FÍSICA TOMO 2 2010-2011

Tomo II

2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia Ciencias de la Naturaleza / Tecnología

Doctor en C. Físicas

UNIDAD IV: INTERACCIONES

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FÍSICA 2º Bachillerato . Ciencias de la Naturaleza . Tecnología

UNIDAD IV : Interacciones

TEMA 11.Interacción gravitatoria: Campo gravitatorio TEMA 12.Interacción electromagnética: Campo eléctrico TEMA 13.Interacción electromagnética: Campo magnético TEMA 14.Inducción magnética TEMA 15.Ondas electromagnéticas

Valentín Laconcha Abecia, S.M.

Doctor en C. Físicas

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U IV T 11: Campo Gravitatorio

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T E M A 11.INTERACCIÓN GRAVITATORIA: Campo Gravitatorio

SUMARIO: 11.1.- Interacciones y campos 11.2.- Ley de la gravitación universal 11.3.- Campo gravitatorio: Intensidad del campo y potencial 11.4.- Campo gravitatorio: Ley de Gauss 11.5.- Esfera gravitatoria: Campo y potencial 11.6.- Esfera terrestre: Puntos próximos a su superficie 11.7.- Movimiento en un campo gravitatorio: Leyes de Kepler 11. 8.- Movimiento en un campo gravitatorio: Planetas y satélites Actividades desarrolladas Actividades propuestas FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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1.- INTERACCIONES Y CAMPOS Hasta el presente, se han estudiado las interacciones entre cuerpos materiales en contacto o con nexos de unión entre ellos (cuerdas, medios materiales de unión, ...). Las fuerzas de contacto aplicadas a un cuerpo venían determinadas mediante el concepto de aceleración, por aplicación de la segunda ley de Newton. ¿Qué decir de las interacciones a distancia, sin contacto ni nexos de unión? Por ejemplo: la atracción gravitatoria entre cuerpos materiales, la atracción o repulsión entre cargas eléctricas, las acciones magnéticas de los imanes, ... En todos estos casos son interacciones a distancia y el medio material en el que se encuentran los cuerpos en interacción es prescindible. Los problemas derivados de las acciones a distancia se abordan introduciendo el concepto de campo de fuerzas, como veremos enseguida. Las acciones mutuas o interacciones que se ejercen entre sí los cuerpos materiales se pueden agrupar básicamente en estos cuatro tipos: 1.- Interacción gravitatoria: La más conocida desde la antigüedad y la primera estudiada cuidadosamente. Es responsable de numerosos fenómenos naturales: el movimiento planetario, el movimiento de la materia en su conjunto. Su alcance es infinito. Por su intensidad, puede considerarse como la interacción más débil de la Naturaleza. 2.- Interacción electromagnética: La mejor estudiada y comprendida. Y la más importante en nuestra vida diaria. Está presente en la mayoría de los fenómenos físicos, químicos y biológicos; está presente en las acciones entre átomos y moléculas. Su alcance es también infinito. Y es mucho más intensa que la gravitatoria. 3.- Interacción fuerte o nuclear: Es una interacción muy estudiada pero aún insuficientemente comprendida. Es responsable de que los nucleones (protones y neutrones) se mantengan dentro del núcleo fuertemente ligados, y de otros fenómenos relacionados (como la unión de los quarks, partículas integrantes de los nucleones). Su alcance es sumamente pequeño; es del orden del fermio (1 fermio = 1 femtómetro = 10-15 m). Es la interacción conocida de mayor intensidad. 4.- Interacción débil: De ella se tiene un conocimiento aún muy escaso. Es responsable de ciertos procesos entre partículas elementales, tales como la desintegración beta. Su alcance es todavía menor que el de la interacción fuerte (< 1 fermio) y es de menor intensidad que ella. Las intensidades relativas de todas estas interacciones son, tomando la interacción fuerte como unidad: * fuerte ~ 100 * electromagnética ~ 10-3 * débil ~ 10-6 * gravitatoria ~ 10-40 Como se ha indicado anteriormente, para describir estas interacciones (acciones a distancia) se introduce el concepto de campo de fuerzas. Por campo entendemos una propiedad física que se extiende sobre una región del espacio y se describe mediante una función de la posición y del tiempo (Cf. Unidad I, tema 3, nº 3). Según la Física Clásica, para cada interacción, suponemos que una partícula produce alrededor de ella (dentro de su alcance) el campo de fuerzas correspondiente. Este campo a su vez actúa sobre una segunda partícula dando lugar a la fuerza requerida (acción). La segunda partícula, por su parte, crea su propio campo el cual actúa sobre la primera partícula produciendo la fuerza correspondiente (reacción): de este modo, resulta la interacción mutua entre ambas partículas. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Modernamente, la trasmisión de las fuerzas entre las distintas cargas de cada interacción están descritas por la Teoría Cuántica de Campos que explica estas acciones a distancia como realizadas bajo la acción de ciertas partículas elementales que hacen de intermediarias, transmisoras, o portadores de la interacción. Se denominan bosones de gauge virtuales. + En el caso de la interacción fuerte, estos bosones se denominan gluones; aglutinan los quarks en el interior de los nucleones y mantienen cohesionado el núcleo de los átomos. + Los portadores de la interacción débil son los bosones W+, W- y Z0. + En el caso de la interacción electromagnética, los intermediarios son los fotones. + Se admite como partículas transmisoras de la interacción gravitatoria los gravitones, partículas aún no detectadas experimentalmente.

2.- LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

”... de cómo Newton, aparte del cuento de la manzana que cae conturbando la placentera siesta del genio, ideó, gestó y dio a luz con extraordinaria intuición esta magnífica ley...” (Extractado de “FISICA”, vol. I: Mecánica, de M.Alonso y E.J.Finn, pgs 411-412) “Uno de los problemas fundamentales que ha intrigado al hombre desde los albores de la civilización ha sido el movimiento de los cuerpos celestes o, como decimos hoy día, el movimiento planetario. Quizá uno de los procesos más interesantes en la historia de la ciencia ha sido la evolución de nuestra comprensión del movimiento planetario.” “Los griegos, que consideraban al hombre como el centro del Universo, supusieron que la Tierra era su centro geométrico y que los cuerpos celestes se movían alrededor de la Tierra. Los cuerpos conocidos en aquel tiempo fueron ordenados de acuerdo con la distancia promedio a la Tierra: la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno.” “La primera hipótesis relacionada con el movimiento planetario consistió en suponer que los planetas describían círculos concéntricos, teniendo a la Tierra en su centro. Esta suposición, sin embargo, no explicaba el movimiento observado de estos cuerpos con respecto a la Tierra, y la geometría del movimiento planetario se hizo más y más compleja. En el siglo segundo de la era cristiana, el astrónomo Ptolomeo de Alejandría desarrolló la teoría de las epicicloides para explicar este movimiento. En forma sencilla, se suponía que el planeta describía, con movimiento uniforme, un círculo denominado epiciclo, cuyo centro a su vez se desplazaba en un círculo mayor, concéntrico con la Tierra y llamado deferente. La trayectoria resultante del planeta es así una epicicloide. En algunos casos era necesaria una disposición más complicada para describir los movimientos planetarios. En nuestro lenguaje actual, lo que hicieron los griegos fue describir el movimiento planetario con respecto a un sistema de referencia situado en la Tierra.”

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“Esta descripción fue aceptada como correcta hasta que, en el siglo dieciséis, el monje polaco Nicolás Copérnico (1473-1543), que buscaba una solución más simple, propuso describir el movimiento de todos los planetas, incluyendo la Tierra, con respecto al Sol, el cual estaría en el centro. La idea no era nueva; había sido propuesta por primera vez por el astrónomo griego Aristarco, alrededor del siglo tercero antes de Cristo. De acuerdo con Copérnico, el orden de las órbitas de los planetas con respecto al Sol era el siguiente: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y Saturno, girando la Luna alrededor de la Tierra. Lo que Copérnico propuso esencialmente fue otro sistema de referencia situado en el Sol, respecto al cual el movimiento de los planetas tenía una descripción más sencilla.” “El Sol, el cuerpo más grande de nuestro sistema planetario, coincide prácticamente con el centro de masas del sistema solar, y se mueve más lentamente que los otros planetas (la masa del sol es unas 1063 veces mayor que la suma de las masas del resto de cuerpos del sistema solar). Esto justifica el haberlo escogido como centro de referencia, ya que es prácticamente un sistema inercial. Lo propuesto por Copérnico ayudó al astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) en el descubrimiento de las leyes del movimiento planetario, como resultado del análisis cuidadoso de las mediciones astronómicas de Tycho Brahe (1546-1601). Estas leyes, denominadas leyes de Kepler, son una descripción cinemática del movimiento planetario, y se enuncian de la siguiente manera: I.- Los planetas describen órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos. (Ley de las órbitas) II.- El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre en la elipse áreas iguales en tiempos iguales. (Ley de las áreas). III.- Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de las distancias promedio de ellos al Sol. (Ley de los periodos. Esta ley puede expresarse por la ecuación R3 = k T2, siendo k una constante de proporcionalidad).” “La siguiente etapa en la historia de la astronomía fue una discusión de la dinámica del movimiento planetario y un esfuerzo por determinar la interacción responsable de tal movimiento. Es aquí donde Sir Isaac Newton (1642 -1727) llevó a cabo su grandiosa contribución, la ley de gravitación universal. Esta ley, formulada por Newton en 1666, sólo fue publicada en 1687, cuando apareció como un capítulo de su monumental trabajo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.” Aunque la órbita de los planetas es una elipse, su excentricidad (e = 0’017) es muy pequeña, por lo que simplificaremos la deducción que hizo Newton, suponiendo una órbita circular. Según él, la interacción entre los cuerpos celestes se produce como si las masas de los mismos estuviesen concentradas en su centro. El Sol atrae al planeta con una fuerza centrípeta Fps y éste describe una trayectoria circular de radio R, con velocidad angular constante (M.C.U.) ωp. (En adelante, los subíndices p y s indican que la magnitud física correspondiente hace referencia al planeta o al Sol, respectivamente). La ecuación fundamental de la dinámica se expresa así: Fps = mp acp = mp (vp2 / R) = mp R ωp2 = mp R (2π/Tp)2 = 4π2R(mp/Tp2) Fps = 4π2R(mp/Tp2)

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(1)

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donde Fps es la fuerza ejercida por el Sol sobre el planeta; m p, v p, ωp y Tp son la masa, velocidad lineal, velocidad angular y periodo del planeta; y R la distancia planeta-Sol. La 3ª ley de Kepler expresa la proporcionalidad siguiente para los diversos planetas del sistema solar: R13/T12 = R23/T22 = R33/T32 = .... = ks La constante ks depende del Sol; no depende de los planetas. Por ello, se puede sustituir en (1) el valor de Tp2, Tp2 = R3/ks, con lo que resulta: Fps = 4π2R(mp/R3) ks = 4π2ks(mp/R2) Fps = 4π2ks(mp/R2)

(2)

La 3ª ley de Newton implica también que el planeta ejerce su acción sobre el Sol, Fsp, de igual valor y sentido opuesto (módulos iguales, Fsp = Fps). Pero esta fuerza, Fsp, debe ser formalmente análoga a Fps, es decir: Fsp = 4π2kp(ms/R2)

(3)

Igualando (2) y (3), y simplificando, resulta: kp ms = ksmp o bien: mp/kp = ms/ks

(4)

La ecuación (4) separa en cada miembro los valores relativos al planeta y los relativos al Sol. Llamando K al valor común de cada miembro, K ≡ mp/kp = ms/ks , esta nueva constante es independiente de cada planeta e independiente del Sol. Y puesto que entonces ks = ms/K , sustituyendo este valor en (2) se llega a Fps = (4π2/K).(ms.mp/R2) . Llamando G ≡ 4π2/K , se tiene finalm smp mente: (5) Fps = G R2

Newton observó cómo la constante G no dependía de los cuerpos en interacción, el Sol y cada planeta. En base a ello, y aquí está su gran genialidad, generalizó este comportamiento aplicándolo a cualquier par de cuerpos en interacción: Todo cuerpo atrae a cualquier otro con una fuerza que es directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que F : : m’ F : : 1/r2 las separa. F::m

F=G

m.m' r

(6)

2

Esta ley de Gravitación Universal fue comprobada por H. Cavendish, en 1798, mediante un dispositivo denominado balanza de torsión de Cavendish. Dicho dispositivo utilizado por Cavendish consta de una varilla de longitud L = 180 cm, con dos esferas pequeñas de platino en sus extremos, de masa m = 730 g cada una.

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La barra, de longitud L, está suspendida, por su punto medio, de un hilo muy fino de torsión (de cuarzo) que lleva intercalado un pequeño espejo, sobre el que incide un rayo de luz que, después de reflejarse en él, se recoge sobre una escala graduada. (Estudiar la figura) Colocando a uno y otro lado de la varilla, simétricamente, y en el mismo plano horizontal, dos esferas de plomo iguales, de masa m’ = 158 kg cada una, se origina un par de fuerzas que produce una torsión del hilo, observándose en la escala la desviación del rayo de luz reflejado en el espejo. En la nueva posición de equilibrio, el par de torsión originado por la atracción gravitatom m' ria M = G . L es equilibrado por el par de torsión del hilo, M = K θ (siendo K la constante de r2 Kr2 θ m m' torsión del hilo, característica del mismo). G 2 . L = K θ ⇒ G = m m' L r Repitiendo el experimento a varias distancias r, y utilizando diversas masas m y m’ podemos obtener un valor bastante preciso de G.

Resulta para esta constante un valor, en el Sistema Internacional, dado por: G = (6’6720 ± 0’de0041)x10-11 N.m2.kg-2

Así pues, y de acuerdo con la generalización de Newton, los cuerpos materiales se atraen mutuamente. A este fenómeno se le denomina interacción gravitatoria. Todo cuerpo material presenta esta propiedad, la gravitación, que es la capacidad de atraer a los demás cuerpos materiales. La magnitud física asociada a esta capacidad, y que sirve para medirla, se llama masa (gravitatoria) del cuerpo material. La interacción gravitatoria entre dos cuerpos materiales viene dada por (6). Y vectorialmente, se expresa así: r m.m' F = − G 2 rˆ r

(7)

donde los cuerpos materiales tienen las masas m y m’, respectivamente, siendo r la distancia que los separa. Se los considera puntuales, al ser sus dimensiones despreciables frente a la distancia mutua. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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El aspecto vectorial de la expresión (7) se entiende del modo siguiente:

r F representa la acción del cuerpo de masa m sobre el de masa m’. Es una fuerza cuyo módulo es F = G (m.m’)/r2 ; su dirección y sentido quedan determinados por el signo menos, y el r versor rˆ ≡ r /r. Este vector unitario rˆ expresa la dirección y sentido radiales, desde el cuerpo de masa m hacia el de masa m’, y el signo menos manifiesta el carácter atractivo de la fuerza de interacción. La interacción gravitatoria verifica el principio de superposición: “Cuando un cuerpo se ve sometido simultáneamente a la acción de varias fuerzas, el efecto resultante es igual a la suma de los efectos que experimentaría si estuviera sometido a cada una de las fuerzas por separado.” n r r r O sea, F = Fi donde F i es la fuerza ejercida por la masa mi.

∑ i=1

Por tanto, si se tiene una distribución discreta de masas m1, m2, m3, ... mi, ...mn, y la posición de la masa m’ r r r r respecto a ellas es, respectivamente, r 1, r 2, r 3, ... r i, ... r r n la fuerza resultante ejercida por la distribución de masas sobre la m’ es

r F=

n

⎛

r

∑ F = ∑ ⎜⎜ − G i

i=1

⎝

m i .m' ⎞ rˆi ⎟⎟ = m' ri2 ⎠

⎛

mi

⎝

i

∑ ⎜⎜ − G r

2

⎞ rˆi ⎟⎟ ⎠

3.- CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD DEL CAMPO Y POTENCIAL Las fuerzas de interacción entre dos masas, m y m’, son fuerzas ejercidas a distancia. Vimos en otro tema (Cf. Unidad I, tema 3, nº 12) cómo cabe una nueva interpretación de la interacción, en términos de la teoría de campos elemental: la masa m crea un campo en el espacio (o en una región de él); este campo actúa sobre la masa m’ situada en su seno: la acción del campo sobre la masa m’ es la fuerza de interacción.

r

♣ Intensidad del campo gravitatorio, g (r), creado por un cuerpo puntual de masa m. La intensidad del campo gravitatorio creado por m en un punto P situado a una distancia r viene dada por el valor de la fuerza expresada en (7) que actúa sobre la masa unidad, (m’ = 1) r r colocada en dicho punto; es decir, g = F / m’. Por tanto: r m g(r ) = − G 2 rˆ r

(8)

r Como se observa, g sólo depende de la masa m creadora del campo; y es función de la distancia r a ella.

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r r El campo g(r ) , al igual que F , se nos presenta con dos características importantes: a) Es un campo central. (Cf. Unidad I, tema 3, nº 3) En efecto, al ser generado por una masa m, que suponemos puntual y situada en un punto del espacio O, que r llamamos “centro”, g(r) está en todo punto dirigida hacia dicho centro O. Todo cuerpo material, de masa m’, en el rseno de dicho r campo se ve pues sometido a una fuerza F = m’ g dirigida también hacia O. Si sobre él no actúa más que esa fuerza, su movimiento es plano, verificando la ley de las áreas, pues se conserva el momento angular de dicho cuerpo. b) Es un campo conservativo. (Cf. Unidad I, tema 3, nº 7). En efecto, el trabajo realizado por el campo, al llevar la unidad de masa a describir un ciclo cerrado cualquiera, es nulo. r rA r r rˆ.d r ⎛ dr ⎞ g.d r = −Gm = Gm ⎜ − 2 ⎟ = 2 r r ⎠ c c rA ⎝

∫

∫

∫

rA

⎛1⎞ =Gm ⎜ ⎟ =0 ⎝ r ⎠ rA habiendo tenido en cuenta (ver la figura) que r rˆ.d r = 1.ds. cos α = dr

♣ Potencial gravitatorio, V(r), creado por el cuerpo de masa m. r Que el campo g sea conservativo implica que proviene de un potencial V originado en el espacio por la masa m. A este potencial lo llamaremos potencial gravitatorio. Tal y como se vio r (Cf. Unidad I, tema 3, nº 13), la expresión que relaciona el campo g y el potencial V es la expresada en dicho tema por la ecuación (7), que adquiere en nuestro caso, según (8), la forma: r r dr m ⎞ r ⎛ dV = − g.d r = − ⎜ − G 2 rˆ ⎟.d r = G m 2 r r ⎠ ⎝ Para obtener la función V(r), potencial gravitatorio en un punto cualquiera, aplicamos la expresión integral (7) del tema 3, nº 13: V(r) =

∫

r r dr m dV + C = − g.d r + C = Gm 2 + C = − G + C r r

∫

∫

La constante de integración C es arbitraria. Su valor depende del convenio que se adopte: en qué punto del espacio consideramos nulo el valor de V. Se acostumbra aceptar que V = 0

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cuando r → ∝ , o sea, V(∝) = 0. Por tanto, sustituyendo en la expresión inmediata anterior, m ⇒ C=0 resulta: V(∝) = − G + C = 0 ∞ Así que, en base a este convenio, podemos escribir el potencial gravitatorio en todo punto, así: V(r ) = −G

m r

(9)

Nótese que, para todo punto P del espacio, es V(r) ≤ 0, pues r es esencialmente positivo (distancia radial desde O, posición de la masa m, al punto P considerado). Este hecho se expresa en teoría de campos diciendo que la masa m crea a su alrededor un pozo de potencial. En efecto, una masa m’ en el seno de dicho campo creado por m posee una energía potencial gravitatoria dada por Ep = m’V(r), según el tema 3, nº13, ecuación (5); o sea:

Ep(r) = –G

m m' r

(10)

Esta energía potencial de m’ es asimismo negativa, Ep (r) ≤ 0; se expresa este hecho diciendo que m’ está ligada al campo, se encuentra en el pozo de potencial creado por m. Si suponemos m’ en reposo, para “sacarla” del pozo, es decir para liberarla de él, es preciso darle al menos una energía igual a ⏐Ep(r)⏐. Se consigue comunicándole una energía cinética que le impulse con una velocidad ve tal que

2Gm m.m' (11) ve = ⇒ r r A esta velocidad se le denomina velocidad de escape, y es la mínima velocidad que hay que comunicar a m’ para liberarla del campo gravitatorio creado por m. Veremos en otro lugar la aplicación de esta relación: ¿con qué velocidad se ha de lanzar un satélite, desde la superficie de la Tierra, para que escape de su acción gravitatoria (T 11, 8A)? ½ m’.ve2 = G

♣ Significado físico del potencial gravitatorio. La diferencia de potencial gravitatorio, VA – VB, entre dos puntos A y B en el seno del campo viene dada por: ⎛ ⎛1 m⎞ ⎛ m⎞ 1⎞ VA – VB = V(rA) – V(rB) = ⎜⎜ − G ⎟⎟ − ⎜⎜ − G ⎟⎟ = Gm ⎜⎜ − ⎟⎟ rA ⎠ ⎝ rB ⎠ ⎝ ⎝ rB rA ⎠ ⎛1 1 VA – VB = Gm ⎜⎜ − ⎝ rB rA

⎞ ⎟⎟ ⎠

(12)

¿Cuál es su significado físico? Para una masa m’, en el seno del campo, se verifica que WAB = - ΔEp = - m’ ΔV = m’ (VA – VB ) ⇒

⇒

VA – VB = WAB / m’

VA – VB representa el trabajo realizado por el campo gravitatorio para llevar la unidad de masa desde A hasta B.

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¿Y cuál es el significado físico del potencial gravitatorio en un punto, V(r)? Si consideramos que A es un punto cualquiera P, y B es el punto del infinito, r → ∝, en el que V(∝) = 0, entonces: V(r) – V(∝) = WP∝ / m’ ⇒

⇒

V(r) = WP∝ / m’

V(r) representa el trabajo que el campo gravitatorio realizaría para llevar la masa unidad desde la posición P hasta el infinito.

♣ Superposición de campos y de potenciales gravitatorios. Hasta ahora hemos considerado tanto la intensidad como el potencial del campo gravitatorio creado por una sola masa m. Para estudiar ambos, intensidad y potencial gravitatorios, debidos al campo creado por una distribución de masas, basta aplicar el principio de superposición, tanto r para g(r ) como para V(r). En efecto, ambos son aditivos, el primero vectorialmente, el segundo escalarmente, del mismo modo que lo son las fuerzas de interacción gravitatoria y las energías potenciales asociadas a ellas. Así pues, dada una distribución de masas m1, m2, m3, ..., mi, ..., mn, se verificará: r r g(r ) = gi (ri ) V(r) = Vi (r i )

∑

∑

♣ Líneas de campo y superficies equipotenciales. El campo gravitatorio se representa por sus líneas de campo y por sus superficies equipotenciales. Nada hay que añadir a lo expresado en la Unidad I, tema 3, nº 6 y 13. r * La intensidad del campo g(r ) se representa por las líneas de campo, tangentes en todo punto al r vector g en él.

* El potencial gravitatorio V(r) se representa por las superficies equipotenciales. Todos los puntos de una determinada superficie equipotencial poseen el mismo potencial. En todo punto de un campo gravitatorio, el vector r g(r ) es perpendicular a la superficie equipotencial en él y está dirigido hacia potenciales decrecientes (ver la demostración correspondiente en Unidad I, tema 3, nº 13).

Líneas de fuerza y superficies equipotenciales del campo gravitatorio de una masa puntual

En el caso del campo creado por una sola masa m, la figura anterior señala la forma de las líneas de campo (radiales) y de las superficies equipotenciales (esféricas y concéntricas, con potenciales negativos crecientes, tendiendo a cero para r → ∝).

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4.- CAMPO GRAVITATORIO: LEY DE GAUSS Revisemos algunos conceptos expresados en la Unidad I, tema 3, nº 15. r ♦ Llamamos vector dS (vector superficie elemental) al vector cuyo módulo es dS y cuya dirección es perpendicular a dicha superficie elemental. ¿Y el sentido de dicho vector? r + Si la superficie elemental dS pertenece a una superficie S cerrada, el sentido de dS es apuntando hacia afuera de S. + Si la superficie elemental dS pertenece a una superficie S abierta, ... se verá más adelanr te dicho sentido de dS .

♦ Se define, matemáticamente, “Flujo eler mental dΦ de un campo C a través de una superficie elemental dS” así: r r dΦ = C dS = C cosϕ dS r y “Flujo Φ de un campo C a través de una superficie S” así: r r Φ= C dS

∫∫

S

♦ Teorema de Gauss, en general, para un r K campo de la forma: C = 2 rˆ , radial y proporcional a r 1/r2. Tal es el caso de los campos gravitatorio r r m q g = − G 2 rˆ y eléctrico (como veremos) E = k 2 rˆ . r r

En este caso, el flujo Φ a través de la superficie cerrada S sería: r r r cos ϕ rˆ.dS Φ = ∫∫ C.dS = K ∫∫ 2 = K ∫∫ 2 dS r S S r S

r ya que rˆ.dS = 1 . dS . cos ϕ Se puede demostrar que la integral

y por tanto

∫∫

cos ϕ

r rˆ.dS r

2

=

cos ϕ dS r2

dS no depende de la forma de la superficie cerrada r2 S. Sólo depende de la posición interior o exterior de la fuente creadora del campo (en el caso del campo gravitatorio, de la posición de la masa m; en el caso del campo eléctrico, de la posición de la carga q). Esta integral vale: + 0, si la fuente del campo es exterior a S. + 4 π, si la fuente del campo es interior a S. Por lo tanto, r r r ( fuentes de campo exteriores a S) el flujo de C a través de S es: Φ = ∫∫ C.dS = ⎧⎨ 0 4 π K ( fuentes de campo interiores a S) ⎩ S S

A esta expresión se la denomina ”Ley de Gauss” . Caso gravitatorio:

K = - Gm ⇒ Φ = - 4πGm

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→

Φ = - 4πG

∑m

int

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r

Teorema de Gauss : El flujo del campo gravitatorio g a través de una superficie ce-

Φ = - 4π G

rrada es donde el sumatorio

∑m

i

∑ m afecta exclusivamente a las masas interiores a dicha superficie. i

Este teorema puede explicarse, para una sola masa m, de un modo sencillo, así:

• Sea la masa m interior a la superficie cerrada S. Consideremos la superficie esférica S0, interior a S, de radio r0 y centro en m. Todo el flujo creado por m atraviesa ambas superficies S y S0, siendo por tanto el mismo (ver figura). r r r r Φ = ΦS = Φ S 0 = g.dS = g0 .dS 0

∫∫

∫∫

S

S

En todos los puntos de la superficie esférica S0, el r m m campo g 0 = - G 2 rˆ tiene como módulo G 2 constante, r0 r0 y está dirigido radialmente hacia m. Por tanto,

r r m g0 .d S0 = g0 .dS0 cos(180º) = - g0 .dS0 = - G 2 dS0 r0

Y sustituyendo este valor en la integral:

Φ = ΦS = Φ S 0 = - G

m { dS 0 }. r02 ∫∫ S0

La integral anterior es igual al área de la superficie esférica S0 , o sea S0 = 4 π r 02 . Por lo tanto: Φ = ΦS = Φ S 0 = - G

m 4 π r 02 = - 4 π G m 2 r0

→ Así pues, si m es interior a S, Φ = - 4 π G m . • Sea la masa m exterior a la superficie cerrada S (ver figura). El flujo a través de la superficie S2 (flujo negativo) es el mismo que el saliente (flujo positivo) a través de la superficie S1, y de signo contrario; por tanto, el flujo neto a través de S = S1 + S2 es nulo. → Así pues, si m es exterior a S, Φ = 0 .

5.- ESFERA GRAVITATORIA: CAMPO Y POTENCIAL Aplicamos la Ley de Gauss en la obtención del campo y el potencial gravitatorios creados por una esfera másica, de centro en O (origen de referencia), radio R y masa M, radialmente homogénea [quiere decir, la densidad en cada punto P de ella sólo depende de su distancia radial r = OP; ρ = ρ(r)]. La Tierra es aproximadamente una esfera que cumple estas condiciones; por tanto lo estudiado en esta parte puede aplicársele como primera aproximación. Calculemos el campo y el potencial gravitatorios creados por esta esfera en puntos P del espacio: FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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i) exteriores a ella (r > R) ii) sobre su superficie (r = R) iii) interiores a ella (r < R). i) Puntos exteriores a la esfera, r > R.

A causa de la simetría, la intensidad del campo gravitatorio en cualquier punto P del espacio r depende sólo de la distancia r de P al centro O de la esfera: g (r). Podemos tomar una esfera gaussiana, concéntrica con la dada, de radio r, y aplicar a ella la ley de Gauss: r r Φ= g.dS = - 4 π G mi

∑

∫∫

S gauss

- Por un lado, como g es constante en todos los puntos de la esfera gaussiana, r r Φ= g.dS = g.dS. cos(180 º ) =

∫∫

∫∫

S gauss

=-g

S gauss

∫∫ dS = - g 4 π r

2

= - 4 π g r2

S gauss

- Por otro lado, Φ = - 4 π G

∑m =-4πGM i

De ambos valores obtenemos - 4 π g r2 = - 4 π G M → g = G

r M g (r).= – G 2 rˆ r

y vectorialmente

M r2 para r > R

En cuanto al potencial creado por la esfera material, en r > R, suponiendo que V(∝) = 0, es: r r r M rˆ.d r dr V(r) = - g d r = G M = – G M∫− 2 = – G 2 r r r

∫

∫

V(r) = – G

M r

para r > R

Concluimos, por lo tanto, “la esfera material homogénea, para puntos exteriores a ella, se comporta a efectos de campo y potencial gravitatorios, como si toda su masa estuviera situada en su centro”. ii) Puntos sobre la superficie esférica, r = R.

Para puntos sobre la superficie de la esfera, basta hacer, en las expresiones anteriores, r = R. Entonces:

r M g (R).= - G 2 rˆ R

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y

V(R) = - G

M R

para r = R

U IV T 11: Campo Gravitatorio

264

iii) Puntos interiores a la esfera, r < R.

r

En el interior de la esfera, g (r) y V(r) dependen de la distribución de masas, que consideraremos radial, es decir, la función densidad es ρ = ρ(r).

r

Para calcular g en un punto P interior, a distancia radial r, apliquemos el teorema de Gauss a una superficie gaussiana de radio r: r r Φ= g.dS = - 4 π G mi

∑

∫∫

S gauss

∫∫

Por un lado, Φ =

r r g.dS = - 4 π g r2

S gauss

Por otro, Φ = - 4 π G mint Por tanto: - 4 π g r2 = - 4 π G mint

⇒

g=G

mint r2

r m g (r) = - G 2int rˆ r

⇒

En el caso de que la esfera sea homogénea (ρ = constante), como la masa total es M = 4/3 π R3 ρ y mint = 4/3 π r3 ρ, resulta mint = M (r/R)3 , por lo que

r M ⎛r⎞ g (r) = - G 2 ⎜ ⎟ rˆ R ⎝R⎠

para r < R

Por consiguiente, el campo gravitatorio en un punto del interior a la esfera homogénea es proporcional a la distancia al centro. El potencial en el punto P interior se calcula por integración, como de costumbre: V(r) = -

r r

∫ g dr

+C=G

M R3

∫ r dr

+C=½G

M 2 r + C R3

Para que este valor de V(r) en puntos del interior conecte con los de la superficie, la constante C ha de ser tal que para r = R el potencial V(R) debe valer - GM/R. Por tanto -G

M M = 1/2 G 3 R2 + C R R ⇒

⇒

C = - 3/2 G

V(r) = -

M R

⇒

(

M 1 G 2 3 R2 − r 2 2R R

V(r) = 1/2 G

)

M 2 M r - 3/2 G 3 R R

para r < R

r

Observación: Las expresiones del campo y del potencial, g (r) y V(r), en los diferentes pun-

M . En este caso, R2 ⎛R⎞ V(r) = - g0 ⎜ ⎟ R ⎝r⎠

tos del espacio suelen abreviarse a veces llamando g0 ≡ G 2

i) para r > R, ii) para r = R iii) para r < R

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r ⎛R⎞ g (r) = - g0 ⎜ ⎟ rˆ ⎝r⎠ r g (R) = - g0 rˆ r ⎛r⎞ g (r) = - g0 ⎜ ⎟ rˆ ⎝R⎠

V(R) = - g0 R V(r) = -

g0 (3R2 − r 2 ) 2R

(para esfera homogénea)

U IV T 11: Campo Gravitatorio

265

g R

La gráfica expresa la variación de la intensidad del campo gravitatorio creado por la esfera homogénea, de radio a, en función de la distancia al centro.

6.- ESFERA TERRESTRE: PUNTOS PRÓXIMOS A SU SUPERFICIE Consideremos la Tierra como una gran esfera, con distribución radial de masa: densidad, ρ = ρ(r). Sea M (≈ 5.98x1024 kg) su masa, y R (≈ 6.37x106 m) su radio. Consideremos sólo puntos exteriores a la Tierra o sobre su superficie, r ≥ R. Llamaremos h a la altura de un punto sobre la superficie de la Tierra; entonces, se verifica r = R + h. Sobre la superficie de la tierra se tiene entonces, según hemos visto:

• Campo gravitatorio • Potencial gravitatorio • Energía potencial de un cuerpo de masa m

M R2 M V0 = - G R g0 = - G

Ep = - G

M .m R

A una distancia r desde el centro de la Tierra (a una altura h, por encima de la superficie terrestre), se verifican las fórmulas generales del apartado anterior. Se adopta como nivel cero de potencial y de energía potencial gravitatorios los correspondientes a los puntos del infinito, r → ∝. Las expresiones a aplicar son:

• Campo gravitatorio terrestre: • Potencial gravitatorio terrestre:

2 r M g (r).= - G 2 rˆ = - g0 ⎛⎜ R ⎞⎟ .rˆ r ⎝r⎠ M ⎛R⎞ V(r) = - G = - g0R ⎜ ⎟ r ⎝r⎠

Mm ⎛R⎞ = - mg0R ⎜ ⎟ ($) r ⎝r⎠ En la aplicación a problemas, lo más conveniente es manejar la variable r, y después, si ha lugar, calcular la altura sobre la superficie de la Tierra h mediante la relación: h = r - R

• Energía potencial de un cuerpo de masa m:

Ep(r) = - G

Aproximación: para pequeñas alturas, es decir, para valores muy pequeños de h,

• el campo gravitatorio terrestre se puede considerar constante, g(h) = g0 siendo g0 = 9’81 m.s-2 = 9’81 N.kg-1

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266

• el potencial gravitatorio terrestre se obtiene por integración: r r r V(h) = V(r) = - g d r + C = g0 rˆ.d r + C = g0 r + C = g0 ( R + h ) + C

∫

∫

Convenio: tomamos nivel cero de potencial en h = 0 o sea en puntos de la superficie te ⇒ C = - g0 R rrestre; entonces, V(h = 0) = 0 0 = g0 ( R + 0 ) + C Sustituyendo en V(h):

V(h) = g0 ( R + h ) - g0 R ⇒

V(h) = g0 h

• la energía potencial de un cuerpo de masa m es entonces:

Ep(h) = m g0 h fórmula ésta muy conocida y utilizada en cursos anteriores: Ep = m g h. Esta fórmula es pues una aproximación útil de la general. Ejercicio: Justificación de la expresión Epg = m g h para la energía potencial gravitatoria de una masa m a una altura h. ¿En qué condiciones es válida esta fórmula?

M: masa de la Tierra. R: radio medio de la Tierra r: distancia radial de un punto exterior respecto del centro de la Tierra. ⇒ r=R+h h: altura respecto de la superficie terrestre. ¿Cómo debemos entender esta expresión Epg = m g h y qué relación tiene con la obtenida en ($) Mm Epg = – G siendo r = R + h ? r Fácilmente se comprende: se trata de haber adoptado un convenio diferente en ambos casos a la hora de precisar dónde tomamos nula la energía potencial gravitatoria (nivel cero de energía potencial): a) En el caso Epg = m g h → convenio: Epg (h=0) = 0 Mm → convenio: Epg (r→∝) = 0 b) En el caso Epg = – G r En efecto. La energía potencial gravitatoria de una masa m situada a una distancia radial r del centro de la Tierra, se obtiene en general así: r r r Mm Mm dr Epg = – ∫ F d r + C = – ∫ − G 2 rˆ . d r + C = – GMm ∫ − 2 + C = – G +C r r r Mm ⇒ Epg = – G + C r a) Si se toma como convenio Epg (∝) = 0, entonces a partir de la relación anterior resulta: Mm Epg (∝) = – G + C=0 ⇒ C=0 ∞ Mm Por tanto: Epg (r) = – G r b) Si se toma como convenio Epg (h = 0) ≡ Epg(r = R) ≡ Epg(R) = 0, entonces a partir de la relación Mm Mm anterior resulta: Epg (R) = – G + C=0 ⇒ C=G R R FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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267

Por tanto: Epg (r) = – G

Mm Mm r Mm r − R Mm M ⎛R⎞ M ⎛ R ⎞ ( − 1) = G +G =G = m G 2 h⎜ ⎟ = m G 2 h⎜ ⎟ r R r R r R R ⎝r⎠ R ⎝R +h⎠

⇒

Epg (h) = m g0 h

1 R = m g0 h R+h 1+ h/R

⇒ Epg = m g h con g = g0 = 9’83 m/s2 es sólo válida para alturas pequeñas comparadas con el R ≅ 1 y entonces Epg = m g0 h. radio terrestre R ≅ 6’37x106 metros, pues sólo en estos casos R+h

7.- MOVIMIENTO EN UN CAMPO GRAVITATORIO: LEYES DE KEPLER Las leyes de Kepler, que guiaron a Newton en la formulación del Principio de Gravitación Universal, constituyen una descripción puramente cinemática del movimiento de los planetas en torno al Sol: atienden al cómo del movimiento pero no abordan el por qué del mismo, es decir, su aspecto dinámico. Los Principios de la Dinámica de Newton (sus tres primeras leyes y el principio de gravitación universal) son los que responden a este aspecto, justificando el comportamiento de los planetas y el cumplimiento de las tres leyes de Kepler. Éstas vienen a ser ahora deducibles a partir de dichos principios. (excentricidad, e = c/a)

♦ La primera ley de Kepler, la ley de las órbitas, dice: “Los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos”. Esta ley es consecuencia de que la fuerza gravitatoria Sol-Planeta varía con el inverso del cuadrado de la distancia (F proporcional a1/r2). Puede demostrarse (no lo haremos) que en estas condiciones la trayectoria debe ser una curva cónica (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola), dependiendo de la energía mecánica total del planeta. Véase la gráfica de arriba.

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268

i) Si la energía mecánica es negativa, Em < 0, la trayectoria en una elipse. La fuerza central ejercida por el Sol sobre el Planeta está dirigida hacia el Sol que ocupa uno de los focos de la elipse trayectoria. El Planeta se encuentra en un pozo de potencial, debido al Sol, y su trayectoria en obviamente cerrada. En particular, cuando la trayectoria es circular la energía cinética es la m m mitad de la energía potencial, pero positiva: Ec = – ½ Ep = ½ G S P y la energía mecánica es la r m m mitad de la energía potencial: Em = Ep + Ec = ½ Ep = – ½ G S P . r Lo dicho para el sistema Sol-Planeta sirve igualmente para cualquier otro sistema, por ejemplo Tierra-Satélite. ii) Si la energía mecánica es cero, Em = 0, la trayectoria en una parábola. El satélite justamente se libera del pozo de potencial. iii) Si la energía mecánica es positiva, Em > 0, la trayectoria en una hipérbola. El satélite tiene suficiente energía cinética (suficiente velocidad) para escapar de la atracción gravitatoria. ♦ La segunda ley de Kepler, la ley de las áreas, dice: “El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales”. Esta ley queda justificada al considerar que la fuerza gravitatoria Sol-Planeta es una fuerza central, lo cual implica que el movimiento es plano y verifica la ley de las áreas, según se vio en el tema anterior, “Partícula Material” , nº 3, (Conservación del momento angular):La fuerza central, verificando ejercidar por el rSol sobre el Planeta es una fuerza r r r M = r x F = 0 pues en todo instante F y r son paralelos. r r r dL dL =0 implica La ecuación fundamental de la rotación M = ⇒ L = cons tan te dt r dt r r r r El hecho de que el vector momento angular L ≡ r x p = r x mP v se mantenga constante, supone que es a la vez constante en módulo, dirección y sentido: r a) L constante en dirección y sentido ⇒ la trayectoria del planeta bajo la acción de la fuerza central de atracciónrdel Sol, es una r trayectoria plana , precisamente en el plano determinado por los vectores r y v , pues en r r r todo instante L es perpendicular a r y a v .

r b) L constante en módulo ⇒ el movimiento del planeta, de masa mP, verifica la ley de las áreas: “En el movimiento de una partícula sometida sólo a fuerzas centrales, su vector de posición (radiovector) barre áreas iguales en tiempos iguales” Es decir, que si t2 – t1 = t3 – t4, entonces (figura): Área OP1P2 = Área OP3P4 Demostrémoslo: En efecto, (figura 2ª de la página siguiente): r r r (a) L =⎮ L ⎮ =⎮ r x mP v ⎮= mP r v sen ϕ r r donde ϕ es el ángulo formado por los vectores r y v . FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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269

Consideremos un movimiento elemental del planeta en su trayectoria. Llamamos r dS al área elemental barrida por el radiovector r en un tiempo dt, al pasar el planeta de P a P’, recorriendo el arco elemental ds = arc(PP’). Esta área dS es el área del triángulo elemental OPP’. Su valor es: dS = ½ (base x altura) = ½ r.dh = ½ r.ds.sen ϕ puesto que dh = ds . sen ϕ . Dividiendo por dt ambos miembros de la igualdad, se tiene: A ≡

dS ds = ½ . r. ( ). sen ϕ = ½ . r . v . sen ϕ dt dt

(b)

dS se le denomina velocidad areolar del móvil en su trayectoria, y expresa el dt área barrida por el móvil en la unidad de tiempo. A A ≡

De acuerdo con (a) y (b),

A ≡

L dS = dt 2 mP

constante

Concluyendo: “El planeta, bajo la acción de la fuerza de atracción solar, se mueve en trayectoria plana, de modo que su velocidad areolar se mantiene constante, e igual a L/2mP”, siendo L el momento angular y mP la masa de la partícula. ♦ La tercera ley de Kepler, la ley de los periodos, dice: “Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias promedio al Sol”. Podemos justificar esta ley fácilmente para trayectorias circulares (la trayectoria de la mayoría de los planetas del sistema solar es elíptica de excentricidad muy pequeña, como puede verse en el cuadro inferior; por tanto, son prácticamente orbitas circulares). La fuerza ejercida por el Sol sobre el Planeta es entonces la fuerza centrípeta que produce su movimiento. Llamando mS y mP a las masas del Sol y del Planeta, respectivamente, la fuerza que actúa

r m .m F = - G S 2 P rˆ r

sobre el planeta es

r

r

Aplicando la ley fundamental de la dinámica al Planeta, F = mP an = - mP an rˆ Por tanto:

-G

mS .mP rˆ = - mP an rˆ r2

⇒

G

mS = an r2

La aceleración normal puede escribirse así: an = v2/r = r ω2 = r (2π/T)2 =4 π2 r / T2 FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Por tanto:

G

4 π2 .r mS = r2 T2

270

⇒

⎛ 4 π2 ⎞ 3 ⎟⎟ r ⎝ G mS ⎠

T2 = ⎜⎜

donde r, radio de la circunferencia-órbita. La velocidad orbital v0 se calcula así: F = mp an → G

mS v o2 = a = ⇒ vo = m n P r r2

G mS r

Las energías, en esta trayectoria circular valen: m m + Energía potencial: Ep = - G S P r G mS m m =½G S P → Ec = - ½ Ep + Energía cinética: Ec = ½ mp v o2 = ½ mP r r m m m m m m → Em = ½ Ep + Energía mecánica: Em = Ep + Ec = - G S P + ½ G S P = - ½ G S P r r r En el caso de órbitas elípticas, r es el semieje mayor de la elipse. Es pues la expresión de la tercera ley de Kepler.

8.- MOVIMIENTO EN UN CAMPO GRAVITATORIO: PLANETAS Y SATÉLITES A.- Velocidad de escape (desde la superficie terrestre).-

Consideremos el campo gravitatorio terrestre. El hecho de que un cuerpo en movimiento, sometido a la influencia gravitatoria de la Tierra, describa una órbita cerrada (elíptica o circular) o una órbita abierta (hiperbólica o parabólica), depende del valor de su energía mecánica orbital E0 = Ec + Ep , y por tanto del valor de su velocidad. Situado sobre la superficie terrestre un satélite (y en general, un cuerpo cualquiera) puede abandonar el campo gravitatorio terrestre y alejarse indefinidamente de nuestro planeta si se le dota de velocidad inicial suficiente. La velocidad inicial necesaria para conseguirlo, como vimos, se denomina velocidad de escape; respecto de la tierra, esta velocidad vale 11’3 km.s-1 ≈ 40000 km.h-1. Su cálculo puede efectuarse recurriendo a la conservación de la energía mecánica: Sobre la superficie de la Tierra (r = R), el satélite dotado de la velocidad de escape necesaria, tiene una energía: FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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271

1 Mm m v 2e - G 2 R

Em(R) = Ec(R) + Ep(R) =

Al alejarse indefinidamente (r→∞), el satélite ya libre de la acción gravitatoria terrestre queda al menos con energía nula (o, de otra forma, se le dio la energía mínima para alcanzar el infinito con velocidad nula): Em(∞) = Ec(∞) + Ep(∞) = 0 + 0 = 0 Puesto que la fuerza gravitatoria a la que está sometido el satélite en el proceso es conservativa, la energía mecánica no varía: Em(R) = Em(∞)

1 Mm m v 2e –G =0 2 R

Ec(R) + Ep(R) = Ec(∞) + Ep(∞) ve =

2GM = R

2g0R

B.- Satélites: Velocidad orbital, periodo, energía orbital.-

• Aceptando que el satélite describe una órbita cerrada circular, el cálculo de su velocidad orbital v0, si es r0 su radio, se realiza así: la fuerza gravitatoria F es la responsable de la curvatura de la trayectoria; es por lo tanto una fuerza centrípeta:

Mm F=G 2 r0

v 02 ∧ F = m an = m r0 v0 =

v 02 Mm G 2 =m r0 r0

⇒

GM g0 = R r0 r0

Así pues, la velocidad orbital de un satélite depende del radio de su órbita, siendo inversamente proporcional a su raíz cuadrada. Es independiente de la masa del satélite. • El periodo T de revolución del satélite, o tiempo que invierte en el recorrido de su órbita, es (supuesta circular): T = 2 π / ω ∧ v0 = r0 ω

⎛ 4 π2 ⎞ 3 ⎛ 4 π2 ⎞ 3 ⎜ ⎟ T = ⎜ ⎟ r 0 = ⎜⎜ g R2 ⎟⎟ r 0 G M ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠ 2

• Energía orbital. En su órbita, el satélite posee una energía mecánica que es la suma de su energía potencial gravitatoria más su energía cinética: Su energía potencial gravitatoria es: Su energía cinética es:

Ep (r) = - G Ec(r) =

Mm r

1 1 Mm GM 1 m v 02 = m = G 2 2 2 r r0

La energía mecánica, por tanto, que llamaremos energía orbital del satélite, es:

1 1 Mm Mm Mm G –G =– G 2 r r 2 r Mm 1 G Em(r) = – 2 r

Em(r) = Ec(r) + Ep (r) =

Esta energía es negativa, como corresponde a un satélite ligado al centro gravitatorio. En su trayectoria, corresponde a la mitad de su energía potencial; la energía cinética del satélite, esencialmente positiva, coincide en valor absoluto a dicha energía orbital. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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272

• El trabajo W que hay que realizar para colocar en órbita un satélite puede ser calculado evaluando las energías: + la que posee en reposo sobre la superficie de la Tierra, desde la que es lanzado: Em(R) = Ep(R) = - G

Mm R

+ la que ha de tener en su órbita circular, de radio r: Em(r) = Ec(r) + Ep (r) = -

Mm 1 G 2 r

La diferencia Em(r) - Em(R) expresa el trabajo de puesta en órbita, W:

Mm 1 Mm G +G 2 r R 1 1 R ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ W = GMm ⎜ − ⎟ = m g0 R ⎜1 - ⎟ ⎝ R 2r ⎠ ⎝ 2r ⎠ W = Em(r) - Em(R) = -

• La velocidad inicial que habría que comunicar a un satélite, de una sola vez, para alcanzar una órbita cerrada es superior a los 7500 m.s-1 (~ 27000 km.h-1), que es la velocidad que con los combustibles actuales pueden suministrar los cohetes de una sola etapa. Por ello, la cesión de energía al satélite se suele efectuar en un proceso multietapa, mediante un cohete formado por varios cuerpos independientes; cada uno comunica al satélite una cierta energía cinética, separándose luego del resto. En cada etapa posterior el sistema se va aligerando de pesos muertos, lo que hace más sencilla la propulsión del satélite • El alumno debe resolver los siguientes problemas: a) Hallar la velocidad de escape de un satélite en su órbita en torno a la Tierra. b) Hallar el trabajo que se debe realizar para que un satélite pase de una órbita a otra.

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273

ACTIVIDADES DESARROLLADAS 1.- Calcula la masa del sol a partir del periodo orbital de la tierra. Datos: Periodo orbital, T = 365’26 días.- Constante de gravitación, G = 6’67x10-11N.m2.kg-2.Radio medio orbital de la tierra, RTS = 1.49x1011m.

La atracción ejercida por el Sol sobre la Tierra es una fuerza central. Por tanto, F = m an, donde: F=G

MS MT 2 R TS

F = m an

⇒

⎛ 2π ⎞ an = R ω2 = RTS ⎜ ⎟ ⎝ T ⎠

m = MT G

2 MSM T ⎛ 2π ⎞ = M R ⎜ ⎟ T TS 2 R TS ⎝ T ⎠

Haciendo operaciones MS =

⇒

2

MS =

4π 2 3 R TS G.T 2

4π 2 (1'49x1011 ) 3 = 1’97x1030 kg 6'67 x10 −11 (365'26x 24 x3600) 2

2.- Se considera el movimiento elíptico de la tierra en torno al sol. Cuando la tierra se encuentra en el afelio (posición más alejada del sol) su velocidad es de 2’92x104m/s. Halla: a) el momento angular de la tierra respecto del sol. b) su velocidad orbital en el perihelio (posición más cercana al sol). Datos: Masa de la tierra, MT = 5’98x1024kg.- Distancias de la tierra al sol, en el perihelio y el afelio, respectivamente, 1’47x1011m y 1’52x1011m.

r r r r r a) Momento angular, L = r x m v = R x MT v . En este movimiento orbital el vector momento angular es constante. Su módulo es L = MT R v senϕ = MT Rp vp = MT Ra va

pues en el perihelio y en el afelio ϕ = 90º

L = MT Ra va = 5’98x1024x1’52x1011x2’92x104 = = 2’65x1040 kg.m2.s-1 R 1'52 x2’92x104 b) Rp vp = Ra va ⇒ vp = a v a = 1'47 Rp = 3’02x104 m/s 3.- El vehículo espacial Apolo VIII estuvo en órbita circular alrededor de la luna 113 km por encima de su superficie. Calcula: a) El periodo del movimiento. b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa posición. Datos: Constante de gravitación, 6’67x10-11 N.m2.kg-2; masa de la luna,7’36x1022kg; radio medio lunar, 1740 km.

ML = 7’34x1022 kg RL = 1’74x106m h = 113 km = 0’113x106 m ⇒ r = RL + h = 1’853x106m a) Periodo.- F = m an G

ML M s r

2

donde F = G 2

⎛ 2π ⎞ = Ms r ⎜ ⎟ ⇒ T2 = ⎝ T ⎠

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ML M s r2 ⎛ 4π 2 ⎜ ⎜ GM L ⎝

2

m = Ms ⎞ 3 ⎟.r ⇒ ⎟ ⎠

⎛ 2π ⎞ an = r ω2 = r ⎜ ⎟ . Por tanto: ⎝ T ⎠ T = 7153 s ≅2 horas

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274

b) Velocidad de escape.- Hay que dar al satélite una energía W’A∞ para llevarlo desde un punto A de su trayectoria orbital hasta el infinito, de modo que en él se encuentre sin energía. MM + energía en A: potencial – G L s r MM cinética ½ G L s r ML M s mecánica – ½ G r + energía en ∞: potencial 0 cinética 0 mecánica 0 La variación de energía mecánica debe ser igual al trabajo de las fuerzas no conservativas, las que ponen en movimiento el satélite para enviarlo desde la órbita al infinito. M M M M W’A∞ = ΔEm = Em(∞) – Em (A) = 0 – (– ½ G L s ) = ½ G L s r r Estas fuerzas no conservativas son las que comunican al satélite la velocidad de escape, verificándose: W’A∞ = ½ mv2 = ½ Ms v e2 Igualando y despejando ve: ve =

GML = r

6'67 x10 −11 x7'34 x10 22 1'853x10 6

= 1626 m/s

4.- Dadas dos masas m1 = 2 kg y m2 = 4 kg están situadas respectivamente en los puntos O(0,0) y A(6,0) donde las coordenadas están expresadas en metros. Hallar: a) El campo gravitatorio en los puntos P(3,4) y M(3,0). b)El trabajo necesario para transportar otra masa m’ = 3 kg desde el punto P al M.

r a) Campo gravitatorio en P, gP r r r gP = gP1 + gP 2 m 2 gP1 = G 2 1 = G rOP 25 m 4 gP2 = G 2 2 = G rAP 25 2 3 6 G =− G 25 5 125 2 4 8 G =− G gP1y = - gP1 sen α = – 25 5 125 r 2 gP1 = gP1x ˆi + gP1y ˆj = − G(3ˆi + 4ˆj ) 125 4 3 12 G = G gP2x = gP2 cos α = 25 5 125 4 4 16 G gP2y = - gP2 sen α = - G = − 25 5 125 r 4 gP 2 = gP2x ˆi + gP2y ˆj = G(3ˆi − 4ˆj ) 125

gP1x = - gP1 cos α = –

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U IV T 11: Campo Gravitatorio

⇒

275

r 2 4 6 gP = − G(3ˆi + 4ˆj ) + G(3ˆi − 4ˆj ) = G( ˆi − 4ˆj ) = 3’20x10-12 ˆi – 12’81x10-12 ˆj 125 125 125 ⎧módulo gP = 1'32 x10 −11 N / kg ⎪ O bien, ⎨ (β: ángulo con la vertical) 6 tgβ = ⇒ β = 14'0362º ⎪⎩ ángulo 24

(N/kg)

r Campo gravitatorio en M, gM r r r gM = gM1 + gM2

r r m m 2 4 gM1 = −G 2 1 ˆi = − G ˆi gM2 = + 2 2 ˆi = G ˆi 9 9 rOM rAM r 2 4 2 gM = ( − G + G)ˆi = G ˆi = 1’48x10-11 ˆi N/kg 9 9 9

b) Trabajo WPM WPM = m’ (VP - VM) m1 m 2 4 6 −G 2 = − G− G = − G rOP rAP 5 5 5 m m 2 4 VM = VM1 + VM2 = − G 1 − G 2 = − G − G = −2G 3 3 rOM rAM 6 12 WPM = m’ (VP - VM) = 3( − G + 2G) = G = 1'6 x10 −10 Julios > 0 ⇒ El campo gravitatorio es 5 5 quien lleva la masa m’ desde P hasta M. VP = VP1 + VP2 = − G

5.- ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra ha de colocarse un satélite para que su órbita sea geoestacionaria sobre el ecuador terrestre?.Datos: g0 = 9,8 m/s2. Radio de la tierra, RT = 6370 km.

La órbita del satélite es estacionaria cuando éste permanece sobre un punto determinado del ecuador; ello supone que el periodo del satélite ha de coincidir con el de rotación terrestre. Por tanto, T = 1 día = 8’64x104 s. F = m.an

Por lo tanto:

R T2 r

2

MT m

F=G

donde

m.an = m.r.ω2 = m.r.

mg 0 = m.r.

r2

=G

M T R T2 R T2 . m = mg 0 siendo r = RT + h R T2 r 2 r2

donde

4π 2

g 0 R T2 2

4π 2 ⇒ r3 = 2 T 4π

T2 T2 ⇒

1

⎛ g R2 ⎞3 9'8x(6'37 x10 6 ) 2 r = ⎜ 0 2T T 2 ⎟ = 3 x(8'64 x10 4 ) 2 = 2 ⎜ 4π ⎟ 4 . π ⎝ ⎠ = 4’221x107 metros h = r - R T = 4’221x107 – 6’37x106 = 3’584x107 metros

h ≈ 35800 km de altura.

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276

6.- Mediante el teorema de Gauss, calcular el campo gravitatorio a una profundidad h de la superficie terrestre.

Tomamos R = r + h (figura). Sea ρ la densidad de la Tierra. constante. Aplicamos el teorema de Gauss a la superficie S, esférica y concéntrica con la superficie terrestre: r r Φ ≡ g.dS = - 4π G mi

∑

∫∫ S

Por un lado, r r Φ≡ g.dS =

∫∫ S

∫∫ g.dS. cos 180º = −∫∫ g.dS = −g∫∫ dS = −g .4π r

2

S

S

Por otro, Φ = - 4π G

S

∑m = - 4 π G m i

int

= - 4 π GρVint = - 4 π G ρ

4 πGρ r 3 r 4 4 Vectorialmente, g = – πGρ r. rˆ y llamando K ≡ πGρ resulta g = - K r que representa una 3 3 fuerza por unidad de masa, de tipo elástico (en la realidad, K depende de la densidad, y ésta de r).

Igualando,

- g. 4 π r2 = - 4 π G ρ

4 3 πr 3

4 3 πr 3

⇒

g=

7.- Un satélite, de 100 ton de masa, gira en torno a la Tierra con una velocidad de 5000 m/s. Calcular la altura a la que orbita y el periodo del movimiento orbital. ¿Qué energía hay que comunicarle para pasarlo a otra órbita a doble altura que la anterior; y cuál es entonces el nuevo periodo? Datos.- g0 = 9’81 m/s2 ; radio de la tierra, R = 6370 km.

v0 = 5000 m/s R = 6370 km = 6’37x106 m m = 100 ton = 105 kg 2ª ley de Newton, aplicada al movimiento orbital circular del satélite, F = m.an v2 M m M R2 R2 F = G T2 = G T2 2 m = 2 mg 0 m.an = m 0 Igualando y despejando r0, resulta r0 R r0 r0 r0 r0 =

R 2 g0 v 02

=

(6'37 x10 6 ) 2 x9'81 3 2

(5x10 )

= 1’592x107 m

h = r0 – R = 1’592x107 – 0’637x107 = 9’552x106 m

h ≈ 9550 km de altura 2.π.r0 2πx1'592 x10 7 T= = = 2'001x10 4 s = 5’56 horas 5000 v0 La energía que hay que comunicar al satélite para pasarlo a la órbita de radio r0 ' = R + 2 h = 6’37x106 + 2x9’552x106 = 2’547x107 m se consigue calcular aplicando el teorema de la energía mecánica: El trabajo que han de realizar las fuerzas no conservativas para conseguir tal cambio de órbita es igual a la variación de la energía mecánica existente entre ambas órbitas. ⎡1 M m⎤ M m⎤ ⎡1 1 M m 1 M m W ‘ = ΔEm = Em(r0’) – Em(r0) = ⎢ mv '02 − G T ⎥ − ⎢ mv 02 − G T ⎥ = − G T + G T = r0 ⎦ 2 r0 ' 2 r0 r0 ' ⎦ ⎣ 2 ⎣2 =

⎛1 1 1 1 ⎞ GM T m⎜⎜ − ⎟⎟ = R 2 mg 0 2 2 ⎝ r0 r0 ' ⎠

⎛1 1 ⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 0’5x(6’37x106)2x105x9’81x2’355x10-8 = 4’69x1011 julios ⎝ r0 r0 ' ⎠

9'81

2πr0 ' T’ = donde v0’ = v0'

g0 GM T =R = 6’37x106 2'547x107 = 3’953x103 m/s r0 ' r0 ' T’ =

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2πr0 ' 2πx 2,547 x10 7 = = 4'048x10 4 s = 11’25 horas 3953 v0'

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277

ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.- Calcular el periodo de revolución de Marte sabiendo que la distancia media de Marte al Sol es de 228 millones de km, la distancia media de la Tierra al Sol es de 149’6 millones de km y el R.: 687’2 días. periodo de revolución de la Tierra es de 365’26 días. 2.- Calcular la masa de la Tierra a partir del peso de los cuerpos en su superficie. Datos: constante R.: 5’98x1024 kg G, radio de la Tierra R, aceleración de la gravedad g. 3.- Demostrar que la Tierra lleva mayor velocidad en el perihelio (punto de la órbita más cercano al sol) que en el afelio (punto más alejado). R.: Ayuda.- Conservación del momento angular 4.- La masa de Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio ¼ del de la Tierra. Calcula el peso en la Luna de una persona cuyo peso en la superficie de la Tierra es de 70 kg. R.: 13’83 kg 5.- Calcula en función del radio de la Tierra a qué distancia de la superficie de ésta el peso del R.: h = ( g 0 - 1)RT = 2’13 RT ≅ 13570 km kilogramo-patrón es de 1 newton. 6.- Hallar la fuerza gravitatoria resultante ejercida por tres masas de 3, 4 y 5 kg, situadas respectivamente en P1(-2,0), P2(0,3) y P3(-1,-4), sobre una masa de 2 kg situada en P(3,5). r R.: F = - G (0,639 iˆ + 0,520 jˆ ) N F = 0’824 G N = 5’496x10-11 N 7.- Hallar la intensidad del campo resultante creado por tres masas de 3, 4 y 5 kg, situadas respectivamente en P1(-2,0), P2(0,3) y P3(-1,-4), en P(3,5). Asimismo, calcular en dicho punto el potencial y la energía potencial de una masa de 2 kg situada en él. r r r R.: g = - G (0’319 i + 0’260 j ) N.kg-1 g = 0’412 G N.kg-1 = 2’748x10-11 N.kg-1 V(3,5) = - 2’041 G J.kg-1 = - 1’362x10-10 J.kg-1 Ep(3,5) = - 2’723x10-10 J 8.- Dos partículas de 4 y 5 kg, respectivamente, se encuentran en el vacío separadas por una distancia de 20 cm. Calcular: a) La energía potencial del sistema. b) El trabajo de la fuerza gravitatoria para aumentar la separación entre las partículas a 40 cm. El trabajo de la fuerza gravitatoria para llevar una partícula hasta el infinito. c) d) El trabajo de la fuerza gravitatoria para establecer la distribución inicial. R.: - 6’67x10-9 J - 3’335x10-9 J - 6’67x10-9 J 6’67x10-9 J 9.- Hallar la velocidad de escape de la Tierra en función de g0 = 9,8 m.s-2 y de su radio R = 6370 km. Hallar asimismo la velocidad de escape de un satélite que orbita a 200 km sobre la superficie terrestre. R.: a) 11,2 km.s-1= 40250 km/h b) 7,78 km.s-1= 28000 km/h 10.- Calcula el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en el punto donde se cortan las alturas de un triángulo equilátero de 10 cm de lado cuando en los tres vértices hay sendas masas R.: g = 0 N.kg-1 V = - 6’93x10-10 J.kg-1 de 0’2 kg. 11.- ¿En qué punto de la línea que une la Tierra y la Luna el campo gravitatorio es cero? R.: A 345600 km de la Tierra Datos: ML = MT/81; dist. Tierra –Luna DTL = 384000 km 12.- La masa de la Luna es de 7’34x1022 kg y su radio es 1740 km. ¿Qué distancia recorrerá un cuerpo en 5 s de caída libre si se abandona en un punto próximo a su superficie? R.: 20’2 m

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13.- Calcula la energía de enlace de un satélite, cuya masa es de 10 ton, que describe una órbita alrededor de la tierra a una distancia r = 3RT de su centro, siendo RT = 6370 km el radio medio de la tierra. R.: 1’044x1011 julios 14.- Consideremos la Tierra como un cuerpo esférico aislado, de 6380 km de radio. Se desea lanzar un satélite de 65 kg que describa una órbita ecuatorial cuyo radio sea r0 = 3RT, desde un punto del ecuador en el que g0 = 9’8 m.s-2 y hacia el Este. Calcular la energía necesaria para poner en órbita el satélite. Si una vez puesto en órbita, el satélite pierde energía por rozaR.: (5/6)mg0RT = 3’39x109 J miento, ¿qué ocurrirá? 15.- La Luna en su movimiento uniforme alrededor de la tierra describe una trayectoria circular de 3’84x108 m de radio y 2’36x106 s de periodo. Calcular la velocidad y la aceleración, dibujando en un esquema ambos vectores. R.: vorb = 1022 m/s aorb = 2’72x10-3 m/s2 16.- Conocido el radio de la tierra, R = 6400 km, calcular la altura sobre la superficie terrestre a la R.: 2640 km cual el valor de g se reduce a la mitad. 17.- Dadas dos esferas de 2 y 4 kg, respectivamente, en los puntos A(0,0) y B(6,0) de un sistema de coordenadas cartesianas representado en metros, calcular: a) el campo gravitatorio en los puntos M(3,4) y N(3,0). b) el trabajo necesario para transportar otra esfera de 3 kg desde M hasta N. r r r r r R.: g (M) = (3’2 i - 12’8 j )x10-12 N/kg g (N) = 1’48x10-11 i N/kg WMN = 1’6x10-10 J 18.- En tiempos de Kepler se conocían las distancias a los planetas de forma relativa. La distancia Tierra-Sol se consideraba igual a una unidad astronómica (UA), desconocida. PLANETA

Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno

Distancia, en UA 0’389 0’724 1’000 1’524 5’200 9’510

Periodo, en días 87’77 224’70 365’25 686’98 4332’62 10759’20

a) ¿Justifican estos valores la tercera ley de Kepler? b) La primera distancia conocida fue la de la Tierra-Marte, que resultó ser de 78 millones de km. Calcula la distancia Tierra-Sol. R.: a) Sí; en todos los casos, T2/r3 ≅ 1’33x105 días2/UA3 b) dTS = 1’49x1011 m 19.- En los tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado hay tres masas iguales, de 2 kg. a) Calcula el campo en el otro vértice. b) Calcula el potencial en este cuarto vértice y en el centro del cuadrado, c) así como el trabajo que ha de realizar el campo para llevar una masa de 0’5 kg desde el centro al cuarto vértice. r R.: a) g = -1'81x10 -10 (iˆ + jˆ) N/kg o bien g = 2’55x10-10 N/kg α = 45º hacia el origen. c) WC4 = -1’02x10-10J b) V4 = - 3’61x10-10J/kg VC = -5’66x10-10J/kg 20.- Se tiene una masa de 10 kg en el origen de coordenadas y otra el r de 20 kg en (2,0). Calcula r -10 -9 campo y el potencial gravitatorio en (1,0). R.: g = 6'67x10 i N/kg V = 2’00x10 J/kg

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21.- Si la distancia Tierra-Luna es de 384000 km y la Luna tarda 29’5 días en dar una vuelta en torno a la Tierra, ¿a qué distancia deberá estar un satélite artificial para que su periodo de R.: 40220 km revolución sea de un día? 22.- Se tiene en el origen de coordenadas una masa de 5 kg. Calcula: a) El campo a 3 m de ella.b) La fuerza con que actúa sobre 2 kg situados en ese punto.- c) La energía potencial asociada al sistema.- d) La energía asociada al sistema cuando la masa de 2 kg está a 7 m.e) El trabajo para trasladar la masa del primer punto al segundo; ¿es espontáneo el proceso? r R.- a) g 3 = −3'71x10 −11 .iˆ N/kg b) F3 = −7'41x10 −11 .iˆ N c) Ep(3) = - 2’22x10-10J d) Ep(7) = - 9’53x10-11 J e) W37 = - 1’48x10-10 J < 0 ⇒ no es espontáneo. 23.- El diámetro de Sol es 110 veces el de la Tierra y la aceleración de la gravedad en la superficie solar es 27 veces la de la superficie terrestre. ¿Cuántas veces es mayor la masa del Sol que la de la Tierra? R.: MS = 326700 MT 24.- El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el de la Tierra. ¿Cuántas veces mayor es la distancia Júpiter-Sol que la distancia Tierra-Sol? R.: dJS = 5’24 dTS 25.- La distancia de Marte al Sol es de 1’5237 veces más grande que la distancia del Sol a la Tierra. Calcula la duración del año en Marte, dándolo finalmente en días. R.: TMS = 1’52373/2.TTS = 687 días 26.- ¿Cuántos kg pesaría un hombre, cuyo peso en la Tierra es de 735 N, en un planeta de masa 10 veces menor y de radio también 10 veces menor que los de la Tierra? R.: 7350 N 27.- Se lanza desde la Tierra un cuerpo con una velocidad de 8000 m/s. Si el radio de la Tierra es de 6400 km, calcula la altura que alcanzará. R.: 6650 km 28.- Un satélite artificial gira en torno a la Tierra a una altura de 400 km sobre su superficie Calcular: velocidad, aceleración y periodo. R.: v = 7668 m/s a = 8’68 m/s2 T = 5547 s = 1 h 32 min 27 s 29.- Se pretende situar un satélite artificial de 50 kg de masa en una órbita circular a 500 km de altura sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad a la que debe ser impulsado el satélite para girar en esa órbita. 8200 m/s b) La energía que fue preciso comunicarle desde la superficie terrestre para ponerlo en órbi1’68x109 J ta. c) El valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en esa órbita. 8’45 m/s2 30.- Un satélite artificial de 500 kg de masa gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de 8000 km de radio. Calcula: 2’82x1013 kg m2/s a) El momento angular del satélite. ¿Es constante? ¿Por qué? b) La energía necesaria para colocar el satélite en órbita desde la Tierra. 1’88x1010 J 31.- Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6400 km; el valor de g0 en su superficie es de 9’8 m.s-2 ; que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra y su radio ¼ del terrestre; calcular la velocidad de escape de un proyectil a) en la Tierra.- b) en la Luna.- c) A la vista de los resultados obtenidos, ¿sabrías dar una posible explicación de la falta de atmósfera en la Luna? R.: ve(tierra) = 40300 km/h ve(luna) = 9000 km/h

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32.- El satélite mayor de Saturno, Titán, describe una órbita de radio medio de 1’22x106 km en un periodo de 15’94 días. Determinar: a) Su aceleración centrípeta.- b) La masa y densidad de Saturno, supuesto homogéneo.- c) ¿Cuál es la causa de que Titán describa una órbita alrededor de Saturno? Dato: el radio de Saturno vale 5’82x107 m R.: ac = 2’54x10-2 m/s2 MSaturno = 5’67x1026 kg ρ = 686’2 kg/m3 33.- ¿Qué trabajo se ha de realizar para cambiar la órbita terrestre de un satélite de 500 kg, que se mueve a una distancia de la superficie de la Tierra igual a su radio, hasta otra a una distancia de cuatro veces el radio terrestre? Una vez en esta órbita, que energía adicional habrá que suministrar a dicho satélite para que escape a la gravedad terrestre? ¿Qué velocidad de escape supone? Datos: Tomar como radio terrestre, 6370 km: g0 = 9’81 m/s2 R.: 4’687x109 J 3’124x109 J 3535 m/s 34.- En la superficie de un planeta, de 1000 km de radio, la aceleración de la gravedad es 2 m.s-2. Calcular: a) la masa del planeta.- b) la energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa, situado sobre la superficie del planeta.- c) su velocidad de escape, desde la superficie del planeta.- d) La velocidad orbital de dicho satélite, en una trayectoria a una distancia de la superficie del planeta igual a dos veces el radio de éste.- e) la velocidad de escape del satélite desde esta órbita. Dato: G = 6’67x10-11 N.m2.kg-2 R.: a) M = 3’00x1022 kg b) Epg = -108 J c) vesc = 2000 m/s d) vorb = 816 m/s e) v' esc = 816 m/s 35.- ¿Qué periodo de rotación (en horas) tiene Saturno si un satélite “geoestacionario” del mismo se halla a 52300 km de su ecuador? Datos : Masa de Saturno, MS = 5’69x1026 kg Radio de Saturno, RS = 6’00x107 m. Constante de gravitación universal, G = 6’67x10-11 N.m2.kg-2 R.: T = 38382 s = 10’66 horas

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T E M A 12.INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA: Campo Eléctrico

SUMARIO: 12.1.- Interacción eléctrica: Ley de Coulomb 12.2.- Campo eléctrico: Intensidad del campo y potencial 12.3.- Campo eléctrico: Ley de Gauss 12.4.- Conductor en equilibrio electrostático 12.5.- Teorema de Gauss: Otras aplicaciones 12.6.- Campo eléctrico uniforme 12.7.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y eléctrico Actividades desarrolladas Actividades propuestas FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA: LEY DE COULOMB La experiencia, desde antiguo, muestra la existencia en la naturaleza de fuerzas de otro tipo que las gravitatorias. Cuerpos materiales, como el vidrio o el ámbar, frotados con un paño seco, son capaces de atraer pequeños trozos de papel, repelerse mutuamente, ... etc. Como resultado de este frotamiento, estos materiales adquieren una nueva propiedad, que llamamos electricidad. Los cuerpos electrizados son capaces de interaccionar entre sí con fuerzas mucho más intensas que las gravitatorias. Las observaciones y experimentos realizados con cuerpos electrizados, y las mediciones efectuadas de las fuerzas de interacción, condujeron a Coulomb, en 1785, a formular una serie de conclusiones: 1) Existe en la materia una propiedad: su capacidad de electrización. Caracterizamos el estado de electrización de un cuerpo definiendo su carga eléctrica, que representaremos por q. Así como la masa m caracteriza la inercia y la gravitación de un cuerpo, así ahora la carga q caracteriza su grado de electrización. 2) Los cuerpos presentan dos posibles estados de electrización; los llamaremos electrización positiva (como la del vidrio frotado), y electrización negativa (como la del ámbar). Les asignaremos carga q, positiva o negativa, según su estado. La carga neta de un cuerpo es la suma algebraica de sus cargas positivas y negativas: Un cuerpo que tiene igual carga positiva que negativa se dice que es eléctricamente neutro. 3) Cuerpos con la misma clase de electrización (positiva o negativa) se repelen; pero si tienen diferente clase de electrización (uno positiva y otro negativa), se atraen. 4) En todos los procesos observados, la carga neta de un sistema aislado permanece constante.

5) La fuerza de interacción entre dos cuerpos cargados eléctricamente, considerados puntuales (es decir, de dimensiones mucho más pequeñas que las distancias entre ellos), es proporcional a sus cargas ( F : : q y F : : q’) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa( F : : 1/r2). +q1

+q2 r

-q2

-q2 r

+q1

-q2 r

De acuerdo con estas conclusiones, podemos expresar la interacción entre dos cuerpos cargados eléctricamente así:

donde:

r qq' F = k 2 rˆ r

(1)

* q y q’ representan las cargas eléctricas de ambos r cuerpos. * F es la fuerza de interacción ejercida por q sobre q’ * r es la distancia entre los cuerpos cargados, r = OP FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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283

* k es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende: + del medio en el que se realiza la interacción. + del sistema de unidades elegido para medir cargas eléctricas. * rˆ es el vector unitario o versor radial, que tiene su origen en la carga q. En el S.I. se toma como unidad de carga eléctrica el culombio (C), que se define así: Un culombio es la carga eléctrica que, situada en el vacío a un metro de distancia de otra igual, experimenta una repulsión de 9x109 N.

Consecuentemente, el valor de k para el vacío, que llamaremos k0, debe ser, en este sistema de unidades, (2) k0 = 9x109 N.m2.C-2 En los demás medios distintos del vacío, k < k0 . Por razones puramente prácticas (forma más sencilla y abreviada de las expresiones posteriores) se prefiere sustituir la constante k por otra ε denominada permitividad dieléctrica (o constante dieléctrica) del medio. La relación entre ambas constantes es: k=

1 4πε

Para el vacío (y para el aire, aproximadamente), k0 = ⇒

(3)

1 = 9x109 N.m2.C-2 4 π ε0

ε0 = 8’85x10-12 C2.N-1.m-2

(4)

Para otros medios, ε es mayor que ε0. Se define entonces la constante dieléctrica relativa del medio por εr = ε / ε0. Por ejemplo, para el agua destilada a 20ºC vale εr = 80, y por consiguiente: ε = εr ε0 = 80x8’85x10-12 = 7’08x10-10 C2.N-1.m-2 De acuerdo con ello, y suponiendo en adelante (mientras no se indique explícitamente lo contrario) que el medio dieléctrico en el que estudiaremos los fenómenos eléctricos es el vacío, la expresión (1) se escribe así:

r F=

1 q q' rˆ 4 π ε r2

r

Observamos de inmediato que si q y q' son de igual signo, la fuerza F aplicada en q' está diˆ rigida r según el sentido de r (fuerza repulsiva); mientras que si q y q' son de signo opuesto, la fuerza F aplicada en q' está dirigida hacia q (fuerza atractiva).

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2.- CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DEL CAMPO Y POTENCIAL Las fuerzas de interacción entre dos cargas eléctricas, q y q’, son fuerzas ejercidas a distancia. Vimos anteriormente (Cf. Unidad I, tema 3, nº 12) cómo cabe una nueva interpretación de la interacción, en términos de una elemental teoría de campos: la carga q crea un campo en el espacio (o en una región de él); este campo actúa sobre la carga q’ situada en su seno: la acción del campo sobre la carga q’ es la fuerza de interacción.

r

♣ Intensidad del campo eléctrico, E (r), creado por una carga puntual q.

La intensidad del campo eléctrico creado por q en un punto P situado a una distancia r viene dada por el valor de la fuerza de Coulomb expresada en (1) al actuar sobre la unidad positiva de carga ,(q’ = 1) colocada en dicho punto; es decir:

r E =

r F q'

(5)

Por tanto:

r q E (r) = k 2 rˆ r

(6)

r

Como se observa, en un punto dado, E sólo depende de la carga q creadora del campo; y es función de la distancia r desde ella hasta el punto.

r

r

El campo E (r), al igual que F, se nos presenta con dos características importantes: c) Es un campo central. En efecto, al ser generado por una carga q, (que supondremos puntual y situada en un puntor del espacio O, que llamamos “centro”), el campo E (r) está en todo punto P dirigido según la recta OP que une el punto con el centro. Toda carga q’, en el senor de dicho r campo se ve, pues, sometida a una fuerza F = q’ E dirigida también según la recta OP: es una fuerza central. d) Es un campo conservativo. (Cf. Unidad I, tema 3, nº7). En efecto, el trabajo realizado por el campo, al llevar la unidad positiva de carga a recorrer un ciclo cerrado cualquiera, es nulo.

∫ c

r rA rˆ.d r dr = k q ∫c r 2 ∫r (− r 2 ) = - k q A

rA

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ r ⎠r A r teniendo en cuenta (ver la figura) que rˆ. d r = dr

r r E.d r = k q

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285

♣ Potencial eléctrico, V(r), creado por la carga q.

r

Que el campo E sea conservativo implica que proviene de un potencial V originado también en el espacio por la carga q. Llamaremos a este potencial potencial r eléctrico. Tal y como se vio en la Unidad I, tema 3, nº 13, la expresión que relaciona el campo E y el potencial V es la formulada en dicho tema por la ecuación (7), que adquiere en nuestro caso, según (6), la forma:

r

r

dV = – E d r = – (k

r q dr rˆ ) . d r = – k q 2 2 r r

Para obtener la función V(r), potencial eléctrico en un punto cualquiera, aplicamos la expresión integral (7) de la Unidad I, tema 3, nº 13: r r q dr + C V(r) = dV + C = – E .d r + C = – k q 2 + C = k r r La constante de integración C es arbitraria. Su valor depende del convenio que se adopte: en qué punto del espacio consideramos nulo el valor de V. Se acostumbra aceptar que V = 0 cuando r → ∝ , o sea, V(∝) = 0. Por tanto, sustituyendo en la expresión inmediata anterior, resulta:

∫

∫

∫

V(∝) = k

q + C =0⇒ ∞

C=0

Así que, en base a este convenio, podemos escribir el potencial eléctrico en todo punto, así: V(r) = k

q r

(7) -5

E (x10 V/m)

Nótese que, en el caso del campo eléctrico, V(r) es positivo o negativo según sea positiva o negativa la carga q que lo crea. Véase en la figura la función V(r) para una carga positiva. La diferencia de potencial, VA – VB, entre dos puntos A y B en el seno del campo eléctrico viene dada por:

q q 1 1 -k =kq( ) rA rB rA rB 1 1 VA – VB = k q ( ) (8) rA rB

VA – VB = V(rA) – V(rB) = k

r (cm)

♣ Energía potencial eléctrica .- Trabajo

La energía potencial eléctrica de una carga q’ situada en el campo creado por q es: Ep(r) = q’ V(r)

(9)

Por tanto:

Ep(r) = k

qq' r

(10)

Esta energía potencial de q’ es positiva o negativa según sean ambas cargas, de igual signo o de signo contrario, respectivamente. El trabajo realizado por el campo para llevar la carga q’ desde un punto A a otro B puede escribirse en función de la diferencia de potencial entre ambos puntos, VA – VB, pues WAB = - ΔEp = Ep(A) – Ep(B) = q’ VA – q’ VB = q’ ( VA –VB ) WAB = q’ ( VA –VB ) FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

(11)

U IV T 12: Campo Eléctrico

286

♣ Significado físico del potencial eléctrico .

¿Cuál es el significado físico de la diferencia de potencial entre dos puntos, VA – VB? De acuerdo con (11): VA – VB = WAB / q’ ⇒

VA – VB representa el trabajo realizado por el campo eléctrico para llevar la unidad positiva de carga desde A hasta B.

¿Y cuál es el significado físico del potencial eléctrico en un punto, V(r)? Si consideramos que A es un punto cualquiera P, y B es el punto del infinito, r → ∝, entonces, ya que V(∞) = 0: V(r) – V(∝) = WP∝ / q’ ⇒

⇒

V(r) = WP∝ / q’

V(r) representa el trabajo que el campo eléctrico realizaría para llevar la unidad positiva de carga desde la posición P hasta el infinito.

♣ Superposición de campos y de potenciales eléctricos.

Hasta ahora hemos considerado tanto la intensidad como el potencial del campo eléctrico creado por una sola carga q. Para estudiar ambos, intensidad y potencial eléctricos, debidos al campo creado por r una distribución de cargas basta aplicar el principio de superposición, tanto para el campo E(r) como para el potencial V(r). En efecto, ambos son aditivos, el primero vectorialmente, el segundo escalarmente, del mismo modo que lo son las fuerzas de interacción eléctrica y las energías potenciales asociadas a ellas. Así pues, dada una distribución de cargas q1, q2, q3, ..., qi, ..., qn, se verificará:

r E (r) =

r E ∑ i (ri )

Vp(r) =

∑ V (r ) i

i

♣ Líneas de campo y superficies equipotenciales.

El campo eléctrico se representa por sus líneas de campo y por sus superficies equipotenciales. r * La intensidad rdel campo E(r) se representa por las líneas de campo, tangentes en todo punto al vector E en él. * El potencial eléctrico V(r) se representa por las superficies equipotenciales. Todos los puntos de una determinada superficie equipotencial poseen el mismo potencial. Evidentemente, por cada punto de un campo eléctrico pasa una única línea de campo y una sola superficie de potencial, pues el campo y el potencial en cada punto tienen un único valor. Pues bien, las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales se sitúan de forma que, en cada punto P(x, y, z) del espacio, el vector intensidad de campo y la superficie equipotencial correspondiente: i) son perpendiculares entre sí. r ii) el campo E está dirigido hacia potenciales decrecientes. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

U IV T 12: Campo Eléctrico

287

En efecto, consideremos la figura de la figura de la página anterior. Sea P(x, y, z) un punto cuyo potencial es V0. Se han dibujado la superficie equipotencial correspondiente, Σ0, y también Σ1, de potencial V0 + dV, y Σ2, de potencial V0 – dV. Los potenciales son, pues, crecientes en el sentido Σ2, Σ0, Σ1. A partir del punto P, desplacémonos sobre la superficie equipotencial Σ0 hasta el r r punto Q. La diferencia de potencial entre P y Q es dV = -E . d r Pero puesto que ambos puntos pertenecen a la misma equipotencial, de valor V0, r superficie r r r entonces ⇒ dV = 0 ⇒ E . d r = 0 ⇒ E ⊥ d r ⇒

r la intensidad de campo E es perpendicular a la superficie equipotencial V0.

A continuación, desde P, desplacémonos perpendicularmente a su superficie equicreciente). potencial V0, hasta r el rpunto R perteneciente a la superficie V0 + dV (potencial r Entonces, dV = – E . d r = – E. ds . cos θ > 0 ⇒ cos θ = –1 ⇒ θ = π ⇒ E es de sentido r contrario a d r ⇒

r el campo E está dirigida hacia potenciales decrecientes.

En el caso del campo creado por una sola carga q, según sea ésta, la figuras anteriores señalan la forma de las líneas de campo (radiales) y de las superficies equipotenciales (esféricas y concéntricas).

Véanse también las líneas de campo y superficies equipotenciales del campo eléctrico debido a dos cargas iguales:

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Ídem en el caso de dos cargas iguales y opuestas:

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288

U IV T 12: Campo Eléctrico

289

3.- CAMPO ELÉCTRICO: LEY DE GAUSS ♦ En la Unidad I, tema 3, nº 15, estudiamos el teorema de Gauss, en general, para un cam-

r K po C = 2 rˆ . El campo eléctrico es un caso particular, en el que K = k q. Por lo tanto, su flujo a r

través de una superficie cerrada que contiene en su interior la carga q es: Φ = 4 π k q. Y recordando (4), para el vacío, k0 = 1 / 4πε0, resulta: Φ = 4 π k0 q = q / ε0

Si el campo eléctrico está creado por una distribución de cargas puntuales q1, q2, q3, ..., qn, unas interiores y otras exteriores a una superficie cerrada S, entonces el flujo a través de ella es: Φ=

1 ε0

∑q

i

donde

∑q

i

es la carga total interior a la superficie S.

r

Teorema de Gauss : El flujo del campo eléctrico E a través de una superfi-

Φ =

cie cerrada es donde el sumatorio

∑q

i

1 ε0

∑q

(12)

i

afecta exclusivamente a las cargas interiores a

dicha superficie.

Este teorema puede explicarse, para una sola carga q, de un modo sencillo, así: • Sea la carga q interior a la superficie cerrada S. Consideremos la superficie esférica S0, interior a S, de radio r0 y centro en q. Todo el flujo creado por q atraviesa ambas superficies S y S0, siendo por tanto el mismo (ver figura). r r Φ = ΦS = Φ S 0 = E 0 d S 0

∫∫ S0

r

En todos los puntos de la superficie esférica S0, el campo E 0 tiene el mismo módulo, E0 = k está dirigido radialmente.

r

r

Por tanto, E0dS0 = E0 dS0 = k

q dS0. r02

Sustituyendo este valor en la integral: Φ = ΦS = Φ S 0 = k

q r02

∫∫ dS S0

0

=

1 q q . 2 .4π r 02 = ε0 4πε0 r0

pues la integral anterior es igual al área de la superficie esférica S0 , o sea 4 π r 02 . → Así pues, si q es interior a S, Φ =

q . ε0

• Sea la carga q exterior a la superficie cerrada S (ver figura). Una cierta porción de flujo que procede de q alcanza S. El flujo entrante a través de la superficie S1 (flujo negativo) es el mismo que el saliente (flujo positivo) a través de la superficie S2, y de signo contrario; por tanto, el flujo neto a través de S = S1 + S2 es nulo. → Así pues, si q es exterior a S, Φ = 0 . FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

q ;y r02

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290

4. – CONDUCTOR EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO •• Un conductor se caracteriza por disponer de cargas eléctricas que pueden moverse libremente por él. En la práctica, estas cargas móviles suelen ser electrones o iones, que confieren al material su carácter conductor.

Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando las cargas móviles, en promedio, están en reposo. Si no ocurre así, habrá desplazamiento neto de carga de unos puntos a otros del conductor, dando lugar a una corriente eléctrica. En un conductor en equilibrio electrostático, un exceso de electrones significa una carga neta negativa: el conductor está cargado negativamente. Un defecto de electrones supone una carga neta positiva: el conductor está cargado positivamente. •• En un conductor en equilibrio electrostático:

r ♦ el campo eléctrico E + en su interior es nulo. + en su superficie es perpendicular a ella, y vale E = σ / ε0 donde σ = dq/dS es la densidad superficial de carga. ♦ el potencial eléctrico V es constante en todos sus puntos (el conductor es un volumen equipotencial). ♦ la carga eléctrica + en su interior es nula. + está localizada en su superficie. Probaremos las anteriores afirmaciones:

r

# En el interior del conductor en equilibrio, E = 0,

r

pues si no fuera así, dicho campo E actuaría sobre las cargas libres, desplazándolas, contra la hipótesis de equilibrio. # En los puntos de la superficie del conductor en r equilibrio, E debe ser perpendicular a ella, pues si no fuera así existiría una componente del campo tangente a la superficie que desplazaría las cargas superficiales, contra la hipótesis de equilibrio. # En cuanto al potencial eléctrico V, rse deberá r cumplir para todo punto del conductor: dV = −E.d r . r r Para puntos interiores al conductor, dV = −E.d r = 0

r

porque en todos ellos E = 0. r r Para puntos de la superficie, dV = −E.d r = 0 por-

r

r

que para ellos E y d r son vectores perpendiculares. superficie, En ambos casos, pues, dV = 0, por lo que el potencial V es constante, y adquiere el mismo valor en todos los puntos del conductor. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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291

# Para demostrar que la carga neta se localiza en la superficie del conductor, construyamos una superficie gaussiana SGauss, interior a S, tan próxima a ella como se quiera.

r

En todo punto de SGauss es E = 0; luego el flujo a través de SGauss es nulo: Φ =

r r E ∫∫ .dS = 0

S Gauss

Pero por la ley de Gauss: Φ =

r r

∫∫ E.dS =

S Gauss

Por tanto:

1 ε0

∑q

i

∑ q = 0, representando el sumatorio la carga interior a S

Gauss.

i

Si la carga neta del conductor no se halla en el interior, debe distribuirse sobre su superficie. dq ). Ésta Sea σ la densidad superficial de carga eléctrica (carga por unidad de superficie, σ ≡ dS r debe ser tal que haga nulo el campo E en el interior y perpendicular a la superficie en cada punto de la misma. Por ello, la función σ depende de la forma geométrica del conductor. # Valor del campo eléctrico en los puntos de la superficie del conductor. Consideremos un elemento de superficie dS en el conductor en equilibrio (en la figura, la parte raya da). Si es σ la densidad superficial de carga, la carga de este elemento es dq = σ dS. Construyamos una superficie gaussiana del modo siguiente: una superficie cilíndrica, imaginaria e infinitesimal, con el contorno del elemento de superficie dS y generatrices perpendiculares a la superficie del conductor; la base exterior está inmediatamente próxima a la del conductor, y la interior está formada por puntos interiores. El flujo total elemental a través de esta superficie gaussiana elemental vale: • por un lado: dΦ = dΦ(superficie lateral) + dΦ(sup. base interior) + dΦ(sup. base exterior) = = 0 + 0 + E dS ⇒ dΦ = E dS • por otro lado, aplicando la ley de Gauss: dΦ = Igualando, resulta:

E dS =

dq σ dS = ε0 ε0

σ dS ε0

Y por lo tanto:

E=

σ ε0

(13)

•• Capacidad de un conductor: A continuación, podemos preguntarnos: “¿Cuál es el potencial V de un conductor en equilibrio electrostático?”. La respuesta es: “Depende de la carga neta del mismo y de su forma geométrica”. En efecto, se puede probar que si se carga un conductor con cargas sucesivas q1, q2, q3, ..., qi, ..., qn, los potenciales adquiridos por el mismo son, respectivamente, V1, V2, V3, ..., Vi, ..., Vn, tales que:

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292

q q1 q 2 q q = = 3 = ... = i = ... = n = cons tan te V1 V2 V3 Vi Vn Llamando C a la constante de proporcionalidad, resulta: C≡

q V

(14)

Esta constante se denomina capacidad del conductor, y depende fundamentalmente de su forma geométrica. Se mide en faradios (F); un faradio es la capacidad de un conductor que adquiere un potencial de un voltio al cargarlo con un culombio. El faradio es una unidad de capacidad muy grande, poco útil por tanto; se prefiere usar los submúltiplos de dicha unidad: el microfaradio (μF), el nanofaradio (nF) y el picofaradio (pF). •• Energía de un conductor cargado. Un conductor en equilibrio que posee una cierta carga q0 y se encuentra a un potencial V0, posee por ese mismo hecho una energía eléctrica: es el trabajo que ha habido que realizar en contra del campo eléctrico para situar dicha carga en el conductor. Para hallar el valor de dicha energía, supongamos que, en un determinado instante del proceso de carga, el conductor ya posee una carga q y un potencial V; se verifica, por tanto, V = q/C. A continuación, y en contra de las fuerzas del campo, vamos a transportar una carga elemental dq desde el infinito (V∝ = 0, sin energía) hasta el conductor. El trabajo elemental dW’, en contra del campo, es: dW’ = - dWe = - dq (V∝ - V) = V dq donde por dWe expresamos el trabajo elemental de las fuerzas del campo. Y ya que dWe = - dEp , resulta finalmente: dW’ = dEp = V dq El trabajo total realizado en el proceso de carga, y por tanto la energía eléctrica acumulada por el conductor cargado, será: W’ = Ep =

∫

q0

0

V.dq =

∫

q0

0

q 1 q02 dq = C 2 C

donde V = q/C, siendo C la capacidad del conductor. Así pues, 2

Ep =

1 q 1 1 = qV= C V2 2 C 2 2

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(15)

V∞ = 0 ∞ dq V q

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293

5. – TEOREMA DE GAUSS: OTRAS APLICACIONES A) Esfera conductora, en equilibrio electrostático.Sea una esfera conductora, de radio R y carga eléctrica q, en equilibrio electrostático. Vamos a calcular el campo y el potencial creado por ella en todos los puntos del espacio. a) Para r > R.Campo eléctrico creado por la esfera.

Aplicamos el teorema de Gauss a una superficie gaussiana concéntrica de radio r (coordenada radial del punto P, exterior) Por un lado, r r Φ = E.dS =

∫∫

SG

∫∫ E.dS = E∫∫ dS = E.4πr

2

SG

SG

Teniendo en cuenta que + por razón de la simetría, E (módulo) tiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie gaussiana SG. r + el vector campo eléctrico E , radial, es paraler lo en todo punto de SG al vector dS . Por otro lado, q 1 qint = Φ= ε0 ε0

∑

q ε0

Igualando: E 4πr2 =

→

E=

1 q q =k 2 2 4πε 0 r r

r q E(r ) = k 2 rˆ r Potencial eléctrico creado por la esfera. r r r rˆ.d r q V(r) = − E.d r + C = − kq 2 + C = k + C r r →

∫

∫

El convenio V(∞) = 0 ⇒ C = 0

Por lo que:

V(r) = k

q r

Se puede afirmar, pues, que “para puntos exteriores a la esfera, el campo y el potencial son los mismo que corresponden a una carga puntual colocada el su centro” b) Para r = R.-

Por continuidad,

r q E(R) = k 2 rˆ R

y

V(R) = k

q R

c) Para r < R.-

r Al ser la esfera un conductor en equilibrio electrostático, E(r ) = 0

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y

V(r) = k

q R

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294

B) Hilo conductor, en equilibrio electrostático.Sea un hilo conducto, recto e indefinido, con una densidad lineal de carga eléctrica uniforme λ ( λ culombios por metro de longitud), en equilibrio electrostático. Por simetría de la distribución de cargas, el campo eléctrico en cualquier punto tiene la dirección radial, dependiendo únicamente de la distancia r del hilo al punto considerado. Para calcular el campo eléctrico debido al hilo, conviene tomar como superficie gaussiana un cilindro coaxial con el conductor, de longitud L y radio r. Aplicando el teorema de Gauss, por un lado: r r E.dS = Φ = E.dS = ΦBases+ ΦLateral = 0 +

∫∫

∫∫

SG

=E

Lateral

∫∫ dS = E.2πr.L

Lateral

Por otro lado, Φ =

1 ε0

∑q

int

=

q λ.L = ε0 ε0

Igualando : λ.L λ 1 λ →E= = 2k ε0 2πε 0 r r r λ Y vectorialmente: E(r ) = 2 k uˆ r r donde uˆ r es el vector unitario radial (coordenadas cilíndricas)

E.2πr.L =

El potencial eléctrico se calcula en la forma acostumbrada: r r r uˆ .d r dr + C = − 2 kλ + C = − 2 k λ. ln r + C V(r) = − E.d r + C = − 2kλ r r r Se acostumbra a tomar como convenio V(1) = 0, con lo que C = 0

∫

Entonces:

∫

∫

V(r) = - 2 k λ ln r

C) Placa plana conductora, en equilibrio electrostático.Sea una placa plana conductora, con densidad de carga eléctrica uniforme σ (σ es la carga de la unidad de superficie en dicha placa). Vamos a suponer la placa de muy grandes dimensiones (teóricamente indefinida). Entonces, por simetría, el campo eléctrico generado en cualquier punto debe tener dirección perpendicular a la placa, y su sentido alejándose de ella si σ >0, o hacia ella si σ < 0. Para calcular el campo eléctrico debido a esta placa, conviene tomar como superficie gaussiana un cilindro con el eje perpendicular a la placa, de altura 2r (ver figura) y siendo S el área de cada base. Aplicamos el teorema de Gauss a este cilindro gaussiano.

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295

r r Por un lado, y teniendo en cuenta las direcciones de los vectores E y dS en cada superficie de las que componen el cilindro:

Φ=

∫∫

r r E.dS = ΦBases+ ΦLateral =

SG

= 2 ΦBase + ΦLateral = 2

∫∫

r r E.dS + 0 = 2 E S

Base

Por otro lado, Φ =

1 ε0

∑q

int

=

σS q = ε0 ε0

σ 2 ε0 Se observa que este campo es constante, no dependiendo de la distancia de cada punto a la placa.

Igualando,

E=

D) Dos placas planas conductoras, paralelas: campo eléctrico Como conclusión, consideremos dos placas planas, paralelas, teóricamente indefinidas, cargadas eléctricamente con igual carga pero de signo contrario: densidades superficiales de carga +σ y -σ. A este sistema se le suele denominar “condensador plano”.

Para puntos A del exterior al recinto limitado por las placas, el campo eléctrico es nulo. En efecto, el campo creado por cada placa, σ/2ε0 , es independiente de la posición del punto → el campo creado por la placa positiva se encuentra neutralizado por el que crea la placa negativa.

En cambio, en el interior limitado por las placas, ambos campos se superponen aditivamente (ver sus sentidos). Por ello, su valor es: σ E= ε0

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6. – CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME rSe dice que un campo eléctrico es uniforme, en una región del espacio, cuando su intensidad E presenta el mismo valor en todos sus puntos. Este valor puede variar de un instante a otro, pudiendo ser función del tiempo (campo uniforme, no estacionario); o puede mantenerse constante a lo largo del tiempo (estacionario y uniforme ≡ campo constante)

r

Que E sea constante, significa poseer en todo punto el mismo módulo, dirección y sentido. Por consiguiente: + Las líneas de campo son rectas paralelas, igualmente espaciadas. + Las superficies equipotenciales son planos perpendiculares a dichas rectas. Tomando un sistema de coordenadas en el que el eje OX coincida con la dirección del campo eléctrico, podemos calcular la diferencia de potencial (ddp) entre dos puntos A y B, siguiendo una línea de campo, como señala la figura: + por un lado se tiene: rWAB = q' (VrA - VB) = - q.ΔV r r + por otro lado: WAB = F . Δx = q' E . Δx = = q'. E Δx = q' E (xB - xA) Por tanto, VA - VB = E (xB - xA) = E . Δx (16) O bien, E= −

ΔV VA − VB = Δx xB − x A

(17)

r

Observemos cómo el signo negativo expresa que el campo E se orienta hacia potenciales decrecientes. Notemos, además, que si expresamos la ddp en voltios, el campo eléctrico puede expresarse en voltios por metro (V/m); en efecto:

E=

voltios julios / culombio newtons x metro newtons VA − VB → V/m = = = = = N/C metro metro culombios x metro culombio xB − x A

Son pues dos formas diferentes de expresar la intensidad de campo eléctrico en el S.I.: en N/C o en V/m. Esta segunda forma es la de uso más corriente. Un caso concreto, de interés, en el que se dispone de un campo uniforme es el espacio interior entre dos láminas planas paralelas conectadas a una batería, pila, o generador de corriente continua (condensador plano); su ddp es la misma que la de los bornes de dichas fuentes. En el interior (figura) se sitúa un campo constante, E = VAB/d, siendo d la separación de las láminas. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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El trabajo realizado por el campo para llevar la carga q’ desde una posición A a otra B, quedó dicho, es: WAB = q’ (VA – VB) = q’. VAB. Pues bien, si la carga eléctrica es la carga elemental, q’ = e = 1’6x10-19 C y la diferencia de potencial es un voltio, VAB = 1 voltio, el trabajo del campo es: WAB = q’. VAB = 1’6x10-19 culombios x1 voltio = 1’6x10-19 julios Este trabajo es igual a la variación de energía potencial experimentada por la carga elemental, (por ejemplo, un electrón) bajo la ddp de un voltio. Recibe el nombre de electronvoltio (eV). 1 eV = 1’6x10-19 J El electronvoltio es una unidad de energía apropiada cuando se estudian los movimientos de las partículas fundamentales (protones, electrones, partículas α, iones...). Aunque hemos definido esta unidad a partir de la energía potencial eléctrica, se utiliza para cualquier otro tipo de energía.

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7. – ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO Analogías 1.- Son campos centrales y conservativos. Por tanto llevan asociados una función escalar, llamada Potencial 2.- Los campos creados en un punto por una masa o una carga puntual disminuyen con el cuadrado de las distancias a ese punto desde la masa o carga (proporcionalidad con 1/r2) 3.- Se representan gráficamente por sus líneas de campo y sus superficies equipotenciales.

Diferencias CAMPO GRAVITATORIO

CAMPO ELÉCTRICO

1.- Es una perturbación del medio generada por 1.- Es una perturbación del medio generada masas por cargas eléctricas 2.- Su intensidad en un punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de masa situada en él.

2.- Su intensidad en un punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de carga eléctrica positiva situada en él.

3.- Las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas

3.- Las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas o repulsivas, dependiendo del signo de las cargas que interaccionan

4.- Para masas puntuales, las líneas de campo son radiales y dirigidas hacia ellas,

4.- Para cargas puntuales, las líneas de campo son radiales y salen de las cargas positivas y se dirigen hacia las negativas.

5.- La constante G es una constante universal. No depende del medio.

5.- La constante k depende del medio, siendo su máximo valor en el vacío.

6.- El potencial gravitatorio en un punto es siempre negativo.

6.- El signo del potencial eléctrico en un punto es el de la carga eléctrica que lo origina.

7.- El campo gravitatorio no es uniforme (sólo a veces se toma como tal, por aproximación).

7.- El campo eléctrico puede ser uniforme en regiones pequeñas del espacio: entre dos láminas paralelas cargadas, en el interior de conductores en equilibrio electrostático.

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8.- El campo gravitatorio solo se anula en el infinito.

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8.- Hay regiones en las que la intensidad del campo es nula: en el interior de conductores en equilibrio electrostático, y en el infinito.

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ACTIVIDADES DESARROLLADAS 1.- Dadas las dos cargas de la figura, calcular la intensidad del campo eléctrico en A. Hallar el trabajo que realiza el campo para desplazar una carga q’ = - 3 nC. desde A hasta B. Campo eléctrico en A,

r r r E A = E A1 + E A 2 −6

10 ˆ r q E A1 = k 21 ˆj = 9x109 9 j = 1000 ˆj (N/C) rOA

2x10 q EA2 = k 22 = 9x109 25 rMA

r EA2

−6

= 720 N/C

EA2x = EA2.cos α = 720x0,8 = 576 N/C EA2y = EA2.sen α = 720x0,6 = 432 N/C = EA2x ˆi + EA2y ˆj = 576 ˆi – 432 ˆj (N/C)

r r r El campo en A es: E A = E A1 + E A 2 = 576 ˆi + 568 ˆj (N/C) o bien: EA = 809 N/C

β = arc tg(

568 ) = 44º 36’ 576

Trabajo realizado por el campo :

WAB = q’ (VA – VB)

−6 −6 q1 q2 9 10 9 2 x10 +k = 9x10 - 9x10 = 3000 – 3600 = - 600 voltios VA = VA1 + VA2 = k rOA rMA 3 5 −6 −6 q1 q2 9 10 9 2 x10 VB = VB1 + VB2 = k +k = 9x10 - 9x10 = 1800 – 6000 = - 4200 voltios rOB rMB 5 3

WAB = q’ (VA – VB) = - 3x10-9 (-600 + 4200) = -1’08x10-5 julios < 0 ⇒ el trabajo ha de realizarse en contra del campo eléctrico. 2.- Dos pequeñas bolas, de 12 g de masa cada una de ellas, están sujetas por hilos de 1’3 m de longitud, suspendidas de un punto común. Si ambas bolitas tienen la misma carga eléctrica y los hilos forman un ángulo de 15º, calcula el valor de la carga eléctrica. ¿Puedes determinar el tipo de carga?

r

r

r

Equilibrio de fuerzas: T + mg + F = 0

⎧T. cos α = mg ⇒ F = mg tgα ⎩ T.senα = F

⇒ ⎨

Por otro lado, F = k

q1q 2 r2

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=k

q2 ( 2.L.senα ) 2

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Igualando y despejando q, resulta: mg.tgα 0'012 x9'81xtg(7,5º ) = ± 2x1’3xsen(7,5º) q = ± 2.L.senα k 9x10 9 q = ± 4’45x10-7 C = ± 445 nanoculombios 3.- Dos cargas positivas e iguales, de 2 μC. cada una, están situadas a 4 cm. de distancia en reposo. Desde una distancia muy grande (teóricamente, desde el infinito), y a lo largo de la recta OP, se lanza una tercera carga de 15 nC de carga eléctrica y de 0’2 g de masa, con una velocidad suficiente para que quede en reposo en el punto P situado en medio de las otras dos cargas. ¿Cuánto vale esa velocidad?

En el punto O (infinito): Ep(O) = 0 Ec(O) = ½ m v 02 = 10-4 v 02 ⇒ Em(O) = 10-4 v 02 En el punto P: Ep(P) = 2.Ep1(P) = 2 k

2 x10 −6 x15x10 −9 qq' qq' qq' =2k =4k = 4x9x109 = 0’027 julios r d/ 2 d 0'04

Ec(P) = 0 ⇒ Em(P) = 0’027 julios No hay más fuerzas que las eléctricas, conservativas. Por tanto, Em(O) = Em(P) ⇒ 10-4 v 02 = 0’027 ⇒ v0 = 16’43 m/s Otro método: Por un lado, WOP = q’ (VO – VP)

2 x10 −6 q q q =2k =4k = 4x9x109 = 1’8x106 voltios r d/ 2 d 0'04 por tanto, WOP = q’ (VO – VP) = 15x10-9 (0 – 1’8x106) = - 0’027 julios

donde VO = 0 y VP = 2 VP1 = 2 k

Por otro lado, WOP = ΔEc = Ec(P) – Ec(O) = 0 – ½ m v 02 = – ½ m v 02 = - 10-4 v 02 Igualando las expresiones de WOP, resulta 10-4 v 02 = 0’027

⇒

v0 = 16’43 m/s

4.- Considerando que el átomo de hidrógeno está constituido por un protón y un electrón que gira en una órbita en torno al protón y despreciando la contribución de la fuerza gravitatoria, calcular la relación entre el radio de la órbita del electrón y su velocidad. La energía de ionización del átomo de hidrógeno es 13’6 eV. Hallar el valor del radio de dicha órbita (radio de Bohr), el de la velocidad orbital así como el periodo y la frecuencia del movimiento orbital. ¿Qué intensidad de corriente eléctrica constituye el electrón en su movimiento en torno al núcleo? Datos: carga elemental, e = 1’6x10-19 C.- Masa del electrón, m = 9’1x10-31kg.k = 9x109N.m2.C-2

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De modo análogo al estudio del movimiento orbital de un satélite, en este caso aplicamos la 2ª ley de Newton al movimiento del electrón bajo la acción de la fuerza central de atracción cuv2 qq' e2 lombiana: F = m.an donde F = k 2 = k 2 , y donde m.an = m. 0 , resultando las relaciones: r0 r0 r0 v0 =

ke 2 −1 / 2 r0 = 15’91 r0−1 / 2 (m/s) ⇔ m

r0 =

ke 2 −2 v 0 = 253’2 v 0−2 (m) m

La energía de ionización es la que hay que comunicar al electrón para extraerlo del pozo de potencial en el que se encuentra (electrón ligado). Eionización = - Eligadura = -(Ec(orbital) + Ep(orbital)) = - (½ m v 02 + k

ke 2 e2 e2 qq' )=-(½m −k ) = ½ k mr0 r0 r0 r0

e2 k.e 2 9 x10 9 x(1'6 x10 −19 ) 2 = = 5’29x10-11 m = 0’53 Å que ⇒ r0 = −19 r0 2.E ion. 2 x13'6 x1'6 x10 coincide con el valor del radio de Bohr (véanse tablas de constantes), a0 = 5’2917x10-11 m. Eion. = ½ k

La velocidad v0 puede calcularse también de la relación Eion. = ½ m v 02 . 2.E ion. 2x13'6x1'6x10 −19 = 2’187x106 m/s = −31 m 9'1x10 El periodo y la frecuencia del movimiento valen:

v0 =

2πr0 1 f = = 6’57x1015 Hz. = 1’52x10-16 s v0 T Intensidad de corriente constituida por el electrón en su órbita: En el tiempo Δt = T pasa por un punto de la órbita una carga eléctrica Δq = e. Por tanto: Δq e 1'6 x10 −19 I= = = amperios = 1'05 x10 −3 amperios = 1’05 miliamperios Δt T 1'52 x10 −16

T=

5.- Entre dos placas conductoras existe un campo eléctrico producido por una diferencia de potencial de 50 voltios. Un electrón en reposo (qe= - 1’6x10-19 C; m = 9’1x10-31 kg) parte de una de las placas. a) Hallar la velocidad con la que llega a la otra placa. b) Si la distancia entre las placas es de 2 cm y el campo es uniforme, determinar el tiempo que tarda en dicho desplazamiento. r ΔV ˆ j. Sea el campo uniforme E = - E ˆj = d Entonces la fuerza que actúa sobre el electrón es: r r ΔV ˆ e.ΔV ˆ j)= .j F = q e E = ( −e)( − d d así que el electrón se mueve aceleradamente según el eje Y, desde la placa A a la placa B.

El trabajo del campo es: WAB = F. d = e ΔV Este trabajo es igual a la variación de la energía cinética: WAB = ΔEc = ½ m v2 FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Por lo tanto: ½ m v2 = e ΔV 2.e.ΔV ⇒ v= = 4’19x106 m/s m Para calcular el tiempo que tarda el electrón en llegar a la placa B, apliquemos la relación: m.v m.v m.v mvd = = = = 9’54x10-9 s = 9’54 ns F.Δt = Δ(mv) → F.t = m.v → t = F e.E e.ΔV / d e.ΔV 6.- La diferencia de potencial entre dos placas planas, paralelas, separadas d = 10 cm, es VA-VB = 10 V. Un electrón penetra paralelamente a las placas con una velocidad vo = 107 m/s. Hallar la desviación vertical experimentada por el electrón, y el ángulo de salida, si la longitud de las placas es l = 20 cm. Dato: para el electrón, e/m = 1’7588x1011 C/kg.

Sea el campo uniforme (figura): r ΔV ˆ 10 ˆ j=J = −100.ˆj E = - E ˆj = d 0,1 La electrón es: r fuerza r que actúa sobre el−19 ˆ F = q e E = ( −e)( −E. j ) = 1'6x10 x100.ˆj = 1'6x10 −17 ˆj El electrón, que penetra en la región del campo perpendicularmente a él, se mueve con un MRU según el eje X y con un MRUA según el eje Y ⇒ trayectoria parabólica en el plano OXY. Eje X: ax = 0 Eje Y: at =

vx = v0 = 107

F 1'6 x10 −17 = = 1'758x1013 −31 m 9'1x10

x = v0 t = 107.t

vy = ayt = 1’758x1013. t

y = ½ ayt2 = 8’791x1012.t2

Ecuación de la trayectoria del electrón (despejando t en la ecuación de x y sustituirla en la de y); resulta: y = 8’791x10-2 x2 Desviación vertical del electrón: calculemos el valor de y para x = 0,2 m: y = 3’52x10-3 m = 3’52 mm Para calcular el ángulo α de salida (desviación angular), partimos de las componentes de la velocidad, para x = 20 cm. 0,2 x vx = 107 vy = 1,758x1013. t =1,758x1013x2x10-8 = 3,516x105 t = 7 = 7 = 2 x10 −8 10 10 v y 3'516 x10 5 tg α = = = 3'516 x10 − 2 ⇒ α =2’01397º = 2º 0’ 50’’ vx 10 7

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ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.- Dadas las dos cargas de la figura, calcular la intensidad del campo eléctrico en A. Hallar el trabajo que realiza el campo para desplazar una carga q’ = - 3 nC desde A hasta B.

A

q1 = 20 nC 0’6 m

r r R.: E A = 1062’5 i N/C

0’4 m

q2 = -10 nC 0’4 m

B

WAB = q’(VA - VB) = - 5’14x10-7 J

2.- Dos cargas puntuales de 2 μC y -6 μC están situadas respectivamente en los puntos (1, 0) y (0, 2) de un sistema de ejes cartesianos cuya escala está establecida en cm. Calcula: r r r a) El campo eléctrico en el punto (2,1). R.: E = (-3’29 i + 11’20 j )x107 N/C b) El potencial eléctrico en el mismo punto. R.: V = -1’14x105 V 3.- Dos cargas eléctricas de 20 nC y –30 nC están colocadas respectivamente en los puntos P1(3, 0) y P2(0, 1). Calcula: R.: - 40’25 V a) El potencial eléctrico en P3(2, 2) b) El trabajo necesario para trasladar la carga de prueba de +1C desde ese punto hasta el R.: 169’75 J punto O(0, 0). Las coordenadas están expresadas en metros. 4.- El potencial eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P, situado a una distancia d, vale 1800 V. En ese mismo punto, el valor de la intensidad del campo E es 1000 N/C. CalcuR.: q = 0’36 μC. d = 1’8 m. lar el valor de q y de d. 5.- En los vértices A, B y C de un triángulo equilátero de 4 m de lado se sitúan tres cargas eléctricas: qA = qB = qC/2 = 2 μC. Calcular el campo eléctrico y el potencial en el centro O del triángulo y en el punto medio M del lado CB. ¿Qué trabajo realiza el campo para llevar la carga q’r = – 1’5 nC desde O rhasta M? R.: E O = − 3375 jˆ N/C E M = 3549 iˆ − 3147 jˆ N/C VO = 31177 V VM = 32196 V WOM = 1’53x10-6 julios 6.- Determinar, en las configuraciones de las figuras siguientes, la carga que hay que colocar en el punto B para que: a) en A el campo eléctrico sea nulo. R.: q3 = -2 2 q1 = - 28’28 nC q3 = q1 = 10 nC b) en A sea nulo el potencial.

R.: q3 = -2 2 q1 = - 28’28 nC

q3 = - 2 q1 = - 20 nC

7.- Dos pequeñas esferas metálicas de 0.2 gr. de masa y con igual carga q cuelgan de un punto común mediante hilos de 25 cm. de longitud, formando un ángulo entre ellos de 60º. Calcular la carga de cada esfera. R.: q = 88’65 nC. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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8.- Dos esferas iguales, muy pequeñas, de 9’8 gr. de masa, están suspendidas del mismo punto por medio de hilos aislantes de 20 cm de longitud. Ambas esferas están cargadas negativamente con igual carga. Calcular: a) el valor de esta carga si el ángulo que forman los hilos es de 90º.- b) la tensión de los hilos.- c) el número de electrones en exceso en cada esfera. Carga del electrón: 1’6x10-19 C. R.: a) q = - 0’92μC. b) T = 0’136 N. c) N = 5’77x1012 electrones. 9.- Un péndulo eléctrico tiene una masa de 0’2 g y cuelga de un hilo que forma un ángulo de 15º con la vertical debido a la atracción que ejerce sobre él una lámina metálica cargada. Calcula la fuerza eléctrica que está sometido el péndulo. R.: 5’2x10-4 N 10.- Calcula la energía potencial eléctrica asociada a un pequeño cuerpo de 0’05 g que porta una carga eléctrica de 1 μC situado en el vacío a 20 cm de una segunda carga puntual fija de -4 μC. Si la primera carga se libera, ¿qué velocidad llevará cuando se encuentre a 10 cm de la carga fija? R.: - 0’18 J 85 m/s 11.- En un sistema de ejes coordenados tenemos dos cargas puntuales fijas, una de ellas tiene un valor de 2 μC y está situada en el punto (0, 0) m, la segunda de las cargas cuyo valor es -3 μC se encuentra en el punto (4, 0) m. Calcula el trabajo de la fuerza electrostática para trasladar una carga de -1 μC del punto A(0, 2) al punto B(4, 2). R.: -1’.244x10-2 J 12.- En una experiencia similar a la de Rutherford, un protón se dirige directamente contra un núcleo de oro de una lámina con una velocidad de 106 m/s. ¿A qué distancia del núcleo se frenará? Datos: Para el oro, Z = 79.- Masa del protón, mp = 1’67x10-27 kg.- Carga elemental, R.: A 22 pm del núcleo e = 1’6x10-19 C. 13.- Tres cargas eléctricas puntuales de 1μC se encuentran situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcular: r r a) El campo eléctrico en el vértice libre. R.: 1'22x10 4 (i + j ) V/m R.: 2’44x10-2 J b) La energía potencial asociada al sistema. 14.- ¿Qué distancia debe recorrer un electrón, partiendo del reposo, en un campo eléctrico uniforme cuya intensidad E vale 280 volt/cm. para adquirir una energía cinética de 3’2x10-17 juR.: 7’14 mm. lios? Carga del electrón: 1’6x10-19 culombios. 15.- Desde A y en la dirección B, se lanza un cuerpo cuya masa es 0’2 g, su carga eléctrica es –1 μC y su velocidad es de 40 m/s (figura). El cuerpo se encuentra en el campo creado por las cargas iguales y fijas, situadas simétricamente en M y N, de valor 2 μC. Sabiendo que AP = 12 cm, MN = 10 cm y MP = NP, hallar la posición de B en la que se detiene el cuerpo. ¿Con qué velocidad pasó por P? R.: PB = 30’4 cm vP = 77’65 m/s

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M A

P N

B

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16.- Una partícula α (núcleo de helio, 42 He2+ ) inicialmente en reposo, es acelerada por un campo eléctrico uniforme cuya intensidad es E = 105 V/m, hasta que alcanza una velocidad de 1000 m/s. Calcular el espacio recorrido y la diferencia de potencial entre los puntos extremos del recorrido. Datos: Carga elemental: e = 1’6x10-19 culombios. Masa del protón = masa del neutrón = 1’67x10-27 Kg. R.: 104’4 nm. 10’44 m.voltios. 17.- Una carga de 1μC está colocada en un campo eléctrico uniforme de 10000 N/C, dirigido verticalmente hacia arriba. ¿Qué trabajo realiza el campo eléctrico en los siguientes casos? a) La carga se mueve 20 cm hacia la derecha. b) La carga se mueve 30 cm hacia abajo. c) La carga se mueve 50 cm formando un ángulo de 60º por encima de la horizontal. R.: a) 0 J.- b) – 0’003 J.- c) – 0’0025 J. 18.- Dos placas metálicas planas y paralelas, distantes entre + + + + + + sí 20 cm, se sitúan horizontalmente. Se conectan a un 20 cm generador que mantiene entre ellas una ddp. de 10 kilovoltios. La placa superior es positiva y la inferior ne_ _ _ _ _ _ gativa, como señala la figura. Una gotita de aceite car− + gada negativamente, de 0’1 gramos de masa, se encuentra en el espacio entre las placas, en equilibrio entre la fuerza eléctrica y la debida a su peso. a) ¿Cuánto vale la fuerza eléctrica? ¿Y el campo eléctrico? R.: F = 9’8x10--4 N E = 5x104 N/C b) ¿Cuál es la carga eléctrica de la gotita, en nanoculombios? ¿Y el número de electrones en exceso que posee? (Carga elemental: e = 1’6x10-19 culombios) R.: q = - 19’6 nC 1’225x1011 electrones c) Estando la gotita en reposo y en el punto medio entre las placas, se le comunica una sobrecarga eléctrica de 106 electrones. ¿Cuánto tarda en alcanzar la placa superior? R.: 50 s 19.- Un punto de un campo eléctrico uniforme tiene un potencial de 20 V. Al trasladar una carga eléctrica de 0’4 C desde este punto a otro situado 20 cm hacia su derecha, la fuerza eléctrica realiza un trabajo de -200 J. Calcula el potencial en el segundo punto y la componente -2500 V/m del campo en esta dirección. R.: 520 V 20.- En una región del espacio hay un campo uniforme de 500 N/C dirigido hacia la derecha. Calcula el trabajo que realiza el campo eléctrico al mover una carga puntual de 2 C desde el punto A hasta el punto 8 situado a 3 m a la izquierda de A. ¿Cuál es la diferencia de potenR.: - 3000 J 1500 V cial entre los puntos? 21.- Una esfera conductora, aislada, de 1 m de radio, crea en un punto situado a una distancia de 2 m del centro de la esfera un potencial de 50 V. Determinar: a) la intensidad del campo en el punto dado.- b) el potencial y el campo eléctrico en los puntos situados a 0’5 m del centro.- c) el potencial y el campo en un punto cualquiera de la superficie esférica.- d) la energía del conductor cargado. R.: a) 25 V/m b) 100 V y 0 V/m c) 100 V y 100 V/m d) 5’56x10-7 julios. 22.- Una esfera conductora, aislada, está a un potencial de 300 V y la intensidad del campo en la superficie es de 100 N/C. Determinar: a) la energía del conductor.- b) el campo y el potencial en puntos situados a 1 m del centro.- c) idem, a 4 m del centro. R.: a) 1’5x10-5 J b) 0 N/C y 300 V c) 56’25 N/C y 225 V

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23.- Determinar el flujo que atraviesa la cara de un cubo, debido a una carga puntual de 10 nC. R.: 188’5 V.m situada en el centro del cubo. 24.- Dos esferas conductoras y aisladas, de 1 y 2 m de radio, respectivamente, tienen cargas iguales de 10 nC cada una. a) Hallar la capacidad y el potencial de cada esfera. b) Si se conectan mediante un hilo conductor, de capacidad despreciable, ambas esferas, hallar la carga de cada una y el potencial común, tras la unión. c) Hallar la variación de la energía almacenada por el sistema. R.: a) 0’111 nF y 0’222 nF; 90 V y 45 V.- b) 6’67 nC y 13’3 nC; 60 V; c) ΔE = - 75 nJ 25.- En el centro de un cubo de 1’2 m de lado hay una carga eléctrica de –2 nC, y en cada uno de sus vértices cargas de 1 nC. Hallar el flujo del campo eléctrico a través de una esfera de 0’6 m de radio. Idem, a través de una esfera de 1’2 m de radio. R.: -226’2 V.m 678’6 V.m 26.- Determinar la energía de un sistema de tres cargas iguales, de valor q = 1 nC, situadas en los tres vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. R.: 2’7x10-8 julios. 27.- Una esfera conductora, de 10 cm de radio, está conectada a dos hilos de cobre. Por el primero la esfera recibe una corriente de 1’0000020 amperios y por el segundo sale una corriente de 1’0000000 amperios. Hallar la capacidad de la esfera. ¿Cuánto tiempo tardará la esfera en adquirir un potencial de 1000 voltios? ¿Cuál es el signo de la carga adquirida por la esfe5’56 ms carga positiva. ra? R.: 11’1 pF 28.- ¿Cuántos electrones deben eliminarse de un conductor esférico inicialmente descargado, de 0’2 m de radio, para producir un potencial de 2000 voltios en su superficie? En estas condiciones, ¿cuánto vale la intensidad del campo eléctrico en la superficie? (Carga del electrón, R.: nº = 2’78x1011 electrones; E = 10000 N/C. e = 1’6x10-19 C) 29.- Una gota de agua de 2 mm de radio tiene un potencial de 300 voltios.- a) ¿Cuál es la carga de la gota?.- b) Si se unen dos de estas gotas para formar una sola, ¿cuál es el potencial de la gota resultante? R.: q = 66’7 pC. V = 476’,22 voltios. 30.- En un punto del espacio x = 2 m el potencial eléctrico tiene el valor de V = 200 voltios, y en x = 10 m el potencial vale V = 600 voltios. a) Hallar el módulo, dirección y sentido del campo eléctrico, suponiéndolo uniforme. b) Calcular la velocidad con que llegará al punto x = 2 m un electrón que se abandona en el punto x = 10 m. -19 -31 Datos: r Carga del electrón, e = 1’6x10 C Masa del electrón, m = 9’10x10 kg R.: E = −50.iˆ (N/C). El electrón no puede llegar a x = 2 m, pues parte del reposo y la fuerza eléctrica actúa hacia la derecha, en sentido contrario al campo (carga negativa). r 31.- La intensidad de un campo eléctrico varía según la expresión: E = ( x 3 − 3 x ).ˆi en el S.I. Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos A y B determinados por las coordenadas xA = 0 y xB = 2 m. R.: VB – VA = 2 voltios

32.- Una gran placa metálica plana cargada uniformemente con una densidad superficial de carga positiva de 100 pC.m-2 se encuentra situada horizontalmente en el suelo. Desde una altura de 1 m, muy lejos de los bordes, se deja caer una carga puntual positiva de 1000 μC y 1 g de masa. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, y cuál es su velocidad entonces. Todo el experimento se realiza en el vacío, donde k = 9x109 S.I.) R.: 0’69 s 2’88 m/s

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T E M A 13.INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA: Campo Magnético

SUMARIO: 13.1.- Interacción magnética 13.2.- Campo magnético 13.3.- Acción del campo magnético sobre corrientes 13.4.- Campo magnético creado por corrientes 13.5.- Circulación de un campo magnético: Ley de Ampère 13.6.- Fuerzas entre corrientes: definición de amperio 13.7.- Magnetización de la materia 13.8.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio, eléctrico y magnético Actividades desarrolladas Actividades propuestas FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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1.- INTERACCIÓN MAGNÉTICA La interacción magnética es otro tipo de interacción que se observa en la naturaleza. Los antiguos griegos observaron que ciertos minerales de hierro, como la magnetita, tienen la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro. En estado natural, esta propiedad la muestran el hierro, el cobalto, el manganeso y muchos compuestos de estos metales. No está relacionada con la gravitación puesto que no la poseen todos los cuerpos, y parece concentrarse en ciertos lugares del mineral. Aparentemente tampoco está relacionada con la interacción eléctrica, debido a que ni bolitas de corcho ni trozos de papel son atraídos por tales minerales. Por tanto, a esta propiedad física se le dio un nuevo nombre, magnetismo. El nombre se deriva de la antigua ciudad del Asia Menor, Magnesia, en donde según la tradición, fue observado por primera vez el fenómeno. Las regiones de un cuerpo donde parece concentrarse el magnetismo se conocen como polos magnéticos. Un cuerpo magnetizado se conoce como imán. La Tierra misma es un gran imán. Por ejemplo, si suspendemos una varilla magnetizada en cualquier punto de la superficie terrestre y permitimos que gire libremente alrededor de la vertical, la varilla se orienta de modo que el mismo extremo apunta siempre hacia el polo norte geográfico. Este resultado muestra que la tierra ejerce una fuerza adicional sobre la varilla magnetizada. Si la varilla no está magnetizada no se ejerce ninguna fuerza. Los experimentos realizados con cuerpos magnetizados sugieren la existencia de dos tipos de polos magnéticos. Podemos representar ambos mediante los signos N y S, que corresponden a los tipos de polos que se orientan hacia el norte y hacia el sur terrestres, respectivamente.

Interacción entre dos barras magnetizadas.- Polos de distinto signo se atraen (izquierda); polos del mismo signo se repelen (derecha)

La experiencia muestra que una barra magnetizada tiene polos opuestos en sus extremos. Dos barras magnetizadas, colocadas como se muestra en la figura, se repelerán o se atraerán, dependiendo de si colocamos polos iguales o diferentes uno frente al otro. Así, concluimos que: “La interacción entre polos magnéticos iguales es de repulsión y entre polos magnéticos diferentes es de atracción”.

Podríamos medir la intensidad de un polo magnético si definimos una masa o carga magnética e investigamos la dependencia de la interacción magnética con respecto a la distancia entre los polos. Antes de que los físicos entendieran la naturaleza del magnetismo, éste fue el planteamiento adoptado (similar al aplicado a las cargas eléctricas o a las masas gravitatorias). Sin embargo, aparece una dificultad fundamental cuando se intenta efectuar tales mediciones. Se han podido aislar experimentalmente cargas eléctricas positivas y negativas y asociar una cantidad definida de carga eléctrica a las partículas fundamentales que constituyen la materia. Por el contrario, no ha sido posible aislar un polo magnético o identificar una partícula que tenga sólo un tipo de magnetismo, N o S. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Además, los conceptos de polo magnético y masa magnética no son necesarios para la descripción del magnetismo. Como veremos, las interacciones eléctrica y magnética están estrechamente relacionadas, y constituyen dos aspectos diferentes de una misma propiedad de la materia, su carga eléctrica. De hecho, la experiencia ha mostrado que el magnetismo es una manifestación de las cargas eléctricas en movimiento con respecto al observador. Por tal razón, las interacciones eléctrica y magnética deben considerarse juntas bajo el nombre más general de interacción electromagnética.

2.- CAMPO MAGNÉTICO Un imán provoca una alteración en el espacio a su alrededor, pues atrae al hierro y cambia la dirección de una aguja imantada, en tanto que, en ausencia del imán, el hierro y la aguja permanecen inmóviles. Estos hechos se interpretan diciendo que en el espacio alrededor del imán hay un campo magnético, del mismo modo que en torno a una carga eléctrica se establece un campo eléctrico. Pero no sólo los imanes son capaces de crear un campo magnético. En 1820, H. Ch. Oersted realizó un experimento que puso de manifiesto cómo una corriente eléctrica produce sobre una aguja imantada los mismos efectos que un imán. Situó una brújula en las inmediaciones de un hilo conductor rectilíneo, e hizo pasar por él una corriente eléctrica. Observó cómo la aguja imantada se orientaba perpendicularmente a la corriente; y al cesar ésta, la aguja volvía a su posición anterior. Esta experiencia mostró la relación entre magnetismo y corriente eléctrica: hizo sospechar que las causas del magnetismo estuviesen relacionadas con el movimiento de las cargas eléctricas. ¿Cómo se puede averiguar si en una región del espacio existe un campo magnético? ¿y cómo determinar su valor en cada punto? Observando la fuerza de interacción ejercida sobre una carga eléctrica q en movimiento. Se llega a las siguientes conclusiones: + Si la carga q está en reposo, no aparece fuerza magnética sobre ella. + La fuerza magnética es proporcional a la carga eléctrica q y a la velocidad v de la misma. + Existe una dirección particular para la cual la fuerza magnética es nula. + Para las demás direcciones, la fuerza magnética es perpendicular simultáneamente a r la velocidad v de la carga eléctrica y a esa dirección para la que es nula dicha fuerza. Y su valor es proporcional al seno del ángulo formado por la velocidad y dicha dirección.

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r B

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En estas r condiciones, definimos en cada punto del espacio la intensidad del campo magnético B (que también suele llamarse “inducción magnética”) como el vector que verifica: r r r F =q( v x B)

(1)

r Según esta expresión, B es un vector en la dirección para la que la fuerza magnética es nula, y su módulo vale (figura): F (2) B= q .v.senα En el Sistema Internacional, la unidad de campo magnético se llama tesla (T), (o weber por metro cuadrado, Wb/m2). De acuerdo con (2): N N =1 1T = 1 Wb/m2 = 1 C.m / s A.m

r v Cuando una carga q se mueve con velocidad en el seno conjunto de un campo eléctrico r r r E y otro magnético B , rla fuerza que sobre ella actúa es la resultante de la fuerza eléctrica, qE , r más la magnética, q( vxB ), es decir: r r r r (3) F = q (E + v x B) Esta fuerza recibe el nombre de fuerza de Lorentz. La expresión (1), que define el campo magnético, muestra la fuerza magnética es siemr que r pre perpendicular a la dirección del movimiento de la carga, ( F ⊥ v ) . Esto implica dos consecuencias: + El trabajo realizado por la fuerza magnética sobre una carga que se desplaza es nulo. r + Si B es constante en un recinto, y la partícula penetra en él perpendicularmente a dicho campo, su trayectoria es circular.

3.- ACCIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CORRIENTES A.- FUERZA SOBRE UN ELEMENTO DE CORRIENTE Sea un conductor por el que circula una corriente eléctrica de intensidad I, en el seno de un r campo magnético B . La corriente supone un movimiento de cargas eléctricas en el conductor. El campo magnético ejercerá su acción sobre cada una de ellas, acción que viene dada por (1). La fuerza magnética se manifestará sobre el conductor, soporte de la corriente, como una acción trasversal. Para calcularla, supongamos que las cargas r se desplazan con una velocidad v . En un tiempo dt, la carga que ha atravesado la sección del conductor (por ejemplo, por M) es dq = I dt, y se habrá desplazado en él de modo que toda ella r ser encuentra dentro del elemento de conductor dL = v.dt . Por tanto, la fuerza r r elemental dF sobre dicho elemento de conductor dL es, según (1): FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

U IV T 13: Campo Magnético

312

r r r r r r r r r dF = dq( vxB) = I dt( vxB) = I ( v.dtxB) = I (dLxB) ⇒

r r r dF = I ( d L x B )

Primera ley de Laplace

(4)

r r (4) expresa la fuerza elemental dF con la que actúa el campo magnético B sobre un elemenr to de conductor dL recorrido por una corriente eléctrica de intensidad I. r Para calcular la acción ejercida por un campo magnético B sobre un conductor cualquiera, recorrido por una corriente de intensidad I, deberemos “sumar” todos los efectos del campo sobre cada elemento de conductor ⇒ es decir, integraremos (1) a lo largo del conductor: r F=

∫

r dF =

cond

∫

r r

I (dLxB)

cond

B.- FUERZA SOBRE UNA CORRIENTE RECTILÍNEA Suponemosr el campo magnético uniforme: quiere decir que B presenta el mismo valor en todos los puntos. Sea una corriente eléctrica, de intensidad I, circulando por un conductor rectilíneo, de longitud L, en el seno de dicho campo magnético. Sea el sentido de dicha corriente el dado por el verr sor uˆ . Tomemos I.L. uˆ = I. L . En este caso, todos los desplazamientos r dL tienen la misma dirección, por lo que: r r r r r r F = dF = I (dLxB) = I ∫ ( dLxB) = I

∫

⇒

∫

r r r F = I (L x B)

[(∫ dLr )xBr ] = I (Lr x Br ) (5)

El módulo de esta fuerza es: F = I L B senθ ductor y el campo magnético (figura). La comprobación experimental de la fuerza con que un campo magnético actúa sobre un conductor rectilíneo cuando por él circula una corriente puede realizarse por medio de la llamada “balanza de Cotton” (figura). Con ella, la medida de la fuerza, así como su dirección y sentido, se reducen a la simple realización de una pesada. Puede comprobarse en este experimento la proporcionalidad de la fuerza con la intensidad de corriente y la longitud del conductor. El experimento permite calcular el valor del campo magnético. Esfuércese el alumno en comprender la experiencia señalada en la figura... y deducir la expresión que permite calcular B. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

donde θ es el ángulo formado por el con-

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313

C.- MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA Consideremos runa espira rectangular, de lados L y L’, y situada en el seno de un campo magnético uniforme B . El área de la espira es S = L.L’ ; démosle carácter vectorial así: r S es un vector cuyo módulo S es igual al área de la espira, S = L.L’, está dirigido perpendicularmente a la superficie enmarcada por la espira, en el sentido de avance de un tornillo que gire de acuerdo con la corriente de la espira. r r Sea θ el ángulo que en un determinado instante forman B y S . De (5) resulta que:

+ las fuerzas magnéticas sobre los lados AD y BC son F’ = I.L’.B.senα = I.L’.B.cosθ Si la espira es no deformable, estas fuerzas son neutralizadas por su reacción elástica.

+ las fuerzas magnéticas sobre los lados AB y CD son F = I.L.B.sen(π/2) = I.L.B Estas fuerzas r constituyen un par que tiende a hacer girar la espira, situándola perpendicularmente al campo B . El momento de este par vale: M = F. L’. senθ = (I.L.B)( L’.senθ) = I.S.B.senθ r r Definimos Momento dipolar magnético de una espira así: m ≡ I . S . Entonces el momento del par se escribe: r r r (6) M=m xB

Por tanto, la acción del campo magnético sobre la espira es un par de fuerzas que da lugar a su rotación, tendiendo a alinear el momento dipolar magnético de la espira con el campo magnético. Cuando la espira se sitúa perpendicularmente al campo, el momento del par se anula, y cesa su acción. Si la espira es circular, lo anteriormente explicado sigue siendo válido. Asimismo, si se tiene en el seno del campo magnético una bobina de N espiras, recorrida por una corriente de intensir r r r r dad I: M = m xB donde m ≡ N.I. S (7)

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D.- APLICACIONES ♣ Trayectorias circulares de cargas eléctricas en un campo magnético uniforme.Si a una partícula de masar m, cargada eléctricamente con carga q y situada en el seno de r un campo magnético uniforme B , se le comunica una velocidad v en dirección perpendicular al campo, sobre ella actúa una fuerza F = q v B que es normal a la trayectoria. Por este motivo, esta fuerza es centrípeta, no hace variar la rapidez v, pero obliga a describir una trayectoria circular con movimiento uniforme. Si llamamos R al radio de la trayectoria circular, se verificará: v2 mv F = m an qvB=m ⇒ R= R qB El sentido del movimiento circular descrito por la partícula depende obviamente del sentido del campo y del signo de la carga eléctrica de la partícula.

♣ Experimento de Thomson .- Medida de la relación carga-masa, q/m Durante la última parte del siglo XIX se efectuaron numerosos experimentos sobre descargas eléctricas. Tales experimentos consisten en producir una descarga eléctrica a través de un gas a baja presión, aplicando una diferencia de potencial de varios miles de voltios entre dos electrodos colocados dentro del gas. El electrodo negativo (C) es el cátodo y el positivo (A) el ánodo. Dependiendo de la presión del gas que se halla en el tubo, se observan varios efectos luminosos. Cuando la presión del gas en el tubo es menor que 100 Pa (0,75 mmHg), se detecta una mancha luminosa en O sobre la pared del tubo, directamente opuesta al cátodo C (figura). Por tanto se supuso que el cátodo emitía una radiación que se mueve en línea recta hacia O. En consecuencia, estas radiaciones se denominaron rayos catódicos.

Cuando se produce un campo eléctrico E = ΔV / b mediante la aplicación de una diferencia de potencial ΔV a las placas paralelas P y P’, separadas una distancia b, se observa que la mancha luminosa se mueve de O a O'. Esto es, los "rayos" se desvían en la dirección correspondiente a una carga eléctrica negativa. Esto sugirió que los rayos catódicos eran simplemente una corriente de partículas cargadas negativamente. Sea q la carga de cada partícula, m su masa y v su velocidad. Se puede calcular, midiendo la desviación d = OO', (conocidos los valores de L, de a y de FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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315

E = ΔV / b ), la relación entre las variables desconocidas,

q

, en función de las establecidas en m.v 2 el experimento (a, b, L y ΔV) y de la obtenida por medición, d. El alumno puede resolverlo como problema, obteniéndose el siguiente resultado: q 1 b = d 2 ΔV La m.v

La fuerza eléctrica ejercida sobre la partícula es Fe = q E = q ΔV/b y está dirigida hacia arriba (figura). Supongamos que también aplicamos en la misma región un campo magnético dirigido perpendicularmente hacia el papel. La fuerza magnética, Fm, según la ecuación (1), es Fm = q v B, y está dirigida hacia abajo porque q es una carga negativa. Ajustando adecuadamente el valor de B, podemos hacer que la fuerza magnética sea igual a la eléctrica, Fe = Fm. Esto tiene como resultado una fuerza neta cero, y la mancha luminosa regresa de O' a O; es decir, no hay desviación de los rayos catódicos. Entonces se verifica: E ΔV / b ΔV qE=qvB ⇒ v= = = B B B.b Esta expresión proporciona una medida de la velocidad de la partícula cargada. Sustituyendo este valor de v en la expresión anterior, obtenemos el cociente q/m (carga específica) de las partículas que constituyen los rayos catódicos: q d ΔV = m Lab B 2 Este procedimiento experimental fue uno de los primeros métodos para medir q/m con precisión. También fue una prueba indirecta de que los rayos catódicos están formados por partículas con carga negativa que desde entonces se conocen como electrones. Estos experimentos y otros parecidos fueron efectuados por Sir J. J. Thomson (1856-1940) en 1897, quien realizó grandes esfuerzos e invirtió mucho tiempo intentando descubrir la naturaleza de los rayos catódicos.

♣ Espectrómetro de masas, de Dempster Consideremos el dispositivo ilustrado en la figura siguiente, donde I es una fuente de iones y S1 y S2 son dos rendijas estrechas por las que pasan dichos iones, que son acelerados por la diferencia de potencial ΔV aplicada entre las rendijas. La velocidad de salida de los iones se calcula mediante la ecuación: ½ mv2 = q ΔV q resultando: v2 = 2 ΔV m En la región debajo de las ranuras existe un campo magnético uniforme (saliente, orientado hacia el lector). Cada ión, entonces, describirá una órbita circular, en una u otra dirección dependiendo del signo de su carga q. Después de describir una semicircunferencia, los iones llegan a una placa fotográfica P, dejando una señal en ella.

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El radio R de la órbita está dado por la ecuación vista anteriormente, R = m v / q B, en la cual, despejando la velocidad, obtenemos q v = R.B m Combinando esta ecuación con la anterior para eliminar v, se tiene: ΔV q =2 2 2 m B R que expresa la carga específica de los iones, q / m, en función de las variables utilizadas en el aparato experimental: la ddp ΔV de aceleración de los iones aplicada a las rendijas S1 y S2, la intensidad del campo magnético B y el radio R de la trayectoria circular descrita por el ión que se mide en el experimento. Podemos aplicar esta técnica a electrones, protones o iones, y a cualquier otra partícula cargada. Si por otro método se mide la carga q, la fórmula anterior permite calcular la masa m de la partícula. El dispositivo de la figura constituye un espectrómetro de masas, debido a que separa los iones de la misma carga y diferente masa m, puesto que según la ecuación, el radio de la trayectoria de cada ion será diferente dependiendo de su valor de q/m. Existen varios tipos de espectrómetros de masas, todos basados en el mismo principio. Los científicos que usan esta técnica descubrieron, en la década de los veinte del pasado siglo, que los átomos del mismo elemento químico no tienen necesariamente la misma masa: las diferentes variedades de átomos de un elemento que difieren en su masa se conocen como isótopos. Así por ejemplo, J. J. Thomson descubrió que cuando se tenían partículas de neón a baja presión, en la placa fotográfica aparecía no una única raya correspondiente a la masa atómica que se asignaba a dicho gas (20,1839 u) sino dos, que correspondían a masas ligeramente diferentes: 20 u y 22 u. Esto llevó a la conclu20 22 sión de que debían de existir dos isótopos del neón, 10 Ne y 10 Ne , en la proporción de 9 a1.

♣ Acelerador de partículas. El Ciclotrón El hecho de que la trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético es circular ha permitido el diseño de aceleradores de partículas que operan de manera cíclica. En los aceleradores electrostáticos, la aceleración depende de la diferencia de potencial total ΔV. Para producir partículas de alta energía, ΔV debe ser muy grande. Sin embargo, en un acelerador cíclico una carga eléctrica puede recibir una serie de aceleraciones al pasar muchas veces por una diferencia de potencial relativamente pequeña. El primer dispositivo que funcionó con este principio fue el ciclotrón, diseñado por E. O. Lawrence (1901-1958). El primer ciclotrón práctico empezó a funcionar en 1932. Desde entonces se han construido muchos en todo el mundo, aunque ahora ya han sido superados por dispositivos mucho más poderosos. Esencialmente, un ciclotrón (Fig. 22.13) consiste en una cavidad cilíndrica dividida por la mitad (cada una conocida como "de" por su semejanza con la letra D) y colocada en un campo magnético uniforme paralelo a su eje.

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Las des están aisladas eléctricamente entre sí, y en el centro del espacio entre las des se sitúa una fuente de iones, S. El sistema debe mantenerse a un alto vacío para evitar colisiones entre las partículas aceleradas y cualquier molécula de gas. Entre las des se aplica una diferencia de potencial alterna del orden de 10000 voltios. Si los iones son positivos, se acelerarán hacia la de negativa. Cuando los iones penetran en una de, no experimentan fuerza eléctrica alguna, debido a que el campo eléctrico es cero en su interior. Sin embargo, el campo magnético hace que el ion describa una trayectoria circular, con un radio dado por la ecuación vista anteriormente, R = m v / q B, y con velocidad angular dada por ω = v / R = q B / m. La diferencia de potencial alterna entre las des se regula con una frecuencia igual precisamente a ω / 2 π. De esta forma la diferencia de potencial entre la des está en resonancia con el movimiento circular de los iones. Mientras los iones describen media revolución, la polaridad de las des se invierte de modo que cada vez que los iones cruzan el espacio que hay entre ellas, reciben una pequeña aceleración. Por tanto cada medio ciclo el ión describe un semicírculo con un radio mayor pero con la misma velocidad angular. El proceso se repite varias veces, hasta que el radio adquiere un valor máximo R, que es prácticamente igual al radio de la cavidad. Los polos del imán están diseñados de modo que el campo magnético en el borde de las des disminuya drásticamente y los iones adquieran un movimiento tangencial, escapando por una abertura conveniente. La velocidad máxima vmax está relacionada con el radio R mediante la ecuación: mv max q → v max = BR R= m qB La energía cinética de los iones que salen por A es entonces: q 2B 2R 2 Ec = ½ mv2 = 2m y está determinada por la carga y la masa de la partícula, la intensidad del campo magnético y el radio del ciclotrón, pero es independiente del potencial de aceleración entre las des. Cuando la diferencia de potencial es pequeña, los iones tienen que dar muchas vueltas antes de que adquieran su energía final. Pero cuando es grande, sólo se requieren unas cuantas vueltas para adquirir la misma energía.

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4.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CORRIENTES A.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CARGA EN MOVIMIENTO Hasta aquí hemos considerado campos magnéticos sin preguntarnos por la forma en que éstos se producen. Más adelante veremos que el mejor método de producir un campo magnético es mediante corrientes eléctricas. Sin embargo, una corriente eléctrica es un flujo de partículas cargadas que se mueven en la misma dirección dentro de un conductor. Una carga eléctrica en movimiento, con respecto al observador, produce un campo magnético además de su campo eléctrico. Se ha encontrado experimentalmente que el campo magnético en un punto P, a una distancia r de la carga que se mueve con respecto al observador con una velocidad v (pequeña comparada con la de la luz) es: μ q.v.senθ B= 0 (8) 4π r2 donde μ0 es una constante conocida como permeabilidad del vacío y cuyo valor en el S.I. es:

μ0 = 4π.10-7 m.kg.C-2

(o bien, T.m.A-1)

y donde θ es el ángulo determinado por la dirección del movimiento de la carga (vector velocidad) y el vector de posición del punto P respecto de la carga. Nótese que, según esta fórmula, el valor del campo magnético: * es cero en la dirección del movimiento * tiene su valor máximo en el plano perpendicular a esa dirección del movimiento y que contiene a la carga. Además: r r * la dirección del campo magnético es perpendicular a los vectores r y v (véase la figura).

Combinando ambas propiedades del campo magnético, podemos expresarlo en forma vectorial así: r μ 0 q ( vr x rˆ) B= (9) 4π r2 r donde rˆ es el vector unitario en la dirección de r . Las líneas magnéticas son entonces circunferencias concéntricas con su centro en la trayectoria de la carga. r Por otro lado, el campo eléctrico E producido por la carga q en P es: r 1 q q rˆ E = k 2 rˆ = 4πε 0 r 2 r Despejando rˆ en esta última expresión y sustituyendo su valor en (9), y simplificando, se llega a la siguiente relación entre ambos campos debidos a la carga q en movimiento: r r r B = ε 0 μ0 (v x E) FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Puesto que ε 0 μ 0 = 8’8544x10-12C2.N-1.m-2 x 4πx10-7m.kg.C-2 = 1’1127x10-17 s2.m-2 1 1 resulta que c ≡ = = 2'998x10 8 ≅ 3x10 8 m/s, valor que coincide curiosamente − 17 ε 0μ 0 1'1127 x10 con la velocidad de la luz en el vacío. De acuerdo con ello, la anterior expresión se transforma en ésta, que relaciona los dos campos, eléctrico y magnético, asociados a la carga q en movimiento: r 1 r r B = 2 ( v xE) (10) c Por tanto, aunque una carga en reposo produce únicamente un campo eléctrico, una carga en movimiento con respecto al observador produce un campo eléctrico y uno magnético. Además, los dos campos están relacionados por la ecuación (10). Así pues, los campos eléctrico y magnético son simplemente dos aspectos de una propiedad fundamental de la materia, y resulta más apropiado utilizar el término campo electromagnético para describir la situación física que implica cargas en movimiento. Otra propiedad interesante es que dos observadores en movimiento relativo miden velocidades diferentes de la carga eléctrica en movimiento y, por tanto, también miden diferentes campos magnéticos. En otras palabras, los campos magnéticos dependen del movimiento relativo entre la carga y el observador. Vemos pues que, a medida que la partícula se mueve, lleva con ella sus campos eléctrico y magnético. Así, un observador que ve la partícula en movimiento mide campos eléctrico y magnético que cambian con el tiempo a medida que la partícula se acerca y se aleja del observador, mientras que un observador en reposo con respecto a la carga (o que se mueve con ella) sólo mide un campo eléctrico constante.

B.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE En realidad, históricamente, las primeras observaciones de campos magnéticos creados por cargas en movimiento tuvieron lugar observando corrientes eléctricas. En 1820, H. C. Oersted, al observar la desviación de la aguja de una brújula colocada cerca de un conductor por el que pasaba una corriente (experiencia de Oersted), concluyó que una corriente eléctrica produce un campo magnético cuya dirección es perpendicular a dicha corriente. Como la corriente eléctrica es un flujo de cargas eléctricas que se mueven en una dirección, la conclusión es que cada carga produce un campo magnético. Por tanto, el campo magnético creado por la corriente es la suma de los campos magnéticos producidos por cada una de las partículas en movimiento. A partir de la experiencia de Oersted y tras muchos experimentos efectuados por varios físicos, A. M. Ampère y P. Laplace llegaron de manera empírica r a la expresión que proporciona el campo magnético B creado por una corriente de intensidad I en un punto P. Éste es el resultado de sumar las aportaciones de todos y cada uno de los elementos de corriente en que podemos dividir el conductor por el que se mueven las cargas eléctricas. r La aportación elemental al campo magnético debida a un elemento de conductor dL por el r r dLxrˆ dB = k’ I 2 que pasa una corriente I es: r FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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donde:

320

r r + dB es el campo magnético elemental creado en P por el elemento dL de conductor por el que circula una corriente I . r + r es la distancia desde el elemento de conductor dL al punto P; y rˆ es el versor en esa dirección y sentido. + k’ es una constante que depende del medio. k’ se expresa mejor como μ/4π , donde μ se denomina permeabilidad magnética del medio. En particular, para el vacío (y para el aire, prácticamente), y en el S.I. vale: μ0 = 1’25664x10-6 T.m.A-1 = 4π.10-7 T.m.A-1 ⇔ k’0 = μ0/4π = 10-7 T.m.A-1

Así pues,

r r μ 0 dLxrˆ dB = I 2 4π r

Segunda ley de Laplace

(11)

El campo magnético creado en P por un conductor cualquiera por el que pasa una corriente I se calcula por integración de (11) extendida a dicho conductor, entendiendo ésta como suma de las aportaciones de cada trozo elemental en que podemos considerar dividido el conductor. O sea: r r μ0 ˆ dLxr B= I (12) ∫ 4π Conductor r 2

r μ q.vr xrˆ La segunda ley de Laplace puede ser deducida de la expresión (9), B = 0 , tomando ésta 4π r 2 como expresión resultante de los experimentos desarrollados a partir de Oersted.

La carga dq que atraviesa la sección del conductor en un tiempo dt es dq = I.dt. Esta carga, moviénr r r dose con velocidad v , se encuentra en ese tiempo en el elemento de conductor dL = v.dt . r Por tanto, el campo dB creado por dicha carga dq es, según (9): r r r r r r μ0 μ0 μ 0 v.dtx r μ 0 dLxrˆ vxrˆ vxrˆ dB = dq 2 = I dt 2 = I 2 = I 2 4π 4π 4π 4π r r r r

C.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILÍNEA INDEFINIDA A partir de la experiencia de Oersted, los científicos J. B. Biot y F. Savart consiguen medir el campo magnético en las proximidades de un conductor rectilíneo, muy largo, por el que circula una corriente eléctrica. Deducen la ley que lleva su nombre y que puede resumirse así: El campo magnético creado por una corriente rectilínea en un punto es: + proporcional a la intensidad de la corriente. + inversamente proporcional a la distancia del punto a la corriente. + depende del medio material en el que se encuentran el conductor y el punto. O sea,

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B= K

I R

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Además: + las líneas del campo magnético son curvas circulares situadas en planos perpendiculares r al conductor y centradas con él. Su sentido, y por tanto el de B , viene dado por la Regla de la mano derecha: “Colocando la mano derecha semicerrada, y señalando con el dedo pulgar la dirección de la corriente I, los otros dedos señalan el sentido de las líneas del campo.” La Regla del tornillo es similar: “El sentido de las líneas del campo es el de giro de un tornillo cuando avanza en la dirección de la corriente en el conductor.” A partir de la segunda ley de Laplace, fórmulas (11) y (12), podemos deducir esta ley de Biot y Savart. Sea un conductor rectilíneo, muy largo (teóricamente indefinido), por el que fluye una corriente I. Vamos a calcular el campo magnético creado en un punto P, situado a una distancia R del conductor. Elijamos según el conductor y el sentido de la corriente el eje de abscisas X, como señala la figura: r r μ 0 d l xrˆ La expresión dB = I conduce a: 4π r 2 μ dl.senα μ 0 dx.senα' μ 0 dx. cos θ dB = 0 I = I = I 4π 4π 4π r2 r2 r2 R R Además, r = y x = R.tgθ ⇒ dx = dθ . cos θ cos 2 θ Sustituyendo en dB los valores de dx y r, resulta: μ I dB = 0 cosθ. dθ 4π R r Ésta es la aportación del elemento de corriente d l al campo magnético total. Como se observa, depende del ángulo θ. Para calcular el campo B, integraremos la expresión anterior desde θ = - π/2 (cuando x = - ∝) hasta θ = + π/2 (cuando x = + ∝): +π 2

μ0 μ μ B= I cos θ.dθ = 0 I [senθ]+− ππ 22 = 0 ( I / R). 4πR − π 2 4πR 2π

∫

O sea,

B=

μ0 I 2π R

(13)

r La dirección y el sentido de B ya fue comentada. Las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el conductor, y situadas en planos perpendiculares a él, como se r deduce de la expresión vectorial de dB . Se observa que son líneas cerradas, a diferencia de las líneas de campo eléctrico, que parten de las cargas positivas y mueren en las negativas, siendo líneas abiertas. Esta propiedad de las líneas de campo magnético, de cerrarse sobre sí mismas, es general, cualquiera que sea el conductor.

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D.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE CIRCULAR en puntos del eje (espira circular)

En muchos dispositivos que utilizan una corriente eléctrica para crear un campo magnético (un electroimán, un transformador, ...) el hilo que soporta la corriente está arrollado en forma de bobina (solenoide). De ahí el interés de estudiar el campo magnético creado por una sola espira de hilo que transporta la corriente. La figura representa una espira circular, de radio R , por la que pasa una corriente I . Situemos los ejes coordenados en el centro O de la espira de modo que ésta se sitúe en el plano YZ, coincidiendo el eje X con el de la espira. Sea P un punto del eje, de abscisa x. Deseamos calcular el campo magnético en él.

r r μ 0 dL x rˆ dB = I 4π r2

⇒

dB =

μ 0 dL.sen( π 2) μ 0 dL I = I 4π 4π r 2 r2

r El vector dB se puede descomponer en las dos direcciones: componente dB|| según el eje perpendicular a dicho eje: OX, y componente dB⊥ enr dirección r r dB = dB || + dB ⊥ donde dB|| = dB senθ y dB⊥ = dB cosθ Por razón de simetría (figura), las componentes dB⊥, sumadas para toda la espira, dan resultante nula. Sólo contribuyen al campo total las componentes dB||. Así pues: μ senθ μ senθ dB || = dB . senθ = 0 I 2 2πR = 0 I 2 R B= 4π r 2 r Espira Espira

∫

∫

Teniendo en cuenta que r = (R2 + x2)1/2 y senθ = R/r resulta finalmente: B=

μ0 R2 I 2 2 (R + x 2 ) 3 / 2

Y vectorialmente:

r μ R2 ˆi B= 0 I 2 2 (R + x 2 ) 3 / 2

(14)

En el centro O de la espira (x = 0) el campo magnético vale: B0 =

μ0 I 2 R

Vectorialmente

r μ I ˆ B0 = 0 i 2 R

(15)

Si en lugar de una sola espira se dispone de una bobina de N espiras, cada una de éstas contribuye en igual medida a la creación del campo. La anterior expresión resulta, para el centro de la bobina: r μ NI ˆ B0= 0 i (16) 2 R FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Líneas de campo magnético debidas a una corriente circular

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Líneas de campo magnético debidas a una corriente solenoidal

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324

5.- CIRCULACIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO: LEY D’AMPÈRE r

Dado un campo vectorial C y una curva cerrada c, la integral

∫

r r C.d r se llama circulación

c

r de C a lo largo de la curva c. r

r

Hemos visto que para los campos gravitatorio g y eléctrico E se verifica:

r r ∫ g.d r = 0

r r E ∫ .d r = 0

y

c

para todo c.

c

Por ello decíamos que ambos campos son conservativos, procediendo, en consecuencia, de un potencial cada uno: potencial gravitatorio y potencial eléctrico, respectivamente.

r

Este caso no se da para el campo magnético B : El campo magnético no es conservativo. En efecto, volvamos a considerar el campo creado por una corriente rectilínea indefinida. Tomemos como curva cerrada de integración precisamente una línea de campo (circunferencia), y calculemos la anterior circulación:

r r B ∫ .d r c

En todo punto de la línea de campo c el módulo del magnético tiene el mismo valor, r campo r si bien su dirección es tangente a dicha línea. Por tanto B y d r son vectores paralelos, por lo que r r B.d r = B ds cos0º = B ds

r r ⎛ μ0I ⎞ B ∫c .d r = ∫c B.ds = B∫c ds = ⎜⎝ 2πR ⎟⎠(2πR) = μ 0 I

Así pues:

r r B ∫ .d r = μ0 I c

⇒ La circulación del campo magnético no es nula, sino proporcional a la intensidad de corriente I; además es independiente del radio de la línea de campo elegida como camino de integración. Un análisis más riguroso, que omitimos, indica que cualquiera que sea el camino cerrado c que encierra la corriente I, y cualquiera que sea la forma del conductor de corriente, se verifica la anterior expresión. Más aún, si se dispone de varias corrientes I1, I2, ..., Ii, ..., In, enlazadas por la línea cerrada c, se cumple la denominada Ley de Ampère: “La circulación de un campo magnético a lo largo de una línea cerrada que enlaza las corrientes I1, I2, ..., Ii, ..., In es

r r

∫ B.dr = μ ∑ I donde

∑I

0

i

c

i

representa la corriente total neta enlazada por la línea cerrada c.”

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(17)

U IV T 13: Campo Magnético

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La aplicación de la ley de Ampère exige asignar un sentido de recorrido de la curva de integración. En virtud de esta elección, tomamos como positivas las corrientes que atraviesan la superficie limitada por c en el sentido de avance de un tornillo que gire de acuerdo con el de recorrido de la curva, y negativas las que lo hacen en sentido de avance contrario. En el caso de la figura:

r r

∫ B.d r = μ

0

(I1 – I2 + I 3)

c

Haciendo uso de la ley de Ampère, puede calcularse cómodamente el campo magnético producido por distribuciones de corriente que gocen de cierta simetría geométrica: el campo magnético en el interior de un solenoide recto y largo, o el campo magnético en el interior de un solenoide toroidal, por ejemplo. 1.- Solenoide toroidal.- Campo magnético creado en su interior.

Una bobina toroidal, o solenoide toroidal, consiste en un alambre uniformemente arrollado en un toroide o superficie anular de sección circular. Supongamos que el radio a de la sección toroidal es mucho menor que el radio R del toroide. Sea N el número de vueltas o espiras del alambre conductor, igualmente espaciadas, e I la intensidad de corriente que circula por ellas. La simetría del problema sugiere que las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el toroide. Consideremos primeramente la línea de campo c, interior al toroide, de radio R, como camir r no de integración en la aplicación del teorema de Ampère. Entonces, por un lado: B.d r = B.2πR

∫ c

r r pues B y d r son vectores paralelos y B tiene el mismo valor en todos los puntos de c (simetría). Por otro lado, Ii = N I pues el número de conductores de corriente que atraviesan la superficie

∑

enmarcada de radio R, en el mismo sentido, es el de espiras del toroide, o sea N. r r Por tanto: B.d r = μ0 Ii se escribe para este caso: B.2πR = μ0 N I

∫ c

∑

⇒

B=

μ 0 N.I 2π R

Y si llamamos n ≡ N/2πR al número de espiras del toroide por unidad de longitud, B = μ0 n I. Estas dos expresiones dan el valor del campo magnético creado por la corriente toroidal en el interior del solenoide. Es constante. En el exterior del solenoide, el campo magnético es nulo. En efecto, el propio teorema de Ampère lo prueba, ya que, se tome la curva c’ o c’’ como caminos de integración, la corriente total que atraviesa las superficies que determinan es nula: FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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+ en el caso del camino c’’, no hay corrientes. + en el caso de c’, la corriente en cada espira, atraviesa la superficie dos veces y en sentido opuesto. 2.- Solenoide recto, muy largo.- Campo magnético en su interior.

Calculemos el campo magnético en el interior del solenoide, de N espiras arrolladas en un cilindro de longitud grande frente al diámetro del mismo (al menos, unas cinco veces mayor). El cálculo es válido alejados de los extremos del solenoide. Apliquemos el teorema de Ampère,

r r B ∫ .d r = μ0 ∑ Ii, c

tomando como camino de integración la curva c. Esta curva es una línea de campo cerrada. Consideremos en ella las siguientes partes: interior, AB ≡ L; cercanas a los extremos, DA y BC; exterior, CD. El campo magnético sólo tiene valor en el interior del solenoide (valor que buscamos); en el exterior es nulo especialmente en la parte alejada del solenoide; y en las proximidades de sus polos decrece rápidamente, pudiéndose tomar como aproximadamente nulo.

∫

r r

Por tanto, por un lado: B.d r = c

Por otro lado, μ0

∑ Ii = μ

0

r r

r r

r r

∫ B.d r + ∫ B.d r + ∫ B.d r

AB

CD

BC +DA

=

∫ B.dr

+ 0 + 0 = B.L

AB

N I.

N.I L Y si llamamos n ≡ N/L al número de espiras por unidad de longitud, del solenoide,

Así pues, igualando, resulta:

B = μ0

B = μ0 n I Si dentro de los solenoides introducimos una barra cilíndrica de hierro o material ferromagnético (μ >> μ0), el campo magnético que se crea es mucho más intenso. Se tiene entonces un electroimán.

6.- FUERZAS ENTRE CORRIENTES RECTILÍNEAS: DEFINICIÓN DE AMPERIO Veamos, a continuación, la interacción entre dos corrientes I1 e I2 que circulan por sendos conductores, 1 y 2. Considerémoslos ambos rectilíneos, de longitud L, paralelos y separados una distancia d. En cualquier punto del conductor 2 el campo magnético B1 creado por I1 está dado por (ecuación (13)): μ I B1 = 0 1 2π d r siendo la dirección de B1 la señalada en la figura.

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La fuerza F2 ejercida por B1 sobre la corriente I2 es (ecuación (5)): r r r μ I μ II F2 = I 2 (LxB1 ) ⇒ F2 = I2 L 0 1 ⇒ F2 = 0 1 2 .L 2π d 2π d

μ0 I2 2π d μ 0 I1 I 2 .L y la fuerza magnética F1 ejercida por B2 sobre la corriente 1 vale: F1 = I1 L B2 = 2π d Como se ve, efectivamente las acciones son iguales y opuestas, F1 = F2 ≡ F μ II (18) F = 0 1 2 .L 2π d Análogamente, campo magnético creado por I2 en puntos del conductor 1 es:

B2 =

Estas fuerzas de interacción son tales que “dos corrientes paralelas en el mismo sentido se atraen; r sir son de sentido contrario, se repelen”, como puede observarse estudiando el sentido de F1 y F2 . (Figura). La fuerza ejercida entre corrientes eléctricas se utiliza para definir la unidad de intensidad de corriente en el S.I.: el Amperio (A). Esta unidad sustituye al Culombio, unidad de carga eléctrica, como unidad fundamental, a causa de la facilidad de cálculo y experimentación utilizando el estudio anterior. Escribiendo (17) así: F μ 0 I1 I 2 = L 2π d y haciendo d = 1 metro y F/L = 2x10-7 N/m, se define el amperio de este modo: “Dos conductores paralelos, situados a 1 metro de distancia, en el vacío, están recorridos por una intensidad de corriente de 1 amperio si se atraen con una fuerza de 2x10-7 newtons por metro de longitud de conductor.”

La balanza de la figura inferior, denominada balanza de corrientes, es un dispositivo adecuado para realizar experimentalmente la medida de la fuerza ejercida entre dos conductores paralelos.

Balanza de corrientes, para medir una corriente en función de la fuerza magnética entre dos conductores paralelos

2

La misma corriente pasa por los dos conductores, de modo que F/L = 2x10-7 I /d . Primero se equilibra la balanza cuando no hay corrientes en el circuito. Cuando por éste circula la corriente, es necesario agregar pesas en el platillo izquierdo para equilibrar nuevamente la balanza. Usando los valores conocidos de F, L y d, podemos encontrar el valor de I . FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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7.- MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIA La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que actúa entre los materiales magnéticos tales como el hierro: los imanes. Sin embargo, en toda la materia se pueden observar efectos más sutiles del magnetismo. Cuando un campo magnético se crea en el seno de un medio material, su intensidad se ve afectada por dicho medio. Decimos entonces que éste se ha magnetizado. En el modelo de Bohr, los electrones que giran en torno al núcleo constituyen corrientes eléctricas que son dipolos magnéticos, (de acuerdo con el estudio desarrollado en Tema 13, nº 3C), de momento dipolar magnético |m| = I S = π e f r2. Además cada electrón presenta un momento dipolar magnético intrínseco asociado a su espín. En definitiva, r cada átomo presenta un momento dipolar total. En presencia de un campo magnético exterior B 0 se produce la interacción r de estos dipolos con dicho campo, lo que se traduce en una variación de B 0 . Estas fuerzas mutuas entre estos momentos de dipolo magnético y su interacción con un campo magnético externo son de importancia fundamental para entender el comportamiento de materiales magnéticos. No entramos en detalles y sólo describiremos las tres categorías de materiales: paramagnéticos, diamagnéticos y ferromagnéticos, según la respuesta de los mismos a la acción de un campo externo B0. Esta respuesta depende en parte de los momentos dipolares magnéticos de los átomos del material y en parte de las interacciones entre los átomos.

El paramagnetismo ocurre en materiales cuyos átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes; no hay diferencia si estos momentos dipolares son del tipo orbital o del tipo de espín. El paramagnetismo nace del alineamiento parcial de los momentos magnéticos moleculares (mm) en presencia de un campo magnético externo. Los r mm están, en estado normal, orientados al azar. Y en presencia del campo magnético externo B 0 los dipolos se alinean parcialmente en la dirección del campo, produciéndose un aumento del campo (Recuérdese “acción de un campo magnético sobre una espira”). A temperaturas ordinarias y con campos externos normales, sólo una fracción muy se orienta con el r pequeña r campo, por consiguiente el aumento del campo es muy pequeño: B = μ' B 0 donde μ’ es la perr r meabilidad relativa del medio paramagnético, de valor μ’ > 1 pero μ’ ≅ 1 ⇒ B > B 0 ≅ B Son sustancias paramagnéticas el aire, el platino, el aluminio, el oxígeno, el FeCl3 ... El ferromagnetismo, al igual que el paramagnetismo, se presenta en materiales en los que los átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes. Lo que distingue a los materiales ferromagnéticos de los materiales paramagnéticos es que, en los materiales ferromagnéticos, existe una fuerte interacción entre los momentos dipolares atómicos vecinos que los mantiene alineados incluso cuando se suprime el campo magnético externo. El que esto ocurra o no depende de la intensidad de los dipolos atómicos y también, puesto que el campo del dipolo cambia con la distancia, de la separación entre los átomos del material. Los materiales ferromagnéticos más comunes a la temperatura ambiente incluyen a los elementos hierro, cobalto y níquel. Los elementos ferromagnéticos menos comunes, alguno de los cuales muestran su ferromagnetismo sólo a temperaturas mucho menores que la temperatura ambiente, son los elementos de las tierras raras, como el gadolinio y el disprosio. También pueden ser ferromagnéticos los compuestos y las aleaciones, por ejemplo, el CrO2, el ingrediente básico de las cintas magnéticas: es ferromagnético aunque, ninguno de los elementos, cromo u oxígeno, es ferromagnético a temperatura ambiente. Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre átomos vecinos que causa el ferromagnetismo al aumentar la temperatura de una sustancia. A la temperatura a la cual un material ferromagnético se vuelve paramagnético se le denomina temperatura Curie. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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La temperatura Curie del hierro, por ejemplo, es de 770 ºC; por encima de esta temperatura, el hierro es paramagnético. La temperatura Curie del metal gadolinio es de 16 ºC; a la temperatura ambiente, el gadolinio es paramagnético, mientras que a temperaturas por debajo de los 16 ºC, el gadolinio se vuelve ferromagnético. r r En el caso ferromagnético, B = μ' B 0 con μ' >>> 1 , a veces μ’ ≈ 4000, 5000, o más. Este hecho justifica por qué en un electroimán, o bobina, u otros casos, se introduce un núcleo de hierro: el campo magnético queda así multiplicado por el factor μ’.

Diamagnetismo: En 1847, Michael Faraday descubrió que una muestra de bismuto era repelida por un imán potente. A tales sustancias las llamó diamagnéticas. (Por el contrario, las sustancias paramagnéticas son atraídas siempre por un imán). El diamagnetismo se presenta en todos los materiales. Sin embargo, generalmente es un efecto mucho más débil que el paramagnetismo y, por lo tanto, puede observarse más fácilmente sólo en materiales que no sean paramagnéticos. Tales materiales podrían ser aquellos que tienen momentos dipolares magnéticos atómicos de valor cero, originándose quizás en átomos que tienen varios electrones con sus momentos magnéticos orbital y de espín que al sumarse vectorialmente dan un valor cero. (El diarnagnetismo es análogo al efecto de los campos eléctricos inducidos en la electrostática. Un trozo de material no cargado, como el papel, es atraído hacia una barra cargada de cualquier polaridad. Las moléculas del papel no tienen momentos dipolares eléctricos permanentes pero adquieren momentos dipolares inducidos por la acción del campo eléctrico, y estos momentos inducidos pueden entonces ser atraídos por el campo).

En los materiales diamagnéticos, los átomos que no tienen momentos dipolares magnéticos permanentes adquieren momentos dipolares inducidos cuando están situados dentro de un campo magnético externo. Consideremos que los electrones que giran en un átomo se comporten como espiras de corriente. Cuando se aplica un campo externo B0, el flujo a través del anillo cambia. Según la ley de Lenz, el movimiento debe cambiar de manera tal que un campo inducido se oponga a este aumento en el flujo. En pues, en el medio diamagnético el campo magnér definitiva, r tico decrece, bien que muy poco. B = μ' B 0 donde μ’ < 1 es la permeabilidad relativa del medio r r diamagnético, de valor μ’ < 1 pero μ’ ≅ 1 ⇒ B < B0 ≅ B Son sustancias claramente diamagnéticas el bismuto, el cobre, mercurio, plomo, agua, hidrógeno, entre otras muchas. (Si quisiéramos traer un solo átomo de un material como el bismuto cerca del polo norte de un imán, el campo (que apunta alejándose del polo norte) tiende a aumentar el flujo a través de la espira de corriente que representa al electrón circulando en torno al núcleo de bismuto. De acuerdo con la ley de inducción de Lenz, en la espira debe aparecer una corriente que origine un campo inducido apuntando en la dirección opuesta al campo de imán (o sea, dirigida hacia el polo N del imán). La espira es así un imán elemental situado con su polo N más cercano al polo N del imán. Los dos imanes pues se repelen entre sí, y el átomo de bismuto es rechazado por el imán inicial. Este efecto ocurre sin importar cuál sea el sentido de la rotación de la órbita original, de modo que, en un material diamagnético, la magnetización se opone al campo aplicado).

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8.- DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO CAMPO ELÉCTRICO

CAMPO MAGNÉTICO

1.- Es una perturbación del medio originada por 1.- Es una perturbación del medio originada por cargas eléctricas, tanto en reposo como en cargas eléctricas en movimiento. movimiento. 2.- Es inversamente proporcional al cuadrado 2.- Depende de la distancia y de la orientación. de la distancia. 3.- Es un campo de fuerzas centrales.

3.- No es un campo de fuerzas centrales.

4.- Las fuerzas eléctricas tienen la misma di- 4.- Las fuerzas magnéticas son perpendiculares al campo. rección que el campo. 5.- Una carga eléctrica siempre experimenta la 5.- Una carga eléctrica experimenta la acción acción de un campo eléctrico. de un campo magnético solamente cuando se mueve en una dirección diferente a la del campo. 6.- Las líneas del campo eléctrico son abiertas.

6.- Las líneas del campo magnético son siempre cerradas.

7.- Pueden existir cargas eléctricas aisladas.

7.- No existen polos magnéticos aislados.

8.- El campo eléctrico es conservativo, por lo 8.- El campo magnético no es conservativo, por lo cual no tiene sentido definir una función pocual se puede definir una función potencial. tencial. 9.- La intensidad de la interacción eléctrica de- 9.- La intensidad de la interacción magnética pende del medio, siendo mayor en el vacío que depende del medio pero, según el tipo de material, puede ser mayor o menos que en el vacío. en los medios materiales.

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ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS GRAVITATORIO, ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO CAMPO GRAVITATORIO

CAMPO ELÉCTRICO

1.- Es un campo de fuerzas 1.- Es un campo de fuerzas que actúa sobre cuerpos ma- que actúa sobre cuerpos con teriales por el hecho de tener cargas eléctricas. masa.

CAMPO MAGNÉTICO 1.- Es un campo de fuerzas que actúa sobre cuerpos con cargas eléctricas en movimiento.

2.- La fuerza ejercida es pro- 2.- La fuerza ejercida es pro- 2.- La fuerza ejercida es proporcional a la masa sobre la porcional a la carga eléctrica porcional a la carga eléctrica que actúa. sobre la que actúa. sobre la que actúa. 3.- La fuerza gravitatoria es 3.- La fuerza eléctrica puede 3.- En general, no se puede siempre de atracción. ser de atracción o de repul- afirmar que el sentido de la sión. fuerza magnética sea ni de atracción ni de repulsión. 4.- El campo queda definido 4.- El campo queda definido 4.- El campo queda definido r en cada punto por rel vector en cada punto por rel vector en cada punto por el vector B r F r F tal que r E= g= r r F = q ( v x B) q m

5.- La intensidad del campo gravitatorio debido a una masa puntual es inversamente proporcional al cuadrado de la r m distancia: g = − G 2 rˆ r

5.- La intensidad del campo eléctrico debido a una carga puntual es inversamente proporcional al cuadrado de la r q distancia: E = k 2 rˆ r

5.- El campo magnético debido a un elemento conductor por el que circula una corriente eléctrica I es inversamente proporcional al cuadrado de la disr r μ 0 I dL x rˆ tancia: dB = 4π r2

6.- La constante G es una constante universal, no dependiente de los medios.

6.- La constante electrostática k tiene un valor diferente según el medio.

6.- La permeabilidad magnetica μ depende del medio.

7.- Es un campo de fuerzas 7.- Es un campo de fuerzas 7.- Es un campo de fuerzas no conservativo. conservativo. conservativo. 8.- Se puede definir un potencial gravitatorio.

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8.- Se puede definir un potencial eléctrico.

8.- No tiene sentido definir un potencial magnético.

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9.- El potencial gravitatorio V en un punto es la energía potencial gravitatoria de la unidad de masa en ese punto: Ep = m V

9.- El potencial eléctrico V en 9.- Sin sentido. un punto es la energía potencial eléctrica de la unidad positiva de carga en ese punto: Ep = q V

10.- El potencial gravitatorio V en un punto debido a una masa puntual es inversamente proporcional a la distancia: m V = –G r

10.- El potencial eléctrico V en 10.- Sin sentido. un punto debido a una carga puntual es inversamente proporcional a la distancia: q V=k r

11.- Las líneas de campo gravitatorio son abiertas: nacen en el infinito y mueren el las masas.

11.- Las líneas de campo eléc- 11.- Las líneas de campo trico son abiertas: nacen en el magnético son cerradas. infinito y en las cargas positivas y mueren en el infinito y en las cargas negativas.

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ACTIVIDADES DESARROLLADAS 1.- Hallar el radio de la trayectoria circular que describe una partícula α en el seno de un campo magnético de 0’5 mT, si su velocidad es de 2x105 m/s, perpendicular al campo. Se supone, para la partícula α, que mp ≈ mn ≡ m = 1’67x10-27kg y e = 1’6x10-19 C.

Una partícula α es un núcleo de helio, 42 He 2+ , por lo que: masa, m = 2mp + 2mn ≅ 4mp carga, q = 2e r r r La fuerza magnética sobre ella vale: F = q( vxB) → F = q v B r r Esta fuerza es siempre perpendicular a la trayectoria ( F ⊥ v ), por lo que producirá una aceleración v2 , y la trayectoria deberá ser una circunferencia. Su radio lo obtenemos a partir centrípeta an = R v2 m.v 4m p v 2m p v de la 2ª ley de Newton: F = m. an → q v B = m → R= = = R 2e..B q.B e.B R=

2 x1'67 x10 −27 x 2 x10 5 = 8’35 metros de radio 1'6x10 −19 x0'5x10 −3

2.- En una región del espacio coexisten un campo eléctrico y otro magnético, perpendiculares entre sí, y de intensidades E y B respectivamente. A pesar de ello, una partícula con carga q se mueve en línea recta con velocidad constante. Calcular cuál debe ser su módulo, dirección y sentido.

a) Supongamos un caso sencillo en el que la partícula entra en la región de los campos perpendicularmente a ellos. Para que no se desvíe de su trayectoria r r recta es preciso que la fuerza r eléctrica r r Fe = qE contrarreste a la magnética Fm = q( vxB) , siendo ambas iguales y de sentido contrario En la figura se r r dibuja el caso q > 0. Fe = −Fm → Fe = Fm → q E = q v B

⇒

v=

E B

b) En el caso más general, supongamos que la partícula penetra en la región de los campos con r r r una velocidad cualquiera, v = v x . $i + v y . $j + v z . k$ Sean los campos E = −E.kˆ y B = −B.ˆi , eligiendo r r un sistema de coordenadas habitual (como en la figura). Entonces la expresión Fe = −Fm se escribe: ⎧v x = arbitrario ˆi ˆj kˆ ⎪⎪ E vy = - q.E kˆ = - q v x v y v z ⇒ E kˆ = - vz B ˆj + vy B kˆ ⇒ ⎨ B ⎪ −B 0 0 vz = 0 ⎩⎪

que significa que, para que no haya desviación de la partícula por los campos cruzados, es preciso que su velocidad sea perpendicular al campo eléctrico (vz = 0) y que su componente según la dirección perpendicular al campo magnético sea precisamente vy = E / B . En cuanto a la componente en la dirección del campo magnético, vx, puede tomar cualquier valor.

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3.- Una varilla de 140 g de masa y 30 cm de longitud descansa en una superficie horizontal, y circula por ella una corriente de 24 A. Se aplica un campo magnético vertical cuya intensidad va creciendo; cuando alcanza el valor de 60 militeslas, la varilla empieza a deslizarse por la superficie. Determinar: a) el coeficiente estático de rozamiento varilla-superficie. - b) el trabajo que realiza la fuerza debida al campo magnético para desplazar la varilla una distancia de 1’5 m. - c) el aumento de energía cinética en ese desplazamiento si el campo magnético se hace tres veces más intenso.

a) Fuerzas:

r r r Fm = I( l xB) → Fm = I l B r r Fg = mg r r r N = Fg = mg → N = mg r Froz (rozamiento estático; en el límite, lim Froz = μe N = μe mg)

En el momento en el que se rompe el equilibrio y comienza el movimiento: Fm = lim Froz → I l B = μe mg IlB 24 x 0'3x 0'06 → μe = = 0’31 = mg 0'14 x9'81 r r b) Trabajo de la fuerza magnética: W = Fm .Δx = I l B Δx = 24x0'3x0’06x1’5 = 0’648 julios

c) Se supone que el coeficiente de rozamiento dinámico es igual a μe. Entonces Froz = μemg = I l B Fm → F’m = 3 I l B . La resultante de las fuerzas es F = F’m – Froz = 3 I l B - I l B = 2 I l B. El trabajo de esta resultante es igual a la variación de la energía cinética de la varilla, ΔEc = Wneto = F . Δx = 2 I l B Δx = 1’296 julios 4.- El campo eléctrico entre las placas del selector de velocidades de un espectrógrafo de masas de Bainbridge es 1’2x105 V m-1 y ambos campos magnéticos son de 0’60 T. Un haz de iones de azufre con carga +e se desdobla en dos trayectorias circulares, de 11’76 y 11’06 cm de radio respectivamente, en el campo magnético. Determinar a qué isótopos corresponden.

E = 1’2x105 V.m-1

B = 0’6 T

q = e = 1’6x10-19 C

El selector de velocidades consigue que sólo pasen por el diafragma S3 los iones con una velocidad dada: E 1'2x10 5 v= = = 2x10 5 m/s 0'6 B En la 2ª región del campo magnético los iones S+ que pasaron experimentan desviaciones según dos trayectorias circulares de radios R1 y R2, correspondiendo a diferentes masas de los iones S+, m1 y m2 .

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Se verificará para cada caso: F = m.an → q v B = m v2/R → m =

q.B.R e.B.R e.B 2 .R = = v EB E

e.B 2 .R1 1'6 x10 −19 x 0'6 2 x11'76 x10 −2 = 5’665x10-26 kg = = 5 E 1'2 x10 -23 -23 23 = 5’665x10 g = 5’665x10 g x 6’02x10 u/g = 33’9817 u Corresponde al isótopo

34 16 S.

e.B 2 .R 2 1'6x10 −19 x 0'6 2 x11'06 x10 −2 = = 5’3088x10-26 kg = E 1'2x10 5 = 5’3088x10-23 g = 5’3088x10-23 g x 6’02x1023 u/g = 31’9590 u Corresponde al isótopo

32 16 S.

Para los iones de masa m1: m1 =

Para los iones de masa m2: m2 =

5.- Experimento de J.J.Thomson.- Un fino haz de electrones, procedente de una descarga disruptiva, penetra horizontalmente en la región de dos campos, eléctrico y magnético, cruzados entre sí. La trayectoria del haz incidente es perpendicular a ambos campos. El campo eléctrico está producido por un condensador plano (longitud de las armaduras, a = 1 cm; distancia entre ellas, b = 0’5 cm; diferencia de potencial, ΔV = 100 voltios. El haz incide, tras la región de los campos, en una pantalla fluorescente situada a L = 80 cm de ellos. Cuando actúa únicamente el campo eléctrico, el haz se desvía d = 5,1 cm, medidos en la pantalla. Se aplica a continuación el campo magnético progresivamente creciente, consiguiendo corregir la desviación anterior para un valor de dicho campo, B = 0,85 mT. Hallar la relación carga-masa, e/m, o carga específica de los electrones.

Trayectoria del haz de electrones dentro del recinto de acción del campo eléctrico, suponiendo que sólo actúa dicho campo.- y(x) e ΔV 2 ∧ x=vt ⇒ y= y = ½ ay t2 ∧ ay = F/m = e E / m ∧ E = ΔV / b .x m.v 2 2.b La desviación del haz, a la salida de este recinto, se obtiene calculando y para x = a, resultando: e a2 y0 = ΔV m.v 2 2.b La desviación angular β del haz, debida al campo eléctrico, se obtiene a partir de las componentes de la velocidad, a la salida: v y a y .t (eE m)(a / v ) e e a aE = = = = ΔV tg β = 2 vx v v m.v m.v 2 b FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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La desviación del haz d, medida en la pantalla (punto O’), viene dada por: e La ΔV d = L.tg β = m.v 2 b Aplicamos a continuación, el campo magnético. Veamos cuál debe ser su valor para que las partículas del haz no se desvíen: la acción del campo magnético ha de contrarrestar la del campo eléctrico, con lo que la señal del haz vuelve al punto O de la pantalla: ΔV → evB=eE → B=E/v ⇔ v=E/B= Fm = Fe b.B Por tanto, sustituyendo este valor de la velocidad en la expresión de la desviación, se llega a: e B2 d= L.a.b m ΔV e d ΔV 0'051 100 = = = 1’765x1011 C/kg ⇒ 2 m L.a.b B 0'8x0'01x0'005 ( 0'85x10 −3 ) 2

6.- Por un alambre de cobre, situado en el ecuador terrestre y paralelamente a él, pasa una corriente que lo mantiene flotando por la acción del magnetismo terrestre. Determínese dicha intensidad. - Datos: Densidad lineal de masa del conductor, λ = 8 g/m; componente horizontal del campo magnético, B = 5x10-5 T.

“... lo mantiene flotando...” significa que el conductor se encuentra en equilibrio, bajo la acción de la fuerza gravitatoria (su peso) en sentido vertical hacia abajo y la fuerza magnética que ha de ejercerse verticalmente hacia arriba. Entonces: m.g l.B y puesto que m = λ.l, resulta en definitiva:

Fm = Fg →

I=

IlB=mg → I =

λ.g 8x10 −3 x9'80 = 1568 amperios = B 5x10 −5

7.- Hallar la intensidad del campo magnético producido por dos corrientes rectilíneas, paralelas, indefinidas y de sentidos opuestos, de intensidades I1 = 2 A e I2 = 3 A, en los puntos M y N de la figura, siendo a = 10 cm.

En M: r r r μ μ0 B M = B M1 + B M2 = B M1 .ˆj + B M2 .ˆj = (B M1 + B M2 ).ˆj = = ( 0 I1 + I2). ˆj = 2π.a 2π.a FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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=

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μ0 2 x10 −7 (I1 + I2). ˆj = ( 2 + 3) = 10 −5 ˆj teslas. 2π.a 0,1

En r N: r r B N = B N1 + B N2 = B N1 .ˆj + B N2 .ˆj = (B N1 − B N2 ).ˆj = =(

μ0 μ μ 1 I1 - 0 I2). ˆj = 0 ( I1 – I2). ˆj = 2π.3a 2π.a 2π.a 3 −7 2 x10 2 = ( − 3) = −4,67 x10 −6 ˆj teslas 0,1 3

8.- Hallar la intensidad del campo magnético en el centro de dos espiras circulares concéntricas situadas en planos perpendiculares, de 2 m y 3 m de radio, por las que pasan corrientes de 12 A y 15 A, respectivamente.

r r r μ μ0 B 0 = B1 + B 2 = B1 .kˆ − B 2 .ˆi = 0 I1. kˆ I 2. ˆi = 2.R1 2.R 2 12 15 = 2πx10-7x kˆ - 2πx10-7x ˆi = 2 3 -7 ˆ ˆ = 6’283x10 (- 5 i +6 k ) teslas

O bien:

B0 = 4’91x10-6 teslas 6 α= arc tg = 55’194º = 50º 11’ 40’’ 5

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ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.- Se lanza un protón en una región en la que actúan los campos cruzados eléctrico y magnético, perpendiculares entre sí. El protón entra asimismo perpendicularmente a los campos cruzar dos. ¿Cuánto debe valer la velocidad v para que la carga no se desvíe?- Se retira el campo eléctrico; ¿qué trayectoria sigue entonces la carga? Hallar el radio de curvatura de la misma. Datos: e = 1’6x10-19 C.- mp = 1’67x10-27 kg.- E = 2000 V/m.- B = 20 mT. R.: v = 100000 m/s R = 5’22 cm

r 2.- Demostrar que una partícula de carga q y de masa m, con velocidad v perpendicular a un r campo magnético B uniforme, tiene un movimiento circular uniforme. Hallar su radio R y su periodo T. Particularizar los resultados para un electrón con v = 104 m/s. en un campo magnético B = 1 μT. Dato: masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg. R.: R ≅ 5’7x10-2 m T = 36 μs r 3.- Obtener la expresión del campo magnético B que se requiere para que un electrón de energía cinética Ek se mantenga sobre una trayectoria circular de radio R. R.: B = (2mEc)1/2 /eR

4.- Un chorro de iónes de dos isótopos, de masas m1 y m2 y carga eléctrica q, tras ser acelerados r por una ddp ΔV, entran en el seno de un campo magnético uniforme, de intensidad B perpendicular a su trayectoria. Calcular la relación entre los radios de las órbitas que describen, y la relación entre los respectivos periodos. R.: R1/R2 = (m1/m2)1/2 T1/T2 = m1/m2 5.- Un electrón, con una velocidad de 106 m/s. penetra perpendicularmente a la dirección de un campo magnético uniforme de 100 Wb/m2. Determinar la fuerza que actúa sobre el electrón y el tipo de trayectoria que describe. Datos: Carga del electrón, e = 1’6x10-19 C; masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg. R.: F = 1’6x10-11 N R = 5’68x10-8 m

r 6.- Una varilla metálica de 2 m de longitud se desplaza, con velocidad v constante, perpendicularmente a su eje, sobre un plano horizontal. La componente vertical del campo magnético terrestre es B = 4x10-5 T. Entre los extremos de la varilla aparece una diferencia de potenR.: v = 25 m/s cial de 2 milivoltios. Calcular la velocidad. 7.- Un electrón que se mueve a través de un tubo de rayos catódicos a 107 m/s, penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 10-3 Wb/m2 que actúa sobre una zona de 4 cm a lo largo del tubo. Calcular la desviación que sufre el electrón respecto de su trayectoria. Calcular también la diferencia de potencial que hay que establecer entre dos placas conductoras, planas, paralelas y separadas 4 cm, para que el efecto del campo electrostático contrarreste el del campo magnético sobre el electrón. ¿Cómo deben situarse en este caso las placas y cuál es la polaridad (signo) de cada una? Carga específica del electrón, e/m = 1’7588x1011 C.kg-1 R.: α = 44º 34’ VA - VB = 400 V 8.- Sabiendo que la componente horizontal del campo magnético terrestre en un punto de la superficie de la tierra es de 6x10-5 T, hallar el radio y el periodo de la trayectoria que describe un electrón con velocidad perpendicular al campo magnético terrestre y 1000 eV de energía cinética. Masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg. R.: r = 1’78 m T = 5’96x10-7 s ≅ 0’6 μs 9.- Un electrón, cuya energía es de 0’01 MeV, se mueve horizontalmente y penetra en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico E = 100 V/cm, dirigido verticalmente hacia abajo. ¿Cuál debe ser el módulo y la dirección de un campo magnético capaz de lograr que el electrón mantenga su movimiento horizontal en presencia de ambos campos? Dato: masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg. R.: B = 1’7x10-4 T. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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10.- Hallar la relación entre los radios de las circunferencias descritas por un protón y un electrón con la misma energía cinética, y velocidades perpendiculares a un campo magnético uniforme. R.: rp/re = (mp/me)1/2 11.- Una partícula tiene una carga eléctrica de 10-9 C. r r r Cuando se mueve con una velocidad v 1 = (2 j + k ).104 m.s-1, un campo magnético uniforme r r ejerce sobre ella una fuerza F1 = - Fx i N. r r Si la partícula se mueve con velocidad v 2 = 104 i m.s-1, el campo magnético ejerce una r r fuerza F2 = 5x10-5 j N. r r ¿Cuál es el valor del campo magnético B ? ¿Y el de F1 ? r r r r R.: B = - 5 k T F1 = -10-4 i N 12.- Átomo de hidrógeno. Conocemos los siguientes datos: en el modelo de Rutherford, el electrón gira en órbita circular en torno al protón. Masa del electrón, me = 9’1091x10-31 kg Carga del electrón, e- = - 1’6021x10x-19 C Radio de Bohr (radio de la órbita del electrón en su estado fundamental), a0 = 5’2917x10-11 m Constante de Coulomb, k = 8’9874x109 N.m2.C-2 Calcular: a) la velocidad del electrón en su órbita. b) la intensidad de corriente que constituye el electrón moviéndose en su órbita. c) el momento dipolar magnético orbital (magnetón de Bohr). R.: ve = 2’1876x106 m/s I = 1’054 mA μB = 9’2732x10-24 J.T-1 13.- Una partícula alfa (núcleo de He con dos protones y dos neutrones) y un protón entran dentro r de un campo magnético cuya intensidad vale B = 0’05 T, con una velocidad de 2 km/s. Si B es perpendicular a la velocidad, calcular los radios de las órbitas descritas. Carga del protón, 1’6x10-19 C; masa del protón, 1’67x10-27 kg; masa de una partícula alfa, 6’68x10-27 kg. R.: Rp = 0’4175 mm RHe = 0’835 mm 14.- Una espira rectangular de lados 10 x 25 cm2 está situada tal como indica la figura. Existe un campo r magnético B de intensidad 10-2 T en sentido del eje Y. Calcular la fuerza que actúa sobre cada lado de la espira, y el momento sobre la misma, si está recorrida por una corriente eléctrica de 5 A. r R.: Sobre el lado OA, FOA = -5x10-3 iˆ N r Sobre el lado AB, FAB = 6.25x10-3 kˆ N r Sobre el lado BC, FBC = 5x10-3 iˆ N r Sobre el lado OC, FOC =-6.25x10-3 kˆ N r Momento sobre la espira, M = -1.08x10-3 kˆ N.m 15.- Un alambre recto de 50 cm de longitud y 10 gr. de masa transporta una corriente cuya intensidad es I. El alambre se coloca horizontalmente dentro de un campo magnético uniforme de

r

intensidad (o inducción) B = 0’2 Teslas. Si la dirección de B es horizontal y perpendicular al alambre, calcular el valor y sentido de I para que el alambre quede suspendido en el aire, sin R.: I = 980 mA. caer por la acción de la gravedad.

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16.- Un solenoide tiene 20 cm. de longitud, 27 cm2 de sección y 250 espiras. Calcular el momento dipolar magnético cuando por él circula una corriente de 1 amperio. Hallar el par que es preciso aplicar para que se coloque perpendicularmente al meridiano terrestre, suponiendo que puede girar en torno a un eje vertical. - Dato: Componente horizontal del campo magnético terrestre, B = 0’25 gauss. 1 gauss = 10-4 teslas. R.: m = 0’675 A.m2 M = 1’69x10-5 N.m. 17.- El electrón de un átomo de hidrógeno posee un movimiento circular uniforme alrededor del protón con una velocidad de 105 m/s en una órbita de 0’5 angstroms de radio. a) Si se coloca el átomo de hidrógeno en un campo magnético cuya densidad de flujo es de 0’1 Wb/m2, con el plano de su órbita perpendicular al campo, calcular la razón de la fuerza electrostática entre el electrón y el protón y la fuerza magnética sobre el electrón en movimiento. b) ¿Qué intensidad de corriente supone tal electrón moviéndose en su órbita? c) ¿Cómo afectará la fuerza magnética al movimiento del electrón? R.: Fe/Fm = 5’8x107 51 μA 18.- Hallar y dibujar la fuerza que sobre un conductor rectilíneo, de 2 m. de longitud, por el que circula una corriente de 5 A, ejerce un campo magnético uniforme de 2x10-2 T que forma un ángulo de 30º con la corriente. R.: F = 0’1 N 19.- Hallar el campo magnético en A producido por las corrientes rectilíneas, paralelas, indefinidas y de sentidos opuestos, de intensidades I1 = 12A e I2 = 24 A, situadas según la figura. R.: BA = 14’4x10-7 T α = 86º 49' 13'' 20.- Dos hilos conductores rectos, paralelos e indefinidos, separados por una distancia de 8 cm, transportan corrientes eléctricas en la misma dirección y sentido. La intensidad de corriente en uno de ellos vale 80 A. Si la intensidad del campo magnético creado en un punto situado a igual distancia de ambos hilos y en su mismo plano vale B = 300 μT, calcular la intensidad de corriente que circula por el otro hilo. Dato: μ0 = 1.26x10-6 henrios/metro R.: Dos soluciones, I1 = 20 A. e I2 = 140 A. 21.- Calcular y dibujar la fuerza que se ejercen dos conductores paralelos, rectilíneos, indefinidos, por los que circulan unas corrientes de 4 y 5 amperios, respectivamente, en sentidos mutuamente contrarios si están separados por una distancia de 2 m. R.: F/l = 2x10-6 N/m. 22.- Dos conductores rectilíneos, paralelos, indefinidos, separados 30 cm, tienen intensidades de 2 A y 7 A, de sentido opuesto. ¿En qué puntos del plano que forman los conductores es nulo el campo magnético B? R.: A 12 cm del primer conductor y 42 cm del segundo 23.- Considérese un solenoide de 300 espiras por el que circula una corriente de 1 amperio, arrollado sobre un núcleo de hierro toroidal. Sea R = 10 cm el radio interior y r' = 1 cm el radio de su sección recta. Si la permeabilidad magnética relativa del material es μr = 500, calcular el campo magnético en puntos exteriores al solenoide y en puntos del interior. R.: 0’27 T 24.- Por un conductor recto e indefinido circula una corriente eléctrica de 5 A de intensidad (eje Z). En un instante determinado, un electrón se está desplazando paralelamente a la corriente en su mismo sentido, a una distancia de 0’2 m, con velocidad de 105 m.s-1. Determinar la fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón (módulo, dirección y sentido). R.: 8x10-20 N. Datos: carga elemental, e = 1’6x10-19 C.; μ0/4π = 10-7 T.m/A.

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25.- Una carga de 10 μC se mueve circularmente alrededor de un punto O con una velocidad de 2x106 m.s-1. Calcular el módulo de la intensidad del campo magnético creado por dicha carga en el punto O. R.: 1’97x10-17 T 26.- Un ión Fe3+ entra en el seno de un campo magnético de 5 mT, orientado según el eje Z, con una velocidad vˆ = (3 ˆj + 4 kˆ ) 10 5 m / s . Hallar: a) la fuerza magnética que actúa sobre el ión.b) la trayectoria seguida por el ión.- c) ¿A qué altura se eleva sobre el plano XY, en 1 μs. R.: a) 7'2x10-16 newtons.- b) Una hélice según el eje Z, cuya proyección sobre el plano XY es una circunferencia de radio 11'58 metros.- c) 0'4 metros. 27.- Un campo magnético uniforme y horizontal vale 50 militeslas. Está limitado por la izquierda pero es ilimitado por la derecha. Un ión nitrato penetra horizontalmente por la izquierda, perpendicularmente al campo, y vuelve a salir también por la izquierda a 80 cm por encima del punto de entrada. ¿Cuál es la velocidad del ión? Dibujo esquemático explicado. R.: 31100 m/s

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T E M A 14.INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

SUMARIO: 14.1.- Flujo magnético 14.2.- Leyes de Faraday y de Lenz 14.3.- Autoinducción 14.4.- Circuitos acoplados: Inducción mutua 14.5.- Generación y transporte de corrientes alternas 14.6.- Fuentes de energía eléctrica Actividades desarrolladas Actividades propuestas

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1.- FLUJO MAGNÉTICO En el tema 3º se definió y se explicó el concepto de flujo de un campo vectorial a través de una superficie (Unidad I, Tema 3, nº 15). En este tema vamos a aplicar este concepto al campo magnético. r Dada una superficie S, abierta o cerrada, atravesada por las líneas de un campo magnético B , su flujo a través de ella es: r r Φ = B.dS (1)

∫∫ S

El flujo elemental dΦ a través de una superficie elemental dS, perteneciente a S, es: r r dΦ = B.dS = B. cosϕ. dS

(2)

r ¿Cuál es el sentido del vector dS ?

1.- Si la superficie S es cerrada. r El vector elemento de superficie dS está dirigido hacia el exterior. En este caso, a partir de la 2ª ley de Laplace, Tema 13, nº 4 B, ec.(12), se puede demostrar (cosa que omitimos) que:

Φ=

∫∫

r r B.dS = 0

(3)

S

Representa la Ley de Gauss para el campo magnético. Intuitivamente es fácil admitir esta ley. En efecto, se ha dicho anteriormente que las líneas del campo magnético son cerradas, en todos los casos. Por ello, toda línea de campo magnético que “entra” en la región limitada por la superficie cerrada S ha de “salir” de ella; por consiguiente, cualquier flujo “entrante” debe ser igual al “saliente”. En el campo eléctrico, la ley de Gauss implicaba que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada era cero sólo si en su interior no había carga neta, o sea fuentes de campo. Análogamente podemos decir ahora que, dado que no existen masas o polos magnéticos (o al menos no han sido observados en forma aislada), el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre nulo. 2.- Si la superficie S es abierta. r En estos casos el vector superficie elemental dS se establece así:

Se elige un sentido de circulación para el contorno c que delimita la superficie S. Para cualquier elemento dS de S, asignamos el mismo sentido de circulación a su corres-

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r pondiente contorno. El sentido de dS es el de avance de un tornillo que gire según dicha circulación.

La unidad de flujo magnético, en el S.I., se denomina weber (Wb): 1 weber = 1 tesla x m2 (1 Wb = 1 T.m2). De esta expresión se deriva otra forma de nombrar la unidad de campo magnétir co: 1 tesla = 1 weber/m2 ( 1 T = 1 Wb/m2). Y otra forma de denominar al campo magnético B : “densidad de flujo”.

2.- LEYES DE LA INDUCCIÓN MAGNÉTICA, DE FARADAY Y LENZ: FEM INDUCIDA Oersted, en 1820, puso de manifiesto cómo las corrientes eléctricas son capaces de crear campos magnéticos. Los científicos de la época se preguntaron si de modo análogo pueden los campos magnéticos originar corrientes eléctricas. Especialmente, el inglés M. Faraday, el norteamericano J. Henry y el ruso H. Lenz, en el mismo tiempo pero independientemente, tras cuidadosos experimentos, llegaron a conclusiones similares: al descubrimiento de los fenómenos de inducción electromagnética y de las corrientes inducidas. Sintéticamente, las conclusiones de las experiencias realizadas son: + Cuando se produce una variación del flujo magnético que atraviesa un circuito (espira, bobina, ...), aparece en éste una fuerza electromotriz inducida que da lugar a una corriente inducida en él. + Esta fem inducida sólo aparece mientras el flujo está variando; cesa cuando el flujo deja de variar. + La fem inducida y la corriente inducida son tanto más intensos cuanta mayor es la velocidad de variación del flujo magnético. + Ambas, fem inducida y corriente inducida, cambian de polaridad y de sentido según la variación de flujo suponga un aumento o una disminución de éste. Ejemplos: Sea un circuito sin generador, en el que colocamos un galvanómetro para detectar el posible paso de corriente por él y el sentido de ésta.

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+ Si se acerca o se aleja de dicho circuito un imán, se observa paso de corriente, en un sentido al acercarse y en sentido contrario al alejarse. Lo mismo ocurre si el imán está en reposo y se acerca o aleja el circuito. + El mismo fenómeno puede observarse si se sustituye el imán por un solenoide en el que circula una corriente de intensidad constante. + También puede originarse una corriente inducida en el circuito sin movimiento relativo solenoide-circuito. Basta que por el solenoide circule una corriente de intensidad variable, lo cual puede conseguirse de modo simple intercalando un reóstato (resistencia variable) entre el generador y dicho solenoide. O bien activando o desactivando la corriente en el solenoide mediante un interruptor. ¿Cuál es la causa de la aparición de la fem inducida, en qué sentido se sitúa, y por tanto en que sentido la corriente inducida recorre el circuito? Vamos a explicarlo en un caso sencillo. 1.- Valor de la fem inducida: Ley de Faraday Supongamos un conductor metálico de longitud L = rAB, situado por ejemplo en el plano horizontal y en el seno de un campo magnético constante B (éste en la figura, perpendicular al papel, r hacia abajo). El conductor es desplazado en el plano horizontal con una velocidad constante v , perpendicularmente a dicho conductor. Como consecuencia de este desplazamiento, la fuerza magnética que actúa sobre una carga q libre en el interior delr conductorr es: r Fm = q ( v x B ) o sea Fm= q v B (En realidad, actúa sobre electrones libres, en sentido contrario). Esta fuerza arrastra la carga q hacia el extremo B, el cual se carga positivamente; por lo mismo, el extremo A aparece cargado negativamente. Estas dos polaridades en el conductor originan un campo eléctrico, dirigido de B a A. El proceso de separación de cargas continuará hasta que el campo eléctrico creado compense la fuerza magnética que actúa sobre las cargas. Si los extremos del conductor AB descansan sobre un bastidor metálico BCEFDA en forma de ⊃ , mientras dure el desplazamiento del conductor móvil AB, se originará una corriente que tiende a disminuir el exceso de carga que hay en los extremos del conductor AB, lo cual permite suponer que éste equivale a un generador de fuerza electromotriz E. En virtud del principio de conservación de la energía, el trabajo mecánico empleado en el desplazamiento del conductor AB habrá de ser igual al trabajo desarrollado por la fuerza magnética Fm que obliga a las cargas eléctricas a dirigirse desde un extremo al otro del conductor.

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El trabajo al actuar sobre una carga q es: y el valor de la fem inducida E será:

W = Fm L = q v B L

E=

W = vBL q

Por otro lado, al desplazarse el conductor por el bastidor se produce una disminución en el flujo del campo magnético a través de la superficie del circuito S. En un tiempo Δt, el conductor se desplaza hacia la derecha Δx = v Δt. La superficie S disminuye en: ΔS = S – S0 = {área de CDFE} – {área de BEFA} = - L Δx = - L v Δt La variación del flujo por unidad de tiempo (velocidad de variación del flujo) es, en promedio: ΔΦ B.ΔS B(S − S 0 ) = −B L v = = Δt Δt Δt De las expresiones anteriores se deduce que la fuerza electromotriz inducida E vale: E = v.B.L = – ΔΦ Δt Generalización: En un tiempo elemental dt (o sea, cuando Δt→0), la disminución de flujo dΦ es también elemental. Entonces la anterior expresión se puede escribir así: E = − dΦ dt Esta expresión es general y expresa la ley de Faraday: “La fuerza electromotriz E inducida en un circuito es igual a la variación del flujo magnético Φ que lo atraviesa, por unidad de tiempo:

E = − dΦ dt

(4)

2.- Sentido de la corriente inducida: Ley de Lenz El signo “– “ de (4) tiene un significado físico especialmente importante. En el ejemplo utilizado vemos que la corriente inducida circula en sentido horario cuando tiene lugar una disminución de flujo a través del circuito. Observamos cómo esta corriente inducida produce a su vez un campo magnético inducido Bind del mismo sentido que el campo magnético original B; y por tanto da lugar a un flujo inducido que se suma al original, en un intento a paliar su variación decreciente. Ocurriría lo contrario si el flujo fuese creciente; entonces la corriente inducida da lugar a un campo magnético inducido en sentido contrario al original, con el fin de oponerse al aumento de flujo en el circuito.

Ésta es la denominada ley de Lenz: ”El sentido de las corrientes inducidas es tal que con sus acciones tienden a oponerse a las causas que las producen”.

Para conocer el sentido de la corriente inducida Iind, aplíquese la regla del tornillo: el sentido de la corriente inducida es el de giro del tornillo que avanza según el sentido del campo magnético r inducido Bind . En las figuras siguientes se puede estudiar el sentido de las corrientes inducidas al acercar o alejar el imán a la espira correspondiente: Acercamiento (alejamiento) del imán a la espira; crecimiento (disminución) del flujo del campo magnético a través de la espira; aparición de un FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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r r campo magnético inducido Bind de sentido contrario (del mismo sentido) al campo aplicado B ; r aparición en la espira de una corriente, originada por Bind , en sentido antihorario (horario).

Observaciones: a) La fem inducida y la intensidad inducida están relacionadas entre sí por la ley de Ohm. Si el circuito es sólo resistivo, siendo R su resistencia, entonces:

E = R Iind

⇒

Iind = –

1 dΦ R dt

(5)

b) Cuando el circuito está formado por N espiras, y suponiendo que el flujo variase lo mismo a través de todas ellas (por ejemplo, en el caso de una bobina o solenoide), entonces: dΦ dt donde por Φ entendemos el flujo a través de una espira.

E=

−N

(6)

r r c) Puesto que dΦ = B.dS = B cosϕ dS, el flujo Φ a través de un circuito puede variar por diferentes motivos: r r ♣ Porque B = B( t ) . Un campo magnético dependiente del tiempo hace que el flujo a través de un circuito cerrado varíe con el tiempo con una cierta velocidad dΦ/dt, generando por ello una fem inducida E en el circuito.

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♣ Por variación de la posición del circuito en el seno del campo magnético (por ejemplo, variando el ángulo ϕ, por giro del circuito; o por desplazamiento del circuito de una regiones a otras del campo no uniforme (figura)).

♣ Por deformación del circuito, con aumento o disminución del área S del mismo, lo que implica una variación del flujo que lo atraviesa.

3.- AUTOINDUCCIÓN Consideremos un circuito por el que circula una corriente I. Esta corriente produce un campo r magnético B que en cada punto es proporcional a dicha corriente, B :: I. Podemos calcular el flujo magnético Φ a través del circuito debido a su propio campo magnético, llamado flujo propio; este flujo es proporcional a B, y por lo tanto proporcional a I; en definitiva, Φ :: I.

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Podemos escribir, en consecuencia,

Φ=LI

(7)

El coeficiente L, que depende de la forma geométrica del circuito, se denomina autoinductancia o coeficiente de autoinducción del circuito. Se expresa, en el S.I., en henrios (H): 1 henrio = 1 weber / amperio = 1 tesla x m2 / amperio

1 H = 1 T.m2.A-1

Si la corriente I varía con el tiempo, Φ también variará con el tiempo y, de acuerdo con la ley de la inducción magnética, las variaciones de Φ dan lugar a una fem inducida (autoinducida)

Eind

que da lugar a una corriente inducida (autoinducida) Iind que se superpone a la original I. De acuerdo con (4) y (7), se tiene: d(LI) dI dΦ dI (8) = −L ⇒ ind = − dt = − ind = – L dt dt dt

E

E

El signo menos indica que dI/dt > 0, y

Eind

Eind

se opone a la variación de la corriente I. Si ésta aumenta,

se opone a tal aumento, originando una corriente inducida Iind en sentido opues-

to a la corriente principal I. Si por el contrario la corriente I disminuye, dI/dt < 0, y

Eind actúa de

modo que origina en el circuito una corriente inducida Iind del mismo sentido que la principal I. Por tanto, la fem autoinducida en el circuito siempre actúa buscando compensar las variaciones de la corriente. Un ejemplo importante de este comportamiento se da cuando se cierra o abre un circuito. Se originan en él unos cambios bruscos de intensidad (en el cierre se pasa de intensidad 0 a intensidad I, y en la apertura, de I a 0), que conllevan la producción de corrientes autoinduci-das llamadas extracorrientes de cierre y de apertura. La extracorriente de cierre es de sentido contrario al de la corriente principal, tendiendo a debilitarla. En cambio la extracorriente de apertura es del mismo sentido que la principal, pues tiende a reforzarla.

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4.- CIRCUITOS ACOPLADOS: INDUCCIÓN MUTUA Supongamos dos espiras próximas, (1) y (2), recorridas por intensidades de corriente I1 y I2, respectivamente. Cada una de ellas originará sendos campos magnéticos de forma que el flujo magnético que atraviesa cada espira será la suma de su flujo propio, Φ11 y Φ22 respectivamente, más el flujo mutuo, Φ12 y Φ21, debido en cada espira a la otra. Así: Φ1 = Φ11 + Φ12 Φ2 = Φ21 + Φ22

+ flujo en la espira (1): + flujo en la espira (2):

El flujo Φij depende exclusivamente de la corriente Ij y de las condiciones geométricas y posicionales de las espiras. Suponiendo estas condiciones fijas, podemos escribir: Φ11 = L1 I1 Φ21 = M21 I1

Φ12 = M12 I2 Φ22 = L2 I2

donde L1 y L2 son las autoinductancias de (1) y de (2), respectivamente. Y llamamos M12 a la inductancia mutua de (2) sobre (1), y M21 a la inductancia mutua de (1) sobre (2); ambas son iguales, por lo que M12 = M21 ≡ M, y podemos escribir: Φ11 = L1 I1

Φ12 = M I2

Φ21 = M I1

Φ11 = L2 I2

⎛ Φ 1 ⎞ ⎛ L1 M ⎞ ⎛ I1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝Φ2 ⎠ ⎝ M L2 ⎠ ⎝ I2 ⎠

⇒

(9)

Si las corrientes I1 e I2 varían con el tiempo, sus variaciones harán variar asimismo los flujos, y en consecuencia aparecerán fuerzas electromotrices inducidas en las espiras. Sus valores se obtienen por aplicación de la ley de Faraday-Lenz:

E1 = − ddtΦ

=−

1

dΦ 11 dΦ 12 − dt dt

E2 = − ddtΦ

Ahora bien, de acuerdo con las relaciones (9) resulta: dΦ 11 dI dΦ 12 dI dΦ 21 dI dΦ 22 dI = L1 1 =M 2 =M 1 = L2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt

2

=−

dΦ 21 dΦ 22 − dt dt

(10)

⎛ dΦ1/dt ⎞ ⎛ L 1 M ⎞ ⎛ dI1/dt ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dΦ 2 /dt ⎠ ⎝ M L 2 ⎠ ⎝ dI 2 /dt ⎠ por lo que, sustituyendo estos valores en las ecuaciones de arriba, se tiene:

E1 = − L

1

dI 1 dI −M 2 dt dt

E2

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= −M

dI 1 dI − L2 2 dt dt

⇔

⇒

⎛ E1 ⎞ ⎛ L M ⎞ ⎛ dI1 / dt ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜⎜ 1 / dt M L dI E 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠

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351

Cada uno de los cuatro términos representa una fem inducida concreta:

E1 = ♦

E

1L

E1L

+

E1M

E2

= E2L + E2M

= − L1

dI 1 dt

es la fem autoinducida en (1) debida a las variaciones de su pro-

= −M

dI 2 dt

es la fem de inducción en (1) debida a las variaciones de la

pia corriente I1. ♦

E

1M

corriente I2 en (2).

♦

E2L = − L

2

dI 2 es la fem autoinducida en (2) debida a las variaciones de su prodt

pia corriente I2. ♦

E2M

= −M

dI 1 es la fem de inducción en (2) debida a las variaciones de la dt

corriente I1 en (1). Lo dicho para dos espiras es aplicable a dos circuitos cualesquiera. El coeficiente de inducción mutua M, que depende de las formas geométricas de los circuitos y de su orientación relativa, se mide también en henrios, como el coeficiente de autoinducción L.

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352

5.- GENERACIÓN Y TRANSPORTE DE CORRIENTES ALTERNAS Actualmente en casi todas las aplicaciones domésticas e industriales de la energía eléctrica se emplea corriente alterna y no corriente continua como se hacía en los primeros tiempos de utilización de dicha energía. El que inicialmente se emplease corriente continua tiene su explicación, puesto que los centros de consumo de la corriente estaban muy próximos a las centrales eléctricas y, en consecuencia, las pérdidas de energía eran pequeñas. Pero en la actualidad resulta indispensable transportar la energía eléctrica a grandes distancias, lo que obliga a reducir lo más posible las pérdidas energéticas (fundamentalmente en forma de calor, debidas al efecto Joule) experimentadas a lo largo de la conducción. Por esta razón es necesario recurrir a la corriente alterna, pues con ella es posible, mediante el uso de transformadores, transportarla a alto potencial (alta tensión) y muy baja intensidad, lo que disminuye enormemente las pérdidas de energía. A) Generación de la corriente alterna: La obtención de esta corriente eléctrica alterna se consigue como aplicación inmediata de los fenómenos de inducción electromagnética. En efecto, se consigue transformar la energía mecánica, obtenida de diversos modos, en energía eléctrica. Veamos su fundamento.

r Supongamos una espira, de área S en el seno de un campo magnético uniforme B . (Figuras sucesivas en el cuadro inferior)

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Si partimos de la posición (a) en la que el flujo magnético que atraviesa la superficie de la espira es máximo, ϕ = 0º, y dicha espira gira mecánicamente con velocidad angular constante ω, en un instante posterior t el ángulo girado será ϕ = ωt. El flujo, que comenzó siendo máximo para ϕ = 0º, habrá disminuido hasta hacerse nulo para ϕ = 90º, posición (b). Al seguir aumentando ϕ, desde 90º a 180º, intervalo [(b) → (c)], el flujo va creciendo hasta alcanzar su máximo valor de nuevo; pero obsérvese que en este intervalo el flujo penetra por la cara opuesta de la espira, respecto del primer intervalo [(a) → (b)]. Por tanto este crecimiento en valor absoluto se ha de interpretar como una disminución tomando valores negativos para el flujo, hasta un valor mínimo negativo del mismo en (c), ϕ = 180º. De 180º a 360º, intervalo [(d) → (e) → (f)], se repite la situación, como tuvo lugar de 0º a 180º, intervalo [(a) → (b) → (c)]. Pero en este 2º semiperiodo el flujo es siempre creciente. Matemáticamente escribiremos: rr Φ(t) = BS = B S cosϕ = B S . cos ωt

Según la ley de Faraday-Lenz, las variaciones del flujo Φ(t) dan lugar a una fem inducida, y por la espira circulará una corriente. Puesto que durante la primera parte del ciclo el flujo disminuye y durante la segunda aumenta, el sentido de la corriente se invertirá cada medio ciclo. La corriente inducida en la espira es pues una corriente que alterna periódicamente su sentido, por lo que se le denomina corriente alterna. La fem inducida es: dΦ E(t) = − = B S ω . sen ωt dt Si en lugar de una sola espira, gira en el campo magnético una bobina de N espiras, el flujo total y la fem inducida serán: Φ(t) = N B S . cos ωt E(t) = N B S ω . sen ωt Tanto Φ(t) como E(t) son funciones armónicas. Las amplitudes de ambas son, respectivamente, Φ0 ≡ N B S y E0 ≡ N B S ω, la frecuencia angular es ω y su periodo es T = 2π/ω. Así pues, Φ(t) = Φ0 . cos ωt

E(t) = E0 . sen ωt

(11)

representan el flujo y la fem inducida en la bobina en rotación. Nótese que el flujo está desfasado en π/2 respecto de E(t) (en cuadratura), como se ve en las gráficas adjuntas.

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Si el circuito, entre cuyos extremos se aplica la fem inducida, tiene una resistencia óhmica R, la intensidad de corriente que circula por él estará dada por la ley de Ohm:

I = (E/R) senωt y llamando para abreviar I0 ≡ E0/R resulta:

I(t) = I0 . sen ωt

(12)

B) Transporte de la energía eléctrica: Transformadores: La importancia industrial de las corriente alternas reside en la facilidad y economía con que permiten transportar energía eléctrica; en efecto, entre el generador y el punto de consumo hay una pérdida de energía debida al efecto Joule (calor) que ineludiblemente tiene lugar en las líneas de conducción. Si es PG la potencia del generador, Pu la potencia útil aprovechada, R la resistencia de las líneas de conducción y E e I la fem y la intensidad de la corriente de salida: 2 PG = E I = Pu + R I 2 Con objeto de reducir al mínimo el término de pérdidas R I conviene conseguir un valor de la inténsidad lo más pequeño posible (con ello, la potencia útil Pu será mayor, y mayor el rendimiento) Ello se consigue con la corriente alterna ya que esta se produce a baja tensión y se transporta hasta el lugar de utilización mediante líneas de alta tensión, hasta unos 250000 voltios. En el lugar de consumo se reduce de nuevo la tensión a 220 o 380 voltios. Todo este proceso (elevación y reducción de la tensión) se consigue fácilmente mediante los transformadores.

Un transformador de corriente alterna consta de un marco rectangular de hierro dulce que lleva dos bobinas, denominadas primario y secundario del transformador. Al aplicar una fem alterna E1 al primario, se genera un campo magnético variable; la variación del flujo magnético debido a este campo induce en el secundario una fuerza electromotriz E2. Si el número de vueltas de las bobinas del primario y del secundario son, respectivamente, n1 y n2, aplicando la ley de Faraday se tiene:

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+ El flujo total Φ en el primario es n1 veces el flujo que atraviesa cada vuelta (espira) Φesp, por lo que la tensión en el primario será: dΦ dΦ E1= − 1 = − n1 esp dt dt + Análogamente, la tensión total en el secundario es: dΦ dΦ E2 = − 2 = − n 2 esp dt dt + Debido al núcleo de hierro, no hay pérdidas de dΦ esp es el flujo magnético, por lo que el valor de dt mismo. Combinando las dos ecuaciones anteriores resulta la expresión:

n2 E1 n1 De donde se deduce que, según sea la relación n2 / n1 entre las espiras del transformador, puede obtenerse una fuerza electromotriz E2 determinada al aplicar la tensión alterna E1

E1 / n1 = E2 / n2

↔

E2 =

En funcionamiento de un transformador ideal no se disipa energía, por lo que puede considerarse que la potencia en el primario y la potencia en el secundario son iguales. Por tanto: n PG = E1 I1 = E2 I2 ↔ I2 = (E1/ E2) I1 ↔ I2 = 1 I1 n2 Un transformador tal que n2 > n1 se denomina elevador: la tensión de salida es mayor que la de entrada. En el caso n2 < n1 el transformador se llama reductor. Aunque en la práctica siempre hay disipación calorífica, esta expresión resulta una buena aproximación, teniendo en cuenta que un transformador diseñado adecuadamente puede alcanzar una eficiencia del 95%

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6.- FUENTES DE ENERGÍA ELÉCTRICA Se ha seguido, en el desarrollo de este artículo, el Libro “Física 2” Bachillerato.- Ed. SM.

La energía eléctrica se produce a gran escala en las centrales eléctricas. En ellas, la energía obtenida de una fuente de energía primaria se convierte en energía eléctrica. El elemento básico de una central eléctrica es el alternador, a cuyo eje se acopla una turbina para hacerle girar. La turbina es una máquina cuyo eje gira al transformarse en energía de rotación la energía cinética de un fluido que incide sobre sus álabes. Este eje acoplado al del alternador, da lugar a la producción de una corriente alterna por inducción electromagnética. El conjunto turbina-alternador suele denominarse grupo turbo-generador de la central. Existen turbinas de diferentes tipos: de agua, de vapor, de gas, eólicas, etc.

A) Energía eléctrica de fuentes no renovables Las centrales termoeléctricas clásicas producen energía eléctrica a partir de la energía desprendida en la reacción química de combustión que tiene lugar al quemar un combustible fósil (carbón, gasóleo, gas).

El combustible se quema en los quemadores. La energía desprendida se utiliza para convertir agua líquida en vapor en la caldera. El vapor de agua obtenido mueve la turbina y posteriormente es condensado para volver en estado líquido a la caldera. Estas centrales producen la mayor parte de la energía eléctrica consumida en el mundo, pero tienen un gran impacto ambiental.

Centrales termoeléctricas clásicas Inconvenientes

Ventajas

1.- Funcionan de modo continuo, inde1.- Emiten grandes cantidades de dióxido pendientemente de las condiciones meteo- de carbono a la atmósfera, el principal gas de rológicas. efecto invernadero. 2.- Se basan en una tecnología muy 2.- Excepto las que utilizan gas, produdesarrollada. cen óxidos de nitrógeno y de azufre, que contaminan la atmósfera y contribuyen a lluvia acida. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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3.- Disponen de una red de distribución 3.-Las centrales de carbón generan de combustibles fósiles muy extensa que ase- grandes cantidades de residuos sólidos. gura, en condiciones normales, la disponibilidad de materias primas. 4.- Dan lugar a una dependencia excesi4.- Producen cada unidad de energía a va de los combustibles fósiles, como el petrómenor precio que otros tipos de centrales. leo.

Las centrales termoeléctricas nucleares aprovechan la energía desprendida en la fisión de núcleos atómicos, principalmente Uranio-235, para convertir un líquido, generalmente agua en vapor a alta temperatura que incide sobre los álabes de las turbinas.

Centrales termonucleares Ventajas

Inconvenientes

1.- Funcionan de modo continuo, in- de1.- Hay riesgo de accidentes nucleares. pendientemente de las condiciones meteo- La radiación liberada en sucesos de este tipo rológicas. afecta gravemente a todos los seres vivos durante períodos dilatados de tiempo, incluso en zonas muy alejadas. 2.- Son poco contaminantes. No emiten 2.- Aún no se ha conseguido una soluóxidos de nitrógeno ni de azufre, ni dióxido de ción definitiva al problema del almacenamiento carbono. Por tanto, no contribuyen al efecto de los residuos radiactivos. invernadero ni a la contaminación atmosférica (lluvia ácida).

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3.- Permiten disminuir la dependencia del 3.- La tecnología nuclear puede utilizarse petróleo. para el desarrollo de armas de destrucción masiva. 4.- En una central dotada de las adecuadas medidas de seguridad la pro- babilidad de que ocurra un accidente es muy baja.

B) Energía eléctrica de fuentes renovables Las centrales termoeléctricas solares. La energía solar se aprovecha en las centrales termoeléctricas solares para producir energía eléctrica. En ellas, la radiación solar se concentra mediante espejos sobre un depósito para calentar un fluido a alta temperatura. Otro modo de convertir la energía solar en energía eléctrica es el uso de células fotovoltaicas. En ellas se aprovecha el efecto fotoeléctrico: un material semiconductor emite un flujo de electrones cuando la luz Incide sobre él. Las centrales termoeléctricas de biomasa utilizan directamente como combustible los residuos agrícolas, ganaderos y forestales. Contaminan. La energía del viento es aprovechada en los parques eólicos para mover las palas de los aerogeneradores y producir energía eléctrica. Las centrales hidroeléctricas aprovechan la caída del agua sobre los álabes de la turbina. La energía potencial gravitatoria del agua se transforma en energía eléctrica. Las centrales mareomotrices aprovechan la energía que adquiere el agua del mar al subir su nivel por efecto de las mareas. El agua embalsada en un dique durante la marea alta se deja caer con la marea baja para mover las turbinas y producir electricidad. Actualmente se investiga la producción de energía eléctrica a partir de la energía de las olas. Las pilas de combustible generan corriente eléctrica a partir del hidrógeno. Se investiga la utilización de estas pilas como motor de los automóviles. Las plantas geotérmicas obtienen energía por extracción del calor interno de la Tierra. El agua caliente o el vapor pueden fluir naturalmente o mediante bombeo. El tipo de utilidad de estas centrales depende de la temperatura del agua del yacimiento.

Centrales eléctricas mediante fuentes renovables Ventajas Inconvenientes 1.- Se consideran inagotables porque se 1.- La unidad de energía producida a pargeneran a un ritmo mayor del que se consu- tir de ellas es más cara que la generada por men. centrales térmicas clásicas y por centrales nucleares. 2.- Tienen un impacto ambiental menor 2.- No garantizan un suministro estable que las no renovables. Contaminan poco y porque la producción de energía depende de apenas producen gases de efecto invernadero, las condiciones meteorológicas. por lo que contribuyen a paliar el cambio climático. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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3.- Se producen cerca de los lugares de 3.- Tienen, aunque reducido, un impacto consumo, por lo que disminuyen la dependen- ambiental negativo. Por ejemplo, los parques cia energética respecto del exterior. eólicos deterioran el paisaje y causan la muerte de muchas aves, las centrales térmicas solares necesitan enormes extensiones de terreno, etc. 4.- Su contribución a la producción total 4.- Las investigaciones sobre energías renovables contribuyen al desarrollo científico de energía eléctrica es aún muy pequeña. y tecnológico del país. Para el año 2020, la Unión Europea se ha fijado el objetivo de cubrir el 20% de la demanda energética total mediante fuentes renovables de energía.

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ACTIVIDADES DESARROLLADAS 1.- Una espira cuadrada, de 10 cm de lado, se encuentra situada perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 10-2 T. En un tiempo de 20 ms da ¼ de vuelta, quedando su plano paralelo al campo. Hallar la fem media inducida.

ΔΦ = Φfinal - Φinicial = 0 – B.S = - B.S ΔΦ B.S =− Δt Δt

E= −

ΔΦ B.S 10 −2 X0,12 = 0’005V =− = Δt Δt 20 x10 −3

E = 5 milivoltios El sentido de la corriente que origina esta fem inducida es tal que trate de evitar la disminución de flujo a través de la espira. Es decir, que dé lugar a un campo magnético inducido en el sentido del externo; por lo tanto la corriente debe ser en sentido antihorario. 2.- Una espira rectangular de 10x8 cm2 de área y 12 Ω de resistencia es perpendicular a un campo magnético uniforme. Hallar la ley de variación de su intensidad para producir una corriente inducida de 5 mA.

dΦ dB dB I.R =−S ⇒ I.R = − S ⇒ dB = − dt dt dt dt S I.R I.R dt + C → t +C. B(t) = − Integrando, resulta: B(t) = − S S Para t = 0, B(0) = C, que llamaremos B0 (valor del campo magnético en el instante inicial). Por otro lado, I.R/S = 7,5 teslas/segundo. Por tanto

E = I.R ∧ E = −

∫

B(t) = B0 – 7’5 t 3.- Una varilla conductora de L = 20 cm de longitud se desliza paralelamente a sí misma con una velocidad de v = 0’4 m/s sobre un conductor en forma de U, con una resistencia de R = 8 Ω. El conjunto está situado en el seno de un campo magnético uniforme de B = 0’5 T y perpendicular al circuito formado por los conductores. Hallar: a) la fem inducida, y el valor y sentido de la intensidad inducida.- b) La energía disipada por la resistencia en 3 s y la potencia que suministra la varilla, como generador de corriente.

dΦ donde Φ = B.S = B.L.x siendo x la dimensión variable del rectángulo de la esdt pira formada por el conductor en U y la varilla. a)

E= −

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E= −

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dΦ dS d(L.x ) dx d(B.S) =− = −B. = −B. = −B.L = −B.L.v = - 0’5x0’2x0’4 = - 0’04 V dt dt dt dt dt

E = - 40 milivoltios

I = E / R = - 40 mV / 8Ω = - 5 miliamperios

La fem inducida es de 40 milivoltios y la corriente inducida en el circuito que se forma es de 5 miliamperios. El signo menos señala que la corriente circula por el circuito en sentido horario, oponiéndose así al aumento de flujo que supone el desplazamiento de la varillar hacia la derecha; en efecto, circulando así, la corriente inducida produce un campo inducido B ind que se opone al campo aplicar do B . b) Energía disipada en 3 s y potencia inducida: P = E I = 0’04x0’005 = 2x10-4 vatios W = P t = 2x10-4x3 = 6x10-4julios 4.- Una espira circular flexible, de 10 cm de diámetro, se encuentra en un campo magnético dirigido como indica la figura (hacia el lector). La densidad de flujo (o campo magnético B) vale 1’2 Wb/m2 (o teslas). Se tira de la espira en los puntos indicados por las flechas, formando un bucle de área nula, en 0’2 s. a) ¿Qué fuerza electromotriz se induce en el circuito? b) ¿Cuál es el sentido de la corriente en la espira? c) Si R = 2 Ω, ¿cuánto vale la intensidad de la corriente eléctrica?

R = 0’05 m

B = 1’2 T

Φinicial = Φ0 = B.S0 = B π R2

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Δt = 0’2 s Φfinal = 0

ΔΦ = - Φ0 = - π B R2

π.B.R 2 πx1'2x 0'05 2 dΦ ΔΦ = ≈– = = 0'047 V = 47 mV dt Δt Δt 0'2 0'047 I=E/R= = 0'0236 A = 23’6 mA 2 La corriente inducida circula por la espira, mientras ésta reduce su área, en sentido antihorario. En efecto, el flujo decrece al reducirse el área de la espira; ello lleva a que la corriente inducida que se produzca en la espira origine un campo magnético inducido del mismo sentido que el campo exterior.

E= −

5.- Un solenoide de 7000 espiras tiene unas sección de 50 cm2 y una longitud de 40 cm. Determinar el coeficiente de autoinducción y el valor de la fuerza electromotriz autoinducida cuando una corriente de 5 A que circula por él se interrumpe en 0’01 s. r r En el interior del solenoide, los vectores B y S son paralelos y el campo interior del solenoide es

B = μ0 N I / l. El flujo que atraviesa las N espiras del solenoide es:

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7000 2 x50 x10 −4 Φ = L.I ⎧⎪ N2 S -7 = 0'77 henrios r r = 4πx10 ⎨Φ = B.S = μ N.I N.S ⇒ L = μ0 0'4 l 0 ⎪⎩ l La fem autoinducida al cortar la corriente se calcula así: dI ΔI 0−5 E = −L ≈ −L = −0,77 = 385voltios dt Δt 0'01 6.- Dos bobinas de 300 y 600 espiras, respectivamente, se colocan una al lado de la otra. Por la primera bobina se hace circular una corriente 3 A, originando un flujo magnético en ella de 3x10-4 Wb, y en la segunda de 2x10-4 Wb. Determinar: a) el coeficiente de autoinducción de la primera bobina. b) la inductancia mutua de las dos bobinas. Cuando se interrumpe la corriente de la primera bobina en 0’4s, c) ¿qué fem se induce en dicha bobina? d) ¿cuánto vale la fem inducida en la segunda bobina?

a) El flujo magnético total propio en la primera bobina es: Φ11 = 3x10-4 Wb cuando pasa una coΦ 3x10 −4 rriente de 3 A. Por tanto, Φ11 = L1 I1 → L1 = 11 = = 10 − 4 H = 0’1 mH I1 3 b) El flujo magnético total mutuo de la bobina primera sobre la segunda es: Φ21= 2x10-4 Wb, y por Φ 2x10 −4 = 6'67 x10 −5 H = 0’067 mH otro lado se verifica que Φ21= M.I1 . Por tanto, M = 21 = I1 3 c) Fem autoinducida en la primera bobina debida a las variaciones de intensidad de corriente en ella misma: dI ΔI 0−3 E11 = − L 1 1 ≈ − L 1 1 = − 10 − 4 = 7'5x10 − 4 V = 0'75 mV dt Δt 0'4 d) Fem inducida en la segunda bobina debido a las variaciones de intensidad de corriente en la primera: ΔI dI 0−3 E21 = – M 1 ≈ − M 1 = − 6'67 x10 −5 = 5x10 − 4 V = 0'5 mV dt Δt 0'4

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ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.- Una espira circular de 0’2 m de radio es perpendicular a un campo magnético uniforme, variable con el tiempo según la ley B(t) = 2 e- t . Hallar y dibujar, en el instante t = 1 s la corriente que circula por la espira si su resistencia es de 0’5 Ω. R.: I(t) = 0’5 e - t ; I(1) = 0’185 A. r 2.- Calcular el flujo del campo magnético B = (6.ˆi + 2.ˆj + 3.kˆ ) T a través de una superficie cuadrada R.: Flujo magnético, 0’24 Wb de 20 cm de lado, situada paralelamente al plano YZ.

3.- El flujo magnético que atraviesa el circuito de la figura varía con el tiempo según la ley Φ (t) = 3t2 + 2t donde Φ se mide en mWb y t en segundos. Las líneas de campo son perpendiculares al papel y dirigidas hacia dentro. Si la resistencia vale 7 Ω, calcular la intensidad de la corriente en el circuito y su dirección cuando t = 2 s, explicando por qué. R.: Iind = 2 mA en sentido antihorario, oponiéndose al flujo creciente. 4.- Una espira cuadrada, de 10 cm de lado y resistencia óhmica R = 0’1 Ω, se sitúa perpendicularmente a un campo magnético uniforme, como se señala en la figura. Si la inducción magnética varía con el tiempo según la ley B(t) = t2 - 2t (donde t se mide en segundos y B en teslas), calcular la intensidad y el sentido de la corriente inducida cuando t = 0 y cuando t = 2 seg. R.: I(0) = 200 mA. en sentido horario; I(2) = - 200 mA. en sentido antihorario. r 5.- Un campo magnético uniforme B , tal que B = 0’5 mT, está dirigido según señala la figura: perpendicularmente al plano del papel, hacia el inte-rior; está limitado por la izquierda, siendo ilimitado por la derecha. Una bobina de 10 espiras, de sección rectangular (dimensiones: a = 0’2 m y b = 0’5 m), y 2 Ω de resistencia, es introducida por la izquierda en el seno del campo magnético con una velocidad de 5 m/s. Hallar: a) durante cuánto tiempo recorre la bobina una corriente inducida.- b) qué fuerza electromotriz se induce en ella.- c) qué intensidad la recorre.- d) en qué sentido (justifica esta respuesta). R.: 0’1 s.- 5 mV.- 2’5 mA.- Sentido antihorario.

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( sentido de B en t < 0 y en t > 2 s.) x

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6.- Una bobina de 50 espiras, de 40 cm2 cada una, está conectada a un galvanómetro balístico que mide la carga eléctrica que pasa por él. En el instante inicial la bobina se encuentra en el interior de un campo homogéneo, B = 0’5 T, perpendicular a las espiras de la bobina; al cabo de un cierto tiempo, el campo magnético se anula. ¿Cuál es la cantidad de carga eléctrica que atravesó el galvanómetro en ese tiempo? La resistencia de todo el circuito por el R.: Carga eléctrica, 10 miliculombios. que circula la corriente es R = 10 Ω.

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7.- Una espira circular está situada en el interior de un campo magnético uniforme de 0’8 T que es normal al plano de la espira. Esta se contrae desde un diámetro de 20 cm hasta 10 cm en 50 ms, con una velocidad que genera una fem constante. Determinar su valor. R.: 0.377 V. 8.- Un circuito situado en el plano XY consta de un conductor recto de 10 cm de longitud que se desliza a lo largo x x x de dos raíles conductores paralelos y fijos (fig.). La resistencia de los conductores es de 0’5 Ω/m. x x x r El circuito ˆ está sometido a un campo magnético B = −0'6.k T. x x x Aplicamos al conductor móvil una fuerza exterior que r lo desplaza hacia la derecha con velocidad v = 2 ˆi m/s. x x x En el instante inicial el conductor móvil se halla 1 m a x x x la derecha de su paralelo. Hallar la fem inducida y la intensidad de la corriente inducida, al cabo de 3 segundos. ¿Cuál es el sentido de la corriente? R.: Fem ind., 120 mV.- Intensidad ind., 16’9 mA en sentido antihorario.

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x

x

9.- La corriente de una bobina, cuyo coeficiente de autoinducción es L = 10 H y su resistencia R = 5 Ω, varía en el tiempo según la expresión I = 2t2 - 3t. Hallar la fem autoinducida en t = 1 s, en t = 3 s y el instante en que es nula. Hallar en esos instantes la intensidad de corriente total por la bobina. R.: Eind (t) = 30 - 40t Eind (1) = -10 V Eind (3) = -90 V Eind = 0 en el instante t0 = 0’75 s I(1) = -3 A I(3) = -9 A I(t0) = -1’125 A Iind(t) = 6 – 8t 10.- Cuando la corriente de una espira varía a razón de 1’2 A/s en otra próxima se induce una fem de 96 mV. Hallar el coeficiente de inducción mutua. R.: M = 80 mH. 11.- Se tienen dos anillos conductores, independientes, paralelos y próximos. Cuando en el primero circula una corriente de intensidad I1 = 3t + 1, en el segundo que presenta una resistencia de 3 Ω. se induce una corriente de 0’25 A. Hallar la inductancia mutua M. Explicar en un dibujo los sentidos de I1 y de Iind. R.: M = 0’25 H. 12.- Dos circuitos tienen un coeficiente de inducción mutua M = 4 mH. Por uno circula una corriente de intensidad I(t) = 5 sen(100πt). Hallar la fem inducida en el otro. Cuando en el primero la intensidad es nula, ¿cuánto vale la fem en el segundo? R.: Eind (t) = - 2π cos(100πt) ; cuando I = 0, Eind = ± 2π sucesivamente. 13.- Por una bobina de 500 espiras circula una corriente continua de 2 A de intensidad, que produce un flujo magnético de 2x10-4 Wb/espira. Determinar: a) el valor de la fem inducida si la corriente se interrumpe en 0’4 s. b) el coeficiente de autoinducción de la bobina. R.: Fem inducida, 0’25 V.; autoinductancia, 50 mH. 14.- Dos bobinas muy próximas tienen un coeficiente de inducción mutua M = 30 mH. Hallar la fem inducida en la primera bobina cuando la corriente en la segunda viene dada por la expresión I2(t) = 6 sen (100πt). R.: Fem inducida en la primera bobina, Eind(t) = –56’55 cos (100πt) voltios. 15.- Un carrete plano, de espesor despreciable, tiene 50 espiras de 100 cm2 de área por espira. Está situado inicialmente de forma que su plano es perpendicular a un campo magnético uniforme y estático de 100 militeslas. Se le hace girar después a una velocidad de 600 rpm

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U IV.- T 14: Inducción Electromagnética

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alrededor de un eje contenido en su plano y perpendicular al campo magnético. Hallar la fem inducida en función del tiempo, Eind(t). R.: Eind(t) = 3’14 sen(20πt) 16.- Una bobina, de 50 espiras circulares de 20 cm de diámetro, presenta una resistencia de 0’5 Ω. Se sitúa paralelamente a un campo magnético variable B(t) = (2t2- t)x10-3 teslas. Hallar: a) La fem y la intensidad inducidas en la bobina, en función del tiempo. b) La fem y la intensidad inducidas en la bobina en los instantes t = 0 s y t = 0’7 s. c) ¿En qué instante se anulan la fem y la intensidad inducidas? d) En una figura adecuada, dibujar el sentido de la corriente inducida, en todo instante. R.: a) Eind(t) = – 1’57 (4t – 1 ) mV I(t) = – 3’14 (4t – 1) mA b) Eind(0) = +1’57 mV

I(0) = +3’14 mA

Eind(0’7) = –2’82 mV I(0’7) = –5’65 mA

17.- Sobre dos rieles rectilíneos paralelos, de resistencia despreciable, dispuestos horizontalmente a 2 m de distancia uno de otro, se colocan dos varillas metálicas conductoras, que se pueden mover paralelamente a sí mismas, manteniéndose en todo momento perpendiculares a los rieles. Las dos varillas son idénticas, de 3 Ω de resistencia y 2'5 kg de masa cada una, y todo el sistema se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme vertical de 0'5 T de inducción. Una de las varillas se aleja de la otra con una velocidad de 8 m/s. Hallar la velocidad constante que adquiere la segunda varilla, sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las varillas y los rieles es μ = 0'05. R.: v = 0'65 m/s

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T E M A 15.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

SUMARIO: 15.1.- Síntesis electromagnética 15.2.- Ondas electromagnéticas 15.3.- Espectro electromagnético Actividades desarrolladas Actividades propuestas

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1.- SÍNTESIS ELECTROMAGNÉTICA La teoría electromagnética se sintetiza en estas cuatro leyes, en parte ya estudiadas. (Nos referiremos siempre al vacío como medio): ♦ Ley de Gauss, del campo eléctrico: ΦE ≡

r r

1

∫∫ E.dS = ε ∑ q

i

0

S

“El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al producto de la carga interior neta por 1/ε0”

r Se refiere pues al campo eléctrico E y sus fuentes qi, las cargas eléctricas. Maxwell establece a partir de esta ley de Gauss su primera ecuación. ♦ Ley de Gauss, del campo magnético: ΦB ≡

r r

∫∫ B.dS = 0

“El flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es nulo”.

Señala cómo el campo magnético no procede de fuentes polares (no existen polos magnéticos independientes, creadores de campo magnético, a semejanza de las cargas eléctricas). A partir de esta ley de Gauss, Maxwell expresa su cuarta ecuación. ♦ Ley d’Ampère - Maxwell. La expresión

r r B ∫ .d r = μ 0 ∑ I i representa la Ley d'Ampère. c

r Se refiere a la circulación del campo magnético B a lo largo de un camino cerrado. Expresa la relación entre el campo magnético y las corrientes eléctricas, sus fuentes. Esta ley no es general. Maxwell la amplía y generaliza, de modo que recogiera también la aparición de campos magnéticos debidos a variaciones temporales de flujo eléctrico, obteniendo su segunda ecuación que puede expresarse así: r r d ⎛ r r⎞ B.d r = μ 0 I i + ε0μ0 ⎜ E . dS ⎟ ⎟ dt ⎜⎝ S c ⎠ Esta ecuación interrelaciona los campos eléctrico y magnético, expresando cómo las variar r ciones temporales del campo eléctrico E originan un campo magnético B .

∑

∫

∫∫

♦ Ley de inducción de Faraday:

Eind

= −

dΦ B d⎛ =− ⎜ dt dt ⎜⎝

r r⎞

∫∫ B.dS ⎟⎟⎠ S

r B Esta ley relaciona las variaciones temporales de r rcon una fem inducida, y por tanto con un campo eléctrico E generado por dichas variaciones de B . A partir de esta ley se puede expresar la tercera ecuación de Maxwell. Estas cuatro ecuaciones de Maxwell constituyen, en lo esencial, los fundamentos del Electromagnetismo. Fueron sintetizadas por J. C. Maxwell en 1865.

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2.- ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Tomando como base estas ecuaciones, Maxwell dedujo teóricamente la existencia de las r ondas electromagnéticas (OEM). El hecho de que un campo eléctrico variable en el tiempo E( t )

r

origine un campo magnético, en general, también variable en el tiempo B( t ) , y que éste a su vez

r

r

dé lugar a un campo eléctrico, expresa la interconexión de ambos campos, E( t ) y B( t ) , en cada punto del espacio. Pero tales campos no se ven constreñidos a un punto sino que son origen de campos electromagnéticos en los puntos próximos, propagándose a ellos en forma ondulatoria. Algunas características de las OEM: a) En cadar punto r alcanzado por la OEM aparecen los campos E y B , variables, por ejemplo armónicamente. En este caso, se pueden escribir así: r r E = E 0 sen(ωt − kx ) → onda eléctrica

r r B = B 0 sen(ωt − kx )

→

onda magnética

b) Ambas ondas son trasversales y están interconectadas por las ecuaciones de Maxwell. c) Los planos de vibración de ambas r rondas son perpendiculares entre sí y se propagan en la misma dirección. Ambos campos, E y B , son perpendiculares entre sí y a la r dirección de propagación. Así, si se toma como dirección de propagación el eje X y el campo E se sitúa según el r eje Y, entonces el campo B se sitúa según el eje Z. Véase la figura. d) Maxwell deduce que la velocidad de propagación de estas OEM, en el vacío, debe ser:

c=

1

ε 0μ 0

=

1 8.85x10

−12

2

−1

−2

−6

C N m x1.257 x10 TmA

−1

≅ 3x10 8 m / s

e) Ya con anterioridad (hacia 1857) había sido medida la velocidad de la luz por diversos métodos, obteniéndose en todos los casos valores muy aproximados a 3x108 m/s. Ello sugirió a Maxwell la idea de aceptar el carácter electromagnético de las ondas luminosas. La Teoría electromagnética de la luz parte de este principio: la luz son ondas electromagnéticas. f) Faltaba la comprobación experimental. Tal comprobación se consigue veintitrés años después, cuando H. Hertz, en 1888, generó las OEM preconizadas por Maxwell, que se llamaron ondas hertzianas. Se vio cómo estas ondas, originadas mediante osciladores electromagnéticos, presentaban las mismas características que la luz, experimentando los mismos fenómenos que ella: reflexión y refracción, interferencias, difracción, polarización, ... Así quedó plenamente comprobada la estrecha relación entre las ondas luminosas y las OEM: aquéllas constituían una parte, por cierto muy pequeña, del espectro completo de las OEM. A partir de estos resultados, se abrían, entre otros, los nuevos caminos hoy tan desarrollados de las comunicaciones: telegrafía sin hilos → radio → televisión → etc... FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Sin embargo, desde los comienzos se plantea un problema: todas las ondas conocidas, longitudinales o trasversales, se propagan en medios materiales; sin embargo, las OEM no precisan de medio alguno para propagarse (se propagan también en ausencia de materia, en el vacío). Para solucionar este escollo los físicos postulan la existencia del éter. Se trataría de suponer el universo lleno de este hipotético medio; sus características debían de ser por un lado las de un sólido rígido (las ondas trasversales así lo exigen) y por otro las de un gas sutil pues no había podido ser detectado por ningún instrumento contemporáneo. El éter serviría de soporte a las OEM en su propagación. Fue una hipótesis; quedaba para posteriores indagaciones, y como problema pendiente, si tal hipótesis podría ser confirmada experimentalmente.

3.- ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO Las OEM son producidas por osciladores electromagnéticos. Algunos de estos osciladores han sido creados por el hombre (emisoras de telecomunicación, radio, televisión, radar, ...). Pero la mayoría son osciladores naturales (moléculas, átomos, núcleos atómicos, ...). Las longitudes de onda emitidas van desde varios kilómetros (ondas de radio) hasta longitudes del orden del tamaño nuclear ( ≈ 10-14m, rayos gamma). Aunque los límites que separan las distintas zonas del espectro electromagnético no están fijadas de modo estricto, presentamos aquí la siguiente clasificación: ν(Hz) > 1020 1020 - 1019 1019 - 1016 1016 - 8x1014 8x1014 - 4x1014 4x1014 - 1012 1012 - 108 108 - 104 < 104

λ < 0.03 Å 0.03 Å – 0.3 Å 0.3 Å – 300 Å 30 nm – 400 nm 400 nm – 750 nm 0.75 μm – 300 μm 300 μm – 3 m 3 m – 30 km > 30 km

NOMBRE Radiación cósmica Rayos gamma (γ) Rayos X Ultravioleta (UV) VISIBLE Infrarrojo (IR) Microondas (MW) Radiofrecuencia (RF) Líneas de potencia

REGIÓN Región de RAYOS

Región ÓPTICA

Región de ONDAS

Recuérdese la relación entre la frecuencia ν, la longitud de onda λ y la velocidad de la luz en el vacío c = 3x108 m/s:

c ν= λ

o sea

3x10 8 m ⋅ s −1 ν(Hz ) = λ(m)

La región de las ondas producidas artificialmente por el hombre, habitualmente llamadas ondas de radio, comprende las ondas muy largas (UHW, longitud de onda mayor que 10 km), ondas largas (HW, de 1 km a 10 km), ondas medias (MW, de 1 km a 100 m), ondas cortas (LW, de 100 m a 10 m) y ondas ultracortas (FM, VHF, UHF, de 10 m a 1 m). Estas ondas se emiten al espacio y, antes de ser recogidas por la antena receptora, son reflejadas por la ionosfera, capa atmosférica fuertemente ionizada por las radiaciones solares (sobre todo, UV). Cuanto menor es la longitud de onda mejor es la reflexión; por ello las ondas cortas pueden llegar más lejos que las largas y son más adecuadas para las trasmisiones radiofónicas a largas distancias. Por el contrario, las ondas muy largas se trasmiten directamente, sin necesidad de reflexión en la ionosfera; requieren, no obstante, instalaciones enormemente grandes y son muy lentas; por ello, su utilización se ha limitado al terreno militar. Las ondas ultracortas se utilizan en las trasmisiones de radio en FM y en las de televisión, si bien éstas últimas emplean también la parte superior de la zona de microondas. Concretamente, las emisiones de la banda UHF emplean ondas desde 1 m hasta 10 cm. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Las microondas están producidas por dispositivos especiales (Klystron) y se utilizan para radar y en radioastronomía; conocida es asimismo su aplicación en aparatos domésticos. La radiación infrarroja (IR) es emitida por osciladores naturales: es debida a cambios energéticos rotacionales y de vibración en las moléculas (por ejemplo, en materiales incandescentes). Es una radiación muy calorífica, con aplicaciones médicas e industriales. Son interesantes sus aplicaciones en fotografía industrial y científica. La luz visible se extiende, en una franja muy estrecha, entre 750 nm y 400 nm aproximadamente. El ojo humano es sensible a estas radiaciones, obteniendo la sensación cromática. La división cromática del espectro luminoso visible es aproximadamente: Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta

750 – 650 nm 650 – 585 nm 585 – 575 nm 575 – 500 nm 500 – 420 nm 420 – 400 nm

La luz visible es emitida por átomos excitados, por ejemplo, en la incandescencia de sólidos y líquidos. Se produce en los saltos electrónicos de las capas más exteriores. Sabemos todos la importancia de la luz en la vida de los seres (reacciones químicas, por ejemplo fotosíntesis) y en la naturaleza. Sus aplicaciones son casi infinitas. La radiación ultravioleta (UV) procede fundamentalmente de cambios energéticos en el átomo, en sus electrones intermedios. Está presente en la radiación que nos llega del sol. Se acostumbra a dividir su espectro en UV próximo y UV lejano. Presentan alta fluorescencia y manifiestan diversas acciones sobre los cuerpos vivos, debido a su elevado poder de penetración: acción esterilizante (impidiendo la división celular), acción eritemal (quemaduras), acción pigmentaria (sobre la piel). Los rayos X proceden de cambios energético que se operan en el átomo, en sus electrones más interiores; asimismo aparecen en el frenado brusco de electrones de alta velocidad. Son muy energéticos y penetrantes, y dañinos para los organismos vivos; aunque, como es sabido, se utilizan de forma controlada en diagnósticos médicos, así como en la investigación científica (ionización de gases, fluorescencia, …)

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Los rayos γ, de longitud de onda aún inferior (pero no bien definida su separación respecto de la zona de los rayos X), son emitidos por los núcleos radiactivos, obedeciendo, por tanto, a cambios energéticos en el núcleo atómico. Son de muy elevado poder de penetración, por lo tanto altamente peligrosos para el organismo humano. Se encuentran en grandes cantidades en los reactores nucleares.

Jaizkibel

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ACTIVIDADES DEASARROLLADAS 1.- Calcular las longitudes de onda con las que emiten las siguientes emisoras en San Sebastián: COPE: 88,5 MHz.- RNE-5: 558 KHz.- 40 Pples: 97,2.T Rentería: 107,0 MHz.- C. SER: 1044 KHz

c=λν

⇒

λ=

c ν

→

COPE: RNE-5

3x10 8 300 = = 3’39 metros 6 88'5 88'5x10 300 =538 metros λ= 0'558

λ=

etc .... 2.- Calcula el índice de refracción de un medio por el que se propaga una OEM cuyo campo eléctrico está dado por E(x,t) = 10-3 cos(5 . 1010 t - 200 x) V/m.

n=

c vp

vp = λ ν =

5x1010 2π ω ω = = = 2'5x10 8 m/s k 2π k 200

n=

c 3x10 8 = 1’2 v p 2'5x10 8

3.- Una onda de radio de 25 MHz se propaga en un medio cuyo índice de refracción es 1’5. Si la amplitud de la onda es 2x10-4 V/m y se propaga a lo largo del eje X, escribir la ecuación que representa dicha onda.

Por ser una onda de radio es una OEM y por tanto se cumple que: E(x,t) = E0 sen (ωt – kx). La amplitud de la onda es E0 = 2x10-4 V/m La frecuencia es ν = 25 MHz = 25x106 Hz →

ω = 2πν = 2’5x107 . 2π

La velocidad de propagación se calcula teniendo presenta que c 3x10 8 c → vp = = n= = 2x10 8 m/s n 1'5 vp La longitud de onda λ =

vp ν

=

2 x10 8 25x10

6

= 8 metros

→

k=

2π 2π = = 0’125 . 2π λ 8

Ecuación de la onda: E(x,t) = 2x10-4 sen 2π(2’5x107 t - 0’125 x) V/m

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ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.- Un foco emite OEM de frecuencia igual a 1’5 MHz y atraviesan un medio que tiene un índice de refracción igual a 1’5. ¿Cuál es la longitud de onda de esta radiación en el aire y en dicho medio? R.: En el aire, 200 metros, y en el medio 133’3 metros 2.- Una OEM plana, sinusoidal y polarizada linealmente, tiene una longitud de onda de 500 nm y se propaga en el vacío en la dirección del eje X. Si el plano de polarización de la onda forma un ángulo de 30º con el XY y el módulo de la amplitud del campo eléctrico es 10 V/m, determinar la ecuación de la onda en términos del campo eléctrico. r R. : E(x, t) = 2( 3 jˆ + kˆ).sen{4 π.10 6 (3.10 8 t - x)} V/m 3.- Escribe la ecuación de una OEM plana armónica, propagándose en el vacío en la dirección positiva del eje Y, siendo su plano de polarización de onda 200 nm y la r el XY, su longitud 7 máxima amplitud del campo eléctrico 4 V/m. R.: E(y, t) = 4 sen{10 π(c t - y)} iˆ V/m 4.- El campo de una OEM plana en el vacío se representa, utilizando unidades del S.I., por los siguientes datos: E0x = 0, E0y = 0’5 sen [2π.108 (t - x/c)], E0z = 0. Calcular: a) La longitud de onda.- b) El estado de polarización.- c) La dirección y sentido de propagación.- d) La frecuencia. R.: 3 m de longitud de onda.- La onda está polarizada según el plano de polarización OXY.- Se propaga en la dirección positiva del eje X.- Su frecuencia es 108 Hz.

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UNIDAD V: Introducción a la FÍSICA MODERNA

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FÍSICA 2º Bachillerato

UNIDAD V :

. Ciencias de la Naturaleza y de la Salud . Tecnología

Introducción a la Física Moderna TEMA 16.Crisis de la Física Clásica TEMA 17.Introducción a la Física del Núcleo

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T E M A 16.CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA

SUMARIO: 16.1.- Crisis de la Física Clásica 16.2.- Espectros discontinuos y átomo de Bohr 16.3.- Efecto fotoeléctrico 16.4.- Relatividad (algunos resultados a aplicar) 16.5.- Efecto Compton 16.6.- Hipótesis de De Broglie: dualidad corpúsculo-onda Actividades desarrolladas Actividades propuestas

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1.- CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA A finales del siglo XIX, las diversas ramas de la Física se integran dentro de un edificio teórico, general y coherente, cuyas grandes líneas son las siguientes: Se distinguen dos categorías de objetos en el Universo: la materia y la radiación. La materia es discontinua; está constituida por corpúsculos perfectamente localizables, sometidos a las leyes de la Mecánica de Newton. El estado de cada corpúsculo viene definido, en cada instante, por su posición y su momento lineal. La radiación electromagnética sigue las leyes del Electromagnetismo de Maxwell. Sus variables dinámicas son las componentes, en cada punto del espacio, de los campos eléctrico y magnético. Presenta un comportamiento ondulatorio que se manifiesta particularmente, entre otros, en los conocidos fenómenos de interferencia y difracción. De este modo, toda la ciencia física parece estar asentada coherentemente en estos dos pilares: la Mecánica newtoniana y la Teoría electromagnética de Maxwell.

Era tal el grado de satisfacción de la comunidad científica que algunos físicos, entre ellos uno de los más ilustres del siglo XIX, William Thompson (Lord Kelvin), llegó a afirmar: Hoy día la Física forma, esencialmente, un conjunto perfectamente armonioso, ¡un conjunto prácticamente acabado! ... Aun quedan “dos nubecillas” que oscurecen el esplendor de este conjunto. La primera es el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley. La segunda, las profundas discrepancias entre la experiencia y la Ley de Rayleigh-Jeans. La disipación de la primera de esas “dos nubecillas” condujo a la creación de la Teoría Especial de la Relatividad por Einstein (1905), es decir, al hundimiento de los conceptos absolutos de espacio y tiempo, propios de la mecánica de Newton, y a la introducción del “relativismo” en la descripción física de la realidad. La segunda “nubecilla” descargó la tormenta de las primeras ideas cuánticas, debidas al físico alemán Max Planck (1900): El origen de la Teoría Cuántica Aparecen, en efecto, nuevos fenómenos y comportamientos que prueban la limitación de esta Física Clásica; son fenómenos y comportamientos que contradicen las mismas bases de la Física, y que no pueden ser explicados por ella. Es el nacimiento de la nueva Física Moderna.

A.- PRIMER ASPECTO CONFLICTIVO Aparece como consecuencia de los resultados negativos del experimento de Michelson y Morley, encaminado a comprobar la existencia del éter. Cuando en los comienzos del siglo XIX se comprobó la naturaleza ondulatoria de la luz como propagación de ondas electromagnéticas, surgió una duda de aparentemente difícil solución: ¿cómo puede propagarse la luz en el vacío si, al menos las ondas conocidas hasta entonces, precisan de un medio material de propagación? Para subsanar este inconveniente se postuló la existencia de un medio hipotético, llamado éter, al que atribuyeron propiedades curiosamente paradójicas tales como densidad nula, gran elasticidad y transparencia perfecta. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Además, dicho éter, de existir, ocuparía todo el Universo, los cuerpos celestes se moverían en su seno, por lo que dicho éter podría ser considerado como un sistema absoluto de referencia. La Tierra se movería respecto a él (la velocidad orbital de la Tierra es de unos 30 km/s) y, evidentemente, este movimiento influiría en los resultados de medición de la velocidad de la luz, según la orientación de los rayos luminosos respecto de la velocidad de movimiento del observador. Así, para un observador situado sobre la Tierra, supuesto que ésta se mueva en el mismo sentido que la luz con velocidad v, la velocidad de la luz sería c' = c - v mientras que si se mueve en sentido opuesto, c" = c + v Resultaba, pues, muy tentador comprobar la velocidad de la luz en distintos sistemas inerciales y determinar la influencia de tales sistemas en esa velocidad. Las experiencias realizadas por Albert A. Michelson y Edward W. Morley, en 1887, demostraron que:

• La velocidad de la luz en el vacío es constante en todos los sistemas inerciales, independientemente de la velocidad de la fuente y del observador. De acuerdo con este resultado, la existencia del éter no tiene sentido físico alguno y no existe un sistema absoluto de referencia. Ahora bien, la experiencia de Michelson y Morley contradice las leyes básicas de la mecánica newtoniana. Es preciso pues analizarlas. Se hace necesaria una revisión profunda de los fundamentos de la Física. Albert Einstein, en 1905, formula su Teoría de la Relatividad Especial, realizando un análisis crítico de las nociones de espacio y tiempo; decide abandonar la noción de espacio y tiempo absolutos y establecer como fundamento la invariancia de la velocidad de la luz en el vacío para cualquier sistema de referencia. Rompe así con los conceptos newtonianos clásicos de tiempo, espacio, masa, energía, momento lineal... debiendo ser redefinidos en función de estos nuevos fundamentos:

• Las leyes físicas son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales, siendo expresables mediante ecuaciones semejantes. • La velocidad de la luz en el vacío es un invariante físico, y es además independiente del movimiento de la fuente emisora y del observador.

La nueva Mecánica Relativista que nace es una ampliación de la clásica: ésta se presenta como una aproximación válida en la medida en que las velocidades de los cuerpos materiales sean mucho menores que la velocidad de la luz.

Ampliación: RELATIVIDAD DE GALILEO Dos sistemas de referencia O y O’ se denominan inerciales cuando están dotados de una velocidad relativa constante. O sea, por ejemplo O’ se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto de O. Entonces, si en uno de ellos se verifican las leyes de Newton, en el otro asimismo se verifican formalmente igual. Por consiguiente, no es posible distinguir dos SRI. “No existe ningún referencial inercial especial, por lo que no sólo el movimiento sino todos los fenómenos físicos ocurren de la misma manera en todos ellos.”

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Si los diferentes SRI no fuesen equivalentes, se intentaría buscar entre ellos uno en el que las leyes físicas se formulasen de manera especialmente simple. Se estaría inclinado a considerarlo, por las ventajas que ofrece, en “reposo absoluto”, y a los demás “en movimiento”. La completa equivalencia de todos los SRI priva de todo significado a los términos “reposo y movimiento absolutos”. Consideremos, pues, dos SRI: OXYZ y O’X’Y’Z’. Supongamos inicialmente ambos sistemas coincidentes O = O’ y al segundo O’X’Y’Z’ dotado de una velocidad u según el eje OX = O’X’. Entonces, la posición de P resr r r pecto de ambos sistemas ha de verificar: r = r ' + u t

r

r

r

→ r' = r − u t

x = x' + ut'⎫ ⎧x' = x − ut ⎪ y' = y y = y' ⎪⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎬ z = z' ⎪ ⎪ z' = z ⎪⎩ t' = t t = t' ⎪⎭

(a)

Este conjunto de cuatro ecuaciones se denomina relaciones de TRANSFORMACIÓN DE GALILEO, y permiten determinar la posición de P respecto del sistema O’ cuando se la conoce respecto de O. Nótese que la ecuación t’ = t significa el carácter absoluto del tiempo: los dos observadores O y O’ miden los mismo intervalos de tiempo transcurridos entre dos sucesos. Derivando la ecuación vectorial (a) se obtiene: r r r r r dr dr r = − u → v' = v − u → dt' dt

⎧ v'x = v x − u ⎪ v'y = v y ⎨ ⎪ v'z = v z ⎩

(b)

Estas ecuaciones (b) son las que proporcionan las velocidades del punto P en el SRI O’ en función de los valores obtenidos en el SRI O. Vemos cómo la velocidad es relativa al sistema en la que se mide: los observadores O y O’ no obtienen el mismo resultado de tal medición. r Derivando la ecuación vectorial (b) se obtiene, teniendo presente que u es constante: r r dv' dv = dt' dt

→

r r a' = a

→

⎧a'x = a x ⎪ ⎨a'y = a y ⎪a' = a z ⎩ z

(c)

Este sistema señala que la aceleración de P medida por O o medida por O’ tiene el mismo valor ⇒ la aceleración sí es un invariante en el cambio de referencial. Si se admite que las masas de los cuerpos son invariantes, las fuerzas tendrán el mismo carácter absoluto que las aceleraciones. Es decir, todos los observadores galileanos coincidirán en los valores de las fuerzas (módulo, dirección y sentido). ⇒ La ecuación fundamental de la dinámica es válida para todos los SRI. RESULTADO NEGATIVO DE LA EXPERIENCIA DE MICHELSON Y MORLEY Supongamos el referencial O situado en el éter y O’ situado en la Tierra, que se mueve respecto del éter con velocidad u en sentido positivo del eje X. Supongamos un rayo de luz que se acerca al observador O’, según el sentido negativo del eje X. Llamando c a la velocidad de la luz medida por O (éter) la velocidad que mide O’ (Tierra) debe ser, según (b): c’ = c + u. Si por el contrario el rayo luminoso y el sentido del movimiento de la Tierra coinciden, desde O’ (Tierra) se medirá una velocidad para dicho rayo: c’’ = c – u FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Se trataría pues de encontrar experimentos que permitieran medir esa velocidad u. Michelson y Morley esperaban determinar la velocidad de la Tierra con respecto al éter, utilizando el interferómetro que lleva su nombre, de muy elevada precisión, capaz de determinar dicho valor. Repitieron su experimento (harto complejo para analizarlo aquí) muchas veces y en condiciones diferentes durante muchos años, y encontraron que, dentro de la precisión de sus mediciones, la velocidad de la luz con respecto a la Tierra era la misma en todas direcciones. RELATIVIDAD ESPECIAL: Transformadas de Lorentz Los resultados negativos del experimento de Michelson y Morley llevaron a Einstein a descartar el concepto de la existencia del éter. En su lugar propuso como ley universal de la naturaleza que: La velocidad de la luz es un invariante físico, y tiene el mismo valor para todos los observadores que estén en movimiento relativo uniforme. Esta ley y esta otra:

• Las leyes físicas son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales, siendo expresa-

bles mediante ecuaciones semejantes.

constituyen las nuevas bases de la Relatividad Especial, desarrollada por Einstein. Una primera consecuencia de ello es que el tiempo no es una magnitud absoluta: Dos observadores con movimiento relativo uniforme no miden igual intervalo temporal entre dos eventos posibles. Supongamos que los observadores O y O’ se mueven con velocidad relativa v y que los ejes X y X’ están en la dirección del movimiento relativo, y los ejes YZ e Y’Z’ son paralelos. Podemos suponer también que ambos observadores ajustan sus relojes de modo que t = t’ = 0 cuando O y O’ coinciden. En estas condiciones, se muestra a continuación la nueva transformación, compatible con la invariancia de la velocidad de la luz: ⎧ ⎪x' = ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ t' = ⎪⎩

x − vt 1− v2 /c2 y' = y

z' = z t − vx / c 2 1− v2 /c2

x=

⇔

x' + vt 1− v2 /c2 y = y'

z = z' t=

t' + vx' / c 2 1− v2 /c2

⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭

Este conjunto de relaciones fue obtenido por Einstein en 1905, quien lo llamó TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ, por haber sido propuesta anteriormente por H. Lorentz. Este sistema de relaciones sustituye al de Galileo. Para valores de la velocidad v L

⇒ El observador O que mide la longitud L de un objeto en movimiento obtiene una medida menor que la correspondiente L’ medida por O’ en reposo respecto del objeto: Lmovimiento < L’reposo (contracción de las longitudes).

lugar.

Dilatación del tiempo Def.- Tiempo propio es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurren en el mismo

Sean dos sucesos t’1 y t’2 que el observador O’ detecta en un mismo punto x’, medidos con su reloj. Sean t1 y t2 las medidas de los instantes de estos sucesos, dadas por O. Y sea v la velocidad con que O’ se mueve respecto de O. Entonces, llamando Δt’ = t’2 – t’1 y Δt = t2 – t1:

Δt = t2 – t1 =

t'2 + vx' / c 2 1− v2 /c2

–

t'1 + vx' / c 2 1− v2 /c2

=

t'2 −t'1 1− v2 /c2

=

Δt' 1− v2 /c2

→

Δt > Δt’

⇒ El observador O detecta un tiempo entre dos sucesos más dilatado que O’ para el cual ambos sucesos tienen lugar en un mismo punto, en reposo respecto de él. Δt movimiento > Δt’reposo (Dilatación del tiempo) B.- SEGUNDO ASPECTO CONFLICTIVO : Se presenta al tratar de justificar clásicamente los resultados experimentales relativos a la emisión y absorción de energía radiante por los cuerpos materiales. Son de especial interés la emisión de radiación de un cuerpo al elevar su temperatura, el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton, la producción de rayos X, los espectros atómicos, ... Algunos conceptos previos: Se llama radiación térmica de un cuerpo la radiación electromagnética que emite en función de la temperatura que posee. Todo cuerpo emite energía en forma de OEM hacia el espacio, que son tanto más intensas cuanto más elevada es la temperatura del cuerpo emisor. Pero a la vez, todo cuerpo recibe energía radiante emitida por los cuerpos que le rodean, absorbiendo de ella una cierta fracción (coeficiente de absorción).

Se denomina cuerpo negro a un cuerpo ideal que tiene la propiedad de absorber todas las radiaciones que llegan a él, cualquiera que sea su longitud de onda (coeficiente de absorción, unidad). Una realización del cuerpo negro puede ser una cavidad de paredes internas muy absorbentes con un pequeño orificio, pues toda radiación que penetra por dicho orificio al interior queda absorbida tras varias reflexiones en sus paredes; el área del orificio de entrada es la superficie del cuerpo negro.

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Al calentar un cuerpo negro, emite energía que sale al exterior por el orificio. Pues bien, + se llama poder emisor E la energía radiada por unidad de tiempo y de superficie emisora; se expresa en W/m2. + se llama exitancia espectral Mλ al poder emisor por unidad de intervalo espectral. Es decir: ∞

dE = Mλ .dλ

o bien

∫

E = M λ .dλ 0

Del estudio de la radiación emitida por un cuerpo negro al calentarlo se obtienen dos leyes experimentales: Ley de Stefan-Boltzmann: El poder emisor de un cuerpo negro es directamente proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta:

E = σ T4

donde σ = 5’672x10-8 W.m-2.K-4 es la constante de Stefan-Boltzmann

Ley del desplazamiento de Wien: La longitud de onda de la radiación a la que corresponde la máxima exitancia se desplaza hacia longitudes de onda más cortas de modo que:

λmaxT = C

donde C = 2’897x10-3 m K es la constante de Wien.

Este comportamiento en la emisión, contrastado experimentalmente, choca frontalmente con el que se espera obtener a partir de la teoría clásica, basada en el electromagnetismo de Maxwell. Y es que a partir de esta teoría se llega conclusiones absurdas; por ejemplo, que la exitancia o poder emisivo espectral crece monótonamente con la frecuencia, de modo que se hace infinita para cualquier temperatura cuando ν → ∞, es decir, cuando λ → 0. Esta contradicción entre la experiencia concreta y la Teoría Clásica de la Radiación es lo que se denomina (“catástrofe del ultravioleta”).

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Max Planck, en el año 1900, aventura una arriesgada hipótesis, según la cual: • La absorción y emisión de energía por la materia solamente puede realizarse mediante cantidades discretas de energía (cuantos de energía o fotones) cuyo valor viene dado por la expresión: Eν = hν

donde h = 6.6256x10-34J.s es la constante de Planck

Así pues, al igual que la materia, la energía es de naturaleza discontinua, de modo que para una determinada frecuencia ν, o longitud de onda λ, es siempre un múltiplo entero del cuanto o fotón: E = n h ν = n

hc . λ

En base a esta hipótesis, la distribución de la radiación queda justificada (Fórmula de Planck). Pero ello a expensas de sobrepasar los límites de la Física Clásica, introduciendo un principio de cuantificación para la energía.

Ampliación: Los físicos ingleses Lord Rayleigh y Sir James Jeans intentan dar una explicación de las curvas gráficas experimentales que describen la distribución de la energía radiada por un cuerpo negro, en función de las longitudes de onda (o de las frecuencias) de la radiación emitida. Llegan a una expresión muy adecuada para longitudes de onda largas (frecuencias pequeñas: Ley de Rayleigh-Jeans. Pero esta ley no puede ser aplicada a altas frecuencias, llegándose al absurdo de obtener valores inaceptablemente grandes para poderes emisivos espectrales, valores que tienden a infinito. Mν =

8πν 2 c3

⇔

kT

Mλ =

8π λ4

kT

La hipótesis introducida por Max Planck (cuantización de la energía emitida (en fotones de energía hν)) conduce a la Fórmula de Planck. Ésta sí que está de acuerdo con los resultados experimentales: Mν = donde:

8 πh ν3

1

c3

hν kT e −1

c es la velocidad de la luz en el vacío, k es la constante de Boltzmann h es la constante de Planck

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⇔

Mλ =

8 πhc

1

λ5

hc kT e λ −1

c ≅ 3 x 108 m/s k = 1’38 x 10-23 J/K h = 6’63 x 10-34 J . s

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Así como el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley marcó el origen de la Teoría de la Relatividad, la “catástrofe del ultravioleta” abrió el camino hacia la Mecánica Cuántica, origen de las actuales teorías sobre la composición de la materia a escala atómica y subatómica.

2.- ESPECTROS DISCONTINUOS Y ÁTOMO DE BOHR (Algunas ideas a recordar del curso pasado. Sólo interesa aquí hacer notar la aplicación, nuevamente, de las ideas de cuantificación de Planck, esta vez también a los niveles energéticos de los electrones en los átomos) La descomposición de la luz blanca mediante un prisma origina un espectro que proporciona de forma continua las distintas luces de colores que conforman la luz blanca: rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta. Pero si la fuente luminosa contiene una sustancia en forma atómica, el espectro obtenido se llama atómico y tiene una serie de rayas (espectro discontinuo), que sirven para identificar la muestra. En 1885 el suizo J. Balmer estudió la zona del visible del espectro de hidrógeno, y encontró una ley empírica que permitía calcular las longitudes de onda de la serie de rayas (serie de Bal⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟ mer). Era: = R H ⎜⎜ − ⎟ λ ⎝ 22 n2 ⎠ donde λ es la longitud de onda de la raya, n = 3, 4, 5, ... toma todos los valores enteros a partir de 2, y RH = 1’097 x 107 m-1 es la constante de Rydberg (para el hidrógeno).

Posteriormente, mediante análisis fotográfico, fueron observadas otras series espectrales. Recibieron el nombre de sus descubridores. Añadiendo la serie anterior, resultan: Serie de Lyman (zona ultravioleta), serie de Balmer (zona visible), serie de Paschen (zona del infrarrojo próximo), serie de Brackett (zona del infrarrojo), serie de Pfund (zona del infrarrojo lejano). La fórmula de Balmer puede generalizarse con bastante aproximación, resultando: ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ 1 = RH ⎜ − ⎟ λ ⎜ n2 n2 ⎟ 1 ⎠ ⎝ 2

donde; Serie de Lyman Serie de Balmer Serie de Paschen Serie de Brackett Serie de Pfund FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

n2 = 1 n2 = 2 n2 = 3 n2 = 4 n2 = 5

n1 = 2, 3, 4, ....∞ n1 = 3, 4, 5, ....∞ n1 = 4, 5, 6, ....∞ n1 = 5, 6, 7, ....∞ n1 = 6, 7, 8, ....∞

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Todos los físicos de la época son conscientes de que estos espectros de rayas son la manifestación externa del comportamiento interno de los átomos, ante la absorción o emisión de energía radiante por ellos. En 1911 el británico Ernest Rutherford postula que el átomo está formado por un núcleo en el que se encuentra la casi totalidad de masa atómica y toda la carga eléctrica positiva. En torno al núcleo giran en órbitas los electrones, de carga negativa. El número de electrones es igual al de cargas eléctricas del núcleo, con el fin de mantener eléctricamente neutro al átomo. Además indica que las órbitas son circulares, de forma que la estabilidad del conjunto se debe a que la fuerza centrípeta que experimenta el electrón girando en torno al núcleo es igual a la fuerza electrostática de atracción entre el núcleo y el electrón. (La interacción gravitatoria, por ser mucho menor, se desprecia frente a la electrostática). Este modelo presenta una gran dificultad para ser asumido: Los electrones en su movimiento orbital presentan una aceleración centrípeta. Pues bien, de acuerdo con la teoría electromagnética clásica, toda partícula cargada con aceleración irradia energía en forma de ondas electromagnéticas. Por tanto los electrones, en su movimiento orbital van perdiendo energía. Y si es así, no pueden mantener su órbita circular, y describirán una órbita en espiral hasta colapsar con el núcleo. ⇒ El átomo de Rutherford no es estable. En 1913, el danés Niels Bohr modifica el modelo de Rutherford al aplicar el concepto de cuantización de la energía de Planck, y alcanzando un gran éxito al explicar los espectros atómicos y justificar teóricamente la fórmula empírica de Balmer del espectro del átomo de hidrógeno. El modelo atómico de Bohr se sustenta en los siguientes postulados: 1º. Los electrones giran alrededor del núcleo en determinadas órbitas circulares, sin emitir ni absorber energía radiante en las mismas (órbitas estacionarias). 2º. Estas órbitas son aquéllas para las que el momento angular del electrón (me v r) es un nº entero de h/2π: me rn vn = n h/2π donde n = 1, 2, 3, ... se denomina nº cuántico principal; y h es la constante de Planck.

Esto significa que la energía de las órbitas y sus radios están cuantificados.

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Vamos a calcular, en desarrollo semiclásico, los radios rn y las energías En de cada nivel, en el átomo de hidrógeno (sistema protón-electrón): Radios rn:

Hipótesis de Bohr: m e2 v n2 = n 2

me vn rn = n h/2π →

h2 4π 2 rn2

→

m e v n2 = n 2

h2 4π 2 rn2 m e

Fuerza de Coulomb = masa x aceleración centrípeta_ v n2 e2 → me =k rn rn2

m e v n2 = k

e2 rn

Igualando ambas expresiones y despejando rn resulta: rn = n 2

h2

4π 2 ke 2 m e

⎧ h = 6'63x10 − 34 J . s ⎪ ⎪k = 9x10 9 N . m 2 .C − 2 Operando, para n = 1, y siendo ⎨ ⇒ r1 = 5’3 x 10-11 m = 53 picometros −19 C ⎪ e = 1'6x10 ⎪ m = 9'1x10 − 31 kg ⎩ e

Éste es el llamado “radio de Bohr” y corresponde con el de la órbita más interior: a0 = 5’2917x10-11 m Los siguientes radios se obtienen haciendo n = 2, 3, 4, .... en la expresión abreviada: rn = n2 a0 r2 = 2’11x10-10 m r3 = 4’76x10-10 m r4 = 8’47x10-10 m r5 = 1’32x10-9 m etc... Niveles de energía En: En analogía con el estudio del campo gravitatorio, y para órbitas circulares, la energía total del electrón en su órbita es la mitad de su energía potencial eléctrica, e igual a la energía cinética, pero negativa: Ep = − k

e2 r

1 ke 2 Ec = − Ep = 2 2r

E=

1 ke 2 Ep = − 2 2r

Por tanto, energía del nivel n-simo: En = −

2π 2 k 2 e 4 m e ⎛ 1 k e2 1 ke 2 ⎜ =− =− ⎜ 2 2 2 rn 2 n 2 h 2 / 4π 2ke 2m h ⎝n e 13'6 electronvoltios En = − n2

⎞ 2'169x10 −18 ⎟=− julios ⎟ n2 ⎠

Así que el nivel fundamental es E1 = - 13’6 eV, y los sucesivos niveles: E2 = - 3’40 eV E3 = - 1’51 eV E4 = - 0’85 eV .... según la fórmula anterior. 3º. Siempre que un átomo absorbe o emite energía lo hace mediante cuantos de energía completos (fotones), de valor hν, y es consecuencia de que los electrones experimentan un tránsito entre niveles.

Cuando un electrón absorbe un fotón, salta a un nivel superior, quedando el átomo excitado. Al desexcitarse emite la misma cantidad de energía en forma de fotones. La interpretación teórica de los espectros atómicos se basa en que los electrones de los átomos pueden situarse estacionariamente en ciertos estados, caracterizados por valores de energía determinados, llamados niveles de energía. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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La transición entre dos niveles o estados Ei (nivel inicial) y Ef (nivel final) da lugar a la emisión o absorción de radiación en forma de un fotón hν. ⎛ ⎜ 1

⎞ 1 ⎟

⎝ f

i ⎠

Sea ΔE = E f − E i = 13'6 ⎜ − ⎟ . Si pensamos, por ejemplo, en la tercera raya del espectro de ⎜ n2 n2 ⎟ Balmer, supone un salto del electrón desde el nivel 5 al nivel 2, emitiendo un fotón. ¿Cuál es su longitud de onda?

ΔE = h ν = h

c λ

→

λ=

hc ΔE

⎛ ⎞ ⎜ 1 1 ⎟ −19 julios − ΔE = 13'6 ⎜ ⎟ = 2'856 eV = 4'57 x10 2 2 ⎜2 5 ⎟ ⎝ ⎠

λ=

hc 6'62x10 −34 x3x108 = = 4'353x10 − 7 m = 435'3 nanometros − 19 ΔE 4'57 x10

Aplicando la fórmula experimental de Balmer

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟ hubiéramos obtenido 434’1 nm; = R H ⎜⎜ − ⎟ λ ⎝ 22 n2 ⎠

¡¡¡Una buena comprobación!!! La absorción de un cuanto de radiación de energía ΔE = h ν por parte de un electrón hace que éste pase de un nivel a otro superior, llamado también estado excitado. La vuelta del electrón desde el estado excitado al inicial, bien directamente o a través de otros estados intermedios, hace que se puedan emitir fotones de frecuencias distintas. Cada una de estas transiciones dará origen a una línea en el espectro, lo que explica que en el espectro de un átomo aparezcan varias rayas o líneas, de forma que cada una de ellas tiene una frecuencia o longitud de onda determinada. Como en cualquier muestra de una sustancia existen billones de átomos, se puede estar seguro de que en cualquier momento estarán representadas todas las posibles formas de excitación y emisión de energía y por consiguiente en el espectro no aparecerá una única raya, sino varias líneas. FÍSICA.- 2º Bachillerato Valentín Laconcha Abecia, S.M. Doctor en C. Físicas

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Aunque el éxito del modelo de Bohr fue extraordinario, pronto surgieron discrepancias, pues con mejores espectroscopios se encontró que muchas de las rayas espectrales del átomo de hidrógeno eran en realidad varias rayas muy próximas entre sí. En 1925, Werner Heisenberg sugiere que el modelo atómico mecánico del tipo de Bohr debe abandonarse, y aparece lo que ha pasado a denominarse la Teoría Cuántica Moderna.

3.- EFECTO FOTOELÉCTRICO En 1888, Hallwachs y sus colaboradores observaron que una lámina de cinc, cargada negativamente y conectada a un electroscopio, perdía rápidamente su carga al ser iluminada con luz ultravioleta. También observaron que si se utilizaba un filtro que eliminase las radiaciones de longitud de onda más corta, el fenómeno no se producía. Este hecho experimental y otros similares permitieron suponer que, bajo la acción de ciertas radiaciones de pequeña longitud de onda, el cinc y otros metales emiten electrones (Lenard, 1889), denominándose a este fenómeno efecto fotoeléctrico. En general, al iluminar una superficie metálica con luz, hay electrones que son capaces de absorber energía radiante y abandonar dicha superficie.

Para estudiar con detalle las posibles variables que intervienen en el efecto fotoeléctrico (frecuencia de la luz incidente, velocidad de los electrones emitidos, número de electrones emitidos...) se ideó un dispositivo (célula fotoeléctrica) como el esquematizado en la figura.

El haz de luz incide sobre la superficie metálica fotosensible S (emisor) y los electrones emitidos por ella son captados por el colector C, mantenido por medio de un generador a un potencial V positivo respecto al emisor (V ≡ VC – VS), figura a). Emisor y colector están contenidos en un recinto transparente donde previamente se ha hecho el vacío. La corriente eléctrica producida por los electrones emitidos se detecta mediante el galvanómetro (o intercalando en serie un microamperímetro). Variando el voltaje V aplicado, pueden estudiarse las velocidades de estos electrones y sus energías cinéticas, ½ mv2, cuando abandonan la superficie. Cuando V = 0, puede ocurrir que haya algún electrón con energía cinética suficiente para llegar hasta el colector C, originando una corriente.

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V>0

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V ν0 , el electrón abandona el metal con una cierta energía cinética: la dada 2 = hν - W0, En función de esa frecuencia, la anterior ecuación se escribe: por ½ m v max 2 ½ m v max = h (ν -νo)

que se denomina “ecuación fotoelétrica de Einstein”. Admitido este mecanismo, se explican los resultados experimentales satisfactoriamente: 2º.- La emisión es instantánea, porque la absorción de la energía hν por el electrón se realiza no de forma gradual (onda) sino instantáneamente (absorción de un fotón). 3º.- La intensidad de corriente I es proporcional a la intensidad de la radiación iL. En efecto, al crecer ésta es mayor el número de fotones que aporta por unidad de tiempo en la incidencia y consecuentemente el número de electrones extraídos del metal, lo que da lugar, proporcionalmente, a una intensidad de corriente I mayor. 1º.- Pero se precisa que la radiación posea una frecuencia ν ≥ νo para que dicha emisión sea posible, pues sólo así el electrón puede escapar a la ligadura del metal, Finalmente, a mayor frecuencia ν mayor es la energía cinética máxima que adquieren los electrones que escapan, y por tanto mayor es el potencial retardador V0, el cual no depende de la intensidad de la radiación iL. La gráfica de la figura d) nos lo muestra. En ella se representa para diferentes metales (cesio, berilio, ...) el valor de eV0 en función de la frecuencia ν: eV0 = h ν - h ν0

Vemos cómo: + cada metal posee su propia frecuencia umbral ν0. + la pendiente de las rectas es justamente la constante de Planck h, la misma para cualquier metal emisor.

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Gráfica tomada de Millikan (R. A. Millikan, Physical Review 7, 355 (1916)) que representa la relación lineal entre el potencial crítico de frenado V0 y la frecuencia de la luz para una superficie fotosensible de sodio. Como se ve, Millikan presentó su cálculo de la constante de Planck basándose en la recta de la figura. (Proporcionado por The Physical Review)

4.- RELATIVIDAD ( ALGUNOS RESULTADOS A APLICAR) Con el fin de poder explicar convenientemente algunos otros fenómenos físicos, veamos una serie de resultados obtenidos a partir de la teoría de la Relatividad especial. En efecto, hemos de aplicarlos a situaciones físicas en las que las partículas llevan velocidades suficientemente elevadas para que la Física Clásica no sea aplicable. 1.- La velocidad de la luz en el vacío es independiente del sistema de referencia (SR) desde el que se mida, y es a su vez la velocidad máxima de trasmisión de los fenómenos físicos. Valor: c = 2.9979x108 m.s-1 ≅ 3x108 m.s-1 2.- Toda partícula posee una energía total E = mc2 donde m es su masa. 3.- La masa de una partícula depende del SR en el que se mide. Llamando m0 a la masa de la partícula en reposo respecto a dicho SR, y m a su masa cuando la partícula se encuentra en movimiento, con velocidad v respecto a dicho SR, se verifica: m=

m0 1− v2 /c2

4.- El momento lineal p de una partícula de masa m y velocidad v es p = m v. También puede escribirse así: p= En efecto,

(

p = m2 − m

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)

1 2 2 0

m 2 − m 02 c 1 2

1

⎡ m m0 v 1 ⎡ ⎤2 2⎤ − − c=⎢ m c = m 1 c= =mv 0⎢ 0⎥ 2 2 2 ⎥ ⎣1 − v / c ⎦ 1− v2 /c2 ⎣1 − v / c ⎦ 2 0 2

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392

5.- La energía cinética de una partícula se define como la diferencia entre su energía E a velocidad v menos la que posee en reposo, E0. Ec ≡ E – E0 = m c2 – m0 c2 ⇒ Ec = (m – m0) c2 Para velocidades v