Fisika-Matematika-2

DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan oleh sin F(x) =

dan cos

juga berperioda 2L, maka :

+n = bilangan asli (1,2,3,4,5,….)

+

dimana : L = pertemuan titik

= = =

Bilangan-bilangan untuk

,

,…

,

, … disebut koefisien fourier dari f(x)

dalam (-L,L) Contoh : 1. Ekspansikan ke dalam deret fourier f(x) = jawab : = =

+

=

+

= =

8 + (-16) + 8

=

0

= =

FISIKA MATEMATIKA II

Page 1

= = = = = =

0

=

= = = =

FISIKA MATEMATIKA II

Page 2

F(x)

= =

+

+

+

+

=

+

+… =

+

=

SOAL 1. 2.

(x)

Jawab. 1. 𝑎0 =

.

(-4) ) - (

–

+2 =4 dx =

x cos

dx

intergal persial :∫ misal : u=-x

dv=∫cos

du=dx

FISIKA MATEMATIKA II

Page 3

v=∫cos =∫cos L = =(uv-∫v du)+(uv-∫vdu) =[-x =[

dx]+[

=[(

=[ =[(

cos

cos

cos

)]

=[=0+0 =0 bn= = Parsial

; du =-dx du=sin

; t= ; dx=

= =(uv∫v du)+(uv-∫v du) =[-x ·

cos

cos

] =[

FISIKA MATEMATIKA II

dx] + [

Page 4

=[(

)+

·

sin

]+

[( =[( =[ = ⥤ f(X)= =

sin

=2+ a. Deret fourier dari fungsi genap dan ganjil Deret fourier dari fungsi genap dan periode dua sukunyahanyalah terdiri dari konstans dan kosinus, dan sebaliknya fungsi ganjil hanyalah sinus saja. Untuk fungsi genap/kosinus

Untuk fungsi ganjil/sinus

Contoh :

FISIKA MATEMATIKA II

Page 5

JAWAB: Fungsi genap

atau

FISIKA MATEMATIKA II

Page 6

Misal :

FISIKA MATEMATIKA II

Page 7

Fungsi ganjil 2. = = =0+ = = = =0+ Misal: =n

= =

FISIKA MATEMATIKA II

Page 8

= = = 0-0 = 0 = = =0+ Misal: =n

= = == =

= =

1

+

=1+

FISIKA MATEMATIKA II

Page 9

DERET FOURIER KOMPLEK Bentuk cos nx dan sin nx dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial dengan menghubungkan euler.

= Dimana:

= = =

Contoh soal: 1. Jawab: = =

= = = = ` = = = Misal :

FISIKA MATEMATIKA II

Page 10

= = = = = =

= = = Misal:

= = = = =-

FISIKA MATEMATIKA II

Page 11

=

“FUNGSI-FUNGSI”

1. FUNGSI GAMMA Fungsi gamma

yang lazimnya di sajikan dalam symbol untuk

di definisikan

keberadaan fungsi ini untuk setiap

tidak dapat disanksikan mengingat integral di ruas kanan konvergen jika

.

Beberapa sifat dasar fungsi gamma :  Memenui   

, jika

bulat positif , maka

sering dinamakan fungsi factorial Untuk , memiliki

sebat itu fungsi , gamma asimtot

tegak

,

artinya

)=

Perluasan analitik untuk Contoh : 1.

-(-

FISIKA MATEMATIKA II

Page 12

2.

=-

3.

=> mis:

dt

FISIKA MATEMATIKA II

Page 13

4.

2. FUNGSI BETA Fungsi beta

dan n

adalah :

= Hubungan antara F . beta dan gamma: Fungsi = Dapat

=2

Sebab jika x = u2 maka = =2 Demikian pula :

=2 =2 Demikian pula: =4 = =4

.

Jika kita gunakan transpormasi koordinat y=

, y=

, maka:

.

FISIKA MATEMATIKA II

Page 14

Menjadi: , dengan G ( .

=

Pada daerah pengintegralan pada sistem coordinat ( 0

dan yacorbian transformasi

=

yang sesuai dengan adalah :

=

Karna itu,

.

Mengingat = =2 Maka kita peroleh hub antara fungsi beta dan gamma.

Contoh: 1. Jawab:

.

2.

FISIKA MATEMATIKA II

Page 15

Jawab:

=

.

= = = =

.

=

. Aplikasi Deret Fourier

Persoalan fisika, terutama yang menyangkut tentang vibrasi getaran biasanya membawa kita kepada besaran fisis berupa frekuensi, pannjang gelombang dan jenisnya.

Sebuah partikel bergerak dengan laju konstan sehingga lintasannya berupa lingkaran dengan jari-jari A. Pada saat bersamaan partikel Q bergerak ke atas dan ke bawah sepanjang garis lurus RS yang merupakan pencerminan terhadap sumbu y.

dimana :

ω = kecepatan anguler (rad/s) t = waktu (s)

simpangannya : simpangan dapat didefinisikan sebagai jarak partikel dari titik keseimbangan, sehingga untuk gerak P terhadap sumbu x dan sumbu y dapat ditulis : dan karena dalam bidang komplek

FISIKA MATEMATIKA II

Page 16

z = A cos ω.t + i A sin ω.t z = A ( cos ωt + i sin ωt )

Dalam bentuk lain, maka simpangan Y dapat dinyatakan sebagai bentuk gelombang yang bergerak ke kanan/ ke kiri.

Menyatakan simpangan Y merupakan fungsi periodik dari x ( untuk t yang sesuai ) dan fungsi t ( dari x yang sesuai ). LINE DAN SURFACE INTEGRAL 1) Line Integral F = gaya

Dalam bentuk skalar

FISIKA MATEMATIKA II

:

Page 17

Line integral

:

Dimana : Fungsi

P (x,y) dan Q (x,y)

Cara menghitung line integral : x = Q (t) y = P (t)

Contoh soal : 1. Hitung line integral

dimana L = busur lingkaran radius, R=a.

Jawab :

0 ≤ t ≤ 2π

FISIKA MATEMATIKA II

Page 18

Misal :

FISIKA MATEMATIKA II

Page 19

Misal :

FISIKA MATEMATIKA II

Page 20

2. Hitunglah line intergral T = seluruh busur elips b a

jawab :

Y = b sin t

dy = b cos t dt

x = a cos t

dx = -a sint t dt 0≤ +≤ 2 π J= = = = = = -ab . t = -ab (2π – 0 ) = -ab . 2π – (-ab) . 0 = -ab . 2π 3.

Dari soal 2 dengan L garis lurus yang menghubungkan m ( 1,1) dan n ( 3,3 )

FISIKA MATEMATIKA II

Page 21

Jawaban :

2)

Surface Integral

Bidang permukaan λada di dalam v dibatasi L jadi P,Q,R continu pada bidang λ z

y x

FISIKA MATEMATIKA II

Page 22

Rumus → disebut dengan permukaan ( surface integral)

Integral permukaan adalah integral lipatan yang dibatasi oleh tiga parameter yaitu koordinat kortesian, silinder dan bola. a.

Koordinat kartesian z s

permukaan s yang normal terhadap bidang xy

y x untuk pernyataan element vector luasnya F

Cara perhitungan 1. Untuk menghitung vector normal satuan

permukaan s yaitu ; untuk mencari

batas ( titik potong0

2. Pecahkan persamaan permukaan

bagi variable z hingga di peroleh

3. Nyatakan vector u (x,y,z)=u (x,y,z (x,y)) = v (x,y)

FISIKA MATEMATIKA II

Page 23

4. Elemen luas

dinyatakan dalam dxdy secara geometri dxdy adalah proyeksi

jadi 5. Hitung integral lipat dua Contoh soal 1. Jika

dan s adalah bidang

integral

hitung

dalam oktan pertama.

Jawaban: 

   

↔

 

FISIKA MATEMATIKA II

Page 24

b. Koordinat Silinder Misal s adalah permukaan silinder

dengan z sebagai sumbu simetrinya, maka

koordinat sudut Ѳ dan z dapat dipilih sebagai parameter dengan ;

adalah

;

. Sehingga kedudukan vektor .... (1)

Sehingga

Karena itu vektor elemen luas permukaan silinder s adalah:

Untuk menyederhanakan perhitungan , hitung dahulu yang menghasilkan medan saklar

FISIKA MATEMATIKA II

dalam sistem koordinat kartesian

, kemudian sisipkan persamaan paramer.

Page 25

Contoh soal: dan s adalah permukaan silinder oktan pertama abtara

yang terdapat didalam

. Hitunglah

Jawab:

→

;

FISIKA MATEMATIKA II

Page 26

c. Koordinat Bola Misal s permukaan bola koordinat sudut Ѳ dan ф dengan

dengan pusat simetri dititik asal 0 (0,0,0) maka .

;

;

.

Vektor kedudukan:

FISIKA MATEMATIKA II

Page 27

Vektor elemen luas permukaan bola s:

Medan vektor s (x,y,z) pada permukaan bola z adalah Untuk menyederhanakan perhitungan , hitung dahulu

dalam sistem koordinat kartesian

yang menghasilkan medan saklar Contoh soal: Hitung

jika (

dan s adalah seluruh permukaan bola

. Jawab:

FISIKA MATEMATIKA II

Page 28

Persamaan Diferensial Biasa Definisi: suatu persamaan yang mengandung turunan atau diferensial dinamakan persamaan diferensial. Bilamanapun perubahan terbaik dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi satu perubahan bebas, maka turunan yang muncul adalah turunan biasa dan persamaan anini merupakan persamaan diferensial biasa. Orede tingkat suatu persamaan diferensial adalah tingkat atau pangkat tinggi turunan yang adalah persamaan. Contoh soal: 1. 2. Jawabanya mana?? Ga ada….

FISIKA MATEMATIKA II

Page 29

1.

Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah Jika diberikan suatu fungsi f, dengan batas y

merupakan solusi suatu

persamaan diferensial (jika persamaan itu menjadi suatu kesamaan). Jika y dan turunan digantikan dengan

dan turunannya yang menjadi perbedaan turunan y.

Contoh soal: 1. Jawab: Solusi dari persamaan diferensial:

Substitusi

2.

, kedalam persamaan:

Persamaan Diferensial Orde 1 a)

Persamaan Diferensial Eksak Missal M dan N fungsi dua peubah sehingga M, N, My, dan Nx continu pada suatu daerah siku R, M (x,y) dx + N (x,y) dy …………..(1) Adalah diferensial eksak suatu fungsi f yang nilainya Z = f (x,y) dan hanya jika: Jika syarat dipenuhi, maka persamaan diferensial: M ( x,y ) dx + N ( x,y ) dy = 0, disubuteksak dan solusi umum: f ( x,y ) = c Untuk memenuhi fungsi F:

FISIKA MATEMATIKA II

Page 30

Dan ruas kiri dz = 0,

): Contoh soal: 1.

Tentukan solusi dari persamaan

Jawab: 

Menguji ke eksakan



Untuk memenuhi fungus F

- 2yx +

+

=

= dz =

b)

Persamaan Diferensial Orde 1 Ruas Kanan ≠ 0 Bentuk umumnya adalah: Untuk mencari solusi maka ruas kanan = 0

FISIKA MATEMATIKA II

Page 31

Mula-mula kita anggap Q (x) = 0

→

(dipisahkan variable)

Dimana p (x) = I

Selanjutnya

…………..(2) Contoh soal: 1. Jawab:

Dibagi dengan

, sehingga menjadi:

Dan

FISIKA MATEMATIKA II

Page 32

Untuk

Jadi,

Persamaan Diferensial Ordo 2 a.

Persamaan difererensial orde 2 dengan rumus kanan = 0 Persamaan diferensial orde 2 dikatakan linier jika persamaan

Dimana

= 0 maka,

Contoh: Selesaikan persamaan orde 2 dari Jawab:

Maka,

Integralkan

FISIKA MATEMATIKA II

Page 33

Ln Y = -2X

 Ln y = -x  Aplikasi dalam fisika Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan masalah fisika dalam bentuk persamaan diferensial. Contoh : 1.

Tentukan bentuk persamaan gerak dari sebuah benda bila kepadanya dikerjakan gaya F yang tetap dalam arah sumbu x. Jawab: H. Newton II  F = m.a a = percepatan  maka,

2.

Tentukan posisi sebagai fungsi waktu dari sebuah benda jatuh bebas. Diketahui percepatan pada gerak jatuh bebas sama dengan percepatan gravitasi bumi g. Jawab: a=g

FISIKA MATEMATIKA II

Page 34

dy = g.t.dt

Hukum fisika gerak jatuh bebas Latihan Selesaikan persamaan diferensial linier : 1.

2.

Selesaikan PDF berikut cara terpisah a.

FISIKA MATEMATIKA II

Page 35

Jawab: Menguji keeksakan

Fungsi F :

Jadi,

3.

FISIKA MATEMATIKA II

Page 36

FISIKA MATEMATIKA II

Page 37

FISIKA MATEMATIKA II

Page 38

b. Cara Langrage

Persamaan tereduksi (ruas kiri)

Merupakan penyelesaian umum dari persamaan tereduksi, C1 dalam penyelesaian umum persamaan tereduksi dipandang sebagai fungsi dari x.

Didapat

Maka

FISIKA MATEMATIKA II

Page 39

Jadi persamaan

Contoh

Jawab

Missal

Missal:

FISIKA MATEMATIKA II

Page 40

dikali

FISIKA MATEMATIKA II

Page 41

Misal:

PENERAPAN PDB DALAM FISIKA A.

PEGAS Hukum newton II : F=m.a Hukum Hooke : F =- k.x Hokum newton II = Hukum hooke m.a = -k.x dv m.   k .x dt d 2x m. 2   kx dt

m.

d 2x  kx  0 dt 2

FISIKA MATEMATIKA II

Ordo 1

Page 42

Dimana : r2 =

d 2x dt

m. r2+ k.x =0 fungsi karakteristik F (r) =0 m. r2+ k =0 m. r2=k r2=

k m

r=

k m

Persamaan gerak

x  c1 cos

2 

k k .t  c 2 sin .t m m

k   m

k m

 x  c1 cos t  c2 sin t Ordo 2

m.

d 2x dx  b  k .x  0 2 dt dt

Fungsi Karakteristik mr2+br+k=0 r1.2 

b 1  b 2  4mk 2m 2 m

Dimana :

FISIKA MATEMATIKA II

Page 43



1 b 2  4mk 2m

x  A.e e

 b    t   2m 

 b     2m 

A.e

 .t

 b    t   2m 

 Be

 B.e  .t



Persamaan gerak b

2 2 x  e 2 m c1e b  4 mk t  c 2 e  b  4 mk t   

B.

Rangkaian Listrik Rangkaian listrik yang dihubungkan seri terdiri dari sumber tegangan v (t), tahanan (R), kapasitor (C), inductor (L). Pada saat t=0, maka Q=Q0 dan

dQ 0 dt dQ Q   dt t Q2  Q1  t 2  t1

i

d 2Q dQ Q R   v(t ) dt dt C 1 Dimana :  0  LC L

Persamaan gerak

i(t )  e

 R   t  2L 

  A.e 

R2 

4L t . C 2L

 B.e

R2 

4L t . C 2L

  

Contoh:

FISIKA MATEMATIKA II

Page 44

1. Massa 5 kg digantungkan pada pegas yang tergantung dan mempunyai tetapan pegas 1000N/m. Carilah persamaan geraknya dan hitung persamaan gerak jika t=0!

Diket :m=5kg K=1000N/m Dit : x…….? x…….? t=0

x  C1 cos

 C1 cos

k k  t  C 2 sin t m m 1000 1000  t  C 2 sin t 5 5

x  C1 cos 200  0  C 2 sin 200  0

=C1cos 0 +C2sin 0 =C1 . 1+C2 . 0 =C1

2. Sebuah massa 20gr digantungkan pada ujung sebuah sistem pegas ,dan panjang pegas berubah 4cm dari keadaan semula.tidak ada gaya luar yang bekerja pada massa pegas dan tahanan udara diabaikan.nyatakan pers gerak yang terjadi jika massa tertarik ke bawah 1cm dari keadaan setimbang dan pada massa diberikan kecepatan awal 0,5 cm/dt arah keatas . Diket : m=20 gr =2x10-2kg x=4cm =4x10-2kg dit : x……? jawab : F = m.g =2x10-2kg.10 kg

FISIKA MATEMATIKA II

Page 45

=2x10-1N  F  K  x K

F 2  10 1   0,5  10 1  5 N 2 m x 4  10

k k  t  C 2 sin t m m

x  C1 cos

 0,01 cos

5 5  t  0,01 sin t 2 2  10 2  10  2

3. Sebuah rangkaian listrik LRC, yang tidak menggunakan sumber tegangan terdiri dari tahanan 6 Ω, kapasitor 0,02 F, inductor 0,1 H. hitunglah arus pada rangkaian jika saat rangkaian dihubungkan t = 0, arus (I0) = 0 dan kapasitor telah bermuatan o,1 C. Diketahui : R = 6 Ω C = 0,02 F L = 0,1 H I0 = 0 Q = 0,1 C Ditanyakan : i (t) = …?

Jawab

FISIKA MATEMATIKA II

: i (t)

Page 46

4. Gunakan persamaan Bernoulli

FISIKA MATEMATIKA II

Page 47

FISIKA MATEMATIKA II

Page 48