Fisika Kuantum-Agus Purwanto

UANTUM

Agus Purwanto

PENERBIT GAVAMEDIA

kndasan

I~~II\;I yang berkembang sampai akhir abad sembilan belas III~I~II:IIsebagai fisika klasik dan mempunyai dua cabang utama ; 1111I niekanikaklasik Newtoniandan teori medan elektromagnetik Mekanika klasik dicirikan oleh kehadiran partikel Fl~~rwr?llian. I $11:lrjni sesuatu yang terkumngdi dalam ruang. lstilah terkurung 'I :~ r sederhana n dapat dikatakan sebagai adanya batas yang 11 $1I,,; nntara materi dan sesuatu di luar dirinya atau lingkungannya. ' .I 11 lrrngkan medan elektromagnetikdicirikanoleh kuantitas medan I 11IIl clelombang yang menyebar di dalam ruang. Medan tersebar I 11 IIr~lam ruang bagai kabut dengan ketebalan yang berbeda dan II 11 br~ipis sampai akhirnya benar-benarlenyap. Batas antara ruang I11 )Irnedan dan ruang tanpa medan tidak jelas atau kabur. Ciri utama fisika klasik adalah sifatnya yang common sense I 11 III deterministik. 1

I

I

I.1.l.Mekanika Sistem Partikel Perhatikan partikel berrnassa m yang pada saat 4 berada pnda posisi F = r ' ( t ) , memptmyai kecepatan 9 = $(t) dan

Landasan Fisika Kuanturn

Fisika Kuantum I

mengalamigaya F . Secara klasik partikel ini terikat oleh hukum Newton :

F = mF(t)

(1.1)

IIIII~~ teori I ~ medan I~ elektromagnetik. Dengan demikian, cahaya lit*ll!~gai gelombang elektromagnetik merupakan salah satu II11 ~l~ilastasi dari fenornena elektromagnetisme yang terumuskan I 111l:lm persamaan Maxwell :,

dan akan bergerakdengan lintasantertentu (definitepath).Karena itu, jika posisi, kecepatan, dan gaya saat ini diketahui maka keadaan masa lalu partikel dapat diketahui secara pasti, demikian pula keadaan masa depannya. lnilah yang dimaksud dengan sifat deterministik fisika klasik. Sifat ini secara grafik dapat dilukiskan sebagai berikut :

,

F(t'> t )

Gambar. 1.1 Lintasan Klasik suatu Partikel Dapat dikatakan, keadaan sistem partikel pada suatu saat t direpresentasikan oleh nilai sesaat dari posisi F ( t ) dan kecepatan

? ( t ). Fenomena yang ada di dalam sistem partikel (mekanika klasik) adalah fenomena tumbukan antara beberapapartikel yang memungkinkanterjadinya transfer momentumdan energi.

1.1.2 Medan Elektromagnetik Penemuan fenomena interferensi dan polarisasi cahaya di awal abad kesembilan belas meyakintan bahwa cahaya merupakangelombang. Siiat gelombangdari cahaya diidentifikasi beberapa dasawarsa kemudian sesuai perumusan Maxwell

~lrbnganfi = E?, dan H = 4 yang mana dan B adalah 111cvIanlistrik dan medan induksi magnetik, E dan ,u adalah ~~rrrmitivitas dan permeabilitas bahan, sedangkan p dan J IIlrvupakan distribusi (sumber) muatan listrik dan distribusi arus Il0:lrik di dalam bahan. Sampai menjelang abad kedua puluh, kedua teori tersebut I lilnmbah termodinamika dipandang sebagai teori puncak (ulti111ntetheory)yang mampu menjelaskan semua fenomena fisika. ! ivdangkan secara praktis, teori-teori tersebut telah memicu llrnbulnya revolusi industri.

1.2 KRlSlS FlSlKA KLASIK DAN SOLUSINYA I isika terus berkembang dan temuan baru terus didapatkan.

Ihtapi sayang, beberapafenomena fisis yang ditemukan di akhir r~badsembilan belas berikut ini tidak dapat dijelaskan oleh teori lisika klasik. Karenanya, orang mengatakan bahwa fisika klasik mengalami krisis !

1.2.1 Radiasi Benda Hitam Jika suatu benda dipanaskan ia akan meradiasi. Hasil

Landasan Fisika Kuantum

Fisika Kuantum

eksperimen yang menarik adalah sifat distribusi energi atau spektrum energi dari radiasi benda hitam yang bergantung pada frekuensi cahaya dan temperatur. Benda hitam didefinisikan sebagai benda atau sesuatu yang menyerap semua radiasi yang diterimanya. Hasil eksperimen tersebut untuk temperatur berbeda diungkapkan oleh Gambar 1.2.

I 11 II 11111 ndalah prediksi Rayleigh-Jeans, sedangkan garis putus 11 li 11:

111hasil eksperimen.

Gambar. 1.3 Distribusi energi radiasi klasik

Gambar. 1.2 Distribusi energi benda hitam Teori klasik yang dirumuskan oleh Rayleigh dan Jeans sampai pada bentuk fungsi distribusi energi :

dengan k= 1,38x10-l6 ergPK adalah konstanta Boltzman dan c adalah kecepatan cahaya. Jelas, hasil perumusan Rayleighdan Jeans (1.3) ini hanya sesuai untuk frekwensi kecil tetapi gagal pada frekwensi tinggi. Kegagalan atau penyimpangan teori Rayleigh-Jeanspada frekwensibesar ini dikenal sebagai bencana ultraungu (ultraviolet catastrophe).Grafik distribusi energi dari rumus Rayleigh-Jeans (1.3) diberikan oleh Gambar 1.3. Garis

Untuk mengatasi kesulitan analisa klasik, digunakan fakta I I;~hwa gelombang elektromagnetik yang merupakan radiasi di I lr darn rongga (cavity with a small aperture - sebagai realisasi I)r'nktiskonsep benda hitam) dapat dianalisa sebagai superposisi I I:~ri karakteristik moda normal rongga. Dalam setiap moda norIIlnl, medan bervariasi secara harrnonik. Dengan demikian, setiap t~lodanormal ekivalen dengan osilator harmonik dan radiasi lrlctmbentuk ensembel osilator harmonik. Bedasarkan pemahaman tersebut, Max Planck mengajukan I~ipotesisradikal sebagai berikut : 1 . Osilator di dalam benda hitam tidak memancarkan cahaya secara kontinu melainkan hanya berubah amplitudonya transisi amplitudo besar ke kecil menghasilkanemisi cahaya sedangkan transisi dari amplitudo kecil ke besar dihasilkan dari absorbsi cahaya. 2. Osilator hanya bisa memancarkan atau menyerap energi dalam satuan energi yang disebut kuanta sebesar hv ,

Landasan Fisika Kuantum

Fisika Kuantum bersifat bagai gelombang tetapi tidak menyebar melainkall terkurung di dalam ruang. Hal ini dipenuhi oleh paket gelombari!l yang merupakan kumpulan gelombang dan terkurung di dala111 ruang tertentu. Sebagai pendekatan terhadap konsep paket gelombang, perhatikan kombinasi dari dua gelombang bida,ig berikut

(

I

hmbar. 1.11 Superposisi dua gelombang tunggal

,111 Iqelombang tunggalnya diperbanyak,

yl (x,t) = Acos(o,t - klx) W, (x, t) = A cos(o,t - k,x) Prinsip superposisi memberikan

dengan amplitudo A,

Grafiknya,

Gambar. 1.12 Superposisi dari n gelombang

V)

.- .E

f a ,

5

Q

' l a,

L

e

a 25

$

cde

Y .-

F s-

*-

8 %

m m

.a

a a

C

f,

a

m

1-isikaKuantum

Landasan Fisika Kuantum

Gaussian yang bertransformasi Fourier juga dalam fungsi Gaussian. Untuk paket Gaussian,jika Ax dan Ak diambil deviasi standar dari (x) dan g(k),maka

h A k = 12

(1-43)

Karena pada umumnya paket gelombang tidak berbentuk Gaussian, maka

AxAk24

(1-44)

Kalikan pertidaksamaan (1-44) dengan ji dan mengingat Gambar. 1.15 Transform Fourier dari g ( k )

p = hk , maka didapatkan

Dari uraian contoh dan gambar transformasi Fourier di atas diperoleh hubungan antara Ax dan Ak (atau Ap). Hubungan ini secara grafik adalah sebagai berikut Pers(1.45) ini merupakanprinsip ketidakpastian Heisenberg (Heisenberg's uncertainty principle). Dalam kalimat, prinsip ini mengatakan :

"Tidak mungkin mengetahui atau mendapatkan posisi dan momentum suatu partikel dengan tepaf secara serempak atau bersamaanJJ

Gambar. 1.16 Kaitan antara & dan Hubungan antara Ax dan Ak bergantungdari bentuk paket gelombangdan bergantung pada Ak, Ax didefinisikan. Perkalian (Ax)(Ak) akan minimumjika paket gelombang berbentukfungsi

Prinsip ini merupakan fakta mendasar dari alam dan bukan sekedar disebabkanoleh keterbatasandan ketelitian pengukuran. Untuk mengatakanbahwa suatu partikel berada pada titik xdan bermomentum p berarti kita harus mengukur secara serempak koordinat x dan momentum p, karena tanpa pengukuran kita tidak mempunyai informasi apa-apa. Sebagai ilustrasi, perhatikangedanken eksperimen berikut ini. - Untuk mengamati elektron, kita harus menyinarinyadengan cahaya - Cahaya yang sampai di mikroskop adalahcahaya terhambur oleh elektron.

a

Fisika Kuantum

Landasan Fisika Kuantum

sehingga dari dua hubungan Ap dm Ax di atas didapatkan (1 4 3 )

AxAp = h (1Al2) sesuai dengan prinsip (1.45).

Contoh 1.8 a. Bila paket gelombang dalam komponen ruangnyasaja f ( x ) berbentuk Gaussian perlihatkan bahwa transformasi Fouriemya g(k) ,juga berbentuk Gaussian b. Bila & dm ~k diambil deviasi standar dari f(x) dan g(k) perlihatkan bahwa perkalian AxAk = $ . Gambar. 1.I7 Gedanken eksperiment penentuan posisi elektron - Momentumfoton terhambur p, = h l A, dan untuk menembus obyektif, foton hams bergerak dalam sudut a , sehingga komponen-x dari momentum mempunyai ketaktentuan

-

Ketaktentuan inijuga merupakan ketaktentuan dalam arah-x dari momentum elektron setelah hamburan, karena selama proses hamburan, momentum antara elektron dan foton dipertukarkan. Di sisi lain, posisi elektron juga tidak tentu disebabkan difraksi cahaya ketika menembus obyektif. Ketaktentuan posisi elektron sama dengan diameter pola difraksi yaitu 2ysin 8 dengan sin 0 h l d. Karena itu

-

Penyelesaian: a. Misalkan, paket gelombang Gaussian ternormalisasi berbentuk

ca

ilf(x)l

2

dengan

-0

Fouriemya

Maka pasangan transformasi

Landasan Fisika Kuantum

Fisika Kuantum

Selanjutnya

dan

Sehingga yang tidak lain adalah fungsi Gaussian, dengan

Dengan demikian b. Deviasi standar

didefinisikan

Evaluasi lengkapnya memberikan

Bentuk lain dari prinsip ketidakpastian Heisenberg dinyatakan dalam ketidaktentuan energi AE dan waktu A t ,

A AEAt 2Karena x fungsi ganjil sedangkan e-a2x2 fungsi genap.

Sehingga

2

(1.49)

Mengigat sedemikian kecilnya nilai h, prinsip ketaktentuan ini tidak relevan atau tidak tampak di dalam dunia makroskopik. Di dalam konteks ini, mekanika klasik untuk dunia makroskopik bersifat deterministik sedangkan dunia mikroskopik secara esensial non-deterministik.Karena itu, di dalam dunia mikroskopik tidak dikenal lintasan eksak.

Fisika Kuantum

Landasan Fisika Kuantum

Jika posisi paket gelombang berubah, laju gerak titik maksimumadalah kecepatan grup

Gambar. 1.18 Lintasan klasik dan kuantum Sekarang kembalipada persoalan paket gelombang, dan k i i selidiki kebergantungannya terhadap waktu. Misalkan, paket gelombang direpresentasikan oleh f(x,t).

1 (k)ei(h-m'dk

$0

f (x, t ) =

do



sebagai perluasan dari ungkapan (1.42). Pada saat t, paket gelombang f(x,t) mempunyai maksimum di titik X(t).

Seperti diperiihatkan padaGambar 1.16 di depan, amplitude g(k) bemilai maksimum, misalkan pada kodan tak no1hanya di sekitar harga kotersebut.Hal ini diambil atau diasumsikan agar momentum terdefinisi dengan baik. Dengan alasan serupa, frekuensi juga seperti itu, yaitu berharga di sekitar oo= o ( k o ). Karena itu, o dapat diekspansi Taylor di sekitar k,

dengan mengabaikansuku ekspansi orde dua dan seterusnya. Kembali pada persoalan kecepatan grup v,. Karena f(x,f) maksimum di X(t), maka

Diferensiasi sekali lagi pers. (1-53) terhadap waktu t, didapatkan

Substitusi uraian (1.52) ke dalam pers. (1.54),

Gambar. 1.19 Paket gelombang pada saat f

Persamaan

Postulat Max Planck dan konsep spekulatif de Broglie mengisyaratkanperlunya konsep barn tentang dunia mikroskopik. Di dalam bab ini diuraikan langkah-langkah penting dalam membangun mekanika baru yaitu mekanika gelombang atau mekanika kuantum dan beberapacontoh sistem sederhana serta konsep pokok terkait.

2.1 PARTIKEL BEBAS Kita berangkat dari konsep klasik yang telah kita kenal dengan baik. Secara klasik, energi partikelatau benda bebas bermassa m, diberikan oleh energi kinetik

dengar, ;3 adalah momentum partikel. Berikut ini diperlihatkan transisinya ke dalam persamaan kuantum. Ungkapanenergi Planck (1.4) dan momentumCompton (1.21) dapat ditulis sebagai

Fisika Kuantum

sehingga ungkapan paket gelombang (1-50)dapat ditulis ulang dalam bentuk

dan pem(2.5) dapat diperluas menjadi

dengan Nadalah konstanta normalisasi.

Diferensiasifungsi (2.3) terhadap waktu memberikan

Jika energi Ediasosiasikansebagai energi partikel bebas (2.1), maka

--

i(p.r-Et)lhd3jj

IY = w ( ~ , t ) =N J p m e

dan tetapan norrnalisasibaru N = Tetapi ruas kanan pers. (2.4a) dapat ditulis sebagai

2.2 PERSAMAAN SCHRODINGER 2.2.1 Partikel di dalam Potensial Dengan membandingkan pers.(2.1) dan pers(2.7) tampak adanya korespondensi antara energi E, momentum jj dan operator diferensial

Daridua persamaan di atas diperoleh persamaan diferensialpaket gelombang W bagi partikel bebas

Perluasan bentuk energi partikel bebas ke dalam ruang tiga dimensi diberikan oleh

Operator-operator ini bekerja padafungsigelombang w (J, t ) . Bentuk korespondensi ini nantinya yang digunakan untuk membangun persamaan gerak kuantum berangkat dari bentuk energi klasik. Selanjutnya, tinjau partikel yang mengalami gaya yang

Fisika Kuanturn

i

dapat dituliskan sebagai gradient dari energi potensial V(T,t )

Karena itu, energi total partikel Edapatdiungkapkansebagai

Berdasarkan korespondensi(2.9) persamaangerak kuanturn partikel di dalam potensial V ( 3 , t ) diberikan oleh

1

Persarnaan Schrodin,ger

2.2.2 Arti Fisis dari Fungsi Gelombang Di dalam persoalansesungguhnya Hamiltoniansuatu sistem diketahui atau diberikan. Mengacu pada persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan diferensial (parsial) (2.14), jelas persoalannyasekarang adalah mencari solusi W dari persamaan tersebut. Jadi, fungsi gelombang W merupakan kuantitasteoritis fundamental di dalam mekanika kuantum. Meskipun demikian, seandainyafungsigelombang W sudah diperoleh, masih tersisa satu pertanyaan mendasar:

Fungsi gelombang merupakan suatu deskripsi dari kejadian yang mungkin, tetapi- kejadian apa? Atau, apa yang didiskripsikan oleh fungsi gelombang? Pers(2.12) ini dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger untuk partikel di dalam potensial V ( 3 , t ) . Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati dengan model satu dimensi. Persamaan Schrodinger satu dimensi behentuk

Secara umum, karena energi E dapat dinyatakan dalam Hamiltonian

E =~ ( r ' , ~ , t )

Singkatnya, apa arti fisis dari nilai y(T,t) di setiap posisi 7 pada saat t? Jawaban dari pertanyaan di atas diberikan oleh Max Born padatahun 1926yang menyatakan bahwa y(r', t ) itu sendiri tidak mempunyai arti fisis apa-apa, tetapi

diintepretasikan sebagai kerapatan probabilitas. Secara lebih spesifik

(2.14)

maka pers. (2.12) dapat dituliskan sebagai menyatakan kemungkinan untuk mendapatkan partikel yang dideskripsikan oleh y ( 7 , t ) berada dalam elemen volume dv di sekitar posisi T pada saat t. Di dalam kasus satu dimensi Hamiltonian H sekarang berperansebagai operator

yang bekej a padafungsi gelombang ~ ( 7t ) ,.

menyatakanbesar kemungkinanpartikel yang dideskripsikan oleh y/(x,t) berada di antara x dan x+dx pada saat t.

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

Jika partikel (memang) ada di dalam ruang, interpretasi di atas mensyaratkan

dengan integrasidilakukan ke seluruh ruang V. Fungsi gelombang yang memenuhi syarat (2.20) dikatakansebagai fungsi gelombang temorrnalisasi.

Contoh2.1 Fungsi gelombang sutu partikel yang bergerak sepanjang sumbu xdiberikan oleh: ~ ( x =) ~ e - "sin a x a. Tentukan konstanta C jika fungsi gelombang temormalisasi b. Jika a = 7~ , hitung kemungkinan untuk mendapatknan partikel berada di sebelah kanan titik x=l Penyelesaian : a. Secara eksplisit ~ ( xdiberikan ) oleh

Cex sina x, untuk x < 0 Ce-" sin a x, untuk x > 0

Gambar 2.1 Solusi Karena itu

r

-- \y(2& =1=

c~[~ sin2-m~ d x~ + C 2-~ e 2sin2 x mdx

= 2 c 2 ro e - " s i n 2 a h r

Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus dalam bentuk eksponensial dan akan didapatkan

sehingga

,&I2

=

(

~ ~ e ~ " s i n ~untuk a r , x V, PersamaanSchrodinger kasus ini sama dengan persamaan Schmdinger untuk Ec V, Solusi untuk daerah x < 0, sama dengan 9- kasus terdahulu. Tetapi solusi untuk daerah x 5 0 berbeda dari bentuk terdahulu, yaitu bentuk sinusosidal

Gambar 2.7 Fungsi Gelombang untuk tangga potensial,jika E V,. lnilah yang rnernbedakan dari hasil fisika klasik yang rnenyatakan bahwa semua partikel akan diteruskan jika E > V, Mengingat kenyataan di atas, berikut ini kita hitung koefisien refleksi dan koefisien transrnisi dari keadaaan sistern tersebut. lntensitasdari berkas partikeldidefinisikan sebagai lntensitas Jumlah partikelpersatuan volume (diberikan oleh kuadrat modulo amplitude)

kc ~rrfisien tmnsmisi =

-

-

fluks berkas diteruskan fluks berkas datang

Dari dolinisi di atas, untuk kasus tangga potensial didapatkan -+. koefisien rc!llcksi R,

,

Sedangkan koefisien transmisi T Fluks dari berkas partikel atau kerapatan arus partikel di definisikansebagai Fluks jumlah partikelyang melewafidaerah satu satuan luas per satuan wakfu = kecepatan dikalikan intensitas.

Denganv adalah laju partikel-partikeldi daerah kiri ( x < O),

llustrasinya danv' laju partikel-partikeldi sebelah kanan ( x > 0)

Garnbar 2.9 llustrasi fluks sistern banyak partikel Koefisien refleksididefinisikan sebagai

Darihasildi atasjuga tampak bahwa kekekalanjurnlah partikel dip en^, .I, yaitu R+T=1 Gambar fungsi gelornbangnya,arnplitudo maupunperiodisitas untuk x < 0 dan x > 0 berbeda, mengapa? Pert,atikanpendekatanenergiberikut.

Fisika Kuantum

Persarnaan Schrodinger

I

1) Jika E >> Vo Dan ungkapan (2.51 b) dan (2.45b) diperoleh

Dengan demikian, dari pers. (2.52a) dan pers.(2.52b), didapatkan

p- ( x ) = Y),( x ) = ~e~~= p ( x ) Sketnya

Contoh 2.4 : Misalkan,ada seribu elektron yang masing-masingberenergi 27 eV ditembakkan ke arah daerah bertangga potensial dengan ketinggian 24 eV. Hitung jumlah elektron yang berbalik ketika elektron-elektron tersebut sampai pada tangga potensial.

Penyelesaian :

Energi elektron, E = 27 eV

Tangga potensial V,, = 27 eV

Koefisien refleksi untuk E > V, diberikan oleh pers. (2.54)

dengan k dan k'seperti ungkapan (2.45b) dan (2.51b). Dalam

ungkapan E dan Vo,

Gambar 2.10. Fungsi gelombang jika E >> Vo 2) Secara umum

Substitusi harga-harga Edan V,, didapatkan

R = 0,25 Karen? itu, ada sejumlah N N = l000xR

= 250 elektron

Gambar 2.11 Fungsi Gelombang untuk sembarang E > Vo yang dipantulkan.

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

Sekali lagi, inilah yang rnembedakan dad perurnusan klasik. Menuruk rnekanika klasik sernua elektron (1000 elektron) tersebut akan lolos rnelewati tangga potensial karena D V 0 , tanpa ada satupun elektron yang dipantulkan.

dan

I

h2 d 2 p V,rp = E q , 2m d 2 x

I

*---

I

I I

2.3.3. Sumur Potensial dan Paritas Berikut ini kita pelajari partikel yang bergerak di sumur

potensialdengan kedalarnan berhingga.

untuk 1x1 I a

(2.58b)

pnalisa terhadap sistem ini dibedakan antara energi partikel E < 0 dan energi E > 0.

A. Keadaan terikat. Energi Negatip

+

UntuK energi negatip, E -E dengan Ekuantitas positif, maka per. (2.58a) dan (2.58b) menjadi

dan

+d 2kp 2 p= 0,

untuk 1x1 < a

d 2x

dengan Gambar 2.12 Surnur potensialsedalarn Vo, selebar 2a Potensial sistern diberikan oleh :

g

= (2mE 1

~ ' ) " dan ~ k = (2m(v0 - E ) / h 2Y I 2

(2.60)

Solusi untuk daerah (1) dan (3) yaitu daerah 1x1 > a

, untuk daerah 2, -a r x 5 a untuk daerah 3, x < a

+ Be-9x

,p3 ( x ) = Eeqx+ Fe-qJ

(x) = Aeq'

untukdaerah 1, x < -a (2.57)

Dengandemikian, persarnan Schrodingersistem ini diberikan oleh

dengan A, B, E, dan F konstanta-konstanta. Sedangkan solusi untuk daerah (2))

, p 2 ( x ) = ~ c o s l r x +~ s i n k x untuk 1x1 > a

(2.58a)

(2.61b)

C dam D konstanta. Syaratfisis berhingga (2.32) rnembuat 5 dan E hardS nol, sehingga -81

Persarnaan Schrodinger

Fisika Kuantum

Pertama, jika A + F# 0 maka C # 0

q,(x)= Aeqx

q3(x)= Fe-qx

serta

Selanjutnya tentukan konstanta-konstantaA,ECdanDdengan ...

_.\..,.

(;' menerapkan syarat kontinyuitas di x = -a,

fit

.

...

r

h'..

.

.. 91(-4=92(-4

A=E -. '

F = Cew cos ka

(2.61d)

Kedua, jika A - F# 0 maka D # 0 dan

,- . membenkan Ae-qa= Ccos ka + D sin ka

D=O

q = -k cot ka

(2.61e)

(2.6%)

dan

Sedangkan

A=+

C=O

F = DIF sin ka Spektrurn Energi; berikut ini kita lihat perilaku energi partikel. Pers. (2.45) memberikan

memberikan

qAe-qa= -kCsin ka + kD cos ka

(2-619)

Dengan cara serupa, kontinuitas di x = a, memberi hubungan

1

Ccos ka + D sin ka = Fe-qa

- kC sin ka + kDcos ka = -qFe-qa

Setelah dikalikan a*, menjadi

(2.61h)

Selanjutnya, hubungan di atas memberikan

dengan parameter E

( i ) 2C cos ka = ( A+ F ) e-qa (ii) 2kC sin ka = ( A + F ) qe-qa (iii) 2 0 sin ka = -(A -F ) e-qa

(2.6 1i)

(iv) 2kD cos ka = ( A- F ) e-qa Lebih lanjut hubungan-hubunganini memberikan dua jenis solusi,

I I

berdimensi energi. Dengan demikian, parameter (v,1.5) pada pers(2.64) menyatakan ukuran dari kekuatan potensial. Kita tinjau solusi pertama (2.62a). Karena kdan q merupakan besaran positip maka dari pers. (2.62a), (@) = tan(ka) juga harus positip. Hal ini, tan (ka) positip, hanya dipenuhi jika ka berada

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

pada interval (1) dan (3), serta pengulangannya,

Sin ka

Kedua solusi (2.66b) dan (2.67b) rnenyiratkan bahwa hanya k diskrit tertentu yang memenuhi. Harga tersebut bisa diperoleh melalui pendekatan grafik berikut

;

tan $

I

X

ios ka

Gambar 2.1 3. daerah dengari'harga cosin(+) .

.

I

1

Gambar 2.14. Solusi grafik untuk nilai k yang diijinkan Misalkan, irisan antara (&/vo)"~ dan I cos ka I atau lsin kal terjadi pada k = kn,n = 0,1,2.. ., energi yang diperbolehkan

dengan r = 0,1,2,3. ... Berikutnya, subtitusi pers. (2.62a) ke pers.(2.64) didapatkan :

j I

Atau

i

Dengan cara serupa, untuk solusi jenis kedua (2.63a) didapatkan

Dan Garnbar 2.14 atau dari pers.(2.66a) tarnpak bahwajumlah energi yang diperoleh berhingga. Dari gambar, jika (E/VO)"~ ka sarna dengan satu nilai, k a berada dalarn interval ~ ( ~ 112ka) < (N+ 1)(7r/2) maka ada (N+I) irisan. Dengan kata lain ada ( N + l ) tingkat energi diskrit jika

(~~/~)N(E/vo)~'~ 5 1 < (7r/2)(~+ ~)(E/vo)"~ I

N 5 2/n(Vo/~)"~c N + l

atau ji ka (2.69)

1 i

dan (EIVO)"'

ka = lsin kal

1

Dengan dernikian, sedikitnya ada satu keadaantenkat untuk sedangkal apapun surnur potensial, yaitu jika (&/vo)"~ kecil sekali sehingga Nyang mernenuhi adalah nol. Fungsi Eigen dan Paritas. Berikut ini kita lihat perilaku fungsi gelornbang p untuk setiap energi En.Energi Endengan

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

n = 0,2,4,. .. berkaitan dengan solusi pertama

Grafikfungsi-fungsi ini

p,, ( x ) = Ceqnac ~ s ( k , a ) e ",~ untuk x < -a q2,,(x)=Ccosknx, u n t u k - a l x l a q3,,( x ) = Ceqna~ o S ( k , a ) e -,~untuk ~ ~ x >a

(2.70)

Sifat dari fungsi-fungsi di atas diilustrasikan secara grafis berikut :

Gambar 2.1 6 Fungsi eigen paritasganjil Fungsi eigen ini antisimetri terhadap titik asal

Gambar 2.1 5. Fungsieigen paritas genap Jika fungsi eigen keseluruhan dituliskan sebagai 9, (x) jelas bahwa y>, (x) simetri terhadap titik asal

Fungsi gelombang yang memenuhi sifat (2.73) ini disebut fungsi eigen paritas ganjil.

Confoh 2.5 Fungsi gelombang yang mempunyai sifat simetri (2.71) dikatakan mempunyai sifat paritasgenap. Sedangkan energi Endengan n=1,3,5, ... berkaitan dengan solusi kedua,

q,,,( x ) = -Beqnasin(kna)eqnx, untuk x < -a ~ ) ~ , , ( x ) = B s i n ( k ,,x ) u n t u k - a c x < a q3,, ( x ) = B e9# sin (k,a) e-qmx, untuk x > a

I

(2.72)

Suatu elektron bergerak di dalam sumur potensial yang mempunyai kedalaman 20 eV. Energi tingkat dasar electron temyata adalah -1 5 eV. Tentukanlhitung : a. Lebar sumur ( dalam A) b. Jumlah tingkat energi diskrit yang mungkin. c. Besar peluang mendapatkanelektron keadaandasar berada di luar sumur.

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

I

Penyelesaian: a. Karena energi tingkat dasar merupakanjenis solusi dengan paritas genap, maka lebar sumur 2a dapat ditentukan menggunakan pers.(2.66b), (2.65) dan (2.60),

I

Menggunakanungkapan (2.55) untuk fungsi 9 ,didapatkan.

-

-/,

'

arc c o s , / m

Subtitusi harga-harga V,, = 20 eVdan E= 15 eV, didapatkan lebar sumur :

dan,

I

b. Dari harga a di atas, didapat harga paremeter E I E=--

ti2

I

- 4,56 eV

1

2ma

I

sehingga,

1

Karena itu,

p(Ixl> a ) =

1+ Hal ini berarti, menggunakanpers(2.54) - harga N= 1. Karena itu tingkat energi diskrit yang mungkin adalah N + 1 = 2 c. Memperhatikankesimetrisanfungsi gelombang keadaan dasar (gambar 2.15), maka besar peluang untuk mendapatkan elektron di luar sumur cukup dihitung untuk daerah positf,

I

q a + -sin(2ka)

cos * (ka)

i

i

Subtitusi harga-harga k, q, a, e dan Vo, didapatkan I

I

I

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

2). Energi positif, E>0 ParUkeCpartikel ditembakkan dari kiri, Schrodingemya,

.

< 0. Persamaan

2.3.4 Kotak PotensialTiga Dimensi, Keadaan Degenerasi dan Kerapatan Energi Perhatikan partikel yang berada di dalam kotak potensial berukurana x bx cseperti diperlihatkanoleh Gambar 2.18. Setiap dinding kotak berpotensial besar sekali, V + co . Sedangkan potensial di dalam kotak sama dengan nol.

dengan,

q = ( 2 m ~ / h ~ ) dan k = (2m(Vo

+ E J / ~ 'j

(2.75)

Solusi umumnya diberikan oleh :

Gambar2.18 Kotak PotensialTiga Dimensi dengan A, B, C, D dan Ekonstanta. Grafik Fungsigelombangnya,

PersamaanSchrodinger untuk partikel berrnassa m di dalam kotak :

atau

Gambar2.17 Fungsi Gelombang untuk energi positip

Operator diferensial nabla diuraikan dalam koordinatyang sesuai yakni koordinat Cartesian, karena potensial berbentuk balok. Selanjutnya, terapkan metoda pemisahan variabel q ( T ) = q ( x ,y , ~=) X ( x ) Y ( y ) Z ( z ) dan nilai eigen E menjadi

Persamaan Schrodinger

E = Ex + E,, + Ez. Cara standar di dalam fisika matematika membuat pers. (2.77b)tereduksi ke dalam bentuk :

vtmn@,Y,4 @);(=

sin(l: -x

)-

r: ) r: )

sm -y

sin

-2

(2.80a)

dan

"I

Ketiga persarnaan ini tidak lain adalahpersamaan Schrodinger untuk partikeldi dalam kotak satu dirnensi yang telah dibahas di depan. Solusi eigennya:

2maz

Beberapaspesifikasifungsi eigen dan energinya diberikan oleh tabel berikut

Sehingga, setelah dilakukan normalisasi didapatkansolusi lengkap p(F) = ph (.x, y,

("-)"

= abc

sin($

.) sin(? y )

.z)

(2.79a)

dan

bilangan e , m dan n merupakan bilangan kuantum utama bagi sistem partikel di dalam kotak di atas. Bila kotak berupa kubus V = a3, maka

Tabel 1. Spesifikasibeberapafungsi eigen.

Fisika Kuantum

PersamaanSchrodinger

DariTabel.1tampak bahwaada satufungsi dengan satu energi, seperti E = 3 El untuk p, dan E = 12E1 untuk pZz2. Keadaan eigen dengan spesifikasi atau sifat di atas dikatakan sebagai keadaan non-degenerasi (non-degenerate state). Sedangkan beberapa keadaan atau fungsi eigen yang berbeda tetapi mempunyai energi eigen yang sama dikatakan sebagai keadaan terdegenerasi (degenerate state). Sebagai contoh untuk E= 6E1 fungsi eigennya ada tiga yaitu p, ,p,,,,p,, ,dan seterusnya. Jika kubus besar sekali maka El akan kecil sekali sehingga spektrum energinya akan tampak kontinyu. Tingkat energinya diilustrasikan oleh Gambar 2.19. Di dalam kasus seperti ini kita tertarik padajumlah tingkat energi yang ada di dalam selang dE, yaitu antara energi Ed m E+dE.

,,

,

,

Untuk menghitung rapat keadaan per satuan energi tersebut, buat vektor

di dalam ruang bilangan kuantum.

t

n3

Gambar 2.20. Vektor Z di dalam ruang bilangan kuantum nlrn2rn3 Dari Gambar2.20 tampak bahwa

Dalam notasi baru ini, ungkapan (2.80b) dapat ditulis menjadi

Sehingga panjang n dapat dinyatakan dalam energi E

(a)

(b)

Gambar 2.19 Spektrum Energi untuk (a) kubus kecil, (b) kubus besar

Misalkan N(E) adalah jumlah keadaan antara no1dan Emaka

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

Garnbar 2.22 Kerapatan Keadaan Gambar 2.21. Seperdelapan bola berjejari n

Daerah bintik-bintikdibawah kurvarnenyatakanjumlah seluruh keadaan yang mungkin antara energi no1dan energi E .

2.3.5 Penghalang Potensial dan Gejala Penerowongan. dengan V = a3.Jumlah keadaan antara Edan E+dE per satuan volume, dN

.

Misalkan, partikel-partikel berenergi E ditembakkan dan bergerak dari kiri ke kanan melewati penghalang potensialberikut

Biasanya didefinisikan rapat keadaan g(E) rnenurut dN(Q = g(E)dE, sehingga

Garnbar 2.23 Potensial Penghalangsetinggi Vo Kuantitas ini merupakanjurnlah keadaan per satuan selang energi pada energi E.

Persarnaan Schrodinger partikel-partikel tersebut

Solusi persamaan di atas dibedakan oleh besar energi partikel E

Fisika Kuantum

PersarnaanSchrodinger

1. Fenomena Penerowongan Untuk E < V,, maka pers. (2.87) menjadi

sekaligus yang membedakannya dari partikel klasik. Selanjutnya kita hitung koefisien transmisinya. Syarat kontinyuitasfungsi gelombangdan turunannya terhadap posisi memberikan :

dan

dengan

Pers.(2.91) yang kedua tidak lain adalah ungkapan dari amplitudorefleksi. Karena itu, menggunakan hukum kekekalan fluks R + T = 1 didapatkan koefisien transmisi T,

dan

Solusi umumnya,

Ungkapaneksplisitnya

q2( x ) = B+eqx+ B-e-qX

-a 5 x 5 a

v )( ~x ) = c e i k

x >a

dengan rnernpertimbangkanarah partikeldatang. Gambamya,

Bentuk (2.92b) ini juga dapat diperoleh melalui amplitudo

transisi (CIA,),

Berikut ini bila kita selidiki sifat dari Tuntuk harga qa ekstrim. Untuk qa kecil sekali Gambar 2.24. Fungsi gelombang untuk E < Vo Kehadiran solusi q3 yang tidak no1 untuk x>a ini dikenal sebagai fenomena penerowongan(funnelingphenomena),

Sehingga

!I

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

Perhatikanpenghalang potensial sebagai berikut :

dengan E diberikan oleh ungkapan (2.65). Sedangkan untuk 9a besar

I

Gambar2.25. (a) Penghalang sembarang (b) bagian yang diperhitungkan untuk koefisientransmisi

1! i :I

Darigambar 2.25b. didapatkan dan Ttereduksi menjadi

In T = -2 C ( A X ) ( ~ )

(2.98)

'

I!

1 1 1

II

Jika & -,0 , dan kembalikan ungkapan q dalam selisih energi maka

I

1'1

1 1I I

Jika diambil logaritmiknya

Dengandemikian Tampak bahwa suku pertama ruas kanan mendominasi penjumlahan, sehingga

Bentuk ini sangat menarik dan dapat diperluas untuk penghalang potensial yang tidak teratur. Langkah ini dapat dilakukan dengan mengingat bahwa 2a adalah lebar panjang penghalang dan q sebanding dengan akar kuadrat selisih antara potensial penghalangdan energi partikel.

i

T = exp - ~u!x,/-J

;,I,'

Contoh2.6

'1;

Menurutteori Gamow, Gumey dan Condon, partikel a di dalam sumur potensial yang dibentuk oleh inti dan gaya Coulomb

mempunyaipeluang untuk menerobos potensial penghalang.

Keluamya partikel a dari inti ini dikenal sebagai peluruhan a.

.'

101

8

I

I

;(I ,

,

Persamaan Schrodinger

Fisika Kuantum

llustrasinya diberikan oleh garnbar berikut.

Integral dapat diperoleh menggunakan tabel integral. Tetapi di sini akan dihitung langsungdengan penggantian variabel

r = bcos26 Dengan penggantianvariabel ini dipedeh Energi partikel a di dalarn inti berjejari R adalah E, .Hitung probabilitas partikel a meluruh atau keluar sumur potensial berjejariRtersebut. Penyelesaian: Potensial berbentuk

dr = -2b sin 8 cos 8 d e Untuk batas integrasi

r = R = b cos28,+ 8, = arccos 4Z-E

r = b = b c o s 2 0 2+e2 = O

maka

dan energi partikel-a

Probabilitas partikel a rneluruh T,

T = e-7 dengan

Fisika Kuantum

Persamaan Schrodinger

+ 90ThU4 + a (4,2 Me V)

92~238

Harga Tdiperoleh, dengan harga-harga

msm, =4~1,67~10-~'kg Z, = 90, nomor atom anak, dan

Jika E, sangat kecil, maka seperti tampak pada gambar di depan, b>>R.. Untuk x kecil sekali

Subtitusi nilai-nilai di atas, didapatkan koefisien transmisi T

partikel a

arccosx c arccosO-x = n / 2 - x Suatu harga yang tidak not walaupun sangat kecil.

Maka didapatkan Keadaan Resonansi

Untuk E > V,, maka ungkapan (2.89b) menjadi

Sehingga soiusi umum (2.90) juga mengalami perubahan

untuk daerah dua. Lengkapnya,

q , ( x ) = ~ + e ~ + A _ e - ' ~x, < - a

Dengan demikian

q2(x)=B+e'K"+~-e-ifi q3(x) = ceihr

-alxa

Gambar solusi (2.1 02) adalah sebagai berikut, Sebagai ilustrasi kongkret, ambil peluruhan

(2.102)

Persamaan Schrodinger

Fisika Kuantum

Grafik koefisientransmisi untuk tiga nilai V, / E yang berbeda.

Gambar 2.27 Fungsi gelombang untuk E > V,, Koefisien refleksi maupun koefisien transmisi dapat diperoleh dari pers.(2.91) dengan melakukan penggantian q -,iK . Sehingga diperoleh Gambar 2.28. Koefisientransmisi untuk tiga

V, / &

Sedangkan koefisien transmisi bersangkutan

Contoh2.7 :

Dari bentuk eksplisit koefisien transmisi ini tampak bahwa jika sin 2Ka = 0

Suatu elektron berenergi E ditembakkan dari kiri melewati

penghalangpotensialseperti Gambar2.23, dengan penghalang

,V, = 20 eVdan lebar 2A. Hitung :

a. Koefisientransmisi jika energi partikel E=V,. b. Energi resonansi pertama dan kedua dari elektron.

(2.105)

atau

Penyelesaian : a. Karena penghalang potensial konstan dan q + 0 maka penghitungan koefisien transmisi dapat diperoleh menggunakanungkapan (2.95). dengan

koefisien transmisi sama dengan satu. Hal ini secara fisis berarti bahwa semua partikel diteruskan. Keadaan ini dikenal sebagai keadaan resonansi. 107 --

I), ,,/I

Fisika Kuantum Dengan demikian, koefisientransmisinya

Jadi, ada sekitar 16 elektron dari 100 elektron datang, yang diteruskan rnelewati penghalang. b. Keadaan resonansi rnerupakan keadaan yang mana semua partikel (yang diternbakkan) dari kin tidak ada yang dipantulkan atau dengan kata lain sernua partikel diteruskan ,T=l. Hal ini hanya rnungkin tejadi jika E>Vo, tepatnya rnenggunakan koefisien transrnisi T (2.104) dengan energi partikelmemenuhi pers.(2.106)

Jadi energi keadaan resonansi pertama dan kedua

Perurnusan

Mekanika

Ada dua pendekatanurnum yang dilakukan di dalamfisika. Pertarna pendekatanfenornenologis yang diikuti perurnusandiferensial-integral biasadan lainnya pendekatanformal rnaternatis sejak awal. Pada bab ini disajikanperumusanformal dan berbagai konsekuensi dari mekanika kuantum yang berangkatdari pernyataan formal.

3.1. Postulat-postulat Dasar Mekanika Kuantum

(a) Representasi keadaan Postulat 1a. Keadaan (state) dari sistem (mekanika) kuantum didiskripsikan atau direpresentasikan oleh fungsi gelombang,y/ (7, t ) . Fungsigelornbang rnengandung sernua informasi keadaan sistem setiap saat dan tidak (dapat) diukur secara langsung. Postulat 1b. Prinsip Superposisi, y / , dan yf2 merupakan dua furlgsi gelombang yang menggambarkan dua keadaan dari suatu sistem maka untuk setiap kombinasi linier c,y/, + c2y , , dengan c, dan c, konstanta, terdapat suatu keadaan yang lain dari sistem.

Fisika Kuantum

Prinsip superposisi ini rnembawa pada konsep rua~lg vektor. Kumpulansernua fungsi gelombang dari suatu sistem mernbentuk ruang vektor linier kompleks berdimensi tak hingga Berkaitan dengan ruang vektor linier tersebut didefinisikan perkalia~,skalar (scalar product) antara dua fungsi gelornbang Q dan yberikut:

Definisi di atas rnernberikan hubungan lebih lanjut sebagai benkut

Perurnusan Umum Mekanika Kuantum

I

dengan c, c,, dan c, adalah konstanta-konstanta (bilangan) kornpleks.

Contoh3.1 Selidiki linieritas operator A yang didefinisikansebagai berikut:

I I

dengan c rnerupakan konstanta kornpleks, dan

d

a. A ~ ( x=)z ~ ( * ) + a , dengan a konstanta

Penyelesaian: a. OperatorA didefinsikan menurut

rnaka untuk c, c, , c, ,konstanta

i) berlaku

sarna dengan no1jika dan hanya jika y = 0

(b) RepresentasiVariabel Dinamis Postulat2. Setiap variabel dinamis A(?,P) direpresentasikan oleh operatorlinier A, = A ( ~ , B , ) = A(?,-~AV). Operator tersebut bekerja pada fungsi-fungsi dari sistern, dan rnengubahnya rnenjadi fungsi gelornbang yang lain.

atau Operator A disebut operator linier, jika bekerja pada fungsi gelornbang p, ry dan rnernenuhi hubungan:

~ ( c v ( x )#)

v(x))

Jadi operator A bukan operator linier karena ada satu sifat atau definisi operator linier yang tidak dipenuhi.

I

Fisika Kuantum

Perurnusan Umum Mekanika Kuantfrm

Sebagi contoh perhatikan cara mernperoleh kornutator antara x

d b. A Y ( x ) = x z Y ( x )

dan

P,

rnaka untuk c, c,, c, ,konstanta berlaku:

d

i) A ( c Y ( ~ ) ) = x ~ ( c Y ( ~ ) )

= C(AY ( x ) )

ii)

d

4,V ( X )+ c2V ( X 1) = x-dr {c, ~

Dengan dernikian

( x+ c2q(x) ) 1

xp-px = [x,p]= izi

(3.6)

Hubungan kornutasi antara x dan p ini dikenal sebagai kuantisasi pertarna. Secara urnurn, untuk xi dan pj dengan i,j = 1,2,3 berlaku

JadiAadalah operator tinier (karena kedua sifat dipenuhi) Di dalarn rnekanika kuanturn, variabel-vanabeldinarnis pada urnurnnya tidak kornut. Misalkan A dan B adalah dua variabel dinarnis, urnurnnya berlaku:

dengan x, = x, x2 = y, x, = z, p, = px, p2 = py, p3 = pZ, dan adalah fungsi delta Kronecker yang didefinisikan sebagai:

6.. =

6g

1, jikai = j

M n i s i kornutator (3.5) memberikan hubungankornutasi bagi tiga operator A , B dan C ,yaitu:

atau

Selanjutnya, didefinisikanhubungan kornutasi atau komutator antara A dan B ,

AB-BA = [A,B]

(3-5)

[AB,C ]= ABC - CAB = ABC - ACB + ACB -CAB = A(BC - CB)+ (AC - CA)B = A[B,C ]+ [A,

c]B

dan dengan cara serupa

(3.9a)

Fisika Kuantum

rcr clr 6 . -:an Umum Mekanika Kwnturn

Confoh 3.2: Hitung komutator :

;:k#"i:

Penyelesaian : a. x n = ,.-Ix = ,n-l,

Evaluasi lebiihnjut rnembeni maka Postubt3.Nilairafa-ra& daripengukuran variabel dinamis A yang dilakukan pada sistem yang mmpunyai keadaan I diberikan deh:

Memperhatikan pangkat dari x, didapatjuga [xn-' ,p] = [xn-* ,pJx + ih*' Karena itu,

Atau secara umum,

Besa;n (A), d

is e w hargae k p e k k i , nilai harap atau nilai duga dari variabel dinamis A. Untuk yang tidak temolmalii. i

Mempertimbangkan kenyataan fisis, maka hanya variabel dinamis berharga ekspektasi riel yang diukur secara langsung atau teramati (observabel). Dengan kata lainjika A observabel, diperlukanbatasan (A) = (A)' atau

Untuk m = n,

--

(c) Evdusi Sistem dan Tetapan Gerak Postulat4. Keadaan W bemriasi terhadap waMu menurut

mmaan

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Fisika Kuantum

Postulat ini dan pers. (3.10) memberikan evolusi terhadap

waktu bagi harga ekspektasi ( A )

dan

Dari pers. (3.14) ini tampak bahwa jika A tidak bergantungwaktu secara eksplisit dan komut terhadap H,

Maka

[A,H ] = 0 maka

yang beratti bahwa (A) tidak bergantung waktu. Dengan kata lain observabel A merupakan kuantitas kekal dan biasa disebut sebagai tetapan gerak.

(terbukti).

Contoh 3.3.

Contoh 3.4

Turunkan pes(3.14)

Mengingatsifat nonkomutdari dua observabelA dan 6,maka secara umum berlakir

Penyelesaian: Dari pers.(3.10) diperoleh Petlihatkandengan 2contoh eksplisit untuk (i) A dan 5 kornut dan (ii)A dan B tidak komut. Penyelesaian: (i) Misal, A = x, B = py, dengan komutator (3.7) Selanjutnyagunakan pers.(3.13), diperoleh

I Fisika Kuantum

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

J ( A ~ ) dv= '~ ~y*~'ydv

(3.18)

Sedangkan, suatu operator A dikatakan operator Henitian jika:

= 2ihp,p,

A+ = A

Dengan demikian

(3.19)

Contoh 3.6 Untuk dua operator Karena itu,

A dan 3 perlihatkanbahwa

(AB)' = B' A'

Karena Lz komut dengan Hamiltonianpartikel bebasdan tidak tergantung waktu secara eksplisit maka momentum sudut (L,) dari partikel bebas merupakantetapan gerak atau kuantitaskekal.

(3.20)

Penyelesaian:

MisalkanAB = C maka dari definisi (3.18) didapatkan

3.2 OPERATOR DAN MASALAH ElGEN 3.2.1 Operator Hermite

Masih dari definisi (3.18), uraian per operator memberikan

Untuk operator liniersebaang, didefinisikannilai haap

(A)* = (A) = fV*A

dv

(3.10)

Karena itu

Dari dua hasil di atas, jelas bahwa

(AB)* = B+ A+

3.2.2 Masalah Nilai Eigen dan Degenerasi Jika operator A bekerja pada fungsi qrdan berlaku Operator sekawan HerrnitedariA, ditulisA+,didefinisikansebagai:

A 9 =a9

(3.21)

Perumusan Umum Mekanika Kuanturn

Fisika Kuantum

Dari persamaan eigen di atas, didapatkan, .

0 = J'bqn

YR

Karena a # b untuk

m

# n rnaka

.

dv- J q n p 'dv ~

-

= j(b*%*b" dv l V " * b ~ d "v

Karena itu berlaku

= (b*- b)lPnopn dv =O

Mengingatpertaksamaan(3.2d).

yang berati bahwa p, ,p,, ortogonal.

secara umum

3.2.4 Kelengkapan dan Normalisasi Fungsi Eigen Fungsi eigen (suatu sistem) dari operator Hermite A, {cp,) dikatakan membentuk himpunan lengkap (completeset)jika fungsi sebarang 9, dari sistem bersangkutandapat diekspansi: atau mrd

b*=b

Suku pertama ekspansi berlaku bagi nilai eigen diskrit. sedangkan suku kedua bila kontinyu. Jika semua nilai eigen dari A diskrit, maka untuk V ternormalisasiberlaku

Jadi nilai eigen b riel.

ii. Sekali lagi menggunakan pers.(3.18) ( ~ ~ r n ~ ~ n ) = ( ~ r n , ~ ~ n )

dan dari dua persarnaaneigen untuk pm ,p,, serta nilaieigen

riel dari H, maka

(~~rn,~rn)=a(qrn,qn)

atau

I

Jadi koefisien mernenuhi persyaratan

Fisika Kuantum

Perumusan Urnum Mekanika Kuantum

Dengan cara yang sama, untuk semua nilai eigen kontinyu

J

I = Jc*(m)qLdm Jc(n)qndn dv = Ic*(m)c(n)dmdnIpiqndv =

IJc*(m)c(n)drndn~~~

Hasil pengukuranAadalah salah satu dari nilai-nilaieigennya, dan kernungkinanmendapatkan nilai tertentu a, jika sistem dalarn keadaan adalah IcmI2.Dengan demikian, arti fisis dad nilai-nilai eigen (dari) suatu observabel rnerupakan hasil yang mugkin dari pengukuran observabeltersebut. Sedangkan fungsi eigen cpm (dari A) rnerepresentasikan satu keadaan yang mana observael A rnernpunyai nilai tertentu a .,

(3.25b)

3.2.6 Fungsi Gelombang dalam Ruang Momentum

= jc(m)12dm

Secara umum, jika y dapat diekspansi seperti pers. (3.24), maka

Jadi, normalisasi dapat dilakukan dengan mernbuatjumlah seluruh modulus dari koefisien ekspansi sama dengan satu.

Fungsigelombang yang telah kita bahas merupakanfungsi gelombang dalam ruang koordinat. Berikut ini diuraikan representasi momentumbagi fungsi gelombang yaitu ungkapanfungsi gelornbang dalam ruang (variabel) momentum. Kaitan antara fungsi gelombang dalam ruang koordinat dan ruang momentum diberikan oleh transformasi Fourier (2.3').

3.2.5 lnterpretasi Fisis Perhatikan ungkapan ekspektasi dari A dalam keadaan y, dengan spektrurn diskrit dengan N = ( 2 r ~ ) " " . Pasangan transformasi Fouriernya diberikan oleh: = ( ~ c :.)A(?Cn

pn]dv Untuk kasus satu dimensi tak bergantung waktu,

= CCc:cn J9):Aqn dv rn

n

= Cx~:~.a.~." m

(3.25~1)

n 2

=CJcrn)am

dan

m

Jadi, harga ekspektasi (A) adalah rata-rata bobot nilai eigen

a, dari A.

dengan N' = (27rh)':, p = p,

.

P~rurnusanUmum Mekanika Kuantum

Fisika Kuantum

Selanjutnya dari definisi harga ekspektasi, didapatkan

Secara umum, operator f ( x ) di dalam ruang momentum diberikan oleh:

Perumusan di atas dapat diperluas ke dalam kasus tiga dimensi.

Contoh 3.5 : Sedangkan produk skalar p(p) sendiri memberikan hasil sesuai teorsma Farsevai,

Fungsi gelombang suatu saat dari partikel yang bergerak sepanjang sumbu x berbentuk :

e, untuk 1x1 2 a

Jyr* ( F ) ~ P dp ) = Jm' ( P I N 'JY (x)e-'"" dxdp

= J y ( x )Jp* ~ ( p )e"P"R dp n~

= jY(x)Y*(x)&

(3.28)

=1 Hasil(3.27) dan (3.28) mengisyaratkan bahwa q ( p ) dapat diinterpretasikan sebagai fungsi gelombang di dalam ruang momentum dengan Iyr(p)12merupakan kerapatan probabilitas untuk mendapatkan partikel berrnornentum p . Denyan demikian, dari hasil(3.27) tampak bahwa operator momentum p, dalam ruang momentum diberikzn oleh:

Tentukan : a. C jika cy ternorrnalisasi b. Fungsi gelombang momentum ~ ( p ) c. Rapat probabilitas P ( p ) dan grafiknya d. Harga rata-rata momentum ( p ) dengan (i) fungsi gelombang ruang koordinat (ii) fungsi gelombang ruang momentum Penyelesaian : a. cy(x)ternorrnalisasi,

Selanjutnya, dari (hukum) kuantisasipertama (3.6),

[x,p ] = ii'i didapztkanobservabel x dalam ruang momentum, yaitu:

jadi

Perurnusan Umum Mekanika Kuanturn

Fisika Kuantum

d. Nilaiduga ( p ) ,

Sehingga

untuk 1x1 5 a untuk 1x1 > a

10,

dv(x) karena - = O

dx

b.

.

Fungsigelombang q ( p ) ,dari pers. (2.3d)

=

-+Im-,J2a

-

1 (2) (

1

1

J z z ip

.-ip"

e-ialfi

ii) atau

dx

-""I"

'(i1

Karena p fungsi ganjilsedangkan sin -P fungsigenap.

nA

(ap / A )

c. Rapatprobabilitas P ( p )

3.3 PRlNSlP KETIDAKTENTUAN HEISENBERG 3.3.1 HubunganUmum Hargaekspektasiadalah rata-ratadaribeberapa pengukuran, dan pengukuranindividualakanmenyirnpang(deviate)dari harga rata-ratatersebut. Standartdeviasiyang didefinisikansebagaiakar kuadratdari rata-rata kuadratdeviasi,

Grafiknya

- ..

Gambar. 3.1 Probabilitasdalam ruangmomentum

dapat dianggap sebagai ukuran penyebaran dari nilai terukur. Penyebaran dalampengukuran A inidisebutketidaktentuan (uncertainties)di dalam pengukuran A . Sekarang dimisalkan ada dua observabel A dan B, dan dituliskan

Fisika Kuanturn

Perurnusan Umum Mekanika Kuantum

maka

L, = (r x

p),

I1

= XPY - YPX Sebagaimanapers. (2.Ma) atau (2.6). Hamiltonian parSkel bebas

11;

diberikan oleh :

1

1I 1

(I

11

(ii) BilaA = x, B = pxmenggunakankomutator (3.6), diperoleh Dengan demikian

(xpx)2 = (xpxxxpx

-

=X(P~X)P,

= x(xpx - ih)p,

= x 2 p ,2

-i h p ,



Dari dua contoh (i) dan (ii) di depan dapat disimpulkan bahwa (AB)2= A2B2jika dan hanya jika A dan B komut. Sedangkanjika A = r', B = F , maka

(F.b)2 = (XP, + YP, + ZP, =r

dengan L2 =

2

p - L2 + ih(F.2)

(3.16)

i.i adalah operator momentum sudut

-

Gunakan komutator (3.9), didapatkan (3.1 7 )

Uraikan pe~(3.16)sebagai latihan dan melemaskantangan.

Perlihatkan bahwa komponen z dari momentum sudut Lz sistem partikel bebas merupakan tetapan gerak. Penyelesaian:

Dari pers. (3.17)diperoleh

II

?

2

L=r'xJj

Karena p, tidak tergantung x dan y maka komut dengan L,. Uaian lebih lanjut memberikan

11 ;

-

__11_.1

Perurnusan Urnurn Mekanika Kuanturn

Fisika Kuantum

atau

Pertanyaannya,dapatkah diperoleh keadaanyang membuat dan keduanya no1atau A dan B keduanya rnempunyai nilai presisi? Untuk menjawab pertanyaan ini, tuliskan kuantitas

Menggunakanungkapan (3.32') didapat

Ungkapan (3.35) merupakan ungkapan urnum dari prinsip ketaktentuan untuk pasangan observabel A dan B. Sebagai contoh, A dan B adalah pasangan sekawan kanonik x dan p ,dengan

dan ajoint-nya:

[ x , p] = iA dengan h adalah parameter riel. Dari sifat operator dan sekawan Herrnitenya didapatkan

((a- i/lp))((a+ iaB))2 0

maka

(3.344

atau uraiannya

mengingat

atau

sebagaimana telah diperoleh pada bab terdahulu. Dibanding pers. (1.31) yang diperoleh dengan pendekatan semikualitatif, pers. (3.36) merupakan bentuk yang lebih mendasar dari prisip ketaktentuan Heisenberg. '

Ruas kiri pers. (3.34b) mempunyai harga minimumjika derivative terhadap h mernpunyai harga nol. Hal ini teQadijika

Contoh3.7:

Untuk harga h ini, pers. (3.34b) menjadi

Perhatikankernbali partikel yang terperangkap di dalam kotak satu dimensi sepanjang L. Fungsi gelombang keadaan dasar, keadaan tereksitasi pertarna dan keadaan tereksitasi kedua berturut-turut diberikan sebagai berikut:

Fisika Kuanturn

Hitung: a. h untuk setiap keadaan tersebut di atas. b. (p2)dan Ap ,dan c. periksa apakah hubungan Ax& 2 f h selalu dipenuhi.

Perurnusan Urnurn Mekanika Kuanturn

Integralterakhir dihitung menggunakan integral parsial dan didapatkan

Penyelesaian: Uraian kbih lanjut dari persamaan(3.32) M = memberikan :

Karena itu, untuk menghitung & dan Ap perlu dihitung. (x) ,(x2), (P) dan (p2)terlebih dahulu. Subtitusi kembali ke dalam (x2) didapatkan: a. Mengingat gambar 2.4b (terlampir), tampak bahwa kemungkinan untuk mendapatkan partikel di sebelah kanan % dan di sebelah kiri % adalah sama. Karena itu, rata-rata posisi (x) untuk semua tingkat keadaan secara kualitatif adalah %. Para pembaca silahkan membuktikan secara kuantitatif. Sedangkan (x2)..

Selanjutnya subtitusi ke dalam deviasi (3.37) didapatkan:

Fisika Kuanturn

Perurnusan Umum Mekanika Kuantum

Rinciannya, untuk p, ( x )

Sedangkan ( p ) ,mengingatalasan kualitatifjawabana, yaitu kemungkinan partikel bergerak ke kanan sama dengan kemungkinan partikel bergerak ke kiri maka rata-rata momentum ( p ) adalah no1untuk semua tingkat keadaan. Coba

Untuk p,(x)

perlihatkan. Karena itu

Untuk p3(x)

c. Gunakan solusi a dan b, b. Untuk deviasi momentum

=2nn qijzxz

j

- 2h2n2n2 sin L3 0 - (nnT Z ) ~

Tarnpak bahwa besarandi dalam tanda a k a r , / m > 1 untuk semua n Sehingga

(T

)' d~

-x

L

L

{.i;; -

.in($

x)}I

0

Jadi, ( p 2 )untuk q,,q2dan q3,berturut-tumt diberikan oleh

?r2ii2 4z2ii2 9n2h2 dan L2 '

L~

L2

.

untuk semua tingkat keadaan n.

3.3.2 Observabel Komut Unhrk kasus dua observabel A, B komut, maka mas kanan (3.35) ,101, sehingga M dan AB bisa nol. Dengan kata lain, terdapat keadaan dengan A, B rnempunyai nilai presisi dan terdapat fungsi eigen serempak (simultaneously) dari A dan 6. Tinjau fungsi eigen qo dari A ;

Fisika Kuantum

Jika A dan B komut, AB = BA, maka

Perumusan Umurn Mekanika Kuantum dan 2, dan setiap observabel 1 akan kornut dengan setiap observabel 2 karena mereka merupakan dua sistern yang berbeda. Harniltonian sistem gabungan ditulis H(1,2), rnisal Harniltonian ini dapat disusun sebagai penjumlahan dari Harniltonian dan subsistern kedua H2(2), subsistern pertarna H, (I)

atau

Jadi, pa dan Bq,, merupakanfungsi eigen dari A dengan nilaieigen sama, a. Tetapijika nondegenerasi, maka Bpa harus konstanta kali qa ,

Hal ini berarti q,,juga fungsi eigen dari B dengan nilai eigen b. Karena itu 9, , rnerupakan fungsi eigen serempak dari A dan B, dan biasa ditulis qa+ qab. Tetapi apa yang terjadi jika nilai eigennya degenerasi? Dari pers. (3.38b), tampak bahwa Bqa juga fungsi eigen dari A. Meskipundernikian, selalu mungkindipilih sejumlah r fungsi eigen (rrnerupakantingkat degenerasi dari nilai eigen a)yang kombinasi liniernya rnerupakanfungsi eigen dari B. Artinya, selalu bisa dipilih sekurnpulan lengkap dari fungsi eigen serernpak qabuntuk pasanganobservabel kornut A dan 6 .

3.4.1 Sistem lnteraktif Misalkan ada dua sistem yang masing-masing mempunyai sekumpulan variabel dinamisnya sendiri. Dua sistem tersebut bisa berupa satu elektron dan satu atom, atau dua atom dan seterusnya. Keadaan sistem tersebut dilabel dengan simbol 1

Gabungan dua subsistern ini merupakan dua sistem bebas atau dua sistem tak berinteraksi, keduanyatidak saling rnempengaruhi. Jika u(l), v(2) masing-masingfungsi eigen dari H , ( l ) dan

H2(2)

rnaka

dengan energi eigen

Dengan dernikian, fungsi eigen dari sistem gabungan yang terdiri dari dua subsistem takberinteraksi adalah perkalian dari masing-masing !f~ngsi eigen subsistem individual, sedangkan nilai eigennya adalahjurnlah masing-masing nilai eigen individual. Jiha kedua sistem tersebut berinteraksi maka H(1,2) tidak dapat diuraikan seperti pers. (3.40) melainkan:

Fisika Kuantum

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Jadi, Pdan Hkornut dengan Hin(1,2) sebagai bagian atau Harniltonian interaksi dan H, (I), H, (2) bagian Harniltonian bebas. Fungsi eigen sistern tidak lagi perkalian u(l)v(2).

Karena itu, P rnerepresentasikan suatu kuantitas kekal. Dari definisi (3.45) didapat,

3.4.2 Sistem Partikel ldentik Dua partikeldikatakan identikjika tidak ada efek ketika kedua partikel tersebut dipertukarkan. Lebih tepatnya, sernua kuantitas terarnati hams tidak berubahjika posisi, momentum, dan variabel dinarnis lainnya seperti spin dari partikel pertarna (secara kolektif ditulis 1) dipertukarkandengan variabel dinarnis dari partikel kedua (ditulis 2), yaitu

sehingga P = l Bentuk ini rnernberi nilai eigen + 1. Selanjutnya, untuk rnenghindarikerancuan sirnbol, sebagai fungsi eigen dari Parnbil Y + q ,dengan

Berkaitan dengan sistern partikel identik ini, didefinisikan operator pertukaran (exchaGe operator) P yang bekerja pada fungsi gelornbang ry(1,2) sebagai berikut:

Jika

Operator pertukaran P rnernpertukarkan partikel (1) dan partikel(2). Jika ry(1,2) rnerupakanfungsi eigen dari Harniltonian (3.44).

rnaka 2 2 = 1. Seperti telah disebutkan di depan nilai eigen 1= 1 atau ;1=-1. Berkaitan dengan nilai eigen ini, arnbil qsdan qa yang rnernenuhi hubungan:

rnaka penerapan P pada persarnaaneigen tersebut rnernberikan: Definisi (3.45) dan pers. (3.51) rnernberikanfungsi eigen q.y(231)= qs(192)

(3.52a)

yang disebutfungsieigen sirnetri (terhadap pertukaran partikel). Sedangkan

Fisika Kuantum

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

disebut fungsi eigen antisimetri. Fungsiyang memenuhi dua sifat di atas adalah

Hukum untuk dua partikel identik tersebut dapat diperluas untuk sistem Npartikel. Sebagai misal, pehatikanfungsi gelornbang sistem tiga partikel, jika partikelnya fermion,

Sebagai ilustrasi, perhatikanoperasi berikut

sedangkan untuk boson,

Jika ketiga partikel tersebut tidak berinteraksi satu dengan lainnya, maka y dapat dituliskan sebagai perkalianfungsi eigen individual

Hasil atau ungkapan bahwa P merupakan tetapan gerak mempunyai arti bahwa keadaan simetri setiap saat akan selalu simetri, dan keadaan antisimetri akan senantiasa tetap antisimetri. Kesimetrian ini merupakan hukum alam dan menjadi karakteristik dari partikel-partikel. Hukum simetri-antisimetri dirumuskan oleh Pauli dan menyatakan: 1) Sistem yang terdiri dari partikel-partikel identik ber-spin tengahan (1/2,3/2,5/2, ...) digambarkanoleh fungsi gelombang antisimetri. Partikel-partikel ini disebut fermion dan memenuhi statistik Fermi-Dirac. 2) Sistem yang terdiri dari partikel-partikel identik ber-spin bulat (0, 1, 2, ...) digambarkan oleh fungsi gelombang simetri. Partikel-partikel ini disebut boson dan memenuhi statistik Bose-Einstein.

dan seterusnya; dengan u(1) adalah keadaan u untuk partikel 1, dan seterusnya. Menggunakanungkapan (3.55), fungsi gelombang antisimetri (3.54a) dapat dituliskan sebagai:

Sedangkan fungsi gelombang simetri (3.54b) dapat diperoleh melal,*:determinan (3.56) dengan mengganti semua tanda minusmenjadi tanda plus. Perluasannya untuk N partikel, dapat diperoleh dengan mengarnbil Nfungsi eigen untuk Npartikel, u, ( j ) yang berarti partikel ke-j mempunyailmenempati keadaan ke-i. Fungsi

Fisika Kuantum

gelornbang antisirnetri q, diberikan oleh determinan,

Determinan(3.57) ini disebut determinan Slater. Jelas, dari deterrninan ini jika terdapat sedikitnya dua keadaan individual ui = uj maka qa lenyap. Artinya, tidak boleh ada dua partikel (atau lebih) yang menempati keadaan sarna; ha1 inilah yang dikenal sebagai prinsip larangan Pauli (exclusion principle of Pauli) untuk ferrnion. Seperti dalarn kasus tiga partikel, fungsi gelornbang sirnetri untuk boson diperoleh dari ekspansi determinan Slater dengan mengganti sernua tanda minus dengan plus. Konsekwensi penggantian tanda ini adalah jika ui = uj, (os tidak nol. Artinya, dua atau lebih partikel boson bisa menernpati satu keadaan yang sama. Berikut ini kita lihat konsekwensi penting dari prinsip larangan Pauli terhadap tingkat energi sistem boson dan sistern ferrnion. Misalkan ada Npartiel identik di dalarn kubus potensialberukuran L3.Menurut uraian pada subbab 2.3.4, didapatkan energi eigen untuk setiap partikel.

dan fungsi eigennya

Energi keadaan dasar bagi sistern dengan partikel-partikel

identik boson atau fermion mempunyai perbedaan Yang $anengat menyolok. Pertama, bila partikel-partikeltersebut adalah bosonnKanarena satu keadaan boleh ditempati oleh lebih dari satu b o s o n V a k a dalam keadaan dasar semua boson menernpatikeadaandemZngan .Energi r n a s i n g - m a s i n ! ~ a n ~ ~ ~ ~ ~ ~ energi terendah yaitu q = q(lylyl) boson adalah

Karena itu, energi total sistern yang terdiri dari Nbos~nidebentik tidak lain adalah N kali energi partikel individual

Kedua, bila N partikel tersebut adalah ferrnion misa alnya elektron. Karena elektron mempunyai spin-UP dan s~in-dbown, rnaka setiap titik (n,,n,,n3) diisi oleh dua elektron. D a l a m k ~ ~ ~ ~ ~ keadaan dasar, elektron mengisi keadaan-keadaan den9a -nergi paling rendah yang mungkin. Energitertinggi yang dite"Wwi olet, elektron ke-Ndalam keadaan dasar dikenal sebagaieneergi bemiMengingat setiap titik kisi bisa ditempati oleh dUa elehn R1. maka jumlah elektron di dalam seperdelapan bola berjejari ndal*lah.

Perurnusan Urnum Mekanika Kuantum

Fisika Kuantum

Atau, erlergi Fermi sistem diberikan oleh:

dengan p = N/ V merupakan kerapatan partikel per satuan volume. Energi total sistem merupakan jumlah seluruh energi yang mungkin,

N merupakan jumlah partikel pada titik-titik kisi di dalam seperdelapan bola bejejari R

Contoh 3.8 : Dua elektron tak berinteraksi berada dalam kotak potensial satu dimensi sepanjang L. Jika kedua spin elektron tersebut sama, tentukan : a. Fungsi gelombang keadaan dasar, dan b. Energi keadaan dasar siste dua elektron tersebut. Penyelesaian : a. Karena spin kedua elektron sama maka keadaan dasar yang mungkinadalah satu elektron di U = q, dan elektron lainnya di V = q2,dengan

atau

Sehingga energi total sistem elektron adalah:

Dan, fungsi gelombang keadaan dasar anti simetrinya : Atau, dalam ungkapan energi Fermi,

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Fisika Kuantum

llustrasi keadaan dua partikel dalam keadaan dasar,

b. Energi keadaan dasarnya :

(a)

Contoh.3.9 :

Gambar. 3.2 Keadaan Dasar Sistem Dua (a) fermion berspin sama, (b) boson

Ulangi contoh soal, jika kedua partikelnya adalah boson.

Penyelesaian : a. Keadaan dasar sistem ini adalah keadaan dengan kedua , partikel boson berada di tingkat paling bawah 9,

Ingat, secara umum posisi kedua boson berbeda, x, Jadi,

b. Energinya,

(b)

;t x , .

Contoh 3.10 Lima belas elektrondengan spin-up dan spin-down yang tidak saling berinteraksiberada pada perrnukaan potensial dua dimensi L x L. Dinding tepi permukaan berpotensial tidak berhingga, sedangkan potensialdi dalam adalah nol. Sistem dalam keadaan dasar.

--"

Fisika Kuantum

Tentuka~ a. Sernua tingkat energi yang diternpati elektron b. Energi Ferrni sistern. Penyelesaian: a. Serupa dengan kotak potensial pada pasa12.3.4 rnaka tingkat energi setiap elektron bermassa medi dalam kotak

Keadaan eigennya setiap elektron

Dalarn keadaan dasar elektron-elektronmenata diri dengan rnenempati keadaan dengan tingkat energi paling rendah. Karena elektron rnempunyai dua spin berbeda maka setiap tingkat dapat diternpati oleh dua elektron. Dengan dernikian, energi kelima belas elektron tersebut.

---

- -

-

--

-

Perumusan Umum Mekanika Kuantum

Jurnlah elektron pada dua keadaanterakhir dapat dipertukarkan. Energi total sistern dalarn keadaan terendah adalah jumlah selumh energi di atas, yaitu E,, = 119 E, . b. Energi Fermi adalah energi elektron terluar, yaitu E, = 13 E,

I I

Atom Htdrogen

Pada bab ini akan diuraikan solusi dari persamaan Schrodinger untuk sistem fisis riel atom hidrogen dan mengkaji berbagai konsekuensinya. Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleusdan satu elektron yang mengitarinya

4.1 PERSAMAANSCHRODINGERATOM HIDROGEN Massa proton mpjauh lebih besar dibanding masa elektron me,mp= 1836me.Di dalam pembahasan pada bab ini dilakukan penyederhanaanberupa asumsi proton diam di pusat koordinat dan elektron bergerak mengelilinginyadi bawah pengaruh medan atau gaya Coulomb.

Atom Hidrogen

Fisika Kuantum

Mengingat sistem atom hidrogen mempunyai sirnetri bola, analisis menjadjlebihsederhana bila operator ~2 diungkapkan dalam koordinat bola. Di dalam koordinat bola (r,6 ,p) , pers(4.4) rnenjadi

, {z(r 3 ar ) sins as (

K L Zme r 2

l

a

.

a y - l a- y

as)

sins am'}

-

- ), (4:0 1 r

, ,=

Gambar. 4.1. Posisi relatif antara proton dan elektron Pendekatanyang lebih baik dilakukan dengan memandang kedua partikel proton dan elektron berotasidi sekitar pusat massa bersarna yang berada (sedikit) di dekat pusat proton. Tetapi, sekali lagi untuk penyederhanaan, efek ini diabaikan di sini. Karena proton diangap diam, maka kontribusienergi sistem hanya diberikan oleh elekron yaitu energi kinetik

dan energi potensial

Selanjutnya, untuk mendapatkan solusi bagi pers.(4.5) di atas dilakukan pemisahan variabel v ( 7 )= ry(r,8,p) sebagai berikut

Subtitusi ungkapan (4.6) ke dalam pers.(4.5) kernudian dikalikan (2m,r2/h2) dan dibagi ungkapan (4.6) didapatkan

Dari pers.(4.7) ini tampak bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung kri-jxi r, suku kedua dan ketiga hanya

yaitu

Dengan dernikian, persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen

bergantung sudut 8 dan y, . Penjumlahan suku-suku yang hanya bergantung pada jarijari dan dua sudut ini akan selalu sarna dengan no1 untuk sembarang nilai r, 8 dan y, jika masing-masing suku sama dengan kontanta. Seperti akan jelas pada pers.(4.3d), tefapkan keduanya sama dengan tetapan c = fl(l + 1). Suku yang hanya bergantungjari-jari menjadi

Fisika Kuantum

Atom Hidrogen

L~(z:) R dr r - +-2 ~ $ z ( ~ + ~ ) = t ( t + l ) (4.Bal 4ns,r

s i n O d ( sine-d@) +t(e+l)sin2B=mZ O de atau, setelah dikalikan dengan @/sinZ8 diperoleh

atau

('

dr

z)

r -

+-2;+I1>Karena itu, operator a disebut sebagai operatortanggapenurun In) + n - 1) , a+ operator tangga penaik in) +In + 1) sedangkan

disebut operatorjumlah atau operator bilangan. Didalam ungkapan operator tangga ini, persamaan eigen bagi osilator harmonik menjadi

Contoh 5.7 Keadaan Eigen. Tentukan a. komutator antara 8 dan a b. komutatorantara fi dan a+ c. hubunganantara keadaantereksitasi In) dan keadaanvakum

10) Penyelesaian: a. Dari komutator tiga operator

dengan

Selanjutnyadefinisikan keadaan dasar atau keadaanvakum (0) yang memenuhi b. Dengan cara serupa dan

Metoda Operator

Fisika Kuantum

c. Terapkan pers(5.89) untuk operator kreasi n kali berturutturut dan

2 parameter kecil.

Penyelesaian: a. Ortonormalitas dan operasi a, a+terhadap In), diperoleh komponen matrtiks

Bentuk eksplisitnya

Sehingga,

Serupa, kornponen matriks

Contoh5.8 Representasi Matriks. Berikan representasimatriks dari a. Operator a dan a+ b. Hamiltonian osilator harrnonik c. Hamiltonianosilator harmonik terganggu

dengan

Bentuk eksplisitnya

I

I

Metoda Operator

Fisika Kuantum

b. Komponen matriks hamiltonian osilator harrnonik

Bentuk eksplisitnya

c. Untuk mendapatkan suku kubik dalam hamiltonian, pematikan hubungan

dan

Elemen matriks bersangkutan

Atau

Kedua persamaan ini memberikan

Operasi lebih lanjut Dengan demikian, Hamiltonian osilator harrnonik terganggu

Teori Gangguan

Bentuk-bentukdi depan diberoleh menggunakan basis

Dari contohcontoh terdahulu kita dapatkan hanya sedikit sistem fisis yang dapat diselesaikan secara eksak yaitu surnur potensial takhingga, atom hidrogen dan osilator harmonik. Dalarn banyak kasus, solusi hanya dapat diperoleh menggunakan pendekatan, Salah satu solusi pendekatan tersebut adalah teori gangguan.

6.1 GANGGUAN STASIONER 6.1 .I Keadaan Nondegenerasi Di dalam teori gangguan, Harniltonian sistem diuraikan menjadi dua bagian utama yaitu bagian tanpa gangguan dan bagian atau suku pengganggu. Suku pengganggu rnasih diklasifikasikan menjadi dua yaitu gangguan stasioner atau takbergantung vv.!ktu dan gangguan yang berubahterhadap waktu. Pertama akan dibahas gangguan yang tak bergantung waktu. Hamiltoiiian sistem dapat dituliskan dalam bentuk umurn

H = H , +AH, dengan ;1 parameter kecil

(6.1)

Fisika Kuantum

Teori Cangguan

Hamiltonianyang telah dipisah dari bagian pengganggu hams diketahui solusi eigennya, misalkan

Hoqn= E,"%

(6-2)

dengan fungsi eigen rnernenuhi ortonormalitas

Pada pernbahasansekarang k ibatasi pada kasus nondegenerasi yaitu

E; untuk

#

qmn

E,"

cnk ( a ) = LC;; + a2c;:) + a3c&) +. -

(6.8)

Sehingga

I,= qn+ act:," pk+ A' ktn

xc;:'(Dk 2 +

ktn

~Li'qk

+.

..

(6.9)

ktn

Serupa dengan fungsi eigen, nilai eigen yang memenuhi kondisi (6.5) diuraikan dalarn deret

Subtitusi ekspansi (6.9) dan (6.10) ke dalam pers(6.4) diperoleh

m*n

Sekarang, dirnisalkan Harniltonianmernenuhi persamaan eigen

Maka dalarn limit A + 0 pem(6.4) mereduksi rnenjadi pem(6.2) dengan

Fungsi eigen yang memenuhi sifat tersebut dapat berbentuk

Persamaan di atas akan dipenuhi jika semua komponen dari sarna. Pengalian masing-masing suku memberikan, untuk komponen l o ,

yang konsistendengan pem(6.2). Sedangkan unatk kornponen A

x

x0

ktn

c:;qk + Hlqn= E,"

c;:)qk+ E ~ ) A

ktn

(6.1 3)

atau dengan menerapkanpem(6.2) rnenjadi Kondisi (6.5) ;Z + 0 , y n + q, dipenuhi oleh ktn

Arnbil N(A) = 1 dan

ktn

Selanjutnya lakukan kali skalar dengan q, dan menggunakanortonormalitas (6.3) diperoleh, mas kiri

Fisika Kuantum

Teori Gangguan

Eixc:~)(qn,qk)+(qn,Hl~n)=~E,"c:l)6nk k tn

+(% I H l l h )



Selanjutnya komponendari l2

x~

ktn

H,

x

2+ H', c!;'tpk ~ ~= E,"CC!:'pk + E,!" k+n

ktn

dan ruas kanan

E."

x

x

C$'cp,

+ E;)qn

ktn

(6.16)

atau

)

(qn3 q k ) + ( q n 9 ' , ! ' ) ~ n = E;

c::)

ktn

ktn

x

c:i)6nk

ktn

+

(qn

I

PJI

)

E,"

Cc!;)vk +H , kt"

x

C c;:)vk+ E:) Cc : ; )+~E;)v,, ,

= E,"

ktn

Ptn

ktn

(6.16a)

Seperti proses sebelumnya, lakukan perkalianskalar dengan p,, ,dari ruas kindiperoleh

Sehingga

E ; ~ c : )I (%~) .+ ~ C ! ?l (~~, l~p . ) =E ; x c : )+ ~ X ( "~I ~ ~~ I " ) ( ~ ~ kin

lnilah energi koreksi orde pertarna dari energi keadaan ke-n. Selanjutnya, lakukan perkalian skalar pada pers.(6.13a) dengan pTuntuk m # n . Ruas kiri

km

A*"

ILI

=o+C

E:

(PA ) t H I I ~ m ) ( ~ n

E:

kin

- E,"

IH,I%)

) . H l l ~ k )

- E,"

Ruas kanan memberikan

~ , " z ~ : : ) ( q m 3 q k ) + ( q m , ~ I q n ) = ~ ~ , " ~ :+(qm ~ ) ~ ml Hkl l q n ) ktn

ktn

Sehingga didapatkanenergi koreksi orde dua dari tinykat energi ke-n

dan mas kanannya

E,"

c

( ~ m q, k

)+( q n

9

' : " ~ n

ktn

) = E:

x

c::)6mk

ktn

+ E:') (%

1

q n )

E:

=z

(qk ~

ktn

~

I

~

~ l Hnl l q) k )(

~

n

E," - E,"

Dari dua persarnaanterakhir ini diperoleh (1) 'nm

- (qm IHIlqn) -

E," - Ez



Kor'eksi untuk orde lebih tinggi dapat dilakukan dengan prosedur serupa.

~

I

Teori Cangguan

Fisika Kuantum

Contoh 6.1 Model Matriks. Hamiltonian suatu sistem diberikan oleh matriks berikut:

Jadi energi eigen tanpa gangguan

E," = 0 ,

E," = 1 ,

E; = 2

Fungsieigen bersangkutan

Tentukan: a. Solusi eigen tanpa gangguan b. Koreksi energi orde pertama c. Koreksi energi orde dua.

b. Koreksi energi orde pertama, dari pers(6.14)

Penyelesaian:

a. Hamiltonian dapat diuraikan menjadi

Dengan cara yang sama maka

c. Koreksi energi orde kedua, dari pers.(6.17)

Nilai eigen dari H , ,diperoleh dari persamaan sekular -

~;)r

KE;E,"I H , -(E,"~ ; ) ( 2+ I(E; E;I H , 1E," -

Dengan cara yang sama

I 1

Fisika Kuantum

E22 =

Teori Cangguan

I(", I S lEr)12 + I H I IqI2- -E," - EP E," - E," 2 -

1

Dari hasil-hasil perhitungan di depan, energi sistem sampai koreksiorde dua

Gambar6.2 Sumur Potensial Dasar Tidak Rata Tentukan energi partikel sampai orde pertama tonjolan dasar

sumur.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan persoalan di atas kita gunakan sumur

potensial satu dimensi dengan gangguan dasar sumur miring.

Hamiltoniandiberikan oleh

h2 d 2

L +Vo, O < x < -

2

7 -

2m dx2 ' Gambar 6.1 Spektrum Energi

Contoh 6.2 Sumur Potensial Dasar Tidak Rata. Partikel berrnassa m terperangkapdalam sumur potensial sebagai berikut

yang dapat dipisah menjadi

dengan

L , dengan Vo