Descripción: Notas de clase de Fisica II, por el profesor Robinzon Vasquez - FC UNI...
Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias
Robinson Vásquez Olano
Clases de Física II
EDUNI
Rector Dr. Aurelio Padilla Ríos Primer Vicerrector Geol. José S. M artínez Talledo Segundo Vicerrector MSc. Ing. W alter Zaldívar Álvarez Decano FC: Dr. W alter Estrada López
Primera edición Lima, junio de 2014 CLASES DE FÍSICA II Impreso en el Perú / Printed in Perú © Robinson Vásquez Olano Derechos reservados © Derechos de edición Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Av. Túpac Amaru 210, Rímac - Lima Telfs. 4810824 / 4811070 anexo 237 Correo-e: fc@ uni.edu.pe Editorial Universitaria Av. Túpac Amaru 210, Rímac - Lima Telfs. 4814196 / 4811070 anexo 215 Correo-e:
[email protected]
Impreso por la Imprenta de la Editorial Universitaria de la Universidad Nacional de Ingeniería ISBN 978-612-4072-62-8 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2014-07879 Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del autor.
PRESENTACIÓN Clases de Física II comprende el desarrollo del sílabo de un segundo curso semestral de física general, que forma parte del currículo de una carrera de ciencias o de ingeniería. El sílabo de referencia para la estructuración de este libro, es el correspondiente al curso Física II de la Escuela Profesional de Física (E.P.F.) de la Universidad Nacional de Ingeniería (Lima, Perú) En primer lugar se aborda el tema de la deformación elástica de los cuerpos, como resultado del esfuerzo (i.e. presión) al que son sometidos; seguidamente se estudia la estática y dinámica de los fluidos, destacando cómo es que la mecánica de Newton da cuenta, exitosamente, de las observaciones empíricas de Pascal y Arquímedes, entre otros. El tema del movimiento oscilatorio es desarrollado en una amplitud mayor que lo exigido por la E.P.F. pues, en mi opinión, fenómenos como la superposición, por ejemplo, deben ser cabalmente entendidos por un estudiante de manera que se le facilite el estudio del movimiento ondulatorio. En el capítulo 5 se estudian algunos fenómenos térmicos y se presenta al calor como una nueva forma de energía (i.e. distinta a la energía mecánica), así como las diversas maneras en que puede transferirse calor entre los cuerpos. El capítulo 6 comprende el comportamiento térmico de los gases, describiéndose los resultados experimentales de Boyle, Charles, Gay-Lussac, entre otros, que condujeron a la formulación de la ley de los gases ideales; así mismo, se presenta la aplicación de la teoría cinético-molecular en la explicación del comportamiento de los gases. Los dos capítulos finales de este libro desarrollan, de manera básica, las dos primeras leyes de la termodinámica. La segunda ley se presenta desde la perspectiva de las máquinas térmicas así como haciendo uso del concepto de entropía. Al poner este libro a consideración de alumnos y profesores, estoy cumpliendo con una promesa, largamente desatendida, de dejar testimonio escrito de mi trabajo como docente, durante 35 años, en la E.P.F.
ÍNDICE
Capítulo 1.
Elasticidad
1.1
Esfuerzo y deformación unitaria
.............. ...................
1
1.2
Deformación Lineal: Estiramiento y contracción ...
2
1.3
La deformación lateral y el módulo de Poisson ......
3
1.4
Deformación Volumétrica
5
1.5
Deformación de corte o cizalla ..........................................
7
1.6
Energía Elástica
9
Capítulo 2.
........................................... ......
.........................................................................
Fluidos
2.1
Densidad de fluidos
................................................... ............
2.2
Presión
2.3
Unidades de presión
2.4
Presión en los fluidos
2.5
Variación de la presión en un fluido
2.6
Presión atmosférica
..........................................................................................
11 12
..............................................................
13
............................................................
14
............................ .
......................................................... ..
16 16
2.7
Variación de la presión en los líquidos
........................
18
2.8
Vasos comunicantes
.............................................................
19
2.9
Medida de la presión
.............................................................
19
................................................................
21
2.10
Principio de Pascal
2.11
Las máquinas hidraúlicas y el P. de Pascal
2.12
El empuje hidrostático
2.13
El Principio de Arquímedes
2.14
Dinámica de fluidos
2.15
Líneas de corriente o flujo
...................................................
30
2.16
La ecuación de continuidad
.......................................... .
31
23
.........................................................
24
............................. ....«.........
25
..............................................................
29
.....................................................
33
.....................................................— .....
36
..................................................................................
39
2.17
La ecuación de Bernoulli
2.18
Tensión superficial
2.19
Capilaridad
Capítulo 3.
............. .
Movimiento Periódico
3.1
Introducción
..............................................................
3.2
Movimiento Armónico Simple (MAS)
3.3-
Cantidades cinemáticas del MAS
3.4
El movimiento circular uniforme y el MAS
3.5
Superposición de movimientos armónicos simples
43
..........................
44
.................. .................
46
--------
47 48
VI | Clase s de fís ica II 3.6 3.7
Dinámica del MAS ..........................................******.............. " MAS de un sistema masa - resorte horizontal ....******
3.8
MAS de un sistema masa - resorte vertical
39 3.10
MAS de un péndulo simple ........ .............................. Cantidades cinemáticas angulares para el MAS de un péndulo simple
3.11 3.12
Movimiento armónico amortiguado Oscilaciones forzadas ............................... ..................................... —*••*•
3.13
La energía en el MAS
Capítulo 4.
—
— *....**..................*****”***....
56 60 61
66 67 68
Ondas
4.1
Ondas mecánicas y ondas electromagnéticas
4.2
La función de onda
4.3
La ecuación diferencial de onda
4.4
Ondas armónicas
4.5
Expresión general de la función de onda armónica
4.6
La onda armónica esférica
4.7
El principio de superposición de las ondas
4.8
Ondas transversales en una cuerda
4.9
Reflexión y refracción de ondas
4.10
Energía y momentum en el movimiento ondulatorio
4.11
Ondas estacionarias en una cuerda
4.12
Ondas sonoras
4.13
Ondas sónicas armónicas
4.14
Intensidad de una onda sonora
......................................
4.15
Nivel de intensidad del sonido
___ ____________________
4.16
Efecto Doppler
Capítulo 5.
55 55
................................................
*****
..........................................
...............................................................—•*« ...
...............................................—— ....................
............................
...........................—.... ____
.............................................. .............................. ............................................
............................................
......... ..................
75 76 77 79 82 86 86 88 89 91 93 97
102 103 105 106
Temperatura y calor
5.1
Definición de temperatura
5.2
La ley cero de la termodinámica y los termómetros
........................... .
110
5.3
La dilatación térmica
112
5.4
El calor
5.5
De la calorimetría
5.6
Capacidad térmica
_ ,......,
Calor específico
......... u_______ _
................................ .............._r mii[
____................................. ...........
Cambio de fase y calor latente 5.7
Transferencia de calor Convección térmica Conducción térmica Radiación térmica
.....................m ................ ........rm
...__________ ____
........ ltliJ)J_
109
118 120 120 120 123 126 126 126 129
R o b i n s o n V á s q u e z O . |VII Capítulo 6 . 6.1
Com portamiento térmico de los gases
Ley de Boyle - Mariotte
_____________________________
....
133 134
6.2
Ley de Charles y Gay Lussac
6.3
Segunda ley de Gay - Lussac ______________________
___ ________________________
134
6.4
Ley de Avogadro _______
135
Ecuación general de los gases ideales
6.6
Teoría cinética de los gases ...____ .................
137
6.7
Distribución de velocidades moleculares
141
6.8
El principio de la equipartición de la energía
Capítulo 7.
_______
„
135
6.5
........ ......... ...................... „ ........... ________________________
143
Term odinámica
7.1
Terminología termodinámica
...........................................................................
7.2
Trabajo y calor en termodinámica
7.3
Procesos termodinámicos
145
___________________......... _________
146
____________ __________............................. ............
148
7.4
Primera ley de la termodinámica
7.5
Trabajo termodinàmico en los cambios de volumen
______ _____________...___ ________ ......
7.6
El calor específico de los gases ideales
7.7
Calor y trabajo en los procesos termodinámicos de un gas ideal ......
153
Proceso ¡socoro
................. .......................................................................... ...........
153
Proceso isotérmico ________________________________ ________ ____________
153
____ .......___ .....
.......................................
148 150 151
Proceso adiabático ..._______________________________________________....—
154
Proceso isobàrico
155
.1__________ ....---------------- ------------ ----- -------
7.8
Proceso reversible e irreversible
7.9
Proceso cuasiestático
Capítulo 8 .
-----------------------— ....----------
155
---------------- — ----------------------------- ...»
156
La segunda ley de la termodinámica
8.1
Las máquinas térmicas y la 2* Ley de la termodinámica..—
8.2
La máquina de Carnot
8.3
La escala de temperatura absoluta
8.4
El refrigerador
8.5
La entropía
-------
158 16°
---------------------------
_______________ __________ _________—•— ••— •**— ...........
___________________ ____ —
— •—»......... -......... ■«............. ........
161 162 163
Capitulo 1.
Elasticidad En ausencia de fuerzas externas un cuerpo sólido mantiene su forma, pero puede ser deformado mediante la acción de fuerzas. Un sólido experimenta una deformación cuando se modifica la separación entre volúmenes elementales constituyentes del cuerpo. Se dice que el material es elástico si retorna a su forma original cuando cesan las fuerzas; los materiales plásticos permanecen deformados al cesar las fuerzas deformantes. En general, puede decirse que todos los sólidos se comportan elásticamente cuando son sometidos a deformaciones pequeñas, hasta un límite; y el comportamiento es plástico cuando se excede el límite de elasticidad. Entre las deformaciones elementales que puede experimentar un cuerpo, se encuentran el estiram iento, la contracción y el deslizamiento cortante, que se manifiestan según cuál sea la manera en que actúen las fuerzas sobre el material.
1.1
Esfuerzo v deformación unitaria Para describir la relación entre la fuerza aplicada sobre el material y la deformación que produce, se definen las cantidades esfuerzo ("stress") y deformación unitaria ("strain"). El esfuerzo (S) mide la fuerza por unidad de área, causante de la deformación
donde F es la fuerza que actúa sobre el área A del cuerpo. Se mide en unidades de N/m 2 o pascal (Pa). La deformación unitaria ( e ) mide el cambio fraccionario que experimenta la dimensión ^ del cuerpo, e. g. la longitud o el volumen. Bajo condiciones elásticas, i.e. de pequeñas deformaciones, el experimento demuestra que la deformación unitaria y el esfuerzo son proporcionales entre sí (ley de Hooke)
donde la constante E se denomina módulo de elasticidad.
2 i Cl ases de f ísi ca II
1.2
Deformación lineal: Estiramiento v contracción Por estiramiento o alargamiento se entiende un incremento en la longitud de un cuerpo, por contracción se entiende una disminución en la longitud. Sea
una
barra
homogénea de longitud l y de sección recta A sometida a fuerzas de tracción
F
perpendi
culares y uniformemente distribuidas sobre A.
Esta misma condición se obtiene si se fija uno de los extremos de la barra y se aplica F en el extremo libre.
La tracción sobre la barra se caracteriza mediante el esfuerzo norm al S =F/A y el estiramiento Δ
l
mediante la deformación unitaria lineal
El esfuerzo normal y la deformación unitaria se relacionan mediante la ley de Hooke
donde la constante elástica Y se conoce como el módulo de Young. Si en lugar de tracción se aplicara compresión sobre la barra (i.e. si la F tuviese un sentido opuesto al ilustrado en la figura), ésta experimentaría una contracción Δ
l
en su longitud.
La ley de Hooke es aplicable en ambos casos, solo que Δ estiramiento y Δ
l 0
para el
para la contracción de la barra. De alguna manera el
módulo de Young mide la " rigidez" que ofrece el cuerpo a su estiramiento o contracción, en analogía con la constante k en el caso de un resorte.
Rob in son V á sq u ez O. |3 Algunos valores típicos del módulo de Young
E jemplo 1.1. Deform ación lineal de un sólido Una varilla de acero de 2 m de longitud y 2 cm de diámetro es sometida a una fuerza de tracción de 95 kN. Si el módulo de elasticidad del acero es de 2 x1 o 11 N/m2, a) ¿Cuál es su estiramiento unitario?, b) ¿Cuál es el estiramiento que sufre la varilla? Esfuerzo sobre la varilla:
1.3
La deformación lateral v el módulo de Poisson Cuando la barra es sometida a un esfuerzo normal su longitud l varia en A i , y como consecuencia de ello también varían sus dimensiones transversales. Estas deformaciones en dirección perpendicular al esfuerzo (normal) aplicado se caracterizan mediante una deformación lateral unitaria.
l / l ( = Δ y / y)
Normal:
Δ
Lateral:
Δ x/x
; Δ z /z
La deformación lateral unitaria en la dirección 1 ( ) deformación normal unitaria (e¿) Poisson ( a ):
se relaciona con la
mediante el coeficiente o módulo de
4 I Clases de f ísica II que, para la mayoría de los materiales, tiene un valor que varía entre 0,25 y 0,50. El valor a - 0 es asignado a los materiales porosos (e.g. corcho) que no varían sus dimensiones transversales cuando son sujetos a esfuerzos normales.
La elasticidad de un sólido isotrópico se caracteriza mediante dos constantes: la de Young (Y) y la de Poisson (2 = 2 = o . Demostrar que el movimiento resultante es periódico pero no es armónico simple
Robi nson V ásquez 0 . |53 El movimiento resultante se describe mediante x = Xj +x2 = Ajsenojjt + A2sento21 que, haciendo % -o>2 = cd, puede escribirse como x = A1seno)1t +A2sen(a)1 -o¡))t = (A ! + A^osco^seno^t-^senro^coso^t Haciendo
A eos 4>= Ax + A2eos oot Asen= A2seno)t
se obtiene x = Asen(oo1t-) A,senoot
tg=----- ---------A1 + A2cosoot
con
y
.
¿5
TI
77""!
7~
A = WA1+A2+2A1A2cos( oo1-o ^ jt "
Este resultado demuestra que el movimiento resultante es periódico pero no es un MAS pues la "amplitud" del movimiento no es constante. A
La "amplitud" (A) "oscila" entre los valores A = A x + A2
cuando
(coj -oo2) t = 2n7t
y
A = |A j - A 2| cuando (oo1 -oo2 )t= (2 n + l ) 7c
Se dice que la amplitud está modulada
La frecuencia de la oscilación de la amplitud se expresa mediante v
(coi -(o2)
2 it
=v1- v 2
Esta situación de amplitud modulada se manifiesta, por ejemplo, cuando dos diapasones que difieren ligeramente en frecuencia se encuentran vibrando simultáneamente en lugares vecinos. Se registra una fluctuación en la intensidad del sonido, denominados "beats", lo cual se debe a la variación en la amplitud.
Caso interesante: A j = A 2 Cuando las amplitudes de los dos MAS que se superponen son iguales, se tiene que
x=Xj +x2 = Aj (sencojt +senco2t) = 2A 1cos - ( © 1 -co2) t se n ^ © ! +ca2)t El movimiento resultante es oscilatorio, con una frecuencia angular igual a
La
figura
muestra
la
variación de x(t) para el caso coj = to2. La curva segmentada corresponde amplitud
a
la
nodulada de
los "beats". La figura de la derecha muestra la superposición de dos MAS de igual amplitud pero a>2 = 2©2 Xi = AiSencojt x 2 = A 1sen2©1t
El movimiento resultante es periódico pero no es armónico simple Ejemplo 3 .8 . Superposición de dos M A S de d ifere n te frecu en cia, perpendiculares entre si Si se combinan dos MAS, perpendiculares entre sí pero de diferente frecuencia, el movimiento resultante, en general, no es periódico. Será periódico en el caso en que la relación entre las frecuencias sea igual a la relación entre dos números enteros. V
La trayectoria mostrada corresponde al caso de la superposición ortogonal de los MAS x = Asen3cot
e
y = Acos2©t
Las figuras de este tipo se denominan patrones de Lissajous.
R o b i n s o n V á s q u e z O. | 55
3.6
Dinámica del Movimiento Armónico Simple Una partícula de masa m ejecuta un MAS cuando al ser desplazada una distancia x desde
su
posición
de
equilibrio
estable
(i.e. x = 0 ), experimenta una fuerza restaura dora F = - k x
que obliga a la partícula a
retornar a su posición de equilibrio. Esta fuerza es característica de los sistemas elásticos. Se dice que un cuerpo tiene un comportamiento elástico si, cuando se le deforma, se satisfacen las siguientes condiciones: i)
La deformación es instantánea
ii)
La deformación es completamente reversible
iii)
La deformación es proporcional a la fuerza aplicada
Un cuerpo con este comportamiento se dice que obedece la(íéy de Hooka Mientras que ningún sólido es perfectamente elástico, los metales, en buena aproximación, se comportan elásticamente cuando son sometidos a deformaciones pequeñas. Un resorte es un sólido emblemático de comportamiento elástico que puede ser deformado longitudes relativamente grandes. Una fuerza (F) aplicada a un resorte lo estira (o
comprime)
una
longitud
(x)
que
es
proporcional a la fuerza. De manera que F = kx, donde k es una constante característica del resorte cuyo valor depende de la elasticidad del metal y de la geometría del resorte. Cuando un resorte se mantiene deformado mediante la aplicación de una fuerza F, se establece una fuerza interna de igual magnitud ya que todos y cada uno de los puntos del resorte se mantienen en reposo.
3.7
MAS de un sistema masa - resorte horizontal Sea un cuerpo (e.g. un bloque) de masa m unida al extrem o libre de un resorte de
1 - v w w w /m w m t-
constante
elástica
k y
cuya
masa
es
insignificante. Si se desplaza al bloque una distancia x (medida desde la posición de equilibrio P.E. del resorte), m ediante la aplicación de una fuerza
F,
el
bloque
se
m antiene
en
equilibrio debido a F y a la fuerza aplicada por el resorte: Fe = - k x
56 |Clases de física II Al liberar al bloque (i.e. F = 0), éste se moverá bajo la acción de la fuerza elástica, adquiriendo una aceleración le as— x m Por lo tanto, el sistema masa - resorte ejecutará un MAS caracterizado por
La amplitud del MAS está dada por la longitud que se desplaza el bloque antes de soltarlo; esto es sin im primirle alguna velocidad inicial.
3.8
MAS de un sistema masa - resorte vertical Si a un resorte vertical de longitud natural i se le suspende una masa m y se le deja estirar lentamente, se elongará una longitud A t .
P = kA f
P ’ = k(A£ + x) La
masa
m
se
encontrará
en
equilibrio bajo la acción de su peso mg y de la fuerza elástica P = k A l; i.e. P = kA Í = mg. Si a partir de esta posición de equilibrio se desplaza la masa m una longitud adicional x y luego se le suelta, se moverá bajo la acción de la fuerza resultante F = P'-mg = k(A ¿+ x)-m g =kx Esto es, el sistema se mueve bajo la acción de F = - k x y por lo tanto ejecutará un MAS. La oscilación, alrededor de la posición de equilibrio, se realiza con una frecuencia angular
igual que en el caso de la oscilación horizontal.
Robinson Vásquez O. |57 Ejemplo 3 .9 . M A S de un sistem a de dos p artículas CM
I m i l-VW w - l "mil Sean dos bloques unidos a
(
j mi -vwwvwwv i m Xi
di
w w WWWWWH "m7| d2
los extremos de un resorte de constante k y longitud natural l 0 .
X2
('o + « ) Si se jalan a los bloques y luego se les suelta, el CM inicialmente en reposo continuará en reposo pues la fuerzas elásticas actuantes sobre los bloques son intemas al sistema.
Si el resorte se estira una longitud A l, sobre cada bloque ejercerá una fuerza restauradora F = k A l .
De la definición del CM se tiene que: n^dj =m 2d2 y m 1( x 1 +d 1)= m 2 (x 2 +d2) de manera que xx y x 2 se relacionan mediante la ecuación
j¡ . nrv, + m , y, entonces, Al = x 1 + x 2 s —¿-----~ x 1
m2 La fuerza restauradora sobre nr^ es F = k A l s k — — ~ x x ; lo cual significa que m2
la constante de la fuerza restauradora actuante sobre nr^ es k mi+ m 2
m2 y m: oscila con una frecuencia angular constante _ í mj +m 2 mj
V
mjm 2
donde p es la masa reducida del sistema de dos partículas. Un análisis similar muestra que m2 oscila con la misma frecuencia
58 ( Clases de física II Ejemplo 3 .1 0 . Una masa m suspendida de un resorte de constante k oscila con una frecuencia angular 00. Se corta el resorte en dos partes iguales y cuando se suspende la masa de uno de estos resortes, oscila con una frecuencia angular
Halle la
relación entre eo y oo'.
Para el resorte de constante k : mg = k A ¿ . Si el resorte tiene n espiras, cada una de las espiras se estira una longitud n
Si se corta al resorte y se dejan p espiras, bajo la acción del peso del bloque se estirará 5
y para este resorte de p espiras: mg = k'8
De manera que m g= kA Í= k'8, de donde se concluye que tanto
Para el caso p = - n se tendrá que co* = -Jìa
y por lo
Robinson Vásquez O. |59 Ejemplo 3 .1 1 .
ki -www^-
m
■
WWW\Ak?
ki
k2
i
i
ki
kî
h/WVWH m h/WWVH
h/WWVWWWVH m 1
(b)
(c)
(a)
Dos resortes de la misma longitud natural pero con diferentes constantes, se encuentran unidos a un bloque de masa m situado sobre una superficie horizontal lisa. Calcule la constante de recuperación efectiva en cada uno de los casos mostrados en las figuras a), b) y c)
a'
À
kix Jz fm ]—► k2x f
m
J-W WW ^
F = k1x+ k2x = (k,+ k2)x
|-VWWWV/WWWWV^ ÍW W W M i/W W W VW ^
k=k1+k2
b)
U M È * * kiX — ^ F
F '
f = k 1x + k j X
= (k j+ k 2)x k = k1+k2
kiXi c)
jjn / w w v w w w v '- H
|-vww A—»-W AM A— Xi
I
kiXi
kiXi
= kdx-cod t y como
= 0 , entonces dx _ (o _ dt
k
De manera que la velocidad de propagación ^
dt
del frente de onda, es
la misma que la velocidad v con la cual se mueve el perfil de la onda. Por esta razón a la velocidad v se le denomina velocidad de fase de la onda.
4.5.3.
El vector de onda k Es claro que para describir a una onda unidimensional
lo
importante
es
la
dirección de propagación u (perpendicular al
frente
de
onda)
m ientras
que
la
orientación de los ejes coordenados es un asunto de elección arbitraria.
Robi nson Vásquez O. | 85 Nótese que para cualquier punto P en el frente de onda, localizado con un vector posición r , se tiene que x = r .u
la cual permite expresar la función de onda V|/ en una forma que sea independiente de la selección de los ejes coordenados: i|/= A se n (ku . r - o)t + 8)
Resulta conveniente definir al vector k = ku , de magnitud k = — = — y X v orientado en la dirección de propagación de la onda. A este vector se le denomina vector de propagación o, más frecuentemente, vector de onda. Entonces, una onda armónica (senoidal) unidimensional cuyo vector de onda es k , se representa como vj/ = Asen(ic.r - cot + 8 ) = Asen(kxx + kyy + kzz - oot + 8)
donde kx , ky y kz son las componentes de k , que satisfacen la ecuación k2 = k j + k2y + k f = ( ^ 2
y la ecuación diferencial de onda unidimensional en términos de los ejes coordenados cartesianos, se expresa como d2i|/ ^ 32v|/ + d2v|/ _ 1 d2V|/ dx2
5 y2
d z2
v2 d t2
que, utilizando el operador Laplaciano V2
a2
a2
e2
a x 2 + a y 2 + az2
se escribe, compactamente, como
86 |Clases de física II 4.6
La onda armónica esférica Cuando se perturba la superficie de agua en reposo, se observa ondas superficiales (i.e. bidimensionales) que se esparcen hacia afuera mostrando frentes de onda circulares. Una fuente puntual dará lugar a ondas que se propagan radialmente en todas las direcciones (i.e. onda tridimensional) con un frente de onda constituida por una superficie esférica. Una
onda
con
simetría
representada por una función
esférica, \|/(r,t),
responde a la ecuación diferencial
que no es otra que la ecuación de onda unidimensional, donde la variable espacial es r y la función de onda es r y :
Una onda armónica esférica que progresa radialmente hacia afuera desde su origen, se representa con la función
A de donde se establece que la amplitud — de una onda esférica disminuye a r medida que se aleja de la fuente.
4.7
El Principio de Superposición de las Ondas Cuando dos o más ondas actúan simultáneamente en la misma región del espacio, la función de onda que describe la perturbación resultante se obtiene sumando las funciones de onda de las ondas individuales. Esta propiedad de las ondas se conoce como el principio de superposición. Matemáticamente, esta propiedad aditiva es una consecuencia de que la ecuación diferencial de onda es lineal; esto es, si dos funciones y 1(x ,t ) y V 2 (x ,y ) satisfacen cada una de ellas la ecuación de onda entonces cualquier combinación lineal de estas funciones también satisface la ecuación de onda.
R o b i n s o n V á s q u e z O. | 87 Para ilustrar el principio de superposición consideremos las ondas V , = A s e n (k x - o > t)
y
\p2 = A s e n (k ,x-= k v , se tiene para la velocidad de grupo (i.e. del pulso).
±
, dv —v TIN. 8 dk
«o
U
v„ 8
v —
1 _co V
fdvl [d to j
En el caso en que la velocidad de fase sea independiente de la frecuencia, — = 0 y dco
Vg = v ; esto es, no hay diferencia entre la velocidad de fase y la de grupo.
En el caso en que la velocidad de fase dependa de la frecuencia, esto es, que las componentes Fourier del pulso viajan con diferente velocidad, Vg puede ser mayor o menor que v. Esta situación corresponde al caso en el cual el medio en el cual se propaga el pulso es dispersivo. En un medio dispersivo se tiene que las ondas componentes abandonan al pulso, como ocurre con las ondas en el mar.
4.8
Ondas (transversales) en una cuerda Sea una cuerda (o un alam bre delgado) estirada horizontalm ente m ediante fuerzas T. Si la tensión T en la cuerda es muy
fr
A
grande en comparación con su peso, la cuerda,
en
buena
aproxim ación,
permanecerá horizontal en su condición de equilibrio.
Mediante una fuerza F, pequeña en comparación con T , se produce un desplazamiento transversal de la cuerda, y luego se le suelta. Esta deformación de la cuerda se mueve a lo largo de ésta, estableciéndose así un pulso viajero.
Robinson Vásq uez O. |89
Es razonable suponer que la pendiente de la
cuerda
deformada,
durante
su
movimiento, será pequeña en todos los puntos; por lo tanto, la fuerza tangencial a la cuerda es constante en todos los puntos.
Aplicando la segunda ley de Newton a un elemento dx de la cuerda, de peso pgdx, donde \i es la densidad lineal de masa: T(sen(5 - se n a ) - pgdx = pdx 3 t2
Bajo la aproximación a , p pequeños, se tiene que sen * tg
ay sena - tga = — dx
s e n p = * tg p * |£ dx
X~
2
dy y
s e n p -s e n a
l . x+— dx
dy ,+ í i
5»
2
dx
dx 2
dx
a 2y dx2
Considerando insignificante el peso pgdx del elemento de cuerda, se obtiene d2y
1 d2y
ÍT
d x2
v2 d x 2
yP
De manera que el pulso, descrito mediante la función y(x, t), se propaga ondulatoriamente con una velocidad determinada por la tensión T con la cual se mantiene estirada la cuerda y la densidad lineal de masa p (k g /m ) de ésta.
4.9
Reflexión y Refracción de ondas Cuando una onda que viene progresando en un medio incide sobre la interfaz con otro medio, se observa que parte
de esta onda regresa al medio de
incidencia y parte se transmite al segundo medio. Se dice que se han producido los fenómenos de reflexión y refracción (transmisión) de la onda.
90 |Clases de ffsica II La reflexión y refracción de una onda, que tiene lugar debido a que en medios diferentes la propagación ocurre con diferente velocidad,
se
ilustran
adecuadamente considerando una cuerda compuesta de segmentos de diferente densidad lineal de masa.
------- / \ ---------
(la) *
Las figuras (la ) y (2a) muestran un
H2 >Mi
pulso
viajero
"delgada" "gruesa",
y
en
una
cuerda
en
una
cuerda
respectivamente.
Las
figuras (Ib ) y (2b) muestran los pulsos reflejados
y transmitidos
luego de que el pulso incide en la frontera entre las dos cuerdas.
(2b) El experimento demuestra que el pulso reflejado, respecto del pulso incidente, es: a) Invertido (i.e. desfasado en xcrad), cuando el pulso incide sobre el segmento de cuerda más denso (fig Ib). b) No invertido (i.e. en fase), cuando el pulso incide sobre el segmento de cuerda menos denso (fig 2b)
En el caso de una cuerda atada a un
s
soporte fijo (e.g. la pared), la reflexión
V
tiene las mismas características que las ilustradas en la figura (Ib ). En el caso de una cuerda unida a un soporte móvil (e.g. una argolla), la reflexión tiene las mismas características que en la figura (2b).
Robinson Vásquez O. |91 Como la velocidad de la onda depende de la densidad |i de la cuerda, y como X = v / v , para una onda armónica se tendrá que:
P i< p 2
c)
vx > v2 y ^ > ^ 2
... la velocidad y longitud de la onda son mayores en la cuerda menos densa ("delgada") que en la cuerda más densa ("gruesa").
4.10 Energía y Momentum en el movimiento ondulatorio Cuando una onda mecánica se propaga en un medio, el material constituyente del medio no se traslada con la onda. Las partículas del medio oscilan alrededor de su posición de equilibrio ejecutando así desplazamientos pequeños. Por ejemplo, si se tiene un corcho pequeño sobre una superficie de agua en reposo, el corcho oscilará de arriba hacia abajo conforme la onda pasa por el punto donde se localiza el corcho.
Entonces, si el medio material no se traslada, ¿qué es lo que se propaga en una
onda? El corcho del ejemplo, al igual que todas las partículas de agua, se mueven (verticalmente) a medida que la onda progresa, esto es, adquieren energía cinética y cantidad de movimiento. Es razonable concluir que esta energía y momentum les ha sido transferida por la onda. De manera que se puede concluir que
En un rnovlmiento ondulatorio se propaga energía y momentum.
92 | C l a s e s
de f í s i c a
í
11
En el caso de ondas transversales que se propagan en una cuerda sometida a una tensión T, ¿cómo se transfiere la energia de un punto de \a cuerda a otro?
En el punto P, la com ponente Tv de \a tensión está dada por
Cuando el punto P se m ueve (verticalm ente}, la fuerza T v ejecuta un trabajo so b re P y por \o tan to transfiere energía a \a cuerda. La poten cia p(x, t} transferida po r T v(x, t), es igual a
P ( X ,t ) = T y V J - r M
S
Y 01
IM
B
0x
01
E sta e c u a ció n p erm ite calcu la r la rap id ez con la q u e se tra n s m ite e n e rg ía de p u n to a o tro de la c u e rd a , d eb id o a la p ro p a g a ció n d e u n a o n d a y^x, X). En el c a s o p a rtic u la r d e u n a o n d a se n o id a l y(^x,t) = A s e n ( k x —catV. 0
y
0 y
---- = k A c o s ( k x —c o tí; ----- = —t o A c o s ík x — cot^ 0x v 1 0t v '
de m anera que:
p(x,t) = TcokA2 eos2 (kx —cot")
Como T = p v 2 y k = - , la potencia transferida por \a onda se expresa
p-
(o2 A2 eos2 (kx —q>tfl \/S/^
de d o n d e se d ed uce que la energía asociada con \a y(x, t) a rm ó n ica ,
a)
Perturbación ondu\ator\a
Siempre tiene un valor positivo
b) Se transm ite ondulatoriamente
X
Robinson V ásquez O. |93 La potencia media transmitida por la onda (senoidal) que se propaga en una cuerda es P = v l “ P®2A2
en donde el término entre corchetes representa la densidad media de energía e
1
2a2 — J
= —liCO A 2
m
esto es, cada metro de cuerda tiene asociado una energía de — joules. v Este resultado de
potencia a (am plitud)2
se encuentra que es de validez general para cualquier ciase de onda, i.e. tanto mecánicas
como
electromagnéticas.
La
potencia
de
las
ondas
electromagnéticas es independiente de la frecuencia ( g>) de la onda. 4.11
Ondas estacionarias en una cuerda Un caso particular de superposición de ondas es el de dos ondas de igual amplitud y frecuencia que se propagan en direcciones opuestas:
y 1( x ,t ) = A s e n (k x -o )t); y2( x ,t ) = Asen(kx + (ot) ~
La onda resultante de la superposición de estas dos ondas es
y (x , t ) = 2Asen(kx)cos(cot)
Esta y(x, t) no es de la forma f ( x ± v t ) , de manera que la superposición de yx y y2 no da lugar a una onda sino más bien produce un movimiento oscilatorio. Se dice que se ha producido un patrón de onda estacionaria.
y ( x ,t ) = A 0 cos(ü)t)
con
A0 = 2A sen (kx)
94 |Clases de física II Las características más resaltantes de una onda estacionaria son: V
a) No se traslada; esto es, todos y cada uno de los puntos del medio oscilan con la misma frecuencia ( od) de las ondas que se superponen.
b) La
amplitud
de
oscilación
de
los
diferentes puntos del medio, no es la misma. Varía según cual sea la posición x del punto, de acuerdo a: A0 = 2A sen(kx)
El patrón de oscilación muestra e l) nodos (donde A0 = 0 ) c2) antinodos (donde A0 = 2 A )
Como A0 =0 para sen(kx) = 0 , se
educe que la posición de los nodos y
antinodos está dada por:
nodos:
kx=nrc
antinodos:
k x= [ n + i \n
V
ó
2)
X
x= n — 2 ó
n = 0,1,2,..
f
l\ X
x = n+- ll 2)2
n = 0 ,1 ,2 ,...
d) La energía no se propaga sino que se "acumula" en los lóbulos de oscilación, siendo su valor máximo en los antinodos y cero en los nodos. Si un extremo de una cuerda extendida se ata a un punto fijo, y al otro extremo se le hace oscilar armónicamente, las
ondas
incidentes
y
reflejadas darán lugar a un patrón de onda estacionaria.
Robín son Vásquez O. 195 El número de lóbulos que presente el patrón de onda estacionario, depende a) De la longitud de la cuerda. b) De si los extremos de la cuerda se encuentran fijos o libres. Para una cuerda de longitud l sujeta en sus dos extremos, como ........ 77*rw----------------X
|a = = = =
t 1
0
estos
extremos
moverse
debe
no
pueden
cumplirse
que
y(x = Q ) = y ( x = ¿ ) ^ 0
De manera que los nodos en esta cuerda se describen mediante la ecuación
y (x = ¿) = A0sen(k¿)cos((D t) = 0
Le.
k¿ = n7t
n = 1,2,3,...
Entonces, en una cuerda de longitud l se establecen ondas estacionarias si
n=l
X1 =2£
Una
v = v/2 1
Puede oscilar en alguno de los modos de
cuerda atada en sus extremos solo
frecuencia v n, donde las v n se denominan
frecuencias naturales o de resonancia del
n=2
f &
e
l
f v
2 = 2
sistema (i.e. de la cuerda) v
1
A v x se le denomina primer armónico o n=3
frecuencia fundamental. A v 2 se le llama
_ Z.£ 3 3 v 3 = 3v !
segundo armónico, etc.
i
De manera que para que esta cuerda oscile mostrando alguno de estos modos
normales, se requiere que se le excite (i.e. haga vibrar) con exactamente alguna de las frecuencias naturales. De no ser así, la cuerda no mostrará un patrón de onda estacionario.
96 |Clases de física II Ejemplo 4.2 . Excitación de modos normales en una cuerda Un diapasón de frecuencia constante produce dos nodos entre los extremos de una cuerda sujeta en sus extremos. Si se disminuye la tensión en un factor 16 y simultáneamente la longitud de la cuerda se reduce a la mitad. ¿Cuál es el armónico en que vibra la cuerda?
t
k ----------------------M
El diapasón (de frecuencia
v)
inicialmente hacía oscilar a
la
cuerda en el modo n - 3, i.e. en el 3er armónico. En términos de las características de la cuerda, se tiene que
/
5« - - p J_
T
Para las condiciones — y — , la e
e e
16
e
e L j - í | _L v
16
frecuencia natural de oscilación de la cuerda es
Y como v = v ', entonces se deduce que la "nueva" cuerda, debido al mismo diapasón, oscilará en el 6° armónico. Solución alternativa: La frecuencia v de excitación de las cuerdas l y — es la misma pero la 2 velocidad de propagación de las ondas (que luego forman el patrón estacionario) es diferente pues tienen diferentes longitudes y están sometidas a diferente tensión. Sin embargo, se tiene que
Robinson Vásquez O. |97 se obtiene: V*
4.12
V„
V*
Va/
3
n
4
Ondas Sonoras La definición más general de onda sonora es la de una onda longitudinal en un medio elástico cualquiera, esto es, en sólidos y en fluidos. Tal como ocurre con todas las ondas mecánicas, la velocidad de las ondas sonoras depende de las características elásticas del medio en el cual se propagan y, en general, la velocidad es mayor en los sólidos que en los fluidos; y en los líquidos las ondas sonoras viajan más rápido que en los gases. Según su frecuencia, las ondas sonoras se denominan Infrasónicas
20 kHz
En el rango audible se encuentran las ondas perceptibles por el oído humano (i.e. el sonido) el cual es muy sensible a variaciones de presión. Se generan mediante cuerdas vibrantes (e.g. violin, cuerdas vocales), columnas vibratorias de aire (e.g. órgano, clarinete), etc. Estos sistemas vibrantes producen fluctuaciones de presión en el aire que los rodea, generando una onda de presión que al llegar al oído producen la sensación de sonido. Las ondas sísmicas constituyen un ejemplo de ondas infrasónicas y las vibraciones elásticas de un cristal de cuarzo, por efecto piezoeléctrico, son fuente generadora de ondas ultrasónicas de longitud de onda en el aire tan pequeña como de 0,5 pm la misma longitud que las ondas electromagnéticas visibles. 4.12.1 Ondas sonoras en una varilla sólida Si se golpea un extremo de una varilla, debido al esfuerzo aplicado cada sección recta de la varilla experimenta dos fuerzas (F) iguales y opuestas: una de
F *
ellas es la fuerza con la que el lado
x
es la fuerza con la que el lado izquierdo
derecho jala al lado izquierdo y la otra
F
jala al lado derecho.
98 |Clases de física II En el caso en que todas las secciones rectas experimenten la misma fuerza se tendrá que la varilla se desplaza rígidamente; pero si las fuerzas no son las mismas en las diferentes secciones rectas se producirá una deformación (lineal) que se propaga a lo largo del eje X de la varilla.
Sean las secciones A y A' separadas una distancia dx en la condición no perturbada. Debido a las fuerzas actuantes, la sección A se desplazará una longitud
"y" y la sección A' se desplazará " y '" , de manera que en el estado deformado A y A' estarán separadas una distancia dx + ( y '- y ) s d x + dy
Entonces: Debido al esfuerzo ^ S = ^ j aplicado la varilla experimenta
dy dy una deformación unitaria e = — , de manera que F = YA— . dx
dx
Por otro lado, el elemento de masa dm = pAdx comprendido entre las
d2y
secciones A y A' adquiere una aceleración a = — - debido a la fuerza 0 t2 resultante F '- F = dF = — clx. Aplicando la segunda ley de Newton, se
dx
tiene £F
dx
Robinson V ásquez O. 199 d y Y se obtiene u*5F = YA— V A ^ Y— Derivando la ecuación de Hooke I F = YA— dx dx dx 2 que, reemplazando en la ecuación precedente, conduce a la ecuación de onda a2y
Y
a t2
P dx 2
de donde se concluye que la perturbación se propaga en una varilla sólida con una velocidad
Ejemplo 4 .3 . Rapidez de una onda sonora en una varilla de acero Como la densidad del acero es p = 7,8 g /cm 3 y el módulo de Young es Y = 2 ,0 x l0 11Pa, las ondas sonoras en una varilla de acero viajan con una rapidez 2 ,0 x1 0
=5
