Fitzgerald - Sem 4

 

Torsión 3.1

Introducción

En el material descrito en el capítulo 2, las cargas exteriores se aplicaron en tal forma que se producían ya esfuerzos normales, ya esfuerzos cor tantes en los miembros. En este capítulo se estudiará el efecto de cargas de torsión sobre los miembros. Estas cargas generalmente se presentan en forma de pares que hacen girar los miembros, y, como se verá más adelante, producen esfuerzos catantes. Las flechas o ejes circulares son los miembros más c'omúnmente aso ciados con cargas de torsión y se presentan muchas aplicaciones prácticas para ellos, especialmente en el campo del diseño de máquinas. Las cargas de torsión generalmente se aplican por medio de poleas o engranes que mueven o son movidos por las flechas. Como ejemplos de miembros sujetos a cargas de torsión, consideremos las Fig. .3.1 y 3.2. La Fig. 3.1 ilustra una flecha redonda fija en un extremo, con un disco en el otro extremo. Se aplican dos fuerzas iguales  y opuestas P   en el plano del disco, como se muestra. Estas dos fuerzas, separadas una distancia d   forman una par. El efecto de este par, es torcer el eje o par de torsión, como generalmente se llama alrededor de su eje longitudinal. En lugar de representar el par como dos fuerzas, se usará la designación alternativa de una línea curva cuya punta indica la direc ción del par, como se muestra muestra en en la Fig. 3.1 ( b ) . El par resisten resistente te ( inte rno ) pu ede determinarse aplicand o la ecuación ecuación SA SAÍe Íeje je = O a un un diagrama de cuerp o libre de la flecha. Es decir, para determinar el par interno en cualquier posición de la flecha, cortamos ésta mediante un plano imaginario perpendicular al eje de la misma en el lugar deseado y hallamos la suma de los momentos del diagrama de cuerpo libre resultante, con respecto al eje longitudinal. Para el caso considerado aquí, aquí, la Fig. 3.1 ( d ) indica que el par resistente resistente interno interno es igual al par externo T.   Para una flecha que esté sujeta a varios pares aplicados en diferentes lugares, es necesario hacer el diagrama de cuerpo libre de varias secciones. El par resistente interno es la suma de todos los pares externos hasta el plano en cuestión. Otro método común para aplicar cargas torsionales se ilustra en la Fig. 3.2. En este caso, se aplica una sola carga P a una distancia r del

(a)

T=Pd

(b (b))

£ >>•»#

(O

FIGURA 3.1 39

   

40

c a p it ü l o

  3/TORSION

flecha (secc. circular)

T=Pe

{al

(O

FIGURA 3.2 eje longitudinal. Por estática, esta fuerza puede descomponerse en una fuerza y un par en el centro de la flecha, como se muestra en la Fig. 3.2 (b) y (c). En este caso, la flecha está sujeta a un par T, que la hace girar res pecto a su eje, y también a una fuerza P. Si la flecha está apoyada en el punto de aplicación de la fuerza, el problema es de torsión simple. Sin embargo, si ademá ademáss la flecha p ued e flexíonarse flexíonarse libremente b ajo la aplica aplica ción de esta fuerza, el problema se convierte en uno en que se combina flexión y torsión. Los problemas que contienen una combinación de es fuerzos de torsión y de flexión y/o esfuerzos axiales se estudiarán en el 6 . de capítulo Ensección este capítulo, sePor tratará solamente en la teoría de la torsión en flechas circular. consiguiente,cualquier problema que se presente en este capítulo, se supone que las flechas están, apoyadas de tal manera' que todos los esfuerzos que no sean de torsión, se des precian. Este capítulo cubre el análisis y diseño de flechas circulares sujetas a esfuerzos por debajo del límite de proporcionalidad del material. Se discutirá brevemente la torsión de fleohas no circulares. Las flechas circulares sujetas a esfuerzos en el intervalo inelástico se discuten en el capítulo 12 .

ProbSemas 3.1-3.8 Determinar Determina r la magnitud del par interno en las las seccione seccioness indicadas indicadas en las Figs, P3.1 a P.3.8. ---- 4^250 N

800 800 N-m

 A

250 N

80 Ib

 A

FIGURA P3.2 SOONt

h 

\  a 

7 00 00 N* N* m

W N -m

FIGURA P3.4

FBGURA P3.^1

FIGURA P3.3

SI

300 N-m

 

SECCION 3.2/ESFUERZO 3.2/ESFUER ZO CORTANTE

4 klb

41

2 klb

2 000 N

1.5 klb

400 N

/? = 2.5 cm

B

/7 = 25 cm 3 000 N

1 OO OOGN GN

2 500 N

1 300 N

FIGURA P3.6 /? = 15 cm

/? = 20 cm

R = 30 cm 1 500 500 N

(1

IC 1 800 800 N

^ 1 800 800 N 2 700 N

FIGURA P3.7 400 Ib

FIGURA P3.8

3.2

Esfuerzo cor tante

Si un miembro de sección circular está sujeto a cargas de torsión, se pro ducen fuerzas cortantes internas. El producto de estas fuerzas cortantes por su sus respectiva respectivass d istarcias del eje d e la flecha p roduce momentos, cuya suma (o resultante) result ante) es el par resistente interno descrito de scrito en la sección anterior.

 

42

CAPITULO 3/TORSIdN

La Fig, 3.3 ilustra la acción de las fuerzas internas que forman el par resistente. Ya que estas fuerzas son tangentes a la superficie del material, producen esfuerzos cortantes. La relación entre las fuerzas tangenciales  y su suss esfuerzos esfue rzos cortantes asociados asociado s es t = P/Á.   En este caso, caso, t es el esfuerzo cortante área sombreada, es esfuerzos la fuerza cortantes cortante actuando sobre esasobre área. elLas fuerzas cortantesy yP los actúan en dirección perpendicular al radio vector que une al punto en cuestión con el eje del miembro. Para investigar la torsión en los ejes, debemos c'onocer la relación entre el par aplicad o y los esfuerzos internos internos producido s po r ese par. Pair Paira a establecer esa relación, se hacen las siguientes suposiciones; a)

b) cj

d)

Un a sección de la flecha que es plana antes antes de la torsión, torsión, permanece plana d-espués de la torsión. Esto significa que una sección trans versal de la flecha no se alabea después de la carga. El diámetro de la flecha no cambia durante la carga. Los esfuerzos están en el rango elástico. Es decir, los esfuerzos están debajo del límite de proporcionalidad cortante, y se aplica la Ley de LasHooke. deformaciones por cortante varían linealmente desde cero en el eje del miembro, hasta un máximo en las fibras -extremas.

La observación y la verificación experimental comprueban que estas suposiciones están justificadas. Ya que las deformaciones por cortante varían proporcionalmente a la distancia al eje, los esfuerzos cortantes deben tener la misma relación (L e y de Ho ok e). Esto se se muest muestra ra en la Fig. 3. 3.3 3 ( d ), donde los los esfuerz esfuerzos os sobre cualquier anillo delgado, tal como el área n localizada a una dis tancia radical  p   a par tir del eje, son directamente p roporcionales a los esfuerzos máximos, que ocurren en las fibras exteriores extremas. Debe mos determinar la relación entre estos esfuerzos máximos y cl par que los produce. Su deducción tomará la siguiente forma: a) máx

b) 1

^ 1 c = Radi Radioo

emos soporta una fuerza igual F. Se puede obtener la relación entre las fuerzas en los pernos y el par en la flecha tomando momentos con respecto al centro de la misma. Considerando la Fig. 3.7 (c), tenemos: centro = 0 :

 T = nFr,

donde:

T   = = par aplicado, aplicado, n = número de pernos, pernos, F = fuerza cortante en cada cada perno, r = distancia distancia de los los pernos pernos medida medid a desde el centro de la flecha.

55

 

56

CAPITULO 3/TORSION

E J E M P L O 3.9 Determinar el par máx máximo imo que puede sser er transmit transmitido ido por un acoplamiento del eje que contiene sei seiss pernos de Já plg, igualmente espa ciados sobre un círculo de 6  plg de diámetro, como se muestra en la Fig, 3.8. El esjFuerzo cortante permisible para los pernos es de 10 000 Ib/plg^. S O L U C IO N

La fuer fuerza za cor cortan tante te permisible permisible en ca cada da perno perno es es:: A = 57r{2)^ = 0.196 plg^,

P - t A   = 10 000(0.19 6),

FÍGUKA 3.8

P = 1 96 960 0 Ib. Ib.

 Tomando mom momento entoss con respecto respecto al centro del eje de la flecha, se tie tiene: ne: 2 Mce cen ntro tro == ==0: 0:

T = nFr = (6)(1 960)(3),  T = 35 40 400 Ib-p lg

ü

E J E M P L O 3. 3.10 10 Determinar el es esfuerzo fuerzo ccorta ortante nte que actúa actúa en ccada ada perno de K plg de un acoplamiento, suponiendo que el par aplicado es de 6 000  Ib-pie. Los pernos están distribuidos en tal forma que seis quedan sobre un círculo de diámetro, y cuatro quedan sobre un círculo de 5 plg de diámetro Sk   plg (véase Fig.de3.9). S O L U C IO N Las fuerzas que actú actúan an sobre los pernos pueden calculars calcularsee por estática. En este caso caso se presentan dos fuerzas desconocidas, F, sobre el círculo a, y F    sobre el círculo b.  Por consiguiente se tiene; 2

= §

centro

= 0:

(6 000)(12) = 6F,(3.2.5) + 4F,(2.5),

72 000= 19.5F,+ lOF,.

(1)

Se puede obtener la relación entre las fuerzas F-^   y F.¿   considerando que la fuerza en cada perno es proporcional a la distancia del perno al centro del eje de la flecha. Por consiguiente. Fl

h 

2.5

3.25’  (2)

Sustituyendo Sustitu yendo esta expresión en en la ec. ec. ( 1 ) se obtiene:

FIGURA 3.9

72 000= 000 = I9.5F, I9.5F, + 1 0 | ^ F i, á.ZÍ)

F, = 2 650 Ib. Ib.

Según Segú n la la eec. c. ( 2) , se tiene: tiene: F 2 = 1 ^ (2 650),

F2 = 2 030Ib.

 

SECCION 3.8/RESORTES HELICOIDALES

El esfuerzo cortante en cada perno del anillo exterior es;

P   2 650

n /19

El esfuerzo cortante en cada perno del anillo interior es: P

2 030

A

0.1%’ 

= 10 400 Ib/plg2

Problemas 3.46 Determinar Determi nar el par máximo que puede transmitirse transmitirse mediante un acopla acopl a miento de flecha flec ha que tiene ti ene cuatro pernos de 20  mm igualmente espaciados sobre un círculo de 100 mm de diámetro. El esfuerzo cortante permisible en los pernos es de 70 MPa. 3.47 Determinar Determ inar el esfuerzo cortante en los los pernos de un un acoplamiento acoplami ento de eje, eje, que transmite un par de 1 50 500 0 Ib-pie. Hay Ha y sei seiss pernos de plg igualmente igualment e espa ciados sobre un círculo de 5 plg de diámetro. 3.48 Determinar Determi nar el número de pernos de 12 mm necesarios necesarios para transmitir un par de 0 000 N • m. El diámetro di ámetro del de l círculo cír culo donde do nde se localizarán los ejes de los pernos es de 130 mm, y el esfuerzo cortante admisible en los pernos es de 80 MPa. 3.49 Determinar Determi nar el par máximo que puede pued e transmitirse transmitirse mediante un un acopla acopl a miento de ejes que tiene dos hileras de pernos de \  plg.   plg. El círculo interior contie ne cuatro pernos sobre un diámetro de 4 plg, y el círculo exterior contiene seis per nos .sobre un diámetro de 6 plg. El esfuerzo cortante admisible en los pernos es de 10  000 000 lb/plg2.

3.8

Re Resor sortes tes heli helico coid idales ales

Los helicoidales frecuentemente en En el diseño de máqui nas na s rc.sorte.s para absorber en ergíase produ pusan rodu cida por cargas. esta sección se se puede explicar el método para calcular esfuerzos y deflexiones de resor tes, ya que la acción de los resortes es principalmente de naturaleza torsional. Los resortes que se considerarán en esta scícción son los llama dos resortes resortes helicoid ales de “ espiras espiras cerradas” cerradas” . El términ o “ espiras espiras ce ce rradas” rrada s” sign ifica qu e las las espiras espiras (o vueltas) quedan en un plano casi perpendicular al eje del resorte. Consideremos el resorte mostrado en la Fig. 3.10 sujeto a una carga de tensión a través del eje del resorte. Si se cortara el resorte a través de luia espira, resultaría el diagrama de cuerpo libre mostrado en la Fig. 3.10 (b). En la sección cortada se   requiere una fuerza vertical y un par para mantener el equilibrio. Tanto la fuerza como el par actúan en el plano de la sección del corte. Si el diámetro nominal del resorte es D,  y el diámet diá metro ro del alam bre es d,  el esfuerzo máximo puede calcularse como sigue:

57

 

58

CAPITULO 3/TORSION

FIGURA 3.10 (PDI2){dl2) _ 4P (7t/32)íí" ird'^

SPD  

TTd'^' 

Esta expresión puede volver a escribirse como: ^ 4P 2Dd ^ ■á 2 D 8PD

 TT  TTd"

1 +

8 PD

TTd" TTd" ■

2D

(3.8)

En aquellos resortes donde la relación D/d es   grande, el efecto del esfuerzo cortante p/A es despreciable,  y dom ina la torsión. Sin emb arg argo, o, si sucede lo contrario, el término en el paréntesis se vuelve más significa tivo y, además, las condiciones de defomiaciÓTi que se supusieron des preciables en la ec. (3.8) adquieren importancia. Todos estos factores pueden incluirse en un factor de corrección a la ecuación básica, K 1 máximo esfuerzo cortante en un resorte puede calcularse medíante la ec. (3.9): 8PD  8P D   TT  TTd"’ 

(3.9)

donde: P = carga axial, axial, cu Ib, Ib, o en N, D ~   diámetro del resorte en plg o en m, d =   diámetio del alambre, en plg o en m, = máximo esfuerzo cortante en el resorte, resorte, en Ib/plg^ o en N/m^

K =   Factor de corrección corrección de Wa hl (mostrado gráficamente gráficamente en la Fig. 3.11).

 

SECCION 3.9/DEFLEXION DE RESORTES HELIOIDALES

59

FIGURA 3. FIGURA 3.11 11 Facto r de co rrección por curvatura para  resortes helicoidales de  alambre redondo, a tensión, o a compresión. (Tomado   de A.M. WahI, Mechanical   Springs; McGraw-Hill Book   Co.. Inc. Nueva York, 1963,  mediante permiso.) EJEMPLO 3.11 Un resorte helicoidal está hecho de alambre de %  pig enrollado en espiral a un diámetro de 3 plg, entre centros del alambre. Deter minar el esfuerzo máximo en el alambre ocasionado por una carga axial de tensión de 300 Ib. SOLUCION obtiene:

El esfuerzo puede calcularse por medio de la ec. (3.9). Se „ 8PD

3.9

(1.18)(8)(300)(3)

 T

= 51 300 Ib/plgí.

Defl Defl exión de resortes resor tes helico heli coid idales ales

En la sección anterior se observó que el efecto principal en un resorte es el de torsión. La de flexión de un resorte se debe entonces principal mente al efecto de la torsión. Consideremos una espira de un resorte helicoidal, conK) se muestra en la Fig. 3.12. Supóngase que solamente se aplican cargas de torsión. El movimiento vertical 8  de esta espiral es igual a la rotación angular del alambre multiplicada por el radio de resorte. La rotación angular del alan)bre es es el ángulo de tor torsió sión n d ad o por la ec. ec. (3 .5 ), y la lo ngitud es la de la espira circular, rrD.  Así, 8 = 0 ^ -   '^(7tI>)D _ rrP^T 

J O 

2JG 

Si un resorte tiene n espiras, la deflexión total es la deflexión acumu lada en cada una de las espiras y se tiene: ,

mrD^T _ mrD'\PD/2)  

W 3 2 )F c '

8nPD^  r a    •

(3 .10)

 

g f)

CAPITULO CAPITULO 3/TORSION

donde: A = defoxmación defoxmación total total del de l resor resorte, te, en plg, o en m, n —   número de espiras, D — diámetro del d el resorte, en plg, o en e n ra, ra, P = carga carga axia axial, l, en Ib, Ib, o en N, diámetro de la varilla, en plg, o en m, m, d   = diámetro G = módulo de elasticidad elasticidad del material material al esfúerzo esfúerzo cortante cortante,, en Ib/plg^, Ib/plg^, o en Pa. E JE M P LO 3.12 Calcula Calcularr la deflexión deflexión del reso resorte rte descrit descrito o en el ejemplo ejemplo 3.11, suponiendo que tiene 16 espiras, SOLU SO LUCIO CIOIM IM resorte:

Puede us usar arse se la ecuación ecuación (3 .10 ) para calcular calcular la deflexión del

. _ 8nPD’’ ^ 8(I 8(I6)( 6)(300)( 300)(3f 3f d^G   (i)‘‘( 12x 10")’ A = 4.3 .36 6 plg m 

Probiemnias 3.50 Un resorte helicoidal helico idal se hace de alambre alambre de acero de 12 mm enrollado en espiral a un diámetro de 80 mm entre centros del alambre. Determinar la tensión axial permisible. El esíuerzo cortante admisible es de 480 MPa. Si el resorte tiene 12  espiras, ¿cuál es la deflexión debida a la carga de tensión admisible? 3.51 Calcular el esfuerzo máximo y la deflexión en un resorte helicoidal. Datos: D   = 12 120 0 mni mni,, d = 18 in inui ui,, « = 18 18,, P - 3 000 N y G ^ 11 GPa GPa** 3.52 Un resorte helicoidal de compresión se hace de alambre de acero de M plg enrollado en espiral a un diámetro de 2  plg entre centros del alambre. Determinar el número de vueltas necesarias para que este resorte se deflecte 1 plg cuando se somete a una carga de 80 Ib. ¿Cuál es el esfuerzo en el resorte debido a esta carga? 3.53 La constant constantee de un resorte se define defin e como la fuerza necesaria necesaria para para deflectar el resorte 1 plg. Determinar la constante de un resorte hecho con alambre alam bre de acero acero de M pl plgg de diámetro enrollado a un un diámetro de 1^ plg entre centros centros del alambre. alambre. Hay Ha y 20 espira espirass y G = 12 X 10® Ib/plg^. 3.54 Determinar Determi nar la constante constante de un resorte hecho con alambre de acero de 15 mm de diámetro y que tiene un diámetro nominal de 100 mm. Hay 12 espir espiras as,, y G = 11 GPa, 3.55 Se desea diseñar diseñar un resorte con ima constante constante de 150 Ib/plg. Ib/pl g. Si el diámetro del resorte debe ser 5 plg, entre centros del alambre y debe tener 15 espiras, ¿cuál debe ser el diámetro del alambre?

 

SECCION 3.10/TORSION DE SECCIONES NO CIRCULARES

3.10 .10

61

Torsión de seccio secciones nes no circu ci rculares lares

Las relaciones matemáticas de este capítulo se aplican solamente a flechas circulares sujetas a carga de torsión. Afortunadamente, esto incluye un espectro amplio de aplicaciones prácticas. Las ecuaciones para los esfuer-

ms   y las las deformaciones deforma ciones de torsión, no son válidas para secciones trans trans versales no circulares, tales como las indicadas en la Fig. 3.13.

FIGURA 3.13 Las secciones de los ejes circulares que son planas antes de las cargas de torsión se se conservan planas p lanas despué despuéss de aplicar a plicar las cargas. cargas. Po r otro lado, las secciones no circulares se alabean cuando se sujetan a cargas de torsión. Por consiguiente, las deformaciones por cortante no varían linealmente a partir del eje central. El tratamiento matemático de este tipo de problema puede encontrarse encontrarse en en libros de texto sobre la teoría de elasticidad y de me cánica de materiales avanzada. Podemos visualizar la razón del alabeo y   su influencia considerando una barra de sección transversal rectangular que está sujeta a una carga de torsión. La Fig. 3.14 indica dicho miembro. Generalmente podríamos anticipar que un punto de los más alejados del eje, tal como una de las esquinas, tendría el mayor esfuerzo. Sin embargo, el esfuerzo de torsión en las esquinas de una flecha de sección rectangular es cero. Un elemento de la esquina, tal como el indicado en la Fig. 3.15 tiene tres superficies libres mutuamente perpendiculares. Una superficie libre no puede tener esfuerzo. Si existiese un esfuerzo cortante en una esquina, sería posible descomponer dicho esfuerzo en componentes paralelas a las aristas. Debido a que el esfuerzo cortante siempre ocurre por parejas que actúan sobre planos mutuamente perpendiculares, tendrían que pre sentarse esfuerzos en las superficies exteriores. Esto es imposible en las esquinas. Por consiguiente, los esfuerzos de torsión en las esquinas de las barras de sección rectangular deben ser cero. Al no haber esfuerzos en las esquinas, dichas barras no se distorsionarán en tales lugares.

FIGURA 3.14

(b (b)) FIGURA 3.15

 

62 ,^máx

CAPITULO 3/TORSION

La Fig. 3.16 indica la distribución de esfuerzos en una flecha de sección rectangular. El esfuerzo cortante máximo ocurre en el punto medio del lado más largo. La magnitud del esfuerzo cortante máximo es  T  Tiináx

a T  W 

(3.11)

donde;  T  Tm más = esfuerzo esfuerzo cortante cortante máximo máximo,, en Ib/plg^, Ib/plg^, o en N/m'^ /m'^,, a ■= un coefici co eficiente ente relacionado, con la razón b/t   de la sección transversal, T   = par de torsión, en Ib-plg, o en N * m, b =   ancho de la sección transversal, en plg, o en m, t  —   — espesor de la sección transversal, en plg, o en m.

FiGURA 3.16

El ángulo de torsión para una sección rectangular puede calcularse a partir de  _ I B T L 

(3.12)

donde

$ =   ángulo total de torsión, en radianes,  T = par de tor torsió sión, n, en Ib-plg, o en N • m, m, b =   ancho de la sección transversal, en plg, o en m, í = espesor espesor de la sección transver transversal, sal, en plg, o en m, m, G = módulo de elasticidad a cortante, cortante, en Ib/plg'^ Ib/plg'^,, o en N/m^, L   = longitud de la sección sección considerada, considerada, en plg, o en m, ¡3 =   coeficiente relacionado con la razón h/t   de la sección transversal. Una tabla de coeficientes para flechas rectangulares es como sigue

b 

T

1.0

1.5

2.0

3.0

6. 6.0 0

00

0!

4.81 7.10

4.33 5.10

4.07 4.37

3.75 3.84

3.34 3.34

3.0 3.0

 

PROBLEMA ILUSTRATIVO 3.1 3.1

Determinar Deter minar el diámetro requerido requerido para para un una a flecha circula circularr maciza. maciza. El esfuerz esfuerzo o cortante admisible es de 70 MPa, y el ángulo de torsión medido entre dos secciones transversales separadas 2.5 m no debe exceder de 3°. El par aplicado es de 1 400 N • m, y G = 11 GPa. SOLUCION Como se imponen dos condiciones, debemos calcular dos diá metros: uno, considerando que el esfuerzo cortante rige el diseño, y el otro, considerando que el factor determinante es el ángulo de torsión. De estos dos, debemos elegir después, el correcto. Suponiendo que rige el esfuerzo cortante, se determina el diámetro nece sario, como sigue:  _

^

7  _

J'

c

N m 7 0 x l ( fN / m " ’ 

r  

(f)nee. = 2 0 X 10  '■’m^ J _ w I)*!$2 I)*!$2

c lo

D¡2  

tt D^  

16 ’ 

2 0 X I0 '^

D = 0.0466 m = 46.6 mm. Suponiendo que el ángulo de torsión gobierna el diseño, el diámetro se puede determinar con respecto a ello. Sin embargo, nótese que el ángulo de torsión debe estar expresado en radianes. Para hacer esto puede usarse la relación 27t rad = 360°. 360°. Así: tt  rad 2 tt 

d   rad ---- 3 ^ -

rt _ X L . ;G ’

(2ir)(3)

,

» - - 3 ^ - 0 . 0 5 2 5 rra ad. t  =

-LL=   (1 400 N ■m)(2. ■m)(2.5 5 m)

^ ~ Ge ~  (11 X 10^ N/m’')(0.0525)  J  Jn nec. = 60 6x 10-“

^

= 606x 10  ", D = 0.0886 m = 88.6 mm,

El diámetro debe ser de por lo menos 88.6 mm y la condición de que el ángulo de torsión no debe exceder de 3° es la que rige.

03

P r o b lG H ia

iluStratIVO 3.1

 

04

P r o b le m a ilU S Íf S tl ^ O 3 .2

CAPITULO CAPITULO 3/TORSlON 3/TORSlON

Una flecha maciza maciza de acero acero de 2 plg de diámetro diámetro es está tá cargada cargada como como se se mues mues-Determ Determina inarr el án ángu gulo lo de to torsi rsión ón de la polea polea D co con n re resp spec ecto to a la polea A. 7 klb-p!g

4 klb- plg

8 klb-plg

S O L U C IO N Como se desea desea determinar determinar la rotación rotación de la polea D con con respecto respecto a la de la polea A, se puede considerar a la polea A   como fija. Aunque hay otras soluciones aceptables para este problema, se resolverá calculando la ro tación en cada segmento, y después combinándolas teniendo en cuenta su sentido.

Flecha AB: El par interno es de 7   Idb-plg, y   la rotación ocurrirá en el sentido del par interno. Así: .

TL

JG  

7(6X12) 7(6X12) ( 7r/2)(12 X 10=*)

. 0-^267 ra rad. d.

Flecha   BC: T L  

(Il)(4xl2) . ^-■ = 7G =(^/2 )(12xT0 '^r^-^^ ^^""^

Flecha   CD :

„

_ TL _

8(4x (4x1 12)

 ]G  

( 7t/2)(12 X 10 10") ")

. ^0204 rad.

En este caso, se encuentra que todos los pares internos actúan en el mismo sentido; es decir, en el sentido de las manecillas del reloj, mirando desde D   hacia A. Por consiguiente, el ángulo de torsión total vale: B  ad  —  — B  ab   + + Oisc   + + dcD   0.0267 + 0.0280 + 0.0204 = 0.0751 rad. =  0.0267 4 klb-plg

7 klb-plg

7 klb-plg

c v í :t

A 

Flecha A 8 .

r,nt = 7 klb-plg

“

A 

Flecha BC.

 

PROBLEMA ILUSTRATIVO 3.3

Un motor, mediante un conjunto de engranes, mueve un eje a 10 Hz, como se indica en la figura. El motor entrega 45 kW en A y 30 kW en C. Elegir una flecha maciza de sección circular del mismo diámetro a todo lo largo. El esfuerzo a:>rtante admisible es de 40 MPa, y el ángulo de torsión admisible es de ^ 2

65

Problema  ilustrativo 3.3 45 kW

75 kW

Motor 

SOLUCION

La solución de este problema involucra cuatro consideraciones. Los esfuerzos cortantes en la flecha AB   y en el eje BC   no deben exceder de 40 MPa, y el ángulo de torsión en estos dos ejes no debe exceder de El primer paso consiste en determinar el par en los ejes AB y BC. 3m

Flecha AB: P = 27t T / ;

P _ 45 000 27t/ 2ir ( 10) Flecha BC: P  =   = SttT/: ^

P  

30 000

El siguiente paso es diseñar el eje sobre la base de la limitación del esfuer zo cortante. Como t   = Tc/J,  solamente debe diseñarse el eje AB   para esta AB ,   da modo que condición. El par en la flecha BC   es menor que en la flecha AB, el esfuerzo cortante no regirá en la flecha BC. BC .   Por consiguiente: T =

Te 

( f L 4 . 

J '

(f).

716 N •m 40 X íO^' íO^'N/m N/m

=

2 = 17.9 X 10 10 ‘^m" ‘^m "

1 _ 7 t D V 3 2 _  

7rD"/16= 17.9 X 10“"’  D = 0.045 m = 45 mm. Finalmente, las flechas se diseñarán sobre la base de la limitación del ángulo de torsión. En este caso no es enteramente evidente cuál flecha rige el diseño, ya que aunque AB  es   es más corta qxie BC,   el par en AB es   mayor que en BC.   Para estar seguros, se diseñarán ambas flechas.

Flecha AB: 6=

T L 

J G ’ 

T L 

J = ce’ t t D

32

\   

(716)(3)

(llxlO^Ki^)’ 

D = 0. 0.070 070 m = 70 mm.

7,5 m

30 kW

 

CAPITULO 3/TORSION

Flecha BC: 7t D " _

32

(478) (478)(7 (7.5 .5))

(llxlO^Xn)’ 

 0.079 9 m = 79 mm. D =  0.07 La comparación de los tres diámetros calculados indica que el diámetro necesario para la flecha debe ser D = 79   mm. El ángulo de torsión en PC   es el que gobierna el diseño.

 

PROBLEMAS

67

Problemas 3.56 ¿Cuál debe ser el tamaño de u un n eje de acero que va a transmitir transmitir u un n par de 3 200 N • m, si el esfuerzo permisible es de 55 MP MPa a y el ángulo de torsión torsión no de 4° 3 msedeusa la flecha? 3.57debe   Unexceder eje hueco deen acero para transmitir un par de 5 500 N • m. Determinar las dimensiones necesarias. El diámetro interior debe ser igual a los dos tercios del diámetro exterior. El esfuerzo cortante pennisible es de 70 MPa, y el ángulo de torsión no debe exceder de 4° en 3 m de la flecha. 3.58  Determi Determinar nar la poten potencia cia máxima máxima,, en caballos, caballos, que puede ser transmitida mediante una flecha de 2 pig de diámetro que gira a 315 rpm. El esfuerzo cortante admisible es de 8 000  Ib/plg'^. 3.59 Determi Determinar nar el diámetro de un una a flecha flec ha maciza de acero que tran transmite smite 900 kW a 2 Hz. El esfuerzo cortante admisible es de 70 MPa. 3.60  Determinar el esfuerzo cortante máximo en en la flecha de sección sección variable indicada en la Fig. P3.60. ¿Dónde ocurre este esfuerzo máximo? « = 12"

/?- 12"

/?-9"

R

8

FIGURA P3.60 3.61 

Diseñar una flec flecha ha de acero de 21 pies de longitud y de diámetro cons cons tante, para que transmita a los engranajes las fuerza fuerzass indicadas i ndicadas en la Fig. Fi g. P3.61 P3.61.. El esfuerzo cortante admisibl admisiblee es de 10 000 Ib/ Ib/plg plg-^ -^ y el ángulo de torsión admisible entre dos engranajes adyacentes cualesquiera es de 3°. 3.62  La fl flecha echa de sección variable varia ble está sometida a los pares 3T   y T, como se indica en la Fig. P3.62. ¿Cuál es el valor de T, si el esfuerzo cortante ad

Ñ = 6 '‘

 fír  fír-6 -6"  "   /?=4"

misible es de 3.63   Una flecha flec80 ha MPa? maciza de acero de 100 mm de diámetro está cargada como se indica en la Fig. P3.63. Determinar el ángulo de torsión de la polea D con respecto a la polea. A. ¿Cuáles son los esfuerzos cortantes en las tres secciones de la flecha? 5 500 N •ni

900 0 N-m

2 40 4000 N m

1 110 N-m

FIGURA P3.61

37

FIGURA P3.63

FIGURA P3.62

 

68 100 hp Encend Motor 

50 hp Apag

30 hp

20 hp Apag

Apag

CAPITULO 3/TORSION

15 kW Apag

30 kW

60JcW

Apag Encend

15 kW Apag

40 hp

180 hp

Apag

1

cS 8'

FÍGURA P3.64

4'

4'

3m

FIGURA P3.65

2 m

A  É

2.5 m

140 hp

Encend

B

15'

 — 

=

C

 — 

6'

FIGURA P3.67

3.64 Un motor entrega 100 hp a un eje de 3 p lg que gira a 21 210 0 rpm. Las coleas toman 50 hp, 30 hp, y 20 hp en B, C, y D, respectivamente. Determinar os esfuerzos cortantes en las tres flechas y el ángulo de torsión del extremo D   con respecto a A,  en la Fig. P3.64. 3.65 Un motor transm transmite ite 60 60 k W a u una na flecha flech a en C, C, que gira a 10 Hz, Las máquinas en A, B, y D,  (Fig (F ig.. P3 P3.65) .65) tom toman an 1 15 5 kW, 30 kW, y 1 15 5 kW, resp respec ec tivamente. Diseñar la flecha. El esfuerzo cortante permisible es de 55 MPa. 3.66 Diseñar el eje descrito en el Prob. 3.65. La rotación ang angular ular relativa een n cualquier sección de la flecha está limitada a 2°. 3.67 Un motor ttransmite ransmite 180 hp a la polea motr motriz iz B,  en la Fig. F3.67. Supo niendo que qu e en A se toman 40 hp y en C se toman 140 hp, diseñar la flecha para un esfuerzo cortante admisible de 8  000  Ib/plg^ y un ángulo de torsión admisible de 3°. La velocidad es de 630 rpm.