orzi de hitara are vibreaza u fre venta f sunt dis rete si e hidistante. Da a ordonam nivelele de energie dupa un numar uanti n, atun i energia unui nivel este En = n · hf + hf /2, diferenta dintre ele ind ∆E = hf . A easta diferenta este pentru oarda de hitara am de 1026 de ori mai mi a de at energia medie a orzii. Pra ti , pentru a s oate in evidenta efe tele uanti e, un hitarist ar trebui sa " iupeas a" oarda si sa o deplaseze pe o distanta e hivalenta u dimensiunea unui nu leu atomi ...

,

,

,

,

,

,

,

,

,

104. De e orpurile în  lzite apar înrosite si nu alb strite... ,

Pentru a ne fa e o idee despre at de mi a este onstanta lui Plan k, putem al ula are este diferenta dintre valorile dis rete de energie ale unui pendul are os ileaz  u o fre vent  f de o se und : ∆E = hf = 6.62 ∗ 10−34 J . Pentru un pendul obisnuit, de o mas  de aproximativ 100g obtinem a a east  energie este transferat  la o mis are a pendulului de doar h = ∆E/mg = 10−34 m! Deplasarea a easta este atât de mi   fat  de dimensiunea unui nu leu atomi am ât este un nu leu fat  de dimensiunea noastr ! Pra ti , ea de ordinul de m rime a eea e a ajuns s  e unos ut a lungimea Plan k... Este de i remar abil um de onstanta lui Plan k rezult  din niste m sur tori ma ros opi e. Un alt exemplu poate  o oarda de hitara are os ileaza pe fre venta sa fundamentala. In me ani a lasi a, mis area orzii este ontinua iar amplitudinea os ilatiei poate lua ori e valoare. Energia de vibratie a orzii o putem estima luand in onsiderare de exemplu energia ineti a Ec = mv2 /2. Astfel, o oarda de hitara antareste ateva grame, sa zi em un gram pentru simplitate, m = 10−3 Kg . Viteza medie de os ilatie se poate estima din amplitudinea a os ilatiei si fre venta sa. Putem alege pentru amplitudinea orzii de hitara am 1 milimetru (pentru

a mis area este vizibila), iar pentru fre venta am f = 100Hz. Atun i oarda trebuie sa par urga un milimetru intr-un timp de aproape 0.01 se unde, de i aproape 100 milimetri pe se unda, adi a v = 0.1m/s. Folosind a um formula enegiei

ineti e si masa orzii, obtinem pentru energia medie o valoare estimativa de E ≃ mv2 /2 = 10−3 · 0.01/2J = 5 · 10−6 J . Pe de alta parte, diferenta intre nivelele dis rete de energie ale orzii de hitara este de ∆E = hf = 6.62 ∗ 10−32 J . Vedem atun i a a easta diferenta uanti a este de 1026 de ori mai mi a de at energia medie! Pra ti , pentru a vibra u a easta energie inma, oarda trebuie sa se miste u o amplitudine ,

,

,

,

,

,

,

,

Este interesant de urm rit justi area teoreti   a nivelelor dis rete de energie. Astfel, orpul negru poate  privit a ind onstituit dintr-o serie de os ilatori haoti i, aati în e hilibru termi la temperatura aleas  pentru m sur toare. Toti os ilatorii sunt identi i, iar ei pot os ila, e are, pe mai multe fre vente posibile. Os ilatorii pot  omparati u niste

orzi os ilante, deoare e si e are oard  os ilant  are mai multe fre vente posibile de vibratie. Sa notam a, in azul

orzii, fre ventele de vibratie ale orzii sunt armoni i (multipli nf0 ) ale unei fre vente fundamentale f0 , date de lungimea

orzii. A elasi lu ru este valabil si pentru os ilatorii orpului negru, si ei au niste fre vente fundamentale de os ilatie, si apoi armoni i u fre vente mai mari. În azul os ilatorilor din orpul negru, e are dintre os ilatori poate os ila doar u o singur  fre vent , la alegerea lui. Clasi , un os ilator al orpului negru poate alege o singur  fre vent  s  os ileze si o amplitudine pentru a east  os ilatie. Datorit  e hilibrului termi , unii os ilatori vor alege fre vente mai mari, altii fre vente mai mi i, unii o amplitudine mai mare a os ilatiei, altii una mai mi a, et . Distributia de fre vente si amplitudini a os ilatiilor se dedu e folosind legile termodinami ii. Astfel, în termodinami a

lasi  , e are fre vent  are a eeasi probabilitate de a  aleas  de os ilator. În plus, exist  si o lege universal , numit  teorema e hipartitiei energiei. Ea ne spune   energia medie ǫ a os ilatiilor este am a eeasi, indiferent de fre venta os ilatiei, si dat  numai de temperatur , ind proportional  u a easta: ǫ = kT /2. Conse inta a estor dou  presupuneri lasi e este urmatoarea. Astfel, la fre vente din e în e mai mari sunt din e în ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Capitolul 5 : Mecanica cuantica˘

164

e mai multe fre vente pe are os ilatorul le poate alege a sa os ileze. A easta pentru a fre venta fundamentala a os ilatiei este ea mai mi a, iar armoni ele sunt multipli ai a estei fre vente. Cum probabilitatea de alegere este a eeasi pentru ori e valoare a fre ventei (in termodinami a lasi a), înseamn 

  ei mai multi os ilatori vor os ila u fre vente foarte mari. În plus, um e are os ilatie are am a eeasi energie medie, înseamn    energia termi a totala a sistemului va  distribuita mai mult in os ilatii u fre vente foarte ridi ate. Presupunand a um a fre venta luminii emisa are egala u fre venta os ilatorului, atun i ne asteptam a orpul sa emita lumina la fre vente foarte mari, a olo unde sunt ele mai multe os ilatii.... Paradoxul a esta lasi poart  numele de " atastrof  ultraviolet " si a fost s os în evident  de Lord Rayleigh si Sir James Jeans în 1905. Ca i, efe tuand al ulele

lasi , vom dedu e a un orp in alzit va emite o antitate innita de energie luminoasa (datorita fre ventelor ridi ate)

eea e evident nu este azul in pra ti a... Cum ar ar ta emisia unui astfel de orp negru în  lzit? El ar emite fre vente luminoase din e în e mai mari,  tre albastru (fre venta luminii albastre ind mai mare de ât ea a luminii rosii) iar orpul în  lzit nu ar mai ar ta înrosit, i alb strit ! Mai mult, ori e be ar  un potential peri ol în as ,

  i ar emite raze X, a i ele au fre vent  si mai mare de ât undele ele tromagneti e vizibile... Din feri ire îns , nu asa stau lu rurile în realitate, are de data a easta este uanti   si salveaz  " atastrofa ultraviolet ". Astfel, în situatia uanti  , e are os ilator poate lua, pentru o fre vent  dat , numai nivele dis rete de energie. Diferenta dintre valori este proportional  u onstanta lui Plank si fre venta os ilatorului. A easta înseamn   , la fre vente mai mari, diferenta dintre nivelele de energie devine din e în e mai mare ! Cu alte uvinte, la fre vente mari sunt mai putine nivele de energie orespunzatoare unei fre vente anume de os ilatie... A um, os ilatorul are parte de a eeasi energie medie din partea mediului ambiant, data de temperatur . Ce fre vent  alege el îns ? Datorita agitatiei termi e, os ilatorul isi poate s himba fre venta, prin intera tie u ei eilalti os ilatori, insa energia lui medie ramane am a eeasi. El va "s ri" atun i in pra ti a de la o fre venta la alta... Cum insa el are la dispozitie mai putine nivele de energie la fre vente mai mari, si mai multe la fre vente mai mi i, este foarte probabil a se va aa in medie mai mult pe nivelele de energie de la fre vente mi i, pentru a si a estea sunt mai multe... S  remar  m   a est lu ru nu se întâmpl  în me ani a

lasi  , a olo unde os ilatia putea avea ori e amplitudine si ori e energie, pentru ori e fre vent . Ai i os ilatorul putea alege o fre vent  mare si ajusta amplitudinea os ilatiei pentru energia de are dispunea. În azul uanti , nu mai poate fa e a est lu ru, pentru   os ilatiile au nivele dis rete de energie,

eea e se tradu e simplist prin faptul a os ilatorul nu poate avea de at ateva valori pentru amplitudinea de os ilatie. Os ilatorul nu poate fa e de ât s  "sara" de de la o fre venta la alta, sfarsind mai mult pe nivelele de energie ale fre ventelor s azute, pentru a a estea sunt mai multe.... Conse inta? Deoare e os ilatorii uanti i vor alege fre vente mai mi i si lumina emis  va avea fre vente mai mi i si va  de i rosie si nu albastr . Pra ti , be ul se va înrosi si nu albastri! Mai mult, fre venta razelor X este atât de mare, în ât probabil putini os ilatori vor avea (din întâmplare) energie su ient , iar be ul nu va radia, din feri ire, raze X... Iata um, simpla uloare rosie o obie telor in alzite as unde in spatele ei me ani a uanti a... Poate a veti medita asupra a estui lu ru atun i and veti privi in linistea serii lumina unui fo de tabara. V  va tre e desigur un or pla ut, stiind

a puteti intelege uloarea fo ului pe are il vedeti, a puteti vedea me ani a uanti a dire t in a tiune. A elasi or pe are l-a simtit si George Gamow and a inteles um fun tioneaza ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 5.4: In partea din dreapta este reprezentata o

ole tie de os ilatori in e hilibru termi . In partea de sus este situatia lasi a, iar in ea de jos, situatia uanti a. Un os ilator poate  omparat u o oarda, el putand avea mai multe fre vente. Fre ventele posibile sunt detaliate in gurile din stanga, iar ele sunt armoni i ale unei fre vente fundamentale f0 . În situatia lasi   (stanga-sus), os ilatorii pot lua ori e energie la o fre venta data. E hilibrul termi distribuie atun i egal fre vente si energii diversilor os ilatori, energii are sunt aproximativ egale u energia termi a kT /2, unde k este onstanta lui Botzmann. Cum multi os ilatori vor avea fre vente ridi ate (pentru a sunt multe fre vente), orpul în  lzit va ar ta alb strit. În azul

uanti (jos), os ilatorii au putine moduri disponibile la fre vente ridi ate, pentru   nivelele de energie sunt dis rete ( uanti ate), iar diferenta de energie dintre ele reste

u fre venta. Cei mai multi os ilatori vor alege atun i fre vente mai joase, a olo unde sunt mai multe nivele de energie posibile, iar orpul în  lzit va ap rea înrosit. ,

,

,

,

,

Soarele, privindu-l impreuna u prietena lui. Sa nu va asteptati la prea mult insa da a in er ati sa impartisiti entuziasmul si partenerului dumneavoastra, a i puteti primi a elasi raspuns pe are l-a primit si Gamow: "Draga, alt eva mai romanti nu puteai sa spui?"

105. Lumina este uanti at  în pa hete dis rete de energie, numite fotoni O onrmare ulterioar  (dup  5 ani) a propunerii lui Plan k a venit odat  u expli area efe tului fotoele tri de  tre Albert Einstein, pentru are a esta a si primit premiul Nobel. Ast zi, pare urios   premiul Nobel a fost a ordat lui Einstein nu pentru ontributia sa ovârsitoare în ele dou  teorii ale relativit tii, i pentru o ontributie în me ani a uanti  ! Nu este îns  de mirare, teoria relativit tii a fost foarte ontroversat  la în eput. Între timp îns , rolurile s-au s himbat... Astfel, Einstein a fost onstient de observatiile experimentale efe tuate de  tre zi ianul Philipp Lenard (1862-1947) si altii la tre erea dintre se ole. Mai pre is, a estia au studiat omportarea ele tronilor smulsi de pe o suprafat  metali   ând a easta este iluminat , m surând viteza u are erau eje tati. Faptul   se smulg ele troni într-o astfel de situatie nu este surprinz tor. Clasi , ne putem imagina   lumina in ident  ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

231

Capitol 6 Me ani a uanti a relativista si ele trodinami a uanti  

In apitolul pre edent am introdus me ani a uanti a, urmand a in a est apitol sa dis utam ateva notiuni de me ani a uanti a relativista si ele trodinami a uanti a. Pentru a sunt destul de "spe ializate", ele doua teorii raman de ele mai multe ori in gradina zi ienilor si nu fa e parte din bagajul de unostinte generale al uiva interesat de proprietatile Universului in are respira si traieste. Pentru a ridi a uriozitatea ititorilor, iata ai i ateva din ideile fundamentale ale ele trodinami ii uanti e si ale me ani ii uanti e relativiste. Intr-o prima instanta, me ani a uanti a relativista este, asa um ii spune si numele, o teorie are pune de a ord me ani a uanti a u teoria relativitatii restranse. Ea introdu e pozitronul a o noua parti ula u a eleasi proprietati

a ale ele tronului, insa u sar ina ele tri a pozitiva. Intr-o analiza mai detaliata se poate arata a pozitronul nu este numai ne esar pentru a fa e me ani a uanti a ompatibila u teoria relativitatii restranse, dar si pentru a pastra relatiile de

auzalitate. Me ani a uanti a relativista, asa um se preda la atedra, ramane insa o teorie pentru o singura parti ula, a de exemplu ele tronul sau pozitronul. In ontinuare, ele trodinami a uanti a este o extensie a me ani ii uanti e relativiste, pentru azul mai multor parti ule. Ea onsidera insa numai trei tipuri de parti ule: ele troni, pozitroni la are mai adaugam fotonii ( e mediaza de fapt intera tia dintre ele troni sau pozitroni). Ai i ar trebui doar sa fa em un exer itiu si sa ontruim undele de probabilitate multi-parti ula pentru ele trei parti ule, asa um ne invata me ani a uanti a, si sa apli am ele trei postulate ale me ani ii uanti e. In prin ipiu, toate bune si frumoase, pana and trebuie sa s riem e uatia de evolutie S hrodinger a undei de probabilitate multi-parti ula. Ce forma ea a easta? Cum arata? Postulatele me ani ii uanti e spun doar a o astfel de evolutie exista, insa nu ne spun are este forma exa ta a e uatiei... A easta este in fond provo area ea mai mare... Noi o sa intampinam a easta provo are prin intermediul metodei lui Feynman, denumita si metoda integralelor de drum. Vom vedea a este posibil sa des riem ele trodinami a uanti a inventarizand intera tiile dintre ele ele trei parti ule pe are ea le des rie: ele tronul, pozitronul si fotonul. Lu rul nu este de i i de olo, a i ele trodinami a uanti a ramane teoria ea mai bine veri ata de experiment. Din olo de a este aspe te ale ele trodinami ii uanti e, o sa mai dis utam si despre notiuni larg raspandite, a de exemplu parti ule virtuale, antiparti ule sau diagrame Feynman. Sa in epem insa u o s urta re apitulare.

129. Esenta me ani ii uanti e ,

Dup  um am v zut, me ani a uanti   este o extensie neobisnuit  a me ani ii lasi e. Da   în me ani a lasi   un ele tron se deplasa ontinuu pe o urb , de la un pun t la altul, în me ani a uanti   trebuie s  renunt m la a east  imagine. Ai i, între dou  m sur tori, trebuie s  uit m de parti ul  si s  onsider m unda sa de probabilitate. ,

,

Dup  um v  amintiti, unda de probabilitate a ele tronului fara spin des rie probabilitatea de a g si ele tronul într-un lo în altul, iar evolutia ei este dat  de e uatia S hrodinger. Ea nu ne spune pre is unde vom g si ele tronul, i doar are este probabilitatea de a-l g si în toate lo urile în are el poate ajunge. Da   am putea privi u o hii nostri lumea uanti   am avea imaginea unei lumi foarte nefamiliare, în are parti ulele par   sar brus dintr-un lo în altul: da   a um g sim un ele tron ai i, peste âteva momente îl putem g si pe Luna si peste în   un minut poate tot ai i. Ni i vorb  de mis  ri ontinue, de evolutii pe traie torii, et ., i doar de o unda de probabilitate

are evolueaza, iar parti ula o putem gasi " and i i and

olea" dupa um da unda de probabilitate... Desigur, v  mai adu eti aminte si de postulatul olapsului fun tiei de und . A esta spune   unda de probabilitate evolueaz  ontinuu ( onform e uatiei lui S hrodinger) doar în absenta observatorului. Odat  îns  e fa em o m sur toare, a east  und  se s himb  brus în tot Universul. Da   un om vede de exemplu unde este ele tronul, unda de probabilitate olapseaz , devine lo alizat  în zona unde a fost g sit ele tronul, dup  are în epe din nou s  evolueze ontinuu onform e uatiei lui S hrodinger. Cu alte uvinte, simplisti vorbind, ara terul de parti ul  al ele tronului se fa e vizibil doar la m sur tori, în rest, trebuie s  ne gândim numai la unda sa de probabilitate. Atun i, datorit  postulatului olapsului undei de probabilitate, va exista o probabilitate mai mare s  g sim ele tronul unde l-am g sit si la ultima masuratoare. În nal, aparitiile a estea su

esive ale ele tronului (în urma m sur torii noastre), hiar da   pot  aleatorii, au o probabilitate mai mare de a  g site aproape de traie toria lasi  ... De a eea lumea noastra apare ontinua si lasi a... Faptul   în ori e moment putem g si ele tronul în toate lo urile posibile, desigur, u probabilit tile aferente, reprezint 

heia întelegerii ori  rui sistem de parti ule uanti e si, in mod general, a ori  rui sistem lasi . A easta pentru a ea se poate tradu e si prin a spune a ele tronul se aa, in a elasi timp, in toate pun tele din spatiu... Astfel, pozitia ele tronului in spatiu poate  aso iata unei stari lasi e a ele tronului. Cum unda de probabilitate a ele tronului reprezinta in fond un numar omplex in e are pozitie a spatiului, putem spune a a easta unda de probabilitate este data de o ole tie de numere omplexe, ate unul pentru e are stare lasi a a ele tronului. Vorbim atun i de o superpozitie uanti a si de faptul a ele tronul se gaseste, in a elasi timp, in toate starile sale lasi e... A easta abordare fa e posibila generalizarea la ori e sistem (nu numai ele tron), e el o roata de automobil, ole tie de parti ule sau minge de fotbal. In apitolul prede ent am dat

ateva exemple de superpozitie uanti a a unor sisteme, a de exemplu statuia uanti a, pisi a lui S hrodinger, sau hiar un foton polarizat la un anume unghi... Asa um am dis utat, in azul general se stabiles toate pozitiile lasi e pe are le poate lua un sistem, în totalitatea lui. Apoi i se ataseaza e arei stari lasi e ate un numar

omplex, formandu-se astfel o ole tie ne numere pe are o numim tot unda de probabilitate. Dup  um ele tronul ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Capitolul 6 : Mecanica cuantica relativista si electrodinamica cuantica˘

232

elelalte. O sa vedem mai tarziu, in metoda lui Feynman, um a easta existenta simultana in mai multe stari se rasfrange nu numai asupra pozitiilor parti ulelor, dar si asupra istoriei lor... Asa um am amintit insa, greutatea ea mai mare este

ontru tia e uatiei de evolutie a a estei unde de probabilitate giganti a pentru intregul Univers. Cum arata ea, um o putem s rie? Raspunsul este dat, in azul ele tronilor, fotonilor si pozitronilor, to mai de atre ele trodinami a uanti a. Pentru a vedea um, sa fa em un pas inapoi si sa introdu em pozitronul, prin intermediul me ani ii uanti e relativiste.

130. Mis area relativisti   a ele tronului ,

Considerentele de me ani a uanti   din apitolul pre edent nu au luat în al ul teoria relativit tii restranse. C  i, desi nu am mentionat, e uatia lui S hrodinger de evolutie a undei de probabilitate pentru o parti ula libera nu este relativisti invariant . Astfel, asa dup  um arat  matemati ienii, timpul joa   un rol preferential in e uatia lui S hrodinger: el apare derivat doar o dat , în timp e pozitia spatiala apare derivat  de dou  ori. Pentru a  relativist invariant , o e uatie trebuie s  ontin  în a elasi mod si timpul si spatiul... In ompatibilitatea e uatiei lui S hrodinger u teoria relativit tii este de nedorit. Primul are a reusit s  s rie o e uatie uanti   pentru ele tron are s  e ompatibil  u teoria relativit tii a fost zi ianul Paul Dira (1902-1984). A esta a pornit de la forma relativist  (dar lasi a) pentru energia E a unei parti ule libere, al ulat  de Einstein, în

are p tratul energiei este o sum  a p tratului impulsului p si a patratului energiei de repaus mc2 : E 2 = p2 c2 + m20 c4 . Urmarind a easta forma, Dira a reusit apoi s  onstruias   o e uatie de evolutie pentru unda de probabilitate, în are si timpul si spatiul apar ambele derivate o singura data si are este ompatibil  u teoria relativit tii. Surpriza ea mare a fost îns    Dira a trebuit s  extind  st rile uanti e ale ele tronului pentru a s rie o astfel de e uatie. Astfel, pân  la Dira , ele tronul in repaus era des ris de dou  st ri uanti e posibile într-un pun t din spatiu, ate una pentru e are stare de spin. In e uatia lui Dira îns , ele tronul trebuie des ris de patru st ri uanti e într-un singur pun t din spatiu. Cele patru st ri uanti e poart  denumirea

ole tiv  de spinor. ,

,

Figure 6.1: Unda de probabilitate a unui sistem, in trei

azuri. Stanga: un ele tron fara spin se aa in a elasi timp in sase pozitii spatiale, eea e inseamna a unda de probabilitate primeste ate un numar omplex pentru e are pozitie. Mijlo : o statuie uanti a se gaseste in a elasi timp in doua pozitii posibile. Dreapta: un sistem format din doi ele troni si doi fotoni. O stare lasi a este o fotograe parti ulara a pozitiei elor patru parti ule. In gura sunt reprezentate doua stari lasi e posibile. Sistemul uanti al elor patru parti ule se aa in a elasi timp in ambele situatii. Unda de probabilitate a Universului format de ele patru parti ule primeste ate un numar omplex pentru e are astfel de stare lasi a.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

poate  g sit în ori e moment în ori are dintre pozitiile sale

lasi e, tot asa si sistemele lasi e, odat  uanti ate, pot  g site ori ând în ori are dintre starile lor lasi e, u anumite probabilitati desigur... Ori, u alte uvinte, a sistemul se gaseste in a elasi timp in toate starile sale lasi e. Atun i me ani a uanti a ne spune a sistemul poate  g sit la momentul urm tor, da a este masurat, în ori are dintre pozitiile lasi e posibile si numai unda de probabilitate ne va spune are este probabilitatea de a-l g si într-o situatie sau alta, nu îns  u ertitudine. Desigur îns , este ne esar s  si s riem e uatia lui S hrodinger pentru evolutia undei de probabilitate a intregului sistem, altfel nu stim um va evolua probabilitatea de a-l g si într-o stare lasi   sau alta... In ele trodinami a uanti a sistemele " lasi e" sunt ole tii de trei tipuri de parti ule: ele tronul, fotonul si pozitronul. A este parti ule sunt imprastiate prin olturile indepartate ale Universului, iar o stare " lasi a" ne spune unde se aa in parte e are din ele. Pra ti , da a Universul ar  fa ut doar din ele troni, pozitroni si fotoni, starea lasi a a tuturor parti ulelor ar  o stare lasi a a Universului intreg. Unda de probabilitate a sistemului reprezinta in a est az o ole tie de numere omplexe, ate unul pentru e are stare

lasi a a Universului (de i pentru e are ombinatie posibila a pozitiilor parti ulelor). Modulul a estor numere omplexe ne da probabilitatea de a gasi Universul in a ea stare lasi a. Cu alte uvinte, pentru a onstrui ele trodinami a uanti a trebuie sa onsideram toate a este stari lasi e ale Universului (fa ut numai din ele trei parti ule) si sa onsideram a Universul se aa de fapt intr-o stare de superpozitie uanti a a a estor stari lasi e... Intr-o imagine mai "artisti a", dar nu departe de adevar, am putea spune a Universul se aa, in a elasi timp, in toate ombinatiile sale imaginabile... Lumea apare insa lasi a pentru a asupra ei se efe tueaza in ontinuu masuratori, iar unele dintre a este ombinatii au atun i o pondere mult mai mare de at ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 6.2: Paul Dira la un onferinta e a avut lo la in eputul anilor 1930. Puteti ghi i subie tul dezvoltat pe tabla? Poate lumea ar  fost reti enta la noua e uatie a lui Dira , da   a easta nu ar  expli at în mod natural un lu ru a parea azut din er pân  atun i: momentul magneti de spin ,

233

130. Mis, carea relativistica˘ a electronului

al ele tronului! C  i, sa ne adu em aminte a a esta fusese introdus de Pauli numai pe baze experimentale. În prin ipiu, nimi nu opreste ele tronul în e uatia lui Pauli s  aib  si un alt moment magneti spin (sa zi em de doua sau de trei ori mai mare) si de i onstru tia lui Pauli este oare um arti ial ... Pe de alt  parte, e uatia lui Dira porneste de la forma lui Einstein pentru energia ele tronului în mis are, are este apoi s ris  pentru fun tiile de und  u patru st ri uanti e distin te, asa-numitii spinori. Spinorii au o semni atie mai adan a, legata de transformarile Lorentz in spatiu-timp, insa noi nu vom aborda a est aspe t ai i. Pentru noi este su ient a um sa mentionam a nu exist  ni i un element arbitrar sau aditional în e uatia lui Dira si a marimea momentul magneti de spin al ele tronului iese din a easta e uatie. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

E uatia lui Dira des rie evolutia undei de probabilitate

ψ(xµ ), si ea are urmatoare forma ompa ti ata:

,

(i~γ µ ∂µ − mc)ψ = 0

Ai i se foloses mai multe onventii de notatie, toate insa identi e u ele de la teoria relativitatii generalizate. In primul rand, re unoastem numarul omplex i si onventia lui Einstein,

are spune P a un indi e e se repeta trebuie insumat. Adi a γ µ ∂µ = µ γ µ ∂µ . In plus, ~ = h/2π este dat de onstanta lui Plan k iar c este viteza luminii. Apoi, ∂µ denota derivarea in raport u oordinatele spatiale si temporale: ∂µ ψ = ∂ψ/∂xµ . In plus, m este masa de repaus a ele tronului, iar γ µ desemneaza matri ile lui Dira . Interesant este a ele pot lua mai multe forme, insa alegerea lui Dira este urmatoarea: 1  0 0 γ = 0 0 

0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 −i  0 0 i 0 2 γ = 0 i 0 0 −i 0 0 0 

Figure 6.3: In gura sunt reprezentate s hemati ele patru stari uanti e posibile ale ele tronului aat in repaus in a elasi pun t din spatiu. Doua dintre a este stari au energia pozitiva, si doua energia negativa. Cele doua stari pentru a eeasi energie identi a ele doua stari de spin ale ele tronului, s hemati desenate printr-o sageata. Sageata reprezinta orientarea momentul magneti de spin al ele tronului, odata e a esta se aa intr-un amp magneti ... Astfel, în aproximarea vitezelor mi i, e uatia lui Dira arata

um ele tronul se omport  în âmp magneti a si um ar avea atasat un moment magneti de spin. Mai mult, valoarea a estuia este dis ret , ele dou  valori pe are le poate lua ind exa t valorile propuse de Pauli si are sunt onrmate experimental. Cu alte uvinte, e uatia lui Pauli pentru ele tron rezult  a o aproximare a e uatiei lui Dira la viteze mi i! Con luzia? Momentul magneti de spin al parti ulei este o manifestare a relativit tii restrânse, in lus  în e uatia lui Dira . Surpriza a fost asa de mare, în ât si pân  azi e uatia lui Dira este onsiderat  una din ele mai frumoase e uatii ale zi ii... ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,



 ; 

 ;



 γ1 =  

 γ3 = 

0 0 0 −1 0 0 −1 0

0 0 1 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 0



 ; 

 ;

O rezolvare minutioasa a e uatiei lui Dira arata a a easta are in general patru tipuri de solutii, e desemneaza in fond patru unde planare, orespunzatoare elor patru stari uanti e. Doua dintre a estea au energie pozitiva E = mc2 (re unoastem relatia lui Einstein) iar doua energie negativa E = −mc2 . Pentru a studia mis area ele tronului relativist intr-un amp ele tromagneti , zi ienii adapteaza e uatia lui Dira dupa o "reteta" valabila pentru ori e parti ula fara spin, inlo uind ∂µ pur si simplu u (∂µ + ieAµ /c), unde Aµ = (−cφ, Ax , Ay , Az ) reprezinta potentialele ampului ele tromagneti (vezi al doilea

apitol), iar e sar ina ele tronului. E uatia devine i h e i~γ µ (∂µ + i Aµ ) − mc ψ = 0 c

Partea ea mai frumoasa dintre toate este a e uatia pre edenta des rie um ele tronul se mis a in ampul ele tromagneti a si um ar  un mi magnet. A esta este momentul magneti de spin al ele tronului, si el iese egal u el al magnetronul Bohr-Pro opiu, adi a exa t rezultatul experimental al lui Stern and Gerla h...

,

,

Unda de probabilitate ψ a ele tronului relativist al lui Dira este des risa de o matri e oloana are are patru linii, pentru

a ele tronul poate avea patru stari uanti e distin e in a elasi pun t din spatiu, in a elasi moment de timp. Da a notam,

a la teoria relativitatii, evenimentele spatiu-timpului u xµ = (ct, x, y, z), unde µ = 0 : 3, atun i unda de probabilitate ψ devine:  ψ1  ψ  ψ= 2  ψ3 ψ4 

Ai i ψ3 = ψ3 (xµ ) este un numar omplex, iar |ψ3 (xµ )|2 des rie probabilitatea de a gasi ele tronul in starea uanti a 3 in evenimentul xµ (momentul de timp x0 = ct si pozitia spatiala x1 = x, x2 = y , x3 = z ).

Noua propunere a lui Dira pentru mis area relativista a ele tronului are insa si probleme. Astfel, ele patru st ri

uanti e ale ele tronului, propuse de Dira , ar  în ontradi tie

u doar ele dou  observate experimental! Ca i, sa ne adu em aminte, tabelul lui Mendeleev a fost re onstruit de Pauli presupunand a e are nivel orbital poate  o upat de doar doi ele troni, ate unul pentru e are stare posibila a spinului. De e de i patru stari uanti e in e uatia lui Dira , da   noi vedem experimental a sunt doar dou  ? Pentru a intelege e se intampla, putem privi mai indeaproape ele doua noi stari uanti e, si le ompara u ele doua stari uanti e mai ve hi. Astfel, ele doua stari uanti e

unos ute deja (de la Pauli) des riu o mis are relativista a ele tronului, asa um ne asteptam. Pentru a este doua stari " uminti" relatia dintre energia si impulsul unui ele tron liber este ompatibila u relativitatea restransa: energia totala are o ontributie data de energia de repaus (m0 c2 unde m0 este masa de repaus a ele tronului) si una data de impuls. Energia ele tronului in mis are este de i mai mare de at energia sa repaus relativista m0 c2 , asa um ne asteptam. ,

Capitolul 6 : Mecanica cuantica relativista si electrodinamica cuantica˘

234

Cele doua noi stari uanti e aditionale au insa o omportare

iudata. Astfel energia unor ele troni liberi aati in repaus este pentru a este stari uanti e E = −m0 c2 , adi a negativa ! In plus, da a ele tronii se mai si mis a, energia devine hiar mai mi a de at −m0 c2 ! Dintr-un posibil dezastru pentru teoria sa, Dira a reusit sa fa a o vi torie glorioasa, u o propunere at se poate de bizara... Astfel, sa ne adu em aminte din nou de tabelul lui Mendeleev si de maniera de ompletare a nivelelor de energie ale ele tronilor din atomi. Ca i, atun i and avem mai multi ele troni, trebuie sa asezam ele tronii de la valori s azute ale energiei la valori mai ridi ate, ate unul pentru e are nivel (pentru a ele tronii sunt fermioni). Sa remar am a in azul atomului vom avea ate doi ele troni pe e are nivel orbital, pentru

a ele tronul poate avea pe a el nivel doua stari uanti e distin te, datorita spinului. In azul ele tronului liber des ris de e uatia lui Dira avem o innitate de nivele de energie negativa, toate avand mai putin de at −m0 c2 . Ar trebui sa umplem atun i toata innitatea de nivele de energie negativa (toate mai mi i de at −m0 c2 ) pana

and putem pune ele troni de energie pozitiva, ei pe are ii observam in experiment... Cum noi observam experimental a esti ele troni de energie pozitiva, nu e oare mai bine sa presupunem

a spatiul este deja umplut u ele tronii de energie negativa?

131. Pozitronul exist ! Asa um am mentionat în pun tul pre edent, me ani a

uanti a relativista (e uatia lui Dira ) ne spune a ele tronul are doua stari uanti e aditionale fata de ele unos ute deja ale spinului. Ceea e so heaz  în primul rând la a estea este faptul   energia a estor doua noi stari se întinde la innit

 tre valori negative. Pra ti , pentru ele tronii liberi, spe trul energeti are doua benzi separate: o banda de energii pozitive mai mari de at energia de repaus a ele tronului m0 c2 , si o banda de energii negative, mai mi i de at −m0 c2 . A este dou  benzi de energie sunt împ rtite în dou  de eea e se numeste o band  interzis , o zon  de energii pe are ele tronii nu o pot avea. Asa um am mentionat, di ultatea se observ  da   lu m în al ul ompletarea nivelelor de energie u ele troni, pe baza postulatelor are le-am folosit la atom: nivele de energie se

ompleteaz  de la energia e mai joasa (in azul nostru energii negative) în sus, pentru e are stare uanti   distin ta âte un ele tron. Asa um am vazut in se tiunea pre edenta, solutia lui Paul Dira a fost s  admit    exist  deja o innitate de ele troni

are ompleteaz  noile niveluri de energie negative. Da a nu ar asa, atun i ori e ele tron de energie pozitiva ar putea avea o tranzitie spontan  atre un nivel de energie negativa (mai mi ) are ar  liber de ele troni. Pra ti , ele tronii s-ar evapora in Univers pe starile de energie negativa, lu ru are nu se observa experimental. Da a insa toate nivele de energie negativa sunt deja o upate u ele troni, pro esul de mai sus nu poate avea lo , a i doi ele troni nu pot imparti a eeasi stare uanti a nala... Pra ti , ele tronul de energie pozitiva nu mai poate avea o tranzitie pe starile de energie negativa, pentru a a estea sunt deja o upate u ele troni... Solutia lui Dira pare desigur greu de a

eptat si trebuie spus a ea ni i nu des rie realitatea ore t . În realitate, lumea nu este umplut  u o innitate de ele troni de energie negativ . Cu toate a estea, a easta propunere a lui Dira des rie ore t

âteva efe te e vor ap rea lare în ele trodinami a uanti  . Astfel, s  presupunem pentru moment   nivelele de energie negativa sunt ompletate total u o innitate de ele troni si sa vedem e se poate intampla. Astfel, a zis Dira , da   o innitate de ele troni o up 

omplet banda de energie negativ , noi nu observ m a est lu ru în experimente, pentru   noi m sur m mereu ele troni de energie pozitiv . Ele tronii a estia din banda de energie negativa ar forma atun i un fel de "fundal" aproape invizibil. Ceea e am putea îns  observa este disparitia unui ele tron din a east  band ! Cum ar putea insa parasi un ele tron a easta banda de energii negative? De exemplu, un ele tron din a easta banda ar putea absorbi un foton si, u energia obtinuta, s-ar putea deplasa pe un nivel de energie pozitiva. A east  disparitie ar l sa în urm  un "gol " in marea de ele troni u energie negativa. Situatia este desigur asem n toare golurilor din materialele semi ondu toare. Dira a studiat mis area golului si a reusit s  il exprime a mis area unei parti ule de energie pozitiv  si având sar ina ele tri   pozitiv . A easta pentru a "lipsa" unui ele tron dintr-un fundal de sar ini negative este experimentata a un lo de sar ina ele tri a pozitiva. Apoi, a zis Dira , noi nu putem "vedea" innitatea de ele troni din banda de energie negativ , i numai lipsa de ele troni din a east  band , adi   golurile. Atun i, pentru noi, golurile ar  niste parti ule oare are, are au de i energie pozitiv  si sar ina ele tri   tot pozitiv . A este goluri au fost denumite mai apoi pozitroni si ele reprezint  eea e azi numim antimateria ele tronului. Sa observam a absorbtia unui foton reeaz  un gol in banda de energii negative (de i un pozitron ) dar si un ele tron in ,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 6.4: Reprezentarea starii de "vid", in propunerea lui Dira . Ai i ar exista o mare de ele troni de energie negativa, are ar umple deja tot spatiul, ate doi in e are pun t. In gura sunt reprezentate patru pun te ale spatiului, u ele patru stari uanti e posibile. In e are pun t,

ele doua stari u energie negativa ( ele de jos) ar  deja o upate de ele troni, iar ele de energie pozitiva ar  libere.

,

,

,

Cu alte uvinte, sugestia lui Dira este   ele dou  noi st ri uanti e nu au fost observate în pra ti   pentru   ele sunt deja o upate u ele troni, în ori e pun t al spatiului. Noi observam doar pe ele doua stari uanti e ramase libere si de i doar ele troni u energie pozitiva, pentru a toate nivelele de energie negativa au fost deja ompletate u ele troni liberi... În

azul a esta am avea un Univers în are exist  deja o innitate de ele troni, hiar si în vid, are nu pot  observati în  . Desigur, o astfel de propunere este greu de a

eptat... În nal, Dira nu a avut dreptate, a i nu exist  o innitate de ele troni are deja umplu pe jum tate spatiul. Dar propunerea lui Dira a evoluat, ajungând la o form  are presupunea existenta unei noi parti ule, pozitronul, si a unei noi notiuni din zi   parti ulelor elementare, a ea a antiparti ulelor... ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

287

Capitol 7 Modelul Standard al parti ulelor elementare

Da a priviti putin de la distanta apitolele pre edente, o sa observati a ele des riu intera tiile a doar doua forte din natura: forta ele tromagenti a si ea gravitationala. Intr-un fel nu este de mirare, a i ele mai multe pro ese zi e din jurul nostru se poat expli a doar prin ele doua forte... Pe de alta, si ai i este unul dintre marile mistere ale

unoasterii, natura prezinta si alte intera tii, a de exemplu intera tiile nu leare. A estea se manifesta in prin ipal intre parti ulele din interiorul nu leului ( a de exemplu neutroni sau protoni), de unde si numele lor. In esenta insa, intera tiile nu leare se redu la forte fundamentale noi din Univers, a de exemplu forta slaba nu leara sau forta de uloare. De e spunem a a esta este un mister al unoasterii? Pentru a, intr-o prima instanta, ne-am  putut astepta poate

a Universul sa e fa ut dintr-un fel de "gelatina", eva fara stru tura si simplu. Asa am  fa ut noi Universul, da a era sa ju am rolul unui Creator, nu? De e a fost nevoie de a easta stru tura omplexa a materiei? Oare Creatorul insusi nu avea alta alegere da a ar  fost sa onstruias a un Univers oerent matemati are sa in orporeze toate simetriile dorite? Un gand indraznet desigur, dar poate nu departe de adevar... Ca i, dupa um vom vedea in dis utiile urmatoare, simetria joa a un rol ru ial in forma fortelor de intera tie. Mai mult, asa um sugereaza zi a moderna, fortele de intera tie sunt un rezultat dire t al simetriilor. Cu alte uvinte, un matemati ian poate spune: "Da-mi simetriile interne ale parti ulelor si eu iti dau fortele de intera tie dintre ele"... Sa in er am si noi sa dam deoparte putin din voalul e as unde se retele a estor forte (si impli it ale a estui Univers), pornind u o mi a re apitulare a eea e am dis utat in

apitolul pre edent.

148. Putina re apitulare si punere in s ena În apitolul pre edent am urm rit în prin ipal onstru tia ele trodinami ii uanti e, e este o teoria uanti   a âmpului dedi at  intera tiilor dintre ele troni prin intermediul fotonilor. Pra ti , asa um am aratat, ele tronii si fotonii nu sunt de at parti ulele a doua ampuri uanti ate : unda de probabilitate a ele tronului si ampul ele tromagneti (pentru foton). Ast zi stim îns    exist  o multitudine de alte parti ule în natur , des operite toate în se olul e to mai a tre ut. Povestea lor este fas inant  în sine, si a easta nu numai pentru   a este parti ule sunt alea pe are poate vom întelege legi în   mai profunde ale Universului... Înainte de a în epe s  "toar em" putin din a east  poveste, s  fa em îns  âteva observatii. Astfel, din pun t de vedere teoreti , vom urma a eeasi linie generala a teoriilor uanti e de amp in metoda lui Feynman, linie de argumentatie pe are am folosit-o in ele trodinam ia

uanti a. Astfel, a este parti ule noi vor apartine si ele unor

ampuri uanti ate, pe are ar trebui sa le identi am sau sa le re onstruim (o vom fa e si noi desigur, dar doar pana la un pun t...). In plus, intera tia dintre a este parti ule o vom des rie prin amplitudinile de probabilitate des rise de diagramele Feynman. In nal pro edura este o opie a eea e ,

,

,

,

,

,

Figure 7.1: Fortele elementare ale naturii, organizate dupa gradul de uni are. In stanga avem ele tri itatea si magnetismul, uni are de Maxwell in ele tromagentism. A treia forta este forta nu leara slaba, are apare in dezintegrarea nu leelor (si impli it a atomilor). A easta se uni a u ele tromagnetismul in teoria ele tro-slaba. Mai in dreapta este forta tare nu leara, ea are tine protonii si neutronii uniti in interiorul nu leelor. La baza insa, a easta forta este datorata uar ilor, are sunt partile omponente ale neutronilor si protonilor. Forta de intera tie dintre uar i poarta numele de forta de uloarea, iar teoria lor se numeste romodinami a uanti a. Toate a este teorii de pana a um se regases in "modelul standard al parti ulelor elementare". Cea mai din dreapta este gravitatia, are la ora a tuala fa e nota aparta, hiar da a ea a fost in orporata in teoria relativitatii generalizate de Einstein. Nimeni nu stie in a um putem uni a gravitatia

u elelalte forte ale universului. am avut la ele trodinami a uanti a: parti ulele sunt rezultate ale uanti arii ampului, si intera tia dintre parti ule este des risa de diagramele Feynman. Dupa um am vazut in se tiunea pre edenta, diagramele Feynman se pot al ula in doua reprezentari: reprezentarea spatiala si reprezentarea impulsului. Prima este mai intuitiva, insa ea de-a doua este folosita mai des in pra ti a, deoare e ea se apli a intera tiilor dintre parti ule are au energia si impulsul bine denit. Cum in azul experientelor in a

eleratoarele moderne de parti ule avem de-a fa e u parti ule in idente pentru a stim impulsul si energia initiala (pentru a stim at

288

Capitolul 7 : Modelul Standard al particulelor elementare

de mult le-am a

elerat) vedem a reprezentarea impulsului este ea mai potrivita. In onse inta, in a est apitol vom folosi si noi aproape peste tot diagramele Feynman in reprezentarea impulsului. Aspe tul el mai fas inant al a estor diagrame sunt fara doar si poate parti ulele virtuale. Asa um am dis utat in apitolul pre edent, parti ulele virtuale nu sunt de at alte reprezentari ale parti ulelor obisnuite, are ne ajuta sa des riem mai usor intera tiile si amplitudinile lor de probabilitate de are avem nevoie. De i, de ate ori vom spune de exemplu "ele tron virtual" sa nu va imaginati eva "misterios". Este vorba pur si simplu de a elasi ele tron u are noi suntem obisnuiti, dar are are tranzitii virtuale pe diverse stari de energie in de ursul pro eselor. Reprezentarea a easta spe iala de parti ule virtuale are anumite parti ularitati, pe are o sa le enumeram din nou. In primul rand, in reprezentarea impulsului, energia E si impulsul p unei parti ule virtuale pot lua ori e valori ne orelate. Ai i, energia si impulsul parti ulei virtuale nu trebuie sa mai e legate de relatia lui Einstein pentru parti ulele reale, unde energia reste intr-un mod unos ut odata e impulsul reste... Pra ti , putem avea parti ule virtuale u impuls nul si energie

e depaseste u mult energia de repaus, hiar da a pare ilogi (pentru a la un impuls nul, energia parti ulei reale este egala

u energia de repaus). Apoi, emisia si absorbtia de parti ule virtuale ( a de exemplu emisia unui foton de atre un ele tron) are lo u onservarea energiei si impulsului. Desigur, a estui pro es i se atribuie o amplitudine de probabilitate, prin intermediul diagramei sale Feynman aso iata, asa um am dis utat in apitolul pre edent. Si, in nal, pro esele are impli a parti ule verti ale sunt pro ese intermediare in diversele oliziuni din a

eleratoarele moderne de parti ule. Cu alte uvinte a este parti ule virtuale nu pot intra sau iesi din pro esele de intera tie are au lo in a

eleratoarele de parti ule. In a odata insa, a este parti ule virtuale nu sunt de at o reprezentare a parti ulelor obisnuite, are fa mai usoara des rierea fenomenelor zi e, de i nu trebuie sa se speriam a, aoleu, a um trebuie sa invatam parti ule noi... Am v zut în apitolul pre edent   teoria ele trodinami ii

uanti e poate  onstruit  logi pornind de la ele tromagnetism si me ani a uanti a relativista pentru un ele tron. Mai mult, asa um vom vedea într-una din se tiunile e urmeaz , ele trodinami a uanti   este una din putinele teorii e se pot

onstrui ad-ho si are s  satisfa   erintele unei teorii apli abile la experiment: s  e relativisti invariant , s  e renormalizabil , s  e invariant  la transformarea de etalonare lo al  si a  rei e uatii s  e ât se poate de simple ! Cu alte uvinte, în mândria noastr  innit , am putea arma, parafrazându-l pe Einstein,   Dumnezeu nu ar  avut alt  alegere ori um pentru a onstrui lumea si am putea ple a linistiti la ul are... Poate to mai pentru a ne mai domoli o astfel de mândrie, sau poate pentru   ori um Universul nu putea  asa simplu (s  nu uit m   nu am uanti at delo gravitatia), iat    des operim în natur  o ploaie de alte parti ule, nu numai ele troni, pozitroni sau fotoni. Pentru multi experimentalisti, a este noi parti ule s-au dovedit un adev rat rai, pentru teoreti ieni o în er are. În prima faz  multe din a este parti ule au reusit s  e sistematizate în tabele de parti ule. Teoreti ienii îns  au avut apoi o mun   di il  pentru a onstrui teorii are s  des rie m  ar în parte propriet tile noilor parti ule. Datorit  su

esului ele trodinami ii uanti e, noile teorii au luat de asemenea forma unor teorii de âmpuri uanti e. Cum îns  num rul parti ulelor elementare a res ut, tot asa si num rul a estor noi âmpuri uanti e. În forma prezent  se diferentiaz  dou  teorii uanti e de

âmp fundamentale. Prima este romodinami a uanti  , e des rie âmpul uanti aso iat quar ilor, ei din are sunt fa uti ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

protonii si neutronii. Apoi avem teoria ele tro-slab , e des rie dezintegrarea nu leelor si în are este integrat  si ele trodinami a uanti   (si de i ele tromagnetismul). A estea doua teorii fundamentale formeaza eea e se numeste azi "Modelul Standard al Parti ulelor Elementare " ("elementare", pentru a se refera la doar parti ulele elementare, nu si la ele ompuse). Cu tot su

esul intermediar, noile teorii se arat  a  în  

omplexe si nimeni nu rede azi   ele pot  teorii "ultime". Cu alte uvinte, a estea sunt teoriile ele mai avansate veri ate experimental pe are le avem si u ele del m. Ele sunt îns  nu numai omplexe, dar si in omplete, si nu expli   anumite

oin idente, a de exemplu simpla egalitate a sar inii ele tri e a ele tronului si protonului... A este observatii fa evident  ne esitatea unei teorii mai avansate are s  des rie toate parti ulele elementare la un lo ,

are sa in luda si gravitatia si are s  e de preferint  logi   si simpl . O astfel de în er are (teoria orzilor relativiste ) va  prezentat  îns  în apitolul urm tor desi, trebuie spus de pe a um, ea ramane doar la stadiul de propunere, a i nu a fost în   veri at  experimental. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

149. Metode de observatie a noilor parti ule ,

În pun tele urm toare ne vom o upa de modul în are unele din noile parti ule au iesit la iveal , felul în are au fost m surate, iar mai apoi vom în er a s  le sistematiz m. În spatiul rezervat nu putem fa e desigur o prezentare detaliat  si de a eea vom neglija multe din des operirile esentiale, um ar  radioa tivitatea sau neutronii. O prim  întâlnire u o metod  de observatie a noilor parti ule a fost f  ut în apitolul pre edent, unde am v zut um Carl Anderson a fotograat pentru prima dat  pozitronii, antiparti ulele ele tronilor. A esti pozitroni proveneau din raze osmi e, o sursa naturala de noi parti ule. A easta nu atat din faptul a parti ulele e vin din spatiul osmi pot  noi, at prin faptul

a ele sunt foarte energeti e. Energia lor ineti a mare fa e a la impa tul u atomii din atmosfera sa se reeze alte parti ule,

are la randul lor vor  foarte energeti e. In nal, printr-un efe t de avalansa, se reeza un adevarat jet de parti ule in atmosfera Pamantului, e provin toate de la parti ula originala. 90% dintre parti ulele osmi e are loves Pamantul sunt protoni, iar 9% sunt nu lee de heliu provenind de la Soare. In restul de 1% se regases si alte parti ule, provenind nu numai din ve inatatea osmi a, dar hiar si de la galaxii foarte indepartate. Ceea e este poate spe ial este a energia a estor parti ule osmi e poate atinge 1020 eV, unde 1eV reprezinta energia ineti a a umulata de un ele tron da a este a

elerat intre doua pla i ale unui ondensator in ar at la 1V. Pentru

omparatie, sa mentionam a energiile ele mai mari atinse de parti ule in laboratoarele er etatorilor sunt de aproximativ de 1013 eV, adi a de milioane de ori mai mi i de at eea e se gaseste in razele osmi e! Anderson a folosit in observatiile sale experimentale pentru determinarea pozitronului o amer  u eat  Wilson. Camera

u eat  onst  dintr-un ilindru prev zut u un geam prin

are se pot fa e fotograi. A est ilindru este umplut u aer saturat u vapori (de obi ei de al ool), eea e nu înseamn  alt eva de ât   vaporii stau gata s  ondenseze pe diversele parti ule din re ipient. Situatia este asem n toare u azul mult mai obisnuit al etii de dimineat . Ai i vaporii de ap  ondenseaz  pe parti ulele de praf din atmosfer , formând eata. Nu este de i de mirare  , în prezentarea pe are Charles Wilson a f  ut-o în 1927 odat 

u primirea premiului Nobel, a esta mentioneaz  fenomenul de

eata. Astfel, uriozitatea pentru fenomenul de ondensare a pi  turilor de ap  i-a fost des his  privind frumoasele fenomene opti e are apar ând Soarele lumineaz  norii si a este observatii l-au inspirat ulterior în onstru tia amerei u eat . ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

289

150. Acceleratoarele moderne de particule

Figure 7.3: S hema amerei u eata a lui Wilson. In partea de sus este un ompartiment saturat u vapori. Pentru a reste sensibilitatea, amera este prev zut  u un piston in partea de jos. Când pistonul este retras brus , volumul aerului din ilindru reste brus , temperatura s ade brus , si vaporii se suprasatureaz . Cand o parti ula tre e prin amera, ea ionizeaza atomii intalniti in traie torie. Pe a estia ondenseaza vaporii sunt forma un pi aturi innitezimale. Parti ula lasa o urma de ondens in mis area sa, urma are este observata si fotograata (dreapta). Fotograa se fa e sin ron u mis area regulata a pistonului. ,

,

Figure 7.2: Un desen artisti al impa tului razelor osmi e asupra atmosferei Pamantului. In partea de sus se vede

um o singura parti ula osmi a de energie mare genereaza (la impa tul u un atom din atmosfera) mai multe tipuri de parti ule. A estea la randul lor vor genera alte parti ule energeti e, si asa mai departe, obtinandu-se o adevarata ploaie pe parti ule din are numai ateva vor atinge suprafata Pamantului. Prin onventie, se obisnuieste sa se deseneze u linie ontinua parti ulele are pot  observate de dete toare si u linie intrerupta parti ulele are nu pot  observate (au o viata prea s urta sau nu intera tioneaza u dete torul).

o dovedeste si prima m sur toare a unei alte parti ule elementare, si anume muonul , mai denumit si muonul ele troni (pentru a ne reaminti   e rud  u ele tronul). A east  m sur toare a fost efe tuat  de zi ienii J. C. Street and E. C. Stevenson în 1937, u ajutorul unei astfel de amere u eat . Vom reveni mai târziu la semni atia teoreti   a a estei des operiri. O alt  tehni   pentru observatia noilor parti ule au fost pentru o bun  bu at  de timp dat  de pl  ile fotogra e. Emulsiile fotogra e pe are a estea le foloses sunt desigur sensibile la absorbtia de fotoni ( uanta luminii),   i în a est fel se formeaz  o poza obisnuita. În anul 1937, er et torii M. Blau si H. Wamba her au observat   a este emulsii fotogra e sunt sensibile si la tre erea unor raze osmi e. Prin insistenta zi ianului Ce il Frank Powell (premiul Nobel în anul 1950), a east  tehni   a fost îmbun t tit , în iuda faptului   primele expuneri la razele osmi e trebuiau efe tuate pe vârful muntilor si au durat aproape un an! Este de remar at  , pentru a observa traie toria parti ulelor din razele osmi e, sau a elor rezultate în urma io nirii

u nu leele atomilor din emulsia fotogra a, planul pl  ii fotogra e trebuie s  e întâmpl tor a elasi u el în are parti ulele se deplaseaz . De a eea pl  ile fotogra e au fost

onstruite atun i a un fel de "sandwi h", pentru a se urm ri traie toria parti ulelor si într-o dire tie perpendi ular  pe pla a fotogra  . Si în tara noastr  astfel de m sur tori au fost f  ute extensiv dup  r zboi de  tre... si olaboratorii s i . ,

,

,

,

,

,

,

Camera u eata este atun i a un fel de pus a "in ar ata". Astfel, aerul sta "in ar at" u vapori saturati de apa, are

ondenseaza imediat pe ori e parti ule e intra in in inta. A easta in mod spe ial pentru a parti ula in identa are energii mare si ea poate ioniza atomii din in inta, formand

entre de ondensare... Privind urma de ondens lasa de parti ula in tre ere putem spune atun i eva despre traie toria ei. Pentru a putea masura si sar ina ele tri   a parti ulelor

are tre , amera u eat  se aseaz  de obi ei într-un âmp magneti , are urbeaz  traie toria a estora. Raza de urbura ne da in general raportul dintre sar ina ele tri a a parti ulei si masa sa. În plus, aerul din interiorul in intei amerei u eata trebuie s  e destul de pur, altfel vaporii ar putea ondensa pe ori e parti ul  de praf e se a  a olo. Cu toate a estea, instrumentul astfel onstruit nu este în   îndeajuns de sensibil. Pentru a reste sensibilitatea, vaporii trebuie adusi în starea de suprasaturatie si de a eea partea de jos a ilindrului este prev zut  u un piston. Când pistonul este retras brus , volumul aerului din ilindru reste brus , temperatura s ade dintr-o dat  si vaporii se suprasatureaz . În a el moment sistemul este extrem de sensibil, iar aerul va

ondensa pe tot felul de parti ule are se întâmpl  s  trea   prin ilindru. În a est az putem fa e o fotograe a traie toriei parti ulei prin geamul de sti l . Este într-un fel surprinz tor   un astfel de sistem este asa de sensibil în ât s  observe parti ule elementare a ele troni sau pozitroni. Cu toate a estea, lu rul este posibil, asa um ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

150. A

eleratoarele moderne de parti ule În anii de dup  1955 m surarea noilor parti ule a  p tat un avans urias odat  u introdu erea a

eleratoarelor de parti ule,

are au devenit ast zi pra ti singurele surse pentru m surarea pre is  a noi si noi parti ule. Da   puterea dumneavoastr  de

ump rare nu a avansat mult în ultimii ani, în asa fel în ât s  v  ump rati un televizor u e ran u ristale li hide, se prea poate s  aveti un astfel de a

elerator de parti ule în as . Ne referim desigur la tuburile atodi e de televizor, are pot  privite a niste "tunuri" de ele troni. ,

,

,

,

,

,

290

Capitolul 7 : Modelul Standard al particulelor elementare

Figure 7.4: Prima m sur toare a altei parti ule de ât ele tron, proton sau neutron, efe tuat  de J. C. Street and E. C. Stevenson în 1937 într-o amer  u eat . Parti ula,

are a l sat urma alb  urbata din stânga, a fost denumit  muon µ− . Ea mai este denumita si mionul "ele troni ", pentru a este o rud  a ele tronului e− . Curbura este datorata prezentei ampului magneti , are arata a mionul ele troni este in ar at u sar ina ele tri a. Raza de urbura ne da raportul dintre masa si sar ina ele tri a. Presupunand a sar ina muonului este at a ele tronului, se obtine o masa pentru muonul ele troni am de 200 de ori mai mare a a ele tronului. ,

Ai i ele tronii sunt a

elerati în tubul atodi datorit  unei tensiuni de 20kV reat  de un ondensator si ei  p t  astfel energii de aproximativ 20keV (1eV este energia a umulat  de un ele tron da   este a

elerat într-un potential ele tri de 1V). Înainte a ele tronii s  ating  e ranul uores ent, ei sunt dee tati de atre niste âmpuri magneti e spe ial

reate, pentru a ei s  s aneze întreaga suprafat  a e ranului de televizor si s  reeze imaginea dorit . A easta metoda sta si la baza a

eleratoarelor moderne de parti ule, are a

elereaz  parti ule in ar ate ele tri la energii de pân  la âtiva TeV (1012 eV ), dupa are le olizioneaza violent unele u altele. A easta este de fapt energia pe are ar apata-o un ele tron da a ar  a

elerat intre pla ile unui

ondesator intre are au fost apli ate o mie de miliarde de volti... Pentru omparatie, s  amintim   energia de repaus a ele tronului ( u are de i se poate rea un ele tron din vidul

uanti ) este mult mai mi a, ind de aproximativ 0.5MeV (0.5 · 106 eV ). Energia de repaus a protonului este am de 1GeV (109 eV ). Atun i, pentru a atinge a este energii de TeV (1012 eV ), mult mai mari de at energia de repaus, ele tronii trebuie sa ir ule la viteze relativiste. Astfel, vitezele a umulate de ele tron în a

eleratoarele de parti ule pot atinge 99.9999991% din viteza luminii. Pe par ursul a estei apitol o sa exprimam des energiile in ele tron-Volt (pres urtat eV). Dupa um am mentionat, energia de 1eV este egala u energia ineti a pe are o primeste un ele tron atun i and este a

elerat intre pla ile unui onden-

Figure 7.5: In gura este prezentata observarea unei noi parti ule, denumita Σ++ c . Parti ula se dezintegreaza in stanga jos in tot felul de parti ule e sunt identi ate pe s hita din dreapta prin litere gre esti. Indi ele a estora ne da sar ina ele tri a. De exemplu π+ este un pion in ar at u sar ina ele tri a pozitiva, iar µ− este un muon ele troni , u sar ina ele tri a negativa, ambele egale in valoare absoluta u ea a ele tronului e− . Masuratoarea a avut lo intr-o " amera u bule", in Laboratorul National Brookhaven (Statele Unite) in anul 1974. Camera u bule este o versiune imbunatatita a amerei u eata, unde gazul este inlo uit u un li hid suprain alzit.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 7.6: In gura este s hitat bombardamentul u ele troni asupra unui proton, e are lo in a

eleratoarele moderne de parti ule, pentru a aa stru tura interna a protonului. In stanga ele tronul este a

elerat intre doua pla i de ondensator, intre are se pune e hivalentul a mii de miliarde Volti. In dreapta este s hitat protonul, are este format (asa um vom vedea mai tarziu) din trei quar i ( ele trei bile mari). Pe langa quar i exista insa un nor de parti ule sub forma lor virtuala (ele troni, pozitroni, et , reprezentati sub forma unor bile mai mi i si sageti ondulate). Contributia parti ulelor virtuale devine din e in e mai evidenta la energii mari de oliziune. Masurand protonul atun i, masuram nu numai quar ii dar si alte parti ule sub forma lor virtuala, are fa parte din "supa" protonului.

381

Capitol 8 Teoria orzilor relativiste

186. Introdu ând oarda relativist  În apitolul pre edent am urm rit onstru tia Modelului Standard al Parti ulelor Elementare. A esta, împreun  u teoria relativit tii generalizate (denumit  âteodat  simplu teoria gravitatiei ), este aproape tot eea e stim despre evolutia materiei în a est moment. Da   am rede   ne-am aa aproape de "sfârsitul zi ii", am putea in er a s  expli  m, de jos în sus, omportarea întregului Univers: fun tionarea protonilor, a atomilor, apoi mis area stelelor, aparitia vietii si formarea onstiintei din reierul nostru... Pe de alt  parte, am v zut   ele dou  teorii (Modelul Standard si relativitatea generalizat ) sunt neuni ate. Prima teorie (modelul standard al parti ulelor elementare) este prin ex elent  o teorie uanti  , pe ând a doua teorie (teoria relativit tii generalizate) este prin ex elent  o teorie lasi  . Mai exist  îns  si o alt  deosebire fundamental . Astfel, in me ani a uanti a ea are joa   rolul determinant este parti ula pun tual , pentru   în experiment ele tronul ne apare pun tual, f r  o dimensiune anume. În teoria relativitatii generalizate, rolul determinant îl joa   âmpul. Prin urmare, suntem în fond în  utarea unei teorii uni atoare a me ani ii uanti e si teoriei gravitatiei, o teorie pe

are în   nimeni nu a g sit-o pân  a um... Ne-am astepta a ea s  uni e în parte si notiunea de parti ul  u ea de âmp. O parte din greutatea a estei sar ini se datoreaz  în prin ipal s arilor diferite ale elor dou  teorii: me ani a uanti   are de-a fa e u parti ule mi ros opi e, pe ând gravitatia are de-a fa e în general u orpurile masive eresti. Câteva punti de leg tur  ar  interiorul stelelor masive, sau în eputul Universului, dar a estea sunt mai degrab  azuri parti ulare. În în er area lor de a g si o astfel de teorie uni atoare, zi ienii au dat peste o solutie are are potentialul de a  ea

ore t  si pe are ei o denumes " teoria orzilor relativiste " . Pentru a a easta ar uni a me ani a uanti a si teoria relativitatii, unii zi ieni o mai numes si "teoria tuturor lu rurilor" ("the theory of everything" in limba engleza). Esenta teoriei orzilor relativiste este   toate parti ulele elementare sunt f  ute din a elasi tip de oard . A easta

oarda ar vibra insa u viteze apropiate de viteza luminii, de a eea ea poarta numele de oarda relativista. Felul în

are a easta oard  vibreaz  ne va da o parti ul  sau alta. Si ele tronul si quar ul si fotonul si toate elelalte parti ule elementare ar reprezenta de fapt a eeasi oarda, are apare insa in moduri de vibratie diferite. In a est apitol vom în er a s  vedem prin ipalele ara teristi i ale teoriei orzilor relativiste, avertizând de la în eput ititorul   a easta teorie este în prezent un domeniu nou de er etare si foarte ontroversat în a elasi timp. În plus, nu exist  în   ni i o veri are experimental  a teoriei

orzilor relativiste. Este de i o sans  (mai mare, sau mai mi  , dup  opinia e  ruia) a teoria s  e în nal fals  si a dumneavoastr  s  v  pierdeti în zadar timpul. În a este az nu pot de ât s  v  onsolam   nu veti  fost singurul! ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 8.1: În gura este reprezentata stru tura posibila a materiei, de la mai mare la mai mi . Ai i e are obie t este format din atomi, are la randul lor sunt formati din ele troni si protoni. Ele tronul insa nu ar  o parti ula elementara, i ar  de fapt o oarda, e poarta denumirea de " oarda relativista", pentru a vibreaza u viteza luminii. Protonul ar  format din quar i, insa a estia la randul lor ar  formati si ei din a elasi tip de oarda. Natura parti ulei (ele tron, quar , foton, et .) este data de modul de vibratie al a estei oarde.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

În nal, o mi   observatie asupra tradu erii numelui teoriei. În englez  ea se numeste "string theory", de la "string"

are înseamn  oarda. În româneste se mai spune si teoria stringurilor. Noi am optat ai i pentru denumirea "teoria

orzilor relativiste", pentru a s oate în evident  faptul   ne asteptam a singurul tip de "  r mida" de baz  a materiei s  e o " oard " si s  o putem vizualiza usor. Coarda este îns  o

oard  relativist  deoare e, asa um vom vedea, vibratia orzii are lo u viteze apropiate de viteza luminii. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

187. Avertisment La noi in tara, teoria orzilor relativiste a fost popularizata prin intermediul unor tradu eri, a de exemplu "Universul intr-o oaja de nu a" al lui Stephen Hawking, si "Universul elegant" de Brian Green. Cartile sunt foarte bine s rise, asa

a nu este de mirare a au fost elevi are au luat de izia de a deveni zi ieni itindu-le. Paradoxal insa, pentru a ontinutul a estor arti s-ar putea sa e fals... A estea pentru a ele doua arti nu au evidentiat su ient de lar ontroversele puterni e din jurul teoriei orzilor relativiste. De a eea, inainte de a tre e la o introdu ere tehni   a

orzilor, vrem s  atention m din nou ititorul u privire la ,

382

faptul   teoria orzilor este în   în dezvoltare. Astazi interesul pentru a easta teorie este oare um in s adere si pana a um ea nu a fost veri at  experimental si a atare poate  omplet fals . În lumea zi ii teoreti e ontemporane este o dezbatere aprins  u privire la posibilitatea a teoria orzilor s  des rie lumea zi   real . Dezbaterea merge de la a onsidera teoria un nonsens, pân  la a o onsidera singura teorie viabil  la momentul prezent, iar numele er et torilor impli ati în dezbatere pornes de la do toranzi obisnuiti pân  la laureati ai premiului Nobel. Iat  ai i âteva itate ale unor nume

unos ute din lumea zi ii sau a matemati ii: ,

,

,

,

,

,

Edward Witten (matemati ian, premiul Fields în 1990) "Teoria orzilor relativiste apartine se olului XXI, insa a fost des operita din intamplare in se olul XX"

Steven Weinberg (premiul Nobel în 1979) "În

teoria

orzilor relativiste nu exist  ni i un fel de " ârpeal ". Teoria este e omplet adev rat , e omplet fals "

Ri hard Feynman (premiul Nobel în 1965) "Cred

u adev rat   teoria orzilor relativiste este un nonsens. Nu îmi pla e   teoreti ienii orzilor nu pot al ula nimi exa t. De e sunt masele parti ulelor atâta ât sunt? Teoria orzii nu d  ni i o expli atie pentru a este valori, absolut ni i una!" ,

Sheldon Glashow (premiul Nobel în 1979) "Dup  âte v d eu, teoria orzilor relativiste este omplet rupt  de experiment... De fapt, nu exist  ni i un fel de experiment

are s  inrme denitiv teoria. A east  teorie este mereu sigur    nu poate  falsi at . V  întreb, este a easta zi   sau lozoe?"

Dup  um vedem, p rerile despre teoria orzilor relativiste sunt extrem de împ rtite hiar între spe ialisti. Ris ul este atun i extrem de mare a tot eea e vom dis uta în se tiunile urm toare s  se dovedeas   într-o zi fals si a alt  teorie s  ia lo ul a um favorizat al teoriei orzilor. A east  posibilitate a devenit din e in e mai populara în ultimii ani, ând riti ii teoriei orzilor s-au înmultit. Sa ne gandim de exemplu la ze ile de studenti români, zi ieni teoreti ieni, pentru are a um ze e ani lu rul în adrul teoriei

orzilor p rea atât de fas inant si promit tor... Pe multi dintre a estia i-au atras uvinte magi e a "d-brane", "heteroti string", sau faima unor zi ieni unos uti ( a Weinberg, S hwarz). Criti ii a uz   , în anii 90' si la în eputul anilor 2000, lubul sustin torilor teoriei orzilor a primit ele mai multe fonduri, în asa fel în ât tinerii teoreti ieni erau aproape fortati s  aleag  teoria orzilor, ignorând în mare parte alte teorii posibile. Ultimii ani insa nu au parut sa adu a progrese fundamentale in teoria orzilor relativiste si ni i onrmari experimentale, u tot efortul depus. Doar ativa dintre tinerii zi ieni au ontinuat sa profeseze in teoria orzilor relativiste si asta datorita in prin ipal numarului limitat de pozitii in universitati. Cei mai multi dintre ei au urmat alte ariere in zi a, matemati a sau in afara mediilor a ademi e. Cu ei au dus insa si unostintele si metodele invatate. R mâne desigur, a istoria s  dea r spuns a estor ontroverse. Noi ne vom on entra in se tiunile e vin pe partea ex lusiv tehni a a teoriei orzilor relativiste. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

188. Istoria orzii relativiste Teoria orzilor relativiste a fost dezvoltat  în anii 1960 s, i 1970 în prima instant,   a o teorie a hadronilor, a ele parti ule

formate din mai multi quar i (neutroni, protoni, pioni, et .).

În a ei ani teoria quar ilor ( romodinami a uanti   ) nu era în   omplet dezvoltat  si a

eptat , iar teoria orzilor era o alt  optiune pentru expli area intera tiilor dintre hadroni. Ideea de baza a teoriei orzilor este a parti ulele nu ar  pun tuale, i ar  un fel de orzi (benzi de au iu ) are vibreaza in moduri diferite. In azul hadronilor, ele ar  avut dimensiuni de ordinul 10−15 m, adi a ar  fost tot atat de mari

a si protonii... De unde si pana unde insa orzi? Ei bine, sugestia a pornit in mod spe ial de la observatii experimentale asupra "rezonantelor ". A estea sunt parti ule de o viata foarte s urta, are se dezintegreaza rapid in alte parti ule unos ute. In a

eleratoarele moderne de parti ule, "produ tia" de rezonante este o treaba inginereas a: pentru a produ e o "rezonanta", dire tiile, unghiurile, energiile si spinii parti ulelor in idente trebuie ajustate orespunzator. Odata insa obtinute rezonantele, s-a observat o relatie urioasa: momentul ineti unghiular J al a estor rezonante era proportional patratul energiei lor E , si anume J ∼ E 2 . A easta relatie des rie asa-numitele " urbe Regge " ("Regge traje tories" in limba engleza). Sa ne adu em a um aminte a momentul ineti unghiular J

lasi des rie rotatia unei orp in jurul unei axe date ( are poate  o axa proprie a orpului). El este analogul impulsului in mis are de rotatie si ne da o indi atie despre "puterea" rotatiei. Astfel, u at reste viteza unghiulara de rotatie ω u atat reste si momentul ineti unghiular J ∼ ω . Cu at este mai greu orpul de masa m, u atat este mai puterni a rotatia J ∼ m. In plus, rotatia devine mai puterni a si da a a el orp are dimensiuni L mai mari: J ∼ L2 unde L este dimensiunea orpului. A uma, ne-am putea imagina a rezonantele nou produse ar  un fel de orpuri rigide in rotatie nerelativista. In a est

az energia E a rezonantei ar  sto ata in prin ipal in masa sa de repaus m, dupa relatia lui Einstein E = mc2 , si mai putin in mis area sa de rotatie. Cum am vazut a momentul ineti unghiular J este proportional u masa m, vom sfarsi u o relatie de proportionalitate intre momentul ineti al rezonantelor si energia lor J ∼ E , eea e nu este eea e ne dorim... De a eea zi ienii au autat un alt model pentru expli area a estei omportari, si au sfarsit a onsidera un orp delo rigid: o oarda elasti a, foarte asemanatoare unei benzi de au iu ! In a est az, u at at oarda de lungime L este mai intinsa,

u atat ea are mai multa energie E inmagazinata in ea, pentru

a este a un fel de ar armat e ontine energie in el L ∼ E . Devenind mai intinsa, ea devine si mai lunga, si de i momentul

ineti unghiular J devine mai mare odata u lungimea. Contributia a easta se adauga la ea originala, unde apare variatia relativisti a a energiei u masa m ∼ E . In plus, oarda de relativista se mis a (paradoxal) mai in et odata e energia inmagazinata in ea reste ω ∼ 1/E . A easta deoare e oarda devine mai lunga si, um apetele orzii au o viteza limitata de viteza luminii, viteza unghiulara ω trebuie sa s ada. Luand in

al ul toti a esti termeni in relatia noastra J ∼ mL2 ω , vedem a um a momentul ineti unghiular reste u patratul energiei J ∼ E 2 , exa t asa um ne dorim! Pra ti , atun i rezonantele studiate ar  de fapt niste orzi vibrante. Comportarea orzilor relativiste devine interesanta da a ne intoar em privirea spre mezoni, despre are astazi stim a sunt formati dintr-un quar si un antiquar . Ori, am vazut a ai i forta de atra tie dintre ei doi uar i are o omportare iudata: ea devine mai puterni a pe masura e uar ii se inteparteaza, si mai slaba pe masura e ei se apropie unul de altul. In nal este nevoie de energie innita pentru a separa ei doi quar i... A easta este insa si omportarea unei orzi obisnuite, a i a easta "manan a" energie odata e este intinsa din e in e mai mult. Putem atun i spune a forta de atra tie dintre

ei doi quar i e formeaza mezonul este des risa de o oarda, adi a de un fel de banda de au iu ... Pra ti , un mezon ar  o ole tie de doi uar i tinuti impreuna de o oarda relativista. ,

,

188. Istoria corzii relativiste

Figure 8.2: Relatia Regge dintre masa si momentul sau

ineti orbital J pentru mezonii ρ. Relatia ar  expli ata da a a estia ar  de fapt niste orzi in rotatie, asa um este s hitat in gura. La valori mi i ale energiei (stanga) am avea o oarda mi a u o viteza de rotatie mare. La valori mari ale energiei orzii (dreapta) reste si lungimea orzii (pentru a este mai intinsa) si masa lor (pentru este data de energia E = mc2 ). De notat a momentul unghiular este mai mi de at in azul and oarda era mai mi a.

Asa um vom vedea insa, exista o diferenta fundamentala intre o banda de au iu si oarda relativista. Astfel, o banda obisnuita devine mai tensionata ând este extinsa, pe and tensiunea din oarda relativista este mereu a eeasi, indiferent de at de mult este intinsa oarda! Între timp îns , romodinami a uanti   s-a dovedit teoria

ore t  pentru intera tiile dintre uar i, asa  , în etul u în etul, teoria orzilor relativiste a fost dat  uit rii... Teoreti ienii au lu rat apoi âtiva ani singuri si au ontinuat s  fa   progrese în onstru tia unei teorii mai libere de ontradi tii si mai onsistente. Astfel, teoria originala des ria doar bozoni, lu ru in ne on ordanta u pra ti a, unde o parte din hadroni (protonii de exemplu) sunt fermioni. Teoria nu era de i in esenta apli abila tuturor hadronilor... Din feri ire insa, zi ianul Pierre Ramond a reusit, in anul 1970, sa modi e teoria orzilor, introdu and si fermionii in teorie. Noua teorie imbunatatita a devenit

unos uta sub numele de teoria super orzilor (despre are intelegem a sunt relativiste...). Asa um sugereaza si numele, ea este o teorie supersimetri a, in sensul a e are parti ula are un partener supersimetri , asa um am dis utat in apitolul pre edent. Unul dintre avantajele noii teorii imbunatatite a fost eliminarea tahionului din teoria originala, o parti ula elusiva e s-ar deplasa u o vitez  mai mare de ât viteza luminii si are nu a fost observata pân  a um in experiment. În anul 1974, John S hwarz si Joël S herk fa o noua "des operire" teoreti a. Astfel, printre parti ulele are ar putea  des rise de orzile relativiste ei identi a una are ar putea  gravitonul ! Dup  um se stie, gravitonul este parti ula

uanti   aso iat  âmpului gravitational. O in ludere a gravitonului în arealul de parti ule elementare este un prim pas spre uni area Modelului Standard u teoria gravitatiei (teoria relativit tii generalizate). Astazi se stie a teoria

orzilor relativiste nu numai a permite, dar si ne asita o parti ula are poate  aso iata gravitonului, ori a easta este una dintre ele mai pla ute surprize ale zi ienilor. ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

383

De exemplu, datorita gravitonului, putem generea noi parti ule printr-o o dinami a puterni a a spatiului. În abordarea

uanti a am avea multi gravitoni are apoi s-ar dezintegra în alte parti ule... Ori o dinami a puterni a a spatiului a existat imediat dupa Big-Bang, atun i and au fost reate multe parti ule. O alta situatie sunt gaurile negre. Din pa ate, ai i dinami a extrema este inautrul orizontului gaurii negre, a olo unde nu ne putem uita. Ce pa at, oare âte parti ule si e fel or  reate a olo, un adevarat laborator osmi , invizibil pentru noi însa... Pentru a a omoda gravitonul in teoria orzilor relativista, datele problemei se s himba substantial. Astfel, lungimea

orzii nu mai poate  omparabila u ea a hadronilor, i

u ea a gravitonului ! Cat de mi este insa un graviton? Lumea stiinti a nu are un raspuns pre is, insa are o banuiala puterni a a el ar  de o dimensiune data de lungimea Plan k 10−35 m pe are am introdus-o in apitolul pre edent. Pra ti , a easta ar  dimensiunea la are insasi stru tura spatiului ar parea uanti ata, asa um ne asteptam de la graviton... Realizand potentialul noii teorii odata u introdu erea gravitonului, S hwarz si S herk au propus apoi   teoria s-ar apli a nu hadronilor, i tuturor parti ulelor elementare (ele tron, foton, graviton, et .)! O propunere remar abila, pentru a ea a s himbat omplet unghiul de vedere sub are noua teorie a fost privita: a un potential andidat are poate uni a toate fortele fundamentale ale naturii, in lusiv gravitatia! Cat ar  tensiunea T dintr-o oarda relativista in noul

az? Valoarea a esteia este data a um de taria intera tiei gravitationale purtata de un graviton. O valoare estimativa se obtine ombinand onstantele fundamentale, obtinand din nou o marime Plan k: T = c/G2 ≃ 1028 g/cm2 . A easta inseamna pra ti a tensiunea dintr-o oarda relativista e hivaleaza u sute de miliarde de miliarde de tone intr-o banda de au iu

are ar avea un diametru de ativa milimetri. La a este tensiuni uriase, ori e material obisnuit s-ar rupe, desigur... Coarda relativista n-ar  fa uta insa dintr-un material a si el obisnuit ( are este fa ut din atomi) i din eva u totul spe ial, fara stru tura, apabil sa nu se rupa la a este tensiuni in redibile... Da a fa em identi area gravitonului in teorie, sfarsim astfel

u doua marimi de baza, lungimea orzii si tensiunea ei, marimi

are sunt de ordinul unitatilor Plan k. De fapt, se poate arata

a lungimea orzii este un rezultat al tensiunii la are ea este intinsa. Astfel, o oarda libera are tendinta de a se strange, si a easta tendinta este ompensata in azul nostru de prin ipiul de in ertitudine, are impune o anumita dimensiune minima. A esta genereaza un fel de u tuatie uanti a a orzii, are ondu e in nal o dimensiune minima, data de lungimea de unda Compton L = Λ = h/(mc), unde m este masa orzii, asa um am dis utat in apitolul pre edent pentru parti ulele obisnuite. A um insa, tensiunea T si lungimea L a orzii ne da in esenta si energia E = mc2 inmagazinata in ea, a i u at tragem mai mult de oarda, u atat ea va aduna mai multa energie: E ≃ T L. Coarda noastra are o lungime si o tensiune data de marimi Plan k, asa a nu este depmirare a produsul

elor doua ne va da energia Plan k E ≃ ~c5 /G ≃ 1019 GeV . Coarda relativista va avea atun i energia Plan k si hiar masa Plan k, asa in at lungimea de unda Compton Λ = h/(mc) va iesi egala u lungimea Plan k 10− 35 metri, asa um ne dorim... Ne putem imagina atun i um, datorita tensiunilor uriase din oarda relativista, a easta are tendinta sa se stranga intr-un pun t. Cu toate a estea, u tuatiile uanti e datorita prin ipiului de in ertitudine o pastreaza pe a easta in dimensiuni medii de marimea lungimii de unda Compton, are se dovedeste a um egala u lungimea Plan k, exa t asa um ne dorim pentru graviton... Sfarsim astfel u o oarda relativista are este o ole tie de marimi Plan k. Surpriza este pla uta, da a ne reamintim dis utia din apitolul pre edent, a i ne asteptam a parti ulele u adevarat elementare sa e des rise in nal de marimi

384

are aparusera intre timp sa e onsiderate a ind manifestari ale unei a eleiasi teorii fundamentale, are de data a easta s-ar manifesta in 11 dimensiuni.... A est al doilea moment semni ativ este unos ut sub numele de "a doua revolutie " a toriei orzilor relativiste. Ca i, odata u studiul mai aprofundat al teoriei, a reiesit la iveal  si omplexitatea as uns  si faptul   se pot onstrui o multitudine de astfel de teorii, în fun tie de propriet tile alese ale orzii relativiste. Ceea e la în eput a p rut a  o oportunitate (   i avem atun i de unde alege teoria orzilor

ore t ), s-a dovedit a  mai târziu o problem ,   i ni i pân  ast zi zi ienii nu au reusit s  identi e forma ore t  a teoriei

orzilor are expli   Modelul Standard al parti ulelor... Ast zi sunt el putin in i teorii ale orzilor separate, u asem n ri între ele (asemanari numite dualit ti ). Asa um am mentionat, teoria orzilor a adus la suprafat  o sugestie mai ve he, ea a unor noi dimensiuni spatiale aditionale. Astfel, supra orzile ar trebui s  existe într-un spatiu u 9 dimensiuni spatiale (10 in total da a luam in al ul si timpul), dintre are de i 6 ar  aditionale la e observ m noi. În mod evident, a estea ar  mi i, ompa ti ate, din moment e noi observ m doar trei dimensiuni spatiale... Ast zi, se dis ut  mult despre m surarea a estor dimensiuni spatiale aditionale. Pân  a um îns  nimeni nu a reusit s  le m soare. S  remar  m îns   , da   ele vor  g site, nu înseamn 

  teoria orzilor va  onrmat . Desi azi se obisnuieste s  se vorbeas   de dimensiunile aditionale în relatie u teoria orzilor relativiste, a estea nu sunt numai apanajul teoriei orzilor. In ultimii ani se observa insa o s adere a a tivitatii in domeniul teoriei orzilor relativiste. A easta are de-a fa e in primul rand u ese ul a estei teorii de a onstrui in timp s urt o teorie ompatibila u Modelul Standard al parti ulelor elementare. Dupa um spun unii riti i, teoria pare a in epe sa e uitata hiar inainte de a  demonstrata falsa... In nal, o mi a paranteza despre arierele unora dintre zi ienii impli ati in dezvoltarea teoriei orzilor relativiste. Astfel, am vazut a Pierre Ramond a introdus fermionii in teorie, teorie are de atun i in lude automat supersimetria. Cu toata a easta realizare remar abila, lui Ramond i s-a refuzat profesoratul la Yale. Si lui John S hwarz i s-a refuzat profesoratul la Prin eton, in iuda ontributiilor sale ru iale mentionate de noi mai sus. El a trebuit sa se mute in alta parte, unde a devenind er etator aso iat timp de 12 ani, ind platit din fonduri temporare. Este a easta o ara teristi a a elor e sparg bariere? A elor

e aleg in ertitudinea pentru a-si urma ideile? Cu exemple nu numai din zi a, dar si din arta (van Gogh)? Oare nu este mai sigur a sa te atasezi unei teorii larg raspandite pentru a apata o pozitie permanenta de profesorat la o Universitate, visul elor mai multi er etatori? Desigur, asa este... Este insa ironi a, peste timp, er etatorii teoriei orzilor relativiste si-au luat revansa. Peste ani, atun i and ei mai multi dintre ei au deveni in nal profesori, iar teoria orzilor ea mai populara la atedrele de zi a teoreti a, a fost randul zi ienilor din elelate domenii on urente sa bata pe la usi in hise... ,

,

,

,

,

,

,

,

,

Figure 8.3: in partea de sus este reprezentata o oarda relativista des hisa, lasata libera. Datorita tensiunii enorme din oarda, a easta are tendinta sa se restranga aproape instantaneu la un pun t. Atun i and insa oarda atinge dimensiuni de marimea lungimii de unda Compton, u tuatiile uanti e joa a un rol important, iar oarda va avea in media o dimensiune data de a easta lungime Compton Λ = h/(mc). Pentru a masa m a orzii (data de energia inmagazinata) este in jur de masa Plan k, lungimea Compton se dovedeste aproape egala u lungimea Plan k 10−35 metri. Plan k... Cu toate a estea, nu suntem in a a olo, si trebuie sa des riem u ajutorul orzilor relativiste ma ar parti ulele elementare unos ute, a de exemplu ele tronul, quar ul, fotonul, nu numai gravitonul... A um insa avem o problema fundamentala, ea a maselor de repaus a a estor parti ule unos ute, a i a estea sunt de miliarde de miliarde de ori mai mi i de at masa Plan k! Cum ar putea des rie teoria orzilor relativiste parti ulele elementare obisnuite (ele tron, quar , foton) and masa a estora este mult mai mi a de at masa unei orzi relativiste, are este de ordinul masei Plan k si de i de miliarde de miliarde de ori mai mare? Solutia a estei probleme a venit odata u eea e zi ienii numes "prima revolutie" in teoria orzilor relativiste. A esta este momentul in are zi ienii John S hwarz si Mi hael Green au aratat a teoria super orzilor este onsistenta matemati , insa intr-un Univers de ze e dimensiuni ale spatiului si timpului! Chiar da a surprinzatoare, prezenta a estor 6 dimensiuni spatiale aditionale a adus u sine un avantaj e rezolva problema pre edenta. Astfel, in Universul u ze e dimensiuni se arata a nivele de energie uanti ate ale super orzilor in ep de la zero. Atun i este posibil sa atribuim parti ulelor obisnuite (ele tron, quar , et .) starile de energie nula ale orzilor, pentru a atun i si masa lor de repaus m = E/c2 va  nula. In prima instanta ar parea a solutia nu se potriveste, pentru

a parti ulele obisnuite ar trebui sa aiba masa de repaus nula (pentru a E = mc2 ), eea e ele tronul nu are. Cu toate a estea, atribuirea de masa nenula pentru a estea se poate fa e prin me anisme aditionale, a de exemplu me anismul Higgs. Mai important este insa a in a est Univers u 10 dimensiuni exista niste orzi relativiste a aror energie (si de i masa) este foarte mi a, multa mai mi a de at energia Plan k si de i are pot reprezenta parti ulele elementare obisnuite (ele troni, fotoni, et .) Dupa a est su

es, teoria orzilor a primit un avant puterni ,

are a s os in evidenta o parti ularitate aparte, ea a teoria

ontine nenumarate variante. Putem exempli a de exemplu

u alegerea intre orzi in hise sau des hise. Apoi, in anul 1995, Edward Witten a propus a nenumaratele variante ale teoriei ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

189. Ce este o oard  relativista? Teoria orzilor ne spune   parti ulele elementare (ele tronii, quar ii, fotonii, et ., ) sunt toate de fapt nu niste pun te innitezimale, i niste orzi minus ule, un fel de "elasti e" f  ute toate din a elasi tip de "material". A est material insa nu trebuie privit a o ole tie de "parti ele" in a si mai mi i,

i mai degraba a pe eva ontinuu, "lu ios" si fara stru tura interna. Grosimea a estor orzi se onsidera innitezimala si se neglijeaza, asa in at oarda poate  privita a un obie t pur uni-dimensional. Corzile relativiste pot  des hise sau în hise ( a o br tar ..), ,

,

,