fisika kuantum kronig-penney

BAB I PENDAHULUAN Model kronig-penney adalah suatu metode aproksimasi untuk meneyederhanakan dan mengidealisasikan sistem mekanika kuantum yang terdiri atas barisan periodis dari energi potensial yang berbentuk segiempat. Model atom ini juga membahas mengenai elektron dalm kristal zat padat. Di dalam kristal zat padat, atom-atom tersusun secara teratur. Analisis fisika tentang zat padat secara mutlak memerlukan pertimbangan tentang unsur internalnya, yaitu kesetangkupan dan keberkalaan (periodik). Kedudukan atau gugus-gugus atomnya dalam ruang. Oleh karena itu, pengetahuan tentang struktur kristal sangat penting dalam telaah fisika zat padat. Terutama dalam memahami model Kronig-Penney diatas. Namun untuk analisis secara matematis, model Kronig-Penney dapat diananlisis menggunakan teorema Bloch. Menurut teorema Bloch, maka cukup dicari penyelesaian dari salah satu perioda untuk mengeneralisasi peneyelesaian dari perioda yang lain. Inilah dasar dari penjabaran matematis pada metode Kronig-Penney.

BAB II ISI Model Kronig-Penney A. Biografi Ralph Kronig adalah seorang fisikawan Jerman -Amerika (10 Maret 1904 - 16 November 1995). Ia terkenal karena penemuan partikel berputar dan teori x-ray spektroskopi penyerapan . Teorinya termasuk Kronig-Penney Model , para transisi Coster-Kronig dan hubungan Kramers-Kronig. Ralph Kronig (1931, 1932), yang diterbitkan teori pertama x-ray struktur penyerapan halus yang berisi beberapa konsep dasar interpretasi modern. The Model Kronig-Penney (1931) adalah model satu-dimensi dari kristal yang menunjukkan bagaimana elektron dalam kristal tersebar ke band diperbolehkan dan dilarang oleh hamburan dari array linier diperpanjang atom. Teori pertama (1931) dari EXAFS adalah setara dengan tiga-dimensi dari model ini. Teori ini menunjukkan bahwa elektron foto melintasi kisi kristal akan mengalami diijinkan dan dilarang zona tergantung pada panjang gelombang dan, bahwa bahkan ketika efek itu rata-rata atas semua arah dalam kisi, struktur sisa harus diamati. Teorinya berhasil dalam memprediksi fitur umumnya diamati banyak struktur halus, termasuk struktur serupa dari kisi yang sama, ketergantungan r2 terbalik, yang benar r vs T ketergantungan dan meningkatkan pemisahan energi fitur struktur halus dengan energi dari tepi. Persamaan yang kembali diturunkan dengan cara yang lebih kuantitatif pada tahun 1932 adalah sederhana untuk menerapkan dan menafsirkan. Setiap eksperimen menemukan kesepakatan perkiraan dengan teori. Selalu ada penyerapan beberapa fitur dekat dengan yang diprediksi oleh pesawat kisi mungkin. Namun, refleksi yang kuat yang diharapkan (misalnya (100), (110), (111), dll) tidak selalu berkorelasi dengan fitur penyerapan yang paling intens sebagai intuitif diharapkan. Namun, kesepakatan itu cukup dekat untuk menjadi menggoda dan semua orang menguji kesepakatan diukur "Struktur Kronig" mereka dengan teori Kronig sederhana. Dalam persamaan Kronig, energi posisi Wn sesuai dengan batasbatas zona, yaitu tidak penyerapan maksimum atau minimum, tetapi kenaikan pertama dalam setiap maksimum struktur halus. abg adalah indeks Miller, adalah kisi-kisi konstan dan q adalah

sudut antara arah elektron dan arah kisi resiprokal. Ketika rata-rata atas semua arah dengan nonterpolarisasi x-ray balok dan penyerap polikristalin, cos2q = 1. Namun, dengan penyerap kristal tunggal dan terpolarisasi x-ray fitur penyerapan harus lebih besar untuk bidang kristal tertentu. Ini adalah variabel lain eksperimental yang mungkin memverifikasi teori dan banyak berusaha untuk menguji itu. Jadi mulai catatan panjang publikasi di mana Kronig struktur ditafsirkan dari segi teori Kronig sederhana. Sampai tahun 1970-an penuh 2% dari makalah yang diterbitkan di Phys. Wahyu yang dikhususkan untuk x-ray spektroskopi penyerapan dan teori Kronig paling dipanggil itu. Data waktu singkat berbagai HANAWALT (1931b) dirangsang Kronig (1932) untuk mengembangkan teori untuk molekul. Model ini menjabat sebagai titik awal untuk semua teori selanjutnya agar jarak pendek tetapi hanya sedikit berusaha untuk membandingkannya dengan data mereka. Mahasiswa Kronig itu, H. Petersen (1932, 1933) melanjutkan pekerjaan ini. Persamaan Peterson menunjukkan banyak fitur dari teori modern. Teori ini diterapkan untuk GeCl4 oleh Hartree, Kronig dan Petersen (1934). Penjelasan mengenai upaya Hercules yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan dapat ditemukan di Stumm von Bordwehr (1989). The hubungan Kramers-Kronig untuk dispersi diperoleh oleh Kronig (1926) secara independen dari Kramers (1927).

William

George

Penney,

Baron

Penney OM , KBE PhD,

DSC,, FRS ,

[2]

FRSE , FIC ,

Hon FCGI (24 Juni 1909 - 3 Maret 1991), adalah seorang Inggris ahli matematika dan profesor fisika matematika di Imperial College London sebagai serta rektor dari perguruan tinggi kekaisaran. Dia secara luas bertanggung jawab atas perannya terkemuka dan integral dalam pengembangan program nuklir Inggris , sebuah program rahasia mulai mengikuti Perang Dunia II dan keberhasilan program nuklir Soviet .

B. Definisi Model Kronig-Penney Model Kronig – Penney d alam satu dimensi adalah merupakan suatu deretan sumur potensial persegi dengan lebar a , dipisahkan oleh penghalang energy yang lebarnya b dan tinggi V0 . Luas penghalang bV0, berubah dari tak berhingga sampai nol.Sebagian dari fungsi gelombang bergetar dalam sumur

dan meluruh secara eksponensial. Seperti ditunjukkan dalam Gambar 1.

Gambar 1. Energi potensial periodik satu dimensi yang digunakan oleh Kronig dan Penney. Energi potensial dari sebuah elektron dalam sebuah susunan inti-inti atom yang positif dianggap berbentuk seperti sebuah susunan sumur potensial periodik dengan perioda a + b, seperti ditunjukkan dalam Gambar 1. Di dasar sumur, yaitu untuk 0 < x < a, elektron dianggap berada di sekitar sebuah inti atom (atau di antara dua inti atom) dan energi potensialnya dianggap nol sehingga di daerah ini elektron bertingkah sebagai elektron bebas. Sebaliknya, di luar sumur, yaitu untuk –b < x < 0, energi potensial elektron dianggap sama dengan V0. Meskipun model Kronig-Penney ini menggunakan pendekatan yang sangat kasar dibandingkan dengan energi potensial yang ada dalam suatu kisi, tetapi model ini sangat berguna untuk menjelaskan berbagai sifat penting dari tingkah laku elektron secara kuantum mekanik dalam sebuah kisi periodik. Fungsi-fungsi gelombang elektron diperoleh dari persamaan Schrodinger untuk kedua daerah yaitu daerah 0 < x < a, dan daerah –b < x < 0) sebagai berikut: a. untuk 0 < x < a. 𝑑 2 𝛹 (𝑥) 2𝑚 + 2 𝐸𝛹(𝑥) = 0 𝑑𝑥 2 ħ

(𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠, 𝑉𝑜 = 0)

[1]

b. untuk –b < x < 0. 𝑑2 𝛹(𝑥) 2𝑚 + 2 (𝐸 − 𝑉𝑜 )𝛹(𝑥) = 0 𝑑𝑥 2 ħ

[2]

Jika kita misalkan bahwa energi elektron lebih kecil dari pada V0, dan kita difinisikan dua besaran real 𝛼 dan β sebagai berikut: 𝛼2 =

2𝑚 2𝑚 𝐸 𝑑𝑎𝑛 𝛽 2 = 2 (𝑉𝑜 − 𝐸) 2 ħ ħ

[3]

maka persamaan-persamaan (1) dan (2) dapat ditulis menjadi 𝑑2 𝛹(𝑥) 𝑑𝑥 2

+ 𝛼 2 𝛹(𝑥) = 0 𝑑𝑎𝑛

𝑑2 𝛹(𝑥) 𝑑𝑥 2

− 𝛽 2 𝛹(𝑥) = 0

[4]&[5]

Karena energi potensial dari model Kronig-Penney itu adalah periodik, maka fungsifungsi gelombang tersebut haruslah berbentuk fungsi Bloch, yaitu: 𝛹(𝑥) = 𝑒 ±𝑖𝑘𝑥 𝑢𝑘 (𝑥)

[6]

dimana uk(x) sekarang adalah sebuah fungsi periodik dalam x dengan perioda a + b, yaitu 𝑢𝑘 (𝑥) = 𝑢𝑘 (𝑥 + (𝑎 + 𝑏))

[7]

Sekarang marilah kita hitung turunan kedua terhadap x dari persamaan (6), sebagai berikut: 𝑑2 𝛹(𝑥) 𝑑𝑢𝑘 𝑑 2 𝑢𝑘 2 𝑖𝑘𝑥 𝑖𝑘𝑥 𝑖𝑘𝑥 (𝑥) = −𝑘 𝑒 𝑢 + 2𝑖𝑘 𝑒 + 𝑒 𝑘 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 2

[8]

Selanjutnya coba kita substitusikan persamaan (6) dan (8) ini ke dalam persamaanpersamaan (4) dan (5) di atas. Hasilnya adalah sebagai berikut: a. untuk 0 < x < a. 𝑑 2 𝑢1 𝑑𝑢𝑖 + 2𝑖𝑘 + (𝛼 2 − 𝑘 2 )𝑢1 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

[9]

b. untuk –b < x < 0. 𝑑2 𝑢2 𝑑𝑥 2

+ 2𝑖𝑘

𝑑𝑢2 𝑑𝑥

+ (𝛽 2 + 𝑘 2 )𝑢2 = 0

[10]

yang mana u1dan u2 masing-masing menyatakan nilai uk(x) dalam interval 0 < x < a dan –b < x