Fisica

J Jooh hn nn ny yF Frra an nzz R Rííooss M Moon ntteerroo

P Poottoossíí –– B Boolliivviiaa 2 20 01111

D DE EPPÓ ÓSSIIT TO OL LE EG GA AL L N Nºº 11--223311//22000099

PPeeddiiddooss aa:: T Teellééffoonnoo:: 6622 –– 2277660044 C Ceelluullaarr:: 7766445588449944 –– 7700446644884422 E Em @hhoottm maaiill..ccoom m maaiill.. JJoohhnnnniittoo__@

L meennttee pprroohhiibbiiddaa llaa Laa pprreesseennttee eeddiicciióónn eess pprrooppiieeddaadd ddeell aauuttoorr yy qquueeddaa ttoottaallm rreepprroodduucccciióónn ttoottaall oo ppaarrcciiaall ddee llaa oobbrraa,, ppoorr ccuuaallqquuiieerr m meeccáánniiccoo oo eelleeccttrróónniiccoo,, meeddiioo m iinncclluussiivvee ppoorr ffoottooccooppiiaa uu oottrroo ssiisstteem maacceennaam miieennttoo ddee iinnffoorrm maacciióónn ssiinn llaa maa ddee aallm pprreevviiaa aauuttoorriizzaacciióónn eessccrriittaa ddeell aauuttoorr..

Wxw|vtàÉÜ|t T Å| ytÅ|Ä|t ç t Å| {|}É ;><

Prólogo EEll pprreesseennttee tteexxttoo bbaassaaddoo eenn pprrooggrraam maass aaccttuuaalliizzaaddooss pprreetteennddee ccoonnttrriibbuuiirr yy ddaarr rreessppuueessttaa aa uunnaa ddee llaass pprroobblleem mááttiiccaass m maass sseennttiiddaass ddee nnuueessttrraa rreeaalliiddaadd yy llaa eedduuccaacciióónn ddeell nniivveell sseeccuunnddaarriioo;; llaa rreeaalliiddaadd nnooss eexxiiggee aacccciioonneess pprrooppoossiittiivvaass ee iinnnnoovvaaddoorraass nnoo ssoolloo ccoom miieennttoo tteeóórriiccoo ssiinnoo ccoom moo aacccciióónn pprrááccttiiccaa;; moo ppllaanntteeaam qquuee ssee ppuueeddeenn ddeessaarrrroollllaarr eenn nnuueessttrraass aauullaass,, pprroom moovveerr pprroocceessooss eedduuccaattiivvooss tteeóórriiccooss pprrááccttiiccooss,, qquuee ssoonn uunn ddeesseeoo,, uunnaa ddeem maannddaa ddee nnuueessttrrooss eessttuuddiiaanntteess yy ssoocciieeddaadd;; ddee ccaarraa aa uunnaa ccoonnssttrruucccciióónn yy ffoorrttaalleecciim miieennttoo ddee llaa cciiuuddaaddaannííaa ccrrííttiiccaa yy pprrooppoossiittiivvaa.. EEll tteexxttoo ccoom mpprreennddee ddiiffeerreenntteess ccaappííttuullooss ddoonnddee ppooddrráá eennccoonnttrraarr,, ddaattooss qquuee ssee uuttiilliizzaann ccoonn m maayyoorr ffrreeccuueenncciiaa,, ccoonntteenniiddooss ddeessaarrrroollllaaddooss,, ccoonn ddeeffiinniicciioonneess,, ggrrááffiiccooss yy ssuuss rreessppeeccttiivvooss eejjeem mppllooss;; aabbaarrccaa pprriinncciippaallm meennttee:: ppaarrttee tteeóórriiccaa,, ffoorrm mppllooss ddee eejjeerrcciicciiooss yy aauuttoo muullaarriiooss,, pprroobblleem maass rreessuueellttooss yy pprrooppuueessttooss,, eejjeem eevvaalluuaacciióónn,, pprreeffeerreenntteem meennttee ccaaddaa ccaappííttuulloo ssee ttrraabbaajjaa eenn eell ssiisstteem maa iinntteerrnnaacciioonnaall ((SSII)) ddee uunniiddaaddeess,, aaddeem maalleess mááss ssee pprrooppoonnee uunn rreeddoonnddeeoo ddee ddeecciim hhaassttaa llaa cceennttééssiim mpprreennddeerr llooss ccoonnoocciim maa;; qquuee aayyuuddaarraann aa aaddqquuiirriirr yy ccoom miieennttooss eenn eell pprreesseennttee ccuurrssoo ccoonn m maayyoorr ffaacciilliiddaadd.. SSee eessppeerraa qquuee eell pprreesseennttee tteexxttoo sseeaa ddee m muucchhaa uuttiilliiddaadd ppaarraa llaa pprrooffuunnddiizzaacciióónn ddee aasseennttaarr ccoonnoocciim miieennttooss ssóólliiddooss ddee llaass ddiiffeerreenntteess tteem mááttiiccaass yy eell eessffuueerrzzoo ssiirrvvaa ppaarraa llaa ccoonnssttrruucccciióónn ddee uunnaa eedduccaacciióónn ddee ccaalliiddaadd ccoonn eeqquuiiddaadd.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rííooss M Moonntteerroo E Enneerroo,, 22001111

ÍÍnnddiiccee C Caappiittuulloo II V Veeccttoorreess 1.1. Magnitudes escalares 1.2. Magnitudes vectoriales 1.3. Definición de vector 1.4. Elementos de un vector 1.5. Clasificación de vectores

2 2 2 2 2

V Veeccttoorreess ccoolliinniiaalleess 1.6. Concepto 1.7. Operaciones con vectores 1.7.1. Suma de vectores 1.7.1.1. Suma de vectores del mismo sentido 1.7.1.2. Suma de vectores de sentido contrario 1.8. Multiplicación de vectores 1.8.1. Producto de un vector por un escalar 1.8.2. Producto escalar de dos vectores 1.8.3. Producto vectorial de dos vectores Problemas resueltos

3 3 3 3 4 4 4 5 5 5

V Veeccttoorreess ccoonnccuurrrreenntteess 1.9. Concepto 1.10. Método gráfico 1.10.1. Método del paralelogramo 1.10.2. Método del polígono 1.11. Resta de vectores 1.12. Métodos analíticos 1.12.1. Teorema de Pitágoras 1.12.2. Teorema de los cósenos 1.13. Sumar dos o más vectores concurrentes 1.13.1. Suma de vectores angulares de 90º 1.13.1.1. Solución grafica método del paralelogramo 1.13.1.2. Solución grafica por el método del triangulo 1.13.1.3. Solución analítica 1.13.2. Suma de dos vectores angulares distinto a 90º 1.13.2.1. Solución grafica método del paralelogramo 1.13.2.2. Solución grafica método del triangulo 1.13.2.3. Solución analítica 1.13.3. Suma de dos o más vectores que forman ángulos distintos 1.14. Descomposición de un vector 1.15. Componentes de un vector Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 11 11 12 15 16

C Caappiittuulloo IIII E Essttááttiiccaa 2.1. Concepto 2.2. Equilibrio 2.3. Clases de equilibrio 2.3.1. Equilibrio estático 2.3.2. Equilibrio dinámico 2.4. Fuerza 2.5. Momento de una fuerza 2.5.1. Unidades 2.6. Momentos de barras y superficies 2.7. Convención de signos 2.8. Cupla 2.9. Relación de Stevin 2.10. Condiciones de equilibrio 2.10.1. Primera condición de equilibrio 2.10.2. Segunda condición de equilibrio 2.11. Centro de gravedad 2.12. Diagrama de cuerpo libre 2.12.1. Cuerpo suspendido 2.12.2. Cuerpo apoyado en una superficie 2.12.3. Cuerpo apoyado y suspendido Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 21 21 22 26 28

C Caappiittuulloo IIIIII C Ciinneem mááttiiccaa 3.1. Consideraciones generales 3.2. Concepto 3.3. Desplazamiento 3.4. Distancia 3.5. Trayectoria 3.6. Clases de trayectoria 3.6.1. Rectilíneo 3.6.2. Curvilíneo 3.6.2.1. Circular 3.6.2.2. Parabólico 3.6.2.3. Elíptico 3.7. Movimiento 3.8. Clases de movimiento 3.8.1. Movimiento de traslación 3.8.2. Movimiento de rotación 3.8.3. Movimiento de vibración 3.9. Equilibrio

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31

M Moovviim mee miieennttoo rreeccttiillíínneeoo uunniiffoorrm 3.10. Definición 3.11. Velocidad uniforme 3.12. Elementos del movimiento uniforme 3.12.1. Distancia 3.12.1.1. Unidades 3.12.1.1.1. Sistema internacional 3.12.1.1.2. Sistema cegesimal 3.12.2. Tiempo 3.12.2.1. Unidades 3.12.2.1.1. Sistema internacional 3.12.3. Velocidad 3.13.3.1. Unidades 3.12.3.1.1. Sistema internacional 3.12.3.1.2. Sistema cegesimal 3.13. Grafica distancia tiempo 3.14. Conclusiones 3.15. Grafica velocidad tiempo 3.16. Conclusiones 3.17. Paso de grafica posición tiempo a grafica velocidad tiempo Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 34 34 35 35 36 40 41

C Caappiittuulloo IIV mee vvaarriiaaddoo VM Moovviim miieennttoo rreeccttiillíínneeoo uunniiffoorrm 4.1. Definición 4.2. Elementos del M.R.U.V. 4.2.1. Distancia 4.2.2. Tiempo 4.2.3. Velocidad inicial 4.2.4. Velocidad final 4.2.5. Velocidad media 4.2.6. Aceleración 4.2.6.1. Unidades 4.2.6.1.1. Sistema internacional 4.2.6.1.2. Sistema cegesimal 4.3. Clases del M.R.U.V. 4.3.1. Movimiento uniformemente acelerado 4.3.2. Movimiento uniformemente retardado 4.4. Formulas 4.4.1. Formula de la velocidad final 4.4.2. Formula del desplazamiento 4.4.3. Formula del cuadrado de las velocidades 4.5. Grafica de la velocidad tiempo 4.5.1. Conclusiones

43 43 43 43 43 43 43 43 44 44 44 44 44 44 44 44 44 45 45 46

4.6. Grafica posición tiempo Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

46 47 47 48 51 52

C Caappiittuulloo V VC Caaííddaa lliibbrree ddee llooss ccuueerrppooss 5.1. Consideraciones generales 5.2. Ecuaciones del movimiento de caída libre Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

54 54 55 55 56 60 61

C Caappiittuulloo V VII M Moovviim miieennttoo eenn ddooss ddiim meennssiioonneess 6.1. Movimiento compuesto 6.2. Principio de independencia de movimientos 6.3. Ecuaciones del movimiento compuesto 6.4. Movimiento parabólico 6.5. Características del movimiento parabólico 6.5.1. Calculo de la velocidad horizontal 6.5.2. Calculo de la velocidad vertical 6.5.3. Calculo de la velocidad en cualquier instante “t” 6.5.4. Calculo del tiempo para alcanzar la altura máxima 6.5.5. Calculo de la altura máxima 6.5.6. Calculo del alcance horizontal Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

63 63 63 63 64 64 64 64 64 64 64 65 65 66 72 74

C Caappiittuulloo V VIIII M Moovviim miieennttoo cciirrccuullaarr 7.1. Movimiento circular uniforme 7.2. Periodo 7.3. Frecuencia 7.4. Velocidad lineal o tangencial 7.4.1. Unidades 7.5. Velocidad angular 7.5.1. Unidades 7.6. Radian 7.7. Relaciones entre la velocidad lineal y la velocidad angular 7.8. Fuerza centrípeta 7.9. Fuerza centrifuga

76 76 76 76 77 77 77 77 77 77 78

Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

79 79 80 82 83

C Caappiittuulloo V VIIIIII D Diinnáám miiccaa 8.1. Primera ley de Newton o principio de inercia 8.1.1. Fuerza 8.1.2. Masa inercial 8.2. Segunda ley de Newton o principio de masa 8.3. Tercera ley de Newton o principio de acción y reacción 8.3.1. Peso y masa 8.3.1.1. Unidades de peso y masa 8.3.1.2. Equivalencias 8.4. Unidades de fuerza 8.4.1. Sistema internacional 8.4.2. Sistema cegesimal 8.4.3. Sistema gravitatorio técnico terrestre 8.4.5. Sistema ingles 8.5. Equivalencias Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

85 85 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 87 87 88 88 89 92 93

C Caappiittuulloo IIX XR Roozzaam miieennttoo 9.1. Definición 9.2. Fuerza de rozamiento 9.3. Clases de rozamiento 9.3.1. Clases de rozamiento seco 9.3.1.1. Rozamiento por deslizamiento 9.3.1.2. Rozamiento por rodadura o pivote 9.4. Leyes de la fuerza de rozamiento por deslizamiento 9.5. Características de las leyes de la fuerza de rozamiento 9.6. Rozamiento estático 9.6.1. Coeficiente de rozamiento estático 9.7. Rozamiento cinético 9.7.1. Coeficiente de rozamiento cinético Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

95 95 95 95 95 95 95 95 95 96 96 96 97 97 97 103 104

C Caappiittuulloo X X TTrraabbaajjoo,, ppootteenncciiaa yy eenneerrggííaa TTrraabbaajjoo 10.1. Definición 10.2. Unidades 10.2.1. Sistema cegesimal 10.2.2. Sistema internacional 10.2.3. Sistema técnico 10.3. Equivalencias Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

106 106 106 106 106 106 107 107 107 109 110

PPootteenncciiaa 10.4. Definición 10.5. Unidades de potencia 10.5.1. Sistema cegesimal 10.5.2. Sistema internacional 10.5.3. Sistema técnico 10.6. Equivalencias Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

110 110 110 110 110 110 111 111 111 113 113

E Enneerrggííaa 10.7. Definición 10.7.1. Energía potencial 10.7.2. Energía cinética 10.8. Ley de la conservación de la energía Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

114 114 114 114 114 114 115 117 118

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss M Moonntteerroo

Capítulo I Vectores

U Unn ssoolloo nnúúm meerroo nnoo eess ssuuffiicciieennttee ppaarraa ddeessccrriibbiirr aallgguunnooss ccoonncceeppttooss ffííssiiccooss;; eell ddaarrssee ccuueennttaa ddee eessttee hheecchhoo sseeññaallóó uunn aavvaannccee iinndduuddaabbllee eenn llaa iinnvveessttiiggaacciióónn cciieennttíífiiccaa..

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo V Veeccttoorreess 11..11.. M Maaggnniittuuddeess eessccaallaarreess..-- Las magnitudes escalares pueden ser numéricas o algebraicas, son aquellos que quedan determinados con un número y el nombre de la unidad de la medida empleada. Estos son: longitud, volumen y superficie, etc. 11..22.. M Maaggnniittuuddeess vveeccttoorriiaalleess..-- Las magnitudes vectoriales, se definen por medio del valor numérico de su medida denominado intensidad o módulo, junto a su dirección y sentido. Para determinar magnitudes como la velocidad, aceleración, fuerza es necesario indicar los factores citados mediante la representación de un segmento orientado al que se denomina vector. 11..33.. D Deeffiinniicciióónn ddee vveeccttoorr..-- Vector es una magnitud, cuya determinación exige el conocimiento de un punto de aplicación u origen, módulo, dirección y sentido; indicado por un segmento rectilíneo. 11..44.. E meennttooss ddee uunn vveeccttoorr..-- Un Elleem vector está determinado por su longitud que representa la intensidad o módulo de la magnitud vectorial, la recta a la que pertenece indica la dirección y la flecha indica su sentido, consta de los siguientes elementos: i PPuunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn uu oorriiggeenn,, es uno de los extremos del vector, que representa el origen de la flecha. En la fig. es el punto o. i SSeennttiiddoo,, es el extremo opuesto al origen y se indica por una flecha, o al lugar al que se dirige el vector. En la fig. se representa por a. iM Móódduulloo,, es la longitud del vector o de la flecha. En la fig. se representa por m. FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

VVeeccttoorreess iD Diirreecccciióónn, está definida por la recta que contiene al vector. En la fig. esta representado por la recta bc. m

b

c

o

a

Para representar un vector se toma en cuenta lo siguiente: 11.. Tomando en cuenta la letra del origen y el sentido del vector con una flecha superpuesta. Así el vector oa de uuur la figura se representa por: oa . 22.. Actualmente se representan con letras negritas o góticas, sin superponerles la flecha, la cual se utiliza únicamente cuando se nombra al vector por las letras que indican su origen y su extremo. Así el vector de la figura es: oa. 33.. También se representa por una sola letra ya sea mayúscula o minúscula; el vector de la figura es: A; a. 11..55.. C Cllaassiiffiiccaacciióónn ddee vveeccttoorreess..-- Se distinguen los siguientes: iE Eqquuiippoolleenntteess, vectores paralelos, del mismo sentido, módulos iguales. Dos vectores de módulo idéntico y sentido contrario forman un par de vectores.

M

N

O1

O2

P O1

O2

Par de vectores Q

iO Oppuueessttooss,, son dos vectores iguales, misma dirección pero de sentido contrario u opuesto. 22

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess

V Veeccttoorreess ccoolliin neea alleess

a

11..66.. C Coonncceeppttoo..-Los vectores colineales son aquellos que tienen sus líneas de acción sobre una misma recta.

b

iL Liiggaaddoo,, vector que tiene; dirección, a b c intensidad, sentido y punto de aplicación invariable e inamovible. 11..77.. O Oppeerraacciioonneess ccoonn vveeccttoorreess:: 11..77..11.. SSuum maa ddee vveeccttoorreess..-- Sumar vectores es determinar el vector resultante de varios vectores, se iD Deesslliizzaannttee,, vector que puede presentan los siguientes casos: trasladarse a cualquier punto de la ) ) Vectores con la misma dirección: recta en la que se halla, cuyo origen 4 4 Vectores con el mismo sentido. puede ser cualquier punto de su recta soporte. 4 4 Vectores con sentido contrario. c

11..77..11..11.. SSuum maa ddee vveeccttoorreess ddeell m miissm moo sseennttiiddoo..-- La suma o resultante de éstos O O’ vectores es la suma de los componentes de la misma dirección y sentido. iL Liibbrree,, vector cuyo origen es un Ejemplo: sean los siguientes vectores: punto cualquiera, es decir que se puede trasladar paralelamente a sí a b c mismo. Ejemplo el momento de un par de fuerzas aplicadas a un cuerpo Hallar la resultante de: II.. a + b + c; rígido. IIII.. b + a + c; donde: a = 3 N, b = 5 N, c = 4 N. b

b

a

IIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa..-- Dibujar los vectores uno a continuación de otro.

a O

a

O’

iV Veeccttoorreess eenn rroottaacciióónn,, vectores que son magnitudes vectoriales ligadas a un movimiento de rotación. O

a

b

O

33

b

c

R IIbb.. SSoolluucciióónn nnuum méérriiccaa..-- Para la solución numérica considerar positivos vectores con sentido a la derecha o hacia arriba; considerar negativos los vectores con sentido a la izquierda y hacia abajo. FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo a=3N R=a+b+c b=5N R=3N+5N+4N c=4N R = 12 N. IIIIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa::

VVeeccttoorreess IIIIbb.. SSoolluucciióónn nnuum méérriiccaa:: d = -7 m e= 5m

R=e+d R = 5 m + (-7 m) R=-2m 11..88.. M b a c Muullttiipplliiccaacciióónn ddee vveeccttoorreess..-Hasta aquí hemos visto que los vectores tienen sentido, dirección y R magnitud, por lo tanto los productos vectoriales no pueden seguir las IIIIbb.. SSoolluucciióónn nnuum méérriiccaa:: mismas reglas que los productos a=3N R=b+a+c escalares o algebraicos. b=5N R=5N+3N+4N Encontramos útil definir tres clases de c=4N R = 12 N. aplicaciones de multiplicación de 11..77..11..22.. SSuum maa ddee vveeccttoorreess ddee sseennttiiddoo vectores: ccoonnttrraarriioo..-- La resultante de éste Ó Ó Producto de un vector por un escalar sistema de vectores es igual a la Ó Ó Producto escalar de dos vectores diferencia de la misma dirección y Ó Ó Producto vectorial de dos vectores sentido del mayor. 1.8.1. Producto de un vector por un Ejemplo.- Sean los siguientes vectores: 1.8.1. Producto de un vector por un eessccaallaarr..-- El producto de un escalar K y d e de un vector a, es otro vector, cuyo módulo es el producto del vector por el I I . . I Hallar la resultante de: I. d + e II. escalar y tiene la misma dirección y e + d; siendo d = 7 m; e = 5 m. sentido que el primer vector. IIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa..-Dibujar Se escribe K*a y se define como un nuevo vector cuya magnitud es K veces superponiendo los vectores. mayor que la magnitud de a, el nuevo d vector tiene el mismo sentido que a, si K es positivo; y de sentido opuesto, si K es negativo. e Ejemplo: Se tiene el vector a = 3 u. R Calcular el producto 4*a IIbb.. SSoolluucciióónn nnuum méérriiccaa:: aa.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa..-- Se dibuja el vector el número de veces que indica el d = -7 m R=d+e e= 5m R = -7 m + 5 m escalar; K = 4 R=-2m 4a a IIIIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa::

e

R

bb.. SSoolluucciióónn nnuum méérriiccaa:: d

R FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

a=3u

R=K*a R=4*3u R = 12 u 4 4

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess 11..88..22.. PPrroodduuccttoo eessccaallaarr ddee ddooss vveeccttoorreess..-- Llamado también producto interno, es un escalar cuyo valor es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman. a . b = a . b cos α Su representación gráfica es:

P Prroobblleem ass rreessu ueellttooss ma 11.. Dado los siguientes vectores: a=10 m b=15 m

c=20 m

d=25 m

Hallar la resultante de: II.. a + b + c + d IIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa:: a

b

c

d

b

R α

a

IIbb.. SSoolluucciióónn nnuum méérriiccaa::

R=a+b+c+d El producto escalar de dos vectores R = 10 m + 15 m + 20 m + 25 m tiene la propiedad conmutativa y R = 70 m. distributiva. 22.. Dado los siguientes vectores:

En función de sus componentes, se demuestra que el producto escalar de dos vectores a y b es: a.b = ax + bx + ay + by + az + bz. 11..88..33.. PPrroodduuccttoo vveeccttoorriiaall ddee ddooss vveeccttoorreess..-- Llamado también producto externo, es un vector cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los vectores dados por el seno del ángulo que forman: a x b = ab sen α La representación gráfica es: v=axb a

α b

La dirección del vector producto v es perpendicular al plano definido por los vectores a y b, y el sentido de avance de un sacacorchos cuando gira llevando el vector multiplicando a, hacia el vector multiplicador b por el camino más corto (regla de Maxwell). El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa. 55

a=10 m b=15 m

c=20 m

d=25 m

Hallar la resultante de: II.. a + b + c + d IIII.. b + d + a + c IIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa:: a b c d R

IIbb.. SSoolluucciióónn nnuum méérriiccaa:: R = a + (-b) + c + (-d) R=a–b+c–d R = 10 m - 15 m + 20 m - 25 m R = -10 m IIIIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa:: b

d a

c

IIIIbb.. SSoolluucciióónn nnuum méérriiccaa::

R

R = -b + (-d) + a + c R = -b – d + a + c R = -15 m - 25 m + 10 m + 20 m R = -10 m

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess

V Veeccttoorreess ccoon nccu urrrreen ntteess

que une el origen de a con el extremo equipolente de b es la suma de ambos. 11..99.. C Coonncceeppttoo..-Los vectores El módulo del vector resultante se concurrentes son aquellos que tienen el determina fácilmente si se conoce el mismo punto de aplicación, pero ángulo que forman los vectores a y b. dirección y sentidos distintos. Por ejemplo en el gráfico los vectores a, b, R c, d y e son concurrentes o coplanarios. e

a

d

b

O

b

a

c

11..1100.. M Mééttooddooss ggrrááffiiccooss..-- Los vectores se suman y restan por métodos geométricos, sumar varios vectores es determinar un vector único o resultante, para sumar y restar se aplican los siguientes métodos. 11..1100..11.. M moo..-Mééttooddoo ddeell ppaarraalleellooggrraam Para sumar dos vectores a y b, se construye un paralelogramo que tenga por lados los dos vectores. La diagonal del paralelogramo determina el vector R cuyo módulo, dirección y sentido son los del vector suma:

11..1100..22.. M Mééttooddoo ddeell ppoollííggoonnoo..-- Este método consiste en dibujar a escala y a partir de un punto cualquiera cada uno de los vectores dados, de forma que el origen de ellos coincida con el extremo del anterior. El orden en que se van formando los vectores es arbitrario. La longitud del segmento que une el punto de partida con el extremo del último vector es el módulo del vector resultante. B A

C

B D

⇒

A

R=A+B+C+D

C D

R=a+b La suma de vectores es conmutativa, a + b = b + a, siendo el resultado el mismo cualquiera que sea el orden en que los vectores se sumen.

b

a

a

11..1111.. R Reessttaa ddee vveeccttoorreess..-- La diferencia de dos vectores se obtiene sumando geométricamente el vector a con el opuesto de b es decir:

b R=a+b

a α

180 − α b

a - b = a + (- b)

En está operación se puede incluir un Otro procedimiento consiste en trazar vector con signo negativo, quiere decir de igual magnitud y por el extremo de a un vector un vector equipolente del vector b. El vector R dirección pero de sentido contrario. FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

6 6

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess A

B

R = A + (-B)

-B

-B

sen α =

cateto opuesto a = hipotenusa c

cos α =

cateto adyacente b = hipotenusa c

tan α =

a cateto oouesto = cateto adyacente b

A

Para hallar A - B sumamos A y el opuesto de B que es – B. a −b ≠ b−a

De aquí concluimos que la diferencia de dos vectores no es conmutativa. 11..1122.. M Mééttooddooss aannaallííttiiccooss..-- Para realizar operaciones con vectores mediante los métodos analíticos, primero es necesario conocer o tener nociones generales sobre funciones trigonométricas. Para hablar de funciones trigonométricas, especialmente debemos referirnos a un triángulo rectángulo. a

β

11..1122..11.. T Teeoorreem maa ddee PPiittáággoorraass..-- Para resolver numéricamente dos vectores que forman 90°; se usa el teorema de Pitágoras para determinar su módulo, la función trigonométrica tangente para su dirección, si se tiene los módulos de los vectores a y b tenemos:

a R

a b

b

c α

90°

la resultante R será: R = a 2 + b2

b

Un triángulo rectángulo tiene las siguientes características: Tiene un ángulo recto (90°) y dos ángulos agudos (menores de 90°). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado oblicuo se denomina hipotenusa. En nuestro gráfico el cateto opuesto y el cateto adyacente de los ángulos α y β son: Ó Ó Si nos referimos al ángulo α tenemos: a es el cateto opuesto b es el cateto adyacente Ó Ó Si nos referimos al ángulo β tenemos: b es el cateto opuesto a es el cateto adyacente Las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo son: 77

α

y su dirección será: tan α =

cateto opuesto a = cateto adyacente b

11..1122..22.. T Teeoorreem maa ddee llooss ccóósseennooss..-Analíticamente la resultante de dos vectores que forman un ángulo diferente a 90°, se halla por medio del teorema de los cósenos, para determinar su dirección se utiliza el teorema de los senos: N R = M+N

O

α

180° - θ

θ

M

Si se trabaja con el ángulo dado, la fórmula para determinar la resultante será: FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess

Ejemplo: Sumar los vectores se representan en la figura: En el caso que se trabaje con el a = 6 N; b = 4 N. suplemento de θ o sea 180° - θ la fórmula para el cálculo de la resultante a b será: R= M 2 +N 2 + 2*M*N*cos θ

(1)

R= M 2 +N 2 -2*M*N*cos (180° -θ)

(2)

Esta última fórmula (2) llega a ser la misma que la primera (1) por propiedad de reducción de ángulos al primer cuadrante. cos (180° - θ) = - cos θ R= M 2 +N 2 -2*M*N* ( - cos θ)

R= M 2 +N 2 + 2*M*N*cos θ

su dirección será: R

que

γ

Para resolver los vectores concurrentes se usan métodos gráficos y analíticos, entre los métodos gráficos existen dos: Paralelogramo y Triángulo. 11..1133..11..11.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa m mééttooddoo ddeell ppaarraalleellooggrraam moo..-- Para la solución por el método del paralelogramo se dibujan líneas paralelas a cada uno de los vectores por sus extremos, el punto de intersección de las paralelas con el origen nos indica la intensidad, dirección y sentido de la resultante.

a α

θ

b

R

b b a R = = sen α sen γ sen θ

11..1133.. SSuum maarr ddooss oo m mááss vveeccttoorreess ccoonnccuurrrreenntteess..-- Para un mejor análisis de la suma de varios vectores los agruparemos en tres tipos, que son: Ó ÓSuma de dos vectores angulares de 90º. Ó ÓSuma

de dos vectores angulares distinto a 90º.

Ó ÓSuma

a

11..1133..11..22.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa ppoorr eell m mééttooddoo ddeell ttrriiáánngguulloo..-- Se dibujan los vectores dados, uno seguido del otro manteniendo el módulo, dirección y sentido de cada uno de ellos, el extremo final unido con el punto de origen nos da el vector suma. b

R o a

de dos o más vectores que 1.13.1.3. Solución analí 1.13.1.3. Solución analíttiiccaa..-- Para forman ángulos distintos. resolver numéricamente, dos vectores 11..1133..11.. SSuum maa ddee ddooss vveeccttoorreess que forman 90°, se usa el Teorema de aanngguullaarreess ddee 9900ºº..-- Si dos fuerzas o Pitágoras para determinar su módulo, vectores actúan sobre el mismo punto la función trigonométrica tangente para del cuerpo formando un ángulo de 90º, su dirección. su resultante coincide en módulo, aa.. C Cáállccuulloo ddeell m móódduulloo:: dirección y sentido con el vector 2 2 R = a 2 + b2 = ( 6 N ) + ( 4 N ) = 7, 21 N diagonal del paralelogramo.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

88

VVeectores ctores

PProf. rof. LLic. ic. JJohn ohnnnyy FFranz ranz RRíos íos MMontero ontero

bb.. C Cáállccuulloo ddee ssuu ddiirreecccciióónn:: b

R o

α a

b 4 tan α = = = 0,66 a 6 α = tan -1 0,66

11..1133..22..33.. SSoolluucciióónn aannaallííttiiccaa..-Analíticamente la resultante de dos vectores que forma un ángulo diferente a 90°, se halla por medio del teorema de los cosenos, para determinar su dirección el teorema de los senos: aa.. C Cáállccuulloo ddeell m móódduulloo:: R= M 2 +N 2 + 2*M*N*cos*θ T.C.

α = 33,69°

R=

(6 N)2 + (4 N)2 + 2*6 N*4*N*cos*60°

11..1133..22.. SSuum maa ddee ddooss vveeccttoorreess aan ngguullaarreess ddiissttiinnttoo aa 9900°°..-- La R = 36 N 2 + 16 N 2 + 48 N 2 *0,5 = 8,72 N resultante de dos vectores que forman Cáállccuulloo ddee ssuu ddiirreecccciióónn:: un ángulo diferente de 90°, es igual en bb.. C módulo, dirección y sentido al vector N diagonal del paralelogramo. Ejemplo: Sumar los vectores que se R = M+N representan en la figura: M = 6 Kp; N = 4 Kp. 180° - 60º N

O

60° M

60°

60°

M

N R = T.S. sen 60º sen 120º N sen θ = * sen 120° = 4 N*0,87 = 0,399 8,72 N R θ = sen -1 0,399

11..1133..22..11.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa m mééttooddoo ddeell ppaarraalleellooggrraam θ = 23,51 = 23,51º moo:: N 11.13.3. .13.3. SSuma uma dde e ddos os oo m ás vvectore ectoress más qque ue fforman orman áángulos ngulos ddistintos.istintos.- Para R = M+N sumar varios vectores coplanarios, primeramente debemos sumar las 60° O componentes horizontales y luego las M componentes verticales. l 11..1133..22..22.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa m é t o d d e o método del Los resultados de la suma horizontal y ttrriiáánngguulloo:: vertical, resultan vectores perpendiculares por lo tanto se debe N aplicar el teorema de Pitágoras. Ejemplo.- Hallar, gráficamente, la R = M+N resultante de cada uno de los tres 180° - 60º sistemas de fuerzas concurrentes y 60° 60° O coplanarias. M 9 9

ímica FFísica ísica QQuuímica

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess ejes de coordenadas y componerlas después de una resultante única, esto permite utilizar triángulos rectángulos.

aa.. SSoolluucciióónn ggrrááffiiccaa:: y 60 Kp 40 Kp

y

90°

A

Ay

x

30°

80 Kp

O

80 cos 30° 80 sen 30°

C

α

Ax

x

y

30° θ

by

bb.. SSoolluucciióónn aannaallííttiiccaa:: Fuerza

Componente Horizontal Componnete Vertical

a.- 60 Kp

0

60

b.- 40 Kp

-40

0

c.- 80 Kp 80 cos 30º = 69,3

-80 sen 30º = -40

ΣFx = 29,3 Kp

ΣFy = 20 Kp

R = (Σ Fx)2 + (Σ Fy)2 = (29,3 Kp)2 + (20 Kp)2 R = 858,49 Kp2 + 400 Kp 2 = 35 Kp

cc.. C Cáállccuulloo ddee ssuu ddiirreecccciióónn:: Σ Fy 20 K p = = 0,68 tag α = Σ Fx 29,3 K p α = tag - 1 0,68 = 34 = 34 °

11..1144.. D Deessccoom mppoossiicciióónn ddee uunn vveeccttoorr..-El método geométrico aunque es un procedimiento gráfico satisfactorio para encontrar la resultante de un cierto número de vectores, presenta dificultades para el cálculo numérico, porque en general hay que resolver varios triángulos oblicuángulos. Otra manera general de resolver este problema es usar el método analítico que requiere descomponer un vector en sus componentes según los ejes de coordenadas. Este método usual para hallar la resultante consiste en descomponer primero todos los vectores en sus componentes rectangulares según los FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

bx

O

x

B

11..1155.. C Coom mppoonneenntteess ddee uunn vveeccttoorr..-Cualquier vector A puede siempre considerarse como la suma de dos (o más) vectores, siendo el número de posibilidades infinito. A cualquier conjunto de vectores que su suma sea igual a A se llama componente de A. D

C

Ay

A

Uy α O Ux

Ax

B

Los componentes más comúnmente usados son los rectangulares; esto es, el vector se expresa como la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares. Entonces, como vemos en la figura A = Ax + Ay Tenemos: Ay = A sen α Ax = A cos α Definiendo los vectores ux, uy en las direcciones de los ejes x e y respectivamente notamos que: Ax = OB = UxAx Ay = OD = UyAy Por consiguiente tenemos: A = UxAx + UyAy 110 0

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess R Reessu um meen n Vectores

R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass II.. M Mééttooddooss ggrrááffiiccooss::

Definición de vector Exige un conocimiento de módulo, dirección, sentido y origen, es un segmento rectilíneo.

11.. M Mééttooddoo ddeell ppaarraalleellooggrraam moo:: A

Magnitudes vectoriales Son cantidades físicas que poseen origen, módulo, sentido y dirección.

R=A+B

B

Magnitudes escalares Son magnitudes que poseen módulo y su unidad

Equipolentes

22.. M Mééttooddoo ddeell ttrriiáánngguulloo::

Clasificación de vectores

Mismo sentido y módulos iguales.

B A

Deslizante Se traslada a cualquier punto donde se halla la recta

R= A + B

Ligado

A

Punto de origen invariable, e inamovible

Libre

A

B

B

Vectores en rotación Representan a magnitudes vectoriales que tiene movimiento de rotación.

⇒

R=A+B

33.. M Mééttooddoo ddeell ppoollííggoonnoo:: B

Con origen en cualquier parte del plano.

A

Opuestos.

B D

C

⇒

C

A

Mismo módulo, sentido contrario.

Definición

Vectores colineales

Cuando sus líneas de acción se encuentran sobre una misma recta.

44.. D Diiffeerreenncciiaa ddee vveeccttoorreess::

Operaciones con vectores

A

Determinar el vector resultante de un sistema.

B

Suma de vectores del mismo sentido

Es la diferencia y de la misma dirección y sentido que el vector mayor. R = F1 - F2

Multiplicación de Vectores

1111

Es un nuevo vector cuya magnitud es K veces mayor que a. R = K*a

Producto vectorial de dos vectores Es un vector cuyo valor es igual al modulo de los dos vectores por el seno del ángulo que forman: axb = a.b senα

-B

11.. FFuunncciioonneess ttrriiggoonnoom meettrriiccaass:: b

Producto escalar de dos vectores

Producto de un vector por un escalar

A

IIII.. M Mééttooddooss aannaalliittiiccooss::

h Es un escalar cuyo valor es igual al modulo de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman. a.b = a.b cos α

-

R = A + (-B)

-B

Es la suma de sus componentes de la misma dirección y sentido que ellos. R = F1 + F2+………..Fn

Suma de vectores de sentido contrario

D

R = A+B+C+D

Vectores concurrentes

a = Cateto adyacente b = Cateto opuesto

θ a

h = Hipotenusa

Cateto opuesto b = Hipotenusa h Cateto adyacente a = cos θ = Hipotenusa h Cateto opuesto b = tan θ = Cateto adyacente a

sen θ =

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess

22.. T Teeoorreem maa ddee ppiittaaggoorraass:: R

P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss 11.. Hallar la resultante de dos fuerzas de 80 y 100 kp, cuyas líneas de acción forman un ángulo de 60°. Datos

R2 = a2 +b2

b

a

33.. T Teeoorreem maa ddee llooss ccoosseennooss:: a

R=a+b

a

F1 = 80 kp F2 = 100 kp α = 60º R = ? β = ? γ = 180º- α γ = 120º F1

α

α

α

180-α b

b

F2

R = a2 + b2 − 2 ∗ a ∗ b ∗ cos θ R = a2 + b2 − 2 ∗ a ∗ b ∗ cos (180 − θ ) cos (180 − θ ) = −cos θ R = a2 + b2 − 2 ∗ a ∗ b ( − cos θ) R = a2 + b2 + 2 ∗ a ∗ b ∗ cos θ 44.. T Teeoorreem maa ddee llooss sseennooss::

α

β

α F1

R = F12 + F22 − 2*F1 *F2 *Cos γ

γ a θ

2 2 2 R = 6400 Kp + 10000 Kp - 16000 kp * (-0,5) 2 2 2 R = 16400 Kp + 8000 Kp = 24400 Kp = 156 Kp

a b R = = sen α sen γ sen θ

F2 R = Sen α Sen γ

55.. C Coom mppoonneenntteess ddee uunn vveeccttoorr:: y A

F *Sen γ 100 Kp*Sen120° Sen α = 2 = R 156 Kp

B V

Vy

θ

Sen α =

C x

Vx

O A=C B Δ O C B v cos θ = x ⇒ v x = v ∗ cos θ v vy sen θ = ⇒ v y = v ∗ sen θ v v = (v x )2 + v y 2 vy θ = arc tan vx

( )

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

γ

b

b

O

F2

2 2 R = (80 Kp) + (100 Kp) - 2 * 80 Kp * 100 Kp * Cos120°

R

a

α

R

Sen α =

100 Kp*0,866 156 Kp // 86,6 156

= 0,555

α = Sen −1 0,555 = 34 = 34°

22.. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de 100 kp cuyas líneas de acción forman un ángulo de 120°. Hallar una fuerza que sea capaz de a) remplazar al sistema de fuerza dado, b) equilibrar el sistema de fuerzas dado.

1122

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess Datos F1 = 100 kp R=? E= ?

F2 = 100 kp β =?

F1

α = 120º

α R

F2

F1

F4 F3

R α

F2

Fuerza

F2

a.- 50 m b.- 30 m c.- 20 m d.- 10 m

γ

β

Componente horizontal

F1

Componente vertical

= 50 m = 0 m = -20 m = 0 m

= 0 m = -30 m = 0 m = 10 m

ΣFx = 30 m

ΣFy = -20 m

2 R = ( ΣFx )2 + ( ΣFy )

E 2 2 R = F1 + F2 − 2*F1 *F2 *Cos γ

R = (30 m)2 + (-20 m)2

2 2 R = (100 Kp) + (100 Kp) − 2*100 Kp*100 Kp*Cos60°

R = 900 m2 + 400 m2 = 1300 m2

2

2

2

R = 10000 Kp + 10000 Kp − 16000 kp *( − 0,5) 2 2 R = 20000 Kp + 10000 Kp 2 R = 10000 Kp = 100 Kp

F2 R = Sen β Sen γ F *Sen γ 100 Kp*Sen 60° = Sen β = 2 R 100 Kp Sen β =

Sen β =

100 Kp*0,866 100 Kp // 86,6 100

= 0,866

R = 36 m

tag α =

ΣFy 20 m = = 0,666 ΣFx 30 m

α = tag −1 0,666 = tag −134 = 34° 44.. Hallar el vector suma de los cuatro desplazamientos siguientes: 60 m norte, 30 m oeste, 40 m en una dirección que forma 60° con el norte contados hacia el oeste, 50 m en una dirección que forma 30° con el sur contados hacia el oeste. Resolver el problema gráficamente y por el método analítico de las componentes. Datos F1 = 60 m → N; F2 = 30 m → O F3 = 40 m 60º N → O; F4 = 50 m 30º S → O N

β = Sen −1 0,866 = 60 = 60°

33.. Un hombre anda 50 m hacia el este; a continuación, 30 m hacia el sur; después, 20 m hacia el oeste, y finalmente, 10 m hacia el norte. Determinar el vector desplazamiento desde el punto de partida al de llegada. Datos F1 = 50 m → E; F2 = 30 m → S ; F3 = 20 m → O. F4 = 10 m → N R = ? α = ?

1133

F1 F3 O

E

F2 F4

S

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo Fuerza

Componente horizontal

VVeeccttoorreess

Componente vertical

F1 50 m = 0 m F2 30 m -30 cos 0º = -30 0 m

60 sen 90º = 60

F3 20 m -40 cos 30º = -34,6 m F4 10 m -50 cos 60º = -25 m

40 sen 30º = 20

=0

m

R = 8028,16 m2 +1346,89 m2 R = 9375,05 m2 = 96,8 m Σ Fx

=

36,7 m 89,6 m

m2 m =100 2 seg seg

ΣFy = 36,7 m

R = (-89,6 m)2 + (36,7 m)2

Σ Fy

R = 10000

m

R = (S Fx)2 + (S Fy)2

tag α =

m2 m2 +3600 seg2 se g2

m

-50 sen 60º = -43,3 m

ΣFx = -89,6 m

R = 6400

= 0,41

F tag α = B FA

m seg = = 0,75 m 80 seg 60

α = tag-1 0,75 = 37 = 37° 66.. Desde un automóvil que marcha a una velocidad de 24 Km./h se lanza una pelota en dirección perpendicular a la carretera, con una velocidad de 6 m/seg. Calcular la velocidad relativa de la pelota con respecto a la tierra en el momento inicial. Datos v a = 24 Km / h ; v P = 6 m / seg VR = ?

α = tag-1 0,41= 22 = 22°

55.. Dados los vectores A = 80 m/seg. orientado hacia el norte y B = 60 m/seg. hacia el este, hallar el vector diferencia A – B. Datos

y VP

FA = 80 m / seg ; FB = 60 m / seg R = FA - FB = ? α = ?

Va

VR

Va

VP

x

N

A-B

FA

24

α E -FB

VR =

(Va )2 + (VP )2

VR =

2 2 ⎡ ⎡ m ⎤ m ⎤ ⎢ 6,67 ⎥ + ⎢6 ⎥ seg. ⎣ ⎦ ⎣ seg. ⎦

VR =

m2 m2 44, 4889 + 36 seg 2 seg.2

VR =

80, 4889

FB

R = (FA )2 +(FB )2 2 2 ⎡ m⎤ ⎡ m⎤ R = ⎢80 ⎥ + ⎢60 ⎥ seg ⎦ ⎣ seg ⎦ ⎣

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

Km 1000 m 1h m x x = 6,67 h 1 Km 3600seg. seg.

m2 m 8,9 = seg. seg.2

114 4

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess

88.. Un barco navega hacia el norte con una velocidad de 20 nudos. Sabiendo que la velocidad de la marea es de 11.. La resultante entre dos vectores de 10 y 15 unidades 15 nudos y dirigida hacia el oeste, calcular el módulo, es 20 unidades. Calcular el ángulo que forman las dirección y sentido del vector velocidad resultante del componentes. barco.

PPrroobblleem maass pprrooppuueessttooss

Sol. 75,52°

Sol. 25 nudos; 36,87° Nor oeste

22.. Un vector de 20 unidades hace un ángulo de 30° con 99.. La resultante de dos vectores tiene un valor de 30 la resultante cuyo valor es de 24 unidades. Calcular el unidades y hace ángulos de 45º y 30º con ellos. otro vector y el ángulo que forman entre ellos. Calcular el valor de los vectores. Sol. 12 u; 86,18°

Sol.

30

( 3 − 1) ; 30( 3 − 1)/

2

33.. En el siguiente gráfico, a = 600 N. Determinar el 1100.. La resultante de dos vectores es 40 unidades y hace valor de la componente b y el de la resultante R. ángulos de 30º y 45º con ellos. Calcular el valor de los Sol. 346,42 N; 346,42 N vectores. R

120°

30°

Sol. 29,2 u ; 20,7 u

b

a

1111.. Dos vectores de 20 y 18 unidades hacen un ángulo de 60º y 120º. Hallar la magnitud de la diferencia. Sol. 32,92 u; 19,07 u

30°

44.. Un muchacho tira de una cuerda atada a un cuerpo con una fuerza de 50 Kp. La cuerda forma un ángulo de 35° con el suelo. Hallar el valor de la fuerza que tiende a elevar verticalmente el cuerpo. Sol. 28,65 Kp.

1122.. Tres vectores situados en un plano tienen 4, 5 y 6 unidades de magnitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 30º, el segundo y el tercero otro de 90º. Hallar la resultante y su dirección con respecto al vector mayor. Sol. 9,36 u; 64º41’

55.. Encontrar el módulo y dirección de la resultante de 1133.. Calcular la resultante del sistema de vectores. los vectores mostrados en el grafico donde: a = 5u; Sol. 17,32 u b = 14 u; c = 2√2; d = 7√3. y 50 u

Sol. 10 u; 53° b

y

30°

a

x 60°

37°

30°

x

40 u

d

45°

60 u

1144.. Un barco navega hacia el este, con una velocidad de 15 nudos. El humo que sale de la chimenea hace un 66.. Determinar la resultante de la suma de los vectores ángulo de 15º con la estela del barco. El viento sopla de sur a norte. ¿Cuál es la velocidad del viento? de la figura donde: a = 11 u ; b = 10 u; c = 5 u; Sol. 4,02 nudos d = 15 u. 1155.. Dos vectores forman entre si un ángulo de 53º. Uno Sol. √41 u; 38,66° de ellos es 75 u y su resultante 300 u. Hallar el y b valor de sen α. c

Sol. 0,2

c

1166.. Un caballo ejerce una fuerza de 300 Kp para arrastra una barca a lo largo de un canal utilizando 37° a una cuerda de 50 m de longitud. Sabiendo que la barca navega a una distancia de 10 m de la orilla del canal, d calcular a) el valor efectivo de la fuerza que tiende a arrastrar a la barca por el canal y b) la fuerza 77.. Dos vectores de 10 u de magnitud, forman un ángulo transversal que debe efectuar el timonel para mantener a de 37°. ¿Cuál es la resta de estos vectores? la barca a una distancia de 10 m de la orilla. 53°

Sol. √40 u

1155

x

Sol. 293,94 Kp; 60,0 Kp.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

VVeeccttoorreess

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 11.. Como se representa actualmente un vector: 22.. Sumar vectores es determinar el vector: 33.. Para sumar dos vectores que método se utiliza: 44.. Para sumar más de dos vectores que método gráfico se utiliza: 55.. Para restar dos vectores se toma en cuenta el: 66.. Para hallar el módulo de dos vectores de 90° analíticamente se utiliza el teorema de: 77.. Que función trigonometría, utiliza para hallar la dirección de dos vectores que forman 90°: 88.. Para hallar la R de 2 vectores que forman ángulos diferentes a 90° se utiliza el teorema de los: 99.. Que teorema, se utiliza para hallar la dirección de dos vectores que forman ángulos diferentes a 90°: 1100.. De un ejemplo de magnitud escalar:

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

116 6

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss M Moonntteerroo

Capítulo II Estática

LLaa eessttááttiiccaa eess llaa ppaarrttee ddee llaa FFííssiiccaa qquuee ttrraattaa ddee llaass ffuueerrzzaass.. E Ell ccoonncceeppttoo ddee eessttaa m maaggnniittuudd ffííssiiccaa pprroocceeddee ddeell sseennttiim miieennttoo ssuubbjjeettiivvoo ddeell eessffuueerrzzoo aall rreeaalliizzaarr uun ttrraabbaajjoo ccoorrppoorraall.. E Essttee eessffuueerrzzoo ppuueeddee rreeaalliizzaarrssee eenn m múúllttiipplleess ddiirreecccciioonneess yy tteenneerr ddiivveerrssaass iinntteennssiiddaaddess.. CCoom moo ppaarraa ppooddeerr iiddeennttiiffiiccaarr aa uunnaa ffuueerrzzaa,, aaddeem mááss ddee ssuu iinntteennssiiddaadd,, eess nneecceessaarriioo ccoonnoocceerr llaa ddiirreecccciióónn yy eell sseennttiiddoo eenn eell qquuee aaccttúúaa,, aassíí ccoom moo eell ppuunnttoo eenn eell qquuee ssee aapplliiccaa,, llaa ffuueerrzzaa eess uunnaa m maaggnniittuudd vveeccttoorriiaall..

EEssttááttiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

E Essttá áttiicca a 22..11.. C Coonncceeppttoo..-- La estática es una parte de la mecánica de sólidos que estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo sobre el cual actúan fuerzas o cuplas, fuerzas que a la vez queden en equilibrio. 22..22.. E Eqquuiilliibbrriioo..-- Es el estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo. También se dice que un cuerpo esta en equilibrio cuando su aceleración total es cero. 22..33.. C Cllaasseess ddee eeqquuiilliibbrriioo..-- Tenemos los siguientes: 22..33..11.. E Eqquuiilliibbrriioo eessttááttiiccoo..-- Se llama así cuando el cuerpo esta en reposo; es decir, su velocidad es igual a cero y por lo tanto su aceleración es igual a cero. 22..33..22.. E Eqquuiilliibbrriioo D Diinnáám miiccoo..-- Se llama así cuando el cuerpo se encuentra en movimiento rectilíneo uniforme; es decir, su velocidad es constante y por tanto su velocidad es igual a cero. 22..44.. FFuueerrzzaa..-- Es una magnitud vectorial que modifica la situación de los cuerpos variando su estado de reposo, variando su velocidad aumentándola o disminuyéndola o en su caso variando su dirección. Toda fuerza aparece como resultado de la interacción de los cuerpos. Las unidades de fuerza son: Newton (N), Dina (dina), Kilopondio (Kp), etc. 22..55.. M Moom meennttoo ddee uunnaa ffuueerrzzaa..-- Si a una silla le aplicamos una fuerza F en el punto B, A, F1

d

B, F

1188

se le dará un movimiento de translación, pero si le aplicamos una fuerza F1 en el punto A, la silla caerá o dará un movimiento giratorio alrededor del punto B como eje de rotación. Cuando las fuerzas actúan sobre los cuerpos en movimiento, pueden alterar su movimiento lineal o su rotación. Es una magnitud vectorial, que aplicada sobre un cuerpo trata de hacerlo girar alrededor de un punto o de un eje, se debe tomar en cuenta que la fuerza que le da el efecto de rotación, es la fuerza perpendicular F; y de la distancia de su línea de acción al eje de rotación, con el punto de aplicación de la fuerza. F

eje d

d F

Es decir: M=F*d Donde: M = Momento F = Valor de la fuerza d = Distancia del punto de giro a la línea de acción de la fuerza (brazo). 22..55..11.. U Unniiddaaddeess..-- Las unidades son las siguientes: S.I. M= N*m C.G.S. M= dyn*cm U.T.M. M=kp*m 22..66.. M Moom meennttooss eenn bbaarrrraass yy ssuuppeerrffiicciieess..-- Al realizar cálculos con momento debemos tomar en cuenta lo siguiente: m m El vector momento siempre es perpendicular al plano de rotación, el sentido esta tomado por la regla del tirabuzón. FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

EEssttááttiiccaa

m m Se puede escoger cualquier punto cuerpo su valor se lo halla con la relación de momento. como eje de rotación. m m Las fuerzas cuyas líneas de acción F M pasan por el centro de rotación, no producen giro, es decir su momento es nulo. m m Cuando una fuerza no es d perpendicular al plano, entonces solamente produce momento, su -F componente vertical. R=F–F=0 M = F *d

F Fy

22..99.. R Reellaacciióónn ddee SStteevviinn..-- Indica que α “Cada fuerza es directamente eje proporcional al segmento determinado M = Fy *d * sen α por los puntos de aplicación de las otras 22..77.. C Coonnvveenncciióónn ddee ssiiggnnooss..-- Para dos”. Es decir: anotar el signo del momento nos F1 * A O = F2 * O B fijamos en lo siguiente: F1 OB Si las fuerzas hacen girar al cuerpo en = F 2 OA sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, entonces el signo del O A B momento es positivo. +

F1

F2

Si las fuerzas hacen girar el cuerpo en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj, el signo del momento es negativo.

22..1100.. C Coonnddiicciioonneess ddee eeqquuiilliibbrriioo ddee llooss ccu ueerrppooss..-- Para que un cuerpo solidó o rígido este en equilibrio con relación a un movimiento de traslación, cuando esta en reposo o cuando tiene un Para el cálculo del momento de giro movimiento rectilíneo y uniforme, debe a dos condiciones resultante, se realiza la sumatoria de los someterse fundamentales las cuales son: momentos parciales: 22..1100..11.. PPrriim meerraa ccoonnddiicciióónn ddee Para calcular la ubicación de la fuerza eeqquuiilliibbrriioo..-- Cuando las fuerzas aplicadas son paralelas, se debe tomar resultante, se aplica la relación: en cuenta para su equilibrio, las dos MA d= clases de movimiento. Nos indica que FR “La suma algebraica de las fuerzas 22..88.. C u p l a . Cupla.- Se denomina cupla a un aplicadas a un cuerpo, en una dirección par de fuerzas paralelas de sentido cualquiera deberá ser cero”. contrario, pero de igual ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 modulo aplicadas sobre un mismo ∑M

A

= F * d + F * d + .............Fn * d n 1 1 2 2

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

119 9

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMooontero nntteerroo Cuueerrppoo ssuussppeennddiiddoo:: 22..1100..22.. SSeegguunnddaa ccoonnddiicciióónn ddee 22..1122..11.. C eeqquuiilliibbrriioo..-Tratándose de D.C.L. movimientos de rotación, las fuerzas T perpendiculares deben cumplir que “La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo WA A con respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano que las 22..1122..22.. C contiene, debe ser 0”. Cuueerrppoo aappooyyaaddoo eenn uunnaa ssuuppeerrffiicciiee:: ∑M=0 EEssttááttiiccaa

En resumen para el caso de equilibrio de un sistema de fuerzas coplanarias, en el plano x, y; las condiciones necesarias para el equilibrio son:

D.C.L. N B WB

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑M=0 22..1111.. C Ceennttrroo ddee ggrraavveeddaadd..-- Centro de gravedad de un cuerpo o de un punto de aplicación es la resultante de todas las fuerzas con que la tierra atrae a las partículas de dicho cuerpo.

22..1122..33.. C Cuueerrppoo ssuussppeennddiiddoo::

aappooyyaaddoo

yy

A

C.G θ

D.C.L.

N T

W

W1

W2

W3

W = W1 + W 2 + ......... + W n

donde: W = W1 + W 2 + ......... + W n =peso

WA*sen θ θ

de cada

partícula que forma el cuerpo. total del cuerpo. 22..1122.. D Diiaaggrraam maa ddee ccuueerrppoo lliibbrree..-- Es el dibujo o gráfico aislado de uno de los cuerpos de un sistema, en el cual se grafican todas las fuerzas externas aplicadas sobre el. Ejemplos:

WA*cos θ

W = peso

220 0

WA

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

EEssttááttiiccaa R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass 11.. M Moom meennttoo ddee uunnaa ffuueerrzzaa::

R Reessu um meen n Estática

M=F*d

Definición Parte de la mecánica de sólidos que estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo sobre el cual actúan fuerzas o cuplas y fuerzas a la vez, quede en equilibrio.

Equilibrio Es el estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo. También se dice que un cuerpo esta en equilibrio cuando su aceleración total es cero.

Equilibrio estático Se llama así cuando el cuerpo esta en reposo; es decir, su velocidad es igual acero y por lo tanto su aceleración es igual a cero.

Equilibrio dinámico Se llama así cuando el cuerpo se encuentra en movimiento rectilíneo uniforme; es decir, su velocidad es constante y por tanto su velocidad es igual a cero.

22.. M Moom meennttoo rreessuullttaannttee:: ∑M

A

= F * d + F * d + .............Fn * d n 1 1 2 2

33.. FFuueerrzzaa rreessuullttaannttee:: ∑ FR = F + F + ...............................Fn 1 2

44.. U Ubbiiccaacciióónn ddee llaa ffuueerrzzaa rreessuullttaannttee eenn llaa bbaarrrraa:: d=

F1 * AO= F2 * OB

F1 OB = F2 OA

M=F*d

Cupla

F1 OB = F2 OA

R=F–F=0 M=F* d

FR

55.. R Reellaacciióónn ddee SStteevviinn::

Momento de una fuerza

Relación de Stevin

MA

66.. C Coonnddiicciioonneess ddee eeqquuiilliibbrriioo:: ∑ Fx = 0 horizontal ∑ Fy = 0 vertical ∑ M = 0 momento

Condiciones de equilibrio de los cuerpos

Primera condición de equilibrio “La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo, en una dirección cualquiera deberá ser cero”. ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0

Segunda condición de equilibrio “La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo con respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano que las contiene, debe ser 0”. ∑M = 0

Centro de gravedad Centro de gravedad de un cuerpo o de un punto de aplicación es la resultante de todas las fuerzas con que la tierra a trae a las partículas de dicho cuerpo.

Diagrama de cuerpo libre Dibujo aislado de uno de los cuerpos de un sistema, en el cual se grafican todas las fuerzas externas aplicadas sobre el.

77.. C Coonnvveenncciióónn ddee ssiiggnnooss:: 77..11.. M Moom meennttooss:: + Cuando el giro es en contra de las agujas del reloj. - Cuando el giro es en sentido de las agujas. 77..22.. FFuueerrzzaass:: + Cuando las fuerzas verticales están hacia arriba. - Cuando las fuerzas están hacia abajo. 88.. C Cuuppllaa:: R=F–F=0 M=F* d

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

2211

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMooontero nntteerroo

EEssttááttiiccaa P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss 11.. En los extremos de una barra se aplican dos fuerzas de 4 Kp y 8 Kp como indica la figura. Calcular la fuerza equilibrante y su posición sabiendo que la longitud de la barra es de 1 m y su peso es despreciable. Datos F1 = 4 Kp F2 = 8 Kp

Fe = ? l =1 m x =?

Fe l x F1 F2

∑F = 0 ∑ F = Fe − F1 − F2 = 0

l *F2

w

ΣF = 0 ΣF = F - w = 0 F=w (1) F = T * sen α (2) Remplazando (2) en (1) T sen α = P 50 Kp P T= = = 100 Kp sen α sen 30°

33.. En los extremos de una barra de 80 N de peso se encuentran dos fuerzas de 20 N y 50 N y dicha fuerza es de 2 m. Calcular la fuerza equilibrante y su posición de la fuerza. Datos

(3)

1 m*8 Kp Fe 12 Kp x = 0,67 m

Fe l x F1

=

22.. Mediante una barra apoyada a una pared, se sostiene un peso de 50 Kp y que también sostiene una cuerda como indica la figura. Calcular la tensión de la cuerda tomando en cuenta el ángulo de30° de inclinación de la cuerda. Datos w = 50 Kp T =? α = 30°

2222

α

F2 = 50 N Fe = ? l =2 m x =?

M2 = −l *F2 (4) Me = x*Fe (5) Remplazando (4) y (5) en (3) −l *F2 + x*Fe = 0 x=

T

w = 80 N F1 = 20 N

Fe = F1 + F2 Fe = 4 Kp + 8 Kp Fe = 12 Kp

∑M = 0 (2) ∑ M = M2 + Me = 0

F

F2

w

∑F = 0 ∑ F = w + F1 + F2 -Fe = 0

Fe = w + F1 + F2 = 80 + 20 N + 50 N = 150 N ∑M = 0

∑ M = M2 + M3 + Me = 0

(1)

M2 = −l *F2 (2) l M3 = − *w (3) 2 l Me = (x + )*Fe (4) 2

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

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EEssttááttiiccaa

Remplazando (2) ,(3) y (4) en (1) l l −l *F2 − *w + (x + )*Fe = 0 2 2 l l (x + )*Fe = l *F2 + *w 2 2 l l l l *F2 + 2 *w l *F2 + 2*w l x+ = = Fe 2 2 Fe 2 m 2 m*50 N+ *80 N 2 m 2 x= = 0,2 m 150 N 2

55.. En una barra de 200 cm. de longitud y 8 Kp de peso; se aplican tres fuerzas de 6 Kp, 7 Kp y 9 Kp ubicados a 50 cm, 125 cm, 150 cm. del extremo de la barra respectivamente como indica la fig. Calcular la fuerza equilibrante y la posición de dicha fuerza. Datos l = 200 m w = 8 Kp F2 = 7 Kp F3 = 9 Kp

F2

44.. En una barra de 100 cm. y de 50 Dyn de peso, se aplica una fuerza de 30 Dyn. Calcular la fuerza equilibrante y la posición de dicha fuerza. Datos w = 50 Dyn

F1 = 30 Dyn l = 100 m

Fe = ? ∑F = 0 ∑ F = Fe + F1-w = 0

Fe l

F3

x =?

x

F1 w

ΣF = 0 ΣF = Fe + F2 - F1 - F3 - w = 0 Fe = F1 + F3 + w - F2 Fe = 6 Kp + 9 Kp + 8 Kp - 7 Kp Fe = 16 Kp

Fe = w − F1 Fe = 50 − 30 Dyna Fe = 20 Dyna

Fe

F1 l x

w ∑M = 0 (1) ∑ M = M2 + M e = 0 l M2 = *w (2) 2 l M e = −(x + )*Fe (3) 2 Remplazando (2) ,(3) y en (1) l l *w − (x + )*Fe = 0 2 2 l l -(x + )*Fe = - *w (-1) 2 2 l *w l x= 2 Fe 2 100 cm *50 Dyn 100 cm 2 x= = 75 m 20 Dyn 2

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

F1 = 6 Kp e =? x =?

∑M = 0 ∑ M = M1 + M 4 -M2 + M3 -M e = 0 (1) M1 = 50 cm*F1 (2) M 4 = 100 cm*w (3) M2 = −125 cm*F2 (4) M3 = 150 cm*F3 (5) M e = -x*Fe (6) Remplazando (2) ,(3),(4),(5) en (1) 50 cm*F1 + 100 cm*w-125 cm*F2 +150 cm*F3 -x*Fe = 0

50 cm * F + 100 cm * w - 125 cm * F + 150 cm * F 1 2 3 x= F e x =

50 cm * 6 Kp + 100 cm * 8 Kp - 125 cm * 7 Kp + 150 cm * 9Kp 16 Kp

x = 98,44 cm

66.. En una barra de 100 cm de longitud apoyada a la pared, se encuentra sosteniendo un peso de 100 Dina y también sostiene una cuerda ubicada a 50 cm. de la pared con un ángulo de inclinación de 60º. Calcular la tensión de la cuerda.

2233

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EEssttááttiiccaa ∑ Fx = 0 T2x − T1x = 0

Datos

l = 100 cm w = 50 Kp T =? α = 60°

(1)

∑ Fy = 0

F

T2y − T1y − w = 0 (2) T cos θ = 2x ;T2x = T2 *cos θ T2 T2y sen θ = ;T = T *sen θ T2 2y 2 T cos α = 1x ;T1x = T1*cos α T1

T α l

sen α =

w

(3) (4) (5)

T1y ;T = T *sen α T1 1y 1

(6)

y ∑F = 0 ∑F = F − w = 0 F=w (1) ∑ Mo = 0

(2)

M1 = l *w (3) l M2 = - *F (4) 2 Remplazando (3),(4) en (2) l l *w- *F = 0 ( − 1) 2 l *w F= (5) l 2 F = T*sen α (6) Remplazando (6) en (5) Tsenα = 2w 2w 2*100 Dina = = 230,94 Dina T= sen α sen 60°

77.. Encontrar las tensiones T1 y T2 según la fig. Datos α = 30° θ = 60º w = 50 Kp

T1

α

θ T2

w

224 4

T2y

T1

∑ M = M1-M2 = 0

T2

T1y x

θ

α T1x

T2x w

Reemplazando (3) y (5) en (1) T2 *cos θ-T1*cos α = 0 (7)

Reemplazando (4) y (6) en (2) T2 *sen θ + T1*sen α -w = 0 (8) De (7) despejamos T2 T2 *cos θ = T1*cos α cos α (9) T2 = T1 cos θ

Reemplazando (9) en (8) cos α T1* *sen θ + T1*sen α = w cos θ T1(cos α*tan θ + sen α) = w w T1 = cos α*tan θ+sen30º 340 N T1 = cos 30º*tan 60º+sen 30º T1 = 170 N

Reemplazamos este valor en (9) cos 30º cos α = 170 N* T2 = T1 cos 60º cos θ T2 = 294,45 N

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

EEssttááttiiccaa

88.. Encontrar las tensiones T1 y T2 según la fig. Datos θ = 60º w = 160 N ∑ Fx = 0 T2x − T1 = 0

α

w

θ

(1)

∑ Fy = 0

y

T1

T2y − w = 0 (2) T cos θ = 2x ;T2x = T2 *cos θ T2 T2y ;T = T2 *sen θ sen θ = T2 2y θ

α

(3)

T2y w

T2

T2x − T1 = 0 ∑ Fy = 0

160 N

T2

θ T1

T2x

x

w

Reemplazando (3) en (1) (5) T2 *cos θ -T1 = 0 Reemplazando (4) en (2) (6) T2 *sen θ -w = 0 De (6) despejamos T2

T2 *cos θ = w w 160 N = = 208,86 N T2 = cos θ sen 50º Reemplazamos este valor en (5) T2 *cos θ − T1 = 0 208,86 N * cos 50º - T1 = 0

T1 = 208,86 N*cos 50º = 134,26 N

99.. Encontrar las tensiones T1 y T2 según la fig. Datos w = 420 N

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

T2

∑ Fx = 0

T2y

θ = 60º

x

θ

(4)

y

α = 45º

T2x

T1x

T1 w

T1y

(1)

T1y _T2y − w = 0 (2) T sen θ = 2x ; T2x = T2 *sen T2 T2y cos θ = ; T2y = T2 *cos T2 T cos α = 1x ; T1x = T1 *cos T1 T1y sen α = ; T1y = T1 *sen T1 Reemplazando (3) y (5) en

θ (3) θ (4) α (5) α (6) (1)

T2 *sen θ-T1cos α = 0 (7) Reemplazando (4) y (6) en (2) T1 *sen α -T2cos θ − w = 0 de (7) despejamos T2

(8)

T2 *sen θ = T1cos α T cos α (9) T2 = 1 sen θ Reemplazando (9) en (8) T cos α T1 *sen α - 1 *cos θ = w sen θ T1 sen α− cos α*cos θ = w sen θ w T1 = sen α− cos α*cos θ sen θ 420 N T1 = cos 45º*cos 60º sen 45º− sen 60º T1 = 1405,35 N

(

)

Reemplazando este valor en (9) cos 45 = 1147,46 N T2 = 1405,35 N ∗ sen 60

2255

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMooontero nntteerroo

EEssttááttiiccaa PPrroobblleem maass pprrooppuueessttooss

55.. Por medio de una barra y una cuerda, se sostiene un 11.. En los extremos de una barra de 150 cm. de peso de 100 N y la cuerda tiene una inclinación de 30º. longitud y de peso despreciable, se aplican dos fuerzas Calcular la tensión de la cuerda. Sol. 200 N de 80 N y 60 N. Calcular la fuerza equilibrante y la posición de dicha fuerza. Sol. 140 N; 64,29 cm Fe l

B

T

x

α

A

l F2

w

F1

22.. En los extremos de una barra de 100 Kp de peso y 3 m de longitud, se encuentran dos cargas de 80 Kp y 90 Kp. Calcular la fuerza equilibrante y su posición. Sol. 270 Kp; 1,44 m

66.. Una masa de 50 Kp se sostiene de una cuerda que esta ligada a una barra en dos puntos, de tal forma que el ángulo que se forma es de 45º. Calcular la tensión de la cuerda. Sol. 35,46 Kp

Fe

α

x

l

T

B

A

T

l/2 F1

F2

α

α

w

33.. En los extremos de una barra de 3m de longitud y 80 Dinas de peso, se encuentran dos fuerzas de diferente sentido que tienen 50 Dinas y 30 Dinas respectivamente. Calcular la fuerza equilibrante y su posición. Sol.100 Dinas; 0,3 m Fe

F2

77.. Sobre un cuadrado de 2 m de lado están aplicadas las fuerzas de 2, 6, 5, 4, 3 y 9 Kp, como se muestra en la figura. Hallar la suma de momentos de dichas fuerzas con respecto al punto C. Sol. 1 kpm 5

x

l

A

w

6 A

B

2

1m

l/2

C

F1

1m

w 9 44.. En una barra de 2 m de longitud y 50 kp de peso en sus extremos se encuentran dos fuerzas de 60 Kp y 4 3 20 Kp. Calcular la fuerza equilibrante y su posición de 88.. Una barra de 100 cm de longitud, apoyada en sus dicha fuerza, sabiendo que otra fuerza de 40 kp extremos, tiene su centro de gravedad a 20 cm del se encuentra a 0,5 m del extremo y de sentido contrario. extremo A. Teniendo en cuenta que el peso de la barra es Sol. 90 Kp; 0,33 m de 100 Kp, calcular las fuerzas ejercidas sobre los Fe F3 apoyos A y B l-d

x

A

B l/2

F1 w

226 6

Sol. 80 Kp hacia arriba en A; 20 Kp hacia arriba en B

d

l

F2

100 cm A

20 cm

B

100 Kp

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

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EEssttááttiiccaa

99.. La barra homogénea de 16 N de peso y de 1,2 m de largo, pende del punto C por medio de dos cables AC y CB, de 1 m de largo cada uno. Determinar las tensiones en los cables. Sol. 10 N C

37º

1144.. La separación entre las bisagras de una puerta de 1 m de ancho y 20 Kp de peso es de 4 m. sabiendo que el peso de la puerta es soportado únicamente por la bisagra A B superior, hallar las fuerzas ejercidas por las bisagras 1100.. En el sistema mostrado en la figura, calcular la sobre la puerta. tensión en el cable y la reacción horizontal de la pared Sol. Reacción horizontal de la bisagra inferior: 2,5 Kp; Fuerza resultante de la bisagra superior: sobre la viga si el peso de esta es de 50 Kp. 20,1 Kp.

Sol. 151, 21 Kp; 120, 76 Kp

1155.. Hallar la resultante de las cuatro fuerzas indicadas en el siguiente diagrama.

A

B

Sol. 834 Kp hacia apoyo A.

37° 5m

150 Kp

2m

30º

40 Kp

1111.. Un bloque de 80 Kg. de peso esta sostenido por dos cuerdas que forman con el techo ángulos de α=37º y θ= 53º. Hallar las tensiones en cada una de las cuerdas.

400 Kp

abajo, aplicada a 2,28 m del

250 Kp

100 Kp

30º

30º

A

B 2,5 m

1,5 m

1m

Sol. 48 Kg.; 64Kg.

1166.. Una barra homogénea AB de longitud 2L y de peso “P” puede girar alrededor de un eje horizontal en el α θ extremo A de la barra. Esta se apoya sobre una barra T homogénea CD de la misma longitud 2L, puede girar T alrededor de un eje horizontal que pasa por su punto medio E. Los puntos A y E se encuentran en la misma vertical a la distancia AE = L. Una carga w Q = 2P esta suspendida en el extremo D. Suponiendo 1122.. Cuál es el valor de la fuerza F necesaria y suficiente que no existe rozamiento, determinar el valor del ángulo para que el bloque de 600 N suba con velocidad θ para que el sistema este en equilibrio. Sol. 82,82º constante. Sol. 450 N.

A 2L

L

37º

1133.. Un bloque de 600 N de peso se encuentra en equilibrio sobre un plano liso y sostenido por una cuerda inelástica. Hallar el valor de la fuerza de reacción del plano (N) y la tensión T en la cuerda. Sol. 480 N; 360 N.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

θ

B

C L

EE L

D 2P

2277

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMooontero nntteerroo

EEssttááttiiccaa A Au uttooeevva allu ua acciióón n 11.. Cuándo se dice que un cuerpo esta en equilibrio: 22.. Qué es cupla de fuerzas: 33.. Qué significa momento de una fuerza:

44.. Cuándo se dice que un cuerpo esta en equilibrio estático: 55.. Cuándo se dice que un cuerpo esta en equilibrio dinámico: 66.. Cuándo el momento se considera positivo: 77.. Cuándo se considera al momento negativo: 88.. Cuándo un cuerpo permanece en reposo:

2288

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss M Moonntteerroo

Capítulo III Cinemática

E moovviim miieennttoo;; yy ssoonn m Enn llaa nnaattuurraalleezzaa nnaaddaa hhaayy m mááss aannttiigguuoo qquuee eell m muucchhooss yy eexxtteennssooss llooss lliibbrrooss qquuee llooss ffiillóóssooffoss llee hhaann ddeeddiiccaaddoo;; ssiinn eem mbbaarrggoo qquuee hhaayy m muucchhaass ccoossaass iinnteerreessaanntteess aacceerrccaa ddee ééll qquuee hhaassttaa aahhoorraa hhaann ppaassaaddoo iinnaadvveerrttiiddoo.. A muueevvee,, ccoom mppaarraam mooss All ddeecciirr qquuee uunn ccuueerrppoo ssee m essppoonnttáánneeaam mooss eenn rreeppoossoo:: uunn meennttee ssuu ppoossiicciióónn ccoonn aallggoo qquuee ccoonnssiiddeerraam áárrbbooll,, uunn ppoossttee,, uunnaa ccaassaa,, eettcc.. E Enn llaa ppaarraaddaa ssee vvee eell aauuttoobbúúss m moovveerrssee yy aacceerrccaarrssee;; eell vviiaajjeerroo,, deennttrroo ddeell aauuttoobbúúss,, nnoo vvee ccóóm moo ssee m muueevvee ééssttee,, ssiinnoo eell m muunnddoo eexxtteerriioorr,, ccoom moo ccuuaannddoo vvaam mooss eenn ttrreenn yy vveem mooss ppaassaarr llooss ppoosstteess rrááppiiddaam meennttee..

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

CCiinneemmááttiiccaa 33..66.. C Cllaasseess ddee ttrraayyeeccttoorriiaa Cinemática R Cuando la Reeccttiillíínneeoo..-33..11.. C Coonnssiiddeerraacciioonneess ggeenneerraalleess..-- La 33..66..11.. mecánica es la parte de la física que trayectoria es una línea recta. estudia el movimiento. Este puede definirse como un cambio continuo de 3.6.2. C Cuurrvviillíínneeoo..-- Cuando la posición. Para Aristóteles, los cuerpos 3.6.2. eran ligeros o pesados según su trayectoria es una línea curva. Entre los naturaleza intrínseca y tendían a ocupar más conocidos tenemos: C Cuando la Ciirrccuullaarr..-el lugar que les correspondía en el 33..66..22..11.. universo de acuerdo con esta trayectoria es una circunferencia. naturaleza, los ligeros ascendían y los pesados caían, también postulaba que cuanto más pesado era un cuerpo, más rápido caía; Stevin y Galileo 33..66..22..22.. PPaarraabbóólliiccoo..-- Cuando la demostraron que la velocidad de caída trayectoria es una parábola. de los cuerpos es independiente del peso de estos. 33..22.. C Coonncceeppttoo..-- La cinemática es una E Ellííppttiiccoo..-Cuando la parte de la mecánica que se encarga de 33..66..22..33.. estudiar única y exclusivamente el trayectoria es una elipse. movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las fuerzas externas que no modifican la estructura interna de la 33..77.. M Moovviim miieennttoo..-- Un cuerpo se halla materia. en movimiento con respecto a un 33..33.. D Deessppllaazzaam miieennttoo..-- Es el cambio de sistema de coordenadas elegido como posición que experimenta una partícula fijo, cuando sus coordenadas varían a al transcurrir el tiempo. medida que transcurre el tiempo. t=0

t=t

33..44.. D Diissttaanncciiaa..-- Es el espacio o longitud de la trayectoria siendo está una magnitud escalar, porque solo posee módulo. 33..55.. T Trraayyeeccttoorriiaa..-- Trayectoria de un móvil es la figura formada por los distintos puntos que va ocupando a medida que transcurre el tiempo.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

En el universo no conocemos puntos fijos, por eso los movimientos que estudiamos siempre son aparentes o relativos. Si existiera un punto de referencia realmente fijo, el movimiento seria absoluto. Cuando el movimiento de los cuerpos se estudia en el plano basta un par de ejes x, y en cambio cuando el cuerpo se mueve en el espacio, el sistema lo constituyen tres ejes x, y, z. 330 0

CCiinneemmááttiiccaa 33..88.. C ddee m Cllaasseess moovviim miieennttoo..-Mencionaremos los siguientes: 33..88..11.. M Moovviim miieennttoo ddee ttrraassllaacciióónn..-- Se denomina movimiento de traslación, cuando los ejes de un sistema de coordenadas siempre permanecen

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo Movimiento rectilíneo uniforme

33..1100.. D Deeffiinniicciióónn..-- El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta, el movimiento es uniforme cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales, tiene las siguientes características paralelos a los ejes de un sistema de dentro del movimiento rectilíneo uniforme, que son los siguientes: coordenadas elegido como fijo.

33..88..22.. M Moovviim miieennttoo ddee rroottaacciióónn..-- Un cuerpo tiene movimiento de rotación cuando:

Todos sus puntos describen circunferencias. Los centros de las circunferencias descritas se hallan sobre una misma recta llamada eje de rotación. 33..88..33.. M Moovviim miieennttoo ddee vviibbrraacciióónn..-- Un cuerpo tiene movimiento de vibración cuando se mueve en oscilaciones rápidas con respecto a un sistema de referencia.

1 seg.

1 seg.

1m

1m

3311

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

1m

a.- La distancia (d) recorrida es absolutamente proporcional al tiempo (t) en recorrerla. b.- En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante. 33..1111.. V Veelloocciiddaadd uunniiffoorrm mee..-- Una velocidad se llama uniforme cuando el movimiento no cambia ni en dirección ni en magnitud. La fórmula para la velocidad uniforme dice, matemáticamente, que la velocidad es la distancia (d) en una dirección dada dividida por el tiempo (t) durante el cual tiene lugar dicho desplazamiento: v=

33..99.. E Eqquuiilliibbrriioo..-- Un cuerpo cualquiera se encuentra en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración.

1 seg.

d t

33..1122.. E Elleem meennttooss ddeell m moovviim miieennttoo uunniiffoorrm mee..-33..1122..11.. D Diissttaanncciiaa..-- Al cambio de posición que experimenta una partícula al transcurrir el tiempo. 33..1122..11..11.. U Unniiddaaddeess:: 33..1122..11..11..11.. SSiisstteem maa IInntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..))..-- En este sistema la distancia se expresa en:

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo Nombre Unidad Metro m Kilómetro Km. 33..1122..11..11..22.. SSiisstteem maa C Ceeggeessiim maall ((C C.. G G.. SS..))..-- En este sistema la distancia se expresa en: Nombre Unidad Centímetros cm. Milímetros mm 33..1122..22.. T Tiieem mppoo..-- Un momento empleado en realizar un acontecimiento. 33..1122..22..11.. U Unniiddaaddeess:: 33..1122..22..11..11.. SSiisstteem maa IInntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..))..-- En este sistema el tiempo se expresa en: Nombre Unidad Segundo seg. 33..1122..33.. V Veelloocciiddaadd..-- Es una magnitud vectorial cuyo módulo indica cuál es el espacio recorrido por un móvil en cada unidad de tiempo. 33..1122..33..11.. U Unniiddaaddeess:: 33..1122..33..11..11.. SSiisstteem maa IInntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II))..-- En este sistema la distancia se expresa en metros y el tiempo en segundos, la velocidad queda medida en metros por segundo: Nombre Unidad Distancia m Tiempo seg. m / seg. Velocidad 33..1122..33..11..22.. SSiisstteem C maa Ceeggeessiim maall ((C C..G G..SS..))..-- En este sistema la distancia se expresa en centímetros y el tiempo en segundos, la velocidad queda medido en centímetro por segundo: Nombre Unidad Distancia cm Tiempo seg. Velocidad cm / seg. FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

CCiinneemmááttiiccaa 33..1133.. G Grrááffiiccaa ddiissttaanncciiaa ttiieem mppoo..-- Para este tipo de gráficas se utiliza un plano formado por los ejes rectangulares que son el eje de ordenadas representada por la y, el eje de abscisas representada por la x. Sobre el eje de abscisas llevamos los tiempos y sobre el de ordenadas las distancias. Representemos gráficamente la distancia recorrida por un móvil al cambiar su posición de un punto a otro, a una velocidad de 50 Km / h con movimiento uniforme. v=

d t

d = v*t

V = 50 Km/h

V’= 25 Km/h

t (h)

d (Km)

t (h) d (Km)

0 1 2 3

0 50 100 150

0 1 2 3

0 25 50 75

d (Km) 200

150

100

P v = 50 Km/h

50

P· v· = 25 Km/h

β

α 0

Q 1

2

3 t (h)

Representamos en un mismo sistema la gráfica de la distancia del móvil anterior, y la de otro móvil que parte al mismo tiempo, pero con una velocidad de 25 Km / h. Observamos que todos los puntos están sobre una misma recta de modo que 3322

CCiinneemmááttiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

“En el movimiento uniforme la representación gráfica de la distancia en función del tiempo es una línea recta “. Al móvil más veloz corresponde una recta que forma un ángulo mayor con el eje de los tiempos. Consideremos un punto P de la recta correspondiente al primer móvil y el punto P’ de la recta para el segundo que tiene la misma abscisa que P, que significado físico tienen los ángulos α y β. Observemos para el primer móvil que:

Es decir; que en la representación gráfica de la distancia, la velocidad está representada por la tangente del ángulo que forma la recta representativa con el eje de los tiempos. Como: α >β Tan α > tan β v > v´ 33..1144.. C Coonncclluussiioonneess..-Y Y Si la representación gráfica es una línea recta la velocidad es constante. Y Y El valor de la velocidad depende de

la inclinación (pendiente) y no de la posición de partida.

P Q distancia = = velocidad (v) O Q tiempo

Y Y Si la recta sube la velocidad es

P Q (1) v= O Q

positiva, si baja la velocidad es negativa. ΔOQP el cociente entre el cateto PQ Grrááffiiccaa vveelloocciiddaadd ttiieem mppoo..-- Para (opuesto al ángulo β), el cateto OQ 33..1155.. G (adyacente al ángulo β), se llama hallar la gráfica de velocidad tiempo, consideramos la siguiente tabla de tangente del ángulo β es decir. datos. tan β =

P Q ( 2) O Q

Relacionando (1) y (2) tenemos: v = tan α

Intervalo de duración tiempo del intervalo a b c d e f

velocidad durante el intervalo

1 3 1 5 1 3

30 50 25 60 25 -30

30 150 25 300 25 -90

Para el segundo móvil tenemos:

d = 440 Km. e = 620 Km

P 'Q distancia = OQ tiempo v'=

P' Q (1) O Q

ΔOQP’ el cociente entre el cateto P’Q (opuesto al ángulo α), el cateto OQ (adyacente al ángulo α), se llama tangente del ángulo α es decir: tan α =

P' Q (2) OQ

Relacionando (1) y (2) tenemos: v' = tan β

3333

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

distancia en Km.

d (Km) 60

40

20

0

-20

b a

d c

1

2 3

4 5

f 6 7

8 9 10

11 12 13

g

14 t (h)

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

CCiinneemmááttiiccaa

Sea el rectángulo limitado por los ejes, 60 la recta representativa, es una recta paralela al eje de ordenadas, que pasa 50 por el punto de abscisa t, el área del 40 rectángulo es: área (a, b, c, d, f, g) = altura x base

30

d (m)

V2 = 0

V3=-2m/seg

V1 = 3 m/seg

Pero la altura es la velocidad, la base es 20 el tiempo, de modo que: área (a, b, c, d, f, g) = v x t = d

En la representación gráfica de la velocidad, el área del rectángulo determinado por los ejes, la recta representativa, la paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto de abscisa t, representada la distancia recorrida por el móvil hasta el instante t. 33..1166.. C Coonncclluussiioonneess:: 11.. Mientras más arriba queda la recta, la velocidad es mayor. 22.. Si se obtiene una recta paralela al eje x la velocidad es constante. 33.. Las rectas que quedan por encima del eje de la x representan velocidades positivas y por debajo velocidades negativas. 44.. Las áreas que quedan entre una recta y el eje x representan los desplazamientos en cada intervalo. 33..1177.. G Grrááffiiccaa ppoossiicciióónn ttiieem mppoo aa llaa ggrrááffiiccaa vveelloocciiddaadd ttiieem mppoo..-- Para representar está gráfica, se realiza en función de la siguiente tabla de valores que es la siguiente. t (seg.) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

ímica FFísica ísica QQuuímica

d (m) 0 30 60 60 60 60 40 20 0 - 20 - 40 -40

10 10

20

30

40

50

60

70

80

90 100

110 t (s)

0 -10 -20 V4=0

m d 0 − 60 v = = =3 1 t 0 − 20 seg m v =0 2 seg 60 + 40 m v = = −2 3 50 − 100 seg

m v =0 4 seg v (m/seg)

6 5 4 3 2 1 0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

t (seg)

-1 -2 -3 -4

334 4

CCiinneemmááttiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

R Reessu um meen n

Cinemática

Definición

Elementos del movimiento uniforme

Estudia los movimientos sin tomar en cuenta las causas.

Desplazamiento Cambio de posición de una partícula al transcurrir el tiempo.

Distancia Al espacio o longitud de la trayectoria.

Velocidad Al espacio recorrido por cada unidad de tiempo.

Unidades S.I. Metro,/segundo.; Kilómetro/hora.

C.G.S. Centímetro / segundo.

Trayectoria Conjunto de puntos que forman el camino recorrido.

Movimiento Cambio de posición con relación a un punto fijo (referencia).

Distancia Cambio de posición de una partícula al transcurrir el tiempo.

Unidades S.I. Metro, kilómetro

C.G.S. Centímetro, milímetro.

Tiempo Un momento en realizar un acontecimiento.

Clases de movimiento

Movimiento de traslación Cuando sus ejes permanecen paralelos a un punto fijo.

Unidades S.I. Segundo.

Movimiento de rotación Sus puntos describen circunferencias. Sus centros se hallan sobre una misma recta.

Movimiento de vibración Se mueve en oscilaciones rápidas respecto a un punto fijo.

R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass 11.. V Veelloocciiddaadd uunniiffoorrm mee::

Equilibrio

v=

Un cuerpo cundo carece de aceleración, se halla en equilibrio.

d t

Movimiento rectilíneo uniforme

22.. D Diissttaanncciiaa:: d = v*t Concepto El móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales.

33.. T Tiieem mppoo:: t=

Velocidad uniforme Cuando el movimiento no cambia en dirección y magnitud.

v=

d t

44.. C Crruuccee yy aallccaannccee ddee m móóvviilleess:: t= y =

3355

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

d v

d V1 + V2

d ( V 2 - V1 ) V1

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss 11.. Un automóvil recorre 360 Km. en 5 h calcular la velocidad media en km/h y en m/seg. Datos d = 360 Km t =5 h v =?

V=? t=5h d = 360 Km.

d t 360 Km v= 5 h Km v = 72 h Km 1000 m 1 h v = 72 * * h 1 Km 3600 seg. m v = 20 seg. v=

CCiinneemmááttiiccaa Km 1 h d1=40 *4 min* =2,67 Km h 60 min d2 = v2 *t2 Km 1 h d2 = 80 *8 min* = 10,67 Km h 60 min d3 = v3 *t3 Km 1 h = 1,07 Km d3 = 32 *2 min* h 60 min d t = d1 + d2 + d3 d t = 2,67 Km + 10,67 Km + 1,07 Km d t = 14,4 Km V3=32 km/h

V2=80 km/h

t = 2 min

t = 8 min

V1=40 km/h

t = 4 min

d b. v = t tt 14,4 Km Km v= = 1,02 14 min min Km 60 min Km v = 1,02 * = 61,2 min 1h h Km 1000 m 1 min m v = 1,02 * * = 17 min 1 Km 60 seg. seg.

33.. Un corredor pedestre corre 200 m en 22.. Un automóvil marcha a 40 km/h durante 21,6 seg. Calcular su velocidad en m/seg.; 4 min., a continuación va a 80 km/h km/h y m/min. durante 8 min., y, finalmente, a 32 km/h Datos durante 2 min. Calcular a) la distancia total d = 200 m recorrida en Km. y b) la velocidad media en t = 21,6 seg. km/min. , en Km. y en m/seg. durante los m Km m v =? ; ; 14 minutos. seg. h min. Datos a. v1 = 40 Km/h t1 = 4 min. d1 = ? v2 = 40 Km/h

t2 = 4 min. d2 = ? v3 = 32 Km/h t3 = 2 min. d3 = ? dt = ?

b. v = ? km/min;Km/h;m/seg. d a. v= t d=v*t d1=v1 *t1

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

V=?

t = 21,6 seg. d = 200 m.

d 200 m m v= = = 9,26 t 21,6 seg. seg. m 1 Km 3600 seg. v = 9,26 = * seg. 1000 m 1 h Km v = 33,3 h m 60 seg. m v = 9,26 * = 555,6 min. seg. 1 min.

44.. La velocidad de un avión es de 970 km/h; la de otro de 300 m/seg. ¿Cuál es el más veloz?

336 6

CCiinneemmááttiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

Datos

v=

Km v1 = 970 h m v2 = 300 seg.

d = v*t = 72

V1 = 970 Km. /h

V2 = 3000 m. /seg.

m 1 Km 3600 seg. v2 = 300 * * seg. 1000 m 1 h Km v2 = 1080 h El segundo es más veloz

55.. ¿Cuánto tardará un automóvil, con movimiento uniforme en recorrer una distancia de 300 Km., si su velocidad es de 30 m/seg? Datos d=300 Km m v=30 seg. t=?

V=30m/seg. t =? d = 300 Km.

d v= t

d ⇒ t= v 300 Km t= m 3600 seg. 1 Km 30 * * seg. 1 h 1000 m 300 Km t= = 2,777777778 h Km 108 h t=2 h 46 min 40 seg.

66.. Un vehículo marcha a 72 km/h, con movimiento rectilíneo uniforme ¿Cuánto recorre en 3 horas? Datos v = 72 t =3 h d =?

Km h

V=72 km/h. t =3 h d = ?.

3377

d t

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

Km *3 h = 216 Km h

77.. Hallar el tiempo que tarda un móvil en recorrer una trayectoria de 56489 m, empleando una velocidad de 45 m/seg Datos m seg. d = 56489 m t =? v = 45

V= 45 m/seg.

t=? d = 56489 m.

d t d 56488 m t= = = 1255,31 seg. m v 45 seg. v=

88.. Un móvil recorre una trayectoria en 23489 seg. de tiempo y la velocidad que emplea es 98456 m/seg. Calcular el desplazamiento de dicho móvil. Datos v = 98456

m seg.

t = 23489 seg. d = ? V= 98456 m/seg.

t = 23489 seg

d=? d t m d = v*t=98456 *23489 seg. seg. d=2312632984 m v=

99.. Calcular la velocidad de un coche que corre una distancia de 336 Km. y tarda un tiempo de 8765 seg. , hallar la velocidad en m/seg. Datos m t = 8765 seg. seg. d = 336 Km. v =?

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

CCiinneemmááttiiccaa

V= ?

t=

t = 8765 seg

5 Km 60 min. = 0,05h* =3 min Km 1h 100 h

x = 0,67 Km/min * t

d = 336 km

x = 5 Km – 1km/min * t t(min) x(Km)

t(min) x(Km)

d t 336 Km 1000 m v= * 8765 seg. 1 Km. m v = 38,33 seg. v=

0 1 2 3 4 5

1100.. Un tren recorre 200 Km. En 3h 25 min. 15 seg. ¿Cuál es su velocidad? Datos

5 4 3 2 1 0

5

d=200 Km t=3h 25 min. 15 seg.

4 3

V= ?

2

t = 3 h 25 min. 15seg d = 200 km d

0 1 2 3 4 5

0 0,67 1,3 2 2,6 3,3

1 0 1

2

3

4

5

200 Km

1122.. Un móvil parte de A con una velocidad de 50000 m/seg y otro móvil de 30000 m/seg. La distancia entre A y B es 200 Km 200 Km Km 160000 m. Calcular a que distancia de A se v= = = 58,5 3 h + 0,416 h + 0,00416 3,42016 h h encontrarán si ambos vienen al encuentro y en que tiempo. 1111.. Dos automóviles distan 5 Km. uno de Datos otro, y marchan en sentidos contrarios, a 40 y v = 50000 m/seg. 60 km/h. ¿Cuánto tardaran en cruzarse? A v B = 30000 m/seg (solución gráfica y analítica). x =? Datos v=

t

=

1h 1h 3 h + 25 min. * + 15 seg. * 60 min. 3600 seg.

x AB = 5 Km.

t =?

A

Km h Km v B = 60 h t = ?. v A = 40

x

A

x =5 Km.

x’

x, = v A t (1)

(5Km – x’)

5 Km - x, = vB * t (2)

Reemplazando (1) en (2) tenemos 5 Km - v A * t = vB * t v A * t + vB * t = 5 Km t=

5 Km 5 Km = Km Km v A +vB 40 + 60 h h

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

B

x t d-x VB = t

B

d

vA =

d (d – x)

(1 )

(2)

despejando x de (1) tenemos: x=VA *t

(3)

remplazamos (3) en (2) tenemos: d (VA *t) VB = t VB * t = d *(VA * t) VB *t + VA *t = d d t= vB + v A

3388

CCiinneemmááttiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

160000 m = 2 seg. m m 50000 + 30000 seg seg m *2 seg. x = 100000 m x = VA * t = 50000 seg.

Datos

t=

m v A = 8 seg m VB = 15 seg t = 2min = 120 seg.

1133.. Expresar una velocidad de 72 km/h en m/seg.; km/min.; cm/seg.

VA

1h 1000 m m 72 km h `* 3600 seg * 1 km = 20 seg.

P A

XA

XA - XB

1h km 72 km h `* 60 min = 1,2 min.

1h 1000 m 100 cm cm 72 km h `* 3600 seg * 1 km * 1 m = 2000 seg.

1144.. Dos móviles parten de A y de B que línea recta están a una distancia “d”. velocidad de A es los 2/3 de la velocidad B. ¿Cuál es el tiempo que demoran encontrarse en función de “d” y de VB? Datos

B

en la de en

d=d

VA

VB

C

A A

B dA,t

dA

d

(d - dA), t

(1) = 2dA VA *VB 3 d - dA (2) t= VB igualando (1) y (2) dA = d - dA 2*V VB 3 B d A = 23 d − 23 d A B d A + 23 d A = 23 d B 35 d A = 23 d d A = 25 d t=

xA tA

x A = vA * tA x A = 8 sm eg * 1 2 0 seg = 9 6 0 m vB =

xB tA

xB - xA = 1800m - 960m xB - xA = 840m 1166.. A Johnny lo llaman por teléfono a su casa desde el Colegio a las 9 de la mañana y le dicen que debe presentarse a las 10 h y 30 min. Si Johnny sale inmediatamente de su casa, que dista 14 Km. del colegio, calcular la rapidez con la que debe desplazarse para llegar a la hora de la cita. Datos d = 14 Km = 14000 m t =1 h 30 min = 5400 seg. v =?

2 d 3d 5 t= = 2 VB 5VB 3

1155.. Dos móviles A y B pasan simultáneamente por un punto P a lo largo de una carretera rectilínea, con velocidades de 8 m/seg y 15 m/seg respectivamente en la misma dirección y sentido ¿Cual será la distancia que les separa al cabo de 2 minutos?

339 9

VB

x B = v B * tB x B = 1 5 sm eg * 1 2 0 seg = 1 8 0 0 m

v A = 23 VB VA = VB t =?

vA =

XB

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

d t 14000 m m v= = 5,59 5400 seg. seg. v=

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo PPrroobblleem maass pprrooppuueessttooss

CCiinneemmááttiiccaa

traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a 11.. Cuánto tiempo demorara en pasar todo el tren de su trabajo a las 8 a.m. ¿A que hora sale siempre de su casa? 20 m de largo, un túnel de 80 m de largo si lleva una Sol. 7 a.m. velocidad de 5 m/seg. 1122.. Dos ciclistas parten de un mismo punto en sentido Sol. 20 seg. 22.. Un ciclista corre por una pista rectilínea a una contrario, uno a 40 Km. /h y el otro a 50 Km. /h al velocidad de 40 Km. /h. ¿Qué distancia se desplaza al cabo de 5 horas, ¿Qué distancia los separa? Sol. 450 Km. cabo de 15 minutos? 1133.. Un automóvil viaja de Potosí a la Paz 550 Km. Sol. 10000 m. 33.. A 170 m de una persona se produjo una explosión. Si Empleando 7 h ¿Calcular su velocidad? la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/seg. Sol. 78,57 Km./h. ¿Después de que tiempo lo lograra escuchar 1144.. Un móvil recorre Potosí – Sucre 165 Km. Sol. 0,5 seg.1, 39x10-4 h Tardando 2h, 30min y 50 seg. ¿Calcular su velocidad? 44.. Un atleta corre una pista de 100 m. en 11 seg. ¿Cuál Sol. 65,63 Km./h es su velocidad? 1155.. Calcular la distancia que recorre un avión que viaja Sol. 9,09 m/seg. durante 3h, 20 min. y 40 seg. a razón de 650 Km./h 55.. Representar gráficamente el movimiento de un Sol. 2171,65 Km. móvil que marcha a v = 1 m. /seg., con movimiento 16. 16. Calcular la distancia que existe entre el sol y la rectilíneo uniforme. tierra si la luz del sol tarda en llegar a la tierra 8 min. 66.. Representar gráficamente el movimiento de un 20 seg. y su velocidad es de 300000 Km./seg. móvil que marcha a v = 20 Km. /h, con movimiento Sol. 150000000 Km. rectilíneo uniforme. 1177.. Dos móviles salen de un mismo punto en direcciones 77.. Representar gráficamente el movimiento de un móvil opuestas con velocidades v1 = 7 m./seg. y v2 = 13 que en 2 horas recorre 120 Km., con movimiento m./seg.¿Que distancia los separa al cabo de 2 minutos? rectilíneo uniforme. Sol. 2400 m. 88.. Del origen de coordenadas parte un móvil siguiendo 18. 18. Dos lugares A y B están separados por 100 Km. De el eje y, a una velocidad de 6 Km. /h, y A sale una motocicleta hacia B demora 4 horas en simultáneamente otro, siguiendo el eje x, a una llegar. De B sale otra motocicleta hacia A y demora 5 velocidad de 8 Km. /h. al cabo de 10 horas, los móviles horas en llegar. Calcular: a) ¿a que distancia de A se dan vuelta, y marchan hacia el origen de las cruzan? b) ¿Cuánto tiempo después que partieron? coordenadas, pero ahora la velocidad del primero es Sol. 55,56 Km.; 2,22 h. la que de ida tenia el segundo, y la del segundo, la que tenia el primero. ¿Cuántas veces, y en que instantes, 1199.. Un obrero sale todos los días de su casa a las 6:30 a.m. y se dirige de la ciudad hacia la fabrica que se estarán separados entre si por 35 Km? encuentra a 30 Km. Diez minutos mas tarde, de la Sol. 2 veces; 3 h 30 min. y 17 h 30 min. 99.. Dos corredores están separados 20 Km. en línea recta. fabrica sale en dirección de la ciudad un ciclista a razón de 18 Km./h, encontrándose con el obrero cuando este Parten al encuentro el uno al otro en el mismo instante había caminado 6 Km. ¿A que hora sucede el encuentro, con velocidades de 5m/seg. y 6m/seg. y cual es la velocidad del obrero? Respectivamente. ¿Qué distancia los separa después de Sol. 30 min.; 12 Km./h. ½ h en Km? 2200.. Dos móviles, M y M’, parten simultáneamente desde Sol. 0,2 Km. 1100.. Dos hombres separados 100 m corren en la misma A hacia B, y en ese mismo instante parte otro, M’’, dirección con velocidades constantes V1 = 6 m/seg. y desde B hacia A. La distancia AB = 90 Km., y las V2 = 4 m/seg. De modo que el segundo toma la velocidades de los móviles son de 6 Km. /h y 9 Km. /h, ventaja. ¿Al cabo de que tiempo el primero alcanza al respectivamente. Determinar, gráfica y analíticamente los tiempos en que: a) M equidista de M’ y M’’; b) M’ segundo? equidista de M y M’’; c) M’’ equidista de M y M’; d) M Sol. 50 seg. 1111.. Una persona sale todos los días de su casa a la se cruza con M’’. Sol. 5 h 37 min 30 sg. 6 h 55 min 23 seg. 6 h 12 min misma hora y llega a su trabajo a las 9 a.m. un día se 24,8 seg. 6 h.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

4 40 0

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PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

2211.. Dos cuerpos se mueven siguiendo los lados de un ángulo recto. Partieron simultáneamente del vértice, con velocidades de 25 cm. /seg. y de 32 cm. /seg., y han transcurrido 10 segundos. ¿A qué distancia están uno de otro? Sol. 406 cm

2233.. Dos estaciones distan entre si 100 Km. De A sale un tren que tardara 2 horas en llegar a B; de B sale otro hacia A, donde llegara en una hora y media. Calcular a que distancia de A se cruzan, y que y que tiempo después de haber partido simultáneamente cada uno de su estación. Solución gráfica y analítica.

2222.. Un móvil avanza uniformemente en línea recta una Sol. 42,8 Km 51 min 26 seg. distancia de 1600 m al cabo de 40 seg. ¿Cual es su velocidad en Km./h? Sol. 144 Km./h.

Autoevaluación 11.. Cuál es el estudio de la cinemática: 22.. Cómo se llama al espacio o longitud de la trayectoria: 33.. Un cuerpo se halla en movimiento con respecto a un sistema de: 44.. Un cuerpo tiene movimiento de rotación cuando sus puntos: 55.. Cuándo un cuerpo carece de aceleración se encuentra en: 66.. El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una: 77.. Cuando la velocidad de un móvil permanece constante se llama movimiento: 88.. Un momento empleado en realizar un acontecimiento: 99.. Cómo se llama a la distancia recorrida en cada unidad de tiempo: 1100.. En el movimiento uniforme la velocidad es:

4 411

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PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRiiooss M Moonntteerroo

Capítulo IV Movimiento rectilíneo uniforme variado (M.R.U.V.)

E moo llaass m moottoocciicclleettaass,, eess ttaann Enn llooss vveehhííccuullooss ddee ccoom mppeettiicciióónn,, ccoom iim moo hhaacceerrlloo eenn eell m míínniim moo mppoorrttaannttee ppooddeerr ccoonnsseegguuiirr aallttaass vveelloocciidaaddeess ccoom ddee ttiieem mppoo,, eess ddeecciirr,, eess m muuyy iim mppoorrttaannttee oobbtteenneerr ggrraannddeess aacceelleerraacciioonneess..

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo M Moovviim miieen nttoo rreeccttiillíín neeoo u un niiffoorrm mee vva arriia ad doo ((M M..R R..U U..V V..)) 44..11.. D Deeffiinniicciióónn..-- Es el que tiene un móvil cuya trayectoria es recta y su aceleración constante en magnitud y dirección en dicho movimiento, la aceleración media coincide con la aceleración en cualquier instante. La aceleración puede ser positiva o negativa 44..22.. E Elleem meennttooss ddeell M M.. R R.. U U.. V V..-- Los elementos del M.R.U.V. son los sigtes: 44..22..11.. D Diissttaanncciiaa, al cambio de posición que experimenta una partícula al transcurrir el tiempo. t1

d0

t2

d1

d2

44..22..22.. T Tiieem mppoo, un momento empleado en realizar un acontecimiento.

44..22..33.. V Veelloocciiddaadd iinniicciiaall, una partícula tiene velocidad inicial, cuando dicha partícula se mueve de tal manera que su velocidad inicial medida no es constante en intervalos diferentes de tiempo.

MM..RR..UU..VV.. 44..22..55.. V Veelloocciiddaadd m meeddiiaa, de una partícula es la rapidez con que cambia de posición al transcurrir el tiempo. y

A, t 1 Δd = d 2 - d 1 d1

B, t 2 d2

O

x

Consideramos una partícula que esta en el punto A, en el instante t1, su posición en el plano x, y queda determinada por el vector de posición d1. Para mayor sencillez, consideraremos solo el movimiento en dos dimensiones, la ampliación a tres dimensiones no presenta ninguna dificultad. Consideremos que en un cierto tiempo después, t2 la partícula esta en el punto B, determinado por el vector de d2. El vector de posición desplazamiento que describe el cambio de posición de la partícula conforme se mueve de A hacia B es decir ∆d(d2- d1) y el tiempo transcurrido para el movimiento entre esos puntos es Δt(t2-t1). La velocidad media de la partícula durante un intervalo queda definida: v=

Δd Δt

Una raya sobre un símbolo indica un valor medio de la cantidad de que se trate. La cantidad v es un vector, porque se obtiene dividiendo el vector 44..22..44.. V Veelloocciiddaadd ffiinnaall, una partícula d entre el escalar t. Acceelleerraacciióónn, es el cambio de tiene velocidad final, cuando dicha 44..22..66.. A partícula llega al final de un velocidad por cada unidad de tiempo transcurrido. determinado recorrido. vi

a vf

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

4 433

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

MM..RR..UU..VV.. 44..22..66..11.. U Unniiddaaddeess:: 44..22..66..11..11.. SSiisstteem maa IInntteerrnnaacciioonnaall ((SS.. II..))..-- Este sistema expresa, la velocidad en metro por segundo, el tiempo en segundos y la aceleración en metros por segundo; por segundo es decir: Nombre Unidad Velocidad m / seg. Tiempo seg. Aceleración m / seg. 2 44..22..66..11..22.. SSiisstteem G.. SS..))..-maa C Ceeggeessiim maall ((CC.. G Este sistema expresa, la velocidad en centímetro por segundo, el tiempo en segundos y la aceleración en centímetros por segundo; por segundo es decir: Nombre Unidad Velocidad cm / seg. Tiempo seg. Aceleración cm / seg. 2 44..33.. C V:: U.. V R.. U M.. R Cllaasseess ddeell M 44..33..11.. M Moovviim miieennttoo uunniiffoorrm meem meennttee aacceelleerraaddoo..-- Es aquel móvil que aumenta su velocidad en cada unidad de tiempo, en una cantidad constante llamada aceleración. 44..33..22.. M Moovviim miieennttoo uunniiffoorrm meem meennttee rreettaarrddaaddoo..-- Es aquel móvil que disminuye su velocidad en cada unidad de tiempo, en una cantidad constante llamado decelerado. 44..44.. FFóórrm muullaass:: 44..44..11.. FFóórrm muullaa ddee llaa vveelloocciiddaadd ffiinnaall eenn eell m moovviim miieennttoo uunniiffoorrm meem meennttee aacceelleerraaddoo..-- Sabemos que: Δv (1) Δt V − Vi a= f (2) t2 − t1 a=

V − Vi a= f t

(4)

Despejando de (4) v f tenemos: a∗t = V −V f i V −V = a∗t f i V = V +a∗t f i

Si el móvil parte del reposo, vi = 0, la ecuación final toma la siguiente forma: Vf = Vi + a ∗ t Vi = 0 (2)

(1)

Reemplazando (2) en (1) tenemos: Vf = 0 + a ∗ t Vf = a ∗ t

44..44..22.. FFóórrm muullaa ddeell ddeessppllaazzaam miieennttoo..-Sabemos que: V=

d t

De donde: d = v∗t

(1)

Pero también: v +v V= i f 2

(2)

Reemplazando (2) en (1) tenemos: v +v d = i f ∗t 2

(3)

Por otra parte sabemos que: Vf = Vi + a ∗ t

(4)

Reemplazando (4) en (3) tenemos: V + Vi + a ∗ t d= i ∗t 2 2 ∗ Vi + a ∗ t ∗t d= 2 2 ∗ Vi ∗ t + a ∗ t2 d= 2 2 ∗ Vi ∗ t a∗t2 + d= 2 2 2 a∗t d = Vi ∗ t + 2

Si el móvil parte del reposo, v i = 0, la = t) (3) tiempo neto ecuación final toma la siguiente forma:

Pero si (t 2 - t 1 completo. Reemplazando (3) en (2) tenemos: 4 44 4

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

a∗t2 2 (2)

d = vi ∗ t + vi = 0

(1)

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo Reemplazando (2) en (1) tenemos: d =0∗t + d=

a∗t2 2

a∗t2 2

MM..RR..UU..VV.. 44..55.. G Grrááffiiccaa ddee llaa vveelloocciiddaadd ttiieem mppoo..-Representemos gráficamente la velocidad por un móvil cuyo cambio de velocidad es 10 m / seg. cada segundo.

a = 10 m / seg. 2 a = 5 m / seg. 2 44..44..33.. FFóórrm muullaa ddeell ccuuaaddrraaddoo ddee llaass v f = v i + a t vf = vi + a t vveelloocciiddaaddeess..-- Sabemos que: vf = a t vf = a t 2 v f = 10 m / seg. * t v f = 5 m / seg. 2 * t d V=

t

t(seg) V= m/seg 0 0 10 1 20 2 30 3

De donde: d = v∗t

(1)

Pero también v +v V= i f 2

t(seg) V= m/seg 0 0 5 1 10 2 15 3

v = m/seg

(2)

40

Reemplazando (2) en (1) tenemos: v +v d = i f ∗t 2

(3)

2

a = 10 m/seg 30

Por otra parte sabemos que: Vf = Vi + a ∗ t

(4)

20 2

2 a = 5 m/seg

De (4) despejamos t Vf − Vi = a ∗ t V −V t = f i (5) 2

10

Reemplazando (5) en (3) tenemos: V + Vf Vf −Vi d= i ∗ a 2 Vi ∗ Vf − Vi2 + Vf2 − Vf ∗ Vi d= 2∗a 2 2 V -V d= f i 2∗a 2 Vf − Vi2 =d 2∗a v2f − Vi2 = 2 ∗ a ∗ d v2f = Vi2 + 2 ∗ a ∗ d

0

β

α 1

2

3 t (seg)

Representamos en un mismo sistema la gráfica de la velocidad del móvil anterior y la de otro móvil que parte al mismo tiempo, pero con una velocidad de 5 m / seg. cada segundo. Observemos para el primer móvil que: P Q velocidad = = aceleración O Q tiempo

(a)

Δ OQP el cociente entre el cateto PQ (opuesto al ánguloα), el cateto OQ Si el móvil parte del reposo, vi = 0, la (adyacente al ángulo α ), se llama ecuación final toma la siguiente forma. tangente del ángulo α es decir: v2f = Vi2 + 2 ∗ a ∗ d Vi = 0 (2)

(1)

Reemplazando (2) en (1) tenemos v2f = 0 + 2 ∗ a ∗ d v2f = 2 ∗ a ∗ d

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

tan α =

PQ OQ

a=tan α

Para el segundo móvil tenemos: P , Q velocidad = = aceleración tiempo OQ

(a , )

4 455

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

MM..RR..UU..VV.. Δ OQP’ el cociente entre el cateto P’Q (opuesto al ánguloβ), el cateto OQ (adyacente al ánguloβ), se llama tangente del ángulo β es decir:

t(seg) 0 1 2 3 4 5 6

P'Q OQ a ' = tan β

tan α =

Es decir; que en la representación gráfica de la velocidad, la aceleración esta representada por la tangente del ángulo que forma la recta representativa con el eje de los tiempos. Como α > β tan α > tan β a > a’ 44..55..11.. C Coonncclluussiioonneess:: Y Y Si la representación es una línea recta la aceleración es constante. Y Y El valor de la aceleración depende del ángulo de inclinación y no de la velocidad inicial; es decir a mayor ángulo de inclinación mayor aceleración. Y Y Si la recta sube la aceleración es positiva, si baja la aceleración es negativa. 44..66.. G Grrááffiiccaa ppoossiicciióónn ttiieem mppoo..-- Para encontrar la gráfica posición tiempo se considera un móvil que parte del reposo y a los 10 seg. su velocidad es 90 Km./h suponiendo un movimiento uniformemente acelerado. km m v = 0; t = 10seg.; v f = 90 = 25 h seg. a*t2 a*t2 ⇒d = d = v o *t + 2 2 v f = v o + a*t ⇒ v f = a*t m 25 v seg m a= f ⇒a= = 2,5 t 10 seg seg 2 m 2,5 * (1 seg ) seg2 d= = 1,25 m 2

4 46 6

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

d(m) 0 1,25 5 11,25 20 31,2 45

d (m)

50 Q

45 40

30

P

20

R

10 α β

0 1

vm =

d6 -d 4

2

6 seg-4 seg m v m = 12,5 seg tan α = v m

3

=

4

5

6 t(seg.)

45 m − 20 m 2 seg

Observamos : que la velocidad media entre dos instantes dados está representada por la tangente del ángulo formado por el eje de abscisas y la recta determinada por los puntos de la parábola correspondientes a esos dos instantes. También se ve que la velocidad instantánea está representada en la gráfica por la tangente trigonométrica del ángulo que forman los ejes de los tiempos con la recta tangente a la parábola en el punto considerado.

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

R Reessu um meen n

MM..RR..UU..VV..

R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass 11.. V Veelloocciiddaadd m meeddiiaa::

Movimiento variado

V= Velocidad media La relación entre la variación de la posición y la variación destiempo.

Δd vm = Δt

Velocidad instantánea Es la velocidad media cuando el intervalo de tiempo Δt tiende a 0

Δd v = lim Δt →0 Δt

Δd Δt

22.. FFóórrm muullaa ddee llaa vveelloocciiddaadd ffiinnaall:: V = V +a∗t f i

Si el móvil parte del reposo, vi = 0. V = a*t f

Movimiento rectilíneo uniforme variado Cuando un móvil su trayectoria es una recta y su aceleración constante.

33.. FFóórrm muullaa ddeell ddeessppllaazzaam miieennttoo:: 1 d = v * t + *a * t2 i 2

Aceleración Cambio de velocidad por cada unidad de tiempo transcurrido.

Unidades S.I.

C.G.S.

Metro/seg2

Centímetro/seg2

Formulas

Si el móvil parte del reposo, v i = 0. 1 d = *a * t2 2

4. Fórmula del cuadrado de las velocidades:

Formula de la velocidad final.

Vf = Vi + at

v2 = V2 + 2 ∗ a ∗ d f i

Formula de la distancia o desplazamiento.

at 2 d = vi * t + 2 Formula del cuadrado de las velocidades.

2 2 Vf = Vi + 2ad

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

Si el móvil parte del reposo, vi = 0. v2 = 2 ∗ a ∗ d f

4 477

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

MM..RR..UU..VV..

22.. Un móvil que lleva una velocidad de P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss 8 m/seg acelera su marcha uniformemente de forma que recorre 640 m en 40 seg. Calcular: 11.. Un móvil que lleva una velocidad de a.- La velocidad media durante los 40 seg. 10 m/seg. Acelera su marcha a razón de b.- La velocidad final c.- El incremento de velocidad en el tiempo 2 m/seg.2. Calcular: a.- El incremento de velocidad durante un dado d.- La aceleración. minuto Datos b.- La velocidad al final del primer minuto. c.- La velocidad media durante el primer v i = 8 m/seg. a. b. c. d. d = 640 m v = ? minuto. vf = ? v = ? a = ? d.- El espacio recorrido en un minuto. t = 40 seg. t = 40 seg. Datos v i = 10 m/seg. a = 2 m/seg2

a. vi = ? t = 60 seg.

b. vf = ?

t = 60 seg.

d. d =? t = 60 seg.

c. v =? t = 60 seg.

Vf

Vi

Vi

d,t

Vf d,t

a. d 640 m m = 16 v= = t 40 s seg.

b.

a.

v + vf m v= i ⇒ v f = 2 * v - v i = 2 *16 - 8 = 24 2 seg.

m v i = v f + a*t = 2 *60 seg. seg.

c.

v f = 120

m seg.

b. vf vf

c.

m m *60 seg. = v i + a*t = 10 +2 seg. seg. m = 130 seg.

m m 10 + 130 v + vf seg. seg. v= i = 2 2 m v = 70 seg.

d. 1 d = v i * t + a * t2 2 2 m 1 m d =10 * 60seg.+ *2 * ( 60seg.) seg. 2 seg2 d = 4200 m 4 488

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

m Δv = v f + v i = 24 − 8 = 16 seg. d. m m 24 - 8 vf - vi Δv s s = 0,4 m a= = = t t 40 s s2

33.. Expresar las siguientes aceleraciones en m/seg2 a. m seg. min. m 1800 *1 = 30 min. 60 seg. seg.2 b. m m m 1 min. 1800 min. = * = 30 seg. min. seg. 60 seg. seg.2

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo c. m m m 1 min.2 1800 min. = * = 0,5 2 2 min. min (60 seg.) seg.2 d. m m m 1 h 1800 min. = * = 0,5 h seg. h 3600 seg. seg.2 e. m 1 min. m 1 h 1800 min. = * * min. h 60 seg. 3600 seg. h = 8,3x10−3

recorrida a los 6 segundos de haber iniciado el movimiento. Datos a =? v i = 0 m/seg. t1 = 3 seg.

v f1 = 27 m/seg

v f2 = ?

t2 = 6 seg. d = ?

vi Vf Vf

d

m

seg.2

v f = v i + a*t 1

f. Km 1 h m km 1000 m * = 10 36 h = * seg. h seg. 3600 seg. 1 Km seg.2

44.. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 5 m/seg2. Calcular la velocidad que adquiere y el espacio que recorre al cabo de 4 segundos. Datos v i = 0 m/seg. a = 5 m/seg.2 vf = ?

m m −0 v f − v i 27 seg. seg. m = =9 a= 1 t1 3 seg. seg2. v f = v i + a*t2 2 m m m +9 vf = 0 *6 seg. = 54 seg. seg. 2 seg2. 1 d = v i *t2 + a*t22 2 2 m 1 m d=0 *6 seg. + *9 * ( 6 seg.) 2 seg. 2 seg d = 162 m

d = ? t = 4 seg. a

Vi d,t

m m v f = v i + a*t = 0 +5 *4 seg. seg seg2 m v f = 20 seg. 1 d = v i *t + a*t2 2 2 m 1 m d=0 *4 seg. + *5 * ( 4 seg.) seg. 2 seg2 d = 40 m

55.. Un cuerpo cae por un plano inclinado con una aceleración constante partiendo del reposo sabiendo que al cabo de 3 segundos la velocidad que adquiere es de 27 m/seg. Calcular la velocidad que lleva y la distancia

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

MM..RR..UU..VV..

66.. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante y cuando lleva recorridos 250 m, su velocidad es de 80 m/seg. Calcular la aceleración. Datos vi = 0 a =? d = 250 m v f = 80 m/seg.

Vf

Vi d,t

v2f = v2i + 2 ∗ a*d

2 2 ⎛ 80 m ⎞ −⎛ 0 m ⎞ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v −v seg ⎠ ⎝ seg ⎠ a = f2∗d i = ⎝ 2∗250 m 2 6400 m 2 seg m a= = 12,8 500 m seg.2

4 49 9

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

MM..RR..UU..VV.. 77.. La velocidad inicial de un proyectil es de 600 m/seg. Sabiendo que la longitud del cañón es de 150 cm. Calcular la aceleración media del proyectil hasta el momento de salir del cañón. Datos v i = 600 m/seg d = 150 cm = 1,5 m a =? v f = 0 m/seg.

Vi

v f = v i + a*t

m m v f − v i 60 seg.−20 seg. t= = a 8m seg. 40 m seg. = 5 seg. t= 8 m seg2

99.. Un móvil parte de A hacia B, distante “L” en línea recta; parte del reposo con aceleración “a” constante; en el mismo instante, parte otro móvil de B hacia A con rapidez “V” constante: ¿Cuál será el valor de “V” para que ambos móviles se crucen en la mitad de la distancia entre A y B?

d a

Coche A

v2f = v2i + 2a*d

2

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 m ⎟ −⎜ 600 m ⎟ 2 2 ⎜ v − v i ⎝ seg. ⎠ ⎝ seg. ⎠ a= f =

2*1,5 m

2 d

2 3600 m seg2 m a= = 1,2x105 3 m seg2

1 d = v*t + a*t2 2 1 2 d = a*t 2 1 1 = a * t2 2 2 L = a * t2 L t2 = a L tA = a

88.. Un automóvil aumenta uniformemente su velocidad desde 20 m/seg. Hasta 60 m/seg., mientras recorre 200 m. Calcular Coche B la aceleración y el tiempo que tarda en pasar d = v*t B de una a otra velocidad. L = v*t Datos B 2 v i = 20 m/seg v f = 60 m/seg.

d = 200 m a =? t =?

( ) ( ) Vf

Vi d,t

v2f = v2i + 2 ∗ a*d

2

2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 60 m ⎟ −⎜ 2 m ⎟ v2f − v2i ⎜⎝ seg. ⎠ ⎝ seg. ⎠ a= =

2∗d

2*200 m

2 3200 m seg2 m a= =8 400 m seg2 *

550 0

L t B = 2*v t A = tB 2 2 L = L a 2*v L L2 = a 4 * v2 1 L = a 4 * v2 v2 = L a 4 v2 = L*a 4

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

1 v2 = a*L 4 1 1 v= a*L = a*L 4 2

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo PPrroobblleem maass pprrooppuueessttooss

MM..RR..UU..VV.. 1100.. Un tren con velocidad de 72 Km./h frena con una desaceleración constante y se para en 10 segundos. ¿Qué distancia recorrió?

11.. Un móvil parte del reposo, y en el primer segundo Sol. 100 m. recorre 30 cm. con M.R.U.V. Calcular la distancia 11. 11. Un auto parte del reposo con aceleración constante recorrida en el lapso comprendido entre 8° y el 9° de 4 m./seg.2, recorre 200 m.¿Cuanto tiempo duro su segundo. trayectoria y con que velocidad llego al final? Sol. 255 cm. Sol. 10 seg.; 40 m./seg.

22.. Calcular cuanto tardara el móvil del problema 1122.. Un auto se mueve con velocidad de 45 m./seg. anterior en adquirir una velocidad de 35 cm./seg. desacelerando constantemente. Si luego de 3 seg. Su Sol. 116,7 seg. velocidad se ha reducido a 30 m./seg.¿Cuanto 33.. Calcular la distancia recorrida por el móvil anterior tiempo mas debe transcurrir para lograr detenerse?. en 3 minutos. Sol. 6 seg. Sol. 4860 m.

1133.. Un móvil parte del reposo desde lo mas alto de un plano inclinado y se desliza hacia abajo con una aceleración constante. El plano inclinado tiene 2 m. de largo y le toma 3 seg. al móvil alcanzar la parte del plano. Encontrar: a.- La aceleración del móvil. Sol. 4,47 seg. ; 2m y 3m. b.- Su rapidez en la parte más baja del plano. 55.. Dos móviles parten simultáneamente del origen de c.- El tiempo que tarda el móvil en alcanzar el punto coordenadas, ambos con M.R.U.V. y en la misma medio del plano. dirección. A los 5 segundos de la partida la distancia d.- Su rapidez en el punto medio. entre ambos es de 50 m. Calcular la aceleración del Sol. 0,444 m./seg.2; 1,33 m./seg.; 2,12 seg.; 0,943 m./seg. segundo móvil sabiendo que la del otro es de 3 m/seg.2 2 2 1144.. Un móvil parte del reposo y recorre una distancia Sol. 7 m./seg. ; -1 m./seg. 66.. Dos móviles parten simultáneamente y en el mismo en dos etapas durante 16 seg. y ha adquirido una sentido, desde los extremos A y B de un segmento velocidad de 60 m./seg. La primera parte dura 6 seg. y AB = 15 m. El que parte de A lo hace con una es movimiento acelerado; la segunda parte es velocidad inicial de 50 cm./seg. y una aceleración de movimiento uniforme . Calcular: 35 cm./seg.2; el de B, con 75 cm./seg. y a.- La aceleración de la primera parte. -20 cm./seg.2¿En que instante y a que distancia de A, b.- La distancia2 recorrida durante los 16 segundos. Sol. 10 m/seg. ; 780 m. el primero alcanza al segundo. 1155.. Dos móviles A y B están separados en 4005 m; A Sol. 7,86 seg.; 1473 cm. 77.. Dos móviles distanciados 64 m. parten detrás de B. Parten en el mismo instante y con la misma simultáneamente al encuentro en línea recta y en dirección y sentido, A con velocidad constante de 72 sentidos contrarios con aceleraciones constantes Km./h. y B con movimiento uniformemente acelerado de a = 5 m./seg.2 y a1= 3 m./seg.2¿Después de cuantos 0,04 m./seg.2 Calcular: a.- A que distancia de la partida de B se encuentran. segundos se encontraran? Ambos parten del reposo. b.- Que tiempo transcurre. Sol. 4 seg. c.- La velocidad del móvil B en el momento del 88.. Un móvil parte del reposo con una encuentro. aceleración constante y en 4 segundos recorre Sol. 1540 m. y 10460 m.; 277 seg. y 723 seg.; 11.08 32 m. Calcular el espacio que recorrerá en m./seg. y 28,82 m/seg. los 4 segundos siguientes. 1166.. Un bloque partiendo del reposo, cae por un plano Sol. 96 m. inclinado, sin rozamiento, que forma un ángulo de 22° 99.. Un móvil con M.R.U.V. pasa por A con una con la horizontal. Calcular: velocidad V, y después de 4 seg. pasa por B con una a.- La aceleración. velocidad de 3V, y 1 seg. más tarde recorre 52 m. b.- El tiempo que emplea en recorrer 20 m sobre el Hallar V. plano. 44.. Dos móviles parten, el uno hacia el otro, desde los extremos de un segmento de 5 m de longitud. Se mueven con M.R.U.V. de aceleraciones a = 20 cm./seg.2 y a’= 30 cm./seg.2, respectivamente. ¿En que instante se produce el encuentro, y a que distancia de los extremos?

Sol. 16 m./seg.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

Sol. 3,66 m/seg.; 3,3 seg.

5511

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

MM..RR..UU..VV.. 1177.. Un automóvil partiendo del reposo con M.R.U.V. recorre una distancia “X” en un tiempo “t/2” con una aceleración de “2a”; si la misma distancia recorre en un tiempo “3t”¿Cuál es su aceleración? Sol. a1 = 1/18 a

1188.. Un móvil parte del reposo y recorre una distancia en dos etapas durante 16 seg. y ha adquirido una velocidad de 60 m/seg. la primera parte dura 6 seg. y es movimiento acelerado; la segunda parte es movimiento uniforme. Calcular: a.- Aceleración de la primera parte b.- Distancia recorrida durante los 16 seg. Sol. 10 m/seg2; 780 m

2211.. Una esfera que parte del reposo se mueve durante 8 segundos con velocidad constante de 10 cm./seg.; luego comienza a frenarse, con una aceleración constante de – 8 cm./seg2, hasta que se detiene. ¿Qué distancia recorrió desde la partida, y durante cuanto tiempo se ha movido? Sol. 86,25 cm.; 9,25 seg.

2222.. Un cuerpo tiene un M.R.U.V. de a = 3 m/seg2. Calcular: a) su velocidad al cabo de 5 segundos; b) velocidad con que inicia el octavo segundo; c) distancia recorrida en los primeros 6 segundos. Sol. 15 m/seg.; 21 m/seg.; 54 cm.

2233.. ¿Cuál es la aceleración de un móvil cuya velocidad aumenta en 20 m/seg. cada 5 segundos?

1199.. ¿Qué velocidad inicial debería tener un móvil Sol. 4 m/seg2 2 cuya aceleración es de 2 m/seg , para alcanzar una velocidad de 108 Km./h a los 5 segundos de su partida. 2244.. Un móvil parte del reposo, y en el primer segundo recorre 30 cm. con M.R.U.V. Calcular la distancia Sol. 20 m/seg. 72 Km./h 2200.. Un tren va a una velocidad de 18 m/seg.; recorrida frena y se detiene en 15 segundos. Calcular su en el lapso comprendido entre el 8º y 9º segundos. Sol. 255 cm. aceleración y la distancia recorrida al frenar. Sol. - 1,2 m/seg2; 135 m

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 11.. Cuándo un movimiento es variado: 22.. Cómo se explica el concepto de aceleración: 33.. Cómo se puede ver que una partícula tiene velocidad inicial: 44.. Cómo verificamos que una partícula tiene velocidad final: 55.. Cuándo decimos que una partícula tiene velocidad media:

5522

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PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss M Moonntteerroo

Capítulo V Caída libre de los cuerpos

TTooddooss llooss ccuueerrppooss qquuee ssee eennccuueennttrraann ssoobbrree llaa ttiieerrrraa,, eessttáánn ssuujjeettooss aa llaa aattrraacccciióónn qquuee nnuueessttrroo ppllaanneettaa eejjeerccee.. E Ennttoonncceess,, ssii ssoollttaam mooss uunn oobbjjeettoo aa cciieerrttaa aallttuurraa ddell ssuueelloo iinnm meeddiiaattaam meennttee ccaaeerráá hhaacciiaa eell ppiissoo,, eessttee hheecchhoo ssee ddeebbee jjuussttaam meennttee aa llaass ffuueerrzzaass ddee aattrraacccciióónn eennttrree llaa ttiieerrrraa yy ddiicchhoo oobbjjeettoo.. OObbsseerrvvaam mbbiiéénn,, qquuee aa m meeddiiddaa qquuee eell oobbjjeettoo ssee aacceerrccaa aall ssuueelloo,, ssuu mooss ttaam vveelloocciiddaadd vvaa eenn auum moovviim miieennttoo ddee llooss meennttoo;; eessttoo qquuiieerree ddeecciirr qquuee eell m ccuueerrppooss ddeebbiiddoo aa llaa aattrraacccciióónn tteerrrreessttrree,, eess uunn m moovviim miieennttoo vvaarriiaaddoo..

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

CCaaííddaa lliibbrree

C “Todos los cuerpos dejados caer Ca aííd da a lliibbrree d dee llooss ccu ueerrp pooss desde una altura, caen con la misma 55..11.. C Coonnssiiddeerraacciioonneess ggeenneerraalleess..-- Los velocidad en el vacío “. griegos pensaban que si dejaban caer Aire Vació dos esferas de igual radio, una de 1 kilopondio y otra de 10 kilopondios, la esfera de 10 kilopondios caería más rápidamente porque la atracción de la tierra es, 10 veces mayor; en otras palabras, los cuerpos más pesados caen más rápidamente. Galileo realizó una serie de 1kp 10kp experimentos con planos inclinados llegando a la conclusión de que las distancias recorridas eran directamente proporcionales a los cuadrados de los tiempos empleados. Decimos que es una característica propia de un movimiento Sé pensó así durante 2000 años hasta uniformemente variado. que Galileo sospecho que si un cuerpo Por lo cual si se va aumentando la pesado es atraído con mayor fuerza que inclinación del plano, el movimiento una más liviano, precisamente por ser siempre es la misma, de modo que será más pesado cuesta más moverlo, de uniformemente variado cuando el está manera había una compensación plano inclinado sea vertical. Podemos por lo cual enuncio una ley que decía: decir: La caída en el aire o en el vació “todos los cuerpos caerán con la es un movimiento uniformemente misma velocidad, siempre y cuando no acelerado (variado). A esta aceleración estén sujetos a fuerzas extrañas que lo se la denomina la “aceleración de la impidan”. Observó que era el gravedad”, se la representa con la letra rozamiento del aire, el que hacia g y tiene un valor promedio de cambiar las velocidades de caída de los 9,81 m / seg.2 a 45 0 de latitud y al cuerpos. nivel del mar. Galileo recurrió al método Este valor no es el mismo en todos los experimental demostrando lo que había lugares de la tierra, ya que depende de indicado, pero surgió una pregunta. la latitud y la altura sobre el nivel del ¿Por qué cae una pluma de ave mar, en los polos alcanza su mayor lentamente que una piedra? Galileo valor de 9,83 m/seg.2 y en el ecuador el respondió que la causa de esa menor de 9,78 m /seg.2. desigualdad de velocidades se debe a la 55..22.. E Eccuuaacciioonneess ddeell m moovviim miieennttoo ddee presencia del aire que opone resistencia ccaaííddaa lliibbrree..-- En caída libre a la caída de todos los cuerpos. (despreciando la resistencia y el Este hecho fue comprobado por empuje del aire) serán aplicables las Newton por medio del tubo que lleva ecuaciones del movimiento su nombre. En resumen podemos decir. uniformemente acelerado, simplemente FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

554 4

CCaaííddaa lliibbrree

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

cambia algunos símbolos como ser en lugar de la aceleración a, se emplea la aceleración de la gravedad g y en lugar de la distancia d, se emplea la altura h. Cuando el cuerpo simplemente cae, no tiene velocidad inicial, si se lo lanza hacia abajo tiene velocidad inicial (vi), y la aceleración de la gravedad se la considera positiva.

Formulas de caída Tiempo t2 =

h = v ∗t + i

v2 = v2 + 2 ∗ g ∗ h f i

v2 = v2 − 2 ∗ g ∗ h i f h = v ∗t − i

g ∗ t2 2

R Reessu um meen n

g ∗ t2 2

Velocidad

V = V +g∗t f i

g ∗ t2 h = v ∗t + i 2

v = v −g∗t f i

g

Altura

v = v +g∗t f i

Cuando un cuerpo asciende siempre debe tener una velocidad inicial, y el movimiento es contrario al sentido de la gravedad, por lo tanto es negativa.

2*h

V2 = V2 + 2 ∗ g ∗ h f i

R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass 11.. FFóórrm muullaa ddee llaa vveelloocciiddaadd ffiinnaall:: V = V ± g*t f i

Si el móvil parte del reposo, vi = 0 V = g*t f

22.. FFóórrm muullaa ddee llaa aallttuurraa:: 1 h = v * t ± *g* t2 i 2

Si el móvil parte del reposo, v i = 0 Movimiento vertical Caída libre Movimiento vertical en el vacío donde no hay resistencia del aire.

Aceleración Es la aceleración constante con la que caen todos los cuerpos en el vacío. g = 9,8 m/seg2.

5555

1 h = *g * t2 2

33.. FFóórrm muullaa ddeell ccuuaaddrraaddoo ddee llaass vveelloocciiddaaddeess:: v2 = v2 ± 2 * g * h i f Si el móvil parte del reposo, vi = 0 v2 = 2 * g * h f

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

CCaaííddaa lliibbrree

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss 11.. Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Calcular: a.- La aceleración. b.- La distancia recorrida en 3 segundos. c.- La velocidad después de haber recorrido 100 m. d.- El tiempo necesario para alcanzar una velocidad de 25 m/seg. e.- El tiempo necesario para recorrer 300 m. Datos v = 0 m/seg. i v =? f b. c. a. v =? d=? f g=? t = 3 seg. h = 100 m. d. e. m t =? v = 25 seg. f h = 300 m. t =? m a. a = g ⇒ g = 9,8 seg.2 b. v = v + g*t f i m m m v =0 + 9,8 *3 seg. = 29,4 f seg. seg. seg 2 . 1 h = v * t + a * t2 i 2 m 1 m h=0 * 3 seg. + * 9,8 * (3 seg.)2 seg. 2 seg 2 h = 44,1 m c.

v2 = v2 +2*g*h f f 2 v2 = ⎛⎜ 0 m ⎞⎟ +2*9,8 m *100m f ⎝ seg. ⎠ seg2 . m v2 = 44,3 f seg.

d. m 25 m vf seg. v = v +g*t ⇒ t = = f i g m 9,8 . seg 2 .

t = 2,55 seg.

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1 g * t2 e. − h = v * t + a * t 2 = i 2 2 2*h 2 * 300 m = = 7,82 seg. t= g m 9,8 seg2

22.. Desde un Puente se deja caer una piedra que tarda en llegar al agua 5 segundos. Calcular la altura del puente y la velocidad de la piedra en el momento de llegar al agua. Datos vi = 0 t = 5 seg h=? vf = ? g = 9,8 m/seg2

h vf

v = v + g*t f i m m v = 0 + 9,8 * 5 seg = 49 f seg seg 2

h=v t+ i

g ∗ t2 2 9,8

h = 0 ∗ 5 seg +

m seg 2

m ∗ 25 seg 2 seg h= 2 245 m h= = 122,5 m 2

(5 seg )2

2

9,8

33.. Desde una altura de 25 m se lanza una piedra en dirección vertical contra el suelo con una velocidad inicial de 3 m/seg. Calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo y la velocidad con que llega a el. Datos vf = ? h = 25 m

556 6

CCaaííddaa lliibbrree

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

vi = 3 m/seg. t=? Vi = 3 / h = 25 m t=? Vf =?

v = vi2 + 2 * g * h f 2 ⎛ ⎞ m m * 25 m v = ⎜3 ⎟ + 2 * 9,8 f ⎝ seg. ⎠ seg 2 . m v = 22,3 f seg. v −v i v = v + g*t ⇒ t = f f i g 22,3 m − 3 m seg seg. t= = 1,97 seg. 9,8 m seg 2 44.. Calcular la altura con respecto al suelo desde la que se deja caer un cuerpo para que llegue a aquél con una velocidad de 8 m/seg. Se desprecia la resistencia del aire. Datos vi = 0 h=? vf = 8 m/seg g = 9,8 m/seg2

h=?

v2 = v2 + 2 ∗ g ∗ h f i v2 2 2*g *h = v ⇒ h = f f 2∗g 2 ⎛ m ⎞ ⎜⎜ 8 ⎟⎟ seg ⎠ = 3,26 m h= ⎝ m 2 ∗ 9,8 seg 2

5577

m d. v = 25 f seg. t =? 2 m g = 9,8 seg 2 .

h máx. = ?

t =? vi = 30 m/seg.

Tt =? vf=25 /

a. − v = v + g * t f i v t =t i = 1 2 g

vi = 0

Vf = 8 /

55.. Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 30 m/seg. Calcular: a) el tiempo que tarda que está ascendiendo, b) la máxima altura que alcanza, c) el tiempo que tarda desde que es lanzada hacia arriba hasta que regrese de nuevo al punto de partida, d) los tiempos, a partir del momento de ser lanzado, que emplea en adquirir una velocidad de 25 m/seg. Datos v = 30 m/seg. i g = 9,8 m seg.2 b. h = ? c. t t = ? a. t = ?

30 m seg. = 3,06 seg. m 9,8 . seg 2 .

b. - v 2 = v 2 + 2 ∗ g * h f i 2 2 v −v i h= f 2∗g 2 2 ⎛ m ⎞ − ⎛ 30 m ⎞ ⎜0 ⎟ ⎜ ⎟ seg. ⎠ seg. ⎠ ⎝ h=⎝ 2 * 9,8 m seg 2 2 900 m seg 2 h= = 46 m m 19,6 seg 2

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CCaaííddaa lliibbrree

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo c. t t = t + t 1 2 t t = 3,06 seg + 3,06 seg. = 6,12 seg. d. v = v + g*t f i 25 m −30 m v −v seg. seg. i = = 0,51 seg. t= f g 9,8 m seg2 .

66.. Desde un globo se deja caer un cuerpo que tarda en llegar a la tierra en 20 segundos. Calcular la altura del globo a) si está en reposo en el aire, b) si está ascendiendo a una velocidad de 50 m/seg. Datos v = 0 m/seg. a. i h =? t = 20 seg 1 b. v = 50 m seg. i h = ?; 2

v = 50 m/seg.

Vi =0 h=?

h=? t = 20 seg.

Datos h1 = 80 m vi = 30 m/ seg. g = 9,8 m/seg2 hT = ? vf = ? h máx. = ?

vi = 30

h = 80 m

vf = ?

v2 h max = h + i 2∗g m 2 30seg. h max = 80 m + 2∗9,8 m seg2 h max = 80 + 45,918 m = 125,9 m

(

)

v = v2 + 2* g * h i f 2 ⎛ ⎞ v = ⎜ 30 m ⎟ + 2 * 9,8 m * 80 m f ⎝ seg. ⎠ seg 2 . m v = 49,7 f seg.

1 a. d = v * t + a * t 2 i 2 m 1 m 2 * 20seg. + *9,8 * ( 20seg.) d=0 seg. 2 seg 2 d = 1960 m

1 b. d = v * t + a * t 2 i 2 m 1 m 2 d = 50 * 20seg. - *9,8 * ( 20seg.) 2 seg. 2 seg

88.. Una bomba lanzada desde un avión tarda 10 seg. en dar en el blanco.¿A que altura volaba el avión? Datos t = 10 seg. h =? g = 9,8 m seg 2

d = 960 m

77.. Desde la cima de una torre de 80 m de altura se lanza una piedra en dirección vertical y hacia arriba con una velocidad de 30 m/seg. Calcular la máxima altura alcanzada por la piedra y la velocidad con la que llegará al suelo.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

h =?

t = 10 seg.

5588

CCaaííddaa lliibbrree

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

1 h = v * t + a * t2 i 2 m 1 m h=0 *10seg. + * 9,8 * (10seg.)2 seg. 2 seg 2 h = 490 m

99.. Se dispara verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 80 m/seg. Calcular: a.- Tiempo en que alcanza su máxima altura b.- Su altura máxima c.- Tiempo total en el aire d.- Velocidad que alcanza al pasar nuevamente por el punto de lanzamiento. e.- Velocidad a los 12 segundos. Datos v = 80 m seg. i a. − d. − t =? v =? bLlegada h =? e. − c. v =? f =? t Total

=V V salida llegada V = 80 m seg. v = v + g*t f i m m v = 0 + 9,8 * 4 seg = 39,2 f seg seg 2 1100.. Un nadador se deja caer desde un trampolín de 5 m de altura. Calcular: a) cuanto tardara en entrar en el agua; b) la velocidad con que entra. Datos h = 5 m. t =? v =? f g = 9,8 m seg 2

h máx. = ?

t =?

1 h = 2 *g*t2

vi = 30 m/seg.

Tt =?

vf=?

m = 1 seg. t = 2*h = 2*5 m g 9,8 seg. v f = v i + g*t

v = v + g*t f i

v f = 0 + 9,8

m m * 1 seg = 9,8 2 seg seg

0 m − 80 m v −v seg. i = seg. t= f g 9,8 m seg 2 . t = 8,16 seg.

1 h = vi * t − a * t 2 2 m 1 m 2 h = 80 * 8,16seg. − * 9,8 * (8,16seg.) 2 seg. 2 seg h = 326,53 m

t t

Total Total

559 9

=t

+t subida bajada = 8,16 seg. + 8,16 seg. = 16,32 seg.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

CCaaííddaa lliibbrree

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

1111.. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial 20 m./seg. ¿A que distancia se 11.. Un cohete que asciende verticalmente con una encontrara la pelota respecto del punto de lanzamiento velocidad de 160 m/seg., deja caer un aparato que luego de: a) 4 seg. y b) 2 seg. llega al suelo 40 segundos después. Sol. 1,52 m; 20,38 m ¿A que altura se desprende el aparato? 1122.. Una piedra es abandonada y cae libremente. ¿Qué Sol. 1600 m. distancia logra descender en el 5°. Seg. de su 22.. Un observador situado a 40 m. de altura ve pasar un movimiento? cuerpo hacia arriba, y 5 seg. después lo ve pasar hacia Sol. 44,14 m. abajo, ¿Cuál fue la velocidad inicial del cuerpo, y hasta 1133.. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con que altura llego? una velocidad de 40 m./seg. ¿Qué desplazamiento Sol. 37,2 m/seg.; 70,625 m. experimenta en el 4° seg? 33.. Los puntos A y B sobre la misma vertical, pero A 512 Sol. 5,66 m. m más arriba. Desde A se deja caer una bola, y 4,3 1144.. Un móvil se dispara verticalmente hacia arriba con segundos mas tarde se deja caer otra desde b, y ambas una velocidad de 50 m./seg. ¿Cuánto tiempo dura el llegan al suelo simultáneamente. ¿A que altura esta B, y vuelo, y que altura máxima alcanzo? cuanto duro la caída de A? Sol.- 127,42 m.

PPrroobblleem maass pprrooppuueessttooss

Sol. 490 m.; 14,3 seg.

1155.. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con 44.. Dos cuerpos A y B situados sobre una misma vertical y una velocidad. Si luego de 6 seg. su velocidad es de 30 separada por una distancia de 100 m., son arrojados m./seg. hacia arriba, ¿Cuál es el valor de v en m./seg.? uno contra el otro con velocidades de 30 y 20 m/seg., Sol. 88,86 m./seg. respectivamente. ¿Cuándo y donde se chocan? 1166.. Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra Sol. 2 seg.; 20,4 m del origen de B. con una velocidad de 100 m./seg. Calcular en que 55.. Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba posición se encontrara la piedra (respecto del punto de con una velocidad de 40 m/seg. ¿Qué velocidad lanzamiento) al cabo de 25 seg. tendrá al cabo de 8 seg.? Sol. -565,62 m. Sol. -38,48 m./seg.

66.. Un cuerpo se mueve verticalmente hacia arriba, de modo que al pasar por un punto A tiene una velocidad de 30 m./seg. ¿A que tiempo se encontrara un punto B, donde la velocidad sea de 10 m./seg? Sol. 2,04 seg.

1177.. Una piedra se lanza verticalmente desde un punto A con una velocidad de 80 m./seg. ¿A que distancia se encontrara otro punto B donde la velocidad de la piedra será de 20 m./seg. hacia abajo? Sol. 305,81 m.

1188.. Se lanza un cuerpo en un planeta donde la 77.. Una piedra se encuentra a 20 m. del piso, y se deja gravedad es el doble que el de la tierra, alcanzando una caer libremente. ¿Qué velocidad poseerá un segundo altura máxima de 10 m. Si el lanzamiento se realiza en antes del impacto? la Tierra con el doble de velocidad. ¿A que altura Sol. 10 m./seg. lograría ascender? 88.. Se deja caer un cuerpo, y se observa que luego de Sol. 80,01 m. transcurrir 6 seg. se encuentra a 20 m. del piso. ¿De que 1199.. Un cuerpo se deja caer de una altura de 20 m. ¿Con altura se soltó? que velocidad llega achocar con el piso? Sol. 196,58 m.

99.. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo, comprobándose que desciende 120 m. en 4 seg. ¿Cuál fue la velocidad inicial de lanzamiento? Sol. 10,38 m./seg.

1100.. Un cuerpo se lanzo verticalmente hacia abajo tal que, luego de descender 80 m., su velocidad fue de 50 m./seg. ¿Cuál fue su velocidad al inicio del movimiento? Sol. 30,50 m./seg.

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Sol. 19,81 m./seg.

2200.. ¿Cuántos segundos emplea un cuerpo en llegar al piso, si se soltó de una altura de 125 m? Sol. 5,05 seg.

2211.. Un cuerpo se deja caer desde la azotea de un edificio, un observador que mira por una ventana de 4,9 m de altura, ve pasar el cuerpo en ½ segundo. ¿Cuál es la distancia que existe entre la azotea del edificio y la parte superior de la ventana? Sol. 2,75 m.

6 60 0

CCaaííddaa lliibbrree

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2222.. Un cuerpo se deja caer y simultáneamente un segundo cuerpo se lanza hacia abajo con una velocidad de 1m./seg. ¿Cuándo la distancia entre ellos será de 18 m.? Sol. 18 seg.

2266.. Un fotógrafo en helicóptero que asciende verticalmente a una velocidad constante de 1,75 m/seg deja caer accidentalmente una cámara cuando el helicóptero esta a 50 m arriba del suelo: a ¿Cuánto tiempo tardara la cámara en llegar al suelo? b ¿Cuál será su rapidez cuando choque con el suelo?

2233.. Un cuerpo que es dejado caer recorre en el último Sol. 3,38 seg 31,4 m/seg. segundo de su caída la mitad de la altura que ha de recorrer. ¿Desde que altura cae y cuanto tiempo emplea? 2277.. Un proyectil que se mueve verticalmente llega a una Sol. 3,41 seg. altura máxima de 17,5 m arriba de su posición inicial: 2244.. Dos cuerpos P y Q, se colocan en la misma vertical, a ¿Cuál fue la velocidad inicial del proyectil? b ¿Cuál altura máxima sobre el punto de partida en como se muestra en la figura. El cuerpo P se lanza hacia será su arriba con velocidad de 60 m./seg. y en ese mismo 2,45 seg? instante Q se deja caer. ¿Desde que altura se tendrá que Sol. 18,5 m/seg 15,9 m. dejar caer Q para que ambos cuerpos se encuentren en la 2288.. Desde una altura de 100 m. se deja caer una máxima altura alcanzada por P? partícula y al mismo tiempo desde el suelo es proyectada Sol. 367,2 m. otra partícula verticalmente hacia arriba si las dos 2255.. Desde el techo de un edificio se deja caer un objeto y partículas tienen la misma velocidad, cuando se tarda un tiempo de 3 seg en llegar al suelo. Calcular la encuentran, ¿Qué altura ha recorrido la partícula altura de dicho edificio. lanzada desde el suelo? Sol. 44,14 m

Sol. 74,95 m.

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 1. Qué es la aceleración de la gravedad: 2. Cuál es la condición para que el cuerpo ascienda: 3. Qué es movimiento retardado: 4. Cuándo se dice que la gravedad es positivo: 5. Cuándo se dice que la gravedad es negativo:

6 611

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Capítulo VI Movimiento en dos Dimensiones

E Enn eell pprreesseennttee ccaappííttuulloo aam mpplliiaarreem mooss nnuueessttrroo eessttuuddiioo aall m moovviim miieennttoo eenn ddooss ddiim moo ssee vvee eenn eell ggrrááffiiccoo.. E meennssiioonneess,, ttaall ccoom Ess aaqquueell eenn eell ccuuaall eexxiissttee ssiim meennttee ddooss oo m muullttáánneeaam moovviim miieennttoo:: M Moovviim miieennttoo hhoorriizzoonnttall mááss ttiippooss ddee m yy vveerrttiiccaall aa llaa vveezz

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MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo

M Moovviim miieen nttoo een nd dooss m moovviim miieen nttooss 66..11.. M Moovviim miieennttoo ccoom mppuueessttoo..-- Es una situación que se observa cuando simultáneamente una partícula realiza dos tipos de movimiento. Puede ser un movimiento vertical y un movimiento horizontal. A B

B’ D’

H

H’

Así en el grafico, la esfera al salir del borde de la mesa realiza dos movimientos; un movimiento vertical porque va cayendo hacia el suelo, y al mismo tiempo un movimiento horizontal, porque va alejándose de la mesa. 66..22.. PPrriinncciippiioo ddee iinnddeeppeennddeenncciiaa ddee m miieennttooss..-- La independencia de moovviim dos movimientos simultáneos y perpendiculares, fue experimentado por Galileo: “Si un cuerpo tiene movimiento compuesto, cada uno de los movimientos cumple como si los demás no existieran”. 66..33.. E Eccuuaacciioonneess ddeell m moovviim miieennttoo ccoom mppuueessttoo..-- En el punto A, la esfera de la figura tiene una velocidad horizontal “Vx”, pero su velocidad vertical en ese instante es 0. Al cabo de un cierto tiempo, en el punto C la esfera tiene dos velocidades: la horizontal “Vx” (constante) y la vertical “Vy” (variable). A

B

Vox

Vx h

Vy C dx

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Vy

Vx = V ix

La velocidad vertical varía durante el movimiento, debido a la aceleración de la gravedad. Vy = g * t

La velocidad resultante en el punto C, es la composición de las dos velocidades horizontal Vx y la vertical Vy, su relación es:

C D

C’

La velocidad horizontal Vox, se mantiene constante en todo el trayecto:

Vx θ VR

V 2 = Vx2 + Vy2 R

La dirección de la VR es tangente a la trayectoria, cuyo ángulo de inclinación depende de: tg θ =

Vy Vx

El cuerpo recorre una horizontal que depende de:

distancia

dx = Vix * t

También el cuerpo cae desde una cierta altura: h=

g*t2 2

Existe una relación entre la distancia horizontal avanzada y la altura que ha caído: dx = Vix

2y g

66..44.. M ppaarraabbóólliiccoo Moovviim miieennttoo ((PPrrooyyeeccttiilleess))..-- El movimiento de un proyectil lanzado oblicuamente, es parabólico y en el vació resulta de la composición del movimiento horizontal, rectilíneo y uniforme y del movimiento vertical uniformemente variado, debido a la aceleración de la gravedad. 6 633

o α Vox

V Vx

H Hm

constante, para su mejor comprensión la designaremos con Vx, por tanto tenemos que:

Vx

R Movimiento uniforme

V

Vx

Vx = V ∗ cos ∗ α i

V

66..55..22.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd vveerrttiiccaall..-- La velocidad vertical es uniformemente variada por tanto:

Vy

Vi

V

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

Vy

V

Vy

Movimiento variado Viy

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo

Donde: Vi = Velocidad inicial de lanzamiento α = Angulo de inclinación o ángulo de disparo Hm = Altura máxima alcanzada por el proyectil. R = Alcance horizontal máximo Vix = Componente horizontal de Vi Viy = Componente vertical de Vi

Al lanzar un proyectil oblicuamente con una velocidad inicial Vi, y que forma una cierta inclinación α con relación a la superficie horizontal. Si no existiera la gravedad, el movimiento seria de acuerdo a la recta OV, pero a causa de la gravedad, la trayectoria es una parábola. En todo momento de su trayectoria, la velocidad es el resultado de las dos velocidades en ese instante: la velocidad horizontal Vx y la vertical Vy. En este movimiento “real” se debe tomar en cuenta los siguientes factores: La resistencia del aire. La variación de la aceleración de la gravedad con la altura. La tierra no es plana. La tierra tiene un movimiento de rotación. 66..55.. C Caarraacctteerrííssttiiccaass ddeell m moovviim miieennttoo ppaarraabbóólliiccoo..-- Se lanza un proyectil con una velocidad inicial Vo y con un ángulo de inclinación α se tiene: 66..55..11.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd hhoorriizzoonnttaall..-La velocidad del movimiento horizontal es constante y su valor es: V = V ∗ cos ∗ α ix i

Como (Vox = velocidad horizontal) es 6 64 4

V = V ∗ sen ∗ α iy i

(1)

Velocidad vertical en un cualquiera de la trayectoria: Vy = V − g ∗ t iy

punto

(2)

Reemplazando la ecuación (1) en la ecuación (2) se tiene: Vy = V ∗ sen ∗ α − g ∗ t i

(3)

66..55..33.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd eenn ccuuaallqquuiieerr iinnssttaannttee ““tt””:: V = Vx2 + Vy2 V = V 2 − 2 ∗ g ∗ t ∗ V ∗ sen ∗ α + g 2 ∗ t 2 i i

66..55..44.. C Cáállccuulloo ddeell ttiieem mppoo ppaarraa aallccaannzzaarr llaa aallttuurraa m maa..-- El mááxxiim tiempo del movimiento del proyectil. En el movimiento de ascenso tarda lo mismo que en el descenso. V ∗ sen ∗ α t= i g

66..55..55.. C Cáállccuulloo ddee llaa aallttuurraa m mááxxiim maa ((H Hm m))..-- La altura máxima que alcanza, es cuando su velocidad vertical es 0. V 2 ∗ sen 2 ∗ α Hm = i 2 ∗g

66..55..66.. C Cáállccuulloo ddeell aallccaannccee hhoorriizzoonnttaall ((R R))..-- El alcance horizontal se relaciona con la velocidad Vix constante y con el tiempo de movimiento. V 2 ∗ sen ∗ 2 ∗ α R= i g

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MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo

Movimiento en dos dimensiones

R Reessu um meen n

R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass

Definición Cuando el móvil al mismo tiempo desarrolla dos tipos de movimiento.

Principio de la independencia de movimientos Cuando el móvil tiene movimientos compuestos, cada uno de los movimientos se cumple como si los demás no existieran.

Ecuaciones del movimiento compuesto

Velocidad horizontal

Velocidad resultante

Velocidad vertical

Vx = Vox

2 2 2 VR = V x + V y

Vy = g * t

Definición Es el movimiento de un proyectil lanzado oblicuamente con un cierto ángulo de inclinación.

Ecuaciones del movimiento parabólico

Movimiento parabólico

Alcance horizontal dx = Vox * t

Componente horizontal Vox = Vo ∗ cos ∗ α

M miieen nttoo ccoom mppu ueessttoo Moovviim 11.. L Laa vveelloocciiddaadd hhoorriizzoonnttaall:: Vx = V ix

22.. L Laa vveelloocciiddaadd vveerrttiiccaall:: Vy = g * t

33.. L Laa vveelloocciiddaadd rreessuullttaannttee eenn uunn ppuunnttoo:: V 2 = Vx2 + Vy2 R

44.. Á Ánngguulloo ddee iinncclliinnaacciióónn:: tg θ =

Vy Vx

55.. D Diissttaanncciiaa hhoorriizzoonnttaall::

Componente vertical Voy = Vo ∗ sen ∗ α

dx = Vix * t

Velocidad vertical

66.. A Allttuurraa::

Vy = Vo ∗ sen ∗ α − g ∗ t

Calculo del tiempo

V ∗ sen ∗ α t= i g Altura máxima V 2 ∗ sen 2 ∗ α Hm = o 2∗g

Calculo del alcance V 2 ∗ sen ∗ 2 ∗ α R= o g

h=

g*t2 2

77.. R eennttrree ddiissttaanncciiaa Reellaacciióónn hhoorriizzoonnttaall aavvaannzzaaddaa yy aallttuurraa qquuee hhaa ccaaííddoo:: dx = Vix

2y g

Velocidad en un t V = Vo2 − 2∗g∗t ∗Vo ∗sen ∗α+ g2 ∗t2

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6 655

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo M nttoo ppaarraabbóólliiccoo miieen Moovviim ((pprrooyyeeccttiilleess))

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo P Prroobblleem ass rreessu ueellttooss ma M Moovviim miieennttoo ccoom mppuueessttoo

11.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd hhoorriizzoonnttaall:: 11.. Un avión vuela horizontalmente a 1990 m V = V ∗ cos∗ α ix i

Como (Vix = velocidad horizontal) Vx = V ∗ cos∗ α i

22.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd vveerrttiiccaall::

de altura, a una velocidad de 217 Km. /h. del avión se larga un cajón de provisiones a un grupo de personas. Cuantos metros antes de volar sobre el grupo debe soltar el cajón? Datos km m h = 1990 m; v = 217 = 60,28 ix h seg. m m g = 9,8 d x = ?; V =0 iy seg seg 2

V = V ∗ sen ∗ α iy i

Vo

Vy = V − g ∗ t iy h

Vy = V ∗ sen ∗ α − g ∗ t i

33.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd eenn ccuuaallqquuiieerr iinnssttaannttee ““tt””:: V = Vx2 + Vy2 V = V 2 − 2 ∗ g ∗ t ∗ V ∗ sen ∗ α + g 2 ∗ t 2 i i

dx

t=

dx

44.. C Cáállccuulloo ddeell ttiieem mppoo ppaarraa aallccaannzzaarr d x llaa aallttuurraa m mááxxiim maa::

2*h 2 *1990 m = = 20,15 seg. m g 9,8 seg 2 m = V * t = 60,28 * 20,15 seg ix seg = 1214,54 m

22.. Cuando un tren corre a 25 m/seg., entre en un puente de 15m de largo, un pasajero deja V ∗ sen ∗ α caer fuera del tren un objeto desde 2,5 m de t= i g altura. ¿A qué distancia de la entrada del puente caerá el objeto? ¿Cuantos metros 55.. C Cáállccuulloo ddee llaa aallttuurraa m mááxxiim maa antes de que el tren entre en el puente, deberá soltar el objeto para que caiga en la ((H Hm m)):: mitad del puente? Datos V 2 ∗ sen 2 ∗ α i m Hm = v ox = 25 2∗g seg. l = 15 m 66.. C Cáállccuulloo ddeell aallccaannccee hhoorriizzoonnttaall ((R R)):: h = 2,5 m d =? V 2 ∗ sen ∗ 2 ∗ α x1 i R= d =? g x2

6 66 6

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PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo 2 2 ⎛ ⎛ m ⎞ m ⎞ 2 2 Vt = Vx + Vy = ⎜⎜ 450 ⎟ + ⎜⎜ 41,65 ⎟ seg ⎟ seg ⎟

V ox

⎝

h

t=

dx2

m Vy seg tg β = = = 0,092 m Vx 450 seg β = 5 o15 ' 23''

2*h 2 * 2,5 m = = 0,71 seg. m g 9,8 seg 2

l d x2 = d x1 − = 17,75 m − 7,5 m = 10,25 m 2

33.. Un cañón dispara sobre el mar, un proyectil horizontalmente con una velocidad de 450 m/seg. desde una altura, tarda en llegar al agua 4,25 seg. Calcular la altura desde donde fue disparado. El alcance horizontal del proyectil. La velocidad con que llega al agua. El sentido de la velocidad de llegada. Datos ix

m m ; t = 4,25 seg.; V = 0 iy seg. seg. d x = ?; Vt = ?; β = ?

= 450

h = ?;

⎠

41,65

m d x1 = V * t = 25 * 0,71 seg = 17,75 m ix seg

v

⎝

m2 m = 451,92 V = 204234,72 t seg seg 2

l dx1

⎠

44.. Un cuerpo es lanzado horizontalmente desde una altura de 36 m, con una velocidad de 45 m/seg. Calcular: a. El tiempo que dura en el aire; b. El alcance horizontal; c. La velocidad que tiene al llegar al suelo. Datos h = 36 m m v = 45 ix seg m g = 9,8 seg 2

t =? dx = ? Vy = ? Vo

Vo h

h

dx

Vy dx

Vx 9,8

g * t2 = h= 2 h = 88,48 m.

m seg 2

* (4,25 seg )2 2

m * 4,25 seg d x = V * t = 450 ix seg d = 1912,5 m x m m Vy = V − g * t = 0 + 9,8 * 4,25seg. iy seg seg 2 m V = 41,65 y seg

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t=

dx dx

Vy

2*h 2 * 36 m = = 2,71 seg. m g 9,8 seg 2 m = V * t = 45 * 2,71 seg ix seg = 121,95 m

m v y = g t = 9,8 * 2,71 seg * seg 2 m v = 26,56 y seg

6 677

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

55.. Desde un bombardero que viaja con una velocidad de 420 Km. /h a una altura de 3500 m, se arroja una bomba hacia un objetivo en la tierra ¿Cuántos metros antes de llegar sobre el blanco, debe soltar la bomba. Datos Km h = 3500 m; v = 420 = 116,67 m ix seg h

g = 9,8 t=

dx dx

m seg 2

d x = ?;

;

2*h 2 * 3500 m = = 26,73 seg. m g 9,8 seg 2 m = V * t = 116,67 * 26,73 seg ix seg = 3118,59 m

77.. Una piedra es lanzada desde lo alto de un acantilado, con una velocidad de 20 m/seg., horizontalmente. Si la altura del acantilado es de 130 m. Calcular el tiempo que demora en caer, la velocidad y la distancia horizontal en que caerá. Datos m v = 20 ix seg h = 130 m m g = 9,8 seg 2

t =? vy = ? dx = ?

Vi

vox

h

h

dx

dx

66.. Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1,25 m de altura, si cae al suelo en un punto situado a 1,5 m del pie de la mesa, ¿Qué velocidad llevaba la pelota antes de caer? Datos h = 1,25 m d x = 1,5 m v =? ix Vo

h

dx

2*h 2 *1,25 m = = 0,51 seg. m g 9,8 seg 2 d 1,5 m m v ox = x = = 2,94 t 0,51 seg seg t=

6 688

2*h 2 *130 m = = 5,15 seg. m g 9,8 seg 2 m * 5,15 seg d x = V * t = 20 ix seg d x = 103 m m * 5,15 seg v y = g t = 9,8 * seg 2 t=

v y = 50,47

m seg

88.. Una pelota rueda sobre una mesa horizontal de 75 cm. de altura, cae tocando el suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 150 cm. del borde de la mesa. Calcular la velocidad de la esfera en el momento de abandonar la mesa. Datos h = 75 cm h = 0,75 cm d x = 150 cm d x = 1,5cm

v

ix

=?

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MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo 2(Vi * sen α) 2 *19,51 m * sen 45° = g 9,81 t = 2,81 seg.

t=

Vo

v=

h

dx

2*h 2 * 0,75 m = = 0,39 seg. m g 9,8 seg 2 d 1,5 m m v = x = = 3,85 ix t 0,39 seg seg t=

M Moovviim miieennttoo ppaarraabbóólliiccoo 11.. Una pelota de fútbol es pateada con una velocidad inicial de 19,5 m/seg. Con un ángulo de proyección de 45°, el jugador que va a recibir la pelota y esta en la línea de meta a 54,84 m de distancia en la dirección de la patada comienza en ese mismo instante a correr para alcanzar la pelota. Cual debe ser su velocidad para coger la pelota en el preciso instante en que esta toca el suelo por primera vez. Datos m v = 19,5 i seg. α = 45° d = 54,84 m v = ?; t = ? f g = 9,8 m seg.2 Vf =?

Vi B

α

x

R d

Vi 2sen2θ (19,5)2 sen90° R= = g 9,81 (19,51)2 *1 = 38,80 m R= 9,81 x =d−R x = 54,84 m − 38,80 m x = 16,04 m

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m x 16 = = 5,69 seg. t 2,81 seg.

22.. Un mortero dispara un proyectil con 100 m/seg. y 30° de inclinación con la horizontal. En el mismo instante sobre la misma superficie horizontal avanza un tanque en sentido opuesto a razón de 36 Km. /h. Calcular la distancia que los separaba al momento del disparo, si el proyectil impacto en el tanque to s D Daatos m v = 100 i seg. α = 30° v t = 36 km h R = ?; d = ?; x = ? Vo V oy Vf=?

α Vox

R

d x

R= R=

Vi 2 * sen ∗ 2 ∗ α g (100) 2 * (sen ∗ 60°)

= 882,79 m 9,81 2 * Vi * sen ∗ 30° 2 *100 * 0,5 t= = g 9,81 t = 10,2 seg.

33.. Una ametralladora dispara una bala con una velocidad de 650 pies/seg. Determinar los ángulos bajo los cuales la bala alcanzara un blanco situado a 480 pies de distancia y 18 pies de alto. Datos pies V = 600 ; β = ?; β = ? 1 i seg.

x = 450 pies; y = 18 pies; g = 32 pies

x = V * cos ∗ β * t i

(1)

g*t2 y = V * sen ∗ β * t − i 2

(2)

6 69 9

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

De (1) despejamos t x t= (3) V * cos ∗ β i Reemplazamos (3) en (2) x y = V * sen ∗ β * i V * cos ∗ β i g * x2 − 2 * V 2 ∗ cos 2 β i g x2 sec 2 ∗ β y = x * tan ∗ β * − 2 * V2 i g* x2 ⎛ 2 ⎞ y = x * tan ∗ β − ⎜1 + tan ∗ β ⎟ ⎠ 2* V2 ⎝ i 18 = 450 tan ∗ β 32 * (450)2 ⎛ 2 ⎞ − ⎜1 + tan ∗ β ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2 * (600) 18 = 450 tan ∗ β − 9 ⎛⎜1 + tan 2 ∗ β ⎞⎟ ⎝

Datos α = 30°

m V = 40 i seg. a. t = ? b. x = ? c. θ = ? y

α x

⎠

18 = 450 tan ∗ β − 9 − 9 tan 2 ∗ β 9 tan 2 β − 450 tan β + 27 = 0 (÷9) tan 2 β − 50 tan β + 3 = 0

- b ± b2 − 4 * a * c 2*a 50 ± 502 − 4 *1* 3 50 ± 2500 − 12 = tanβ = 2*1 2 50 ± 49,88 50 + 49,88 = = 49,94 tanβ = 2 2 β = 88° 51´ 50 - 49,88 = 0,06 tanβ = 2 β = 3° 26´ tanβ =

y y

β x

vx θ

x

x Vy

g*t 2 a.y = V *sen α*t − i 2 g*t 2 0 = V *sen α*t − i 2 g*t 2 V *sen α*t = i 2 2*V *sen α = g*t i 2*V *sen α i t= g m 2*40 *sen 30° seg = 4,07 seg. t= m 9,8 seg 2

b. x = V *cos α*t i m x = 40 *cos 30°*4,07 seg. seg x = 141,6 m m Vx = V * cos α = 40 * cos 30° i seg. m Vx = 34,8 seg. Vy = V * sen α − g * t i m Vy = 40 * sen 30° seg. m m − 9,8 * 4,07 seg. = −19,93 seg. seg 2

44.. Se dispara un proyectil de mortero con un ángulo de elevación de 30° y una m velocidad inicial de 40 m/seg. Sobre un Vy −19,93 seg. = terreno horizontal calcular: a. el tiempo que c. tan θ = m Vx 34,8 tarda en llegar a tierra; b. el alcance del seg. proyectil; c. el ángulo que forma con el θ = 29°48' terreno en el momento de llegar a el.

770 0

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo

55.. Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 50° y una velocidad inicial de 400 m/seg. Sobre un terreno horizontal sabiendo que a una distancia de 1000 m existe una pared vertical calcular la altura del punto de pared sobre el cual incide el proyectil. Datos α = 50° m V = 400 i seg. x = 1000 m y=?

a. t = ? b. x' = ? c. Vy = ? y Vo

x

α h

X’

Vy

y

Vx

y β x

x

x = V * cosα * t i x 1000 m t= = V * cos α 40 m * cos 50° i seg t = 3,9 seg.

g*t2 y = V * sen α * t − i 2 m * sen 50º * 3,9 seg. y = 400 seg m * (3,9 seg) 2 9,8 seg 2 − 2 y = 1195,02 m − 74,06 m = 1120,4 m 6. Un proyectil es disparado horizontalmente por un cañón emplazado a 43,92 m sobre un plano horizontal con una velocidad de salida de 243,84 m/seg. Calcular: a. cuanto dura el proyectil en el aire; b. Cual es su alcance; c. Cual es la magnitud de la componente vertical de su velocidad cuando llega al blanco. Datos h = 43,92 m m V = 243,84 i seg.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

g*t 2 a. − h = V *sen α*t − i 2 g*t 2 −h = − ( − 1) 2 g*t 2 h= 2 2 h 2 * 243,84 m = = 3 seg. m g 9,8 seg 2 b. x = V *cos α*t i m x = 243,84 *cos0°*3seg. = 731,52m seg c. Vy = V *sen α − g*t i m Vy = 243,84 *sen 0° seg. m m *3 seg. = −29,4 −9,8 seg. seg 2 t=

77.. Un bateador golpea una pelota con un ángulo de inclinación de 35o y le proporciona una velocidad de 18 m/seg. Cuanto tarda la pelota en llegar al suelo. A que distancia del bateador cayó la pelota. Datos m v =0 i seg km v = 420 f h

v = 116,67 f

m seg

h = 3500 m m g = 9,8 seg 2 d=?

7711

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo PPrroobblleem maass pprrooppuueessttooss

vi tS

tB

M Moovviim miieennttoo ccoom mppuueessttoo 11.. Un avión vuela a 1200 m de altura con una velocidad de 180 Km/h.: a. ¿A que distancia del blanco deberá soltar la bomba?; b. ¿Con que velocidad llegara la bomba al blanco?; c. Que velocidad tiene cuando a caído a 10 segundos?; d. ¿Cuánto tiempo antes de estar sobre el blanco, deberá soltar?; e) ¿Cuál es su velocidad cuando esta a 200 m del suelo?

35o x

tt = t + tB S tt =

2 ∗ v ∗ sen ∗ α i = g

2 ∗ 18

m ∗ sen ∗ 35o seg m 9,8 seg 2

Sol. a. 782,5 m; b. 153,37 m/seg.; c. 98 m/seg.; d. 15,65 seg.; e. 62,61 m/seg.

22.. Una esfera es lanzada horizontalmente desde una altura de 24 m, con una velocidad inicial de 100 m/seg. Calcular el tiempo que esta la esfera en el aire. Su alcance horizontal, la velocidad con que llega al suelo.

t = 2,09 seg t x = v ∗ cosα ∗ t i m x = 18 ∗ cos 35o ∗ 2,09 seg = 30,85 m seg

8. Un proyectil es disparado formando un ángulo de 38o. Llego al suelo a una distancia de 4,3 Km. del cañón. Calcular la velocidad inicial y la velocidad en el punto de altura máxima. Datos α = 38o ; R = 4,3 Km. R = 4300 m;v = ?;v x = ? i

vi

Sol. 2,21 segundos; 221 m; 102,3 m/seg.

33.. Una pelota sale rodando por el borde de una escalera con una velocidad horizontal de 1,08 m/seg. Si los escalones tienen 18 cm. de altura y 18 cm. de ancho. ¿Cual será el primer escalón que toque la pelota? Sol. 2do escalón.

44.. Un avión que vuela horizontalmente a una altura de 2 Km. y con una velocidad de 700 Km. /h sufre una avería al desprenderse el motor. ¿Qué tiempo tarda el motor en llegar al suelo. ¿Cuál es su alcance horizontal? Sol. 20,20 seg.; 3927,69 m.

55.. Un tren se mueve a 108 Km. / h y entra a un puente de 20 m de largo y justo en el momento de entrar al puente, un pasajero deja caer un objeto de una altura de 2,5 m del suelo? ¿El objeto caerá al agua?

38o R

v 2 ∗ Sen 2 α R= i ; g

v 2 ∗ Sen 2 α i =R g R ∗g v 2 ∗ Sen 2 α = R ∗ g;v2 = i i Sen 2 α R ∗g = v = i Sen 2 α 42140

vi =

4300 m ∗ 9,8 sen76o

Sol. 21,3 m; no cae al agua.

m seg 2

Sol. 4 seg.; 120 m.; 200 m.

m2 seg 2

0,970

= 43443,30

m2 seg 2

= 208,43

m v x = v ∗ cos α = 208,43 ∗ cos 38o i seg m v x = 208,43 ∗ 0,79 seg m v x = 164,66 seg

7722

66.. Un bote a motor parte desde la orilla de un rió con una velocidad constante de 40 m/seg., perpendicular a el. Las aguas del rió tienen una velocidad de 30 m/seg. y el ancho de esta es de 160 m. a. Que tiempo demora el bote en llegar a la otra orilla; b. Que espacio se desfasa; c. Que espacio recorre.

m seg

77.. Un cuerpo es lanzado horizontalmente desde la parte superior de un acantilado de 500 m de altura, con una velocidad de 5 m/seg. ¿Que espacio horizontal recorrió el cuerpo hasta el instante que choca con el agua? Sol. 10 seg.; 50 m.

88.. Un alumno es arrojado horizontalmente de la azotea del colegio de 64 pies de altura. ¿Con que velocidad debe ser arrojado para que caiga sobre una mullida cama que se encuentra a 50 pies de la base del colegio. Sol. 25 pies/seg.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo

99.. De la azotea de un edificio se dispara horizontalmente un cuerpo con una velocidad de 29,4 m/seg. Al cabo de 4 seg. ¿Cuál será la velocidad del cuerpo?

rueda sobre el piso directamente bajo la primera pelota y con la misma velocidad y dirección. ¿Chocarán las pelotas cuando la primera rueda fuera de la mesa? Si así es, ¿Qué tan lejos a partir del punto directamente debajo Sol. 49 m/seg. del borde de la mesa estarán cuando chocan una con 1100.. El tanque de agua de una casa se encuentra a 10 m otra? de altura y presenta un agujero por el cual esta saliendo Sol.- 0,11 m agua en dirección horizontal al tanque. ¿Con que 66.. Un estudiante tira horizontalmente una pelota desde rapidez esta saliendo el agua? Se sabe que el agua la ventana de un dormitorio 15 m arriba del suelo. Otro estudiante de pie a 10 m del dormitorio cacha la pelota cae a 2 m de la casa (g = 10 m/seg2). a una altura de 1,5 m arriba del suelo. ¿Cuál es la Sol. 1 m/seg. 1111.. Un avión vuela a 500 m de altura, y con una velocidad inicial de la pelota? Sol. 6.02 m. velocidad de 360 Km./h.¿A que distancia horizontal de 7. un blanco ubicado en Tierra debe soltar una bomba para 7. Un mortero de trinchera dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 53° por encima de la horizontal no fallar?. y una velocidad inicial de 60 m/s. Un tanque que Sol. 1009,6 m 1122.. De lo alto de un edificio se dispara horizontalmente avanza directamente hacia el mortero, sobre terreno un cuerpo, y con una velocidad de 10 m/seg. Si el horizontal, a la velocidad de 3 m/s. ¿Cuál deberá ser la edificio tiene 150 m de altura.¿A que distancia se distancia desde el mortero al tanque, para lograr blanco, en el instante en que es disparado el primero? encontrara el edifico y del piso al cabo de 5 seg.? Sol. 50 m 25 m

M Moovviim miieennttoo ppaarraabbóólliiccoo

Sol. 382 m.

88.. Se dispara un proyectil desde un acantilado de altura 40 m sobre el nivel del mar, con una velocidad inicial de 40 m/seg. formando un ángulo 38° con la horizontal; si cae al mar a una distancia de 1000 m de la base del acantilado, encontrar la altura máxima por encima del nivel del mar.

11.. Un balón de fútbol que descansa sobre el suelo es pateada con un ángulo de 35° y una velocidad inicial de 20 m/seg. a. ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la pelota? b. ¿Cuál es su máximo Sol. 225,81 m. alcance? 99.. Un cañón dispara una bala con una velocidad de Sol. a. 6,75 m; b. 38,5 m 22.. Calcular cual debe ser el ángulo de inclinación al 300 m/seg., formando un ángulo de 50º con el terreno. disparar un proyectil para que alcance una altura de Calcular: a. La velocidad y la posición de la bala 16,40 pies si su velocidad inicial es de 65,6 pies/seg. después de 20 seg. b. El alcance máximo c. El tiempo necesario para que la bala retorne al terreno. (g = 32,8 pie/seg2 ). Sol. 30°

Sol. 196,16 m/seg.; 9000 m.

33.. Se dispone un cañón con un ángulo de tiro de 37° y una velocidad inicial de 196,8 pies/seg., un tanque avanza alejándose del cañón a una velocidad de 10,8 Km./h. Calcular la distancia entre el cañón y el tanque en el momento de disparo, para hacer blanco en el tanque.

1100.. Un proyectil es disparado formando un ángulo de 38º. Llego al suelo a una distancia de 4,3 Km., del cañón. Calcular la velocidad inicial y la velocidad en el punto de altura máxima. Sol. 208,43 m/seg.; 164,66 m/seg.

1111.. Un proyectil es disparado con una velocidad inicial de 600 m/seg. haciendo un ángulo de 65º con la 44.. Un cuerpo es lanzado hacia abajo haciendo un horizontal. Calcular la altura después de 30 seg. La ángulo de 37° con la horizontal, desde un punto que velocidad y el tiempo cuando el proyectil se encuentre a está a 270 m sobre el plano con una velocidad inicial 10 Km. de altura. 60 m/seg. Calcular su avance horizontal y el tiempo Sol. 11970 m; 403,36 m/seg.; 88,32 seg.; 23,11 seg. que demora la caída. 1122.. Desde un punto situado a 100 m de un blanco, que Sol. 565,44 m; 11,78 seg. esta a 10 m sobre la horizontal, se dispara un proyectil 55.. Una pelota rueda sobre una mesa de 1 m de alto con con una velocidad de 35 m/seg. ¿Cuál debe ser el una velocidad constante de 0,25 m/seg., y otra pelota ángulo de inclinación del disparo para dar en el blanco? rueda sobre el piso directamente bajo la primera pelota y Sol. 86º6’39’’; 1º49’58’’ Sol. 316,8 m

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7733

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PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

1133.. Se dispara una bala con una velocidad inicial de 64 m/seg. formando una inclinación de 49º. Se observa que al caer a tierra pasa justo rozando el borde de un precipicio de 210 m de altura. Calcular el alcance horizontal. El tiempo que permanece en el aire.

1188.. Cuál debe ser la velocidad inicial de un atleta de salto largo para igualar el record mundial de 8,90 m, si su salto hace un ángulo de37º con la horizontal. Sol. 18,54 m/seg

1199.. Un jugador de fútbol patea una pelota desde A con una velocidad de 14,142 m/seg. Si choca con el 1144.. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad travesaño en B, justo cuando alcanza su altura vx y a una altura h se dispara un proyectil con un cañón máxima,¿Con que ángulo fue pateada la pelota?. desde un plano horizontal, en el instante en que el avión Sol. 29,67º se encuentra en la línea vertical del cañón. Calcular el 2200.. ¿Cuál es el máximo alcance que se lograría ángulo de inclinación, la velocidad inicial del proyectil lanzando un proyectil con una velocidad de 30 m/seg, para hacer blanco en el avión. La distancia horizontal describiendo este un movimiento parabólico? detrás del cañón desde donde debería arrojar una bomba Sol. 90 m el avión para hacer blanco en el cañón. 2211.. Un proyectil se lanza de tal modo que desarrolla un 2*g*h 2*g*h movimiento parabólico, empleando un tiempo en volver 2*h tanθ = vo = dx = vx Vx g sen θ Sol. al piso. Si la velocidad de lanzamiento fue de 1155.. Se lanza un objeto con Vi = 20 m/seg 40 m/seg., y el ángulo de 30º, ¿Cuál es el valor del y con ángulo de 45º ¿Cuál es el alcance tiempo?. 2 Sol. 4,08 seg. máximo (g = 10 m/seg ). 2222.. Una pelota es disparada desarrollando un Sol. 40 m 1166.. Un proyectil es lanzado con Vi = 40 m/seg movimiento parabólico. Si el ángulo de lanzamiento fue de 60º, y 20 m/seg.¿Cual es el valor de la altura α = 30º, para t = 5 seg; hallar: máxima?. a. Velocidad “v” Sol. 15,31 m b. Altura “h” c. Distancia horizontal “d” Sol. 687,78 m; 13,08 seg.

Sol. 45,82 m/seg; 75 m; 173,2 m

1177.. Desde una altura de vuelo de 600 m, un avión deja caer una bomba, si el avión esta volando a 70 m/seg Calcular: a. Tiempo que demora en caer b. Distancia horizontal que avanza c. Velocidad del momento del impacto Sol. 10,95 seg; 766,5 m; 124,86 m/seg

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 1. Cuándo decimos que un movimiento es compuesto: 2. En los movimientos compuestos cómo se comporta el movimiento vertical: 3. Qué indica el ángulo de inclinación: 4. Qué significa el alcance horizontal de un móvil:

774 4

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PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss M Moonntteerroo

Capítulo VII Movimiento circular

H Haassttaa qquuee K Keepplleerr eennuunncciióó ssuuss ffaam moossaass lleeyyeess,, ssee ccrreeyyóó –– bbaassáánnddoossee eenn llaass óórrbbiittaass aappaarreenntteess yy eenn iinnssttrruum meennttoss ddee m meeddiiddaa nnoo m muuyy pprreecciissooss –– qquuee llooss ppllaanneettaass ggiirraabbaann sseeggúúnn oorrbbiittaass cciirrccuullaarreess eenn ttoorrnnoo aa llaa ttiieerrrraa,, rreeccoorrrriieennddoo lloonnggiittuuddeess ddee aarrccooss iigguuaalleess eenn ttiieem mppooss iigguuaalleess,, eess ddeecciirr,, eessttaabbaann ddoottaaddooss ddee m moovviim miieennttooss cciirrccuullaarrees uunniiffoorrm meess..

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo M Moovviim miieen nttoo cciirrccu ulla arr Se denomina movimiento circular, a todo movimiento cuya trayectoria es una circunferencia descrita por un móvil como ejemplos tenemos: Las agujas de un reloj, el volante de una máquina, una honda al girar, etc. Dentro de este movimiento estudiaremos el movimiento circular uniforme. 77..11.. M Moovviim miieennttoo cciirrccuullaarr uunniiffoorrm mee..-Recordemos que un movimiento rectilíneo es uniforme cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Lo mismo diremos para el movimiento circular, pero cambiando la palabra distancia por la palabra arco. Es decir: “Un movimiento circular es uniforme cuando el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales “. Como en una misma circunferencia a arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales, también podemos decir: “Un movimiento circular es uniforme cuando el móvil describe ángulos iguales en tiempos iguales “ v

MMoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr Los puntos P y Q de la figura representan dos posiciones sucesivas de la partícula. Su desplazamiento cuando se mueve de P a Q es el vector Δ s. 77..22.. PPeerriiooddoo..-- Se llama periodo del movimiento circular uniforme al tiempo que emplea el móvil en dar una vuelta entera, generalmente se lo designa con la letra T, y se mide en segundos. Como en el movimiento circular uniforme todas las vueltas son recorridas en tiempos iguales, el periodo es constante. T=

2* π ω

T=

2*π* R v

T=

1 f

f = frecuencia. ω = velocidad angular v = velocidad tangencial El periodo se lo mide en segundos. 77..33.. FFrreeccuueenncciiaa..-- Se llama frecuencia del movimiento circular al número de vueltas que el móvil da en un segundo se lo simboliza con la letra f. f=

1 T

f=

ω 2* π

T = periodo ω = velocidad angular Δs Generalmente se le mide en θ P o vueltas/seg. o revoluciones/seg. R concretamente se denomina Hertz. 77..44.. V Veelloocciiddaadd lliinneeaall oo ttaannggeenncciiaall..-- La velocidad tangencial se llama también R=oP velocidad lineal que es igual a la Δs = R * θ longitud curvilínea circular S, que recorre el móvil en la unidad de Δs θ= tiempo, tenemos la siguiente ecuación: R Donde: Consideremos a continuación un S = longitud del arco pequeño cuerpo (una partícula) girando t = tiempo en una circunferencia de radio R y s v= centro O. t Q

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

776 6

MMoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo tiene 2 π radianes.

t1 S

1radian =

R tO

Si: s = 2*π*R t = T (periodo) Se tiene la siguiente ecuación:

360° 2* π

π radianes = 180 o 1radian =

180° π

A menudo, la velocidad del movimiento circular uniforme se da en revoluciones por minuto (r. p. m.), y a veces en revoluciones por segundo 2* π* R v= (r. p. s.). T Reellaacciioonneess eennttrree llaa vveelloocciiddaadd 77..44..11.. U Unniiddaaddeess..-- Las unidades de la 77..77.. R velocidad tangencial en el sistema lliinneeaall yy vveelloocciiddaadd aanngguullaarr..-- De la internacional es metro por segundo fórmula: s m/seg. v= (1) t

77..55.. V Veelloocciiddaadd aanngguullaarr..-- Se denomina velocidad angular al ángulo barrido por el radio vector en la unidad de tiempo Donde: θ =ángulo central t = tiempo ω=

θ t t1

θ R

tO

Si: θ = 2π t = T (periodo). Se tiene la siguiente ecuación: ω=

Además: s = θ*R

(2)

Reemplazando (2) en (1): θ v = *R = ω R t v = ω*R v ω= R

77..88.. FFuueerrzzaa cceennttrrííppeettaa..-- La fuerza centrípeta es un vector cuya dirección, en cada punto, es la del radio de la circunferencia descrita por el móvil, y cuyo sentido apunta hacia el centro de la circunferencia. Fc

2* π t

77..55..11.. U Unniiddaaddeess..-- La unidad de la velocidad angular es el radian por segundo rad/seg. 77..66.. R Raaddiiaann..-- Es un ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que su radio. Por consiguiente una circunferencia 7777

Para hallar una expresión que nos permita calcular el valor de la fuerza centrípeta (Fc), consideremos un cuerpo de masa m que gira con velocidad lineal v describiendo una circunferencia de radio r. FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

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MMoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr

Siente la fuerza F, que le ejerce la pared de la plataforma hacia adentro y, r Fc v a la vez, siente la tendencia de salir de la trayectoria circular. Sobre el actúan dos fuerzas: la fuerza F y la fuerza que experimenta hacia fuera o fuerza que experimenta hacia fuera o fuerza Aplicando la ecuación fundamental de centrifuga. Porque permanece quieto la dinámica tenemos: con respecto a la plataforma y se tiene: m

F = m∗a

F =F centrifuga

Entonces v2 Fc = m ∗ a c = m ∗ r

O

Es decir:

F F

v2

Fc = m r

F centrífuga

Como la relación entre la velocidad lineal, v, y la velocidad angular ω, es v = ω x r, podemos obtener otra expresión para la fuerza centrípeta de la siguiente manera: m ∗ v 2 m(ω ∗ r )2 m ∗ ω2 ∗ r 2 = = r r r Fc = m ∗ ω2 ∗ r Fc =

77..99.. FFuueerrzzaa cceennttrrííffuuggaa..-- Para la persona que se halla dentro de la plataforma siente que ejerce una fuerza sobre el, para que se mantenga en movimiento circular. Esta fuerza es igual a la fuerza centrípeta necesaria para que describa trayectorias circulares por lo tanto se tiene: F = Fc O

FF

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7788

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PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass

R Reessu um meen n

11.. PPeerriiooddoo:: T=

2∗π ω

Definición

f=

Cuando la partícula describe una trayectoria circular.

Movimiento circular uniforme La partícula describe arcos o ángulos iguales en tiempos iguales.

Velocidad tangencial

v=

2∗π ∗ R T

v=

Es el tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa:

2∗π 2∗π∗R 1 T= T= ω v f Velocidad angular

Es el ángulo central θ que describe el radio de la circunferencia en un cierto tiempo:

2∗π ω= t

Es el número de vueltas θ que da la partícula en 1 segundo de tiempo:

1 T

f=

ω 2∗π

Radian Es la medida del ángulo central subtendido por un arco de longitud igual que el radio de la circunferencia.

1 radian =

779 9

1 T

f=

ω 2 ∗π

s t

v=

2∗π∗ R T

ω=

θ t

ω=

2 ∗π t

55.. R Raaddiiaann:: 360° 2∗ π

π radianes = 180 o 1radian =

180° π

66.. R Reellaacciioonneess eennttrree llaa vveelloocciiddaadd lliinneeaall yy vveelloocciiddaadd aanngguullaarr:: v=

s t

(1) s = θ ∗ R

(2)

Reemplazando (2) en (1):

Frecuencia

f=

1 f

44.. V Veelloocciiddaadd aanngguullaarr::

1 radian =

Periodo

T=

T=

33.. V Veelloocciiddaadd lliinneeaall oo ttaannggeenncciiaall::

Es la longitud de arco “s” que recorre una partícula en la unidad de tiempo:

s t

2∗ π∗ R v

22.. FFrreeccuueenncciiaa::

Movimiento circular

v=

T=

180° π

θ v = ∗R = ω∗R t v = ω∗R v ω= R

77.. FFuueerrzzaa cceennttrrííppeettaa:: F = m∗a

v2 Fc = m ∗ a c = m ∗ r 2 v Fc = m r m ∗ v 2 m(ω ∗ r )2 m ∗ ω2 ∗ r 2 Fc = = = r r r Fc = m ∗ ω2 ∗ r

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

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MMoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr

Datos v=? 11.. Un móvil con movimiento circular R = 8 m uniforme tarda 8 seg. en dar tres vueltas. t = 5 min = 300 seg. 2 * π * R 2 * 3,14 * 8 m m Calcular su velocidad angular. v= = = 0,17 300 seg. t seg. Datos t = 8 seg. 66.. Calcular la velocidad angular, el periodo y θ = 3 vueltas la frecuencia de una partícula que circula

P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss

ω=? vueltas θ 3 vueltas ω= = = 0,375 t 8 seg. seg. vueltas 1 rev 60 seg ω = 0,375 x x seg 1 vuelta 1 min rev ω = 22,5 = r.p.m. min ω = 22,5 r.p.m.

22.. El periodo de un móvil de movimiento circular uniforme es de 1,5 seg. cual es su velocidad angular. Datos t = 1,5seg. ω=?

ω=

2 π 2 π = = 4,18 rad seg t 1,5 seg

33.. Un móvil con movimiento circular uniforme, tarda 10 seg. en dar 5 vueltas. Calcular su velocidad angular. Datos t = 10 seg. θ = 5 vueltas ω=? ω=

2 π 5* 2* π rad = = 3,14 t 10 seg seg

sobre una circunferencia que tiene un radio de 25 m y su velocidad tangencial es 10 m/seg. Datos ω=? T=? f =? R = 25 m v = 10 m/ seg. 2*π*R v T= ω= v R 2 * 3,14 * 25 m 10 m T = seg. ω= 10 m seg. 25 m. 1 T = 15,7 seg. ω = 0,4 seg. 1 f= T 1 f= 15,7 seg. f = 0,064 Rev. f = 0,064 Hertz

77.. Si el periodo del movimiento de unas 44.. Calcular el período y la velocidad angular aspas de molino es de 20 seg, encontrar su velocidad y frecuencia en rad/seg., y de un motor que gira a 2500 Rev./min. rev/seg. Datos Datos T=? T = 20 seg ω=? f =? θ = 2500 Rev 2 * π 2 * π * rad π rad ω=? ω= = = 20 seg. 10 seg T t = 1min = 60 seg.

rad θ * 2 * π 2500 * 2 * π = = 261,66 seg. t 60 seg. 2* π 2*π T= = = 0,024 seg. ω 261,66 seg.

ω=

88.. ¿Cuál es la velocidad angular en rad/seg del segundero de un reloj mecánico? Datos T = 60 seg ω=?

2 * π 2 * π * rad π rad 55.. Hallar la velocidad tangencial de una ω= = = 60 seg. 30 seg T partícula que se mueve por una circunferencia de 8 m de radio en 5 99.. Hallar la velocidad angular y el periodo minutos. de revolución de un disco que en 5 seg.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

880 0

MMoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

logra girar 26.4 rad. Datos θ = 26,4 rad t = 5 seg ω=? T=? θ ω = = 26,4 rad = 5,28 rad seg 5 seg. t

π * rad seg ω rev f= = = 40 2 * π * rad seg 2*π N f= v t 60 seg rev N = f * t = 40 *1 min * v seg 1 min N = 2400 rev v

2*π T T = 2 * π * rad = 2 * π * rad = 1,19 seg. ω 5,28 rad seg

1133.. Una rueda gira 480 rpm. Hallar la velocidad angular de un punto cualquiera de la misma en rad/seg., y la velocidad lineal de un punto situado a 1 m de su centro. Datos

ω=

80

1100.. Calcular la velocidad angular de un ω = 480 rpm móvil que toma una curva de 8 m de radio R = 1 m v=? a una velocidad de 45 km/h. rev 2 * π * rad 1 min Datos ω = 480 * * min 1 rev 60 seg km v = 45 R =8 m ω=? π rad h ω = 16 seg. v v = ω*R = ω = π * rad R v = ω * R = 16 *1 m seg km 1000 m 1 h 45 * * m 3600 seg h 1 km v = 50,26 ω= seg. 8 m 1144.. Un ciclista, en una competencia da 80 ω = 1,56 rad seg pedaleadas completas por minuto. La 1111.. Sabiendo que un ventilador trabaja a catalina tiene un diámetro de 20 cm., el razón de 40 rpm, ¿Cuál es el periodo de piñón de la rueda 8 cm. y la rueda o llanta, rotación de sus aspas en segundos, y cuál es tiene un diámetro de 60 cm. Calcular la su frecuencia en rpm?. velocidad que lleva el ciclista. Datos Datos ω = 80 rpm ω = 40 rpm T = ? f =?

2 *π T 2 *π * rad T = 2*π = ω 40 rev * 1 min *2 * π *rad min 60 seg 1 rev T = 1,5 seg. ω=

v=?

d c = 20 cm d p = 8 cm

d

LL

= 60 cm

rev 40 ω 2 * π * rad min * = f= 2 * π * rad 1 rev 2*π f = 40 rpm

1122.. Sabiendo que una polea tiene una velocidad de 80 π rad/seg., ¿Cuántas revoluciones logra dar en 1 minuto? Datos ω = 80

8811

π * rad seg

T = 1 min

N =? v

v c = ω * R = 80 rev *10 cm min v c = 80 * 2 * π *10 cm 60 seg v c = 0,84 m seg.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo vc = v p ωp = ω LL vp v = LL rp R LL vp v =R * LL LL rp v v v v v

LL LL LL LL LL

83,77 cm seg = 30cm * 4 cm = 628,28 cm * 1m seg. 100cm = 6,28 m seg 3600seg = 6,28 m * 1km * 1h s 1000m = 22,6 km h

1155.. Calcular la velocidad angular de las tres agujas de un reloj ángulo ω= tiempo 2*π ω= = 2 * 3,1426 12 h 12 * 3600seg ω = 1,4544 *10 − 3 1 seg

MMoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr P Prroobblleem ma ass p prroop pu ueessttooss 11.. Realizar las siguientes conversiones: a. 50 rev a radianes b. 48 π rad a rev. c. 72 rev/s a rad/s d. 1500 rpm a rad/s e. 7 π rad/s a rpm f. 2 rad/s a grados/s. Sol. a. 314,16 rad; b. 24 rev; c. 144 rad/seg.; d. 50 π rad/seg.; e. 210 rev/min; f. 114,59 grados.

22.. Un móvil dotado de M.C.U. da 280 vueltas en 20 minutos, si la circunferencia que describe es de 80cmderadio: a. ¿Cuál es su velocidad angular?. b. ¿Cuál es su velocidad tangencial'? c. ¿Cuál es la aceleración centrípeta? Sol. a. 1,47 rad/seg.; b. 117,29 cm/seg.; c. 171,95 cm/seg2.

33.. Calcular la velocidad tangencial de un volante que cumple 3000 rpm si su radio es de 0,8 m. Sol. 251,3 m/seg.

44.. Un volante de 20 cm de radio posee una velocidad tangencial de 22,3 m/s. a) ¿Cuál es su frecuencia'? b)¿Cuál es su número de rpm ? Sol. a. 17,75 rev/seg.; b. 1065 rpm.

5. La velocidad tangencial de un punto material situado a 0,6 m del centro de giro es de 15 m/s. a) ¿Cuál es su velocidad angular? b) ¿Cuál es su período? Sol. a. 25 rad/seg.; b. 0,25 seg.

66.. Una polea cumple 2000 rpm, calcular la velocidad angular en grados sobre segundo. Sol. 12000 grad/seg.

77.. Las ruedas de una bicicleta poseen a los 4 seg. una velocidad tangencial de 15 m/s, si su radio es de 30 cm, ¿cuál será la aceleración tangencial?. Sol. 12,5 cm./seg2

ángulo ω = 1 tiempo 2 * π 2 * 3,1426 ω = = 1 1h 3600seg ω = 1,7453 *10 − 3 1 seg 1 ángulo ω = 2 tiempo 2 * π 2 * 3,1426 ω = = 2 1 min 60seg ω = 0,1047 1 2 seg

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

88.. Una polea posee una velocidad angular de 20 rad/seg., si esta animada por un M.C.U.V. y se detiene en 4 s, ¿cuál es la aceleración angular?. Sol. -5 rad/seg.

99.. Si la aceleración angular de un volante es de 0,3 rad/seg2, ¿cuál es la velocidad angular alcanzada a los 3 seg.? Sol. 0,9 rad/seg.

1100.. Un punto móvil gira con un periodo de 2 seg., y a 1,2 m del centro, calcular: a) La velocidad tangencial. b) La velocidad angular. Sol. a. 3, 77 m/seg.; b. 3.14 rad/seg.

1111.. La velocidad angular de un punto móvil es de 55 rad/seg., ¿cuál es la velocidad tangencial si el radio de giro es de 0,15 m? Sol. 8,25 m/seg.

8822

MMoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

1122.. Calcular la aceleración angular de una rueda de 0,25 m de radio, al lograr a los 20 seg., una velocidad de 40 Km. /h. Sol. 2.22 rad/seg.2

1199.. El minutero y el horero de un reloj están superpuestos a ls 12 horas.¿Dentro de cuanto tiempo estarán nuevamente superpuestos? Sol. 1 hora; 5 minutos; 27 segundos.

1133.. El radio de una rueda de bicicleta es de 32 cm. Si la velocidad tangencial es de 40 Km./h, ¿cuál es la velocidad angular''. Sol. 34.7 rad /seg.

2200.. a. ¿Cual es la velocidad angular de un punto dotado de M.C.U. si su periodo es de 1,4 seg? b. ¿Cuál es la velocidad tangencial si el radio es de 80 cm? Sol. 4,48 rad/seg.; 358,4 cm./seg.

1144.. Si una hélice da 18000 rpm, a. ¿Cuál es su 2211.. Si un motor cumple 8000 rpm, determinar: a. ¿Cuál es su velocidad angular? b. ¿Cuál es su frecuencia?; b. ¿Cuál es su período? periodo? Sol. a. 300 rev/seg.; b. 0,003 seg. 1155.. El eje de un motor eléctrico parte del reposo y acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de 200 rpm en 10 seg, gira a esta velocidad durante los próximos 25 seg. Finalmente se suprime la energía eléctrica, y el eje se detiene en 2 min. Adicionales. Calcúlese el número total de revoluciones que realiza el eje. Sol. 305.1 rev

1166.. Una piedra de amolar al reducir su velocidad angular desde 1500 rpm hasta 800 rpm realiza 700 revoluciones alrededor de su eje de giro. En estas condiciones calcular: a. La desaceleración de la piedra b. El tiempo que requiere para esta disminución de velocidad c. Si la velocidad continua reduciéndose al mismo ritmo ¿Cuánto tiempo más requiere para quedar en reposo?

Sol.- 837,76 rad/seg.; 0,007 seg.

2222.. Dos partículas A y B están girando alrededor del mismo eje con velocidades angulares constantes de 12 y 10 rad/seg., respectivamente, en un instante determinado ambas partículas pasan por un punto P, a. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la primera aventaje a la segunda por 5 vueltas y media?, b. ¿Cuántas vueltas habrán realizado cada una de las partículas en ese tiempo? Sol. 17,28 seg.; 33; 27,5.

2233.. Una rueda que gira a razón de 120 rpm incrementa uniformemente su velocidad hasta 660 rpm en 6 segundos. Calcular la aceleración angular en rad/seg2, así como la aceleración lineal de un punto situado a 80 cm. del eje. Sol.- 2,4 π m/seg2.

2244.. Un motor eléctrico que gira a 1800 rpm, tiene 2 1177.. Hallar la velocidad angular y el periodo de ruedas de poleas en su eje. Hallar la velocidad lineal de la faja cuando se coloca sobre la rueda de mayor diámetro. Los revolución de un disco que en 5 seg. Logra girar diámetros de las poleas son 7,5 cm y 15 cm. Sol. a. -2 rad/seg2; b. 36.65 seg.; c. 41.9 seg.

26,4 rad.

Sol. 848,23 m/min.

Sol. 5,28 rad/seg.; 1,19 seg.

2255.. Los radios de tres poleas conectadas por una faja de 1188.. Calcular la velocidad angular de un móvil que toma transmisión son como 5:3:1, la polea mayor gira a una curva de 8 m de radio a una velocidad de 45 razón de 50 rpm. ¿Cuál es la velocidad angular de las km/h otras dos?. Sol. 1,56 rad/seg.

Sol. 250 rpm

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 1. Explicar el concepto de movimiento circular uniforme: 2. A qué se denomina frecuencia: 3. Qué es el periodo en el movimiento circular uniforme: 4. A qué es igual el radian: 5. Por qué se denomina velocidad angular: 8833

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss M Moonntteerroo

Capítulo VIII Dinámica

E maanneerraa ccoom Ell eessttuuddiioo ddee llaass ccaauussaass ddeell m moovviim miieennttoo yy llaa m moo uunnooss ccuueerrppooss iinnfflluuyyeenn eenn eell m moovviim miieennttoo ddee oottrrooss ssee ddeennoom miinnaa ddiinnáám miiccaa.. E miieennttooss ddeessccrriittooss aanntteerriioorrm moovviim miieennttoo Enn llooss m moovviim meennttee,, eenn eessppeecciiaall eell m rreeccttiillíínneeoo yy eell m moovviim miieennttoo eenn uunn ppllaannoo,, nnoo ssee aannaalliizzaarroonn llaass ccaauussaass dee ddiicchhooss m meennttee ggeeoom moovviim miieennttooss,, llaa ddiissccuussiióónn ffuuee eesseenncciiaallm mééttrriiccaa.. A Ahhoorraa,, eell aannáálliissiiss ssee cceennttrraarráá eenn oobbtteenneerr uunnaa rreellaacciióónn ccuuaannttiittaattiivvaa yy ccuuaalliittaattiivvaa ddee llaass ccaaussaass ddeell m moovviim miieennttoo m miissm moo.. moovviim miieennttoo yy eell m

DDiinnáámmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo D Diin ná ám miicca a

que los pasajeros es como si En temas anteriores estudiamos el quisieran continuar su movimiento movimiento de una partícula, (movimiento rectilíneo uniforme). insistiendo en el movimiento en una 88..11..11.. FFuueerrzzaa..-- La fuerza es aquella línea recta o en un plano. capaz de producir deformación o No preguntamos que es lo que modificación en los cuerpos aun “causaba” el movimiento: simplemente cuando estos se encuentran en reposo o describíamos el movimiento en función movimiento. del desplazamiento, velocidad y la Sin embargo, en física, diremos a la aceleración. En este tema discutiremos fuerza en función de la aceleración que las causas del movimiento, que es el experimenta un cuerpo y la masa que aspecto que en mecánica se llama posee el mismo. dinámica, lo mismo que antes 8.1.2. Masa inercial.consideraremos a los cuerpos como si 8.1.2. Masa inercial.- Se denomina masa inercial aquella masa que se fueran simples partículas. mantiene en reposo, en movimiento y 88..11.. PPrriim meerraa lleeyy ddee N Neew wttoonn oo que no interviene la gravedad ya que pprriinncciippiioo ddee iinneerrcciiaa..-- En la primera para mover la masa inercial se necesita ley, denominada el principio de inercia, una fuerza para modificarla. Esta masa Newton establece la relación entre las se representa en dinámica. fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el Neew wttoonn oo tipo de movimiento que dicho cuerpo 88..22.. SSeegguunnddaa lleeyy ddee N maassaa..-- Consideremos un experimenta. El enunciado de este pprriinncciippiioo ddee m principio es el siguiente: “Si un cuerpo cuerpo cualquiera en la que actúa una esta en reposo seguirá indefinidamente fuerza F, este modifica su estado y le en reposo o si esta en movimiento este proporciona una aceleración, entonces será rectilíneo y uniforme a menos que decimos que a mayor aceleración sea obligado a cambiar su estado por mayor será la fuerza que cede, o contrariamente a menor fuerza menor fuerzas que se le apliquen”. aceleración por tanto la ecuación será: F = m∗a

Como ejemplo más sencillo de esta primera ley tenemos: Cuando los pasajeros de un automóvil son empujados hacia atrás cuando este comienza a partir o sea los pasajeros tratan de volver a su posición inicial. Análogamente cuando estos mismos son empujados hacia adelante cuando el automóvil frena bruscamente, o sea FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

En esta ecuación F es la suma vectorial de todas las fuerzas que obran sobre el cuerpo m, la masa del mismo y a, su aceleración vectorial. Este principio dice “Si se aplica una fuerza F a un cuerpo le comunica una aceleración de la misma dirección y sentido que la fuerza, directamente proporcional a ella, e inversamente proporcional a la masa m del cuerpo”. a=

F m

8855

DDiinnáámmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

88..33.. T Teerrcceerraa lleeyy ddee N Neew wttoonn oo pprriinncciippiioo ddee aacccciióónn yy rreeaacccciióónn..-- Este principio esta en función de una sola fuerza de la interacción mutua entre dos cuerpos. Experimentalmente encontramos que al ejercer una fuerza sobre un segundo cuerpo, este segundo cuerpo ejercerá una fuerza sobre el primero. Además, encontramos que esas fuerzas son de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario: Por consiguiente, una sola fuerza aislada es una imposibilidad. Si una de las dos fuerzas que intervienen en la interacción entre dos cuerpos se llama fuerza de “acción”, la otra se llama fuerza de “reacción”. Cualquiera de las dos fuerzas se puede considerar como la de “acción” y la otra como de “reacción”. En este fenómeno no implica una relación de causa a efecto, lo que si implica es una interacción simultánea mutua. Esta propiedad de las dos fuerzas fue establecida primeramente por Newton en su tercera ley del movimiento que dice: “A toda acción se opone siempre una reacción igual; o en otras palabras, las acciones mutuas de dos cuerpos entre sí siempre son iguales, y dirigidos a partes contrarias”. F

-F

88..33..11.. PPeessoo yy m maassaa..-- El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre el. Siendo el peso una fuerza, es una cantidad vectorial. La dirección de este vector es la 886 6

dirección de la fuerza gravitacional, esto es, hacia el centro de la tierra. Cuando un cuerpo de masa m cae libremente, su aceleración es la aceleración de la gravedad g y la fuerza que obra sobre el es su peso W. Al aplicarle la segunda ley de Newton, F = m* a, a un cuerpo en caída libre tenemos W = m* g Tanto m como g son vectores dirigidos hacia el centro de la tierra. Como g varía de un punto a otro de la tierra el peso W de un cuerpo de masa m, es diferente en diversos lugares. Por consiguiente podemos escribir: w = m∗g

Por consiguiente, a diferencia de la masa de un cuerpo, que es una propiedad intrínseca del cuerpo, el peso de un cuerpo depende de su posición con respecto al centro de la tierra. Los dinamómetros dan lecturas iguales. Así de distinto puntos de la tierra, las balanzas dan lecturas iguales, así: F = m∗a

(1)

w = m∗g

(2)

De (2) despejamos m y tenemos: m= w g

(3)

Reemplazando (3) en (1) tenemos: F = w ∗a g

88..33..11..11.. U Unniiddaaddeess ddee ppeessoo yy m maassaa..-- La magnitud del peso se expresa en unidades de fuerza, tales como libras o Newton. aa.. La unidad de masa en el sistema M.K.S. es la masa del Kilogramo patrón (cilindro de platino iridio, depositado en la oficina internacional de pesas y medidas de parís) y se llama Kilogramo masa (Kg.). FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

DDiinnáámmiiccaa bb.. La unidad de masa en el sistema 88..44..33.. SSiisstteem maa ggrraavviittaattoorriioo ttééccnniiccoo C.G.S. es el gramo (g) y corresponde a tteerrrreessttrree:: la milésima parte de la masa del F = m ∗a kilogramo patrón. m F = kg. ∗ 9,81 c.- La unidad técnica de masa (sistema seg 2 métrico) utm no tiene nombre especial F = kgf. o kp y se deduce de la formula siguiente: El kilogramo fuerza o kilogramo peso F a= se define como la fuerza que aplicada a m un cuerpo de 1 Kg. de masa le kg m= comunica una aceleración de 9,81 m2 m PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

seg 2

m=

kg ∗ seg 2

seg

88..44..44.. SSiisstteem maa iinnggllééss:: F = m ∗a pie F = slug seg 2

m

88..33..11..22.. E Eqquuiivvaalleenncciiaass.. 1 kg = 0,102 utm 1 utm = 9,81 kg

88..44.. U Unniiddaaddeess ddee ffuueerrzzaa..-- En la ecuación F = m*a en cada sistema de unidades se eligen dos de ellos como fundamentales (unidad de masa y de aceleración) y la tercera se considera derivada de aquellas: 88..44..11.. SSiisstteem maa iinntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..)):: F = m ∗a m F = Kg * seg 2 F = N (Newton)

El Newton se define como la fuerza que aplicada a un cuerpo de 1 Kg. de masa le comunica una aceleración de 1

m seg 2

88..44..22.. SSiisstteem maa cceeggeessiim maall ((C C..G G..SS..)):: F = m ∗a cm F = g* seg 2 F = Dya (Dina)

La dina se define como la fuerza que aplicada a un cuerpo de 1 gramo de masa le comunica una aceleración de 1

cm seg 2

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

F = lb. o f

(libra fuerza)

La libra fuerza se define como la fuerza que aplicada a un cuerpo de 1 slug de masa le comunica una aceleración de 1

pie 2 seg

88..55.. E Eqquuiivvaalleenncciiaass:: N

a

Dina N = kg m seg 2 1000 g m 100 cm N = kg ∗ ∗ ∗ 1m 1 kg seg2 cm N = 105 g seg 2

⎯⎯→ kg

a N

kg = kg ∗ 9.81

kg = 9.81 kg

m seg 2

m seg 2

kg = 9.81 N ⎯⎯→ kg

a DINA

kg = kg ∗ 9.81 N = kg ∗

m seg 2

1000 g m 100 cm ∗ ∗ 1 kg 1 m seg 2

kg = 9.81 ∗ 105 g

cm seg 2

kg = 9.81 ∗ 105 Dinas

8877

DDiinnáámmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass

R Reessu um meen n Dinámica Concepto de dinámica La relación que existe entre los movimientos y las causas que los producen.

Principio de inercia

11.. SSeegguunnddaa lleeyy ddee N Neew wttoonn oo pprriinncciippiioo ddee m maassaa:: F = m∗a a=

Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas aplicadas sobre el.

F m

22.. PPeessoo yy m maassaa::

Principio de masa La fuerza neta F que se aplica a un cuerpo está en relación constante con la aceleración “a” que le comunica:

F = m∗a

m=

F a

w = m∗g F = m∗a

(1)

w = m∗g

(2)

Principio de acción y reacción “A toda acción se opone siempre una reacción igual; o en otras palabras, las acciones mutuas de dos cuerpos entre sí siempre son iguales, y dirigidos a partes contrarias”.

Fuerza La fuerza es aquella capaz de producir deformación o modificación en los cuerpos aun cuando estos se encuentran en reposo o movimiento.

De (2) despejamos m y tenemos: m= w g

(3)

Reemplazando (3) en (1) tenemos: F = w ∗a g

Masa inercial Se denomina masa inercial aquella masa que se mantiene en reposo, en movimiento y que no interviene la gravedad.

Peso del cuerpo Fuerza con que un cuerpo es atraído hacia el centro de la tierra:

W = m∗g

Masa del cuerpo Es la suma de las masas de todos los puntos materiales:

m=

8888

W g

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

DDiinnáámmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss 11.. Una fuerza aplicada a un cuerpo de 2 Kg. de masa le comunica una aceleración de 3 m/seg2. Calcular la aceleración que comunicaría si actuará sobre un cuerpo de masa a. 1 Kg., b. 4 Kg. Datos F=? m = 2 Kg. m a =3 seg.2

F = m∗a F = 2 Kg ∗ 3 F

m seg.2

=6 N

m a

a. a =? 1 m = 1 Kg. 1 F = m ∗a 1 1 a = F = 1 m1

m a

a. F =? 1 a = 0,5 m 1 seg2 F = m ∗a 1 1 Kp seg 2 m ∗ 0,5 F =4 1 m seg.2 F = 2 Kp 1 b. F=? a=5 m seg2 F = m ∗a 2 2 Kp seg 2 m ∗5 F =4 2 m seg.2 F = 20 Kp 2

m m seg2 =6 1 kg seg.2

6 kg

b. a =? 2 m = 4 Kg. 2 F = m ∗a 2 2 a = F = 2 m2

F

Datos

w =?

m m seg2 = 1,5 4 kg seg.2

6 kg

22.. Una fuerza aplicada de 4 kp a un cuerpo le comunica una aceleración de 1 m/seg2. Hallar la fuerza que aplicada a dicho cuerpo le comunique una aceleración de a. 0,5 m/seg2, b. 5 m/seg2. Datos F=? a =1 m seg2 F = m∗a Kp seg 2 F 4 Kp =4 m= = m a 1 m seg 2

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

33.. Calcular el peso de un cuerpo cuya masa es a. 2 Kg., b. 0,5 g, c. 2 utm, d. 0,5 utm.

g = 9,8 m seg 2 a. m = 2 Kg. 1 c. m = 2 utm 3 a. w = m *g 1 w = 2 Kg. ∗ 9,8

b. m = 0,5 g. 2 d. m = 0,5 utm 4 m seg.2

w = 19,6 N

m

b w = m ∗g 2 w = 0,5 g. ∗ 980

cm seg.2

w = 490 dinas ∗

10-5 N 1 dina

w =?

w = 4,9*10−3 N

889 9

DDiinnáámmiiccaa c. w = m *g 3 w = 2 utm ∗ 9,8

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo Datos a =? a. F = 5N 1 m = 2Kg. 1 c. F = 5Kp 3 m = 2utm. 3

m seg.2

w = 19,6 Kp d. − w = m ∗ g 4

w = 0,5 utm. ∗ 9,8

m seg.2

w = 4,9 Kp 44.. Un bloque pende del extremo de una cuerda. Calcular la masa de dicho bloque sabiendo que la tensión de la cuerda es a. 4,9 N, b. 1 kp, c. 4,9 x 105 dinas. Datos

m=?

a. m F = 4,9 N g = 9,8 1 2 seg c. F = 4,9*105 dinas 3

b. F = 1 Kp 2

T=F a. F = m * a 1 1 F 4,9 N m = 1= 1 a m 9,8 seg 2

m =? w

m = 0,5 Kg. 1 b. F = m * a 2 2 F 1 Kp m = 2 = 2 m a 9,8 seg 2 m = 0,102 utm. 2 c. F = m * a 3 3 cm 4,9 *105 g F seg 2 3 m = = 3 cm a 980 seg 2 1 Kg. m = 500 g * = 0,5 Kg. 3 1000 g

55.. Calcular la aceleración producida por una fuerza a. de 5 N aplicada a una masa de 2 kg, b. de 5 dinas aplicada a una masa de 2g, c. de 5 kp aplicada a una masa de 2 utm, d. de 1kp aplicada a un cuerpo de 9,8 kp de peso.

9 90 0

b. F = 5dinas 2 m = 2g. 2 d. F = 1Kp 4 w = 9,8Kp.

a. F = m ∗a 1 1 1

5 Kg

m seg 2

F m = 2,5 a = 1 = 1 m 2 Kg. seg 2 1 b. F = m ∗a 2 2 2 cm 5 g F seg 2 cm = 2,5 a = 2 = 2 m 2 g. seg 2 2 c. F = m ∗a 3 3 3 F 5 Kp m a = 3 = = 2,5 3 m m seg 2 . 3 2 Kp seg 2 d. w = m∗g 9,8 Kp w = 1 utm. m = m g 9,8 seg 2 F = m ∗a 4 4 4 F 1 Kp m =1 a = 4 = 4 m m seg 2 . 4 1 Kp seg 2

66.. Hallar la fuerza constante que aplicada a un cuerpo de 30 kp de peso le comuniqué: a. Una aceleración de 3m/seg2; b. Una aceleración de 30 m/seg./min. ; c. Una velocidad de 9 m/seg. a los 6 segundos de empezar a moverse. d. Recorrer un espacio de 30 m a los 5 segundos de empezar a moverse. e. Un incremento de su velocidad desde 5 m/seg. hasta 15 m/seg. en 4 segundos. ; f. Una disminución de su velocidad desde 20 hasta 10 m/seg. en 30 m de recorrido.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

DDiinnáámmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo Datos F=? a.

a=3

b. c.

w = 30 Kp

m seg2

m seg min m a=3 *1 = 0,5 min 60seg seg 2

m V =9 f seg t = 6 seg V =0 i e. a = ? m V =5 i seg m V = 15 f seg t = 4 seg

d. d = 30 m t = 5 seg f. a = ?

m V = 20 i seg m V = 10 f seg d = 30 m w a. F = m * a (1) m= (2) g Reemplazando (2) en (1)

w 30 kp m = 9,2 kp *a = *3 m g seg 9,8 seg w b. F = m * a (1) m= (2) g Reemplazando (2) en (1) w 30 kp m F = *a = = 1,53 kp *0,5 m g seg 9,8 seg

F=

c. V = V + a * t Þ V = a * t f i f m 9 V m seg a= f = = 1,5 t 6 seg seg 2 w (2) g Reemplazando (2) en (1) F = m∗a

F=

(1)

m=

w 30 kp m *a = *1,5 = 4,6 kp m g seg 9,8 seg

d. d = Vi * t +

a t2 2

a t2 d= 2 2 d 2*30 m m a= = = 2,4 2 2 t (5 seg) seg 2

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

w (2) g Reemplazando (2) en (1) w 30 kp m F = *a = *2,4 m g seg 9,8 seg F = 7,35 kp e. V = V + a * t f i V − Vi = a*t f F = m∗a

m=

(1)

V − Vi = a= f t F = m∗a

(1)

15

m seg

m

-5

seg

4 seg m=

w

= 2,5

m seg 2

(2)

g

Reemplazando (2) en (1) F=

w g

30 kp m *2,5 = 7,65 kp m seg 9,8 seg

*a =

f. Vf2 = Vi2 + 2 * a * d 2

⎛ m ⎞ ⎛ m ⎞ 10 - 20 V 2 − V 2 ⎜⎝ seg ⎟⎠ ⎜⎝ seg ⎟⎠ i = a= f 2*d

100 a=

2*30 m m2

m2 − 400 seg 2 seg 2

60 m

F = m∗a

(1)

m=

-5

w

g Reemplazando (2) en (1) F=

w g

2

*a =

m seg 2 (2)

30 kp m *5 = 15,3 kp m seg 9,8 seg

77.. Calcular la fuerza que comunicaría una aceleración de a. 2 m/seg2 a una masa de 2kg, b. 80 cm./seg2 a una masa de 50 g. Datos F=? a.

a=2

m seg 2

m = 2 Kg.

b.

a = 80

cm seg 2

m = 50 g.

a. F = m * a F = 2 Kg*2

m m =4 2 2 seg seg .

b. F = m * a F = 50 g*80

cm 2 seg

3 F = 4000 dinas ⇒ 4*10 dinas

9 911

DDiinnáámmiiccaa P Prroobblleem ma ass p prroop pu ueessttooss

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo que la masa de la derecha es de 10 Kg. y que la de la izquierda es de 2kg. ¿Cuál es la aceleración del sistema? ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

11.. Qué aceleración experimenta un cuerpo de 8 kg. De Sol. 6,53 m/seg2; 32,7 N masa, si sobre el actúa una fuerza resultante de 30 N. 1133.. Una fuerza de 10 N actúa sobre un cuerpo de 2 kg Sol. 3, 75 m/seg2 22.. Si sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 96 de masa. Determinar: a. La aceleración del cuerpo b. El peso del cuerpo en N c. La aceleración del cuerpo si se N y se lo acelera a 12 m/seg2. Calcular la masa. duplica la fuerza. Sol. 8 Kg. Sol. a. 96 N; b. 4*10-2N

33.. Sobre un cuerpo de 6 kg de masa inicialmente en reposo, actúa una fuerza de 24 N. Calcular la 1144.. Una fuerza F, aplicada a un cuerpo de masa m1 distancia recorrida por el cuerpo en produce una aceleración de 3 m/seg2. La misma fuerza aplicada a un segundo cuerpo de masa m2 produce una 10 segundos. Sol. 200 m. aceleración de 1 m/seg2.¿Cuál es el valor de la razón 44.. A una masa de 250 g en reposo, se le aplica una m1/m2? fuerza constante de 50 g. ¿Qué velocidad adquiere y que Sol. 1/3 1155.. A una masa de 1000 kg se le aplica una fuerza distancia al cabo de 12 segundos?. 2 Sol. 240 cm/seg ; 1440 cm. de 800 N durante 10 segundos. Calcular: a. La 55.. Dos personas jalan de un cuerpo de 20 kg, con aceleración b. La 2velocidad que2 adquiere. fuerzas de 100 y 200 N. Calcular la aceleración si las Sol. a. 0,8 m/seg b. 8 m/seg 1166.. Un cuerpo de 1500 kp de peso que pende del fuerzas forman un ángulo de 60º entre si. 2 Sol. 291, 20 N ; 14,56 m/seg . extremo de un cable, desciende con una velocidad de 66.. Calcular el peso que tiene un cuerpo de 1 kg de masa, 4 m/seg. Sabiendo que el espacio que recorre hasta detenerse es de 3 m, calcular la tensión en el cable en los tres sistemas. suponiendo que la desaceleración es constante. Sol. 9,8 N; 980000 dyn; 1 Kp. Sol. 1900 Kp.

77.. Un automóvil pesa 1000 kp y va a una velocidad de 90 km/h. Calcular la fuerza retardadora de los frenos, 1177.. Calcular el espacio que recorrerá un cuerpo de 5 Kg. para detenerlo en 70 m, sobre una carretera horizontal. de masa, cuando sobre él actué una fuerza constante de 1 N durante 10 segundos. Sol. 102,04 utm; -4,46 m/seg2; - 455,10 kp. Sol. 10 m.

88.. Encuentra: a. La masa de una persona cuyo peso es de 150 lb. b. El peso de un bloque de 72 Kg. c. La masa 1188.. Calcular la fuerza constante de rozamiento necesaria para detener en 5 seg. un automóvil de de un cuerpo cuyo peso es de 400 N. 1500 kp de peso que marcha a una velocidad de Sol. a. 4,69 slugs; b. 705,6 N; c. 40,8 Kg. 90 Km. /h ¿Qué espacio recorrerá hasta detenerse? 99.. ¿Qué aceleración imprimirá una fuerza de 35 N a un Sol. 765 kp; 62,5 m. objeto de 7 Kg? 1199.. Calcular la aceleración y el tiempo que tarda en Sol. 5m/seg. 1100.. Una fuerza de 85 N tira de un bloque de 43 Kg. recorrer 70 m un cuerpo de 12 kp de peso sometido a la acción de una fuerza constante de 3 kp. horizontalmente por el piso si el coeficiente de Sol. 2,45 m/seg2; 7,55 seg. rozamiento es de 0,1. Encuentra la aceleración del 2200.. Un cuerpo de 100 kp de peso pende del extremo de bloque. 2 Sol. 0,99 m/seg . una cuerda. Calcular su aceleración cuando la kp. 1111.. Una caja de 3500 N es levantado con tensión en la cuerda2 es a) 125 kp, b) 80 kp, c) 100 Sol. a. 2,45 m/seg hacia arriba, b. 1,96 m/seg2 hacia una aceleración de 4 m/seg2.¿Cual es la tensión en el abajo, c. 0 m/seg2 cable de soporte? 2211.. El ascensor de una mina, que pesa 800 kp, arranca Sol. 4928,57 N. 1122.. Una maquina de Atwood consiste en una polea hacia arriba con una aceleración de 6 m/seg2. Calcular simple con masas suspendidas de ambos lados. Es una la tensión en el cable en el momento del arranque. versión simplificada de muchos sistemas industriales en Sol.- 1290 kp. los cuales se emplean contrapesos para equilibrar. Supón 2222.. ¿Qué fuerza hacia arriba se debe aplicar a un

9 922

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

DDiinnáámmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

cuerpo de 50 kp de peso para que su aceleración de 2299.. Un paracaidista de 70 kp de peso se lanza caída sea de 3 m/seg2? libremente al espacio desde el reposo y los 5 segundos del Sol. 34,7 kp. instante del lanzamiento abre su paracaídas. Este tarda 2233.. ¿Qué fuerza hacia arriba se debe aplicar a un en abrirse por completo 0,8 segundos y la velocidad cuerpo de 2 kg de masa para que ascienda con una pasa a 12 m/seg cuando esta totalmente abierto. Calcular la fuerza media ejercida sobre las cuerdas del aceleración de 1,6 m/seg2? paracaídas, suponiendo que este carece de peso. Sol. 22,8 N. 2244.. El peso de un ascensor es de 1200 kp. Calcular la Sol. 400,7 Kp. tensión en los cables cuando a. asciende con una 3300.. Un vagón de 1000 kp de peso es arrastrado sobre aceleración de 1 m/seg2, b. desciende con una una vía horizontal por un caballo de 500 kp sabiendo que la fuerza de rozamiento sobre el vagón es de aceleración de 1 m/seg2. 150 kp. Calcular la fuerza que debe ejercer el caballo Sol. 1322 Kp; 1078 Kp. 2255.. Un hombre de 80 kp de peso está dentro de un para que el vagón adquiera una velocidad de 10 m/seg. ascensor que desciende con una aceleración uniforme a los 5 segundos de iniciado el movimiento, la máxima de 11 m/seg2. Calcular la fuerza que el hombre ejerce tensión que debe soportar la cuerda. Sol. 456 Kp; 354 Kp. sobre dicho ascensor. Ídem, cuando asciende con una 3311.. Un plano inclinado forma un ángulo de 30° con la aceleración de 1 m/seg2. horizontal. Calcular la fuerza constante paralela al Sol. 72 Kp; 88 Kp. 2266.. Sabiendo que el alargamiento de un resorte es plano que se necesita aplicar a un bloque de 40 kp de directamente proporcional a la fuerza de tracción a que peso para desplazarlo 2a) hacia arriba con una se someta, calcular la fuerza que indicaría un aceleración de 1 m/seg2 , b) hacia abajo con una dinamómetro calibrado en un lugar donde la gravedad aceleración de 1m/seg . Se supone que no hay es de 9,8 m/seg2 cuando sobre el se colocara un peso rozamiento. Sol. a. 24 Kp hacia arriba, b. 16 Kp hacia abajo. patrón de 2 kp en un lugar donde la gravedad fuera de 3322.. Un plano inclinado que forma un ángulo de 25° en 9,5 m/seg2. la horizontal tiene una polea en su parte superior. Un Sol. 1,94 Kp. 2277.. De los extremos de una cuerda, que pasa por una bloque de 10 kp de peso esta apoyado sobre el plano y polea sin rozamiento, penden dos cargas de 2 y 6 kp de unido, por medio de una cuerda que pasa por la polea, aun cuerpo de 5 kp de peso que cuelga libremente. peso. Calcular la aceleración y la tensión de la cuerda. Suponiendo que no hay rozamiento, calcular el espacio Sol. 4,9 m/seg2; 3 Kp. que recorrerá el cuerpo de 5 kp en 2 segundos partiendo 2288.. Un ascensor arranca hacia arriba con una del reposo. aceleración constante de forma que a los 0,8 seg. ha Sol. 1,04 m. ascendido 1 m. dentro de el va un hombre que lleva un paquete de 3 kp colgado de un hilo. Calcular la tensión en el hilo. Sol. 3,96 Kp.

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 1. Qué es masa inercial: 2. Qué es peso: 3. Cuáles son las unidades en que se mide la fuerza: 4. Qué indica el principio de inercia: 5. Qué indica el principio de acción y reacción: FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

9 933

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss M Moonntteerroo

Capítulo IX Rozamiento

E Ell rroozzaam miieennttoo eexxiisstteennttee eennttrree ddooss ccuueerrppooss qquueeddaa ddeetteerrm miinnaaddoo ppoorr llaass pprrooppiieeddaaddeess ddee ccaaddaa uunnoo ddee llooss ccuueerrppooss yy ppoorr llaa ffuueerrzzaa qquuee llooss uunnee:: uunn lliibbrroo ssee ppuueeddee ddeesslliizzaarr ffáácciillm mooss 2200 meessaa ppeerroo ssii ccoollooccaam meennttee ssoobbrree uunnaa m lliibbrross ssoobbrree ééssttee,, yyaa nnoo sseerráá ffáácciill m moovveerrlloo..

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

RRoozzaammiieennttoo R Roozza am miieen nttoo 99..11.. D Deeffiinniicciióónn..-- En algunos de los capítulos ya estudiados se supuso que las superficies eran lisas, esto para hacer el problema más sencillo; sin embargo no existe ninguna superficie perfectamente liza. Cuando dos superficies están en contacto y si se intenta mover una de ellas respecto a la otra. Siempre aparecen fuerzas tangenciales llamadas fuerzas de rozamiento; por otra parte, estas fuerzas de rozamiento son limitadas y no evitaran el movimiento si se aplican fuerzas suficientemente grandes. 99..22.. FFuueerrzzaass ddee rroozzaam miieennttoo..-- Es aquella fuerza que surge entre dos cuerpos cuando uno trata de moverse con respecto al otro. Esta fuerza siempre es contraria al movimiento o posible movimiento. 99..33.. C Cllaasseess ddee rroozzaam miieennttoo..-- Existen dos clases de fuerza de rozamiento: El Rozamiento Seco (rozamiento de Coulomb) y el Rozamiento Fluido. Es necesario recordar que al rozamiento también se lo conoce con el nombre de fricción. 99..33..11.. C Cllaasseess ddee rroozzaam miieennttoo sseeccoo:: 99..33..11..11.. R Roozzaam miieennttoo ppoorr ddeesslliizzaam miieennttoo:: i Rozamiento

Estático i Rozamiento Cinético 99..33..11..22.. R Roozzaam miieennttoo ppoorr rrooddaadduurraa oo ppiivvoottee::

99..44.. L Leeyyeess ddee llaa ffuueerrzzaa ddee rroozzaam miieennttoo ppoorr ddeesslliizzaam miieennttoo..-- Dentro de las leyes de rozamiento por deslizamiento tenemos las siguientes: La fuerza de rozamiento tiene un valor que es directamente proporcional a la reacción normal. 9 955

fαN

N f w

La fuerza de rozamiento no depende del área de las superficies en contacto, además es independiente de la velocidad del cuerpo en movimiento. 99..55.. C Caarraacctteerrííssttiiccaass ddee llaass lleeyyeess ddee llaa ffuueerrzzaa ddee rroozzaam miieennttoo..-- Dentro de las características tenemos los siguientes: i Magnitud.- El valor de la fuerza de rozamiento por deslizamiento se calcula mediante la siguiente fórmula. f=μN

Siendo: f = Fuerza de rozamiento o fricción μ = Coeficiente de rozamiento paralela a las superficies en contacto. iS Seennttiiddoo..--

Siempre se opone al movimiento o posible movimiento de las superficies en contacto. iP Puunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn..-- Se aplica sobre cualquier punto perteneciente a las superficies en contacto. 99..66.. R Roozzaam miieennttoo eessttááttiiccoo..-- Es la que se presenta entre superficies que se encuentran en reposo. El valor de la fuerza de rozamiento estático varia desde cero hasta un valor máximo, el cual lo adquiere cuando el cuerpo en contacto esta a un punto de moverse; pero sin conseguirlo. (Movimiento inminente). Este valor máximo de la fuerza de rozamiento estático equivale a la fuerza mínima necesaria para iniciar el movimiento, el cual puede calcularse mediante la siguiente fórmula. v=0

fs = μs N

F

fs N

w

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

RRoozzaammiieennttoo

Siendo: fs = Fuerza de rozamiento estático μs = Coeficiente de rozamiento estático N = Reacción normal

fk = μk N

fs fs

N

w θ

θ

w

De la forma fs = w sen θ (1) pero fs = μs N (2) (2) en (1) μs N = w sen θ (3) del triangulo N = w cos θ (4) (3):(4) μs N = w sen θ N = w cos θ μs = tg θ

F

fk

99..66..11.. C Cooeeffiicciieennttee ddee rroozzaam miieennttoo eessttááttiiccoo..-- Para calcular el coeficiente de rozamiento estático se sigue el siguiente procedimiento: Se toma un plano y sobre el se coloca un cuerpo. Se inclina el plano respecto al horizonte, gradualmente hasta que el movimiento del cuerpo sea inminente; en ese momento se mide el ángulo que forma el plano con la horizontal. La tangente de ese ángulo será igual al coeficiente de rozamiento estático. N

Mov.

N

w

Siendo: fk = Fuerza de rozamiento cinético μk = Coeficiente de rozamiento cinético N = Reacción normal

99..77..11.. C Cooeeffiicciieennttee ddee rroozzaam miieennttoo cciinnééttiiccoo..-- Para calcular el coeficiente de rozamiento estático se sigue el siguiente procedimiento: Se toma un plano y sobre el se coloca un cuerpo. Se inclina gradualmente el plano; pero dando pequeños empujoncitos al cuerpo (simultáneamente) hasta que el cuerpo resbale sobre el plano inclinado, con velocidad constante. Se mide el ángulo que forma el plano con la horizontal; la tangente de dicho ángulo nos dará el coeficiente de rozamiento cinético. fk N

fk

v = cte.

w

N

w

θ

θ

De la figura: f = w sen θ (1) k pero f = μ N (2) k k (2) en (1) μ N = w sen θ (3) k del triangulo N = w cos θ (4) (3) : (4) μ N = w sen θ k N = w cos θ μ = tg θ k

El valor de μs dependerá pues, de la calidad de los materiales en contacto. 99..77.. R Roozzaam miieennttoo cciinnééttiiccoo -- Es aquella que se presenta cuando hay movimiento de un cuerpo respecto al otro. Cuando el cuerpo pasa del movimiento inminente al movimiento propiamente dicho, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y permanece El valor de μk dependerá pues, de la calidad de los materiales en contacto. casi constante. FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

9 96 6

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

RRoozzaammiieennttoo R Reessu um meen n Rozamiento Definición de rozamiento Cuando dos superficies están en contacto y si se intenta mover una de ellas respecto a la otra. Siempre aparecen fuerzas tangenciales llamadas fuerzas de rozamiento.

Fuerzas de rozamiento

P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss 11.. Sobre un plano horizontal se tiene una caja que pesa 20 Kg. ¿Qué fuerza es necesario aplicarle para que se mueva, si μs = 0.5? Datos W = 20 kg μs = 0.5 Fmax = ? N = 20 N

Clases de rozamiento Existen dos:

Fuerza que surja entre dos cuerpos cuando uno trata de moverse con respecto al otro.

Mo

Rodadura

fmax

F

Debido a las deformaciones de las superficies que ruedan.

w

F – Fmax = m *a (1) Pero a = 0 (2) Debido a las asperezas de las superficies que están en contacto. Reemplazando (2) en (1) tenemos F – Fmax = 0 (3) Rozamiento estático Pero Fmax = μs *N (4) Entre dos superficies que están en reposo una sobre la otra. Reemplazando (4) en (3) tenemos fs = μs N F = μs *N F = 05 * 20 F = 10 Kg. Rozamiento cinético 22.. Un ladrillo de 5 kg de masa se apoya a una Fuerza tangencial entre dos cuerpos en contacto, cuando uno de ellos se esta pared vertical mediante una fuerza de sentido desplazando respecto al otro. horizontal “F”, como se en la figura. Si el fk = μk N coeficiente de rozamiento estático es 0,25, hallar el mínimo valor de “F” para que el ladrillo se mantenga inmóvil. Datos R Reessu um meen nd dee ffoorrm mu ulla ass m = 5kg 11.. C Caarraacctteerrííssttiiccaass ddee llaass lleeyyeess ddee llaa f s = 0,25 F =? ffuueerrzzaa ddee rroozzaam miieennttoo:: min Deslizamiento

fs

f=μN

22.. R Roozzaam miieennttoo eessttááttiiccoo::

y

F N

x

fs = μs N

33..-- R Roozzaam miieennttoo cciinnééttiiccoo::

mg

fk = μk N

9 977

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

RRoozzaammiieennttoo

= μs * N fs = fs max (1) ∑ Fx = 0 : F = N ∑ Fy = 0 : f s = m * g μs * N = m * g (2) Remplazando (1) en (2) μs * F = m ∗ g m ∗ g 5 Kg F = = = 20 kg min μs 0,25

N

fk

w −μ k *N = − F

33.. a. Calcular la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de 50 kp de peso para desplazarlo con velocidad uniforme sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento 0,2 b. Sabiendo que la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de 150 kp de peso para desplazarlo sobre una superficie horizontal con velocidad uniforme de 30 kp, calcular el coeficiente cinético de rozamiento.

Datos a. F = ? w = 50 kp a =0 μ = 0,2 k

μ k *N = F μk =

30 kp F = = 0,2 N 150 kp

44.. Calcular la fuerza paralela a un plano inclinado, de 30 m de altura y 40 m de base, que es necesario aplicar a un bloque de 100 kp de peso para que no se desplace sobre el. El coeficiente de rozamiento es igual a 0,25. Datos Fp = ?

h = 30 m

b = 40 m μ

k

w = 100 kp

= 0,25 N

N

fk

F − F = m*a k F−F = 0 k F=F k F = μ * N = 0,2 * 50 kp k F = 10 kp pero a = 0 F = μ *N k k N=w N = 50 kp b. F = 30 kp w = 150 kp w = cte. a =0 μ =? k F − F = m*a k F − F = m*0 k F − μ *N = 0 k

w

μk

fp

fr

fp

v = cte.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

F

wx

F

θ

wx

h

w

θ

wy

θ w

b tag α = tag α =

h b 30 m 40 m

tag α = 0,75 α = arc tag 0,75 α = 36º Pero: w x = w*sen α

(1)

Fr = μ k *N Fr = μ k *w*cos α

(2)

w x − Fr − Fp = 0 − Fp = Fr − w x

( − 1)

Fp = w x − Fr(3) reemplazando (1) y (2) en (3) Fp = w*sen α − μ k *w*cos α F = 100kp*sen36º − 0,25*100kp*cos36º p Fp = 100 kp*0,6 − 0,25*100 kp*0,8 F = 60 kp − 20 kp = 40 kp p

9 988

RRoozzaammiieennttoo

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

55.. Sabiendo que para ascender un bloque de 50kp de peso con una velocidad uniforme por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal es necesario aplicar una fuerza, paralela al plano, de 40 kp, calcular el coeficiente de rozamiento cinético. Datos

N

w = 50 kp

v = cte

α = 30º μ =? k

N fp fp

wx fr

wx

w

α

wy

a = 0 (1) w x = w*sen α (2) (3) (4)

(4) en (3) Fr = μ *w*cos α (5) k Fp − w x − Fr = m*a (6) reemplazando (1),(2),(5), en (6) Fp-w*sen α-μ *w*cos α = m*0 k Fp-w*sen α-μ k *w*cos α = 0 −μ *w*cos α = w*sen α − Fp ( − 1) k Fp-w*sen α μ = k w*cos α 40 kp-50 kp*sen 30º μ = k 50 kp*cos 30º 40 kp-50 kp*0,5 μ = k 50 kp*0,86 40 kp-25 kp μ = = 0,348 k 43 kp

66. Un bloque de metal se coloca sobre una tabla horizontal que se va inclinando gradualmente cuando la tabla forma un ángulo de 27º con la horizontal, el bloque esta a punto de comenzar su desplazamiento. Calcular el coeficiente estático entre el bloque y la mesa. Datos α = 27º μ =? k

9 99 9

wx

wx

α α

w 27º

wy

w

w x = w*sen α (1) (2) (3)

(3) en (2) Fr = μ *w*cos α (4) k w x − Fr = m*0 w x − Fr = 0

α

w

30º

Fr = μ *N k N = w*cos α

fr

Fr = μ *N k N = w*cos α

Fp = 40 kp

N

fr

N

w x = Fr (5) reemplazando (1),(4), en (5) w*sen α = μ *w*cos α k w*sen α sen α = = tag α μ = k w*cos α cos α μ = tag 27º = 0,51 k

77.. Un bloque de 10 kp de peso se mantiene en reposo sobre un plano inclinado rugoso, que forma un ángulo de 30º con la horizontal sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es igual a 0,15, calcular la fuerza paralela al plano que se necesita aplicar al cuerpo para que pueda empezar a desplazarse hacia arriba. Datos w = 10 kp α = 30º Fp = ? μ = 0,15 k N fp

N

fp

wx fr

wx w 30º

α α

wy

w

w x = w * sen α (1) N = w * cos α (2) Fr = μ * N (3) k (2) en (3) Fr = μ * w * cos α (4) k Fp − w x − Fr = m * 0 Fp − w x − Fr = 0

(5)

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

RRoozzaammiieennttoo

reemplazando (4),(1), en (5) Fp = w*sen α + μ *w*cos α k Fp = 10kp*sen30º + 0,15*10kp*cos30º Fp = 10kp*0,5 + 0,15*10kp*0,86 Fp = 5 kp + 1,3 kp Fp = 6,3 kp

88.. Un bloque de 50 kp de peso esta

sobre una superficie horizontal y se mueve a lo largo de ella por la acción de una cuerda paralela a la superficie cuyo extremo esta unido a través de una polea sin rozamiento a un cuerpo de 12 kp de peso. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es igual a 0,2 calcular el espacio que recorrerá el primer cuerpo a los 10 segundos de iniciarse el movimiento. Datos w = 50 kp 1 w = 12 kp 2 d=? t = 10 seg. μ = 0,2 k

w1

w2

N

N T

fr w1 T-Fr = m1 * a

w 2 − T = m 2 * a s/m/m

w2

reemplazando (2), (3), (4) en (1) w −μ *N w −μ *N k k a= 2 = 2 w w w +w 1+ 2 1 2 g g g 12 kp - 0,2 * 50 kp 12 kp - 10 kp a= = 6,33 50 kp + 12 kp 9,8 m seg 2 a = 0,32 m seg 2 2 d = v *t + a*t i 2 0,32 m * (10 seg) 2 2 seg 2 d = a*t = 2 2 0,32 m *100 seg 2 seg 2 d= = 16 m 2 99.. Determinar: a. la fuerza paralela a un plano inclinado de 30 m de altura y 40 de base; para que se mantenga en el un bloque de 50 kp, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es igual a 0,3, b. la fuerza paralela al plano para que el bloque ascienda por el con una velocidad constante, c. la aceleración que adquiere el cuerpo si la fuerza que se le aplica es de 47 kp paralela al plano y hacia arriba, d. la distancia recorrida por el cuerpo en 10 segundos en las condiciones del apartado anterior; e. ¿ qué ocurrirá si se aplica una fuerza de 25 kp paralela al plano y hacia arriba?, f.¿qué ocurrirá si se aplica una fuerza de 13 kp paralela al plano y hacia arriba?, g. la distancia recorrida por el cuerpo en 10 segundos en las condiciones del apartado anterior. Datos a. Fp = ? h = 30 m b = 40 m w = 50 kp μ = 0,3 k N

____________________ w 2 − Fr = a(m1 + m 2 ) w −Fr (1) Fr = μ *N (2) a= 2 k m1 + m2 w w (3) m 2 = 2 (4) m1 = 1 g g

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

wx

θ

fr

fp

w

h

b

110 00 0

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

RRoozzaammiieennttoo w x − Fp − Fr = m * a N fp w x − Fp − Fr = 0 wx + fr Fp = w x − Fr (1) θ w x = w * sen α (2) θ w Fr = μ * w * cos α (3) k w h tag θ = b 30 m tag θ = 40 m tag θ = 0,75 θ = arc tag 0,75 θ = 36º reemplazando (2) y (3) en (1) Fp = w * sen α − μ * w * cos α k Fp = 50kp * sen36º − 0,3 * 50kp * cos36º Fp = 50 kp * 0,59 − 0,3 * 50 kp * 0,8 Fp = 30 kp − 12 kp = 18 kp b. Fp = ?

v = cte a =0

a

N

fp

wx + fr

θ θ

47 kp − 50 kp * 0,6 − 0,3 * 50 kp * 0,8 5,1kp m/seg2 47 kp − 30 kp − 12 kp m a= = 0,98 5,1 kp m/seg2 seg2

a=

d. d=? t = 10 seg. N d

Fp − w*sen α − μ k *w*cos α = 0 Fp = w*sen α + μ k *w*cos α Fp = 50kp*sen36º + 0,3*50kp*cos36º Fp = 50 kp*0,6 + 0,3*50 kp*0,8 Fp = 30 kp − 12 kp = 42 kp

α = 36º F + fr

wx wy w

w Fp − w*sen α − μ k *w*cos α = a g Fp−w*sen α −μ k *w *cos α a= w g

110 011

wx

θ θ

wy w

2 d = v *t + a*t i 2 0,98 m * (10 seg) 2 2 seg 2 d = a*t = 2 2 0,98 m *100 seg 2 seg 2 d= = 49 m 2 e. F = 18 kp w x −F−Fr w g Fr = μ *w*cos α k w x = w*sen 36º w x = 30 kp

(1) (2) (3)

(3), (2) en (1) 30 kp−18 kp −μ k *w* cos α a= 50 kp m 9,8 seg 2 a=

12 kp−0,3 *50 kp *0,8 5,1kp m/seg2

a=

12 kp−12 kp 0 Kp = =0 2 5,1 kp m/seg 5,1 kp m/seg 2

θ θ

F + fr

a=

w

N

47kp − 50kp * sen36º −0,3 * 50kp * cos36º 50 kp m 9,8 seg2

w x − F − Fr = m*a

wy

c. a =? Fp = 47kp

a=

f. F = 13 kp w x − F − Fr = m * a a=

w x − F − Fr w g

(1)

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

Fr = μ * w * cos α k w x = w * sen 36º w x = 30 kp

RRoozzaammiieennttoo

(2)

(3)

(3), (2) en (1) 30 kp − 13 kp − μ * w * cos α k a= 50 kp 9,8 m seg 2 30 kp - 13 kp − 0,3 * 50 kp * 0,8 a= 5,1kp m/seg 2 30 kp - 13 kp − 12 kp a= 5,1 kp m/seg 2 5 Kp = 0,98 m a= 5,1 kp m/seg 2 seg 2 t = 10 seg. w = 50 kp a = 0,98 m seg2 2 d = v *t + a*t i 2 0,98 m * (10 seg)2 2 seg2 d = a*t = 2 2 0,98 m *100 seg2 seg2 d= 2 d = 49 m g.

d =?

1100.. A un bloque de 5 kp situado sobre una mesa horizontal están unidos dos cuerdas de cuyos extremos penden a través de unas poleas, los pesos de 3 y 4,5 kp que se representa en la figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la masa y el bloque de 5 kp es 0,2, calcular la velocidad que adquirirá el peso de 4,5 kp cuando este haya descendido 1 m partiendo del reposo. Datos w = 5 kp w = 3 kp 1 2 w = 4,5 kp μ = 0,2 3 k v=? d =1 m

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

w1

w2

w3

N1

T

T + fr

T T

w

w

W

T-w = m * a 2 1 T - T - Fr = m * a 2 w −T = m * a s/m/m 3 3 ______________________ w − w − Fr = a (w + w + w ) 2 3 2 3 g 1 Fr = μ * N 1 k g ( w 3 − w 2 - μ * N1 ) k a= w1 + w 2 + w 3 m

(4,5kp − 3kp − 0,2 * 5kp) seg 2 a= 5 kp + 3 kp + 4,5 kp m 9,8 * 0,5 kp 2 seg a= = 0,392 Kp 12,5 kp v2 = v2 + 2 * a * d f i 2 v = 2* a * d f v2 = 2 * a * d f m m v = 2 * 0,392 *1 m = 0,88 f seg seg 2 9,8

110 022

RRoozzaammiieennttoo PPrroobblleem maass pprrooppuueessttooss

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

viene expresada por la ecuación d = C r2, siendo 2 11.. Un bloque de 100 kp de peso se mueve a lo largo de C = 1.73 m/seg . Hallar el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano. una superficie horizontal rigurosa por la acción de una Sol. 0,5 fuerza de 50 kp que forma un ángulo de 30º con la horizontal. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 77.. Dos cuerpos cuyos pesos son P1 = 2kp y P2 = 1 kp igual a 0,2, calcular el espacio recorrido por el bloque a respectivamente, están unidos entre si por un hilo que los 10 segundos de iniciarse el movimiento partiendo del pasa por una polea cuyo peso es insignificante. Hallar: a. la aceleración con que se mueven los cuerpos, b. La reposo. tensión del hilo (El rozamiento que existe en la polea es Sol. 139 m 22.. Dos tableros de 1 m y 1,6 m, estan unidos entre si despreciable). Sol. a. 3,27 m/seg2; b. 13 N. como indica la figura. Sobre los planos se colocan dos bloques de igual peso unidos por medio de una cuerda 88.. Un cuerpo se encuentra en un plano inclinado que que pasa sobre una polea sin rozamiento. Sabiendo que forma con la horizontal un ángulo de 4º. Determinar: el coeficiente de rozamiento entre los bloques y las a. ¿Qué valor limite deberá tener el coeficiente de superficies es igual a 0,3, a) demostrar que el sistema rozamiento para que el cuerpo comience a descender por esta en equilibrio b) si el sistema se le comunica una el plano?. b. ¿Con qué aceleración se deslizara el cuerpo velocidad inicial de 1 m/seg en una u otra dirección, por el plano si el coeficiente de rozamiento es igual a calcular la distancia recorrida hasta alcanzar el reposo. 0,03?. c. ¿Cuánto tiempo tardara el cuerpo en recorrer 100 m en estas condiciones? d. ¿Qué velocidad Sol. 0,138 m. tendrá el cuerpo al finalizar estos 100 m?. Sol. a. 0,07; b. 0,39 m/seg2; c. 22,7seg.; d. 8,85 m/seg.

99.. Un bloque de 50 kp esta en reposo sobre el suelo horizontal. La fuerza horizontal mínima para que inicie 1m 1,6 m el movimiento es de 15 kp; y la fuerza mínima horizontal necesaria para mantenerlo en movimiento con una velocidad constante es de 10 kp. Calcular el 33.. Los diámetros de los planetas Marte y tierra son, coeficiente de rozamiento cinético, b. cual será la fuerza respectivamente, 6700 km y 11800 km y la masa de de rozamiento cuando se aplique al bloque una fuerza Marte es 0,108 de la masa de la Tierra. Si un cuerpo horizontal de 5 kp. pesa 50 kp en la superficie de la tierra. ¿Cuánto pesaría Sol. 0,3; 0,2. en Marte? ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad 1100.. Sobre un bloque de 20 kp situado sobre una en Marte? superficie horizontal, se aplica una fuerza de 10 kp Sol. 19 kp; 3,72 m/seg2 formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si al 44.. Un automóvil pesa I Tn. La fuerza de rozamiento que cabo de 3 segundos la velocidad del bloque es de actua sobre el cuando se mueve es igual a 0,1 de su 7 m/seg, calcular el coeficiente de rozamiento. peso. Hallar la fuerza de tracción que desarrolla el Sol. 0,16. motor cuando el automóvil marcha con velocidad 1111.. Hallar la fuerza F, la fuerza normal N y la fuerza constante: a) por una cuesta arriba cuya inclinación es de fricción f si el coeficiente de rozamiento es 0,4. El de 1 m cada 25 m, b) por una cuesta bajo de la misma peso del bloque es de 100 N y sube con una velocidad inclinación que la anterior. constante. El ángulo de inclinación del plano es de 28º Sol. a. 1370 N; b. 590 N. y el ángulo que forma la fuerza F con el plano inclinado 55.. Hallar la fuerza de tracción que desarrolla el motor es 20º. de un automóvil que sube por una cuesta con la Sol. F = 78,33 N; N = 67,37 N; f = 26,94 N. aceleración de 1 m/seg2. La inclinación de la cuesta es 1122..Suponiendo que un bloque pesa 22 N, y que la igual a 1 m por cada 25 m. El automóvil pesa tensión puede aumentar hasta 8 N, antes de que el 9,8*103N. El coeficiente de rozamiento es igual a 0,1. bloque comience a deslizar y que para mantener al Sol. 2370 N. bloque en movimiento con velocidad constante una vez 66.. Un cuerpo se desliza por un plano inclinado que iniciado, es necesario una fuerza de 4 N. Calcular los forma con la horizontal un ángulo de 45º. La relación coeficientes de rozamiento estático y cinético. entre la distancia d recorrida por el cuerpo y el tiempo t Sol. 0,36; 0,18. 0,8 m

110 033

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

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RRoozzaammiieennttoo

1133.. Un móvil marcha a 10 m/seg, horizontalmente. Su masa es de 500 kg, ¿en cuanto tiempo parara al aplacársele los frenos? Si el coeficiente de rozamiento es de 0,6. g = 10 m/seg2.

1144.. Un auto marcha a 60 km/h. Su masa es de 800 kg. Calcular la distancia que recorre hasta detenerse. Resistencia del aire equivalente a 800 N. Coeficiente de rozamiento: g = 10 m/seg2.

Sol. 1,67 seg

Sol. 23,22 m

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 1. Qué son las fuerzas de rozamiento: 2. Cuáles son las clases de deslizamiento: 3. Por qué se dice rozamiento estático: 4. Por qué se llama rozamiento cinético:

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110 04 4

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Capítulo X Trabajo, potencia y energía

LLaa eenneerrggííaa eess llaa ccaappaacciiddaadd ddee uunn ssiisstteem maa ddee pprroodduucciirr uunn ttrraabbaajjoo.. PPuueeddee sseerr ddee m miiccaa,, múúllttiipplleess ffoorrm maass:: m meeccáánniiccaa, eellééccttrriiccaa,, ttéérrm miiccaa,, rraaddiiaannttee,, qquuíím eettcc.. YY ttiieenne llaa pprrooppiieeddaadd ddee ttrraannssffoorrm Annttees ddee qquuee maarrssee ddee uunn ttiippoo aa oottrroo.. A E Eiinnsstteeiinn rreevvoolluucciioonnaarraa llaa ffííssiiccaa ssee ddeeccííaa:: ““LLaa m ma””,, pprriinncciippiioo qquuee maatteerriiaa nnoo ssee ccrreeaa nnii ssee ddeessttrruuyyee,, ssóólloo ssee ttrraannssffoorrm hhuubboo qquuee ccoonnvveerrttiirr eenn:: ““LLaa eenneerrggííaa nno ssee ccrreeaa nnii ssee ddeessttrruuyyee,, ssóólloo ssee ttrraannssffoorrm maa””,, ddeessppuuééss dee qquuee E muullaa Eiinnsstteeiinn eessttaabblleecciieerraa ssuu ccéélleebbrree ffóórrm E E == m mcc22..

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

T Trra abba ajjoo P Pootteen ncciia aE En neerrggíía a Trabajo, potencia y energía son palabras que empleamos diariamente, pero de una manera vaga e imprecisa, e incluso como si fueran sinónimos. Costo mucho a la ciencia distinguir claramente entre conceptos tan íntimamente vinculados entre si, pero ahora cada una de ellas tiene un significado perfectamente definido. T Trra abba ajjoo 1100..11.. D Deeffiinniicciióónn..-- En la vida corriente, la palabra trabajo se aplica a cualquier clase de actividad que requiere realizar un esfuerzo muscular o intelectual, sin embargo en física, la palabra trabajo se emplea en un sentido muy diferente y mucho más restringido. Diremos que un hombre, o una máquina realizan trabajo, cuando vence una resistencia a lo largo de un camino. Una fuerza realiza trabajo sobre un cuerpo cuando actúa una fuerza constante sobre dicho cuerpo y este cambia de posición por efecto de la fuerza y se produce un desplazamiento en línea recta. El trabajo es una magnitud escalar. De acuerdo al siguiente gráfico tenemos que: F

d A

B

por la distancia (d) que se mueve el cuerpo a lo largo de la línea “.

La escribimos de la siguiente forma: Tr = F ∗ cos ∗ α ∗ d 1100..22.. U Unniiddaaddeess:: 1100..22..11.. SSiisstteem maa cceeggeessiim maall ((C C..G G..SS..))..-- En este sistema la fuerza se expresa en dinas, la distancia en centímetros, el trabajo se mide en dinas - centímetros que se denomina ergios, es decir:

F = Dinas

d = Cm

Tr = Ergios

1100..22..22.. SSiisstteem maa iinntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..))..-En este sistema la fuerza se expresa en Newton, la distancia en metros, y se define como el trabajo realizado cuando se ejerce una fuerza constante de un Newton sobre un cuerpo que recorre una distancia de un metro en la misma dirección y sentido de la fuerza. Un Newton - metro se denomina Julios es decir: F = Newton

d= m

Tr = Julios

1100..22..33.. SSiisstteem maa ttééccnniiccoo..-- En este sistema la fuerza se expresa en kilopondios, la distancia en metros, la unidad de trabajo es por consiguiente el kilopondimetro, es decir: F = Kilopondio (Kp)

Ahora bien, consideremos otra d= m partícula que reciba la acción de una Tr = Kilopondimetro (Kpm) fuerza (F) que forma un ángulo a con la dirección del movimiento. 1100..33.. E Eqquuiivvaalleenncciiaass:: F

y

A

α

x

F*cos*α

d

1 J = 10 7 Ergios 1 Kpm = 9,8 Julios 1 Kpm = 9,8 ∗ 107 Ergios 1 J = 0,102 Kpm

1 Ergio = 0,102 ∗ 10 - 7 Kpm En este caso definimos el “Trabajo 1 Ergio = 10 - 7 Julios

hecho por la fuerza sobre la partícula como el producto de la componente de la fuerza (F) en dirección del movimiento,

110 06 6

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass

Dina * cm = Ergio C.G.S N*m =J S.I. kp * m = kpm Técnico

11.. T Trraabbaajjoo m meeccáánniiccoo:: Tr = F ∗ d

R Reessu um meen n

22.. T Trraabbaajjoo m meeccáánniiccoo ccuuaannddoo ffoorrm maa

uunn ddeetteerrm miinnaaddoo áánngguulloo:: Tr = F ∗ cos ∗ α ∗ d

Concepto

Trabajo

Como el producto de la fuerza por el desplazamiento, que esta en una misma dirección.

Tr = F ∗ d Trabajo realizado por una fuerza cuando forma un determinado ángulo “Trabajo hecho por la fuerza sobre la partícula como el producto de la componente de la fuerza (F) en dirección del movimiento, por la distancia (d) que se mueve el cuerpo a lo largo de la línea “.

Tr = (F * cos * α) d

P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss 11.. Calcular el trabajo que tiene que efectuarse para suspender desde el suelo un motor que pesa 600 kg hasta una altura de 1,5 metros sobre el suelo. Datos w = 600 Kg. d = 1,5 m Tr =? F=w

Tr = F * d Tr = 600 Kg * 1,5 m = 900 Kgm

Unidades

S.I.

C.G.S.

F=N

F = Dinas

d=m

d = Cm

Tr = Julios

Tr = Ergios S. Técnico

F = Kilopondio (Kp) d=m Tr = Kilopondimetro (Kpm)

Equivalencias

1 J = 0,102 Kpm 1 Ergio = 0,102 ∗ 10−7 Kpm 1 Ergio = 10−7 Julio

1 J = 107 Ergios 1 Kpm = 9,8 Julios 1 Kpm = 9,8 ∗ 107 Ergios

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22.. Un hombre levanta cierto número de sacos de arena a razón de uno cada 5 minutos, durante 4 horas. Cada saco pesa 25 Kg. y lo eleva a una altura de 2.8 m ¿Cuál es el trabajo total realizado? Datos w = 25 Kg. h = 2.8 m t=5 min tt = 4h F=w Tt =? Tr = F * h

Tr = 25 Kg. * 2.8 m = 70 Kgm 5 min.................1 saco 240 min.............x 240 min * 1saco x= 5 min x = 48 sacos Tt = F * h Tt = 70 * 48 = 3,360 Kgm

33.. Calcular el trabajo necesario para trasladar un cuerpo desde una posición de 5 metros hasta los 20 metros aplicando una fuerza de 45 N. Hallar dicho trabajo en julios y Kilopondimetros. Datos Tr = ?

110 077

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa Datos x =5m i x = 20 m f F = 45 N Δ x = x − x = 20 m − 5 m = 15 m f i Tr = F * Δ x

Tr = 45 N *15 m = 675 J 1 kpm Tr = 675 J * = 68,88 kpm 9,8 J

44.. Calcular el trabajo necesario para arrastrar un cuerpo hasta 22 metros de distancia empleando una fuerza de 8 kp, sabiendo que entre la fuerza y el desplazamiento, hay un ángulo de 35º. Datos Tr = ? d = 22 m 9,8 N F = 8 kp* = 78,4 N 1 kp α = 35º

Tr = F * d * cos α Tr = 78,4N * cos35º * 22m = 1414,34J 55.. Calcular el trabajo para subir un cuerpo de 12 Kg. de masa hasta una altura de 4 metros en 5 segundos. Datos Tr = ?

m = 12 kg h=4 m t = 5 seg g = 9,8 m seg 2 Tr = p * h

Tr = m * g * h Tr

= 12 kg * 9,8 m * 4 m seg 2 = 470,4N * m

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo Datos Tr = ?

p = 500 kp θ=? Δx = ? Px = ? F=?

F Δx 5m w

Px θ

8m

Δx =

(8 m )2 + (5 m )2

Δ x = 9,43 m

Px = P * sen θ

Px = 500 kp * 5 m = 255,11 kp 9,43 m F = 255,11 kp Tr = F * Δ x = 255,11 kp * 9,43 m

Tr = 2499,99 kpm

77.. Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 220 dinas y recorre una distancia de 300 m y forma un ángulo de 35º. Expresar el resultado en julios. Datos Tr = ?

F = 220 dyn d = 300 m α = 35º

F = 220 dyn * 1 N = 2.2 *10 - 3 N 105 dyn Tr = F * d * cos α Tr = 2,2 *10- 3 N * 300m * cos35º Tr = 0,54 J

Tr Tr = 470,4 J

88.. Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 500 dyn cuyo punto de aplicación se desplaza a 120 m que forma un ángulo de 66.. Un cuerpo que pesa 500 Kg., esta al pie de 35º. Expresar el resultado en kpm. un plano inclinado, de la figura. Calcular: a) Datos La fuerza para subirlo a la cumbre, b) El T = ? r trabajo realizado por esa fuerza. F = 500 dyn

110 088

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

P Prroobblleem ass p prroop pu ueessttooss ma

d = 120 m α = 35º 1 kp 9,81*105 dyn F = 5,09 *10 - 4 kp F = 500 dyn *

Tr = F * d * cos α Tr = 5,09 *10- 4 kp *120m * cos 35º

Tr = 0,05 kpm 99.. Calcular el trabajo realizado por un cuerpo de 300 kg cuyo punto de aplicación se desplaza 1200 m, que forma un ángulo de 120º. Datos Tr = ? m = 300 kg d = 1200 m α = 120º w=F w = m*g

w = 300 kg * 9,81

Sol. 1400 J; 1,4*1010 ergios.

22.. Bajo la acción de cierta fuerza F un cuerpo de masa de 2 kg, tiene una aceleración de 3 m/seg2. ¿Cuál es el trabajo de esta fuerza si el cuerpo se desplaza 5 m?. Sol. 30 J.

33.. Un bloque de 5 kg se empuja una distancia de 8 m sobre un plano horizontal, con coeficiente de rozamiento de 0,3, por una fuerza constante F paralela al plano a velocidad constante. ¿Cuál es el trabajo de la fuerza F? Sol. 117,6 J.

44.. Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 3 N cuyo punto de aplicación se desplaza 12 m paralela a la fuerza. Expresar el resultado en el sistema internacional y en el sistema cegesimal. Sol. 36 J; 36*107 erg.

m seg 2

= 2943 N

Tr = F * d * cos α Tr = 2943 N *1200m * cos 120º

Tr = 1765800 J 1100.. Cual es el trabajo realizado por un hombre que carga un sillón de 100 N hasta el segundo piso de una casa de 2,5 m de alto. Datos Tr = ? F = 100 N d = 2,5 m

Tr = F * d = 100 N * 2,5 m = 250 J 1111.. Un hombre empuja una cortadora de gras con un angulo de 30º con la horizontal, con una fuerza de 200 N, una distancia de 10 m¿Cuál es el trabajo realizado. Datos Tr = ? F = 200 N d = 10 m α = 30º Tr = F * d * cosα = 100N * 2,5m * cos30º Tr = 1732 N * m = 1732 J

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

11.. Una persona empuja una carretilla de 50 kg de peso sobre una superficie horizontal a lo largo de 35 metros, empleando una fuerza de 40 N. Calcular el trabajo que realiza la persona, expresar el resultado en dos sistemas.

55.. Calcular el trabajo de una fuerza de 1000 N en Joules, Kpm y ergios, cuyo punto de aplicación se desplaza 50 m en la misma dirección de la fuerza. Sol. 50000 J; 5100 kpm; 5*1011 erg.

66.. ¿A que altura habrá sido levantado un cuerpo que pesa 10 kp, si el trabajo empleado fue de 5000 J? Sol. 51 m.

77.. Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 3 N, cuyo punto de aplicación se desplaza 15 m paralela a la fuerza en joules y ergios. Sol. 45 J; 4,5*104 ergios.

88.. Un hombre empuja una cortadora de césped con un ángulo de 30º con la horizontal empleado una fuerza de 10 kp, y recorriendo una distancia de 15 m. Calcular el trabajo. Sol. 130,5 kpm.

99.. Calcular el trabajo realizado para subir una bolsa de cemento hasta una altura de 2,5 m en 10 segundos. Sol. 1225 J.

1100.. Un cuerpo tiene una masa de 500 kg y se lo quiere subir por el siguiente plano inclinado. Calcular la fuerza para subirlo y el trabajo realizado por esa fuerza. Sol. 300 kp; 1500 kpm.

1111.. Un muchacho estira un trineo de 45 N de peso una distancia de 10 m sobre una superficie horizontal. Calcular el trabajo neto que tiene que hacer sobre el trineo, si el coeficiente es de 0,2 y la cuerda forma un

110 09 9

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo P Pootteen ncciia a

ángulo de 50º respecto a la horizontal. Sol. 72,7 J.

1122.. Un cuerpo de 60 kg se desea levantar hasta una altura de 7m, por medio de un plano inclinado que forme un ángulo de 40º con la horizontal. Si la fuerza que se ejerce a través de la cuerda es de 700 N y el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,2. Calcular: a. El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, b. El trabajo neto realizado. Sol. 7658 J; 0 J; -4953,19 J; -823,34 J; 1881,47 J

N

f 40º

T P= r t

F Δx

Px

1100..44.. D Deeffiinniicciióónn..-- Se llama potencia (P) de una fuerza (F) a la magnitud física que caracteriza la rapidez con que una fuerza realiza un trabajo. La potencia es igual a la razón de trabajo (Tr) y al intervalo de tiempo (t) durante el cual se efectúa.

w

1100..55.. U Unniiddaaddeess ddee ppootteenncciiaa:: h

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 11.. A qué se denomina trabajo: 22.. En qué unidades se mide el trabajo:

1100..55..11.. SSiisstteem maall ((C C..G G..SS..))..maa cceeggeessiim Para la unidad de potencia en el sistema c.g.s. no se ha asignado un nombre especial. Donde el trabajo se expresa en ergio, el tiempo en segundos, por lo tanto la potencia se mide en ergio / segundo. Tr = Ergio

t = seg

P=

Ergio seg

1100..55..22.. SSiisstteem maa iinntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..))..-En este sistema el trabajo se expresa en julios, el tiempo en segundos, la potencia se mide en julios / segundos, que se denomina vatio. Esta es una unidad denominada pequeña, la potencia se expresa con más frecuencia en Kilovatio o Kw. Tr = Julio t = seg

P=

Julio = Vatt seg

1100..55..33.. SSiisstteem maa ttééccnniiccoo..-- En este sistema técnico en el cual la unidad de trabajo es el kilopondio y la unidad de tiempo es el seg. La unidad de potencia es el kilopondimetro por seg., o Kpm seg Tr = Kpm

11110 0

t = seg

p=

Kpm seg

3

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo 1100..66.. E Eqquuiivvaalleenncciiaass::

P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss

1kilovatio (Kw) = 103 w 1Megavatio = 10 3 Kw = 10 6 w 75 Kpm = 735 w = 0,735 seg. 1Horse power Hp = 746 w = 0746 Kw 1caballo vapor CV =

R Reessu um meen n

11.. Un martillo de 2*103 Kg. De una máquina para hincar clavos se levanta una altura de 2 m en 2 seg. ¿Qué potencia suministra el motor al martillo? Datos m = 2*103 Kg. h=2m t = 2 seg. P=? 2 g =9,81 m/seg

T F*d (1) = t t Pero. F = m * g (2) Reemplazando (2) en (1) tenemos m * g * d 2 *103 * 9,8 * 2 = P= t 2 P = 2 *10 4 watts P=

Potencia Concepto A la rapidez con que una fuerza realiza trabajo.

T P= r t

Unidades S.I.

C.G.S.

S. Técnico

W = Julio

W = Ergio

W = Kpm

t = seg

t = seg

t = seg

P=

Julio seg

= Vatio

P=

Ergio seg

p=

Kpm seg

Equivalencias

1kilovatio (Kw) = 103 w 1Megavatio = 103 Kw = 106 w 1caballo vapor CV =

75Kpm seg.

= 735 w = 0,735 1Horse power Hp = 746w = 0746Kw

R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass 11.. PPootteenncciiaa m meeccáánniiccoo:: T P= r t

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

22.. Se levanta un cuerpo de 35 kg, hasta una altura de 9 m. ¿Qué potencia se realizara si se emplea 40 segundos?. Datos m = 35 kg h =9 m P=? t = 40 seg. P * h m*g *h = P= t t 35 kg * 9,8 m * 9 m seg2 P= = 3087 J 40 seg. 40 seg. P = 77,18 w 33.. De un pozo deben extraerse cada 3 minutos, 900 litros de agua desde una profundidad de 150 m. ¿Cuántos HP debe desarrollar el motor? Datos t = 3 min = 180 seg. P = 900 l = 8820 N P=? h = 150 m P * h 8820 N *150 m P= = = 7350 w 180 seg. t 1 Hp = 9,99 HP 7350 w * 736 w P = 9,99 HP 44.. Un hombre hace una fuerza de 200 N para jalar un cuerpo una distancia de 15 m empleando 10 segundos. Cual es la potencia desarrollada.

111111

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa Datos F = 200 N t = 10 seg. Tr = F * d

Datos P=? t = 1 min

d = 15 m P =?

Tr = 200 N *15 m = 3000 J T 3000 J P= r = = 300 w t 10 seg

55.. Calcular la potencia, en watts, que desarrollara un hombre al llevar sobre sus espaldas un bulto que pesa 300 N a lo largo de una pendiente de 30º de inclinación y 40 m de longitud y que tarda 2º segundos. Datos w = 300 N d = 40 m α = 30º t = 20 seg. P =? F

88.. Calcular la potencia necesaria para elevar un caudal de 5 litros de agua por segundo hasta una altura de 75 metros, suponiendo nulos todos los rozamientos. Expresar el resultado en CV. Datos P=? Q = 5 litros h = 75 m t = 1 seg.

5 litros *

1 dm 3 = 5dm 3 1 litro

m = 5dm 3 *1

α w cos α w

T P = r = F * d = w * sen * α * d t t t 300 N * sen * 30º*40 m P= 20 seg P = 300 N * m = 300 J = 300 W seg seg

F=4N d = 30 m

T P = r = F * d = 4 N * 30 m = 2 J = 2 W t 60 seg seg t

m = Vρ

40 m

w sen α

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

kg = 5kg dm3

Tr = E = m * g * h P Tr = 5 kg * 9,8 m * 75 m seg2 Tr = 3675 J T P = r = 3675 J 1 seg t P = 3675W * 1 CV = 5 CV 735 W

66.. Calcular ¿Cuántos HP desarrolla un camión que carga 2 Ton durante 10 minutos al desplazarse por una pista de 3 km, si hace una fuerza de 104 N? Datos P=? F = 10 4 t = 10 min d = 3 km 4 T P = r = F * d = 10 * 3000m = 50000W t 600seg t

P = 50000 W * 1 HP = 67,1 HP 745 W 77.. Hallar la potencia de un móvil que recorre 30 m en un minuto, el cual emplea una fuerza de 4 N.

111122

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo PPrroobblleem maass pprrooppuueessttooss 11.. Un hombre levanta un cuerpo de 50 kg hasta una altura de 12 m ¿Qué potencia desarrolla si el trabajo lo realiza medio minuto.

rendimiento del motor es del 80 %, calcular el tiempo que tardara en llenarse, expresado en segundos. Sol. 2,551 seg.

1111.. Hallar lza potencia del motor de automóvil de 1000 Kp de peso que marcha a una velocidad de Sol. 196 w 70 km/h ascendiendo por una pendiente de 3 %. 22.. Un automóvil sube con una velocidad de 14 m/seg. Expresar el resultado en caballos de vapor, suponiendo por un plano inclinado de 5º, la masa del automóvil es que no existe rozamiento. 1500 kg. Calcular la potencia del motor. El trabajo Sol. 7,78 CV. efectuado en 12 seg. 1122.. Hallar la potencia media necesaria para elevar, por Sol. 279,65 Hp; 17150 J medio de un sistema de poleas cuyo rendimiento es del 33.. Un hombre arrastra un bulto de harina de 60 kg por 75 %, un peso de 300 Kp a una altura de 6 m en 8 m a lo largo del piso con una fuerza de 30 N y luego 30 segundos. Expresar el resultado en caballos vapor. lo levanta hasta un camión a 70 cm de altura. Calcular Sol. 0,6 CV. el trabajo y la potencia desarrollada si dura 3 minutos. Sol.- 651,6 J; 3,62 w

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 44.. Cuántos HP desarrolla un camión de carga de 2 toneladas durante 10 minutos al deslizarse por una 11.. Por qué se llama potencia: pista de 5 km, si efectúa una fuerza de 2000 kp. Sol. 219 HP.

55.. En una construcción se sube un balde de arena de 22.. En qué unidades se mide la potencia: 20 kp a una velocidad de 4 m/seg. Calcular en HP la potencia del motor que mueve la instalación Sol. 1067 HP.

66.. Para llenar un tanque hay que levantar el agua hasta una altura de 10 m. El tanque es cilíndrico y tiene 2 m de altura por 1 m de radio. La bomba utilizada tiene una potencia de 1 HP. Calcular el tiempo que tardara en llenar el tanque. Sol. 13 min., 57 seg.

77.. De un pozo deben extraerse cada 3 minutos 900 litros de agua desde una profundidad de 150 m. ¿Cuántos HP debe desarrollar el motor de una bomba, si el 40 % de su potencia se pierde?. Sol. 16,7 HP.

88.. Una persona sube ladrillos de 5kg cada uno, por una escalera hasta una altura de 9 m tardándose una hora en subir un millar. Hallar la potencia ejercida por la persona. Sol. 125 W.

99.. En una construcción se sube un balde de arena de 20 kg a una velocidad de 4 m/seg. Calcular en HP la potencia del motor que mueve la instalación. Sol. 1,067 HP.

1100.. Con un motor de 4 C v de potencia se desea llenar un depósito de 200 m3, el extremo del cual se halla situado a 3 metros por encima del nivel del agua. Si el

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

111133

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa E En neerrggíía a 1100..77.. D Deeffiinniicciióónn..-- La energía de un cuerpo es la capacidad que posee para realizar un trabajo. Como la energía de un cuerpo se mide en función del trabajo que este puede realizar, y trabajo y energía se expresan en las mismas unidades. Energía, al igual que trabajo es una magnitud escalar. Dentro la energía tenemos dos clases que son la energía potencial y la energía cinética. 1100..77..11.. E Enneerrggííaa ppootteenncciiaall..-- Energía potencial Ep de un cuerpo es la capacidad que este posee de realizar trabajo por efecto del estado o posición en que se encuentra, su fórmula es:

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo R Reessu um meen n

Energía Concepto Capacidad que posee para realizar un trabajo.

Energía potencial

Energía cinética

Tiene la capacidad de realizar trabajo por efecto del estado o posición en que se encuentra.

Tiene la capacidad de realizar trabajo debido a su movimiento.

Ep = mgh

Ec =

1 2

mv 2

Ep = m ∗ g ∗ h

Donde:

R Reessu um meen nd dee ffóórrm mu ulla ass

m = masa g = graveda h = altura

1100..77..22.. E Enneerrggííaa cciinnééttiiccaa..-- Energía 11.. E Enneerrggííaa ppootteenncciiaall:: cinética Ec de un cuerpo es la capacidad que posee de realizar un Ep = m ∗ g ∗ h trabajo, debido a su movimiento, la energía cinética de un cuerpo de masa 22.. E Enneerrggííaa cciinnééttiiccaa:: m que se desplaza a una velocidad v, su fórmula es: 1 1 Ec = ∗ m ∗ v 2 2

Ec = ∗ m ∗ v 2 2

1100..88.. L Leeyy ddee llaa ccoonnsseerrvvaacciióónn ddee llaa eenneerrggííaa..-- Dice “La energía no se crea ni se destruye, únicamente se transforma “. Ello implica que la masa en ciertas condiciones se puede considerar como una forma de energía. En general, no se trata aquí el problema de conservación de masa en energía, ya que se incluye la Teoría de la Relatividad. 11114 4

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo P Prroobblleem ma ass rreessu ueellttooss 11.. Calcular la velocidad con que llega al suelo un objeto que cae desde 150 m de altura. Calcular su energía potencial a esa altura, si la masa es de 8 kg. Datos h = 150 m v=? m = 8 kg E =? P

E = Ec P m * g * h = 1 m v2 2 2*m*g *h v= = 2*g *h m v = 2 * 9,8 m *150 m = 54,22 m seg seg2 E = m * g * h = 8 kg * 9,8 m *150 m P seg 2 E = 11760 J P 22.. Una piedra de 2 gramos se lanza con una velocidad de 30 m/seg. y tarda en llegar al suelo 1,8 seg. Determinar la altura en el que se ha lanzado dicha piedra. Sabiendo que la energía potencial es 6,2 ergios. Datos v = 30 m t = 1,8 seg. seg 1 kg. 2 *10 − 3 kg. m = 2 gr * 1000 gr E p = 6,2 erg * 1 J = 6,2 *10 − 7 J h = ? 107 Ep = m *g * h

Ep

6,2 *10− 7 J m * g 2 *10− 3 kg * 9,8 m seg2 h = 3,2 *10 − 5 m h=

=

33.. Hallar la energía potencial que adquiere un peso de 3 kp al elevarlo a una altura de 6 m. Datos Ep = ? w = 3 kp

h=6 m

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

g = 9,81

m seg.2

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa w = m*g ⇒ m =

3 kp w = g 9,81 m seg.2

w = 0,306 utm. E p = m*g*h m E = 0,306utm*6m*9,81 = 18kpm. p 2 seg 44.. Calcular la energía cinética de un cuerpo de 12 kp de peso animado de una velocidad de 1 m/seg. Datos Ec = ? w = 12 kp v =1 m seg. w = m*g 12 kp = 1,22 utm. m=w = g 9,81 m seg.2 m 2 2 1,22 utm * (1 seg.) m * v Ec = = 2 2 2 1,22 utm *1 m seg2 Ec = = 0,61 kpm. 2 55.. Un cuerpo de 2 kp de peso cae desde una altura de 10 m. calcular la energía cinética del cuerpo al llegar al suelo y demostrar que es igual a la disminución que experimenta su energía potencial. Datos w =? h = 10 m Ec = ? Ep = ? g = 9,8 m seg2. w = m*g 12 kp m=w = = 0,20 utm. g 9,81 m seg.2

v = 2*g *h f m v = 2 * 9,81 m *10 m = 14 f seg. seg.2 0,20 utm * (14 m ) 2 2 seg. Ec = m * v = 2 2

111155

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

2 0,20 utm *196 m seg 2 Ec = = 20 kpm. 2 Ep = m *g * h

2 Ec = m * v 2 2 * Ec 2 * 9 *1011 N * m m= = 2 v2 ⎛ m⎞ 166,67 ⎜ seg ⎟⎠ ⎝ m = 6,5 *10 7 kg

E p = 0,20 utm *10 m * 9,81 m seg 2 E p = 20 kpm.

m = 6,5 *107 kg *

66.. Un cuerpo de 350 kp de peso cae libremente desde una altura de 3m. Calcular la Ec del cuerpo en el momento de llegar al suelo y demostrar que es igual a la Ep del mismo antes de caer Datos w = 350 kp h =3 m Ec = ? Ep = ? g = 9,8 m seg2. v = 2*g *h f m v = 2 * 9,81 m * 3 m = 7,67 f seg. seg.2

w = m*g 350 kp m= w = = 35,68 utm. g 9,81 m seg.2 35,68 utm * ⎛⎜ 7,67 m ⎞⎟ 2 seg ⎠ ⎝ E = m*v = c

2

2

2 2 35,68utm * 58,83 m seg 2 Ec = = 1050kpm. 2 Ep = m *g * h E p = 35,68 utm * 3 m * 9,81 m seg 2 E p = 1050 kpm. 77.. Calcular la masa de un cuerpo que lleva una velocidad de 600 km/h, sabiendo que la energía cinética es 9*1011 J. Expresar el resultado en ergios. Datos m = ? v = 600 km Ec = 9 *1011 J h v = 600 km * 1000 m * 1 h h 1 km 3600 seg v = 166,67 m seg

11116 6

1000 g = 6,5 *1010 g 1 kg

88.. Un cuerpo de 200 kp de peso tiene una energía potencial de 9*108 ergios. Calcular la altura en el que se encuentra dicho cuerpo. Datos w = 200 kp 1 kpm E p = 9 *108 ergios * 9,81*107 ergios E p = 9,18 kpm

h =? m seg.2 Ep = m *g * h Ep Ep 9,18 kpm h= = = w m*g 200 kp h = 4,59 *10- 2 m

g = 9,81

99.. Calcular la energía cinética de un cuerpo de 80 utm que recorre 20 m en 30 segundos. Expresar el resultado en kpm. Datos Ec = ? m = 80 utm

d = 20 m t = 30 seg. m v = d = 20 m = 0,67 t 30 seg seg. Ec Ec Ec

80 utm * ⎛⎜ 0,67 m ⎞⎟ 2 seg ⎠ ⎝ = m*v = 2 2 2 80 utm * 0,4489 m seg2 = 2 = 17,956 kpm.

2

1100.. Una fuerza constante actúa durante un minuto sobre un cuerpo de 3 kp comunicándole una velocidad de 2 m/seg. Hallar la energía cinética adquirida por el cuerpo y el valor de la fuerza.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo Datos

w = 3 kp Ec = ?

v=2 m seg F=?

3 kp kp * seg 2 w = = 0,306 g 9,8 m m 2 seg 2 Ec = m * v 2 kp * seg2 ⎛ m ⎞2 0,306 *⎜2 ⎟ m ⎝ seg ⎠ Ec = 2 2 kp * seg2 0,306 *4 m m seg2 Ec = 2 E c = 0,612 kpm * 9,8 J = 5,99 J 1 kpm m=

P roblemas p ropuestos Problemas propuestos 11.. Un cuerpo de 4 kp cae desde una altura de 14 m, calcular la perdida que experimenta de Ep en julios y en ergios. Sol.- 5,49 * 109 erg.

22.. A un cuerpo de 40 kp se le aplica una fuerza de 18 kp formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si no hay rozamiento. Calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido 8 m de distancia, partiendo del reposo. Sol. 7,8 m/seg2

33.. Un automóvil de 1200 kp de peso desciende por una pendiente de 20º. El conductor aprieta el freno cuando la velocidad es de 19 m/seg. Calcular la fuerza paralela al plano, que ejercen los frenos, si el automóvil recorre 50 m antes de detenerse. Sol. 871,35 Kp

4. Un cuerpo de 8 kg de masa se encuentra a una altura de 32 m se lo deja caer. Demostrar la conservación de energía, en su parte superior, cuando ha descendido 20 m; cuando este a 7 m del suelo. Sol. 2508,8 J

55.. Un tren parte del reposo desde la cima de un tramo de vía con una pendiente de 1% y recorre una distancia de 1500 m bajo la acción exclusiva de la gravedad, continuando después por otro tramo horizontal. La fuerza de rozamiento es constante e igual a 6 kp/tn. Calcular la velocidad final de la pendiente y el espacio que recorre el tren por el plano. Sol.- 10,84 m/seg ; 1000 m

66.. Una fuerza horizontal de 10 kp impulsa a un cuerpo de 25 kp a lo largo de 30 m sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento cinético a 0,1. Hallar los trabajos realizados contra las fuerzas de rozamiento y de la gravedad. Indicar que clase de energía adquiere el cuerpo. Sol. 75 Kpm

77.. Calcular la energía potencial almacenada en un tanque con 1500 litros de agua, situado a 10 m de altura respecto del suelo. El peso especifico del agua es 1000 Kp/m3. Sol.- 147000 J 88.. Que energía cinética tiene al tocar el suelo un cuerpo de 100 kp de peso que cae desde una altura de 40 m?. Sol. 39200 J.

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

111177

TTrraabbaajjoo PPootteenncciiaa EEnneerrggííaa

PPrrooff.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRííooss MMoonntteerroo

1133.. Una fuerza horizontal de 10 Kp impulsa a un cuerpo de 25 Kp a lo largo de 30 m sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento cinético Sol. 100000 J igual a 0,1. hallar los trabajos realizados contra las fuerzas de rozamiento y de la gravedad. Indicar que 1100.. Un cuerpo que pesa 4,9 kp se desliza por un plano clase de energía adquiere el cuerpo. inclinad, sin frotamiento, de 5 m de longitud y 1m de Sol. 225 Kpm. altura. Determinar: a. El espacio que recorre partiendo del reposo, en 1144.. Una bola de acero, pulimentada, de 98 N es 2 segundos. lanzada hacia arriba desde el suelo, con una velocidad b. La energía cinética que adquiere. inicial de 20 g m / seg . Determinar: a) La altura “h” que c. La disminución de su energía potencial. alcanzara la bola y el tiempo que durara la ascensión, Sol. a. 3,92 m; b. 3,84 kpm; c. 3,84 kpm b) La energia cinetica y la energia potencial en joules 1111.. Un avión vuela a una altura de 100 m a una cunado la bola esta a 50 m del suelo. Sol. 200 m 14700 J 4900 J. velocidad de 720 km/h; su masa es de 98100 kg. Calcular su energía potencial en J. 99.. Calcular la energía que se consumirá al frenar un vagón de ferrocarril de 8000 kp que marcha a razón de 5 m/seg.

Sol. 96,14*106 J.

1122.. Una caída de agua tiene una velocidad media de 8

m seg

.Si en cada segundo caen 200 litros. ¿Cuál es la

energía cinética del agua? Sol. 800 J.

A Au uttooeevva allu ua acciióón n 11.. A qué se llama energía potencial: 22.. En qué unidades se mide la energía potencial: 33.. A qué se llama energía cinética: 44.. En qué unidades se mide la energía cinética:

111188

FFííssiiccaa QQuuíímmiiccaa

B Biibblliiooggrra affíía a

Física

Maiztegui – Sabato. Editorial Kapeluz

Física

Sears – Zemansky. Editorial Aguilar

Física

Robert Resnick D. Halliday. Editorial Continental

Física

D. Del Campo

Física general

Juan Goñi Galarza Editorial ingeniería

Curso de Física

Jorge Vidal

Teoría y problemas de física general.

Daniel Schaum B.S.

Teoría y problemas de física

Jorge Mendoza D.

Física

J. Gómez F.